JPH076025A - 冪剰余演算方法および装置 - Google Patents
冪剰余演算方法および装置Info
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- JPH076025A JPH076025A JP5148952A JP14895293A JPH076025A JP H076025 A JPH076025 A JP H076025A JP 5148952 A JP5148952 A JP 5148952A JP 14895293 A JP14895293 A JP 14895293A JP H076025 A JPH076025 A JP H076025A
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- mod
- modular exponentiation
- exponent
- subtraction
- calculation
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 素数判定、素数生成および公開鍵暗号の計算
に使用する冪剰余演算の高速化を実現する。 【構成】 レジスタ２０１，２０２，２０３は冪指数
ｅ、被演算数ｍ、法ｎの各データを格納している。減算
部２０４はｎ−ｍを求め、その減算結果ｍ′を出力す
る。冪剰余演算部２０５は減算結果ｍ′について、冪指
数ｅ、法ｎとした冪剰余演算ｍ′e mod ｎを行い、演算
結果ｃ′を出力する。減算部２０６はｎ−ｃ′を求め、
その減算結果ｃを出力する。偶奇判定部２０７は冪指数
ｅが偶数か奇数か判定する。演算結果選択部２０８は、
ｅが偶数の時は冪剰余演算部２０５の出力ｃ′を選択
し、ｅが奇数のときは減算部２０６の出力ｃを選択し、
出力線２０９に出力する。
に使用する冪剰余演算の高速化を実現する。 【構成】 レジスタ２０１，２０２，２０３は冪指数
ｅ、被演算数ｍ、法ｎの各データを格納している。減算
部２０４はｎ−ｍを求め、その減算結果ｍ′を出力す
る。冪剰余演算部２０５は減算結果ｍ′について、冪指
数ｅ、法ｎとした冪剰余演算ｍ′e mod ｎを行い、演算
結果ｃ′を出力する。減算部２０６はｎ−ｃ′を求め、
その減算結果ｃを出力する。偶奇判定部２０７は冪指数
ｅが偶数か奇数か判定する。演算結果選択部２０８は、
ｅが偶数の時は冪剰余演算部２０５の出力ｃ′を選択
し、ｅが奇数のときは減算部２０６の出力ｃを選択し、
出力線２０９に出力する。
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、素数判定、素数生成お
よび公開鍵暗号の計算などに使用される冪剰余演算を高
速行う方法および装置に関するものである。
よび公開鍵暗号の計算などに使用される冪剰余演算を高
速行う方法および装置に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】大きな自然数の素数判定、素数生成およ
びほとんどの公開鍵暗号アルゴリズムには、冪剰余演算
が利用されている。また、冪剰余演算を用いた公開鍵暗
号アルゴリズムは、安全性の確保の観点から、法ｎは少
なくとも２００桁程度必要であると言われている。ここ
で、冪剰余演算をｍe mod ｎとして、単純に計算する
と、ｅ回の乗算と除算が必要で、その演算量は非常に大
きなものとなる。
びほとんどの公開鍵暗号アルゴリズムには、冪剰余演算
が利用されている。また、冪剰余演算を用いた公開鍵暗
号アルゴリズムは、安全性の確保の観点から、法ｎは少
なくとも２００桁程度必要であると言われている。ここ
で、冪剰余演算をｍe mod ｎとして、単純に計算する
と、ｅ回の乗算と除算が必要で、その演算量は非常に大
きなものとなる。
【０００３】この冪剰余演算の高速化法の従来技術とし
ては、乗算回数を減らすことにより演算量を減らす方式
と、剰余算そのものを高速化する方式に大別される。例
えば、前者の方式は、文献「Ｄ.Ｅ.Ｋnuth,“Ｔhe Ａrt
of Ｃomputer Ｐrogramming”Ｖol.２，Ｓeminumerica
l Ａlgorithm，Ｓecond Ｅdition，Ａddison-Ｗesley，
１９８１」に記載されており、後者の方式は、文献
「Ｓ.Ｍiyaguchi，“ＦastＥncryption Ａlgorithm for
the ＲＳＡ Ｃryptographic Ｓystem” ＣＯＭＰＣＯ
Ｎ '８２ Ｆall，pp.６７２−６７８，１９８２」に記
載されている。
ては、乗算回数を減らすことにより演算量を減らす方式
と、剰余算そのものを高速化する方式に大別される。例
えば、前者の方式は、文献「Ｄ.Ｅ.Ｋnuth,“Ｔhe Ａrt
of Ｃomputer Ｐrogramming”Ｖol.２，Ｓeminumerica
l Ａlgorithm，Ｓecond Ｅdition，Ａddison-Ｗesley，
１９８１」に記載されており、後者の方式は、文献
「Ｓ.Ｍiyaguchi，“ＦastＥncryption Ａlgorithm for
the ＲＳＡ Ｃryptographic Ｓystem” ＣＯＭＰＣＯ
Ｎ '８２ Ｆall，pp.６７２−６７８，１９８２」に記
載されている。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】上記従来の方式は、何
れも高速演算に効果的ではあるが、リアルタイム性が必
要なＩＳＤＮ等の暗号通信等に利用するには、演算速度
は十分ではなく、現在より一層高速な演算方法や装置が
要求されている。
れも高速演算に効果的ではあるが、リアルタイム性が必
要なＩＳＤＮ等の暗号通信等に利用するには、演算速度
は十分ではなく、現在より一層高速な演算方法や装置が
要求されている。
【０００５】本発明の目的は、素数判定、素数生成およ
び公開鍵暗号アルゴリズム等に利用される冪剰余演算を
より高速に実行することができる高速冪剰余演算方法お
よび装置を提供することにある。
び公開鍵暗号アルゴリズム等に利用される冪剰余演算を
より高速に実行することができる高速冪剰余演算方法お
よび装置を提供することにある。
【０００６】
【課題を解決するための手段】本発明は、冪指数ｅ、法
ｎとした剰余演算ｍe mod ｎを行う場合、ｅが奇数のと
き、ｍe mod ｎの演算をする代わりにｎ−｛(ｎ−ｍ)e
mod ｎ｝の演算を行い、ｅが偶数のとき、ｍe mod ｎの
演算をする代わりに（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うこ
とを特徴とするものである。
ｎとした剰余演算ｍe mod ｎを行う場合、ｅが奇数のと
き、ｍe mod ｎの演算をする代わりにｎ−｛(ｎ−ｍ)e
mod ｎ｝の演算を行い、ｅが偶数のとき、ｍe mod ｎの
演算をする代わりに（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うこ
とを特徴とするものである。
【０００７】
【作用】冪剰余演算ｍe mod ｎは、冪指数ｅが奇数の場
合、ｍe mod ｎの演算結果とｎ−｛(ｎ−ｍ)e mod ｎ｝
の演算結果が同値になり、ｅが偶数の場合、ｍe modｎ
の演算結果と（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算結果が同値にな
る。これは次のようにして証明できる。
合、ｍe mod ｎの演算結果とｎ−｛(ｎ−ｍ)e mod ｎ｝
の演算結果が同値になり、ｅが偶数の場合、ｍe modｎ
の演算結果と（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算結果が同値にな
る。これは次のようにして証明できる。
【０００８】Ａ．ｅが奇数の場合 ｍe mod ｎ＝ｎ−｛(ｎ‐ｍ)e mod ｎ｝………………………………（１） が成立すればよい。即ち、 ｍe mod ｎ−［ｎ−｛(ｎ−ｍ)e mod ｎ｝］＝０……………………（２） が成立すればよい。（２）式を整理すると次のようにな
る。 ｍe mod ｎ−［ｎ−｛(ｎ−ｍ)e mod ｎ｝］ ＝ｍe mod ｎ−ｎ＋（ｎ−ｍ)e mod ｎ ＝［｛ｍe ＋（ｎ−ｍ)e ｝mod ｎ］−ｎ ここで、ｅが奇数であることを考慮して二項定理を用い
て（ｎ−ｍ)e を展開すると、 ［ｍe＋(ｎ−ｍ)e｝mod ｎ］−ｎ ＝［{ｍe＋(ｎe−eＣ1ｎe-1・ｍ＋eＣ2ｎe-2・ｍ2−eＣ3ｎe-3・ｍ3＋…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1−ｍe)｝mod ｎ］−ｎ ＝［{ｎe−eＣ1ｎe-1・ｍ＋eＣ2ｎe-2・ｍ2−eＣ3ｎe-3・ｍ3＋…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1)｝mod ｎ］−ｎ ＝［{ｎ・(ｎe-1−eＣ1ｎe-2・ｍ＋eＣ2ｎe-3・ｍ2−eＣ3ｎe-4・ｍ3＋…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1)｝mod ｎ］−ｎ ＝（０ mod ｎ）−ｎ ＝ｎ−ｎ ＝０ したがって、ｅが奇数であるとき、（１）式のｍe mod
ｎ＝ｎ−｛(ｎ−ｍ)emod ｎ｝が成り立つことが証明さ
れた。
る。 ｍe mod ｎ−［ｎ−｛(ｎ−ｍ)e mod ｎ｝］ ＝ｍe mod ｎ−ｎ＋（ｎ−ｍ)e mod ｎ ＝［｛ｍe ＋（ｎ−ｍ)e ｝mod ｎ］−ｎ ここで、ｅが奇数であることを考慮して二項定理を用い
て（ｎ−ｍ)e を展開すると、 ［ｍe＋(ｎ−ｍ)e｝mod ｎ］−ｎ ＝［{ｍe＋(ｎe−eＣ1ｎe-1・ｍ＋eＣ2ｎe-2・ｍ2−eＣ3ｎe-3・ｍ3＋…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1−ｍe)｝mod ｎ］−ｎ ＝［{ｎe−eＣ1ｎe-1・ｍ＋eＣ2ｎe-2・ｍ2−eＣ3ｎe-3・ｍ3＋…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1)｝mod ｎ］−ｎ ＝［{ｎ・(ｎe-1−eＣ1ｎe-2・ｍ＋eＣ2ｎe-3・ｍ2−eＣ3ｎe-4・ｍ3＋…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1)｝mod ｎ］−ｎ ＝（０ mod ｎ）−ｎ ＝ｎ−ｎ ＝０ したがって、ｅが奇数であるとき、（１）式のｍe mod
ｎ＝ｎ−｛(ｎ−ｍ)emod ｎ｝が成り立つことが証明さ
れた。
【０００９】Ｂ．ｅが偶数の場合 ｍe mod ｎ＝（ｎ−ｎ)e mod ｎ…………………………………………（３） が成立すればよい。即ち、 ｍe mod ｎ−（ｎ−ｍ)e mod ｎ＝０……………………………………（４） が成立すればよい。（４）式を整理すると次のようにな
る。 ｍe mod ｎ−（ｎ−ｍ)e mod ｎ ＝｛ｍe−（ｎ−ｍ)e｝mod ｎ ここで、ｅが偶数であることを考慮して二項定理を用い
て（ｎ−ｍ)e を展開すると、 ｛ｍe−（ｎ−ｍ)e｝mod ｎ ＝｛ｍe−（ｎe−eＣ1ｎe-1・ｍ＋eＣ2ｎe-2・ｍ2−eＣ3ｎe-3・ｍ3＋…… −eＣe-1ｎ．ｍe-1＋ｍe)｝mod ｎ ＝（−ｎe＋eＣ1ｎe-1・ｍ−eＣ2ｎe-2・ｍ2＋eＣ3ｎe-3・ｍ3−…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1)｝mod ｎ ＝｛ｎ・(−ｎe-1＋eＣ1ｎe-2・ｍ−eＣ2ｎe-3・ｍ2＋eＣ3ｎe-4・ｍ3−…… ＋eＣe-1ｍe-1)｝mod ｎ ＝０ mod ｎ ＝０ したがって、ｅが偶数であるとき、(３）式のｍe mod
ｎ＝（ｎ−ｍ)e mod ｎが成り立つことが証明された。
る。 ｍe mod ｎ−（ｎ−ｍ)e mod ｎ ＝｛ｍe−（ｎ−ｍ)e｝mod ｎ ここで、ｅが偶数であることを考慮して二項定理を用い
て（ｎ−ｍ)e を展開すると、 ｛ｍe−（ｎ−ｍ)e｝mod ｎ ＝｛ｍe−（ｎe−eＣ1ｎe-1・ｍ＋eＣ2ｎe-2・ｍ2−eＣ3ｎe-3・ｍ3＋…… −eＣe-1ｎ．ｍe-1＋ｍe)｝mod ｎ ＝（−ｎe＋eＣ1ｎe-1・ｍ−eＣ2ｎe-2・ｍ2＋eＣ3ｎe-3・ｍ3−…… ＋eＣe-1ｎ・ｍe-1)｝mod ｎ ＝｛ｎ・(−ｎe-1＋eＣ1ｎe-2・ｍ−eＣ2ｎe-3・ｍ2＋eＣ3ｎe-4・ｍ3−…… ＋eＣe-1ｍe-1)｝mod ｎ ＝０ mod ｎ ＝０ したがって、ｅが偶数であるとき、(３）式のｍe mod
ｎ＝（ｎ−ｍ)e mod ｎが成り立つことが証明された。
【００１０】このように、ｍe mod ｎの演算を行うの
に、ｅが奇数の場合、ｎ−（ｎ−ｍ)emod ｎの演算を実
行しても同じ結果が得られる。また、ｅが偶数の場合、
（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を実行しても同じ結果が得ら
れる。
に、ｅが奇数の場合、ｎ−（ｎ−ｍ)emod ｎの演算を実
行しても同じ結果が得られる。また、ｅが偶数の場合、
（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を実行しても同じ結果が得ら
れる。
【００１１】ここで、ｍe mod ｎの演算量は、ｍ、ｎ、
ｅの桁数とともに増加する。その演算量は、ｎ、ｅに関
しては、ｎ、ｅの桁数にほぼ比例する。ｍに関しては、
ｍe＜ｎのときは、非常に高速に演算することが出来
る。ｍがｎに十分近づくと、ほぼ一定の演算時間にな
る。したがって、ｍ＞（ｎ−ｍ）、即ち、ｎ／２＜ｍ＜
ｎのときには、ｍe mod ｎの演算を実行するより、（ｎ
−ｍ)e mod ｎの演算を実行した方がより高速である。
ｅの桁数とともに増加する。その演算量は、ｎ、ｅに関
しては、ｎ、ｅの桁数にほぼ比例する。ｍに関しては、
ｍe＜ｎのときは、非常に高速に演算することが出来
る。ｍがｎに十分近づくと、ほぼ一定の演算時間にな
る。したがって、ｍ＞（ｎ−ｍ）、即ち、ｎ／２＜ｍ＜
ｎのときには、ｍe mod ｎの演算を実行するより、（ｎ
−ｍ)e mod ｎの演算を実行した方がより高速である。
【００１２】厳密に議論すると、本発明では、ｅが奇数
の場合には、（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うために、
ｎ−ｍの減算１回とｎから（ｎ−ｍ)e mod ｎの減算１
回の合計２回の減算が増える。ｅが偶数の場合には、
（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うために、ｎ−ｍの減算
が１回増える。ところが、ｎ、ｍが大きくなるにつれ、
減算が２回程度増えても、大きなｍを使用して直接冪剰
余演算を実行するより、小さなｎ−ｍを使用して冪剰余
演算を実行する方が、高速にｍe mod ｎを実行すること
ができるようになる。また、ｍが大きいほどｎ−ｍは小
さくなる。言い換えると、本発明を適用すれば、従来、
演算時間が多くかかっていた場合ほど、高速に演算する
ことができる。
の場合には、（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うために、
ｎ−ｍの減算１回とｎから（ｎ−ｍ)e mod ｎの減算１
回の合計２回の減算が増える。ｅが偶数の場合には、
（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うために、ｎ−ｍの減算
が１回増える。ところが、ｎ、ｍが大きくなるにつれ、
減算が２回程度増えても、大きなｍを使用して直接冪剰
余演算を実行するより、小さなｎ−ｍを使用して冪剰余
演算を実行する方が、高速にｍe mod ｎを実行すること
ができるようになる。また、ｍが大きいほどｎ−ｍは小
さくなる。言い換えると、本発明を適用すれば、従来、
演算時間が多くかかっていた場合ほど、高速に演算する
ことができる。
【００１３】
【実施例】以下、本発明の一実施例について図面により
詳述する。
詳述する。
【００１４】図１に、本発明かかる冪剰余演算方法の一
実施例の処理手順を示す。ここでは、被演算数ｍ、法ｎ
は大きく、減算は冪剰余演算の演算実行時間と比較した
とき無視できると仮定している。
実施例の処理手順を示す。ここでは、被演算数ｍ、法ｎ
は大きく、減算は冪剰余演算の演算実行時間と比較した
とき無視できると仮定している。
【００１５】まず、被演算数ｍ、冪指数ｅ、法ｎを入力
し（ステップ１０１）、ｎ−ｍを求め（ステップ１０
２）、ｍとｎ−ｍを比較する（ステップ１０３）。比較
結果、ｍ≦ｎ−ｍの場合は、従来通りに冪剰余演算ｍe
mod ｎをそのまま実行し、演算結果ｃを得る（ステッ
プ１０４）。一方、ｍ＞ｎ−ｍの場合、本発明を適用し
て高速に冪剰余演算を実行する。即ち、冪指数ｅが偶数
か奇数か判定し（ステップ１０５）、ｅが偶数の場合、
ｎ−ｍをｍ′として（ステップ１０６）、ｍe mod ｎの
演算の代りに、ｍ′e mod ｎの演算を実行し、演算結果
ｃを得る（ステップ１０７）。また、ｅが奇数の場合
は、ｎ−ｍをｍ′とし（ステップ１０８）、ｍ′e mod
ｎの演算を実行して、その演算結果をｃ′とし（ステッ
プ１０９）、ｎ−ｃ′を求めて演算結果ｃを得る（ステ
ップ１１０）。なお、ステップ１０７，１０８において
は、先の文献等に提案されている冪剰余演算がそのまま
流用できる。
し（ステップ１０１）、ｎ−ｍを求め（ステップ１０
２）、ｍとｎ−ｍを比較する（ステップ１０３）。比較
結果、ｍ≦ｎ−ｍの場合は、従来通りに冪剰余演算ｍe
mod ｎをそのまま実行し、演算結果ｃを得る（ステッ
プ１０４）。一方、ｍ＞ｎ−ｍの場合、本発明を適用し
て高速に冪剰余演算を実行する。即ち、冪指数ｅが偶数
か奇数か判定し（ステップ１０５）、ｅが偶数の場合、
ｎ−ｍをｍ′として（ステップ１０６）、ｍe mod ｎの
演算の代りに、ｍ′e mod ｎの演算を実行し、演算結果
ｃを得る（ステップ１０７）。また、ｅが奇数の場合
は、ｎ−ｍをｍ′とし（ステップ１０８）、ｍ′e mod
ｎの演算を実行して、その演算結果をｃ′とし（ステッ
プ１０９）、ｎ−ｃ′を求めて演算結果ｃを得る（ステ
ップ１１０）。なお、ステップ１０７，１０８において
は、先の文献等に提案されている冪剰余演算がそのまま
流用できる。
【００１６】図２は、本発明にかかる冪剰余演算装置の
一実施例の構成図である。図において、レジスタ２０
１，２０２，２０３には、それぞれ冪指数ｅ、被演算数
ｍ、法ｎが設定される。減算部２０４は、レジスタ２０
２の被演算数ｍとレジスタ２０３の法ｎを入力してｎ−
ｍを計算し、ｍ′（＝ｎ−ｍ）を出力する。冪剰余演算
部２０５は、レジスタ２０１の冪指数ｅ、レジスタ２０
３の法ｎ及び減算部２０４の出力ｍ′を入力して、冪剰
余演算ｍ′e mod ｎを実行し、演算結果ｃ′を出力す
る。減算部２０６は、レジスタ２０３の法ｎと冪剰余演
算部２０５の演算結果ｃ′を入力してｎ−ｃ′を計算
し、ｃ（＝ｎ−ｃ′）を出力する。上記冪剰余演算部２
０５の出力ｃ′と減算部２０６の出力ｃは演算結果選択
部２０８の入力となる。一方、偶奇判定部２０７はレジ
スタ２０１の冪指数ｅが偶数か奇数か判定し、判定結果
を演算結果選択部２０８に与える。演算結果選択部２０
８では、偶奇判定部２０７の判定結果に基づき、ｅが偶
数の場合は冪剰余演算部２０５の出力ｃ′を選択し、ｅ
が奇数の場合は減算部２０６の出力ｃｃを選択し、出力
線２０９に出力する。
一実施例の構成図である。図において、レジスタ２０
１，２０２，２０３には、それぞれ冪指数ｅ、被演算数
ｍ、法ｎが設定される。減算部２０４は、レジスタ２０
２の被演算数ｍとレジスタ２０３の法ｎを入力してｎ−
ｍを計算し、ｍ′（＝ｎ−ｍ）を出力する。冪剰余演算
部２０５は、レジスタ２０１の冪指数ｅ、レジスタ２０
３の法ｎ及び減算部２０４の出力ｍ′を入力して、冪剰
余演算ｍ′e mod ｎを実行し、演算結果ｃ′を出力す
る。減算部２０６は、レジスタ２０３の法ｎと冪剰余演
算部２０５の演算結果ｃ′を入力してｎ−ｃ′を計算
し、ｃ（＝ｎ−ｃ′）を出力する。上記冪剰余演算部２
０５の出力ｃ′と減算部２０６の出力ｃは演算結果選択
部２０８の入力となる。一方、偶奇判定部２０７はレジ
スタ２０１の冪指数ｅが偶数か奇数か判定し、判定結果
を演算結果選択部２０８に与える。演算結果選択部２０
８では、偶奇判定部２０７の判定結果に基づき、ｅが偶
数の場合は冪剰余演算部２０５の出力ｃ′を選択し、ｅ
が奇数の場合は減算部２０６の出力ｃｃを選択し、出力
線２０９に出力する。
【００１７】なお、図２の構成において、減算部２０４
と２０６は同一のもので兼用するようにしてもよい。ま
た、ＲＳＡ暗号のように、例えば冪指数ｅが必ず奇数の
データのみを対象とする場合には偶奇判定部２０７、演
算結果選択部２０８を省略することができる。
と２０６は同一のもので兼用するようにしてもよい。ま
た、ＲＳＡ暗号のように、例えば冪指数ｅが必ず奇数の
データのみを対象とする場合には偶奇判定部２０７、演
算結果選択部２０８を省略することができる。
【００１８】次に、本発明の冪剰余演算装置を公開鍵暗
号で有名なＲＳＡ暗号に利用する場合の例について説明
する。最初に簡単にＲＳＡ暗号の演算方法について述べ
る。
号で有名なＲＳＡ暗号に利用する場合の例について説明
する。最初に簡単にＲＳＡ暗号の演算方法について述べ
る。
【００１９】ＲＳＡ暗号は、大きな素数の合成数（実シ
ステムでは、２の６００乗程度）の素因数分解の困難さ
に安全性の根拠をおいている、冪剰余演算の計算により
暗号化／復号を行う暗号である。ここで、暗号化をＥ
（Ｅncrpytion）、復号をＤ（Ｄecryption）、平文をＭ
（Ｐlain text）、暗号文をＣ（Ｃipher text）、暗号
化鍵をｅ，ｎ、復号鍵をｄ，ｎとする。ｅ，ｎは公開
し、ｄは復号側が秘密にして保持する。
ステムでは、２の６００乗程度）の素因数分解の困難さ
に安全性の根拠をおいている、冪剰余演算の計算により
暗号化／復号を行う暗号である。ここで、暗号化をＥ
（Ｅncrpytion）、復号をＤ（Ｄecryption）、平文をＭ
（Ｐlain text）、暗号文をＣ（Ｃipher text）、暗号
化鍵をｅ，ｎ、復号鍵をｄ，ｎとする。ｅ，ｎは公開
し、ｄは復号側が秘密にして保持する。
【００２０】暗号化側と復号側の処理は Ｃ＝Ｅ（Ｍ）＝Ｍe mod ｎ………………暗号化側の処理 Ｍ＝Ｄ（Ｃ）＝Ｃd mod ｎ………………復号側の処理 のように行う。なお、０≦Ｍ≦ｎ−１なる任意のＭに対
して Ｄ（Ｅ（Ｍ））＝Ｍ つまり、 ＭedＭ≡１（mod ｎ） が成り立つ。
して Ｄ（Ｅ（Ｍ））＝Ｍ つまり、 ＭedＭ≡１（mod ｎ） が成り立つ。
【００２１】すなわち、ＲＡＳ暗号を用いて暗号通信を
行うには、暗号化側、復号側共に繰り返し冪剰余演算が
必要となる。さらに、その他の多くの実用的な公開鍵暗
号のほとんども、冪剰余演算を利用している。
行うには、暗号化側、復号側共に繰り返し冪剰余演算が
必要となる。さらに、その他の多くの実用的な公開鍵暗
号のほとんども、冪剰余演算を利用している。
【００２２】ＲＡＳ暗号の特徴として、冪指数のｅ、ｄ
は必ず奇数となる。この性質を利用し、本発明を適用す
ると、暗号化側の装置は図３、復号側の装置は図４のよ
うに構成することができる。
は必ず奇数となる。この性質を利用し、本発明を適用す
ると、暗号化側の装置は図３、復号側の装置は図４のよ
うに構成することができる。
【００２３】暗号化側の図３では、最初にデータ分離部
３００において、平文Ｍが（ｎ＋１）／２以上か（ｎ＋
１）／２未満かにより、該平文Ｍを２通りに分離する。
（ｎ＋１）／２以上の平文データ（これをｍと仮定す
る）は、減算部３０２で暗号化鍵ｎから平文の値ｍを引
く。これをｍ′とする。その後、冪剰余演算部３０３に
おいて、暗号化鍵ｅを冪指数として冪剰余演算ｍ´e mo
d ｎを行う。この演算結果をｃ′とする。次に、もう一
度、減算部３０４でｎから冪剰余演算結果ｃ′を引く。
一方、（ｎ＋１）／２未満の平文データ（これもｍと仮
定する）は、冪剰余演算部３０１において、直接、冪剰
余演算ｍe mod ｎを行う。最後、これら２通りの系統で
暗号化された暗号文データをデータ合成部３０５で１つ
の暗号文ｃに合成する。なお、減算部３０２と減算部３
０４および、冪剰余演算部３０１と冪剰余演算部３０３
は、それぞれまったく同じ機構なので共有することがで
きる。
３００において、平文Ｍが（ｎ＋１）／２以上か（ｎ＋
１）／２未満かにより、該平文Ｍを２通りに分離する。
（ｎ＋１）／２以上の平文データ（これをｍと仮定す
る）は、減算部３０２で暗号化鍵ｎから平文の値ｍを引
く。これをｍ′とする。その後、冪剰余演算部３０３に
おいて、暗号化鍵ｅを冪指数として冪剰余演算ｍ´e mo
d ｎを行う。この演算結果をｃ′とする。次に、もう一
度、減算部３０４でｎから冪剰余演算結果ｃ′を引く。
一方、（ｎ＋１）／２未満の平文データ（これもｍと仮
定する）は、冪剰余演算部３０１において、直接、冪剰
余演算ｍe mod ｎを行う。最後、これら２通りの系統で
暗号化された暗号文データをデータ合成部３０５で１つ
の暗号文ｃに合成する。なお、減算部３０２と減算部３
０４および、冪剰余演算部３０１と冪剰余演算部３０３
は、それぞれまったく同じ機構なので共有することがで
きる。
【００２４】復号側の図４では、上記図３に対してｅを
ｄに、暗号文Ｃを平文Ｍに、平文データｍは暗号文デー
タｃに置き替えるだけで、動作はまったく同じである。
ｄに、暗号文Ｃを平文Ｍに、平文データｍは暗号文デー
タｃに置き替えるだけで、動作はまったく同じである。
【００２５】このように、本発明をＲＳＡか暗号に利用
すれば、（ｎ＋１）／２以上の平文の暗号化あるいは暗
号文の復号をする場合、直接、法ｎ、冪指数ｅあるいは
ｄの冪剰余演算を行うより高速に冪剰余演算を実行する
ことが可能となる。
すれば、（ｎ＋１）／２以上の平文の暗号化あるいは暗
号文の復号をする場合、直接、法ｎ、冪指数ｅあるいは
ｄの冪剰余演算を行うより高速に冪剰余演算を実行する
ことが可能となる。
【００２６】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
素数判定、素数生成および公開鍵暗号アルゴリズムで利
用される冪剰余演算をより高速に実行することができ
る。
素数判定、素数生成および公開鍵暗号アルゴリズムで利
用される冪剰余演算をより高速に実行することができ
る。
【図１】本発明に係る冪剰余演算方法の一実施例の処理
フロー図である。
フロー図である。
【図２】本発明に係る冪剰余演算装置の一実施例の構成
図である。
図である。
【図３】本発明を利用して高速にＲＡＳ暗号の暗号化を
行うＲＡＳ暗号暗号化装置の構成例である。
行うＲＡＳ暗号暗号化装置の構成例である。
【図４】本発明を利用して高速にＲＡＳ暗号の復号化を
行うＲＡＳ暗号復号装置の構成例である。
行うＲＡＳ暗号復号装置の構成例である。
２０１〜２０３ レジスタ ２０４ 減算部 ２０５ 冪剰余演算部 ２０６ 減算部 ２０７ 偶奇判定部 ３０８ 演算結果選択部
Claims (3)
- 【請求項１】 冪指数ｅ、法ｎとする冪剰余演算ｍe mo
d ｎを自動的に行う方法において、 冪指数ｅが奇数か偶数か判定するステップと、 冪指数ｅが奇数のとき、ｍe mod ｎの演算の代わりにｎ
−｛(ｎ−ｍ)e mod ｎ｝の演算を行うステップと、 冪指数ｅが偶数のとき、ｍe mod ｎの演算の代わりに
（ｎ−ｍ)e mod ｎの演算を行うステップと、を有する
ことを特徴とする冪剰余演算方法。 - 【請求項２】 冪指数ｅ、法ｎとする冪剰余演算ｍe mo
d ｎを行う装置であって、 ｍ´＝ｎ−ｍを計算する第１手段と、ｃ´＝ｍ´e mod
ｎを計算する第２手段と、ｃ＝ｎ−ｃ´を計算する第３
手段とを具備し、 冪指数ｅが奇数のとき、前記第３手段の計算結果ｃを冪
剰余演算ｍe mod ｎの値とし、冪指数ｅが偶数のとき、
前記第２手段の計算結果ｃ´を冪剰余演算ｍe mod ｎの
値とすることを特徴とする冪剰余演算装置。 - 【請求項３】 請求項２記載の冪剰余演算装置におい
て、第１手段と第３手段は同一の減算手段で兼用するこ
とを特徴とする冪剰余演算装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP5148952A JPH076025A (ja) | 1993-06-21 | 1993-06-21 | 冪剰余演算方法および装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP5148952A JPH076025A (ja) | 1993-06-21 | 1993-06-21 | 冪剰余演算方法および装置 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH076025A true JPH076025A (ja) | 1995-01-10 |
Family
ID=15464329
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP5148952A Pending JPH076025A (ja) | 1993-06-21 | 1993-06-21 | 冪剰余演算方法および装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH076025A (ja) |
Cited By (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2002278450A (ja) * | 2001-03-14 | 2002-09-27 | Toshiba Corp | 素数生成装置、方法及びプログラム |
| WO2006003872A1 (ja) | 2004-06-30 | 2006-01-12 | Tdk Corporation | 希土類焼結磁石用原料粉体の製造方法、希土類焼結磁石の製造方法、顆粒及び焼結体 |
| US8327773B2 (en) | 2010-01-04 | 2012-12-11 | Nippon Sharyo, Ltd. | Railway vehicle |
| US11895230B2 (en) | 2019-01-24 | 2024-02-06 | Nec Corporation | Information processing apparatus, secure computation method, and program |
-
1993
- 1993-06-21 JP JP5148952A patent/JPH076025A/ja active Pending
Cited By (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2002278450A (ja) * | 2001-03-14 | 2002-09-27 | Toshiba Corp | 素数生成装置、方法及びプログラム |
| JP4664514B2 (ja) * | 2001-03-14 | 2011-04-06 | 株式会社東芝 | 素数生成装置及びプログラム |
| WO2006003872A1 (ja) | 2004-06-30 | 2006-01-12 | Tdk Corporation | 希土類焼結磁石用原料粉体の製造方法、希土類焼結磁石の製造方法、顆粒及び焼結体 |
| EP2527062A1 (en) | 2004-06-30 | 2012-11-28 | TDK Corporation | Method for producing a rare earth sintered magnet |
| US8327773B2 (en) | 2010-01-04 | 2012-12-11 | Nippon Sharyo, Ltd. | Railway vehicle |
| US11895230B2 (en) | 2019-01-24 | 2024-02-06 | Nec Corporation | Information processing apparatus, secure computation method, and program |
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