WO1997025658A1

WO1997025658A1 - Optimiseur et procede d'optimisation

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Publication number: WO1997025658A1
Application number: PCT/JP1996/003840
Authority: WO
Inventors: Masaharu Ishii
Original assignee: Masaharu Ishii
Priority date: 1996-01-05
Filing date: 1996-12-27
Publication date: 1997-07-17
Also published as: EP0913747B1; JPH09185401A; DE69622052D1; DE69622052T2; US6311143B1; EP0913747A1; JP3124223B2; EP0913747A4

Description

明細害適性化装置および適性化方法技術分野

本発明は、例えばデジタルフィルタ等の設計に利用可能でぁリ、その

K計に用いられる口バス卜性を持った開数を得る方法および装置に 88する。背景技術

口バス卜性とは偏差に対するシステムの拳動の頑 5»性である，現実のシステムには様々な偏差が介在するので、口バス卜性の保耻は極めて重 Sな工学的 »題である。例えば、フィードバックループにある程度の外乱が加わっても、その举動がほとんど影響を受けないとき、このシステ厶はロバス卜性を持つと言われる。このような偏差としては外的なものだけでなく、部品の絰時変化等の内定なパラメータ値の変化も含まれる。本発明者は、先に、物理的特性の適性な範囲をあらかじめ与え、その範囲内に含まれる 18数（これを適性数という）を、パラメータをもつ関数の族として求める適性化法を提案した（特開平 7— 2 2 6 6 5 6号公報参照）。この方法によれば広がりのある解領域が得られ、この広がリを用いて、パラメータ値の変動等に対し口バスト性をもつ開数族のパラメ一夕 K計を行うことができた。

従来技術の最適化法によるパラメータ K計では、例えば目標 P8数を最小化することによリ、唯一の最適パラメータ値を求める。最適パラメ一タ値は広がりを持たず噌ーであるから、これに個養が加わつた場合のシステムの挙動変化等に対し、定量的な口バスト性を考慮した股計を行うことはできない。

また、上記適性化法においては、得られたパラメータ髗に対応する適性閲数を侰号処理装置等に実装するためには、パラメータの解領域から唯一のパラメータを gび出す必要がある。しかし、上記適性化法においては、ロバスト性を高めるための一般的な S択方法の限定は、特になされていなかった。

また上記適性化法においては解領域でなくはじめから解の 1つのみを計算する爆合もある。適性化法の解は本質的には钥域になるので、解を一意に求めるために、付加的な条件にょリどのような解を計算するか S 択しておく必嬰がある。しかし、従来、この一意化条件としてロバスト性を Sめるための条件は股定されていなかった。そのため、得られたパラメータは一般にロバスト性がなかった。

本発明は以上の点にかんがみ、適性化法を改良し、前記の解領域を求める壜合及び解の一つを求める場合に口バス卜性の高い解、すなわち口バス卜安定な物理システムを求めることを目的とする。発明の開示

パラメ一夕値にある偏差が加わったときに、このパラメータ镇に対応する適性関数の镞が適性領域に留まリ統ける場合、その偏差をこのパラメータ儘の許容個差とよぶ。適性化方法において口バス卜なパラメータとは、許容 «差が大きいパラメータ髗のことである。また最も口バス卜なパラメータとは、許容偏差が最大であるパラメータ値のことである。本発明に係る適性化装置は、少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を K定する手段と、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性闢数を遍立不等式を解くことによリ求める適性 B数決定手段とを備え、前記適性 M数決定手段は、前記適性関数を、パラメータをもつ M数の族として投定し、適性領域の境界に対応したパラメ一夕の解領域の境界からの距離を設定し、この距離をあらかじめ要求された度合よリ大きくしまたは最大にする条件の下で連立不等式を解くことによリ、ロバストなパラメータ键を持つ適性 B数を求めることを特徼としている。

さらに、本発明に係る速性化方法は、少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を股定する第 1のステップと、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性 «数を連立不等式を解くことにより求める第 2のステップとを備え、前記第 2のステップは、前記適性 ΒΘ数を、パラメータをもつ IB数の族として設定し、このパラメ一夕を連立不等式を解くことによリ求めるとともに、適性領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界からの距 «が最大またはあらかじめ要求された度合よリ大きな値になる口バス卜なパラメータ値を持つ適性関数を求めることを特徴としている。

本明細害において Γ物理的特性 j とは、要求特性、要求形状、測定镝、通信信号、パターン信号等を意味している。また本明細書において Γ適性化」とは、入力の広が υに対応した範囲（以下「適性領域」という〉内を少なくとも近似的に通る Β8数（以下 Γ適性 W数 J という）、ょリ具体的にはこの適性 W数のパラメータ镇を導き出すことをいう。

この適性化法は、適性 18数が単純な形で表される場合においても K大な量の演算を行わなければならない。したがって手計算にょリ求解することは不可能であり、デジタルコンピュータ等を使用することによリ初めて実施可能となる。また適性化方法とは適性化を行う方法であり、適性化装置とは適性化を実施するための装置をいう。すなわち、適性化方法が実施されるデジタルコンピュータ等をいう。

以下、典型的な適性化方法をべク卜ル表記法を用いて説明する。適性化方法の代表的な一例は、パラメータを含む適当な数を f (χ) と置き、多次元空 IB上の範囲 D内で、

M- (X) <f (x) <M⁺ (x) (VxeD) ( 1 ) を满たすパラメータ慷を求める手法で表される。 ( 1 ) 式を適性化の決定式と呼び、（ 1 ) 式を满たすような f (X) を適性数と呼ぶ。また適性数 f (X) の上眼を制約する M+ (x) を上 I®開数、下限を制約する M一 (x) を下 KM数、上 KM数 M⁺ (x) と下限関数 M— (x) により制約される範囲全体を適性領域 T (= { (x, y) I x€D, M- (x) <y <M⁺ (x) } ) と呼ぶ。上限闢数 M+ (x) 、下 ISM数 M- (x) はそれぞれ +∞，一 ooの值をとつてもよい。また、適性領域は、中心値とそこからの許容幅にょリ与えることもできる。

( 1 ) 式を有限儀の不等式で表し、この有限個の不等式を全て満たすような f (X) のパラメータの存在する範囲を解镅域と呼ぶ。この解锇城は適性領域がパラメータ空間に変換されたものである。したがって解領域内の 1点は、適性領域内に镇をとる 1つの適性 W数に対応している。解領域の中から適性 M数を選ぶ賺は、性锒城の境羿に対応したパラメータの解領域の境界からの拒黼を κ定し、この距離が最大またはあらかじめ要求された度合より大きな値になる口バス卜なパラメータ値を持つ適性 «数を選択する，

なお本発明の適性化装置および適性化方法において、適性 H数 f (X) は単に実数 ttをとる 88数だけでなく、汎 M数、作用素等であってもよく、さらに数列の漸化式であってもよい。また Dは離敏的な点集合でも連統的な範囲でもよく非連絃であつてもよい。

またパラメータが共通のものであれば、適性化したい M数が複数存在してもよい。この場合、それぞれの適性化したい M数に対して、異なる適性領域が存在してもよい。図面の簡単な说明

第 1図は、本発明の実施形態 1の上限関数、下限数および適性 H数を示す図である。

第 2図は、パラメータの解領域の境界からの S醵の設定を鋭明する図である。

第 3図は、従来の方法で求めた解と最大口バス卜解とを比較説明した図である。

第 4図は、本発明の実施形態 2を説明する図である。

第 5図は、本発明の実施形態 3の構成を示すブロック図である。

第 6図は、本発明の実施形態 3において適性関数を表示する出力画面の図である。

第 7図は、本発明の実施形態 4の動作を説明するフローチャートである < 第 8図は、実施形態 6の同定システムのプロック図である。発明を実施するための最良の形態

以下本発明の実施の形態について説明する。

まず、実施形態 1及び 2によリ本発明の適性化装置および適性化方法について説明し、実施形態 3以下により、この装置および方法の技術上および産業上の様々なシステム等への応用について説明する。

(実施形態 1 )

本発明の実施形態 1について脱明する。

ここでは適性化方法における口バスト解、すなわち口バス卜な適性閨数の求解について、

1 . 適性化方法問題の速立不等式への通元 2. 口バス卜解の求解

の順に説明する。

1. 適性化方法問題の連立不等式への運元

図 1を用いて適性化方法を説明する，本実施形趣において、各点列 P,

= (xj , y , ) ( j = 1,2 n ) は例えば入力データに基づいて生成される。適性 18数を制約する X軸上の範囲 Dは {x，， x₂，. . . , x_n となる。各点 P, の親差等による広がりを考 Λして、 χ = χ，において、この点 Ρ , がとリうる上限値により上限 Β数 Μ+ ( X , ) が、また下限値により下限 Μ数 Μ— ( X , ) が定められる。このような設定が各点列 Ρ , に対して行われる。すなわち、上限関数に対応する点列 Ρ+ , = ( X 1 , y ⁺ ι) , P⁺ 2 = ( χ 2, y ⁺ z), . . . , Ρ⁺ η = ( χ _η , y+ n ) と、下限 Ββ数に対応する点列 Ρ_ ^ =( xi, y" ,), Ρ- ₂ =( χ₂ , y一 ₂) , . . . , Ρ- π =( xn , y" _η ) が定められる。ただし y+ , は M⁺ ( χ , ) , また y— , は Μ— ( χ , ) である。これらの点列全体により適性領域 Τが定められる。

適性開数が Xに Μして 1次の有理闢数（2) 式で表せると想定する。 f (X) = ( a。 + a , χ) /( b o +b, x) (V x€ D)

(2) ここで、 a^ a^ b^ b, は実数のパラメータである。

(2) 式を（ 1 ) 式に代入するとともに、分母（b。 +b， x , ) が正であるという条件の下で分母を払うと、（ 1 ) 式はこれと等価な連立不等式（3) 、（4) 、（5) に変形される。

― a 0 ― a , X , + b 0 Μ⁺ ( χ ι ) +b, x , M+ ( x , ) > 0

(3) a o + a 1 x I —bo M~ ( x ι ) 一 b， x , M~ ( x , ) > 0 (4) bo + b , x , >0 ( 5 ) 連立不等式（3) , (4) 、 (5) をベクトルの内積として表示するために、パラメータ a。， a,, b。， b，の数に等しい次元である 4次元のパラメータ空 IHが股定される。このパラメータ空 M内におけるべクトル X、 v⁺ ( X , ), rj— ( x i ) および r?。（x i ) を以下の式のように置 <,

7] ⁺ ( X , ) =( - 1 , X , M⁺ ( X ) , X M⁺ X ( ))

(7)

( x , ) =( 1 , x , - - ( X , ) , - X , M- ( X , ))

(8)

T? o ( x f ) =( 0 , 0 1 , X ) (9)

Xはパラメータベクトル、 7)+ ( X ) (以下「上限べクトル」と呼ぶ）は上限闢数 M+ ( X , ) による制限を表すベクトル、 r ( _{X l} ) (以下「下限ベクトル」と呼ぶ）は下 K関数 M_ ( X , ) による制限を表すベクトル、また 7?。（ x i ) は（2) 式が発散しないために必要な条件を表すべクトルである。

これらの式を用いると連立不等式（3) 、 (4) および（5) により表される適性化方法の決定式は、それぞれパラメータべクトル Xとの内積で表わされる下記の不等式（ 1 0) 、（ 1 1 ) および（ 1 2) となる。

( X, T7 ⁺ ( X . ))>0 ( 1 0) ( X, η" ( X . ))>0 ( 1 1 ) ( X, 77。（ X , ))>0 (1 2) このように不等式（ 1 0) 、（ 1 1 ) および（ 1 2) が範囲 D上の入力点列 Pi に対してそれぞれ与えられているから、適性関数を求める問粗が有限個の連立不等式で表され、実際に解を求めることができる。例えば点列 Ρ , の数 nが 5 0 0である壜合、不等式（ 1 0) 、（〗 1 ) および（ 1 2 ) の数はそれぞれ 5 0 0である。

全ての入力点列 P , に対して得られた有瞎個の不等式（ 1 0) 、（ 1 1 ) および（ 1 2) を遍立させてパラメータベクトル Xについて解いたとき、パラメータべク卜ル Xの存在する領域が解镇域 Sである。この解镝域 S は一般に凸錐になり、下式（ 1 3) で表される。

S = { s , X 1 + s 2 X 2 + · · · + s _m X_m I s s z, . . . , s _m >0 }

( 1 3)

Xi =( a 1 o , a 11 , bio, b 11 ) , X 2 ⁼ ( &2。, a , b 2o> b∑ i ) , . . . , X_m =( a_m。， a_m1， b_m。， b_nl) の各ベクトルは、この解領 «Sの頂点を表している。解银域 S内部の 1点 X_s = (a_s。， a_Si, bso, b_s,) によリ定められる適性 W数 f (x) は、必ず適性镝域 T内に値をとる。

2. 口バス卜解の求解

図 2、 3を養照して練形計画法を利用した解 ««Sの存在判定と最大口バス卜解 X_sの求解の一例を次に示す。ここで説明を ffi略化するために、上述した不等式（ 1 0) 、（ 1 1 ) 、 ( 1 2) に用いられる τ?+ ( X , ( X , ), r?。（ X , ) の全てのベクトルに対応するベクトルを T? , ( j = 1,2,...,3η )で表す。これにより不等式（ 1 0) 、（ 1 1 ) 、 ( 1 2) は、これと等価な下記の不等式（1 4) で表される。

( X, 7) , ) >0 ( j = 1,2, ...,3η ) ( 1 4) ここで

7 , =τ)⁺ ( X , ) ( i = 1,2, ...,η ) ( 1 5) r? , _{+ n} =77— ( x , ) (1 6)

V l + 2 n = T?。（X I ) (1 7) と置いた。またの成分による表示を（ j i, V , 2 , 77 ,₃) とする。

不等式（ 1 4) において、パラメータベクトル Xを α倍しても下記の不等式（ 1 8) が成り立つ，

( αΧ, η , ) =α ( X, r? , ) >0 ( 1 8) そこで Xを U/a。）倍し、

X" = ( 1/a。）X = ( 1 , a i /a。，b。 Zao'b, /a₀) とおいても一般性を失わない。すると 4次元のべクトルの内積で表されている上式（ 1 4) は、 3次元のベクトル X', _t の内積で表される下記の不等式（ 1 9 ) に還元される。

0<( X" , r? , ) =77 ιο+ ( Χ', τ}' I ) (1 9) ここで各 X', r?' , を

X, =( X, ⁽¹⁾ , X (2) X (3> ) = ( a， / a o, b Za。， b /a₀)

77 ' J = ( n , Tl _{J 2} T? J 3 )

とおいた。

不等式（ 1 9) の解領域 S' は下式（2 0) で表される。

= { S 1 ズ 1 + S 2 λ 2 + · * * + S m Λ _m

I S ! , S 2 , . . . , S _m >0、 S i + S 2 + ' · * + S m = 1 }

(20) 各 X'_k ( k = 1,2, ...,m ) はそれぞれ解锇域 S' の頂点を表す 3次元のべクトルである。

解領域 S ' からもロバストな解の点を 1つ求める。そのため、まず解領域の境界からの距繭を K定する。 j を 1つに固定すると、 U 9) 式は、幾何学的には R ³ (実数 3成分で成る直交座標系）の平面

Hj ： 7? _j0+ (Χ' , τ? ' ,) = 0 (2 1 ) を境界とする半空 MS ,を表す， T? ' ,は H,の法線方向ベクトルであリ、 Sjは Hjの 77 ,方向側に存在する。（〗 9 ) 式の不等式がすべての j について成立する領域が R ³空 Mにおける解領城 S' であるから、 s'は、各半空 IBの共通部分 s，ns₂n…であリ、その境界は H，，

H₂, …の部分により構成される，

再び j を 1つに固定し、ベクトル X' が S ,の内部にぁリ、 H,からの距離が yjであるとすれば、

y ) I r? j I = 7? ,o+ (X ， v j)

( I 7) ' j I = (V n ²+V i 2²+ V』₃ ²) ^{1 2}

(2 2) が成り立つ。整理のため（2 2) 式全体を I τ? ' , Iで割り、 ξ j。 = 77 10/ I rj ' j I , ξ ' j = 77 * j I r? ' j I とおけば、（2 2) 式は y J = S 10+ (Χ ' , ξ ' j) (2 3) と表される。この様子を図に表現すれば図 2のようになる（図では簡単のため€j ₃== 0の場合を示す）。図 2に示すように、 H,より右側の領域がであり、 Hjと平行な破線上に X' が存在する。

以上の ¾離の定式は 1つの〗についてのものであるが、 j の全体を考えた場合、ベクトル X' の解 «I域 S' の境界からの S離 yを

y =m i n ( y y ₂, ―) (2 4) で定義することができる。これは X' が S' の境界を構成するどの H, からも少なくとも ffi«y以上離れていることを意味する。逆に、どの H jも X' から距繭 y以上蘼れているなら y≤y,が成り立ち、（2 3) 式より、

ν≤ξ _{ι ο}+ (Χ' , ξ ' j) (j = 1 , 2 , ·'·) (2 5) が成り立つ。

最も口バス卜な解は許容差が最大な解であるから解領域 s' の境界から最も離れた解である。（2 5) 式の yは境界からの ¾雌の下限であるから yを最大化する X' は境羿から最も «れていることになる。したがって、最大口バス卜解の求解は（2 5) 式の制約条件下で目標値 yを最大化する〗つの X' を求める線形計画法の ISIHに還元された。

また、この最大ロバスト解 X' _sと最大の y_sは、 X' sを中心とし半径 y sをもつ解の部分的な範囲を表す。この y _sは解の口バス卜性を定量的に表している（以下この y_sを「ロバスト半径」と呼ぶ）。

従来技術においては、（2 5) 式の代りに、例えば、

y≤r? ,。+ (Χ ' , ν ' ,) (j =1,2,〜）

という制約条件を持つ線形計画法問が利用されている。すなわち、 y >0の条件で yを最大にする X' を求めるわけである。しかしながら、この場合、 yは境界からの距離という意味は持たず、単に速立不等式の解の 1つを得るための技巧的な目標値として導入されたに過ぎない。したがって、ロバスト解を得ることは一般に不可能である。

この従来の解と本実施形戆によって得られた解との比較を図 3に示す, 図 3において、脱明の簡単のため、 S ' を 2次元的に表す。 X' 。は従の方法で求めた解でぁリ、パラメータ値のわずかな変動で解領域 S ' の外に出る可能性がある。一方、 X' _sは最大ロバスト解であり、これに変動が加わったとしても、その大きさが口バス卜半径 y s以下であれば、解は S ' の内部に留まリ統ける。

ここでは口バスト性が最大である唯一の解を求めたが、あらかじめ要求された度合以上の口バス卜性を持つ一つまたは複数の解を（それらが存在する場合に）得ることもできる，例えば、ロバスト性の相対的な度合い a (0<a< 1 ) を K定し、最大口バス卜解 X' _sを中心とする口バス卜半径よリ小さな半径 y _s X aを持つ近傍を取リ出すことによリ、 y _s ( 1 - a) 程度のロバスト性を持つ解領域が得られる。

また、ロバスト性の絶対な度合い y。を設定し、ロバスト性が y。以上という条件と（2 5) 式を速立させた不等式を解くという、 yの最大化条件を用いない適性化問 Bを考えることもできる。この場合、 y。よリロバスト性の高い解領域を得ることができる。なお、上記 a， y。は対象システムのパラメータ変動の度合に応じて決めればよい。

こうして得られた R³における最大ロバストな解 X' s= (X， _S1, X' _S2, Χ' S₃) からパラメータベクトル

X_s= ( α, α X ' _S1, a X ' _S2, X ' _S3) (a> 0 )

を作り、（ 2 ) 式に代入すれば、最も口バス卜な適性関数の 1つが得られる。

以上のように、本実施形蟻によれば、

①パラメータの変動に対し最大のロバスト性を持つ適性 ϋ数が求まる、

②その口バスト性の度合が定量的に与えられる、

という効果が得られる。

なお、（2 5〉式の練形計画法問题において解領域 S' が存在しない、または y_s≤0であるとき、もとの適性化法問題の解領域 Sは存在しない。この線形計画法問題の可能解の存在問理を解くことにより適性 H数の存在判定ができる。

上記実施形態において、（2 4) 式の距黼の定式化は一例に通ぎず、例えば対称正镇行列（計量行列） g _k, (k, 1=1,2,3) を用いてパラメ一タ空 Mにおけるベクトル Yの" 長さ" II Y IIを

II Y 11 = (Z g K.Y.Y,) ^1/2 で定め（∑は k,lについて 1から 3までの和）、この計量の意味で境界 H,から X' までの距離 y ,を（22) 式の代りに次式で定めることもできる。

y ,= >ο+ (Χ' , έ' ,) ) /II i II (26) 以下（26) 式と同様に、制約条件

y≤ ，。 + (Χ' , € ' ') ) /II , II (27) の下で、 yを最大化する X' を求めれば、 g_k,の定める重み付きの S醵の意味で最もロバストな解が得られる。例えば、パラメータの X' ，成分の方が X' ₂成分よリ変動しやすい場合等、パラメ一夕の変動に差がある W合に、このような距離の導入が有効である。

有理関数（2) 式を、 n次元空 IB中の範囲 D上の線形独立な 2つの M 数の組（p。（x), P 1 (χ) , . . . , ΡΜ (Χ)), (q Ο(Χ), q ,(x), . . . , q_N (χ))の線形結合の比からなる次の有理 Μ数

f (x) = ( a。 p。（x) + a， ρ，（χ)+ · · · + a_M p_M (X))

/( b。 q。（x) + b， q 1 (x) + · · · + b _N q N (X)) に一般化した壜合に対して、上記 Γ 1適性化方法問題の連立不等式への還元 J および「2. 最大口バス卜解の求解 j の各項の手法を拡張することは容易である。ここで a。， a，，. . . ， a_M , b。， b，，. . . ， b_N は実数のパラメータ、 Xは n次元のベクトル、各関数 ρ。（χ), ρ，（χ)， . . . , p_M (x), q。（x), q 1 (χ) , . . . , q _Ν (χ) は D上の区分的速統 Μ数であり、例えば xⁿ , cos X, e^x および隋段 M数等である。以上はパラメータに Mする 1次式の有理式により表される適性化問題において最大ロバストな解を求めた。パラメータに «して非線形な一般の適性化問題においても、適当な境界からの ¾麵を設定し、この ffi離に関する非線形の最適化問题を立てることができる塌合がある，この場合にも、この最適化問題を解くことによリ最大口バスト解が得られる， (実施形態 2)

次に本発明の実施形饉 2について説明する。

この例ではパラメータの解領域またはその一部分が既に（20) 式のように表されている *合に、その中から最もロバストな解を «択する方法を示す。説明の ffi単化のため（20) 式の S ' をもとの解領域とするが、ょリ高次元の場合も同様な処理が可能である。

S' は 3次元空 IHの中に存在するので、その境界は一般に図 4に示すように三角形 Δ,の貼り合せにょリ構成されているとしてよい。各△』の頂点のベクトル X' a(_n， X* _{b (n} , X* _c ("に基づいて、三角形 Δ,と直交するベクトル 77 ' , (≠0) を計算する。すなわち、

( I Λ b (1) ^— Λ « (J) ) = K ί , X c ()) — X . (I) )

=0

を满たし、解铕域 S ' の方向のベクトル η ' ,を計算する。

このときべクトル X' からを含む平面 H jまでの距敵を _{y j}とすれば

y j I τ? ' i I =- (v ' i , x ' « (j) ) + (x ' , ' J)

(28) が成り立つ。（28) 式において、

17 J o =— (77 ' j, X ' · "))

とおけば、（28) 式は（22)式と同じになり、それ以後は、実施形觼 1の「2. 最大ロバスト解の求解」の項と同様の手法によって最大口バスト解を求めることができる。

以上のように、実施形態 2によれば、既にパラメータ解領域が与えられている場合に、解锎域の中から最大口バス卜解を選択することができるという効果が得られる。さらに、この方法によれば、解領域の中から、口バス卜性を変えて（距 «Μ数を変える等）最大口バス卜解を求めることが簡単にできるという効果が得られる。

(実施形態 3 )

図 5は、実施形態 3として、最大口バス卜解を求める適性化方法を実施する装置の概略構成を示している。この装置 1 1は、例えばデジタルコンピュータであり、記憶装鱖 1 2、演算装置 1 3、入力装置 1 4、出カ装蠹 1 5および制御装 {B〗 6を有しており、これらはバスライン 1 7、

1 8によって相互に接統されている。記憶装置 1 2は、上限 88数 M ⁺ (χ) を記憶する領域すなわち上限 HI数記憶部 2 1と、下限 B8数 M— (X) を記憶する領域すなわち下限 B数記憶部 2 2と、解領域の境界からの距戴を股定するプログラムを格納する領域すなわち境界距離股定プログラム部

2 3と、境界を最大化する解を求めるプログラムを格納する領域すなわち境界距離最大化プログラム部 2 4と， O S等の制御プログラムを格納する領域すなわち制御プログラム部 2 5とを備えている。演算装置

1 3は C P U等である。入力装置〗 4は例えばキーボード、マウス、数铍ファイル、デジタイザあるいはライトペンである。出力装 11 1 5は例えばディスプレイ、数値ファイル、プロッタまたはプリンタである。制御装置 1 6はプログラムを実行するための各装置を制御する。

図 6は、出力装置 1 5のディスプレイの画面上に表示されるデータの例を示している。入力装置 1 4を介して与えられた点列に基づいて、上瞎 B数 M ⁺ (X)と下限 M数 M— (x) を股定する。適性化方法によって求められる適性 B8数 f (X)は、分母分子がそれぞれ 4次の多項式で表される有理関数（2 9 ) 式で表される。

f ( X ) = ( A o + A , x + A ₂ x ₂ + A ₃ x a + A x *)

/ { B o + B 1 X + B ₂ X ₂ + B 3 X 3 + B 4 x 4 ) ( 2 9 ) ここで A。， A，， A ₂ , A ₃ , A B。， B，， B ₂， B ₃， B ₄ は、実数のパラメ一夕である。

図 6における破線は口バス卜性の小さい適性 M数 f ' ( X ) を示し、実線は本発明の適用によって得られた最大口バス卜な適性 BB数 f ( X ) を示す。また、このように適性 Bするの口バス卜性は一般に滑らかな適性数を与えるという効果をもたらす。

この（2 9 ) 式は、デジタルバンドパスフィルタの 2乗振犠特性を示している。これについては、実施形態 5において詳述する。

以上のように本実施形蟻の適性化装置によれば、実施形孃 1と同様の効果が得られる。また本実施形態の適性化装置は、適性領域の上阻 H数と下眼 M数を画面上に視覚的に表示するとともに、表示された適性領域上に最大ロバストな適性 88数 f ( x ) を重ねて表示する構成を有している。したがって入力の広がリと適性関数との対応闢係が視覚的に直接理解できるだけでなく、従来必要であった適性 M数を S択する手 IBを省くことができる。そこで、例えば、この装置を対話型股計システムに応用した ϋ合、利用者は対象システムに対する詳細な知識が無くとも、単に »計結果を視覚的に判断し、仕様の変更等を視覚的に掬示するのみで、効率良く、工学的安定性の保証された Κ計結果を得られるという効果がある。

(実施形糠 4 )

本実施形態においては、要求された口バスト性を持つ最小次数の適性 »数を得るための手順を示す。

同一の適性穰域に対しては、大きな次数をもつ適性 88数は（ある程度の次数までは）そのロバスト性も一般に大きい。そこで、適性 18数の次数を変化させながら要求された口バス卜性を持つ適性 H数の存在判定を行うことにより、その口バス卜性をもつ最小次数の適性 B数を得ることができる。口バス卜性は例えば口バス卜半径で表され、適当な入力手段

(図 5の入力装置 1 4等）によって定される。

以下この手順の一例を図 7のフローチャートに示す。

まず、ステップ 1において上限数と下限とを入力する。ステップ 2 では次数 Nの初期値を 1に K定する。ステップ 3では例えば（2 5 ) 式と同様に境界からの距黻 »数を用いてロバスト性の最大化問題を K定しこれを求解する。ステップ 4では制約条件を满たす解が存在しない場合はステップ 7へ進み、存在する場合はステップ 5へ進む。ステップ 5では、得られた解の口バス卜半径があらかじめ要求された口バスト半 r 0 よリ小さい場合はステップステップ 7へ進み、大きい場合はステツプ 6 へ進む。ステップ 6では要求されたロバスト性を持つパラメータの値とその口バス卜半径を出力し、最大口バス卜な適性 18数のグラフを画面に描画し終了する。

ステップ 7では、解は存在しないまたは要求された口バスト性を満足していないので、適性関数の次数 Nを 1增やす _β ステップ 8では »定された次数が実現可能な最大次数 N maxを越えた場合はステツプ 9へ進み、それ以外の場合はステツプ 3へ戻り再び最大口バス卜な解を探す。ステップ 9ではメッセージ例えば r isi max以下の次数では要求された口バス卜性を持つ解は存在しない。 J を表示し終了する。

なお上述の例は最も単純な手顺であリ、 2分法等のアルゴリズ厶の利用により、高速化することも可能である。

さて，本発明は適性化法が適用できるあらゆる範囲、すなわち屬波数領域におけるデジタルシステムやアナログシステムの伝達関数、非線形蓼素や時変要素を含む時 IB領域における漸化式や微分方程式等で表される工学的システムに適用できる。システム股計だけでなく、システム同定等への利用も可能である。

しかし、いずれの領域や目的においても、最大の口バス卜性を持つ速性 18数が得られるという本発明の効果は同一であり、その効果がそれぞれの锒域や目的に応じて異なる意義を持つに過ぎない。そこで、以下においては、典型的な適用例である局波数領域におけるデジタルフィルタの振幅特性股計方法（実施形態 5 ) と時 BB領域におけるシステム同定 (実施形態 6 ) の二つを取リ上げ、本発明の適用例を説明する。

この 2例で示す股計方法と同定方法は、適性領域の与え方を公知技術を用いて整合させるだけで、搛々な工学的システム（たとえば、直線位相フィルタ、オールパスフィルタ、アナログシステム、情報圧縮システ厶等を含む他の物理システム及び倌号処理システム等）に対しても容易に適用できる。すなわち、適性領域の与え方については、「直練位相フィルタ J については特開平 7— 2 2 6 6 5 6号公報の段落 0 0 9 3に、 Γオールパスフィルタ」については同段落 0 0 9 4ないし 0 0 9 8に、 Γアナログシステム」については同段落 0 0 9 9ないし 0 1 0 9に、 Γ情報圧縮システム J については同段落 0 1 1 0ないし 0 1 2 5に、それぞれ記載されている。

(実施形懸 5 )

本実施形態ではデジタルフィルタの用波数一振幅特性から伝達開数を投計する。時 IB領域での同定は練く実施形態 6で取り上げる。簡単のためサンプリング周期 Tは〗に規格化しておく。位相特性は無視して振輻特性のみを指定して股計する。特性を要求する範囲 D。を

D o = { 0≤ω≤ π }

とおく。伝速数の次数は任意に《定できるが、以下分子、分母とも 4 次式の場合について説明する。

伝連 M数 H(_z) を

H (z) = ( a。 + a 1 ζ ^_ ι a ₂ z— ²+ a ₃ z- ³+ a z "*)

/( b。 + b 1 z "¹+ b₂ 2 ^_2+ b₃ z- ³+ b₄ z ) = P(z) /Q(z) (3 0) とし、上記のように分子、分母をそれぞれ P(z) 、 Q(z) とおく。

(3 0) 式は I I Rフィルタの伝達数を示しているが、 F I Rフィル夕の場合は Q(z) =b0 とおけばよい。

計算の便宜上振幅特性を 2乗振幅特性で示すことにする。フィルタの 2乗振幅特性は、 H(z) 式に z==e '^wを代入して、次式のように H ( e '^w) H* ( e '^w) で定義される（ ' は複素共役を表わす）。

H ( e 'つ Η· ( e 'つ =H ( e ^Jw) H ( e"^)w )

= ( A o I Aicoseo+ A ₂cos² ω + A _scos³ ω+ A cos⁴ ω)

Z( B 0 + Bicoso)+ B 2COS² ω+ B ₃cos³ ω+ B ₄cos⁴ ω)

2乗振幅特性は上式のように cos ωの W数として表わされる，この分子、分母をそれぞれ P (cosco) , q (cosco) 、また f icos u = p (cosw) / q (cosco) とおく。 Ao , Ai , A₂ , A₃ , A はそれぞれ a。 , a，， a₂ , a₃ , a 4 の 2次多項式として表わされ、 B。， B₁ ， B₂ , B₃ , B₄ はそれぞれ b。 , bl， b₂ , b₃ , b₄ の 2次多項式として表わされる。なお，ここでは cos^k ωを基底 §8数として説明するが、基底 Η数はこのとリ方に陌定されるわけではなく、例えば cos kco ( k = 0,1,. ..,4 )を基底 Μ数として D。上での適性化を行うこともできる。範囲 Do 上で 2乗振幅特性の要求範囲を表わす上限関数 M+ (οο₅ω) 、下限 Β8数 Μ- (cosco) を与える。 D。上で cos ωは 1から一 1の値をとるから、 X =cos ω、 D= {- 1≤χ ≤ 1 } とおいて、次の決定式によって適性化を行う。 M⁺ (x) <f (x) =p (x) Zq (x) く M- (x) (x GD)

0 < q (x) (x eD)

ここで q (x) が正という条件はフィルタが安定するために必要な条件である。上式から、既に説明した最大口バス卜解を求める適性化の手法によって、 f (X) のパラメータ Α。， Α、， A₂ ， Α₃ , A₄ および B。， B, , B₂ , B₃ , B₄ を求める。こうして得られた 2乗振輻特性 p (x) Zq (x) から対応する伝達 M数 P (z) /Q(z) は適当な因数分解によリ得られる。

なお、適性化する場合に、生成凸包体（特 W平 7— 2 2 6 65 6号公報の段落 0 0 48ないし 0 07 2 照）を用いることによリ、精度の高いまたは口バス卜性の大きい適性領域を与えることもできる。本実施形態は対象システムの測定から得られた簡波数特性を適性锒域とすることによリ、そのシステムを同定する目的にも利用できる。

前述のように、本実施形態によリ得られた伝達関数のパラメータに、ロバスト半径程度の変動が加わっても、フィルタの周波数特性は適性镇域に留ま υ統ける。このことはデジタルフィルタにおいて、例えば係数量子化ゃ倌号量子化による親 Sの効果が、この口バス卜半径よリ小さければ、その屬波数特性は仕様の許容範囲内に納まるということを意味する。そこで固定小数点デジタルフィル夕の股計において、例えば実施形態 4の手 «を用いて口バス卜半を量子化誤差よリも大きく要求することにょリ、係数量子化や信号量子化による特性劣化を受けない最小次数の伝連 18数の股計を行うことができる，

同様な手法をアナログシステムの Κ計に適用し、各部品の値の JS時的または温度的偏差よりも口バス卜半径を大きく要求することにょリ、これらの偏差による特性劣化を防ぐことができる， (実施形態 6 )

本実施形態では時間領域におけるシステムの同定方法を示す。図 8に示すように、対象システム 1 0 2が倌号»1 0 1からの信号 Xを受け倌号 yを応答する場合，この x， yを用いて、同定装置 1 0 3よって対象システム 1 0 2を同定するモデルを推定する。信号 X , yは麵散化されていて、 n番目の信号はそれぞれ、 x_n, y_nで表されるものとする。対象システム 1 0 2は適当な M数 f ,を用いて、

S _y =∑ a I f I ( y „, x _n)

とおいたとき、 S_y=0で近似的に表されると仮定して、パラメータ a ,を同定する。ここで∑は i について 0から Lまでの和を意味し、 y' „, x ' n はそれぞれ

y n= 、y_n, y_n-i , …， y _n-_M)

X ' n= ( X _n, X n-1 , …， X -Μ)

とした。 f 。， f ··-, f _Lは線形独立な M数の組である。

f , (y' n, χ' n) は引き数 y' „, x' JciBし線形であってもよく， πに依存しても（時変的でも）よい。

さらに、

X = ( a。， a，， …， a _L)

π = ( f o y _n, x n) , f i ( y _n, x ' _n) ， ··■， f L (y ' n, X ' n) )

とおき、 S _yの許容可能な S差の下限を M— (n) 、上 BRを M+ (n) で表す。この M - (η) , M⁺ (n) は、例えば測定蹊差等にょリ決まる。このとき適性化の決定式

M- (n) <S_y (Χ' ， y ' „, x ' _n) <M+ (n)

(η =0，1,···) は M - ( n ) < S _y ( Χ ' ， η _η ) < Μ ⁺ ( η )

となり、適当な移項にょリ（〗 9 ) 式と同様な X ' についての速立不等式に還元できる，以下実施形態〗と同様な方法で最も口バストなパラメ一夕 X ' _sを得ることができる。

この同定において信号 Xは必ずしも必要ではない。またこの同定は対象システムの 1種類の信号に対する応答だけでなく、異なる信号に対する応答全体に行ってもよい。適性化に上述した生成凸包体を用いることにより、測定蹊差ゃノイズ等に対する口バスト性の大きい適性領域を与えることも可能である。またアナログシステムの同定における量子化頃差を生成凸包体に吸収させることもできる。さらに本実施形蠖は、希望する時 IB的挙動を適性領域とすることにより、時 IB領域でシステムを股計する目的にも利用可能である。

前述のように、本実施形態にょリ得られた同定パラメ一夕に、口バス卜半径程度の変動が加わつても、モデルの擎動は適性領域に Sまリ統ける。この同定結果は対象システムを表すモデルの内で、パラメータの変動に対し最も安定なものである。そこで，例えばモデルの次数を ffl題にせず、固定小数点デジタルフィルタで対象システムを単にモデル化したぃ壜合、前実施形態と同様にロバスト半径を量子化蹊差よリ大きく要求することによ υ、係数量子化ゃ倌号量子化による特性劣化をけないモデル構成を行うことができる。

得られた口バス卜半径は同定結果の広がりの下限を表す。すなわち、同定結果は少なくともこの半径よリ大きな広がリを持っている。したがつて、ロバスト半径は同定精度の w価に利用できる，各パラメータの最大、最小値を求める等して、解領域全体を含む凸包体を構成することにより、同定 IS果の広がりの上限を得ることも可能である。産業上の利用可能性

以上のように本発明の適正化装置および適正化方法によれば、物理的システムの構造、形状、システ厶同定、グラフ表示、データ補 w、信号予測モデル、パターン β識等、産業上利用しうる種々の問題において、従来困難であった広がリをもった入力等を取扱うことができるとともに、適性数のパラメータ値のうち、口バス卜性の大きいものを導出し、儀差に対して強い口バスト性を有するシステムを構築することができる、という効果が得られる。

Claims

請求の範囲

1 . 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性镝域を股定する手段と、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性 M数を速立不等式を解くことにより求める適性関数決定手段とを備え、前記適性関数決定手段は、前記適性 IW数を、パラメータをもつ W数の族として R定し、適性領域の境界に対応したパラメータの解锒域の境界からの ¾ 離を設定し、この ffi薦をあらかじめ要求された度合よリ大きくしまたは最大にする条件の下で速立不等式を解くことにより、口バス卜なパラメ一タ镢を持つ適性 M数を求めることを特徴とする適性化装置。

2 . 前記パラメータの解領域の境界から前記口バス卜なパラメータ値までの距醵を少なくとも近似的に求める手段を有する請求の範囲第 1項に記載の適性化装置。

3 . 前記適性関数が工学的システムの伝達関数である »求の範囲第 1項または第 2項に記載の適性化装置。

4 . 前記適性鬭数が工学的システムの渐化式である請求の範囲第 1項または第 2項に記載の適性化装置。

5 . 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を設定する手段と、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性関数を速立不等式を解くことにより求める適性 W数決定手段と、前記適性钿《を視覚的に表示する適性領域表示手段と、この適性領域表示手段によつて表示された適性領域上に前記適性 H数を重ねて表示する適性闢数表示手段とを備え、前記適性数決定手段は、前記適性数を、パラメータをもつ《数の族として設定し、適性領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界からの S離を設定し、この距離をあらかじめ要求された度合より大きくしまたは最大にする条件の下で連立不等式を解くことによリ、ロバストなパラメータ値を持つ適性闢数を求めることを特徴とする適性化装置。

6 . 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる関数であって、パラメータをもつ «数の族としての求められた適性 B数の族を入力とし、前記適性穰域の境界に対応したパラメータの解領域の境界からの距雌を設定し、この JE蒙をあらかじめ要求された度合よリ大きくしまたは S大にする条件を用いて口バス卜なパラメータ値を持つ適性数を択することを特徴とする適性 18数の選択装置。

7 . 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を K定する手段と、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性 M数を連立不等式を解くことにより求める適性 W数決定手段とを備え、前記適性 M数決定手段は、前記適性数を、パラメータをもつ闢数の族として設定し、前記適性闢数の中から口バス卜なパラメータ値を求めることを特徴とする適性化装厦。

8 . 少なくとも物理的特性の許容範囲に対応した適性領域を股定する第 1のステップと、この適性領域の範囲内に少なくとも近似的に含まれる適性数を連立不等式を解くことにより求める第 2のステップとを備え、前記第 2のステップは、前記適性 M数を、パラメータをもつ 88数の族として設定し、適性領域の境界に対応したパラメータの解領域の境界からの距離を股定し、この距離をあらかじめ要求された度合よリ大きくしまたは最大にする条件の下で速立不等式を解くことにより、口バス卜なパラメ一夕値を持つ適性 M数を求めることを特徴とする適性化方法。