JPH07504541A - データのフラクタル・コーディング方法およびシステム - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるため要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 データのフラクタル・コーディング方法およびシステム（技術分野） 本発明は、イメージ・データまたは音声を表わすデータの如きデータの７ラクタ ル・コーディング方法（ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｆｒａｃｔａｌｃｏｄｉｎｇ　 ｏｒ　ｄａｔａ）に関し、かつかかる方法を実施するための装置に関する。

（背景技術） 用語「データ」とは、本文においては非制限的な意味で用いられ、２進コ一ド化 電気信号の形態におけるデータのみならず他の形態のデータまたは情報をも含む ことを意図することを理解すべきである。このような他の形態のデータまたは情 報は、電気信号以外の物理的形態を取り得、かつイメージ、音声、数あるいは形 状の如き要求される現象を表わし得る。

従来は、コンピュータのスクリーン上に表示されるイメージは、スクリーン表示 の各ピクセルの位置およびトーンまたはカラーを特徴付けるディジタル・データ の形態で記憶されあるいは送信される。このようなデータに対しては、かなりの 記憶容量が要求される。イメージが遠く離れた場所で表示されるならば、データ は適当なキャリヤを用いて送信され、このためには送信のため長時間が許容され なければ、データを収容するのにかなりの帯域幅を必要とする。表示されたイメ ージが規則的な幾何学的形状を含むある状況においては、記憶されることを必要 とする唯一のデータは幾何学的形状およびディスプレイ中のその位置を定義する 数式を特徴付けるデータである。この場合は、データに対してはるかに少ない記 憶容量が要求される。明らかに、後者の技術は、イメージを数式により適当に特 徴付は得る時にのみ、イメージの記憶または送信のために使用することができる 。更に複雑なイメージの場合は、いわゆる適応離散的余弦変換（Ａｄａｐｔｉｖ ｃ　ＤｉｓｃｒｅＬｅ　Ｃｏ５１ｎｅ　Ｔｒａｎｓｒｏｒｍ（ＡＤＣＴ））法に よりコード化されることが既に知られ、この技法は静止イメージ圧縮法に対する ＪＰＥＧ規格としての適用が保証されている（Ｇ、に、Ｗａｌｌａｃｅ著［ＪＰ ＥＧ静止画像圧縮規格（Ｔｈｅ　ＪＰＥＧ　５ｔｉｌｌ　Ｐｉｃｔｕｒｅ　Ｃｏ ｍｐｒｅｓｓｉｏｎ　５ｔａｎｄａｒｄ）Ｊ　（Ｃｏｍｍ、ＡＣＭ、第３４巻、 第４部、３０〜４４頁、１９９１年））。

しかし、フラクタル・コーディング法による複雑なイメージの特徴付けにおいて 示される関心もまた存続している（Ｍ、Ｆ、Ｂａｒｎｓ　ＩｃｙおよびＳ、Ｄｅ ｍｋｏ著ｒ（Ｉｔｅｒａｔｅｄ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄｔ ｈｅ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｃｏｎ５ｔｒｕｃＬｉｏｎ　オリフィス　ＦｒａｃｔａＩ ｓ）Ｊ　（Ｐｒｏｃ、Ｒｏｙ、Ｓｏｃ、、Ｌｏｎｄｏｎ、第Ａ３９９巻、２４３ 〜２７５頁、１９８５年））。

フラクタルは、高度の自己類似性を持つ構造であり、これにおいては、構造全体 にわたり反復され、かつ一連の変換により形成されるものと見做すことができ、 構造の連続的な各部を生成するためモチーフに加えられる変換、回転、反射、サ イズの減少あるいは捻りを含み得る基本的モチーフからなっている。イメージの フラクタル・コーディングにおいては、イメージは、このイメージを一連の主要 ブロックへ分解するフラクタル変換によってコード化され、前記ブロックの各々 が、数式として記憶されるアフィン・マツプ（ａｆ［ｉｎｃ　ｍａｐ）によって イメージの他の部分と関連付けられる。

Ａ、Ｅ、Ｊａｃｑｕｉｎ著「ディジタル・イメージに対する新規なフラクタル・ ブロック・コーディング法（Ａ　Ｎｏｖｅｌ　Ｆｒａｃｔａｌ　Ｂｌｏｃｋ−Ｃ ｏｄｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｆｏｒ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｉｒｒ＋ａｇｃｓ ）Ｊ（Ｐｒｏｃ　ＩＥＥＥ　ＩＣＡＳＳＰ、２２２５〜２２２８頁、１９９０年 ）は、各イメージ・ブロックを［レンジ・ブロック（ｒａｎｇｅ　ｂｌｏｃｋ） Ｊとして取扱い、処理時間および複雑さに太き（関与する探索プロセスを用いて 前記レンジ・ブロックとの類似性を持つ主要ブロックを見出すフラクタ、ル・コ ーディング法を開示している。しかし、この技法は、レンジ・ブロックと主要ブ ロックとの間に見出される良好な一致に依存し、また良好な一致が見出されなけ れば、イメージ品質における著しい劣化が生じる。

（発明の概要） 本発明の目的は、コーディング効率が高く、かつ良好な忠実度を保持しながら実 質的な圧縮が得られる新たなフラクタル・コーディング方法および装置の提供に ある。

本発明によれば、データのフラクタル・コーディング方法が提供され、本方法は 、データを定義域（ｄｏｍａｉｎ）へ分割し、この定義域をデータに関連付ける １組の変換を決定してデータと前記変換の適用により得られるデータに対する近 似値との間のエラーを最小化し、前記変換を特徴付ける一連の量子化されたフラ クタル定数の式を提供することからなる。

当該方法は、広い応用分野を持ち、種々の現象を表わす種々の物理的形態にお夕 のコード化とは別の他の重要な応用分野は、音声および手書きのコード化、およ び更に物体の形状を表わす情報のコード化をも含んでいる。

変換は、２つ以上の部分で特徴付けられ、少なくとも１つの部分は特定の定義域 またはその特質で連想し得る測定値を示す少なくとも別の（関数）部分における 定義域を示す。

当該方法において用いられる組をなす変換は、パス（Ｂａｔｈ）の７ラクタル変 換（ＢＦＴ）と呼ばれ、１つ以上の関数ｇと、決定的なフラクタルに対する標準 的表現であるいわゆる反復関数系（Ｉｔｅｒａｔｅｄ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｓｙ ｓ　ｔｅｍ　（ＩＦＳ））として表わされる関数（単数または複数）に対する近 似値ｒとの間のエラーｄ　（ｆ、ｇ）を最小化する解と対応している。このＩＦ Ｓは、１つの主要部分と、１つ以上の関数部分とに分けられる。

前記変換は、分析的に、かつ望ましくはサーチによることなく決定することがで きる。この変換定数は、１組の一次方程式から見出すことができる。変換定数は 、直線時間において得ることができる。この変換定数は、コード化の複雑さとイ メージのサイズとの間の直線的関係の結果である。

提供される一連の量子化フラクタル定数は、ストアに保持されまたは変換経路を 通して送ることができる。

更に、記憶されあるいは送信された定数は、適切なものとして、かつこれから再 生されるデータの表示あるいはシミュレーションとして検索されあるいは受信さ れる。

本発明の望ましい一実施態様においては、１組の変換がデータに対する少なくと も２乗近似（ｓｑｕａｒｅｓ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ）により決定される 。

本発明は、イメージの７ラクタル・ブロック・コーディングに対して特に適用し 得、この場合、イメージはイメージ・ブロックに分けられ、各イメージ・ブロッ クを表わすデータは１組のアフィン変換（ａｒｆｉｎｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａ ｔｉｏｎｓ）によりイメージ・ブロックと関連付けられる複数の定義域へ分けら れる。

この場合、定義域の大きさおよび形状は相互に対して変化し得るが、各イメージ ・ブロックは、一般に直角である。

本発明の一実施態様においては、ある用途においては、イメージ・ブロックの異 なる定籏域間のエラーの分布を最適化するかあるいはイメージ・ブロックの全エ ラーを低減するように定義域が異なるサイズであることが望ましいことを理解す べきであるが、各イメージ・ブロックは、イメージ・コード化の目的のため複数 の等しい重ならない定義域へ分けられる。

グレースケール・イメージのコード化のためには、ブロック・データは、グレー スケール・データ、ならびに位置データを含み、この場合、位置データに基きか つグレースケール・データに基いて組をなす変換が決定される。カラー・イメー ジのコード化のためには、カラー・データはグレースケール・データの代わりに 、あるいはグレースケール・データに加えて含まれることになる。

本発明はまた、データのフラクタル・コーディング法のための７ラクタル・コー ディング装置を提供し、この装置は、データを定義域へ分ける区分手段と、デー タと変換の印加により得られるデータに対する近似値との間のエラーを最小化す るように前記定義域をデータに関連付ける１組の変換を決定する変換手段と、前 記変換を特徴付ける一連の量子化フラクタル定数の式を提供する量子化手段とか らなっている。

本発明のコード化手法は、実現が簡単明瞭であり、イメージのコード化に用いら れる時、典型的には１２：１の次数のイメージ・データの然るべき圧縮を提供す ることができる。当該手法は、非常に複雑なコード化装置を使用することなく高 速なコード化を必要とするシステムにおいて特に有効にする（イメージ・ビクセ ル数に正比例する）その計算効率に関して特に有望である。マルチ・メディア・ システムにおける如きディジタル・コーディングおよびイメージのアーカイブ（ ａｒｃｈｉｖｉｎｇ）または静止イメージの圧縮を必要とするイメージ・コーデ ィング用途において有効であると同様に、本手法は、ビデオ・メール・システム における如く動（イメージがリアルタイムにコード化し復号されるイメージ・コ ーディング用途においてもまた有効である。

本発明は更に、短縮形態における記憶または送信のための情報を近似化する方法 を提供するものであり、本方法は、情報を表わす関数を提供し、これから前記の 短縮形態を定義域部分と関数部分とを持つ反復関数系として得るステップを含む 。

本発明はまたフラクタルのそのコードからの順方向処理方法を提供するものであ り、本方法は、フラクタルに対して必要な全ての変換の固定点を得ること、各点 に対する丸め近似ビクセルを形成すること、およびこのビクセルをフラクタルの アトラクタ（ａ　ｔ　Ｌ　ｒａｃ　ｔｏ　ｒ）に対する微小近似値としてプロッ トすることを含む。

本方法は、唯一つのビクセルが丸められた各近似値に対してプロット（ｐｌ。

ｔ）されるステシブを含み得る。計算数は、近似値における少数のビクセルと線 形的に関連させ得る。本方法は、フラクタル関数に対して、全ビクセルにビクセ ル内の１つの点に対して計算された関数の最初の値を割当てることを含む。本方 法は、１つのビクセルに対するフラクタル関数の全体値を厳密に近似化すること を講じるもので、ビクセル数に略々等しい整数個のタイル（Ｌ　ｉ　Ｉ　ｅ）　 （Ｍ）を選択すること、Ｍ個のタイルにわたるフラクタル関数の積分値を評価す ること、および１つのビクセルに対する関数値をこれが交差するタイルにわたる 前記積分値の加重和として決定することを含み、この加重は前記交差の大きさに 比例する。

少なくとも１つがタイルに対する親のブロック内にない、完全にタイル状にされ たイメージがタイルにより分けられる方法の形態においては、本方法は、イメー ジの全ての部分を調べさせるのに充分な数の種（ｓｅｅｄ）ビクセル値を提供す ることを含む。

本発明の更に別の特質によれば、定義域が全て１つの大きさでない方法が提供さ れ、この大きさが定義域に測定値を等化させるためデータにわたる１つの測定値 に従って選定される。

前記測定値は、エラー推定出力を行うためデータをフィルタに通過させることに より決定されるコード化エラーの予測である。

本発明はまた、上記の手法によるデータの７ラクタル・コーディングにより記録 される記憶媒体をも提供する。

本発明はまた、全てがアトラクタの一部を含む少数のビクセルを決定する手段と 、少数の各々を１回以上はプロットしない手段とを含む、フラクタル・コード化 されたデータを復号する装置をも提供する。

本発明はまた、データのフラクタル・コーディングと、コード化データの記憶お よび（または）送信と、データのコーディングと上記の手法によるコーディング の復号とを含む、前記データを再構成するため前記記憶および（または）送信後 の前記フラクタル・コーディングの復号とのためのシステムをも提供する。

メーク・コーディング手法について、添付図面に関して例示として次に記述する 。

図面の簡単な説明 図１は、コード化されるべきイメージ・ブロックの概略図、図２は、使用される コード化／復号装置のブロック図、図３は、コード化されるべ波形の概略図、図 ４および図５は、音声のコーディングにおけるエラーのグラフ、および図６乃至 図２０は、本発明による手法の記述において触れる方程式および他の数式である 。

（実施例） 図１において例示として略図的に示されるイメージ・コーディング法においては 、１組の４つのアフィン変換ｗ、（Ａ）　、ｗ２（Ａ）およびＷ４（Ａ）は、直 角のイメージ片１に対する最小２乗近似値を与える。この変換は、イメージ片１ を覆う４つの重ならない直角定義域２．３．４および５を定義し、大きさの減少 および変位による前記イメージ片１の定義域２に対するマツピングが、−例とし て４本の線６により図１に略図的に示されている。定義域２．３．４および５の 各々は、次に同様の一連の４つの変換によってそれ自体マツプされる。イメージ 片１は典型的に、８×８のビクセル・ブロックである。

ユークリッド面に点Ｖ＝　（ｘ、ｙ）をマツプするアフィン変換（ｗｂ　：　ｋ 　＝　１　。

２、、、、ｌのシステムは、下記のように書くことができる。

Ｗｂ：　ｖ−ＴｂＶ＋５ｈ ＴｋはＩＴＩ＜１による収縮線形マツピングであり、Ｓｂは偏移ベクトルである 。

ＴｋおよびＳｋは、それぞれ図６および図７に示されている。

これは、本例のイメージ・コーディング法の定義域部分を定義する。

幾何学的には、Ｍ、およびＭ、はＸおよびｙの倍率であり、θ、およびθ、は回 転であり、Ｓ、、Ｓ、は変換Ｗを一緒に構成する偏移である。Ｎ回のアフィン変 換が存在する場合、これはオーダＮ（ｏｒｄｅｒ　Ｎ）の自己アフィン系（ＳＡ Ｓ）と呼ばれる。ＳＡＳと関連するのは、一般に無限に多くの点を含む一義的な アトラクタ・セットで（ａ　ｕｎｉｑｕｅ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ　５ｅｔ）ある 。このアトラクタ・セットは、これが自己類似性の特性を満たす意味ではフラク タルであり、しばしば整数でないフラクタル指数を持つ。図形的な目的のために 、アトラクタを網羅しかつ多数のアルゴリズムの１つにより構成される少数セッ トのビクセルが存在する。

イメージにおけるグレースケール変分のコーディングに対しては、イメージ・コ ーディング法の関数部分を規定するためＳＡＳが３次元２へ拡張される。このた め、Ａが面内のＳＡＳのアトラクタである場合、拡張ＳＡＳは図８に示される変 換によって規定される。

Ａが重ならない条件を満たすならば、またｌａ：＋ｌ＜１ならば、このＳＡＳの アトラクタはイメージにおけるグレースケール変分を表わすフラクタル面である 。

イメージは、これを一連の直角ブロックへ区分することによりコード化され、こ の場合グレースケールは先に規定された形態のＳＡＳにより近似化されて、イメ ージに対するフラクタル・ブロック・コーディングを与える。定義域アトラクタ が直角であるＳＡＳは規定が容易であり（図１）、問題は、イメージ・ブロック のグレースケール関数に対する最良の７ラクタル近似を規定する定数ａ１、ａ２ 、ａ５、Ｂを見出すことである。

ｇが所与のイメージに対するグレースケール関数であり、そρ結果ｇ（ｘ、ｙ） が（ｘ、ｙ）におけるビクセルのグレースケール値であるならば、イメージと式 （１）のＳＡＳによるそのマツピングとの間の平均２乗平方根（ｒｏｏｔ−ｍｅ ａｎ−ｓｑｕａｒｅ）の差は、ｋ＝１．、、、Ｈの各々に対して下式を最小化す ることにより最小化される。

但し、ＨはＡに対するハウスドルフ（Ｈａｕｓｄｏｒｆ［）測度である。フラク タル・パラメータに関する部分偏差が図９に示され、最小では全てゼロとなる。

図９における式から、図１０における式を得ることができる。図１０においては 、全ての積分値がハウスドルフ測度に関してＡ全体にわたっている。図１０の式 は、次にａ、”’、ａ２′に’、ａｊ′１．ｂ”’を？３るため解＜：とができ る。

この場合、２つの変数の関数が最小２乗近似値によりフラクタル関数によって近 似化される。同様な手法が、いかなる数の変数のフラクタル関数に対しても適用 でき、また音声の近似化に対して適用することができる。

このように、本方式に従ってタイル状にされたイメージ・ブロックに対する最小 ２乗近似値は、各ブロックに対する４組の４つの一次方程式の解を要求する。

ａ、＋に′＝０が平面の小面（ｒａｃｅｔ）によるタイルにの記述に等価である ことを知るべきである。このように、平面によるイメージの最小２乗の適合は本 近似法の特殊なケースであり、定数ａ、は、「曖昧（ｆ　ｕ　ｚ　ｚ）因子（フ ーズ因子）」と呼ばれるタイルへ組成（ｔｅｘｔｕｒｅ）を導入するパラメータ として視認することができる。

差ｗ、が異なるフラクタル解を与えるので、直角タイリング（ｔ　ｉ　ｌ　ｉｎ ｇ）の種々の最適化がフラクタル近似を改善し得る。これらは、等しくないタイ ルを生じるため１つのブロックの最適な分裂点を見出すこと、およびπ／２の倍 数による１つのブロック内の各タイルの最良の回転を選定することを含んでいる 。

フラクタル定数は、実数値であり、記憶または送信前に量子化されねばならない 。しかし、定数に対する絶対境界を欠くと、あり得る量子化の分析を複雑にする 。

問題は、フラクタル定数が復元できる適当な組の関数値を計算することにより簡 単化される。これは、ｆ（α、）を記憶することにより行われるが、α、は、「 （Ｗｌ（α、））の値と共に常にブロックの隅部であるＷ、の固定点であり、ｉ ＃にであり、その結果１６のフラクタル定数が１６の関数値により置換される。

このフラクタル定数は、４組の４つの一次方程式を解くことにより関数値から復 元することができる。この関数値はフラクタル近似のグレースケール値であるた め、それらの範囲はちょうど元のイメージのそれである。このため、これらの関 数値は整数へ更に容易に量子化することができる。

更なる圧縮を達成するために、量子化された関数値はブロック単位の組で記憶さ れる。各ブロックにおいては、１つの関数値が明瞭に記憶され、他の値はそれら の相違によって記憶される。次に、イメージの近似化のための最終的コード化を 与えるため、ハフマン（Ｈｕｆｆｍａｎ）またはエントロピ・コーディングの如 き統計的コーディングを差の値の組について行うことができる。

テストにおいては、ピクセル当たり８ビツトでディジタル化された強度成分と、 ４つの生成された重ならないタイルが等しい大きさであるように、全てのｋに対 してＭ、　Ｌ　’　ｌ　；Ｍ　、　Ｉ　’　ｌに１／２．θ、　ｆｋｌ　＝θ、 （ｋｌ＝Ｑ、また３％ｋｌ、Ｓ、Ｂゝとにより標準的なテスト・イメージ「ゴー ルド・ヒル（Ｇｏｌｄ　Ｈｉｌｌ）Ｊから得た８×８ビクセル・イメージに対し て、図１０における式による最小２乗近似値が適用された。平坦な小面、ａ３（ １）＝０によるイメージ・ブロックのマツチングの如きこの手法の変形もまた用 いられた。Ｍ、およびＭ、を最適化することにより、ならびにθヨおよびθ、を 最適化することによって、改善を得ることができる。

」１記の近似法は、完全なディジタル・イメージをブロック・コード化するため に用いることができる。１つのイメージの直角ブロックへの区分を行うと、各ブ ロックはフラクタルにより個々に近似化される。イメージの一定サイズのブロッ クへの区分は、エラーの不均一な分布を生じる結果となるが、最適な区分（最小 限の全体的劣化を生じる）を見出すには、標準的な推定法が用いられるかどうか の非常に大きな探索を必要とする。妥当な計算コストで適当な区分を推定するた めの推定法については、本明細書のどこかに記載されている。

図２は、その上部にこのようなイメージ・コーディングを実施するために用いら れるコーディング・システム１０を示し、その下部にイメージを後で復号するた め用いられる復号システム２０を示すブロック図である。このコーディング・シ ステム１０は、イメージＩＭを直角イメージ片ＩＦへ分割するための区分ユニッ ト１２と、先に述べた如く最小２乗近似値で各イメージ片をコーディングするた めフラクタル関数を決定するフラクタル変換ユニット１４とを含んでいる。次に この関数を特徴付けるフラクタル定数ＦＣが、ユニット１４によりコーディング ／量子化ユニット１６へ与えられ、このユニットにおいて前記定数がコード化さ れ量子化されて、ユニット１８により示される適当な変換経路または記憶媒体に おける送信または記憶のためフラクタル・コードＦＤをユニット１６の出力とし て生じる。

イメージを再生するため記憶されあるいは送信されるフラクタル・コードＲＦＤ の以後の復号は、先に述べた手法によりフラクタル定数ＲＦＣを復元する復号シ ステム２０の復号ユニット２２ヘコードが与えられることを要求する。復元され たフラクタル定数は、次にフラクタル描画ユニット２４へ与えられ、このユニッ トがこれらの７ラクタル定数からコード化されたイメージ片ＲＩＦを再生して、 イメージ片を完全な復号イメージＤＭを再生する再結合ユニット２６へ与える。

このようなシステムを用いて２つの標準的なイメージ「ゴールド・ヒル（Ｇ。

ＩｄＨｉｌｌ）Ｊおよび「バーバラ２（Ｂａｒｂａｒａ　２）Ｊをコード化し復 号するテストが行われた。元のイメージは５７６行×７２０列の解像度でサンプ ルされ、これが８×８ビクセルの７２Ｘ９０ブロツクへ区分された。各ブロック 毎に、回転と拡大の最適な組合わせが決定された。カラー成分のコード化に対す る簡単な拡張は当業者には明らかであろうが、輝度コーディングのみが行われた 。

ＡＤＣＴアルゴリズムにより導入された劣化の事例もまた、イメージ「ゴールド ・ヒル」および「バーバラ２」に対して生じた。表１は、フラクタル・コードと ＡＤＣＴコードとを比較するものである。

表　１ 標準テスト　ＲＭＳエラー　ＲＭＳエラー画像　１５　：　ＩＡＤＣＴコード　 フラクタル・コードゴールド・ヒル　５．７８　５．　９６バーバラ２　８．４ ２　１０．０４ このように、フラクタル近似のための上記の最小２乗法は、明らかにイメージ・ コーディングに対する実際的な試みである。この近似法は、その定数が線形時間 で見出すことができる１組の一次方程式を解くことにより見出され、従って本方 法は実現が容易である。このような計算のための時間は、探索プロセスに依存す る手法よりもはるかに予測し得るものと考えられる。変更可能なサイズの７２× ９０＝６４８０ブロツクで得ることができる圧縮の控えめの評価は、８：ｌであ る。このような圧縮においては、現在のテストは、このような早期の開発段階に おいて予期されるように、ＡＤＣＴコーディングにより得られる結果よりも劣っ た量的忠実度を呈する。最適化がフラクタル・コードの忠実度を改善し、より高 い圧縮率をもたらすことになり、またこのような展開は当業者には明らかであろ う。従って、フラクタル近似法はＡＤＣＴと比肩し得る。

しかし、この手法はまた、コーディングの複雑性と（ビクセルの総数に関する） イメージ・サイズとの間の直線的関係の利点をも持っており、これにおいてはイ メージ・ブロックを近似化する計算コストがブロックにおけるピクセル数と比例 する。Ｊａｃｑｕｉｎのフラクタル・アルゴリズムではコード化段階で探索が要 求されるが、復号は同一である。現在の手法は、各ブロックが線形時間でコード 化できかつ復号できるため、Ｊａｃｑｕｉｎのアルゴリズムよりも更に対称的で ある。

このように、本手法は、高速のコード化と非常に早い復号を持つ有効なイメージ 近似法として有望である。この手法は、コード化の効率が優先される用途に対し て、特に対話的状況において最も適している。ビデオ・メールは、その最も有望 な用途であることが証明され、運動するイメージを固定された区分方式でコード 化することができ、一連のイメージにわたるフラクタル定数の差分量子化は低ビ ツト速度を提供することになろう。本発明を具現する１つの構成においては、ネ ットワーク接続上の１つの従来のパーソナル・コンピュータと別の同様な装置と の間で、イメージを略々１２フレ一ム／秒で転送し得る。当業者にとって明らか な手法を用いる最適化により、略々６４キロバイトの接続容量がこのような用途 、更にはより高いフレーム速度に対しても充分であることが予期される。

上記のイメージ・コーディング手法が本発明によるフラクタル・コーディングの 方法の一用例としてのみ提示されることを理解すべきである。実際に、本発明の 方法は、本発明に関する下記の一般的理論を照合することにより判るように、非 常に広い応用範囲を持つ。

−Ｍ煎■論 バス・フラクタル変換（ＢＦＴ）は、１つ以上の連続的なあるいは離散的な関数 ｇと、１つの定義域部分と１つ以上の関数部分とに分けることができる反復関数 系として表わされる前記関数に対する近似値ｆとの間のエラ、−測定値ｄ　（ｆ 。

ｇ）を最小化する何らかの解決法である。

−例は、カラー成分Ｙ、　Ｕ、　Ｖ　（または、他の表示）を不変関数として規 定することにより１つのカラー・イメージに対する近似法である。

’　（ＸＩｎ　Ｘ２＋　０．−−　Ｘ１ｌ−１）が（Ｎ−１）個の変数の関数で あるとすれば、（ＸＩｎ　Ｘ２ｌ　−−−−ｘｓ−１＋　ｆ）が、Ｎ次元の反復 関数系により定義すル、１−とができるＮ次元の空間内の１つの点である。

オーダＭ（ｏｒｄｅｒ　Ｍ）の反復関数系（ＩＦＳ）Ｗは、Ｍ個の関数（ｗ＋： ｉ＝１．　２．、、、、Ｍ）の集合である。このＩＦＳは、下式の如き新たな関 数ｆ′へ変換するため関数ｆに対して用いられる。

もしｆ′＝ｆならば、この関数は不変であり、一義的な不変関数ｆは適当な収縮 性Ｗの条件下で存在することが文献に示されている。

ＢＦＴは、ＩＲ３を用いて不変関数ｆ　（ｘ＋＋　Ｘ２＋　、　−、−ＸＮ）と その定義域との両者について記述する。ＩＦＳが１つの定義域部分ｔと関数部分 Ｖとに分けられるならば、この不変関数は、 これは、「とは独立的な定義域部分であり、ｒ　＝ｖ　ｆ　（ＸＩ、Ｘ２１　、 　、　、　、ＸＮ−１）これが関数部分である。

一例として、１つの変数の２次元の単一値の不変関数である波形の場合は、定義 域は、−１≦Ｘ≦１であり得、２つの等しい領域へ分割される。この関数は、Ｘ およびｇの両方における多項式であり得る。これは、２次元における次数２のＩ ＦＳを提供する。

ｔ　＋　＝　ｘ　／　２　１　／　２　ｔ　２　＝　Ｘ　／　２　＋　１　／　 ２ｖ、＝ａｏ＋ａ、ｘ＋ａ２ｘ”、　、　ｖ２＝ｃ、＋ｃ、ｘ＋ｃ２ｘ”、。

＋ｂ、ｒ＋ｂ２ｒ”−、＋ａ、ｒ＋ｄ２ｒ”、。

Ｙ＝ｗ　（Ｙ）である不変関数は、音声の離散的サンプルか、あるいはある連続 関数に対する近似値であり得る。種々の値ａｌ＋　ｂＩｎ　Ｃ＋＋　ｄｌは、Ｉ ＦＳの関数部分のパラメータである。

所与の関数ｇ　（ＸＩｎ　Ｘｚ＋　９．　、　、ＸＮ）に対するＢＦＴを得るこ とで、エラーの測定値ｄｅｒｙ（ｆｌｇ）を定義する。

−例として、ｄｌＦＴは、［とｇのサンプル間の差の２乗和であり得、近似され るべき関数ｆおよびその変形ｗ（ｆ）にエラー測定値を加えると、ｅｍｐｔ＝ｄ ｓｐｙ　（ｇ、　Ｗ　（ｇ）　）ＢＦＴを得るため、ＩＦＳのパラメータＷ、α 、に関するＣの最小値を見出す。

この最小値は、ＩＦＳパラメータａ１に関するｄＩＩＦＴの導関数をゼロに等し くする一連の式を解（ことと対応する。即ち、α、に対してこのように得た解は ＩＦＳのＷＳ、Ｔを規定し、その不変関数Ｙがｇに対する近似値である。Ｗ　ｓ 　ｒ　Ｔはバス・フラクタル変換（Ｂａｔｈ　Ｆｒａｃｔａｌ　Ｔｒａｎｓｆｏ ｒｍ）である。

このような手法の更なる使用を例示するため、本方法が音声波形の如き波形の近 似に用いられる１つの方法の特定の一例について、図３に関して次に記述する。

このような近似が行われる他の定義域および（または）関数を用いる他の方法が あることを理解すべきである。

この場合、波形３０は２つの反復関数系Ｗ＋（ｇ）およびＷｚ（ｇ）により近似 化される。ここで、 （ｔ＋＝Ｘ／２　（ｔ、＝Ｘ／２＋ｔ。

Ｗ、（ｇ）＝　（Ｗ２（ｇ）＝　（ （ｖ、＝ａ＋＋ｂ＋Ｘ＋ｃ、ｇ　（ｖｚ＝ａ２＋ｂ、ＸＩＣ，ｇ問題は、ａ、ｂ 、ｃを決定することである。

この目的のため、加箕によって、略々図１２の式により示される如きであり、か つ更に図１３に示される如く表わすことができる図１１における式により示され るエラー測定値を定義する。次いで、図１４に示した如く微分を行う。最小値に おけるゼロに等しくうることで、ａ２＋　ｂ２＋　Ｃ２に対する非常に似た解で ある図１５に示されるａｌ＋　ｂＩｎ　ＣＩに対する解を与える。

これを「フラクタル」にするのはＣ３のみである。

図４および図５は、それぞれ音声「ｄＯ」と「８口」に対する音声と、種々のコ ーディング法（ｃｏｄｉｎｇ　Ｌｅｃｈｎｉｑｕｃｓ）によるコーディング後に 再生された音声との間の音声サンプルの長さに対する平均率ＲＭＳエラーＥＲＲ のグラフ表示である。図４においては、音声ｒｄｏＪが英語で発音された単語ｒ ｄｏｇＪの音声からであるが、図５においては、音声ｒａｎＪが同様に英語で発 音された単語「ａｎｄＪの音声からのものである。図４において、信号は発音さ れた２２０５０Ｈｚの音声の４０００個のサンプルであり、図５においては信号 は２５００個のサンプルである。カーブしは線形適合（非フラグタル）に対する ものであり、カーブＬＦは線形フラクタルに対するものであり、カーブＳＦは平 方フラクタル、カーブＣＦは立方フラクタル、ＳＣは標準的な立方（非フラクタ ル）に対し、またＣｘｙＦは立方Ｘおよびｙフラクタルに対するものである。

最良の結果は立方フラクタル・コーディングおよび立方Ｘおよびｙフラクタル・ コーディングにより得られることが判るであろう。

先に考察したものと「逆方向の」問題は、例えばイメージ自体の変形されたコピ ーのコラ−シュ（ｃｏｌｌａｇｅ）として１つのイメージを描写するフラクタル ・コードを発見することである。明らかに、例えば圧縮されたイメージの記録を 提供するためフラクタルが生成された時、このイメージを復元するためにある手 法が必要である。「順方向の」問題は、フラクタルのそのコードからのグラフィ カル・レンダリング（ｇｒａｐｈｉｃａｌ　ｒｅｎｄｅｒｉｎｇ）である。

反復関数系（ＩＦＳ）は、参考のため本文に援用されるＢａｒｎｓｌｅｙの研究 、例えば米国特許第４９４１１９３号および同第４０６５４４７号、および［至 るところフラクタル（ＦｒａｃＬａｌｓ　Ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ）Ｊ　（Ａｃａ ｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ、Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ、１９８８年）から周知のように、 圧縮マツピングによるイメージの変形された（例えば、縮小されあるいは回転さ れた）コピーのコラ−シュにより構成されたフラクタルを規定する。

ＢａｒｎｓｌｅｙおよびＤｅｍｋｏは有効な近似を非常に迅速に生成することが でき、かつ結局は完了し得る確率論的方法について記述している。この手法およ び他の周知の手法、例えば、決定的なアルゴリズム（Ｆｒａｃｔ、ａｌｓ　Ｅｖ ｃｒｙｗｈｃｒｅ、上記）は、無限に多くの点のコンピュータ操作されたｖｄｕ （視覚的表示装置：ｖｉｓｕａｌ　ｄｉｓｐｌａｙ　ｕｎｉｔ）上に表示を最終 的に生じることができた。しかし、無数の資源を必要とする。

比較的少ない資源（装備、時間、プログラムの複雑性）を使用する充分な近似法 が望ましい８このような近似法について次に提起する。即ち、ａ）どんなに小さ くともフラクタルの一部を含みかつ他を含まない各ビクセル（これは、フラクタ ルを網羅する最小限のビクセル・セットとなろう）を見出すこと、 ｂ）フラクタルの特定の比率（測度）を含む各ビクセルを見出すことこれらの近 似法は、レンダリングと呼ばれる。特定の比率は、適当なカラーまたはグレース ケール・レベルとして表示することができる。

本発明は、略々１つの７ラクタルを構成する最小数の数学的演算を行うアルゴリ ズムを提供する。更に別の形態のアルゴリズムは、カラーおよびグレースケール のレンダリングを提供する。

イメージのフラクタル・コーディングを生じる手法は、今日では公知であり、こ れ以上記述しない。

１つの公知の「順方向」アルゴリズムは、ランダム反復アルゴリズムである（上 記のｒＦｒａｃｔａｌｓ　ＥｖｅｒｙｗｈｅｒｅＪ参照）。このアルゴリズムに おいては、任意に選択された１つの初期点から、ＩＦＳ（上記）からランダムに 選択されたマツピングを用いることにより連続点が計算される。これらの点は、 フラクタルの「アトラクタ」を捨てる必要がある少数の手前の点だけ近づける。

点を計算することにより見出されたビクセルでアトラクタを覆うだけの反復数の 下限が計算されるが、明確な停止基準は存在しない。このため、アトラクタの充 分に迅速な描画を生じることができる。また、このアルゴリズムは、非常に拡大 されたフラクタルの小さな部分を多くの場合非常にゆっ（りではあるが描画する のに必要である。更に、このアルゴリズムは、最終的には実際に１つのアトラク タにおけるほとんど全てのビクセルを見出すことができる。ＲＩＡの弱点は、ス パイラルを生じるテストによって例示される。フラクタルは、（他のアルゴリズ ムから）５７５１８個のビクセルを必要とする。約６７００００回の繰返しの後 、本例では、およそ僅かに７３％が描画されたに過ぎない。１つの理由は、点を 計算する間、多数のビクセルが、頻繁に（３８１０６個のビクセルが照合されね ばならない時、１つのビクセルに対して２５５回まで）照合されたためである。

別の公知の形態は、決定論的反復アルゴリズムである（上記のｒＦｒａｃｔａＩ ｓ　ＥｖｅｒｙｗｈｃｒｅＪ参照）。これは、単一点ではなく組をなす点を使用 する。多くの繰返しの後、点の組がアトラクタに接近する。しかし、連続的な反 復のためには２つのバッファが要求される。点の組が離散的近似法で置換される ため、エラーが連続的な反復中に蓄積し、ある場合にはアトラクタ全体が構成さ れず、幾組かの点が決して生成されない。また拡大されたイメージ片はＤＩＡで は描画され得ない。

点ではな（明確にビクセルについて演算するアルゴリズムが用いられること、お よび典型的なビクセルの組のみが見出されることが提案される。この組は、有限 の時間内でこのように構成可能なように限定されよう。

この提案されたアルゴリズムである最小プロッティング・アルゴリズム（ＭＰＡ ）は、フラクタルの生成のための全ての変換の固定点（上記のｗ、）を見出すこ とで開始する。これらの点と対応するビクセルがプロットされる。値に＝１乃セ ルから形成される待ち行列の終りに置かれる。この待ち行列が空である時にプロ セスが終了する。

ＭＰＡの精度の上限は規定可能である。レンダリングＲＡは、どれだけ小さくと もアトラクタの一部を含む全てのビクセルである。ＭＰＡは、ＲＡに対する近似 である１組のビクセルを生成する。ビクセル■からＲＡまでの距離は下式の如く 定義される。即ち、 但し、すは面内のある計量、通常はユークリッド計量（Ｅｕｃｌｉｄｉａｎ　ｍ ｅｔｒｉｃ）である。

玄が計ｆｆ１ｄにおけるビクセルの直径である時、全てのビクセル且がＭＰＡに より生成され、 ρ（ｐ、ＲＡ’）≦δ／　（１−８） 但し、王はＩＦＳマッピングハの最大の収縮比である。

導入により最後のステートメントを２明することができ、プロットされたＲＡに 対する近接度と関連する。これは、近接理論と呼ばれる。

ＭＰへの性能は、シェルビンスキ（Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ）の三角形に基く事例 を用いて、下記の如く示すことができる。ＤＩＡを用いて、ＲＡにおけるピクセ ル数を推定することができる。ディスプレイのスクリーンは、１０２４Ｘ１０２ ４ピクセル（即ち、１０４８５７６ビクセル）を持ち、初期の設定はこの正方形 で、アトラクタに対する最も小さな囲みブロックである。各アフィン変換は、１ ／４の収縮性を持ち、その結果各反復毎にビクセル数の３／４を生じる。（ある いはまた、この構成は各反復時のビクセルの１／４を除去するものと見做すこと ができる。）ＤＩＡの９回の反復後、これ以上の反復してもこれ以上のビクセル を除去することがない。このため、ＲＡは、１０２４”Ｘ　（３／４）’＝７８ ７３２である。ＭＰＡは、１０１２５８ビクセル、必要とされる以上の約１／４ をプロットし、丸めエラー（ｒｏｕｎｄｉｎｇ　ｅｒｒｏｒ）の伝搬が不正−な 近似を生じる。しかし、Ｓ＝１／４であるため、プロットされるビクセルはＲＡ からの 以上にはならず、このため精度は良好なままである。

近接理論からの重要な結果は、「終了特性（ＴｃｒｍｉｎａＬｉｏｎ　Ｐｒ。

ｐｅｒｔｙ）Ｊおよび「最適性特性（Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ）」である。

［終了特性（Ｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ　Ｐｒｏｐｅｒｔｙ）Ｊ　ニアトラクタは 拘束された組ＲＡであり、このため、有限数のビクセルを含んでいる。ＭＰＡは 、有限数のビクセルをプロットする。ＭＰＡは、各ビクセルを１回だけプロット し、従って、このアルゴリズムは有限時間で終了することになる。

「最適性特性（ＯｐＬｉｏｎａｌｉｔｙ　Ｐｒｏｐｅｒｔｙ）Ｊ：ＭＰＡにより 構成されるレンダリング（Ｒｅｎｄｅｒｉｎｇ）は不変であり、即ち、どのビク セルの変換もこのレンダリングにおける別のビクセルを生じる。Ｐがこのレンダ リングにおけるビクセル数であるならば、要求されるプロット演算の最小数はＰ であり、不変性を確立するため必要な変換の最小数はＮ、Ｐ（ここで、ＮはＩＦ Ｓのオーダ（ｏｒｄｅｒ））である。ＭＰＡは、各ビクセルを一回だけプロット し、従って、１つのビクセルは１つのキュー（ｑ　ｕ　ｅ　ｕ　ｅ）にのみあり 得、このため、変換の合計数はまさしくＮ、Ｐとなる。このことは、ＭＰＡが最 適であることを示す：ＭＰＡの「コスト」はＣ（Ｐ）であり、ここでＣはビクセ ル計算のコストである。ＲＩＡの場合は、下限に対する「コスト」がビクセル計 算当たり同じコストに対してＣ（ＰｌｏｇＰ）であることが判る。

シェルビンスキ（Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ）の三角形の事例をＲＩＡ上方に継続す ることで、同数即ち１０１２５８の点プロット動作後に、ＭＰＡ性能の５６％を 達成するに過ぎない。ＭＰＡは、１０１２５８の点に達するのに３０３７７４回 の変換を必要とする。ＲＩＡの反復数（ＰＩｏｇＰ）に対する近似式は、ＲＩＡ に対して約１００万回の反復を完了することを示唆し、実際に１００万回の反復 において点の約９４％に達する。

ＭＰＡは、ある極端な場合において、完全なアトラクタを構成することができな い。ピクセル単位のマツピングを再定義することで、ある場合における問題を回 避することができる。ビクセルは、面内における点の組の２乗と見做すことがで き、これらの点の全てが画素化の前に変換される。更に多くの計算が必要とされ 、結果として得るアトラクタは充分に定義されない。それにも拘わらず、ＭＰＡ は一般的な用途には有利である。

フラクタルにおけるビクセルは、本文では［密度（ｄｅｎｓ　ｉ　Ｌｙ）Ｊとし て示される特性を持ち得る。ＲＩＡを用いて、ビクセルが照合される頻度を示す ヒストグラムを生じることができる。密度の測度は、例えば、ビクセルに割当て られるグレースケールまたはカラー値を表わすために用いることができる。確率 Ｐ、をＩＦＳのマツピングＷｋに割当てることが知られている。これは、レンダ リング中に、単純な２進イメージより多くの反復を含む。ＭＰＡは、単に各ビク セルを一回プロットするに過ぎず、従ってこの手法を用いることができない。

ＤＩＡは、この手法の一形態を用いることができる。イメージに対する測定、即 ち「質量」の合計値は既知であり、適応ＤＩＡがビクセルにおける測定の最初に 仮定された分布について演算する。各反復毎に、この質量がビクセルに再分布さ れて、確率Ｐ、により加重される。確率が１．０まで加算する限り、測定（即ち 、「質量」）の合計値は再分布される間保留される。これは、一定質量アルゴリ ズム（ＣＭＡ）である。（Ｄ、Ｍ、Ｍｏｎｒｏ、Ｆ、Ｄｕｄｂｒｉｄｇｃおよび Ａ、Ｗｉｌｓｏｎの「自己アフィン・フラクタルの決定論的レンダリング（Ｄｅ ｔｅｒｒｎｉｎｉｓｔｉｃ　ｒｅｎｄｅｒｉｎｇ　ｏｒ　５ｅｌｆ　ａｆｆｉｎ ｅ　ｆｒａｃｔａｌｓ）Ｊ　（ＩＥＥＥ　ＣＣｏ１１ｏｑｕｉｕ　ｏｎ　Ｆｒａ ｃｔａｌ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ｉｎ　Ｉｍａｇｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、 １９９０年）参照）。以後の反復におけるビクセルに対する繰返される照合は、 レンダリングに対してカラーを付加し得る。例えば、フラグタルのカエデ葉（当 技術において広（用いられる周知のテスト・イメージ）をカラーに対する各ピク セル毎に０から２５５間の実数でレンダリングする２５６Ｘ２５６アレイについ て考察しよう。「カエデの葉」の事例の場合、１５回の反復後に、合計２０４４ ０１回の測度の再分布が生じて、２４３３０個のビクセルが全て照合される。２ １回目の反復時に、合計３５０３８１回の測度再分布により、２４より少ないビ クセルが最大で８ビツトの解像度の値を変化する。このため、レンダリングは有 効に完了される。例えＣＭＡを用いても、重なる部分のコラ−シュが存在する時 は、測度の挙動は予測し得ない。従って、ＣＭＡが一般にＲＩＡより良好である が、更に有効な方法が必要とされる。

フラクタル関数（γ）は、グレースケールまたはカラーをアトラクタ上に表わす ための実際的な方法を提供する。フラクタル関数は、タイリングに対して別の次 元を加えるものとしてＩＦＳにより規定されるタイリングのため照合され得る。

例えば、フラクタル関数は、タイリング面にわたって存在する面となる。先に述 べたように、全てのフラクタル定数が計算される必要があり、これはこれまでは 行われなかったか、あるいは非常に近似的に行われてきた。

グレースケールを規定するフラクタル関数を含むフラクタルを描画するため、選 択されるレンダリング・アルゴリズムが３次元で用いられる。簡単な方法は、イ メージのタイリングが重ならないこと、またフラクタル関数がこれにより単一値 を持つことを仮定することである。従って、簡単な方法は、その１つの点（Ｘ。

ｙ）における１つのビクセルにヒツトすると同時に、ｆ　（ｘ、ｙ）がビクセル の値であると仮定することである。この選択されたグレースケールは、１つのピ クセル内に生じる多くのものの１つに過ぎず、このビクセル内の平均的グレース ケール・レベルに近いかそうでないかである。

ＭＰＡは、僅かな修正を必要とする。マツピングＷ、の固定点が計算されて、１ 、の固定点とこれらの点における工の値とを与え、この値が対応するビクセルへ 割当てられる。定義域部分（上記のし、またはＴ、）のアトラクタが次に生成さ れる時、関数部分（上記のＶ、または＋１．）により与えられる各ビクセルが１ つの確率値を割当てられる。このため、１つのビクセルの割当てられたグレース ケール値は、このビクセル内のある点におけるフラクタル関数の値である。

この最後の手法は、一般には有効ではあるが、あらゆる場合、例えば、エツジの 再構成における高いエツジ付近の値、あるいはタイルが高いフラクタル指数を持 つ場合には満足し得るものではない。この手法は、グレースケールの任意の選択 を用いて、僅かにその回転または反射において異なる２つのイメージ・ブロック をレンダリングする際に異なる結果を生じ得る。効率を維持しながらＭＰＡを強 化する手法について次に述べる。

図１に示される如き１つの点で接して原点を中心とする４つのタイルからなる矩 形ブロックについて考察しよう。（この分析は、当業者によって更に一般的な矩 形に対して容易に拡張されよう。） 中心（ｉ、ｊ）を持つ各ビクセル毎に、グレースケールｐ（ｉ、ｊ）をビクセル 上のフラクタル関数の平均値となるように定義する。即ち、親のブロックを覆う ４つのタイルについて加算すると、下式の如き親のブロックにわたる正確にフラ クタル関数の積分である図１６の式を生じ、これはまさにブロックの面積である 。

イルの各々にわたって積分される。同様に、工はへの不変条件の示唆に関してＭ 回の変換ｔ□（ｔＢ（、、、（ｔｉＭ（Ａ））、、、））のどれかの成分につい て積分される。

Ｍは、これらタイルｔｈ（Ａ）の数がビクセルの数と略々一致するように選択さ れ、即ち、ＭはＩＯｇＪＪ’Ａｄｘｄｙに最も近い整数である。次に工の積分は 全てのタイルｔｂ（八）に対して評価され、使用する旦および４の正しい値が複 合マツピングを計算することにより決定される。従って、１つのビクセルのグレ ートーンが、これが交差するタイルについての積分の加重和であり、この加重は 交差の大きさに比例する。人がその辺が２の幕である正方形である時、各タイル は１つのビクセルに正確に一致して、このように当該手順が正確である。一般的 な矩形の場合には、ビクセルが方形であるため正確さは保証されない。それにも 拘わらず、この手順は非常に正確な状態を維持する。

図１８は、「疑似コード」における手順を要約している。

−例は、２５６の強度レベルを持つＹＵＶ形態における７２０Ｘ５７６ビクセル の標準的イメージ「ゴールド・ヒル」のオリジナルである。カラー成分（ｔｒｖ ）は、強度（Ｙ）の水平分解能の半分にディジタル化される。Ｙイメージは、３ つの成分に個々に適用される最小２乗法（上記）によって近似化される。その結 果は、最初に述べた強調を用いるＭＰＡによって描画されてトーン・レンダリン グ精度を改善する。タイリング方式は、変更可能なブロック・サイズを持ち、原 点は必ずしもブロックの中心にはない。（この手法については、本明細書のどこ かに記載されている。）このように、タイルはまたサイズが変化し得る。ブロッ ク数は、Ｙ成分に対して６４８０でありかつＵおよびＶの各々に対して３２４０ であり、これはあたかも均一な８×８ピクセルの親ブロックが用いられるかの如 き合計となる。イメージの結果として描画されたフラクタル再構成は、おそらく は画像にわたってできるだけ均一にエラーを分散することにより改善される。

先に述べたＭＰＡの簡単な形態は、イメージに対する更に一般的な矩形状ブロッ ク方式に対して適用され得る。フラクタル関数を記述するマツピングの定義域部 分が親のブロックをそれ自体に含まれない１つのタイルヘマップするならば、イ メークが完全にタイル状に配列されることになるが、親のブロックはどこでもよ い。従って、不変マツプがイメージ周囲の複雑な軌跡に従うので、固定点は容易 に規定され得ない。ＭＰＡの簡単な形態で描画するためには、図１９に示される アルゴリズムが用いられる。このアルゴリズムは、画像の領域が判らなくならな いように種ビクセル値を充分に保証する。

大きさおよび（または）形状、およびこのような分割から生じる最適化において 等しくない定義域へのイメージ・ブロックのスプリット即ち分割については先に 触れた。

本発明は、可変ブロック・サイズでの操作、およびイメージの局部的な特性を勘 案するブロック・サイズを選択するための手法を提供する。特に、コーディング 法において局部的に生じるコーディング・エラーを前取て予測するイメージ処理 手法が提供される。例えば、比較的大きいあるいは最大のエラーが生じ得るイメ ージの領域においては、より小さなブロックがこのようなエラーを減じるが、よ り大きなブロックはより小さなエラーが生じ得る領域に対して用いられる。均一 なブロック・サイズにおけると同じ合計数のブロックを用いることにより、エラ ーが再分散され、圧縮損失が僅かかあるいは損失なしに忠実度が改善される。

このため、同じ忠実度に対してより大きな圧縮比を可能にする。また、ＲＭＳエ ラーまたは信号対エラー比の如き尺度により測定されるエラーを低減することが できる。

このように、ディジタル・テレビジョン・システム、情報の検索、および他の記 憶および送信システムに対するディジタル的に圧縮されるブロックのコード化イ メージの忠実度における改善が達成し得る。

一般に、当訪手法は、コード化イメージにおけるエラーの分布または他の品質の 分布を予測し、この予測を用いて区分を決定することによって操作される。１つ の形態では、本手法は、帰納的に構成される有限インパルス応答（Ｆ　Ｉ　Ｒ） フィルタ、あるいは可動平均フィルタ、あるいは無限インパルス応答（ＩＩＲ） フィルタの如きディジタル・フィルタを用いる。定数列に基＜ＦＩＲは、コンピ ュータが図２０における式に従ってエラー、Ｃ１を予測し得るように構成される 。別のフィルタは、イメージの全であるいは一部の変換の定義域において構成す ることができる。これは、イメージのフーリエ変換、あるいは離散的余弦変換、 あるいは他のディジタル変換でよい。フィルタされたイメージは、逆変換を受け て誤りまたは品質イメージの測定を生じる。次に、この測定を用いてイメージの 最初の分割即ち区分を制御して、予測エラーまたは他の測定を等しく、あるいは 他のある望ましい方法でイメージが分割される各部間へ分布させる。各部は、更 に同じように分割され、このような分割は要求される段階数だけ継続される。

本発明の用途の一例として、標準的なテスト・イメージ「ゴールド・ヒル」が固 定された大きさ、８Ｘ８ビクセルのブロックを用いてコード化された。イメージ の再構成後の全てのブロックにわたるＲＭＳエラーの平均は、７．４３であった 。ソーベル・エツジ演算子（Ｓｏｂｅｌｌ　ｅｄｇｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ）が可 動平均フィルタとして用いられ、８Ｘ８ブロツクにおけるエラーのプロットを生 じることが可能であったエツジ・イメージを生成するためイメージに適用された 。このエラー予測は、予測されたエラーを区分された部分へ均等に分布させるよ うコーディングするために、イメージを変更可能なサイズのブロックへ区分する ため用いられた。結果として得たＲＭＳエラーは、５．７５の低減値にあり、画 像の品質は忠実度が改善されたと判断された。このソーベルの装侭はまた、固定 された８×８ピクセルのブロックの要件が緩和されることを前提に、ＪＰＥＧＡ ＤＣＴ圧縮法に対しても適用し得る。

先に述べた手法は、イメージ圧縮のための逆方向および順方向の操作の改善を可 能にする。アトラクタを構成するための決定論的図形アルゴリズムは、効率を改 善することができる。精度における控えめの上限は、終了および最適化に照らし て確立することができる。

アトラクタに対するグレースケールの描画は、フラクタル関数の使用による手法 によって改善される。アトラクタの場合は、フラクタル・コード化されたイメー ジの再構成におけるビクセル値の矩形の正確な割当てが可能である。

Ｆｉｇ、３ ＦＩＧ、Ｓ Ｆｉｇ、７ Ｆｉｇ、８ ＝〉 Ｆｉｇ、１２ Ｆｉｇ、１３ Ｆｉｇ、１４ Ｆｉｇ、１６ Ｆｉｇ、１７ ブロックエリアと積分関数を計算（図１６の式）犬の全てのビクセルを零１こセ ・ソト だけＰのグレースケールを増加 Ｐの終わり ＫＭの終わり に１の終わり Ｆｉｇ、１８ 補正書の翻訳文提出書 （緋詐津箪１８４冬の８） 最初の位置の組を捜す これらの位１１こ対応するピクセルをプロットこれらの位ｌでキューを初期化 反復する キューの最初からビクセルを取る 平成　６年　８月２９−回

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １．データを定義域へ分割することと、データと変換の使用により得るデータに 対する近似との間のエラーを最小化するように定義域をデータに関連付ける１組 の変換を決定することと、前記変換を特徴付ける一連の量子化されたフラクタル 係数の式を提供することとを含む、データのフラクタル・コーディング方法。 ２．前記データが種々の現象を表わす種々の物理的形態についての情報である請 求の範囲第１項記載の方法。 ３．前記データが、イメージ、音声、手書きおよび物体の形状を表わす情報の少 なくとも１つと関連する請求の範囲第１項記載の方法。 ４．変換が少なくとも２つの部分において特徴付けられ、少なくとも１つの部分 が１つの定義域を示し、かつ少なくとも別の（開数）部分がその特定の定義域ま たは特質を連想し得る測定に対する値を示す、請求の範囲第１項記載の方法。 ５．前記変換の紐が、１つ以上の関数ｇ（連続的であるか離散的であるかに拘わ らず）と、決定論的フラクタルに対する標準的表示である、いわゆる反復関数系 （ＩＦＳ）として表わされる関数に対する近似ｆとの間のエラーｄ（ｆ，ｇ）を 最小化する解と対応する、請求の範囲第１項記載の方法。 ６．前記１ＦＳが１つの定義域部分と１つ以上の関数部分とに分割される請求の 範囲第５項記載の方法。 ７．前記変換が、分析的に、かつ望ましくはサーチによることなく決定される請 求の範囲第１項記載の方法。 ８．前記変換係数が１組の一次方程式から見出される請求の範囲第７項記載の方 法。 ９．前記変換係数が線形時間で得られる請求の範囲第７項記載の方法。 １０．前記変換係数が、コーディングの複雑性とイメージ・サイズとの間の線形 関係の結果である請求の範囲第７項記載の方法。 １２．提供される一連の量子化されたフラクタル定数が、ストアに保持可能であ り、あるいは送信経路に送出可能である請求の範囲第１項記載の方法。 １３．記憶されまたは送信された係数が、適当に検索可能でありあるいは受信可 能であり、これからデータの表示またはシミュレーションが再生可能である請求 の範囲第１２項記載の方法。 １４．前記変換の組が、データに対する少なくとも２乗近似法によって決定可能 である請求の範囲第１項記載の方法。 １５．イメージがイメージ・ブロックへ分割され、かつ各イメージ・ブロックを 表わすデータが１組のアフィン変換によりイメージ・ブロックと開運つけられる 複数の定義域へ分割可能である、イメージのフラクタル・ブロック・コーディン グのための請求の範囲第１項記載の方法。 １６．各イメージ・ブロックが略々矩形状である請求の範囲第１５項記載の方法 。 １７．前記定義域のサイズおよび形状が相互に変更可能である請求の範囲第１６ 項記載の方法。 １８．各イメージ・ブロックが、イメージ・コーディングの目的のため複数の等 しい重ならない定義域へ分割可能である請求の範囲第１５項記載の方法。 １９．１つのイメージ・ブロックの異なる定義域間のエラーの分布を最適化する ように、あるいは該イメージ・ブロックのエラー全量を低減するように、前記定 義域が異なるサイズである請求の範囲第１５項記載の方法。 ２０．前記ブロック・データが、グレースケール・データならびに位置データを 含むグレースケール・イメージのコーディングのための、前記変換の組が前記位 置データに基いて、かつ前記グレースケール・データに基いて決定される、請求 の範囲第１５項記載の方法。 ２１．前記ブロック・データが、カラー・データならびに位置データを含み、前 記変換の組が位置データと、少なくともカラー・イメージのカラー・データの両 方に基いて決定される請求の範囲第１５項記載の方法。 ２２．データを定義域へ分割する区分手段と、該データと、変換の使用により得 られるデータに対する近似との間のエラーを最小化するように前記定義域をデー タに関連付ける１組の変換を決定する変換手段と、前記変換を特徴付ける一連の 量子化フラクタル係数の式を提供する量子化手段とを備える、フラクタル・コー ディングのための装置。 ２３．イメージ・データを１２：１のオーダに圧縮する請求の範囲第１項記載の イメージをコーディングするシステム。 ２４．前記計算がイメージのピクセル数と正比例するイメージ・コーディング・ システム。 ２５．縮小された形態で記憶または送信を行うため情報を近似化する方法におい て、前記情報を表示する関数を提供するステップと、これから前記縮小形態を定 義域部分と関数部分とを持つ反復関数系として得るステップとを含む方法。 ２６．フラクタルをそのコードから順方向に処理する方法において、該フラクタ ルに必要な全ての変換の固定点を得て、各点に対する丸められた近似ピクセルを 形成し、該ピクセルを前記フラクタルのアトラクタに対する有限近似としてプロ ットすることを含む方法。 ２７．唯一つのピクセルが丸められた各近似毎にブロットされる請求の範囲第２ ６項記載の方法。 ２８．計算数が、近似における有限数のピクセルと直線的に関連させられる請求 の範囲第２６項記載の方法。 ２９．フラクタル関数に対しては、前記ピクセル内の点に対して計算された関数 の第１の値を１つのピクセル全体へ割当てることを含む請求の範囲第２６項記載 の方法。 ３０．ピクセルに対するフラクタル関数の全値の密な近似化に対しては、ピクセ ル数に略々等しい整数個のタイル（Ｍ）を選択し、Ｍ個のタイルにおけるフラク タル関数の積分を評価し、ピクセルに対する関数の値をこれが交差するタイルに おける前記積分の加重和として決定することを含み、前記加重は前記交差の大き さに比例する、請求の範囲第２６項記載の方法。 ３１．完全にタイル状に配列されたイメージが、少なくとも１つがタイルに対す る親ブロック内に無いタイル単位に並べられ、イメージの全ての部分を照合させ るのに充分な量の種ピクセル値を提供することを含む請求の範囲第２６項記載の 方法。 ３２．前記定義域が全て１つのサイズではなく、該定義域における測定値を等し くするため、サイズがデータにわたる測定位に従って選定される請求の範囲第１ 項記載の方法。 ３３．前記測定値が、コラー推定出力を提供するため、フィルタにデータを通す ことにより決定されるコーディング・エラーの予測である請求の範囲第３２項記 載の方法。 ３４．請求の範囲第１項または同第２２項のいずれかにおけるデータのフラクタ ル・コーディングにより記録される記憶媒体。 ３５．全てが前記アトラクタの一部を含む有限数のピクセルを決定する手段と、 １回ではなく有限数の各々をプロットする手段とを含む、フラクタル・コード化 されたデータを復号する整置。 ３６．請求の範囲第１項または同第２２項のいずれかによるデータのコーディン グと、同第２６項または同第３６項のいずれかによるコーディングの復号を含む 、データのフラクタル・コーディング、コード化されたデータの記憶および（ま たは）送信、および前記記憶および（または）送信後の前記フラクタル・コーデ ィングの復号のためのシステム。