JPH10307809A - 物理量の予測方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 多変量級数を用いて装置に対する入力行列と
出力行列との関係を係数行列を用いて設定した場合にお
いて、この多変量級数の係数行列から出力を簡単に導き
出する。 【解決手段】 多変量級数の各係数行列を算出すること
によって、出力行列からなる物理量を求める物理量の予
測方法において、軸対称性を有する多変量級数の５次式
による各単位装置の特性を示す複数の変換行列を合成す
る処理工程で、多変量級数の係数行列から、３次部分及
び５次部分の小行列を作り、これらの小行列の行列積を
作って合成を行う。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、それぞれ伝達特性
を有した複数の単位装置からなる装置の一方側から物理
量を入力して、他方側から出力される物理量を求める物
理量の予測方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】例えば、複数の光学素子が組込まれた光
学装置における光線追跡を計算したり、電磁気、流体、
構造解析等において、一方から入力され物理量に対して
他方から出力される物理量との関係を、該当物理量の形
状、空間位置、時間位置等の関係で効率的に求める必要
が生じる場合が多い。

【０００３】すなわち、一つの装置の入力と出力が一定
の関係にある時、この一定の関係をその装置の「特性」
という。２つの装置にそれぞれ入力と出力がある時、第
１の装置の出力を第２の装置の入力とすると、２つの装
置を合成した一つの装置になる。第１の装置の入力が第
１と第２の装置を通って来る、第２の装置の出力が、合
成装置の出力である。

【０００４】図４は光学装置の光線追跡の例を説明する
図である。

【０００５】この光学装置においては、例えば軸対称性
を有する２枚のレンズＬ_N1，Ｌ_N2があり、それぞれのレ
ンズＬ_N1，Ｌ_N2の結像特性が既知の時、この２枚のレン
ズＬ_N1，Ｌ_N2を組合わせた時の結像特性を知りたいとす
る。単純な拡大・倍率は容易に得られるが、非線形特性
のあるレンズの収差を知るのは容易ではない。

【０００６】このレンズの例では、入力は入射光線の位
置座標と方向（傾き）を表す４個の変数で表される。出
力も４個の変数で表される。結像特性が単純な拡大・縮
小や回転の場合には、入力と出力の関係は１次式で表さ
れる。この時の特性は線形であるという。一方、線形で
ない時は、非線形といい、線形から外れた差分を収差と
いう。入力と出力の関係が非線形の時、その特性は入力
変数の多変量級数で表すことができる。

【０００７】多変量級数とは変数の加減乗算を用いて表
される級数である。上述した４個の変数の例は煩雑であ
るので３個の変数で示すと、ｘ，ｙ，ｚの３変数の多変
量級数は次に示される。

【０００８】すなわち、入力変数をｘ，ｙ，ｚとし出力
変数をｘ₁ ，ｙ₁ ，ｚ₁ とすると、

【数１】

【０００９】ここでａ₁₁，ｂ₁₁は定数係数である。上記
で記号ａが付加された項は１次項、ｂが付加された項は
２次項である。２次項はｘ，ｙ，ｚの合計次数が２次で
あることを意味する。以下３次項、４次項と続くが、こ
の例では省略されている。

【００１０】この式(1) で示す多変量級数の項の数をN
で表わす。この例では３次以上を省略するので、式(1)
の各式の項数はN ＝９である。

【００１１】この式(1) の多変量級数はベクトル及び行
列の記号で示すと下式になる。

【００１２】

【数２】

【００１３】Ｘ_1a，Ｘ_0a，Ｘ_0b，Ｘ_0cは次のようなベク
トルである。すなわち、Ｘ_1aは出力ベクトル、Ｘ_0aは入
力ベクトル、Ｘ_0b，Ｘ_0cは入力の２次部分および３次部
分ベクトルである。添字ａ，ｂ，ｃはそれぞれ１次，２
次，３次部分を表わす。

【００１４】２次部分ベクトルＸ_0bはｘ，ｙ．ｚの３個
から（重複を許して）２個を選ぶすべての組み合わせの
項からなる。３次部分ベクトルＸ_0cは３個から３個を選
ぶ組み合わせの項からなる。よって、各ベクトルＸ_1a，
Ｘ_0a，Ｘ_0b，Ｘ_0cは下記のように表示できる。

【００１５】

【数３】

【００１６】また、式(2) における各係数行列Ｌ_1aa ，
Ｌ_1ab ，Ｌ_1ac は次のような行列である。すなわち、Ｌ
_1aa は特性の１次部分であり、Ｌ_1ab は収差の２次部分
であり、さらに、Ｌ_1ac は収差の３次部分である。ま
た、添字ａ，ｂは１次部分のベクトルと２次部分のベク
トルとを関係付ける行列であることを示す。

【００１７】以下本明細書では、スカラー量はa,b,c,i,
j,k,m,n 等の半角文字を使用して表示し、ベクトル量は
Ｘ，Ｙ，ｑ等の全角文字を使用して表示し、行列はＬ，
Ｔ等の全角文字を使用して表示する。

【００１８】

【数４】

【００１９】式(2) において右辺第１項［Ｌ_1aa Ｘ_0a］
は出力の１次部分、すなわち線形部分であり、右辺第２
項以下は収差である。すなわち、右辺第２項［Ｌ_1ab Ｘ
_0b］は２次収差で、左辺第３項［Ｌ_1ac Ｘ_0c］は３次収
差である。

【００２０】すなわち、m 個の装置についての下記に示
す各係数行列 Ｌ_kaa ，Ｌ_kab ，Ｌ_kac ，… （k ＝1,2,…,m） が既知の場合、これらm 個の装置を合成して得られる装
置の各係数行列の特性を求めればよい。

【００２１】次に、図４に示す２枚の軸対称のレンズＬ
_N1，Ｌ_N2からなる光学装置の任意の入射光に対する出射
光の関係、すなわち、前述した各係数行列の特性から光
学装置全体の特性を求める従来から公知の一般的手法を
説明する。

【００２２】図４において、レンズＬ_N1に光線ＡＢが入
射しＢ、Ｃで屈折し、ＣＤがレンズＬ_N1の出力光線であ
る。この光線ＡＢは次のレンズＬ_N2の入力光線となり
Ｅ，Ｆ点で屈折する。そして、ＦＧがこの光学装置全体
の出力光線となる。

【００２３】前段のレンズＬ_N1について、入力点Ａの座
標を（ｘ₀ ，ｙ₀ ，ｚ₀ ）とし、出力点Ｄの座標を（ｘ
₁ ，ｙ₁ ，ｚ₁ ）とする。さらに、ｚ＝ｚ₀ の平面を入
力面とし、ｚ＝ｚ₁ の平面を出力面とすると、入力光線
ＡＢの傾きｕ₀ ．ｖ₀ は下記のように示される。

【００２４】ｕ₀ ＝ｄｘ／ｄｚ，ｖ₀ ＝ｄｙ／ｄｚ 同様に、出力光線ＣＤの傾きｕ₁ ．ｖ₁ は下記のように
示される。

【００２５】ｕ₁ ＝ｄｘ／ｄｚ，ｖ₁ ＝ｄｙ／ｄｚ 例えば、前段に位置する第１のレンズＬ_N1が球面レンズ
とし、その形、寸法、ガラスの屈折率を既知量とすれ
ば、入力光線ＡＢの位置ｘ₀ ，ｙ₀ 及びその傾きｕ₀ ，
ｖ₀ を与えると、出力光線ＣＤの位置ｘ₁ ，ｙ₁ 及びそ
の傾きｕ₁ ，ｖ₁を計算して求めることができる。

【００２６】後段に位置する第２のレンズＬ_N2について
は、入力点はＤ点であるからその座標は（ｘ₁ ，ｙ₁ ，
ｚ₁ ）である。また入力光線ＤＥの傾きはｕ₁ ＝ｄｘ／
ｄｚ，ｖ₁ ＝ｄｙ／ｄｚである。これから第２のレンズ
Ｌ₂ の出力点ｚ₂ における出力光線ＦＧの位置ｘ₂ ，ｙ
₂ 及びその傾きｕ₂ ．ｖ₂ を計算して求めることができ
る。

【００２７】以上のようにして、この光学装置の入力光
線ＡＢに対して出力光線ＦＧが如何に得られるかを予測
できれば、各レンズＬ_N1，Ｌ_N2の配置等を調節して所望
の特性を持つ光学系を設計することができる。

【００２８】次に具体的算出手法を説明する。

【００２９】（第１の方法）第１の方法においては、数
十乃至数百の入力光線を選んで、その１本ずつを計算す
る。計算方法は周知の幾何学の法則と屈折の法則を用い
て、四則演算と平方根の計算だけでできることが知られ
ている。電子計算機の発達で高速の計算が可能になった
ので、実用的で標準的な方法である。

【００３０】しかし、方法としては原始的で、設計者に
とって見通しが悪い欠点があった。例えば、先に述べた
２個の光学系を合成する場合において、一つずつの系の
特性が既知であってもこれらの系をそのまま接続するこ
とは困難であった。

【００３１】（第２の方法）第２の方法は多変量級数を
使用する方法である。簡単のためにｘｚ平面内の量につ
いて説明すると、第１の方法を用いて入力光線をいくつ
か計算すると、それから入力と出力の関係式を求めるこ
とができる。それを第１のレンズＬ_N1について例えば次
のように得られたものとする。

【００３２】

【数５】

【００３３】２つの特性の合成は式(7) を式(8) に代入
することにより得られる。

【００３４】ここで、特性が線形の時は、２次の項は無
いので、b,c,g,h の文字のつく係数はすべて０である。
この時は２つの特性の合成した結果は２つの式の係数行
列の積になることは広く知られている。

【００３５】

【数６】

【００３６】しかし、問題は非線形の場合である。非線
形の時はb,g のつく文字が０ではないので、計算が非常
に複雑になる。上記の例では２次までしか示してない
が、実際には５次〜７次が必要で、しかも位置ｘ，ｙ及
び傾きｕ，ｖは多変量級数なので、非常に複雑になる。
これを解決するには系統的な工夫が必要で、単純に代入
する方法においては、２〜３次が実用的な限界である。

【００３７】（第３の方法）この第３の方法は上記の複
雑な第２の方法を、電子計算機を使って実行するもので
ある。これは電子計算機の強力な計算能力により可能
で、その一例は下記文献１に報告されており、きわめて
有力な方法で、１２次以上まで計算される。

【００３８】 G.W.Forbes,"Automation of the manipulation of multivariate power series," J. Comput.Appl.Math. Vol.15,37-58(1986) この第３の方法の原理自体は簡単で、前述した式(8) は
ｘ₁ とｕ₁ の加減乗算のみを使っているので、式(7) の
級数の加減乗算を順次実行するのである。例えば、［ｘ
₁ ｕ₁ ］を計算するには、式(7) の第１式と第２式の積
を計算し、無限級数となる所を目的の次数までで打ち切
って結果を得る。これにさらにｘ₁ の級数をかければ
［ｘ₁ ² ｕ₁ ］の級数を得る。このような方法を組織的
に実行する。

【００３９】しかし、この第３の方法はプログラム作成
の労力が大きく、また電子計算機として大きな記憶容量
を必要とする欠点があった。

【００４０】（第４の方法）この第４の方法は、本発明
者が考案した行列理論によるものである。（特許公開公
報 特開平01-220074(平成1 年9 月1 日) 素子構成の評
価方法 参照）この第４の方法においては、線形の場合
に合成特性が前述した式(9) の係数行列の積になること
を拡張して、レンズの非線形特性を含めた項数Ｎの変換
行列を使う方法である。

【００４１】この第４の方法の基本的な理論及び３次近
似の軸対称系について具体的な計算方法の詳細は前記公
開公報および次の文献２に記載されている。

【００４２】 M.Kondo and Y.Takeuchi, Matrix method for nonlinear transformation and its application to an optical lens system 米国光学会雑誌 Journal of Optical Society of America, Ａ Vol.13, No. １, p.71-89. 次のこの第４の方法（行列理論）を図５の流れ図の各工
程に従って説明する。なお、実際はｘ，ｙ，ｕ，ｖの４
変数の量についての合成を行うが、簡単のために、初め
は光線が図４に示したように、ｚ平面内にある、ｘ，ｕ
の２変数の場合の２次近似について説明する。ここで、
変数の数をＭとするとＭ＝２、近似次数ｎ＝２、項数Ｎ
＝５である。

【００４３】図４の光学装置における各レンズＬ_N1，Ｌ
_N2の特性、すなわち、各レンズＬ_N1，Ｌ_N2の出力位置ｘ
₁ ，ｘ₂ と出力位置における傾きｕ₁ ，ｕ₂ は、前述し
た式(7)(8)における３次以上を省略した式(10)，(11)で
示す多変量級数で与えられているものとする。

【００４４】

【数７】

【００４５】

【数８】

【００４６】とする。

【００４７】そして、図５に示す流れ図のステップＳ１
において、式(16)〜(21)で示す多変量級数を定義する。

【００４８】

【数９】

【００４９】次に、図５に示す流れ図のステップＳ２に
おいて、この多変量級数から変換行列を作る。式(10)か
らできる第１のレンズＬ_N1に対する変換行列Ｌ₁ は次の
ようになる。また、図６に図５に示す流れ図のステップ
Ｓ１，Ｓ２の詳細処理を示す流れ図を示す。

【００５０】図５の流れ図のステップＳ１又は図６の流
れ図のステップＳ２１にて、前提として下記に示すｍ個
の多変量級数を定義する。

【００５１】

【数１０】

【００５２】次に、図５のステップＳ３において、変換
行列の積を計算し、合成した変換行列を作る。ｋ＝2 か
らｋ＝ｍまで順次計算すると合成した変換行列Ｔ_m が得
られる。

【００５３】以下、近似次数ｎ＝２の場合を例にして、
合成変換行列Ｔ_m を求める詳細手順を説明する。変換行
列Ｌ₁ は下記のように示される。

【００５４】

【数１１】

【００５５】

【数１２】

【００５６】それぞれ、多変量級数の基底の１次部分、
２次部分であり、変数ｘ₀ 、ｕ₀ の１次および２次のす
べての組み合わせの項からなる。

【００５７】なお、光学系ではａ₁₁ａ₂₂−ａ₁₂ａ₂₁＝１
という関係があり、（ラグランジュ- ヘルムホルツの関
係という）、以下の数値例もこれを満たす。

【００５８】多変量級数の項を並べる順序について注意
が必要である。例えば式(10) において２次の部分には
ｂ₁₁ｘ₀ ² ，ｂ₁₂ｘ₀ ｕ₀ ，ｂ₁₃ｕ₀ ² の３個の項があ
る。これを並べる順序は、どのようにしても計算は可能
であるが、この順序を変更すると行列の行と列の順序が
変わるので、一定の順序にする必要がある。この明細書
では、次数の低い項を先にするが、同じ次数の項は前の
方の変数の指数が大きい順に並べる。式(10)において
は、変数はｘ₀ とｕ₀ を用いるが、２次の項はｘ₀ の指
数が大きい項を先に書く。

【００５９】次に、図６の流れ図のステップＳ２２にお
いて、式(16)のＸ_0a，Ｘ_0b．の添え字０を１に変えて、
ベクトルＸ_1a，Ｘ_1bを作る。

【００６０】

【数１３】

【００６１】次に、図６のステップＳ２３にて、Ｘ_1bの
式(20)に、式(16)のｘ₁ ，ｕ₁ を入れて計算する。この
時、近似次数の２次を越える３次以上の項は、すべて無
視して０とする。すると下式が得られる。

【００６２】

【数１４】

【００６３】ここで、部分行列Ｌ_1ba は要素がすべて０
である。この部分行列Ｌ_1ba のように、二つの添字ｂ，
ａのうち、前の添字（ｂは２次部分を表わす）が後の添
字（ａは１次部分を表わす）より高次になる時は、その
部分行列は零行列である。すなわち、その要素はすべて
０である。

【００６４】この図６のステップＳ２３の処理は図５の
ステップＳ２の処理の主要な計算部分で、この工程を拡
張という。

【００６５】式(14) の数値を代入した式(10)では次の
ようになる。

【００６６】

【数１５】

【００６７】この図６のステップＳ２３における拡張処
理は、変数の数Ｍや近似次数ｎが大きい場合には複雑に
なるが、後に説明する漸化式を使って計算することがで
きる。

【００６８】次に、図６のステップＳ２４にて、変換行
列Ｌ₁ はサブマトリクスを組合わせて次のように作る。

【００６９】

【数１６】

【００７０】

【数１７】

【００７１】

【数１８】

【００７２】この式(37)が第１のレンズＬ_N1に対する多
変量級数の式(10)を変換行列Ｌ₁ を使った形式に表わし
たものである。同様に、第２のレンズＬ_N2に対する多変
量級数の式(11)を変換行列Ｌ₂ を使った形式に表わすと
式(38)となる。

【００７３】

【数１９】

【００７４】となる。Ｔ₂ は変換行列Ｌ₁ と変換行列Ｌ
₂ とを合成した合成変換行列である。

【００７５】 Ｔ₂ ＝Ｌ₂ Ｌ₁ …(40) すなわち、式(15) と式(27)の行列を掛ければ容易に合
成ができる。

【００７６】同様にして光学装置を構成する多数のレン
ズの特性（変換行列）Ｌ₁ ．Ｌ₂ ，…，Ｌ_m の合成は変
換行列の積により行われる。すなわち、レンズの数をｍ
個ととすると、合成変換行列Ｔ_m は式(41)となる。

【００７７】 Ｔ_m ＝Ｌ_m …Ｌ₂ Ｌ₁ …(41) なお、以上の説明においては、簡単のために近似次数ｎ
が２の場合について述べてきたが、近似次数ｎが４の場
合は前述した式(32)は４行、４列になり、第１のレンズ
Ｌ_N1の変換行列Ｌ₁ はサブマトリクスを組合わせて下式
のようになる。

【００７８】

【数２０】

【００７９】添字ａ，ｂ，ｃ，ｄはそれぞれ１次、２
次、３次、４次部分を表わす。変換行列Ｌ₁ はｎ次の部
分までの行と列を有する。

【００８０】そして、図４に示す光学装置における光学
レンズの設計の場合には、５次収差まで計算を行うと仮
定すると近似次数 n＝５である。そして、変数は、位置
ｘ₀，ｙ₀ 及び傾きｕ₀ ，ｖ₀ の４個で変数の数 M＝４
である。

【００８１】近似次数 nと変数の数M を定めると、項数
N は N ＝ _M+1Ｈ_n-1 ＝ _M+nＣ_n −１ …(43) となる。ここで _M+1Ｈ_n-1 は（M ＋１）個のものからn
個のものを繰り返しを許して取り作る組合わせの数であ
り、 _M+nＣ_n は（M ＋ n）個からn 個を取って作る組合
わせの数である。これで計算すると、M ＝４、n ＝５の
時は項数N ＝１２５になる。

【００８２】ここで、対称性がある時は項数Ｎを小さく
することができる。

【００８３】図４の光学装置等のような軸対称のレンズ
系では、変数としてｘ，ｙを一つにまとめた複素数（ｘ
＋ｉｙ）を使う。

【００８４】変数は X＝ｘ₀ ＋ｉｙ₀ ， U＝ｕ₀ ＋ｉｖ
₀ の２個である。偶数次の項はすべて０となる等の関係
を使い、n ＝１の時 N＝２、 n＝３の時 N＝８、 n＝５
の時N＝２０、 n＝７の時、項数 N＝４０となる。一般
的には下式にて求まる。

【００８５】 N ＝（n ＋１)(n ＋３)(n ＋５)/２４ …(44)

【００８６】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上述し
た第３及び第４に示す入力に対する出力を得る手法にお
いてもまだ解消すべき次のような課題があった、従来の
第３の方法と従来の第４の方法との違いは、前者では光
線軌道の計算手順を多変量級数の和、積、定数倍、平方
根の計算、逆数の計算の５つの演算に分解し、多変量級
数に関するこれらの演算を電子計算機により実行するも
のであり、後者は５つの演算の代わりに多変量級数の合
成のみを用いる点にある。

【００８７】後者において、多変量級数の合成は行列の
積により行われる。工程は拡張と行列積の二つに分け、
拡張は一つの変換行列内の操作とし、行列積は一般的な
単純な演算の操作とした。演算の複雑性は拡張工程に含
ませられたので、一つの変換行列内の一定の操作となり
単純化された。また拡張は対称性により定まる一定の手
順で行うことができる。前者の方法は変換の種類ごとに
手順が異なるのに対し、後者の方法は外見上は行列の積
を行うのみであり、実質的な計算も、拡張工程のサブル
ーチンの利用を付け加えるのみである。

【００８８】しかし、いずれにしても、項数 Nが１００
以上になると計算量は非常に大きく、項数N ＝１００の
時、行列積には N³ ＝１００万回の掛け算が必要であ
る。その結果、計算処理量が膨大になり、最終的な装置
の特性を求めにために多大の処理時間が必要であった。

【００８９】ここで、上述した第４の方法を３次元軸対
称光学系の３次近似に適用した計算方法を次に述べる。
レンズは通常、光軸の周りに回転対称に作られるので、
軸対称系の場合が実用的に重要である。

【００９０】３次元光学系の場合は、ｚ軸を光軸とし、
光線は４個の変数ｘ，ｙ，ｕ，ｖで表されるが、軸対称
性の場合は複素座標を用いて前述した多変量級数を簡単
化できる。ここで座標（ｘ，ｙ）と光線の勾配ｕ＝ｄｘ
／ｄｚ，ｖ＝ｄｙ／ｄｚから、複素座標を式(45)と定義
する。

【００９１】

【数２１】

【００９２】と定義する。すると、物体面上の光線の出
発点の複素座標 X₀ ， U₀ と像面上の光線の複素座標 X
₁ ， U₁ との３次近似の関係は、次の多変量級数で表さ
れる。但し、右辺で添字０は省略する。また、先に述べ
たように、次数の低い項を先に書き、同じ次数の項は、
X₀ の指数の大きい項から順に書き、 X₀ の指数が同じ
時は、Ｘ₀ ^* の指数の大きい項から順に書く。

【００９３】

【数２２】

【００９４】

【数２３】

【００９５】

【数２４】

【００９６】これが前述した式(29)〜(33)に相当する拡
張手続きである。

【００９７】球面レンズ系の特性は屈折球面を表す行列
Ｋ（ν，ｒ）と、屈折面間の一様媒質を表す行列Ｊ
（ｓ）を構成要素として、これらの行列の積で与えられ
る。

【００９８】ここで、ν＝ｎ₀ ／ｎ₁ は屈折面の前後の
媒質の屈折率の比であり、ｒは屈折球面の半径であり、
ｓは屈折面間の距離である。

【００９９】行列Ｊ（ｓ）は、光線の方向が不変の進行
により、収差はないので式(51)により容易に得られる。

【０１００】

【数２５】

【０１０１】これを拡張して変換行列を求めれば、光学
特性を計算することができる。

【０１０２】しかし、文献１には、例えば５次近似の場
合に拡張を行う方法は、Ｘ_1aからＸ_1b，Ｘ_1cを計算する
式を作り、近似次数ｎで打ち切り、部分行列Ｌ_bb，
Ｌ_bc、Ｌ_bb，Ｌ_ccを作ることは示されているが、これは
複雑で、５次近似の計算を行うことができなかった。

【０１０３】本発明はこのような事情に鑑みてなされた
ものであり、たとえ各単位装置の非線形特性を表す多変
量級数を構成する項の数が増えたとしても、変換行列の
演算を簡素化でき、複数の単位装置の非線形特性を表す
多変量級数が既知の時、合成した装置の特性を表す多変
量級数を効率的に求めることができ、かつ簡単に装置か
ら出力される５次以上の次数を含む任意の次数の物理量
の予測ができる物理量の予測方法を提供することを目的
とする。

【０１０４】

【課題を解決するための手段】本発明は、複数の単位装
置からなる装置から出力される物理量の変数を示す出力
行列と該当装置への複数次数の入力変数を示す各複数次
数の入力行列との関係を係数行列を用いて多変量級数と
して設定して、この多変量級数の各係数行列を算出する
ことによって、出力行列からなる物理量を求める物理量
の予測方法に適用される。

【０１０５】そして、上記課題を解消するために、請求
項１の物理量の予測方法においては、軸対称性を有する
多変量級数の５次式による各単位装置の特性を示す複数
の変換行列を合成する処理工程で、多変量級数の係数行
列から、３次部分及び５次部分の小行列を作り、これら
の小行列の行列積を作って合成を行う。

【０１０６】また、請求項２の物理量の予測方法におい
ては、多変量級数の係数行列から、拡張により各単位装
置の特性を示す変換行列の要素行列を求める処理工程
で、次数の１次低い要素行列と多変量級数の係数行列と
の積のうち、基底行列の積が要素行列の列と一致する項
を加え合わせてなる漸化式により計算し、これらから行
列積を作って合成を行う。

【０１０７】請求項３の物理量の予測方法においては、
３次元軸対称系の特性を表す多変量級数の係数行列か
ら、拡張により変換行列の要素行列を求める処理工程
で、特性を表す多変量級数の変換行列の要素行列とと回
転不変量の多変量級数の変換行列の要素行列とを組み合
わせて計算し、それぞれ次数の１次低い要素行列と多変
量級数の係数行列との積のうち、基底行列の積が要素行
列の列と一致する項を加え合わせてなる漸化式により計
算し、これから行列積を作って合成を行う。

【０１０８】また、請求項４の物理量の予測方法におい
ては、一変数関数のべき級数の係数行列から、拡張によ
り変換行列の要素行列を求める処理過程で、次数の１次
低い要素行列とべき級数の係数との積のなかから、基底
行列の積が要素行列の列と一致する項を加え合わせてな
る漸化式により計算し、これから行列積を作って合成を
行う。

【０１０９】さらに、請求項５の物理量の予測方法にお
いては、各係数行列を求めるために各単位装置の特性を
示す二つ以上の多変量級数を合成する処理過程で、１次
部分行列の部分積を計算し、これを用いて要素行列を規
準化し、この規準化行列の積を分解した収差行列の和か
ら合成変換行列を求めた後、この合成変換行列の規準化
を元に戻す。

【０１１０】このように構成された各請求項の物理量の
予測方法においては、３次部分や５次部分の小行列を作
成したり（請求項１）、各次数の要素行列を求める場合
に直接求めるのではなくて隣接する次数間における漸化
式を用いて各次数の要素行列を順次求めたり（請求項
２，３，４）、各次数の要素行列を規準化して合成した
のち規準化を元に戻したり（請求項５）することによっ
て、複雑な行列演算処理が大幅に軽減される。

【０１１１】

【発明の実施の形態】以下本発明の実施形態を図面を用
いて説明する。

【０１１２】（第１実施形態 ３次元軸対称系の５次近
似）図１は本発明の第１実施形態に係わる物理量予測方
法における処理手順を示す流れ図である。なお、この実
施形態においては、図２で示すレンズで構成された光学
装置の特性を求める場合を想定して説明する。

【０１１３】以下、３次元軸対称系の５次近似の多変量
級数を合成する各工程における各処理を順番に説明して
いく。

【０１１４】［前提工程］ 多変量級数の定義 この前提工程においては、図２の光学装置における変数
の数Ｍ，近似次数ｎ，項数Ｎを定めて多変量級数を定義
する。

【０１１５】［工程１］ 部分行列と基底ベクトルの算
出 この工程１においては、多変量級数をベクトル行列式に
書き、部分行列Ｌ_aa，Ｌ_ab，Ｌ_acと基底ベクトルＸ_0a，
Ｘ_0b，Ｘ_0cを求める。

【０１１６】３次元軸対称光学系の５次近似の場合の光
学特性は、Ｘ₁ ，Ｕ₁ を像面上の複素座標（出力）のベ
クトルとすると、式(101) に示す多変量級数で表され
る。(ただし、右辺で添字０は省略する。)

【数２６】

【０１１７】式(101) における係数a ，b ， c₁ ，
d₁ ，…・・．A ，B ， C₁ ， D₁ 等はレンズ要素Ｌに特
有の定数である。

【０１１８】この式は行列を使って次のように表され
る。

【０１１９】

【数２７】

【０１２０】となる。添字a ，b ，c はそれぞれ１次、
３次、５次を示すものとする。

【０１２１】［工程３］ 部分行列の作成 この工程３においては、行列Ｌ_aa，Ｌ_ab，Ｌ_acから部分
行列Ｌ_ba，Ｌ_bb，Ｌ_bc，Ｌ_ca，Ｌ_cb，Ｌ_ccを作成する。
すなわち、レンズ要素Ｌの変換行列Ｌは 20 ×20行列で

【数２８】

【０１２２】

【数２９】

【０１２３】

【数３０】

【０１２４】

【数３１】

【０１２５】

【数３２】

【０１２６】以上の拡張手続きにより５次近似の変換行
列を求めることができる。

【０１２７】［工程４］ 行列の合成 球面レンズ系の特性は屈折球面を表す行列Ｋ（ν，ｒ）
と、屈折面間の一様媒質を表す行列Ｊ（ｓ）を構成要素
として、これらの行列の積で与えられる。

【０１２８】５次近似の行列Ｊ（ｓ）は

【数３３】

【０１２９】

【数３４】

【０１３０】これから拡張して変換行列を求めれば、光
学特性を計算することができる。

【０１３１】例えば図２に示す示す二つのレンズＬ_N1，
Ｌ_N2が組込まれた光学装置において、物面の位置ｚ₀ ＝
０、物面からレンズＬ_N1までの距離ｓ₁ ＝ｚ₁ −ｚ₂ ＝
６、レンズＬ_N1の半径ｒ₂ ＝１、屈折率比ν₂ ＝２／
３、レンズの厚さｓ₃ ＝ｚ₃ −ｚ₁ ＝０．１、レンズＬ
_N2の半径ｒ₄ ＝−２、屈折率比ν₄ ＝３／２、レンズＬ
_N2から像面までの距離ｓ₅ ＝ｚ₄ −ｚ₃ ＝22/13,物面か
ら入射瞳( 絞り) までの距離ｄ＝ｚp −ｚ0 ＝５（距離
はすべてｚ軸への投影で測る) とすると、この系の特性
は、次の行列の積を計算すれば得られる。

【０１３２】

【数３５】

【０１３３】である。計算結果は表１，表２に示す。表
１，表２には行列の最初の２行から得られる多変量級数
の係数を示す。なお、表１，表２においては有効数字６
桁で計算しているので、７桁目は信頼度が低い。

【０１３４】このように、第１実施形態に示す物理量の
予測方法においては、多変量級数の係数行列から式(10
2) を用いて３次部分及び５次部分の各小行列を作成し
て、この各小行列から式(105) 〜(108) を用いてレンズ
要素の変換行列を、算出している。したがって、簡単に
５次の近似計算を実施できる。

【０１３５】

【表１】

【０１３６】

【表２】

【０１３７】（第２実施形態 任意次数近似のための漸
化式による拡張）次に本発明の第２実施形態に係わる物
理量の予測方法を説明する。

【０１３８】第１実施形態においては５次近似（ｎ＝
５）の場合の拡張の工程のための係数行列Ｌ_bb、Ｌ_bc、
Ｌ_ccの計算式を示したが、近似次数ｎがさらに大きい場
合には漸化式により計算する必要がある。この方法を、
まず面内光線の系を例に取って、以下に順次説明する。

【０１３９】従来の第４の方法の例では、面内光線の系
の２次近似（ｎ＝２）の場合の拡張の工程ための係数行
列Ｌ_bbの計算式を示したが、漸化式によれば任意の近似
次数ｎの計算ができる。次に各工程の処理を順番に説明
する。

【０１４０】［工程１］ 多変量級数の基底の構造のベ
クトル表示 面内光線の系はM ＝２で、一般的には対称性がない場
合、多変量級数を構成する基底ベクトルＸ_0a，Ｘ_0bは、
第１実施形態に示したように、

【数３６】

【０１４１】これらの項を番号により指定するベクトル
として、指数ベクトルｑを次のように定義する。

【０１４２】 ｑ＝（ｉ，ｊ） …(118) ｉは項の次数、すなわち、ｘの指数とｕの指数の合計、
ｊはｘの指数である。式(117) の各項の一般形はｘ^j ，
ｕ^i-j である。

【０１４３】［工程２］ ベクトル表示ｑを用いた多変
量級数の係数 a（ｊ_a ．ｑ) と基底b₁ （ｑ）の定義 この系の多変量級数は第１実施形態の式(101) で表され
るがこれを次式のように書く。

【０１４４】

【数３７】

【０１４５】この各項の係数は a( ｊ_a ，i ，j ） …(120) である。i ， jは指数ベクトルｑの成分であるから、こ
の係数はa （ j_a ，ｑ）と書くこともできる。

【０１４６】j_a は式(119) の左辺の x₁ の指数であ
る。式(119) の各項の基底を b₀ （ｑ）とする。

【０１４７】 b₀ （ｑ）＝ x^j u^i-j …(121) 近似次数をｎ_max とすると、 i， jの存在する範囲を示
す不等式は １≦i ≦ n_max 0≦ j≦ i …(122) 次に変換結果 x₁ ， u₁ から作る基底 b₁ （ｑ）を次式
により定義する。

【０１４８】 ｂ₁ （ｑ）＝ x₁ ^j u₁ ^i-j …(123) これは式(120) の添字０を１に置換えたものである。す
ると式(117) は次式のように書ける。

【０１４９】

【数３８】

【０１５０】ここで ｑ₁ ＝（１，１） …(127) ｑ₂ ＝（１．０） …(128) である。また ｑ_c ＝（ i_c ， j_c ) …(129) は不等式(128) の範囲を動く整数変数である。

【０１５１】［工程３］ 漸化式のもとになる性質とベ
クトル表示の変換行列ｃ（ｑ, ｑ_A) の作成 基底 b₁ （ｑ）は次式の性質を持つことは、容易に確か
められる。

【０１５２】 b₁ （ｑ）＝ b₁ (i,j) ＝ x₁ ^j u₁ ^i-j ＝ b₁ （ｑ−ｑ₁ ) b ₁ ( ｑ₁ ) ＝ b₁ ( ｑ−ｑ₁ ） x₁ …(130) ＝ b₁ （ｑ−ｑ₂ ) b₁ ( ｑ₂ ) ＝ b₁ ( ｑ−ｑ₂ ） u₁ …(131) これが漸化式のもとになる性質である。この式を使え
ば、次数 iの時の b₁ （ｑ）を使って次数i+1 の時の b
₁ （ｑ）を計算できるので、 i=1から漸次に、大きい次
数n まで計算できる。

【０１５３】次に b₁ （ｑ）の式(123) の右辺の x₁ ，
u₁ の中に式(119) を代入すると右辺は x₀ ， u₀ の多
変量級数に展開される。展開係数を c（ｑ，ｑ_A ）と仮
定すると展開式は次のようになる。

【０１５４】 b₁ （ｑ）＝Σ c( ｑ，ｑ_A ）b ₀ （ｑ_A ） …(132) これにより定義される c（ｑ，ｑ_A ）は、以下［工程
６］のスカラー番号への変換の項目において説明するよ
うに、変換行列になるものである。ここでｑ_A ＝（ｉ_A,
ｊ_A ）は不等式(122) の範囲を動く整数変数である。

【０１５５】［工程４］ 初期化処理 式(132) を式(125)(126)と比較すると c( ｑ₁ ，ｑ_A ）＝ a（１，ｑ_A ） …(133) c( ｑ₂ ，ｑ_A ）＝ a（２，ｑ_A ） …(134) ［工程５］ 漸化式の作成 式(130) の左辺に式(132) を入れ、右辺に式(132) のｑ
_A をｑ_B と書換えたものと式(125) を入れると Σ c（ｑ，ｑ_A ） b₀ （ｑ_A ）＝Σ c（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ） b₀ （ｑ_B ） ×Σa(1,ｑ_C ） b₀ （ｑ_C ） ＝Σ c（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ）a （１．ｑ_c ）b ₀ （ｑ_B ＋ｑ_C ） …(135) よって、 c （ｑ，ｑ_A ）＝Σ c（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ）a ( １．ｑ_c ） …(136) 但し、 ｑ_c ＝ｑ_A −ｑ_B …(137) であり、ｑ_A ，ｑ_B は不等式(122) を満足しなければな
らない。

【０１５６】同様に式(131) の左辺に式(132) を入れ、
右辺に式(132) のｑ_A をｑ_B と書換えたものと式(126)
を入れると c（ｑ，ｑ_A ）＝Σ c（ｑ−ｑ₂ ，ｑ_B ）a （０．ｑ_c ） …(138) 但、 ｑ_c ＝ｑ_A −ｑ_B …(139) で指数ベクトルｑ_A ，ｑ_B は不等式(122) を満足しなけ
ればならない。

【０１５７】拡張は初期化の式(133)(134)により次数i=
1 の時の c（ｑ，ｑ_A ）を求め、漸化式(138)(139)によ
り次数 iの時のc （ｑ，ｑ_A ）を使って次数i+1 の時の
c （ｑ，ｑ_A ）を求めることができる。式(138) は１≦
j ≦ iの時に使う。 j＝０の時は（ｑ−ｑ₁ ）が前述し
た不等式(122) を満足しない。

【０１５８】また、式(139) は０≦ j≦ i−１の時に使
う。 j＝i の時は（ｑ−ｑ₂ ）が不等式(122) を満足し
ない。

【０１５９】［工程６］ ベクトルのスカラー番号 Qへ
の変換 行列ｃ（ｑ，ｑ_A ）の行番号を指定するベクトルｑ＝
（ i， j）から、実際の順番につけた行番号 Qを求める
と、行番号は Q＝i （ｉ＋３）／２− j …(140) の式で与えられる。同様に、列番号を指定するベクトル
ｑ＝（ i_A ， j_A ）から、実際の列番号 Q_A を求めると Q_A ＝ｉ_A （ｉ_A ＋３）／２−ｊ_A … (141) 行列ｃ（ｑ，ｑ_A ）はベクトルを添字としているが、行
番号 Qと列番号 Q_A を使うと、行列ｃ（Ｌ，Ｌ_A ）とい
う普通の形（スカラーの添字）の行列になる。するとｃ
（ Q， Q）が変換行列である。

【０１６０】初期化の式(133)(134)の ａ（１，ｑ_A ）＝ａ（１，Ｌ_A ） ａ（０，ｑ_A ）＝ａ（０，Ｌ_A ） は多変量級数の係数であるから、漸化式(136)(137)を使
って拡張を行うことができる。

【０１６１】（第３実施形態 ３次元軸対称光学系の場
合の漸化式）次に本発明の第３実施形態に係わる物理量
の予測方法を説明する。

【０１６２】３次元光学系の場合は、光線は４個の変数
ｘ，ｙ，ｕ，ｖで表される。レンズは通常、光軸の周り
に回転対称に作られるので、軸対称系の場合が実用的に
重要である。第２実施形態の時と同じ順序で、以下に軸
対称系の場合の漸化式による任意次数ｎの計算法を示
す。

【０１６３】［工程１］ 多変量級数の基底の構造のベ
クトル表示 軸対称系では、複素座標 X＝ｘ＋ｊｙ， U＝ｕ＋ｊｖを
使って表すと簡単化される。X ，U の共役複素数を
X^* ， U^* とすると、多変量級数の基底はX ，U ，X^* ，
U^* の積から構成され、奇数次のみが存在する。１次お
よび３次の基底ベクトルＸ_0a，Ｘ_0bを示すと

【数３９】

【０１６４】ここで基底ベクトルＸ_0a，Ｘ_0b，Ｘ_0cにお
いて、添字ａ，ｂは１次および３次を示す。これらの基
底ベクトルの各項はi ，j ，k の３つの整数を使って指
定され、指数ベクトルｑを次のように定義する。

【０１６５】 ｑ＝（i ， j，k ） …(152) 但し、 j，k はそれぞれ基底のX ，X ^* の指数を示し、
i はX とU との指数の和である。 X^* と U^* との指数の
和はi-1 である。各指数の合計はn=2i-1である。

【０１６６】［工程２］ ベクトル表示ｑを用いた係数
a（ j_a ，ｑ）と基底 b₁ （ｑ），d₁ （ｑ）の定義 多変量級数の基底の一般項は、

【数４０】

【０１６７】近似次数を n_max とし、 i_max ＝（ n_max
＋１）／２とすると、n_max ＝２in_max −１で、 i，j
，k の存在する範囲を示す不等式は １≦ i≦ i_max ，０≦ j≦ i，０≦k ≦ i−１ …(155) で、式(154) のΣは、この範囲のすべての整数について
和をとる。

【０１６８】そして、軸対称系の漸化式を導くために
は、さらにアイコナールを表す多変量級数の基底を用い
る必要がある。アイコナールの多変量級数の基底の一般
項 d₀（ｑ）は、 d₀ （ｑ）＝ d₀ （ i，j ，k ） ＝ X^j X ^*k U^i-j U^*i-k …(156) d₀ （ｑ）に対しては、i ，j ，k の存在する範囲を示
す不等式は １≦i ≦ i_max , ０≦j ≦i ，０≦k ≦i …(157) 同じ n_max に対して d₀ （ｑ）の合計指数は b₀ （ｑ）
より１だけ大きい。

【０１６９】次に、式(153),(156) の添字０を１に置き
換えて b₁ （ｑ）と d₁ （ｑ）を次式のように定義す
る。

【０１７０】 b₁ （ｑ）＝ b₁ （ i， j，k ） ＝ X₁ ^j X₁ ^*k U₁ ^i-j U₁ ^*i-1-k …(158) d₁ （ｑ）＝ d₁ （ i， j，k ） ＝ X₁ ^j X₁ ^*k U₁ ^i-j U₁ ^*i-k …(159) 式(158) を式(154) の左辺に使うと、次式のように書け
る。

【０１７１】 X₁ ＝ b₁ （ｑ₁ ）＝Σ a（１，ｑ_c ） b₀ （ｑ_c ） …(160) u₁ ＝ b₁ （ｑ₂ ）＝Σ a（０，ｑ_c ） b₀ （ｑ_c ） …(161) ここでΣはｑ_c が不等式(155) を満たす範囲で和を取
る。また ｑ₁ ＝（１，１，０） …(162) ｑ₂ ＝（１，０，０） …(163) である。

【０１７２】［工程３］ 漸化式のもとになる性質とベ
クトル表示の変換行列ｃ（ｑ，ｑ_A），ｅ（ｑ，ｑ_B ） 基底 b₁ （ｑ）と d₁ （ｑ）は次式の性質を持つこと
は、容易に確かめられる。

【０１７３】 b₁ （ｑ）＝ d₁ （ｑ−ｑ₁ ） x₁ …(164) b₁ （ｑ）＝ d₁ （ｑ−ｑ₂ ） u₁ …(165) d₁ （ｑ）＝ b₁ （ｑ−ｑ₃ ） X₁ ^* …(166) d₁ （ｑ）＝ d₁ （ｑ）U ₁ ^* …(167) 但、ｑ₃ ＝（０，０，１） …(168) これが漸化式のもとになる性質である。

【０１７４】次に b₁ （ｑ）の式(158) の右辺の X₁ ，
U₁ の中に式(154) を代入すると右辺は X₀ ， U₀ の多
変量級数に展開される。展開係数を e（ｑ，ｑ_A ）と仮
定すると展開式は次のようになる。

【０１７５】 b₁ （ｑ）＝Σ c（ｑ，ｑ_A ） b₀ （ｑ_A ） …(169) これが変換行列ｃ（ｑ，ｑ_A ）の定義式である。ここで
ｑ_A ＝（ i_A ． j_A ， k_A ）は不等式(155) の範囲を動
く整数変数である。

【０１７６】同様にｄ₁ （ｑ）の式(159) の右辺の
X₁ ， U₁ の中に式(154) を代入すると右辺は X₀ ， U
₀ の多変量級数に展開される。展開係数を e（ｑ，
ｑ_B ）と仮定すると展開式は次のようになる。

【０１７７】 ｄ₁ （ｑ）＝Σ e（ｑ，ｑ_B ） d₀ （ｑ_B ） …(170) d₁ （ｑ）は回転に対して不変量であるので、回転に対
する不変量である d₀ （ｑ）による展開が可能であるた
め式(170) が成立する。これが e（ｑ，ｑ_B ）の定義式
である。

【０１７８】ここでｑとｑ_B ＝（ i_B ， j_B ， k_B ）は
不等式(157) の範囲を動く整数変数である。

【０１７９】［工程４］ 初期化処理 式(169) を式(160)(161)と比較すると c（ｑ₁ ，ｑ_A ）＝ a（１，ｑ_A ） …(171) c（ｑ₂ ，ｑ_A ）＝ a（０，ｑ_A ） …(172) ［工程５］ 軸対称系の漸化式 以上のように定義すると下記の漸化式が成立ち、展開係
数 c（ｑ，ｑ_A ）から展開係数 e（ｑ，ｑ_B ）を計算す
ることができ、展開係数 e（ｑ，ｑ_B ）から次数が２次
上の展開係数 c（ｑ，ｑ_A ）を計算することができるの
で、漸次に、高次の展開係数を求めることができる。

【０１８０】 ここで、 j＝１〜 iに対し c（ｑ，ｑ_A ）＝Σ e（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ） a（１，ｑ_c ） …(173) j＝０〜 i−１に対し c（ｑ，ｑ_A ）＝Σ e（ｑ−ｑ₂ ，ｑ_B ） a（０，ｑ_c ） …(174) ここで ｑ_c ＝ｑ_A −ｑ_B …(175) ｑ，ｑ_A ，ｑ_c は不等式(155) を満足し、ｑ_B は不等式
(157) を満足するので １≦ i ≦ i_max ， ０≦ j ≦ i， ０≦ k ≦ i −１ 1 ≦ i_A ≦ i_max ， ０≦ j_A ≦ i_A ，０≦ k_A ≦ i_A −１ 1 ≦ i_B ≦ i_max ， ０≦ j_B ≦ i_B ，０≦ k_B ≦ i_B 1 ≦ i_C ≦ i_max ， ０≦ j_C ≦ i_C ，０≦ k_C ≦ i_C −１ …(176) k＝１〜 iに対し e（ｑ，ｑ_B ）＝Σ c（ｑ−ｑ₃ ，ｑ_A ） a（１，ｑ_c ） …(177) k＝０〜 i−１に対し e（ｑ，ｑ_B ）＝Σ c（ｑ，ｑ_A ） a（０，ｑ_c ） …(178) ここで ｑ_c ＝（ｑ_B −ｑ_A ＋ｑ₁ ）´ …(179) ただし、ベクトルの右肩の´は成分 jと成分 iを交換す
ることを示す。式(179)を成分で書けば i_C ＝ i_B − i_A ＋１， j_C ＝ k_B − k_A 、 k_C ＝ j_B − j_A …(180) ｑ，ｑ_B は不等式(157) を満足し、ｑ_A ，ｑ_C は不等式
(155) を満足するので １≦ i ≦ i_max ， ０≦ j ≦ i， ０≦ k ≦ i 1 ≦ i_B ≦ i_max ， ０≦ j_B ≦ i_B ，０≦ k_B ≦ i_B 1 ≦ i_A ≦ i_max ， ０≦ i_A ≦ i_A ，０≦ k_A ≦ i_A −１ 1 ≦ i_C ≦ i_max ， ０≦ j_C ≦ i_C ，０≦ k_C ≦ i_C −１ …(181) これらの漸化式は以下のようにして導かれる。式(164)
の左辺に式(169) を入れ、右辺に式(170) と式(160) を
入れると Σ c（ｑ，ｑ_A ）ｂ₀ （ｑ_A ） ＝Σ e（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ） d₀ （ｑ_B ）Σ a（１，ｑ_C ） b₀ （ｑ_C ） ＝Σ e（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ） a（１，ｑ_C ） b₀ （ｑ_B ＋ｑ_C ） …(182) ここで次の関係を使った。

【０１８１】 d₀ （ｑ_B ） b₀ （ｑ_C ）＝ b₀ （ｑ_B ＋ｑ_C ） …(183) よって c（ｑ，ｑ_A ）＝Σ e（ｑ−ｑ₁ ，ｑ_B ） a（１，ｑ_C ） …(184) 但し、 ｑ_C ＝ｑ_A −ｑ_B …(185) ここでｑ_B は不等式(157) を、ｑ_C は不等式(155) を満
足しなければならない。

【０１８２】次に式(165) の左辺に式(169) を入れ、右
辺に式(170) と式(161) を入れると Σ c（ｑ，ｑ_A ） b₀ （ｑ_A ） ＝Σ e（ｑ−ｑ₂ ，ｑ_B ） d₀ （ｑ_B ）Σ a（０，ｑ_C ） b₀ （ｑ_C ） ＝Σ e（ｑ−ｑ₂ ，ｑ_B ） a（０，ｑ_C ） b₀ （ｑ_B ＋ｑ_C ） …(186) ここで式(174) の関係を使った。よって c（ｑ，ｑ_A ）＝Σ e（ｑ−ｑ₂ ，ｑ_B ） a（０，ｑ_C ） …(187) 但し、 ｑ_C ＝ｑ_A −ｑ_B …(188) ここでｑ_B は不等式(157) を、ｑ_C は不等式(155) を満
足しなければならない。次に式(166) の左辺に式(170)
を入れ、右辺に式(169) と式(170) の共役複素数を入れ
ると Σ e（ｑ，ｑ_B ） d₀ （ｑ_B ） ＝Σ c（ｑ−ｑ₃ ，ｑ_A ） b₀ （ｑ_A ）Σ a（１，ｑ_C ） b₀ （ｑ_C ）^* ＝Σ c（ｑ−ｑ₃ ，ｑ_A ） a（１，ｑ_C ） d₀ （ｑ_A ＋ｑ_C ´−ｑ₂ ） …(189) ここで次の関係を使った。

【０１８３】 b₀ （ｑ_A ） b₀ （ｑ_C ）^* ＝ d₀ （ｑ_A ＋ｑ_C ´−ｑ₂ ） …(190) ここでｑ_C ´はｑ_C と k_c を交換したベクトルである。
よって e（ｑ，ｑ_B ）＝Σ c（ｑ−ｑ₃ ，ｑ_A ） a（１，ｑ_C ） …(191) 但し、 ｑ_C ＝（ｑ_B −ｑ_A ＋ｑ₂ ）´ …(192) ここで、ｑ_B は不等式(157) を、ｑ_C は不等式(155) を
満足しなければならない。

【０１８４】次に式(167) の左辺に式(170) を入れ、右
辺に式(169) と式(161) の共役複素数を入れると Σ e（ｑ，ｑ_B ） d₀ （ｑ_B ） ＝Σ c（ｑ，ｑ_A ） b₀ （ｑ_A ）Σ a（０，ｑ_C ） b₀ （ｑ_C ）^* ＝Σ c（ｑ，ｑ_A ） a（０，ｑ_C ） d₀ （ｑ_A ＋ｑ_C ´−ｑ₂ ） …(193) ここで式(190) の関係を使った。よって e（ｑ，ｑ_B ）＝Σ c（ｑ，ｑ_A ） a（０，ｑ_C ） …(194) 但し、 ｑ_C ＝（ｑ_B −ｑ_A ＋ｑ₂ ）´ …(195) ここで、ｑ_B は不等式(157) を、ｑ_C は不等式(155) を
満足しなければならない。

【０１８５】［工程６］ ベクトルｑ_A ，ｑ_B のスカラ
ー番号 Q_A ， Q_B への変換 行列ｃ（ｑ，ｑ_A ）の行と列を指定するベクトルｑ，ｑ_A の実際の番号は Q＝ i（ i＋１）（ i＋２）／３−２ j−k …(196) 行列ｅ（ｑ，ｑ_B ）の行と列を指定するベクトルｑ，ｑ_B の実際の番号は Q＝ i｛( ２ i＋９） i＋１３｝／６−３j −k …(197) 行列ｃ（ｑ，ｑ_A ）はｑ，ｑ_A から式(196) により求め
た行番号 Qと列番号 Q_A を使うと、ｃ（ Q， Q_A ）とい
うスカラーの添字の行列になる。行列ｅ（ｑ，ｑ_B ）は
ｑ，ｑ_B から式(197) により求めた行番号 Qと列番号 Q
_B を使うと、ｅ（ Q， Q_B ）というスカラーの添字の行
列になる。

【０１８６】［工程７］ 拡張の計算手順 軸対称系について、以上の方法により、任意次数の拡張
の計算を行うことができる。

【０１８７】（第４実施形態 一変数関数の場合の漸化
式）次に本発明の第４実施形態に係わる物理量の予測方
法を説明する。

【０１８８】一変数関数ｙ＝ｆ（x ）の任意次数の近似
の場合について漸化式による計算法を示す。以下に近似
次数３次（ N＝３）の例を示し、任意次数Ｎの場合を述
べる。

【０１８９】多変量級数は、べき級数 y＝Σ a（ i） b₀ （i ）＝Σ a（i ） xⁱ …(241) と表される。 b₁ （ｑ）を次式のように定義する。

【０１９０】 b₁ （ｑ）＝ b₁ （ i）＝ yⁱ …(242) 式(242) を式(241) の左辺に使うと、次式のように書け
る。

【０１９１】 y＝ b₁ （１）＝Σ a（ｑ_C ） b₀ （ｑ_C ） …(243) 次に b₁ （ｑ）の式(242) の右辺の yの中に式(241) を
代入すると右辺はｘのべき級数に展開される。展開係数
を c（ｑ，ｑ_A ) と仮定すると展開式は次のようにな
る。

【０１９２】 b₁ （ｑ）＝Σ c（ｑ，ｑ_A ） b₀ （ｑ_A ） …(244) ［工程４］ 初期化処理 c（１，ｑ_A ）＝ a（ｑ_A ） …(245) ［工程５］ 漸化式 上述した第４実施形態と同様の考察により、次式が得ら
れる。

【０１９３】 c（ｑ，ｑ_A ）＝Σ c（ｑ−１，ｑ_B ） a（ｑ_C ） …(246) 但し、 ｑ_C ＝ｑ_A −ｑ_B …(247) ここでｑ_B は下記不等式満足しなければならない。

【０１９４】１≦ｑ≦N ［工程６］ 拡張の計算手順 汎用漸化式を使って、以上の方法により、任意次数の拡
張の計算を行うことができる。

【０１９５】このように、第２〜第４実施形態の物量量
の予測方法においては、漸化式を用いることによつて、
各次数における行列演算を個別に実施する必要がなくな
り、演算処理効率が大幅に向上する。

【０１９６】（第５実施形態 規準化による計算の簡略
化）次に本発明の第５実施形態に係わる物理量の予測方
法を図３の流れ図を用いて説明する。なお、この実施形
態においては、図２で示した複数のレンズで構成された
光学装置の特性を求める場合を想定して説明する。

【０１９７】これまでの各実施形態では多変量級数を拡
張して変換行列を作った後、行列の積を計算することに
より、合成を行う方法であった。しかし、行列の積の計
算は行列の大きさN が１００以上になると計算量は非常
に大きく、N ＝１００の時、行列積には N³ ＝１００万
回の掛算が必要である。これを減らす方法として、簡略
化した方法を次に述べる。

【０１９８】一般的方法を示すために例として、第４実
施形態と同様にｘ，ｕの２変数の場合の２次近似につい
て説明する。変数の数 M＝２、近似次数 n＝２、項数 N
＝５である。

【０１９９】［前提工程］ 多変量級数の定義 この前提工程においては、従来の図５に示す従来の手法
と同様に、前提として下記に示すｍ個の多変量級数を定
義する。

【０２００】

【数４１】

【０２０１】［工程１］ １次部分の部分積の計算 この工程１においては、変換行列の１次部分行列の部分
積分の計算を行う。まず、部分積と１次部分行列の定義
を行う。

【０２０２】それぞれ変換行列Ｌ₁ ．Ｌ₂ ，…，Ｌ_m で
示される特性を有してｍ個のレンズからなる光学装置に
おける合成変換行列Ｔ_m は、式(46)に示すように、各レ
ンズの変換行列Ｌ₁ ．Ｌ₂ ，…，Ｌ_m の積で表される。

【０２０３】 Ｔ_m ＝Ｌ_m …Ｌ₂ Ｌ₁ …(201) そして、変換行列の部分積Ｔ_k とは、ｍ個の変換行列Ｌ
₁ 〜Ｌ_m のうち最初のｋ個だけの積を計算したもので、
式(202) で示される。

【０２０４】 Ｔ_k ＝Ｌ_k …Ｌ₂ Ｌ₁ …(202) また、変換行列の１次部分行列とは、一次部分以外の要
素をすべて０とした行列である。例えば、第１のレンズ
Ｌ_N1の変換行列Ｌ₁ の一次部分行列は、記号0をつけて
Ｌ0 ₁ と表わす。この第１のレンズＬ_N1の変換行列Ｌ₁
は前述したように式(24)で示されるので、この式(24)の
一次部分を示す［ａ］以外の要素、すなわち二次部分を
示す［ｂ］が関係する要素をすべて［０］に置換したも
のである。その結果、第１のレンズＬ_N1の１次部分行列
Ｌ0 ₁ は式(203) で示される。

【０２０５】

【数４２】

【０２０６】同様に、第２のレンズＬ_N2の１次部分行列
Ｌ0 ₂ は式(33)の［ｇ］が関係する要素をすべて［０］
に置換したものである。その結果、第１のレンズＬ_N2の
１次部分行列Ｌ0 ₂ は式(204) で示される。

【０２０７】

【数４３】

【０２０８】そして、部分行列の部分積Ｔ0 _k は、式(2
05) となる。

【０２０９】 Ｔ0 _k ＝Ｌ0 _k …Ｌ0 ₂ Ｌ0 ₁ …(205) しかし、この式(205) を実際に計算するのは多くの労力
または計算量を必要とするので、実際には式(206) に示
すように一次部分の部分行列のみを計算する。

【０２１０】 Ｔ_kaa ＝Ｌ_kaa …Ｌ_2aa Ｌ_1aa …(206) この式(206) の計算は式(205) の計算に比べて遥かに容
易である。

【０２１１】例えば、前述した項数Ｎ＝４０の場合、各
１次部分行列Ｌ0 ₂ ，Ｌ0 ₁ の積に対して64000 回の掛
け算が必要なのに、一次部分の部分行列のみの計算にお
けるＬ_2aa Ｌ_1aa の積は８回の積だけが必要である。式
(34)に示すＬ_2aa 及び式(31)に示す数値例１を用いて実
際に計算すると式(207) となる。

【０２１２】

【数４４】

【０２１３】このように、一次部分の部分行列のみの計
算することによって、式(203)(204)に示す５行５列のＬ
0 ₂ Ｌ0 ₁ の積（１２５回の積を要する）よりはるかに
簡単である。

【０２１４】［工程２］ 拡張１ この工程２においては、部分行列Ｔ_1aa から拡張により
Ｔ_1bb を求める。部分行列Ｔ_1aa を

【数４５】

【０２１５】

【数４６】

【０２１６】［工程３］ 要素行列の規準化 この工程３においては要素行列の規準化を行う。まず、
規準化の定義を行う。

【０２１７】すなわち、光学装置を構成するレンズ等の
ｍ個の非線形変換の合成を行うことは、前述したように
各構成要素（レンズ）の変換行列Ｌ₁ ．Ｌ₂ ，…，Ｌ_m
の積で示される合成変換行列Ｔ_m を計算することであ
る。

【０２１８】 Ｔ_m ＝Ｌ_m …Ｌ₂ Ｌ₁ …(212) この計算を簡略化するために行う規準化は、Ｌ_k （k=1,
2,…,k）を Ｌ_Nk＝Ｔ0 _k ^-1Ｌ_k Ｔ0 _k-1 …(213) に変えることである。添字Ｎは規準化の記号である。た
だし、ｋ＝１の時、Ｔ0 _k-1 は単位行列とする。すると
合成変換行列Ｔ_m は Ｔ_m ＝Ｔ0 _m Ｔ_Nm …(214) から計算される。ここで規準化された合成変換行列行列
Ｔ_Nmは、規準化された各変換行列Ｌ_Nm，…，Ｌ_N2，Ｌ_N1
から式(215) で求まる。

【０２１９】 Ｔ_Nm＝Ｌ_Nm…Ｌ_N2Ｌ_N1 …(215) から求められる。

【０２２０】この式(215) が正しいことは式(212)(213)
を式(214) に代入するにより容易に確かめられる。

【０２２１】式(34)に示すＬ_2aa 及び式(31)に示す数値
例１を用いて実際に標準化の計算を行うと、

【数４７】

【０２２２】

【数４８】

【０２２３】このように、式(46)に示す変換行例Ｌ₁ ．
Ｌ₂ ，…，Ｌ_m の積を直接計算する代わりに、規準化さ
れた各変換行列Ｌ_Nm，…，Ｌ_N2，Ｌ_N1を用いて式(56)を
計算する方が格段に容易である。それは以下に説明する
収差の分解定理があるからである。

【０２２４】ここで、収差の分解定理を説明する。

【０２２５】規準化した変換行列は、次のように各収差
部分に分解できる。

【０２２６】 Ｌ_Nk＝Ｌ0 _Nk＋Ｌ1 _Nk＋Ｌ2 _Nk＋…＋Ｌ(n-1) _Nk …(222) ここで規準化した変換行列Ｌ0 _Nkは単位行列であり、変
換行列Ｌ1 _Nkは１位収差部分であり、Ｌ2 _Nkは２位収差
部分であり、…、Ｌ(n-1) _Nkは（ｎ−１）位収差部分で
ある。

【０２２７】例えは、近似次数ｎ＝４の場合の例を部分
行列を要素とする行列で示せば

【数４９】

【０２２８】但し、右辺では添字ｋを書くのが省略され
ている。Ｌ0 _Nkは、いわば０位収差で、線形部分から発
生し、単位行列であるから対角線上の要素はすべて１で
ある。また、Ｅのつく部分行列はすべて単位行列であ
る。

【０２２９】Ｌ1 _Nkは１位の収差で、対角線の一つ右側
のみに０でない要素を持ち、２次式の項から発生する。

【０２３０】Ｌ2 _Nkは２位収差で、対角線の２つ右側の
みに０でない要素を持つ。

【０２３１】Ｌ3 _Nkは３位収差で、対角線の３つ右側の
みに０でない要素を持つ。

【０２３２】例えばＬ_N3Ｌ_N2Ｌ_N1を計算する時、各要素
行列を式(65)に示すように各収差部分に分解する。

【０２３３】

【数５０】

【０２３４】すると、この積は次式のように計算され、
掛け算の括弧をはずせば、下記の各項に分解される。こ
れが収差の分解定理である。

【０２３５】

【数５１】

【０２３６】上式の最右辺で、Ｅは単位行列である。次
の行は１位収差を表わし、それは要素行列の１位収差の
和である。次の２行は２位収差を表わす。その１行目は
要素行列の２位収差の和であり、その２行目は２つの１
位収差の相互作用から生じる２位収差である。

【０２３７】次の４行は３位収差を表わす。その１行目
は要素行列の３位収差の和であり、２行目と３行目は、
１位収差と２位収差の相互作用によって生じる３位収差
を表わす。最後の行は３個の１位収差の３重相互作用か
ら生じる３位収差である。式(221) で、これ以外の項は
すべて０となる。

【０２３８】項数 Nが少し大きい数になると、(225) 式
を一挙に計算するのは困難なので、２個の組合わせを計
算する方法が便利である。２個の規準化行列の積は

【数５２】

【０２３９】さらに、この式(226) の計算においても、
行列を実際に全部計算すると計算量が多くなるので、第
１行の部分行列だけを計算する。すると式(222) は下式
のようになる。

【０２４０】

【数５３】

【０２４１】この方法によれば記憶する必要のある行列
要素は、常に、第１行のサブマトリクスだけである。

【０２４２】［工程４］ 拡張２ この工程４においては、２回目の拡張処理を行う、すな
わち、上述した式(227) を計算するには第１行の部分行
列の他に、規準化された行列Ｌ_N1bcを計算する必要があ
る。この計算も拡張の一部であり、第１実施形態乃至第
３実施形態で述べた方法を使うことができる。項数 M＝
２で次数 N＝２の場合は、上記規準化された行列Ｌ_N1bc
は、行列Ｌ_N1abから次式により求める。

【０２４３】

【数５４】

【０２４４】ここで、行列Ｌ_N1bbと行列Ｌ_N1ccとは単位
行列になるので、計算の必要はない。その結果、計算量
を大きく減少する。

【０２４５】［工程５］ 収差の合成 この工程５においては、収差の合成を行う。すなわち、
例えば前述した式(220) ，式(222) の数値例１を用いて
規準化された各変換行列Ｌ_N2ab，Ｌ_N1abから、式(227)
の規準化された第２項［Ｌ_N2Ｌ_N1］_abを計算する。

【０２４６】

【数５５】

【０２４７】なお、式(230) の規準化された第３項［Ｌ
_N2Ｌ_N1］_ac以降も同様の手法で求める。

【０２４８】［工程６］ 規準化を元に戻す この工程６においては、各単位行列Ｔ0 、規準化された
各変換行列Ｔ_N を用いて式(201) で最終の合成変換行列
Ｔ_m を求める。

【０２４９】具体的には、先ず、式(231) を用いて各次
数の項を算出した後、合成変換行列Ｔ_m を求める。

【０２５０】

【数５６】

【０２５１】例えば、前述した式(207) ，式(225) の数
値例１を用いて、式(231) の第２項を計算する。

【０２５２】

【数５７】

【０２５３】このように構成された第５実施形態の物理
量の予測方法においては、光学装置を構成する各レンス
の特性を示す変換行列Ｌ_m ，Ｌ_m-1 ，…，Ｌ₂ ，Ｌ₁ を
そのままの状態で直接掛算を実施して光学装置の全体特
性を示す最終の合成変換行列Ｔ_m をするのではなくて、
各変換行列Ｌ_m 〜Ｌ₁ の一次部分以外を０とした部分行
列Ｌ0 _m ，Ｌ0 _m-1 ，…，Ｌ0 ₂ ，Ｌ0 ₁ を用いること
によって、行列の掛け算処理における積算回数を大幅に
減少でき、最終の合成変換行列Ｔ_m の算出処理能率を大
幅に向上できる。

【０２５４】さらに、各変換行列Ｌ_m 〜Ｌ₁ の規準化を
実施して、この規準化された各変換行列Ｌ_Nm，
Ｌ_N(m-1)，…，Ｌ_N2，Ｌ_N1を用いて、この規準化された
各変換行列Ｌ_Nm〜Ｌ_N1を掛算することによって、規準化
された最終の合成変換行列Ｔ_Nmを求めている。その後、
この規準化された合成変換行列Ｔ_Nmを元の光学装置の全
体特性を示す最終の合成変換行列Ｔ_m へ戻している。

【０２５５】このように、規準化された変換行列で行列
相互間の掛算演算を実施することによって、前述と同様
に行列の掛け算処理における積算回数を大幅に減少で
き、最終の合成変換行列Ｔ_m の算出処理能率を大幅に向
上できる。

【０２５６】なお、本発明は上述した各実施形態に限定
されるものではない。本発明の方法は、光学系の計算の
ほかに、電子光学系、力学系の計算に適用できる。また
変換行列の逆行列を計算することにより逆変換を行うこ
とが可能なため、非線形連立方程式を解くのに利用でき
る。

【０２５７】

【発明の効果】以上説明したように、本発明の物理量の
予測方法においては、たとえ各単位装置の非線形特性を
表す多変量級数を構成する項の数が増えたとしても、変
換行列の演算を簡素化でき、複数の単位装置の非線形特
性を表す多変量級数が既知の時、合成した装置の特性を
表す多変量級数を効率的に求めることができ、かつ簡単
に装置から出力される５次以上の次数を含む任意の次数
の物理量の予測ができる。

【０２５８】その結果、単数または複数の変数による因
果関係の明確な法則による物理量予測計算において、非
線形効果を計算する時の合成計算を可能にし、効率化す
る効果があるので、その適用対象はきわめて広い。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明の実施形態の物理量の予測方法におけ
る各工程を示す流れ図

【図２】 同実施形態の物理量の予測方法が適用される
光学装置の各レンズの配列を示す模式図

【図３】 本発明の他の実施形態の物理量の予測方法に
おける各工程を示す流れ図

【図４】 一般的な軸対称の複数のレンズからなる光学
装置の各レンズの配列を示す模式図

【図５】 従来の多変量級数を用いた物理量の予測方法
における各工程を示す流れ図

【図６】 図５における変換行列作成の詳細工程を示す
流れ図

Claims (5)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 軸対称性を有する複数の単位装置からな
   る装置から出力される物理量の変数を示す出力行列と該
   当装置への複数次数の入力変数を示す各複数次数の入力
   行列との関係を係数行列を用いて多変量級数として設定
   して、この多変量級数の各係数行列を算出することによ
   って、前記出力行列からなる物理量を求める物理量の予
   測方法において、 前記軸対称性を有する多変量級数の５次式による前記各
   単位装置の特性を示す複数の変換行列を合成する処理工
   程で、前記多変量級数の係数行列から、３次部分及び５
   次部分の小行列を作り、これらの小行列の行列積を作っ
   て合成を行うことを特徴とする物理量の予測方法。
2. 【請求項２】 複数の単位装置からなる装置から出力さ
   れる物理量の変数を示す出力行列と該当装置への複数次
   数の入力変数を示す各複数次数の入力行列との関係を係
   数行列を用いて多変量級数として設定して、この多変量
   級数の各係数行列を算出することによって、前記出力行
   列からなる物理量を求める物理量の予測方法において、 前記多変量級数の係数行列から、拡張により前記各単位
   装置の特性を示す変換行列の要素行列を求める処理工程
   で、次数の１次低い要素行列と多変量級数の係数行列と
   の積のうち、基底行列の積が要素行列の列と一致する項
   を加え合わせてなる漸化式により計算し、これらから行
   列積を作って合成を行うことを特徴とする物理量の予測
   方法。
3. 【請求項３】 ３次元軸対称性質を有する複数の単位装
   置からなる装置から出力される物理量の変数を示す出力
   行列と該当装置への複数次数の入力変数を示す各複数次
   数の入力行列との関係を係数行列を用いて多変量級数と
   して設定して、この多変量級数の各係数行列を算出する
   ことによって、前記出力行列からなる物理量を求める物
   理量の予測方法において、 前記３次元軸対称系の特性を表す多変量級数の係数行列
   から、拡張により変換行列の要素行列を求める処理工程
   で、特性を表す多変量級数の変換行列の要素行列とと回
   転不変量の多変量級数の変換行列の要素行列とを組み合
   わせて計算し、それぞれ次数の１次低い要素行列と多変
   量級数の係数行列との積のうち、基底行列の積が要素行
   列の列と一致する項を加え合わせてなる漸化式により計
   算し、これから行列積を作って合成を行うことを特徴と
   する物理量の予測方法。
4. 【請求項４】 複数の単位装置からなる装置から出力さ
   れる物理量の変数を示す出力行列と該当装置への複数次
   数の入力変数を示す各複数次数の入力行列との関係を係
   数行列を用いて多変量級数として設定して、この多変量
   級数の各係数行列を算出することによって、前記出力行
   列からなる物理量を求める物理量の予測方法において、 一変数関数のべき級数の係数行列から、拡張により変換
   行列の要素行列を求める処理過程で、次数の１次低い要
   素行列とべき級数の係数との積のなかから、基底行列の
   積が要素行列の列と一致する項を加え合わせてなる漸化
   式により計算し、これから行列積を作って合成を行うこ
   とを特徴とする物理量の予測方法。
5. 【請求項５】 複数の単位装置からなる装置から出力さ
   れる物理量の変数を示す出力行列と該当装置への複数次
   数の入力変数を示す各複数次数の入力行列との関係を係
   数行列を用いて多変量級数として設定して、この多変量
   級数の各係数行列を算出することによって、前記出力行
   列からなる物理量を求める物理量の予測方法において、 前記各係数行列を求めるために前記各単位装置の特性を
   示す二つ以上の多変量級数を合成する処理過程で、１次
   部分行列の部分積を計算し、これを用いて要素行列を規
   準化し、この規準化行列の積を分解した収差行列の和か
   ら合成変換行列を求めた後、この合成変換行列の規準化
   を元に戻すことを特徴とする物理量の予測方法。