KR100263163B1 - 자유곡면의수치제어가공을위한곡면보간방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 자유 곡면의 수치 제어 가공을 위한 곡면 보간 방법에 관한 것으로서, 볼앤드 커터(ball-end cutter)로 곡면을 가공했을 때 생기는 스칼럽(scallop) 높이가 일정한 한계치 이하가 되도록 하는 등경 곡선 경로를 선정하여 곡면 가공을 위한 공구 경로로 사용하는 방법에 대한 것이다. 이때, 곡면의 곡률을 고려하여, 곡면의 모양에 따라서 곡면을 볼록한 영역, 오목한 영역, 및 평면인 영역으로 구분하여 등경 곡선으로 이동하기 위한 매개변수의 증가량(Δu)을 구하는 것임을 특징으로 한다. 본 발명에 의한 곡면 보간 방법에 의하면, 곡선 수식을 직접 이용함으로써 곡선을 가공할 때 발생하는 종래 기술의 문제점을 해결할 수 있다.

Description

자유 곡면의 수치 제어 가공을 위한 곡면 보간 방법

본 발명은 자유 곡면의 수치 제어 가공을 위한 보간 방법에 관한 것으로서, 특히 곡면을 표현하는 수식으로부터 직접 자유 곡면을 가공할 수 있도록 하는 곡면 보간 방법을 제공하고자 한다.

수치 제어 가공을 위하여 종래에는 G 코드라고 하는 표준 수치 제어 전용 언어를 사용하고 있으며 이를 통하여 직선 및 원호와 같이 비교적 간단한 모델을 표현한다. 즉, G 코드를 이용하는 수치 제어 가공에서는 가공하고자 하는 모델이 모두 직선과 원호의 조합으로 이루어져야 한다. 이를 더욱 상세하게 설명하면, 자유 곡선 및 곡면은 주로 매개 변수를 사용하는 수식으로 표현되며 이것을 가공하기 위해서는 적절한 방법을 사용하여 직선 및 원호만으로 이루어진 G 코드로 변환시켜야 한다.

곡선 및 곡면의 가공에 있어서, 가공 형상을 G 코드로 변환한 뒤 가공하는 이러한 방식은 기존의 수치 제어 공작기계에 통신 기능만을 추가하여 용이하게 달성할 수 있다는 점과, G 코드 자체가 단순하여 고성능의 마이크로 프로세서를 사용하지 않아도 되는 장점이 있다.

그러나, 다음과 같은 문제점들로 인하여 G 코드를 이용하는 수치 제어 가공 방식의 개선 방향이 연구되고 있다.

첫째, 평균 이송 속도가 저하되는 점이다. 이는 원래의 곡선 및 곡면을 근사시키기 위하여 만들어진 연속적이고 짧은 직선들로 이루어진 G 코드를 수행할 때, 각 코드 블록의 시작과 끝에서 출발과 정지, 즉 가속과 감속을 반복하기 때문이다.

둘째, 가공면의 조도가 감소되는 점이다. 이는 가공면에 대한 공구의 이송 속도가 일정하지 못함으로 인하여 발생되는 문제로서, 가공 후 많은 수작업이 필요한 문제점이 있다.

또한, G 코드를 이용하는 수치 제어 공작 방식에서는, CAD를 이용하여 만들어진 실제 형상 모형의 데이터가 CAM에 의하여 G 코드로 변환이 되는데, 이러한 G 코드로 이루어진 파일의 크기가 대단히 커서 CAD/CAM으로부터 공작기계로의 통신량이 증가하여 메모리 요구량이 증가하여 메모리를 추가로 설치해야 하는 어려움이 있다.

본 발명은 상기한 바와 같은 G 코드를 이용한 종래의 수치 제어 가공 방식을 개선하고자 하는 것으로서, 본 발명의 목적은 곡선을 표현하는 수식으로부터 직접 보간하여 가공 시간 및 가공 오차가 감소된 수치 제어 가공을 위한 보간 방법을 제공하는데 있다.

본 발명의 또 다른 목적은, 가공 중 이송 속도를 일정하게 유지하여 조도 감소를 피할 수 있는 수치 제어 가공을 위한 보간 방법을 제공하는데 있다.

도1은 등경 경로 방식인 경우, 공구 경로 방향과 공구 경로 간격 방향을 나타내는 도면,

도2는 볼앤드 커터로 평면 영역을 가공하는 경우를 나타내는 도면,

도3은 볼록한 곡면을 가공하는 경우 생기는 스칼럽 높이를 나타내는 도면,

도4는 오목면을 가공할 때 생기는 스칼럽 높이를 나타내는 도면,

도5는 점P에서의 법선 벡터(n)를 포함하고 공구 경로 방향에 수직인 평면을 나타내는 도면,

도6은 I_cc와 I_u의 관계를 설명하는 도면,

도7은 각 점에서 구한 Δu_m,n을 나타내는 도면,

도8은 본 발명에 의한 곡면 보간 방법을 실험하기 위하여 설정된 제어점이 36개인 NURBS 곡면을 나타내는 도면.

상기한 본 발명의 목적을 달성하기 위하여, 본 발명에 의한 수치 제어 가공을 위한 곡면 보간 방법은, 볼앤드 커터(ball-end cutter)로 곡면을 가공했을 때 생기는 스칼럽(scallop) 높이가 일정한 한계치 이하가 되도록 하는 등경 곡선 경로를 선정하여 곡면 가공을 위한 공구 경로로 사용하고, 이때 곡면의 곡률을 고려하여, 곡면의 모양에 따라서 곡면을 볼록한 영역, 오목한 영역, 및 평면인 영역으로 구분하여 등경 곡선으로 이동하기 위한 매개변수의 증가량(Δu)을 구하는 것임을 특징으로 한다.

이하에서 첨부된 도면을 참조하면서 본 발명의 바람직한 일실시예를 상세하게 설명한다.

자유 곡선의 보간에서는, 위치 제어기의 샘플링 시간 T_s동안에 가야할 거리를 구해 곡선위의 점으로 나타낸다. 가공시의 이송 속도 V에 대하여 두 연속적인 위치 지령 사이의 거리는 VT_s이어야 한다.

매개변수 u로 나타내어지는 곡선 C(u)에 대하여 t=kT_s에서의 매개변수 값 u(k)는 다음의 수학식 1과 같다.

상기 수학식 1에 의하여 u의 초기값, u(0)가 주어지면 위치가 VT_s만큼 이동하기 위한 다음 매개변수 값을 구할 수 있다.

한편, 곡면 가공을 위한 공구 경로를 계산하는 방법에는 매개변수 영역에서 매개변수 (u,v)를 움직여서 계산하는 등경 경로 방법과 직교 좌표계에서 직접 산출하는 비등경 경로 방법이 있다.

등경 경로(isoparametric path)는 곡면 S(u,v)에서 매개변수 u와 v중 어느 한 변수를 고정시켜 생긴 등경 곡선, 예를 들어 u를 고정시킨 경우 S(u₀,v)를 공구 경로로 선택한다. 다음의 경로는 u를 임의의 상수만큼 이동시켜서 S(u₀+Δu,v)를 얻는다. 일반적으로 Δu는 한 곡면을 가공하는 동안 변하지 않는 작은 상수이거나 또는 인접한 두 공구 경로 사이의 간격이 일정한 한계치 이하가 되도록 한다.

비등경 경로(nonisoparametric path) 방식은 곡면이 한 축(예를 들어 X축)에 수직인 평면과 만나는 점을 구하여 공구 경로로 하는 방식과 사각형 또는 삼각형 매쉬로 곡면을 근사시킨 후, 이 위에서 공구 경로를 계산해내는 방식 등이 있다.

공구가 곡면을 가공하는 방향을 공구 경로 방향, 공구가 다음 공구 경로에 해당하는 경로로 이동하는 방향을 공구 경로 간격 방향이라고 한다. 도1은 등경 경로 방식인 경우, 공구 경로 방향과 공구 경로 간격 방향을 나타내고 있다.

도1에 도시된 바와 같이, 대부분의 곡면 표현 수식들은 곡선과 마찬가지로 균일(uniform)하지 않다. 따라서 매개변수 영역에서 일정한 Δu 간격을 가지는 직선이, 직교 좌표계에서는 두 곡선 사이의 간격이 위치에 따라서 변하여 최대 간격(I_max)과 최소 간격(I_min)을 가지는 곡선으로 나타난다.

본 발명의 일실시예에서는 볼앤드 커터(ball-end cutter)로 곡면을 가공했을 때 생기는 스칼럽(scallop) 높이가 일정한 한계치 이하가 되도록 하는 등경 곡선 경로를 이용하여 곡면 가공을 위한 공구 경로를 계산하고자 한다. 스칼럽의 높이는 두 인접한 공구 경로의 간격이 일정하더라도 곡면의 곡률에 따라 변하므로 다음 공구 경로에 해당하는 등경 곡선으로 이동하기 위한 Δu를 계산하는데 곡면의 곡률을 고려해야 한다. 따라서, 본 발명에서는 곡면의 곡률, 즉, 곡면의 모양에 따라서 곡면을 볼록한 영역, 오목한 영역, 및 평면인 영역으로 나눈다.

볼앤드 커터로 평면을 가공하는 경우의 스칼럽(scallop)의 높이와 공구 간격 방향의 관계가 도2에 도시되어 있다. 이때 스칼럽의 주어진 높이 h와 공구 접촉점 간격 I_cc의 관계는 다음의 수학식 2와 같이 나타낼 수 있다.

평면 가공인 경우 곡률 반경 R이 무한대 값을 가지는 경우이고, 공구 중심점 간격 I_cl은 I_cc와 같다.

볼앤드 커터로 볼록한 곡면을 가공하는 경우의 스칼럽(scallop)의 높이와 공구 간격 방향의 관계가 도3에 도시되어 있다. 이때의 스칼럽의 주어진 높이 h와 공구 접촉점 간격 I_cc의 관계는 다음의 수학식 3과 같이 근사적인 해를 구할 수 있다.

상기 수학식 3에서 R은 현재의 공구 접촉점에서 구한 곡면의 곡률 반경으로서 이 값은 곡면의 위치에 따라서 다르다.

오목한 면을 가공하는 경우의 스칼럽(scallop)의 높이와 공구 간격 방향의 관계가 도4에 도시되어 있다. 오목면을 가공할 때에는 다음의 수학식 4와 같이 근사적인 해를 구할 수 있다.

본 발명에서는 곡면을 표현하는 수식을 직접 이용하기 위하여 곡면을 등경 곡선으로 나눈다. 각 등경 곡선을 선정하는 기준은 곡면 가공 후 곡면 상에 남게 되는 스칼럽의 높이로 이 값이 일정한 한계를 넘지 않도록 한다. 이를 위하여 본 발명에서는 다음과 같은 단계들에 의하여 등경 곡선을 선정하는 새로운 방법을 제시한다.

제1단계는 곡면식 S(u,v)에 대하여 경계 곡선 중 하나를 첫 번째 공구 경로로 선택하는 단계이다. 예를 들어서, S(u₀,v)를 택한다. 여기에서 u₀는 매개변수 u의 최소값 u_min이라고 하자.

제2단계는 등경 곡선을 따라 매 샘플링 시간마다 매개변수 v를 일정한 간격으로 움직이거나 또는 v방향으로 공구가 실제로 움직이는 거리를 일정하게 하도록 v를 증가시켜 나갈 때, 이에 해당하는 곡면 위의 각 점에서의 곡면 모양을 결정하는 단계이다. 이때, 매 샘플링 시간마다 사용한 v값들을 v_n(n=0,1,...)이라고 하기로 한다.

일반적으로 곡면은 볼록한 영역, 오목한 영역, 하이퍼보릭 영역, 패라보릭 영역으로 나눌 수 있는데 이는 곡면 위의 한 점에서, 곡면에 대한 가우시안 곡률과 법선 곡률을 구함으로써 알 수 있다. 이와 같이 곡면의 영역을 나누는 것은 모든 방향의 곡률을 고려했을 때의 구분이며 여기서는 공구 경로 간격 방향으로의 곡면 모양이 중요하므로 이 방향으로의 법선의 곡률을 구하는 것만으로 충분하다. 이 경우 하이퍼보릭 영역과 패라보릭 영역은 나타나지 않으며, 대신 평면 영역이 추가된다.

따라서 본 발명에서는 공구 경로 간격 방향으로의 곡면의 모양을 볼록한 영역, 오목한 영역 및 평면 영역으로 구분한다. 이를 상세하게 설명하면 다음과 같다.

법선 곡률은 곡면 S(u,v)에 대한 제1기본행렬 G와 제2기본행렬 D로 나타낼 수 있는데, 이 두 행렬은 다음의 수학식 5 및 수학식 6에 의하여 정의된다.

상기 수학식 5 및 수학식 6에서, g₁₂=g₂₁이고, d₁₂=d₂₁이다.

두 행렬 G와 D를 이용하여 법선 곡률 k_n을 나타내면 다음의 수학식 7과 같다.

상기 수학식 7에서 는 매개변수 영역상의 곡선의 접선 벡터로서 다음의 수학식 8과 같다.

도5는 점P에서의 법선 벡터(n)를 포함하고 공구 경로 방향에 수직인 평면을 나타낸 것이다. 이 평면과 곡면이 만나서 생긴 곡선의 곡률 반경이 상기 수학식 3 및 수학식 4의 곡률 반경 R이 된다. 도5에서 곡선의 접선 벡터( )와 공구 경로 방향 벡터( )는 서로 수직이므로 두 벡터의 내적은 '0'이다.

이러한 성질을 이용하여, λ를 다음의 수학식 9와 같이 정의하면, 상기 수학식 8의 매개변수 영역상의 곡선의 접선 벡터는 다음의 수학식 10과 같다.

상기 수학식 10을 상기 수학식 7에 대입하면 법선 벡터(n)를 포함하고 공구 경로 방향에 수직인 평면과 곡면이 만나서 생긴 곡선의 곡률 k_nv를 다음의 수학식 11과 같이 나타낼 수 있다.

공구 경로 간격 방향으로의 곡면 모양은 상기 수학식 11의 법선 곡률 k_nv의 부호를 이용하여, k_nv〈0인 경우는 볼록한 영역으로, k_nv〉0인 경우는 오목한 영역으로, k_nv=0인 경우는 평면 영역으로 각각 분류할 수 있다.

본 발명의 제3단계는 k_nv의 부호에 의하여 분류된 곡면 모양에 따라서, 상기 수학식2, 수학식 3, 수학식 4를 이용하여 공구 접촉점 간격 I_cc를 구하는 단계이다. 이 때, 수학식 3 및 수학식 4에 사용할 곡률 반경 R은 다음의 수학식 12와 같다.

다음의 제4단계는, 공구 접촉점 간격 I_cc에 해당하는 매개변수 u방향으로의 간격 I_u를 구하는 단계이다. 이는 공구 경로 간격 방향이 반드시 매개변수 u방향과 일치하지 않기 때문이다.

도6은 I_cc와 I_u의 관계를 설명하는 도면이다.

도6에 도시된 바와 같이, 곡면 S(u,v)의 편미분벡터 와 가 이루는 각을 θ라고 하면 I_u는 다음의 수학식 13과 같이 나타낼 수 있다.

본 발명에 의한 방법의 제5단계는 상기 제4단계에서 구한 I_u만큼 이동하기 위한 매개변수 u_m(m=0,1,...)의 증가량을 구하는 단계이다. 매개변수(u_m,v_n)에서 구한 u_m의 증가량을 Δu_m,n이라고 하기로 한다. 직교 좌표계 상의 임의의 간격으로부터 매개변수의 변화량을 구하는 것은 곡선 보간에서 일정한 거리를 움직이기 위하여 필요한 매개변수의 변화량을 구하는 것과 동일하다. 곡면 위의 u 방향 등경 곡선에 상기 수학식 1을 적용하면 다음의 수학식 14를 얻을 수 있다.

도7은 각 점에서 구한 Δu_m,n을 나타낸다.

본 발명에 의한 방법의 제6단계는 상기 제5단계에서 구한 Δu_m,n들 가운데 최소값 Δu_m,min을 구하여, u_m+Δu_m,min을 u_m+1로 설정함으로써, 다음 공구 경로 S(u_m+Δu_m,min, v)를 구하는 단계이다.

여기에서 Δu_m,min은 다음의 수학식 15 같다.

예를 들어, 도7에서는 n=4일 때, Δu_m,n이 최소이므로, 즉 Δu_m,min=Δu_m,4이므로, 다음 공구 경로는 S(u_m+Δu_m,4,v)가 된다. 설정된 매개변수 u_m+1이 매개변수의 최대값 u_max가 될 때까지 상기한 단계들을 반복한다.

도8은 본 발명에 의한 곡면 보간 방법을 실험하기 위하여 설정된 제어점이 36개인 NURBS 곡면이다. X축과 Y축 방향으로의 크기가 약 50㎜ 정도이며, 매개변수 u는 -3.0에서 0.0까지, 매개변수 v는 0.0에서 3.0까지 변한다. 도8에서는 매개변수(u,v)가 (-3.0,0.0)일 때 원점을 출발하여 u만 증가하면 Y축을 따라 움직이고, v가 증가하면 x축을 따라서 이동한다. 따라서 X축 양의 방향을 공구 경로 방향, Y축 양의 방향을 공구 경로 간격 방향으로 볼 수 있다. 실험 조건으로는 스칼럽의 높이를 10㎛, 공구 반경을 5㎜, 가공할 때의 이송 속도를 10∼20 ㎜/sec로 하였다.

다음은 본 발명에 따른 경로 생성 및 보간 방법의 과정에서 생긴 결과를 정리한 것이다.

(1) 최초의 공구 경로를 S(-3.0,v)로 정한다.

(2) 곡면의 모양에 따라서 오목한 영역과 볼록한 영역으로 나눈다.

(3) 본 발명에 의한 방법에 의하여 90개의 등경 경로가 생성되었다.

만약, 동일한 조건에서 공구 간격 방향으로의 너비가 50㎜인 평면을 가공한다면 공구 접촉점 간격은 상기 수학식 2에 의하여 0.6321이 되고, 너비가 50㎜이므로 생성될 경로의 개수는 80개이다. 즉, 곡률의 변화로 인하여 공구 경로의 개수가 증가하였음을 알 수 있다.

다음의 표1은 스칼럽 높이가 일정하게 되도록 하는 직선 세그먼트 경로를 생성하는 기존의 방법과 본 발명에 의한 곡면 보간 방법을 사용하였을 때, 각 이송속도에 따라서 걸리는 시간(초)을 비교하여 나타낸 것이다.

이송속도(㎜/sec)	10	20	30	40	50
종래의 방법	673	634	634	634	634
본 발명에 의한 방법	631	322	217	177	145

상기 표 1에 나타나있는 시간은 단순히 공구 경로의 길이를 이송속도로 나눈 값이 아니라, 생성된 이송 경로를 실제 수치 제어 공작 기계의 모터에 전달한다고 가정하고 가감속을 가했을 때 걸리는 시간을 측정한 것이다.

표 1로부터 알 수 있는 바와 같이, 종래의 방법에서는 이송속도가 20㎜/sec이상의 속도에 대해서는 걸리는 시간이 동일하다. 즉, 주어진 이송속도에 도달하지 못한 채 가감속만을 반복하므로 전체 가공 시간이 일정해진다. 반면에, 본 발명에 의한 방법을 사용하면 가공면에 따라서 주어진 이송속도를 유지하므로 고속 가공시 가공 시간을 단축시킬 수 있다.

이상에서 설명한 바와 같이, 본 발명에 의한 방법에 의하면 매개변수 식으로 표현된 곡면 수식을 직접 이용하여 실시간 가공할 수 있다. 각 등경 곡선에 대해서 곡선보간기를 이용하므로 기존의 근사적 가공 방법에 비하여 가공 시간이 단축되고, 가공시 원래의 모델과의 오차인 윤곽 오차를 감소시킬 수 있으며, 가공면에 따라 일정한 이송속도를 유지하게 하는 위치 제어기 입력을 생성함으로 기존의 방법에 나타난 조도의 감소를 피할 수 있는 장점이 있다.

Claims (1)

1. 수치 제어 가공을 위한 곡면 보간 방법에 있어서,

   곡면식 S(u,v)에 대하여 경계 곡선 중 하나를 첫 번째 공구 경로로 선택하는 제1단계 ;

   상기 공구 경로를 따라 매 샘플링 시간마다 매개변수 v를 일정한 간격으로 움직이거나 또는 v방향으로 공구가 실제로 움직이는 거리를 일정하게 하도록 v를 증가시켜 나갈 때, 이에 해당하는 곡면 위의 각 점에서의 곡면 모양을 결정하는 제 2 단계 ;

   상기 2단계에서 분류된 곡면 모양에 따라서, 공구 접촉점 간격 I_cc를 구하는 제3단계 ;

   공구 접촉점 간격 I_cc에 해당하는 매개변수 u방향으로의 간격 I_u를 구하는 제 4 단계 ;

   상기 제4단계에서 구한 I_u만큼 이동하기 위한 매개변수 u_m(m=0,1...)의 증가량을 구하는 제5단계 ;

   상기 제5단계에서 구한 △u_m.n에을 최소로 하는 △u_m.min을 구하여, u_m+△u_.m,min을 u_m+1로 설정하여 다음 공구 경로S( u_m+ △u_m.min, v)를 구하는 제6단계 ; 및

   상기 제6단계에서 설정된 매개변수 u_m+1이 매개변수의 최대값 u_ma가 될 때까지 상기한 단계들을 반복하는 제7단계에 의하여 등경 곡선을 선정하는 단계 ; 및

   곡면의 모양에 따라서 곡면을 볼록한 영역, 오목한 영역, 및 평면인 영역으로 구분하고 상기 단계에서 선정된 등경 곡선으로 이동하기 위한 매개변수의 증가량( △u)을 구하여 곡면 가공을 위한 공구 경로를 계산하는 단계를 포함하는 것임을 특징으로 하는 수치 제어 가공을 위한 곡면 보간 방법.