JPH0362276A - グラフィクス処理装置及び方法並びにピクセル・メモリ装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 Ａ、産業上の利用分野 本発明は、広くコンピュータ・グラフィクスとソリッド
・モデルの生成に関し、特にコンストラクティブ・ソリ
ッド・ジオメトリ（ＣＳＧ）において単純なプリミティ
ブ・ボリュームのブーリアン・コンビネーションと規定
されるソリッドの、実物に近い陰影の付いたイメージを
生成する装置に関する。

Ｂ、従来の技術及びその課題 ソリッド・モデリング・システムは、５Ｈｍパーツおよ
び製造プロセスのデザインにおいてますます重要な役割
を果たしつつある。上記システムは、ユーザに対して、
デザイン活動のコストを相当に削減するインターラクテ
ィブなデザイン・ツールおよびデザイン・サイクルを短
縮し且つ最終製品の品質と製造プロセスの効率を向上さ
せる解析ツールを提供する。

ソリッドは、タイプ、位置、ソリッドのすべての面の次
元のリストとして、境界によって記述される。しかしこ
のような記述は一般に、人間にとってあまりに冗漫であ
る０人間は、先に定義されているサブソリッドを組み合
わせたり変更したりすることによって、階層的にそして
漸進的にソリッドをデザインすることを好む、このよう
なサブソリッドの組み合わせは、多くはブーリアン・セ
ット・セオレティック・オペレーションによって正確に
指示される。たとえば、２つのパーツを組み立てて１つ
のソリッドを作ることは、数学的にはセット・セオレテ
ィック・ユニオン（和）としてモデル化することができ
る。スロット、ホール、ボスのような特殊な幾何学的フ
ィーチャな得るため形状に手を加えることは、しばしば
修正対象のソリッドと、該ソリッドに付加したりそれか
ら削除したりするシリンダやブロックなどの単純なプリ
ミティブ・ボリュームとの間の、セット・セオレティッ
ク・ユニオンおよびディファレンス（差）によって定式
化される。

ソリッド・モデルは、しばしば、ミリングやドリリング
によるマテリアル除去のような、ある加工操作の幾何学
的影響を表現し解析するのに使用される。そのような幾
何学的影響もまた、セット・セオレティック、オペレー
ションによって、たとえばパーツとカッタによってスイ
ープされる領域とのディファレンスとして１表現可能で
ある。このような一連のオペレーションを加えることは
、マシニング・プロセスをシミュレートする効果的な方
法である。カッタの軌跡が与えられれば、ソリッド・モ
デラを使うことによって、カッタがフィクスチュアと衝
突しないことを確かめることができ、カッタのモーショ
ンごとにどれだけのマテリアルが取り除かれるかを計算
することもできる。このような解析は、効率のよい、そ
してエラーの生じない製造プロセスを計画する上で重要
である。解析を行うためには、ソリッド同士のブーリア
ン・セット・インターセクション（積）を計算し、かか
るインターセクションが空か否かをチエツクする能力が
要求される。

同様に、パーツの組立可能性は、ソリッド・モデラを使
って、指定された形状および位置公差に従って１組立対
象となる各パーツのモデルを数多く作成し、どのような
場合にモデルが衝突するかを判断することによって解析
可能である。一般に、２つのソリッドが衝突（干渉）す
るのは、それらのセット・セオレティック・インターセ
クションが空ではない３次元集合であるときに限られる
と考えられている。

マシニング・プロセスのシミュレーションを含む多くの
アプリケーションでは、２つの表現（レプレゼンテーシ
ョン）によって同一のシステムが決定されるか否かにつ
いての判断が要求される。

たとえば、ストックに対する金属切削の結果をシミュレ
ートして得られるソリッド・モデルが、所望の最終パー
ツのソリッド・モデルと一致することを確認することが
重要である。

このような重要なアプリケーションでは、パーツやツー
ルを表現したり、加工効果を反映したりすることのでき
るソリッド・モデルは、セット・セオレティック・ブー
リアン・オペレーションによって、サブソリッドつまり
プリミティブ・ボリュームを組み合わせることによって
指定することができる。そのようなオペレーションの例
としては、セットのユニオン（和）、インターセクショ
ン（Ｍ）、　ｉ５よびディファレンス（差）がある、か
かるソリッドは、コンピュータ・メモリの中に２進水（
バイナリ・ツリー）表現の形で効率よく記憶することの
できるセット・セオレティック・プール式によって表現
可能である。第１図は、２つのサブソリッド（２，３３
のユニオンであるソリッド（１）の２進本表現を示した
ものである。サブソリッド（３）は、ブロック・プリミ
ティブ（４）とシリンダ・プリミティブ（５）のディフ
ァレンスである。このようなツリーの形状（フオーム）
は、プール式（２）＋　（（４）（５））のパージング
（ｐａｒｓｉｎｇ　）によって直に得られる。ツリーの
ルート（ソリッドｌ）は、プール式によって規定される
ソリッドに関連づけられている。ツリーの内部ノードは
、プール式に対応し且つサブソリッドに関連づけられて
いる。

ツリーの葉はプリミティブ・ボリュームに関連づけられ
ている。プリミティブ・ボリュームは概して、比較的単
純な代数学的半空間、すなわち３次元座標系において単
純な多項式で表される関数が正ではない値をとる領域、
のインターセクションである。たとえば、原点を中心と
する半径Ｒのボールは、関数ｘ＊　＋ｙ２４　ｚＮ　−
１（２≦Ｏによって規定される半空間である。任意に位
置づけられ且つ方向づけられたプリミティブ・ボリュー
ムは、剛体運動の変形（ｒｉｇｉｄ　Ｉｌｏｔｉｏｎｔ
ｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｌ　、つまり回転と並進の
組み合わせ、および簡便な局所座標系で規定された合同
プリミティブ・ボリュームによって記述することができ
る、単純なプリミティブ・ボリュームは、球、シリンダ
、コーンなどのタイプ、および半径、長さ、頂角などの
イントリンシック・パラメータによって表わすことが出
来る。かかるツリーは、コンストラクティブ・ソリッド
・ジオメトリ表現として知られており、以下ではＣ３Ｇ
と略す。

プリミティブ・ボリュームの位置や寸法、つまりイント
リンシック・パラメータは、ＣＳＧツリーによって表さ
れるソリッドの全ファミリ中の特定メンバーを特徴づけ
る数個の１次パラメータによって表現することも可能で
ある。したがって、このようにしてパラメータ化された
ＣＧＳ表現は、その寸法が公差限度内で変化し得るパー
ツの組立をモデル化するのに便利であり、よって上述の
問題をモデル化して解くのに用いることができる。

デザイン活動は、一連のステップに分解すると好都合な
場合が多い、つまりサブソリッドのマージによって、あ
るいは幾何学的フィーチャ、ブレンド、フィレットなど
の細部を追加して変更することによって、最終的なソリ
ッド・モデルを段階的に作っていくのである。しかしこ
ういった複雑なプロセスでは、人間のミスはまず避けら
れず、多くの場合、デザイナがステップごとに結果をチ
エツクし、必要なら調整を行うという試行錯誤過程にな
る。そのような調整は、パラメータの値の変更に限られ
る場合もあり、特定のＣＧＳツリーの構造を修正しなけ
ればならない場合もある。幾何形状をデザインする対話
的プロセスの能率は、最終的には、視覚による確認に大
きく依存する。デザイナが、表示装置上である特定のデ
ザインまたは調整ステップの結果を直ちにテストできな
ければならないのである。ＣＧＳパラメータや構造の変
更結果がスクリーンに直ちに反映されるようにするだけ
ではなく、デザイナが、対話的手法により、表示オブジ
ェクトを回転させたりズームしたりすることも可能でな
ければならない、実用性を考慮すれば、表示されたイメ
ージは、曖昧さのない明瞭なものでなければならない、
この点に関していえば、表示結果は、ソリッド表面の反
射光の強度を表示することで重要な形状や方向に関する
情報が伝えられる陰影付きイメージによって向上する。

陰影を正確にモデル化することによって、リアリズムと
視覚的な手がかりが加わる。ただし、シャドウ・モデリ
ングは、パーツのデザインや製造プロセスの解析に必須
であるとは、一般には考えられておらず、ここでも詳細
にはふれな１い。

上述のように、組立解析および製造プロセスのシミュレ
ーションは、ソリッド干渉の反復検出に基づくものであ
り、これは、２つのソリッドのインターセクションが空
集合に相当するか否かのテストを伴う、また該シミュレ
ーションは、ソリッド同士のディファレンスの反復検出
に基づくものでもあり、これには、２つのソリッドのシ
ンメトリック・ディファレンスが空集合に相当するか否
かのテストが含まれる。このようなテストは、ソリッド
が複雑な場合は視認によっては実施できない。またソリ
ッドが単純な場合でも、解析が繰り返しの多いものであ
るために、自動化が必須条件になる。したがって、ここ
で重要なことは、ディファレンスや干渉を検出するタス
クを、コンピュータ・システムによって効率的かつ自動
釣に行うことである。

複雑なＣ３Ｇモデルから陰影付きイメージを生成するに
あたっては、このプロセスが大量のｒｉ４Ｗとデータ処
理を伴うという問題がある。汎用コンピュータで実行さ
れるシェーディング・プログラムは、実行速度が遅すぎ
て対話的デザインには適さず、このプログラムを使うこ
とは、デザイナの時間を有効に使うことにはならない１
表示タスクの一部を実行する専用ハードウェアが一般に
入手できるが、これはＣＳＧモデルの処理には適さない
、はとんどの場合、こういった専用ハードウェアは、ソ
フトウェアによる前処理と組み合わせなければならず、
その場合は、専用ハードウェアの性能は、対話的デザイ
ンに許容し得る限度以下に落ちる。

ここで、本発明によるメリットをより明確にするために
、ソリッド・モデルの陰影付きイメージを形成するため
に開発された手法について説明する。説明から明らかに
なるが、このような手法を汎用コンピュータに実施して
得られる性能は、対話的デザインには適さない。また、
特殊用途向はハードウェアによる手法の欠点についても
述べる。

陰影付き平面や曲面のイメージを生成する機能は、グラ
フィック・ワークステーションで利用できる。これは、
　ＧｏｕｒａｕｄシェーディングあるいはＰｈｏｎｇシ
ェーディングを用いて多角形を塗りつぶす手法を提供す
る。ソリッド・七デラのソフトウェアが、空間内の多角
形の角の座標など、ソリッドの各面を簡潔に記述し、ワ
ークステーションが１面の陰影付きイメージを表示スク
リーンに描く１色と強度は、ユーザが光源の位置とモデ
ル空間内の視点とを定義していれば、面で反射される光
の量を示すために選択される。ユーザは、視点の位置を
変えることで、たとえば表示されたオブジェクトの背面
を確かめたり細部を拡大したりできる。

このようなシステムでは、表示スクリーンが多数のピク
セルすなわち画素に分けられている６面の陰影付きイメ
ージをスクリーンに表示するためには１面が投影される
ピクセルを適宜色付けしなければならない、投影光のピ
クセルは、オブジェクト空間内のスクリーン・モデルを
用い、そのスクリーン・モデルを、実際のスクリーンの
１ピクセルに関連する小さい四角形に分割して決定され
る。第２図かられかるように、面の一点は、モデル空間
において、対応する点と視点とを結ぶ線が、対応する四
角形においてスクリーン・モデルと交わる場合は、ピク
セルを“カバー“する、つまりピクセルによって面の一
点が表示される０面が表示されると、カバーされたピク
セルに前に付けられた色は捨てられる。あるピクセルは
、ソリッド・モデルの数個の面の投影によってカバーで
きるが１表示されるのは視点に最も近い可視面だけであ
り、−隠面”は消去される。このような隠れた面または
表面を消去する手法はいくつか知られている。

前面や背面については（第３ａ図ないし第３ｄ図参照）
　面の内側の各点において、法線はソリッドの外側に向
けられる、と想定した手法がある。視点が与えられると
、モデルの各面は、分離した２つのセット、すなわち前
面から構成されるセットと背面から構成されるセットに
分けられる。このように分ける際には、球などの曲面を
、分離したサブセットに分割しなければならない場合が
ある。前面の各点において、法線は、視点の方向へ向け
られ、そのとき法線と視点に対する方向との角度は９０
°より小さい、背面の各点において法線は、視点から離
れる方向へ向けられ、そのとき法線と視点に対する方向
との角度は、９０°に等しいかまたはより大きい、ソリ
ッド・モデルでは、背面は見えない面である０面がすべ
て平面である多面体モデルの場合、従来のほとんどのシ
ステムは、前面と背面を自動的に区別し、前面だけを表
示するようにという指示を受は付ける。凸面モデルの場
合釜ピクセルは、多くとも１つの前面でカバーされる。

その結果、凸面モデルのイメージにはン前面を表示する
だけで陰影が正しく付けられる。

しかし、第４図に示すように、凸面以外のソリッドの場
合は、表示スクリーンにおける数個の前面の投影像がオ
ーバラップし、処理された面が、たとえ前に処理された
他の面によって部分的にか全体的に隠されてもスクリー
ンに表示されることがある。

可視面だけを表示する最も簡単な方法は、可視面がさえ
ぎる面の後に可視面を表示するようにすることである。

この方法では、各面は、第４図に示すように、後方から
前方へ表示できるよう、よって、さえぎられる面よりも
視点に近い可視面が最後に表示されるように、順序付け
られる。このような順序付けは、視点に依存しないバイ
ナリ・スペース・パーティション（ＢＳＰ）のツリーか
ら導かれる。ただし、ＢＳＰツリーの構造では、演算が
多くなり、ソフトウェアによる前処理が必要になる。そ
してこれは各面の分割を伴うことがある、したがって、
この方法は、リアルタイムで対話的モデル化を行うシス
テムには適さない。

このＢＳＰツリーの前処理ステップをなくそうとする場
合、奥行バッファすなわちＺバッファを用いれば、可視
面を各ピクセルに対して自動的に選択できる。このＺバ
ッファ方式では、各ピクセルはＺバッファ内の格納場所
に関連づけられる。

Ｚバッファの内容は、現在表示されている点の奥行であ
り１代表的な奥行は、視点と表示点との距離で表される
。所定の表示ピクセルに新しい点が表示されるごとに、
投影される点の奥行が、Ｊｇｌｌｒ定のピクセルのメモ
リ位置に格納された奥行と比較される。新しい点が前面
にあれば、すなわち、その奥行が、ピクセルのメモリに
格納されたものより小さい場合、新しい点が表示され、
ピクセルのメモリが更新されるので、このメモリに新し
い点の奥行が反映される。他の場合、新しい点は無視さ
れる。すなわち、新しい点は、すでに表示されている点
の背後に隠れるので見えなくなる。

ある面について、各ピクセルに投影される各点の奥行の
値を生成するプロセスは、スキャン・コンバージョンと
呼ばれる０代表的な奥行値は、ピクセルとピクセルとの
間で一定の奥行の増分を用いたスキャン・ラインの順序
で生成される１本発明との関係で以下に述べる方法では
、面によってカバーされない各ピクセルに、奥行の省略
時の値（デフォルト）が割り当てられる。このデフォル
トは、Ｚバッファで表現可能な最大奥行または最小奥行
であり、最大／最小は面の役割によって決まる。

この方法を、複数の点をａ、ｂ、ｃとして第５８図ない
し第５ｄ図に示す、第５ａ図において、各ピクセルの強
度は、背景の強度に等しく設定され、Ｚバッファに格納
される距離は初めに、無限大または一般に大きい優に等
しく設定される。第５ｂ図では点“ａ−が処理される。

ａ度は、点ａ゛での反射強度に等しくされ、Ｚバッファ
に格納された対応するピクセルの距離は、視点から点”
ａ”への距離に等しくされる。第５Ｃ図では点″′ｂ”
が処理される。′ｂ”までの距離はａ”までの距離より
小さいので、点−ｂ“が表示され、強度は、点“ｂ゛で
の反射強度に等しくされる。さらに、“ｂ“の奥行がＺ
バッファのメモリに格納される。第５ｄ図では点−〇“
が処理される。Ｚ軸に沿った点“Ｃ”までの距離は、そ
の時点でＺバッファ・メモリに格納されている点“ｂ”
の距離より大きいので、点−Ｃ−は無視され、この点の
強度は結局、点”ｂ”の強度となる０点”ｂ”が、対応
するピクセルを通して見える点である。

ＢＳＴツリーあるいは従来のＺバッファを採用する際に
大きな問題となるのが、ソリッドの各面は既知でなけれ
ばならないということである。ソリッドの各面は、ＣＳ
Ｇツリーでは明示的に表現されないため、表示する前に
各面を導く必要がある。このような導出は“バウンダリ
・エバリユエーション”　（境界評価）として知られ、
時間のかかる幾何計算を相当な回数行うという複雑なプ
ロセスである０代表的な境界評価プロセスでは、ソリッ
ドの端部の計算によって、プリミティブ・ボリュームの
各面が切り込まれる（　ｔｒｉａｌ　、端部は最初、曲
面または対をなす表面のインターセクションを生成する
ことによって計算され、次に、これらの曲面が、プリミ
ティブ・ボリュームの他の面とのインターセクションに
従って細分化される。細分化された部分から、ＣＳＧツ
リーで得られたプール式により、最終的なソリッドの端
部が選択される０曲面が３つ以上のプリミティブ面にか
かると、選択時に“端の近傍−を評価するというかなり
コスト高になるオペレーションが必要になることがある
。ここから分かるように、プリミティブが相当数にのぼ
るオブジェクトの場合、代表的な汎用コンピュータ上で
実施される境界評価プロセスは時間がかかりすぎて、対
話的な用途には向かない、その上、１個のプリミティブ
、ボリュームの寸法や位置など、１個のバラメークが変
わると、境界全体の表現を再計算しなければならない場
合もある。このように、計算に時間がかかると、デザイ
ン上のミスを訂正するときよく必要になるような、オブ
ジェクトを簡単に処理するという機能が著しく制限され
る。

境界評価に伴うこの問題は、第６図に示したレイ・キャ
スティング・アルゴリズムを採用することによって回避
できる。このアルゴリズムは、視点とスクリーン・モデ
ルのピクセルとを通過する線あるいはレイ（半直線）を
計算する６次に、かかるレイのそれぞれとソリッドとの
交点が計算される。各レイに沿った最初の交点Ａ（視点
に最も近い）が選択され、レイが当たるその点の面を基
に、関連するピクセルの色が求められる。レイとソリッ
ドとの交点の計算は、最初にレイを、プリミティブ・ボ
リュームの内側１表面、または外側に全体が位置するセ
グメントに分けることによって、各プリミティブ・ボリ
ュームに対してレイを分類し１次に分類結果を、ツリー
をさかのぼって、そのツリーの各ノードに関連するプー
ル演算子に従ってマージすることによって実行できる。

このようなマージは一般に、値の比較と論理漬算を伴う
にすぎない、しかし、プリミティブに対してレイを細分
化するというプロセスでは、線や面の交点を計算する必
要があり、これは表面が複雑になると時間がかかる（こ
のような比較的複雑な面は、高次の多項式の０に対応す
る）、このように、レイ・キャスティング・アルゴリズ
ムをソフトウェアで実施したものは遅すぎて、対話的な
用途には適さない。

各ピクセルに対するスキャン・ライン方式では、所定の
ピクセル列のレイがすべてまとめられ、レイのグループ
として、表示スクリーンの水平の列または線に対応する
。所定の列のレイはすべて、イメージがその列とオーバ
ラップするプリミティブと交差させるだけでよい、この
スキャン・ライン方式は、現在の列で−アクティブなプ
リミティブを記録する。アクティブなプリミティブとは
、その投影像が列とオーバラップするプリミティブであ
る。スクリーン上の列は、−列ごとに、あるいは比較的
小さい連続した列のグループごとにトップダウンに処理
される。プリミティブは、その最上位点が、処理された
列にあるときにアクティブ・リストに加わる。該プリミ
ティブは、その最下位点が、前に処理された列にあると
きにアクティブ・リストから外される。最上位点と最下
位点は、それぞれの頂点をスクリーンに投影したときの
座標によって決定される。境界が平面であるソリッドの
場合、最下位点は比較的簡単に計算できる。また、連続
した列とアクティブな面との交点を計算するために、効
率のよりインクリメンタル方式を用いることもできる。

このようなスキャン・ライン方式は、多面体の境界を表
示するために実施されている。しかし、これまでのスキ
ャン・ライン方式では、ソリッド境界の計算および平面
への分解や近似は遅すぎて、対話の速度で実行すること
はできない。

表示プロセスの速度を上げることを目的とした専用ハー
ドウェア・システムが開発されている。

このような専用システムは当初、ビュー変換（ｖｉｅｗ
ｉｎｇ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｌ　とスキャン
・コンバージョン・プロセスの各部を専用ハードウェア
によって実施していた。性能を改良するために、ハード
ウェアにパラレル・アーキテクチャを用い、ピクセル・
パラレル・アルゴリズムを採用したシステムが開発され
ている。このシステムでは、数個のプロセッサが、異な
るイメージ・セグメントを並列に処理する。この方式を
突きつめたものが、デイスプレィの各ピクセルに小型の
プロセッサを用いるシステムによって提供されている。

いわゆるスキャン・ライン・システムは。

本の仮想走査線に一列のプロセッサを準備することで、
暫定的な手法を提供するものである。ピクセル値が生成
されると、この値はビデオ・デイスプレィに直接書き込
むかくこの場合はビデオ・リフレッシュ・レートで値を
生成する必要がある］、またはフレーム・バッファに格
納することができる。

このような専用ハードウェア・システムは一般に、汎用
コンピュータよりも実質上複雑でありコスト高になる。

さらに、その性質上、Ｃ３Ｇソリツドに対して効率よく
且つ高速にシェーディングを行うという問題に答えてい
ない、また、こうした専用システムにおいても、ソリッ
ドの各面と境界を決定する際およびソリッドのＣＳＧ表
現を処理する際に前述のような欠点がみられるので、シ
ステムの速度が犠牲になる。

上述のように、レイ・キャスティング・アルゴリズムの
マージ・ステップでは、コスト高につながる複雑な計算
を要する。これを避けるために、また、Ｃ３Ｇソリツド
を表示するとき、ハードウェアを充分活用して面のスキ
ャン・コンバージョンおよびビュー変換をサポートする
ために、奥行バッファ・アルゴリズムが提案されている
。

このアルゴリズムは、Ｃ３Ｇツリーを積和の（選書）形
に変換する。この形式でプロダクトはそれぞれ、ソリッ
ドのプリミティブまたはそのコンプリメント（補集合）
のインターセクションである。このアルゴリズムでは、
奥行バッファを使用して各プリミティブの面上の点がプ
ロダクトの中の他の全プリミティブと比較される。この
比較が行われるごとにプロダクトにはない点が除外され
る。残りの点は１表示の前に奥行バッファを使用して処
理され、可視点が選択される。

この方法は、各プリミティブの点の奥行がプロダクト内
の他の全プリミティブと比較されることによってプロダ
クトが与えられるという点が大きな欠点と言える。この
ような比較では、各プロダクト内の各プリミティブにつ
いてスキャン・コンバージョンを何度も繰り返さなけれ
ばならない。

たとえば、プロダクトＡＢＣＤＨのプリミティブＡがス
キャン・コンバートされる場合１面Ｂ、Ｃ，Ｄ、Ｅをス
キャン・コンバートすることによって、プロダクトＡＢ
ＣＤＥ内の可視部に相当する大きさにまでＡを切り込ま
なければならない０次に、Ｂのスキャン・コンバージョ
ンを行うには、残りのプリミティブＣ，Ｄ、Ｅを再びス
キャン・コンバートしてＢをその可視部に相当する大き
さにまで切り込まなければならない、このプロセスは、
プロダクトの全プリミティブが処理されるまで繰り返さ
れる。この例では、Ｅは５回スキャン・コンバートされ
る。

したがって、プロダクト内のプリミティブを繰り返しス
キャンすることをなくした方法、たとえばプロダクトの
プリミティブを１回スキャンするだけでプロダクトが与
えられる方法を目標とするのが望ましい、さらに、すで
に明らかにしたが、ＣＳＧ表現によるソリッドに対して
、実物に近いシェーディングを効率よく高速に実行でき
、かかるソリッド同士のディファレンスや干渉を簡単に
検出する装置も必要である。

Ｃ１課題を解決するための手段 前述の問題は、実物に近い陰影が付けられたソＪツドを
生成する本発明による装置によって解決され、他のメリ
ットも得られる。ソリッドは、Ｃ３Ｇに右いて単純なプ
リミティブ・ボリュームのブーリアン・コンビネーショ
ンと規定されているタイプである１本発明は、ソリッド
同士の干渉とディファレンスを容易に検出するものであ
る１本発明の装置は、アーキテクチャとして、前面と後
面の少なくとも一対の奥行バッファを採用している。こ
れはピクセル・パラレル・コンピュータ・システムで実
現することも、あるいはコンピュータ・グラフィクスで
用いられるスキャン・ライン・コンピュータ・、システ
ム上で効率よくシミュレートすることもできる０本発明
の方法は、Ｚ連結プロダクトと呼ばれる特殊ｔｌブール
式をＣＳＧ表現から抽出するものである。Ｚ連結プロタ
フト式および前面と後面の奥行バッファの対を併用する
ことで、Ｃ３Ｇで規定されたソリッド・オブジェクトの
実物に近いシェーディング像を生成するとき、あるいは
かかるソリッド同士の干渉やディファレンスを検出する
ときの処理効率が大幅に向上する１本発明を実施するこ
とで、ソリッド・モデリングやＣＡＤ／ＣＡＭアプリケ
ーションに用いられるコンピュータ・システムの性能が
大幅に向上する。

本発明はさらに、ＣＳＧで表現されるソリッドのＶＡ影
付きイメージを生成するために、また、かかる２つのソ
リッドの干渉とディファレンスを検出するために利用で
きる６本発明は、Ｚ連結スイープというｆＴ規＋７＞概
念および関連概念を用いる。関連概念としては、任意の
ＣＳＧツリーによって表現されるソリッドは、Ｚ連結プ
ロダクトのユニオンとしても表現できること、またこの
よりなＺ連結プロダクトはそれぞれ、２つのＺ連結スイ
ープのインターセクションとして表すことができるとい
う考え方かある。このほか、スイープによるＺ連結プロ
ダクトの式は、ＣＳＧツリーから直接かつ効率的に抽出
可能である。

本発明は、任意のＺ連結プロダクトによって占有される
ボリュームが、２つの奥行バッファによって完全に表現
されることと、２＊結プロダクトから反射する光の強度
が、強度バッファに格納されるということを示すもので
ある、Ｚつの奥行バッファと１つの強度バッファとを含
むＺ連結プロダクトのトリプル・バッファ表現は、この
プロダクトを規定する各Ｚ連結スイープを１回だけスキ
ャン・コンバートすることによって生成される。さらに
、スキャン・コンバージョンの間、空プロダクトおよび
特定のラインを含むプロダクトの空インターセクション
が簡単に検出される。

本発明はさらに、各Ｚ連結プロダクトの前面バッファを
従来の奥行バッファにマージすることによって最終的な
イメージが容易に得られることと、中間プロダクトを格
納して全体的なパフォーマンスを向−ヒさせるために、
数組のトリプル・バッファを採用できることを示すもの
でもある。

本発明により、トリプル・バッファを備える数個のプロ
セッサが作動して１、プロダクトが評価され、各プロダ
クトの評価結果が１つのＺバッファにマージされる。Ｃ
ＳＧツリーに沿って処理が進むと、積和ツリーを展開す
ることなく、各Ｚ連結プロダクトの表現が得られる。こ
の表現は、各スイープを規定するプリミティブの前面ま
たは後面に関するレファレンスのリストである。各Ｚ連
結プロダクトのＺバッファ表現は、直ちに生成され、プ
ロダクトの各プリミティブ面は１回スキャン・コンバー
トするだけですむ。

干渉またはディファレンスの検出プロセスは、空でない
Ｚ連結プロダクトが検知されたとき終了する。

陰影付きイメージの生成では、強度バッファが、各Ｚ連
結プロダクトの奥行バッファ表現とともに計算される０
強度バッファは、Ｚ連結プロダクトによって表現される
ソリッドのイメージを含む。各プロダクトの表現は、イ
ンクリメンタルに統合されて、最終イメージが表現され
る。このような組み合わせオペレーションの間、各ピク
セルについて、視点に最も近いＺ連結プロダクトの前面
の奥行を格納することによって、各Ｚ連結プロダクトの
可視部を還択するために、汎用奥行バッファが用いられ
る。また、Ｚ連結プロダクトの前面の可視部（サブセッ
ト）のイメージを格納するために汎用強度バッファも採
用される。

本発明の方法は、上述のピクセル・パラレル・アルゴリ
ズムと同様に、スキャン・ライン・アーキテクチャを用
いることによって、並列の全ピクセルを対象として、あ
るいは−度に数列のピクセルのみを対象として実施でき
る。

本発明では、奥行バッファと強度バッファをそれぞれ追
加して、前面奥行バッファ、後面奥行バッファおよび強
度バッファを含むトリブレットのグループに分゛け、Ｚ
連結プロダクトのユニオンへの展開が終了していないプ
ール式を１パスで処理することも可能である。バッファ
のトリプレットを複数個用いることで、各プリミティブ
面の処理回数の合計が小さくなり１本発明の装置全体の
効率と速度も大きく改良される。

各プロダクトに３つのバッファ（前面奥行バッファ、後
面奥行バッファ、強度バッファ）を用いる代わりに、こ
こで示したアルゴリズムの中には、２つのバッファ（前
面奥行バッファと強度バッファ）ｉ５よび１つのビット
・マスクしか必要としないものがある。したがって後面
奥行バッファは（代表的なものはｌピクセル当り少なく
とも２４ビツトのメモリを要する）、メモリが１ピクセ
ル当り１ビツトだけの小型のバッファと置き換えること
ができる。フルスクリーンに奥行バッファが用いられる
場合、このような節約の意味は大きい。

本発明によるスキャン・アーキテクチャ・システムは、
プリミティブ面すなわち半空間をすべて処理することな
く、ｚ連結プロダクトを自動的に除外する。除外される
のは、Ｚ連結プロダクトの規定に用いられるＺ連結スイ
ープが、表示が計算されるピクセルの列と交差しないと
きである。また、所定のＺ連結プロダクトですでに処理
されているすべてのＺ連結スイープの１面の列に対する
投影像が交差しないときも除外が起こる。このような交
差（インターセクション）は、スキャン・ライン表示ア
ルゴリズムによってインクリメンタルに決定される。

Ｄ、実施例 ここではＣＳＧ表現は、プロダクトのユニオンによって
表し、各プロダクトが、前面と後面のスイープのインタ
ーセクションとなり、一定のコネクティビティ・プロパ
ティを示すセットを表すようにする。また、このような
分解が任意のＣＳＧ表現からどのように導かれるかを示
し、かかる分解を採用する方法についても説明する。陰
影が正しく付けられたイメージを生成するために、また
、干渉とディファレンスをＣＳＧから直にテストするた
めに、トリプル奥行バッファまたは２バツフアを用いる
方法を示している。さらに、スキャン・ライン・アーキ
テクチャにおいてこのようなトリプル奥行バッファを使
用することについても説明している。

先にも述べたとおり、ソリッドの面が分かれば、ソリッ
ドの陰影付きイメージは、各面を表示することによって
、およびＺバッファを用いて隠面な消去することによっ
て生成できる０面が表示される順序は、可視面がＺバッ
ファによって自動的に選択されるという意味において重
要ではない、その上、Ｚバッファを用いると、ソリッド
の内側にある別の面を表示しようとしても、別の面のい
ずれの点も、ソリッド前面の少なくとも１点の背後にく
るという意味で、イメージに対しては効果がない。

この性質を生かし、また本発明によって、Ｚバッファの
用途を拡大してソリッドの陰影付けが行われる。その場
合、ソリッドは、交差すると考えられる有限個のサブソ
リッドのユニオンと定義される。このソリッドを、ここ
ではプロダクトという、ソリッドの面は、全プロダクト
の面のサブセットである。さらに、プロダクトの面上の
任意の点は、ソリッド上またはソリッドの内側にある。

所定のピクセルに投影される点の中では、視点に最も近
い１点だけが表示される。このピクセルのＺバッファ・
メモリは、最も近い点の奥行を含む、この奥行は、ピク
セルに投影される全点の奥行のうち最小の奥行である。

実際、考慮すべきは、各プロダクトの前面上の点だけで
ある。

そこで、プロダクトの前面が分かっている場合、Ｚバッ
ファは、ソリッド全体の正しい陰影付きイメージを生成
する。ここで、本発明により。

２つのＺバッファと一時強度バッファを追加することで
、Ｃ３Ｇツリーによって表されるソリッドが、どのよう
にしてプロダクトのユニオンとして表され、各プロダク
トの前面が決定されるかについて説明する。

コンピュータによって作成するグラフィクスに用いられ
る標準座撫系は、スクリーン・モデルがＺ軸に対して直
角になると規定される。ソリッドは、Ｚ軸に平行な任意
の線とのインターセクションが連結される場合（全集合
、単点または連結線分）にのみＺ連結されているという
。この意味で、凸面ソリッドは、その方向はどうあれ、
Ｚ連結されているが、非凸面ソリッドはＺ連結されてい
る場合とそうでない場合もあり得る。これは非凸面ソリ
ッドの形状によって、また視点によって決まる。第７ａ
図では、非凸面ソリッドがＺ連結されているが、同じ非
凸面ソリッドか、第７ｂ図ではＺ連結されていない、こ
れは１表面の凹部が視点からは見えないからである。さ
らに、共通のプリミティブ・ボリュームは、２連結セツ
トに常に分解可能である。ブロック、球、シリンダおよ
びハーフ・コーンは凸面ソリッドであり、よって常にＺ
連結される。ただし、トーラス（円環体）は、対称軸が
Ｚ軸に対して充分に小さい角度をなす場合は、Ｚ連結さ
れた非凸面プリミティブ・ポリュームの一つである。し
かしその角度が一定の値を超える場合、トーラスはＺ連
結されなくなる。しかしそれでも、２つの分離したＺ連
結ボリュームに分解することは可能である。このような
分解は、前面または後面を新たに導入することなく行え
るが、一般には、トーラスを、Ｚ連結された部分に２等
分する方がはるかに容易である。

第８ａ図は、Ｚ連結セットＳを示す、第８ｂ図は、ソリ
ッドＳの前面スイープＳｆが、初期位置から正のＺ方向
へ無限に移動するとき、あるいは視点から無限に離れる
とき、Ｓによってスイープされる空間領域であることを
示す、同様に、第８Ｃ図は、Ｓの後面スイープｓｂが、
初期位置から負のＺ方向へ無限に移動するとき、あるい
は視点の方向へ無限に移動するとき、Ｓによってスイー
プされる空間領域であることを示す、Ｓｆとｓｂは、有
界ではないＺ連結セットである。

第９図に示すように、ＳかＺ連結されていれば、ＳはＳ
ｆとｓｂのインターセクションに等しい。さらに、前面
または後面のスイープのコンプリメント（補集合）がＺ
連結されることと、前面または後面の任意個数のスイー
プのインターセクションＰがＺ連結されることは可能で
ある。その結果、インターセクションは、２つのスイー
プＰｆとｐｂだけのインターセクションとして表せる（
それぞれＰの前面スイープと後面スイープ）。

Ｐｆは、後面がないので、前面によって完全に表現され
る。逆にｐｂは、後面によって完全に表現される。よっ
て、Ｐｆとｐｂはそれぞれ、解像度すなわちピクセル数
によって決まる精度の範囲内で、単一のＺバッファＺｆ
とｚｂによって表すことができる。

プロダクト表現を決定する場合には、どのようなＣＳＧ
ツリーもプロダクトのユニオンとして表すことができ、
各プロダクトＰは、複数の前面スイープと複数の後面ス
イープのインターセクションになる１本発明により、シ
ェーディング・プロセスおよび干渉とディファレンスの
検出プロセスでは、かかるプロダクトが、Ｚバッファで
表され、２つのＺバッファＦ、Ｂを使用することによっ
て形成される。Ｆの内容は、各ピクセルについて、ピク
セルに投影されるｐｂを規定するスイープの後面におけ
る全点の最小奥行を格納することによって決定される。

Ｂの内容は、各ピクセルについて、ピクセルに投影され
るｐｂを規定するスイープの前面における全点の最大奥
行を格納することによって決定される。したがって、Ｆ
を計算するためには、Ｐの前面スイープの各面をトラバ
ースするだけでよい、さらに、前面はそれぞれ１回トラ
バースするだけですむ、同様に、Ｂを計算するには、後
面スイープの各面を１回だけトラバースすればよい。

上述のように決定されるＦとＢはそれぞれ、Ｐを規定す
る前面スイープと後面スイープのすべてのインターセク
ションを表す、ただしＰは、先にｐｂとＰｆとのインタ
ーセクションと示した。したがって、Ｐの前面は、第１
Ｏ図に示すように、Ｆに格納された前面に含まれる（同
一である必要はない）、実際上、Ｐの前面は、Ｂに格納
された後面の前にくるＦに格納された前面の部分と等し
い、よって、Ｐの・前面の範囲は、各ピクセルについて
、Ｆに格納された奥行とＢに格納された奥行とを比較す
ることによって決定される。

上述の内容は、本発明により、第１１ａ図に示すように
トリプルＺバッファ・アーキテクチャを持つソリッド・
モデリング、システムｌＯにて実施される、ピクセル・
メモリ１２には１表示スクリーン１４の全体に対応する
フルフレーム・バッファ、またはスキャン・ライン方式
のシステムに対応するライン・バッファを使用できる。

いずれの場合も、ピクセル・メモリ１２に格納される各
ピクセルについて、５つのストレージ・エントリが５つ
のバッファにグループ分けされる。これらのバッファの
１つは、−時画面ＺバッファＦ１６として、現在処理さ
れているＺ連結プロダクトの前面の奥行を格納する。他
のバッファの１つは。

−時後面ＺバッファＢｌＢとして、現在処理されている
Ｚ連結プロダクトの後面の奥行を格納する。他のバッフ
ァの１つは、最終ＺバッファＺ２０として、表示された
ソリッド全体の前面に関連する奥行を格納する。残りの
２つのバッファは、現在のプロダクトの強度を格納する
一時強度バッファＴ２２と、表示されたソリッド全体の
可視面の強度を格納する最終強度バッファＩ２４である
。

実流例においてバス２６は、これらのバッファを相互に
接続し、またプロセッサ２８にも接続する。プロセッサ
２８は、中央処理装置あるいは周辺装置プロセッサとし
て、バッファを管理し、本発明の方法を実施する命令を
実行する。そのため、プロセッサ２８は、バッファや表
示の管理、オペレータの操作、その他のプロセッサ２８
の機能に必要なデータや命令を格納するほか、表示され
たソリッドを規定するＣ３Ｇツリー構造を格納するメモ
リ３０を備える、ピクセル・メモリ１２は、いろいろな
方法で構成でき、また、Ｚバッファと強度バッファのそ
れぞれに関連する２４ビツトのピクセル・ワードを規定
するために、たとえば、１ビツトの格納場所を２４ブレ
ーン含むメモリとしてもよい。

本発明の方法により、プロセッサ２８は、元のＣ３Ｇツ
リーをトラバースして、Ｚ連結プロダクトを個別に処理
する。あるプロダクトを考えると、Ｆ１６、Ｂ１８、Ｔ
２２それぞれの内容は、各スイープにおいてＺ連結プロ
ダクトに寄与する部分を取り込むことによって決定され
る。プロダクトの前面と後面のスイープがすべて処理さ
れると、その結果は、Ｒ終バッファ２２０とＩ２４に取
り込まれる。以下に、スキャン・ライン・アーキテクチ
ャ・システムを対象にしてこの方法を記述したアルゴリ
ズムについて説明する。このアルゴリズムは、ピクセル
の各列について繰り返されるものである。

この高度なアルゴリズムでは、符号ＬＴは−より少ない
“を表す。

Ｚ＝後面奥行： ■＝背景色： ＦＯＲＥＡＣＨ（プロダクトｐについて）ＤＯＥＧＩＮ Ｆ＝後面奥行： Ｂ＝前面奥行： Ｔ＝背景色： １ｅｆｔ＝　　０　　： ｒｉｇｈｔ　　＝　０　　： ＦＯＲＥＡＣＨ（プロダクト・スイープの９面りについ
て）Ｄ。

ＥＧＩＮ ｈｌ＝ｈスタート・ピクセル： ｈｒ＝ｈラスト・ピクセル： ＩＦ（ｈが正のとき）ＴＨＥＮ ＥＧＩＮ ｌｅｆｔ　＝ＭＡＸ　（ｌｅｆｔ、　　ｈ　ｌ　）　　
：ｒｉｇｈｔ　＝Ｍ　Ｉ　Ｎ　（ｒｉｇｈｔ、ｈ　ｒ　
）　　；ＦＯＲ（その列のピクセルＸについて）ＤＯＩ
Ｆ（ｈが正ではない、かっＸはインターバル（ｌｒ、ｈ
ｒ）、またはｈが正、か つｘはインターバル（１ｅｆｔ、ｒｉｇｈｔｌＯ ＥＧＩＮ ｄ＝ｈ奥行（Ｘ）： ＩＰ（ｈが前面）ＴＨＥＮ ＥＧＩＮ ＩＦ　　　ｄ　　　ＧＴ　　　Ｆ（ｘ）ＥＧＩＮ Ｆ　　（ｘ）　　＝ｄ　　： ＴＨＥＮ Ｔ　（ｘ）＝ｈ強度（Ｘ）： ＥＮＤ　　： ＥＮｒ）； ＥＬＳＥ　　　ＩＦ　　　ｄ　　　ＬＴ　　　Ｂ（ｘ）
ＴＨＥＮ　　　Ｂ　　（ｘ）＝ｄ　　；ＥＮＤ　　。

ＥＮＤ　　： ＦＯＲＥＡＣＨ（ピクセルＸについて）０ ＩＦ（ｘはインターバル（１ｅｆｔ。

ｒｉｇｈｔｌｌ　”「ＨＥ　Ｎ ＩＦ　　Ｆ（ｘ）　　ＬＴ　　ＭＡＸ（Ｂ（ｘ）、Ｚ　
（ｘ）） Ｔ　ＨＥ　Ｎ　　Ｂ　Ｅ　Ｇ　Ｉ　Ｎ　　Ｚ（ｘ）＝Ｆ
　　（ｘ）　　：　　Ｉ　　（ｘ）＝Ｔ　　（ｘ）　　
：ＥＮＤ： ＥＮＤ　　： 第１２図に、上記のアルゴリズムのオペレーションの流
れ図を示す。これはスキャン・ライン方式とは異なり、
フルフレーム・バッファとＺバッファを用いたものであ
る。

本発明により、干渉またはディファレンスを検出するこ
とによって、たとえば２つのソリッドＡ、Ｂが干渉する
かどうか、あるいは同一かどうかを決定する装置が提供
される。前述の表示アルゴリズムに手を加えたものが、
Ａ、Ｂまたは（Ａ−Ｂ）ユニオン（Ｂ−Ａ）のＣＳＧ表
現に適用される。この決定では、空ではないプロダクト
が検出されるまで各プロダクトが評価されるという意味
で、最終バッファ２２０も、どのような強度バッファ（
２２，２４）も必要ない、上述のアルゴリズムに従って
、プロダクトに対応する前面と後面のＺバッファが決定
されると、先に示した最後のＦＯＲＥＡＣＨループに代
えて下記のテストが実行される。

ＦＯＲＥＡＣＨ（ｘが１ｅｆｔ、ｒｉｇｈｔｌ　Ｄ　Ｏ
ＩＦ　　Ｆ（ｘ）　　ＬＴ　　Ｂ（ｘ）Ｔ　［Ｅ　Ｎ　
　ＲＥ　Ｔ　Ｕ　ＲＮ　ｌｎｏｔｅｍｐｔｙｌ　： ＥＮＤ　。

（ｎｏｔ　−ｅｎ＋ｐＬｙｌが返ると、これは、干渉が
存在するか、または２つのソリッドが同一でないことを
示す。

ここで、任意のＣＳＧツリーを考えた場合に。

Ｚ連結プロダクトのユニオンであるＣ３Ｇツリーを生成
する一連の変換処理について説明する。この場合、各プ
ロダクトは前面または後面のスイープのインターセクシ
ョンである。前面または後面のスイープは、元のＣＳＧ
ツリーのプリミティブ・ボリュームの性質と位置から簡
単に決定される。

第１３図の流れ図に示すとおり、下記の変換シーケンス
により、該Ｃ３Ｇツリーが生成される。

ブロックＡにおいて、Ｚ連結されていない各プリミティ
ブ・ボリュームまたは半空間は、Ｚ連結サブボリューム
のユニオンに置き換えられる。ブロックＢにおいて、各
プリミティブ・ボリュームまたは半空間は、その前面ス
イープと後面スイープのインターセクションに置き換え
られる。ブロックＣでは、ツリーの各ディファレンスＷ
４ＴＸ子がインターセクション演算子に置き換えられ、
その演算子の右側のサブツリーがコンプリメントされる
。右のサブツリーをコンプリメントするステップでは、
このサブツリーは、ド・モルガンのコンプリメンテ−ジ
ョンの法則を適用することによ−）て、等価なサブツリ
ーに変換される。コンプリメントされた前面スイープは
後面スイープと呼ばれ、この逆も成り立つ。

前記のステップが実行された結果１葉がＺ連結スイープ
であり、内部ノードがユニオンまたはインターセクショ
ン・ノードに対応するＣＳＧツリーが得られる。このツ
リーは、元のソリッドを表すプール式に対応する。この
式のユ・ニオンにインターセクションを分配すると、選
言形である別の等価な式すなわち積和ともいうインター
セクションのユニオンが得られる。この等価式はまた、
ＣＳＧツリーとして格納しやすい。

展開したツリーを作る必要はなく、実際上、展開したツ
リーは通常、元のツリーよりかなり大きくなるので、避
ける方が望ましい０本発明は、新しいツリーを形成する
代わりに、元のＣ３Ｇツリーを用いて、前面と後面のス
イープのリストを生成できるようにするものである。こ
のリストは、各プロダクトの要素から成り、よって該プ
ロセスに必要な記憶域を大幅に節約できる。

選言標準形の連続環は１元のツリーを繰り返しトラバー
スすることによって、“速やかに一生成される。この方
法は、再帰的呼び出しを通して各ノードの符号を伝播す
るブリオーダ・ツリー・トラパーサルを実行するもので
ある。各内部ノードにおいて、等価な演算子すなわち正
の値をとる対応するノードの演算子の性質が決定される
。所定のプロダクトのリテラルを得るために、この方法
では１元のＣ３Ｇツリーがトップダウンにトラバースさ
れる。等価な演算子がインターセクションであるとき、
左右両方の子が再帰的に辿られる、　等価な演算子がユ
ニオンのとき、辿られる子は１個のみである。いずれの
子かは、どのプロダクトが計算されるかによる０葉に達
すると、対応するリテラル、または元のツリーのプリミ
ティブとその符号が表示アルゴリズムによって処理され
る。各にオン・ノードでどのパスを取るかを決定するた
めに、方向フラグが初期化されて、左の子が指示される
。左の子のプロダクトの組み合わせがすべて生成される
と、方向フラグが変更され、右の子が指示される。右の
子のプロダクトの組み合わせがすべて生成されると、方
向フラグが変更され、再び左の子が指示される。このプ
ロセスは、全プロダクトか生成されるまで繰り返される
。

本発明をマルチプロセッサで実施すれば、各プロセッサ
はトリプル・バッファに関連する。Ｚ連結プロダクトを
規定する式は、別々のプロセッサに送られ、プロダクト
のトリプル・バッファ表現が並列に構成される。あるプ
ロセッサが２連結プロダクトの評価を終了すると、その
プロセッサは結果を共通のＺバッファにマージし、そこ
で次のプロダクトを処理できるようになる。

プリミティブ・ボリュームの面Ａを何回スキャン・コン
バートすべきかは、Ａを含む、すなわち展開されたＣ３
Ｇツリーの形のＺ連結プロダクトが何個あるかの関数で
ある。以下の説明かられかるように、本発明により、あ
るサブツリーについては全プロダクトの生成をなくすこ
とによって、ＣＳＧツリーを処理するパフォーマンスが
さらに向上する。すなわち、本発明は、積和の形式では
ないＣＳＧツリーを処理する方法を提供し、結果的に、
各プリミティブに対して必要なスキャン・コンバージョ
ンの回数を少なくするものである。

特に、あるクラスのサブツリーが規定され、これが、ど
のようなプリミティブ面も２回以上スキャン・コンバー
トすることなく処理される。詳しくは後述するが、この
ようなプロセスには、３つのＺバッファと２つの強度バ
ッファを用いるプロセス、および４つのＺバッファと３
つの強度バッファを用いるプロセスが含まれる。またＣ
１０表現の一般形も示すが、これは、反復スキャンを行
わずに処理しやすい、さらに、バッファを追加便用でき
ることから、各プリミティブをスキャン・コンバートす
る回数がさらに減り、特に、比較的大きいサブツリーの
処理は、プロダクトのどのプリミティブ面も２回以上ス
キャン・コンバートすることなく行える。

スキャン・コンバージョンは、規定された多角形のスク
リーン座標に基づき、多角形を連続スキャンして、多角
形が投影されるピクセルをカバーする点のリストを生成
するプロセスとして知られている、ピクセルのリストに
は、ピクセルのレファレンスとなる多角形上の点のＺ軸
に沿った匁行のほか、各ピクセルのＸ／Ｙ位置が含まれ
る。従来のシステムでは、この奥行は、多角形が投影さ
れる各ピクセルに関連したｔＵの奥行バッファまたはＺ
バッファの場所に格納される。

面によってカバーされないピクセルについては、用いら
れる奥行は、スキャンされた面が正のプリミティブの前
面あるいは負のプリミティブの後面であれば、最大値で
ある。他の場合は、最小奥行値が用いられる。

先に示したように、Ｚ連結プロダクトは２つのＺバッフ
ァによって表現できる。さらに言えば。

Ｚ連結プロダクトのコンプリメントも２つのＺバッファ
によって表現でき、Ｚ連結された前面と後面のスイープ
であるか、またはＺ連結セットのコンプリメントのいず
れかであるセットのプロダクトの前面は、２つのＺバッ
ファと１つの一時強・度バッファだけで決定でき、コン
プリメントされていないスイープのスキャン・コンバー
ジョンは１回行うだけでよい、さらに付は加えれば、２
つのＺ連結プロダクトのディファレンスの前面は。

最初のプロダクトが１つの前面スイープしかちたない場
合は、２つの２バツフアと１つの一時強度バッファを使
用するだけで決定でき、各スイープは１回スキャン・コ
ンバートするだけでよい、また、２つのＺ連結プロダク
トのディファレンスの前面は、３つのＺバッファと１つ
の一時強度バツファを使用することによって決定でき、
各スイープのスキャン・コンバージョンは１回だけです
む。さらにまた、ＣＳＧで２つのプロダクトのディファ
レンスのユニオンと規定されたソリッドであって、最初
のディファレンスを除き、各ディファレンスの最初のプ
ロダクトが前面スイープを１つしかもたないソリッドは
、３つのＺバッファと２つの強度バッファを用いること
で決定でき、各スイープのスキャン・コンバージョンは
１回ですむ、そして、ＣＳＧにおいて２つのプロダクト
のディファレンスのユニオンと規定されたソリッドは、
４つのＺバッファと２つの強度バッファだけで決定でき
、各スイープのスキャン・コンバージョンは１回ですむ
。

数学的にはＲセットと定義されるソリッドの表現は、本
来的にそのコンプリメントを規定する。

したがって、Ｚ連結セットがその前面と後面のスイープ
によって表されるのであるから、ソリッドのコンプリメ
ン１−も、２つのスイープが有界なソリッドまたはその
コンプリメントを表現するとすれば、同じ２つのスイー
プによって表される。

ここで、プリミティブのプロダクトとプリミティブのコ
ンプリメントのプロダクトについて、Ｚ連結された前面
と後面のスイープのプロダクトな■）とする。コンプリ
メントされたに個の２連結セツトをＱｌ、Ｑ２１．、、
、Ｑｋとする（ｋ個のプリミティブ・ボリュームのコン
プリメントなど）、ＰとＱｌ、Ｑ２２．、、、Ｑｋのプ
ロダクトをＳとする。１からｋまでをｉとしたとき、各
Ｑｉは、２つのＺ連結スイープのユニオンである６代表
的なプリミティブ・ボリュームは、ｚ４結スイープのイ
ンターセクションであり、よってそのコンプリメントは
、これらのスイープ（Ｚ連結されている）のコンプリメ
ントのユニオンであることが分かっている。したがって
、各Ｑｉを２つの２連結スイーブのユニオンとすると、
ＳをＺ連結スイープ、の積和に展開すれば、２ｋｇＡの
プロダクトが得られる。各プロダクトは、ＰとｋｍのＺ
連結スイープとのインターセクションであり、それぞれ
異なるＱｌからのものである。Ｓを、そのプロダクト全
部を生成することによって処理すれば、Ｐｆ！−規定す
る各スイープを２′回スキャン・コンバートし、Ｑｌの
コンプリメントされた各スイープをに回スキャン・コン
バートする必要がある。ただし、以下に述べる方法では
、Ｓの一般形をもつ各サブツリーにＰを規定するスイー
プを繰り返しスキャンする必要はない、それでも、この
プロセスは、各Ｑｌをに回スキャン・コンバートするも
のである。

本発明により、以下のシーケンス（第１４図の流れ図に
も示した）が、２連結セツトまたはＺ連結セットのイン
ターセクションである葉のインターセクションとして表
現できる各サブツリーについて実行される。特に、この
ようなサブツリーは、２連結プロダクトをＣ３Ｇから抽
出するための前述のプロセスを面素１ヒする場合に生じ
る。具体的には、プリミティブ・ボリュームは、リテラ
ルとして処理され、展開プロセスにおいては、その前面
と後面のスイープのインターセクションとみなす必要は
ない、その結果は、各プロダクトが正または負のプリミ
ティブのインターセクションである積和となり、ＺＭ結
する必要がない、かかるプロダクトはそれぞれ、Ｐ＊Ｑ
ｌ＊Ｑ２＊９９本Ｑｋと書ける。かかるプロダクトはそ
れぞれ、第１１ａ図のブロック図および第１４図の流れ
図に従って、下記の方法によって処理される。

初めに、最大奥行テストによってＰの前面スイープをス
キャン・コンバートして、結果をＦ１６に置き、視点か
ら最も遠い点を得て、Ｔ２２に格納された対応する強度
と入れ換える。そして以下のプロセスをに回繰り返す、
すなわち、各コンプリメントＱｉについて、Ｑｉの後面
スイープをスキャン・コンバートして、結果を８１８に
置き、Ｑｉの前面スイープをスキャン・コンバートして
、結果がＦ１６の後にきて、８１８がＦ１６の前にくれ
ば、結果をＦ１６に格納する。この場合、Ｔ２２の強度
も更新される０次に、Ｐの後面スイープが最大奥行テス
トによってレンダリングされてＢ１８に入る。最後に、
８１８の前にくるＦ１６の部分が２２０と【２４に統合
される。ここでは、コンプリメントされたプリミティブ
の後面スイープが１元のプリミティブの前面スイープに
対応すること、また、その逆も成り立つことに留意され
たい。

２つのＺバッファを用いてプリミティブ・マイナス・プ
ロダクトを考え、前面と後面のスイープのプロダクトを
１）とする、プリミティブを、あるいは広い意味では１
個の前面スイープと有限個の後面スイープとのインター
セクションを、Ａとする。ディファレンスＡ−Ｐは、２
つのＺバッファＦ１６．８１８と一時強度バッファＴ２
２を用いて、以下のステップ（第１５図の流れ図にも示
した）によって各面を１回スキャン・コンバートすれば
求められる。

最初に、奥行バッファ・テストによって、Ｐの後面スイ
ープをスキャン・コンバートして、結果をＢ１８に置く
ことによって、常に最大距離の点を格納する。次に、奥
行バッファ・テストによって、Ｐの前面スイープをスキ
ャン・コンバートして、結果をＦ１６に置くことにより
、常に最小距離の点を格納し、前面に最も近い点に関連
する強度もＴ２２に格納する。そして、Ａの前面スイー
プだけをスキャン・コンバートし、Ｂ１８の前またはＦ
１６の後にくる各点の奥行をＦＬ６に格納し、関連する
強度をＴ２２に格納する。次に、Ｂ１８をクリアし、へ
の後面スイープをすべてスキャン・コンバートして、結
果をＢ１８に置き、前記の最小奥行テストによりそれら
のインターセクションを求める。最後に、Ｂ１８の前に
くるＦ１６の部分をＺ２Ｑと１２４に統合する。

３つのＺバッファを用いたプロダクト・マイナス・プロ
ダクトを考え、前面と後面のスイープのプロダクトをＡ
およびＰとする。ディファレンスＡ−Ｐは、（第１６図
の流れ図にも示した）下記のステップによって、３つの
ＺバッファＦ１６．８１８．２２０と２つの強度バッフ
ァＴ２２、Ｉ２４を用いて各面を１回スキャン・コンバ
ートすることによって求められる。

最初に、奥行バッファ・テストを適用してＰの後面スイ
ープをスキャン・コンバートし、結果をＢ１８に置く０
次に、奥行バッファ・テストを適用してＰの前面スイー
プをスキャン・コンバートし、結果なＦ１６に置き、そ
のユニオンを得て、最小距離の点を格納し、前面に最も
近い点に関連する強度をＴ２２に格納する１次に、Ａの
前面スイープをすべてスキャン・コンバートして、結果
を２２０に置き、最大奥行バッファ・テストによりその
インターセクションを求め、前面に最も近い点の強度を
１２４に格納する。そして、２２０と■−２４によって
規定された各点について、その点がＢ１８の前またはＦ
１６の後にくれば、その点の奥行をＦ１６に、関連する
強度をＴ２２にそれぞれ格納する０次に、Ｂ１８をクリ
アし、Ａの後面スイープをすべてスキャン・コンバート
して、結果をＢ１８に置き、そのインターセクションを
前述の最小奥行テストを適用して求める。最後に、Ｂ１
８の前にくるＦ１６の部分を２２０と１２４に統合する
６ 上記の各方法は、ＣＳＧにおいてサブツリーのユニオン
として表せるソリッドの処理に適用できる。ここで各サ
ブツリーは２つのプロダクトのディファレンスである。

このような構成のとき、本発明によれば、各面のスキャ
ン・コンバージョンは１回だけ行われる。

Ｃ３Ｇにおいて２つのプロダクトのディファレンスのユ
ニオンとして規定され、最初のディファレンスを除き、
各ディファレンスの最初のプロダクトが１つの前面スイ
ープしかもたないソリッドは、３つのＺバッファと２つ
の強度バッファによって決定される。これは、先に示し
たとおり、５つのバッファをすべて用いることで最初の
ディファレンスが決定され、後のディファレンスに対し
ては２つのＺバッファと１つの強度バッファしか必要と
しないからである。ただし、システムｌＯに右いて、４
つのＺバッファと３つの強度バッファが使用できれば（
第１１ｂ図参照）、ＣＳＧにおいて２つのＺ連結プロダ
クトのディファレンスのユニオンと規定されたソリッド
は、表示あるいはヌル（空）オブジェクトの検出を目的
として、上述のように各プリミティブ・ボリュームの各
面を１回だけスキャン・コンバートすることによって処
理される。プロダクトの各ディファレンスは、上述のよ
うに３つのＺバッファと２つの強度バッファを用いるこ
とによって処理され、その結果は後に、第４のグローバ
ルＺバッファ３２と第３のグローバル強度バッファ３４
に統合される。

これまでに述べた本発明は、ハードウェアに専用バッフ
ァを使用したパラレルをあるいはスキャン・ライン型の
グラフィクス処理システムをはじめ、様々な形態で実施
できることが分かっている。また、各種のＺバッファと
強度バッファにメモリ領域が割り当てられた汎用コンピ
ュータにも実施できる。さらに、前述の本発明の方法に
は、後面バッファＢを必要としないか、またはｌピクセ
ル当り１ビツトのメモリしか持たない比較的小型のバッ
ファに置き換えられる場合にも実施できる方法のあるこ
とが確かめられている。たとえば、前面と後面のスイー
プのプロダクトの前面は、下記の方法によって、前面バ
ッファＦ１６と強度バッファＴ２２だけで計算でき、後
面バッファＢｌＢは全く使用する必要がないこの方法は
第１２図に示した方法の変形である。各プロダクトにつ
いて、第１２図のように、最初に前面スイープをすべて
スキャン・コンバートする０次に、後面スイープをスキ
ャン・コンバートして、結果を３１８に置いた後、Ｂ１
８を用いて、Ｚ２０にマージされるＦ１ａの部分を切り
込む代わりに、後面スイープを一度に１つ用いてＦ１ａ
を直接切り込む、後面をスキャン・コンバートする際に
は１面によってカバーされないピクセルに対して最小奥
行値を用いることを考慮して、Ｆ１ａは、Ｆ１ａに格納
された奥行がスキャン・コンバージョンによって生成さ
れた奥行を超えるピクセルにおいて、表示可能な最大奥
行に置き換えられる。

このほか、一定のオペレーションを実行する順序は重要
ではないこと、そしてオペレーションの順序を変更して
同じ機能を実行するときに、他の方法も導かれることが
確かめられている。

Ｅ、効果 本発明によれば、ＣＳＧで規定されたソリッド・オブジ
ェクトの実物に近いシェーディング像を生成するとき、
あるいはかかるソリッド同士の干渉やディファレンスを
検出するときの処理効率が大幅に向上する０本発明を実
施することで、ソリッド・モデリングやＣＡＤ／ＣＡＭ
アプリケーションに用いられるコンピュータ・システム
の性能が大幅に向上する。

【図面の簡単な説明】

第１図は、ソリッドｌのＣ３Ｇの２進本表現を示す図で
ある。 第２ａ（３は、スクリーン・モデルＣのピクセルＢを通
して見たソリッドｌの面上の点Ａを示す図である。 第２ｂ図は、ピクセルＢを通して見た点Ａのスクリーン
・イメージを示す図である。 第３ａ図ないし第３ｄ図は、非凸面ソリッドの各面の分
類が視点の関数であることを示す図である。 第４図は、非凸面ソリッドの前面を表示するための後面
から前面への順序付けを示す図である。 第５ａ図ないし第５ｄ図は、所定のピクセルについて、
ソリッドＡ上の可視点が奥行の比較によって選択される
従来の奥行バッファ・アルゴリズムを示す図である。 第６図は、可視点Ａを選択する従来のレイ・キャスティ
ング・アルゴリズムを示す図である。 第７ａ図は、視点に対して第１の方向をもつ、Ｚ連結さ
れた非凸面ソリッドを示す図である。 第７ｂ図は、第２の方向をもつ、Ｚ連結されていない非
凸面ソリッドを示す図である。 第８ａ図は、Ｚ連結されたセットＳを、第８ｂ図は、Ｓ
の前面スイープＳｆを、第８ｃ図は、Ｓの後面スイープ
ｓｂを示す図である。 第９図は、２連結ソリツドがそのソリッドの前面と後面
のスイープのインターセクションであることを示す図で
ある。 第１Ｏ図は、Ｚ連結プロダクトＰの前面が、後面スイー
プｐｂの後面の前にくる前面スイープＰｆの前面の部分
であることを示す図である。 第１１ａ図と第１１ｂ図は、Ｚバッファと強度バッファ
をそれぞれ複数個含む本発明によるソリッド・モデリン
グ装置ｌＯのブロック図である。 第１２図は、ＣＳＧツリーのＺ連結プロダクトを処理す
る本発明の方法を示す流れ図である。 第１３図は、Ｃ３Ｇツリーを変換して、Ｚ連結プロダク
トのユニオンであるＣ３Ｇツリーを生成する方法を示す
流れ図である。 第１４図は、正負の（コンプリメントされた）プリミテ
ィブのプロダクトを処理する方法を示す流れ図である。 第１５図は、プリミティブＡマイナス・プロダクトＰの
処理方法を示す流れ図である。 第１６図は、３つの２バツフアを用いて、プロダクトへ
マイナス・プロダクトＰを処理する方法を示す流れ図で
ある。

Claims (7)

【特許請求の範囲】
1. （１）コンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（Ｃ
   ＳＧ）ツリー構造によって表され、視点からの視線と事
   実上平行なＺ軸に沿って配置された、視点から見た前面
   と後面とを有するソリッド（Ｓ）を表示する装置であっ
   て、 前記ＣＳＧツリー構造から、Ｓに関連する少なくとも１
   個のＺ連結プロダクトを決定する手段と、 決定されたＺ連結プロダクトに関連する前面の奥行表現
   を格納する第１のＺバッファ手段（Ｆ）と、 前記決定されたＺ連結プロダクトに関連する後面の奥行
   表現を格納する第２のＺバッファ手段（Ｂ）とを含む、
   グラフィクス処理装置。
2. （２）３次元オブジェクトの表現を表示する手段を有す
   るデータ処理システムにおいて、オブジェクトのコンス
   トラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（ＣＳＧ）ツリー
   表現を処理して、Ｚ連結スイープのプロダクトにグルー
   プ分けされたＺ連結スイープのリストを作成する方法で
   あって、（ａ）第１のＺバッファ手段（Ｚ）を最大奥行
   に、第１の強度バッファ手段（Ｉ）を所定の強度にそれ
   ぞれ初期化するステップと、 （ｂ）第２のＺバッファ手段（Ｆ）を所定の最小奥行に
   、第３のＺバッファ手段（Ｂ）を所定の最大奥行にそれ
   ぞれ初期化するステップと、 前記プロダクトの各プリミティブについて、（ｃ）前記
   プリミティブの前面スイープ（ｆｒｏｎｔｓｗｅｅｐ）
   をスキャン・コンバートして、前記前面スイープ上の点
   に関連する奥行を決定するステップと、 （ｄ）前記前面スイープの奥行をＦ内の対応する奥行と
   比較し、Ｆ内の対応する奥行よりも大きい奥行について
   は、奥行をＦに、対応する強度を第２の強度バッファ手
   段（Ｔ）に格納するステップと、 （ｅ）前記プリミティブの後面スイープ（ｂａｃｋｓｗ
   ｅｅｐ）をスキャン・コンバートして、前記後面スイー
   プ上の点に関連する奥行を決定するステップと、 （ｆ）前記後面スイープの奥行をＢ内の対応する奥行比
   較し、Ｂ内の対応する奥行よりも小さい奥行については
   、奥行をＢに格納するステップと、 各プリミティブについてステップ（ｃ）ないし（ｆ）を
   実行した後、 （ｇ）Ｆに格納された奥行を、ＺおよびＢに格納された
   奥行と比較するステップと、 Ｆに格納された奥行がＢに格納された対応する奥行より
   も小さく、Ｚに格納された対応する奥行よりも大きいと
   き、 （れ）Ｆの奥行をＺ内の対応する場所に格納し、Ｔに格
   納された対応する強度をＩ内の対応する場所に格納する
   ステップとを含む、オブジェクトのＣＳＧツリー表現を
   処理することによるグラフィクス処理方法。
3. （３）３次元オブジェクトの表現を表示する手段を有す
   るデータ処理システムにおいて、オブジェクトのコンス
   トラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（ＣＳＧ）ツリー
   表現を処理して、正と負の、すなわちコンプリメントさ
   れた、選言 （ｄｉｓｊｕｎｃｔｉｖｅ）形のプロダクトにグループ
   分けされたプリミティブのリストを作成する方法であっ
   て、各プロダクトが正のプロダクトＰと複数個の負のプ
   リミティブＱｉのインターセクションである場合に、 （ａ）Ｚ連結された前面スイープのプロダクト（Ｐ）の
   前面スイープをスキャン・コンバートして、結果を第１
   のＺバッファ手段（Ｆ）に置くステップと、 （ｂ）Ｐの前面に関連する強度を第１の強度バッファ手
   段（Ｔ）に格納するステップと、（ｃ）各Ｑｉについて
   、コップリメントされたＺ連結セットＱｌないしＱｋの
   個数をｋとして、ステップ（ｄ）、（ｅ）、（ｆ）、（
   ｇ）をそれぞれに回繰り返し実行するステップと、 （ｄ）Ｑｉの後面スイープをスキャン・コンバートして
   、結果を第２のＺバッファ手段（Ｂ）に置くステップと
   、 （ｅ）Ｑｉの前面スイープをスキャン・コンバートする
   ステップと、 （ｆ）Ｑｉの前記前面スイープをスキャン・コンバート
   したステップの結果を、前記結果が第１のＺバッファ手
   段（Ｆ）の対応する内容の後にくると決定されたとき、
   および前記第２のＺバッファ手段（Ｂ）の対応する内容
   が、前記第１のＺバッファ手段（Ｆ）の対応する内容の
   前にくると決定されたときにのみ、前記第１のＺバッフ
   ァ手段（Ｆ）に格納するステップと、 （ｇ）ステップ（ｆ）の結果が前記第１のＺバッファ手
   段（Ｆ）に格納されているときにのみ、Ｑｉの前面スイ
   ープに関連する強度を第２の強度バッファ手段（Ｉ）に
   格納するステップと、 （ｈ）Ｐの後面スイープをスキャン・コンバートして、
   結果を前記第２のＺバッファ手段（Ｂ）に置くステップ
   と、 （ｉ）前記第２のＺバッファ手段（Ｂ）の内容の前にく
   る前記第１のＺバッファ手段（Ｆ）の内容を第３のＺバ
   ッファ手段（Ｚ）と前記第２の強度バッファ手段（Ｉ）
   に統合するステップとを含む、オブジェクトのＣＳＧツ
   リー表現を処理することによるグラフィクス処理方法。
4. （４）３次元オブジェクトの表現を表示する手段を有す
   るデータ処理システムにおいて、１個の前面スイープと
   有限個の後面スイープのインターセクションをＡとした
   ときに、オブジェクトのコンストラクティブ・ソリッド
   ・ジオメトリ（ＣＳＧ）ツリー表現を処理して、 プリミティブ（Ａ）マイナスＺ連結された前面スイープ
   と後面スイープのプロダクト（Ｐ）を決定する方法であ
   って、基準点に関連する前記後面スイープの最大距離点
   を格納することによって、Ｐの前記後面スイープを又キ
   ャン・コンバートして、結果を第１のＺバッファ手段Ｂ
   に置くステップと、 基準点からの前面スイープの最小距離点を格納すること
   によって、Ｐの前面スイープをスキャン・コンバートし
   て、結果を第２のＺバッファ手段Ｆに置くステップと、 格納されたすべての最小距離点に関連する強度を第１の
   強度バッファ手段Ｔに格納するステップと、 Ａの前面スイープをスキャン・コンバートするステップ
   と、 前記第１のＺバッファ手段Ｂに格納された対応する点の
   前にくるか、または前記第２のＺバッファ手段Ｆに格納
   された対応する点の後にくるような基準面から離隔した
   Ａの前面スイープの各点について、 前記の点の距離を前記第２のＺバッファ手段Ｆに格納す
   るステップと、 前記の点に関連する強度を前記第１の強度バッファ手段
   Ｔに格納するステップと、 Ａのすべての後面スイープをスキャン・コンバートして
   、結果を前記第１のＺバッファ手段Ｂに置くステップと
   、 前記第１のＺバッファ手段Ｚの前にくる前記第２のＺバ
   ッファ手段Ｆの部分を第３のＺバッファ手段Ｚに、前記
   第１の強度バッファ手段Ｔの対応する部分を第２の強度
   バッファ手段Ｉにそれぞれ統合するステップとを含む、
   オブジェクトのＣＳＧツリー表現を処理することによる
   グラフィクス処理方法。
5. （５）視点からの視線に対して事実上平行なＺ軸に沿っ
   て配置される、視点から見て前面と後面とを有し、コン
   ストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（ＣＳＧ）ツリ
   ー構造によって関係づけられる１個以上のサブソリッド
   から成るソリッド・オブジェクト（Ｓ）をビジュアルに
   表示するための、各々が独立した複数のピクセルを含む
   連続した複数の表示ラインから成る表示手段を含むシス
   テムにおける、ピクセル・メモリであって、サブソリッ
   ドの１個に関連する前面の奥行表現を格納する第１のＺ
   バッファ手段（Ｆ）と、前記サブソリッドに関連する後
   面の奥行表現を格納する第２のＺバッファ手段（Ｂ）と
   、 前記サブソリッドに関連する前面から反射される光の強
   度の表現を格納する第１の強度バッファ手段（Ｔ）とを
   含む、 ピクセル格納手段の第１の組と、 Ｓの前面の奥行表現を格納する第３のＺバッファ手段（
   Ｚ）と、 Ｓの前記前面から反射される光の強度の表現を格納する
   第２の強度バッファ手段（Ｉ）とを含む、 ピクセル格納手段の第２の組とを有する、ピクセル・メ
   モリ装置。
6. （６）コンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（Ｃ
   ＳＧ）ツリー構造によって関係づけられる１個以上のサ
   ブソリッドからなるソリッド・オブジェクトをモデル化
   するシステムであって、モデル化されたソリッド（Ｓ）
   の視点から見た前面と後面が、視点からの視線と事実上
   平行なＺ軸に沿って配置され、モデル化されたソリッド
   をビジュアルに表示するために、各々が独立した複数の
   ピクセルを含む連続した複数のラインから成る表示手段
   を含むシステムを作動させる方法であって、 （ａ）前記ＣＳＧツリー構造から、Ｓのサブソリッドに
   関連する少なくとも１個のＺ連結プロダクトを決定する
   ステップと、 （ｂ）前記サブソリッドの前面に関連する点の奥行を決
   定するステップと、 （ｃ）前記サブソリッドに関連する前記前面の点の決定
   された奥行を第１のＺバッファ手段（Ｆ）に格納するス
   テップと、 （ｄ）前記サブソリッドの後面に関連する点の奥行を決
   定するステップと、 （ｅ）前記サブソリッドに関連する前記後面の点の決定
   された奥行を第２のＺバッファ手段（Ｂ）に格納するス
   テップと、 （ｆ）前記サブソリッドに関連する前記前面の点から反
   射する光の強度の表現を第１の強度バッファ手段（Ｔ）
   に格納するステップと、 （ｇ）Ｆに格納された、Ｓの前記前面上の点に関連する
   、点の奥行を、第３のＺバッファ手段（Ｚ）に格納され
   た少なくとも対応する点の奥行と比較して、格納された
   前記の点の奥行のどれがＺ内の対応する前記の点の奥行
   の前にくるかを決定し、 Ｆに格納された前記の点の奥行のどれかがＺに格納され
   た対応する前記の点の奥行の前にくる場合、 （ｈ）Ｚ内の１個または複数の点の奥行をＦ内の前記の
   対応する点の奥行と置換するステップと、 （ｉ）Ｓの前記前面上の点と関連する第２の強度バッフ
   ァ（Ｉ）内の１個または複数の点の強度値を、Ｔ内の対
   応する点の強度と置換するステップとを含む、ソリッド
   ・オブジェクト・モデリング・システムを作動させてグ
   ラフィクス処理を行う方法。
7. （７）コンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（Ｃ
   ＳＧ）ツリー表現によって表される３次元オブジェクト
   を処理するデータ処理システムにおいて、２つのオブジ
   ェクトの干渉またはディフアレンスを検出する方法であ
   って、 各プロダクトについて、 第１のＺバッファ手段（Ｆ）を所定の最小奥行に、第２
   のＺバッファ手段（Ｂ）を所定の最大奥行にそれぞれ初
   期化するステップと、 前記プロダクトの各プリミティブについて、前記プリミ
   ティブの前面スイープをスキャン・コンバートして、前
   記前面スイープ上の点に関連する奥行を決定するステッ
   プと、 前記前面スイープの前記奥行をＦ内の対応する奥行と比
   較し、Ｆ内の対応する奥行よりも大きい奥行をＦ内に格
   納するステップと、 前記プリミティブの後面スイープをスキャン・コンバー
   トして、前記後面スイープ上の点に関連する奥行を決定
   するステップと、 前記後面スイープの前記奥行をＢ内の対応する奥行と比
   較し、Ｂ内の対応する奥行よりも小さい奥行をＢに格納
   するステップとを実行することによって、 Ｚ連結プロダクトにグループ分けされたＺ連結スイープ
   のリストを生成するステップと、Ｆに格納された前記奥
   行をＢに格納された前記奥行と比較し、Ｆに格納された
   奥行がＢに格納された対応する奥行よりも小さい場合に
   、 空でないＺ連結プロダクトの存在を指示するステップと
   を有する、グラフィクス処理方法。