JPH11120348A

JPH11120348A - 曲線平滑化

Info

Publication number: JPH11120348A
Application number: JP10179160A
Authority: JP
Inventors: Naresh C Gupta; シー．グプタナレッシュ
Original assignee: Adobe Systems Inc
Current assignee: Adobe Inc
Priority date: 1997-06-25
Filing date: 1998-06-25
Publication date: 1999-04-30
Anticipated expiration: 2018-06-25
Also published as: EP0887773A2; CA2236967A1; US6100904A; EP0887773A3; JP4308343B2

Abstract

(57)【要約】【課題】形状及び半径などの特性に影響を与えること
なしに描画した曲線を平滑化した曲線へ変換させる装置
及び方法を提供する。【解決手段】本発明によれば、描画した曲線の端点間
に当て嵌められる変換した曲線に対する平滑化関数を解
くことによってノイズを有する描画したマルチセグメン
トからなる曲線から平滑化した曲線が得られる。変換し
た曲線は変換した曲線の長さに関係するエネルギ値を有
している。そのエネルギ値は二つの成分、即ち歪み係数
と平滑化係数とを有している。数値解析方法が適用され
て平滑化関数を評価し且つ最も低いエネルギを有する変
換された曲線を識別する。最も低いエネルギ値を有する
変換された曲線が平滑化された曲線として選択される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、曲線を平滑化させ
る装置及び方法に関するものであって、更に詳細には、
マルチセグメント即ち複数個のセグメントからなる曲線
を平滑化させる装置及び方法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】重要な種別のコンピュータプログラムと
しては、コンピュータ補助設計（ＣＡＤ）ツール及びグ
ラフィックイラストレーションソフトウエアがある。Ｃ
ＡＤレイアウト又はグラフィックデザインソフトウエア
を使用して描画を作成するためには、ユーザは、典型的
に、モニタ又はその他の適宜の表示装置上に該ソフトウ
エアによって表示された状態で、一つ又はそれ以上のオ
ブジェクトを選択し且つ各オブジェクトを描画用紙上に
配置させる。ユーザは、更に、これらのオブジェクトを
編集及び操作して所望の様相を得ることが可能である。
アプリケーションソフトウエアは、通常、ユーザが選択
し且つ操作してデザインするために、一般的な記号又は
例えば正方形、矩形、円、楕円などのオブジェクトを供
給する。更に、該ソフトウエアは、典型的に、ユーザが
デジタル描画上で直線及び曲線セグメントを描画するこ
とを助けるためのツールを提供する。

【０００３】曲線を配置させ且つ編集するプロセスは、
通常、試行錯誤のプロセスであり、ユーザは、通常、コ
ンピュータ上で複数個の転換点又はセグメントを有する
一つの連続した曲線を描画することは不可能である。こ
の様な試みは、通常、各々が開始点と終了点とによって
画定される一連のギザギザの曲線として構成されるノイ
ズを有する曲線セグメントを発生することとなる。視覚
的に好ましいものでないことに加えて、一連のギザギザ
の曲線を編集し、表示し且つ保存することは極めて複雑
なものとなる場合がある。従って、視覚的様相及び操作
上の簡単化のために、この様なノイズを有する曲線を平
滑化させた曲線で置換させることが望ましい。

【０００４】曲線セグメントの特性付けを行うために
は、隣接する描画したセグメントの間のコーナー即ち角
部をギザギザのノイズを有する曲線から識別することが
必要である。ノイズ許容性があり且つコーナーの良好な
局所化を与える端点を決定する正確且つ迅速な方法が本
願出願人が所有している同時係属中の米国特許出願第０
８／８８２，６９５号「曲線セグメントのコーナーの特
性付け（ＣＨＡＲＡＣＴＥＲＩＺＡＴＩＯＮＯＦＣ
ＯＲＮＥＲＳＯＦＣＵＲＶＩＬＩＮＥＡＲＳＥＧＭ
ＥＮＴ）」に記載されており、尚、上記米国特許出願を
引用によって本明細書に取込む。

【０００５】開始点と終了点とが識別されると、その曲
線を平滑化させることが可能である。従来のプロセスは
曲線上の隣接する点を平滑化するものである。この様な
平滑化は、曲線セグメントのギザギザの性質を減少させ
る。しかしながら、この様な平均化は、通常、曲線を平
坦化させ且つ意図した曲線の全体的な形状を変化させる
場合がある。更に、平均化は、実際の曲線の半径を小さ
くさせる場合があり、曲線の不適切な特性付けとなるこ
とがある。従って、形状及び半径を包含するその特性に
影響を与えることなしに、ノイズを有する描画した曲線
を平滑化させることが望ましい。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、以上の点に
鑑みなされたものであって、上述した如き従来技術の欠
点を解消し、ノイズを有する描画した曲線の特性を変え
ることなしに平滑化させることを可能とする装置及び方
法を提供することを目的とする。

【０００７】

【課題を解決するための手段】一般的に、本発明は、不
正確に描画した曲線の曲率を平滑化させるコンピュータ
によって実行される方法を提供している。本発明によれ
ば、変換させた曲線を定義する平滑化関数を解くことに
よってノイズを有する描画したマルチセグメント即ち複
数個のセグメントからなる曲線から平滑化させた曲線が
発生される。各変換させた曲線はとりわけその長さに関
係したエネルギ値を有している。平滑化関数のエネルギ
を最小とさせる変換曲線が平滑化させた曲線として選択
される。エネルギ値Ｅは多数の係数からなる複合体であ
り、それは次式の如くに表現される。

【０００８】Ｅ＝Ｄ＋λ²×Ｓ尚、Ｄは歪み係数を表わしており、λは平滑性パラメー
タであり且つλの値が大きいことは平滑性がより大きい
ことを表わしており、且つＳは平滑性関数である。

【０００９】ある曲線の特性を得るために、付加的な係
数又は拘束条件を課すことが可能である。この様な拘束
条件の一つは、描画した曲線からの変換した曲線の平均
逸れがゼロであるようなものとすることが可能である。
このことは、次式の如くに表わすことが可能である。

【００１０】Σ（Ｘ_i−ｘ_i）＝０ Σ（Ｙ_i−ｙ_i）＝０歪み係数は、描画した曲線と変換した曲線の上の点の間
の関係を考慮に入れる。平滑化係数Ｓは曲線に対して平
滑性を課す。一実施例では曲線の長さの大きさを最小と
させる。平滑化パラメータλは、大きな値がより大きな
平滑性を与えるように平滑可能レベルを制御する。この
様に、平滑化関数Ｅは変換させた曲線を最小エネルギで
識別する。

【００１１】平滑化関数を評価するため及び変換した曲
線を描画した曲線の端点間に当て嵌まる最小エネルギで
識別するために数値的な方法が適用される。最も低いエ
ネルギ値Ｅを有する変換した曲線が平滑化した曲線とし
て選択される。

【００１２】本発明は以下に記載するような特徴の一つ
又はそれ以上を有している。本発明は、意図した曲線の
全体的な形状に影響を与えることなしに曲線の平滑化を
行う。更に、本発明は、実際の曲線の半径を縮小するこ
となしに曲線の平滑化を行う。

【００１３】

【発明の実施の形態】図１はノイズを有するセグメント
又は曲線１００に基づいて平滑化させた曲線を発生させ
る本発明の動作を示すための情報を付した描画した曲線
セグメント１００を示している。図１において、描画し
たセグメント又は曲線１００は開始点１０２と終了点１
１２とを有している。更に、開始点１０２と終了点１１
２との間に位置されているＮ−１個の点が解析のために
選択されている。これらの点の中で、点１０４，１０
６，１０８，１１０はユーザによって曲線１００を発生
する間に不本意に導入されたノイズ又は擾乱を表わして
いる。点１０４，１０６，１０８，１１０によって示さ
れているノイズは、曲線１００の滑らかな流れを乱して
おり且つ曲線１００が平滑化されるべき場合に最小とさ
れることを必要としている。

【００１４】本方法は、描画した曲線１００（図１）の
曲線の端点（即ち、点１０２及び１１２）の間に位置さ
れている変換された曲線１２０（図３）を画定する平滑
化関数を解く。平滑化プロセス期間中に、擾乱を表わす
点は平滑化関数によって互いに近接して投影され、実効
的に変換させた曲線１２０の全体的な長さを減少させ
る。従って、曲線に関連するエネルギを最小とさせるた
めに平滑化関数を解くことによって、描画した曲線１０
０は平滑化された曲線１２０へ変換される（図３）。

【００１５】次に、図２を参照すると、曲線を平滑化さ
せる方法２００が詳細に示されている。一般的に、本方
法２００は、元の描画した曲線１００から変換した平滑
化した曲線１２０を見つけ出すための処理を行う。平滑
化させた曲線１２０はエネルギ値Ｅに関連しており、そ
のエネルギ値は変換し平滑化した曲線１２０の長さに関
連しているが、Ｅに対してその他の特性を使用すること
も可能である。

【００１６】変換した曲線１２０は、平滑化させた曲線
１２０に対するエネルギ値が最も低いエネルギ値Ｅとし
て最小化されているという拘束条件の下で、描画した曲
線１００上の各点ｉに対する座標（Ｘ，Ｙ）の平滑化し
た曲線１２０上の座標（ｘ，ｙ）へのマッピングであ
る。前述したように、エネルギ値Ｅは次式によって表現
される。

【００１７】Ｅ＝Ｄ＋λ²×Ｓステップ２０２において、本方法２００はエネルギ値Ｅ
の解析において使用すべき歪み係数Ｄを決定する。歪み
係数Ｄは元の曲線から変換した曲線の移動の大きさであ
る。歪み係数Ｄに対して多数の表現を使用することが可
能であり、例えば歪み係数Ｄを両方の曲線上の対応する
点の間の距離における実際の差又は差の平方の関数とし
て特性付けることが可能である。

【００１８】一実施例においては、歪み係数Ｄは描画し
た曲線及び変換した曲線の上の点ｉの間の距離における
差の和として表現され、それは次式で表わされる。

【００１９】

【数１３】

【００２０】尚、Ｄは（Ｘ_i，Ｙ_i）として表わされる描
画した曲線及び（ｘ_i，ｙ_i）として表わされる変換した
曲線の上の点ｉの間の距離の平方の和の関数である。

【００２１】一方、歪み係数Ｄは描画した曲線及び変換
した曲線の上の点ｉの間の距離の和として表わすことが
可能であり、それは次式によって表現することが可能で
ある。

【００２２】

【数１４】

【００２３】歪み係数Ｄの特性付けを行うその他の方法
としては、例えば、元の曲線と変換した曲線との間の面
積の関数として歪み係数Ｄを表現する場合がある。

【００２４】歪み係数Ｄを決定した後に（ステップ２０
２）、本方法は、ステップ２０４において、平滑化係数
Ｓを決定する。平滑化係数Ｓは変換した曲線上の各セグ
メントの長さの平方の和として表わされ、それは次式の
如くに表わされる。

【００２５】

【数１５】

【００２６】一方、平滑化係数Ｓは変換した曲線の長さ
の関数として表わすことも可能であり、即ち、次式のよ
うに表現することも可能である。

【００２７】

【数１６】

【００２８】次に、本方法はステップ２０６において平
滑化パラメータλを決定する。平滑化パラメータλが０
に設定される場合には、平滑化させた曲線は忠実に元の
描画した曲線を真似することとなる。平滑化係数λが無
限大に設定される場合には、平滑化される曲線は直線と
なる。

【００２９】ステップ２０８において、エネルギ値Ｅを
有する平滑化関数が発生され、それは変換させた曲線を
表わす。エネルギ値Ｅは次式のように表わされるので、Ｅ＝Ｄ＋λ²×Ｓエネルギ値Ｅの一実施例は次式のように表わすことが可
能である。

【００３０】

【数１７】

【００３１】歪み係数Ｄと平滑化係数Ｓを使用したその
他の適宜の組合わせを使用することも可能である。

【００３２】次いで、ステップ２１０において、点ｉの
ｘ及びｙ座標に関してエネルギ値Ｅの第一偏微分を表わ
す２Ｎ−２個の方程式を解くことによって平滑化した曲
線が得られ、即ち、それは次式のように表わすことが可
能である。

【００３３】

【数１８】

【００３４】尚、

【００３５】

【数１９】

【００３６】及び、

【００３７】

【数２０】

【００３８】尚、Ｏ_iは（ｘ_i，ｙ_i）における変換した
曲線の上に位置している点であり、且つｄは次式

【００３９】

【数２１】

【００４０】として定義されるｘ，ｙに位置している点
Ｐとｘ′，ｙ′に位置している点Ｑとの間の距離であ
る。

【００４１】当業者に公知な多数の技術を使用してこれ
ら一連の方程式を解くことが可能である。例えば、以下
の如くに勾配下降方法（ｇｒａｄｉｅｎｔｄｅｓｃｅ
ｎｔｍｅｔｈｏｄ）を使用して解を発生させることが可
能である。

【００４２】

【数２２】

【００４３】及び

【００４４】

【数２３】

【００４５】尚、εは定数であって、その値はＥの第二
微分に基づくものとすることが可能であり、且つｋは、
次のｘ及びｙの値が現在のｘ及びｙの値に部分的に基づ
いて発生されるような繰返しカウンタである。

【００４６】一方、上述した一連の方程式を次式の如く
に還元させることにより固定点方法（ｆｉｘｅｄｐｏ
ｉｎｔｍｅｔｈｏｄ）を使用して解を得ることが可能
である。

【００４７】

【数２４】

【００４８】及び

【００４９】

【数２５】

【００５０】尚、ｄ_i＝ｄ（Ｏ_i，Ｏ_i+1）である。

【００５１】これらの一連の方程式は以下の如くにして
アレイ形態に書直すことが可能である。

【００５２】

【数２６】

【００５３】上の行列は次のように表わすことが可能で
ある。

【００５４】

【数２７】

【００５５】及び

【００５６】

【数２８】

【００５７】これらは以下のようにして反復的に解くこ
とが可能である。

【００５８】

【数２９】

【００５９】及び

【００６０】

【数３０】

【００６１】上述した数値的な方法は、最も低いエネル
ギ値Ｅを有する変換させた曲線に対して繰返し解くもの
である。この様な変換させた曲線は平滑化させた曲線と
して選択される。平滑化させた曲線及び描画した曲線上
の点に関連する平滑化関数に基づいて、平滑化させた曲
線の点が発生される。この様に、本方法２００は意図し
た曲線の全体的な形状に影響を与えることなしに描画し
た曲線１００を平滑化させる。更に、本方法２００は実
際の曲線の半径を縮小させることなしに描画した曲線１
００を平滑化させる。

【００６２】次に、図３を参照すると、本方法２００を
使用した結果として発生された変換された曲線１２０が
示されている。変換された曲線１２０は図１の曲線１０
０の平滑化させたものである。変換させた曲線１２０は
開始点１２２と終了点１３２とを有しており、それら
は、それぞれ、点１０２及び１１２（図１）に一致して
いる。変換させた曲線１２０は、更に、一つ又はそれ以
上の変換させた擾乱点１３０を有しており、それらは、
描画した曲線１００に対する点１０４−１１０の位置
（図１）よりも変換させた曲線１２０に対して比較的よ
り近接して位置されている。擾乱点１３０が変換させた
曲線１２０に対して比較的近接して位置している結果、
描画した曲線１００（図１）よりも相対的により滑らか
な曲線としている。

【００６３】変換した曲線１２０の平滑性は部分的には
その長さによって表わすことが可能である。図３におい
て、変換した曲線１２０の長さは図１の描画した曲線１
００の長さよりも一層短い。この長さがより短いこと
は、描画した曲線１００（図１）上の擾乱点に対して変
換した曲線１２０（図３）上の擾乱点間の差が減少され
ていることによるものである。

【００６４】本発明は、デジタルハードウエア又はコン
ピュータソフトウエア、又は両者の組合わせで実現する
ことが可能である。好適には、本発明は、コンピュータ
システムにおいて実行されるコンピュータプログラムで
実現される。この様なコンピュータシステムは、プロセ
サと、データ格納システムと、少なくとも１個の入力装
置と、出力装置とを有することが可能である。図４はこ
の様な一つのコンピュータシステム６００を示してお
り、それはプロセサ（ＣＰＵ）６１０、ＲＡＭ６２０、
ＲＯＭ６２２、Ｉ／Ｏ制御器６３０を有しており、それ
らはＣＰＵバス６９８によって結合されている。Ｉ／Ｏ
制御器６３０もＩ／Ｏバス６５０によってキーボード６
６０、マウス６７０などの入力装置及びモニタ又はディ
スプレイ６８０などの出力装置へ結合されている。更
に、一つ又はそれ以上のデータ格納装置６９２がＩ／Ｏ
インターフェース６９０を介してＩ／Ｏバスへ接続して
いる。更に、図４の基本的なコンピュータシステムの変
形例も本発明の技術的範囲内のものである。例えば、入
力装置としてマウスを使用する代わりに、感圧ペン又は
タブレットを使用して曲線位置情報を発生させることが
可能である。

【００６５】以上、本発明の具体的実施の態様について
詳細に説明したが、本発明は、これら具体例にのみ制限
されるべきものではなく、本発明の技術的範囲を逸脱す
ることなしに種々の変形が可能であることは勿論であ
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】平滑化プロセスが適用されるべき曲線を示し
た概略図。

【図２】曲線を平滑化させるプロセスを示したフロー
チャート。

【図３】図２のプロセスによって発生される結果的に
得られる平滑化させた曲線を示した概略図。

【図４】本発明で使用するのに適したコンピュータシ
ステムを示した概略ブロック図。

【符号の説明】

１００描画した曲線１０２開始点１１２終了点１０４，１０６，１０８，１１０ノイズ（擾乱）１２０変換した曲線

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】描画した曲線から平滑化した曲線を発生
するコンピュータによって実行される方法において、前記曲線に関連する歪み係数を決定し、前記曲線に関連する平滑化係数を決定し、前記歪み係数及び前記平滑化係数によって表現されるエ
ネルギ値を持った一つ又はそれ以上の変換された曲線を
発生し、最小のエネルギを有する変換された曲線を前記平滑化さ
せた曲線として選択する、ことを特徴とする方法。
【請求項２】請求項１において、前記歪み係数が前記
描画した曲線と各変換した曲線との間の距離の平方の関
数として決定されることを特徴とする方法。
【請求項３】請求項１において、前記歪み係数が前記
描画した曲線と前記変換した曲線との間の距離の関数と
して決定されることを特徴とする方法。
【請求項４】請求項１において、前記歪み係数が、次
式【数１】尚、（Ｘ_i，Ｙ_i）及び（ｘ_i，ｙ_i）は、それぞれ、前記
描画した曲線及び前記変換した曲線上の点ｉの座標であ
ることを特徴とする方法。
【請求項５】請求項１において、前記平滑化係数が前
記変換した曲線の長さの関数として決定されることを特
徴とする方法。
【請求項６】請求項１において、前記変換した曲線が
一つ又はそれ以上のセグメントを有しており且つ前記平
滑化係数が前記変換した曲線上の各セグメントの長さを
加算することによって決定されることを特徴とする方
法。
【請求項７】請求項１において、前記平滑化係数が、
次式【数２】尚、（ｘ_i，ｙ_i）及び（ｘ_i+1，ｙ_i+1）は、それぞれ、
点ｉ及び点ｉから次の点に対する座標であることを特徴
とする方法。
【請求項８】請求項７において、エネルギ値Ｅが次式【数３】による座標ｘ及びｙを持った各点ｉに関して最小化され
ることを特徴とする方法。
【請求項９】描画した曲線から平滑化させた曲線を発
生するためのコンピュータによって読取り可能な命令を
格納するメモリ装置において、前記メモリ装置が、前記曲線に関連する歪み係数を決定し、前記曲線に関連する平滑化係数を決定し、エネルギ値を持った一つ又はそれ以上の変換した曲線を
発生し、最小のエネルギを有する変換した曲線を前記平滑化させ
た曲線として選択する、上記各命令を有することを特徴
とするメモリ装置。
【請求項１０】請求項９において、前記歪み係数が前
記描画した曲線と各変換した曲線との間の距離の平方の
関数として決定されることを特徴とするメモリ装置。
【請求項１１】請求項９において、前記歪み係数が前
記描画した曲線と前記変換した曲線との間の距離の関数
として決定されることを特徴とするメモリ装置。
【請求項１２】請求項９において、前記平滑化係数が
前記変換した曲線の長さの関数として決定されることを
特徴とするメモリ装置。
【請求項１３】請求項９において、前記平滑化係数
が、次式【数４】尚、（ｘ_i，ｙ_i）及び（ｘ_i+1，ｙ_i+1）は、それぞれ、
点ｉ及び点ｉからの次の点に対する座標であることを特
徴とするメモリ装置。
【請求項１４】請求項９において、前記歪み係数が、
次式【数５】尚、（Ｘ_i，Ｙ_i）及び（ｘ_i，ｙ_i）は、それぞれ、前記
描画した曲線及び前記変換した曲線上の点ｉの座標であ
ることを特徴とするメモリ装置。
【請求項１５】請求項９において、エネルギ値Ｅが次
式【数６】によって座標ｘ及びｙを有する各点ｉに関して最小化さ
れることを特徴とするメモリ装置。
【請求項１６】二次元空間上の一連の点によって画定
された描画された曲線の特性付けを行うためのコンピュ
ータシステムにおいて、ラスター画像を表示するためのディスプレイ、ユーザ入
力を受取るためのユーザ入力装置、プロセサ、を有しており、前記プロセサは、次式【数７】尚（Ｘ_i，Ｙ_i）は前記描画した曲線上の点を表わしてお
り且つ（ｘ_i，ｙ_i）は前記平滑化した曲線上の点を表わ
している；に従って前記平滑化した曲線に関連する歪み
係数Ｄを決定し、次式【数８】に従って前記曲線に関連する平滑化係数Ｓを決定し、各
々が次式Ｅ＝Ｄ＋λ²×Ｓ尚λは平滑性パラメータである；に従って前記歪み係数
と前記平滑化係数とによって表わされるエネルギ値Ｅを
有する変換された曲線を発生し、最小のエネルギを有す
る変換された曲線を前記平滑化した曲線として選択す
る、上記各命令を有することを特徴とするコンピュータ
システム。
【請求項１７】請求項１６において、前記変換した曲
線の長さが次式【数９】に従ってエネルギ値Ｅを最小化することによって最小化
されることを特徴とするコンピュータシステム。
【請求項１８】請求項１６において、前記平滑化させ
た曲線の長さが次式【数１０】及び次式【数１１】尚、Ｏ_iは（ｘ_i，ｙ_i）における変換した曲線上に位置
している点であり、且つｄは次式【数１２】として定義されるｘ，ｙに位置している点Ｐとｘ′，
ｙ′に位置している点Ｑとの間の距離である；に従って
エネルギ値Ｅを最小化することによって最小化されるこ
とを特徴とするコンピュータシステム。
【請求項１９】請求項１６において、前記エネルギ値
を複数個の変換させた曲線に対して繰返し評価すること
を特徴とするコンピュータシステム。
【請求項２０】請求項１６において、前記描画した曲
線がコンピュータによって発生されることを特徴とする
コンピュータシステム。