JPH076234A - コンピュータ・グラフィクス装置において二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に描く方法およびその装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】この発明は、二次元表示画面上で複数の点によ
り立体を三次元的に描くにあたり、簡単で計算処理が少
なく且つ点が一様に立体の面上で並び、しかも立体を二
次元表示画面上で回転した後でも立体の方向を容易に把
握できる立体の点描写の方法及び装置を提供することを
目的とする。。 【構成】二次元表示画面上に複数の点を用いて立体を三
次元的に描くため、立体の表面を複数の領域に分割し、
これら複数の領域上で互いに異なる規則に基づいて点の
配列を行う。回転体を点描写する場合、回転体を形成す
る面を回転軸からの回転半径の変化が比較的大きい第一
領域と回転半径の変化が比較的少ない第二領域、たとえ
ば、球においては極領域と赤道領域、とに分割し、夫々
の領域に互いに異なる規則に従って点を配列する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】この発明はコンピュータ・グラフ
ィクス装置において二次元表示画面上で立体を三次元的
に描写する方法およびその装置に関し、特に、複数の点
を用いて球等の回転体を含む立体を二次元表示画面上で
三次元的に描く方法およびその装置に関する。

【０００２】最近、コンピュータ・グラフィクス装置を
用いて二次元表示画面上に色々な立体を三次元的に描い
て研究または工学的応用に利用することが盛んに行われ
ている。その応用の一つに分子モデリングまたは分子シ
ュミレーションと呼ばれるものがあり、画面上に立体分
子模型を三次元的に描写して物質の特性を研究するのに
利用されている。分子モデリングにおいては、主として
球面から成る立体分子模型を表現する方法として、複数
の点を用いて球面及び曲面を三次元的に描くことが行わ
れている。

【０００３】この複数の点により立体を三次元的に描写
する方法は、球面や曲面を立体感を保ちながら塗りつぶ
すいわゆるソリッド・モデルの方法と比べて簡単でコン
ピュータの処理能力をあまり要せず描写の高速化を図る
事のできる利点がある。この発明は、この複数の点を用
いて球等の回転体を含む立体を三次元的に描く方法及び
その装置に関する。

【０００４】なお、この明細書を通じて点とは、ドット
またはマーカとも呼ばれるもので、描写される立体全体
の大きさに比較して十分に小さいが有限の大きさを持っ
ておりその形状は線形、丸形、十字形、又はそれ以外の
さまざまな形であってよく、表示画面上では輝点、黒
点、又は様々な色により表示されるものであってもよ
い。

【０００５】

【従来の技術】Ｂａｓｈ，Ｐ．Ａ．ｅｔ ａｌ．ｃｅｓ
ｉｎ Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，Ｉｍ
ｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｒｅａｌ Ｔｉ
ｍｅＣｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓには分子模型
における球面を複数点で描写することの重要性が述べら
れている。

【０００６】従来、複数の点を用いて球面等を立体的に
表現する方法としては、平面から球面への等面積マッピ
ング法（詳しくは小出昭夫著、『分子シミュレーション
入門』岡田、大沢編 ｐｐ．２０９−２１０、海文堂、
１９８９を参照のこと）、緯度経度交点方法（この方法
を利用したグラフィクス・プログラム製品例としては日
本アイ・ビー・エム（株）が開発した『分子設計支援シ
ステム』、プログラム番号５７８８−ＪＫＦ／ＪＫＧ／
ＪＫＨ／ＪＫＪ／ＪＫＬ／ＪＫＮがある）、及び点対称
群方法を用いるものがある。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】従来の等面積マッピン
グ方法では立体模型を連続的に（実時間で）回転させて
別の角度から見る時、回転前の球面の外縁部付近の点が
密集した領域が、赤道様の縞として現れ好ましくない。
また従来の緯度経度交点法では北極及び南極に点が集中
し逆に赤道付近では点が分散する傾向があって見辛い時
があり、さらに従来の点対称群法では一般的に描写のた
めにより多くの点を要し、しかも分子模型を回転する際
の点の座標変換の計算にコンピュータの処理能力を多く
要し、回転した後の点配列が不自然に並ぶという問題が
ある。

【０００８】この発明は、従来技術の前記した問題点を
解決するために、二次元表示画面上で複数の点により立
体を三次元的に表現するにあたり、簡単で計算処理が少
なく且つ点が立体を形成する面上に一様に分布されて不
自然に立体の面上で並ぶ事がなく、しかも立体模型を回
転した後でも立体模型の方向を容易に把握でき且つ面上
の点の分布が不自然とならならい、コンピュータ・グラ
フィクス装置において複数の点をもちいて立体を三次元
的に描く方法及び装置を提供することを目的とする。

【０００９】

【課題を解決するための手段】この発明によれば、コン
ピュータ・グラフィクス装置において、二次元表示画面
上に複数の点を用いて立体を三次元的に描写するため、
立体の表面を複数の領域に分割し、これら複数の領域上
で互いに異なる規則に基づいて点の配列を行う。

【００１０】この発明の一実施例において回転体を点描
写する場合、回転体を形成する面を回転軸からの回転半
径の変化が比較的大きい第一領域と回転半径の変化が比
較的少ない第二領域、たとえば、球においては極領域と
赤道領域、とに分割し、夫々の領域に互いに異なる規則
に従って点を配列する。すなわち、第一領域では回転半
径の増加に伴って数が増加する点を同心円周上に等間隔
に配列し、第二領域では一定数の点を同心円周上に等間
隔で且つ隣り合う周上では互いに点配列の中間に位置す
るように配する。前述の球の場合は 、極領域において
は数が極から赤道方向に向けて、例えば等差数列的に、
増加する点を等緯度線上に等間隔に配列し、赤道領域で
は一定数の点を等緯度線上に等間隔に配列させ且つ隣り
合う等緯度線同士では点が隣の等緯度線上の点配列の中
間に来るように配する。前述の等差数列は初項が１で
（極点における点が１つ）、公差が５または６であるも
のであってよい。

【００１１】

【実施例】図１、２、３、４、５、及び６を参照してこ
の発明の一実施例を説明する。

【００１２】図１はこの発明の一実施例の方法及びその
方法を実施するために用いられるコンピュータ・グラフ
ィクス装置の要部を示す。この装置は例えばＩＢＭ Ｒ
ＩＳＣシステム６０００または他のコンピュータ・グラ
フィクス装置であってよい。１は中央処理ユニットであ
り、演算処理及び制御を行う。２は記憶ユニットであ
り、この発明を実施するためのコンピュータ・プログラ
ム及びデータを記憶する。３はグラフィクス表示をする
ための全点表示可能なＣＲＴ等の二次元画面表示装置で
ある。４は装置に操作者が入力を行うためのキーボード
やマウス等の入力装置である。記憶ユニット２に記憶さ
れる分子モデリングや他のグラフィクス・アプリケィシ
ョン・プログラムに以下に述べるこの実施例の方法が含
まれていて、中央処理ユニット１がこのプログラムを実
行すると、この方法により二次元表示画面３上に立体が
複数の点により三次元的に描写される。

【００１３】この実施例の方法では立体、例えば図２に
示すような半径Ｒの球の点描写について説明する。この
球の中心Ｏの座標は（０，０，０）、北極Ｎの座標は
（０，０，Ｒ）、南極Ｓの座標は（０，０，−Ｒ）とな
る。この球を構成する球面５の内、この球の赤道面Ｅ
（Ｘ−Ｙ面）からその垂直上下方向（Ｚ方向）に０．５
Ｒの範囲内にある球面を赤道領域Ｅｓとし、赤道領域Ｅ
ｓよりも北極Ｎ側にある球面を北極領域Ｎｓとし、赤道
領域Ｅｓよりも南極Ｓ側にある球面を南極領域Ｓｓとし
て分割する。北極領域Ｎｓ及び南極領域Ｓｓでは球の回
転軸Ｚからの距離（回転半径）の変化が、赤道領域Ｅｓ
における回転軸Ｚからの距離（回転半径）の変化に比較
して大きい。

【００１４】この実施例の方法では極領域Ｎｓ，Ｓｓと
赤道領域Ｅｓとでは互いに異なる規則に従って複数の点
を配列して球の描写を行う。この実施例の複数点による
球の配列の規則を次に図３、４を参照して説明する。

【００１５】まずステップ１として、北極領域Ｎｓの点
描写のための点の発生の仕方を説明する。北極Ｎ（０，
０，Ｒ）に１つの点を置く。そして赤道面Ｅから高さＺ
j

【００１６】Ｚj＝Ｒ（１−ｊ²／Ｍ（Ｎ＋Ｍ）） ただしｊ＝１，２，・・，Ｎ−１で、Ｎは整数、にある
球１の球面上の等緯度線上に６ｊ個の点を等間隔に並べ
る。この複数の点を高さＺjの等緯度線上で等間隔に並
べるための方法は、今、６ｊ＝Ｋとし、ｎ＝０，１，
２，・・，Ｋ−１とし、この等緯度線上の点のＸ及びＹ
座標を、Ｘn 及びＹnとすると

【００１７】 Ｘn＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚj²）ｃｏｓ（２ｎπ／Ｋ） Ｙn＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚj²）ｓｉｎ（２ｎπ／Ｋ） とする事で得られる。

【００１８】ステップ２として、南極領域Ｓｓの点描写
のための点の発生は、ステップ１で得られた北極領域Ｎ
ｓ上の点の座標（Ｘ，Ｙ，Ｚ）に対して座標（Ｘ，Ｙ，
−Ｚ）の位置に点を発生する事で行われる。この南極領
域Ｓｓにおける点の配列の仕方はステップ１で述べた北
極領域Ｎｓでの点の配列の仕方と実質的には同じであ
る。

【００１９】ステップ３として、赤道領域Ｅｓの点描写
のための点を発生する。高さＺhを、

【００２０】Ｚh＝Ｒ（（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ）） ただし、ｈ＝０，１，２，・・・，Ｍで、Ｍは整数であ
る、

【００２１】として、この高さの位置にある赤道領域Ｅ
ｓの等緯度線上に６Ｎ個の点を等間隔で並べる。ただ
し、ｈが１だけ増加するごとに点の発生する位置を点間
隔の半分だけずらして隣り合う等緯度線間では、点は隣
の等緯度線上の点配列の中間に位置させる。従って、高
さＺhの等緯度線上にある点のＸ及びＹ座標を、Ｘn 及
びＹn として、

【００２２】 Ｘn＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚh²）ｃｏｓ（（ｎπ／３Ｎ）＋（ｈπ／６Ｎ）） Ｙn＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚh²）ｓｉｎ（（ｎπ／３Ｎ）＋（ｈπ／６Ｎ）） ただし、ｎ＝０，１，２，・・・，６Ｎ−１である、と
する事で得られる。

【００２３】なお、ステップ１と３で行った、複数個の
点を円周上に等間隔に配することは、次のように行って
もよい。今、複数Ｐ個の点を高さＺiにある球の等緯度
線上に等間隔に配するために点のＸ及びＹ座標をＸt,
Ｙt とすると、

【００２４】 ｃ＝ｃｏｓ（２π／Ｐ）、ｓ＝ｓｉｎ（２π／Ｐ） （Ｘ0,Ｙ0）＝（ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚi²），０） （Ｘt+1，Ｙt+1）＝（ｃＸt−ｓＹt，ｓＸt＋ｃＹt） ただし、ｔ＝０，１，２，・・，Ｐ−１である。

【００２５】図５、６はこの実施例の方法で得られた球
を回転した様子を示すもので、点が球面上に一様に分布
しているので回転後の球の方向を容易に理解できる。

【００２６】図７はこのようにして点描写された複数の
球を結合して分子模型６を描いたものである。

【００２７】なお、実施例で説明した球では極領域と赤
道領域を分けるのに赤道面からの距離が半径の半分とす
ると最適であるので、上述した式中でＮ＝Ｍとすれば前
述の実施例の球で極領域と赤道領域とを赤道面から半径
の半分の距離で分割した場合の点配列の式になる。な
お、点を配する等緯度線のを高さＺj、Ｚh として選ん
だが等緯度間隔になるように選んでもよい。また球面に
ついて説明したが卵型の様な回転楕円体あるいは半円球
や半回転楕円体と他の立体との組み合わせにもこの発明
を用いる事ができる。

【００２８】次に説明する図８、９は回転体である花瓶
７をこの発明の方法によって三次元的に点描写する他の
実施例を説明するものである。図８、９に示すように花
瓶７を形成する面の内、回転軸からの距離（回転半径）
が比較的大きく変化する領域Saと比較的少なく変化する
領域Sbとに分割し、比較的大きく変化する領域Saには回
転半径の増加に伴って増加する数（例えば、等差数列的
に）の点を同心円周上に等間隔に配列し、比較的少なく
変化する領域Sbには一定の数の点を同心円周上に等間隔
で且つ隣り合う周上間では互いに点間隔の中間に位置す
るように配する。図８、９に示すように花瓶７の回転を
おこなっても点が花瓶７を形成する面上に一様に配され
ているので各図における花瓶７の方向を容易に把握でき
る。

【００２９】

【発明の効果】この発明の上述した構成によれば、点が
立体の面上にほぼ一様に分布されるので、従来の等面積
マッピングの様にたとえ連続的に（実時間で）立体模型
を回転しても面上に縞模様を生ずることがなく、また緯
度経度交点法の様に点が極付近で過密となり赤道付近で
まばらになる事もなく、さらに点の分布の計算が単純簡
単であるので座標回転を行う際の点の位置の計算が容易
でコンピュータの処理能力を点対称群法ほど要せず、ま
た回転後の立体模型の方向と操作者の視覚の関係が容易
に把握できしかも面上で点が不自然に並ぶことがない。

【図面の簡単な説明】

【図１】この発明の方法が用いられるコンピュータ・グ
ラフィクス装置を示すブロック図、

【図２】この発明の一実施例の方法による球面の分割方
法を示す図、

【図３】この発明の一実施例の方法による球面を表示す
る点の発生方法を説明するために球の赤道面に垂直な方
向で北極側から見た図、

【図４】第３図の球をその赤道面と平行な方向から見た
図、

【図５】第３図の球を回転して表示した図、

【図６】第３図の球を回転して表示した図、

【図７】この実施例により描かれた複数の球を結合させ
て分子モデルを形成した図、

【図８】この発明の方法の他の実施例による回転体の三
次元点描写の方法を説明するため、この回転体を形成す
る面を複数の領域に分割して点描写する方法を示す図、

【図９】第８図の回転体を回転した様子を示す図。

─────────────────────────────────────────────────────

【手続補正書】

【提出日】平成４年６月１２日

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】全文

【補正方法】変更

【補正内容】

【書類名】 明細書

【発明の名称】コンピュータ・グラフィクス装置におい
て二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に
描く方法およびその装置

【特許請求の範囲】

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】この発明はコンピュータ・グラフ
ィクス装置において二次元表示画面上で立体を三次元的
に描写する方法およびその装置に関し、特に、複数の点
を用いて球等の回転体を含む立体を二次元表示画面上で
三次元的に描く方法およびその装置に関する。

【０００２】最近、コンピュータ・グラフィクス装置を
用いて二次元表示画面上に色々な立体を三次元的に描い
て研究または工学的応用に利用することが盛んに行われ
ている。その応用の一つに分子モデリングまたは分子シ
ュミレーションと呼ばれるものがあり、画面上に立体分
子模型を三次元的に描写して物質の特性を研究するのに
利用されている。分子モデリングにおいては、主として
球面から成る立体分子模型を表現する方法として、複数
の点を用いて球面及び曲面を三次元的に描くことが行わ
れている。

【０００３】この複数の点により立体を三次元的に描写
する方法は、球面や曲面を立体感を保ちながら塗りつぶ
すいわゆるソリッド・モデルの方法と比べて簡単でコン
ピュータの処理能力をあまり要せず描写の高速化を図る
事のできる利点がある。この発明は、この複数の点を用
いて球等の回転体を含む立体を三次元的に描く方法及び
その装置に関する。

【０００４】なお、この明細書を通じて点とは、ドット
またはマーカとも呼ばれるもので、描写される立体全体
の大きさに比較して十分に小さいが有限の大きさを持っ
ておりその形状は線形、丸形、十字形、又はそれ以外の
さまざまな形であってよく、表示画面上では輝点、黒
点、又は様々な色により表示されるものであってもよ
い。

【０００５】

【従来の技術】Ｂａｓｈ，Ｐ．Ａ．ｅｔ ａｌ．"Ｖａ
ｎ ｄｅｒ Ｗａａｌｓ Ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｎ Ｍ
ｏｌｅｃｕｌａｒ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，Ｉｍｐｌｅｍｅ
ｎｔａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｒｅａｌ Ｔｉｍｅ Ｃｏ
ｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ" Ｓｃｉｅｎｃｅ，
Ｖｏｌ．２２２，ｐｐ．１３２５−１３２７，１９８
３，には分子模型において球面を複数点で描写すること
の重要性が述べられている。

【０００６】従来、複数の点を用いて球面等を立体的に
表現する方法としては、平面から球面への等面積マッピ
ング法（詳しくは小出昭夫著、『分子シミュレーション
入門』岡田、大沢編 ｐｐ．２０９−２１０、海文堂、
１９８９を参照のこと）、緯度経度交点方法（この方法
を利用したグラフィクス・プログラム製品例としては日
本アイ・ビー・エム（株）が開発した『分子設計支援シ
ステム』、プログラム番号５７８８−ＪＫＦ／ＪＫＧ／
ＪＫＨ／ＪＫＪ／ＪＫＬ／ＪＫＮがある）、及び点対称
群方法（この方法を利用したプログラム製品としては富
士通の三次元分子設計支援パッケージ、ＡＮＣＨＯＲが
ある）を用いるものがある。

【０００７】等面積マッピング法は図１０に示される様
に、平面上の正三角形格子１００を球面１０１へある方
向Ａから投影した時の格子対応点上にドット１０２を配
する方法である。この方法によれば、Ａ方向から見た場
合の球面１０１の外縁部１０３にドット１０２が集中す
る傾向がある。

【０００８】緯度経度交点方法は図１１に示される様
に、球１１１の緯度１１３及び経度１１４の交点にドッ
ト１１２を配するものである。この方法によれば、ドッ
ト１１２が極領域１１５及び１１６に集中し赤道領域は
疎らになる傾向がある。

【０００９】点対称群方法は図１２に示される様に、球
面上の一点１２１の座標（ｘ，ｙ，ｚ）が決定されたな
らば、同じ球面上の４７個の点１２２が点対称を利用し
て決められる。この方法により描かれた球面が図１３に
示されている。この図からも理解されるように、この方
法で描かれた球には方向性、すなわち極点、がなく、球
を回転した前と後の方向を知ることが出来ない。

【００１０】

【発明が解決しようとする課題】従来の等面積マッピン
グ方法では立体模型を連続的に（実時間で）回転させて
別の角度、例えばＢ方向、から見る時、回転前の球面の
外縁部付近の点が密集した領域が、赤道様の縞として現
れ好ましくない。また従来の緯度経度交点法では北極及
び南極に点が集中し逆に赤道付近では点が分散する傾向
があって見辛い時があり、さらに従来の点対称群法では
一般的に描写のためにより多くの点を要し、しかも分子
模型を回転する際の点の座標変換の計算にコンピュータ
の処理能力を多く要し、回転した後の点配列が不自然に
並び回転後の方向を知ることが困難であるという問題が
ある。

【００１１】この発明は、従来技術の前記した問題点を
解決するために、二次元表示画面上で複数の点により立
体を三次元的に表現するにあたり、簡単で計算処理が少
なく且つ点が立体を形成する面上に一様に分布されて不
自然に立体の面上で並ぶ事がなく、しかも立体模型を回
転した後でも立体模型の方向を容易に把握でき且つ面上
の点の分布が不自然とならならい、コンピュータ・グラ
フィクス装置において複数の点をもちいて立体を三次元
的に描く方法及び装置を提供することを目的とする。

【００１２】

【課題を解決するための手段】この発明によれば、コン
ピュータ・グラフィクス装置において、二次元表示画面
上に複数の点を用いて立体を三次元的に描写するため、
立体の表面を複数の領域に分割し、これら複数の領域上
で互いに異なる規則に基づいて点の配列を行う。

【００１３】この発明の一実施例において回転体を点描
写する場合、回転体を形成する面を回転軸からの回転半
径の変化が比較的大きい第一領域と回転半径の変化が比
較的少ない第二領域、たとえば、球においては極領域と
赤道領域、とに分割し、夫々の領域に互いに異なる規則
に従って点を配列する。すなわち、第一領域では回転半
径の増加に伴って数が増加する点を同軸円周上に等間隔
に配列し、第二領域では一定数の点を同軸円周上に等間
隔で且つ隣り合う周上では互いに点配列の中間に位置す
るように配する。前述の球の場合は 、極領域において
は数が極から赤道方向に向けて、例えば等差数列的に、
増加する点を等緯度線上に等間隔に配列し、赤道領域で
は一定数の点を等緯度線上に等間隔に配列させ且つ隣り
合う等緯度線同士では点が隣の等緯度線上の点配列の中
間に来るように配する。前述の等差数列は初項が１で
（極点における点が１つ）、公差が５または６であるも
のであってよい。

【００１４】

【実施例】図１、２、３、４、５、及び６を参照してこ
の発明の一実施例を説明する。

【００１５】図１はこの発明の一実施例の方法及びその
方法を実施するために用いられるコンピュータ・グラフ
ィクス装置の要部を示す。この装置は例えばＩＢＭ Ｒ
ＩＳＣシステム６０００または他のコンピュータ・グラ
フィクス装置であってよい。１は中央処理ユニットであ
り、演算処理及び制御を行う。２は記憶ユニットであ
り、この発明を実施するためのコンピュータ・プログラ
ム及びデータを記憶する。３はグラフィクス表示をする
ための全点表示可能なＣＲＴ等の二次元画面表示装置で
ある。４は装置に操作者が入力を行うためのキーボード
やマウス等の入力装置である。記憶ユニット２に記憶さ
れる分子モデリングや他のグラフィクス・アプリケィシ
ョン・プログラムに以下に述べるこの実施例の方法が含
まれていて、中央処理ユニット１がこのプログラムを実
行すると、この方法により二次元表示画面３上に立体が
複数の点により三次元的に描写される。

【００１６】この実施例の立体の点描写の方法を説明す
るにあたり、例えば図２に示すような半径Ｒの球の点描
写について説明する。この球の中心Ｏの座標は（０，
０，０）、北極Ｎｐの座標は（０，０，Ｒ）、南極Ｓｐ
の座標は（０，０，−Ｒ）となる。この球を構成する球
面５の内、この球の赤道面（Ｘ−Ｙ平面）の近傍にある
球面を赤道領域Ｅｓとし、赤道領域Ｅｓよりも北極Ｎ側
にある球面を北極領域Ｎｓとし、赤道領域Ｅｓよりも南
極Ｓ側にある球面を南極領域Ｓｓとして分割する。図２
において、北極領域ＮｓはＺ軸に対する中心Ｏからの角
度が零からα₀内の球面領域であり、赤道領域ＥｓはＺ
軸に対する中心Ｏからの角度がα₀からπ−α₀の球面領
域であり、南極領域はＺ軸に対する中心Ｏからの角度が
π−α₀からπまでの領域である。図２から理解される
ように、北極領域Ｎｓ及び南極領域Ｓｓでは球の回転軸
Ｚからの距離（回転半径）Ｒｐの変化が比較的大きく、
赤道領域Ｅｓにおいては球の回転軸Ｚからの距離（回転
半径）Ｒｅの変化は比較的小さい。

【００１７】この実施例の方法では極領域Ｎｓ，Ｓｓと
赤道領域Ｅｓとでは互いに異なる規則に従って複数の点
を配列して球の描写を行う。この実施例の複数点による
球の配列の規則を次に説明する。

【００１８】まずステップ１として、北極領域Ｎｓの点
描写のための点の配列の仕方を説明する。まず、北極Ｎ
ｐ（０，０，Ｒ）に１つの点を置く。そして赤道面（Ｘ
−Ｙ平面）から高さＺj

【００１９】 Ｚj＝Ｒ（１−ｊ²／Ｎ（Ｎ＋Ｍ）） 式（Ａ） ただしｊ＝１，２，・・，Ｎで、Ｎは整数、にある球面
上のＺ軸を中心とする同軸円周（緯度線）ｊ上に６ｊ個
の点１１を等間隔に並べる。この式（Ａ）は次のように
して得られる。

【００２０】まず、北極領域Ｎｓの点１１の極座標を
［Ｒ、α（ｊ）、Φ（ｔ）］とする。ここで角度α
（ｊ）は点１１のＺ軸に対する中心Ｏからの角度であ
り、角度Φ（ｔ）は点１１のＺ軸からの回転半径Ｒｐの
Ｙ軸に対する角度である。ｔは０から６ｊ−１までの整
数である。６ｊ個の点１１は円周ｊ上で等間隔で配置さ
れるので、Φ（ｔ）は

【００２１】Φ（ｔ）＝（π／３ｊ）ｔ 式（１） と表すことができる。

【００２２】一方、赤道領域Ｅｓ上の円周ｈ上の点１２
の極座標は［Ｒ、α（ｈ）、Φ（ｓ）］と表すことが出
来る。ここで角度α（ｈ）は点１２のＺ軸に対する中心
Ｏからの角度であり、Φ（ｓ）は点１２のＺ軸からの回
転半径ＲｅのＹ軸に対する角度である。ここで、赤道領
域ＥｓにおいてはＭ本のＺ軸を回転中心とする球面上の
同軸円周（緯度線）ｈ上に点を配するとする。ｈは１か
らＭまでの整数である。赤道領域Ｅｓでは一定の数６Ｎ
個の点が北極領域Ｎｓとの連続性を保つために配置され
る。このため、ｓは０から６Ｎ−１までの整数である。
６Ｎ個の点を円周ｈ上で等間隔に配置するためには、Φ
（ｓ）は

【００２３】Φ（ｓ）＝（π／３Ｎ）ｓ 式（２） と表すことが出来る。

【００２４】球面５上で一定の密度で点を配列するとい
う条件を取る。点密度をｎとすると北極領域Ｎｓでは、

【００２５】ｎ＝ｄｊｄｔ／ｓｉｎαｄαｄΦ と表すことことができる。ここでｄは微分量を表し、ｄ
ｊｄｔは北極領域Ｎｓのある小領域での点の個数を表
し、ｓｉｎαｄαｄΦはその小領域の面積を表す。北極
領域Ｎｓでは式（１）からｄΦ／ｄｔ＝π／３ｊである
ので、 ｎ＝（３ｊ／π）ｄｊ／ｓｉｎαｄα 式（３） と表すことができる。

【００２６】一方、赤道領域Ｅｓでの点密度ｎは次のよ
うに表すことができる。

【００２７】ｎ＝ｄｈｄｓ／ｓｉｎαｄαｄΦ ここで、ｄｈｄｓは赤道領域Ｅｓの小領域での点の個数
を表し、ｓｉｎαｄαｄΦはその小領域の面積を表す。
赤道領域Ｅｓでは式（２）からｄΦ／ｄｓ＝π／３Ｎで
あるので、 ｎ＝（３Ｎ／π）ｄｈ／ｓｉｎαｄα 式（４）

【００２８】式（３）を積分すると、 −ｎｃｏｓα＋Ｃ＝（３／２π）ｊ² 式（５） 但し、Ｃは積分定数である。αが零の時、ｊも零なので
Ｃはｎである。

【００２９】式（４）を積分すると、 −ｎｃｏｓα＋Ｃ＝（３Ｎ／π）ｈ 式（６） 但し、Ｃは積分定数である。αがα₀のときｈは零なの
で、Ｃはｎｃｏｓα₀である。

【００３０】式（５）でｊがＮの時、αがα₀であるの
で、 ｃｏｓα₀＝１−（３／２ｎπ）Ｎ² 式（７） が得られる。

【００３１】式（６）でｈがＭであるとき、αがπ−α
₀であるので、 ｃｏｓα₀＝（３Ｎ／２ｎπ）Ｍ 式（８） が得られる。式（７）、式（８）から、 ｎ＝（３／２π）Ｎ（Ｎ＋Ｍ） が得られ、従って式（５）から、北極領域Ｎｓでは ｃｏｓα＝１−ｊ²／Ｎ（Ｎ＋Ｍ） 式（９） となり、式（６）から、赤道領域Ｅｓでは ｃｏｓα＝（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ） 式（１０） となる。

【００３２】式（９）、（１０）に半径Ｒをかければ、
北極領域Ｎｓ、赤道領域Ｓｓの点１１、点１２の赤道面
（Ｘ−Ｙ平面）からの高さＺｊ、Ｚｈが得られる。 Ｚｊ＝Ｒ［１−ｊ²／Ｎ（Ｎ＋Ｍ）］ 式（Ａ） Ｚｈ＝Ｒ［（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ）］ 式（Ｂ）

【００３３】この実施例では、球面５を複数の点で描く
にあたり、北極領域Ｎｓの球面の描写においては円周
（緯度線）ｊ上に６ｊ個の点１１を等間隔に配する。こ
の点１１の直交座標（Ｘｔ、Ｙｔ、Ｚｊ）とすると、こ
こでＺｊは式（Ａ）で決り、ＸｔとＹｔは次の式で決る
値である。但し、前述の通りｊは１からＮまでの整数、
ｔは０から６ｊ−１までの整数である。

【００３４】 Ｘｔ＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚｊ²）ｃｏｓ（ｔπ／３ｊ） Ｙｔ＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚｊ²）ｓｉｎ（ｔπ／３ｊ）

【００３５】ステップ２として、南極領域Ｓｓの球面の
点描写のための点の発生は、ステップ１で得られた北極
領域Ｎｓ上の点１１の直交座標（Ｘｔ，Ｙｔ，Ｚｊ）に
対して直交座標（Ｘｔ，Ｙｔ，−Ｚｊ）の位置に点を発
生する事で行われる。この南極領域Ｓｓにおける点の配
列の仕方はステップ１で述べた北極領域Ｎｓでの点の配
列の仕方と同じである。

【００３６】ステップ３として、赤道領域Ｅｓの球面の
点描写のための点１２を発生する。点１２が置かれる円
周（緯度線）ｈの高さＺｈを式（Ｂ）から得る。

【００３７】Ｚｈ＝Ｒ［（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ）］ ただし、前述の通りｈ＝１，２，・・・，Ｍで、Ｍは整
数である、

【００３８】この円周（緯度線）ｈ上に６Ｎ個の点１２
を等間隔で並べる。ただし、ｈが１だけ増加するごとに
点１２の発生する位置を点間隔の半分だけずらして隣り
合う円周（緯度線）ｈ間では、点１２は隣の円周（緯度
線）上の点配列の中間に位置させる。点１２を直交座標
（Ｘｓ、Ｙｓ、Ｚｈ）の位置に配置することで赤道領域
Ｅｓの球面の点描写が行われる。但し、ＸｓとＹｓとは

【００３９】 Ｘｓ＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚｈ²）ｃｏｓ［（ｓπ／３Ｎ）＋（ｈπ／６Ｎ）］ Ｙｓ＝ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚｈ²）ｓｉｎ［（ｓπ／３Ｎ）＋（ｈπ／６Ｎ）］ ただし、前述の通りｓ＝０，１，２，・・・，６Ｎ−１
である、とする事で得られる。

【００４０】図１４、図１５、図１６はこの実施例の方
法を行うためのプログラムをＣ言語で表したリストであ
る。

【００４１】なお、ステップ１と３で行った、複数個の
点を円周上に等間隔に配することは、次のように行って
もよい。今、複数Ｐ個の点を高さＺiにある球の緯度線
上に等間隔に配するために点のＸ及びＹ座標をＸt, Ｙt
とすると、

【００４２】 ｃ＝ｃｏｓ（２π／Ｐ）、ｓ＝ｓｉｎ（２π／Ｐ） （Ｘ0,Ｙ0）＝［ｓｑｒｔ（Ｒ²−Ｚi²），０］ （Ｘt+1，Ｙt+1）＝（ｃＸt−ｓＹt，ｓＸt＋ｃＹt） ただし、ｔ＝０，１，２，・・，Ｐ−１である。

【００４３】図３、４はこの実施例の方法で球を点描写
した例を示す。図５、６はこの実施例の方法で得られた
球を回転した様子を示すもので、点が球面上に一様に分
布しているので回転後の球の方向を容易に理解できる。
すなわち、球の北極Ｎｐ及び南極Ｓｐに点がそれぞれ一
つづつ配置され、そして球面を構成する同軸円周上に等
間隔に点が配置されるので、球の回転後も位置関係を容
易に知ることができる。

【００４４】図７はこのようにして点描写された複数の
球を結合して分子模型６を描いたものである。

【００４５】なお、図２の実施例で説明した球では極領
域と赤道領域を分けるのに赤道面からの距離が半径の半
分、すなわち１／２Ｒ、とすると最適である。図２に関
して上述した式中でＮ＝Ｍとすれば図２の実施例の球で
極領域と赤道領域とを赤道面から半径の半分の距離、１
／２Ｒ、で分割した場合の点配列の式になる。なお、点
を配する 球面５上の同軸円周ｊ、ｈの高さをＺｊ、Ｚ
ｈとして選んだが、同軸円周ｊ、ｈの高さを等緯度間隔
になるように選んでもよい。また球面について説明した
が卵型の様な回転楕円体あるいは半円球や半回転楕円体
と他の立体との組み合わせにもこの発明を用いる事がで
きる。

【００４６】次に説明する図８、９は回転体である花瓶
７をこの発明の方法によって三次元的に点描写する他の
実施例を説明するものである。図８、９に示すように花
瓶７を形成する面の内、回転軸（花瓶の口と底の中心を
結ぶ垂線）からの距離（回転半径）が比較的大きく変化
する領域Saと比較的少なく変化する領域Sbとに分割し、
比較的大きく変化する領域Saには回転半径の増加に伴っ
て増加する数（例えば、等差数列的に）の点を同軸円周
上に等間隔に配列し、比較的少なく変化する領域Sbには
一定の数の点を同軸円周上に等間隔で且つ隣り合う周上
間では互いに点間隔の中間に位置するように配する。図
８、９に示すように花瓶７の回転をおこなっても点が花
瓶７を形成する面上に一様に配されているので各図にお
ける花瓶７の方向を容易に把握できる。

【００４７】

【発明の効果】この発明の上述した構成によれば、点が
立体の面上にほぼ一様に分布されるので、従来の等面積
マッピングの様にたとえ連続的に（実時間で）立体模型
を回転しても面上に縞模様を生ずることがなく、また緯
度経度交点法の様に点が極付近で過密となり赤道付近で
まばらになる事もなく、さらに点の分布の計算が単純簡
単であるので座標回転を行う際の点の位置の計算が容易
でコンピュータの処理能力を点対称群法ほど要せず、ま
た点配列により回転後の立体模型の方向と操作者の視覚
の関係が容易に把握できしかも面上で点が不自然に並ぶ
ことがない。

【図面の簡単な説明】

【図１】この発明の方法が用いられるコンピュータ・グ
ラフィクス装置を示すブロック図。

【図２】この発明の一実施例の方法による球面の分割方
法および分割された球面の各領域を点描写するための点
の配列方法を説明する図。

【図３】この発明の一実施例の方法により点描写された
球をその球の北極側から見た図。

【図４】第３図の球をその赤道面と平行な方向から見た
図。

【図５】第３図の球を回転して表示した図。

【図６】第３図の球を回転して表示した図。

【図７】この実施例により描かれた複数の球を結合させ
て分子モデルを形成した図。

【図８】この発明の方法の他の実施例による回転体の三
次元点描写の方法を説明するため、この回転体を形成す
る面を複数の領域に分割して点描写する方法を示す図。

【図９】第８図の回転体を回転した様子を示す図。

【図１０】従来の球面の点描写方法を説明する図。

【図１１】従来の球面の点描写方法を説明する図。

【図１２】従来の球面の点描写方法を説明する図。

【図１３】従来の球面の点描写方法を説明する図。

【符号の説明】 ５ 球面 １１ 点 １２ 点 ｊ 同軸円周 ｈ 同軸円周 Ｅｓ 赤道領域 Ｎｓ 北極領域 Ｓｓ 南極領域 Ｎｐ 北極 Ｓｐ 南極 Ｒｅ 回転半径 Ｒｐ 回転半径 Ｚ 回転軸 ─────────────────────────────────────────────────────

【手続補正書】

【提出日】平成４年６月１２日

【手続補正１】

【補正対象書類名】図面

【補正対象項目名】全図

【補正方法】変更

【補正内容】

【図１】

【図２】

【図３】

【図４】

【図５】

【図６】

【図７】

【図１２】

【図１３】

【図８】

【図９】

【図１０】

【図１１】

【手続補正書】

【提出日】平成４年９月１８日

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】発明の名称

【補正方法】変更

【補正内容】

【発明の名称】 コンピュータ・グラフィクス装置にお
いて二次元表示画面上に立体を複数の点により表示する
方法 ─────────────────────────────────────────────────────

【手続補正書】

【提出日】平成４年９月２４日

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】発明の名称

【補正方法】変更

【補正内容】

【発明の名称】 コンピュータ・グラフィクス装置にお
いて二次元表示画面上に立体を複数の点により表示する
方法

Claims (17)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】コンピュータ・グラフィクス装置により、
   二次元表示画面上に複数の点を用いて立体を三次元的に
   描く方法において、前記立体を構成する面を複数の領域
   に分割し、前記複数の領域上に互いに異なる規則に基づ
   いて点を配列することを特徴とする前記方法。
2. 【請求項２】請求項１記載の方法において、前記立体が
   回転体であり、この回転体を構成する面を、この回転体
   の回転軸からの回転半径の変化が比較的大きい第一領域
   と、前記回転軸からの回転半径の変化が比較的少ない第
   二領域とに分割し、前記各領域上に互いに異なる規則に
   基づいて点を配列する前記方法。
3. 【請求項３】請求項２記載の方法において、前記第一領
   域上では前記回転半径の増加につれて数が増加する点を
   同心円周上に等間隔に配し、前記第二領域上では一定の
   数の点を同心円周上に等間隔で且つ隣り合う同心円周上
   の点同士では互いの点配列の中間に来るように配列する
   前記方法。
4. 【請求項４】請求項３記載の方法において、前記第一領
   域上では回転半径が増加するにつれて前記点の数が等差
   数列的に増加する前記方法。
5. 【請求項５】請求項２記載の方法において、前記回転体
   が球である前記方法。
6. 【請求項６】請求項２記載の方法において、前記回転体
   が回転楕円体である前記方法。
7. 【請求項７】請求項２記載の方法において、前記回転体
   が複数存在し且つ結合して一つの立体を構成している前
   記方法。
8. 【請求項８】請求項１記載の方法において、前記立体が
   回転体と非回転体の組み合わせであり、前記回転体の表
   面を、前記回転体の回転軸からの回転半径の変化が比較
   的大きい領域と比較的少ない領域とに分割し、前記各領
   域上で互いに異なる規則に基づいて点を配列する前記方
   法。
9. 【請求項９】請求項１記載の方法において、前記立体が
   回転体であり、この回転体を形成する面のうち、前記回
   転体の回転軸との交点に近い領域と前記交点から遠い領
   域とに分割し、前記各領域に互いに異なる規則に基づい
   て点を配列する前記方法。
10. 【請求項１０】請求項９記載の方法において、前記近い
    領域では前記回転軸からの回転半径の増加につれて数が
    増加する点を同心円周上に等間隔に配し、前記遠い領域
    では一定の数の点を同心円周上に等間隔で且つ隣り合う
    同心円周上同士では互いに点配列の中間に来るように配
    列する前記方法。
11. 【請求項１１】請求項１０記載の方法において、前記近
    い領域上では前記交点に１つの点を配し且つ前記同心円
    周上に前記回転半径の増加につれて等差数列的に数が増
    加する点を配列する前記方法。
12. 【請求項１２】請求項９記載の方法において、前記立体
    が球である前記方法。
13. 【請求項１３】請求項９記載の方法において、前記立体
    が回転楕円体である前記方法。
14. 【請求項１４】コンピュータ・グラフィクス装置で二次
    元表示画面上に複数の点を用いて立体を三次元的に描写
    する装置において、前記立体を形成する面を複数の領域
    に分割する手段と、前記複数の領域上に互いに異なる規
    則に基づいて点を配列する手段を有することを特徴とす
    る装置。
15. 【請求項１５】請求項１４記載の装置において、前記立
    体が回転体であり、前記分割する手段がこの回転体を形
    成する面をこの回転体の回転軸からの回転半径の変化が
    比較的大きい第一領域と回転軸からの回転半径の変化が
    比較的小さい第二領域とに分割する手段を含む前記装
    置。
16. 【請求項１６】請求項１５記載の装置において、前記配
    列する手段が前記第一領域上では前記回転半径の増加に
    つれて数が増加する点を同心円周上に等間隔に配し、前
    記第二領域上では一定の数の点を同心円周上に等間隔で
    且つ隣り合う同心円周上の点同士では隣の周上の点配列
    の中間に位置するように配する手段を含む前記装置。
17. 【請求項１７】請求項１６記載の装置において、前記配
    列する手段が前記第一領域上では前記回転半径の増加に
    つれて点の数を等差数列的に増加させる手段を有する前
    記装置。