JPH11328431A - スケッチを基にした曲線の編集 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 電子文書における曲線又はブラシストローク
を編集する方法及び装置を提供する。 【解決手段】 本発明方法は、入力としてスケッチ曲線
を受取ることを包含している。該スケッチ曲線は第一修
正端点と第二修正端点とを有している。該既存曲線にお
ける第一ターゲット端点及び第二ターゲット端点を見つ
け出すことによって該既存の曲線のターゲットセクショ
ンを計算する。第一ターゲット端点は、第一修正端点に
最も近い既存の曲線上の点であり、且つ第二ターゲット
点は第二修正端点に最も近い既存曲線上の点である。該
ターゲットセクションは該既存の曲線から除去される。
置換曲線が作成され且つターゲットセクションの代わり
に既存の曲線内に挿入する。該既存の曲線及び置換曲線
はそれらの夫々の隣りの端点において整形される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、対話的コンピュー
タグラフィックシステムに関するものである。

【０００２】

【従来の技術】コンピュータグラフィックシステムにお
いては、曲線は、しばしば、グラフィックとして描画さ
れる。然しながら、曲線は、典型的に、例えばマウス又
はグラフィックタブレット等の入力装置を使用してフリ
ーハンドの所作で描画することは困難である。不所望の
凹凸及び平坦部分が発生することがしばしばである。

【０００３】アーチストがペン及び紙を使用して描画す
る場合には、アーチストは不所望の区域内に別の直線又
は曲線を描画し、不所望の部分をカバーすることによっ
て曲線を修正することが可能である。繰り返し直線及び
曲線を付加することは「スケッチング（ｓｋｅｔｃｈｉ
ｎｇ）」と呼称される場合がある。曲線が数学的な式に
よって表わされるコンピュータグラフィックシステムに
おいては、単一の所望の曲線の様相を得るために１つの
曲線の上に別の曲線を積層させることは望ましいことで
はない場合がある。

【０００４】従来のグラフィックシステムはある曲線編
集機能を提供している。１つのアプローチはその曲線を
再度描画することである。別のアプローチは、曲線を画
定する「コントロールハンドル」を操作することであ
る。これらアプローチは、両方とも、しばしば、時間が
かかり且つ不便なものである。

【０００５】コンピュータグラフィックシステムにおい
てブラシストローク即ち筆の一書きを編集する場合に同
様の問題が存在している。この場合にも、不所望な部分
の上に曲線又はブラシストロークのレイヤー（層）を付
加することは時間がかかり且つ最初に不所望な部分を発
生させたものと同一のエラーを発生させる蓋然性があ
る。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、以上の点に
鑑みなされたものであって、上述した如き従来技術の欠
点を解消し、電子文書における曲線又はブラシストロー
クを編集する方法及び装置を提供することを目的とす
る。

【０００７】

【課題を解決するための手段】一般的に、１つの側面に
おいては、本発明は、電子文書における曲線を編集する
方法及びその方法を実行する装置を特徴としている。本
方法は、ユーザから入力としてスケッチ曲線を受取り、
該スケッチ曲線は２つの端点を有しており、前記スケッ
チ曲線の端点のうちの各々に最も近い既存の曲線内の点
を見つけ出すことによって既存の曲線のターゲットセク
ションを識別し、該ターゲットセクションは見つけられ
た点の間の既存の曲線の部分であり、既存の曲線からタ
ーゲットセクションを除去し、既存の曲線内に２つの内
部端点を残し、置換曲線を形成し、該置換曲線は２つの
端点を有しており、ターゲットセクションの代わりに既
存の曲線内に置換曲線を挿入し、且つ既存の曲線と置換
曲線との間の各端点におけるギャップを閉じるためにそ
れらの夫々の隣りの端点において既存の曲線及び置換曲
線を整形することを包含している。

【０００８】本発明の効果としては、以下の特徴のうち
の１つ又はそれ以上を包含している。点と点との間の距
離はユークリッド距離によって測定される。既存の曲線
及び置換曲線を整形する場合に、置換曲線の各端点にお
いて置換曲線を短縮させ、各内部端点において既存の曲
線を短縮させ、且つ短縮させた置換曲線と短縮させた既
存の曲線とを連結させるためにスミ肉曲線（ｆｉｌｌｅ
ｔ ｃｕｒｖｅ）を形成することを包含している。既存
の曲線及び置換曲線の隣接する短縮された端部の各対の
各端部が同一の量だけ短縮される。短縮された端部の各
々は短縮された端部に隣接するギャップの寸法から計算
した量だけ短縮される。置換曲線はスケッチ曲線であ
る。置換曲線を作成する場合に、ターゲットセクション
を平滑化して置換曲線を形成する。ターゲットセクショ
ンを平滑化する場合に、ターゲットセクションを表わす
点の順番付けしたシーケンスを形成し、その点の順番付
けしたシーケンスの点を点の１つ又はそれ以上の隣接す
るセグメントへグループ化し、各セグメントの点を平滑
化して平滑化した点からなるセグメントを発生し、平滑
化した点の各セグメントに対して１つ又はそれ以上の数
学的曲線を当て嵌め、該１つ又はそれ以上の数学的曲線
は一体となって置換曲線を形成する。点の順番付けした
シーケンスを形成する場合に、点の順番付けしたシーケ
ンスにおける点と点との間の間隔距離が最大間隔を超え
ることがなく且つ点の順番付けしたシーケンスにおける
２つの相次ぐ点の間に形成される直線とターゲットセク
ションとの間の平坦性距離が平坦性許容値を超えること
がないように点を選択する。既存の曲線は包絡線を有す
るブラシストロークの軌跡曲線であり、且つ本方法は、
更に、編集した軌跡曲線及び既存のブラシストロークの
包絡線情報を使用して新たなブラシストロークに対する
新たな包絡線を計算する。

【０００９】一般的に、別の側面においては、本発明
は、対話的グラフィックシステムのユーザと対話する方
法及びその方法を実現する装置を特徴としている。本方
法は、ディスプレイ装置上に曲線を表示し、グラフィカ
ルユーザインターフェースを介してユーザの制御下にお
いて動作可能な平滑化ツールをユーザへ供給し、該曲線
の一部の選択を表わすために該曲線の一部の上に該平滑
化ツールを移動させるユーザからの所作を受取り、且つ
該曲線の選択された部分に対して平滑化フィルタを適用
することによって該曲線の選択された部分を平滑化させ
る、ことを包含している。

【００１０】本発明の効果としては以下の特徴のうちの
１つ又はそれ以上を包含している。本方法は曲線のサン
プルを選択し、選択したサンプルを別の曲線として平滑
化し、且つその平滑化したサンプルを該曲線内に再度当
て嵌めるために、グラフィカルユーザインターフェース
を介してユーザの制御下において動作可能な平滑化ツー
ルをユーザに対して提供する。

【００１１】一般的に、別の側面においては、本発明
は、グラフィックシステムにおいてブラシストロークを
編集する方法及びその方法を実現する装置を特徴として
いる。ブラシストロークは軌跡曲線と、包絡線曲線と、
包絡線情報とを有している。本方法は、スケッチを基に
した編集によってブラシストロークの軌跡曲線を編集
し、スケッチを基にした編集は入力としてスケッチ曲線
を受取り且つ該スケッチ曲線に基づいて軌跡曲線を修正
するものであり、且つ編集した軌跡曲線及び既存のブラ
シストロークの包絡線情報を使用して新たなブラシスト
ロークに対する新たな包絡線曲線を計算することを包含
している。

【００１２】本発明の効果としては以下の特徴のうちの
１つ又はそれ以上を有している。スケッチを基にした編
集は、スケッチ曲線を使用して軌跡曲線上のターゲット
セクションを識別し、尚ターゲットセクションの端点は
スケッチ曲線の端点に対して最も近い軌跡曲線上の点で
あり、ターゲットセクションを軌跡曲線内のスケッチ曲
線で置換させ、且つ前記軌跡曲線及びスケッチ曲線を互
いに整形して編集した軌跡曲線を作成することを包含し
ている。スケッチを基にした編集は、スケッチ曲線を受
取り、該スケッチ曲線を使用して軌跡曲線上のターゲッ
トセクションを識別し、該ターゲットセクションの端点
は該スケッチ曲線の端点に最も近い軌跡曲線上の点であ
り、該ターゲットセクションを平滑化し、該ターゲット
セクションを該軌跡曲線内の平滑化させたターゲットセ
クションで置換させ、且つ該軌跡曲線及び平滑化したタ
ーゲットセクションを互いに整形させて編集した軌跡曲
線を形成することを包含している。新たなブラシストロ
ークに対する新たな包絡線曲線を計算する場合に、元の
軌跡曲線からの包絡線情報を編集した軌跡曲線に対して
マッピングすることによって編集した軌跡曲線に対する
新たな包絡線情報を計算することを包含している。新た
なブラシストロークに対して新たな包絡線曲線を計算す
ることは、編集した軌跡曲線の円弧長及び既存のブラシ
ストロークの軌跡曲線の円弧長に基づいて既存のブラシ
ストロークの軌跡曲線の包絡線情報を線形補間すること
によって新たな包絡線情報を計算し、且つその新たな包
絡線情報を編集した軌跡曲線へ適用させることを包含し
ている。該包絡線情報はブラシ形状と、軌跡曲線に沿っ
ての対応する１つ又はそれ以上の位置においてブラシ形
状に対してなされるべき修正を画定する１個又はそれ以
上のアフィンマトリクスとを有している。アフィンマト
リクスは、ユーザによる入力装置の物理的操作に応答し
て入力装置から受取られるデータを使用して計算され
る。ユーザは入力装置から受取ったデータをアフィンマ
トリクスにおける値へ変換させるための変換パラメータ
を定義する。

【００１３】

【発明の実施の形態】ブラシストローク包絡線（Ｂｒｕ
ｓｈｓｔｒｏｋｅ Ｅｎｖｅｌｏｐｅ） ブラシ軌跡モデルにおいては、中央軌跡（即ち、複数個
の点からなるシーケンス）に沿ってブラシ（即ち、閉じ
た形状）をスイープ即ち掃引することによってストロー
ク（ｓｔｒｏｋｅ）が構成される。このようなストロー
クの形状は軌跡に沿ってのブラシの経路を取囲むエンベ
ロープ即ち包絡線として数学的に定義される。

【００１４】図１を参照すると、コンピュータシステム
１０は軌跡６０に沿っての任意のアフィン変換に従って
変化する多角形ブラシ１５に対する包絡線近似１７の個
別的な近似を計算するためのブラシストロークプロセス
１４を包含する汎用コンピュータ１１を有している。ブ
ラシストロークプロセス１４は、例えば、カリフォルニ
ア州サンノゼのアドビシステムズインコーポレイテッド
から入手可能なアドビイラストレーター（Ａｄｏｂｅ
Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｏｒ）（商標）等のペイントアプリ
ケーション１２の１つの特徴として実現することが可能
である。コンピュータシステム１０は、更に、コンピュ
ータ１１の出力を視覚的に表示するためのモニタ１８、
及び永続的にデータを格納するためのハードディスクド
ライブ２８を有している。入力装置は、キーボード２
０、マウス２２、スタイラス２６と結合された描画用タ
ブレット２４を有している。

【００１５】図２及び３を参照すると、ペイントアプリ
ケーション１２内において、ユーザがステップ４０ａに
おいてペイントすべきブラシ１５を選択する。ブラシ１
５はＪ個の点からなるシーケンスｂ_jを格納するデータ
構造であり、尚ｊ＝１，２，．．．，Ｊであり、且つｂ
₀は原点における点である。図３に示したように、ブラ
シ１５は五角形形状をしており、５個の点５２ａ−５２
ｅを有している。点５２ｆは原点に位置している。ユー
ザは例えばマウス２２又は描画用タブレット２４等の入
力装置を使用してブラシ１５で描画することが可能であ
る。以下の説明では、ユーザが描画用タブレット２４上
においてスタイラス２６を使用して描画を行うものと仮
定する。

【００１６】ユーザがステップ４０ｂにおいて描画用タ
ブレット２４上にスタイラス２６を押圧させると、それ
はユーザは新たなストロークの描画が開始せんとしてい
ることを表わし、ペイントアプリケーション１２はステ
ップ４０ｃにおいて軌跡６０をクリアする。ユーザがス
タイラス２６を描画用タブレット２４上に押し付けたま
まスタイラス２６を移動させると、描画用タブレット２
４は、周期的に、位置（即ち、ｘ及びｙ座標）、圧力
（即ち、どれほど強くユーザが描画用タブレット２４に
対してスタイラス２６を押圧させているか）、及び描画
用タブレット２４に関するスタイラス２６の傾斜及び方
位角角度のサンプルをペイントアプリケーション１２へ
送る。図４Ａに示したように、スタイラス２６の傾斜
（仰角とも呼称される）は描画用タブレット２４の面と
スタイラス２６との間の面外角度５４である。図４Ｂに
示したように、ライン２７は描画用タブレット２４上に
射影したスタイラス２６の「影」を表わしている。スタ
イラス２６の方位角角度は描画用タブレット２４の面に
垂直な面とライン２７との間の面内角度５６である。

【００１７】描画用タブレットの典型的なサンプリング
率は毎秒百回の範囲内である。１個のサンプルが取られ
る度に、サンプル情報（即ち、位置、圧力、傾斜及び方
位角）がペイントアプリケーション１２へ送られ、ペイ
ントアプリケーション１２はサンプル情報をブラシデー
タ構造１５へ適用されるべきアフィン変換を表わす軌跡
マトリクス内へ変換させる。ペイントアプリケーション
１２はステップ４０ｄにおいて軌跡マトリクスを軌跡６
０へアペンド即ち付属させ、軌跡マトリクスからなるシ
ーケンスを発生させる。ユーザがステップ４０ｅにおい
て描画用タブレット２４からスタイラス２６を解放させ
ると、ペイントアプリケーション１２はユーザがストロ
ークを描画することを停止したものと決定する。その結
果得られる軌跡６０は軌跡マトリクスｔ_kからなるシー
ケンスであり、ｋ＝１，２，．．，Ｋであり、尚Ｋは描
画用タブレット２４から得られたサンプルの数である。

【００１８】軌跡マトリクスｔ_kは水平及び垂直スケー
ルｓ_x及びｓ_y、水平及び垂直オフセットｔ_x及びｔ_y、及
び水平及び垂直回転ｒ_x及びｒ_yを有している。軌跡６０
に沿っての各点におけるブラシ１５の形状はｄ_k,j＝ｔ_k
＊ｂ_jとして定義され、尚＊はマトリクス乗算を意味し
ている。与えられたｋ及びｊ＝１，２，．．．，Ｊに対
して、点ｂ_k,jはｔ_kに対応する軌跡６０における点にお
いてのブラシ１５の寸法及び形状を画定する。換言する
と、ｂ_k,jはｔ_kによって定義されたアフィン変換をブラ
シ１５に対して適用した結果である。

【００１９】軌跡マトリクスは、多くの方法で描画タブ
レット２４によって与えられるサンプル情報から派生さ
せることが可能である。典型的に、軌跡マトリクスにお
けるｔ_x及びｔ_yはサンプル情報におけるｘ及びｙ座標の
夫々の値が割り当てられる。成分ｓ_x及びｓ_yは、夫々、
サンプル情報内に含まれる圧力情報に比例する値が割り
当てられ、実効的に、ユーザがスタイラス２６上の圧力
を変化させることによって軌跡６０によってのブラシ１
５の寸法を増加及び減少させることを可能とさせる。ｒ
_x及びｒ_yの値は、それぞれ、スタイラスの傾斜角度及び
方位角角度の関数とすることが可能であり、実効的に、
スタイラス２６の傾斜角度及び方位角角度を変化させる
ことによって軌跡６０に沿ってユーザがブラシ１５を回
転させることを可能としている。

【００２０】ペイントアプリケーション１２が軌跡６０
を発生することを終了した後に、ペイントアプリケーシ
ョン１１２はステップ４０ｆにおいてブラシストローク
プロセス１４を呼出し、軌跡６０に沿ってのブラシ１５
の包絡線近似１７を発生させる。ペイントアプリケーシ
ョン１２は包絡線近似１７の内側をカラー又はテクスチ
ャで充填させる。

【００２１】図５を参照すると、ブラシストロークプロ
セス１４がパス即ち経路７０としてグラフィック的に軌
跡６０を表わしている。軌跡６０は夫々グラフィック的
に点７２ａ，７２ｂ，７２ｃとして表わした３個の軌跡
マトリクスｔ₁，ｔ₂，ｔ₃を有している。点７２ａ−７
２ｃのｘｙ座標は、夫々、軌跡マトリクスｔ₁，ｔ₂，ｔ
₃のｔ_x及びｔ_y成分に対応している。ラインセグメント
７４ａ及び７４ｂは連続する点７２ａ−７２ｃを接続す
る。軌跡６０の軌跡マトリクスｔ₁，ｔ₂，ｔ₃によって
画定されるアフィン変換をブラシ１５へ適用する結果
は、グラフィック的にブラシインスタンス７６ａ−７６
ｃとして表わされる。包絡線近似１７を計算するために
ブラシストロークプロセス１４はパス７０又はブラシイ
ンスタンス７６ａ−７６ｃをレンダリングすることは必
要ではないが、パス７０及びブラシインスタンス７６ａ
−７６ｃは、ここにおいては、例示的な目的のために示
してある。

【００２２】図６を参照すると、ブラシストロークプロ
セス１４はステップ４０ｆにおいて以下の如くにして包
絡線近似１７を発生する。ブラシストロークプロセス１
４はパス７０の左側から最も遠いブラシインスタンス７
６ａ−７６ｃ上の点を見つけ出す。ステップ４２ａにお
いて可変の側部にＬＥＦＴの値が割り当てられ、ブラシ
ストロークプロセス１４がパス７０の左側を探すべきで
あることを表わす。ブラシストロークプロセス１４はス
テップ４２ｂにおいてインデックス用の変数ｋを１の値
へ初期化させる。ブラシストロークプロセス１４はステ
ップ４２ｃにおいて軌跡マトリクスｔ_k-1を表わす点を
軌跡マトリクスｔ_kを表わす点へ接続させるパス７０に
おけるラインセグメント及び軌跡マトリクスｔ_kを表わ
す点を軌跡マトリクスｔ_k+1を表わす点へ接続させるパ
ス７０におけるラインセグメントを識別する。図５の例
の場合には、ラインセグメント７４ａ及び７４ｂが識別
される。

【００２３】ブラシストロークプロセス１４はステップ
４２ｅにおいてｔ_k-1，ｔ_k，ｔ_k+1に対応する点を含む
ブラシインスタンスを識別する。図５の場合においはブ
ラシインスタンス７６ａ，７６ｂ，７６ｃが識別され
る。各識別されたラインセグメントに対して、ブラシス
トロークプロセス１４はステップ４２ｆにおいて可変の
側部の値によって表わされたラインセグメントの側部か
ら最も遠いラインセグメントを含むブラシインスタンス
の境界上の点を見つけ出す。図５においては、例えば、
点８０ａがラインセグメント７４ａの左側に対して最も
遠いブラシインスタンス７６ａにおける点であり、且つ
点８０ｂがラインセグメント７４ａの左側に対して最も
遠いブラシインスタンス７６ｂにおける点である。識別
されたラインセグメントの側部から最も遠いブラシイン
スタンス７６ａ−７６ｃの点を見つけ出すプロセスの詳
細については図７に示してある。包絡線発生プロセス４
０ｆはステップ４２ｇにおいて図９に関して更に詳細に
説明するようにステップ４２ｆにおいて識別された点を
接続させる。

【００２４】ステップ４２ｇにおいて点を接続した後
に、インデックス用変数ｋがＫ−１と等しくない場合に
は、ｋがステップ４２ｉにおいてインクリメントされ、
且つ制御がプロセス４２ｃ−４２ｇへ復帰され、それは
包絡線近似１７の１つの側部の残りを発生することを継
続して行うために繰り返し行われる。包絡線近似１７の
左側が発生された後に、可変側部はステップ４２ｋにお
いてＲＩＧＨＴの値が割り当てられ、且つ包絡線近似１
７の右側がプロセス４２ｂ−４２ｉに従って発生され
る。包絡線近似１７の左側がステップ４０ｆによって発
生された後に、ブラシストローク１４は復帰し、その点
において、ペイントアプリケーション１２は、例えば、
包絡線近似１７をカラー又はパターンで充填することが
可能である。図７を参照すると、ブラシストロークプロ
セス１４は、以下のようにして、特定したラインセグメ
ントの特定した側部から最も遠い１対の連続したブラシ
インスタンスにおける点を識別する。ブラシストローク
プロセス１４は、ステップ４４ａにおいて、ラインセグ
メントの特定された側部から第一ブラシインスタンスの
境界へ垂直のラインを描画する。図８に示したように、
ラインセグメント７８がラインセグメント７４ａの左側
に対して垂直に描画される。ブラシストロークプロセス
１４は、ステップ４４ｂにおいて、第一候補点として、
垂直のラインセグメント７８のうちの最も長いものへ接
続されている第一ブラシインスタンス上の点を選択す
る。図８に示したように、点８０ａと接触するラインセ
グメントがラインセグメント７８のうちの最も長いもの
であり、従って、点８０ａが第一候補点として選択され
る。

【００２５】ブラシストロークプロセス１４は、ステッ
プ４４ｃにおいて、第二のラインを描画し且つステップ
４４ｄにおいて上述したのと同一の態様で第二ブラシイ
ンスタンス上の第二候補点を選択する。ブラシストロー
クプロセス１４は、ステップ４４ｅにおいて、第一及び
第二候補点の間に新たなラインセグメントを描画し、且
つこの新たなラインセグメントを使用してプロセス４４
ａ−４４ｄを繰り返し行ってステップ４４ｆにおいて新
たな第一候補点と新たな第二候補点とを識別する。この
新たな第一候補点及び前の候補点がステップ４４ｇにお
いて比較される。新たな第一候補点が第一候補点と異な
っているか又は新たな第二候補点が第二候補点と異なっ
ている場合には、プロセス４２ｆがステップ４４ｉにお
いて該新たな第一候補点を第一候補点として且つ該新た
な第二候補点を第二候補点として割り当て、且つプロセ
ス４４ｅ−４４ｇが繰り返される。

【００２６】該新たな第一及び第二候補点が第一及び第
二候補点と同じである場合には、ブラシストロークプロ
セス１４はステップ４４ｈにおいて該第一及び第二候補
点をラインセグメントの指示された側部から最も遠い点
として識別する。図５に示したように、点８０ａ及び８
０ｂはラインセグメント７４ａの左側に対して最も遠い
ものとして識別され、且つ点８０ｂ及び８０ｃはライン
セグメント７４ｂの左側において最も遠いものとして識
別される。

【００２７】プロセス４４ｅ−４４ｉのシーケンスは自
然に終了することなしに繰り返す可能性がある。この可
能性を回避するために、ブラシストロークプロセス１４
は、それが所定の回数を超えて繰り返した後にループを
終了し且つ軌跡６０からラインセグメントの端点のうち
の１つを取り除くことが可能である。

【００２８】図９を参照すると、ブラシストロークプロ
セスは、ステップ４２ｇにおいて、ステップ４２ｆにお
いて識別された点を接続させて以下のようにして包絡線
近似の１つの側部を形成する。ｂ_k-1,w及びｂ_k,xが、夫
々、ライン（ｂ_k-1,w，ｂ_k,x）の左側において最も遠く
に存在しているｂ_k-1,j及びｂ_k,jの点であるとする。例
えば、図５に示したように、点ｂ_k-1,wが点８０ａであ
り且つ点ｂ_k,xが点８０ｂである。何故ならば、点８０
ａ及び８０ｂは、夫々、ラインセグメント７４ａの左側
において最も遠くに存在しているブラシインスタンス７
６ａ及び７６ｂの点だからである。同様に、点ｂ_k,yが
点８０ｂであり且つ点ｂ_k-1,zが点８０ｃである。何故
ならば、点８０ｂ及び８０ｃは、夫々、ラインセグメン
ト７４ｂの左側において最も遠くに存在しているブラシ
インスタンス７６ｂ及び７６ｃの点だからである。

【００２９】ステップ４６ａにおいて、点ｂ_k,xがｂ_k,y
と同じ点であると、ブラシストロークプロセス１４はス
テップ４６ｂにおいて点ｂ_k-1,wを点ｂ_k,xへ接続させ且
つステップ４６ｃにおいて、点ｂ_k,xを点ｂ_k-1,zへ接続
させる。図５は、ｂ_k,xがｂ_{k ,y}と同一の点である場合の
例であり、その結果ラインセグメント８２ａ及び８２ｂ
が得られる。

【００３０】ステップ４６ｄにおいて、点ｂ_k,xがｂ_k,y
と同一の点ではないが、ブラシインスタンス７６ａ，７
６ｂ，７６ｃが同様の相対的な配向状態を有している場
合には、ブラシストロークプロセス１４はステップ４６
ｅにおいて点ｂ_k-1,wを点ｂ_{k ,x}へ接続し、ステップ４６
ｆにおいて、点ｂ_k,x及びｂ_k,yの間の全ての点を接続
し、且つステップ４６ｇにおいて点ｂ_k,yを点ｂ_k+1,zへ
接続させる。図１０は点ｂ_k,xがｂ_k,yと同一の点ではな
いが、ブラシインスタンス８４ａ−８４ｃが同様な相対
的な配向状態を有している場合の例であって、その結果
ラインセグメント８６ａ−８６ｃが得られる。点ｂ，ｘ
とｂ_k,yとの間のブラシインスタンス８４ｂ上に付加的
な点が存在している場合には、これらの点は接続され
る。

【００３１】ブラシストロークプロセス１４は、以下の
条件、即ち、 ａｎｇｌｅ（ｂ_k,x−ｂ_k-1,w，ｂ_k+1,z−ｂ_k,y）＜０ （式１） の条件が満足される場合にのみ、３個のブラシインスタ
ンスがｔ_kにおいて同様の相対的な配向状態を有してい
るものとみなす。

【００３２】ベクトルａ及びｂの場合には、関数ａｎｇ
ｌｅ（ａ，ｂ）はａ及びｂとの間の符号付きａｎｇｌｅ
（角度）として定義される。

【００３３】 ａｎｇｌｅ（ａ，ｂ）ｓｉｇｎ（ｃｒｏｓｓ（ａ，ｂ））＊ａｃｏｓ（ｄ ｏｔ（ａ，ｂ）／（｜ａ｜｜ｂ｜）） （式２） 式２における関数ｃｒｏｓｓ（ａ，ｂ）は、ベクトルａ
及びｂのクロス積を計算する。式２における関数ｓｉｇ
ｎ（ｃｒｏｓｓ（ａ，ｂ））は、ａ及びｂのクロス積の
符号を計算し、その結果＋１又は−１のいずれかのスカ
ラー値となる。式２における関数ｄｏｔ（ａ，ｂ）は、
ベクトルａ及びｂの内積を計算し、それはスカラー値で
ある。式２における値｜ａ｜及び｜ｂ｜は、夫々、ベク
トルａ及びｂの大きさを表わす。式２における関数ａｃ
ｏｓは、その引き数のアークコサイン（逆余弦）を計算
する。式１の結果は、ベクトルａ及びｂの間の符号付き
角度を表わす符号付きスカラー値を発生させることであ
る。

【００３４】判定基準４６ａ又は４６ｄのいずれも満足
されない場合には、ブラシストロークプロセス１４はス
テップ４６ｈにおいて点ｂ_k-1,wを点ｂ_k,xへ接続し、ス
テップ４６ｉにおいて点ｂ_k,xを点ｂ_k,yへ接続し、且つ
ステップ４６ａにおいて点ｂ _k,yを点ｂ_k+1,zへ接続させ
る。図１１はこの場合を示している。ｂ_k,xとｂ_k,yとの
間のどの点も接続されることはない。何故ならば、それ
らは、包絡線の内側に存在しており、従って、余分なも
のだからである。点ｂ_k,x及びｂ_k,yはステップ４６ｋに
おいてブレーク点としてマーク付けされる。プロセス４
６ａ−２５８において点を接続させることによって形成
されるラインセグメントが、ステップ２６２において、
包絡線近似１７へ付加される。

【００３５】図１２を参照すると、図５に示したブラシ
１５及び軌跡６０に対応するその結果得られる包絡線近
似１７はラインセグメント８２ａ，８２ｂ，８２ｃ，８
２ｄを包含している。

【００３６】あるペイントアプリケーション１２は、包
絡線近似１７に対して曲線当て嵌め技術を適用し、包絡
線近似１７に対応する滑らかな曲線を発生させることが
可能である。好適な技術について図１４Ａ−１９に関連
して以下に説明する。このような場合には、ブラシスト
ロークプロセス１４は「ショートカット最適化」と呼称
されるプロセスを使用して包絡線近似１７の所定の距離
より小さな範囲内にある包絡線から点を削除することが
可能である。例えば、図１３Ａを参照すると、距離ｄ２
が所定のスレッシュホールドより小さい場合には、包絡
線近似１７から点ｂ_k,yが削除され、且つ距離ｄ１が所
定のスレッシュホールドより小さい場合には、包絡線近
似１７から点ｄ_k,xが削除される。包絡線近似１７から
１つの点が削除されると、その削除された点に先行する
点がその削除された点に続く点へ接続される。例えば、
点ｂ_k,yが包絡線近似１７から削除されると、点ｂ_k-1,w
が点ｂ_k,xへ接続される。点ｂ_k,y及びｂ_k,xの両方が包
絡線近似１７から削除されると、点ｂ_k-1,wが点ｂ_k+1,z
へ接続される。図１３Ｂに示したように、長い軌跡９０
は鋭利な角部９６を有している。軌跡９０に対応する包
絡線近似の２つの側部９２ａ−９２ｂのうちの１つは、
ショートカット最適化によって削除される可能性のある
ラインセグメント９４を包含している。

【００３７】ペイントアプリケーション１２が包絡線近
似１７に対して曲線当て嵌め技術を適用すると、ブラシ
ストロークプロセス１４は、その曲線当て嵌めプロセス
を助けるために、包絡線内の各ラインセグメントの勾配
を包絡線近似１７内に格納することが可能である。ショ
ートカット最適化が包絡線近似１７に対して上述した如
く適用されると、ショートカット最適化が行われた後に
勾配の格納が行われる。

【００３８】曲線平滑化 図１４Ａ乃至１４Ｃを参照すると、複数個の点からなる
オリジナルの開いたシーケンスに対する曲線平滑化の適
用が示されている。複数個の点からなるオリジナルのシ
ーケンスの１つの発生源は、上述した包絡線発生プロセ
スから与えることが可能である。図１４Ａにおいて、複
数個の点１００からなるオリジナルのシーケンスはユー
ザによる描画所作に応答して対話的グラフィックシステ
ムにおける入力として受取られた複数個の点からなる順
番付けされたシーケンスである。このオリジナルのシー
ケンス１００に対してノイズフィルタを適用し、高周波
数ノイズを除去し、複数個の点１０５からなるフィルタ
したシーケンスを発生させることが可能である。ノイズ
フィルタは高周波数変動（即ち、ノイズ）を除去し一方
より低い周波数の曲線特徴部を保存する。フィルタした
シーケンス１０５を１個又はそれ以上のセグメントへ分
割する。各フィルタした点において曲率を評価すること
によって、フィルタしたシーケンスにおいて角部の点が
見つけられる。図１４Ａにおいて、フィルタしたシーケ
ンス１０５において１個の角部の点１１０が存在してい
る。フィルタした点１１５からなる第一セグメントがシ
ーケンス１００の端点１２０から角部の点１１０へ延在
している。第二セグメント１２５は、角部の点１１０か
ら第二端点１３０へ延在している。この図において、シ
ーケンス１００及び１０５の点及び複数個の点からなる
その他のシーケンスの点はラインセグメントによって接
続して示してある。このことは、説明の便宜上のために
のみなされたものであり、ラインセグメントは複数個の
点からなるシーケンスの要素ではない。

【００３９】各セグメントを図１４Ｂに示したように平
滑化させる。フィルタした点１１５からなる第一セグメ
ントを平滑化して複数個の点１３５からなる第一平滑化
セグメントを発生させる。フィルタした点１２５からな
る第二セグメントを平滑化させて第二平滑化セグメント
１４０を発生させる。平滑化したセグメント１３５，１
４０はフィルタしたシーケンス１０５よりも一層滑らか
である。

【００４０】図１４Ｃに示したように、これらの平滑化
させたセグメントに対して曲線を当て嵌める。試行的曲
線を形成し且つその試行的曲線の該平滑化したセグメン
トに対する忠実性を評価する。その試行的曲線が平滑化
したセグメントに対して十分に忠実なものではない場合
には、その平滑化したセグメントを複数個のサブセグメ
ントへ分割し、且つ各サブセグメントに対して曲線当て
嵌めプロセスを繰り返し行う。従って、第一平滑化セグ
メント１３５をブレーク点１４７，１５２，１５７によ
って分離された４個の曲線１４５，１５０，１５５，１
６０へ分割する。第二平滑化セグメント１４０は第一平
滑化セグメント１３５よりも一層簡単であり、従って第
一曲線１６５が第二平滑化セグメント１４２に対して当
て嵌めることが可能である。曲線１４５，１５０，１５
５，１６０，１６５は、一体となって、複数個の点１０
０からなるオリジナルのシーケンスを表わす。

【００４１】図１４Ｄ，１４Ｅ，１４Ｆを参照すると、
複数個の点からなる閉じたシーケンスに対するプロセス
が示されている。全体的なプロセスは開いたシーケンス
のものと異なるものではない。平滑化の詳細は、以下に
説明するように、コーナー即ち角部がない閉じたシーケ
ンスに対して異なっている。図１４Ｄは複数個の点１７
０からなるオリジナルのシーケンス及びそのオリジナル
のシーケンス１７０に対してノイズフィルタを適用する
ことによって発生された複数個の点１７５からなるフィ
ルタしたシーケンスを示している。フィルタしたシーケ
ンス１７５において角部の点は存在していない。従っ
て、複数個の点からなる１個のセグメントが存在してい
る。該セグメントは複数個の点からなる閉じたシーケン
スである。説明の便宜上、オリジナルのシーケンス１７
０が開始する点１８０を該セグメントの第一端点及び第
二端点の両方として取扱う。図１４Ｅは複数個の点１７
５からなるフィルタしたシーケンス及び図１４Ｄに示し
た複数個の点１８０からなるセグメントを平滑化させる
ことによって発生された複数個の点１８５からなる平滑
化したセグメントを示している。図１４Ｆは端点１８０
を平滑化させることから派生されたブレーク点１９２及
びブレーク点１９４によって分離されている２個の曲線
１９０，１９５へ分割されている複数個の点１８５から
なる平滑化したセグメントを示している。これら２つの
曲線１９０，１９５は複数個の点１７０からなるオリジ
ナルのシーケンスの表現を形成している。

【００４２】図１５を参照すると、複数個の点からなる
シーケンスに対して曲線を当て嵌める方法２００は、複
数個の点２０２からなるオリジナルのシーケンスを受取
るシステムを包含している。複数個の点２０２からなる
オリジナルのシーケンスは複数個の点からなる順番付け
されているシーケンスである。該システムはユーザのフ
リーハンドの所作に応答してマウス又はグラフィクタブ
レット等のユーザ入力装置からの入力としてオリジナル
のシーケンスを受取ることが可能である。一方、複数個
の点２０２からなるオリジナルのシーケンスは、データ
ファイル、コンピュータソフトウエアアプリケーショ
ン、又は信号処理システム等の供給源から供給すること
が可能である。

【００４３】該システムは、オプションとして、複数個
の点２００からなるオリジナルのシーケンスに対してノ
イズフィルタを適用し、フィルタした複数個の点からな
るシーケンスを発生させる（それは、フィルタしたシー
ケンスとも呼称することが可能である）（ステップ２０
５）。ノイズフィルタ処理の１つの利点は、例えばスパ
イク等の複数個の点の間における大きな急激な孤立した
変動を取除くことである。これらの極端な変動は複数個
の点からなるオリジナルのシーケンスを入力する場合の
ユーザのエラーの結果であるか、又は崩壊したか又はノ
イズを有するデータである蓋然性が高く、従ってこれら
の点を曲線当て嵌めのために維持することは通常は望ま
しいことではない。

【００４４】適切且つ有益的なノイズフィルタの１つ
は、Ｇ． Ｔａｕｂｉｎ、Ｔ． Ｚｈａｎｇ、Ｇ． Ｇ
ｏｌｕｂ著「フィルタ設計としての最適な表面平滑化
（Ｏｐｔｉｏｎａｌ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｓｍｏｏｔｈｉ
ｎｇ ａｓ Ｆｉｌｔｅｒ Ｄｅｓｉｇｎ）」、テクニ
カルレポートＲＣ−２０４０４、ＩＢＭリサーチ、１９
９６年３月の文献において導入されているローパスλ−
μフィルタに基づくものであって、尚その文献は引用に
よって本明細書に取込む。このノイズフィルタの具体例
は、 ｆ^d（ｋ）＝（（１−λｋ）（１−μｋ））^d/2 によって与えられる伝達関数ｆ^d（ｋ）を有する次数ｄ
のλ−μフィルタとしてのものであり、周波数ｋ、０≦
ｋ≦２、０≦λ＜−μ、及びｄは偶数である。λ及びμ
は、 ｆ²（ｐ）＝１ ｆ²（２）＝ｈ がパスバンド周波数ｐ、０＜ｐ＜１及び高周波数許容値
ｈ、０≦ｈ≦１に対して成立するように定義される。パ
スバンド即ち通過帯域はｋ＝０からｋ＝ｐへ延在してお
り、尚ｆ^d（ｋ）≒１である。ｋがｋ≒ｐからｋ＝２へ
増加すると、ｆ^d（ｋ）は単調的にｈ^d/2へ減少する。従
って、次式が得られる。

【００４５】

【数１】 ｐ，ｈ，ｄに対する値は予測されたノイズスペクトルと
共に変化する場合がある。デジタル化マウス及びグラフ
ィックテーブルからの入力として受取った複数個の点か
らなるオリジナルシーケンスの場合には、ｐ≒１／１
０、ｈ≒＜１／１０及びｄ≒４は忠実性を殆ど失うこと
なしに良好な結果を発生する。

【００４６】ノイズフィルタ処理は、オリジナルのシー
ケンスに関し複数回のパスで実施される。オリジナルの
シーケンスはｎ個の点を有しており且つｓとして示さ
れ、且つ各点はｓ_iとして示され、尚ｉ＝１，．．．，
ｎ−１である。伝達関数ｆ^dｋの次数ｄに等しい回数の
パスが、以下の如くにして、ｊ＝１，．．．，ｄに対し
て実施される。

【００４７】ｓ_i ⁰＝ｓ_i ｓ_i ^j＝ｓ_i ^j-1−λ△ｓ_i ^j-1 尚、ｊは奇数、 ｓ_i ^j＝ｓ_i ^j-1−μ△ｓ_i ^j-1 尚、ｊは偶数。

【００４８】オリジナルのシーケンスｓの離散的ラプラ
シアン（ラプラス演算子）△ｓは以下の如くに定義され
る。

【００４９】△ｓ_i＝ｓ_i−（ｓ_i-1＋ｓ_i+1）／２ オリジナルのシーケンスｓが複数個の点からなる閉じた
シーケンスである場合には、インデックスｉ，ｊは上述
したノイズフィルタ処理用の式におけるインクリメント
され且つデクリメントされるモジュロｎである。オリジ
ナルのシーケンスｓが開いたシーケンスである場合に
は、 △ｓ_n-1＝０ △ｓ₀＝０ であり、従ってオリジナルのシーケンスの端点の位置は
不変のままである。

【００５０】本システムは、複数個の点からなるシーケ
ンス（上述した如くノイズに対してフィルタする場合も
しない場合もある）を１個又はそれ以上のセグメントへ
分割する（ステップ２１０）。そうするために、本シス
テムは複数個の点からなるシーケンスにおけるブレーク
点を見つけ出す。該シーケンスの各端点はブレーク点で
ある。角部の点もブレーク点である。

【００５１】角部の点は、高い推定曲率を有する複数個
の点からなるシーケンスにおける点である。図１６に示
したように、複数個の点からなるシーケンスにおいて角
部の点を見つけ出すための方法３００を実施する場合
に、システムが順番付けされているシーケンスにおける
点３０２に先行する点３０２のある距離内の点に対する
平均角度、及び順番付けされているシーケンスにおける
点３０２に続く同一の距離内の点に対する平均角度を計
算する（ステップ３０５）。一方、その距離は先行する
点及び後続する点に対して異なるものとすることが可能
である。複数個の点からなるグループに対する平均角度
は、オリジナルの点３０２を介しての基準ラインと相対
的な各点からの角度を平均化することによって計算され
る。点３０２に対する推定曲率は、これらの平均角度を
比較することによって計算される（ステップ３１０）。
本システムは、点３０２に対する推定曲率を曲率許容値
と比較する（ステップ３１５）。曲率許容値より大きい
か又はそれに等しい推定曲率を有する点は角部の点であ
る（ステップ３２０）。曲率許容値より小さな推定曲率
を有する点は角部の点ではない（ステップ３２５）。

【００５２】角部を見つけ出す１つの具体例は、Ｋ．
Ｉｔｏｈ及びＹ． Ｏｈｏ著「キャラクタフォントに対
する曲線当て嵌めアルゴリズム（Ａ Ｃｕｒｖｅ Ｆｉ
ｔｔｉｎｇ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｃｈａｒａ
ｃｔｅｒ Ｆｏｎｔｓ）」、エレクトロニックパブリシ
ング、６（３）：１９５−２０６、１９９３年９月の文
献における方法に基づくものであり、尚該文献は引用に
よって本明細書に取込む。この具体例においては、オリ
ジナルのシーケンスにおける各点ｓ_iにおける推定曲率
ｃ_i、−１≦ｃ_i≦１は次式のように定義される。

【００５３】ｃ_i＝（ａ_i・ｂ_i）／（｜ａ_i｜｜ｂ_i｜） 尚、ベクトルａ_i及びｂ_iは点ｓ_iとｓ_iの有界弦長内の先
行する点ｓ_x及び後続する点ｓ_yの間の正規化にしたベク
トル差の和である。点ｓ_iのオリジナルのシーケンスが
開いたシーケンスである場合には、ａ_i及びｂ_iは次式の
如くに定義される。

【００５４】

【数２】 尚、角部の弦長許容値ｌに対し、ｌ_x+1＞ｌ_i−ｌである
ように０≦ｘ＜ｉであり、且つｌ_y-1＜ｌ_i＋ｌであるよ
うにｉ＜ｙ≦ｌ−１である。各点ｓ_iに対する弦長ｌ_iは
次式の如くに定義される。

【００５５】ｌ_i＝ｌ_i-1＋｜ｓ_i−ｓ_i-1｜ ｌ₀＝０ オリジナルのシーケンスが閉じたシーケンスである場合
には、ａ_i及びｂ_iは同様の弦長有界インデックスｘ，ｙ
モジュロｎの範囲にわたる。

【００５６】従って、ｃ_i≧ｃである場合のオリジナル
の点ｓ_iは、角部角度許容値ｃに対して角部の点として
定義される。ｌ＞≒ｆ及びｃ≒ｃｏｓ（２π／３）の値
は、通常良好な結果を発生し、尚ｆは曲線の当て嵌めに
関して後に説明する忠実性許容値である。

【００５７】本システムは各セグメントを平滑化する
（ステップ２１５）。この平滑化技術は、そのセグメン
トが複数個の点からなる閉じたシーケンスであるか又は
開いたシーケンスであるかに依存して異なるものであ
る。セグメントを平滑化すると中程度又はより高い周波
数の曲率変動を取除き、一方低い周波数の変動を保存す
る。その結果得られる平滑化されたセグメントは１つ又
はそれ以上の曲線と効率的に当て嵌めることが可能であ
る。

【００５８】オリジナルのシーケンスが閉じたシーケン
スであり且つオリジナルのシーケンス内に角点が存在し
ない場合には閉じたシーケンスのセグメントが発生する
（図１４ｄ乃至１４ｆ参照）。

【００５９】図１７Ａを参照すると、複数個の点からな
る閉じたセグメントである（ステップ４０２）セグメン
トを平滑化する方法４００を実施する場合に、システム
が該セグメントの周波数−空間表現を計算する（ステッ
プ４０５）。この周波数−空間表現は、該セグメントの
離散的フーリエ変換を取ることによって計算される。本
システムは、該セグメントの周波数−空間表現を平滑化
する（ステップ４１０）。該周波数−空間表現は、該周
波数−空間表現に対してローパスフィルタを適用するこ
とによって平滑化される。本システムはその平滑化され
た周波数−空間表現を反転させる（ステップ４１５）。
その平滑化された周波数−空間表現はその平滑化された
周波数−空間表現の逆離散的フーリエ変換を取ることに
よって反転される。その反転され平滑化された周波数空
間表現は平滑化されたセグメント４２０である。

【００６０】図１７Ｂを参照すると、複数個の点４５２
からなる開いたセグメントであるセグメントを平滑化す
るための方法４５０を実施する場合に、システムがセグ
メント４５２から線形傾向を減算する（ステップ４５
５）。本システムは、減算したセグメントの周波数−空
間表現を計算する（ステップ４６０）。その周波数−空
間表現は、該セグメントの離散型正弦変換を取ることに
よって計算される。その減算されたセグメントの端点は
不変量として保持され、従って離散型正弦変換は所望の
結果を発生する。本システムは該減算したセグメントの
周波数−空間表現を平滑化する（ステップ４６５）。そ
の周波数−空間表現は、該周波数−空間表現に対してロ
ーパスフィルタを適用することによって平滑化される。
本システムは平滑化された周波数−空間表現を反転させ
る（ステップ４７５）。その平滑化された周波数−空間
表現は、その平滑化された周波数−空間表現の逆離散型
正弦変換を取ることによって反転される。本システムは
前に減算した線形傾向をその反転され平滑化された周波
数−空間表現へ加算して平滑化されたセグメント４８０
を形成する（ステップ４７５）。

【００６１】複数個の点からなるセグメントを平滑化さ
せる１つの具体例は、Ｊ． Ｏｌｉｅｎｓｉｓ著「収縮
のない局所的再現性のある平滑化（Ｌｏｃａｌ Ｒｅｐ
ｒｏｄｕｃｉｂｌｅ Ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ Ｗｉｔｈｏ
ｕｔ Ｓｈｒｉｎｋａｇｅ）、ＩＥＥＥ・トランズアク
ションズ・オブ・パターン・アナリシス・アンド・マシ
ンインテリジェンス、１５（３）：３０７−３２３、１
９９３年３月の文献に記載されている方法に基づくもの
であり、尚、該文献は引用によって本明細書に取込む。
更に、該平滑化技術は上述したＴａｕｂｉｎ著「フィル
タ設計としての最適な表面平滑化」の文献に提案されて
いる態様に拘束される。この具体例においては、セグメ
ントの全体的なスペクトルパワーの減少は平滑化許容値
Ｓによって拘束されており、尚Ｓは小さな数である。

【００６２】ｍ個の点からなる閉じたセグメントｔ_z、
ｚ＝０，．．．，ｍ−１の場合には、セグメントｔ_zの
離散型フーリエ変換を取ってそのセグメントの周波数−
空間表現ｔ_z＿を形成する。尚、英文字記号の後にアン
ダーラインの符号を付けたものはその英文字記号の上に
「山形記号」即ち「∧」（アクサンシルコンフレック
ス）を付けたものと同一である。周波数−空間表現ｔ_z
＿は以下の如くに定義される。

【００６３】

【数３】 この表現はセグメントｔ_zを上に定義したラプラス演算
子の固有ベクトルの線形結合で表現したものである。各
サンプルｔ_z＿に対し、ν_Zがこの分解においてｔ _z＿と
関連した固有ベクトルの対応する固有値であるとする。
ν_zは次式のように定義される。

【００６４】

【数４】 平滑化したセグメントｕ_Zの周波数−空間表現ｕ_z＿は以
下の如くにして平滑化フィルタを適用することによって
計算される。

【００６５】

【数５】 ローパス伝達関数ｇは以下のように定義される。

【００６６】 ｇ（ν）＝１ ν＜ν_wの場合 ｇ（ν）＝ｇ₀ ν＝ν_wの場合 ｇ（ν）＝０ ν＞ν_wの場合 但し、周波数０≦ν≦２であり、定数ｗ及びｇ₀は、１
≦ｗ≦ｍ−１及び０＜ｇ₀≦１であるように選択され
る。ｗ及びｇ₀の値は、ｇが平滑性許容値Ｓによってｔ_z
＿内に存在する全体的な非ＤＣ（即ち、非直流）スペク
トルパワーを減少させ、従って以下の式が成立するよう
に選択される。

【００６７】

【数６】 平滑化したセグメントの周波数−空間表現ｕ_z＿の逆離
散型フーリエ変換を取って平滑化したセグメントｕ_zを
形成する。

【００６８】ｍ個の、ｚ＝０．．．，ｍ−１からなる開
いたセグメントｔ_zの場合には、セグメントｔ_z内の線形
傾向を減算して以下の如くにして減算したセグメント
ｔ′_Zを形成する。

【００６９】

【数７】 減算したセグメントｔ′_Zの離散型正弦変換を取って減
算したセグメントの周波数−空間表現ｔ′_z＿を形成す
る。周波数−空間表現ｔ′_z＿は以下の如くに定義され
る。

【００７０】

【数８】 この表現はセグメントｔ′_zを上に定義したラプラス演
算子の固有ベクトルの線形結合によって表わしている。
各サンプルｔ′_z＿に対して、ν_zをこの分解における
ｔ′_z＿と関連する固有ベクトルの対応する固有値とす
る。ν_zは次の如くに定義される。

【００７１】ν_z＝１−ｃｏｓ（πｚ／（ｍ−１）） ν_m-1＝０ 平滑化したセグメントｕ′_zの周波数−空間表現ｕ′_z＿
は以下の如くにして平滑化フィルタを適用することによ
って計算される。

【００７２】

【数９】 ローパス伝達関数ｇは次のように定義される。

【００７３】 ｇ（ν）＝１ ν＜ν_wの場合 ｇ（ν）＝ｇ₀ ν＝ν_wの場合 ｇ（ν）＝０ ν＞ν_wの場合 但し、周波数０≦ν≦２であり、定数ｗ及びｇ₀は、１
≦ｗ≦ｍ−１及び０＜ｇ₀≦１であるように選択され
る。ｗ及びｇ₀の値は、ｇが平滑性許容値Ｓによって
ｔ′_z＿内に存在する全体的なスペクトルパワーを減少
させ、従って次式が成立するように選択される。

【００７４】

【数１０】 平滑化したセグメントｕ′_z＿の周波数−空間表現の逆
離散型正弦変換を取って減算したセグメントｕ′_zを形
成する。前に減算した線形傾向をｕ′_zへ加算して平滑
化したセグメントｕ_zを形成する。

【００７５】１つの具体例においては、Ｏ（ｎ ｌｏｇ
ｎ）高速フーリエ及び正弦変換アルゴリズムを利用す
るために、２の羃に等しい数の点を有するために充分な
数の隣接する点の間に線形補間によってセグメントをア
ップサンプルする。

【００７６】本システムは、１つ又はそれ以上の曲線を
各平滑化したセグメントに対して当て嵌める（図１５に
おけるステップ２２０）。図１８を参照すると、平滑化
したセグメント５０５に対する曲線を当て嵌める方法５
００において、システムが平滑化したセグメント５０５
に対する試行的曲線を計算する（ステップ５１０）。そ
の試行的曲線は複数個の点からなるシーケンスではなく
数学的に定義された直線である。１つの具体例において
は、該試行的曲線はパラメトリック曲線又はベジェ曲線
である。本システムは、平滑化したセグメント５０５に
対する該試行的曲線の忠実性基準を計算する（ステップ
５１５）。平滑化したセグメント内の全ての点に対し
て、忠実性許容値より小さいか又はそれに等しい距離内
にある試行的曲線上に１つの点が存在する場合には、そ
の忠実性基準が満足される。その忠実性基準が満足され
ると、その試行的曲線は平滑化したセグメント５０５に
対して充分な忠実性を有しており、且つ本システムはそ
の試行的曲線を平滑化したセグメント５０５を表現する
ものとして格納する（ステップ５２０）。その忠実性基
準が満足されない場合には、本システムは平滑化したセ
グメント５０５を２個又はそれ以上のサブセグメントへ
分割する（ステップ５２５）。次いで、本システムは各
サブセグメントに対して曲線当て嵌めプロセスを適用す
る（ステップ５３０）。

【００７７】図１９を参照すると、平滑化したセグメン
ト６１２上の点６１０及び試行的曲線６０５に対する忠
実性基準を計算するための方法６００において、システ
ムが試行的曲線６０５をサンプリングすることによって
複数個の試行的点からなるシーケンスを発生する。その
試行的曲線は、試行的曲線６０５に対する連続する点の
間の弦からの矢状距離が平坦性許容値を超えることがな
いように試行的曲線をサンプリングする。本システム
は、平滑化したセグメント６１２の第一端点（不図示）
からの点６１０の正規化した距離を見つけ出す。点６１
０の正規化した距離は平滑化したセグメントの端点と相
対的な平滑化したセグメント６１２上の点６１０の位
置、例えば１０％、５０％等を表わす。同様に、該試行
的曲線上の試行的点の正規化した距離は該試行的曲線上
のその試行的点の相対的位置を表わす。次いで、本シス
テムは、このような試行的な点が存在する場合には、試
行的曲線６０５の第一端点（不図示）からの同一の正規
化した距離である試行的な点を見つけ出す。このような
試行的な点が見つかると、その試行的な点から点６１０
への距離が忠実性許容値より小さいか又はそれに等しい
場合には、忠実性基準が満足される。このような試行的
な点が見つからない場合には、本システムは、夫々、平
滑化したセグメント６１２における点６１０の正規化し
た距離より小さく且つそれより大きな試行的曲線６０５
の第一端点からの正規化した距離である２つの連続した
試行的な点６２０，６２５を見つけ出す。例えば、点６
１０が５５％の正規化した距離を有している場合には
（点６１０がセグメント６１２の第一端点から第二端点
への距離の５５％であることを表わす）、本システムは
２個の試行的な点を探し出し、その場合に１つの試行的
な点は５５％未満の正規化した距離を有しており且つ１
つの試行的な点は５５％より大きな正規化した距離を有
している。本システムは２個の試行的な点６２０，６２
５の間の弦６３５を計算する。本システムは平滑化した
セグメント６１２における点６１０に最も近い弦６３５
上の弦点６４０を見つけ出す。別の具体例においては、
弦点６４０は平滑化したセグメント６１２における点６
１０の正規化した距離と同一の試行的曲線６０５の第一
端点からの正規化した距離である弦６３５上の点であ
る。以下のうちのいずれかが成立する場合に忠実性基準
が満足される。即ち、（１）平滑化したセグメント内の
点６１０から試行的な点６２０への距離が忠実性許容値
から小さいか又は等しい場合、（２）平滑化したセグメ
ントにおける点６１０から試行的な点６２５への距離が
忠実性許容値より小さいか又は等しい場合、（３）弦点
６４０からの距離が忠実性許容値の割合であって、平坦
性許容値に基づいている割合より小さいか又は等しい場
合である。

【００７８】曲線の当て嵌めの１つの具体例は、Ｔ．
Ｔｕｄｅｔ著「手でスケッチした圧力ブラシストローク
の実時間当て嵌め（Ｒｅａｌ Ｔｉｍｅ Ｆｉｔｔｉｎ
ｇｏｆ Ｈａｎｄ−Ｓｋｅｃｈｅｄ Ｐｒｅｓｓｕｒｅ
Ｂｒｕｓｈｓｔｒｏｋｅｓ）」、ユーログラフィック
スプロシーディングズ、１３（３）：２０５−２２０、
１９９４年の文献に記載されている方法に基づくもので
あり、尚該文献は引用によって本明細書に取込む。この
具体例においては、本システムが忠実性許容値ｆに対し
端点の弦長θ≒２ｆ内の平滑化したセグメント内におけ
る全ての点にわたり局所的二次補間を使用して平滑化し
たセグメントの端点における接線ベクトルの推定を計算
する。本システムは、正規化した弦長パラメータ化で最
小二乗法を使用して平滑化したセグメントに対して拘束
された端点及び接線を有する試行的な曲線としてベジェ
（Ｂｅｚｉｅｒ）セグメントを当て嵌める。接線連続性
拘束条件はＭ． Ｐｌａｓｓ及びＭ． Ｓｔｏｎｅ著
「部分的パラメトリック曲線での曲線の当て嵌め（Ｃｕ
ｒｖｅ−Ｆｉｔｔｉｎｇ ｗｉｔｈ Ｐｉｅｃｅｗｉｓ
ｅ Ｐｒａｍｅｔｒｉｃ Ｃｕｒｖｅｓ）」、グラフィ
ックスプロシーディングズ、アニュアル・コンフェレン
ス・シリーズ、１７（３）：２２９−２３９、１９８３
年７月の文献に記載されている方法を使用してｘ成分と
ｙ成分の両方を同時的に当て嵌めることによって取扱
う。

【００７９】この具体例においては、本システムは以下
の技術を使用して当て嵌めの忠実性を評価する。上述し
た如く、当て嵌めが充分に忠実なものでない場合には、
平滑化したセグメントを２つの部分へ細分化し且つ全体
的な平滑化したセグメントが満足のいくように当て嵌め
られるまで、両方のサブセグメントに関して該技術を反
復的に繰り返す。

【００８０】従って、γ個の点からなる平滑化したセグ
メントφ_ψ、ψ=0,...,γ-1が与えられ、且つ弦長θ_ψ及
び試行的な曲線b(T)が与えられると、全てのφ_ψに対し
て、忠実性許容値fに対し|φ_ψ-b(T_i）｜≦ｆであるよう
にＴ_i、０≦Ｔ_i≦１、が存在する場合には、その当て嵌
めは充分に忠実なものである。特に、このテストは以下
のようにして実現される。

【００８１】本システムは、平坦性εｆ、尚０＜ε＜
１、内における試行的曲線ｂ（Ｔ）の多角形近似を計算
する。該多角形近似は弦長Θ_ω、尚ω=0,...,α-1、を有
するα個の点Φ_ωから構成されている。平滑化したシーケンス
における各点φ_ψに対し、Φ_{ω ψ}は、

【数１１】 であるように多角形近似におけるユニークな点であり、
尚、Ω_ωψは点φ_ψに最も近いΦ_ωψ及びΦ_ωψ+1を介
してのライン上の点である。尚、本明細書において、キ゛リシャ文
字記号のキ゛リシャ文字の添え字が2個連続している添え字の
場合には、2番目の添え字が1番目の添え字の添え字であ
ることに注意すべきである。

【００８２】多角形近似及び三角不等式の定義により、
ｂ（Ｔ）は、平滑化したセグメントの全ての点φ_ψに対
し、以下の条件のうちのいずれかが成立する場合には、忠
実なものであり上述した忠実性基準を満足するものであ
る。

【００８３】

【数１２】 尚、Ω_ωψはΦ_ωψ及びΦ_ωψ+1の間の弦上に存在して
いる。

【００８４】Ｐｕｄｅｔによって記載されている終了テ
ストと同様に、この技術は、多角形近似の点Φ_ω及び平
滑化したセク゛メントの点φ_ψを並列的にトラハ゛ースし、どれかの
点φ _ψに対して忠実性基準が満足されない場合にはすぐ
さま停止することによってワンハ゜スで平滑化したセク゛メントに
おける全ての点φ_ψに対し効率的に実施することが可能
である。

【００８５】多角形近似の長さはεの平方根と逆に変化
する。εの値を減少させることによって、より長い多角
形近似を計算する付加された負担が、実際には試行的な
曲線が満足のいくものである場合に、その試行的曲線が
充分忠実なものではないと結論付けるより小さな蓋然性
と利益衡量される。その結果、一般的に所望の結果を発
生するためにはε≒１／１６の値が好適である。

【００８６】曲線の編集 図２０Ａ乃至２０Ｇを参照すると、コンピュータグラフ
ィックシステムにおいてスケッチを基にした編集の異な
る側面が示されている。スケッチを基にした編集の１つ
の技術は、曲線の一部を置換曲線で置換させることであ
る。別の技術はユーザの描画所作に応答して曲線の一部
を平滑化させる。３番目の技術はスケッチを基にした編
集をブラシストロークの編集へ適用する。曲線編集技術
について、コンピュータグラフィックシステム具体例に
関連して以下に説明するが、その場合に、ソフトウエア
とハードウエアとの結合によって、システムはユーザ入
力に応答して適宜の技術を実施する。１つの有益的な具
体例においては、コンピュータグラフィックシステムが
グラフィカルユーザインターフェース（ＧＵＩ）を提供
し、それはユーザによって選択され且つ適用される場合
に、曲線編集技術を実行することの可能な編集用のツー
ルを提供している。

【００８７】図２０Ａを参照すると、コンピュータシス
テム１０（図１）の具体例７００が示されている。シス
テム１０は、ディスプレイ１８を有しており、例えば描
画用タブレット２４及ぶスタイラス２６（図１）のよう
な入力装置でユーザによって入力された曲線７０８をレ
ンダリングさせる。システム７００はＧＵＩを介してユ
ーザによって選択可能な種々の編集用ツールを提供す
る。該ツールは曲線編集ツール及び曲線平滑化ツールを
包含している。これらのツールは、ブラシストローク編
集及びブラシストローク平滑化ツールを包含することが
可能であり、又曲線編集及び平滑化ツールはブラシスト
ロークへ適用させて以下に説明するブラシストローク用
の技術の結果を達成することが可能である。

【００８８】図２０Ｂを参照すると、曲線７１０が示さ
れている。曲線７１０（及び、図２０Ｃ乃至２０Ｇにお
ける図示）は図２０Ａに示した具体例７００のディスプ
レイ装置１８上に表示される。ユーザ、例えばアーチス
トが、曲線７１０の一部７１２を編集することを所望す
る場合がある。そのアーチストは曲線編集ツールを使用
してアーチストが変更することを望む曲線７１０の部分
７１２の近くにスケッチ曲線７１４を描画する。図２０
Ｃに示したように、以下に説明するシステムの動作によ
り、スケッチ曲線７１４が不所望の部分７１２を置換し
且つ新たな曲線７１６が得られる。

【００８９】図２０Ｄを参照すると、別の曲線７２０が
示されている。この場合にも、アーチストが曲線７２０
の一部７２５を変更することを望む場合がある。そのア
ーチストは平滑化ツールを使用して曲線７２０の不所望
の部分７２５近くにスケッチ曲線７３０を描画する。図
２０Ｅに示したように、曲線７２０の不所望の部分７２
５は平滑化され、その結果新たな曲線７３５が得られ、
それは、好適には、元の曲線７２０よりも一層滑らかな
ものである。

【００９０】図２０Ｆを参照すると、ブラシストローク
７４０が示されている。ブラシストローク７４０は軌跡
曲線７４５及び包絡線曲線７５０を有している。該軌跡
曲線はブラシストローク７４０がなぞった中心線を定義
している。包絡線曲線７５０は１個又はそれ以上の曲線
から構成されており且つユーザ入力装置からの種々の入
力パラメータによって修正されることのあるモデルブラ
シ形状から形成される。アーチストがブラシストローク
７４０の一部７５５を変更することを望む場合がある。
そのアーチストはブラシストローク７４０近くにブラシ
ストローク編集ツールでスケッチ曲線７６０を描画す
る。図２０Ｇに示したように、そのスケッチ曲線７６０
は、以下に説明するシステムの動作によって、軌跡曲線
７４５の一部７５５を置換する。本システムは、元のブ
ラシストローク７４０からの包絡線情報及び新たな軌跡
曲線７７０に基づいて新たな軌跡曲線７７０及び新たな
包絡線曲線７７５を使用して新たなブラシストローク７
６５を形成する。一方、軌跡曲線７４５の一部７５５
は、図２０Ｄ及び２０Ｅに関して上述した如く平滑化さ
せることが可能である。

【００９１】図２１に示したように、既存の曲線のスケ
ッチを基にした編集は６個の一般的なステップを有して
いる。手始めに、アーチストが観察するために表示され
た既存の曲線又はブラシストロークに関連してユーザの
対話が行われる（ステップ８００）。そのアーチストは
描画用の所作を行い、それは例えばマウス又はグラフィ
ックタブレット等のユーザ入力装置によって記録され
る。本コンピュータグラフィックシステムはこの所作を
解釈してスケッチ曲線を発生する（ステップ８０５）。
好適には、そのスケッチ曲線は、アーチストが所作を行
うに従ってシステム内に表示し、アーチストに対して動
的な視覚的フィードバックを与える。そのスケッチ曲線
は数学的な曲線、複数個の点からなる順番付けされた
組、又はアーチストの所作の内容を表わす何らかのその
他の形態として本システム内において表現することが可
能である。

【００９２】本システムは既存の曲線内のターゲットセ
クションを見つけ出す（ステップ８１０）。該スケッチ
曲線は２個の端点を有している。本システムは既存の曲
線上の２個のターゲット点を見つけ出す。該ターゲット
点は該スケッチ曲線の夫々の端点の各々に最も近い点で
ある。好適には、該ターゲット点はユークリッド距離に
おける修正端点に対して最も近い点である。該ターゲッ
ト点の間の既存の曲線のセクション（部分）はターゲッ
トセクションである。スケッチ曲線は、本システムがス
ケッチ曲線を使用する前にオプションとして編集するこ
とが可能である（例えば、端部からフックを取除くた
め）。アーチストが１個を超える既存の曲線の近くにス
ケッチ曲線を描画する場合には、本システムは、好適に
は、スケッチ曲線に最も近い曲線を既存の曲線として選
択する。一方、アーチストはシステムのユーザインター
フェースを介して既存の曲線を選択する場合がある。従
って、本システムは、スケッチ曲線により近いその他の
既存の曲線が存在する場合であっても、その選択された
曲線に対してターゲットセクションを決定する。

【００９３】本システムは、既存の曲線のターゲットセ
クションを除去する（ステップ８１５）。実際の具体例
においては、ディスプレイ又は既存の曲線情報を包含す
るいずれかのデータ構造から視覚的に除去又は削除する
ことが必要なものではない。該ターゲットセクション
は、本システムが既存の曲線のそのターゲットセクショ
ンが後のステップにおいて置換されるということを覚え
ているようにマーク付けされることが必要であるに過ぎ
ない。

【００９４】本システムは置換曲線を形成する（ステッ
プ８２０）。アーチストが曲線編集ツールを選択し且つ
使用する場合に、その置換曲線はターゲットセクション
の付加的な変更なしのスケッチ曲線である。一方、アー
チストが平滑化ツールを選択し且つ使用した場合には、
本システムはターゲットセクションを平滑化し且つその
結果平滑化されたターゲットセクションが置換曲線であ
る。

【００９５】ターゲットセクションを平滑化させるため
に多様な平滑化プロセスを使用することが可能である。
好適な平滑化技術のうちの１つの例は図１４Ａ−１９に
関連して上に説明している。然しながら、ターゲットセ
クションに対してフィルタを使用する等の別の平滑化技
術を使用することが可能である。

【００９６】好適な平滑化技術は複数個の点からなる順
番付けされているシーケンスを平滑化させ且つその平滑
化された複数個の点からなるシーケンスに対して曲線を
当て嵌める。本システムはターゲットセクションを表わ
すために複数個の点からなる順番付けされているシーケ
ンスを発生する。本システムは好適にはアンダーサンプ
リング及びオーバーサンプリングを回避する順番付けさ
れているシーケンスに対する多数の点を選択する。この
数を選択するために、本システムは候補数を選択する。
本システムは候補数と等しい数の点で複数個の点からな
る候補シーケンスを計算する。この候補シーケンスにお
ける点と点との間の間隔が最大間隔許容値を超える場合
には、その候補数は低過ぎ且つ本プロセスはより高い候
補数で繰り返す。その間隔が許容可能なものである場合
には、本システムは候補シーケンス内の連続する点の間
のラインを計算する。各ラインとそのラインを形成して
いる２つの点の間のターゲットセクションとの間の距離
が平坦性許容値を超える場合には、その候補数は低過ぎ
且つ本プロセスはより高い候補数で繰り返す。複数個の
点からなる順番付けされているシーケンスが形成される
と、本システムは上述した平滑化プロセスに従って平滑
化したターゲットセクションを形成する。

【００９７】本システムはターゲットセクションの代わ
りに既存の曲線内に置換曲線を挿入する（ステップ８２
５）。置換曲線はターゲットセクションを除去すること
によって形成された既存の曲線内の切除部内に正確に当
て嵌まるものでない場合があるので、置換曲線と既存の
曲線の端点の間にギャップが残存する場合がある。本シ
ステムは置換曲線の端点から既存の曲線上のターゲット
点への距離が最小であるように置換曲線を配置させる。
１つの具体例においては、該置換曲線は、該切除部に当
て嵌められる場合に回転させず、水平方向又は垂直方向
に変位させることが可能である。

【００９８】該ギャップは整形によって充填される（ス
テップ８３０）。本システムは置換曲線と既存の曲線と
を滑らかに連結させるためにスミ肉曲線を発生する。該
整形が完了すると、編集が完了する。１つの具体例にお
いては、Ｔ． Ｂａｕｄｅｌ著「フリーハンド描画用の
マークを基にした対話パラダイム（Ａ Ｍａｒｋ−ｂａ
ｓｅｄ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｐａｒａｄｉｇｍ
ｆｏｒ Ｆｒｅｅ−Ｈａｎｄ Ｄｒａｗｉｎｇ）」、プ
ロシーディングズ・オブ・ジ・ＡＣＭ・シンポジウム・
オン・ユーザ・インターフェース・ソフトウエア・アン
ド・テクノロジィ、マリナデルレイ、カリフォルニア、
ＡＣＭプレス、１９９４年１１月の文献に記載されてい
る方法を使用して発生される。

【００９９】図２２を参照すると、整形処理が示されて
いる。本システムがターゲットセクションを計算する
と、そのターゲットセクションに対する第一及び第二端
点９００，９０２が既存の曲線９０４上において見つけ
られる。既存の曲線９０４上のターゲット端点９００，
９０２と置換曲線９１０の挿入端点９０６，９０８との
間にギャップが存在している。本システムは既存の曲線
９０４と置換曲線９１０とを連結するスミ肉曲線９１
２，９１４を発生する。滑らかなスミ肉曲線を発生する
ために、本システムは既存の曲線９０４及び置換曲線９
１０から小さなセクションを除去し、ギャップを拡大さ
せる。本システムは既存の曲線９０４上の第一整形点９
１６を見つける。本システムは、置換曲線９１０上に第
二整形点９１８を見つける。第一及び第二整形点９１
６，９１８は、２個の端点９００，９０６の間の距離に
基づいて決定されるそれらの夫々の端点９００，９０６
からの距離である。本システムは、置換曲線９１０上の
第三の整形点９２０を見つけ出す。本システムは、既存
の曲線９０４上の第四の整形点９２２を見つけ出す。第
一及び第二整形点９１６，９１８と同様に、第三及び第
四整形点９２０，９２２及びそれらの夫々の端点９０
８，９０２の間の距離はこれらの端点９０８，９０２の
間の距離に基づいている。第一スミ肉曲線９１２が第一
整形点９１６及び第二整形点９１２を連結する。第二ス
ミ肉曲線９１４が第三整形点９２０及び第四整形点９２
２を連結する。各スミ肉曲線９１２，９１４は、好適に
は、各端点９１６，９１８，９２０，９２２において端
点接線連続性を有している。

【０１００】既存の曲線及び置換曲線を整形する上で拡
大処理が滑らかなスミ肉曲線を発生する。更に、ギャッ
プを拡大させることによって、フック９２４等の置換曲
線の端部における人工的な効果が除去される。フック９
２４は、例えばストロークの終りにスタイラスがグラフ
ィックタブレットから持ち上げられる場合等のアーチス
トによる意図しない所作によって発生される場合があ
る。

【０１０１】図２３を参照すると、既存のブラシストロ
ーク１０００のスケッチを基にした編集用の技術が示さ
れている。ブラシストロークを描画する技術を図１−１
３に関連して上に説明してある。ブラシストロークは軌
跡曲線と包絡線曲線とを有している。軌跡曲線はブラシ
ストロークの中心線を画定する。包絡線曲線は、包絡線
情報を軌跡曲線へ適用することによって形成される。包
絡線情報は包絡線パラメータの１個又はそれ以上のアフ
ィンマトリクスを有している。包絡線パラメータは、好
適には、ユーザ入力装置から受取ったデータから計算さ
れる。該データは入力装置の移動速度、入力装置へ付与
される圧力、入力装置の回転、入力装置の傾斜等の情報
を包含することが可能である。グラフィックシステムの
ユーザは包絡線パラメータ内へのデータの変換を制御す
るためにシステム内のパラメータを設定することが可能
である。各アフィンマトリクスは１個又はそれ以上の包
絡線パラメータを包含している。該包絡線パラメータは
ブラシストロークグラフィックにおいて現実的なブラシ
効果を形成するためにユーザによって選択されたブラシ
形状に対するモデルブラシ形状に適用される。該包絡線
パラメータはスケール、オフセット、回転等の情報を包
含している。

【０１０２】本システムは、スケッチ曲線を受取り（ス
テップ１００５）、且つ既存の軌跡曲線上にターゲット
セクションを見つけ出す（ステップ１０１０）。上述し
た如く、該ターゲットセクションは第一ターゲット端点
と第二ターゲット端点との間の既存の軌跡曲線のセクシ
ョンである。第一ターゲット端点は、スケッチ曲線の第
一端点に最も近い既存の軌跡曲線上の１つの点である。
第二ターゲット端点は、スケッチ曲線の第二端点に最も
近い既存の軌跡曲線上の点である。本システムは、既存
の軌跡曲線から該ターゲットセクションを除去し（ステ
ップ１０１５）、且つ置換曲線を形成する（ステップ１
０２０）。アーチストによる選択に依存して、該置換曲
線はスケッチ曲線であるか、又は上述した如くに平滑化
されたターゲットセクションとすることが可能である。
本システムは該置換曲線を該ターゲットセクションの代
わりに既存の軌跡曲線内に挿入する（ステップ１０２
５）。本システムは上述した如くに該置換曲線及び該既
存の軌跡曲線を整形する（ステップ１０３０）。整形が
完了した後に、該既存の軌跡曲線を編集して編集済の軌
跡曲線を形成する。一方、該編集済の軌跡曲線は、従来
技術において開示されているスケッチを基にした編集技
術を使用して形成することが可能である。

【０１０３】本システムは該包絡線曲線を編集して編集
済の軌跡曲線と対応させ、新たな包絡線を形成する。本
システムは、既存の軌跡曲線のターゲットセクションか
ら及び編集済の軌跡曲線からの円弧長を使用して既存の
アフィンマトリクスを線形補間することによって新たな
アフィンマトリクスを形成する（ステップ１０３５）。
編集済の軌跡曲線上の円弧長位置における新たなアフィ
ンマトリクスに対して、本システムは編集済の軌跡曲線
上の新たなアフィンマトリクスの円弧長位置に対応する
ターゲットセクション上のマトリクス位置を見つけ出
す。本システムは、対応する既存のアフィンマトリクス
を有するマトリクス位置に対して最も近い円弧長位置で
あり且つそのマトリクス位置の両側に存在している該タ
ーゲットセクション上の２個のターゲット円弧長位置を
見つけ出す。次いで、本システムは、新たなアフィンマ
トリクスを発生するために、該マトリクス位置に対して
これら２個のターゲット位置の相対的な距離に基づいて
これらのターゲット円弧長位置に対応する既存のアフィ
ンマトリクスを線形補間する。本システムは、ブラシス
トロークが最初にエンターされた場合に新たな包絡線曲
線がアーチストの当初の意図に従うものであることを確
保するために、必要に応じて、ユーザ入力装置から受取
ったデータからのデータを組込むことが可能である。

【０１０４】本システムは、アフィンブラシストローク
を描画する場合に上述した態様で編集済の軌跡曲線に対
して新たなアフィンマトリクスを適用することによって
新たな包絡線曲線を計算する（ステップ１０４０）。１
つの具体例では、全体的な編集済軌跡曲線に沿って新た
な包絡線を全体として計算する。別の具体例では、スケ
ッチ曲線に対応する包絡線の部分に対して新たな包絡線
を計算し、必要に応じて包絡線部分を平滑化する。新た
な包絡線を計算した後に、編集済のブラシストローク１
０４５が完成する。

【０１０５】本発明は、デジタル電子回路、又はコンピ
ュータハードウエア、ファームウエア、ソフトウエア、
又はそれらの組合わせで実現することが可能である。本
発明装置は、プログラム可能なプロセサによって実行す
るために機械読取可能な格納装置において格納されたコ
ンピュータプログラム製品の形態で実現することが可能
であり、且つ本発明の方法ステップは、入力データに関
して動作し且つ出力を発生することによって本発明の機
能を実施するための複数個の命令からなるプログラムを
実行するプログラム可能なプロセサによって実施するこ
とが可能である。本発明は、データ格納システムからデ
ータ及び命令を受取り且つデータ格納システムへデータ
及び命令を送るべく結合されている少なくとも１個のプ
ログラム可能なプロセサ、少なくとも１個の入力装置、
少なくとも１個の出力装置を包含するプログラム可能な
システム上で実行可能な１個又はそれ以上のコンピュー
タプログラムの形態で実現することが可能である。各コ
ンピュータプログラムは、ハイレベル手順又はオブジェ
クト指向型プログラミング言語で実現することが可能で
あり、又は、所望により、アッセンブリ言語又は機械言
語で実現することが可能であり、その言語はコンパイル
型又はインタプリタ型の言語とすることが可能である。
適宜のプロセサとしては、１例として、汎用及び特定目
的プロセサの両方を包含している。一般的に、プロセサ
はリードオンリメモリ及び／又はランダムアクセスメモ
リから命令及びデータを受取る。コンピュータプログラ
ム命令及びデータを格納するのに適した格納装置は、例
示として、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ等の半導体メモリ
装置や、フラッシュメモリ装置、内部ハードディスク及
び着脱自在なディスク等の磁気ディスク、ＭＯディス
ク、及びＣＤ−ＲＯＭディスク等を包含する全ての形態
の非揮発性メモリを包含している。前述したもののいず
れかを、ＡＳＩＣ（応用特定集積回路）によって補充す
るか、又はその中に組込むことが可能である。

【０１０６】ユーザとの対話を与えるために、本発明
は、ユーザに対して情報を表示するためのモニタ又はＬ
ＣＤスクリーン等の表示装置及びキーボード及びユーザ
がコンピュータシステムへ入力を供給することの可能な
マウス又はトラックボール等のポインティング装置を具
備するコンピュータシステム上で実現することが可能で
ある。該コンピュータシステムは、コンピュータプログ
ラムがユーザと対話するグラフィカルユーザインターフ
ェースを与えるためにプログラムすることが可能であ
る。ユーザはグラフィカルユーザインターフェースを介
して電子文書を操作し、その場合に電子文書はアプリケ
ーションプログラムによって作成されるか又は編集され
た作品を有しており、且つ、特に、ファイルシステム内
に保存される場合には、別個のファイルとして保存され
る独立した作品を包含している。

【０１０７】以上、本発明の具体的実施の態様について
詳細に説明したが、本発明は、これら具体例にのみ制限
されるべきものではなく、本発明の技術的範囲を逸脱す
ることなしに種々の変形が可能であることは勿論であ
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】 コンピュータ及びコンピュータ要素を示した
概略ブロック図。

【図２】 ユーザが描画したストロークから充填された
包絡線を発生する方法を示したフローチャート。

【図３】 多角形ブラシを示した概略図。

【図４Ａ】 描画用タブレット及びスタイラスを示した
概略側面図。

【図４Ｂ】 描画用タブレット及びスタイラスを示した
概略平面図。

【図５】 軌跡に対する多角形近似を示した概略図。

【図６】 ストロークの包絡線の離散型近似を発生する
方法を示したフローチャート。

【図７】 ラインセグメントの１つの側部から最も遠い
ブラシインスタンス上の点を識別するための方法を示し
たフローチャート。

【図８】 ラインセグメントからブラシインスタンスへ
描画されたラインの概略図。

【図９】 包絡線近似の１つの側部を形成するために複
数個の点を接続する方法を示したフローチャート。

【図１０】 軌跡に対する多角形近似を示した概略図。

【図１１】 軌跡に対する多角形近似を示した概略図。

【図１２】 包絡線近似の概略図。

【図１３Ａ】 ショートカット最適化に対して発生する
可能性のある包絡線近似を示した概略図。

【図１３Ｂ】 ショートカット最適化に対して発生する
可能性のある包絡線近似を示した概略図。

【図１４Ａ】 複数個の点からなる開いたシーケンスに
対して適用される曲線平滑化技術を示した概略図。

【図１４Ｂ】 複数個の点からなる開いたシーケンスに
対して適用される曲線平滑化技術を示した概略図。

【図１４Ｃ】 複数個の点からなる開いたシーケンスに
対して適用される曲線平滑化技術を示した概略図。

【図１４Ｄ】 複数個の点からなる閉じたシーケンスに
対して適用した曲線平滑化技術を示した概略図。

【図１４Ｅ】 複数個の点からなる閉じたシーケンスに
対して適用した曲線平滑化技術を示した概略図。

【図１４Ｆ】 複数個の点からなる閉じたシーケンスに
対して適用した曲線平滑化技術を示した概略図。

【図１５】 曲線平滑化技術を示したフローチャート。

【図１６】 角部の点を見つけ出すプロセスを示したフ
ローチャート。

【図１７Ａ】 複数個の点からなるオリジナルのシーケ
ンスが閉じたシーケンスである場合にセグメントを平滑
化するプロセスを示したフローチャート。

【図１７Ｂ】 複数個の点からなるオリジナルのシーケ
ンスが開いたシーケンスである場合にセグメントを平滑
化するプロセスを示したフローチャート。

【図１８】 平滑化したセグメントに対して曲線を当て
嵌めるためのプロセスを示したフローチャート。

【図１９】 １個の点に対する忠実性基準を計算する場
合を示した概略図。

【図２０Ａ】 図１のコンピュータシステムの具体例を
示した概略図。

【図２０Ｂ】 曲線を修正する状態を示した概略図。

【図２０Ｃ】 曲線を修正する状態を示した概略図。

【図２０Ｄ】 曲線を修正する状態を示した概略図。

【図２０Ｅ】 曲線を修正する状態を示した概略図。

【図２０Ｆ】 曲線を修正する状態を示した概略図。

【図２０Ｇ】 曲線を修正する状態を示した概略図。

【図２１】 曲線を編集する技術を示したフローチャー
ト。

【図２２】 既存の曲線と置換曲線との間の整形を示し
た概略図。

【図２３】 ブラシストロークを編集する技術を示した
フローチャート。

【符号の説明】

１０ コンピュータシステム １１ 汎用コンピュータ １２ ペイントアプリケーション １４ ブラシストロークプロセス １５ 多角形ブラシ １７ 包絡線近似 １８ モニタ ２０ キーボード ２２ マウス ２４ 描画用タブレット ２６ スタイラス ６０ 軌跡

Claims (23)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 電子文書内の曲線を編集するコンピュー
   タによって実行される方法において、 ユーザからの入力としてスケッチ曲線を受取り、前記ス
   ケッチ曲線は２つの端点を有しており、 前記スケッチ曲線の端点の各々に最も近い既存の曲線内
   の１つの点を見つけ出すことによって前記既存曲線のタ
   ーゲットセクションを識別し、前記ターゲットセクショ
   ンは見つかった点の間の既存の曲線の部分であり、 前記既存の曲線から前記ターゲットセクションを除去
   し、前記既存の曲線内に２つの内部端点を残し、 置換曲線を作成し、前記置換曲線は２つの端点を有して
   おり、 前記置換曲線を前記ターゲットセクションの代わりに前
   記既存の曲線内に挿入し、 前記既存の曲線と前記置換曲線との間の各端点における
   ギャップを閉じるためにそれらの夫々の隣りの端点にお
   いて前記既存の曲線と前記置換曲線とを整形する、こと
   を特徴とする方法。
2. 【請求項２】 請求項１において、前記点の間の距離を
   ユークリッド距離によって測定することを特徴とする方
   法。
3. 【請求項３】 請求項１において、前記既存の曲線及び
   前記置換曲線を整形する場合に、 前記置換曲線の各端点において前記置換曲線を短縮さ
   せ、 各内部端点において前記既存の曲線を短縮させ、 前記短縮させた置換曲線及び前記短縮させた既存の曲線
   を連結させるためにスミ肉曲線を形成する、ことを特徴
   とする方法。
4. 【請求項４】 請求項３において、前記既存の曲線及び
   前記置換曲線の隣接する短縮させた端部の各対の各端部
   が同一の量だけ短縮されることを特徴とする方法。
5. 【請求項５】 請求項３において、前記短縮させた端部
   の各々が前記短縮させた端部に隣接するギャップの寸法
   から計算した量だけ短縮されることを特徴とする方法。
6. 【請求項６】 請求項１において、前記置換曲線が前記
   スケッチ曲線であることを特徴とする方法。
7. 【請求項７】 請求項１において、前記置換曲線を形成
   する場合に、前記ターゲットセクションを平滑化して前
   記置換曲線を形成することを特徴とする方法。
8. 【請求項８】 請求項７において、前記ターゲットセク
   ションを平滑化する場合に、 前記ターゲットセクションを表わす点の順番付けしたシ
   ーケンスを形成し、 前記順番付けした点のシーケンスの点を１個又はそれ以
   上の隣接した点のセグメントへグループ化し、 前記各セグメントの点を平滑化して平滑した点のセグメ
   ントを発生し、 平滑した点の各セグメントに対して１個又はそれ以上の
   数学的曲線を当て嵌め、前記１つ又はそれ以上の数学的
   曲線が一体となって前記置換曲線を形成する、ことを特
   徴とする方法。
9. 【請求項９】 請求項８において、点の順番付けしたシ
   ーケンスを形成する場合に、 前記点の順番付けしたシーケンスにおける点の間の間隔
   距離が最大間隔を超えることがなく、且つ前記点の順番
   付けしたシーケンスにおける２つの連続した点の間に形
   成される直線と前記ターゲットセクションとの間の平坦
   性距離が平坦性許容値を超えることがない、ように点を
   選択することを特徴とする方法。
10. 【請求項１０】 請求項１において、前記既存の曲線が
    包絡線を持ったブラシストロークの軌跡曲線であり、本
    方法が、更に、既存のブラシストロークの包絡線情報と
    編集した軌跡曲線を使用して新たなブラシストロークに
    対する新たな包絡線を計算することを特徴とする方法。
11. 【請求項１１】 対話的グラッフィクシステムのユーザ
    と対話を行う方法において、 ディスプレイ装置上に曲線を表示し、 グラフィカルユーザインターフェースを介してユーザの
    制御の下で動作可能な平滑化ツールをユーザに供給し、 前記曲線の一部の選択を表示するために前記曲線の一部
    の上で前記平滑化ツールを移動させるユーザからの所作
    を受取り、 前記曲線の選択された部分に対して平滑化フィルタを適
    用することによって前記曲線の選択された部分を平滑化
    させる、ことを特徴とする方法。
12. 【請求項１２】 請求項１１において、更に、前記曲線
    のサンプルを選択し、前記選択したサンプルを別個の曲
    線として平滑化し、且つ前記平滑化したサンプルを前記
    曲線へ再度当て嵌めるためにグラフィカルユーザインタ
    ーフェースを介してユーザの制御下で動作可能な平滑化
    ツールをユーザに対して与えることを特徴とする方法。
13. 【請求項１３】 ブラシストロークが軌跡曲線と、包絡
    線曲線と、包絡線情報とを有しているグラフィックシス
    テムにおけるブラシストロークを編集する方法におい
    て、 スケッチを基にした編集によってブラシストロークの軌
    跡曲線を編集し、スケッチを基にした編集は入力として
    スケッチ曲線を受取り且つ前記スケッチ曲線に基づいて
    前記軌跡曲線を修正するものであり、 既存のブラシストロークの包絡線情報及び編集した軌跡
    曲線を使用して新たなブラシストロークに対する新たな
    包絡線曲線を計算する、ことを特徴とする方法。
14. 【請求項１４】 請求項１３において、スケッチを基に
    した編集を行う場合に、 前記軌跡曲線上のターゲットセクションを識別するため
    に前記スケッチ曲線を使用し、前記ターゲットセクショ
    ンの端点は前記スケッチ曲線の端点に最も近い前記軌跡
    曲線上の点であり、 前記ターゲットセクションを前記軌跡曲線上の前記スケ
    ッチ曲線と置換し、 編集した軌跡曲線を作成するために前記軌跡曲線及び前
    記スケッチ曲線を互いに整形させる、ことを特徴とする
    方法。
15. 【請求項１５】 請求項１３において、スケッチを基に
    した編集を行う場合に、 前記スケッチ曲線を使用して前記軌跡曲線上のターゲッ
    トセクションを識別し、その場合に、前記ターゲットセ
    クションの端点は前記スケッチ曲線の端点に最も近い前
    記軌跡曲線上の点であり、 前記ターゲットセクションを平滑化し、 前記ターゲットセクションを前記軌跡曲線における平滑
    化したターゲットセクションと置換し、 編集した軌跡曲線を作成するために前記軌跡曲線及び平
    滑化したターゲットセクションを互いに整形させる、こ
    とを特徴とする方法。
16. 【請求項１６】 請求項１３において、新たなブラシス
    トロークに対する新たな包絡線曲線を計算する場合に、 元の軌跡曲線からの包絡線情報を編集した軌跡曲線へマ
    ッピングすることによって編集した軌跡曲線に対する新
    たな包絡線情報を計算する、ことを特徴とする方法。
17. 【請求項１７】 請求項１３において、新たなブラシス
    トロークに対する新たな包絡線曲線を計算する場合に、 既存のブラシストロークの軌跡曲線の円弧長及び編集し
    た軌跡曲線の円弧長に基づいて既存のブラシストローク
    の軌跡曲線の包絡線情報を線形補間することによって新
    たな包絡線情報を計算し、 前記新たな包絡線情報を編集した軌跡曲線へ適用する、
    ことを特徴とする方法。
18. 【請求項１８】 請求項１３において、包絡線情報が、 ブラシ形状、 軌跡曲線に沿っての対応する１つ又はそれ以上の位置に
    おいてブラシ形状に対してなされるべき修正を画定する
    １つ又はそれ以上のアフィンマトリクス、を有している
    ことを特徴とする方法。
19. 【請求項１９】 請求項１８において、前記アフィンマ
    トリクスが、ユーザによって入力装置の物理的操作に応
    答して入力装置から受取られるデータを使用して計算さ
    れることを特徴とする方法。
20. 【請求項２０】 請求項１９において、ユーザが入力装
    置から受取ったデータをアフィンマトリクスにおける値
    へ変換させるための変換パラメータを定義することを特
    徴とする方法。
21. 【請求項２１】 コンピュータプログラムアプリケーシ
    ョンにおけるグラフィックを編集するユーザと対話する
    プログラム命令を格納しているコンピュータによって読
    取可能な格納媒体を有する装置において、前記装置は、
    プログラム可能なプロセサをして、 ユーザからの入力としてスケッチ曲線を受取らせ、前記
    スケッチ曲線は２つの端点を有しており、 前記スケッチ曲線の端点の各々に最も近い既存の曲線内
    の１つの点を見つけ出すことによって前記既存の曲線の
    ターゲットセクションを識別させ、前記ターゲットセク
    ションは見つけられた点の間の前記既存の曲線の部分で
    あり、 前記既存の曲線から前記ターゲットセクションを除去
    し、前記既存の曲線内に２つの内部端点を残存させ、 置換曲線を形成させ、前記置換曲線は２つの端点を有し
    ており、 前記ターゲットセクションの代わりに前記置換曲線を前
    記既存の曲線内に挿入させ、 前記既存の曲線と前記置換曲線との間の各端点における
    ギャップを閉じるために整形させることによってそれら
    の夫々の隣りの端点において前記既存の曲線と前記置換
    曲線とを連結させる、ために動作可能な命令を有してい
    ることを特徴とする装置。
22. 【請求項２２】 コンピュータによって読取可能な媒体
    上に格納されているコンピュータプログラムにおいて、
    コンピュータをして、 グラフィカルユーザインターフェースを介してユーザの
    制御下において動作可能な平滑化ツールをユーザへ供給
    し、 曲線の一部の選択を表わすために前記曲線の一部の上で
    前記平滑化ツールを移動させるユーザから所作を受取
    り、 前記曲線の選択した部分に対して平滑化フィルタを適用
    することによって前記曲線の選択した部分を平滑化させ
    る、命令を有していることを特徴とするコンピュータプ
    ログラム。
23. 【請求項２３】 ブラシストロークが軌跡曲線と、包絡
    線曲線と、包絡線情報とを有しているグラフィックシス
    テムにおけるブラシストロークを編集するシステムにお
    いて、 スケッチを基にした編集によってブラシストロークの軌
    跡曲線を編集する手段が設けられており、スケッチを基
    にした編集は入力としてスケッチ曲線を受取り且つ前記
    スケッチ曲線に基づいて軌跡曲線を修正するものであっ
    て、 編集した軌跡曲線及び既存のブラシストロークの包絡線
    情報を使用して新たなブラシストロークに対する新たな
    包絡線曲線を計算する手段が設けられている、ことを特
    徴とするシステム。