JPH11120348A - 曲線平滑化 - Google Patents
曲線平滑化Info
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- JPH11120348A JPH11120348A JP10179160A JP17916098A JPH11120348A JP H11120348 A JPH11120348 A JP H11120348A JP 10179160 A JP10179160 A JP 10179160A JP 17916098 A JP17916098 A JP 17916098A JP H11120348 A JPH11120348 A JP H11120348A
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Abstract
なしに描画した曲線を平滑化した曲線へ変換させる装置
及び方法を提供する。 【解決手段】 本発明によれば、描画した曲線の端点間
に当て嵌められる変換した曲線に対する平滑化関数を解
くことによってノイズを有する描画したマルチセグメン
トからなる曲線から平滑化した曲線が得られる。変換し
た曲線は変換した曲線の長さに関係するエネルギ値を有
している。そのエネルギ値は二つの成分、即ち歪み係数
と平滑化係数とを有している。数値解析方法が適用され
て平滑化関数を評価し且つ最も低いエネルギを有する変
換された曲線を識別する。最も低いエネルギ値を有する
変換された曲線が平滑化された曲線として選択される。
Description
る装置及び方法に関するものであって、更に詳細には、
マルチセグメント即ち複数個のセグメントからなる曲線
を平滑化させる装置及び方法に関するものである。
しては、コンピュータ補助設計(CAD)ツール及びグ
ラフィックイラストレーションソフトウエアがある。C
ADレイアウト又はグラフィックデザインソフトウエア
を使用して描画を作成するためには、ユーザは、典型的
に、モニタ又はその他の適宜の表示装置上に該ソフトウ
エアによって表示された状態で、一つ又はそれ以上のオ
ブジェクトを選択し且つ各オブジェクトを描画用紙上に
配置させる。ユーザは、更に、これらのオブジェクトを
編集及び操作して所望の様相を得ることが可能である。
アプリケーションソフトウエアは、通常、ユーザが選択
し且つ操作してデザインするために、一般的な記号又は
例えば正方形、矩形、円、楕円などのオブジェクトを供
給する。更に、該ソフトウエアは、典型的に、ユーザが
デジタル描画上で直線及び曲線セグメントを描画するこ
とを助けるためのツールを提供する。
通常、試行錯誤のプロセスであり、ユーザは、通常、コ
ンピュータ上で複数個の転換点又はセグメントを有する
一つの連続した曲線を描画することは不可能である。こ
の様な試みは、通常、各々が開始点と終了点とによって
画定される一連のギザギザの曲線として構成されるノイ
ズを有する曲線セグメントを発生することとなる。視覚
的に好ましいものでないことに加えて、一連のギザギザ
の曲線を編集し、表示し且つ保存することは極めて複雑
なものとなる場合がある。従って、視覚的様相及び操作
上の簡単化のために、この様なノイズを有する曲線を平
滑化させた曲線で置換させることが望ましい。
は、隣接する描画したセグメントの間のコーナー即ち角
部をギザギザのノイズを有する曲線から識別することが
必要である。ノイズ許容性があり且つコーナーの良好な
局所化を与える端点を決定する正確且つ迅速な方法が本
願出願人が所有している同時係属中の米国特許出願第0
8/882,695号「曲線セグメントのコーナーの特
性付け(CHARACTERIZATION OF C
ORNERS OF CURVILINEARSEGM
ENT)」に記載されており、尚、上記米国特許出願を
引用によって本明細書に取込む。
線を平滑化させることが可能である。従来のプロセスは
曲線上の隣接する点を平滑化するものである。この様な
平滑化は、曲線セグメントのギザギザの性質を減少させ
る。しかしながら、この様な平均化は、通常、曲線を平
坦化させ且つ意図した曲線の全体的な形状を変化させる
場合がある。更に、平均化は、実際の曲線の半径を小さ
くさせる場合があり、曲線の不適切な特性付けとなるこ
とがある。従って、形状及び半径を包含するその特性に
影響を与えることなしに、ノイズを有する描画した曲線
を平滑化させることが望ましい。
鑑みなされたものであって、上述した如き従来技術の欠
点を解消し、ノイズを有する描画した曲線の特性を変え
ることなしに平滑化させることを可能とする装置及び方
法を提供することを目的とする。
正確に描画した曲線の曲率を平滑化させるコンピュータ
によって実行される方法を提供している。本発明によれ
ば、変換させた曲線を定義する平滑化関数を解くことに
よってノイズを有する描画したマルチセグメント即ち複
数個のセグメントからなる曲線から平滑化させた曲線が
発生される。各変換させた曲線はとりわけその長さに関
係したエネルギ値を有している。平滑化関数のエネルギ
を最小とさせる変換曲線が平滑化させた曲線として選択
される。エネルギ値Eは多数の係数からなる複合体であ
り、それは次式の如くに表現される。
タであり且つλの値が大きいことは平滑性がより大きい
ことを表わしており、且つSは平滑性関数である。
数又は拘束条件を課すことが可能である。この様な拘束
条件の一つは、描画した曲線からの変換した曲線の平均
逸れがゼロであるようなものとすることが可能である。
このことは、次式の如くに表わすことが可能である。
の関係を考慮に入れる。平滑化係数Sは曲線に対して平
滑性を課す。一実施例では曲線の長さの大きさを最小と
させる。平滑化パラメータλは、大きな値がより大きな
平滑性を与えるように平滑可能レベルを制御する。この
様に、平滑化関数Eは変換させた曲線を最小エネルギで
識別する。
線を描画した曲線の端点間に当て嵌まる最小エネルギで
識別するために数値的な方法が適用される。最も低いエ
ネルギ値Eを有する変換した曲線が平滑化した曲線とし
て選択される。
又はそれ以上を有している。本発明は、意図した曲線の
全体的な形状に影響を与えることなしに曲線の平滑化を
行う。更に、本発明は、実際の曲線の半径を縮小するこ
となしに曲線の平滑化を行う。
又は曲線100に基づいて平滑化させた曲線を発生させ
る本発明の動作を示すための情報を付した描画した曲線
セグメント100を示している。図1において、描画し
たセグメント又は曲線100は開始点102と終了点1
12とを有している。更に、開始点102と終了点11
2との間に位置されているN−1個の点が解析のために
選択されている。これらの点の中で、点104,10
6,108,110はユーザによって曲線100を発生
する間に不本意に導入されたノイズ又は擾乱を表わして
いる。点104,106,108,110によって示さ
れているノイズは、曲線100の滑らかな流れを乱して
おり且つ曲線100が平滑化されるべき場合に最小とさ
れることを必要としている。
曲線の端点(即ち、点102及び112)の間に位置さ
れている変換された曲線120(図3)を画定する平滑
化関数を解く。平滑化プロセス期間中に、擾乱を表わす
点は平滑化関数によって互いに近接して投影され、実効
的に変換させた曲線120の全体的な長さを減少させ
る。従って、曲線に関連するエネルギを最小とさせるた
めに平滑化関数を解くことによって、描画した曲線10
0は平滑化された曲線120へ変換される(図3)。
せる方法200が詳細に示されている。一般的に、本方
法200は、元の描画した曲線100から変換した平滑
化した曲線120を見つけ出すための処理を行う。平滑
化させた曲線120はエネルギ値Eに関連しており、そ
のエネルギ値は変換し平滑化した曲線120の長さに関
連しているが、Eに対してその他の特性を使用すること
も可能である。
120に対するエネルギ値が最も低いエネルギ値Eとし
て最小化されているという拘束条件の下で、描画した曲
線100上の各点iに対する座標(X,Y)の平滑化し
た曲線120上の座標(x,y)へのマッピングであ
る。前述したように、エネルギ値Eは次式によって表現
される。
の解析において使用すべき歪み係数Dを決定する。歪み
係数Dは元の曲線から変換した曲線の移動の大きさであ
る。歪み係数Dに対して多数の表現を使用することが可
能であり、例えば歪み係数Dを両方の曲線上の対応する
点の間の距離における実際の差又は差の平方の関数とし
て特性付けることが可能である。
た曲線及び変換した曲線の上の点iの間の距離における
差の和として表現され、それは次式で表わされる。
画した曲線及び(xi,yi)として表わされる変換した
曲線の上の点iの間の距離の平方の和の関数である。
した曲線の上の点iの間の距離の和として表わすことが
可能であり、それは次式によって表現することが可能で
ある。
としては、例えば、元の曲線と変換した曲線との間の面
積の関数として歪み係数Dを表現する場合がある。
2)、本方法は、ステップ204において、平滑化係数
Sを決定する。平滑化係数Sは変換した曲線上の各セグ
メントの長さの平方の和として表わされ、それは次式の
如くに表わされる。
の関数として表わすことも可能であり、即ち、次式のよ
うに表現することも可能である。
滑化パラメータλを決定する。平滑化パラメータλが0
に設定される場合には、平滑化させた曲線は忠実に元の
描画した曲線を真似することとなる。平滑化係数λが無
限大に設定される場合には、平滑化される曲線は直線と
なる。
有する平滑化関数が発生され、それは変換させた曲線を
表わす。エネルギ値Eは次式のように表わされるので、 E=D+λ2×S エネルギ値Eの一実施例は次式のように表わすことが可
能である。
他の適宜の組合わせを使用することも可能である。
x及びy座標に関してエネルギ値Eの第一偏微分を表わ
す2N−2個の方程式を解くことによって平滑化した曲
線が得られ、即ち、それは次式のように表わすことが可
能である。
曲線の上に位置している点であり、且つdは次式
Pとx′,y′に位置している点Qとの間の距離であ
る。
ら一連の方程式を解くことが可能である。例えば、以下
の如くに勾配下降方法(gradient desce
ntmethod)を使用して解を発生させることが可
能である。
微分に基づくものとすることが可能であり、且つkは、
次のx及びyの値が現在のx及びyの値に部分的に基づ
いて発生されるような繰返しカウンタである。
に還元させることにより固定点方法(fixed po
int method)を使用して解を得ることが可能
である。
アレイ形態に書直すことが可能である。
ある。
とが可能である。
ギ値Eを有する変換させた曲線に対して繰返し解くもの
である。この様な変換させた曲線は平滑化させた曲線と
して選択される。平滑化させた曲線及び描画した曲線上
の点に関連する平滑化関数に基づいて、平滑化させた曲
線の点が発生される。この様に、本方法200は意図し
た曲線の全体的な形状に影響を与えることなしに描画し
た曲線100を平滑化させる。更に、本方法200は実
際の曲線の半径を縮小させることなしに描画した曲線1
00を平滑化させる。
使用した結果として発生された変換された曲線120が
示されている。変換された曲線120は図1の曲線10
0の平滑化させたものである。変換させた曲線120は
開始点122と終了点132とを有しており、それら
は、それぞれ、点102及び112(図1)に一致して
いる。変換させた曲線120は、更に、一つ又はそれ以
上の変換させた擾乱点130を有しており、それらは、
描画した曲線100に対する点104−110の位置
(図1)よりも変換させた曲線120に対して比較的よ
り近接して位置されている。擾乱点130が変換させた
曲線120に対して比較的近接して位置している結果、
描画した曲線100(図1)よりも相対的により滑らか
な曲線としている。
その長さによって表わすことが可能である。図3におい
て、変換した曲線120の長さは図1の描画した曲線1
00の長さよりも一層短い。この長さがより短いこと
は、描画した曲線100(図1)上の擾乱点に対して変
換した曲線120(図3)上の擾乱点間の差が減少され
ていることによるものである。
ピュータソフトウエア、又は両者の組合わせで実現する
ことが可能である。好適には、本発明は、コンピュータ
システムにおいて実行されるコンピュータプログラムで
実現される。この様なコンピュータシステムは、プロセ
サと、データ格納システムと、少なくとも1個の入力装
置と、出力装置とを有することが可能である。図4はこ
の様な一つのコンピュータシステム600を示してお
り、それはプロセサ(CPU)610、RAM620、
ROM622、I/O制御器630を有しており、それ
らはCPUバス698によって結合されている。I/O
制御器630もI/Oバス650によってキーボード6
60、マウス670などの入力装置及びモニタ又はディ
スプレイ680などの出力装置へ結合されている。更
に、一つ又はそれ以上のデータ格納装置692がI/O
インターフェース690を介してI/Oバスへ接続して
いる。更に、図4の基本的なコンピュータシステムの変
形例も本発明の技術的範囲内のものである。例えば、入
力装置としてマウスを使用する代わりに、感圧ペン又は
タブレットを使用して曲線位置情報を発生させることが
可能である。
詳細に説明したが、本発明は、これら具体例にのみ制限
されるべきものではなく、本発明の技術的範囲を逸脱す
ることなしに種々の変形が可能であることは勿論であ
る。
た概略図。
チャート。
得られる平滑化させた曲線を示した概略図。
ステムを示した概略ブロック図。
Claims (20)
- 【請求項1】 描画した曲線から平滑化した曲線を発生
するコンピュータによって実行される方法において、 前記曲線に関連する歪み係数を決定し、 前記曲線に関連する平滑化係数を決定し、 前記歪み係数及び前記平滑化係数によって表現されるエ
ネルギ値を持った一つ又はそれ以上の変換された曲線を
発生し、 最小のエネルギを有する変換された曲線を前記平滑化さ
せた曲線として選択する、ことを特徴とする方法。 - 【請求項2】 請求項1において、前記歪み係数が前記
描画した曲線と各変換した曲線との間の距離の平方の関
数として決定されることを特徴とする方法。 - 【請求項3】 請求項1において、前記歪み係数が前記
描画した曲線と前記変換した曲線との間の距離の関数と
して決定されることを特徴とする方法。 - 【請求項4】 請求項1において、前記歪み係数が、次
式 【数1】 尚、(Xi,Yi)及び(xi,yi)は、それぞれ、前記
描画した曲線及び前記変換した曲線上の点iの座標であ
ることを特徴とする方法。 - 【請求項5】 請求項1において、前記平滑化係数が前
記変換した曲線の長さの関数として決定されることを特
徴とする方法。 - 【請求項6】 請求項1において、前記変換した曲線が
一つ又はそれ以上のセグメントを有しており且つ前記平
滑化係数が前記変換した曲線上の各セグメントの長さを
加算することによって決定されることを特徴とする方
法。 - 【請求項7】 請求項1において、前記平滑化係数が、
次式 【数2】 尚、(xi,yi)及び(xi+1,yi+1)は、それぞれ、
点i及び点iから次の点に対する座標であることを特徴
とする方法。 - 【請求項8】 請求項7において、エネルギ値Eが次式 【数3】 による座標x及びyを持った各点iに関して最小化され
ることを特徴とする方法。 - 【請求項9】 描画した曲線から平滑化させた曲線を発
生するためのコンピュータによって読取り可能な命令を
格納するメモリ装置において、前記メモリ装置が、 前記曲線に関連する歪み係数を決定し、 前記曲線に関連する平滑化係数を決定し、 エネルギ値を持った一つ又はそれ以上の変換した曲線を
発生し、 最小のエネルギを有する変換した曲線を前記平滑化させ
た曲線として選択する、上記各命令を有することを特徴
とするメモリ装置。 - 【請求項10】 請求項9において、前記歪み係数が前
記描画した曲線と各変換した曲線との間の距離の平方の
関数として決定されることを特徴とするメモリ装置。 - 【請求項11】 請求項9において、前記歪み係数が前
記描画した曲線と前記変換した曲線との間の距離の関数
として決定されることを特徴とするメモリ装置。 - 【請求項12】 請求項9において、前記平滑化係数が
前記変換した曲線の長さの関数として決定されることを
特徴とするメモリ装置。 - 【請求項13】 請求項9において、前記平滑化係数
が、次式 【数4】 尚、(xi,yi)及び(xi+1,yi+1)は、それぞれ、
点i及び点iからの次の点に対する座標であることを特
徴とするメモリ装置。 - 【請求項14】 請求項9において、前記歪み係数が、
次式 【数5】 尚、(Xi,Yi)及び(xi,yi)は、それぞれ、前記
描画した曲線及び前記変換した曲線上の点iの座標であ
ることを特徴とするメモリ装置。 - 【請求項15】 請求項9において、エネルギ値Eが次
式 【数6】 によって座標x及びyを有する各点iに関して最小化さ
れることを特徴とするメモリ装置。 - 【請求項16】 二次元空間上の一連の点によって画定
された描画された曲線の特性付けを行うためのコンピュ
ータシステムにおいて、 ラスター画像を表示するためのディスプレイ、ユーザ入
力を受取るためのユーザ入力装置、 プロセサ、を有しており、前記プロセサは、 次式 【数7】 尚(Xi,Yi)は前記描画した曲線上の点を表わしてお
り且つ(xi,yi)は前記平滑化した曲線上の点を表わ
している;に従って前記平滑化した曲線に関連する歪み
係数Dを決定し、次式 【数8】 に従って前記曲線に関連する平滑化係数Sを決定し、各
々が次式 E=D+λ2×S 尚λは平滑性パラメータである;に従って前記歪み係数
と前記平滑化係数とによって表わされるエネルギ値Eを
有する変換された曲線を発生し、最小のエネルギを有す
る変換された曲線を前記平滑化した曲線として選択す
る、上記各命令を有することを特徴とするコンピュータ
システム。 - 【請求項17】 請求項16において、前記変換した曲
線の長さが次式 【数9】 に従ってエネルギ値Eを最小化することによって最小化
されることを特徴とするコンピュータシステム。 - 【請求項18】 請求項16において、前記平滑化させ
た曲線の長さが次式 【数10】 及び次式 【数11】 尚、Oiは(xi,yi)における変換した曲線上に位置
している点であり、且つdは次式 【数12】 として定義されるx,yに位置している点Pとx′,
y′に位置している点Qとの間の距離である;に従って
エネルギ値Eを最小化することによって最小化されるこ
とを特徴とするコンピュータシステム。 - 【請求項19】 請求項16において、前記エネルギ値
を複数個の変換させた曲線に対して繰返し評価すること
を特徴とするコンピュータシステム。 - 【請求項20】 請求項16において、前記描画した曲
線がコンピュータによって発生されることを特徴とする
コンピュータシステム。
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