JPH0727579B2 - グラフィクス処理装置及び方法並びにピクセル・メモリ装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 A.産業上の利用分野 本発明は、広くコンピュータ・グラフィクスとソリッド
・モデルの生成に関し、特にコンストラクティブ・ソリ
ッド・ジオメトリ（CSG）において単純なプリミティブ
・ボリュームのプーリアン・コンビネーションと規定さ
れるソリッドの、実物に近い陰影の付いたイメージを生
成する装置に関する。

B.従来の技術及びその課題 ソリッド・モデリング・システムは、製造パーツおよび
製造プロセスのデザインにおいてますます重要な役割を
果たしつつある。上記システムは、ユーザに対して、デ
ザイン活動のコストを相当に削減するインターラクティ
ブなデザイン・ツールおよびデザイン・サイクルを短縮
し且つ最終製品の品質と製造プロセスの効率を向上させ
る解析ツールを提供する。

ソリッドは、タイプ、位置、ソリッドのすべての面の次
元のリストとして、境界によって記述される。しかしこ
のような記述は一般に、人間にとってあまりに冗漫であ
る。人間は、先に定義されているサブソリッドを組み合
わせたり変更したりすることによって、階層的にそして
漸進的にソリッドをデザインすることを好む。このよう
なサブソリッドの組み合わせは、多くはブーリアン・セ
ット・セオレティック・オペレーションによって正確に
指示される。たとえば、２つのパーツを組み立てて１つ
のソリッドを作ることは、数学的にはセット・セオレテ
ィック・ユニオン（和）としてモデル化することができ
る。スロット・ホール・ボスのような特殊な幾何学的フ
ィーチャを得るため形状に手を加えることは、しばしば
修正対象のソリッドと、該ソリッドに付加したりそれか
ら削除したりするシリンダやブロックなどの単純なプリ
ミティブ・ボリュームとの間の、セット・セオレティッ
ク・ユニオンおよびディファレンス（差）によって定式
化される。

ソリッド・モデルは、しばしば、ミリングやドリリング
によるマテリアル除去のような、ある加工操作の幾何学
的影響を表現し解析するのに使用される。そのような幾
何学的影響もまた、セット・セオレティック・オペレー
ションによって、たとえばパーツとカッタによってスイ
ープされる領域とのディファレンスとして、表現可能で
ある。このような一連のオペレーションを加えること
は、マシニング・プロセスをシミュレートする効果的な
方法である。カッタの軌跡が与えられれば、ソリッド・
モデラを使うことによって、カッタがフィクスチュアと
衝突しないことを確かめることができ、カッタのモーシ
ョンごとにどれだけのマテリアルが取り除かれるかを計
算することもできる。このような解析は、効率のよい、
そしてエラーの生じない製造プロセスを計画する上で重
要である。解析を行うためには、ソリッド同士のブーリ
アン・セット・インターセクション（積）を計算し、か
かるインターセクションが空か否かをチェックする能力
が要求される。

同様に、パーツの組立可能性は、ソリッド・モデラを使
って、指定された形状および位置公差に従って、組立対
象となる各パーツのモデルを数多く作成し、どのような
場合にモデルが衝突するかを判断することによって解析
可能である。一般に、２つのソリッドが衝突（干渉）す
るのは、それらのセット・セオレティック・インターセ
クションが空ではない３次元集合であるときに限られる
と考えられている。

マシニング・プロセスのシミュレーションを含む多くの
アプリケーションでは、２つの表現（レプレゼンテーシ
ョン）によって同一のシステムが決定されるか否かにつ
いての判断が要求される。たとえば、ストックに対する
金属切削の結果をシミュレートして得られるソリッド・
モデルが、所望の最終パーツのソリッド・モデルと一致
することを確認することが重要である。

このような重要なアプリケーションでは、パーツやツー
ルを表現したり、加工効果を反映したりすることのでき
るソリッド・モデルは、セット・セオレティック・ブー
リアン・オペレーションによって、サブソリッドつまり
プリミティブ・ボリュームを組み合わせることによって
指定することができる。そのようなオペレーションの例
としては、セットのユニオン（和）、インターセクショ
ン（積）、およびディファレンス（差）がある。かかる
ソリッドは、コンピュータ・メモリの中に２進木（バイ
ナリ・ツリー）表現の形で効率よく記憶することのでき
るセット・セオレティック・ブール式によって表現可能
である。第１図は、２つのサブソリッド（２、３）のユ
ニオンであるソリッド（１）の２進木表現を示したもの
である。サブソリッド（３）は、ブロック・プリミティ
ブ（４）とシリンダ・プリミティブ（５）のディファレ
ンスである。このようなツリーの形状（フォーム）は、
ブール式（２）＋（（４）−（５））のパーシング（pa
rsing）によって直に得られる。ツリーのルート（ソリ
ッド１）は、ブール式によって規定されるソリッドに関
連づけられている。ツリーの内部ノードは、ブール式に
対応し且つサブソリッドに関連づけられている。ツリー
の葉はプリミティブ・ボリュームに関連づけられてい
る。プリミティブ・ボリュームは概して、比較的単純な
代数学的半空間、すなわち３次元座標系において単純な
多項式で表される関数が正ではない値をとる領域、のイ
ンターセクションである。たとえば、原点を中心とする
半径Ｒのボールは、関数x²＋y²＋z²−R²≦０によって規
定される半空間である。任意に位置づけられ且つ方向づ
けられたプリミティブ・ボリュームは、剛体運動の変形
（rigid motion transformation）、つまり回転と並進
の組み合わせ、および簡便な局所座標系で規定された合
同プリミティブ・ボリュームによって記述することがで
きる。単純なプリミティブ・ボリュームは、球、シリン
ダ、コーンなどのタイプ、および半径、長さ、頂角など
のイントリンシック・パラメータによって表わすことが
出来る。かかるツリーは、コンストラクティブ・ソリッ
ド・ジオメトリ表現として知られており、以下ではCSG
と略す。

プリミティブ・ボリュームの位置や寸法、つまりイント
リンシック・パラメータは、CSGツリーによって表され
るソリッドの全ファミリ中の特定メンバーを特徴づける
数個の１次パラメータによって表現することも可能であ
る。したがって、このようにしてパラメータ化されたCG
S表現は、その寸法が公差限度内で変化し得るパーツの
組立をモデル化するのに便利であり、よって上述の問題
をモデル化して解くのに用いることができる。

デザイン活動は、一連のステップに分解すると好都合な
場合が多い。つまりサブソリッドのマージによって、あ
るいは幾何学的フィーチャ、ブレンド・フィレットなど
の細部を追加して変更することによって、最終的なソリ
ッド・モデルを段階的に作っていくのである。しかしこ
ういった複雑なプロセスでは、人間のミスはまず避けら
れず、多くの場合、デザイナがステップごとに結果をチ
ェックし、必要なら調整を行うという試行錯誤過程にな
る。そのような調整は、パラメータの値の変更に限られ
る場合もあり、特定のCGSツリーの構造を修正しなけれ
ばならない場合もある。幾何形状をデザインする対話的
プロセスの能率は、最終的には、視覚による確認に大き
く依存する。デザインが、表示装置上である特定のデザ
インまたは調整ステップの結果を直ちにテストできなけ
ればならないのである。CGSパラメータや構造の変更結
果がスクリーンに直ちに反映されるようにするだけでは
なく、デザイナが、対話的手法により、表示オブジェク
トを回転させたりズームしたりすることも可能でなけれ
ばならない。実用性を考慮すれば、表示されたイメージ
は、曖昧さのない明瞭なものでなければならない。この
点に関していえば、表示結果は、ソリッド表面の反射光
の強度を表示することで重要な形状や方向に関する情報
が伝えられる陰影付きイメージによって向上する。陰影
を正確にモデル化することによって、リアリズムと視覚
的な手がかりが加わる。ただし、シャドウ・モデリング
は、パーツのデザインや製造プロセスの解析に必須であ
るとは、一般には考えられておらず、ここでも詳細には
ふれない。

上述のように、組立解析および製造プロセスのシミュレ
ーションは、ソリッド干渉の反復検出に基づくものであ
り、これは、２つのソリッドのインターセクションが空
集合に相当するか否かのテストを伴う。また該シミュレ
ーションは、ソリッド同士のディファレンスの反復検出
に基づくものでもあり、これには、２つのソリッドのシ
ンメトリック・ディファレンスが空集合に相当するか否
かのテストが含まれる。このようなテストは、ソリッド
が複雑な場合は視認によっては実施できない。またソリ
ッドが単純な場合でも、解析が繰り返しの多いものであ
るために、自動化が必須条件になる。したがって、ここ
で重要なことは、ディファレンスや干渉を検出するタス
クを、コンピュータ・システムによって効率的かつ自動
的に行うことである。

複雑なCSGモデルから陰影付きイメージを生成するにあ
たっては、このプロセスが大量の演算とデータ処理を伴
うという問題がある。汎用コンピュータで実行されるシ
ェーディング・プログラムは、実行速度が遅すぎて対話
的デザインには適さず、このプログラムを使うことは、
デザイナの時間を有効に使うことにはならない。表示タ
スクの一部を実行する専用ハードウェアが一般に入手で
きるが、これはCSGモデルの処理には適さない。ほとん
どの場合、こういった専用ハードウェアは、ソフトウェ
アによる前処理と組み合わせなければならず、その場合
は、専用ハードウェアの性能は、対話的デザインに許容
し得る限度以下に落ちる。

ここで、本発明によるメリットをより明確にするため
に、ソリッド・モデルの陰影付きイメージを形成するた
めに開発された手法について説明する。説明から明らか
になるが、このような手法を汎用コンピュータに実施し
て得られる性能は、対話的デザインには適さない。ま
た、特殊用途向けハードウェアによる手法の欠点につい
ても述べる。

陰影付き平面や曲面のイメージを生成する機能は、グラ
フィック・ワークステーションで利用できる。これは、
GouraudシェーディングあるいはPhongシェーディングを
用いて多角形を塗りつぶす手法を提供する。ソリッド・
モデラのソフトウェアが、空間内の多角形の角の座標な
ど、ソリッドの各面を簡潔に記述し、ワークステーショ
ンが、面の陰影付きイメージを表示スクリーンに描く。
色と強度は、ユーザが光源の位置とモデル空間内の視点
とを定義していれば、面で反射される光の量を示すため
に選択される。ユーザは、視点の位置を変えることで、
たとえば表示されたオブジェクトの背面を確かめたり細
部を拡大したりできる。

このようなシステムでは、表示スクリーンが多数のピク
セルすなわち画素に分けられている。面の陰影付きイメ
ージをスクリーンに表示するためには、面が投影される
ピクセルを適宜色付けしなければならない。投影先のピ
クセルは、オブジェクト空間内のスクリーン・モデルを
用い、そのスクリーン・モデルを、実際のスクリーンの
１ピクセルに関連する小さい四角形に分割して決定され
る。第２図からわかるように、面の一点は、モデル空間
において、対応する点と視点とを結ぶ線が、対応する四
角形においてスクリーン・モデルと交わる場合は、ピク
セルを“カバー”する、つまりピクセルによって面の一
点が表示される。面が表示されると、カバーされたピク
セルに前に付けられた色は捨てられる。あるピクセル
は、ソリッド・モデルの数個の面の投影によってカバー
できるが、表示されるのは視点に最も近い可視面だけで
あり、“隠面”は消去される。このような隠れた面また
は表面を消去する手法はいくつか知られている。

前面や背面については（第3a図ないし第3d図参照）、面
の内側の各点において、法線はソリッドの外側に向けら
れる、と想定した手法がある。視点が与えられると、モ
デルの各面は、分離した２つのセット、すなわち前面か
ら構成されるセットと背面から構成されるセットに分け
られる。このように分ける際には、球などの曲面を、分
離したサブセットに分割しなければならない場合があ
る。前面の各点において、法線は、視点の方向へ向けら
れ、そのとき法線と視点に対する方向との角度は90°よ
り小さい。背面の各点において法線は、視点から離れる
方向へ向けられ、そのとき法線と視点に対する方向との
角度は、90°に等しいかまたはより大きい。ソリッド・
モデルでは、背面は見えない面である。面がすべて平面
である多面体モデルの場合、従来のほとんどのシステム
は、前面と背面を自動的に区別し、前面だけを表示する
ようにという指示を受け付ける。凸面モデルの場合各ピ
クセルは、多くとも１つの前面でカバーされる。その結
果、凸面モデルのイメージには、前面を表示するだけで
陰影が正しく付けられる。

しかし、第４図に示すように、凸面以外のソリッドの場
合は、表示スクリーンにおける数個の前面の投影像がオ
ーバラップし、処理された面が、たとえ前に処理された
他の面によって部分的にか全体的に隠されてもスクリー
ンに表示されることがある。

可視面だけを表示する最も簡単な方法は、可視面がさえ
ぎる面の後に可視面を表示するようにすることである。
この方法では、各面は、第４図に示すように、後方から
前方へ表示できるよう、よって、さえぎられる面よりも
視点に近い可視面が最後に表示されるように、順序付け
られる。このような順序付けは、視点に依存しないバイ
ナリ・スペース・パーティション（BSP）のツリーから
導かれる。ただし、BSPツリーの構造では、演算が多く
なり、ソフトウェアによる前処理が必要になる。そして
これは各面の分割を伴うことである。したがって、この
方法は、リアルタイムで対話的モデル化を行うシステム
には適さない。

このBSPツリーの前処理ステップをなくそうとする場
合、奥行バッファすなわちＺバッファを用いれば、可視
面を各ピクセルに対して自動的に選択できる。このＺバ
ッファ方式では、各ピクセルはＺバッファ内の格納場所
に関連づけられる。Ｚバッファの内容は、現在表示され
ている点の奥行であり、代表的な奥行は、視点と表示点
との距離で表される。所定の表示ピクセルに新しい点が
表示されるごとに、投影される点の奥行が、所定のピク
セルのメモリ位置に格納された奥行と比較される。新し
い点が前面にあれば、すなわち、その奥行が、ピクセル
のメモリに格納されたものより小さい場合、新しい点が
表示され、ピクセルのメモリが更新されるので、このメ
モリに新しい点の奥行が反映される。他の場合、新しい
点は無視される。すなわち、新しい点は、すでに表示さ
れている点の背後に隠れるので見えなくなる。

ある面について、各ピクセルに投影される各点の奥行の
値を生成するプロセスは、スキャン・コンバージョンと
呼ばれる。代表的な奥行値は、ピクセルとピクセルとの
間で一定の奥行の増分を用いたスキャン・ラインの順序
で生成される。本発明との関係で以下に述べる方法で
は、面によってカバーされない各ピクセルに、奥行の省
略時の値（デフォルト）が割り当てられる。このデフォ
ルトは、Ｚバッファで表現可能な最大奥行または最小奥
行であり、最大／最小は面の役割によって決まる。

この方法を、複数の点をａ、ｂ、ｃとして第5a図ないし
第5d図に示す。第5a図において、各ピクセルの強度は、
背景の強度に等しく設定され、Ｚバッファに格納される
距離は初めに、無限大または一般に大きい値に等しく設
定される。第5b図では点“a"が処理される。強度は、点
“a"での反射強度に等しくされ、Ｚバッファに格納され
た対応するピクセルの距離は、視点から点“a"への距離
に等しくされる。第5c図では点“b"が処理される。“b"
までの距離は“a"までの距離より小さいので、点“b"が
表示され、強度は、点“b"での反射強度に等しくされ
る。さらに、“b"の奥行がＺバッファのメモリに格納さ
れる。第5d図では点“c"が処理される。Ｚ軸に沿った点
“c"までの距離は、その時点でＺバッファ・メモリに格
納されている点“b"の距離より大きいので、点“c"は無
視され、この点の強度は結局、点“b"の強度となる。点
“b"が、対応するピクセルを通して見える点である。

BSTツリーあるいは従来のＺバッファを採用する際に大
きな問題となるのが、ソリッドの各面は既知でなければ
ならないということである。ソリッドの各面は、CSGツ
リーでは明示的に表現されないため、表示する前に各面
を導く必要がある。このような導出は“バウンダリ・エ
バリュエーション”（境界評価）として知られ、時間の
かかる幾何計算を相当な回数行うという複雑なプロセス
である。代表的な境界評価プロセスでは、ソリッドの端
部の計算によって、プリミティブ・ボリュームの各面が
切り込まれる（trim）。端部は最初、曲面または対をな
す表面のインターセクションを生成することによって計
算され、次に、これらの曲面が、プリミティブ・ボリュ
ームの他の面とのインターセクションに従って細分化さ
れる。細分化された部分から、CSGツリーで得られたブ
ール式により、最終的なソリッドの端部が選択される。
曲面が３つ以上のプリミティブ面にかかると、選択時に
“端の近傍”を評価するというかなりコスト高になるオ
ペレーションが必要になることがある。ここから分かる
ように、プリミティブが相当数にのぼるオブジェクトの
場合、代表的な汎用コンピュータ上で実施される境界評
価プロセスは時間がかかりすぎて、対話的な用途には向
かない。その上、１個のプリミティブ・ボリュームの寸
法や位置など、１個のパラメータが変わると、境界全体
の表現を再計算しなければならない場合もある。このよ
うに、計算に時間がかかると、デザイン上のミスを訂正
するときよく必要になるような、オブジェクトを簡単に
処理するという機能が著しく制限される。

境界評価に伴うこの問題は、第６図に示したレイ・キャ
スティング・アルゴリズムを採用することによって回避
できる。このアルゴリズムは、視点とスクリーン・モデ
ルのピクセルとを通過する線あるいはレイ（半直線）を
計算する。次に、かかるレイのそれぞれとソリッドとの
交点が計算される。各レイに沿った最初の交点Ａ（視点
に最も近い）が選択され、レイが当たるその点の面を基
に、関連するピクセルの色が求められる。レイとソリッ
ドとの交点の計算は、最初にレイを、プリミティブ・ボ
リュームの内側、表面、または外側に全体が位置するセ
グメントに分けることによって、各プリミティブ・ボリ
ュームに対してレイを分類し、次に分類結果を、ツリー
をさかのぼって、そのツリーの各ノードに関連するブー
ル演算子に従ってマージすることによって実行できる。
このようなマージは一般に、値の比較と論理演算を伴う
にすぎない。しかし、プリミティブに対してレイを細分
化するというプロセスでは、線や面の交点を計算する必
要があり、これは表面が複雑になると時間がかかる（こ
のような比較的複雑な面は、高次の多項式のＯに対応す
る）。このように、レイ、キャスティング・アルゴリズ
ムをソフトウェアで実施したものは遅すぎて、対話的な
用途には適さない。

各ピクセルに対するスキャン・ライン方式では、所定の
ピクセル列のレイがすべてまとめられ、レイのグループ
として、表示スクリーンの水平の列または線に対応す
る。所定の列のレイはすべて、イメージがその列とオー
バラップするプリミティブと交差させるだけでもよい。
このスキャン・ライン方式は、現在の列で“アクティ
ブ”なプリミティブを記録する。アクティブなプリミテ
ィブとは、その投影像が列とオーバラップするプリミテ
ィブである。スクリーン上の列は、一列ごとに、あるい
は比較的小さい連続した列のグループごとにトップダウ
ンに処理される。プリミティブは、その最上位点が、処
理された列にあるときにアクティブ・リストに加わる。
該プリミティブは、その最下位点が、前に処理された列
にあるときにアクティブ・リストから外される。最上位
点と最下位点は、それぞれの頂点をスクリーンに投影し
たときの座標によって決定される。境界が平面であるソ
リッドの場合、最下位点は比較的簡単に計算できる。ま
た、連続した列とアクティブな面との交点を計算するた
めに、効率のよりインクリメンタル方式を用いることも
できる。このようなスキャン・ライン方式は、多面体の
境界を表示するために実施されている。しかし、これま
でのスキャン・ライン方式では、ソリッド境界の計算お
よび平面への分解や近似は遅すぎて、対話の速度で実行
することはできない。

表示プロセスの速度を上げることを目的とした専用ハー
ドウェア・システムが開発されている。このような専用
システムは当初、ビュー変換（viewing transformatio
n）とスキャン・コンバージョン・プロセスの各部を専
用ハードウェアによって実施していた。性能を改良する
ために、ハードウェアにパラレル・アーキテクチャを用
い、ピクセル・パラレル・アルゴリズムを採用したシス
テムが開発されている。このシステムでは、数個のプロ
セッサが、異なるイメージ・セグメントを並列に処理す
る。この方式を突きつめたものが、ディスプレイの各ピ
クセルに小型のプロセッサを用いるシステムによって提
供されている。いわゆるスキャン・ライン・システム
は、一本の仮想走査線に一列のプロセッサを準備するこ
とで、暫定的な手法を提供するものである。ピクセル値
が生成されると、この値はビデオ・ディスプレイに直接
書き込むか（この場合はビデオ・リフレッシュ・レート
で値を生成する必要がある）、またはフレーム・バッフ
ァに格納することができる。

このような専用ハードウェア・システムは一般に、汎用
コンピュータよりも実質上複雑でありコスト高になる。
さらに、その性質上、CSGソリッドに対して効率よく且
つ高速にシェーディングを行うという問題に答えていな
い。また、こうした専用システムにおいても、ソリッド
の各面と境界を決定する際およびソリッドのCSG表現を
処理する際に前述のような欠点がみられるので、システ
ムの速度が犠牲になる。

上述のように、レイ・キャスティング・アルゴリズムの
マージ・ステップでは、コスト高につながる複雑な計算
を要する。これを避けるために、また、CSGソリッドを
表示するとき、ハードウェアを充分活用して面のスキャ
ン・コンバージョンおよびビュー変換をサポートするた
めに、奥行バッファ・アルゴリズムが提案されている。
このアルゴリズムは、CSGツリーを積和の（選言）形に
変換する。この形式でプロダクトはそれぞれ、ソリッド
のプリミティブまたはそのコンプリメント（補集合）の
インターセクションである。このアルゴリズムでは、奥
行バッファを使用して各プリミティブの面上の点がプロ
ダクトの中の他の全プリミティブと比較される。この比
較が行われるごとにプロダクトにはない点が除外され
る。残りの点は、表示の前に奥行バッファを使用して処
理され、可視点が選択される。

この方法は、各プリミティブの点の奥行がプロダクト内
の他の全プリミティブと比較されることによってプロダ
クトが与えられるという点が大きな欠点と言える。この
ような比較では、各プロダクト内の各プリミティブにつ
いてスキャン・コンバージョンを何度も繰り返さなけれ
ばならない。たとえば、プロダクトABCDEのプリミティ
ブＡがスキャン・コンバートされる場合、面Ｂ、Ｃ、
Ｄ、Ｅをスキャン・コンバートすることによって、プロ
ダクトABCDE内の可視部に相当する大きさにまでＡを切
り込まなければならない。次に、Ｂのスキャン・コンバ
ージョンを行うには、残りのプリミティブＣ、Ｄ、Ｅを
再びスキャン・コンバートしてＢをその可視部に相当す
る大きさにまで切り込まなければならない。このプロセ
スは、プロダクトの全プリミティブが処理されるまで繰
り返される。この例では、Ｅは５回スキャン・コンバー
トされる。

したがって、プロダクト内のプリミティブを繰り返しス
キャンすることをなくした方法、たとえばプロダクトの
プリミティブを１回スキャンするだけでプロダクトが与
えられる方法を目標とするのが望ましい。さらに、すで
に明らかにしが、CSG表現によるソリッドに対して、実
物に近いシェーディングを効率よく高速に実行でき、か
かるソリッド同士のディファレンスや干渉を簡単に検出
する装置も必要である。

C.課題を解決するための手段 前述の問題は、実物に近い陰影が付けられたソリッドを
生成する本発明による装置によって解決され、他のメリ
ットも得られる。ソリッドは、CSGにおいて単純なプリ
ミティブ・ボリュームのブーリアン・コンビネーション
と規定されているタイプである。本発明は、ソリッド同
士の干渉とディファレンスを容易に検出するものであ
る。本発明の装置は、アーキテクチャとして、前面と後
面の少なくとも一対の奥行バッファを採用している。こ
れはピクセル・パラレル・コンピュータ・システムで実
現することも、あるいはコンピュータ・グラフィクスで
用いられるスキャン・ライン・コンピュータ・システム
上で効率よくシミュレートすることもできる。本発明の
方法は、Ｚ連結プロダクトと呼ばれる特殊なブール式を
CSG表現から抽出するものである。Ｚ連結プロダクト式
および前面と後面の奥行バッファの対を併用すること
で、CSGで規定されたソリッド・オブジェクトの実物に
近いシェーディング像を生成するとき、あるいはかかる
ソリッド同士の干渉やディファレンスを検出するときの
処理効率が大幅に向上する。本発明を実施することで、
ソリッド・モデリングやCAD/CAMアプリケーションに用
いられるコンピュータ・システムの性能が大幅に向上す
る。

本発明はさらに、CSGで表現されるソリッドの陰影付き
イメージを生成するために、また、かかる２つのソリッ
ドの干渉とディファレンスを検出するために利用でき
る。本発明は、Ｚ連結スイープという新規の概念および
関連概念を用いる。関連概念としては、任意のCSGツリ
ーによって表現されるソリッドは、Ｚ連結プロダクトの
ユニオンとしても表現できること、またこのようなＺ連
結プロダクトはそれぞれ、２つのＺ連結スイープのイン
ターセクションとして表すことができるという考え方が
ある。このほか、このＺ連結プロダクトは、Ｚ連結スイ
ープの表現を用いて元のCSGツリー構造から直接かつ効
率的に抽出可能である。

本発明は、任意のＺ連結プロダクトによって占有される
ボリュームが、２つの奥行バッファによって完全に表現
されることと、Ｚ連結プロダクトから反射する光の強度
が、強度バッファに格納されるということを示すもので
ある。２つの奥行バッファと１つの強度バッファとを含
むＺ連結プロダクトのトリプル・バッファ表現は、この
プロダクトを規定する各Ｚ連結スイープを１回だけスキ
ャン・コンバートすることによって生成される。さら
に、スキャン・コンバーションの間、空プロダクトおよ
び特定のラインを含むプロダクトの空インターセクショ
ンが簡単に検出される。

本発明はさらに、各Ｚ連結プロダクトの前面バッファを
従来の奥行バッファにマージすることによって最終的な
イメージが容易に得られることと、中間プロダクトを格
納して全体的なパフォーマンスを向上させるために、数
組のトリプル・バッファを採用できることを示すもので
もある。

本発明により、トリプル・バッファを備える数個のプロ
セッサが作動して、プロダクトが評価され、各プロダク
トの評価結果が１つのＺバッファにマージされる。CSG
ツリーに沿って処理が進むと、積和ツリーを展開するこ
となく、各Ｚ連結プロダクトの表現が得られる。この表
現は、各スイープを規定するプリミティブの前面または
後面に関するレファレンスのリストである。各Ｚ連結プ
ロダクトのＺバッファ表現は、直ちに生成され、プロダ
クトの各プリミティブ面は１回スキャン・コンバートす
るだけですむ。

干渉またはディファレンスの検出プロセスは、空でない
Ｚ連結プロダクトが検知されたとき終了する。

陰影付きイメージの生成では、強度バッファが、各Ｚ連
結プロダクトの奥行バッファ表現とともに計算される。
強度バッファは、Ｚ連結プロダクトによって表現される
ソリッドのイメージを含む。各プロダクトの表現は、イ
ンクリメンタルに統合されて、最終イメージが表現され
る。このような組み合わせオペレーションの間、各ピク
セルについて、視点に最も近いＺ連結プロダクトの前面
の奥行を格納することによって、各Ｚ連結プロダクトの
可視部を選択するために、汎用奥行バッファが用いられ
る。また、Ｚ連結プロダクトの前面の可視部（サブセッ
ト）のイメージを格納するために汎用強度バッファも採
用される。

本発明の方法は、上述のピクセル・パラレル・アルゴリ
ズムと同様に、スキャン・ライン・アーキテクチャを用
いることによって、並列の全ピクセルを対象として、あ
るいは一度に数列のピクセルのみを対象として実施でき
る。

本発明では、奥行バッファと強度バッファをそれぞれ追
加して、前面奥行バッファ、後面奥行バッファおよび強
度バッファを含むトリプレットのグループに分け、Ｚ連
結プロダクトのユニオンへの展開が終了していないブー
ル式を１パスで処理することも可能である。バッファの
トリプレットを複数個用いることで、各プリミティブ面
の処理回数の合計が小さくなり、本発明の装置全体の効
率と速度も大きく改良される。

各プロダクトに３つのバッファ（前面奥行バッファ、後
面奥行バッファ、強度バッファ）を用いる代わりに、こ
こで示したアルゴリズムの中には、２つのバッファ（前
面奥行バッファと強度バッファ）および１つのビット・
マスクしか必要としないものがある。したがって後面奥
行バッファは（代表的なものは１ピクセル当り少なくと
も24ビットのメモリを要する）、メモリが１ピクセル当
り１ビットだけの小型のバッファと置き換えることがで
きる。フルスクリーンに奥行バッファが用いられる場
合、このような節約の意味は大きい。

本発明によるスキャン・アーキテクチャ・システムは、
プリミティブ面すなわち半空間をすべて処理することな
く、Ｚ連結プロダクトを自動的に除外する。除外される
のは、Ｚ連結プロダクトの規定に用いられるＺ連結スイ
ープが、表示が計算されるピクセルの列と交差しないと
きである。また、所定のＺ連結プロダクトですでに処理
されているすべてのＺ連結スイープの、面の列に対する
投影像が交差しないときも除外が起こる。このような交
差（インターセクション）は、スキャン・ライン表示ア
ルゴリズムによってインクリメンタルに決定される。

D.実施例 ここではCSG表現は、プロダクトのユニオンによって表
し、各プロダクトが、前面と後面のスイープのインター
セクションとなり、一定のコネクティビティ・プロパテ
ィを示すセットを表すようにする。また、このような分
解が任意のCSG表現からどのように導かれるかを示し、
かかる分解を採用する方法についても説明する。陰影が
正しく付けられたイメージを生成するために、また、干
渉とディファレンスをCSGから直ちにテストするため
に、トリプル奥行バッファまたはＺバッファを用いる方
法を示している。さらに、スキャン・ライン・アーキテ
クチャにおいてこのようなトリプル奥行バッファを使用
することについても説明している。

先にも述べたとおり、ソリッドの面が分かれば、ソリッ
ドの陰影付きイメージは、各面を表示することによっ
て、およびＺバッファを用いて隠面を消去することによ
って生成できる。面が表示される順序は、可視面がＺバ
ッファによって自動的に選択されるという意味において
重要ではない。その上、Ｚバッファを用いると、ソリッ
ドの内側にある別の面を表示しようとしても、別の面の
いずれの点も、ソリッド前面の少なくとも１点の背後に
くるという意味で、イメージに対しては効果がない。

この性質を生かし、また本発明によって、Ｚバッファの
用途を拡大してソリッドの陰影付けが行われる。その場
合、ソリッドは、交差すると考えられる有限個のサブソ
リッドのユニオンと定義される。このソリッドを、ここ
ではプロダクトという。ソリッドの面は、全プロダクト
の面のサブセットである。さらに、プロダクトの面上の
任意の点は、ソリッド上またはソリッドの内側にある。

所定のピクセルに投影される点の中では、視点に最も近
い１点だけが表示される。このピクセルのＺバッファ・
メモリは、最も近い点の奥行を含む。この奥行は、ピク
セルに投影される全点の奥行のうち最小の奥行である。
実際、考慮すべきは、各プロダクトの前面上の点だけで
ある。そこで、プロダクトの前面が分かっている場合、
Ｚバッファは、ソリッド全体の正しい陰影付きイメージ
を生成する。ここで、本発明により、２つのＺバッファ
と一時強度バッファを追加することで、CSGツリーによ
って表されるソリッドが、どのようにしてプロダクトの
ユニオンとして表され、各プロダクトの前面が決定され
るかについて説明する。

コンピュータによって作成するグラフィクスに用いられ
る標準座標系は、スクリーン・モデルがＺ軸に対して直
角になると規定される。ソリッドは、Ｚ軸に平行な任意
の線とのインターセクションが連結される場合（空集
合、単点または連結線分）にのみＺ連結されているとい
う。この意味で、凸面ソリッドは、その方向はどうあ
れ、Ｚ連結されているが、非凸面ソリッドはＺ連結され
ている場合とそうでない場合もあり得る。これは非凸面
ソリッドの形状によって、また視点によって決まる。第
7a図では、非凸面ソリッドがＺ連結されているが、同じ
非凸面ソリッドが、第7b図ではＺ連結されていない。こ
れは、表面の凹部が視点からは見えないからである。さ
らに、共通のプリミティブ・ボリュームは、Ｚ連結セッ
トに常に分解可能である。ブロック、球、シリンダおよ
びハーフ・コーンは凸面ソリッドであり、よって常にＺ
連結される。ただし、トーラス（円環体）は、対称軸が
Ｚ軸に対して充分に小さい角度をなす場合は、Ｚ連結さ
れた非凸面プリミティブ・ボリュームの一つである。し
かしその角度が一定の値を超える場合、トーラスはＺ連
結されなくなる。しかしそれでも、２つの分離したＺ連
結ボリュームに分解することは可能である。このような
分解は、前面または後面を新たに導入することなく行え
るが、一般には、トーラスを、Ｚ連結された部分に２等
分する方がはるかに容易である。

第8a図は、Ｚ連結セットＳを示す。第8b図は、ソリッド
Ｓの前面スイープSfが、初期位置から正のＺ方向へ無限
に移動するとき、あるいは視点から無限に離れるとき、
Ｓによってスイープされる空間領域であることを示す。
同様に、第8c図は、Ｓの後面スイープSbが、初期位置か
ら負のＺ方向へ無限に移動するとき、あるいは視点の方
向へ無限に移動するとき、Ｓによってスイープされる空
間領域であることを示す。SfとSbは、有界ではないＺ連
結セットである。

第９図に示すように、ＳがＺ連結されていれば、ＳはSf
とSbのインターセクションに等しい。さらに、前面また
は後面のスイープのコンプリメント（補集合）がＺ連結
されることと、前面または後面の任意個数のスイープの
インターセクションＰがＺ連結されることは可能であ
る。その結果、インターセクションは、２つのスイープ
PfとPbだけのインターセクションとして表せる（それぞ
れＰの前面スイープと後面スイープ）（第10図）。Pf
は、後面がないので、前面によって完全に表現される。
逆にPbは、後面によって完全に表現される。よって、Pf
とPbはそれぞれ、解像度すなわちピクセル数によって決
まる精度の範囲内で、単一のＺバッファZfとZbによって
表すことができる。

プロダクト表現を決定する場合には、どのようなCSGツ
リーもプロダクトのユニオンとして表すことができ、各
プロダクトＰは、複数の前面スイープと複数の後面スイ
ープのインターセクションになる。本発明により、シェ
ーディング・プロセスおよび干渉とディファレンスの検
出プロセスでは、かかるプロダクトが、Ｚバッファで表
され、２つのＺバッファＦ、Ｂを使用することによって
形成される。Ｆの内容は、各ピクセルについて、ピクセ
ルに投影されるPbを規定するスイープの後面における全
点の最小奥行を格納することによって決定される。Ｂの
内容は、各ピクセルについて、ピクセルに投影されるPf
を規定するスイープの前面における全点の最大奥行を格
納することによって決定される。したがって、Ｆを計算
するためには、Ｐの前面スイープの各面をトラバースす
るだけでよい。さらに、前面はそれぞれ１回トラバース
するだけですむ。同様に、Ｂを計算するには、後面スイ
ープの各面を１回だけトラバースすればよい。

上述のように決定されるＦとＢはそれぞれ、Ｐを規定す
る前面スイープと後面スイープのすべてのインターセク
ションを表す。ただしＰは、先にPbとPfとのインターセ
クションと示した。したがって、Ｐの前面は、第10図に
示すように、Ｆに格納された前面に含まれる（同一であ
る必要はない）。実際上、Ｐの前面は、Ｂに格納された
後面の前にくるＦに格納された前面の部分と等しい。よ
って、Ｐの前面の範囲は、各ピクセルについて、Ｆに格
納された奥行とＢに格納された奥行とを比較することに
よって決定される。

上述の内容は、本発明により、第11a図に示すようにト
リプルＺバッファ・アーキテクチャを持つソリッド・モ
デリング、システム10にて実施される。ピクセル・メモ
リ12には、表示スクリーン14の全体に対応するフルフレ
ーム・バッファ、またはスキャン・ライン方式のシステ
ムに対応するライン・バッファを使用できる。いずれの
場合も、ピクセル・メモリ12に格納される各ピクセルに
ついて、５つのストレージ・エントリが５つのバッファ
にグループ分けされる。これらのバッファの１つは、一
時前面ＺバッファF16として、現在処理されているＺ連
結プロダクトの前面の奥行を格納する。他のバッファの
１つは、一時後面ＺバッファB18として、現在処理され
ているＺ連結プロダクトの後面の奥行を格納する。他の
バッファの１つは、最終ＺバッファZ20として、表示さ
れたソリッド全体の前面に関連する奥行を格納する。残
りの２つのバッファは、現在のプロダクトの強度を格納
する一時強度バッファT22と、表示されたソリッド全体
の可視面の強度を格納する最終強度バッファI24であ
る。

実施例においてバス26は、これらのバッファを相互に接
続し、またプロセッサ28にも接続する。プロセッサ28
は、中央処理装置あるいは周辺装置プロセッサとして、
バッファを管理し、本発明の方法を実施する命令を実行
する。そのため、プロセッサ28は、バッファや表示の管
理、オペレータの操作、その他のプロセッサ28の機能に
必要なデータや命令を格納するほか、表示されたソリッ
ドを規定するCSGツリー構造を格納するメモリ30を備え
る。ピクセル・メモリ12は、いろいろな方法で構成で
き、また、Ｚバッファと強度バッファのそれぞれに関連
する24ビットのピクセル・ワードを規定するために、た
とえば、１ビットの格納場所を24プレーン含むメモリと
してもよい。

本発明の方法により、プロセッサ28は、元のCSGツリー
をトラバースして、Ｚ連結プロダクトを個別に処理す
る。あるプロダクトを考えると、F16、B18、T22それぞ
れの内容は、各スイープにおいてＺ連結プロダクトに寄
与する部分を取り込むことによって決定される。プロダ
クトの前面と後面のスイープがすべて処理されると、そ
の結果は、最終バッファZ20とI24に取り込まれる。以下
に、スキャン・ライン・アーキテクチャ・システムを対
象にしてこの方法を記述したアルゴリズムについて説明
する。このアルゴリズムは、ピクセルの各列について繰
り返されるものである。

この高度なアルゴリズムでは、符号LTは“より少ない”
を表す。

Ｚ＝後面奥行； Ｉ＝背景色； FOREACH（プロダクトｐについて）DOBEGIN Ｆ＝後面奥行； Ｂ＝前面奥行； Ｔ＝背景色； left＝0; right＝0; FOREACH（プロダクト・スイープのｐ面ｈについて）DO BEGIN h1＝ｈスタート・ピクセル； hr＝ｈラスト・ピクセル； IF（ｈが正のとき）THEN BEGIN left＝MAX（left、h1）； right＝MIN（right、hr）； FOR（その列のピクセルｘについて）DO IF（ｈが正では
ない、かつｘはインターバル（lr、hr）、またはｈが
正、かつｘはインターバル（left、right）DO BEGIN ｄ＝ｈ奥行（ｘ）； IF（ｈが前面）THEN BEGIN IF d GT F（ｘ）THEN BEGIN Ｆ（ｘ）＝d; Ｔ（ｘ）＝ｈ強度（ｘ）； END; END; ELSE IF d LT B （ｘ）THEN B（ｘ）＝d; END; END; FOREACH（ピクセルｘについて） DO IF（ｘはインターバル（left、right））THEN IF F（ｘ）LT MAX（Ｂ（ｘ）、Ｚ（ｘ）） THEN BEGIN Z （ｘ）＝Ｆ（ｘ）;I（ｘ）＝Ｔ（ｘ）;END; END; 第12図に、上記のアルゴリズムのオペレーションの流れ
図を示す。これはスキャン・ライン方式とは異なり、フ
ルフレーム・バッファとＺバッファを用いたものであ
る。

本発明により、干渉またはディファレンスを検出するこ
とによって、たとえば２つのソリッドＡ、Ｂが干渉する
かどうか、あるいは同一かどうかを決定する装置が提供
される。前述の表示アルゴリズムに手を加えたものが、
Ａ、Ｂまたは（Ａ−Ｂ）ユニオン（Ｂ−Ａ）のCSG表現
に適用される。この決定では、空ではないプロダクトが
検出されるまで各プロダクトが評価されるという意味
で、最終バッファZ20も、どのような強度バッファ（2
2、24）も必要ない。上述のアルゴリズムに従って、プ
ロダクトに対応する前面と後面のＺバッファが決定され
ると、先に示した最後のFOREACHループに代えて下記の
テストが実行される。

FOREACH（ｘがleft、right）DO IF F（ｘ） LT B（ｘ）THEN RETURN（not-empty）； END; （not-empty）がReturnすると、これは、干渉が存在す
るか、または２つのソリッドが同一でないことを示す。

ここで、任意のCSGツリーを考えた場合に、Ｚ連結プロ
ダクトのユニオンであるCSGツリーを生成する一連の変
換処理について説明する。この場合、各プロダクトは前
面または後面のスイープのインターセクションである。
前面または後面のスイープは、元のCSGツリーのプリミ
ティブ・ボリュームの性質と位置から簡単に決定され
る。

第13図の流れ図に示すとおり、下記の変換シーケンスに
より、該CSGツリーが生成される。

ブロックＡにおいて、Ｚ連結されていない各プリミティ
ブ・ボリュームまたは半空間は、Ｚ連結サブボリューム
のユニオンに置き換えられる。ブロックＢにおいて、各
プリミティブ・ボリュームまたは半空間は、その前面ス
イープと後面スイープのインターセクションに置き換え
られる。ブロックＣでは、ツリーの各ディファレンス演
算子がインターセクション演算子に置き換えられ、その
演算子の右側のサブツリーがコンプリメントされる。右
のサブツリーをコンプリメントするステップでは、この
サブツリーは、ド・モルガンのコンプリメンテーション
の法則を適用することによって、等価なサブツリーに変
換される。コンプリメントされた前面スイープは後面ス
イープと呼ばれ、この逆も成り立つ。

前記のステップが実行された結果、葉がＺ連結スイープ
であり、内部ノードがユニオンまたはインターセクショ
ン・ノードに対応するCSGツリーが得られる。このツリ
ーは、元のソリッドを表すブール式に対応する。この式
のユニオンにインターセクションを分配すると、選言形
である別の等価な式すなわち積和ともいうインターセク
ションのユニオンが得られる。この等価式はまた、CSG
ツリーとして格納しやすい。

展開したツリーを作る必要はなく、実際上、展開したツ
リーは通常、元のツリーよりかなり大きくなるので、避
ける方が望ましい。本発明は、新しいツリーを形成する
代わりに、元のCSGツリーを用いて、前面と後面のスイ
ープのリストを生成できるようにするものである。この
リストは、各プロダクトの要素を構成し、よって該プロ
セスに必要な記憶域を大幅に節約できる。

選言標準形の連続項は、元のツリーを繰り返しトラバー
スすることによって、“速やかに”生成される。この方
法は、再帰的呼び出しを通して各ノードの符号を伝播す
るプリオーダ・ツリー・トラバーサルを実行するもので
ある。各内部ノードにおいて、等価な演算子すなわち正
の値をとる対応するノードの演算子の性質が決定され
る。所定のプロダクトのリテラルを得るために、この方
法では、元のCSGツリーがトップダウンにトラバースさ
れる。等価な演算子がインターセクションであるとき、
左右両方の子が再帰的に辿られる。等価な演算子がユニ
オンのとき、辿られる子は１個のみである。いずれの子
かは、どのプロダクトが計算されるかによる。葉に達す
ると、対応するリテラル、または元のツリーのプリミテ
ィブとその符号が表示アルゴリズムによって処理され
る。各ユニオン・ノードでとのパスを取るかを決定する
ために、方向フラグが初期化されて、左の子が指示され
る。左の子のプロダクトの組み合わせがすべて生成され
ると、方向フラグが変更され、右の子が指示される。右
の子のプロダクトの組み合わせがすべて生成されると、
方向フラグが変更され、再び左の子が指示される。この
プロセスは、全プロダクトが生成されるまで繰り返され
る。

本発明をマルチプロセッサで実施すれば、各プロセッサ
はトリプル・バッファに関連する。Ｚ連結プロダクトを
規定する式は、別々のプロセッサに送られ、プロダクト
のトリプル・バッファ表現が並列に構成される。あるプ
ロセッサがＺ連結プロダクトの評価を終了すると、その
プロセッサは結果を共通のＺバッファにマージし、そこ
で次のプロダクトを処理できるようになる。

プリミティブ・ボリュームの面Ａを何回スキャン・コン
バートすべきかは、Ａを含む、すなわち展開されたCSG
ツリーの形のＺ連結プロダクトが何個あるかの関数であ
る。以下の説明からわかるように、本発明により、ある
サブツリーについては全プロダクトの生成をなくすこと
によって、CSGツリーを処理するパフォーマンスがさら
に向上する。すなわち、本発明は、積和の形式ではない
CSGツリーを処理する方法を提供し、結果的に、各プリ
ミティブに対して必要なスキャン・コンバージョンの回
数を少なくするものである。特に、あるクラスのサブツ
リーが規定され、これが、どのようなプリミティブ面も
２回以上スキャン・コンバートすることなく処理され
る。詳しくは後述するが、このようなプロセスには、３
つのＺバッファと２つの強度バッファを用いるプロセ
ス、および４つのＺバッファと３つの強度バッファを用
いるプロセスが含まれる。またCSG表現の一般形も示す
が、これは、反復スキャンを行わずに処理しやすい。さ
らに、バッファを追加使用できることから、各プリミテ
ィブをスキャン・コンバートする回数がさらに減り、特
に、比較的大きいサブツリーの処理は、プロダクトのど
のプリミティブ面も２回以上スキャン・コンバートする
ことなく行える。

スキャン・コンバージョンは、規定された多角形のスク
リーン座標に基づき、多角形を連続スキャンして、多角
形が投影されるピクセルをカバーする点のリストを生成
するプロセスとして知られている。ピクセルのリストに
は、ピクセルのレファレンスとなる多角形上の点のＺ軸
に沿った奥行のほか、各ピクセルのX/Y位置が含まれ
る。従来のシステムでは、この奥行は、多角形が投影さ
れる各ピクセルに関連した１個の奥行バッファまたはＺ
バッファの場所に格納される。

面によってカバーされないピクセルについては、用いら
れる奥行は、スキャンされた面が正のプリミティブの前
面あるいは負のプリミティブの後面であれば、最大値で
ある。他の場合は、最小奥行値が用いられる。

先に示したように、Ｚ連結プロダクトは２つのＺバッフ
ァによって表現できる。さらに言えばＺ連結プロダクト
のコンプリメントも２つのＺバッファによって表現で
き、Ｚ連結された前面と後面のスイープであるか、また
はＺ連結セットのコンプリメントのいずれかであるセッ
トのプロダクトの前面は、２つのＺバッファと１つの一
時強度バッファだけで決定でき、コンプリメントされて
いないスイープのスキャン・コンバージョンは１回行う
だけでよい。さらに付け加えれば、２つのＺ連結プロダ
クトのディファレンスの前面は、最初のプロダクトが１
つの前面スイープしかもたない場合は、２つのＺバッフ
ァと１つの一時強度バッファを使用するだけで決定で
き、各スイープは１回スキャン・コンバートするだけで
よい。また、２つのＺ連結プロダクトのディファレンス
の前面は、３つのＺバッファと１つの一時強度バッファ
を使用することによって決定でき、各スイープのスキャ
ン・コンバージョンは１回だけですむ。さらにまた、CS
Gで２つのプロダクトのディファレンスのユニオンと規
定されたソリッドであって、最初のディファレンスを除
き、各ディファレンスの最初のプロダクトが前面スイー
プを１つしかもたないソリッドは、３つのＺバッファと
２つの強度バッファを用いることで決定でき、各スイー
プのスキャン・コンバージョンは１回ですむ。そして、
CSGにおいて２つのプロダクトのディファレンスのユニ
オンと規定されたソリッドは、４つのＺバッファと２つ
の強度バッファだけで決定でき、各スイープのスキャン
・コンバージョンは１回ですむ。

数学的にはＲセットと定義されるソリッドの表現は、本
来的にそのコンプリメントを規定する。したがって、Ｚ
連結セットがその前面と後面のスイープによって表され
るのであるから、ソリッドのコンプリメントも、２つの
スイープが有界なソリッドまたはそのコンプリメントを
表現するとすれば、同じ２つのスイープによって表され
る。

ここで、プリミティブのプロダクトとプリミティブのコ
ンプリメントのプロダクトについて、Ｚ連結された前面
と後面のスイープのプロダクトをＰとする。コンプリメ
ントされたｋ個のＺ連結セットをQ1、Q2、・・・、Qkと
する（ｋ個のプリミティブ・ボリュームのコンプリメン
トなど）。ＰとQ1、Q2、・・・、QkのプロダクトをＳと
する。１からｋまでをｉとしたとき、各Qiは、２つのＺ
連結スイープのユニオンである。代表的なプリミティブ
・ボリュームは、Ｚ連結スイープのインターセクション
であり、よってそのコンプリメントは、これらのスイー
プ（Ｚ連結されている）のコンプリメントのユニオンで
あることが分かっている。したがって、各Qiを２つのＺ
連結スイープのユニオンとすると、ＳをＺ連結スイープ
の積和に展開すれば、2^k個のプロダクトが得られる。各
プロダクトは、Ｐとｋ個のＺ連結スイープとのインター
セクションであり、それぞれ異なるQiからのものであ
る。Ｓを、そのプロダクト全部を生成することによって
処理すれば、Ｐを規定する各スイープを2^k回スキャン・
コンバートし、Q1のコンプリメントされた各スイープを
ｋ回スキャン・コンバートする必要がある。ただし、以
下に述べる方法では、Ｓの一般形をもつ各サブツリーに
Ｐを規定するスイープを繰り返しスキャンする必要はな
い。それでも、このプロセスは、各Q1をｋ回スキャン・
コンバートするものである。

本発明により、以下のシーケンス（第14図の流れ図にも
示した）が、Ｚ連結セットまたはＺ連結セットのインタ
ーセクションである葉のインターセクションとして表現
できる各サブツリーについて実行される。特に、このよ
うなサブツリーは、Ｚ連結プロダクトをCSGから抽出す
るための前述のプロセスを簡素化する場合に生じる。具
体的には、プリミティブ・ボリュームは、リテラルとし
て処理され、展開プロセスにおいては、その前面と後面
のスイープのインターセクションとみなす必要はない。
その結果は、各プロダクトが正または負のプリミティブ
のインターセクションである積和となり、Ｚ連結する必
要がない。かかるプロダクトはそれぞれ、Ｐ＊Q1＊Q2＊
・・＊Qkと書ける。かかるプロダクトはそれぞれ、第11
a図のプロック図および第14図の流れ図に従って、下記
の方法によって処理される。

初めに、最大奥行テストによってＰの前面スイープをス
キャン・コンバートして、結果をF16に置き、視点から
最も遠い点を得て、T22に格納された対応する強度と入
れ換える。そして以下のプロセスをｋ回繰り返す。すな
わち、各コンプリメントQiについて、Qiの後面スイープ
をスキャン・コンバートして、結果をB18に置き、Qiの
前面スイープをスキャン・コンバートして、結果がF16
の後にきて、B18がF16の前にくれば、結果をF16に格納
する。この場合、T22の強度も更新される。次に、Ｐの
後面スイープが最大奥行テストによってレングリングさ
れてB18に入る。最後に、B18の前にくるF16の部分がZ20
とI24に統合される。ここでは、コンプリメントされた
プリミティブの後面スイープが、元のプリミティブの前
面スイープに対応すること、また、その逆も成り立つこ
とに留意されたい。

２つのＺバッファを用いてプリミティブ・マイナス・プ
ロダクトを考え、前面と後面のスイープのプロダクトを
Ｐとする。プリミティブを、あるいは広い意味では１個
の前面スイープと有限個の後面スイープとのインターセ
クションを、Ａとする。ディファレンスＡ−Ｐは、２つ
のＺバッファF16、B18と一時強度バッファT22を用い
て、以下のステップ（第15図の流れ図にも示した）によ
って各面を１回スキャン・コンバートすれば求められ
る。

最初に、奥行バッファ・テストによって、Ｐの後面スイ
ープをスキャン・コンバートして、結果をB18に置くこ
とによって、常に最大距離の点を格納する。次に、奥行
バッファ・テストによって、Ｐの前面スイープをスキャ
ン・コンバートして、結果をF16に置くことにより、常
に最小距離の点を格納し、前面に最も近い点に関連する
強度もT22に格納する。そして、Ａの前面スイープだけ
をスキャン・コンバートし、B18の前またはF16の後にく
る各点の奥行をF16に格納し、関連する強度をT22に格納
する。次に、B18をクリアし、Ａの後面スイープをすべ
てスキャン・コンバートして、結果をB18に置き、前記
の最小奥行テストによりそれらのインターセクションを
求める。最後に、B18の前にくるF16の部分をZ20とI24に
統合する。

３つのＺバッファを用いたプロダクト・マイナス・プロ
ダクトを考え、前面と後面のスイープのプロダクトをＡ
およびＰとする。ディファレンスＡ−Ｐは、（第16図の
流れ図にも示した）下記のステップによって、３つのＺ
バッファF16、B18、Z20と２つの強度バッファT22、I24
を用いて各面を１回スキャン・コンバートすることによ
って求められる。

最初に、奥行バッファ・テストを適用してＰの後面スイ
ープをスキャン・コンバートし、結果をB18に置く。次
に、奥行バッファ・テストを適用してＰの前面スイープ
をスキャン・コンバートし、結果をF16に置き、そのユ
ニオンを得て、最小距離の点を格納し、前面に最も近い
点に関連する強度をT22に格納する。次に、Ａの前面ス
イープをすべてスキャン・コンバートして、結果をZ20
に置き、最大奥行バッファ・テストによりそのインター
セクションを求め、前面に最も近い点の強度をI24に格
納する。そして、Z20とI24によって規定された各点につ
いて、その点がB18の前またはF16の後にくれば、その点
の奥行をF16に、関連する強度をT22にそれぞれ格納す
る。次に、B18をクリアし、Ａの後面スイープをすべて
スキャン・コンバートして、結果をB18に置き、そのイ
ンターセクションを前述の最小奥行テストを適用して求
める。最後に、B18の前にくるF16の部分をZ20とI24に統
合する。

上記の各方法は、CSGにおいてサブツリーのユニオンと
して表せるソリッドの処理に適用できる。ここで各サブ
ツリーは２つのプロダクトのディファレンスである。こ
のような構成のとき、本発明によれば、各面のスキャン
・コンバージョンは１回だけ行われる。

CSGにおいて２つのプロダクトのディファレンスのユニ
オンとして規定され、最初のディファレンスを除き、各
ディファレンスの最初のプロダクトが１つの前面スイー
プしかもたないソリッドは、３つのＺバッファと２つの
強度バッファによって決定される。これは、先に示した
とおり、５つのバッファをすべて用いることで最初のデ
ィファレンスが決定され、後のディファレンスに対して
は２つのＺバッファと１つの強度バッファしか必要とし
ないからである。ただし、システム10において、４つの
Ｚバッファと３つの強度バッファが使用できれば（第11
b図参照）、CSGにおいて２つのＺ連結プロダクトのディ
ファレンスのユニオンと規定されたソリッドは、表示あ
るいはヌル（空）オブジェクトの検出を目的として、上
述のように各プリミティブ・ボリュームの各面を１回だ
けスキャン・コンバートすることによって処理される。
プロダクトの各ディファレンスは、上述のように３つの
Ｚバッファと２つの強度バッファを用いることによって
処理され、その結果は後に、第４のグローバルＺバッフ
ァ32と第３のグローバル強度バッファ34に統合される。

これまでに述べた本発明は、ハードウェアに専用バッフ
ァを使用したパラレル型あるいはスキャン・ライン型の
グラフィクス処理システムをはじめ、様々な形態で実施
できることが分かっている。また、各種のＺバッファと
強度バッファにメモリ領域が割り当てられた汎用コンピ
ュータにも実施できる。さらに、前述の本発明の方法に
は、後面バッファＢを必要としないか、または１ピクセ
ル当り１ビットのメモリしか持たない比較的小型のバッ
ファに置き換えられる場合にも実施できる方法のあるこ
とが確かめられている。たとえば、前面と後面のスイー
プのプロダクトの前面は、下記の方法によって、前面バ
ッファF16と強度バッファT22だけで計算でき、後面バッ
ファB18は全く使用する必要がないこの方法は第12図に
示した方法の変形である。各プロダクトについて、第12
図のように、最初に前面スイープをすべてスキャン・コ
ンバートする。次に、後面スイープをスキャン・コンバ
ートして、結果をB18に置いた後、B18を用いて、Z20に
マージされるF16の部分を切り込む代わりに、後面スイ
ープを一度に１つ用いてF16を直接切り込む。後面をス
キャン・コンバートする際には、面によってカバーされ
ないピクセルに対して最小奥行値を用いることを考慮し
て、F16は、F16に格納された奥行がスキャン・コンバー
ジョンによって生成された奥行を超えるピクセルにおい
て、表示可能な最大奥行に置き換えられる。

このほか、一定のオペレーションを実行する順序は重要
ではないこと、そしてオペレーションの順序を変更して
同じ機能を実行するときに、他の方法も導かれることが
確かめられている。

E.効果 本発明によれば、CSGで規定されたソリッド・オブジェ
クトの実物に近いシェーディング像を生成するとき、あ
るいはかかるソリッド同士の干渉やディファレンスを検
出するときの処理効率が大幅に向上する。本発明を実施
することで、ソリッド・モデリングやCAD/CAMアプリケ
ーションに用いられるコンピュータ・システムの性能が
大幅に向上する。

【図面の簡単な説明】

第１図は、ソリッド１のCSGの２進木表現を示す図であ
る。 第2a図は、スクリーン・モデルＣのピクセルＢを通して
見たソリッド１の面上の点Ａを示す図である。 第2b図は、ピクセルＢを通して見た点Ａのスクリーン・
イメージを示す図である。 第3a図ないし第3d図は、非凸面ソリッドの各面の分類が
視点の関数であることを示す図である。 第４図は、非凸面ソリッドの前面を表示するための後面
から前面への順序付けを示す図である。 第5a図ないし第5d図は、所定のピクセルについて、ソリ
ッドＡ上の可視点が奥行の比較によって選択される従来
の奥行バッファ・アルゴリズムを示す図である。 第６図は、可視点Ａを選択する従来のレイ・キャスティ
ング・アルゴリズムを示す図である。 第7a図は、視点に対して第１の方向をもつ、Ｚ連結され
た非凸面ソリッドを示す図である。 第7b図は、第２の方向をもつ、Ｚ連結されていない非凸
面ソリッドを示す図である。 第8a図は、Ｚ連結されたセットＳを、第8b図は、Ｓの前
面スイープSfを、第8c図は、Ｓの後面スイープSbを示す
図である。 第９図は、Ｚ連結ソリッドがそのソリッドの前面と後面
のスイープのインターセクションであることを示す図で
ある。 第10図は、Ｚ連結プロダクトＰの前面が、後面スイープ
Pbの後面の前にくる前面スイープPfの前面の部分である
ことを示す図である。 第11a図と第11b図は、Ｚバッファと強度バッファをそれ
ぞれ複数個含む本発明によるソリッド・モデリング装置
10のブロック図である。 第12図は、CSGツリーのＺ連結プロダクトを処理する本
発明の方法を示す流れ図である。 第13図は、CSGツリーを変換して、Ｚ連結プロダクトの
ユニオンであるCSGツリーを生成する方法を示す流れ図
である。 第14図は、正負の（コンプリメントされた）プリミティ
ブのプロダクトを処理する方法を示す流れ図である。 第15図は、プリミティブＡマイナス・プロダクトＰの処
理方法を示す流れ図である。 第16図は、３つのＺバッファを用いて、プロダクトＡマ
イナス・プロダクトＰを処理する方法を示す流れ図であ
る。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 ナダー・ガラチヨーロ アメリカ合衆国ニユーヨーク州オシニン グ、スプリング・ポンド・ドライブ21番地 (72)発明者 フレデリツク・ウイリン・ジヤンセン アメリカ合衆国ニユーヨーク州ノース・テ リイタウン、マツプル・ストリート20番地 (72)発明者 クリストス・スターモーリス・ゾーラス アメリカ合衆国ニユーヨーク州イサカ、ア パートメント５ビイー、フエアビユー・ス クウエ 100番地 (56)参考文献 特開 昭62−296282（ＪＰ，Ａ)

Claims (5)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】コンストラクティブ・ソリッド・ジオメト
   リ（CSG）ツリー構造によって表わされ、視点からの視
   線と事実上平行なＺ軸に沿って配置された、視点から見
   た前面と後面とを有するソリッド（Ｓ）を表示するディ
   スプレイ・システムであって、 （ａ）前記CSG構造の各プリミティブ・ボリュームを前
   面および後面のスイープのインターセクションで置換
   し、各ディファレンス演算子をインターセクション演算
   子で置換する処理を含む所定の変換処理を行なうことに
   より、前面または後面スイープのインターセクションで
   表現される少なくとも１個のＺ連結プロダクトを決定す
   る処理手段と、 （ｂ）前記決定されたＺ連結プロダクトに関連する前面
   の奥行表現を格納する第１のＺバッファ手段（Ｆ）と、 （ｃ）前記決定されたＺ連結プロダクトに関連する後面
   の奥行表現を格納する第２のＺバッファ手段（Ｂ）と、 より成るディスプレイ・システム。
2. 【請求項２】３次元オブジェクトの表現を表示する手段
   を有するグラフィクス処理システムを使用して、オブジ
   ェクトのコンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ
   （CSG）ツリー表現を処理して、各プロダクトを規定す
   るＺ連結の前面及び後面のスイープのリストを生成する
   方法であって、 （ａ）表示されたソリッド全体の前面に関連する奥行を
   格納するための第１のＺバッファ手段（Ｚ）を最大奥行
   に及び表示されたソリッド全体の可視面の強度を格納す
   るための第１の強度バッファ手段（Ｉ）を所定の強度に
   それぞれ初期化するステップと （ｂ）現在処理中の各プロダクト毎に、第２のＺバッフ
   ァ手段（Ｆ）を各プロダクトに関連した最小奥行に及び
   第３のＺバッファ手段（Ｂ）を各プロダクトに関連した
   最大奥行にそれぞれ初期化するステップと、 （ｃ）各プロタクトのプリミティブの前面スイープをス
   キャン・コンバートして、前記前面スイープ上の点に関
   連する奥行を決定するステップと、 （ｄ）前記前面スイープの億期をＦ内の対応する奥行と
   比較し、Ｆ内の対応する奥行よりも大きい奥行について
   は、奥行をＦに、対応する強度を第２の強度バッファ手
   段（Ｔ）に格納するステップと、 （ｅ）前記プリミティブの後面スイープをスキャン・コ
   ンバートして、前記後面スイープ上の点に関連する奥行
   を決定するステップと、 （ｆ）前記後面スイープの奥行をＢ内の対応する奥行比
   較し、Ｂ内の対応する奥行よりも小さい奥行について
   は、奥行をＢに格納するステップと、 （ｇ）各プリミティブについてステップ（ｃ）ないし
   （ｆ）を実行した後、Ｆに格納された奥行を、Ｚおよび
   Ｂに格納された奥行と比較するステップと、（ｈ）Ｆに
   格納された奥行がＢに格納された対応する奥行よりも小
   さく、Ｚに格納された対応する奥行よりも大きいとき、
   Ｆの奥行をＺ内の対応する場所に格納し、Ｔに格納され
   た対応する強度をＩ内の対応する場所に格納するステッ
   プと、 より成るＺ連結プロダクト毎にグループ分けされたＺ連
   結スイープのリストを生成する方法。
3. 【請求項３】コンストラクティブ・ソリッド・ジオメト
   リ（CSG）ツリー構造によって表わされ、視点からの視
   線と実質的に平行なＺ軸に沿って位置している前面およ
   び後面を有するソリッド（Ｓ）を表示するディスプレイ
   ・システムであって、 （ａ）CSGツリー構造からソリッドに関連してＺ連結の
   前面および後面のスイープのインターセクションにより
   表わされる少なくとも１個のＺ連結プロダクトを決定す
   るための処理手段と、 （ｂ）前記決定されたＺ連結プロダクト毎にそれに関連
   する前面の奥行表現を一時的に格納する一時前面Ｚバッ
   ファＦと、 （ｃ）前記各Ｚ連結プロダクトに関連する後面の奥行表
   現を一時的に格納する一時後面ＺバッファＢと、 （ｄ）ソリッドＳ全体の前面の奥行表現を格納する最終
   ＺバッファＺと、 （ｅ）前記各Ｚ連結プロダクトに関連する前面から反射
   する光の強さの表現を格納する一時強度バッファＴと、 （ｆ）ソリッドＳ全体の前面から反射する光の強さの表
   現を格納する最終強度バッファＩと、 （ｇ）前記一時前面ＺバッファＦおよび一時後面Ｚバッ
   ファＢに結合され両Ｚバッファに格納されている奥行表
   現を比較するための手段と、 よりなるディスプレイ・システム。
4. 【請求項４】３次元オブジェクトの表現を表示する手段
   を有するグラフィクス処理システムを使用して、オブジ
   ェクトのコンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ
   （CSG）ツリー表現を処理してプリミティブ・マイナス
   ・プロダクトに相当するディファレンスＡ−Ｐを決定す
   るための処理方法であって（ただし、プリミティブまた
   は１個の前面スイープと複数個の後面スイープとのイン
   ターセクションをＡとし、前面スイープ及び後面スイー
   プを有するプロダクトをＰとする）、 （ａ）基準点に関連する前記後面スイープの最大距離点
   を格納することによって、Ｐの前記後面スイープをスキ
   ャン・コンバートして、結果を第１のＺバッファ手段Ｂ
   に置くステップと、 （ｂ）基準点からの前面スイープの最小距離点を格納す
   ることによって、Ｐの前面スイープをスキャン・コンバ
   ートして、結果を第２のＺバッファ手段Ｆに置くステッ
   プと、 （ｃ）格納されたすべての最小距離点に関連する光の強
   さを第１の強度バッファ手段Ｔに格納するステップと、 （ｄ）Ａの前面スイープをスキャン・コンバートするス
   テップと、 （ｅ）前記第１のＺバッファ手段Ｂに格納された対応す
   る点の前にくるか、または前記第２のＺバッファ手段Ｆ
   に格納された対応する点の後にくるような基準面から隔
   離したＡの前面スイープの各点について、 前記の点の距離を前記第２のＺバッファ手段Ｆに格納す
   るステップと、 （ｆ）前記の点に関連する光の強さを前記第１の強度バ
   ッファ手段Ｔに格納するステップと、 （ｇ）Ａのすべての後面スイープをスキャン・コンバー
   トして、結果を前記第１のＺバッファ手段Ｂに置くステ
   ップと、 （ｈ）前記第１のＺバッファ手段Ｚの前にくる前記第２
   のバッファ手段Ｆの部分を第３のＺバッファ手段Ｚに、
   及び前記第１の強度バッファ手段Ｔの対応する部分を第
   ２の強度バッファ手段Ｉにそれぞれ統合するステップ
   と、 より成るプリミティブ・マイナス・プロダクトの決定方
   法。
5. 【請求項５】視点からの視線に対して事実上平行なＺ軸
   に沿って配置される、視点から見て前面と後面とを有
   し、コンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（CS
   G）ツリー構造によって関係づけられる１個以上のサブ
   ソリッドから成るソリッド・ジオブジェクト（Ｓ）をビ
   ジュアルに表示するための、各々が独立した複数のピク
   セルを含む連続した複数の表示ラインから成る表示手段
   を含むシステムにおける、ピクセル・メモリであって、 第１組及び第２組のピクセル格納手段を含み、 前記第１組のピクセル格納手段は、 サブソリッドの１個に関連する前面の奥行表現を格納す
   る第１のＺバッファ手段（Ｆ）と、 前記サブソリッドに関連する後面の奥行表現を格納する
   第２のＺバッファ手段（Ｂ）と、 前記サブソリッドに関連する前面から反射される光の強
   度の表現を格納する第１の強度バッファ手段（Ｔ）とか
   ら成り、 前記第２組のピクセル格納手段は、 Ｓの前面の奥行表現を格納する第３のＺバッファ手段
   （Ｚ）と、 Ｓの前記前面から反射される光の強度の表現を格納する
   第２の強度バッファ手段（Ｉ）とから成る ことを特徴とするピクセル・メモリ装置。