JP6777574B2 - 区分線形近似関数生成装置および方法 - Google Patents
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Description
この生成例によれば、誤差を含むデータの線形近似を、区分数が3の時点で止めた状態が示されているが、大多数のデータ群から値が大きく離れた外れ値が節点として選択されたために、データ群に比べて線形近似関数が大きく歪んでいることがわかる。
区分線形近似関数の近似誤差を小さくするためには、区分の数を多くしていけばよい。しかし、区分の数を多くすれば細かい近似が出来るようになるが、「過学習」「オーバーフィッティング」(与えられたデータにのみ特化した、汎用性に欠ける関数を生成してしまうこと)と呼ばれる問題を引き起こしてしまう。そこで、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が少ない区分線形近似関数を生成する必要がある。
この手法によれば、近似誤差が小さく、かつ、区分の数が「使える節点の最大数−1」を超えない関数を生成することができる。
図17では、近似対象となる関数f(x)と、x軸上に設定された節点候補xi(i=1,2,…,11)とが示されている。この場合、最大の区分数は10となる。
仮に、下限値x1,上限値x11の他に節点を最大2つ使って、最も近似誤差の少ない区分線形近似関数を求め、その結果として図18に示す区分線形近似関数が得られたとする。
まず、下限値x1,上限値x11以外の節点を1つも選ばず、全体で1つの線形近似関数を求め、近似誤差を算出する。次に、下限値x1,上限値x11以外の節点候補xiから任意の1つを選び出して区分を2つに分け、それぞれの区分で線形近似関数を求めた後、全区間の近似誤差を算出する。これを9回繰り返す。次に、下限値x1,上限値x11以外の節点候補xi(i=2,3,…,10)から任意の2つを選び出して区分を3つに分け、それぞれの区分で線形近似関数を求めた後、全区間の近似誤差を算出する。これを組み合わせの数、すなわち36回繰り返す。その後、最も近似誤差の小さかった場合に選び出した節点の組み合わせを採用する。
また、本発明にかかる上記区分線形近似関数生成装置の一構成例は、前記正則化項が、前記傾き差のL2ノルムの総和からなるものである。
まず、本発明の原理について説明する。
一般に、区分線形近似関数では、「過学習」や「オーバーフィッティング」と呼ばれる問題を避けるために、なるべく区分数を少なくしたいというニーズがある。また、熱源運転計画のための混合整数計画に用いる場合、その計算負荷の観点からも、区分数は少ない方がよい。
また、区分数が少ない区分線形近似関数の生成を簡易かつ高速に行うことができれば、熱源運転計画の計算周期内で、実績データに基づいて関数を再生成したり、多数の関数を生成したり、といった応用が可能となり、産業上の効果が大きい。
対策2:絶対値の和を取る前に、それぞれの絶対値を係数で除して基準化を行う。係数の決め方は、一旦、係数を用いずに(=係数を1と置いて)最適化を行い、その結果得られた絶対値そのものを、係数として使う。
本発明は、このような対策1のみを実施するか、あるいは対策1,2の両方を実施するようにしたものである。
次に、本発明の実施の形態について図面を参照して説明する。
まず、図1を参照して、本発明の第1の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置10について説明する。図1は、第1の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図である。
操作入力部12は、キーボード、マウス、タッチパネルなどの操作入力装置からなり、オペレータの操作を検出して演算処理部15へ出力する機能を有している。
記憶部14で記憶される主な処理データとして、入出力データ14Aおよび節点候補14Bがある。
演算処理部15で実現される主な処理部として、設定処理部15A、最適化問題定式化部15B、最適化処理部15C、および区分線形近似関数生成部15Dがある。
区分線形近似関数生成部15Dは、最適化処理部15Cで得られた最適化問題の解に基づいて、各区部の線形近似関数のそれぞれを生成することにより、区分線形近似関数を生成する機能を有している。
次に、図2を参照して、本実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置10の動作について説明する。図2は、第1の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートである。
区分線形近似関数生成装置10の演算処理部15は、操作入力部12で検出されたオペレータ操作に応じて、図2の区分線形近似関数生成処理を実行する。
また、節点候補と一致しない入力データとそれに対応する出力データについては、節点候補xiと節点候補xi+1に挟まれた区分Siにmi個の入出力データがあるとき、これら入出力データの入力データをx[i]k(k=1,2,…,mi)と表し、対応する出力データをy[i]kと表すものとする。したがって、入出力データの個数Nは、次の式(1)で表される。
x2上には出力データy2が存在するが、x1,x3,x4上には出力データが存在せず、j=1,3,4である。また、x1とx2の間の区分S1には入出力データが存在せず、m1=0である。一方、x2とx3の間の区分S2には1つの入出力データ(x[2]1,y[2]1)が存在し、m2=1であり、同じく、x3とx4の間の区分S3には2つの入出力データ(x[3]1,y[3]1)と(x[3]2,y[3]2)とが存在し、m3=2である。したがって、入出力データの個数Nは、N=4−3+(0+1+2)=4である。
区分線形近似関数をh(x)とし、h(x)による出力データyiの近似値をy^i=h(xi)や、y^[i]k=h(x[i]k)で表すものとする。
また、節点候補xiと節点候補xi+1に挟まれた区間の線形近似関数の傾きを、giとする。
ここでは、「隣り合う区分の線形近似関数の傾きの差」が小さくなるような目的関数および/または制約条件を置くために、正則化項EWを次の式(3)で定義する。式(3)は、傾き差のすべてに関する絶対値の和、すなわちL1ノルムを表している。
この近似値一致は、次の式(4)の1行目で表すことができる。また、2行目の式は、区分内部の近似値が、近似直線と一致する(直線上に乗る)ことを表している。
図2において、最適化処理部15Cは、操作入力部12で検出されたオペレータ操作に応じて、正則化項EWに対する重みλを設定し(ステップ106)、この重みλで規定された式(5)に基づいて最適化演算を実行することにより最適化問題を求解する(ステップ107)。
ここで、式(6)の最適化問題を解いた結果、傾きgi(i=1,2,…,n−1)を並べた結果が、次の式(7)のようになったとする。
以上より、採用する節点は、x1,xs1+1,xs1+s2+1,…,xs1+…+sp+1であり、採用する節点の数はp+1個となる。ただし、x1は下限値、xs1+…+sp+1は上限値であり、区分の数はp個である。
この結果、区分数が10個の区分線形近似関数が得られ、外れ値の影響は受けていないことが分かる。また、最適化処理には、一般に流通する二次計画ソルバを用いたが、非常に短時間で計算することができた。
このように、本実施の形態は、最適化問題定式化部15Bが、入出力データ14Aおよび節点候補14Bに基づいて、線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化し、この際、入出力データ14Aに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項EDを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項EWを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを最適化問題に関する制約条件として定式化するようにしたものである。
次に、図7を参照して、本発明の第2の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置10について説明する。図7は、第2の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図であり、図1と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
すなわち、本実施の形態では、正則化項EWとして前述した式(3)を用いる代わりに、次の式(10)のように、正の係数diを用いて、「基準化」を行う。
初回の基準化では、初期値としてdi=1とする。これは、式(10)と式(3)が等価であることを意味する。その上で、最適化問題を解き、得られた傾きをg*iとする。得られた傾きg*iを用いて、次の式(11)に従ってdiを更新する。
前述した図2と比較して、ステップ106とステップ107の間に、基準化処理部15Eが式(10)および式(11)に従って、正則化項EWを基準化する処理(ステップ200)が追加されている。
これにより、区分数がうまく少なくならない入出力データ14Aであっても、区分数の少ない区分線形近似関数を生成することが可能となる。
この結果、区分数が図6の10個より少ない4個の区分線形近似関数が得られ、外れ値の影響は受けておらず、より自然な近似が得られていることが分かる。
次に、本発明の第3の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置10について説明する。
第1の実施の形態では、入出力データ14Aに対する区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項EDを、最適化問題に関する目的関数として定式化し、区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項EWを、最適化問題に関する目的関数として定式化する場合を例として説明したが、これら誤差項EDおよび正則化項EWのいずれか一方または両方を、最適化問題に関する制約条件として定式してもよい。
誤差項ED、正則化項の少なくともいずれか一方を目的関数に含めない場合、正則化項EWに対する重みλは不要であり、設定しなくてよい。
誤差項ED、正則化項EWのどちらも目的関数に含めない場合、最適化問題は、目的関数が存在せず、制約条件のみが存在する「実行可能性問題」となるが、同様に求解可能である。
次に、本発明の第4の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置10について説明する。
最適化問題は、二次計画問題ではなく、線形計画問題とすることもできる。その場合は、誤差項EDを、前述した式(2)で表されるような誤差の平方和ではなく、次の式(13)のように、誤差の絶対値の和とすればよい。なお、絶対値表現の線形表現への変換は、式(5)から式(6)で行った、正則化項の変換と同じように、中間変数を用いて行えばよい。
次に、図10を参照して、本発明の第5の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置10について説明する。図10は、第5の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成装置の構成を示すブロック図であり、図1と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
次に、図11を参照して、本実施の形態にかかる区分の線形近似関数生成装置10の動作について説明する。図11は、第5の実施の形態にかかる区分線形近似関数生成処理を示すフローチャートであり、図2と同じまたは同等部分には同一符号を付してある。
区分線形近似関数生成装置10の演算処理部15は、操作入力部12で検出されたオペレータ操作に応じて、図11の区分線形近似関数生成処理を実行する。
図12は、入力が2次元の場合の区分を示す説明図である。例えば、入力がx1,x2の2次元で、出力yは1次元であるとした場合、各区分(三角形)は、例えば図12のように定義できる。この例では、区分数は、全部で224個となっており、頂点数は135個である。
多次元の誤差項EDは、式(2)と同様に次の式(14)のように表すことができる。
また、y[I]kは、ある区分をSIとしたとき、その区分SIに含まれる(ただし頂点以外)出力値であり、その個数はmiである。また、Nは区分の合計数である。なお、出力値が区分と区分の境界上に位置していたとしても、近似誤差を重複して加算する必要はない。
各次元の傾きの差を取り、そのL2ノルムの計算を次の式(15)のように定義する。
2行目は、区分SIに含まれる区分内部の近似値が、近似直線と一致する(超平面上に乗る)ことを表している。y^aは、SIの任意の頂点上の近似値である。
続いて、区分線形近似関数生成部15Dは、最適化処理部15Cで得られた最適化問題の解に基づいて、各区部の線形近似関数のそれぞれを生成することにより、区分線形近似関数を生成する(ステップ108)。
以上、実施形態を参照して本発明を説明したが、本発明は上記実施形態に限定されるものではない。本発明の構成や詳細には、本発明のスコープ内で当業者が理解しうる様々な変更をすることができる。また、各実施形態については、矛盾しない範囲で任意に組み合わせて実施することができる。
Claims (7)
- 入力が1次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の節点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成装置であって、
前記入出力データおよび前記節点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化部と、
最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理部と、
得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成部とを備え、
前記最適化問題定式化部は、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化する
ことを特徴とする区分線形近似関数生成装置。 - 入力が多次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の頂点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成装置であって、
前記入出力データおよび前記頂点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化部と、
最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理部と、
得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成部とを備え、
前記最適化問題定式化部は、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化し、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化する
ことを特徴とする区分線形近似関数生成装置。 - 請求項1に記載の区分線形近似関数生成装置において、
前記正則化項は、前記傾き差のすべてに関するL1ノルムからなることを特徴とする区分線形近似関数生成装置。 - 請求項2に記載の区分線形近似関数生成装置において、
前記正則化項は、前記傾き差のL2ノルムの総和からなることを特徴とする区分線形近似関数生成装置。 - 請求項3または請求項4に記載の区分線形近似関数生成装置において、
前記傾き差ごとに設けた所定の係数を用いて前記正則化項を基準化する基準化部をさらに備え、
前記係数のそれぞれは、前記係数を1と仮定して前記最適化問題を解くことにより得られた、対応する前記傾き差の絶対値からなる
ことを特徴とする区分線形近似関数生成装置。 - 入力が1次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の節点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成方法であって、
最適化問題定式化部が、前記入出力データおよび前記節点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化ステップと、
最適化処理部が、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理ステップと、
区分線形近似関数生成部が、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成ステップとを備え、
前記最適化問題定式化ステップは、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が節点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するステップとを含む
ことを特徴とする区分線形近似関数生成方法。 - 入力が多次元である複数の入出力データと、予め設定された複数の頂点候補とに基づいて、前記入出力データの各区分を線形近似関数で近似する区分線形近似関数を生成する区分線形近似関数生成方法であって、
最適化問題定式化部が、前記入出力データおよび前記頂点候補に基づいて、前記線形近似関数のそれぞれについて傾きおよび切片を求めるための最適化問題を定式化する最適化問題定式化ステップと、
最適化処理部が、最適化演算を実行することにより前記最適化問題の解を求める最適化処理ステップと、
区分線形近似関数生成部が、得られた解に基づいて前記線形近似関数のそれぞれを生成する区分線形近似関数生成ステップとを備え、
前記最適化問題定式化ステップは、
前記入出力データに対する前記区分線形近似関数の近似誤差を表す誤差項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記区分のうち隣り合う区分の線形近似関数に関する傾き差を表す正則化項を、前記最適化問題に関する目的関数および制約条件のいずれか一方または両方として定式化するステップと、
前記隣り合う区分の線形近似関数による近似値が頂点で一致することを前記最適化問題に関する制約条件として定式化するステップとを含む
ことを特徴とする区分線形近似関数生成方法。
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