KR100512174B1 - 갈로아 필드에서 파워 형태로 표현된 원소들을 다항식의형태로 변환하는 장치 및 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 파워 형태로 표현된 갈로아 필드의 원소를 다항식의 형태로 변환하는 방법 및 장치에 관한 것이다. 특히, 본 발명은 갈로아 필드 원소 형태 변환장치를 구현할 때 사용되는 하드웨어 자원을 최소화하여, 하드웨어가 차지하는 면적을 크게 줄일 수 있는 갈로아 필드 원소 형태 변환방법 및 장치에 관한 것이다.

본 발명에서는 파워 형태로 표현된 갈로아 필드의 원소들 중, 특정의 형태로 표현되는 일부 원소들을 다항식의 형태로 미리 변환하여 저장한 후, 이 저장된 다항식 형태의 원소들을 이용하여 다른 갈로아 필드 원소들도 다항식의 형태로 변환한다.

Description

갈로아 필드에서 파워 형태로 표현된 원소들을 다항식의 형태로 변환하는 장치 및 방법{APPARATUS AND METHOD FOR CONVERTING POWER-TYPE ELEMENTS INTO POLYNOMIAL TYPE IN GALOIS FIELD}

본 발명은 오류정정 부호화(Error Control Coding)기에서 파워(Power) 형태의 갈로아 필드(Galois Field) 원소들(Elements)을 다항식(Polynomial)의 형태로 변환하는 장치 및 방법에 관한 것이다.

갈로아 필드는 원소(element)의 개수가 유한하고 사칙 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)을 정의할 수 있는 집합, 즉 곱셈에 대해 닫혀있고, 항등원과 역원이 존재하며, 교환법칙, 결합법칙 및 배분법칙이 성립하는 집합을 말한다.

갈로아 필드내의 임의의 원소는 파워(power) 형태와 다항식(polynomial) 형태의 두 가지 방식으로 표현이 가능하며, 오류정정 부호화기에서 복호화 연산을 수행할 때, 상호 변환이 이루어진다. 그리고, 파워 형태의 갈로아 필드 원소는 원시 다항식(Primitive Polynomial)을 이용하여 다항식 형태의 갈로아 필드 원소로 변환된다.

예를 들어, 데이터를 512 바이트씩 오류정정 부호화기에서 부호화 하고자 한다면, 512 바이트에 오류검출과 정정을 위한 패리티 비트(parity bits)가 추가되어 총 512 ×2 ×2³ = 2¹³비트 즉, 8192 개의 원소를 가지는 갈로아 필드가 필요하다.그리고, 이 경우에 있어서 갈로아 필드 원소의 파워 형태 표현은 아래 [수학식 1]과 같고, 아래 [수학식 2]는 이때 사용되는 차수가 13인 원시 다항식이다.

P(X) = 1 + X + X ³+ X ⁴+ X ¹³

상기 [수학식 1]의 파워 형태로 표현된 8192개의 갈로아 필드 원소들은 위에서 언급한 것처럼, [수학식 2]의 원시 다항식을 이용하여, 아래 [수학식 3]과 같이 α에 관한 12차 이하의 다항식 형태로 변환되어진다.(단, α는 [수학식 2]에 보인 원시 다항식의 근이다.)

종래에는 갈로아 필드 원소 변환회로를 구현할 때, 파워 형태로 표현된 각각의 갈로아 필드 원소들에 대해, 상기 [수학식 3]에 보인 것과 같이, 다항식 형태로 변환한 후, 그 일대일 대응관계를 모두 Look-Up Table로 만들어 저장하고 필요할 때마다 하나씩 참조하는 방식을 사용한다.

도 1은 차수가 m인 Look-Up Table의 구성을 보여주는 구성도이다.

도 1에 보인 바와 같이, 차수가 m인 갈로아 필드에서 Look-Up Table의 크기는 2^m×m이다. 따라서, 위에서 예시한 13차의 Look-Up Table의 크기는 2¹³×13이 된다.

그러나, 이러한 Look-Up Table을 이용하는 기존의 방식은 갈로아 필드의 차수가 하나씩 증가할 때마다 사용되는 Look-Up Table의 크기가 지수 함수적으로 증가하는 단점이 있다. 그리고, 이로 인한 갈로아 필드의 원소 형태 변환회로에서 하드웨어 면적의 증가는 처리해야할 데이터의 양이 많아질수록, 즉 갈로아 필드의 차수가 커질수록 심각한 문제가 될 수 있다.

본 발명의 목적은 갈로아 필드에서 파워 형태로 표현된 원소들을 다항식의 형태로 변환할 때, 하드웨어 면적의 증가를 최소화 할 수 있는 갈로아 필드 원소 형태 변환 장치 및 방법을 제공하는데 있다.

본 발명에서는 상술한 목적을 달성하기 위해, 갈로아 필드 변환회로에서 파워 형태의 갈로아 필드 원소들을 다항식의 형태로 변환할 때 사용되어지는 하드웨어 자원을 최소화 할 수 있는 변환 방법을 제공한다. 또한, 본 발명의 갈로아 필드 변환 회로는 특정의 형태로 표현되어 질 수 있는 일부 갈로아 필드 원소들을 다항식 형태로 변환하여 저장하는 저장기와 파워 형태의 갈로아 필드 원소를 입력으로 하여 소정의 수학식을 전개하고, 그 전개된 수학식에서 소정의 변수들을 추출하는 연산기, 그리고 상기 연산기로부터 추출한 변수들을 입력으로 하여 저장기에 저장된 데이터를 선택하여 출력하는 선택기 및 상기 선택기로부터의 데이터를 연산하여 출력하는 갈로아 필드 곱셈기를 포함한다.

아래 [수학식 4]는 차수가 m인 갈로아 필드를 파워 형태의 원소로 표현한 것이다.

위의 [수학식 4]에 보인 갈로아 필드 원소들 중 임의의 원소를 α^N이라고 한다면,(0≤N≤2^m-2 이고, N은 정수) α^N은 아래 [수학식 5]와 같이 전개될 수 있다.

[수학식 5]에서, n_x는 0 또는 1의 값을 갖는다(0≤x≤m-1, x는 정수). 이것은 임의의 원소 α^N을 최대 m개의 한정된 항의 곱의 형태로 나타낼 수 있음을 보여준다.

도 2는 본 발명에서 파워 형태로 표현된 임의의 원소를 다항식의 형태로 변환하는 과정을 보여주는 순서도이고, 도 3은 도 2에 보인 순서도에 따라 구현된 본 발명의 갈로아 필드 변환회로를 보여주는 블록도이다.

도 2의 단계 S201에서는 차수가 m인 갈로아 필드의 파워 형태로 표현된 원소들 중 특정 형태로 표현되어지는 지수를 갖는 원소들 즉, 지수가 2^x (단, 0≤x≤m-1, x는 정수)으로 표현될 수 있는 파워 형태의 원소들(. , ... , , )을 다항식의 형태로 변환하여 저장기(301)에 저장한다.

단계 S202에서는 파워 형태로 표현된 갈로아 필드의 원소들 중 다항식의 형태로 변환하고자 하는 임의의 원소 α^N(0≤N≤2^m-2이고, N은 정수)을 연산기(302)를 이용하여 상기 [수학식 5]와 같이 전개한 후, 전개된 식에서 변수(n_x)를 추출하여 선택기(303)로 전송(단계 S203)한다.

단계 S204에서는 선택기(303)를 이용하여, 전단계(S203)에서 전송된 변수(n_x)의 값을 참조하고, 그 값이 1인 항에 해당하는 다항식 형태의 원소를 저장기(301)로부터 선택하여 가져온 후 갈로아 필드 곱셈기(304)로 출력한다. 그리고, 마지막으로, 단계 S205에서는 선택기(303)에 의해 출력된 다항식 형태의 원소들을 갈로아 필드 곱셈기(304)로 연산하여 출력한다. 이 때 출력되는 데이터는 최초 연산기(302)로 입력된 파워 형태의 원소 α^N에 대한 다항식 형태의 표현이다.

상기 본 발명의 설명과 도 2 및 도 3을 기초로 하여 차수가 13인 갈로아 필드에서 파워 형태의 원소 α¹⁸에 대한 다항식 형태를 구한다면, 단계 S202에서 α¹⁸은 [수학식 5]의 형태 즉, α^{16 + 2} = α¹⁶ㆍα²의 형태로 전개된다. 따라서, 선택기(303)에서는 단계 S201에서 이미 다항식의 형태로 변환되어 저장기(301)에 저장되어 있는 α¹⁶ 과 α²의 다항식 형태를 선택하여 갈로아 필드 곱셈기(304)로 출력한다.

갈로아 필드 곱셈기(304)는 단계 S205에서 α¹⁶ 의 다항식 형태인 α⁷+ α⁶+ α⁴ + α³ 과 α²의 다항식 형태인 α²을 이용하여 곱연산을 수행한다. 따라서, 갈로아 필드 곱셈기(304)에 의해 곱연산이 수행된 α¹⁸의 다항식 형태 표현은 α¹⁸= α ¹⁶ㆍα²=(α⁷+ α⁶+ α⁴ + α³)ㆍ(α² )= α⁹+ α⁷+ α⁶ + α⁵이 된다.

이상에서, 상기의 설명 및 도면을 통해 본 발명에 따른 갈로아 필드 원소 형태 변환 방법 및 장치를 설명하였지만, 이는 일실시예에 불과하며, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 다양한 변화 및 변경이 가능하다.

상술한 바와 같이, 본 발명에서 제시된 갈로아 필드 원소 형태 변환 방법 및 장치는 간단한 회로 구성과 절차를 통해 파워 형태로 표현된 갈로아 필드의 원소를 다항식의 형태로 변환할 때, 변환 회로 구현에 필요한 하드웨어의 면적을 크게 줄일 수 있다.

도 1은 종래의 갈로아 필드의 원소 형태 변환에 사용되는 차수가 m인 Look-Up Table이다.

도 2는 본 발명에서 파워 형태로 표현된 갈로아 필드의 임의의 원소를 다항식의 형태로 변환하는 과정을 보여주는 순서도이다.

도 3은 도 2의 순서도에 따라 구현된 본 발명의 갈로아 필드 변환회로를 보여주는 블록도이다.

Claims (10)

1. 차수가 m인 갈로아 필드 에서 파워 형태로 표현된 원소들을 다항식의 형태로 변환하는 방법에 있어서,

   (단, α는 m차 원시 다항식의 근)

   상기 파워 형태로 표현된 갈로아 필드 원소들 중 소정의 원소들을 각각 다항식의 형태로 변환하여 저장하는 제1 단계;

   다항식 형태로 변환하고자 하는 갈로아 필드의 임의의 원소를 소정의 형태를 갖는 수학식으로 전개하는 제2 단계; 와

   상기 제2 단계에서 전개된 수학식에서 변수들을 추출하여 전송하는 제3 단계; 그리고,

   상기 제3 단계에서 추출한 변수들의 값에 따라 상기 제1 단계에서 변환되어 저장된 다항식 형태의 원소를 선택하여 출력하는 제4 단계; 및

   상기 제4 단계에서 가져온 다항식 형태의 원소들을 갈로아 필드 곱셈기를 이용하여 곱하는 제5 단계;

   를 포함하는 갈로아 필드 원소 형태 변환방법.
2. 제 1항에 있어서,

   상기 제1 단계에서 다항식의 형태로 변환되는 파워 형태를 가진 소정의 갈로아 필드 원소들은 ,,, ... , , 임을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환방법.
3. 제 1항에 있어서,

   상기 제2 단계에서 전개되는 수학식은 아래와 같은 형태로 전개됨을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환방법.

   (단, 0≤N≤2^m-2 이고, N은 정수이며 n_x는 변수이며 , α^N은 갈로아 필드의 임의의 원소이다.)
4. 제 1항에 있어서,

   상기 제3 단계에서 추출되는 변수는 0 또는 1의 값을 가짐을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환방법.
5. 제 1항 또는 제 4항에 있어서,

   상기 제4 단계에서 선택되는 다항식 형태의 원소는 상기 변수의 값이 1인 항들에 해당하는 상기 제1 단계에서 변환된 다항식 형태의 원소임을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환방법.
6. 차수가 m인 갈로아 필드 에서 파워 형태로 표현된 원소들을 다항식의 형태로 변환하는 장치에 있어서,

   (단, α는 m차 원시 다항식의 근)

   다항식 형태로 표현된 데이터를 저장하는 저장기; 와

   파워 형태의 갈로아 필드 원소를 입력으로 하여 소정의 수학식을 전개하고, 전개된 수학식에서 소정의 변수들을 추출하여 전송하는 연산기; 그리고,

   상기 연산기로부터의 입력에 응답하여 상기 저장기에 저장되어 있는 데이터를 선택하여 출력하는 선택기; 및

   상기 선택기로부터의 데이터를 연산하여 출력하는 갈로아 필드 곱셈기;

   를 포함하는 갈로아 필드 원소 형태 변환장치.
7. 제 6항에 있어서,

   상기 저장기에 저장되는 다항식 형태의 데이터는 ,, ... , , 임을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환장치.
8. 제 6항에 있어서,

   상기 연산기에 의해 전개되는 소정의 수학식은 아래와 같음을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환장치.

   (단, 0≤N≤2^m-2 이고, N은 정수이며 n_x는 변수이며 , α^N은 갈로아 필드의 임의의 원소이다.)
9. 제 6항에 있어서,

   상기 연산기에 의해 추출되는 변수는 0 또는 1의 값을 가짐을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환장치.
10. 제 6항 또는 제 9항에 있어서,

    상기 선택기에 의해 선택되어 상기 갈로아 필드 곱셈기로 출력되는 데이터는 상기 연산기에 의해 추출된 변수의 값이 1인 항에 해당하는 상기 저장기에 저장되어 있는 다항식 형태의 원소임을 특징으로 하는 갈로아 필드 원소 형태 변환장치.