JPH06294830A

JPH06294830A - 周波数領域の解析を強化するための方法と装置

Info

Publication number: JPH06294830A
Application number: JP595694A
Authority: JP
Inventors: Ronald W Potter; ロナルド・ダブリュ・ポッター
Original assignee: Hewlett Packard Co
Current assignee: HP Inc
Priority date: 1993-01-22
Filing date: 1994-01-24
Publication date: 1994-10-21

Abstract

(57)【要約】【目的】信号処理技法によって、サンプリング周波数
領域関数の点の間での正確な補間が行われる。【構成】時間軸サンプリング処理(12)によって、副時
間間隔Ｔ’を有する継続時間Ｔの時間波形がサンプリン
グされる。信号プロセッサ(16)は、時間周期Ｔにわたる
離散フーリエ変換を適用して、サンプリングデータを時
間領域から周波数領域に変換する。サンプリング周波数
領域データは、実線形状を生じるために１つ以上のコン
ボリューション核とともにコンボリューションされる。
このコンボリューションの結果は、任意の周波数でのス
ペクトル成分が測定される。開示する周波数領域の補間
処理は、任意ではあるが、特定の正確度を有する時間領
域のＴ’間隔でのデータの保存によって特徴づけられ
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、信号処理技法に関する
ものであり、さらに詳細に述べると、サンプリング周波
数関数を補間点で再サンプリングするための方法に関す
るものである。

【０００２】

【従来の技術】本出願は、現在、権利を放棄した１９８
８年８月１８日提出の米国特許出願番号第０７／２３４
４６０号の継続出願である１９９１年６月２５日に提出
された係続中の米国特許出願番号第０７／７２３３７７
号の一部継続出願である。係続中の特許出願番号第０７
／７２２３７７号の内容はここでの参照により本明細書
中に取り込むものとする。

【０００３】米国特許出願番号第０７／２３４４６０号
のヨーロッパ対応出願が、ヨーロッパ特許庁によって、
１９９０年２月２８日に、ＥＰ３５５２９３Ａとして
公開された。この公開は現在、この分野の活動に対して
利用できる技術の一部を形成しており、また、その内容
はここでの参照によって明示的に本明細書中に取り込む
こととする。

【０００４】ディジタル信号処理（ＤＳＰ）技法によっ
て、電子試験及び計測機器の機能は大幅に拡張され、コ
スト有効性も良くなった。しかし、欠点として、サンプ
ルデータに対するＤＳＰの信頼性があった。

【０００５】サンプルデータシステムでは、解析中の信
号は、周期的に間隔をあけた時間間隔での１つ以上の属
性によって表される。周知の例として、周期的な時間間
隔でサンプリングされる電気信号の振幅がある。後続の
解析では、このサンプルデータの集合を利用して、その
信号が表される。別の例として、周期的な周波数間隔で
サンプリングされる電気信号のスペクトル成分がある。
このサンプリング方式は、各々の棒（あるいは線）が離
散的周波数での信号の振幅またはパワー（電力）を表
す、スペクトラムアナライザの棒グラフ表示からよく知
られている。

【０００６】サンプル形態でのデータ表現は、強力な解
析技法（例えば高速フーリエ変換、すなわちＦＦＴ）の
利用を促進するが、知識ベースに曖昧性を導入すること
になる。特に、周期的に間隔をあけた時間間隔の間の信
号属性が不明である。この欠点を改善するために補間法
を利用する場合もある。

【０００７】補間法には、一般に既知のデータ点に対し
て１組の仮定を応用することが必要となり、これらの点
の間のデータの挙動に関して理解が得られるようになっ
ている。周知の事例では、データはデータ点の間で線形
に変化すると仮定している。この仮定によれば、既知の
データ点を結ぶ直線が得られる。別の事例では、データ
は既知のデータ点の後続点に多項式を当てはめることに
よって、近似させることが可能な滑らかな曲線の形状を
とると仮定している。

【０００８】

【発明が解決しようとする課題】ディジタル信号解析で
のこれらの従来技術による補間技法には、重大な欠点が
ある。これらは別の領域でのデータを損なうことになり
がちである。例えば、時間領域でのサンプリング信号
は、ＦＦＴによって周波数領域でのサンプリング信号に
変換することができる。サンプリング周波数領域信号を
補間して、連続スペクトル関数を生じさせ、さらにこの
連続関数を変換して時間領域に戻すと、結果として生じ
る時間領域信号は、もはや元の時間領域信号とは一致し
ない。この破損は周波数領域での補間によるものであ
る。

【０００９】同様に、サンプリング周波数領域信号を時
間領域に変換して補間を行い、さらに変換して周波数領
域に戻すと、周波数領域の表現は、大幅に変わることに
なる。この破損もまた、補間、この場合には時間領域で
の補間によるものである。

【００１０】後者の時間領域補間の問題は、上述の米国
及びヨーロッパ出願に開示の技法によって取り扱われて
いる。前者の周波数領域補間の問題は、残存している。

【００１１】

【課題を解決するための手段】本発明によれば、サンプ
リング周波数領域信号の補間が達成され、その一方で時
間領域での対応するデータはある特定の程度の誤差範囲
内に保たれる。望ましい実施例では、これは次のように
達成される。すなわち時間領域では、長さＴ’を有する
対象とする特定のレコード（記録）が、長さＴを有する
より長いレコード内で識別される。このより長いレコー
ドを、ＦＦＴを利用して周波数領域に変換すると、１／
Ｔの周波数で間隔をあけた１組の離散的周波数領域のサ
ンプルが生じる。次に、この離散的スペクトルに連続コ
ンボリューション核（連続たたみ込み積分核）を使って
コンボリューション（たたみ込み積分）を行うと、補間
された曲線が生じる。この曲線は、全周波数での信号の
スペクトル成分を表しており、ＦＦＴによって生成する
元の離散的周波数領域のサンプルの間のそれらも含む。
この曲線は、後続の解析に用いるため、特に重要な周波
数（例えば１／Ｔ’）での再サンプリングを行うことが
できる。

【００１２】この技法の正確度は、用いられる特定のコ
ンボリューション核、及びＴ’に関するレコードの長さ
Ｔによって決まる。時間領域では、コンボリューション
核は、時間レコードの周期Ｔのうち１つを除くすべてを
除去する窓関数（「補間窓関数」）に対応する。この窓
関数は、時間間隔Ｔに中心を有する矩形の形状を有して
いるのが理想である。こうした窓関数は、歪みなしに窓
関数内の全てのデータを通過させ、好ましくはこの時間
間隔外の全てのデータを完全に減衰させる。しかし、こ
うした矩形の窓関数の連続コンボリューション核は、範
囲が無限であり、したがって、実現は困難になる。

【００１３】代替案として、一般に望ましい補間窓関数
は、特に重要なレコードＴ’にわたって実質的に平坦で
あり、さらにより長いレコードＴの範囲外での全時間に
対して傾斜して適当な減衰レベルまで降下する。こうし
た簡易平衡の補間窓関数のためのコンボリューション核
は、比較的に実現が容易である。

【００１４】望ましい実施例では、特に重要なＴ’の周
期外（ただし、まだ、より長いレコードＴの範囲内にあ
る）の時間レコードの値は、強制的にゼロにされる。こ
れらの点は解析の対象ではなく、この処置によって、簡
易平衡の補間窓関数の矩形属性が強められる。

【００１５】こうした技法によって、サンプリング周波
数領域での補間点で正確に再サンプリングを行うことが
できる。この技法の正確度を制限するのは、簡易平衡の
補間窓関数の平坦度と、時間間隔Ｔを越えるイメージの
減衰度だけである。適切なコンボリューション核を選択
することによって、この窓関数を強制的に任意の仕様に
合わせることができる。したがって、任意の正確度の周
波数領域補間を達成することができる。

【００１６】本発明に関する前述の及び追加の特徴と利
点については、添付図面を参照して進められる下記の詳
細な説明からより容易に明らかになるであろう。

【００１７】

【実施例】図１を参照すると、長さＴ’の有限時間レコ
ードが特に重要であり、長さＴのより長い時間レコード
内で識別されたものと仮定する。（図１の破線は、イメ
ージであり、元のデータ信号の一部ではない。）時間
データが周期Ｔに関して周期的であると仮定するＦＦＴ
の手段によって、この全時間レコードの周波数スペクト
ルを計算する場合、結果として生じるスペクトルは１／
Ｔの周波数間隔でサンプリング（標本化）が行われる。
これが図２に破線で示されている。所定の制約条件下
で、図２のこれら１／Ｔのサンプル点（標本点）の間の
スペクトルを補間すること、及び任意に選択された新し
い周波数の集合において結果生じる連続曲線の再サンプ
リングを行うこと（すなわち、その値を計算すること）
ができる。

【００１８】連続した形でサンプリング周波数スペクト
ルを得る重要なステップは、時間レコードの周期Ｔのう
ち１つを除くすべてを除去することである。これは周期
的時間レコードに単位高さ及び幅Ｔを有する矩形を掛け
算することによって果たすことができる。副時間間隔
Ｔ’を分離するため、時間レコードに所要のＴ’の時間
間隔に中心がくる、単位高さ及び幅Ｔ’を有する矩形を
掛け算すると、図３の実線部分が生じる。周波数領域で
は、これは次の形式の連続核を有するサンプリングスペ
クトルのコンボリューション（たたみ込み積分）に一致
する。

【００１９】

【数１】

【００２０】これは長さＴ’を有する単位矩形のフーリ
エ変換である。

【００２１】連続コンボリューション核は、コンピュー
タのメモリに直接格納することはできないが、式の形式
で格納することはできる。代替案として、簡単な補間手
順を利用して、連続関数に対する良好な近似を求めるこ
とができる、大規模のテーブル（表）として格納するこ
ともできる。

【００２２】連続コンボリューション核を、図２の破線
によるサンプリング周波数スペクトルに適用することに
よって、実線で示す連続曲線が生じる。一度この連続曲
線が得られると、１／Ｔ’以下の所要の周波数間隔で再
サンプリングを行うことが可能になる。

【００２３】実際に、連続コンボリューション及び再サ
ンプリングの操作は、再サンプリング仕様によって指示
される離散的周波数においてだけの、連続核と元のサン
プリングスペクトルの間のコンボリューションの計算に
置き換えることができる。この結果、再サンプリングの
前に、連続コンボリューションの結果を格納する必要が
なくなる。

【００２４】一例として、１／Ｔ’の周波数間隔（特に
重要な副時間間隔Ｔ’に対応）での図１の信号の周波数
成分を測定することが要望されていると仮定する。ＦＦ
Ｔから生じる元のサンプリング周波数領域データ（図２
の破線）によって、１／Ｔの周波数間隔でのスペクトル
情報だけが与えられる。異なる点集合でのデータを得る
には、既知の周波数点の間で曲線の補間を行い、さらに
所要の周波数点で再サンプリングを行わねばならない。
これは、既知の周波数点を連続コンボリューション核を
使ってたたみ込み積分することによって行われる。この
操作によって、図２の実線による連続曲線が生じる。１
／Ｔ’の周波数間隔を有する点で、コンボリューション
式を解くことによって、これら補間点でのスペクトル情
報が生じる。この再サンプリングによって、図４に示す
データが生じるが、これは１／Ｔ’の周波数間隔で間隔
をあけた補間周波数サンプルである。

【００２５】補間された図４の再サンプリング周波数ス
ペクトルを変換して、時間領域に戻す場合、図３の時間
レコードが生じる。この時間レコードが図１の元のレコ
ードＴ’とほとんど同一に対応するのは明らかである。
（図３のレコードは、図４の周波数領域の表現が、１／
Ｔ’の周波数間隔でサンプリングされるという事実を反
映する、周期Ｔ’で無限に複製される。）新しいサンプ
リング間隔に下限はないが、上限はあるという点に留意
されたい。再サンプリング間隔が広すぎる場合、対をな
す時間領域に重なり合うイメージが含まれるので、時間
領域と周波数領域の両方に誤差を導入することになる。
再サンプリング間隔の上限は、選択されたコンボリュー
ション核によって決まる。（１）式の形式のコンボリュ
ーション核が選択される場合、再サンプリング周波数の
上限は、１／Ｔ’になる。

【００２６】あいにく、前述の（１）式は、この関数が
両方向において無限に拡張するので、困難であり、時間
を浪費することになる。より実際的なアプローチは、強
制的にＴ＞Ｔ’とし、Ｔ’とＴの間の時間レコードにゼ
ロの値をパッド（埋め込み）することで、周波数スペク
トルのオーバサンプリングを行うことである。この場
合、Ｔ’時間間隔にわたる矩形を近似した、ただし、そ
のフーリエ変換の範囲が有限である、簡易平衡の時間領
域補間窓関数（図１に点線で示す）を設計することが可
能になる。これによって、有限核を利用して、コンボリ
ューション操作を実施することが可能になるので、この
ステップが大幅に高速化される。比率Ｔ／Ｔ’は、オー
バサンプリング係数と呼ばれる。この係数が大きくなる
につれて、コンボリューション核はそれだけ短くなる。

【００２７】簡易平衡の時間領域補間窓関数（その変換
結果が、コンボリューション核である）は、時間間隔
Ｔ’にわたって実質的に平坦にするべきであり、かつ本
質的に他の全ての周期の波形を除去するべきである。平
坦からのあらゆる偏差によって、補間された周波数領域
曲線と対をなす時間領域を歪ませたり、残差時間イメー
ジによって、再サンプリング後に循環誤差を生じること
になる。幸いにも、窓関数は、適合するコンボリューシ
ョン核を用いることによって、必要なだけ良好なものに
することができる。窓関数が平坦であるほど、また、時
間イメージの減衰が大きくなるほど、コンボリューショ
ン核はそれだけ長くなる。

【００２８】連続周波数のコンボリューション核と離散
的周波数のコンボリューション核を組み合わせを使っ
て、補間手順を実施するのが望ましい場合もある。（コ
ンボリューション操作の順番は、重要ではない。）例え
ば、連続コンボリューション核を利用することによっ
て、重要な時間間隔Ｔ’にわたる窓関数の平坦度を気に
せずに、周期Ｔの範囲外の時間領域イメージを減衰させ
ることが可能になる。さらに、離散的周波数のコンボリ
ューションを利用することによって、必要な仕様に合わ
せてこの領域Ｔ’を平坦にすることが可能になる。

【００２９】図５には、２：１のオーバサンプリング用
に設計された、簡易平衡の時間領域補間窓関数が半分示
されている。該窓関数は、時間間隔０〜Ｔ’／２にわた
って、実質的に平坦である。窓関数のスカート（底辺）
は、Ｔ’／２〜Ｔの時間間隔にわたって下方に傾斜して
いるので、信号の減衰が増大する。これは、時間レコー
ドのゼロをパッド（埋め込み）した部分であり、ここで
の窓関数の形状は、ほとんど重要ではない。時間間隔Ｔ
〜３Ｔ’／２にわたって、窓関数の減衰が増大する。最
後に、３Ｔ’／２以降は、窓関数によって、常に、４２
ｄＢ以上の減衰が生じる。したがって、図１の望ましく
ない時間イメージは、すべて少なくとも４２ｄＢ減衰さ
れる。

【００３０】図６には、図５の０とＴ’／２の間の窓関
数の「平坦な」部分の１．０からの偏差が示されてい
る。この例では、Ｔ’時間間隔での最大リップル誤差
は、＋／−１．６２％である。

【００３１】図７には、図５の簡易平衡の時間領域補間
窓関数に対応する周波数領域のコンボリューション核が
半分示されている。この核は、２／Ｔの半値幅、すなわ
ち、４／Ｔの全値幅を有する。これによって、全値幅
は、元の周波数サンプル間隔である１／Ｔの４倍として
識別され、それ故これは４点補間核ということになる。
図７の核は、数学的に次の式で表すことができる。

【００３２】

【数２】

【００３３】ここで、ａ₀＝ａ₁＝０．２４５９５０７５ａ₂＝０．１００４５５５である。

【００３４】図５〜図７の４点窓関数の＋／−１．６２
％の誤差は、全ての場合について満足することはできな
い。より優れた性能を与える窓関数の例には、やはり、
２：１のオーバサンプリング係数を利用して、イメージ
減衰係数が１００ｄＢを超え、平坦度の誤差が０．１％
未満になるように設計された１０点の補間窓関数があ
る。こうした核は、ｂの係数からなる適合する集合につ
いて、数学的に次の式によって表される。

【００３５】

【数３】

【００３６】もちろん、この１０点の形状は、前記４点
の例よりも大きい。それでも正確度の改善が、さらに高
次の窓関数を使って達成できる。

【００３７】この実施例の終わりの付録には、出願人が
補間窓関数の設計に用いた手順が解説されている。

【００３８】選択されたコンボリューション核の質は、
元の周波数間隔（１／Ｔ）で補間周波数領域のスペクト
ルを再サンプリングすることによってチェックできる。
このプロセスの結果と元の周波数データの間の差は、補
間手順の正確度の尺度になる。

【００３９】この周波数領域補間手順の利点は、重要な
時間間隔（及び結果として生じる周波数領域の分解能）
が、ＦＦＴに用いられる時間レコードの実際の幅から切
り離されるということである（用いられる補間窓関数の
設計に対処するために十分なオーバサンプリングを利用
するという条件で）。この結果には、いくつかの実際的
な応用例がある。

【００４０】まず、周波数スペクトルの値が、あらかじ
め選択された周波数の集合（必ずしも均一な間隔をなす
とは限らない）において所要されるものと仮定する。望
ましい手順は、時間データＴ’の集合を収集することで
ある。このデータは、次に、一般に時間領域で窓関数化
される。（この窓関数操作は、前述の補間窓関数とは異
なり、Ｔ’領域の端部での時間波形の急な切り捨てと関
連した、スペクトルでの漏れの問題を軽減する働きをす
る。ハニング窓関数が、この目的に適した窓関数の例で
ある。補間窓関数との混乱を避けるため、このような窓
関数は、今後、整形窓関数と呼ぶことにする。）次に、
窓関数処理を行ったデータには、用いられる補間窓関数
設計に関するオーバサンプリング係数以上になるように
するのに十分なゼロがパッド（埋め込み）される（Ｔに
対し完全に）。（すなわち、Ｔを十分な長さにすると、
補間窓関数のスカートは、時間間隔Ｔの範囲外での所要
レベルのイメージ減衰を生じさせるのに十分な減衰を示
すことになる。）次に、ゼロをパッドした時間レコード
Ｔを利用して、ＦＦＴまたは離散的フーリエ変換を実施
すると、１／Ｔの周波数間隔で離散的周波数スペクトル
が生じる。次に、このサンプリングスペクトルは、補間
の核を使ってコンボリューションが行われ、あらかじめ
選択された重要な周波数のそれぞれで求められる。これ
は、再サンプリング操作を構成する。あらかじめ選択さ
れた周波数の値に対応する元の時間レコードでの離散的
トーンが、周波数スペクトルでの単一の線として表わさ
れる。唯一の誤差は、Ｔ’時間間隔にわたって用いられ
る整形窓関数から生じた残留漏れによって生じるもので
ある。

【００４１】以上のプロセスについては、図８のフロー
チャートに要約されている。図９には、例示のプロセス
を実施可能な信号解析機器１０が示されている。機器１
０には、サンプラ１２、ゼロ充填及び窓関数処理ブロッ
ク１４、ＤＦＴプロセッサ１６、補間プロセッサ１８、
及びディスプレイ２０が含まれている。（一般に、ブロ
ック１４〜１８の機能は、モトローラ社製のＭＣ６８０
３０のようなマイクロプロセッサによって実現され
る。）従来技術によるスペクトラムアナライザは、該機
器のマイクロプロセッサに、ゼロ充填及びコンボリュー
ション操作を実施するように、適正なプログラミングを
施すことによって、機器１０の働きをするように一致さ
せることができる。

【００４２】あらかじめ選択された集合での全周波数が
周期Ｔ’を有する基本波成分の高調波である場合、この
周期に等しい幅を有する矩形の整形窓関数は、周波数ス
ペクトルに漏れ誤差が生じないようにして利用すること
ができる。前述のように、全時間レコードが、長さＴを
有しているが、ここでのＴは用いられる補間窓関数の所
要オーバサンプリング係数を満たすのに十分な長さであ
る。Ｔ’とＴの間の時間間隔には、ゼロがパッドされ
る。次に、ＦＦＴを実施することによって、１／Ｔの周
波数間隔でサンプリングされたスペクトルが得られる。
次に、コンボリューション核が適用され、結果生じる曲
線の値を１／Ｔ’の周波数間隔で測定することによっ
て、再サンプリングが実施される。この結果は、基本周
波数及び各高調波周波数での離散的線形の集合であり、
矩形時間窓関数によって漏れはない。この手順の第２の
応用例は、周波数スペクトルの表示であり、ここでのデ
ィスプレイの分解能は、測定されるスペクトルの実際の
周波数の分解能と切り離すことができる。表示されたス
ペクトルでのサンプル間隔が、１／Ｔ’以下である限
り、情報の損失はない。したがって、より狭い周波数間
隔で補間し、再サンプリングをするだけで、任意の量だ
け表示を拡大することができる。係数を増すことによっ
てスペクトル表示が拡大されるので、整形窓関数によっ
て各周波数成分ごとに導入される線形状が、より詳細に
見えるようになる。

【００４３】この第２の応用例によって、ＦＦＴに基づ
くスペクトル解析機器は、一連の離散的線−−１つの線
が各ＤＦＴの「２進数」に対応する−−ではなく、信号
のスペクトル成分を表した連続曲線を生成することが可
能になるとわかるだろう。従来技術の補間技法とは異な
り、この連続曲線は、Ｔ’の時間間隔で対応する時間デ
ータを正確に保存する。

【００４４】第３の応用例は、サンプリングスペクトル
の１／Ｔ間隔の間に入る正弦波成分の振幅と位相の両方
または一方を測定する場合である。従来技術では、こう
した信号の振幅は、フラットトップ窓関数（平頂窓関
数）の手段を頼ることによって測定される。こうした窓
関数は、時間領域での複雑な形状を有しているが、その
名称は周波数領域でのそのフラット（平坦）なトップ形
状に由来する。このやり方で窓関数処理され、周波数領
域に変換された信号は、ある周波数範囲にわたってスミ
アを生じるが、その振幅はスミアを生じた形状の最大値
から、何分の１％の範囲内まで測定することができる。
トレードオフは、このスミアの影響によって周波数の分
解能が損なわれることである。

【００４５】本発明によって、こうした正弦波成分につ
いて、振幅及び位相だけでなく、周波数の正確な解析も
可能になる。整形窓関数は、フラットトップを必要とせ
ずに、漏れを減少させるように選択することができる。
次に、補間と、任意の狭い周波数間隔による再サンプリ
ングの手段によって、線形状のピークを表示することが
できる。一般に、フラットトップ窓関数の等価雑音帯域
幅（周波数分解能）は、他の場合に、同じ漏れ減少機能
に必要とされるものの約２倍であり、したがって、フラ
ットトップ窓関数を消去し、周波数領域補間及び再サン
プリングを利用することによって、有効周波数分解能を
１／２にすることができる。

【００４６】前述の応用例の全てにおいて、所要の時間
レコードＴ’の長さは、任意の精度で選択可能であり、
時間レコードの収集に用いられたサンプリングレートに
よって決まるのではない。言い換えれば、補間窓関数
は、所要の場合、時間サンプルの非整数にまたがる幅を
有することができる。

【００４７】以上の開示から明らかなように、本発明は
本質的に周波数領域関数の分解能と、対応する所要の時
間レコードの長さを元の測定時間レコードの長さから切
り離すことを可能にするものである。上述の米国及びヨ
ーロッパ特許出願の開示は、元の時間サンプリング間隔
から、時間領域波形の有効分解能、並びに、対応する周
波数領域スペクトルの帯域幅を切り離すことが可能な方
法を教示するものである。これらの開示は、共に、離散
的解析またはディジタル信号解析の分野での伝統的な制
約を克服し、結果として大幅に質の向上した信号解析機
器が生じるようにする、フレームワーク（構成）を提供
するものである。

【００４８】いくつかの応用例に関連して、本発明の原
理について例示し、解説してきたが、当業者には明らか
なように、本発明はこうした原理を逸脱することなく、
構成及び細部において修正を加えることができる。例え
ば、スペクトル振幅及び位相関数の両方または一方を補
間し、再サンプリングする応用例に関連して、本発明の
例示を行ったが、パワースペクトル、伝達関数、コヒー
レンス関数等を含む、他の周波数領域関数にも同じ技法
を適用できるのは、明らかである。（パワースペクトル
は、振幅／位相関数の線形性とは対照的な、こうした関
数の二次特性のため、特に平坦な補間窓関数を必要とす
る。）同様に、整形窓関数を時間領域でのデータに適用
する応用例に関連して、本発明の例示を行ったが、周波
数領域での対応するコンボリューションによって、同様
に、この操作を実施できるのも明らかである。さらにま
た、まず、時間レコードを得て、その後、周波数領域に
変換する応用例に関連して、本発明の例示を行ったが、
本発明の原理は、周波数領域で得られたデータの処理に
も等しく適用できるのは明らかである。

【００４９】本発明の原理を適用できる可能性のある多
くの実施例を考慮すると、これらの詳細な実施例は、例
示のためのものでしかなく、本発明の範囲を限定するも
のと解釈してはならない。そうではなしに、特許請求の
範囲及びその均等物の範囲及び思想に含まれる全てのこ
うした実施例を本発明として請求するものである。

【００５０】付録範囲が有限である、周波数領域のコンボリューション核
を得るには、各周期が所要の幅と形状を有する周波数領
域での周期関数を構成し、さらにこの周期関数に、該関
数の１サイクルに中心がくる、１周期の幅を有する矩形
を掛け算すれば十分である。対応する時間窓関数は、周
波数領域の矩形の逆フーリエ変換でコンボリューション
される、周波数領域の周期の逆数だけ間隔をあけたデル
タまたはインパルス関数の集合から構成される。

【００５１】周知のように、正弦及び余弦のフーリエ級
数を構成することによって、各周期が本質的に任意の形
状を有する周期関数を生成することができる。この応用
例では、正弦及び余弦のこの級数は、時間領域ではな
く、周波数領域になる。したがって、周波数領域のコン
ボリューション核に関する表現は、次のように書くこと
ができる。

【００５２】

【数４】

【００５３】ここでのＦは核の有限幅であり、∩（ｆ／
Ｆ）は、単位高さ及び幅Ｆを有する周波数の原点に中心
がくる矩形である。係数ａとｂは、各周期内での核に適
した形状が生じるように選択しなければならない。

【００５４】対応する時間窓関数の形状は、次のように
書くことができる。

【００５５】

【数５】

【００５６】ここで、ａ_-j＝ａ_j、ｂ_-j＝−ｂ_j、ｂ₀＝
０である。

【００５７】実際には、級数での有限数の項しか使用で
きないので、総和限界は、有限である。ｋ（ｔ）窓関数
は、有限級数での分母の１つから極が生じる場合を除け
ば、１／Ｆの全ての整数倍においてゼロを有している。
また、級数が、２つの時間での多項式の商の部分分数展
開の形をとる点に留意されたい。指数範囲が、−ｍ＜ｊ
＜ｍの場合、分母の多項式は、２ｍ＋１の次数を有して
おり、分子の多項式は、２ｍの次数を有している。正確
には、この分母の多項式によって、ｓｉｎπＦｔ関数で
の２ｍ＋１の元のゼロが除去され、分子の多項式によっ
て、２ｍの新しいゼロが導入される。元のゼロから除去
されるゼロは、通常、無限大に配置される。残りの新し
いゼロの位置は、級数での係数ａとｂによって決まる。

【００５８】一般的な事例では、係数ａまたはｂは、複
素量であり、周波数領域の核Ｋ（ｆ）と、対応する時間
窓関数Ｋ（ｔ）は両方とも、複素数形になる可能性があ
る。しかし、実際に重要な大部分の事例では、所要の時
間窓関数は、偶数で、かつ、実数であり、このことは、
周波数領域の核も、やはり、偶数で、かつ、実数である
ことを意味しており、このことは、さらに、係数ａが実
数で、係数ｂは、全てゼロであることを意味している。

【００５９】コンボリューション核の幅Ｆは、オーバサ
ンプリング係数Ｔ／Ｔ’に関して変更された分子のゼロ
の数によって決まる。例えば、４点のコンボリューショ
ン核は、幅が４／Ｔであり、２：１のオーバサンプリン
グ係数として、２対の分子のゼロ（＋原点のゼロ）の変
更を伴うことになる。同じ２：１のオーバサンプリング
係数として、１０点の核は、幅が１０／Ｔであり、７対
の分子のゼロの変更を伴うことになる。４点のコンボリ
ューション核に、４つのゼロの変更が伴うのは、偶然の
一致である。核の幅と新しいゼロの数には全く関係がな
い。

【００６０】したがって、周波数領域の補間核Ｋ（ｆ）
を設計する手順は、級数の項数に加えて、係数値を調整
することによって、所要の時間間隔Ｔ’にわたって十分
に平坦な形状を有するとともに、時間軸に沿ったこの時
間間隔のイメージの減衰を生じさせる時間窓関数を得
る。オーバサンプリング係数Ｔ／Ｔ’によって、平坦な
領域と減衰領域との間の遷移に関して許容される時間間
隔が決まる。これらの係数を調整する最も簡単な方法
は、適正な形状が得られるまで、新しいゼロの位置を調
整し、さらに、結果として生じる分子の多項式を形成し
て、最終的な級数の係数値を得ることである。一般に、
時間領域のイメージの減衰に用いられる分子のゼロは、
正確に、所要のＴ’時間間隔外での実時間軸上に配置さ
れるが、Ｔ’時間間隔の平坦化に用いられる分は、実時
間軸まわりで対称にオフセットした、ただし、ほぼＴ’
時間間隔内にある複雑な時間平面に配置される。

【００６１】補間時間窓関数が、偶数の実関数の場合、
分子の多項式のゼロが、複素量になり、共役対に複素根
の生じる場合もある。一般的な事例では、時間窓関数
は、偶数であることも、実数であることも必要がなく、
したがって、根は、複雑な時間平面の任意の場所に位置
することができる。複雑な周波数平面の概念は、極めて
一般的なものであるが、複雑な時間平面の概念は、あま
り目にすることがない。

【００６２】非偶数補間時間窓関数が所要の場合もあれ
ば、複雑な時間窓関数が必要になる場合もある。これら
両方の場合とも、上述の理論に含まれる。

【００６３】以下に本発明の実施態様を示す。１．時間間隔Ｔにわたって時間領域での信号をサンプ
リングし、サンプリング時間領域データを生成するため
のサンプラ（１２）と、１／Ｔの周波数間隔でサンプリ
ングされる周波数領域データであり、サンプリング時間
領域データに対応するサンプリング周波数領域データを
生成するためのＤＦＴ手段（１６）と、サンプリング周
波数領域データに処理を行って、１／Ｔの倍数以外の周
波数での信号のスペクトル成分を表す補間された周波数
領域データを生成するための処理手段（１８）とから構
成される、信号のスペクトル成分を測定するための機器
（１０）。

【００６４】２．処理手段（１８）が、特定の正確度
の範囲内に対して補間された周波数領域データに対応す
るサンプリング時間領域データの保護部分Ｔ’を保存す
るための手段を含む、上記１に記載の機器。

【００６５】３．時間周期Ｔ’に対して複数の時間サ
ンプリングデータ点を得るステップ（１２）と、複数の
時間サンプリングデータ点を含む時間領域データの集合
に変換するステップ（１６）を適用することによって、
サンプリング周波数スペクトルを生成するステップと、
新しい周波数について中心にくる補間核を使って前記新
しい周波数での補間と再サンプリングに対してサンプリ
ング周波数スペクトルをコンボリューションするステッ
プ（１８）とから構成される、信号処理法。

【００６６】４．補間核が非矩形の時間領域窓関数と
対応する、上記３に記載の方法。

【００６７】５．特定の正確度の範囲内に対して時間
周期Ｔ’の範囲内で補間されたスペクトルの時間領域の
写しを保存することをさらに含む、上記３に記載の方
法。

【００６８】６．時間周期Ｔに対してゼロを使って、
前記複数の時間サンプリングデータ点にパッドすること
（埋め込み操作）（１４）と、ここで、Ｔ＞Ｔ’であ
り、長さＴのパッドされた時間レコードを得ることと、
パッドされた時間レコードに対してフーリエ変換（１
６）を適用することによってサンプリング周波数スペク
トルを生成することをさらに含む、上記３に記載の方
法。

【００６９】７．新しい周波数間隔が１／Ｔ’であ
る、上記３あるいは上記６に記載の方法。

【００７０】８．補間核が時間間隔Ｔ’にわたる平坦
部分と、少なくとも４２ｄＢのイメージ減衰係数とを有
する時間領域窓関数に対応する、上記６に記載の方法。

【００７１】９．複数のコンボリューション核を使っ
たサンプリング周波数スペクトルをコンボリューション
すること（１８）と、前記複数のコンボリューション核
が離散的コンボリューション核と連続コンボリューショ
ン核から構成されるグループから選択されたものである
ことをさらに含む、上記３に記載の方法。

【００７２】１０．複数の補間核を使ったサンプリング
周波数スペクトルをコンボリューションすること（１
８）と、複数の新しい周波数での数値を求めることをさ
らに含む、上記３に記載の方法。

【００７３】

【発明の効果】本発明は上述のように、周波数領域の解
析を強化するための方法と装置を提供し、正弦波成分に
ついて、振幅及び位相だけでなく、周波数の正確な解析
も可能になる。整形窓関数は、フラットトップを必要と
せずに、漏れを減少させるように選択することができ
る。さらに、補間と、任意の狭い周波数間隔による再サ
ンプリングの手段によって、線形状のピークを表示する
ことができる。一般に、フラットトップ窓関数の等価雑
音帯域幅（周波数分解能）は、別様であれば、同じ漏れ
減少機能に必要とされるものの約２倍であり、したがっ
て、フラットトップ窓関数を消去し、周波数領域補間及
び再サンプリングを利用することによって、有効周波数
分解能を１／２にすることができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】周期Ｔで繰り返されると仮定される長さＴ’の
部分を含む時間領域信号を示し、さらに簡易平衡の補間
窓関数を示す図である。

【図２】図１の時間信号のＦＦＴ解析から生じるサンプ
リング周波数領域の表現を破線で示し、連続コンボリュ
ーション核を使ったサンプリング周波数スペクトルのコ
ンボリューションから生じる補間された曲線を実線で示
す図である。

【図３】時間領域の波形形状が、周波数領域での補間に
よって実質的に損なわれなかったことを例示する、図４
の補間された周波数スペクトルと対をなす時間領域を示
す図である。

【図４】１／Ｔ’の補間された周波数間隔でサンプリン
グされた図２の連続曲線を示す図である。

【図５】図２の連続曲線を生成するのに有用な簡易平衡
の時間領域補間窓関数を半分描写する図である。

【図６】時間間隔Ｔ’／２にわたる図５の簡易平衡の窓
関数の完全な平坦度からの偏差が、＋／−１．６２％で
あることを示す図である。

【図７】図５の簡易平衡の窓関数に対応する周波数領域
のコンボリューション核を半分示す図である。

【図８】本発明によるスペクトル解析の方法を例示する
フローチャートである。

【図９】本発明によるスペクトル解析機器のブロック図
である。

【符号の説明】

１０信号解析機器１２サンプラ１４窓関数処理ブロック１６ＤＦＴプロセッサ１８補間プロセッサ２０ディスプレイ

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】時間間隔Ｔにわたって時間領域での信号を
サンプリングし、サンプリング時間領域データを生成す
るためのサンプラと、１／Ｔの周波数間隔でサンプリングされる周波数領域デ
ータであり、サンプリング時間領域データに対応するサ
ンプリング周波数領域データを生成するためのＤＦＴ手
段と、サンプリング周波数領域データに処理を行って、１／Ｔ
の倍数以外の周波数での信号のスペクトル成分を表す補
間された周波数領域データを生成するための処理手段と
から構成される、信号のスペクトル成分を測定するため
の機器。