KR0176916B1 - 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법 - Google Patents

적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법 Download PDF

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Abstract

본 발명의 목적은 피드백 제어에 있어서 제어 바이퍼케이션 현상을 기초로 하여 제어조건을 자동적으로 서치하고, 카오스시스템의 파라메터의 변화에 상관없이 피드백제어를 유지할 수 있도록 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법을 제공함에 있다.
이와같은 본 발명의 목적을 달성하기 위한 수단은 카오스시스템의 시스템응답을 분석하고, 그 분석된 시스템응답에 따라 제어 파라미터의 값을 적응 트래킹하는 적응 트래킹과정과; 상기 적응 트래킹과정에서 적응 트래킹된 제어파라미터에 따라 카오스 시스템의 시스템 파라미터 또는 상태변수를 변화시키기 위한 피드백제어를 수행하는 피드백제어과정으로 이루어진다.

Description

적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법
제1도는 본 발명에 적용되는 카오스 시스템의 블럭구성도.
제2도의 (a)는 제1도에서의 비선형 동역학시스템의 일예를 보인도.
제2도의 (b)는 제2도의 (a)에서의 추아 다이오드의 전압 대 전류의 관계를 보인도.
제3도는 제2도의 (a)에서의 시스템 파라메터에 대한 바이퍼케이션을 보인도.
제4도는 제1도에서의 피드백 제어부에서의 제어 파라메터에 대한 제어 바이퍼케이션을 보인도.
제5도는 제1도의 피드백 제어부 및 적응 제어부에서의 리턴맵 피드백 제어방법 및 적응 트래킹 방법을 이용한 주기 1의 불안정한 주기궤도로의 자동제어의 결과를 보인도.
제6도의 (a) 및 (b)는 제1도의 적응 트래킹부에서의 제어 바이퍼케이션을 보인도.
제7도의 (a) 및 (b)는 제1도에서의 적응 트래킹부에서의 제어 파라메터 평면상에서의 제어 바이퍼케이션의 구조를 보인도.
제8도는 제1도의 카오스 시스템의 카오스 어트랙터 내외부에 존재하는 불안전한 주기궤도 및 유도주기궤도를 보인도.
제9도의 (a) 및 (b)는 제1도의 카오스 시스템의 파라메터의 변화에 대한 상태 변수의 관계를 보인도.
제10도는 제1도의 카오스 시스템의 파라메터 및 상태변수의 변화에 따른 제어파라메터의 값을 도시한 테이블도.
* 도면의 주요부분에 대한 부호의 설명
1 : 카오스시스템 2 : 피드백제어부
3 : 적응제어부 11 : 추아다이오드
본 발명은 적응 트래킹을 이용한 카오스(chaos)시스템의 피드백제어방법에 관한 것으로, 특히 피드백 제어에 있어서 제어 바이퍼케이션(Control Bifurcation ; 이하, CB)로 약칭함) 현상을 기초로 하여 제어조건을 자동적으로 서치하고, 카오스 시스템의 파라메터의 변화에 상관없이 피드백제어를 유지할 수 있도록 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백제어방법에 관한 것이다.
일반적으로 '카오스특성'은 동역학시스템의 비선형성에 의해서 나타나는데, 이러한 카오스특성을 갖는 비선형 동역학시스템을 '카오스시스템'이라 한다.
카오스특성을 갖지 않는 일반적인 동역학시스템과는 달리, 카오스시스템에는 카오스운동, 주기운동, 고정점운동등 다수의 운동이 계층적으로 공존한다. 이와같은 사실은 카오스시스템에서의 시스템 파라미터의 변화에 대한 바이퍼케이션(bifurcation) 현상의 분석을 통해 알 수 있다.
여기서, 바이퍼케이션(bifurcation) 현상은 카오스 시스템의 중요한 특성중의 하나로써 하나의 시스템 내에 주기적인 해와 카오스적인 해가 계층적으로 공존하고 있다는 것을 의미한다.
어떤 시스템 파라메터의 함수로써 나타내는 바이퍼케이션을 시스템 바이퍼 케이션(System Bifurcation: 이하, SB로 약칭함) 이라고 하면, 이 SB는 시스템 자체의 특성을 나타낸다.
한편, 어떤 제어 파라메터의 변화에 의해서 바이퍼케이션 현상이 나타나는 경우가 있는데, 이 바이퍼케이션을 제어 바이퍼케이션(CB)이라 한다.
이처럼 카오스시스템은 단일시스템의 형태로 여러가지 운동을 일으키는 다양성과 유연성을 가지고 있다.
만일 적절한 방법을 가지고 다수의 운동이 공존하는 상기 카오스시스템을 제어하여, 주기운동이든 카오스운동이든 원하는 운동을 하게 할 수 있다면 산업적인 측면에서 카오스시스템은 매우 유익하게 이용될 수 있다.
일예로, 카오스시스템의 일종인 전동기시스템에서는 카오스운동을 하지 않게 함으로써 진동잡음을 줄일 수 있으며, 또 유체의 혼합, 연소관련시스템에서는 카오스운동을 적극적으로 하게 하여 보다 좋은 결과를 얻을 수 있다.
한편, 일반적으로 카오스 시스템을 제어한다고 하는 것은 카오스 어트랙터(attractor)내에 내재된 많은 불안정한 주기궤도(Unstable Period Orbit : 이하 UPO이라 약칭함)들을 카오스 시스템의 파라메터에 약간의 섭동(perturbation)을 인가하여 안정화시키는 것을 의미한다.
현재까지 많은 연구원들의 연구를 통해 제시된 카오스시스템의 피드백 제어방법에는 1990년 미국 메릴랜드대학의 오트(Ott), 그레보기(Grebogy) 및 요크(Yorke)에 의해 제안된 오지(OGY)방법이 있다. 이 오지방법은 어트랙터에 내재되어 있는 수많은 UPO들로 제어하기 위해 카오스시스템의 시스템 파라메터에 약한 피드백섭동을 인가하는 피드백제어방법으로, 카오스 제어의 이론적 기초를 제공한 것으로 평가된다.
다른 카오스시스템의 피드백 제어방법에는 1991년 헌트(Hunt)에 의해 제안된 오피에프(OPF : Occasional Proportional Feedback; 이하, OPF 라 약칭함) 방법이 있다. 이 OPF 방법은 하나의 시계열 데이타를 특정의 샘플링 주기(T)로 샘플링하고, 그 샘플링된 데이타가 기 설정된 제어창(control window)내에 위치할 경우 그 샘플링데이타와 기준점과의 차이만큼 피드백제어를 인가하는 방법으로, 그 구현이 매우 간단하여 고속의 시스템에 적용할 수 있다.
그리고, 또다른 카오스시스템의 피드백 제어방법에는 1991년 펭(Peng)과 페트브(Pettrov)에 의해 제안된 리턴맵방법이 있다. 이 리턴맵방법은 하나의 시계열 데이타로부터 리턴맵을 구성하고, 그 리턴맵상에 나타나는 UPO를 안정화시키기 위해 피드백제어를 실행하는 방법으로, 매우 간단하게 구현할 수 있고, 시스템의 자연적 주기를 그대로 이용하는 장점이 있다.
그러나, 상기 오지(OGY) 방법은 실험적 시계열 데이타로부터 어트랙터를 재구성하고, 포앙카레(Poincare) 단면을 설정하여 데이타를 관찰함으로써 UPO 들의 위치를 분석해내고, 시스템 파라메터의 변화에 따른 UPO의 응답특성을 분석하여야 하는 등 많은 사전분석을 필요로 하는 단점이 있다.
그리고, 상기 OPF 방법은 샘플링 주기에 매우 민감하여 시스템의 자연적주기와 거의 일치하게 설정해야 하는 등의 제약이 있으며, 그 방법 자체가 체계적이지 못하여 경험적 방법론에 의존해야 하는 단점이 있다.
즉, 종래의 카오스시스템의 피드백제어방법은 피드백제어를 하기 전에 카오스 시스템에 대해 복잡한 시스템 분석과정을 거쳐야 하기 때문에 응답속도가 지연되게 되므로 응답속도가 빠른 카오스시스템에는 적절치 못하며, 또 중간에 카오스시스템의 상태나 제어목표가 변경될 경우 위의 복잡한 시스템 분석과정을 다시 거쳐야 하는 문제점이 있었다.
따라서, 본 발명의 목적은 대략적인 UPO의 위치에 대한 정보와 주기로의 방향을 알고나면 적응 트래킹 방법을 적용하여 정확한 제어조건을 스스로 찾아내어 안정화시킬 수 있도록 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백 제어방법을 제공함에 있다.
그리고, 본 발명의 다른 목적은 시스템이 약간 변화더라도 바로 적응 트래킹 제어를 통해 피드백 제어를 유지할 수 있도록 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백 제어방법을 제공함에 있다.
그리고, 본 발명의 또 다른 목적은 제어목표가 바뀌는 경우, 예를들어 2주기로 제어하고 있다가 4주기로 제어를 바뀌고 싶은 경우 적응 트래킹을 이용하여 용이하게 제어 할 수 있도록 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백 제어방법을 제공함에 있다.
그리고, 본 발명의 또 다른 목적은 UPO 로의 제어뿐만 아니라 카오스 어트랙터 주위의에 존재하는 많은 DPO들로 제어하는 체계적인 방법론을 제시하는 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백 제어방법을 제공함에 있다.
이와같은 본 발명의 목적을 달성하기 위한 수단은 카오스시스템의 시스템응답을 분석하고, 그 분석된 시스템응답에 따라 제어 파라미터의 값을 적응 트래킹하는 적응 트래킹과정과; 상기 적응 트래킹과정에서 적응 트래킹된 제어파라미터에 따라 카오스 시스템의 시스템 파라미터 또는 상태변수를 변화시키기 위한 피드백제어를 수행하는 피드백제어과정으로 이루어진다.
이하, 본 발명을 첨부된 도면을 참조하여 상세히 설명하면 다음과 같다.
제1도에 도시된 바와같이, 본 발명에 적용되는 카오스 시스템은 카오스 특성을 갖는 비선형 동역학시스템(1)과, 상기 비선형 동역학시스템(1)로부터 출력되는 소정의 시계열 데이타로부터 얻어지는 정보를 분석하여 상기 비선형 동역학시스템(1)의 시스템 파라메터 또는 상태변수를 섭동할 수 있도록 적어도 하나 이상의 제어 파라메터를 갖는 피드백 제어부(2)와, 상기 피드백 제어부(2)에 의해 제어된 상기 비선형 동역학시스템(1)의 시스템응답을 분석하고, 그 분석된 결과에 의해 상기 피드백 제어부(1)의 소정의 제어 파라메터를 제어하는 적응 트래킹부(3)로 구성된다.
그리고, 본 발명에 의한 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백제어 방법은 상기 카오스시스템(1)의 시스템응답을 분석하고, 그 분석된 시스템응답에 따라 상기 피드백 제어부(2)의 제어 파라미터의 값을 적응 트래킹하는 적응 트래킹과정과; 상기 적응 트래킹과정에서 적응 트래킹된 제어파라미터에 따라 상기 카오스 시스템(1)의 시스템 파라미터 또는 상태변수를 변화시키기 위한 피드백제어를 수행하는 피드백제어과정으로 이루어진다.
이와같이 구성된 카오스시스템을 참조하여 본 발명에 의한 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법의 과정을 상세히 설명하면 다음과 같다.
먼저, 일반적인 비선형 동역학시스템의 운동방정식(또는, 상태방정식)은 다음의 식(1)과 같이 표현된다.
여기서, X는 비선형 동역학시스템(1)의 상태를 나타내는 상태변수이고, p는 비선형 동역학시스템(1)의 시스템 파라미터이다.
상기 비선형 동역학시스템(1)은 시스템 파라미터의 변화에 따라 주기운동에서 부터 카오스운동에 이르기까지 연속적인 바이퍼케이션(Bifurcation) Bif(X;p) 특성을 보이게 된다.
한편, 상기 비선형 동역학시스템(1)을 피드백제어하기 위한 피드백제어부(2)에 있어서, 제1도에 도면부호 'q'로 표기한 피드백제어부(2)의 제어파라미터는 상기 비선형 동역학시스템(1)의 상태변수(X)와 시스템 파라미터(p)에 따라 결정되는데, 피드백제어부(2)에서는 이 연속적 제어파라미터 'q'와 상기 상태변수 'X'를 기준으로 한 다음의 식(2)과 같이 피드백제어신호를 발생하고, 이 피드백제어신호를 상기 비선형 동역학시스템(1)에 입력하여 상기 비선형 동역학시스템(1)의 시스템 파라미터(p) 또는 상태변수(X)를 변화시킨다.
이때, 상기 피드백제어부(2)에서의 피드백제어를 위해 기 설명한 OGY 피드백 제어방법, OPF(Occasional Proportional Feedback) 피드백 제어방법을 비롯해서 어떠한 피드백알고리즘을 이용해도 된다.
상기 피드백제어부(2)의 제어파라미터(q)에 대한 바이퍼케이션특성 Bif(X;q)을 분석해 보면, 이 바이퍼케이션특성, Bif(X,q)은 비선형 동역학시스템(1)의 바이퍼케이션특성, Bif(X,p)과 거의 비슷함을 알 수 있다.
이러한 바이퍼케이션을 '제어 바이퍼케이션'이라고 하며, 이러한 사실은 비선형 동역학시스템(1)을 피드백제어부(2)에서 적절히 피드백제어하고, 상기 피드백제어부(2)의 제어파라미터를 천천히 변화시킴으로써 그 카오스 어트랙터에 내재되어 있는 불안정한 주기궤도로 제어할 수 있으며, 더 나아가 카오스운동영역전체로 연속적으로 제어할 수 있음을 나타낸다.
즉, 상기 피드백제어부(2)의 제어파라미터(q)를 변화시킴으로써 비선형 동역학시스템(1)으로 하여금 원하는 운동을 하게 할 수 있다.
적응 트래킹부(3)는 비선형 동역학시스템(1)의 시스템응답을 분석해서 적절한 규칙,h(X)을 통해 상기 피드백제어부(2)의 제어파라미터(q)를 변화시킨다.
상기 적응 트래킹부(3)에서 비선형 동역학시스템(1)의 시스템응답을 분석하는 방법에는 여러가지가 있지만, 어트랙터로부터 2차원적인 포앙카레단면을 구성하고 이 포앙카레단면상에 나타나는 운동궤도의 갯수와 분포를 파악해서 시스템응답을 분석하는 방법이 가장 일반적이다. 하지만 운동궤도가 2차원적인 평면에 나타나기 때문에 분석이 약간 복잡해진다.
이 방법보다 더 간단한 방법은 어느 하나의 상태변수를 관찰해서 그 상태변수의 순간 최대값 또는 순간 최소값을 구하고 이 순간 최대값 또는 순간 최소값의 갯수와 분포를 통해 시스템응답을 분석하는 방법으로, 이 방법은 1차원적인 스칼라양을 분석하는 것이기 때문에 매우 간단한 방법이지만 서로 다른 데이타가 중복되어 나타날 수도 있으므로 주위해야 한다. 이것을 피하기 위해서는 위 2가지 방법을 함께 사용하거나 측정되는 상태변수 각각에 대해 순간 최대값 또는 최소값을 분석하면 된다.
제어 바이퍼케이션특성으로부터 알 수 있는 사실은 제어파라미터 'q'의 변화에 따라 카오스 어트랙터로 진행하는 방향과 주기궤도 및 고정점운동으로 진행하는 방향의 2가지 방향이 있으며, 주기궤도방향으로 진행할수록 최대 또는 최소의 극점분포가 점점 좁아진다는 것이다.
주기궤도로 제어된 경우에는 극점의 갯수를 세어서 주기를 확인할 수 있다.
그러므로 제어파라미터에 대한 시스템의 응답을 분석하기 위해서는 상태변수의 극점을 관찰하여 극점의 분포 및 갯수를 조사하는 것이 가장 간단한 방법이다.
상기 적응 트래킹부(3)에서는 피드백제어부(2)의 피드백제어신호가 '0'이 되는 제어파라미터(q)의 값에서부터 제어파라미터의 값을 양(+) 또는 음(-)의 방향으로 약간씩 변화시키면서 비선형 동역학시스템(1)의 시스템응답을 분석하여 어느 방향이 주기운동으로의 방향인지를 판별한다.
이어서, 주기운동의 방향으로 제어파라미터 'q'를 천천히 변화시키면서 비선형 동역학시스템(1)의 시스템응답을 극점의 분포를 통해 분석하고, 비선형 동역학시스템(1)이 원하는 주기운동을 하도록 적응 트래킹을 계속한다.
이와같이 설명한 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백 제어방법을 좀더 상세히 설명하면 다음과 같다.
먼저, 제2도의 (a)에 도시된 바와같이, 상기 비선형 동역학시스템(1)은 추아(Chua)회로를 예를들어 설명하고, 상기 피드백 제어부(2)는 기 설명한 OPF 피드백 제어방법을 이용하여 설명하면, 상기 추아회로는 추아다이오드(11), 콘덴서(C1),(C2) 및 코일(L)로 구성된 회로이며, 다양한 카오스특성을 보이는 전형적인 비선형 동역학시스템이다.
제2도의 (b)는 제2도의 (a)에서의 추아다이오드(11)의 전압-전류특성 그래프를 표시한 도면이다.
상기 추아회로의 운동방정식(상태방정식)은, 다음 식(3)에 표현된 바와같이, 3개의 상태변수(x,y,z)와 4개의 시스템 파라미터(A,B,a,b)로 이루어진 3차원 운동방정식이다.
여기서,
이와같은 운동방정식을 갖는 상기 추아회로는 상기 4개의 시스템 파라미터(A,B,a,b)의 변화에 따라 고정점운동에서부터 주기운동, 싱글 스크롤 어트랙터(sigle scroll attractor), 더블 스크롤 어트랙터 등의 다양한 운동을 하는데, 제3도의 (a)에 도시된 바와같이, 시스템 파라미터 'A'에 대한 바이퍼케이션으로부터 이 사실을 알 수 있다.
이어서, 상기 피드백 제어부(2)에서의 OPF 피드백 제어방법을 설명하면, 상기 추아회로부터 입력되는 시계열 데이타의 극점이 설정된 제어창내에 들어올 경우, 다음 식(4)과 같이, 이 제어창의 중심값(VS)과 측정된 상기 시계열 데이타의 극점(Zm)의 차(VS-Zm)에 비례하는 피드백제어량(C)으로 상태변수(x,y,z) 또는 시스템 파라미터(A,B,c,d)가 변화되도록 상기 추아회로를 피드백제어한다.
여기서, k는 비례상수이다.
이때, VS- VWZm VS+VW이면 일정의 D(피드백시간)동안 추아회로를 피드백제어한다(VW은 제어창의 폭).
위에서 VS, VW, k, D가 제어파라미터가 된다.
주지한 바와같이, 상기 제어파라미터의 값을 변화시킴으로써 상기 추아회로의 카오스운동을 주기운동으로 변경해 줄 수 있으며, 또 위의 제어 파라미터의 값을 천천이 연속적으로 변화시킴으로써 하나의 주기운동이외의 다른 운동으로 변경해 줄 수도 있다. 이는 제3도의 (b)에 도시된 제어바이퍼케이션으로부터 알 수 있다.
상기 제3도의 (b)에서, 가로축은 제어파라미터 k 이고, 세로축은 상태변수 z에 대한 극점의 분포를 나타내며, 상태변수(z)부터 시스템 파라미터 A에 대해 피드백제어를 하는 예이다. 즉 피드백제어량(C)이 '0'이 되는 'k=0'에서는 싱글 스크롤의 카오스특성을 보이지만, 상기 제어파라미터(k)를 주기로의 제어방향인 양(+)의 방향으로 증가시키면 주기운동으로 변동됨을 알 수 있다.
또한 주기방향으로 연속적으로 제어할 때 극점의 분포는 좁아지는 특성이 있음을 알 수 있다. 그러므로 피드백제어를 시작하기 위해서 OGY 피드백알고리즘방법과 같은 복잡한 사전 시스템분석은 필요없고, 선택된 제어파라미터(여기서는 k)를 피드백제어량이 '0'이 되는 'k=0'을 중심으로 양(+) 또는 음(-)의 방향으로 아주 작은 양만큼 변화시켜 피드백제어하고 극점의 분포특성으로부터 시스템응답을 분석해서 주기운동으로의 제어방향을 결정하게 된다.
즉, 상기 추아회로로 하여금 특정한 주기운동을 하게 하기 위해서는 결정된 주기운동으로의 제어방향을 참조하여 원하는 주기운동을 할 때까지 제어파라미터(k)의 값을 변화시키면 된다.
이후, 상기 비선형 동역학시스템(1)은 그대로 상기 추아회로를 예를 들어 설명하고, 상기 피드백 제어부(2)를 기 설명한 리턴맵 제어방법을 이용하여 설명하면, 상기 피드백 제어부(2)에서는 상기 비선형 동역학시스템(1)으로부터 출력되는 시계열 데이타로부터 국소적 극대점(local maximum states) Xn들을 모아서 리턴맵을 구성한다.
상기 리턴맵상에서 측정되는 데이타들이 Xn= Xn+m의 대각선과 만나는 지점은 UPO가 되고, 그 UPO 는 피드백 제어에 의해 안정화될 수 있다. 상기 리턴맵상에서 UPO 의 위치를 XF라고 하면 XF의 근방에서는 국소 선형 근사(local linear approximation)를 할 수 있으며, 다음의 식(5)로 표현된다.
여기서, Xn은 n 번째 국소 극대점이고, XF은 UPO의 위치이며, λ는 카오스 시스템의 운동특성을 나타내는 비례상수이다.
한편, 제어창의 폭을 XW라 할때, Xn이 제어창에 들어올 경우 UPO 를 안정화시키기 위해 다음 식(6)과 같은 피드백 섭동을 인가한다.
여기서, 상기 상수(k)는 다음 식(7)과 같이 표현된다.
상기 식(2)에 표현된 피드백 섭동은 소정의 섭동시간(kick time ; d) 동안에만 인가되는데, 그 섭동시간(d)은 특성상 카오스 시스템의 자연적 주기보다 작아야 한다.
여기서, 제어 파라메터는 UPO의 위치 XF, 제어창의 폭 XW, 비례상수 k, 섭동시간 d 등이 있다.
상기 제어 파라메터들은 주기로의 방향과 카오스로의 방향등 두가지 방향을 가지며, 이는 지준점 주위에서 약간의 테스트 피드백을 인가 봄으로써 쉽게 확인할 수 있다.
즉, 한쪽 방향으로 테스트 피드백을 인가할 때 시스템의 응답영역이 축소되면 주기로의 방향이며, 그 응답영역이 확대되면 카오스로의 방향이 된다.
또한, UPO는 상기 CB 루트내에 있으며, 피드백 섭동의 양이 최소가 되는 지점이라는 것을 알 수 있다. 그러므로, 주기로의 방향과 UPO의 대략적인 위치를 안다면 제어를 바로 시작할 수 있다.
상기 UPO의 적응 트래킹을 위해서는 먼저 리턴맵에서 제어창 내로 들어오는 데이타들의 실시간 평균 X*와 실시간 표준편차 δ*를 계산한다.
상기 UPO의 고정점 XF는 실시간 평균 X*를 따라 가도록 조절하고 상기 비례상수 k는 실시간 표준편차 δ*가 최소가 되도록 주기로의 방향을 따라서 조절한다. 이를 수식으로 표현하면 다음 식(8),(9)과 같다.
여기서, α, β는 임의의 조절상수이고, sgn(k(n))는 주기로의 방향을 나타낸다.
이와같은 리턴맵 피드백 제어 방법 및 적응 트래킹 방법을 좀더 상세히 설명하면 다음과 같다.
먼저, 주기 1의 UPO(이하, UPO1이라 칭함)의 대략적인 위치를 알아보기 위해 리턴맵을 구성하여 분석한 결과 XF1= 4.2 를 얻었다. 약간의 테스트 피드백 k1= -0.1 을 인가한 결과 시스템의 응답영역이 축소되는 것을 관찰되어 주기로의 방향이 음의 방향임을 얻었다.
이와같은 초기조건으로 부터 적응 트래킹을 적용함으로써 UPO1을 자동적으로 찾고 안정화시키는 것을 제5도에 도시하였다. 상기 UPO1의 위치 XF1가 연속적으로 조절되며 피드백 제어신호가 급격히 0으로 수렴됨을 보여준다. 적응 트래킹 결과 최종적으로 얻어진 UPO1의 제어조건은 XFO= 4.2385, kO= -0.2 이였다.
상기 리턴맵 제어의 제어 파라메터인 XF와 k를 XFO와 kO부근에서 변화시킬때 나타내는 CB 현상은 제6도에 도시된 바와같다. 제6도의 (a)는 k-모드 CB 로서 XF= XFO를 고정시키고, k를 0에서 -0.4까지 변화시킬때의 시스템 응답을 도시한 것이고, 제6도의 (b)는 XF-모드 CB 로서 k = kO를 고정시키고 XF를 4.2에서 4.6까지 변화시킬 때의 시스템 응답을 도시한 것이다.
이러한 CB 현상을 좀더 자세히 살펴보면, 피드백 제어에 있어서, 어떤 체계적인 구조가 있음을 알 수 있다.
제7도의 (a)는 (XF,k)의 제어 파라메터 평면에서 각 주기로의 갈래점(bifurcation point)들의 분포를 표시한 것이며, 제7도의 (b)는 각 갈래점들에서의 피드백 섭도의 평균값을 3차원적으로 나타낸 것이다.
상기 제7도에서 알 수 있는 사실은 UPO가 CB 루트의 한 가운데에 있으며, 피드백 섭동이 0으로 수렴하는 시점이라는 것이다. 상기 적응 트래킹 방법은 이러한 CB 루트를 따라 피드백 섭동이 최소가 되는 UPO를 자동적으로 찾아 가도록 하는 것이다.
상기 CB 현상에서 알 수 있는 또다른 사실은 UPO 이외의 많은 주기궤도들이 존재한다는 것인데, 이들은 피드백 제어에 의해 새롭게 생성된 유도주기 궤도(Driven Periodic Orbit ; 이하 DPO 라 약칭함)들이다.
상기 DPO 가 UPO와 다른 점은, 제8도에 도시된 바와같이, 원래의 어트랙트내에 내재되어 있던 주기궤도가 아니라, 원래의 어트랙터 외부에 새롭게 생성된 주기 궤도이고, DPO를 생성하기 위해서는 평균 0이 아닌 일정량만큼의 피드백 섭동을 가해주어야 한다는 점이다. 만일 UPO 이외의 약간 다른 주기 궤도로의 제어를 원하고, 약간의 시스템 변경을 허용한다면 UPO 주위에 많은 DPO 들로 제어하는 것도 좋은 방법이 된다.
한편, 제9도의 (a) 및 (b)에 도시된 바와같이, 상기 적응 트래킹 방법을 적용하여 시스템 파라메터가 천천히 변화하는 경우에도 피드백 제어를 유지할 수 있다. 제9도의 (a)는 주기 1의 UPO를 트래킹하는 것을 도시한 것이고, 제9도의 (b)는 주기 3의 UPO를 트래킹하는 것을 도시한 것이다.
이상에서는 상태변수 z로부터 리턴맵을 구성하고, 시스템 파라메터 A를 피드백 섭동하는 것을 제어조건으로 설명하였다.
이와같은 리턴맵 피드백 제어방법은 다른 제어입력과 다른 제어출력에 대해서도 적용할 수 있으며, 그 결과를 제10도에 도시하였다. 각각의 경우에 있어서, 제1차 갈래점의 k값은 적응 트래킹 제어 방법을 적용하여 구한 것이다.
제10도에서 알 수 있는 사실은 주기 1의 UPO를 안정화시키는 데 있어서, 여러가지 다른 제어 입력과 제어 출력을 사용할 수 있다는 것이며, 파라메터 섭동과 상태변수 섭동 방법이 같은 이론적 기초에서 가능하다는 것이다.
이상에서 상세히 설명한 바와같이, 본 발명에 의한 적응 트래킹을 이용한 카오스 시스템의 피드백 제어방법은 대략적인 UPO의 위치에 대한 정보와 주기로의 방향을 알고나면 적응 트래킹 방법을 적용하여 정확한 제어조건을 스스로 찾아내어 안정화시킬 수 있으므로서 카오스 시스템에 대한 많은 사전분석이 필요없이 용이하게 피드백 제어를 시작할 수 있는 효과가 있다.
그리고, 시스템이 약간 변화더라도 바로 적응 트래킹 제어를 통해 피드백 제어를 유지할 수 있으므로서 시스템 파라메터의 변화등 주변상황이 변하더라도 원하는 궤도로의 제어를 계속 유지할 수 있는 효과가 있다.
그리고, 제어목표가 바뀌는 경우, 예를들어 2주기로 제어하고 있다가 4주기로 제어를 바뀌고 싶은 경우 적응 트래킹을 이용하여 용이하게 제어 할 수 있는 효과가 있다.
그리고, UPO 로의 제어뿐만 아니라 카오스 어트랙터 주위의에 존재하는 많은 DPO들로 제어하는 체계적인 방법론을 제시해 주는 효과가 있다.
그리고, 특정한 시스템만 적용되는 것이 아니라 운동방정식이 알려지지 않고 분석이 어려운 임의의 실험적 시스템에도 적용할 수 있고, 하나의 시스템으로 주기로의 방향으로 제어, 카오스 방향으로의 제어가 모두 가능하므로 앞으로 카오스 현상으로 포함하는 동역학계를 체계적으로 제어할 수 있는 효과가 있다.

Claims (10)

  1. 카오스시스템의 시스템응답을 분석하고, 그 분석된 시스템응답에 따라 제어 파라미터의 값을 적응 트래킹하는 적응 트래킹과정과; 상기 적응 트래킹과정에서 적응 트래킹된 제어파라미터에 따라 카오스시스템의 시스템 파라미터 또는 상태변수를 변화시키기 위한 피드백제어를 수행하는 피드백제어과정으로 이루어진 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법.
  2. 제1항에 있어서, 상기 피드백 제어과정은 OPF 피드백 제어방법을 이용하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법.
  3. 제1항에 있어서, 상기 피드백 제어과정은 리턴맵 피드백 제어방법을 이용하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법.
  4. 제3항에 있어서, 상기 리턴맵 제어방법은 국소적 극대점들이 제어창 내로 들어오는 경우에만 리턴맵을 구성하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백제어방법.
  5. 제1항에 있어서, 상기 적응 트래킹과정은 어트랙터로부터 2차원적인 포앙카레단면을 구성하고, 그 구성된 포앙카레단면상에 나타나는 운동궤도의 갯수 및 분포를 파악해서 시스템응답을 분석하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백제어방법.
  6. 제1항에 있어서, 상기 적응 트래킹과정은 임의의 상태변수의 순간 최대값 또는 순간 최소값을 구하고 이 순간 최대값 또는 순간 최소값의 갯수와 분포를 분석해서 시스템응답을 분석하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법.
  7. 제1항에 있어서, 상기 적응 트래킹과정은 0인 제어파라미터의 값에서부터 제어파라미터의 값을 양 또는 음의 방향으로 약간씩 변화시키면서 시스템응답을 분석하여 어느 방향이 주기운동으로의 방향인지를 판별하고, 주기운동의 방향으로 제어파라미터를 천천히 변화시키면서 시스템응답을 극점의 분포를 통해 분석해서 적응 트래킹하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백제어방법.
  8. 제1항에 있어서, 상기 적응 트래킹과정은 주기궤도로의 제어시 피드백 제어에 의해 발생된 시계열 데이타를 분석하여 제어 파라메터에 대해 주기로의 방향을 구하고, 피드백 섭동의 평균 및 표준편차를 실시간으로 분석하여 이를 0으로 수렴하는 방향으로 제어 파라메터를 제어하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백제어방법.
  9. 제8항에 있어서, 상기 실시간으로 분석된 피드백 섭동의 평균을 따라가도록 불완전한 주기궤도의 고정점을 조절하고, 상기 실시간으로 분석된 피드백 섭동의 표준편차값이 최소화되도록 주기로의 방향으로 조절하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백 제어방법.
  10. 제8항에 있어서, 소정의 제어 파라메터에 대해 주기로의 방향을 구하는 방법은 피드백 섭동량이 0이 되는 기준점을 중심으로 두가지 방향으로 임의의 피드백을 인가하고, 시스템의 응답을 분석하여 시스템 응답영역이 축소되는 방향을 주기로의 방향으로 결정하는 것을 특징으로 하는 적응 트래킹을 이용한 카오스시스템의 피드백제어방법.
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