JP2731637B2 - コンピュータ・グラフィクス装置において二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に描く方法およびその装置 - Google Patents
コンピュータ・グラフィクス装置において二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に描く方法およびその装置Info
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】この発明はコンピュータ・グラフ
ィクス装置において二次元表示画面上で立体を三次元的
に描写する方法およびその装置に関し、特に、複数の点
を用いて球等の回転体を含む立体を二次元表示画面上で
三次元的に描く方法およびその装置に関する。
ィクス装置において二次元表示画面上で立体を三次元的
に描写する方法およびその装置に関し、特に、複数の点
を用いて球等の回転体を含む立体を二次元表示画面上で
三次元的に描く方法およびその装置に関する。
【０００２】最近、コンピュータ・グラフィクス装置を
用いて二次元表示画面上に色々な立体を三次元的に描い
て研究または工学的応用に利用することが盛んに行われ
ている。その応用の一つに分子モデリングまたは分子シ
ュミレーションと呼ばれるものがあり、画面上に立体分
子模型を三次元的に描写して物質の特性を研究するのに
利用されている。分子モデリングにおいては、主として
球面から成る立体分子模型を表現する方法として、複数
の点を用いて球面及び曲面を三次元的に描くことが行わ
れている。
用いて二次元表示画面上に色々な立体を三次元的に描い
て研究または工学的応用に利用することが盛んに行われ
ている。その応用の一つに分子モデリングまたは分子シ
ュミレーションと呼ばれるものがあり、画面上に立体分
子模型を三次元的に描写して物質の特性を研究するのに
利用されている。分子モデリングにおいては、主として
球面から成る立体分子模型を表現する方法として、複数
の点を用いて球面及び曲面を三次元的に描くことが行わ
れている。
【０００３】この複数の点により立体を三次元的に描写
する方法は、球面や曲面を立体感を保ちながら塗りつぶ
すいわゆるソリッド・モデルの方法と比べて簡単でコン
ピュータの処理能力をあまり要せず描写の高速化を図る
事のできる利点がある。この発明は、この複数の点を用
いて球等の回転体を含む立体を三次元的に描く方法及び
その装置に関する。
する方法は、球面や曲面を立体感を保ちながら塗りつぶ
すいわゆるソリッド・モデルの方法と比べて簡単でコン
ピュータの処理能力をあまり要せず描写の高速化を図る
事のできる利点がある。この発明は、この複数の点を用
いて球等の回転体を含む立体を三次元的に描く方法及び
その装置に関する。
【０００４】なお、この明細書を通じて点とは、ドット
またはマーカとも呼ばれるもので、描写される立体全体
の大きさに比較して十分に小さいが有限の大きさを持っ
ておりその形状は線形、丸形、十字形、又はそれ以外の
さまざまな形であってよく、表示画面上では輝点、黒
点、又は様々な色により表示されるものであってもよ
い。
またはマーカとも呼ばれるもので、描写される立体全体
の大きさに比較して十分に小さいが有限の大きさを持っ
ておりその形状は線形、丸形、十字形、又はそれ以外の
さまざまな形であってよく、表示画面上では輝点、黒
点、又は様々な色により表示されるものであってもよ
い。
【０００５】
【従来の技術】Ｂａｓｈ，Ｐ．Ａ．ｅｔ ａｌ．"Ｖａ
ｎ ｄｅｒ Ｗａａｌｓ Ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｎ Ｍ
ｏｌｅｃｕｌａｒ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，Ｉｍｐｌｅｍｅ
ｎｔａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｒｅａｌ Ｔｉｍｅ Ｃｏ
ｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ" Ｓｃｉｅｎｃｅ，
Ｖｏｌ．２２２，ｐｐ．１３２５−１３２７，１９８
３，には分子模型において球面を複数点で描写すること
の重要性が述べられている。
ｎ ｄｅｒ Ｗａａｌｓ Ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｎ Ｍ
ｏｌｅｃｕｌａｒ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，Ｉｍｐｌｅｍｅ
ｎｔａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｒｅａｌ Ｔｉｍｅ Ｃｏ
ｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ" Ｓｃｉｅｎｃｅ，
Ｖｏｌ．２２２，ｐｐ．１３２５−１３２７，１９８
３，には分子模型において球面を複数点で描写すること
の重要性が述べられている。
【０００６】従来、複数の点を用いて球面等を立体的に
表現する方法としては、平面から球面への等面積マッピ
ング法（詳しくは小出昭夫著、『分子シミュレーション
入門』岡田、大沢編 ｐｐ．２０９−２１０、海文堂、
１９８９を参照のこと）、緯度経度交点方法（この方法
を利用したグラフィクス・プログラム製品例としては日
本アイ・ビー・エム（株）が開発した『分子設計支援シ
ステム』、プログラム番号５７８８−ＪＫＦ／ＪＫＧ／
ＪＫＨ／ＪＫＪ／ＪＫＬ／ＪＫＮがある）、及び点対称
群方法（この方法を利用したプログラム製品としては富
士通の三次元分子設計支援パッケージ、ＡＮＣＨＯＲが
ある）を用いるものがある。
表現する方法としては、平面から球面への等面積マッピ
ング法（詳しくは小出昭夫著、『分子シミュレーション
入門』岡田、大沢編 ｐｐ．２０９−２１０、海文堂、
１９８９を参照のこと）、緯度経度交点方法（この方法
を利用したグラフィクス・プログラム製品例としては日
本アイ・ビー・エム（株）が開発した『分子設計支援シ
ステム』、プログラム番号５７８８−ＪＫＦ／ＪＫＧ／
ＪＫＨ／ＪＫＪ／ＪＫＬ／ＪＫＮがある）、及び点対称
群方法（この方法を利用したプログラム製品としては富
士通の三次元分子設計支援パッケージ、ＡＮＣＨＯＲが
ある）を用いるものがある。
【０００７】等面積マッピング法は図１０に示される様
に、平面上の正三角形格子１００を球面１０１へある方
向Ａから投影した時の格子対応点上にドット１０２を配
する方法である。この方法によれば、Ａ方向から見た場
合の球面１０１の外縁部１０３にドット１０２が集中す
る傾向がある。
に、平面上の正三角形格子１００を球面１０１へある方
向Ａから投影した時の格子対応点上にドット１０２を配
する方法である。この方法によれば、Ａ方向から見た場
合の球面１０１の外縁部１０３にドット１０２が集中す
る傾向がある。
【０００８】緯度経度交点方法は図１１に示される様
に、球１１１の緯度１１３及び経度１１４の交点にドッ
ト１１２を配するものである。この方法によれば、ドッ
ト１１２が極領域１１５及び１１６に集中し赤道領域は
疎らになる傾向がある。
に、球１１１の緯度１１３及び経度１１４の交点にドッ
ト１１２を配するものである。この方法によれば、ドッ
ト１１２が極領域１１５及び１１６に集中し赤道領域は
疎らになる傾向がある。
【０００９】点対称群方法は図１２に示される様に、球
面上の一点１２１の座標（ｘ，ｙ，ｚ）が決定されたな
らば、同じ球面上の４７個の点１２２が点対称を利用し
て決められる。この方法により描かれた球面が図１３に
示されている。この図からも理解されるように、この方
法で描かれた球には方向性、すなわち極点、がなく、球
を回転した前と後の方向を知ることが出来ない。
面上の一点１２１の座標（ｘ，ｙ，ｚ）が決定されたな
らば、同じ球面上の４７個の点１２２が点対称を利用し
て決められる。この方法により描かれた球面が図１３に
示されている。この図からも理解されるように、この方
法で描かれた球には方向性、すなわち極点、がなく、球
を回転した前と後の方向を知ることが出来ない。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】従来の等面積マッピン
グ方法では立体模型を連続的に（実時間で）回転させて
別の角度、例えばＢ方向、から見る時、回転前の球面の
外縁部付近の点が密集した領域が、赤道様の縞として現
れ好ましくない。また従来の緯度経度交点法では北極及
び南極に点が集中し逆に赤道付近では点が分散する傾向
があって見辛い時があり、さらに従来の点対称群法では
一般的に描写のためにより多くの点を要し、しかも分子
模型を回転する際の点の座標変換の計算にコンピュータ
の処理能力を多く要し、回転した後の点配列が不自然に
並び回転後の方向を知ることが困難であるという問題が
ある。
グ方法では立体模型を連続的に（実時間で）回転させて
別の角度、例えばＢ方向、から見る時、回転前の球面の
外縁部付近の点が密集した領域が、赤道様の縞として現
れ好ましくない。また従来の緯度経度交点法では北極及
び南極に点が集中し逆に赤道付近では点が分散する傾向
があって見辛い時があり、さらに従来の点対称群法では
一般的に描写のためにより多くの点を要し、しかも分子
模型を回転する際の点の座標変換の計算にコンピュータ
の処理能力を多く要し、回転した後の点配列が不自然に
並び回転後の方向を知ることが困難であるという問題が
ある。
【００１１】この発明は、従来技術の前記した問題点を
解決するために、二次元表示画面上で複数の点により立
体を三次元的に表現するにあたり、簡単で計算処理が少
なく且つ点が立体を形成する面上に一様に分布されて不
自然に立体の面上で並ぶ事がなく、しかも立体模型を回
転した後でも立体模型の方向を容易に把握でき且つ面上
の点の分布が不自然とならならい、コンピュータ・グラ
フィクス装置において複数の点をもちいて立体を三次元
的に描く方法及び装置を提供することを目的とする。
解決するために、二次元表示画面上で複数の点により立
体を三次元的に表現するにあたり、簡単で計算処理が少
なく且つ点が立体を形成する面上に一様に分布されて不
自然に立体の面上で並ぶ事がなく、しかも立体模型を回
転した後でも立体模型の方向を容易に把握でき且つ面上
の点の分布が不自然とならならい、コンピュータ・グラ
フィクス装置において複数の点をもちいて立体を三次元
的に描く方法及び装置を提供することを目的とする。
【００１２】
【課題を解決するための手段】この発明によれば、コン
ピュータ・グラフィクス装置において、二次元表示画面
上に複数の点を用いて立体を三次元的に描写するため、
立体の表面を複数の領域に分割し、これら複数の領域上
で互いに異なる規則に基づいて点の配列を行う。
ピュータ・グラフィクス装置において、二次元表示画面
上に複数の点を用いて立体を三次元的に描写するため、
立体の表面を複数の領域に分割し、これら複数の領域上
で互いに異なる規則に基づいて点の配列を行う。
【００１３】この発明の一実施例において回転体を点描
写する場合、回転体を形成する面を回転軸からの回転半
径の変化が比較的大きい第一領域と回転半径の変化が比
較的少ない第二領域、たとえば、球においては極領域と
赤道領域、とに分割し、夫々の領域に互いに異なる規則
に従って点を配列する。すなわち、第一領域では回転半
径の増加に伴って数が増加する点を同軸円周上に等間隔
に配列し、第二領域では一定数の点を同軸円周上に等間
隔で且つ隣り合う周上では互いに点配列の中間に位置す
るように配する。前述の球の場合は 、極領域において
は数が極から赤道方向に向けて、例えば等差数列的に、
増加する点を等緯度線上に等間隔に配列し、赤道領域で
は一定数の点を等緯度線上に等間隔に配列させ且つ隣り
合う等緯度線同士では点が隣の等緯度線上の点配列の中
間に来るように配する。前述の等差数列は初項が１で
（極点における点が１つ）、公差が５または６であるも
のであってよい。
写する場合、回転体を形成する面を回転軸からの回転半
径の変化が比較的大きい第一領域と回転半径の変化が比
較的少ない第二領域、たとえば、球においては極領域と
赤道領域、とに分割し、夫々の領域に互いに異なる規則
に従って点を配列する。すなわち、第一領域では回転半
径の増加に伴って数が増加する点を同軸円周上に等間隔
に配列し、第二領域では一定数の点を同軸円周上に等間
隔で且つ隣り合う周上では互いに点配列の中間に位置す
るように配する。前述の球の場合は 、極領域において
は数が極から赤道方向に向けて、例えば等差数列的に、
増加する点を等緯度線上に等間隔に配列し、赤道領域で
は一定数の点を等緯度線上に等間隔に配列させ且つ隣り
合う等緯度線同士では点が隣の等緯度線上の点配列の中
間に来るように配する。前述の等差数列は初項が１で
（極点における点が１つ）、公差が５または６であるも
のであってよい。
【００１４】
【実施例】図１、２、３、４、５、及び６を参照してこ
の発明の一実施例を説明する。
の発明の一実施例を説明する。
【００１５】図１はこの発明の一実施例の方法及びその
方法を実施するために用いられるコンピュータ・グラフ
ィクス装置の要部を示す。この装置は例えばＩＢＭ Ｒ
ＩＳＣシステム６０００または他のコンピュータ・グラ
フィクス装置であってよい。１は中央処理ユニットであ
り、演算処理及び制御を行う。２は記憶ユニットであ
り、この発明を実施するためのコンピュータ・プログラ
ム及びデータを記憶する。３はグラフィクス表示をする
ための全点表示可能なＣＲＴ等の二次元画面表示装置で
ある。４は装置に操作者が入力を行うためのキーボード
やマウス等の入力装置である。記憶ユニット２に記憶さ
れる分子モデリングや他のグラフィクス・アプリケィシ
ョン・プログラムに以下に述べるこの実施例の方法が含
まれていて、中央処理ユニット１がこのプログラムを実
行すると、この方法により二次元表示画面３上に立体が
複数の点により三次元的に描写される。
方法を実施するために用いられるコンピュータ・グラフ
ィクス装置の要部を示す。この装置は例えばＩＢＭ Ｒ
ＩＳＣシステム６０００または他のコンピュータ・グラ
フィクス装置であってよい。１は中央処理ユニットであ
り、演算処理及び制御を行う。２は記憶ユニットであ
り、この発明を実施するためのコンピュータ・プログラ
ム及びデータを記憶する。３はグラフィクス表示をする
ための全点表示可能なＣＲＴ等の二次元画面表示装置で
ある。４は装置に操作者が入力を行うためのキーボード
やマウス等の入力装置である。記憶ユニット２に記憶さ
れる分子モデリングや他のグラフィクス・アプリケィシ
ョン・プログラムに以下に述べるこの実施例の方法が含
まれていて、中央処理ユニット１がこのプログラムを実
行すると、この方法により二次元表示画面３上に立体が
複数の点により三次元的に描写される。
【００１６】この実施例の立体の点描写の方法を説明す
るにあたり、例えば図２に示すような半径Ｒの球の点描
写について説明する。この球の中心Ｏの座標は（０，
０，０）、北極Ｎｐの座標は（０，０，Ｒ）、南極Ｓｐ
の座標は（０，０，−Ｒ）となる。この球を構成する球
面５の内、この球の赤道面（Ｘ−Ｙ平面）の近傍にある
球面を赤道領域Ｅｓとし、赤道領域Ｅｓよりも北極Ｎ側
にある球面を北極領域Ｎｓとし、赤道領域Ｅｓよりも南
極Ｓ側にある球面を南極領域Ｓｓとして分割する。図２
において、北極領域ＮｓはＺ軸に対する中心Ｏからの角
度が零からα0内の球面領域であり、赤道領域ＥｓはＺ
軸に対する中心Ｏからの角度がα0からπ−α0の球面領
域であり、南極領域はＺ軸に対する中心Ｏからの角度が
π−α0からπまでの領域である。図２から理解される
ように、北極領域Ｎｓ及び南極領域Ｓｓでは球の回転軸
Ｚからの距離（回転半径）Ｒｐの変化が比較的大きく、
赤道領域Ｅｓにおいては球の回転軸Ｚからの距離（回転
半径）Ｒｅの変化は比較的小さい。
るにあたり、例えば図２に示すような半径Ｒの球の点描
写について説明する。この球の中心Ｏの座標は（０，
０，０）、北極Ｎｐの座標は（０，０，Ｒ）、南極Ｓｐ
の座標は（０，０，−Ｒ）となる。この球を構成する球
面５の内、この球の赤道面（Ｘ−Ｙ平面）の近傍にある
球面を赤道領域Ｅｓとし、赤道領域Ｅｓよりも北極Ｎ側
にある球面を北極領域Ｎｓとし、赤道領域Ｅｓよりも南
極Ｓ側にある球面を南極領域Ｓｓとして分割する。図２
において、北極領域ＮｓはＺ軸に対する中心Ｏからの角
度が零からα0内の球面領域であり、赤道領域ＥｓはＺ
軸に対する中心Ｏからの角度がα0からπ−α0の球面領
域であり、南極領域はＺ軸に対する中心Ｏからの角度が
π−α0からπまでの領域である。図２から理解される
ように、北極領域Ｎｓ及び南極領域Ｓｓでは球の回転軸
Ｚからの距離（回転半径）Ｒｐの変化が比較的大きく、
赤道領域Ｅｓにおいては球の回転軸Ｚからの距離（回転
半径）Ｒｅの変化は比較的小さい。
【００１７】この実施例の方法では極領域Ｎｓ，Ｓｓと
赤道領域Ｅｓとでは互いに異なる規則に従って複数の点
を配列して球の描写を行う。この実施例の複数点による
球の配列の規則を次に説明する。
赤道領域Ｅｓとでは互いに異なる規則に従って複数の点
を配列して球の描写を行う。この実施例の複数点による
球の配列の規則を次に説明する。
【００１８】まずステップ１として、北極領域Ｎｓの点
描写のための点の配列の仕方を説明する。まず、北極Ｎ
ｐ（０，０，Ｒ）に１つの点を置く。そして赤道面（Ｘ
−Ｙ平面）から高さＺj
描写のための点の配列の仕方を説明する。まず、北極Ｎ
ｐ（０，０，Ｒ）に１つの点を置く。そして赤道面（Ｘ
−Ｙ平面）から高さＺj
【００１９】 Ｚj＝Ｒ（１−ｊ2／Ｎ（Ｎ＋Ｍ）） 式（Ａ） ただしｊ＝１，２，・・，Ｎで、Ｎは整数、にある球面
上のＺ軸を中心とする同軸円周（緯度線）ｊ上に６ｊ個
の点１１を等間隔に並べる。この式（Ａ）は次のように
して得られる。
上のＺ軸を中心とする同軸円周（緯度線）ｊ上に６ｊ個
の点１１を等間隔に並べる。この式（Ａ）は次のように
して得られる。
【００２０】まず、北極領域Ｎｓの点１１の極座標を
［Ｒ、α（ｊ）、Φ（ｔ）］とする。ここで角度α
（ｊ）は点１１のＺ軸に対する中心Ｏからの角度であ
り、角度Φ（ｔ）は点１１のＺ軸からの回転半径Ｒｐの
Ｙ軸に対する角度である。ｔは０から６ｊ−１までの整
数である。６ｊ個の点１１は円周ｊ上で等間隔で配置さ
れるので、Φ（ｔ）は
［Ｒ、α（ｊ）、Φ（ｔ）］とする。ここで角度α
（ｊ）は点１１のＺ軸に対する中心Ｏからの角度であ
り、角度Φ（ｔ）は点１１のＺ軸からの回転半径Ｒｐの
Ｙ軸に対する角度である。ｔは０から６ｊ−１までの整
数である。６ｊ個の点１１は円周ｊ上で等間隔で配置さ
れるので、Φ（ｔ）は
【００２１】 Φ（ｔ）＝（π／３ｊ）ｔ 式（１） と表すことができる。
【００２２】一方、赤道領域Ｅｓ上の円周ｈ上の点１２
の極座標は［Ｒ、α（ｈ）、Φ（ｓ）］と表すことが出
来る。ここで角度α（ｈ）は点１２のＺ軸に対する中心
Ｏからの角度であり、Φ（ｓ）は点１２のＺ軸からの回
転半径ＲｅのＹ軸に対する角度である。ここで、赤道領
域ＥｓにおいてはＭ本のＺ軸を回転中心とする球面上の
同軸円周（緯度線）ｈ上に点を配するとする。ｈは１か
らＭまでの整数である。赤道領域Ｅｓでは一定の数６Ｎ
個の点が北極領域Ｎｓとの連続性を保つために配置され
る。このため、ｓは０から６Ｎ−１までの整数である。
６Ｎ個の点を円周ｈ上で等間隔に配置するためには、Φ
（ｓ）は
の極座標は［Ｒ、α（ｈ）、Φ（ｓ）］と表すことが出
来る。ここで角度α（ｈ）は点１２のＺ軸に対する中心
Ｏからの角度であり、Φ（ｓ）は点１２のＺ軸からの回
転半径ＲｅのＹ軸に対する角度である。ここで、赤道領
域ＥｓにおいてはＭ本のＺ軸を回転中心とする球面上の
同軸円周（緯度線）ｈ上に点を配するとする。ｈは１か
らＭまでの整数である。赤道領域Ｅｓでは一定の数６Ｎ
個の点が北極領域Ｎｓとの連続性を保つために配置され
る。このため、ｓは０から６Ｎ−１までの整数である。
６Ｎ個の点を円周ｈ上で等間隔に配置するためには、Φ
（ｓ）は
【００２３】 Φ（ｓ）＝（π／３Ｎ）ｓ 式（２） と表すことが出来る。
【００２４】球面５上で一定の密度で点を配列するとい
う条件を取る。点密度をｎとすると北極領域Ｎｓでは、
う条件を取る。点密度をｎとすると北極領域Ｎｓでは、
【００２５】ｎ＝ｄｊｄｔ／ｓｉｎαｄαｄΦと表すこ
とことができる。ここでｄは微分量を表し、ｄｊｄｔは
北極領域Ｎｓのある小領域での点の個数を表し、ｓｉｎ
αｄαｄΦはその小領域の面積を表す。北極領域Ｎｓで
は式（１）からｄΦ／ｄｔ＝π／３ｊであるので、 ｎ＝（３ｊ／π）ｄｊ／ｓｉｎαｄα 式（３） と表すことができる。
とことができる。ここでｄは微分量を表し、ｄｊｄｔは
北極領域Ｎｓのある小領域での点の個数を表し、ｓｉｎ
αｄαｄΦはその小領域の面積を表す。北極領域Ｎｓで
は式（１）からｄΦ／ｄｔ＝π／３ｊであるので、 ｎ＝（３ｊ／π）ｄｊ／ｓｉｎαｄα 式（３） と表すことができる。
【００２６】一方、赤道領域Ｅｓでの点密度ｎは次のよ
うに表すことができる。
うに表すことができる。
【００２７】 ｎ＝ｄｈｄｓ／ｓｉｎαｄαｄΦ ここで、ｄｈｄｓは赤道領域Ｅｓの小領域での点の個数
を表し、ｓｉｎαｄαｄΦはその小領域の面積を表す。
赤道領域Ｅｓでは式（２）からｄΦ／ｄｓ＝π／３Ｎで
あるので、 ｎ＝（３Ｎ／π）ｄｈ／ｓｉｎαｄα 式（４）
を表し、ｓｉｎαｄαｄΦはその小領域の面積を表す。
赤道領域Ｅｓでは式（２）からｄΦ／ｄｓ＝π／３Ｎで
あるので、 ｎ＝（３Ｎ／π）ｄｈ／ｓｉｎαｄα 式（４）
【００２８】式（３）を積分すると、 −ｎｃｏｓα＋Ｃ＝（３／２π）ｊ2 式（５） 但し、Ｃは積分定数である。αが零の時、ｊも零なので
Ｃはｎである。
Ｃはｎである。
【００２９】式（４）を積分すると、 −ｎｃｏｓα＋Ｃ＝（３Ｎ／π）ｈ 式（６） 但し、Ｃは積分定数である。αがα0のときｈは零なの
で、Ｃはｎｃｏｓα0である。
で、Ｃはｎｃｏｓα0である。
【００３０】式（５）でｊがＮの時、αがα0であるの
で、 ｃｏｓα0＝１−（３／２ｎπ）Ｎ2 式（７） が得られる。
で、 ｃｏｓα0＝１−（３／２ｎπ）Ｎ2 式（７） が得られる。
【００３１】式（６）でｈがＭであるとき、αがπ−α
0であるので、 ｃｏｓα0＝（３Ｎ／２ｎπ）Ｍ 式（８） が得られる。式（７）、式（８）から、 ｎ＝（３／２π）Ｎ（Ｎ＋Ｍ） が得られ、従って式（５）から、北極領域Ｎｓでは ｃｏｓα＝１−ｊ2／Ｎ（Ｎ＋Ｍ） 式（９） となり、式（６）から、赤道領域Ｅｓでは ｃｏｓα＝（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ） 式（１０） となる。
0であるので、 ｃｏｓα0＝（３Ｎ／２ｎπ）Ｍ 式（８） が得られる。式（７）、式（８）から、 ｎ＝（３／２π）Ｎ（Ｎ＋Ｍ） が得られ、従って式（５）から、北極領域Ｎｓでは ｃｏｓα＝１−ｊ2／Ｎ（Ｎ＋Ｍ） 式（９） となり、式（６）から、赤道領域Ｅｓでは ｃｏｓα＝（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ） 式（１０） となる。
【００３２】式（９）、（１０）に半径Ｒをかければ、
北極領域Ｎｓ、赤道領域Ｓｓの点１１、点１２の赤道面
（Ｘ−Ｙ平面）からの高さＺｊ、Ｚｈが得られる。 Ｚｊ＝Ｒ［１−ｊ2／Ｎ（Ｎ＋Ｍ）］ 式（Ａ） Ｚｈ＝Ｒ［（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ）］ 式（Ｂ）
北極領域Ｎｓ、赤道領域Ｓｓの点１１、点１２の赤道面
（Ｘ−Ｙ平面）からの高さＺｊ、Ｚｈが得られる。 Ｚｊ＝Ｒ［１−ｊ2／Ｎ（Ｎ＋Ｍ）］ 式（Ａ） Ｚｈ＝Ｒ［（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ）］ 式（Ｂ）
【００３３】この実施例では、球面５を複数の点で描く
にあたり、北極領域Ｎｓの球面の描写においては円周
（緯度線）ｊ上に６ｊ個の点１１を等間隔に配する。こ
の点１１の直交座標（Ｘｔ、Ｙｔ、Ｚｊ）とすると、こ
こでＺｊは式（Ａ）で決り、ＸｔとＹｔは次の式で決る
値である。但し、前述の通りｊは１からＮまでの整数、
ｔは０から６ｊ−１までの整数である。
にあたり、北極領域Ｎｓの球面の描写においては円周
（緯度線）ｊ上に６ｊ個の点１１を等間隔に配する。こ
の点１１の直交座標（Ｘｔ、Ｙｔ、Ｚｊ）とすると、こ
こでＺｊは式（Ａ）で決り、ＸｔとＹｔは次の式で決る
値である。但し、前述の通りｊは１からＮまでの整数、
ｔは０から６ｊ−１までの整数である。
【００３４】 Ｘｔ＝ｓｑｒｔ（Ｒ2−Ｚｊ2）ｃｏｓ（ｔπ／３ｊ） Ｙｔ＝ｓｑｒｔ（Ｒ2−Ｚｊ2）ｓｉｎ（ｔπ／３ｊ）
【００３５】ステップ２として、南極領域Ｓｓの球面の
点描写のための点の発生は、ステップ１で得られた北極
領域Ｎｓ上の点１１の直交座標（Ｘｔ，Ｙｔ，Ｚｊ）に
対して直交座標（Ｘｔ，Ｙｔ，−Ｚｊ）の位置に点を発
生する事で行われる。この南極領域Ｓｓにおける点の配
列の仕方はステップ１で述べた北極領域Ｎｓでの点の配
列の仕方と同じである。
点描写のための点の発生は、ステップ１で得られた北極
領域Ｎｓ上の点１１の直交座標（Ｘｔ，Ｙｔ，Ｚｊ）に
対して直交座標（Ｘｔ，Ｙｔ，−Ｚｊ）の位置に点を発
生する事で行われる。この南極領域Ｓｓにおける点の配
列の仕方はステップ１で述べた北極領域Ｎｓでの点の配
列の仕方と同じである。
【００３６】ステップ３として、赤道領域Ｅｓの球面の
点描写のための点１２を発生する。点１２が置かれる円
周（緯度線）ｈの高さＺｈを式（Ｂ）から得る。
点描写のための点１２を発生する。点１２が置かれる円
周（緯度線）ｈの高さＺｈを式（Ｂ）から得る。
【００３７】 Ｚｈ＝Ｒ［（Ｍ−２ｈ）／（Ｎ＋Ｍ）］ ただし、前述の通りｈ＝１，２，・・・，Ｍで、Ｍは整
数である、
数である、
【００３８】この円周（緯度線）ｈ上に６Ｎ個の点１２
を等間隔で並べる。ただし、ｈが１だけ増加するごとに
点１２の発生する位置を点間隔の半分だけずらして隣り
合う円周（緯度線）ｈ間では、点１２は隣の円周（緯度
線）上の点配列の中間に位置させる。点１２を直交座標
（Ｘｓ、Ｙｓ、Ｚｈ）の位置に配置することで赤道領域
Ｅｓの球面の点描写が行われる。但し、ＸｓとＹｓとは
を等間隔で並べる。ただし、ｈが１だけ増加するごとに
点１２の発生する位置を点間隔の半分だけずらして隣り
合う円周（緯度線）ｈ間では、点１２は隣の円周（緯度
線）上の点配列の中間に位置させる。点１２を直交座標
（Ｘｓ、Ｙｓ、Ｚｈ）の位置に配置することで赤道領域
Ｅｓの球面の点描写が行われる。但し、ＸｓとＹｓとは
【００３９】 Ｘｓ＝ｓｑｒｔ（Ｒ2−Ｚｈ2）ｃｏｓ［（ｓπ／３Ｎ）＋（ｈπ／６Ｎ）］ Ｙｓ＝ｓｑｒｔ（Ｒ2−Ｚｈ2）ｓｉｎ［（ｓπ／３Ｎ）＋（ｈπ／６Ｎ）］ ただし、前述の通りｓ＝０，１，２，・・・，６Ｎ−１
である、とする事で得られる。
である、とする事で得られる。
【００４０】図１４、図１５、図１６はこの実施例の方
法を行うためのプログラムをＣ言語で表したリストであ
る。
法を行うためのプログラムをＣ言語で表したリストであ
る。
【００４１】なお、ステップ１と３で行った、複数個の
点を円周上に等間隔に配することは、次のように行って
もよい。今、複数Ｐ個の点を高さＺiにある球の緯度線
上に等間隔に配するために点のＸ及びＹ座標をＸt, Ｙt
とすると、
点を円周上に等間隔に配することは、次のように行って
もよい。今、複数Ｐ個の点を高さＺiにある球の緯度線
上に等間隔に配するために点のＸ及びＹ座標をＸt, Ｙt
とすると、
【００４２】 ｃ＝ｃｏｓ（２π／Ｐ）、ｓ＝ｓｉｎ（２π／Ｐ） （Ｘ0,Ｙ0）＝［ｓｑｒｔ（Ｒ2−Ｚi2），０］ （Ｘt+1，Ｙt+1）＝（ｃＸt−ｓＹt，ｓＸt＋ｃＹt） ただし、ｔ＝０，１，２，・・，Ｐ−１である。
【００４３】図３、４はこの実施例の方法で球を点描写
した例を示す。図５、６はこの実施例の方法で得られた
球を回転した様子を示すもので、点が球面上に一様に分
布しているので回転後の球の方向を容易に理解できる。
すなわち、球の北極Ｎｐ及び南極Ｓｐに点がそれぞれ一
つづつ配置され、そして球面を構成する同軸円周上に等
間隔に点が配置されるので、球の回転後も位置関係を容
易に知ることができる。
した例を示す。図５、６はこの実施例の方法で得られた
球を回転した様子を示すもので、点が球面上に一様に分
布しているので回転後の球の方向を容易に理解できる。
すなわち、球の北極Ｎｐ及び南極Ｓｐに点がそれぞれ一
つづつ配置され、そして球面を構成する同軸円周上に等
間隔に点が配置されるので、球の回転後も位置関係を容
易に知ることができる。
【００４４】図７はこのようにして点描写された複数の
球を結合して分子模型６を描いたものである。
球を結合して分子模型６を描いたものである。
【００４５】なお、図２の実施例で説明した球では極領
域と赤道領域を分けるのに赤道面からの距離が半径の半
分、すなわち１／２Ｒ、とすると最適である。図２に関
して上述した式中でＮ＝Ｍとすれば図２の実施例の球で
極領域と赤道領域とを赤道面から半径の半分の距離、１
／２Ｒ、で分割した場合の点配列の式になる。なお、点
を配する 球面５上の同軸円周ｊ、ｈの高さをＺｊ、Ｚ
ｈとして選んだが、同軸円周ｊ、ｈの高さを等緯度間隔
になるように選んでもよい。また球面について説明した
が卵型の様な回転楕円体あるいは半円球や半回転楕円体
と他の立体との組み合わせにもこの発明を用いる事がで
きる。
域と赤道領域を分けるのに赤道面からの距離が半径の半
分、すなわち１／２Ｒ、とすると最適である。図２に関
して上述した式中でＮ＝Ｍとすれば図２の実施例の球で
極領域と赤道領域とを赤道面から半径の半分の距離、１
／２Ｒ、で分割した場合の点配列の式になる。なお、点
を配する 球面５上の同軸円周ｊ、ｈの高さをＺｊ、Ｚ
ｈとして選んだが、同軸円周ｊ、ｈの高さを等緯度間隔
になるように選んでもよい。また球面について説明した
が卵型の様な回転楕円体あるいは半円球や半回転楕円体
と他の立体との組み合わせにもこの発明を用いる事がで
きる。
【００４６】次に説明する図８、９は回転体である花瓶
７をこの発明の方法によって三次元的に点描写する他の
実施例を説明するものである。図８、９に示すように花
瓶７を形成する面の内、回転軸（花瓶の口と底の中心を
結ぶ垂線）からの距離（回転半径）が比較的大きく変化
する領域Saと比較的少なく変化する領域Sbとに分割し、
比較的大きく変化する領域Saには回転半径の増加に伴っ
て増加する数（例えば、等差数列的に）の点を同軸円周
上に等間隔に配列し、比較的少なく変化する領域Sbには
一定の数の点を同軸円周上に等間隔で且つ隣り合う周上
間では互いに点間隔の中間に位置するように配する。図
８、９に示すように花瓶７の回転をおこなっても点が花
瓶７を形成する面上に一様に配されているので各図にお
ける花瓶７の方向を容易に把握できる。
７をこの発明の方法によって三次元的に点描写する他の
実施例を説明するものである。図８、９に示すように花
瓶７を形成する面の内、回転軸（花瓶の口と底の中心を
結ぶ垂線）からの距離（回転半径）が比較的大きく変化
する領域Saと比較的少なく変化する領域Sbとに分割し、
比較的大きく変化する領域Saには回転半径の増加に伴っ
て増加する数（例えば、等差数列的に）の点を同軸円周
上に等間隔に配列し、比較的少なく変化する領域Sbには
一定の数の点を同軸円周上に等間隔で且つ隣り合う周上
間では互いに点間隔の中間に位置するように配する。図
８、９に示すように花瓶７の回転をおこなっても点が花
瓶７を形成する面上に一様に配されているので各図にお
ける花瓶７の方向を容易に把握できる。
【００４７】
【発明の効果】この発明の上述した構成によれば、点が
立体の面上にほぼ一様に分布されるので、従来の等面積
マッピングの様にたとえ連続的に（実時間で）立体模型
を回転しても面上に縞模様を生ずることがなく、また緯
度経度交点法の様に点が極付近で過密となり赤道付近で
まばらになる事もなく、さらに点の分布の計算が単純簡
単であるので座標回転を行う際の点の位置の計算が容易
でコンピュータの処理能力を点対称群法ほど要せず、ま
た点配列により回転後の立体模型の方向と操作者の視覚
の関係が容易に把握できしかも面上で点が不自然に並ぶ
ことがない。
立体の面上にほぼ一様に分布されるので、従来の等面積
マッピングの様にたとえ連続的に（実時間で）立体模型
を回転しても面上に縞模様を生ずることがなく、また緯
度経度交点法の様に点が極付近で過密となり赤道付近で
まばらになる事もなく、さらに点の分布の計算が単純簡
単であるので座標回転を行う際の点の位置の計算が容易
でコンピュータの処理能力を点対称群法ほど要せず、ま
た点配列により回転後の立体模型の方向と操作者の視覚
の関係が容易に把握できしかも面上で点が不自然に並ぶ
ことがない。
【図１】この発明の方法が用いられるコンピュータ・グ
ラフィクス装置を示すブロック図。
ラフィクス装置を示すブロック図。
【図２】この発明の一実施例の方法による球面の分割方
法および分割された球面の各領域を点描写するための点
の配列方法を説明する図。
法および分割された球面の各領域を点描写するための点
の配列方法を説明する図。
【図３】この発明の一実施例の方法により点描写された
球をその球の北極側から見た図。
球をその球の北極側から見た図。
【図４】第３図の球をその赤道面と平行な方向から見た
図。
図。
【図５】第３図の球を回転して表示した図。
【図６】第３図の球を回転して表示した図。
【図７】この実施例により描かれた複数の球を結合させ
て分子モデルを形成した図。
て分子モデルを形成した図。
【図８】この発明の方法の他の実施例による回転体の三
次元点描写の方法を説明するため、この回転体を形成す
る面を複数の領域に分割して点描写する方法を示す図。
次元点描写の方法を説明するため、この回転体を形成す
る面を複数の領域に分割して点描写する方法を示す図。
【図９】第８図の回転体を回転した様子を示す図。
【図１０】従来の球面の点描写方法を説明する図。
【図１１】従来の球面の点描写方法を説明する図。
【図１２】従来の球面の点描写方法を説明する図。
【図１３】従来の球面の点描写方法を説明する図。
５ 球面 １１ 点 １２ 点 ｊ 同軸円周 ｈ 同軸円周 Ｅｓ 赤道領域 Ｎｓ 北極領域 Ｓｓ 南極領域 Ｎｐ 北極 Ｓｐ 南極 Ｒｅ 回転半径 Ｒｐ 回転半径 Ｚ 回転軸
Claims (6)
- 【請求項１】コンピュータ・グラフィクス装置により、
二次元表示画面上に複数のドットを用いて回転体を三次
元的に表示する方法において、回転体を構成する面を、
この回転体の回転軸からの回転半径の変化の程度に基づ
いて複数の領域に分割し、前記変化が所定値より大きい
第一領域上および前記変化が所定値より小さい第二領域
域上に互いに異なる規則に基づいてドットを配列するこ
とにより前記画面上に表示する方法。 - 【請求項２】請求項１記載の方法において、前記第一領
域上では前記回転半径の増加につれて数が増加するドッ
トを同軸円周上に等間隔に配し、前記第二領域上では一
定の数のドットを同軸円周上に等間隔で且つ隣り合う同
軸円周上のドット同士では互いのドット配列の中間に来
るように配列して表示する方法。 - 【請求項３】請求項２記載の方法において、前記第一領
域上では回転半径が増加するにつれて前記ドットの数が
等差数列的に増加する前記方法。 - 【請求項４】コンピュータ・グラフィクス装置で二次元
表示画面上に複数のドットを用いて回転体を三次元的に
表示する装置において、回転体を形成する面を、この回
転体の回転軸からの回転半径の変化に基づいて、第一領
域と第二領域とに分割する手段と、前記複数の領域上に
互いに異なる規則に基づいてドットを配列する手段と、
前記ドットの配列を表示する表示手段とを有することを
特徴とする装置。 - 【請求項５】請求項４記載の装置において、前記配列す
る手段が前記第一領域上では前記回転半径の増加につれ
て数が増加するドットを同軸円周上に等間隔に配し、前
記第二領域上では一定の数のドットを同軸円周上に等間
隔で且つ隣り合う同軸円周上のドット同士では隣の周上
のドット配列の中間に位置するように配する手段を含む
前記装置。 - 【請求項６】請求項４記載の装置において、前記配列す
る手段が前記第一領域上では前記回転半径の増加につれ
てドットの数を等差数列的に増加させる手段を有する前
記装置。
Priority Applications (4)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP7731291A JP2731637B2 (ja) | 1991-03-18 | 1991-03-18 | コンピュータ・グラフィクス装置において二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に描く方法およびその装置 |
| CA002062120A CA2062120A1 (en) | 1991-03-18 | 1992-03-02 | Method of and an apparatus for rendering a three-dimensional object by a plurality of dots on a two-dimensional display screen in a computer graphics system |
| EP19920302279 EP0505142B1 (en) | 1991-03-18 | 1992-03-17 | A method and apparatus for rendering a three-dimensional object on a two-dimensional display |
| DE69214694T DE69214694D1 (de) | 1991-03-18 | 1992-03-17 | Verfahren und Einrichtung zur Darstellung eines dreidimensionalen Objektes auf einer zweidimensionalen Anzeige |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP7731291A JP2731637B2 (ja) | 1991-03-18 | 1991-03-18 | コンピュータ・グラフィクス装置において二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に描く方法およびその装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH076234A JPH076234A (ja) | 1995-01-10 |
| JP2731637B2 true JP2731637B2 (ja) | 1998-03-25 |
Family
ID=13630401
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP7731291A Expired - Fee Related JP2731637B2 (ja) | 1991-03-18 | 1991-03-18 | コンピュータ・グラフィクス装置において二次元表示画面上に立体を複数の点により三次元的に描く方法およびその装置 |
Country Status (4)
| Country | Link |
|---|---|
| EP (1) | EP0505142B1 (ja) |
| JP (1) | JP2731637B2 (ja) |
| CA (1) | CA2062120A1 (ja) |
| DE (1) | DE69214694D1 (ja) |
Families Citing this family (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CA2384603A1 (en) | 1999-09-16 | 2001-03-22 | Sony Computer Entertainment Inc. | Image processing apparatus, recording medium, and program |
| CN1313979C (zh) * | 2002-05-03 | 2007-05-02 | 三星电子株式会社 | 产生三维漫画的装置和方法 |
| KR100723422B1 (ko) * | 2006-03-16 | 2007-05-30 | 삼성전자주식회사 | 포인트 기반 렌더링 장치와 방법 및 컴퓨터 프로그램을 저장한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체 |
Family Cites Families (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| DE2933573A1 (de) * | 1979-08-18 | 1981-04-09 | Lueg, Fred, 4370 Marl | Verfahren und vorrichtung zur ermittlung der leuchtdichteverteilung einer vorlage |
-
1991
- 1991-03-18 JP JP7731291A patent/JP2731637B2/ja not_active Expired - Fee Related
-
1992
- 1992-03-02 CA CA002062120A patent/CA2062120A1/en not_active Abandoned
- 1992-03-17 EP EP19920302279 patent/EP0505142B1/en not_active Expired - Lifetime
- 1992-03-17 DE DE69214694T patent/DE69214694D1/de not_active Expired - Lifetime
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH076234A (ja) | 1995-01-10 |
| EP0505142A3 (en) | 1994-12-28 |
| EP0505142B1 (en) | 1996-10-23 |
| EP0505142A2 (en) | 1992-09-23 |
| DE69214694D1 (de) | 1996-11-28 |
| CA2062120A1 (en) | 1992-09-19 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| LAPS | Cancellation because of no payment of annual fees |