JPH09185401A - 適性化装置および適性化方法 - Google Patents
適性化装置および適性化方法Info
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- JPH09185401A JPH09185401A JP8017128A JP1712896A JPH09185401A JP H09185401 A JPH09185401 A JP H09185401A JP 8017128 A JP8017128 A JP 8017128A JP 1712896 A JP1712896 A JP 1712896A JP H09185401 A JPH09185401 A JP H09185401A
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- G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
- G05B13/0205—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric not using a model or a simulator of the controlled system
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 誤差等の広がりをもった入力に対し、この広
がりの範囲内に含まれ、かつ、ロバスト性の大きい適性
関数を得る。 【解決手段】 誤差等の広がりをもった入力により適性
領域（上限関数Ｍ+ (x)と下限関数Ｍ- (x) に挟まれた
領域）を設定する。この適性領域と未決定のパラメータ
を含む適性関数との間に不等式を立てる。適性関数のパ
ラメータ値に対し、適性領域の境界に対応したパラメー
タの解領域の境界からの距離を設定し、この距離が最大
であるパラメータ値を持つ適性関数ｆ(x) を求める。破
線はロバスト性の小さい適性関数ｆ’（ｘ）を示し、実
線は本発明の適用によって得られた最大ロバストな適性
関数ｆ（ｘ）を示す。
がりの範囲内に含まれ、かつ、ロバスト性の大きい適性
関数を得る。 【解決手段】 誤差等の広がりをもった入力により適性
領域（上限関数Ｍ+ (x)と下限関数Ｍ- (x) に挟まれた
領域）を設定する。この適性領域と未決定のパラメータ
を含む適性関数との間に不等式を立てる。適性関数のパ
ラメータ値に対し、適性領域の境界に対応したパラメー
タの解領域の境界からの距離を設定し、この距離が最大
であるパラメータ値を持つ適性関数ｆ(x) を求める。破
線はロバスト性の小さい適性関数ｆ’（ｘ）を示し、実
線は本発明の適用によって得られた最大ロバストな適性
関数ｆ（ｘ）を示す。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、例えばデジタルフ
ィルタ等の設計に利用可能であり、その設計に用いられ
るロバスト性を持った関数を得る方法および装置に関す
る。
ィルタ等の設計に利用可能であり、その設計に用いられ
るロバスト性を持った関数を得る方法および装置に関す
る。
【０００２】
【従来の技術】ロバスト性とは偏差に対するシステムの
挙動の頑強性である。現実のシステムには様々な偏差が
介在するので、ロバスト性の保証は極めて重要な工学的
課題である。例えば、フィードバックループにある程度
の外乱が加わっても、その挙動がほとんど影響を受けな
いとき、このシステムはロバスト性を持つと言われる。
このような偏差としては外的なものだけでなく、部品の
経時変化等の内定なパラメータ値の変化も含まれる。
挙動の頑強性である。現実のシステムには様々な偏差が
介在するので、ロバスト性の保証は極めて重要な工学的
課題である。例えば、フィードバックループにある程度
の外乱が加わっても、その挙動がほとんど影響を受けな
いとき、このシステムはロバスト性を持つと言われる。
このような偏差としては外的なものだけでなく、部品の
経時変化等の内定なパラメータ値の変化も含まれる。
【０００３】本発明者は、先に、物理的特性の適性な範
囲をあらかじめ与え、その範囲内に含まれる関数（これ
を適性関数という）を、パラメータをもつ関数の族とし
て求める適性化法を提案した（特開平７−２２６６５６
号公報参照）。この方法によれば広がりのある解領域が
得られ、この広がりを用いて、パラメータ値の変動等に
対しロバスト性をもつ関数族のパラメータ設計を行うこ
とができた。
囲をあらかじめ与え、その範囲内に含まれる関数（これ
を適性関数という）を、パラメータをもつ関数の族とし
て求める適性化法を提案した（特開平７−２２６６５６
号公報参照）。この方法によれば広がりのある解領域が
得られ、この広がりを用いて、パラメータ値の変動等に
対しロバスト性をもつ関数族のパラメータ設計を行うこ
とができた。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】従来技術の最適化法に
よるパラメータ設計では、例えば目標関数を最小化する
ことにより、唯一の最適パラメータ値を求める。最適パ
ラメータ値は広がりを持たず唯一であるから、これに偏
差が加わった場合のシステムの挙動変化等に対し、定量
的なロバスト性を考慮した設計を行うことはできない。
よるパラメータ設計では、例えば目標関数を最小化する
ことにより、唯一の最適パラメータ値を求める。最適パ
ラメータ値は広がりを持たず唯一であるから、これに偏
差が加わった場合のシステムの挙動変化等に対し、定量
的なロバスト性を考慮した設計を行うことはできない。
【０００５】また、上記適性化法においては、得られた
パラメータ値に対応する適性関数を信号処理装置等に実
装するためには、パラメータの解領域から唯一のパラメ
ータを選び出す必要がある。しかし、上記適性化法にお
いては、ロバスト性を高めるための一般的な選択方法の
限定は、特になされていなかった。
パラメータ値に対応する適性関数を信号処理装置等に実
装するためには、パラメータの解領域から唯一のパラメ
ータを選び出す必要がある。しかし、上記適性化法にお
いては、ロバスト性を高めるための一般的な選択方法の
限定は、特になされていなかった。
【０００６】また上記適性化法においては解領域でなく
はじめから解の１つのみを計算する場合もある。適性化
法の解は本質的には領域になるので、解を一意に求める
ために、付加的な条件によりどのような解を計算するか
選択しておく必要がある。しかし、従来、この一意化条
件としてロバスト性を高めるための条件は設定されてい
なかった。そのため、得られたパラメータは一般にロバ
スト性がなかった。
はじめから解の１つのみを計算する場合もある。適性化
法の解は本質的には領域になるので、解を一意に求める
ために、付加的な条件によりどのような解を計算するか
選択しておく必要がある。しかし、従来、この一意化条
件としてロバスト性を高めるための条件は設定されてい
なかった。そのため、得られたパラメータは一般にロバ
スト性がなかった。
【０００７】本発明は以上の点にかんがみ、適性化法を
改良し、前記の解領域を求める場合及び解の一つを求め
る場合にロバスト性の高い解、すなわちロバスト安定な
物理システムを求めることを目的とする。
改良し、前記の解領域を求める場合及び解の一つを求め
る場合にロバスト性の高い解、すなわちロバスト安定な
物理システムを求めることを目的とする。
【０００８】
【課題を解決するための手段】パラメータ値にある偏差
が加わったときに、このパラメータ値に対応する適性関
数の値が適性領域に留まり続ける場合、その偏差をこの
パラメータ値の許容偏差とよぶ。適性化方法においてロ
バストなパラメータとは、許容偏差が大きいパラメータ
値のことである。また最もロバストなパラメータとは、
許容偏差が最大であるパラメータ値のことである。
が加わったときに、このパラメータ値に対応する適性関
数の値が適性領域に留まり続ける場合、その偏差をこの
パラメータ値の許容偏差とよぶ。適性化方法においてロ
バストなパラメータとは、許容偏差が大きいパラメータ
値のことである。また最もロバストなパラメータとは、
許容偏差が最大であるパラメータ値のことである。
【０００９】本発明に係る適性化装置は、少なくとも物
理的特性の許容範囲に対応した適性領域を設定する手段
と、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれ
る適性関数を連立不等式を解くことにより求める適性関
数決定手段とを備え、前記適性関数決定手段は、前記適
性関数を、パラメータをもつ関数の族として設定し、適
性領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界から
の距離を設定し、この距離をあらかじめ要求された度合
より大きくしまたは最大にする条件の下で連立不等式を
解くことにより、ロバストなパラメータ値を持つ適性関
数を求めることを特徴としている。
理的特性の許容範囲に対応した適性領域を設定する手段
と、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれ
る適性関数を連立不等式を解くことにより求める適性関
数決定手段とを備え、前記適性関数決定手段は、前記適
性関数を、パラメータをもつ関数の族として設定し、適
性領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界から
の距離を設定し、この距離をあらかじめ要求された度合
より大きくしまたは最大にする条件の下で連立不等式を
解くことにより、ロバストなパラメータ値を持つ適性関
数を求めることを特徴としている。
【００１０】さらに、本発明に係る適性化方法は、少な
くとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を設定
する第１のステップと、この適性領域の範囲内に少なく
とも近似的に含まれる適性関数を連立不等式を解くこと
により求める第２のステップとを備え、前記第２のステ
ップは、前記適性関数を、パラメータをもつ関数の族と
して設定し、このパラメータを連立不等式を解くことに
より求めるとともに、適性領域の境界に対応したパラメ
ータの解領域の境界からの距離が最大またはあらかじめ
要求された度合より値になるロバストなパラメータ値を
持つ適性関数を求めることを特徴としている。
くとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を設定
する第１のステップと、この適性領域の範囲内に少なく
とも近似的に含まれる適性関数を連立不等式を解くこと
により求める第２のステップとを備え、前記第２のステ
ップは、前記適性関数を、パラメータをもつ関数の族と
して設定し、このパラメータを連立不等式を解くことに
より求めるとともに、適性領域の境界に対応したパラメ
ータの解領域の境界からの距離が最大またはあらかじめ
要求された度合より値になるロバストなパラメータ値を
持つ適性関数を求めることを特徴としている。
【００１１】本明細書において「物理的特性」とは、要
求特性、要求形状、測定値、通信信号、パターン信号等
を意味している。また本明細書において「適性化」と
は、入力の広がりに対応した範囲（以下「適性領域」と
いう）内を少なくとも近似的に通る関数（以下「適性関
数」という）、より具体的にはこの適性関数のパラメー
タ値を導き出すことをいう。
求特性、要求形状、測定値、通信信号、パターン信号等
を意味している。また本明細書において「適性化」と
は、入力の広がりに対応した範囲（以下「適性領域」と
いう）内を少なくとも近似的に通る関数（以下「適性関
数」という）、より具体的にはこの適性関数のパラメー
タ値を導き出すことをいう。
【００１２】この適性化法は、適性関数が単純な形で表
される場合においても膨大な量の演算を行わなければな
らない。したがって手計算により求解することは不可能
であり、デジタルコンピュータ等を使用することにより
初めて実施可能となる。また適性化方法とは適性化を行
う方法であり、適性化装置とは適性化を実施するための
装置をいう。すなわち、適性化方法が実施されるデジタ
ルコンピュータ等をいう。
される場合においても膨大な量の演算を行わなければな
らない。したがって手計算により求解することは不可能
であり、デジタルコンピュータ等を使用することにより
初めて実施可能となる。また適性化方法とは適性化を行
う方法であり、適性化装置とは適性化を実施するための
装置をいう。すなわち、適性化方法が実施されるデジタ
ルコンピュータ等をいう。
【００１３】以下、典型的な適性化方法をベクトル表記
法を用いて説明する。適性化方法の代表的な一例は、パ
ラメータを含む適当な関数をｆ(x) と置き、多次元空間
上の範囲Ｄ内で、 Ｍ- (x) ＜ｆ(x) ＜Ｍ+ (x) （∀ｘ∈Ｄ） （１） を満たすパラメータ値を求める手法で表される。（１）
式を適性化の決定式と呼び、（１）式を満たすようなｆ
(x) を適性関数と呼ぶ。また適性関数ｆ(x) の上限を制
約するＭ+ (x) を上限関数、下限を制約するＭ- (x) を
下限関数、上限関数Ｍ+ (x) と下限関数Ｍ- (x) により
制約される範囲全体を適性領域Ｔ（＝｛（ｘ, ｙ）｜ｘ
∈Ｄ，Ｍ- (x) ＜ｙ＜Ｍ+ (x) ｝）と呼ぶ。上限関数Ｍ
+ (x) 、下限関数Ｍ- (x) はそれぞれ＋∞，−∞の値を
とってもよい。また、適性領域は、中心値とそこからの
許容幅により与えることもできる。
法を用いて説明する。適性化方法の代表的な一例は、パ
ラメータを含む適当な関数をｆ(x) と置き、多次元空間
上の範囲Ｄ内で、 Ｍ- (x) ＜ｆ(x) ＜Ｍ+ (x) （∀ｘ∈Ｄ） （１） を満たすパラメータ値を求める手法で表される。（１）
式を適性化の決定式と呼び、（１）式を満たすようなｆ
(x) を適性関数と呼ぶ。また適性関数ｆ(x) の上限を制
約するＭ+ (x) を上限関数、下限を制約するＭ- (x) を
下限関数、上限関数Ｍ+ (x) と下限関数Ｍ- (x) により
制約される範囲全体を適性領域Ｔ（＝｛（ｘ, ｙ）｜ｘ
∈Ｄ，Ｍ- (x) ＜ｙ＜Ｍ+ (x) ｝）と呼ぶ。上限関数Ｍ
+ (x) 、下限関数Ｍ- (x) はそれぞれ＋∞，−∞の値を
とってもよい。また、適性領域は、中心値とそこからの
許容幅により与えることもできる。
【００１４】（１）式を有限個の不等式で表し、この有
限個の不等式を全て満たすようなｆ(x) のパラメータの
存在する範囲を解領域と呼ぶ。この解領域は適性領域が
パラメータ空間に変換されたものである。したがって解
領域内の１点は、適性領域内に値をとる１つの適性関数
に対応している。
限個の不等式を全て満たすようなｆ(x) のパラメータの
存在する範囲を解領域と呼ぶ。この解領域は適性領域が
パラメータ空間に変換されたものである。したがって解
領域内の１点は、適性領域内に値をとる１つの適性関数
に対応している。
【００１５】解領域の中から適性関数を選ぶ際は、適性
領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界からの
距離を設定し、この距離が最大またはあらかじめ要求さ
れた度合より値になるロバストなパラメータ値を持つ適
性関数を選択する。
領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界からの
距離を設定し、この距離が最大またはあらかじめ要求さ
れた度合より値になるロバストなパラメータ値を持つ適
性関数を選択する。
【００１６】なお本発明の適性化装置および適性化方法
において、適性関数ｆ(x) は単に実数値をとる関数だけ
でなく、汎関数、作用素等であってもよく、さら数列の
漸化式であってもよい。またＤは離散的な点集合でも連
続的な範囲でもよく非連結であってもよい。
において、適性関数ｆ(x) は単に実数値をとる関数だけ
でなく、汎関数、作用素等であってもよく、さら数列の
漸化式であってもよい。またＤは離散的な点集合でも連
続的な範囲でもよく非連結であってもよい。
【００１７】またパラメータが共通のものであれば、適
性化したい関数が複数存在してもよい。この場合、それ
ぞれの適性化したい関数に対して、異なる適性領域が存
在してもよい。
性化したい関数が複数存在してもよい。この場合、それ
ぞれの適性化したい関数に対して、異なる適性領域が存
在してもよい。
【００１８】
【発明の実施の形態】以下本発明の実施の形態について
説明する。まず、実施形態１及び２により本発明の適性
化装置および適性化方法について説明し、実施形態３以
下により、この装置および方法の技術上および産業上の
様々なシステム等への応用について説明する。
説明する。まず、実施形態１及び２により本発明の適性
化装置および適性化方法について説明し、実施形態３以
下により、この装置および方法の技術上および産業上の
様々なシステム等への応用について説明する。
【００１９】（実施形態１）本発明の実施形態１につい
て説明する。ここでは適性化方法におけるロバスト解、
すなわちロバストな適性関数の求解について、次の順に
説明する。 １．適性化方法問題の連立不等式への還元 ２．ロバスト解の求解
て説明する。ここでは適性化方法におけるロバスト解、
すなわちロバストな適性関数の求解について、次の順に
説明する。 １．適性化方法問題の連立不等式への還元 ２．ロバスト解の求解
【００２０】１．適性化方法問題の連立不等式への還元 図１を用いて適性化方法を説明する。本実施形態におい
て、各点列Ｐj ＝（ｘj , ｙj ) ( j = 1,2,...,n ) は
例えば入力データに基づいて生成される。適性関数を制
約するｘ軸上の範囲Ｄは｛ｘ1,ｘ2,．．．, ｘn ｝とな
る。各点Ｐi の誤差等による広がりを考慮して、ｘ＝ｘ
i において、この点Ｐi がとりうる上限値により上限関
数Ｍ+ ( ｘi ) が、また下限値により下限関数Ｍ- ( ｘ
i ）が定められる。このような設定が各点列Ｐi に対し
て行われる。すなわち、上限関数に対応する点列Ｐ+ 1
＝（ｘ1,ｙ+ 1) ,Ｐ+ 2 ＝( ｘ2,ｙ+ 2), ．．．, Ｐ+
n＝( ｘn , ｙ+ n ) と、下限関数に対応する点列Ｐ-
1 ＝( ｘ1,ｙ- 1), Ｐ- 2＝( ｘ2 , ｙ- 2), ．．．,
Ｐ- n ＝( ｘn , ｙ- n ) が定められる。ただしｙ+ i
はＭ+ ( ｘi ) 、またｙ- i はＭ- ( ｘi ) である。こ
れらの点列全体により適性領域Ｔが定められる。
て、各点列Ｐj ＝（ｘj , ｙj ) ( j = 1,2,...,n ) は
例えば入力データに基づいて生成される。適性関数を制
約するｘ軸上の範囲Ｄは｛ｘ1,ｘ2,．．．, ｘn ｝とな
る。各点Ｐi の誤差等による広がりを考慮して、ｘ＝ｘ
i において、この点Ｐi がとりうる上限値により上限関
数Ｍ+ ( ｘi ) が、また下限値により下限関数Ｍ- ( ｘ
i ）が定められる。このような設定が各点列Ｐi に対し
て行われる。すなわち、上限関数に対応する点列Ｐ+ 1
＝（ｘ1,ｙ+ 1) ,Ｐ+ 2 ＝( ｘ2,ｙ+ 2), ．．．, Ｐ+
n＝( ｘn , ｙ+ n ) と、下限関数に対応する点列Ｐ-
1 ＝( ｘ1,ｙ- 1), Ｐ- 2＝( ｘ2 , ｙ- 2), ．．．,
Ｐ- n ＝( ｘn , ｙ- n ) が定められる。ただしｙ+ i
はＭ+ ( ｘi ) 、またｙ- i はＭ- ( ｘi ) である。こ
れらの点列全体により適性領域Ｔが定められる。
【００２１】適性関数がｘに関して１次の有理関数
（２）式で表せると想定する。 ｆ(x) ＝( ａ0 ＋ａ1 ｘ) ／( ｂ0 ＋ｂ1 ｘ) （∀ｘ∈Ｄ） （２） ここで、ａ0,ａ1,ｂ0,ｂ1 は実数のパラメータである。
（２）式を（１）式に代入するとともに、分母（ｂ0 ＋
ｂ1 ｘi ）が正であるという条件の下で分母を払うと、
（１）式はこれと等価な連立不等式（３）、（４）、
（５）に変形される。 −ａ0 −ａ1 ｘi ＋ｂ0 Ｍ+ ( ｘi ) ＋ｂ1 ｘi Ｍ+ ( ｘi ) ＞０ （３） ａ0 ＋ａ1 ｘi −ｂ0 Ｍ- ( ｘi ) −ｂ1 ｘi Ｍ- ( ｘi ) ＞０ （４） ｂ0 ＋ｂ1 ｘi ＞０ （５）
（２）式で表せると想定する。 ｆ(x) ＝( ａ0 ＋ａ1 ｘ) ／( ｂ0 ＋ｂ1 ｘ) （∀ｘ∈Ｄ） （２） ここで、ａ0,ａ1,ｂ0,ｂ1 は実数のパラメータである。
（２）式を（１）式に代入するとともに、分母（ｂ0 ＋
ｂ1 ｘi ）が正であるという条件の下で分母を払うと、
（１）式はこれと等価な連立不等式（３）、（４）、
（５）に変形される。 −ａ0 −ａ1 ｘi ＋ｂ0 Ｍ+ ( ｘi ) ＋ｂ1 ｘi Ｍ+ ( ｘi ) ＞０ （３） ａ0 ＋ａ1 ｘi −ｂ0 Ｍ- ( ｘi ) −ｂ1 ｘi Ｍ- ( ｘi ) ＞０ （４） ｂ0 ＋ｂ1 ｘi ＞０ （５）
【００２２】連立不等式（３）、（４）、（５）をベク
トルの内積として表示するために、パラメータａ0,ａ1,
ｂ0,ｂ1 の数に等しい次元である４次元のパラメータ空
間が設定される。このパラメータ空間内におけるベクト
ルＸ、η+ ( ｘi ),η- ( ｘi ) およびη0(ｘi ) を以
下の式のように置く。 Ｘ＝( ａ0,ａ1,ｂ0,ｂ1) （６） η+ ( ｘi ) ＝( −１, −ｘi , Ｍ+ ( ｘi ),ｘi Ｍ+ ( ｘi )) （７） η- ( ｘi ) ＝( １, ｘi , −Ｍ- ( ｘi ),−ｘi Ｍ- ( ｘi )) （８） η0 ( ｘi ) ＝( ０, ０, １, ｘi ) （９） Ｘはパラメータベクトル、η+ ( ｘi ) （以下「上限ベ
クトル」と呼ぶ）は上限関数Ｍ+ ( ｘi ) による制限を
表すベクトル、η- ( ｘi ) （以下「下限ベクトル」と
呼ぶ）は下限関数Ｍ- ( ｘi ) による制限を表すベクト
ル、またη0 ( ｘi ) は（２）式が発散しないために必
要な条件を表すベクトルである。
トルの内積として表示するために、パラメータａ0,ａ1,
ｂ0,ｂ1 の数に等しい次元である４次元のパラメータ空
間が設定される。このパラメータ空間内におけるベクト
ルＸ、η+ ( ｘi ),η- ( ｘi ) およびη0(ｘi ) を以
下の式のように置く。 Ｘ＝( ａ0,ａ1,ｂ0,ｂ1) （６） η+ ( ｘi ) ＝( −１, −ｘi , Ｍ+ ( ｘi ),ｘi Ｍ+ ( ｘi )) （７） η- ( ｘi ) ＝( １, ｘi , −Ｍ- ( ｘi ),−ｘi Ｍ- ( ｘi )) （８） η0 ( ｘi ) ＝( ０, ０, １, ｘi ) （９） Ｘはパラメータベクトル、η+ ( ｘi ) （以下「上限ベ
クトル」と呼ぶ）は上限関数Ｍ+ ( ｘi ) による制限を
表すベクトル、η- ( ｘi ) （以下「下限ベクトル」と
呼ぶ）は下限関数Ｍ- ( ｘi ) による制限を表すベクト
ル、またη0 ( ｘi ) は（２）式が発散しないために必
要な条件を表すベクトルである。
【００２３】これらの式を用いると連立不等式（３）、
（４）および（５）により表される適性化方法の決定式
は、それぞれパラメータベクトルＸとの内積で表わされ
る下記の不等式（１０）、（１１）および（１２）とな
る。 ( Ｘ，η+ ( ｘi ))＞０ （１０） ( Ｘ，η- ( ｘi ))＞０ （１１） ( Ｘ，η0 ( ｘi ))＞０ （１２）
（４）および（５）により表される適性化方法の決定式
は、それぞれパラメータベクトルＸとの内積で表わされ
る下記の不等式（１０）、（１１）および（１２）とな
る。 ( Ｘ，η+ ( ｘi ))＞０ （１０） ( Ｘ，η- ( ｘi ))＞０ （１１） ( Ｘ，η0 ( ｘi ))＞０ （１２）
【００２４】このように不等式（１０）、（１１）およ
び（１２）が範囲Ｄ上の入力点列Ｐi に対してそれぞれ
与えられているから、適性関数を求める問題が有限個の
連立不等式で表され、実際に解を求めることができる。
例えば点列Ｐi の数ｎが５００である場合、不等式（１
０）、（１１）および（１２）の数はそれぞれ５００で
ある。
び（１２）が範囲Ｄ上の入力点列Ｐi に対してそれぞれ
与えられているから、適性関数を求める問題が有限個の
連立不等式で表され、実際に解を求めることができる。
例えば点列Ｐi の数ｎが５００である場合、不等式（１
０）、（１１）および（１２）の数はそれぞれ５００で
ある。
【００２５】全ての入力点列Ｐi に対して得られた有限
個の不等式（１０）、（１１）および（１２）を連立さ
せてパラメータベクトルＸについて解いたとき、パラメ
ータベクトルＸの存在する領域が解領域Ｓである。この
解領域Ｓは一般に凸錐になり、下式（１３）で表され
る。 Ｓ＝｛ｓ1 Ｘ1 ＋ｓ2 Ｘ2 ＋・・・＋ｓm Ｘm ｜ｓ1,ｓ2,．．．, ｓm ＞０｝ （１３） Ｘ1 ＝( ａ10, ａ11, ｂ10, ｂ11),Ｘ2 ＝( ａ20,
ａ21, ｂ20, ｂ21),．．．,Ｘm ＝( ａm0, ａm1, ｂm0,
ｂm1) の各ベクトルは、この解領域Ｓの頂点を表して
いる。解領域Ｓ内部の１点ＸS ＝（ａS0, ａS1, ｂS0,
ｂS1) により定められる適性関数ｆ(x) は、必ず適性領
域Ｔ内に値をとる。
個の不等式（１０）、（１１）および（１２）を連立さ
せてパラメータベクトルＸについて解いたとき、パラメ
ータベクトルＸの存在する領域が解領域Ｓである。この
解領域Ｓは一般に凸錐になり、下式（１３）で表され
る。 Ｓ＝｛ｓ1 Ｘ1 ＋ｓ2 Ｘ2 ＋・・・＋ｓm Ｘm ｜ｓ1,ｓ2,．．．, ｓm ＞０｝ （１３） Ｘ1 ＝( ａ10, ａ11, ｂ10, ｂ11),Ｘ2 ＝( ａ20,
ａ21, ｂ20, ｂ21),．．．,Ｘm ＝( ａm0, ａm1, ｂm0,
ｂm1) の各ベクトルは、この解領域Ｓの頂点を表して
いる。解領域Ｓ内部の１点ＸS ＝（ａS0, ａS1, ｂS0,
ｂS1) により定められる適性関数ｆ(x) は、必ず適性領
域Ｔ内に値をとる。
【００２６】２．ロバスト解の求解 図２、３を参照して線形計画法を利用した解領域Ｓの存
在判定と最大ロバスト解ＸSの求解の一例を次に示す。
ここで説明を簡略化するために、上述した不等式（１
０）、（１１）、（１２）に用いられるη+ ( ｘi ),η
- ( ｘi ),η0 (ｘi ) の全てのベクトルに対応するベ
クトルをηj ( j = 1,2,...,3n )で表す。これにより不
等式（１０）、（１１）、（１２）は、これと等価な下
記の不等式（１４）で表される。 ( Ｘ, ηj ) ＞０ （ j = 1,2,...,3n ） （１４） ここで ηi ＝η+ ( ｘi ) （ i = 1,2,...,n ) （１５） ηi+n ＝η- ( ｘi ) （１６） ηi+2n＝η0(ｘi ) （１７） と置いた。またηj の成分による表示を( ηj0, ηj1,
ηj2, ηj3) とする。
在判定と最大ロバスト解ＸSの求解の一例を次に示す。
ここで説明を簡略化するために、上述した不等式（１
０）、（１１）、（１２）に用いられるη+ ( ｘi ),η
- ( ｘi ),η0 (ｘi ) の全てのベクトルに対応するベ
クトルをηj ( j = 1,2,...,3n )で表す。これにより不
等式（１０）、（１１）、（１２）は、これと等価な下
記の不等式（１４）で表される。 ( Ｘ, ηj ) ＞０ （ j = 1,2,...,3n ） （１４） ここで ηi ＝η+ ( ｘi ) （ i = 1,2,...,n ) （１５） ηi+n ＝η- ( ｘi ) （１６） ηi+2n＝η0(ｘi ) （１７） と置いた。またηj の成分による表示を( ηj0, ηj1,
ηj2, ηj3) とする。
【００２７】不等式（１４）において、パラメータベク
トルＸをα倍しても下記の不等式（１８）が成り立つ。 ( αＸ, ηj ) ＝α( Ｘ, ηj ) ＞０ （１８） そこでＸを（１／ａ0)倍し、 Ｘ”＝（１／ａ0)Ｘ＝( １, ａ1 ／ａ0,ｂ0 ／ａ0,ｂ1
／ａ0) とおいても一般性を失わない。すると４次元のベクトル
の内積で表されている上式（１４）は、３次元のベクト
ルＸ', η' j の内積で表される下記の不等式（１９）
に還元される。 ０＜( Ｘ”, ηj ) ＝ηj0＋( Ｘ',η' j ) （１９） ここで各Ｘ',η' j を Ｘ' ＝( Ｘ' (1) , Ｘ' (2) , Ｘ' (3) ) ＝( ａ1 ／ａ0,ｂ0 ／ａ0,ｂ1 ／ａ0) η' j ＝( ηj1, ηj2, ηj3 ) とおいた。
トルＸをα倍しても下記の不等式（１８）が成り立つ。 ( αＸ, ηj ) ＝α( Ｘ, ηj ) ＞０ （１８） そこでＸを（１／ａ0)倍し、 Ｘ”＝（１／ａ0)Ｘ＝( １, ａ1 ／ａ0,ｂ0 ／ａ0,ｂ1
／ａ0) とおいても一般性を失わない。すると４次元のベクトル
の内積で表されている上式（１４）は、３次元のベクト
ルＸ', η' j の内積で表される下記の不等式（１９）
に還元される。 ０＜( Ｘ”, ηj ) ＝ηj0＋( Ｘ',η' j ) （１９） ここで各Ｘ',η' j を Ｘ' ＝( Ｘ' (1) , Ｘ' (2) , Ｘ' (3) ) ＝( ａ1 ／ａ0,ｂ0 ／ａ0,ｂ1 ／ａ0) η' j ＝( ηj1, ηj2, ηj3 ) とおいた。
【００２８】不等式（１９）の解領域Ｓ' は下式（２
０）で表される。 Ｓ' ＝｛ｓ1 Ｘ'1＋ｓ2 Ｘ'2＋・・・＋ｓm Ｘ' m ｜ｓ1,ｓ2,．．．, ｓm ＞０、ｓ1 ＋ｓ2 ＋・・・＋ｓm ＝１｝ （２０） 各Ｘ'k ( k = 1,2,...,m ）はそれぞれ解領域Ｓ' の頂
点を表す３次元のベクトルである。
０）で表される。 Ｓ' ＝｛ｓ1 Ｘ'1＋ｓ2 Ｘ'2＋・・・＋ｓm Ｘ' m ｜ｓ1,ｓ2,．．．, ｓm ＞０、ｓ1 ＋ｓ2 ＋・・・＋ｓm ＝１｝ （２０） 各Ｘ'k ( k = 1,2,...,m ）はそれぞれ解領域Ｓ' の頂
点を表す３次元のベクトルである。
【００２９】解領域Ｓ’から最もロバストな解の点を１
つ求める。そのため、まず解領域の境界からの距離を設
定する。j を１つに固定すると、（１９）式は、幾何学
的にはＲ3（実数３成分で成る直交座標系）の平面Ｈj， Ｈj：ηj0＋（Ｘ’，η’j）＝０ （２１） を境界とする半空間Ｓjを表す。η’jはＨjの法線方向
ベクトルであり、ＳjはＨjのηj方向側に存在する。
（１９）式の不等式がすべてのj について成立する領域
がＲ3空間における解領域Ｓ’であるから、Ｓ’は、各
半空間の共通部分Ｓ1∩Ｓ2∩…であり、その境界は
Ｈ1，Ｈ2，…の部分により構成される。
つ求める。そのため、まず解領域の境界からの距離を設
定する。j を１つに固定すると、（１９）式は、幾何学
的にはＲ3（実数３成分で成る直交座標系）の平面Ｈj， Ｈj：ηj0＋（Ｘ’，η’j）＝０ （２１） を境界とする半空間Ｓjを表す。η’jはＨjの法線方向
ベクトルであり、ＳjはＨjのηj方向側に存在する。
（１９）式の不等式がすべてのj について成立する領域
がＲ3空間における解領域Ｓ’であるから、Ｓ’は、各
半空間の共通部分Ｓ1∩Ｓ2∩…であり、その境界は
Ｈ1，Ｈ2，…の部分により構成される。
【００３０】再びj を１つに固定し、ベクトルＸ’がＳ
jの内部にあり、Ｈjからの距離がｙjであるとすれば、 ｙj｜η’j｜＝ηj0＋（Ｘ’，η’j） （２２） （｜η’j｜＝（ηj1 2＋ηj2 2＋ηj3 2）1/2 が成り立つ。整理のため（２２）式全体を｜η’j｜で
割り、ξj0＝ηj0／｜η’j｜，ξ’j＝η’j／｜η’j
｜とおけば、（２２）式は ｙj＝ξj0＋（Ｘ’，ξ’j） （２３） と表される。この様子を図に表現すれば図２のようにな
る（図では簡単のためξj3＝０の場合を示す）。図２に
示すように、Ｈjより右側の領域がＳjであり、Ｈjと平
行な破線上にＸ’が存在する。
jの内部にあり、Ｈjからの距離がｙjであるとすれば、 ｙj｜η’j｜＝ηj0＋（Ｘ’，η’j） （２２） （｜η’j｜＝（ηj1 2＋ηj2 2＋ηj3 2）1/2 が成り立つ。整理のため（２２）式全体を｜η’j｜で
割り、ξj0＝ηj0／｜η’j｜，ξ’j＝η’j／｜η’j
｜とおけば、（２２）式は ｙj＝ξj0＋（Ｘ’，ξ’j） （２３） と表される。この様子を図に表現すれば図２のようにな
る（図では簡単のためξj3＝０の場合を示す）。図２に
示すように、Ｈjより右側の領域がＳjであり、Ｈjと平
行な破線上にＸ’が存在する。
【００３１】以上の距離の定式は１つのj についてのも
のであるが、j の全体を考えた場合、ベクトルＸ’の解
領域Ｓ’の境界からの距離ｙを ｙ＝ｍｉｎ（ｙ1，ｙ2，…） （２４） で定義することができる。これはＸ’がＳ’の境界を構
成するどのＨj からも少なくとも距離ｙ以上離れている
ことを意味する。逆に、どのＨjもＸ’から距離ｙ以上
離れているならｙ≦ｙjが成り立ち、（２３）式より、 ｙ≦ξj0＋（Ｘ’，ξ’j） （j ＝１，２，…） （２５） が成り立つ。
のであるが、j の全体を考えた場合、ベクトルＸ’の解
領域Ｓ’の境界からの距離ｙを ｙ＝ｍｉｎ（ｙ1，ｙ2，…） （２４） で定義することができる。これはＸ’がＳ’の境界を構
成するどのＨj からも少なくとも距離ｙ以上離れている
ことを意味する。逆に、どのＨjもＸ’から距離ｙ以上
離れているならｙ≦ｙjが成り立ち、（２３）式より、 ｙ≦ξj0＋（Ｘ’，ξ’j） （j ＝１，２，…） （２５） が成り立つ。
【００３２】最もロバストな解は許容偏差が最大な解で
あるから解領域Ｓ’の境界から最も離れた解である。
（２５）式のｙは境界からの距離の下限であるからｙを
最大化するＸ’は境界から最も離れていることになる。
したがって、最大ロバスト解の求解は（２５）式の制約
条件下で目標値ｙを最大化する１つのＸ’を求める線形
計画法の問題に還元された。
あるから解領域Ｓ’の境界から最も離れた解である。
（２５）式のｙは境界からの距離の下限であるからｙを
最大化するＸ’は境界から最も離れていることになる。
したがって、最大ロバスト解の求解は（２５）式の制約
条件下で目標値ｙを最大化する１つのＸ’を求める線形
計画法の問題に還元された。
【００３３】また、この最大ロバスト解Ｘ’Sと最大の
ｙSは、Ｘ’Sを中心とし半径ｙSをもつ解の部分的な範
囲を表す。このｙSは解のロバスト性を定量的に表して
いる（以下このｙSを「ロバスト半径」と呼ぶ）。
ｙSは、Ｘ’Sを中心とし半径ｙSをもつ解の部分的な範
囲を表す。このｙSは解のロバスト性を定量的に表して
いる（以下このｙSを「ロバスト半径」と呼ぶ）。
【００３４】従来技術においては、（２５）式の代り
に、例えば、 ｙ≦ηj0＋（Ｘ’，η’j） （j =1,2,…） という制約条件を持つ線形計画法問題が利用されてい
る。すなわち、ｙ＞０の条件でｙを最大にするＸ’を求
めるわけである。しかしながら、この場合、ｙは境界か
らの距離という意味は持たず、単に連立不等式の解の１
つを得るための技巧的な目標値として導入されたに過ぎ
ない。したがって、ロバスト解を得ることは一般に不可
能である。
に、例えば、 ｙ≦ηj0＋（Ｘ’，η’j） （j =1,2,…） という制約条件を持つ線形計画法問題が利用されてい
る。すなわち、ｙ＞０の条件でｙを最大にするＸ’を求
めるわけである。しかしながら、この場合、ｙは境界か
らの距離という意味は持たず、単に連立不等式の解の１
つを得るための技巧的な目標値として導入されたに過ぎ
ない。したがって、ロバスト解を得ることは一般に不可
能である。
【００３５】この従来の解と本実施形態によって得られ
た解との比較を図３に示す。図３において、説明の簡単
のため、Ｓ’を２次元的に表す。Ｘ’0は従来の方法で
求めた解であり、パラメータ値のわずかな変動で解領域
Ｓ’の外に出る可能性がある。一方、Ｘ’Sは最大ロバ
スト解であり、これに変動が加わったとしても、その大
きさがロバスト半径ｙS以下であれば、解はＳ’の内部
に留まり続ける。
た解との比較を図３に示す。図３において、説明の簡単
のため、Ｓ’を２次元的に表す。Ｘ’0は従来の方法で
求めた解であり、パラメータ値のわずかな変動で解領域
Ｓ’の外に出る可能性がある。一方、Ｘ’Sは最大ロバ
スト解であり、これに変動が加わったとしても、その大
きさがロバスト半径ｙS以下であれば、解はＳ’の内部
に留まり続ける。
【００３６】ここではロバスト性が最大である唯一の解
を求めたが、あらかじめ要求された度合以上のロバスト
性を持つ一つまたは複数の解を（それらが存在する場合
に）得ることもできる。例えば、ロバスト性の相対的な
度合いａ（０＜ａ＜１）を設定し、最大ロバスト解Ｘ’
Sを中心とするロバスト半径より小さな半径ｙS×ａを持
つ近傍を取り出すことにより、ｙS×（１−ａ）程度の
ロバスト性を持つ解領域が得られる。
を求めたが、あらかじめ要求された度合以上のロバスト
性を持つ一つまたは複数の解を（それらが存在する場合
に）得ることもできる。例えば、ロバスト性の相対的な
度合いａ（０＜ａ＜１）を設定し、最大ロバスト解Ｘ’
Sを中心とするロバスト半径より小さな半径ｙS×ａを持
つ近傍を取り出すことにより、ｙS×（１−ａ）程度の
ロバスト性を持つ解領域が得られる。
【００３７】また、ロバスト性の絶対な度合いｙ0を設
定し、ロバスト性がｙ0以上という条件 ｙ0≦ｙ と（２５）式を連立させた不等式を解くという、ｙの最
大化条件を用いない適性化問題を考えることもできる。
この場合、ｙ0よりロバスト性の高い解領域を得ること
ができる。なお、上記ａ，ｙ0は対象システムのパラメ
ータ変動の度合に応じて決めればよい。
定し、ロバスト性がｙ0以上という条件 ｙ0≦ｙ と（２５）式を連立させた不等式を解くという、ｙの最
大化条件を用いない適性化問題を考えることもできる。
この場合、ｙ0よりロバスト性の高い解領域を得ること
ができる。なお、上記ａ，ｙ0は対象システムのパラメ
ータ変動の度合に応じて決めればよい。
【００３８】こうして得られたＲ3における最大ロバス
トな解Ｘ’S＝（Ｘ’S1，Ｘ’S2，Ｘ’S3）からパラメ
ータベクトル ＸS＝（α，αＸ’S1，αＸ’S2，αＸ’S3）（α＞
０） を作り、（２）式に代入すれば、最もロバストな適性関
数の１つが得られる。
トな解Ｘ’S＝（Ｘ’S1，Ｘ’S2，Ｘ’S3）からパラメ
ータベクトル ＸS＝（α，αＸ’S1，αＸ’S2，αＸ’S3）（α＞
０） を作り、（２）式に代入すれば、最もロバストな適性関
数の１つが得られる。
【００３９】以上のように、本実施形態によれば、 パラメータの変動に対し最大のロバスト性を持つ適性
関数が求まる、 そのロバスト性の度合が定量的に与えられる、という
効果が得られる。
関数が求まる、 そのロバスト性の度合が定量的に与えられる、という
効果が得られる。
【００４０】なお、（２５）式の線形計画法問題におい
て解領域Ｓ’が存在しない、またはｙS≦０であると
き、もとの適性化法問題の解領域Ｓは存在しない。この
線形計画法問題の可能解の存在問題を解くことにより適
性関数の存在判定ができる。
て解領域Ｓ’が存在しない、またはｙS≦０であると
き、もとの適性化法問題の解領域Ｓは存在しない。この
線形計画法問題の可能解の存在問題を解くことにより適
性関数の存在判定ができる。
【００４１】上記実施形態において、（２４）式の距離
の定式化は一例に過ぎず、例えば対称正値行列（計量行
列）ｇkl（k,l=1,2,3）を用いてパラメータ空間におけ
るベクトルＹの”長さ”‖Ｙ‖を ‖Ｙ‖＝（ΣｇklＹkＹl）1/2 で定め（Σはk,lについて１から３までの和）、この計
量の意味で境界ＨjからＸ’までの距離ｙjを（２２）式
の代りに次式で定めることもできる。 ｙj＝（ξj0＋（Ｘ’，ξ’j））／‖ξ’j‖ （２６） 以下（２６）式と同様に、制約条件 ｙ≦（ξj0＋（Ｘ’，ξ’j））／‖ξ’j‖ （２７） の下で、ｙを最大化するＸ’を求めれば、ｇklの定める
重み付きの距離の意味で最もロバストな解が得られる。
例えば、パラメータのＸ’1成分の方がＸ’2成分より変
動しやすい場合等、パラメータの変動に差がある場合
に、このような距離の導入が有効である。
の定式化は一例に過ぎず、例えば対称正値行列（計量行
列）ｇkl（k,l=1,2,3）を用いてパラメータ空間におけ
るベクトルＹの”長さ”‖Ｙ‖を ‖Ｙ‖＝（ΣｇklＹkＹl）1/2 で定め（Σはk,lについて１から３までの和）、この計
量の意味で境界ＨjからＸ’までの距離ｙjを（２２）式
の代りに次式で定めることもできる。 ｙj＝（ξj0＋（Ｘ’，ξ’j））／‖ξ’j‖ （２６） 以下（２６）式と同様に、制約条件 ｙ≦（ξj0＋（Ｘ’，ξ’j））／‖ξ’j‖ （２７） の下で、ｙを最大化するＸ’を求めれば、ｇklの定める
重み付きの距離の意味で最もロバストな解が得られる。
例えば、パラメータのＸ’1成分の方がＸ’2成分より変
動しやすい場合等、パラメータの変動に差がある場合
に、このような距離の導入が有効である。
【００４２】有理関数（２）式を、ｎ次元空間中の範囲
Ｄ上の線形独立な２つの関数の組（ｐ0(x), ｐ1(x),
．．．, ｐM (x)),(ｑ0(x), ｑ1(x), ．．．, ｑ
N (x))の線形結合の比からなる次の有理関数 ｆ(x) ＝( ａ0 ｐ0(x)＋ａ1 ｐ1(x)＋・・・＋ａM ｐM
(x))／( ｂ0 ｑ0(x)＋ｂ1 ｑ1(x)＋・・・＋ｂN ｑ
N (x)) に一般化した場合に対して、上記「１適性化方法問題の
連立不等式への還元」および「２．最大ロバスト解の求
解」の各項の手法を拡張することは容易である。ここで
ａ0,ａ1,．．．, ａM , ｂ0,ｂ1,．．．, ｂN は実数の
パラメータ、ｘはｎ次元のベクトル、各関数ｐ0(x), ｐ
1(x), ．．．, ｐM (x),ｑ0(x), ｑ1(x),．．．, ｑ
N (x) はＤ上の区分的連続関数であり、例えばｘn , co
s ｘ, ｅx および階段関数等である。
Ｄ上の線形独立な２つの関数の組（ｐ0(x), ｐ1(x),
．．．, ｐM (x)),(ｑ0(x), ｑ1(x), ．．．, ｑ
N (x))の線形結合の比からなる次の有理関数 ｆ(x) ＝( ａ0 ｐ0(x)＋ａ1 ｐ1(x)＋・・・＋ａM ｐM
(x))／( ｂ0 ｑ0(x)＋ｂ1 ｑ1(x)＋・・・＋ｂN ｑ
N (x)) に一般化した場合に対して、上記「１適性化方法問題の
連立不等式への還元」および「２．最大ロバスト解の求
解」の各項の手法を拡張することは容易である。ここで
ａ0,ａ1,．．．, ａM , ｂ0,ｂ1,．．．, ｂN は実数の
パラメータ、ｘはｎ次元のベクトル、各関数ｐ0(x), ｐ
1(x), ．．．, ｐM (x),ｑ0(x), ｑ1(x),．．．, ｑ
N (x) はＤ上の区分的連続関数であり、例えばｘn , co
s ｘ, ｅx および階段関数等である。
【００４３】以上はパラメータに関する１次式の有理式
により表される適性化問題において最大ロバストな解を
求めた。パラメータに関して非線形な一般の適性化問題
においても、適当な境界からの距離を設定し、この距離
に関する非線形の最適化問題を立てることができる場合
がある。この場合にも、この最適化問題を解くことによ
り最大ロバスト解が得られる。
により表される適性化問題において最大ロバストな解を
求めた。パラメータに関して非線形な一般の適性化問題
においても、適当な境界からの距離を設定し、この距離
に関する非線形の最適化問題を立てることができる場合
がある。この場合にも、この最適化問題を解くことによ
り最大ロバスト解が得られる。
【００４４】（実施形態２）次に本発明の実施形態２に
ついて説明する。この例ではパラメータの解領域または
その一部分が既に（２０）式のように表されている場合
に、その中から最もロバストな解を選択する方法を示
す。説明の簡単化のため（２０）式のＳ’をもとの解領
域とするが、より高次元の場合も同様な処理が可能であ
る。
ついて説明する。この例ではパラメータの解領域または
その一部分が既に（２０）式のように表されている場合
に、その中から最もロバストな解を選択する方法を示
す。説明の簡単化のため（２０）式のＳ’をもとの解領
域とするが、より高次元の場合も同様な処理が可能であ
る。
【００４５】Ｓ’は３次元空間の中に存在するので、そ
の境界は一般に図４に示すように三角形Δjの貼り合せ
により構成されているとしてよい。各Δjの頂点のベク
トルＸ’a(j)，Ｘ’b(j)，Ｘ’c(j)に基づいて、三角形
Δjと直交するベクトルη’j（≠０）を計算する。すな
わち、 （η’j，Ｘ’b(j)−Ｘ’a(j)）＝（η’j，Ｘ’c(j)−Ｘ’a(j)）＝０ を満たし、解領域Ｓ’の方向のベクトルη’jを計算す
る。
の境界は一般に図４に示すように三角形Δjの貼り合せ
により構成されているとしてよい。各Δjの頂点のベク
トルＸ’a(j)，Ｘ’b(j)，Ｘ’c(j)に基づいて、三角形
Δjと直交するベクトルη’j（≠０）を計算する。すな
わち、 （η’j，Ｘ’b(j)−Ｘ’a(j)）＝（η’j，Ｘ’c(j)−Ｘ’a(j)）＝０ を満たし、解領域Ｓ’の方向のベクトルη’jを計算す
る。
【００４６】このときベクトルＸ’からΔjを含む平面
Ｈjまでの距離をｙjとすれば ｙj｜η’j｜＝−（η’j，Ｘ’a(j)）＋（Ｘ’，η’j）（２８） が成り立つ。（２８）式において、 ηj0＝−（η’j，Ｘ’a(j)） とおけば、（２８）式は（２２）式と同じになり、それ
以後は、実施形態１の「２．最大ロバスト解の求解」の
項と同様の手法によって最大ロバスト解を求めることが
できる。
Ｈjまでの距離をｙjとすれば ｙj｜η’j｜＝−（η’j，Ｘ’a(j)）＋（Ｘ’，η’j）（２８） が成り立つ。（２８）式において、 ηj0＝−（η’j，Ｘ’a(j)） とおけば、（２８）式は（２２）式と同じになり、それ
以後は、実施形態１の「２．最大ロバスト解の求解」の
項と同様の手法によって最大ロバスト解を求めることが
できる。
【００４７】以上のように、実施形態２によれば、既に
パラメータ解領域が与えられている場合に、解領域の中
から最大ロバスト解を選択することができるという効果
が得られる。さらに、この方法によれば、解領域の中か
ら、ロバスト性を変えて（距離関数を変える等）最大ロ
バスト解を求めることが簡単にできるという効果が得ら
れる。
パラメータ解領域が与えられている場合に、解領域の中
から最大ロバスト解を選択することができるという効果
が得られる。さらに、この方法によれば、解領域の中か
ら、ロバスト性を変えて（距離関数を変える等）最大ロ
バスト解を求めることが簡単にできるという効果が得ら
れる。
【００４８】（実施形態３）図５は、実施形態３とし
て、最大ロバスト解を求める適性化方法を実施する装置
の概略構成を示している。この装置１１は、例えばデジ
タルコンピュータであり、記憶装置１２、演算装置１
３、入力装置１４、出力装置１５および制御装置１６を
有しており、これらはバスライン１７、１８によって相
互に接続されている。記憶装置１２は、上限関数Ｍ
+ (x) を記憶する領域すなわち上限関数記憶部２１と、
下限関数Ｍ- (x) を記憶する領域すなわち下限関数記憶
部２２と、解領域の境界からの距離を設定するプログラ
ムを格納する領域すなわち境界距離設定プログラム部２
３と、境界距離を最大化する解を求めるプログラムを格
納する領域すなわち境界距離最大化プログラム部２４
と、ＯＳ等の制御プログラムを格納する領域すなわち制
御プログラム部２５とを備えている。演算装置１３はＣ
ＰＵ等である。入力装置１４は例えばキーボード、マウ
ス、数値ファイル、デジタイザあるいはライトペンであ
る。出力装置１５は例えばディスプレイ、数値ファイ
ル、プロッタまたはプリンタである。制御装置１６はプ
ログラムを実行するための各装置を制御する。
て、最大ロバスト解を求める適性化方法を実施する装置
の概略構成を示している。この装置１１は、例えばデジ
タルコンピュータであり、記憶装置１２、演算装置１
３、入力装置１４、出力装置１５および制御装置１６を
有しており、これらはバスライン１７、１８によって相
互に接続されている。記憶装置１２は、上限関数Ｍ
+ (x) を記憶する領域すなわち上限関数記憶部２１と、
下限関数Ｍ- (x) を記憶する領域すなわち下限関数記憶
部２２と、解領域の境界からの距離を設定するプログラ
ムを格納する領域すなわち境界距離設定プログラム部２
３と、境界距離を最大化する解を求めるプログラムを格
納する領域すなわち境界距離最大化プログラム部２４
と、ＯＳ等の制御プログラムを格納する領域すなわち制
御プログラム部２５とを備えている。演算装置１３はＣ
ＰＵ等である。入力装置１４は例えばキーボード、マウ
ス、数値ファイル、デジタイザあるいはライトペンであ
る。出力装置１５は例えばディスプレイ、数値ファイ
ル、プロッタまたはプリンタである。制御装置１６はプ
ログラムを実行するための各装置を制御する。
【００４９】図６は、出力装置１５のディスプレイの画
面上に表示されるデータの例を示している。入力装置１
４を介して与えられた点列に基づいて、上限関数Ｍ
+ (x)と下限関数Ｍ- (x) を設定する。適性化方法によ
って求められる適性関数ｆ(x)は、分母分子がそれぞれ
４次の多項式で表される有理関数（２９）式で表され
る。 ｆ( ｘ )＝( Ａ0 ＋Ａ1 ｘ＋Ａ2 ｘ2 ＋Ａ3 ｘ3 ＋Ａ4 ｘ4) ／( Ｂ0 ＋Ｂ1 ｘ＋Ｂ2 ｘ2 ＋Ｂ3 ｘ3 ＋Ｂ4 ｘ4) （２９） ここでＡ0,Ａ1,Ａ2,Ａ3,Ａ4,Ｂ0,Ｂ1,Ｂ2,Ｂ3,Ｂ4 は、
実数のパラメータである。
面上に表示されるデータの例を示している。入力装置１
４を介して与えられた点列に基づいて、上限関数Ｍ
+ (x)と下限関数Ｍ- (x) を設定する。適性化方法によ
って求められる適性関数ｆ(x)は、分母分子がそれぞれ
４次の多項式で表される有理関数（２９）式で表され
る。 ｆ( ｘ )＝( Ａ0 ＋Ａ1 ｘ＋Ａ2 ｘ2 ＋Ａ3 ｘ3 ＋Ａ4 ｘ4) ／( Ｂ0 ＋Ｂ1 ｘ＋Ｂ2 ｘ2 ＋Ｂ3 ｘ3 ＋Ｂ4 ｘ4) （２９） ここでＡ0,Ａ1,Ａ2,Ａ3,Ａ4,Ｂ0,Ｂ1,Ｂ2,Ｂ3,Ｂ4 は、
実数のパラメータである。
【００５０】図６における破線はロバスト性の小さい適
性関数ｆ’（ｘ）を示し、実線は本発明の適用によって
得られた最大ロバストな適性関数ｆ（ｘ）を示す。ま
た、このように適性関するのロバスト性は一般に滑らか
な適性関数を与えるという効果をもたらす。
性関数ｆ’（ｘ）を示し、実線は本発明の適用によって
得られた最大ロバストな適性関数ｆ（ｘ）を示す。ま
た、このように適性関するのロバスト性は一般に滑らか
な適性関数を与えるという効果をもたらす。
【００５１】この（２９）式は、デジタルバンドパスフ
ィルタの２乗振幅特性を示している。これについては、
実施形態５において詳述する。
ィルタの２乗振幅特性を示している。これについては、
実施形態５において詳述する。
【００５２】以上のように本実施形態の適性化装置によ
れば、実施形態１と同様の効果が得られる。また本実施
形態の適性化装置は、適性領域の上限関数と下限関数を
画面上に視覚的に表示するとともに、表示された適性領
域上に最大ロバストな適性関数ｆ（ｘ）を重ねて表示す
る構成を有している。したがって入力の広がりと適性関
数との対応関係が視覚的に直接理解できるだけでなく、
従来必要であった適性関数を選択する手間を省くことが
できる。そこで、例えば、この装置を対話型設計システ
ムに応用した場合、利用者は対象システムに対する詳細
な知識が無くとも、単に設計結果を視覚的に判断し、仕
様の変更等を視覚的に指示するのみで、効率良く、工学
的安定性の保証された設計結果を得られるという効果が
ある。
れば、実施形態１と同様の効果が得られる。また本実施
形態の適性化装置は、適性領域の上限関数と下限関数を
画面上に視覚的に表示するとともに、表示された適性領
域上に最大ロバストな適性関数ｆ（ｘ）を重ねて表示す
る構成を有している。したがって入力の広がりと適性関
数との対応関係が視覚的に直接理解できるだけでなく、
従来必要であった適性関数を選択する手間を省くことが
できる。そこで、例えば、この装置を対話型設計システ
ムに応用した場合、利用者は対象システムに対する詳細
な知識が無くとも、単に設計結果を視覚的に判断し、仕
様の変更等を視覚的に指示するのみで、効率良く、工学
的安定性の保証された設計結果を得られるという効果が
ある。
【００５３】（実施形態４）本実施形態においては、要
求されたロバスト性を持つ最小次数の適性関数を得るた
めの手順を示す。
求されたロバスト性を持つ最小次数の適性関数を得るた
めの手順を示す。
【００５４】同一の適性領域に対しては、大きな次数を
もつ適性関数は（ある程度の次数までは）そのロバスト
性も一般に大きい。そこで、適性関数の次数を変化させ
ながら要求されたロバスト性を持つ適性関数の存在判定
を行うことにより、そのロバスト性をもつ最小次数の適
性関数を得ることができる。ロバスト性は例えばロバス
ト半径で表され、適当な入力手段（図５の入力装置１４
等）によって設定される。
もつ適性関数は（ある程度の次数までは）そのロバスト
性も一般に大きい。そこで、適性関数の次数を変化させ
ながら要求されたロバスト性を持つ適性関数の存在判定
を行うことにより、そのロバスト性をもつ最小次数の適
性関数を得ることができる。ロバスト性は例えばロバス
ト半径で表され、適当な入力手段（図５の入力装置１４
等）によって設定される。
【００５５】以下この手順の一例を図７のフローチャー
トに示す。まず、ステップ１において上限関数と下限と
を入力する。ステップ２では次数Ｎの初期値を１に設定
する。ステップ３では例えば（２５）式と同様に境界か
らの距離関数を用いてロバスト性の最大化問題を設定し
これを求解する。ステップ４では制約条件を満たす解が
存在しない場合はステップ７へ進み、存在する場合はス
テップ５へ進む。ステップ５では、得られた解のロバス
ト半径があらかじめ要求されたロバスト半径ｒ0より小
さい場合はステップステップ７へ進み、大きい場合はス
テップ６へ進む。ステップ６では要求されたロバスト性
を持つパラメータの値とそのロバスト半径を出力し、最
大ロバストな適性関数のグラフを画面に描画し終了す
る。
トに示す。まず、ステップ１において上限関数と下限と
を入力する。ステップ２では次数Ｎの初期値を１に設定
する。ステップ３では例えば（２５）式と同様に境界か
らの距離関数を用いてロバスト性の最大化問題を設定し
これを求解する。ステップ４では制約条件を満たす解が
存在しない場合はステップ７へ進み、存在する場合はス
テップ５へ進む。ステップ５では、得られた解のロバス
ト半径があらかじめ要求されたロバスト半径ｒ0より小
さい場合はステップステップ７へ進み、大きい場合はス
テップ６へ進む。ステップ６では要求されたロバスト性
を持つパラメータの値とそのロバスト半径を出力し、最
大ロバストな適性関数のグラフを画面に描画し終了す
る。
【００５６】ステップ７では、解は存在しないまたは要
求されたロバスト性を満足していないので、適性関数の
次数Ｎを１増やす。ステップ８では設定された次数が実
現可能な最大次数Ｎmaxを越えた場合はステップ９へ進
み、それ以外の場合はステップ３へ戻り再び最大ロバス
トな解を探す。ステップ９ではメッセージ例えば「Ｎma
x以下の次数では要求されたロバスト性を持つ解は存在
しない。」を表示し終了する。
求されたロバスト性を満足していないので、適性関数の
次数Ｎを１増やす。ステップ８では設定された次数が実
現可能な最大次数Ｎmaxを越えた場合はステップ９へ進
み、それ以外の場合はステップ３へ戻り再び最大ロバス
トな解を探す。ステップ９ではメッセージ例えば「Ｎma
x以下の次数では要求されたロバスト性を持つ解は存在
しない。」を表示し終了する。
【００５７】なお上述の例は最も単純な手順であり、２
分法等のアルゴリズムの利用により、高速化することも
可能である。
分法等のアルゴリズムの利用により、高速化することも
可能である。
【００５８】さて、本発明は適性化法が適用できるあら
ゆる範囲、すなわち周波数領域におけるデジタルシステ
ムやアナログシステムの伝達関数、非線形要素や時変要
素を含む時間領域における漸化式や微分方程式等で表さ
れる工学的システムに適用できる。システム設計だけで
なく、システム同定等への利用も可能である。
ゆる範囲、すなわち周波数領域におけるデジタルシステ
ムやアナログシステムの伝達関数、非線形要素や時変要
素を含む時間領域における漸化式や微分方程式等で表さ
れる工学的システムに適用できる。システム設計だけで
なく、システム同定等への利用も可能である。
【００５９】しかし、いずれの領域や目的においても、
最大のロバスト性を持つ適性関数が得られるという本発
明の効果は同一であり、その効果がそれぞれの領域や目
的に応じて異なる意義を持つに過ぎない。そこで、以下
においては、典型的な適用例である周波数領域における
デジタルフィルタの振幅特性設計方法（実施形態５）と
時間領域におけるシステム同定（実施形態６）の二つを
取り上げ、本発明の適用例を説明する。
最大のロバスト性を持つ適性関数が得られるという本発
明の効果は同一であり、その効果がそれぞれの領域や目
的に応じて異なる意義を持つに過ぎない。そこで、以下
においては、典型的な適用例である周波数領域における
デジタルフィルタの振幅特性設計方法（実施形態５）と
時間領域におけるシステム同定（実施形態６）の二つを
取り上げ、本発明の適用例を説明する。
【００６０】この２例で示す設計方法と同定方法は、適
性領域の与え方を公知技術を用いて整合させるだけで、
様々な工学的システム（たとえば、直線位相フィルタ、
オールパスフィルタ、アナログシステム、情報圧縮シス
テム等を含む他の物理システム及び信号処理システム
等）に対しても容易に適用できる。すなわち、適性領域
の与え方については、「直線位相フィルタ」については
特開平７−２２６６５６号公報の段落００９３に、「オ
ールパスフィルタ」については同段落００９４ないし０
０９８に、「アナログシステム」については同段落００
９９ないし０１０９に、「情報圧縮システム」について
は同段落０１１０ないし０１２５に、それぞれ記載され
ている。
性領域の与え方を公知技術を用いて整合させるだけで、
様々な工学的システム（たとえば、直線位相フィルタ、
オールパスフィルタ、アナログシステム、情報圧縮シス
テム等を含む他の物理システム及び信号処理システム
等）に対しても容易に適用できる。すなわち、適性領域
の与え方については、「直線位相フィルタ」については
特開平７−２２６６５６号公報の段落００９３に、「オ
ールパスフィルタ」については同段落００９４ないし０
０９８に、「アナログシステム」については同段落００
９９ないし０１０９に、「情報圧縮システム」について
は同段落０１１０ないし０１２５に、それぞれ記載され
ている。
【００６１】（実施形態５）本実施形態ではデジタルフ
ィルタの周波数−振幅特性から伝達関数を設計する。時
間領域での同定は続く実施形態６で取り上げる。簡単の
ためサンプリング周期Ｔは１に規格化しておく。位相特
性は無視して振幅特性のみを指定して設計する。特性を
要求する範囲Ｄ0 を Ｄ0 ＝｛０≦ω≦π｝ とおく。伝達関数の次数は任意に設定できるが、以下分
子、分母とも４次式の場合について説明する。
ィルタの周波数−振幅特性から伝達関数を設計する。時
間領域での同定は続く実施形態６で取り上げる。簡単の
ためサンプリング周期Ｔは１に規格化しておく。位相特
性は無視して振幅特性のみを指定して設計する。特性を
要求する範囲Ｄ0 を Ｄ0 ＝｛０≦ω≦π｝ とおく。伝達関数の次数は任意に設定できるが、以下分
子、分母とも４次式の場合について説明する。
【００６２】伝達関数Ｈ(z) を Ｈ(z) ＝( ａ0 + ａ1 ｚ-1+ ａ2 ｚ-2+ ａ3 ｚ-3+ ａ4 ｚ-4) ／( ｂ0 + ｂ1 ｚ-1+ ｂ2 ｚ-2+ ｂ3 ｚ-3+ ｂ4 ｚ-4) ＝Ｐ(z) ／Ｑ(z) （３０） とし、上記のように分子、分母をそれぞれＰ(z) 、Ｑ
(z) とおく。（３０）式はＩＩＲフィルタの伝達関数を
示しているが、ＦＩＲフィルタの場合はＱ(z) ＝ｂ0 と
おけばよい。
(z) とおく。（３０）式はＩＩＲフィルタの伝達関数を
示しているが、ＦＩＲフィルタの場合はＱ(z) ＝ｂ0 と
おけばよい。
【００６３】計算の便宜上振幅特性を２乗振幅特性で示
すことにする。フィルタの２乗振幅特性は、Ｈ(z) 式に
ｚ＝ｅjwを代入して、次式のようにＨ( ｅjw) Ｈ* ( ｅ
jw)で定義される( * は複素共役を表わす) 。 Ｈ( ｅjw) Ｈ* ( ｅjw )＝Ｈ( ｅjw) Ｈ( ｅ-jw ) ＝( Ａ0 + Ａ1cosω+ Ａ2cos2 ω+ Ａ3cos3 ω+ Ａ4cos4 ω) ／( Ｂ0 + Ｂ1cosω+ Ｂ2cos2 ω+ Ｂ3cos3 ω+ Ｂ4cos4 ω) ２乗振幅特性は上式のようにcos ωの関数として表わさ
れる。この分子、分母をそれぞれｐ(cosω),ｑ(cosω)
、またｆ(cosω) ＝ｐ(cosω) ／ｑ(cosω) とおく。
Ａ0 , Ａ1 , Ａ2 , Ａ3 , Ａ4 はそれぞれａ0 , ａ1 ,
ａ2 , ａ3 , ａ4 の２次多項式として表わされ、Ｂ0 ,
Ｂ1 , Ｂ2 , Ｂ3 , Ｂ4 はそれぞれｂ0 , ｂ1,ｂ2 , ｂ
3 , ｂ4 の２次多項式として表わされる。なお、ここで
は cosk ωを基底関数として説明するが、基底関数はこ
のとり方に限定されるわけではなく、例えば cos kω
( k = 0,1,...,4 )を基底関数としてＤ0 上での適性化
を行うこともできる。
すことにする。フィルタの２乗振幅特性は、Ｈ(z) 式に
ｚ＝ｅjwを代入して、次式のようにＨ( ｅjw) Ｈ* ( ｅ
jw)で定義される( * は複素共役を表わす) 。 Ｈ( ｅjw) Ｈ* ( ｅjw )＝Ｈ( ｅjw) Ｈ( ｅ-jw ) ＝( Ａ0 + Ａ1cosω+ Ａ2cos2 ω+ Ａ3cos3 ω+ Ａ4cos4 ω) ／( Ｂ0 + Ｂ1cosω+ Ｂ2cos2 ω+ Ｂ3cos3 ω+ Ｂ4cos4 ω) ２乗振幅特性は上式のようにcos ωの関数として表わさ
れる。この分子、分母をそれぞれｐ(cosω),ｑ(cosω)
、またｆ(cosω) ＝ｐ(cosω) ／ｑ(cosω) とおく。
Ａ0 , Ａ1 , Ａ2 , Ａ3 , Ａ4 はそれぞれａ0 , ａ1 ,
ａ2 , ａ3 , ａ4 の２次多項式として表わされ、Ｂ0 ,
Ｂ1 , Ｂ2 , Ｂ3 , Ｂ4 はそれぞれｂ0 , ｂ1,ｂ2 , ｂ
3 , ｂ4 の２次多項式として表わされる。なお、ここで
は cosk ωを基底関数として説明するが、基底関数はこ
のとり方に限定されるわけではなく、例えば cos kω
( k = 0,1,...,4 )を基底関数としてＤ0 上での適性化
を行うこともできる。
【００６４】範囲Ｄ0 上で２乗振幅特性の要求範囲を表
わす上限関数Ｍ+ (cosω) 、下限関数Ｍ- (cosω) を与
える。Ｄ0 上でcos ωは１から−１の値をとるから、ｘ
＝cos ω、Ｄ＝｛−１≦x ≦１｝とおいて、次の決定式
によって適性化を行う。 Ｍ+ (x) ＜ｆ(x) ＝ｐ(x) ／ｑ(x) ＜Ｍ- (x) (ｘ∈Ｄ） ０＜ｑ(x) (ｘ∈Ｄ） ここでｑ(x) が正という条件はフィルタが安定するため
に必要な条件である。上式から、既に説明した最大ロバ
スト解を求める適性化の手法によって、ｆ(x) のパラメ
ータＡ0 , Ａ1 , Ａ2 , Ａ3 , Ａ4 およびＢ0 , Ｂ1 ,
Ｂ2 , Ｂ3 , Ｂ4を求める。こうして得られた２乗振幅
特性ｐ(x) ／ｑ(x) から対応する伝達関数Ｐ(z) ／Ｑ
(z) は適当な因数分解により得られる。
わす上限関数Ｍ+ (cosω) 、下限関数Ｍ- (cosω) を与
える。Ｄ0 上でcos ωは１から−１の値をとるから、ｘ
＝cos ω、Ｄ＝｛−１≦x ≦１｝とおいて、次の決定式
によって適性化を行う。 Ｍ+ (x) ＜ｆ(x) ＝ｐ(x) ／ｑ(x) ＜Ｍ- (x) (ｘ∈Ｄ） ０＜ｑ(x) (ｘ∈Ｄ） ここでｑ(x) が正という条件はフィルタが安定するため
に必要な条件である。上式から、既に説明した最大ロバ
スト解を求める適性化の手法によって、ｆ(x) のパラメ
ータＡ0 , Ａ1 , Ａ2 , Ａ3 , Ａ4 およびＢ0 , Ｂ1 ,
Ｂ2 , Ｂ3 , Ｂ4を求める。こうして得られた２乗振幅
特性ｐ(x) ／ｑ(x) から対応する伝達関数Ｐ(z) ／Ｑ
(z) は適当な因数分解により得られる。
【００６５】なお、適性化する場合に、生成凸包体（特
開平７−２２６６５６号公報の段落００４８ないし００
７２参照）を用いることにより、精度の高いまたはロバ
スト性の大きい適性領域を与えることもできる。本実施
形態は対象システムの測定から得られた周波数特性を適
性領域とすることにより、そのシステムを同定する目的
にも利用できる。
開平７−２２６６５６号公報の段落００４８ないし００
７２参照）を用いることにより、精度の高いまたはロバ
スト性の大きい適性領域を与えることもできる。本実施
形態は対象システムの測定から得られた周波数特性を適
性領域とすることにより、そのシステムを同定する目的
にも利用できる。
【００６６】前述のように、本実施形態により得られた
伝達関数のパラメータに、ロバスト半径程度の変動が加
わっても、フィルタの周波数特性は適性領域に留まり続
ける。このことはデジタルフィルタにおいて、例えば係
数量子化や信号量子化による誤差の効果が、このロバス
ト半径より小さければ、その周波数特性は仕様の許容範
囲内に納まるということを意味する。そこで固定小数点
デジタルフィルタの設計において、例えば実施形態４の
手順を用いてロバスト半径を量子化誤差よりも大きく要
求することにより、係数量子化や信号量子化による特性
劣化を受けない最小次数の伝達関数の設計を行うことが
できる。
伝達関数のパラメータに、ロバスト半径程度の変動が加
わっても、フィルタの周波数特性は適性領域に留まり続
ける。このことはデジタルフィルタにおいて、例えば係
数量子化や信号量子化による誤差の効果が、このロバス
ト半径より小さければ、その周波数特性は仕様の許容範
囲内に納まるということを意味する。そこで固定小数点
デジタルフィルタの設計において、例えば実施形態４の
手順を用いてロバスト半径を量子化誤差よりも大きく要
求することにより、係数量子化や信号量子化による特性
劣化を受けない最小次数の伝達関数の設計を行うことが
できる。
【００６７】同様な手法をアナログシステムの設計に適
用し、各部品の値の経時的または温度的偏差よりもロバ
スト半径を大きく要求することにより、これらの偏差に
よる特性劣化を防ぐことができる。
用し、各部品の値の経時的または温度的偏差よりもロバ
スト半径を大きく要求することにより、これらの偏差に
よる特性劣化を防ぐことができる。
【００６８】（実施形態６）本実施形態では時間領域に
おけるシステムの同定方法を示す。図８に示すように、
対象システム１０２が信号源１０１からの信号ｘを受け
信号ｙを応答する場合、このｘ，ｙを用いて、同定装置
１０３よって対象システム１０２を同定するモデルを推
定する。信号ｘ，ｙは離散化されていて、ｎ番目の信号
はそれぞれ、ｘn，ｙnで表されるものとする。対象シス
テム１０２は適当な関数ｆiを用いて 、 Ｓy＝Σａiｆi（ｙ’n，ｘ’n） とおいたとき、Ｓy＝０で近似的に表されると仮定し
て、パラメータａiを同定する。ここでΣはｉについて
０からＬまでの和を意味し、ｙ’n，ｘ’nはそれぞれ ｙ’n＝（ｙn，ｙn-1，…，ｙn-M） ｘ’n＝（ｘn，ｘn-1，…，ｘn-M） とした。ｆ0，ｆ1，…，ｆLは線形独立な関数の組であ
る。ｆi（ｙ’n，ｘ’n）は引き数ｙ’n，ｘ’nに関し
線形であってもよく，ｎに依存しても（時変的でも）よ
い。
おけるシステムの同定方法を示す。図８に示すように、
対象システム１０２が信号源１０１からの信号ｘを受け
信号ｙを応答する場合、このｘ，ｙを用いて、同定装置
１０３よって対象システム１０２を同定するモデルを推
定する。信号ｘ，ｙは離散化されていて、ｎ番目の信号
はそれぞれ、ｘn，ｙnで表されるものとする。対象シス
テム１０２は適当な関数ｆiを用いて 、 Ｓy＝Σａiｆi（ｙ’n，ｘ’n） とおいたとき、Ｓy＝０で近似的に表されると仮定し
て、パラメータａiを同定する。ここでΣはｉについて
０からＬまでの和を意味し、ｙ’n，ｘ’nはそれぞれ ｙ’n＝（ｙn，ｙn-1，…，ｙn-M） ｘ’n＝（ｘn，ｘn-1，…，ｘn-M） とした。ｆ0，ｆ1，…，ｆLは線形独立な関数の組であ
る。ｆi（ｙ’n，ｘ’n）は引き数ｙ’n，ｘ’nに関し
線形であってもよく，ｎに依存しても（時変的でも）よ
い。
【００６９】さらに、 Ｘ’＝（ａ0，ａ1，…，ａL） ηn ＝（ｆ0（ｙ’n，ｘ’n），ｆ1（ｙ’n，ｘ’n），
…，ｆL（ｙ’n，ｘ’n）） とおき、Ｓyの許容可能な誤差の下限をＭ-（ｎ）、上限
をＭ+（ｎ）で表す。このＭ-（ｎ），Ｍ+（ｎ）は、例
えば測定誤差等により決まる。このとき適性化の決定式 Ｍ-（ｎ）＜Ｓy（Ｘ’，ｙ’n，ｘ’n）＜Ｍ+（ｎ）
（ｎ＝0,1,…） は Ｍ-（ｎ）＜Ｓy（Ｘ’，ηn）＜Ｍ+（ｎ） となり、適当な移項により（１９）式と同様なＸ’につ
いての連立不等式に還元できる。以下実施形態１と同様
な方法で最もロバストなパラメータＸ’Sを得ることが
できる。
…，ｆL（ｙ’n，ｘ’n）） とおき、Ｓyの許容可能な誤差の下限をＭ-（ｎ）、上限
をＭ+（ｎ）で表す。このＭ-（ｎ），Ｍ+（ｎ）は、例
えば測定誤差等により決まる。このとき適性化の決定式 Ｍ-（ｎ）＜Ｓy（Ｘ’，ｙ’n，ｘ’n）＜Ｍ+（ｎ）
（ｎ＝0,1,…） は Ｍ-（ｎ）＜Ｓy（Ｘ’，ηn）＜Ｍ+（ｎ） となり、適当な移項により（１９）式と同様なＸ’につ
いての連立不等式に還元できる。以下実施形態１と同様
な方法で最もロバストなパラメータＸ’Sを得ることが
できる。
【００７０】この同定において信号ｘは必ずしも必要で
はない。またこの同定は対象システムの１種類の信号に
対する応答だけでなく、異なる信号に対する応答全体に
行ってもよい。適性化に上述した生成凸包体を用いるこ
とにより、測定誤差やノイズ等に対するロバスト性の大
きい適性領域を与えることも可能である。またアナログ
システムの同定における量子化誤差を生成凸包体に吸収
させることもできる。さらに本実施形態は、希望する時
間的挙動を適性領域とすることにより、時間領域でシス
テムを設計する目的にも利用可能である。
はない。またこの同定は対象システムの１種類の信号に
対する応答だけでなく、異なる信号に対する応答全体に
行ってもよい。適性化に上述した生成凸包体を用いるこ
とにより、測定誤差やノイズ等に対するロバスト性の大
きい適性領域を与えることも可能である。またアナログ
システムの同定における量子化誤差を生成凸包体に吸収
させることもできる。さらに本実施形態は、希望する時
間的挙動を適性領域とすることにより、時間領域でシス
テムを設計する目的にも利用可能である。
【００７１】前述のように、本実施形態により得られた
同定パラメータに、ロバスト半径程度の変動が加わって
も、モデルの挙動は適性領域に留まり続ける。この同定
結果は対象システムを表すモデルの内で、パラメータの
変動に対し最も安定なものである。そこで、例えばモデ
ルの次数を問題にせず、固定小数点デジタルフィルタで
対象システムを単にモデル化したい場合、前実施形態と
同様にロバスト半径を量子化誤差より大きく要求するこ
とにより、係数量子化や信号量子化による特性劣化を受
けないモデル構成を行うことができる。
同定パラメータに、ロバスト半径程度の変動が加わって
も、モデルの挙動は適性領域に留まり続ける。この同定
結果は対象システムを表すモデルの内で、パラメータの
変動に対し最も安定なものである。そこで、例えばモデ
ルの次数を問題にせず、固定小数点デジタルフィルタで
対象システムを単にモデル化したい場合、前実施形態と
同様にロバスト半径を量子化誤差より大きく要求するこ
とにより、係数量子化や信号量子化による特性劣化を受
けないモデル構成を行うことができる。
【００７２】得られたロバスト半径は同定結果の広がり
の下限を表す。すなわち、同定結果は少なくともこの半
径より大きな広がりを持っている。したがって、ロバス
ト半径は同定精度の評価に利用できる。各パラメータの
最大、最小値を求める等して、解領域全体を含む凸包体
を構成することにより、同定結果の広がりの上限を得る
ことも可能である。
の下限を表す。すなわち、同定結果は少なくともこの半
径より大きな広がりを持っている。したがって、ロバス
ト半径は同定精度の評価に利用できる。各パラメータの
最大、最小値を求める等して、解領域全体を含む凸包体
を構成することにより、同定結果の広がりの上限を得る
ことも可能である。
【００７３】
【発明の効果】以上のように本発明の適正化装置および
適正化方法によれば、物理的システムの構造、形状、シ
ステム同定、グラフ表示、データ補間、信号予測モデ
ル、パターン認識等、産業上利用しうる種々の問題にお
いて、従来困難であった広がりをもった入力等を取扱う
ことができるとともに、適性関数のパラメータ値のう
ち、ロバスト性の大きいものを導出し、偏差に対して強
いロバスト性を有するシステムを構築することができ
る、という効果が得られる。
適正化方法によれば、物理的システムの構造、形状、シ
ステム同定、グラフ表示、データ補間、信号予測モデ
ル、パターン認識等、産業上利用しうる種々の問題にお
いて、従来困難であった広がりをもった入力等を取扱う
ことができるとともに、適性関数のパラメータ値のう
ち、ロバスト性の大きいものを導出し、偏差に対して強
いロバスト性を有するシステムを構築することができ
る、という効果が得られる。
【図１】本発明の実施形態１の上限関数、下限関数およ
び適性関数を示す図である。
び適性関数を示す図である。
【図２】パラメータの解領域の境界からの距離の設定を
説明する図である。
説明する図である。
【図３】従来の方法で求めた解と最大ロバスト解とを比
較説明した図である。
較説明した図である。
【図４】本発明の実施形態２を説明する図である。
【図５】本発明の実施形態３の構成を示すブロック図で
ある。
ある。
【図６】本発明の実施形態３において適性関数を表示す
る出力画面の図である。
る出力画面の図である。
【図７】本発明の実施形態４の動作を説明するフローチ
ャートである。
ャートである。
【図８】実施形態６の同定システムのブロック図であ
る。
る。
Ｔ 適性領域 ｆ(x) 適性関数 Ｐ+ 1,Ｐ+ 2,．．．, Ｐ+ n 下限関数の点 Ｐ- 1,Ｐ- 2,．．．, Ｐ- n 上限関数の点 Ｄ 範囲
Claims (8)
- 【請求項１】 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応
した適性領域を設定する手段と、この適性領域の範囲内
に少なくとも近似的に含まれる適性関数を連立不等式を
解くことにより求める適性関数決定手段とを備え、前記
適性関数決定手段は、前記適性関数を、パラメータをも
つ関数の族として設定し、適性領域の境界に対応したパ
ラメータの解領域の境界からの距離を設定し、この距離
をあらかじめ要求された度合より大きくしまたは最大に
する条件の下で連立不等式を解くことにより、ロバスト
なパラメータ値を持つ適性関数を求めることを特徴とす
る適性化装置。 - 【請求項２】 前記パラメータの解領域の境界から前記
ロバストなパラメータ値までの距離を少なくとも近似的
に求める手段を有する請求項１に記載の適性化装置。 - 【請求項３】 前記適性関数が工学的システムの伝達関
数である請求項１または２に記載の適性化装置。 - 【請求項４】 前記適性関数が工学的システムの漸化式
である請求項１または２に記載の適性化装置。 - 【請求項５】 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応
した適性領域を設定する手段と、この適性領域の範囲内
に少なくとも近似的に含まれる適性関数を連立不等式を
解くことにより求める適性関数決定手段と、前記適性領
域を視覚的に表示する適性領域表示手段と、この適性領
域表示手段によって表示された適性領域上に前記適性関
数を重ねて表示する適性関数表示手段とを備え、前記適
性関数決定手段は、前記適性関数を、パラメータをもつ
関数の族として設定し、適性領域の境界に対応したパラ
メータの解領域の境界からの距離を設定し、この距離を
あらかじめ要求された度合より大きくしまたは最大にす
る条件の下で連立不等式を解くことにより、ロバストな
パラメータ値を持つ適性関数を求めることを特徴とする
適性化装置。 - 【請求項６】 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応
した適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる関
数であって、パラメータをもつ関数の族としての求めら
れた適性関数の族を入力とし、前記適性領域の境界に対
応したパラメータの解領域の境界からの距離を設定し、
この距離をあらかじめ要求された度合より大きくしまた
は最大にする条件を用いてロバストなパラメータ値を持
つ適性関数を選択することを特徴とする適性関数の選択
装置。 - 【請求項７】 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応
した適性領域を設定する手段と、この適性領域の範囲内
に少なくとも近似的に含まれる適性関数を連立不等式を
解くことにより求める適性関数決定手段とを備え、前記
適性関数決定手段は、前記適性関数を、パラメータをも
つ関数の族として設定し、前記適性関数の中からロバス
トなパラメータ値を求めることを特徴とする適性化装
置。 - 【請求項８】 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応
した適性領域を設定する第１のステップと、この適性領
域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性関数を連
立不等式を解くことにより求める第２のステップとを備
え、前記第２のステップは、前記適性関数を、パラメー
タをもつ関数の族として設定し、適性領域の境界に対応
したパラメータの解領域の境界からの距離を設定し、こ
の距離をあらかじめ要求された度合より大きくしまたは
最大にする条件の下で連立不等式を解くことにより、ロ
バストなパラメータ値を持つ適性関数を求めることを特
徴とする適性化方法。
Priority Applications (5)
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|---|---|---|---|
| JP08017128A JP3124223B2 (ja) | 1996-01-05 | 1996-01-05 | 適性化装置および適性化方法 |
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
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- 1996-12-27 US US09/101,203 patent/US6311143B1/en not_active Expired - Fee Related
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