JPH07122908B2

JPH07122908B2 - ３次元のソリッド物体を表す表示可能情報を生成する装置と方法

Info

Publication number: JPH07122908B2
Application number: JP4002910A
Authority: JP
Inventors: デービッド・アレキサンダー・エプスタイン; ジャロスロウ・ロマン・ロシグナック; ジェフレイ・ウェンフォン・ウー
Original assignee: International Business Machines Corp
Current assignee: International Business Machines Corp
Priority date: 1991-03-12
Filing date: 1992-01-10
Publication date: 1995-12-25
Anticipated expiration: 2010-12-25
Also published as: US5402532A; EP0503251A2; JPH0581438A; EP0503251A3

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、コンピュータ・ディス
プレイ装置及び方法に係り、更に詳細に説明すれば、コ
ンストラクティブ・ソリッド・ジオメトリ（ＣＳＧ）表
現をレンダリングするための装置及び方法に係る。

【０００２】

【従来の技術】部品や工具を表すソリッド・モデルを指
定するには、合併（和集合）や、交わり（積集合）や、
差（差集合）のような複数のブール演算を通して、複数
のサブソリッド又はプリミティブ・ボリュームを組み合
わせることができる。このソリッドを表すブール演算式
は、２進ツリー表示の形式で、一層正確には、２進の有
向性ルート付き非巡回グラフ（directed rooted acycli
c graph）の形式で、コンピュータ・メモリ内に効率的
に記憶することができる。

【０００３】図１には、２個のサブソリッド２及び３の
合併から成る、ソリッド１の２進ツリーが図式的に示さ
れている。サブソリッド３は、ブロック・プリミティブ
４と円筒プリミティブ５との差から構成されている。こ
のツリーの形態は、ブール演算式（２）＋（（４）−
（５））を解析すると、直接的に得ることができる。こ
のツリーのルート（ソリッド１）は、ブール演算式が定
義するソリッドと関連している。このツリーの内部ノー
ドは、複数のブール演算に対応し、従ってサブソリッド
と関連している。このツリーのリーフは、プリミティブ
・ボリュームと関連しており、他方、これらのプリミテ
ィブ・ボリュームは、比較的単純な代数的半空間（即
ち、３つの空間座標の単純な多項式関数が、正でない値
を有しているような空間領域）の交わりであることが多
い。例えば、原点に中心を置く半径Ｒの球体は、ｘ²＋
ｙ²＋ｚ²−Ｒ² ≦ ０の関数により定義される半空間で
ある。任意の位置と方向を有するプリミティブ・ボリュ
ームは、リジッド・モーション変換と、回転及び平行移
動の組み合わせと、適当なローカル座標系で定義された
合同なプリミティブ・ボリュームによって記述すること
ができる。単純なプリミティブ・ボリュームは、球体
や、円筒体又は円錐体のようなタイプと、半径や、長さ
又は項角のような比較的少数の真性パラメータによって
表すことができる。このようなツリーは、コンストラク
ティブ・ソリッド・ジオメトリ表現として知られてお
り、以下これを「ＣＳＧ」と略記する。

【０００４】プリミティブ・ボリュームの位置や寸法
（即ち、真性パラメータ）を記述することができる若干
の主要パラメータは、ＣＳＧツリーが表す複数のソリッ
ドのファミリ全体における特定のメンバを特徴付ける。
従って、このようにしてパラメータ化されたＣＳＧ表現
を用いると、それぞれの寸法が許容範囲内で変動する処
の、複数の部品の組み立て体をモデル化することができ
る。

【０００５】ＣＳＧ物体（オブジェクト）は、それぞれ
の面が互いに重なる複数のプリミティブから構成される
のが普通である。しかし、重なった境界を有する複数の
ソリッドについてのブール演算は、非正則化（non-regu
larized）された集合を作り出すことがある。従って、
ＣＳＧ演算子は、正則化（regularized）されたソリッ
ドを常に生成するように、適当に修正されてきた。しか
し、これらの修正は、追加の処理を必要とする。

【０００６】一般に、境界の評価を通してＣＳＧソリッ
ドをシェーディングすることは、高価なデータ処理手順
である。光線の照射を通してＣＳＧモデルをシェーディ
ングするという効率的且つ直接的な方法は、ファセット
化したモデルや、２次の半空間のブール組み合わせにつ
いて利用することができる。しかし、光線の照射は、光
線−面間の多数の交わりを計算することを含むから、高
次の代数又はパラメトリックな面が含まれる場合は、著
しく非効率となる。

【０００７】面の評価が、光線−面間の交わりより速い
という点を考慮して、適応性タイル張り法（充填法）を
伴うスキャン変換技術が、境界モデルのシェーディング
に使用されることが多い。このモデルの可視面を自動的
に選択するには、ハードウェア形式のｚバッファ（深度
バッファ）を用いる。ＣＳＧソリッドの面は、直接的に
は利用することができないから、ｚバッファによる可視
性テストを、ソリッド上に位置するプリミティブ面のそ
れぞれの部分を選択する処の、トリミング・プロセスと
組み合わせる必要がある。

【０００８】この選択を行うソフトウェアの実現形態
は、本発明者の１人によりハードウェアを用いた深度テ
ストと組み合わされ、また J.R. Rossignac 及び A.A.
G. Requicha の論文である “Depth buffering display
techniques for constructivesolid geometry", IEEE
Computer Graphics and Applications, Vol.6, No.9, p
p. 29-39, September 1986年に記述されている。一般
に、この技術は、プリミティブＡの前向きの面（前面）
上にある点Ｐを、対応するピクセルのｚバッファに記憶
されている深度値と比較することを含んでいる。もし、
点Ｐがｚバッファに記憶されている点の前方にあれば、
点ＰはＣＳＧグラフに対して「分類」、即ちテストされ
ることになる。ソリッドの境界上にある点が、ｚバッフ
ァにレンダリングされるのに対し、ソリッドの境界の内
側又は外側にある点は、廃棄される。ソリッドの内側に
ある点は、ｚバッファによる可視性テストを通して、自
動的に不合格とされる。従って、点Ｐをこのグラフ内の
一のプリミティブに対してテストするのではなく、点Ｐ
をプリミティブＡの「Ｉゾーン」に対して分類すること
により、性能を向上させることができる。但し、「Ｉゾ
ーン」とは、元のＣＳＧグラフの諸ノードの部分集合の
交わりである。もし、点ＰがプリミティブＡのＩゾーン
の内側に位置していれば、点Ｐは、最終ソリッド上にあ
るか又は最終ソリッドの内側に位置する。

【０００９】スキャン変換法は、観察方向に沿って個々
のスクリーン・ピクセル上に投影する処の、面点（surf
ace point）を生成する周知の技術である。観察者から
遠点に向かう観察方向に沿って計算された３次元的な点
の深度値は、対応するピクセルに関連するｚバッファ内
に記憶することができる。一のピクセルのｚバッファ内
にその深度値が記憶されている３次元的な点を、一のプ
リミティブに対して分類するには、このプリミティブの
境界をスキャン変換するとともに、この被テスト点の後
方にあるプリミティブ面の層の数のパリティを計算すれ
ばよい。このため、ｚバッファに記憶された深度値に対
し、被テスト点と同じピクセルに投影する面点の深度値
を比較することが行われる。スキャン変換された点の深
度値が、ｚバッファに記憶された点の深度値より大きく
なるたびに、そのピクセルに関連する２進のパリテイ・
フラグが反転される。

【００１０】一のＣＳＧ表現に対して一の点を分類する
には、その点を全てのプリミティブに対して分類するだ
けでは十分ではない。即ち、このような点−プリミティ
ブ間の分類結果を、一のブール演算式に従って組み合わ
せる必要がある。例えば、交わりのような単純なブール
演算式については、この結果をブール結果の結合（論理
積）として記述することができるから、この結果を記憶
する必要はない。分類アルゴリズムは、これらのプリミ
ティブをいずれの順序で処理してもよく、これらの結果
の１つが「偽」であれば、直ちに停止する。このこと
は、例えばこの点が一の交わり（ブール積）内のプリミ
ティブから外れていた場合に該当する。もし、全てのプ
リミティブが処理され且つ「偽」の結果が判明しなけれ
ば、この点は、ブール演算式が定義するソリッドの内側
にある。

【００１１】しかし、一層複雑なＣＳＧ表現を評価する
場合は、中間の２進結果を一時的に記憶するための大容
量の記憶手段が必要となる、という問題を生ずる。かか
る一時的な記憶手段として、普通はスタック機構を使用
する。必要なスタック機構の深さは、ＣＳＧグラフの深
さに匹敵することがある。

【００１２】ピクセル当たりのシステム・メモリの容量
は制限されているから、各ピクセルごとに任意の深さを
有するスタック機構を設けることは実際的でない。しか
も、必要なプリミティブのスキャン変換の回数を最小と
するには、全てのピクセルについて並列に分類動作を行
うことが望ましい。

【００１３】J.Goldfeather 他の論文である “Near Re
al-Time CSG Rendering using TreeNormalization and
Geometric Pruning", IEEE CG&A, Vol.9, No.3, pp. 20
-28, May 1989 に記述されている技術は、メモリの制限
を回避するため、ＣＳＧ表現をそれよりも相当に大きい
「積の和」形式へ変換し、かかる形式内でプリミティブ
・インスタンスを何回も重複させて、これらのプリミテ
ィブ・インスタンスが数個の積に現れるようにしてい
る。この論文では、冗長（空）の積を除去する技術も、
論じられている。

【００１４】この技術では、最初にスキャン変換を繰り
返し用いて、プリミティブ面を、適当な積に対してトリ
ムする。次いで、トリムされた面を、最終のｚバッファ
で併合（マージ）して、全ての積のうちから最前方の面
を選択する。可視面を選択するためと、ソリッドの内側
にある面を廃棄するために、一のｚバッファが用いられ
ている。

【００１５】しかし、留意すべきは、複数の積が互いに
干渉して、一の積の一の前面がソリッド上に位置しなく
なる場合がある、ということである。

【００１６】このような理由で、ＣＳＧ処理に対する投
影的なアプローチについて、一の積の可視的な前面（可
視前面）を決定するための効率的且つ正確な方法が要望
されている。ｚバッファとの比較は、ｚバッファの限定
された分解能の範囲内で行われるから、数個のプリミテ
ィブ面が重なるという状況や、一のピクセルの光線が隣
接する２つの面の共通のエッジに極めて近接して当該２
つの面に交わるという状況を、正確に処理することが要
望されている。

【００１７】これらの両ケースについては、スキャン変
換の丸め誤差（round-off error）に起因して、計算さ
れた深度値が必ずしも正確でないことがある。しかし、
これらの固有の不正確さにも拘らず、ＣＳＧ表現の正則
化されたバージョンに対応する処の、表示可能なイメー
ジを生成するという要望が、依然として存在する。一の
ソリッドが正則化されていると見なされるのは、３次元
のユークリッド空間に関して、このソリッドがその内側
の位相的閉包に等しい場合である。従って、正則化され
たソリッドは、定義により、ダングリング（dangling）
エッジ又は面を持たない。かくて、数個のプリミティブ
上に位置するが、最終結果における３次元的なボリュー
ムのいずれをも境界付け（bounding）しない面又はエッ
ジは、表示すべきでない。

【００１８】以下の米国特許は、イメージ表示又はＣＳ
Ｇレンダリングの種々の側面を教示している。米国特許
第４６０９９１７号は、ｚバッファを利用した、汎用の
グラフイック・アーキテクチャの変形を開示している。
米国特許第４６２５２８９号は、一の面を記述する関数
をサンプリングして、この面上の点を生成するようにし
た面表示方法を開示している。かかるサンプリングによ
りカバーされる各ピクセルごとに、観察者に最も近いサ
ンプル点を見つけるために、ｚバッファが利用されてい
る。米国特許第４７３６３０６号は、境界−ＣＳＧ間の
変換技術を開示している。米国特許第４７３７９２１号
は、ピクセル・データを表示するためのマルチプロセッ
サ・システムを開示している。詳しくは、数台のプロセ
ッサが並列に計算した複数のイメージ（強度値及び深度
値）を併合するハードウェア・アーキテクチャが提案さ
れており、また個々のイメージを実時間で移動させるこ
とができるシャドウイング・プロセッサも、このシステ
ムに設けられている。米国特許第４８２１２１４号は、
３変量ベクトル有理多項式を用いて、モデルの自由形式
変形を行う技術を開示している。この方法は、ＣＳＧソ
リッド・モデリング・システムに適用可能であるといわ
れている。米国特許第４８２５３９１号は、深度メモリ
の代わりに、スパン比較を用いるようにした可視面アー
キテクチヤを開示している。米国特許第４８５５３９８
号は、多角形（ポリゴン）の可視ラインを表示する方法
を開示している。ｚバッファは、多角形のエッジに対す
る特別のｚ値で以て初期化される。かかる多角形がｚバ
ッファへラスタ化されて、依然として特別のｚ値を有す
るピクセルだけが適当に色付けされる。米国特許第４９
０７１７４号は、どのグラフイック表示ウインドウにｚ
バッファが専用されているかを識別するため、ｚバッフ
ァの一部において或る範囲のｚ深度値を使用することを
開示している。

【００１９】最後に、米国特許第４８５８１４９号は、
ＣＳＧ物体のレンダリングを行うためのソリッド・モデ
リングを開示している。立方体が全てのプリミティブの
境界と交わらなくなるまで、或いは立方体が現在の分解
能より小さくなるまで、領域（ユニバース）を帰納的に
段々と小さい立方体に分解する。この特許は、本発明が
解決した問題を解決することに向けられているものの、
前者のアプローチは、効率的でないばかりか、ハードウ
ェア形式のｚバッファを利用していない。

【００２０】多くの研究者は、それぞれのプリミティブ
面を、一の積内の全てのプリミティブの全ての前面（fr
ont face）及び後面（back face）と比較して、かかる
プリミティブ面をトリミングするためのハードウェア・
アルゴリズムを実現している。これらの比較は、各ピク
セルごとに独立して行われ、そして各ピクセルごとの深
度テスト、マスク、カウンタ及び論理ビット演算を含ん
でいる。この技術は、単に２つの追加バッファを用いる
に過ぎない。このアルゴリズムは、各ピクセルごとに１
台のローカル・メモリ付きプロセッサを有する、ピクセ
ル−パワー・グラフィック・システム上で実現されてい
る。このアプローチは、J. Goldfeather他の前掲の論文
“Near Real-Time CSG Rendering using Tree Normali
zationand Geometric Pruning", IEEE CG&A, Vol.9, N
o.3, pp.20-28, May 1985 に記述されている。

【００２１】本発明者の一部を含む他の研究者は、積を
処理するための一層効率的な技術を開発した。この技術
は「トリックル（trickle）」アルゴリズムと呼ばれ、G
oldfeather 他の技術と比較すると、一般に、一層少数
のプリミティブ・スキャン変換及びバッファ併合演算を
必要とするに過ぎない。従って、この技術は、近い将来
に出現するグラフイック・ワークステーションで実現す
るのに、一層適しているものと信じられている。このト
リックル・アルゴリズムは、D.A. Epstein, F.W. Janse
n 及び J.R. Rossignac の研究報告である “Z-buffer
Rendering fromCSG: the Trickle Algorithm", RC 1518
2 (#67629), IBM Research Division,November 1989 に
記述されている。

【００２２】Goldfeather 他の技術と、Epstein 他の技
術の双方とも、プリミティブの隠面の一連の層を生成し
且つこれをトリミングして、非凸状のプリミティブを処
理するというものである。

【００２３】トリックル・アルゴリズムの重要な特徴
は、一の積のプリミティブ面を、（観察者から遠点に向
かって）前方から後方へ至る順序で、各ピクセルにおい
て独立して処理することにある。この順序付けを利用す
ると、一の可視点又は背景（バックグラウンド）が、現
在の積の投影によってカバーされる各ピクセルに到達す
るや否や、この積の処理を停止することができる。トリ
ックル・アルゴリズムの他の利点は、１つのプリミティ
ブ面層から他のプリミティブ面層へ（観察者から遠点に
向かって）「より深く」移動している間に、この積内の
少なくとも１つのプリミティブから外れているために、
この積上に位置しないことが明らかなプリミティブ面層
をスキップすることができる、ということにある。

【００２４】トリックル・アルゴリズムは、３組の深度
及び強度バッファを利用する。これらのバッファは、可
視面の選択に使用される標準的な２組の深度及び強度バ
ッファと、これらの２組の深度及び強度バッファに従属
する１組の追加的な深度及び強度バッファである。ここ
で、トリックル・アルゴリズムは、スクリーンの各象限
ごとに１パスずつ、全体として４パスで実行されるよう
に構成することができる、という点に留意すべきであ
る。スクリーンを４象限に分割する場合、グラフィック
・ワークステーションで普通に使用可能な１つの深度バ
ッファと２つの強度バッファという標準的な構成につい
ても、トリックル・アルゴリズム用の十分なバッファを
与えることができる。

【００２５】

【発明が解決しようとする課題】従って、本発明の目的
は、ＣＳＧによって表現されたソリッドの処理を一層改
良すべく、トリックル・アルゴリズムを改良し且つ拡張
することにある。

【００２６】本発明の他の目的は、一の積の可視前面を
効率的に決定するとともに、数個のプリミティブ面が互
いに重なっているという状況や、一のピクセルの光線が
２つの隣接する面の共通エッジに近い点でこれらの隣接
する面と交差するという状況を正確に処理するために、
小さな許容値（tolerance value）を利用してスキャン
変換中の丸め誤差の影響を除去する方法を提供すること
にある。

【００２７】

【課題を解決するための手段】前述の本発明の目的は、
最初に「積の和」形式に分解されるＣＳＧ表現のレンダ
リングを行うための装置及び方法によって実現される。
各プリミティブ面は前方を向いている面（前面）又は後
方を向いている面（後面）のいずれかとして分類され、
そしてスキャン変換の結果が複数の深度バッファ（ｚバ
ッファ）に記憶される。この方法を繰り返すたびに、プ
リミティブの前面が検討され、これが現在の積上に位置
していなければ、その背後に位置している他の前面と置
換されることになる。この方法は、各ピクセルの可視面
が得られるときに、各積の処理を終了する。次に、通常
の隠面除去技術を用いて、各積の可視前面が、最終のｚ
バッファに併合される。

【００２８】この方法は、各ピクセルごとに一の積のプ
リミティブ面を独立的に処理して、従来技術で必要とさ
れていた境界の評価を排除するとともに、各ピクセルご
とに比較的単純なテストを用いて、一の積の境界上に位
置しているプリミティブ面の一部を決定する。一のピク
セルに対する正しい面であると見なされる特定の前面と
は、現在の積の１つおきの正のプリミティブに対する一
の前面と一の後面との間にあり、しかも負のプリミティ
ブに関しこれと反対の関係を保持しているようなもので
ある。

【００２９】この方法の追加の利点が得られるのは、現
在の積の最も遠い前面から移動する際に、この積内の他
のプリミティブの外側に位置する幾つかのプリミティブ
面をスキップすることができるからである。このプロセ
スは、現在の積が投影する処の、任意のピクセルにおい
て何らの変化もない場合に、最終パスで終了する。

【００３０】更に、この方法は、深度テスト中及び最終
のｚバッファへのビット併合演算中に、スキャン変換さ
れた面の深度値から許容値を減算する。その結果、一致
する面が正確に処理されるとともに、ダングリング・エ
ッジやクラックを除去することにより、ソリッドが正則
化される。また、この方法は、各ピクセルにおけるｚ深
度値を正確に決定するために、サブピクセル修正を用い
るとともに、一の面が所定のピクセルに投影しているか
否かを決定するために、ピクセル−中心テストを利用し
ている。

【００３１】本発明の１実施例として、３次元的なソリ
ッド物体を表現する表示可能情報を生成するための装置
と方法が開示されている。この装置は、１つ以上のプリ
ミティブ物体から構成されるように、ソリッド物体をＣ
ＳＧ表現で表すためのプロセッサを含んでいる。また、
この装置は、１つ以上のプリミティブ物体の表示可能面
を決定するために、当該プリミティブ物体を繰り返し評
価するための評価プロセッサを含んでいる。深度間隔バ
ッファは、スキャン変換プロセッサの動作に応答して、
表示可能面の決定に何らの変化を生じさせることなく、
所定回数の繰り返し評価が行われたことを決定する。こ
の深度間隔バッファは、評価プロセッサの動作を終了さ
せるための終了信号を生成する。

【００３２】本発明の装置及び方法は、ダングリング面
やエッジを除去するとともに、一致する面を適正に処理
するように、許容値を利用して深度テストを行う。更
に、深度テストの精度を向上させるとともに、一の積が
投影する処のピクセルを識別するために、ピクセル−中
心揃え（センタリング）を利用する。

【００３３】また、本発明の装置には、一のプリミティ
ブ物体を照射する光源の一の平面を基準として、当該プ
リミティブ物体の一の面上にある一の点から、当該光源
の平面への投影の深度値を記憶するための、補助シャド
ウ深度バッファを設けることができる。この補助シャド
ウ深度バッファと関連して、２パスのスキヤン変換技術
を用いると、シャドウイングを行うことができる。

【００３４】

【実施例】図２には、ＣＳＧ表現のレンダリング及び表
示を行うパイプライン式のイメージ・ディスプレイ処理
システム１０が示されている。ＣＡＤシステムのような
アプリケーション・プロセッサ１２は、ＣＳＧデータを
ＣＳＧデータベース１４に与える。このＣＳＧデータ
は、モデル化されている３次元のソリッドを表す。アプ
リケーション・プロセッサ１２からの指令を受け取る積
抽出プロセッサ１６は、ＣＳＧデータベース１４からＣ
ＳＧプリミティブを受け取り、そこからプリミティブ面
を生成する。カウンタ２４ａ及び比較器２４ｂは、「終
了」信号を生成して、これをアプリケーション・プロセ
ッサ１２に与える。「終了」信号を生成する際のカウン
タ２４ａ及び比較器２４ｂの動作は、以下で詳述する。
スキャン変換プロセッサ１８は、与えられるプリミティ
ブ面をスキャン変換する。本発明の１側面に従って、ス
キャン変換プロセッサ１８は、スキャン変換動作中にピ
クセル−中心揃え（後出）を利用する。スキャン変換プ
ロセッサ１８の出力は、プリミティブ面が投影する、各
スクリーン・ピクセルに対するｘ，ｙ，ｚの位置情報で
ある。また、スキャン変換プロセッサ１８の他の出力
は、赤（Ｒ）緑（Ｇ）青（Ｂ）のピクセル色情報であ
る。スキャン変換プロセッサ１８の出力は、深度間隔バ
ッファ（ＤＩＢ）プロセッサ２０に与えられる。

【００３５】ＤＩＢプロセッサ２０内の制御ブロック２
２は、アプリケーション・プロセッサ１２から指令を受
け取り、以下で詳述する疑似コードに従ってＤＩＢプロ
セッサ２０内のデータの流れ及びデータ処理を制御す
る。ＤＩＢプロセッサ２０は、深度バッファ（Ｚ３、Ｚ
２）と、これに関連する強度バッファ（Ｉ３、Ｉ２）を
含んでいる。ＤＩＢプロセッサ２０が行う深度比較は、
本発明の他の側面に従った許容値を利用することによ
り、スキャン変換プロセッサ１８内の計算に由来する丸
め誤差を補償する。また、ＤＩＢプロセッサ２０には、
後述のように変更フラグ（ｃｆ）２３と、パリテイ・フ
ラグとも呼ばれる前向きフラグ（ｆｆ）２５が設けられ
ている。

【００３６】ＤＩＢプロセッサ２０の出力は、それぞれ
の積の可視的な、即ち表示可能な前面をそれぞれ表すデ
ータであり、このデータは、以下で「バッファ１」とも
呼ばれる、深度バッファ（Ｚ１）及び強度バッファ（Ｉ
１）に与えられる。強度バッファＩ１は一のピクセル・
プレーン・メモリを形成し、その内容は一のディスプレ
イ・スクリーン２６上に表示される。例えば、深度バッ
ファＺ１を構成する多数の２４ビット・メモリ・ロケー
ションの各々は、各スクリーン・ピクセルに対する深度
値情報を表す。他方、強度バッファＩ１を構成する多数
の２４ビット・メモリ・ロケーションの各々は、３つの
色（Ｒ，Ｇ，Ｂ）の強度値を表すように、３バイトに区
画される。かくて、スクリーン・ピクセルの各々ごと
に、２４ビット長の対応するＺ１メモリ・ロケーション
と、２４ビット長の対応するＩ１メモリ・ロケーション
がある。他の深度バッファ（Ｚ３、Ｚ２）と、他の強度
バッファ（Ｉ３、Ｉ２）も、これと同様に編成されてい
る。

【００３７】アプリケーション・プロセッサ１２からＤ
ＩＢプロセッサ２０に渡される指令は、複数のバッファ
を初期化する指令と、スキャン変換の動作をセットアッ
プする指令と、バッファ間の動作を実行する指令を含ん
でいる。例えば、「ＩＮＩＴＢＵＦＦＥＲ（１，ＭＡＸ
ＤＥＰＴＨ，ＢＬＡＣＫ）」という指令は、バッファ
１（深度バッファＺ１、強度バッファＩ１）を、Ｚ１用
の最大の深度値と、Ｉ１用の背景色で初期化する。典型
的なバッファ動作指令は、「ＣＯＰＹＢＵＦＦＥＲ
（３，２，ＴＲＵＥ，′ＮＥ′，０）」という形式を有
する。この指令は、前向きフラグ（ｆｆ）２５が真で、
深度バッファＺ２の内容が深度バッファＺ３の内容＋ｅ
ｐｓ（後述の許容値）に等しくない場合に、バッファ３
（深度バッファＺ３及び強度バッファＩ３）の内容をバ
ッファ２（深度バッファＺ２及び強度バッファＩ２）に
コピーするものであり、以下の表１における行２６〜３
０に対応する。スキャン変換の動作をセットアップする
指令には、許容値を特定の値にセットする指令や、表１
の行２３〜３４に示すように、スキャン変換した値を受
領する手段としてバッファ３をセットする処の「ＳＣＡ
ＮＩＮＴＯ（３）」という指令が含まれている。「終
了」条件をテストするには、表１の行１２に示すよう
に、「ＳＥＴＣＨＡＮＧＥＦＬＡＧ（ＦＡＬＳ
Ｅ）」という指令を用いて、変更フラグ（ｃｆ）２３を
リセットすることができる。各プリミティブ・スキャン
変換後の、「ＩＦＧＥＴＣＨＡＮＧＥＦＬＡ
Ｇ（）ＴＨＥＮｋ＝０」という指令は、表１の行３１
に示すように、カウンタ２４ａをリセットする機能を有
する。

【００３８】積抽出ブロック１６に与えられる指令に
は、ＣＳＧツリー内の積の総数をカウントする「Ｎ＝Ｃ
ＯＵＮＴＰＲＯＤＵＣＴＳ（ＣＳＧＴＲＥＥ）」とい
う指令や、積ｋの前面がバッファ２の内部に構成される
まで、積ｋのプリミティブをバッファ３へ繰り返しスキ
ャン変換させるための「ＲＥＮＤＥＲＰＲＯＤＵＣＴ
（ｋ）」という指令が含まれている。これらの種々の指
令の動作は、以下の説明から明らかである。

【００３９】トリックル・アルゴリズムの高レベルの動
作は、次の疑似コード・セグメントのように表現するこ
とができる。

【００４０】バッファ１を初期化する、積Ｐの各々につ
いて次のことを行う、積Ｐの前面を計算しこれをバッフ
ァ２に置く、その結果をバッファ１に併合して可視面を
選択する。

【００４１】バッファ１は、積の合併（和集合）の可視
面を選択するために使用される。各積の可視前面は、次
の疑似コード・セグメントに要約されているように、バ
ッファ２、ＤＩＢプロセッサ２０を用いて１つおきに計
算される。

【００４２】Ｚ２を背景へ初期化する、積Ｐのプリミテ
ィブＱを循環させ、次のことを行う、Ｚ２の後方に位置
するＱの次の面を計算しこれをＺ３に置く、Ｑの次の面
が前向きである処のピクセルで、Ｚ３をＺ２へコピーす
る。

【００４３】トリックル・アルゴリズムが特に効果的で
あるのは、深度バッファＺ２内の一の点が深度値におい
てプリミティブＱの一の前面の直前にあって、この点が
プリミティブＱの外側にあり、従って現在の積の外側に
位置する場合である。更に、この被テスト点とプリミテ
ィブＱ上の対応する前点（front point）との間の間隔
もプリミティブＱの外側にあり、従って現在の積の外側
にある。

【００４４】図３に示すように、視点（目）からｚ軸に
沿って遠点に向かって移動する際、点ｐは、現在の積内
のプリミティブＱ上に位置することが判明し、かくてそ
の深度値がＺ２に記憶される。プリミティブＱがスキャ
ン変換され、プリミティブＱ上の点ｑの深度値がＺ３に
記憶される。なぜなら、プリミティブＱ上の点ｑは、点
ｐによって隠されたプリミティブＱ上の（深度値に関し
て）最初の点であるからである。点ｑは、プリミティブ
Ｑの一の前点である。従って、セグメント（ｐ，ｑ）は
プリミティブＱの外側にあり、かくて現在の積の外側に
ある。次に、トリックル・アルゴリズムは、点ｐの深度
値と強度値をＺ２及びＩ２にそれぞれ記憶する。現在の
積内の他のプリミティブ上の点ｒは、点ｐと点ｑとの間
に位置し、従って現在の積上にはないのでスキップされ
ることになる。

【００４５】表１には、イメージ・ディスプレイ処理シ
ステム１０を構成する種々のプロセッサの動作を記述し
た、疑似コードが示されている。従来のトリックル・ア
ルゴリズムに対する顕著な改良は、許容値を利用した深
度テストに基づいている。即ち、この深度テストは、シ
ルエット・エッジの投影の近傍における一致するプリミ
ティブ面やピクセルが関係する処の、全ての特異ケース
（オン−オン・ケースとも呼ばれる）を正しく処理する
からである。従来のトリックル・アルゴリズムに対する
他の顕著な改良は、イメージ・ディスプレイ処理システ
ム１０の動作に関する以下の説明から明らかである。

【００４６】以下の記述に現れる全ての行番号は、表１
に示されている改良されたトリックル・アルゴリズムの
疑似コードを参照するものである。

【００４７】

【表１】

【００４８】改良されたトリックル・アルゴリズムの疑
似コードについて説明すると、各ピクセルごとに行われ
る深度バッファＺ１及び強度バッファＩ１の初期化は、
これらの２つの要素を、最大深度値と選定された背景色
にそれぞれ設定する（表１の行１〜３）。次に、積の各
々ごとに、Ｚ２が最小深度値に初期化され、Ｉ２が背景
色に初期化される（表１の行４〜７）。次に、現在の積
の可視前面が計算されて、Ｚ２とＩ２に記憶される（表
１の行９〜３１）。最後に、現在の積の前面が先に処理
された積の前方に位置しているときは、前者の結果が深
度バッファＺ１に併合される（表１の行３３〜３５）。

【００４９】一層詳細に説明すると、一の積の可視前面
を計算するために、本発明の方法は次のように進行す
る。最初に、図２のカウンタ２４ａに対応するカウンタ
ｋが、「−１」に初期化される（表１の行９）。本発明
の一の側面に従って、カウンタ２４ａは、Ｚ２に影響を
与えることなく処理される、現在の積のプリミティブの
数をカウントするために利用されている。カウンタ２４
ａの値が増分されて現在の積内のプリミティブの数と等
しくなるとき、現在の前面を表すピクセルに何ら変化が
起こらなかったことが指示される。カウンタ２４ａの出
力は比較器２４ｂに与えられ、そこでカウンタ２４ａの
出力が現在の積内のプリミティブの数と比較される。カ
ウンタ２４ａの内容がプリミティブの数と等しいと、
「終了」信号がアプリケーション・プロセッサ１２に与
えられ、スキャン変換（表１の行１０〜３１のＵＮＴＩ
Ｌループ）を停止させ、かくて現在の積に含まれる全て
のプリミティブに関する後続の全数スキャン変換を終了
させる。もし、現在の積に単一のプリミティブだけしか
存在しなければ、このプリミティブは正則化の効果を適
正に生ぜしめるように２回だけスキャン変換される。

【００５０】最悪の場合、本発明の方法は、現在の積の
全てのプリミティブ内にある「層」の数とほぼ同じ回数
だけ、この積の各プリミティブをスキャン変換する。各
層はＺ２に対する一時的な点を生成することがあるか
ら、Ｚ２内の一の点が現在の積の外側にあることを指示
するために、この積の１つのプリミティブを除く全ての
プリミティブのスキャン変換が必要になることがある。
本発明で利用されている層の概念は、一の光線を、ｚ軸
に平行に、現プリミティブのボリュームと交わらせるこ
とによって得られる、互いに素なセグメントに対応す
る。

【００５１】しかし、典型的なケースについては、本発
明の方法は、ループ処理を早期段階で停止させる。ここ
で留意すべきは、単一のプリミティブだけしか持たない
積の適正な処理を保証するために、ｋが「−１」に初期
化される（表１の行９）、ということである。

【００５２】このループ内では、変更フラグ（ｃｆ）２
３が表１の行１２で初期化され且つ表１の行３０で更新
されるから、Ｚ２が前進したか否か、そしてカウンタ２
４ａが零にリセットされたか否かを決定することができ
る（表１の行３１）。もし変更が指示されるのであれ
ば、カウンタ２４ａがリセットされ、かくてこのループ
の特定のパスに対する「終了」信号は生成されない。

【００５３】内部ループ（表１の行１３〜３１）は、現
在の積内のプリミティブ（Ｑ）について実行され、そし
てプリミティブのリストは、一貫した循環的な態様で処
理される（表１の行１３）。最初に、Ｚ３、Ｉ３及び前
向きフラグ（ｆｆ）２５が、初期化される（表１の行１
４〜１７）。各ピクセルの前向きフラグを保持するた
め、各ピクセルに関連する１ビットの記憶位置がそれぞ
れ設けられる。もし現在のプリミティブが正であれば、
即ちこのプリミティブが境界付けされていれば、前向き
フラグ（ｆｆ）２５は、１にセットされる。この点につ
いて補足すると、各プリミティブは、境界付けされた
（bounded）境界を有するものと想定する。境界付けさ
れた内部を持つプリミティブが「正のプリミティブ」と
呼ばれるのに対し、そうでないプリミティブは「負のプ
リミティブ」と呼ばれる。更に説明を補足すると、もし
元のＣＳＧグラフの諸リーフが、境界付けされた諸ボリ
ュームであれば、負のプリミティブは、奇数回減算され
たこれらのリーフに対応する。前向きフラグ（ｆｆ）２
５は、各ピクセルにおいて、Ｚ２を前進させるべきか否
かを決定するのに使用される（表１の行２７）。

【００５４】次に、本発明の方法は、現在のプリミティ
ブＱの面をスキャン変換する（表１の１８〜２５行）。
プリミティブＱの投影によってカバーされる各ピクセル
ごとに、所定の条件に応じて、Ｚ３及びＩ３が、スキャ
ン変換された面上の点の深度値及び強度値で以てそれぞ
れ更新される（表１の行２２〜２４）。この更新が行わ
れるのは、スキャン変換された点の深度値が、Ｚ２及び
Ｚ３に記憶された深度値の相互間に位置する場合だけで
ある（表１の行２２）。

【００５５】本発明の一の側面に従って、一致する面の
正しい処理を保証するために、処理中のモデルの寸法と
比較して小さい許容値（ｅｐｓ）が、深度テストの前に
減算される。説明を補足すると、Ｉ３は、スキャン変換
された面が前向きである場合にだけ更新される。このた
め、後面（後向きの面）が、シルエット・エッジ近傍に
おいて前面（前向きの面）と重ならなければ、この後面
の強度値は、Ｉ３に記憶されないのである。本発明のか
かる側面を、以下で詳述する。

【００５６】前向きフラグ（ｆｆ）２５は、Ｚ２の後方
を通過するプリミティブＱの各面ごとに、トグルされる
（表１の行２５）。ここで、スキャン変換の精度と丸め
誤差が不正確な結果をもたらさないことを保証するた
め、許容値（ｅｐｓ）が再び使用される（以下の記述を
簡潔にするため、これを単に「許容値」と称することも
ある）。

【００５７】前向きフラグ（ｆｆ）２５は、プリミティ
ブＱの内側又は外側のいずれかに位置する点のパリティ
を指示するように機能する。例えば、図４Ｃを参照する
と、観察平面からｚ方向の遠点に向かって移動する場
合、点Ｐ１は、その後方に位置するプリミティブＱの３
つの面を有していることが判る。かくて、点Ｐ１は、奇
数パリティを有するものと見なされ、定義により、プリ
ミティブＱの内側に位置するものと見なされる。点Ｐ２
と点Ｐ３の各々は、ｚ方向に沿って位置するプリミティ
ブＱの２つの面をそれぞれ有し、従って偶数パリティを
有するものと見なされる。定義により、偶数パリティを
有する一の点は、プリミティブＱの外側に位置するもの
と見なされる。このテストを行うため、現在の点を一の
深度バッファに記憶し、現在のプリミティブをスキャン
変換するとともに、現在の点の後方に位置することが決
定された各面ごとに、前向きフラグ（ｆｆ）２５をトグ
ルする。スキャン変換が完了する場合、前向きフラグ
（ｆｆ）２５の状態は、現在の点のパリティ、従って現
在の点が現在のプリミティブの内側に含まれるか否かを
指示する。

【００５８】前述のトリックル・アルゴリズムでは、面
のトリミング、即ち面上にある複数の点を一の積内のプ
リミティブＱに対してテストすることは、この被テスト
点の後方で遭遇するプリミティブＱの最初の面が前向き
であるか、又は後向きであるかをテストすることによっ
て行われる。しかし、プリミティブＱのエッジの近傍
で、又はもし深度バッファの分解能の範囲内でプリミテ
ィブＱが平担に見えるのであれば、前向きの面と後向き
の面とが同じ深度値を有することがある。この問題を克
服するため、本発明の方法は、J. Goldfeather 他の前
掲の論文、 “NearReal-Time CSG Rendering using Tre
e Normalization and Geometric Pruning", IEEE CG&A、
Vol.9, No.3, pp.20-28, May 1989 で提案されてい
る、被テスト点の後方にある面の数のパリティを利用し
ている（表１の２５行）。プリミティブＱが正である場
合、被テスト点の後方にあるプリミティブＱの偶数の面
は、この被テスト点がプリミティブＱの外側にあること
を意味する。

【００５９】最後に、プリミティブＱの全体がスキャン
変換された後に、前向きフラグ（ｆｆ）２５がセットさ
れるとき（表１の行２７〜３１）、即ちＺ２に記憶され
た点がプリミティブＱの外側にあるときはいつでも、Ｚ
３の内容が、Ｚ２にコピーされる。かくて、Ｚ２内にあ
るこれらの点は、Ｚ３に記憶ずみのプリミティブＱ上の
前点（もしあるとすれば）によって置換される。

【００６０】Ｚ２及びＺ３に記憶された深度値が互いに
相違することを要する追加の条件：Ｚ２〔ｘ〕！＝Ｚ３
〔ｘ〕（表１の行２７）が与えられているのは、正のプ
リミティブの投影の外側にある点の適正な処理を保証す
るためである。しかし、これらの点について、前向きフ
ラグ（ｆｆ）２５の状態は「１」に等しいが、Ｚ２及び
Ｚ３は両者ともに最大深度値に等しい。

【００６１】前述の特異ケースが生ずるのは、２つの異
なる面が、それぞれ同じピクセルをカバーし、しかも当
該ピクセルに投影するそれぞれの点において同じ深度
値、又は概ね同じ深度値を有する場合である。図４Ａ及
び図４Ｂには、ソリッドＡとＢについて、かかる特異ケ
ース（ＳＣ）が示されている。このような状況は、数個
のプリミティブの面が互いに重なる場合に、一の数学的
（正確な）モデル内で生ずるのである。更に、これらの
状況は、図４Ｂに示すように前面と後面を接続するエッ
ジ近傍の打ち切られたグラフイック・モデルで生ずる
か、或いは図４Ａに示すように深度バッファの深度分解
能（以下「分解能」と略記）より小さな深さを有する薄
い壁又は内部クラックのようなくびれ部で生ずる。これ
らの特異ケースの全てについて正確なイメージを計算す
るための方法は、スキャン変換に固有の丸め誤差に起因
する深度誤差をも補償するように、十分確固としたもの
でなければならない。

【００６２】かくて、一のプリミティブ層の深さが深度
バッファの分解能より小さい場合には、これがあたかも
平担（深度値零）であるかのようにして処理する処の、
補償方法が必要となる。

【００６３】更に、比較的大きいプリミティブ層につい
ても、このプリミティブが局部的に平担に見えるような
状況が存在することがある。例えば、図４Ｂのようにシ
ルエット・エッジに接近する場合、同じプリミティブの
当接している２個の面（１個の前面と、１個の後面）
は、それぞれの深度値が互いに近接している。このシル
エット・エッジでは、前面と後面は、同じ深度値を有す
る。スキャン変換の間、ディスプレイ・スクリーン２６
上にある当該エッジの投影に接近して位置する一のピク
セルが、これらの双方の面について、整数に丸めた同じ
深度値を有することが判る。かくて、この特定のピクセ
ルについて、当該プリミティブは、平担で（深度値零）
且つ縮退したソリッドとして現れる。本発明の方法は、
全てのピクセルに対して独立して進行するから、本発明
の方法は、そのような縮退したプリミティブを正確に処
理しなければならず、さもなければ、表示されたソリッ
ドがクラックやダングリング・エッジを不正確に表すこ
とがある。

【００６４】前述のように、カウンタ２４ａを「−１」
の値に初期化すると（表１の行９）、単一のプリミティ
ブを有する積が、２回スキャン変換されることになる。
かくて、本発明の方法は、最初のスキャン変換中にＺ２
内で一時的な点を生成し、次の２回目のスキャン変換中
に、必要に応じて、この一時的な点をプリミティブの外
側にあるものとして分類することができる。

【００６５】更に、特異ケースの処理は、A.A.G. Requi
cha と H.B. Voelcker の論文である “Boolean Operat
ions in Solid Modeling: Boundary Evaluation and Me
rging Algorithms", Proceedings of the IEEE, Vol.7
3, No.1, January 1985 で報告されているように、近隣
評価を含むことが知られている。本発明の方法は、前方
から後方へ向かう順序でプリミティブのそれぞれの面を
テストするから、かかる面の後方にある近隣のものだけ
が関係している。説明を補足すると、近隣は、かかる面
の後方に、現在の積に関する物質があるか否かを指示す
る。もしこの面の前方に物質があれば、この方法は、こ
のピクセルについて早期に終了し、この面には到達しな
い。従って、もし現在の積の物質がこの面の後方に存在
すれば、この面の点は、現在の積の上にあって、対応す
るピクセルを通して観察可能な最前の点である。

【００６６】この結果、 J.R. Rossignac 及び A.A.G.
Requicha の前掲の論文である “Depth buffering disp
lay techniques for constructive solid geometry", I
EEEComputer Graphics and Applications, Vol.6, No.
9, pp. 29-39, September 1986 で提案されている技術
を利用して、スキャン変換した点をＺ２に記憶されてい
る深度値と比較する前に（表１の２２行）、この点の後
方に位置する点をテストすることが好ましい。

【００６７】次に、前述の許容値の使用方法を詳述す
る。

【００６８】最初に留意すべきは、プリミティブを位置
づけるために従来から利用されている回転が、プリミテ
ィブの境界付け平面又は項点の係数に丸め誤差を導入す
る、ということである。その結果、幾つかの面を整列さ
せるためにプリミティブが回転される場合、互いに重な
るべき面を含む複数の表面が一致しなくなることがあ
る。更に、スキャン変換の丸め誤差が、任意のピクセル
において理論的に一致する任意の２つの面の、予測不能
な深度値の順序に帰着することがある。かくて、深度値
だけに基づいて複数の面の順序付けを行うと、双方の面
の重なり領域全体にわたって一貫した結果が得られない
ことになる。

【００６９】従って、一致する面の問題が関係する全て
の動作において、本発明の方法は、比較的小さな許容値
（ｅｐｓ）を利用する。かかる許容値を用いると、等し
くあるべき２つの深度値を等しいと見なすことができる
からである。

【００７０】勿論、大きすぎる許容値を選択すると、等
しくあるべきでない２つの値を等しいものとして扱うこ
とがある。そのような場合、本発明の方法は、ソリッド
の正則化「モジュロ（modulo）ｅｐｓ」に対応する一の
イメージを生成する。即ち、本発明の方法は、すべての
場所で正しい面を表示しつつ、浅いｚ深度値を有するモ
デルの部分を除去するように機能する。

【００７１】かくて、許容値の大きさは、深度バッファ
の制限された分解能と、スキャン変換中の深度値を計算
する過程で導入される丸め誤差との組み合わせ効果を上
廻るように、選択されるのである。もし大きすぎる許容
値が使用されるならば、浅い特徴部のような一の細部が
消失して、前面と後面が一致するものと見なされること
がある。

【００７２】前述の一致する面に係る特異ケースを正確
に処理しつつ、比較的小さな許容値を利用するには、各
スキャン・ラインに沿った最初の深度値を正確に決定す
る必要がある。以下、深度値を正確に検出する方法を詳
述する。

【００７３】最初に留意すべきは、深度バッファＺ１の
整数表現能力に起因して、一の面によってカバーされる
全てのピクセルのための面点を計算するという従来のス
キャン変換手順は、近似的な、即ち切り捨てた深度値を
生ずる、ということである。その結果、共面状の２つの
面の重なり部分に位置する一の点の深度値は、この点を
生成するのにどの面がスキャン変換されるかということ
に依存して、異なることがある。

【００７４】この欠点を克服し且つ所期の一致性を正確
に処理することを保証するため、本発明の方法は、同じ
ピクセルに投影される２個の点の、ｚ軸に沿ったそれぞ
れの深度値の差が、許容値より小さい場合は、これらの
点が同一であると見なすようにしている。許容値の大き
さは、シーン（光景）のサイズと、深度バッファの分解
能を考慮して決定される。

【００７５】図５を参照するに、もし一のプリミティブ
の一の面がｚ軸に対して鋭角にあれば、サンプルされた
深度値は、ピクセルＰの幅にわたって広く変動すること
がある。例えば、互いに一致する面Ａと面Ｂを正確に処
理するには、各面をピクセルＰ内の正確に同じ点でサン
プリングすることが重要である。本発明の方法では、こ
の点を、ピクセルＰの幾何学的中心に相当するものとし
て選択している。一般に、各ピクセルは、平面状の正方
形表面領域であると見なされる。従って、２つの面が一
致する場合には、双方の面によってカバーされるピクセ
ルに対する深度値をサンプルして、カバーされた各ピク
セルにおいて双方の面に対する同じ深度値を生ぜしめる
ことができる。

【００７６】本発明の方法は、各水平スパンの開始ピク
セルに対する深度値を決定するように機能するのである
が、そうするに当たり、従来のスキャニング・アルゴリ
ズムについて行われたように、開始ピクセルの前縁に沿
ったｚ増分を単に用いるのでなくて、むしろ開始ピクセ
ルの中心に投影する面の点を決定するのである。このよ
うに、スキャン・ラインに沿った後続の点の深度値を決
定するために当該スキャン・ラインに沿ってｚ増分を用
いているから、カバーされた全てのピクセルに対する深
度値は、ｚ増分の計算に伴う数値的な精度の範囲内で、
スキャン変換された表面に関して正確であり、かくてこ
の表面内に位置する全ての面について同じである。

【００７７】本発明のこの側面を達成するには、浮動小
数点計算を利用して、最初の点の投影からピクセル中心
までの正確な水平方向のオフセット距離を求めればよ
い。その後、このオフセット距離は、この面のスキャン
・ラインに沿った他の点のｚ深度値を決定する際に用い
られる。代替的に、ピクセル区域を多数の領域に区画す
るとともに、その各領域にピクセル中心までのオフセッ
ト値をそれぞれ割り当てるようにしてもよい。これらの
オフセット値を、その後にルックアップ・テーブル内に
記憶すると、ピクセル区域内で最初の点が投影する場所
の関数として、正確なオフセット値を引き出すことが可
能となる。

【００７８】本発明の他の側面は、２つのプリミティブ
面の間にある一の境界で、一貫したスキャン変換を行う
ことに係る。図６には、一のプリミティブの２つの面
（Ａ及びＢ）を投影された複数のピクセルが示されてい
る。これらの２つの面の間にある一の境界又はエッジに
は、参照記号Ｅが付されている。前述のトリックル・ア
ルゴリズムは、一のプリミティブの投影によりカバーさ
れる各ピクセルが、このプリミティブの後面の数と同数
の前面によってカバーされることを必要とする。この要
件は、プリミティブの境界が、内部の面又はダングリン
グ面を伴わずに、２サイクルにわたって有効であること
を指示する。この条件は、ＣＳＧであると想定した、ソ
リッドの正則化で暗示されている。しかし、同じプリミ
ティブの２つの面を処理するスキャン変換手順は、その
ようなバリティを自動的に保証するものではない。例え
ば、従来のブレゼンハム（Bresenham）又はアンチ・エ
イリアシング・アルゴリズムは、これを保証しない。

【００７９】一のスパン、即ち面の投影によりカバーさ
れる複数のピクセルの水平行にわたって、深度値を単純
に補間すると、このスパンの終わりが関連するピクセル
を部分的にしかカバーしない場合には、このスパンの終
わりにおける深度値が誤って計算されることがある。な
ぜなら、ピクセルの中心がこの面によってカバーされて
いないとしても、この面を含む平面の傾斜を用いて、こ
の深度値が外挿されるからである。

【００８０】例えば、ピクセルＰ１の正方形領域が、前
面と後面の間にある一のエッジの投影によって横切られ
るが、ピクセルＰ１の中心が、これらの２つの面によっ
てカバーされていないものとする。もしスキャン変換ア
ルゴリズムが、これらの２つの面についてピクセルＰ１
を調べれば、ピクセルＰ１の中心に対する一の深度値が
計算される。しかし、深度バッファの分解能又は許容値
の大きさに拘らず、これらの２つの面に対する一の傾斜
を選択すると、ピクセルＰ１の中心において、この前面
について計算された深度値が、この後面について計算さ
れた深度値を越えることがある。この「オーバシュー
ト」条件は、プリミティブのシルエット・エッジ近傍に
おける、不正確な表示に帰着することがある。

【００８１】この問題に対する本発明の解決策は、スキ
ャン変換の間に、特定の面によってその中心がカバーさ
れるピクセルだけを処理することを含んでいる。図６の
例の場合、面Ａに関連するクロスハッチされたピクセル
だけが、面Ａのためにスキャン変換される。なぜなら、
面Ａの投影がカバーするピクセル中心は、これらのピク
セルのものだけであるからである。これと同じ状況が、
面Ｂによってそのピクセル中心をカバーされるような、
クロス・ハッチしたピクセルについても存在する。この
ように、スキャン変換プロセッサ１８は、ピクセルＰ１
を考慮しないのであり、かくて前述のオーバシュート問
題が克服される。

【００８２】図７Ａ及び図７Ｂには、表示されたソリッ
ドのシャドウイングに係る本発明の他の側面が示されて
いる。本発明の方法では、シャドウイングは、光源（Ｌ
Ｓ）から観察可能な面部分を選択する処の、補助的なシ
ャドウ深度バッファ（ＺＳ）を使用して行われる。強度
値情報を何ら計算することなく、最初に視点をＬＳに位
置させる座標系において、前述のトリックル・アルゴリ
ズムが実行され、これによりＺＳの内容が構成される。
次に、トリックル・アルゴリズムが、通常の観察方向
（ＥＯ）から、再び実行される。但し、この場合は、可
視点によって反射された強度を計算している間に、これ
らの可視点のＬＳまでの距離が、ＺＳに記憶されている
距離と比較される。こうすると、ＬＳから観察可能な面
点を確立することができる。即ち、これらの観察可能な
面点に光線が照射されているか、又はＬＳに一層近い他
の面のシャドウにあるかを決定することができる。

【００８３】この技術は、最終のスキャン変換中に、Ｚ
Ｓが計算された後、通常の観察方向（ＥＯ）に整列する
座標系及び光源（ＬＳ）に整列する座標系の双方で、面
点の座標を記述することを必要とする。スキャン変換し
た面によってカバーされる全てのピクセルを正確に処理
することを保証するため、このスキャン変換は、ＥＯ座
標系における増分を利用する。これらの増分は、一定の
マトリックスを通してＬＳ座標系の増分へマッピングす
ることが可能であり、その場合にはスキャン変換プロセ
スの速度を増大させることができる。

【００８４】ＺＳ内で生ずるエイリアシング現象は、シ
ャドウを投影される面が通常の観察方向（ＥＯ）に直交
し且つ光源（ＬＳ）に概ね平行である場合に、著しく目
立つようになる。しかし、かかる望ましくない可視的な
産物は、C. Woodward の論文である “Methods for Com
puter-aided design of free-form Objects", Mathemat
ics and Computer Science Series, No.56, Helsinki U
niversity of Technology, Finland, 1990 において論
じられているような、従来の技術を用いて減衰させるこ
とができる。

【００８５】以下、イメージ・ディスプレイ処理システ
ム１０の動作の数例を説明する。なお、「積の和」を求
めるには、深度バッファを用いて通常の隠面除去を行え
ばよいという理由で、これらの例は、単純な積の可視前
面を計算することだけに向けられている。

【００８６】図８には、２つの凸状プリミティブＡ及び
Ｂが示されている。積は、プリミティブＡ及びＢの交わ
り（積集合）である。プリミティブＡが、前面Ｆ１と後
面Ｆ４を有するのに対し、プリミティブＢは、前面Ｆ２
と後面Ｆ３を有する。プリミティブＡ及びＢの他の面
は、この例において対象となっているピクセルには投影
されないから、ここでは考慮されない。視点は左側にあ
り、従ってｚ方向は水平方向で且つ左から右へ向かって
いる。検討すべき特定のピクセルは、視点を通る水平方
向のラインによって表されている。かかるピクセルを通
して観察可能な積の面は、プリミティブＢの前面Ｆ２で
ある。

【００８７】イメージ・ディスプレイ処理システム１０
の動作は、次のように進行する。スキャン変換が始まる
前に、ピクセル・バッファが初期化される。説明を簡単
にするため、ワールドがＺ＝０平面の正の側に位置する
と想定しているから、Ｚ２は零に初期化され（表１の６
行）、Ｉ２も背景色に初期化される（表１の７行）。冗
長パスのカウントｋ（カウンタ２４ａ）は、「−１」に
初期化される。

【００８８】プリミティブＡは、積内のプリミティブの
循環リスト中で最初に現れるから、これが最初にスキャ
ン変換される。プリミティブＡは正であり、従って境界
付けされているから、各ピクセルに対する前向きフラグ
（ｆｆ）２５が１に初期化される。その結果、プリミテ
ィブＡの投影によってカバーされていないピクセルにお
いて記憶された点は、プリミティブＡの外側にあるもの
として適正に処理される。Ｚ３は「無限」に、即ちｚバ
ッファの最大深度値を表す値に初期化され、Ｉ３は背景
色にセットされる（表１の行１５〜１７）。

【００８９】プリミティブＡのそれぞれの面をスキャン
変換する間、少なくともここで検討中のピクセルについ
て、次の関係：「Ｚ２＜Ｆ１＜Ｆ４＜Ｚ３」が存在する
ことが判明する。表１の行２２に記述するテストは、適
当に小さな許容値（ｅｐｓ）について成功し、かくてプ
リミティブＡの面Ｆ１の深度値がＺ３に記憶され、面Ｆ
１の色がＩ３に記憶される。プリミティブＡの面Ｆ１と
面Ｆ４はＺ２内の被テスト点の後方にあり、これに応じ
て前向きフラグ（ｆｆ）２５がプリミティブＡのスキャ
ン変換の間に２回トグルされるから、プリミティブＡの
スキャン変換が終了する時点では、前向きフラグ（ｆ
ｆ）２５は１の値を有する。ここで留意すべきは、Ｚ２
内の被テスト点は、プリミティブＡの外側にあり、更に
後方にある点と置換されなければならない、ということ
である。

【００９０】また、留意すべき他の事項は、スキャン変
換の間に、前述のようにピクセル中心を検討すること及
び許容値を用いて深度テストを行うことを含む、拡張さ
れたトリックル・アルゴリズムが利用される、というこ
とである。

【００９１】更新ステップの間（表１の行２６〜３
０）、この時点で面Ｆ１に対応するＺ３及びＩ３の内容
が、Ｚ２及びＩ２にそれぞれコピーされる。冗長パスの
カウントｋは、若干のピクセルが更新されたから、零に
リセットされる。ここで留意すべきは、プリミティブＡ
の投影の外側にあるピクセルが、今やＺ２及びＩ２にお
いて、背景の深度値と色を保持している、ということで
ある。

【００９２】次に、プリミティブＢがスキャン変換され
る。プリミティブＢは、面Ｆ２及び面Ｆ３を有する。冗
長パスのカウントｋ（カウンタ２４ａ）が１まで増加さ
れ、前向きフラグ（ｆｆ）２５が１にセットされ、Ｚ３
が「無限」に初期化される。ここで、次の関係：「Ｚ２
＜Ｆ２＜Ｆ３＜Ｚ３」の存在が判明するから、面Ｆ２の
深度値及び強度値が、Ｚ３及びＩ３にそれぞれコピーさ
れる。Ｚ２は、面Ｆ２及び面Ｆ３より小さいから、前向
きフラグ（ｆｆ）２５が２回トグルされる。というの
は、Ｚ２内の被テスト点は、プリミティブＢの外側にあ
るからである。Ｚ２及びＩ２の内容は、面Ｆ２からのデ
ータで重ね書きされ、カウンタ２４ａは、変更フラグ
（ｃｆ）２３のアクションによって再び零にリセットさ
れる。

【００９３】この時点で、次のプリミティブを検討する
必要がある。まず、各ピクセルにおいて、冗長パスのカ
ウントｋが１に増加され、前向きフラグ（ｆｆ）２５が
１にセットされる。プリミティブ・リストは循環的な性
質を有しているから、プリミティブＡが再びスキャン変
換されて、次の関係：「Ｆ１＜Ｚ２＜Ｆ４＜Ｚ３」の存
在が判明する。かくて、プリミティブＡの面Ｆ１は、Ｚ
２の後方にないという理由で、考慮されないことにな
る。プリミティブＡの面Ｆ４の深度値は、Ｚ３に記憶さ
れるが、面Ｆ４が後方を向いているから、面Ｆ４の色は
Ｉ３にはコピーされない。プリミティブＡの１つの面、
即ち面Ｆ４だけがＺ２の後方にあるから、前向きフラグ
（ｆｆ）２５は１回だけトグルされ、零の値を有するこ
とになる。その結果、Ｚ２は変更されず、カウンタ２４
ａはリセットされないで、１の値を保持する。

【００９４】プリミティブＢが、再びスキャン変換され
る。冗長パスのカウントｋの値は２に増分され、前向き
フラグ（ｆｆ）２５は１にセットされる。Ｚ２はすでに
プリミティブＢの面Ｆ２の深度値を保持しており、プリ
ミティブＢのスキャン変換の後には、次の関係：「Ｚ２
＜Ｆ３＜Ｚ３」の存在が判明する。従って、プリミティ
ブＢの面Ｆ３の深度値がＺ３へコピーされるが、面Ｆ３
は後方を向いているから、その色はＩ３にはコピーされ
ない。面Ｆ３だけがＺ２の後方にあるから、前向きフラ
グ（ｆｆ）２５は、面Ｆ３の投影によりカバーされる各
ピクセルにおいて零にトグルされる。従って、Ｚ２は変
化せず、変更フラグ（ｃｆ）２３はカウンタ２４ａをリ
セットせず、カウンタ２４ａが保持するカウントは２に
留まる。Ｚ２は、プリミティブＢの面Ｆ２の深度値を保
持する。

【００９５】この時点で、冗長パスのカウントｋ（カウ
ンタ２４ａ）の値は、現在の積内のプリミティブの数と
等しいから、「終了」信号が比較器２４ｂによって生成
され、変換ループが終了されて（表１の行１０）、現在
の積の可視前面（Ｆ２）がＺ２及びＩ２に置かれる。Ｚ
２がＺ１より小さければ、Ｚ２及びＩ２の内容が、スク
リーン・バッファとも呼ばれるＺ１及びＩ１にそれぞれ
コピーされ、かくてこの積を加法形で他の積と併合す
る。

【００９６】図９には、非凸状プリミティブＡと凸状プ
リミティブＢとの交わりについてのイメージ・ディスプ
レイ処理システム１０の他の動作例が示されている。プ
リミティブＡは、面Ｆ１、Ｆ３、Ｆ４及びＦ５を有し、
プリミティブＢは、面Ｆ２及びＦ６を有している。面Ｆ
１と面Ｆ２とは、一致している。

【００９７】前述と同様、プリミティブＡをスキャン変
換する前に、Ｚ２が初期化される。前述の例と同様に、
プリミティブＡは正であるから、前向きフラグ（ｆｆ）
２５がセットされる。次の関係：「Ｚ２＜Ｆ１＜Ｆ３＜
Ｆ４＜Ｆ５」の存在が判明する。かくて、面Ｆ１がＺ３
に記憶される。Ｚ２の後方にはプリミティブＡの４つの
面があり、従って前向きフラグ（ｆｆ）２５は１にセッ
トされ、面Ｆ１はＺ２及びＩ２にそれぞれコピーされる
（表１の行２６〜３０）。

【００９８】プリミティブＢのスキャン変換の間、その
面Ｆ２がプリミティブＡの面Ｆ１と一致すること、そし
て次の関係：「Ｆ２＜Ｚ２＋ｅｐｓ＜Ｆ６」の存在が判
明する。プリミティブＢの１つの面だけがＺ２の後方に
あるから、前向きフラグ（ｆｆ）２５は零にトグルさ
れ、Ｚ２は変わらないままに留まる。カウンタ２４ａ
は、１に増分される。

【００９９】プリミティブＡが再びスキャン変換され、
次の関係：「Ｚ２＜Ｆ３＜Ｆ４＜Ｆ５」の存在が判明す
る。面Ｆ３の深度値はＺ３に記憶されるが、面Ｆ３が後
方を向いているから、Ｉ３の内容は変わらない。Ｚ２の
後方にあるプリミティブＡの面の数は奇数であり、これ
に応じて前向きフラグ（ｆｆ）２５は零にトグルされ、
Ｚ２の内容は変わらないままに留まる。カウンタ２４ａ
は、現在の積内のプリミティブの数に等しい２に増分さ
れ、「終了」信号が生成されて、このスキャン変換ルー
プ処理を停止する。Ｚ２は現在の積の前方にあるＦ１を
保持する。Ｚ２は、後でＺ１に併合される。

【０１００】図１０には、単純なプリミティブＡ及びＢ
の減算に対する他の例が示されている。積「Ａ−Ｂ」に
おいて、プリミティブＡの面Ｆ１は、プリミティブＢの
面Ｆ２と一致する。ここで留意すべきは、プリミティブ
Ｂは、現在の積内で負であるから、プリミティブＢの補
数とのプリミティブＡの交わりに起因して、Ｆ２が一の
後面として処理される、ということである。現在の積の
可視面は、補数化されていないプリミティブＢの元の後
面に相当するＦ３である。

【０１０１】前例と同様に初期化が行われ、プリミティ
ブＡがスキャン変換されて、Ｆ１がＺ２に記憶される。

【０１０２】次に、プリミティブＢがスキャン変換され
る。プリミティブＢは負であり、これに応じて前向きフ
ラグ（ｆｆ）２５は零に初期化される。次の関係：「Ｆ
２＜Ｚ２＋ｅｐｓ＜Ｆ３＜Ｚ３」の存在が判明する。こ
の場合、プリミティブＢは負であって、面Ｆ３は前向き
であるから、面Ｆ３の深度値がＺ３に記憶され、その強
度値がＩ３に記憶される。プリミティブＢの１つの面が
Ｚ２の後方にあるから、前向きフラグ（ｆｆ）２５は、
スキャン変換により調べられるピクセルにおいて１にト
グルされる。面Ｆ２はプリミティブＢの外側にあり、従
ってＺ３の内容がＺ２にコピーされる。

【０１０３】プリミティブＡが再びスキャン変換され、
前向きフラグ（ｆｆ）２５が１にセットされる。面Ｆ４
だけがＺ２の後方にあり、従って前向きフラグ（ｆｆ）
２５が１回トグルされて、零にセットされる。その結
果、Ｚ２は変わらないままに留まる。これと同じこと
が、プリミティブＢの２回目のスキャン変換の間にも生
ずる。カウンタ２４ａに保持される値が、リセットされ
ずにプリミティブの数（この場合は２に等しい）に達す
ると、「終了」信号が生成され、スキャン変換ループを
出る。次いで、Ｆ３を保持するＺ２が、Ｚ１に併合され
る。

【０１０４】図１１には、内部クラックを含むプリミテ
ィブに対する最後の例が示されている。プリミティブＡ
が、面Ｆ１、Ｆ４、Ｆ５及びＦ７を有するのに対し、プ
リミティブＢは、面Ｆ２、Ｆ３、Ｆ６及びＦ８を有して
いる。検討中のピクセルに投影される非正則化した差
「Ａ−Ｂ」は、空集合である。この例は、内部クラック
を有する非凸状プリミティブＢを、内部クラックを有す
る他の非凸状プリミティブＡから減算することを含んで
いる。更に、プリミティブＢの内部クラックは、プリミ
ティブＡの内部クラックと一致している。このようなク
ラックが生ずるのは、モデル内で又は分解能が限定され
ているために、同じプリミティブの２つの面が一致する
場合である。これらの特異性は、前述のようにシルエッ
ト・エッジ近傍に現れることもある。

【０１０５】前述の例のように、初期化し且つプリミテ
ィブＡをスキャン変換した後、面Ｆ１がＺ２に記憶され
る。

【０１０６】プリミティブＢがスキャン変換され、そし
てプリミティブＢが負であるために、前向きフラグ（ｆ
ｆ）２５が零にセットされる。面Ｆ２は面Ｆ１と一致
し、かくて次の関係：「Ｆ２＜Ｚ２＋ｅｐｓ＜Ｆ３＝Ｆ
６＜Ｆ８＜Ｚ３」の存在が判明する。プリミティブＢの
面Ｆ３及びＦ６がスキャン変換される順序に応じて、面
Ｆ３又はＦ６のいずれかの深度値がＺ３にコピーされ
る。しかし、面Ｆ６は後方に向いているから、面Ｆ３の
強度値がＩ３に保存される。Ｚ２の後方にプリミティブ
Ｂの面が３つあるから、前向きフラグ（ｆｆ）２５が１
にトグルされ、Ｚ３がＺ２にコピーされる。

【０１０７】プリミティブＡが再びスキャン変換され、
前向きフラグ（ｆｆ）２５がセットされる。面Ｆ４は面
Ｆ５並びにＺ２と一致し、次の条件：「Ｆ１＜Ｆ４＝Ｆ
５＜Ｚ２＋ｅｐｓ＜Ｆ７＜Ｚ３」の存在が判明する。面
Ｆ７はＺ３に書き込まれる。面Ｆ７だけがＺ２の後方に
あるから、前向きフラグ（ｆｆ）２５は零にリセットさ
れ、Ｚ２は変わらないままに留まり、従って依然として
Ｆ３を保持している。

【０１０８】プリミティブＢが再びスキャン変換され、
面Ｆ６及びＦ３はＺ２と一致していることが判明し、そ
の結果として次の関係：「Ｆ２＜Ｆ３＝Ｆ６＜Ｆ２＋ｅ
ｐｓ＜Ｆ８＜Ｚ３」の存在が判明する。Ｆ８はＺ３に書
き込まれる。プリミティブＢの１つの面Ｆ８だけがＺ２
の後方にあるから、前向きフラグ（ｆｆ）２５が１回だ
け１にトグルされ、Ｆ８がＺ２にコピーされる。

【０１０９】プリミティブＡが再びスキャン変換され、
プリミティブＡの最後方の面Ｆ７がＦ８と一致すること
が判明し、その結果として次の関係：「Ｆ１＜Ｆ４＝Ｆ
５＜Ｆ７＜Ｚ２＋ｅｐｓ＜Ｚ３」の存在が判明する。従
って、Ｚ３には何もコピーされず、前向きフラグ（ｆ
ｆ）２５はセットされたままに留まる。かくて、Ｚ３及
びＩ３を初期化した最大深度値（無限）と背景色とがＺ
２及びＩ２にそれぞれコピーされる。

【０１１０】プリミティブＢの次のスキャン変換パスは
何ら変化をもたらさないから、カウンタ２４ａがプリミ
ティブの数に対応する２のカウントに達したときに、こ
のプロセスが終了する。

【０１１１】以上の記述を要約すると、複数の深度バッ
ファを用いて正則化されたＣＳＧソリッドを適正に表示
するには、一のピクセルにおいて２つの面が同じ深度値
を有するという特異ケースを、適正に考慮する必要のあ
ることが示された。このような状況が生ずるのは、ＣＳ
Ｇプリミティブが、それらの境界に沿って２次元的な接
触を有するように位置決めされる場合に限られない。な
ぜなら、このような状況は、くびれ部上の面点又はシル
エット・エッジ近傍の鋭い隅部上の面点が、同じピクセ
ルに投影し且つスキャン変換処理によって同じ整数の深
度値に丸められる程度に十分に近い深度値を有する場合
にも、偶然的に生ずることがあるからである。

【０１１２】この問題は、スキャン変換中の丸め誤差の
影響を除去するために、許容値を用いることによって克
服される。かくて、一致すべき面は、たとえ実際の深度
値が一のピクセルにおいて異なることがあるとしても、
結果において一致することになるのである。また、ＣＳ
Ｇ表現の正則化した解釈に関して正しい表示イメージを
生成するために、許容値を用いる深度テストを行って、
かかる対策が講じられなければ現れたであろうダングリ
ング面やエッジを除去する。

【０１１３】更に、小さい特徴部の損失を回避するよう
に、モデルのサイズに対して比較的小さな許容値を維持
するため、改良されたスキャン変換技術が与えられる。
この改良された技術は、ピクセル中心への投影を考慮し
て、調べられた全てのピクセルについて実際の面深度値
を生成する、というものである。このようにして、もし
空間的に重なる２つの面がそれぞれ独立してスキャン変
換されるのであれば、双方の面によってカバーされた全
てのピクセルについて生成される複数対の値は、深度値
増分を累積する間に生成しうる極めて小さな丸め誤差を
除くと、互いに等しくなる。

【０１１４】また、プリミティブ内の点の分類を行うた
めにスキャン変換が正しく使用されることを保証するに
は、一の面によってカバーされる中心を持つピクセルだ
けが当該面のスキャン変換の間に調べられることを保証
するように、スキャン変換技術を修正すればよい。

【０１１５】更に、本発明によれば、補助シャドウ深度
バッファ（ＺＳ）を用いた単純な２パス・スキャン変換
技術によって、シャドウイングを行うことができる。

【０１１６】以上では、特定の実施例に即して本発明を
説明してきたが、本発明の範囲から逸脱することなく、
種々の修正を施しうることを認識すべきである。例え
ば、強度バッファＩ２及びＩ３が設けられていない場合
には、深度間隔バッファ（ＤＩＢ）プロセッサ２０の修
正されたアーキテクチャを用いることができる。本発明
の方法は、強度値の計算及び更新が行われないことを除
くと、プリミティブ物体を繰り返し評価するために前述
のように進行する。その結果は、強度値情報を伴わない
が、ＣＳＧ表現の全体に対するＺ１の内容を計算するこ
とである。次いで、強度値決定パスが実行されて、全て
のプリミティブの前面について１回だけのスキャン変換
が行われる。この強度値決定パスは、Ｚ１に記憶された
深度値が現に処理されている点における面深度値と等し
い処のピクセルについて、対応する強度値をピクセル・
メモリＩ１に記憶する。本発明のかかる変更は、ピクセ
ル・メモリを著しく節約するが、イメージの質について
は、これを僅かに低下させることがあるに過ぎない。

【図面の簡単な説明】

【図１】３個のプリミティブから成るソリッドのＣＳＧ
２進ツリーを示す図である。

【図２】本発明に従った、イメージ・ディスプレイ処理
システムの実施例を示すブロック図である。

【図３】プリミティブＱを処理する場合の、図２の深度
間隔バッファの動作を示す図である。

【図４】Ａは、くびれ部が厚さ零の縮退した壁として見
え且つ狭い空洞がクラックとして見える、限定された分
解能の影響を示す図であり、Ｂは、シルエットの後面と
前面が一致するように見える場所の近傍における、限定
された分解能の影響を示す図であり、Ｃは、一のソリッ
ドに対しそれぞれ異なる位置関係にある複数の点の分類
決定方法を示す図である。

【図５】スキャン・ラインの開始深度値を調整して一の
表面の正確なｚ値を生ずることにより、正確なスキャン
変換を行うようにした技術を示す図である。

【図６】複数のピクセル上に投影する２つの面を有する
プリミティブの調整されたスキャン変換を行うための技
術を示す図である。

【図７】Ａは、２パスのシャドウイング技術に利用され
る補助シャドウ深度バッファを示す図であり、Ｂは、Ａ
の補助シャドウ深度バッファの動作を示す流れ図であ
る。

【図８】２個の凸状プリミティブが交差する場合の、本
発明に従ったシステムの動作を例示する図である。

【図９】非凸状プリミティブと凸状プリミティブとが交
差し且つ双方のプリミティブが共通の前面を共有する場
合の、本発明に従ったシステムの動作を例示する図であ
る。

【図１０】２個の凸状プリミティブの間で減算を行う場
合の、本発明に従ったシステムの動作を例示する図であ
る。

【図１１】２個の非凸状プリミティブの各々が内部クラ
ックを有し且つ一方の非凸状プリミティブから他方の非
凸プリミティブを減算する場合の、本発明に従ったシス
テムの動作を例示する図である。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者ジャロスロウ・ロマン・ロシグナックアメリカ合衆国10562、ニューヨーク州オシニング、リンカーン・プレイス 1956 番地 (72)発明者ジェフレイ・ウェンフォン・ウーアメリカ合衆国10011、ニューヨーク州ニューヨーク、ウエスト・トゥエンティーサード・ストリート 208番地、アパートメント 1003

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】３次元のソリッド物体を表す表示可能情
報を生成する装置において、１つ以上のプリミティブ物体から構成されるように、前
記ソリッド物体をそのコンストラクティブ・ソリッド・
ジオメトリ表現で表すための手段と、前記１つ以上のプリミティブ物体の表示可能面を決定す
るために、当該プリミティブ物体を繰り返し評価するた
めの評価手段とを備え、前記評価手段が、評価中のプリミティブ物体の面上に位置する点の深度値
を、先に決定された深度値と繰り返し比較するととも
に、前記プリミティブ物体の表示可能面上に位置するこ
とが決定された各点の、一の基準平面に対する深度値
を、深度バッファ手段（Ｚ１）内に記憶するための第１
の比較手段と、前記第１の比較手段の動作の終了に応答して、前記プリ
ミティブ物体の前方を向いた面上の複数の点の深度値
を、Ｚ１内に記憶されている対応する深度値と比較する
とともに、Ｚ１内に記憶されている対応する深度値と等
しい深度値を有する前記前方を向いた面上の点の強度値
を、強度バッファ手段（Ｉ１）内に記憶するための第２
の比較手段とを含み、前記第１及び第２の比較手段の各々が、所定の許容値を
用いて深度値の比較を行い、当該所定の許容値が、少な
くとも前記表示可能面を決定する計算過程で導入される
丸め誤差を補償するように選択された値を有することを
特徴とする、３次元のソリッド物体を表す表示可能情報を生成する装
置。
【請求項２】３次元のソリッド物体を表す表示可能情
報を生成する方法において、１つ以上のプリミティブ物体から構成されるように、前
記ソリッド物体をコンストラクティブ・ソリッド・ジオ
メトリ表現で表すステップと、前記１つ以上のプリミティブ物体の表示可能面を決定す
るために、当該プリミティブ物体を評価するステップと
を含み、前記評価するステップが、評価中のプリミティブ物体の面上に位置する点の深度値
を、先に決定された深度値と繰り返し比較するステップ
と、前記プリミティブ物体の表示可能面上に位置することが
決定された各点の、一の基準平面に対する深度値を、深
度バッファ手段（Ｚ１）内に記憶するステップと、前記プリミティブ物体の前方を向いた面上の複数の点の
深度値を、Ｚ１内に記憶されている対応する深度値と比
較するステップと、Ｚ１内に記憶されている対応する深度値と等しい深度値
を有する前記前方を向いた面上の点の強度値を、強度バ
ッファ手段（Ｉ１）内に記憶するステップとを含み、前記繰り返し比較するステップ及び前記比較するステッ
プの各々が、所定の許容値を用いて深度値の比較を行
い、当該所定の許容値が、少なくとも前記表示可能面を
決定する計算過程で導入される丸め誤差を補償するよう
に選択された値を有することを特徴とする、３次元のソリッド物体を表す表示可能情報を生成する方
法。