JPH06190754A

JPH06190754A - ロボットアームの動的モデルの同定方法

Info

Publication number: JPH06190754A
Application number: JP3124960A
Authority: JP
Inventors: Fumio Ozaki; 崎文夫尾
Original assignee: Toshiba Corp
Current assignee: Toshiba Corp
Priority date: 1991-04-26
Filing date: 1991-04-26
Publication date: 1994-07-12

Abstract

(57)【要約】【目的】多自由度のロボットアームの運動方程式の同
定に誤差の少ない同定方法を提供する。【構成】ロボットアームの動特性モデルを同定する場
合に、対象ロボットを２〜４自由度のサブロボットの集
合として把握し、サブロボットについて予め導出された
動特性パラメータによって記述された運動方程式により
演算処理を行って、必要なパラメータを求める。【効果】逐次同定法における誤差蓄積を減らすことが
できる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、ロボットアームの動的
モデルを求める同定方法の改良に関する。

【０００２】

【従来技術】

１．ロボットの運動方程式と基底パラメータロボットとはアクチュエータを持つ関節で連結された一
連の剛体リンク機構と見做すことが出来る。このように
考えるとロボットの運動方程式は機構の特性、およびリ
ンクの特性、駆動系の特性が与えられると決定できる。
ここでロボットの運動方程式とは各軸への入力トルクと
関節角度との関係を表す方程式のことを指し、機構の特
性とはリンク長と隣り合う関節軸の捩れ角、リンクの特
性とはリンクの質量・重心位置・慣性モーメント、駆動
系の特性とは粘性摩擦係数・クーロン摩擦力・アクチュ
エータの慣性モーメントを指す。

【０００３】現在使用されている多くのロボットは、隣
り合う２つの関節軸が互いに平行あるいは垂直なロボッ
トである。これをＰ／Ｐ（Parallel/Perpendicular）型
ロボットと呼ぶ。本発明ではこの型のロボットについて
考える。また簡単のためすべての関節軸は回転型の軸で
あるとする。１−１．諸定義Ｎ個の剛体リンクを回転型関節で直列に結合したロボッ
トについて考える。ロボットの運動を記述するため図１
８に示すように各リンクに固定した直交座標系を考え
る。ロボットの基底部（土台部分）をリンク０とし、こ
こに基準座標系（ｘ₀，ｙ₀，ｚ₀）をとる。ｚ₀軸は
鉛直上方にとり、ｘ₀軸はｚ₀軸と後述するｚ₁軸（土
台から数えて１番目のリンクの内部座標系のｚ軸）の共
通垂線にとる。ｚ₀軸とｚ₁軸が直交している場合は、
ｚ₀軸とｚ₁軸を含む平面に直交する方向にｘ₀軸を取
る。またｙ₀軸はこれらと右手系をなすようにとる。

【０００４】リンク０から先端に向かって各リンクをリ
ンク１、リンク２、…、リンクＮとする。リンクｉを駆
動する軸をｉ軸とする。各リンクに固定する内部座標系
（ｘ_i，ｙ_i，ｚ_i）をｉ系と呼び、次のように決定す
る。ｚ_i軸はｉ軸の回転軸方向とする。ｉ系の原点Ｏ_i
はｚ_i-1軸とｚ_i軸の共通垂線とｚ_i軸との交点とす
る。ｚ_i-1軸とｚ_i軸が直交している場合は、ｚ_i-1軸
とｚ_i軸との交点とする。この交点を始点とし、ｚ_i軸
とｚ_i+1軸との共通垂線と平行でｚ_i軸からｚ_i+1軸へ
向かう方向にｘ_i軸を定める。ｚ_i軸とｚ_i+1軸が直交
している場合は、ｚ_i軸とｚ_i+1軸を含む平面に直交す
る方向にｚ_i軸・ｚ_i+1軸・ｘ_i軸が右手系をなすよう
にｘ_i軸を取る。最後の軸ｌについてはｘ_l//ｘ_l-1と
なるようにｘ_i軸を選ぶ。ｙ_i軸はこれらと右手系をな
すようにとる。

【０００５】関節角度θ_iはｚ_i軸回りのｘ_i-1軸とｘ
_i軸との回転角度で、ｚ_i軸に対して右ねじの方向を正
とする。ｚ_i軸とｚ_i-1軸との共通垂線回りの回転角を
捩れ角α_iとし、ｘ_i-1軸方向に関し右ねじの方向を正
とする。ｚ_i軸とｚ_i-1軸とが交わる場合には捩れ角は
双方の軸を含む平面上で計り、その符号は任意である。

【０００６】ｉ系の原点Ｏ_iから（ｉ＋１）系の原点Ｏ
_i+1へのベクトルをｌ_iとする。またリンクｉの質量、
ｉ系の原点Ｏ_iから重心までのベクトル、原点Ｏ_i回り
の慣性テンソルをそれぞれｍ_i，ｒ_i，Ｉ_iで表す。こ
れらのベクトル、行列はすべて基準座標系（ｘ₀，
ｙ₀，ｚ₀）に関するものである。ｉ系に関するベクト
ル、行列についてはⁱｒ_i，ⁱＩ_iなどのように表す。
ⁱｌ_i，ⁱｒ_i，ⁱＩ_iはｉ系で定数のベクトルあるい
は行列で、

【０００７】

【数８】と表される。ここで右上付きのｘ，ｙ，ｚはそれぞれ
ｘ，ｙ，ｚ成分であることを表し、ｘｙ，ｙｚ，ｘｚは
それぞれｘとｙ、ｙとｚ、ｚとｘの干渉成分であること
を表す。図１８に示すような座標系をとっているのでⁱ
ｌ_iのｙ成分は常に０である。表記においてベクトルは
特に間違いの恐れのないかぎり通常の書体で書き、太文
字その他の文字修飾を行なわないこととする。

【０００８】ここで以下の量を定義する。

【０００９】

【数９】但し、Ｅは単位行列を表す。Ｍ_i，Ｒ_i，Ｊ_iはそれぞ
れ、リンクｉにおいて（ｉ＋１）系の原点Ｏ_i+1の位置
に質量Ｍ_i+1が付加された拡張リンク（augmented lin
k) のｉ系の原点Ｏ_i回りの０、１、２次モーメントで
ある。ｌ_jiはｊ系の原点Ｏ_jからｉ系の原点Ｏ_iまでの
ベクトルである。Ｒ_i，Ｊ_iのｉ系での表現は、

【００１０】

【数１０】となる。１−２．運動方程式 τ_iをｉ軸回りのトルクとすると、上記ロボットの各軸
のトルクと関節角度の関係を表した運動方程式は次のよ
うになる。

【００１１】

【数１１】はそれぞれ慣性係数、遠心力またはコリオリ力の係数、
粘性摩擦、クーロン動摩擦、重力項を表し、関節角ベク
トルθ＝（θ₁，θ₂，…，θ_N）^Tの関数である。Ｈ
_ij（θ）などは、

【００１２】

【数１２】で表される重力ベクトルである。１−３．基底パラメータ運動方程式（２．１１）を満たすような動的パラメータ
φは一般に何通りも存在する。ロボットの同定において
は冗長でない推定可能なパラメータを定義することが必
要である。そこで、動的パラメータの内でその値が異な
ると運動方程式（２．１１）に違いの生じるものを基本
パラメータと定義する。互いに独立な基本パラメータの
集合で、それらの値が定まると運動方程式（２．１１）
が一意に決定されるものを基底パラメータと定義する。
基底パラメータについては、例えば、IEEE Trans. Robo
tics & Automation, 6[3](1990) （米）H.Mayeda. K.Yo
shida, and K. Osuka“ Base Parameters of Manipulat
or Dynamic Models”あるいは日本ロボット学会誌，[2]
(1989) （日）前田“ロボットアームの動的モデルと同
定”に詳細に説明されている。基底パラメータは運動方
程式（２．１１）を決定するために必要な最小個数の動
的パラメータである。上記「ロボットアームの動的モデ
ルと同定」におては基底パラメータと駆動系のパラメー
タ（Ｊａ_i，ｂ_i，ｆ_i）を分けて記述してあるが、こ
こでは簡単のためこれらを合わせたパラメータを基底パ
ラメータと呼ぶことにする。以下、φは基底パラメータ
ベクトルを表すものとする。

【００１３】ロボットの互いに平行な連続する軸群をク
ラスタと呼ぶ。ここで、ｃ(i) をｉ軸の属する根元側か
ら順につけられたクラスタ番号、γ_c(i)をｉ軸の属する
クラスタの最初の軸番号、δ_c(i)をｉ軸の属するクラス
タの最後の軸番号とする。図１９はクラスタの説明図で
ある。これらを用いて次のような動的パラメータを定義
する。ここで、Ｋはロボットに含まれるクラスタの数を
表す。

【００１４】

【数１３】但し、ｌ_i ^x≠０および１≦ｉ≦δ_i−１と仮定してい
る。式（２．１７）〜（２．１９）の動的パラメータを
用いるとｚ₁軸が重力に対して平行でない場合、基底パ
ラメータは次のように表される。

【００１５】

【数１４】である。また｛１−λ(i)}Ｊａ_iについては１−λ(i)
＝０のときはこの項はないものとする。

【００１６】ｚ₁軸が重力に対して平行な場合には上記
パラメータ群からＲ₁ ^x，Ｒ₁ ^y−ＲＺＢ(1) を除いた
ものが基底パラメータとなる。１−４．運動方程式の別表現運動方程式（２．１１）および式（２．１２）〜（２．
１５）をよく吟味すると、ロボットの運動方程式は次の
ように慣性モーメント、重力項の係数の線形結合あるい
は粘性摩擦、クーロン動摩擦などの動的パラメータベク
トルφと

【００１７】

【数１５】次に、１−３節で説明した基底パラメータを吟味する
と、第ｉ軸に関する基底パラメータはｊ（≧ｉ）軸に関
する諸量しか含まない。そこで第ｉ軸に関する基底パラ
メータベクトルをφ_iと表すことにする。そうすると動
的パラメータベクトルφは、

【００１８】

【数１６】とし、ｙ_ijはθを引き数とする三角関数の多項式を要素
とする関数ベクトルである。行列Ｙが式（２．２５）の
ような形に表されるのは、第ｉ軸の運動が影響を受ける
動的パラメータが第ｉ軸より手先側のリンクの動的パラ
メータのみであることによる。

【００１９】

【数１７】１−５．スカラ型ロボットの運動方程式の１例ここでは、簡単な例として２自由度のスカラ型ロボット
図２０を例にとり、その運動方程式を見てみる。２自由
度スカラ型ロボットの運動方程式は基底パラメータを用
いて、次のように表される。

【００２０】

【数１８】添字１は、１軸あるいはリンク１に対するパラメータで
あることを表し、２についても同様である。同定すべき
動特性パラメータを次のように各リンクに対する２つの
ベクトルで表わす。このようなスカラ型ロボットでは軸
回りの回転方向以外の動きは出来ないので同定出来るパ
ラメータは全て軸回りのパラメータである。

【００２１】

【数１９】但し、

【００２２】

【数２０】である。ここで、

【００２３】

【数２１】という動特性パラメータφに関して線形な運動方程式を
得る。２．ロボットの同定法前述したロボットの運動方程式（２．２３）を用いて良
く知られた２つの同定法を説明する。式（２．２３）〜
（２．２６）を再記する。

【００２４】

【数２２】同定においては式（３．１）のようにロボットの運動方
程式が動的パラメータに対して線形であるということが
本質的に重要である。２−１．同時同定法同時同定法ではロボットを全軸同時に適当な運動を行な
わせ、そのときの角度θをトルクτを測定する。このと
き出来るのであれば角速度、角加速度をも測定すればよ
いが、測定出来なければこれらの値は角度の値から数値
的に計算することも出来る。このようにして

【００２５】

【数２３】実際には多くのデータを取り、最小２乗法にて式（３．
６）を計算する。

【００２６】同時同定法ではこのように式（３．５）を
解きさえすれば良く、パラメータを同時に推定できると
いう利点がある。しかしながら式（３．６）を解くため
にはＹ^-1が良条件の行列である必要があるが、ロボット
をどのように動かせばＹ^-1が良条件となるかは明らかで
ない。よって式（３．６）を用いれば何らかのパラメー
タφが計算できるが、ここのパラメータの精度はＹ^-1が
いかに良条件を満たしているかに依存することになる。２−２．逐次同定法運動方程式の力学的意味を考察すると、あるグループの
動的パラメータだけが影響する運動が分かる。そこであ
るグループの動的パラメータだけが関与する、出来るだ
け簡単な運動を見つけ、この運動を行なったときの入出
力データからそのグループの動的パラメータを推定す
る。ここで推定されたパラメータを用いて、このグルー
プのパラメータが影響する項を補償して消去し、他のグ
ループのパラメータを求めるための簡単な運動を行なわ
せる。この運動により新たに求まるパラメータと先に求
めたパラメータを用いてこれらのパラメータが影響する
項を補償した後、次に求めるパラメータのグループに対
する運動を行なわせる。このようにいくつかのパラメー
タを求め、そのパラメータに関する項を補償して行くこ
とにより、順次、すべてのパラメータを求めていく。

【００２７】このような同定法を逐次同定法と呼ぶ。逐
次同定法は、例えば、計測自動制御学会、ＳＩＣＥ論文
集，22[6](1986) 前田、大須賀「マニピュレータの動特
性同定法」、あるいは、前述した「ロボットアームの動
的モデルと同定」に詳述されている。

【００２８】具体的には、以下のような３つの試験運動
を行なわせることにより、動的パラメータを求めてい
く。すなわち、静止試験、等角速度試験、角加速度試験
の３試験である。これらを説明する。説明のため運動方
程式（２．１１）を再記しておく。

【００２９】

【数２４】また、この式が（３．１）〜（３．５）のように記述さ
れることもすでに述べた。この式（３．１）〜（３．
５）及び式（３．７）を基に説明する。 (i) 静止試験ロボットの１つの軸を適当な姿勢で静止させ、そのとき
の角度と釣り合いトルクとを測定し、重力項のパラメー
タを求める試験法である。静止状態では

【００３０】

【数２５】ここでｆｓ_iは静止時に働くクーロン静止摩擦である。

【００３１】式（３．２）で行列Ｙを示したように、第
ｉ軸の運動が影響を受ける動的パラメータは第ｉ軸より
手先側のリンクの動的パラメータのみであるから、静止
試験においても重力項のパラメータ（式（２．２０）で
示したＲ_i ^x，Ｒ_i ^y−ＲＺＢ(i))は次のように表され
る。重力項のパラメータをφ_gとし、ｉ軸に関する重力
項のパラメータをφ_giとすると、

【００３２】

【数２６】となる。但し、ＹＧ_ijは重力項の係数に掛かる係数行列
である。

【００３３】静止試験においては式（３．１）は、式
（３．９）、（３．１１）より、

【００３４】

【数２７】と表される。よって以下のような手順で同定を行なう。

【００３５】まず第１軸から（Ｎ−１）軸までを固定
し、第Ｎ軸についてロボットを色々な位置に静止させ、
その位置から軸の両回転方向へ軸を動かしたときの動き
始めのトルクと角度を記録する。第Ｎ軸については式
（３．１２）、（３．８）より、

【００３６】

【数２８】である。ここでτ_N ⁺（τ_N ^-）を第Ｎ軸が静止状態か
ら＋θ_N（−θ_N）方向へ動き始めるときのトルクとす
ると、式（３．１３）より次式を得る。

【００３７】

【数２９】ここではどちらの方向への静止摩擦も等しいと仮定して
ある。パラメータφ_gNは式（３．１０）に示したように
２つのパラメータを含んでいる。よって式（３．１４）
より最低２つの位置についてトルクと角度を求めれば第
Ｎ軸に関する重力項のパラメータφ_gNを求めることが出
来る。実際には多くの位置についてトルクと角度を求
め、最小２乗法により計算する。式（３．１５）より静
止摩擦ｆｓ_Nが計算できる。

【００３８】第Ｎ軸の重力項のパラメータが求まった
ら、次に第（Ｎ−１）軸のパラメータを求める。第（Ｎ
−１）軸については式（３．１２）より、

【００３９】

【数３０】となる。式（３．１５）の右辺は既知のパラメータと実
測値であるから計算することが出来る。τ_N-1 ^*を次の
ようにおく。

【００４０】

【数３１】よって、第（Ｎ−１）軸以外の軸を全て固定し、第（Ｎ
−１）軸を色々な角度で静止し、その位置から第（Ｎ−
１）軸を±θ_N-1方向へ動かしたときの第（Ｎ−１）軸
への入力トルクとそのときの角度を用いて、式（３．１
９）、（３．２０）より第（Ｎ−１）軸に対する重力項
のパラメータφ_gN-1と静止摩擦ｆｓ_N-1が求まる。

【００４１】同様にして、第（Ｎ−２）軸から第１軸に
ついても静止試験を行なっていけば、全ての軸に対する
重力項および静止摩擦が求まる。 (ii)等角速度試験ロボットの１つの軸を等角速度で動かしたときの角度と
トルクとを測定し、摩擦のパラメータを求める試験法で
ある。今、ｉ軸について考える。ｉ軸以外の軸を全て固
定して、ｉ軸を等角速度運動させると、

【００４２】

【数３２】ここで、Ｇ_i（θ）は静止試験で求まっているから結
局、未知の粘性摩擦ｂ_iとクーロン動摩擦ｆ_iを含んだ
次のような式を得る。

【００４３】

【数３３】左辺には２つの未知パラメータを含むので２通りの角速
度で試験を行なえば、これら２つのパラメータ粘性摩擦
ｂ_i、クーロン動摩擦ｆ_iが得られる。実祭にはいく通
りかの角速度で動かして、最小２乗法により求める。等
角速度運動は式（３．２１）式において、重力項Ｇ
_i（θ）を補償しながら、τ_iにステップ入力を加える
ことにより得られる。よって、第１軸から第Ｎ軸まで順
次等角速度試験を行なえば、粘性摩擦、クーロン摩擦が
求まる。 (iii) 角加速度試験ロボットの１つあるいは２つの軸に適当な角加速度運動
をさせたときの角度とトルクとを測定し、慣性パラメー
タを求める試験法である。静止試験・等角速度試験にお
いて求めたパラメータを用いて重力項、摩擦項を補償し
つつ、角加速度運動を行なわせる。この試験はさらにつ
ぎの４種類の試験に細分することが出来る。

【００４４】１）第ｉ軸の単軸運動を行ない、そのとき
の測定データよりパラメータを推定する。この試験によ
りＪ_i ^zを含む慣性パラメータ（アクチュエータの慣性
Ｊａ_iを含んだパラメータＪ_i ^z＋ＪＹＢ(i) ＋λ(i)
Ｊａ_i）を推定する。

【００４５】２）第ｉ軸と回転軸が平行である第ｊ軸
（ｊ＝ｉ−１ ifｉ≠γ_c(i)，ｊ＝δ_c(i)-2 otherwis
e）とを同時に運動させ、このときの測定データより第
ｉ軸に関する運動方程式を解いてアクチュエータの慣性
Ｊａ_iを求める。また1)で求めたパラメータからアクチ
ュエータの慣性Ｊａ_iを引いてＪ_i ^z＋ＪＹＢ(i)を求
める。静止試験、および等角速度試験、1)、2)によりｉ
軸の回転運動に影響を及ぼすパラメータ群φ_iが全て同
定出来た。

【００４６】３）第δ_c(i)-1軸の単軸運動をロボットの
姿勢をいく通りか変えて行なわせ、測定データを用いて
第δ_c(i)-1軸に関する運動方程式の連立方程式を解き、
ｉ軸の回転運動には影響を及ぼさないパラメータ群

【００４７】

【数３４】の3)で推定できない部分（第ｉ軸、第δ_c(i)-1軸の動き
に影響を及ぼさないパラメータ、すなわち両軸に共に直
交する軸回りに関するパラメータ）を推定する。

【００４８】このように第ｉ軸の回転運動に影響を及ぼ
すパラメータ、及ぼさないパラメータを順次推定してい
く。この試験も式（３．２）に示したように、第ｉ軸の
運動が影響を受ける動的パラメータが第ｉ軸より手先側
のリンクの動的パラメータのみであることより、手先側
のリンクの動的パラメータを先に求め、順次根元側のリ
ンクの動的パラメータを求めていく。その際には先に求
めたパラメータを用いて計算を行なう。このようにして
全ての動的パラメータを求める。３−３．逐次同定法による同定の１例図２１に示すようなロボットを逐次同定法により同定す
ることを考える。ロボットは重力方向のベクトルを含む
平面内に土台を持ち、３自由度である。座標系は図示し
たように取り、ｘ軸は座標系が右手系をなすように取
る。ここで、−ｙ_i軸はｙ_i軸の反対方向を表すものと
する。このロボットのリンクベクトルⁱｌ_iと捩れ角α
_iは以下のようになる。

【００４９】

【数３５】これらと運動方程式（３．７）から慣性係数Ｈ_ij、遠心
力・コリオリ力の係数Ｈ_ijk、重力項Ｇ_iは以下のよう
に求まる。ここでは簡単のため次のような表記を行な
う。ｃ_i，ｓ_iはそれぞれｃｏｓ（θ_i）、ｓｉｎ（θ
_i）を表し、ｃ_ij，ｓ_ijはｃｏｓ（θ_i＋θ_j），ｓｉ
ｎ（θ_i＋θ_j）を表す。

【００５０】

【数３６】

【００５１】

【数３７】

【００５２】

【数３８】

【００５３】

【数３９】運動方程式（３．７）と式（３．２７）〜（３．５３）
を用いて、逐次同定法の手順を説明する。 (i) 静止試験１、２軸を固定し、第３軸をアクチュエータにより駆動
し、適当な姿勢で静止させ、そのときの角度と釣り合い
トルクとを測定する。式（３．１４）、（３．１５）と
（３．５３）より次式を得る。

【００５４】

【数４０】式（３．５５）により静止摩擦が求まる。式（３．５
４）において角度 θ₂＋θ₃を例えば図２２（θ_2a＋θ_3a＝π／４とした
例を示す）、図２３（θ_2b＋θ_3b＝π／２とした例を示
す）のように２通り選べば、次のようにしてＲ₃ ^x，Ｒ
₃ ^yを求めることが出来る。選んだ２通りのθ₂＋θ₃
をそれぞれθ_2a＋θ_3a、θ_2b＋θ_3bとし、またそのとき
のトルクをτ_3a、τ_3bとする。

【００５５】

【数４１】但し、（θ_2a＋θ_3a）−（θ_2b＋θ_3b）≠ｎπ（ｎ＝
０，±１，±２，…）である。

【００５６】３軸の重力項のパラメータが求まったの
で、次に２軸の重力項のパラメータを求める。式（３．
１４）、（３．１５）と（３．５２）より次式を得る。
但し、ｃ_i，ｓ_iはそれぞれｃｏｓ（θ_i），ｓｉｎ
（θ_i）を表し、ｃ_ij，ｓ_ijはｃｏｓ（θ_i＋θ_j），
ｓｉｎ（θ_i＋θ_j）を表す。

【００５７】

【数４２】式（３．５８）により２軸の静止摩擦が求まる。式
（３．５７）の右辺は計測により角度・トルクが求ま
り、Ｒ₃ ^x，Ｒ₃ ^yがすでに求まっているので計算でき
る。よって、角度θ₂を図２４（θ_2a＝−π／４として
いる）、図２５（θ_2b＝−π／２としている）のように
２通りに選べば、３軸のときと同様にしてＲ₂ ^x、Ｒ₂
^yが求まる。

【００５８】最後に１軸の重力項のパラメータを求め
る。式（３．１４）、（３．１５）と（３．５１）より
次式を得る。

【００５９】

【数４３】角度θ₁を図２６（θ_1a＝−π／２としている）、図２
７（θ_1a＝−π／４としている）のように２通りに選ん
で静止試験を行なえば、式（３．６０）により１軸の静
止摩擦が求まる。式（３．５９）の右辺は計測により角
度・トルクが求まり、Ｒ₂ ^x、Ｒ₂ ^y、Ｒ₃ ^x、Ｒ₃ ^y
がすでに求まっているので計算できる。よって、角度θ
₁を２通りに選べば、第２、第３軸のときと同様にして
Ｒ₁ ^x、Ｒ₁ ^y−Ｒ₂ ^z−Ｒ₃ ^zが求まる。

【００６０】以上で、重力項の全てのパラメータと静止
摩擦が同定出来た。 (ii)等角速度試験 (i) で重力項のパラメータが全て求まっているので、２
−２節(ii)の方法で１軸ずつ動かして試験を行なえば全
ての粘性摩擦ｂ_i、クーロン動摩擦ｆ_iが求まる。 (iii) 角加速度試験・第３軸運動、第１、２軸固定まず、先端の第３軸の動的パラメータを求める。第３軸
を図２８のように動かして、角度とトルクのデータを得
る。この場合の運動方程式は第３軸のみ動くことと、式
（３．７）、（３．２７）〜（３．５３）より、

【００６１】

【数４４】と書き換えられる。ここで、

【００６２】

【数４５】ここで、ｔ₀，ｔ₁はそれぞれ測定したデータの中の適
当な解析区間の開始時間、終了時間である。例えば数秒
分のデータを取ったときに、その中でパラメータＪ₃ ^z
＋Ｊａ₃の影響が良く分かるような加速度の大きい部分
を選んで解析区間とする。但し、積分しているのでこの
区間があまり長いと誤差蓄積する虞がある。また、この
区間があまり短いと分母の

【００６３】

【数４６】が小さくなりパラメータＪ₃ ^z＋Ｊａ₃が誤差を含み易
くなる。よってこの解析区間を選ぶときには注意する必
要がある。・第２、第３軸運動、第１軸固定第２軸と第３軸を図２９に示すように同時に運動させ
る。このときの第３軸の運動方程式は、

【００６４】

【数４７】はすでに求めたパラメータＪ₃ ^z＋Ｊａ₃、Ｒ₃ ^x、Ｒ
₃ ^yと既知のリンク長、あるいは計測した角度の三角関
数なので計算できる。Ｈ₃₂は未知パラメータＪ₃ ^zを含
んでいる。よって式（３．３１）と（３．６５）より、

【００６５】

【数４８】に関する項は数値積分で計算する。よって、式（３．６
６）によりパラメータＪ₃ ^zが求まる。また、式（３．
６４）でパラメータＪ₃ ^z＋Ｊａ₃が求まっているの
で、Ｊａ₃も計算できる。・第２軸運動、第１、３軸固定第２軸を図３０のように動かす。第２軸のみの運動方程
式は式（３．７）、（３．２７）〜（３．５３）より、

【００６６】

【数４９】となる。ｂ₂、ｆ₂、Ｇ₂は(i) 、(ii)により求まって
いるので、式（３．６７）は右辺に計算できる項をまと
めて積分すると、

【００６７】

【数５０】となる。これでパラメータＪ₂ ^z＋Ｊａ₂＋Ｊ₃ ^zが求
まる。Ｊ₃ ^zはすでに求まっているので、これよりＪ₂
^z＋Ｊａ₂を求めることが出来る。・第１軸運動、第２、３軸固定第１軸のみの運動方程式は式（３．７）、（３．２７）
〜（３．５３）より、

【００６８】

【数５１】となる。ｂ₁、ｆ₁、Ｇ₁は(i) 、(ii)により求まって
おり、Ｈ₁₁中のＲ₃ ^x、Ｒ₃ ^yもすでに(i) により求ま
っているので、式（３．６９）は右辺に計算できる項を
まとめて書き直すと、

【００６９】

【数５２】となる。左辺の５つのパラメータＪ₁ ^z＋Ｊａ₁＋Ｊ₂
^y＋Ｊ₃ ^y、Ｊ₂ ^x−Ｊ₂ ^y、Ｊ₂ ^xy、Ｊ₃ ^x−
Ｊ₃ ^y、Ｊ₃ ^xyを求めるために適当な５種類のθ₂、θ
₃の組み合わせを選び、第１軸を運動させる。例えば、
図３１のような５種類のθ₂、θ₃の組み合わせで第１
軸を動かす。このときの入出力データを用いて（３．７
０）を積分すれば、それぞれの運動に対して１つの方程
式が得られるので、５本の連立方程式を得ることにな
る。よってこの５本の連立方程式を解けば、先の５つの
パラメータを求めることが出来る。・第１、３軸運動、第２軸固定第１軸と第３軸を図３２に示すように同時に運動させ
る。このときの第３軸の運動方程式は、式（３．７）、
（３．２７）〜（３．５３）より、

【００７０】

【数５３】のなかのパラメータもすでに求まっているので、右辺に
計算できる項をまとめ、式（３．７１）を書き換える
と、

【００７１】

【数５４】となる。何通りかの運動を行なわせて、そのときのデー
タを用いて式（３．７２）を積分することにより、Ｊ₃
^xz、Ｊ₃ ^yzを求めることが出来る。・第１、２軸運動、第３軸固定第１軸と第２軸を図３３に示すように同時に運動させ
る。このときの第２軸の運動方程式は、式（３．７）、
（３．２７）〜（３．５３）より、

【００７２】

【数５５】のなかのパラメータもすでに求まっているので、右辺に
計算できる項をまとめ、式（３．７３）を書き換える
と、

【００７３】

【数５６】となる。何通りかの運動を行なわせて、そのときのデー
タを用いて式（３．７４）を積分することにより、Ｊ₂
^xz，Ｊ₂ ^yzを求めることが出来る。

【００７４】以上のようにして、図３．１に示した３自
由度ロボットの全ての基底パラメータを求めることが出
来る。

【００７５】

【発明が解決しようとする課題】上記逐次同定法は、あ
るパラメータを精度良く推定するのに有利な試験運動を
工夫しやすいという利点がある反面、先に推定したパラ
メータ値を用いて補償あるいは推定計算を行ない、間接
的にパラメータを推定するので推定誤差が蓄積し易いと
いう欠点があった。また対象のロボットに対して陽に運
動方程式を求める必要があるため多自由度のロボットに
対しては運動方程式の導出に手間が掛かるという問題が
あった。

【００７６】よって、本発明は推定誤差が蓄積し難いよ
うに、入出力データから直接求められるパラメータを出
来るだけ用いて、先に推定したパラメータ値を用いるこ
とを少なくし、同定計算を行なう方法を提供することを
目的とする。

【００７７】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、隣合う関節軸同士が垂直または平行になるように回
動関節で連結された一連の剛体リンク機構からなるロボ
ットの動的モデル（２．１１）式の同定方法において、 1)ロボットの１つの関節軸ｉを適当な姿勢で静止させ、
そのときの関節軸ｉの関節角度と釣合トルクτ_iを測定
して関節軸ｉのクーロン静止摩擦ｆ_siを（３．１５）式
により求める操作を各関節軸について行うステップと、 2)関節軸ｉの重力項の基底パラメータを、関節軸ｉ及び
関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互いに平行なと
き、（４．１）及び（４．２）式により求め、関節軸ｉ
及び関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互いに直交
するとき、（４．３）、（４．４）及び（４．５）式に
より求める操作を各関節軸について行うステップと、 3)関節軸ｉを少なくとも２通りの角速度で等角速度で回
動し、そのとき測定される関節角度θ_i及びトルクτ_i
と、関節軸ｉについて求められている前記重力項とから
該回動関節軸の粘性摩擦ｂ_i及びクーロン摩擦ｆ_iを
（３．２２）式により求める操作を各関節軸について行
うステップと、 4)関節軸ｉの重力項以外の慣性パラメータを、関節軸ｉ
及び関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互いに平行
なとき、（４．１０）、（４．１１）及び（４．１２）
式により求め、関節軸ｉ及び関節軸ｉよりも一つ手先側
の関節軸ｊが互いに直交するとき、（４．２７）〜
（４．３０）式により求める操作を各関節軸について行
うステップと、を含むことを特徴とする。

【００７８】

【作用】対象とするＰ／Ｐ型ロボットでは、各軸がそれ
ぞれ互いに直交あるいは平行であるという特徴を持つ。
Ｐ／Ｐ型ロボットの基底パラメータの定義式（２．１
７）〜（２．２２）より、あるリンクの動特性パラメー
タはそのリンクより根元側で最初に軸が直交するリンク
にしか影響を及ぼさないことを見出した。よって同定の
際にロボットの全ての軸を考えなくても、同定する軸の
構成（１つ手先側の軸と平行か垂直か）に応じて２〜４
軸の多関節機構を考えて同定を行なうことが出来る。こ
の２〜４軸の多関節機構は構造が決まっているので同定
するロボット毎に運動方程式を導出する必要がない。ま
た、この多関節機構の運動方程式は相隣る２自由度の変
数で記述でき、各軸の動特性パラメータを求めるための
計算が簡単になる。この方法を用いれば何自由度のロボ
ットに対してもその機構の特性（リンク長、相隣る軸の
捻れ角）さえ分かれば、陽に運動方程式を求めておかな
くてもロボットの動特性パラメータを求めることが出来
る。実際に制御を行なう場合には、ここで求めたパラメ
ータを用いて仮想パラメータを導出し、Newton-Euler法
による逆動力学計算を行なえば良い。仮想パラメータ
は、例えば日本ロボット学会誌、5[2](1987)大須賀、前
田「マニピュレータモデリングと逆動力学問題のための
パラメータ表現」に詳細に説明されている。

【００７９】

【実施例】

３．改良型逐次同定法以下では、重力項のパラメータ（リンクの軸回りの１次
モーメント）の求め方とそれ以外の慣性パラメータの求
め方を別に述べる。ｎ自由度のロボットからｍ軸（ｍ＜
ｎ）を選んだ多関節機構をｎ自由度のロボットの軸番号
ｉ_j（ｉ_j＝１〜ｎ）を用いてＷ_m（ｉ₁，ｉ₂，…，
ｉ_m）と表すことにする。ｉ_jで示される軸番号に対応
するパラメータはその軸から先、次に指定するｉ_j+1軸
までのパラメータのまとまったものであり、ｊ＝ｍであ
るときはｉ_m軸から先のすべてのパラメータのまとまっ
たものであることに注意すべきである。また、捩れ角α
_ijはｉ_j軸とｉ_j-1軸との捩れ角とする。ｉ₀軸はｚ₀
軸に等しいとする。３−１．（重力項のパラメータ）重力項のパラメータは２−２節で示した静止試験により
同定する。静止試験では重力項のパラメータと共に静止
摩擦も求まるが、静止摩擦の求め方は２−２節と同じで
あるので、ここでは重力項のパラメータのみについて記
述する。なお、ここで使っているτは３−２節での（τ
⁺＋τ^-）／２に相当することに注意すべきである。

【００８０】重力項のパラメータについては、次のよう
な２種類のサブロボットを考えれば良い。同定したい軸
ｉと基準座標系のｚ₀軸との捩れ角がα_sであるとす
る。

【００８１】(1) 同定したい軸ｉと１つ手先側の軸（ｉ
＋１）とが平行なとき図１に示すような機構Ｗ₂（ｉ，ｉ＋１）を考える。ｉ
＋１→ｊと置き換えて重力項を書き下す。

【００８２】

【数５７】但し、τ_iはｉ軸の入力トルク、Ｒ_a ^bはａ軸に関する
ｂ方向の重力項のパラメータ、ｇは重力加速度、ｃ_i，
ｓ_iはそれぞれｃｏｓ（θ_i）、ｓｉｎ（θ_i）を表
し、ｃ_ij，ｓ_ijはｃｏｓ（θ_i＋θ_j），ｓｉｎ（θ_i
＋θ_j）を表す。

【００８３】上記の式より、次のようにしてｉ軸の重力
項のパラメータＲ_i ^x，Ｒ_i ^yを求める。まず、ｊ軸の
静止試験を行なう。未知パラメータＲ_j ^x，Ｒ_j ^yは２
つであるから最低２つの位置で静止試験を行なえば、式
（４．２）より２−３節の方法と同様にしてＲ_j ^x，Ｒ
_j ^yが求まる。次に、ｉ軸の静止試験を最低２つの位置
で行ない、先に求めたＲ_j ^x，Ｒ_j ^yを用いてＲ_i ^x，
Ｒ_i ^yを求める。ここでＲ_j ^x，Ｒ_j ^yはｊ軸より手先
側のパラメータを含んだパラメータとなっているが、Ｒ
_i ^x，Ｒ_i ^yは１−３節の基底パラメータの定義式
（２．１９）、（２．２１）とｊ軸がｉ軸の１つ手先側
の軸である（ｉ＋１）軸であることよりｉ軸のパラメー
タのみを表していることが分かる。よって、ここで求め
たＲ_i ^x，Ｒ_i ^yが求めるｉ軸の重力項のパラメータで
ある。但し、ｉ軸がロボットの最終軸で第（ｉ＋１）軸
が存在しないときには（ｉ＋１）軸に対応する式中のパ
ラメータを０とおく。

【００８４】以上により(1) の場合のｉ軸の重力項の基
底パラメータを求めることが出来た。

【００８５】(2) 同定したい軸ｉと１つ手先側の軸（ｉ
＋１）とが直交するとき図２に示すような機構Ｗ₃（ｉ，γ_c(i)+1，γ_c(i)+2）
を考える。但し、γ_c(i)+1＝ｉ＋１である。γ_c(i)+1→
ｊ，γ_c(i)+2→ｋと置き換えて、この機構の重力項を書
き下す。図２（ａ）及び（ｂ）共に軸間の捩れ角が同じ
なので同じ方程式となる。

【００８６】

【数５８】但し、ｉ軸がロボットの最終軸のときなどγ_c(i)+1、γ
_c(i)+2などが存在しないときにはこれらの番号に対応す
る式中のパラメータを０とおく。この場合も第ｋ軸より
順次静止試験を行なうことにより、(1) と同様にしてｉ
軸の重力項の基底パラメータＲ_i ^x、Ｒ_i ^y−Ｒ_j ^zを
求めることが出来る。ここで、Ｒ_i ^xはｊ軸がｉ軸の１
つ手先側の軸である（ｉ＋１）軸であるから、ｉ軸に関
する特性しか含まない。またＲ_j ^zはｊ軸がクラスタｃ
(j) の先頭の軸であり、ｋ軸がクラスタｃ(j) ＋１の先
頭の軸であることから、クラスタｃ(j) の全てのリンク
のクラスタｃ(j) 内の軸方向（ｊ系のｚ軸方向）の重力
項の成分を表している。よって、Ｒ_i ^y−Ｒ_j ^zはｉ軸
に関する基底パラメータ（式（２．２１））に一致す
る。３−２．重力項以外の慣性パラメータ以下の２通りの場合についてそれぞれ３自由度、４自由
度の多関節機構の運動方程式を考えれば良い。ここで、
第ｐ軸に対して、

【００８７】

【数５９】とおく。ここで、Ｇ_pはｐ軸の重力項を表し、３−１節
より計算できる。また、ｂ_p，ｆ_pは等角速度試験によ
り求まっている。よって、（４．６）式の値はトルクτ
_pを測定すれば計算できる。

【００８８】(1) 同定したい軸ｉと１つ手先側の軸（ｉ
＋１）とが平行なとき図３に示すような機構Ｗ₃（δ_c(i)-1，ｉ，ｉ＋１）を
考える。δ_c(i)-1→ｈ，ｉ＋１→ｊと置き換えると、こ
の機構のリンクベクトルⁱｌ_iは、一般に次のようにな
る。

【００８９】

【数６０】ｈ軸についてはｉ，ｊ軸固定、ｉ軸ではｊ軸固定、ｊ軸
ではｈ軸固定の場合の運動方程式である。

【００９０】

【数６１】但し、Ｊ_a ^bはａ軸に関するｂ方向の慣性パラメータ、
Ｊａ_cはｃ軸のアクチュエータ慣性を表す。また、ξ_h
などは以下のような既知、あるいは加速度試験を行なっ
ていくうちにこの方程式を使うまでに既知となる（例え
ば、ξ_i3のＪ_i ^x−Ｊ_i ^yなど）パラメータと関節角度
の三角関数の積和式となる。

【００９１】

【数６２】ここで、ｃ_iij，ｓ_iijはそれぞれｃｏｓ（２θ_i＋θ
_j），ｓｉｎ（２θ_i＋θ_j）を表す。但し、ｉ軸がロ
ボットの第１軸であったり最終軸のときなどのように
ｈ，ｊ軸が存在しないときにはこれらの軸に対応する式
中のパラメータを０とおく。

【００９２】上記の式より、次のようにしてｉ軸の慣性
パラメータを求める。まず、ｊ軸単独で加速度試験を行
なう。

【００９３】

【数６３】を得る。次に、ｉ軸単独の加速度試験を行なう。先程と
同様にして（４．１１）式より、

【００９４】

【数６４】を得る。ここで、ｉ，ｊ軸の同時運動を行なう。Ｊ_j ^z
＋Ｊａ_jなどは求まっているので（４．１２）式より、

【００９５】

【数６５】としてＪ_j ^zを得る。（４．２０）、（４．２２）式よ
りＪａ_jを得る。また（４．２１）、（４．２２）式よ
りＪ_i ^z＋Ｊａ_iを得る。

【００９６】更に、ｈ軸の単軸運動を行なう。上記と同
様な計算を用いて（４．１０）式よりθ_i，θ_jの適当
な５つの組み合わせを選ぶと、Ｊ_h ^z＋Ｊａ_h＋Ｊ_i ^y
＋Ｊ_j ^y＋２ｌ_i ^zＲ_j ^z、Ｊ_i ^x−Ｊ_i ^y，Ｊ_i ^xy、
Ｊ_j ^x−Ｊ_j ^y、Ｊ_j ^xyの５つのパラメータが求まる。
最後に、ｈ，ｉ軸の同時運動を行なう。（４．１１）式
よりθ_jの適当な２通りの値に対してｈ，ｉ軸の同時運
動を行なうと、Ｊ_i ^xz、Ｊ_i ^yz、Ｊ_j ^xz、Ｊ_j ^yzが求ま
る。

【００９７】以上により、(1) の場合のｉ軸のすべての
基底パラメータＪ_i ^z＋Ｊａ_i、Ｊ_i ^x−Ｊ_i ^y、Ｊ_i
^xy、Ｊ_i ^xz−ｌ_i ^xＲ_j ^z、Ｊ_i ^yzおよびｊ軸のアクチ
ュエータ慣性Ｊａ_iを求めることが出来た。

【００９８】(2) 同定したい軸ｉと１つ手先側の軸（ｉ
＋１）とが直交するとき図４に示すような４自由度の機構Ｗ₄（δ_c(i)-1，ｉ，
γ_c(i)+1，γ_c(i)+2）を考える。但し、γ_c(i)+1＝ｉ＋
１である。δ_c(i)-1→ｈ，γ_c(i)+1→ｊ，γ_c(i)+2→ｋ
と置き換えると、この機構のリンクベクトルⁱｌ_iは一
般に次のようになる。

【００９９】

【数６６】この４自由度の機構Ｗ₄（δ_c(i)-1，ｉ，γ_c(i)+1，γ
_c(i)+2）の運動方程式を書き下す。ｈ軸についてはｉ，
ｊ，ｋ軸固定、ｉ軸ではｊ，ｋ軸固定、ｊ軸ではｈ，ｋ
軸固定、ｋ軸ではｈ，ｉ軸固定の場合の運動方程式であ
る。

【０１００】

【数６７】但し、η_hなどは以下のような既知、あるいは加速度試
験を行なっていくうちにこの方程式を使うまでに既知と
なるパラメータと関節角度の三角関数の積和式となる。

【０１０１】

【数６８】

【０１０２】

【数６９】

【０１０３】

【数７０】

【０１０４】

【数７１】但し、ｉ軸がロボットの第１軸であったり最終軸のとき
などのようにｈ，ｊ，ｋ軸が存在しないときにはこれら
の軸に対応する式中のパラメータを０とおく。

【０１０５】この場合も(1) と同様にしてｉ軸のすべて
の基底パラメータＪ_i ^z＋Ｊａ_i＋Ｊ_i ^y、Ｊ_i ^x−Ｊ
_i ^y＋Ｊ_i ^y、Ｊ_i ^xy、Ｊ_i ^xz、Ｊ_i ^yzを求めることが
出来る。

【０１０６】以上、重力項のパラメータ、重力項以外の
慣性パラメータそれぞれの場合につき見てきた２種類の
多関節機構の動特性パラメータの中に同定したい軸ｉの
基底パラメータが全て現れる。よってｎ自由度のロボッ
トを順次上記２〜４軸の多関節機構と考え、同定するこ
とでｎ自由度ロボットの全ての動特性パラメータを求め
ることが出来る。このように多自由度ロボットの同定を
２〜４軸の多関節機構のパラメータ同定とすることで、
考えている２〜４軸以外の軸の同定誤差は全く含まれ
ず、同定誤差の蓄積を最大４軸ロボットにおける誤差蓄
積にまで減らすことが出来る。３−３．改良型逐次同定法による同定の１例ここでは、改良型逐次同定法の手順の説明のため６自由
度ロボットを使って適用法を説明すると共に改良型逐次
同定法の有効性を見ていく。

【０１０７】図５に示すような６自由度のロボットを改
良型逐次同定法により同定することを考える。手先の軸
より順に３−１、３−２節で説明した機構Ｗ_iを当ては
めていく。当てはめる機構Ｗ_iの選び方により各軸に対
する座標系が変わることがあるので注意する。 (i) 静止試験手先の第６軸より順に同定していく。６軸より手先の軸
はないので図６の黒く表した軸だけの１軸ロボットを考
えればよい。図の白く表された軸（１〜５軸）は図のよ
うな姿勢で停止させられているとする。３−１節の(1)
で（ｉ＋１）軸がない場合を考えればよいから、式
（４．１）よりｊ軸に関するパラメータを０とし、ま
た、α_s＝π／２として以下の式を得る。

【０１０８】

【数７２】よって、２種類以上のθ₆に対してトルクτ₆を計測す
れば上式より６軸に関する重力項のパラメータＲ₆ ^x、
Ｒ₆ ^yを求めることが出来る。

【０１０９】次に、５軸の静止試験を行なう。１つ手先
側の第６軸が第５軸と垂直であることから、３−１節の
(2) でγ_c(i)+2軸がない場合を考えて図７に黒く塗って
示すような２自由度のロボットを考える。α_s＝π／２
として式（４．３）より次式を得る。

【０１１０】

【数７３】但し、図７と図５での第６軸に対する座標系の取り方が
変わるため、図７における第６軸の重力項のパラメータ
をＲ' ₆ ^x、Ｒ' ₆ ^yとしている。Ｒ₆ ^zについては、
ｚ軸の選び方は図５、図７の場合とも同じなので双方で
等しい。第５軸の角度θ₅を第６軸の静止試験と同じ角
度（θ₅＝−π／２）とすれば、第６軸の静止試験で得
た２種類の角度θ₆とトルクτ₆と式（４．４１）を用
いてＲ' ₆ ^x、Ｒ' ₆ ^yを求めることが出来る。よっ
て、２種類以上のθ₅に対してトルクτ₅を計測すれば
式（４．４０）よりＲ₅ ^x，Ｒ₅ ^y−Ｒ₆ ^zを求めるこ
とが出来る。

【０１１１】次に、４軸の静止試験を行なう。１つ手先
側の第５軸が第４軸と垂直であることから、３−１節の
(2) の機構Ｗ₃を適用して図８に黒く塗って示すような
３自由度のロボットを考える。α_s＝π／２（例えば、
θ₂＝π／２）として式（４．３）より次式を得る。

【０１１２】

【数７４】ここでは、図８と図５の座標系は等しい。よって
Ｒ₅ ^x、Ｒ₅ ^y−Ｒ₆ ^z、Ｒ₆ ^x、Ｒ₆ ^yは既に求まっ
ているので、２種類以上のθ₄に対してトルクτ₄を計
測すれば式（４．４２）よりＲ₄ ^x、Ｒ₄ ^y−Ｒ₅ ^zを
求めることが出来る。

【０１１３】次に、３軸の静止試験を行なう。１つ手先
側の第４軸が第３軸と垂直であることから、３−１節の
(2) の機構Ｗ₃を適用して図９に黒く塗って示すような
３自由度のロボットを考える。α_s＝π／２として式
（４．３）〜（４．５）でｉ→３、ｊ→４、ｋ→５とお
いた式を用いて重力項のパラメータを求める。第５軸の
み図５との座標系と違っているので５軸に関するパラメ
ータＲ₅ ^x，Ｒ₅ ^yは図５のものとは違うことに注意す
る。また、ここでの第５軸のパラメータは第６軸のパラ
メータをも含んでいる。これらのことを考慮しながら第
５軸の静止試験で得た２種類の角度θ₅とトルクτ₅と
式（４．５）を用いてここでの５軸に関するパラメータ
Ｒ₅ ^x，Ｒ₅ ^yを求めることが出来る。４軸のパラメー
タは図５のものと同じである。以上より４、５軸の重力
項のパラメータと式（４．３）でｉ→３，ｊ→４，ｋ→
５とおいた式を用いて、第３軸のパラメータＲ₃ ^x，Ｒ
₃ ^y−Ｒ₄ ^zを求めることが出来る。

【０１１４】次に、２軸の静止試験を行なう。１つ手先
側の第３軸が第２軸と平行であることから、３−１節の
(1) の機構Ｗ₂を適用して図１０に黒く塗って示すよう
な２自由度のロボットを考える。α_s＝π／２として式
（４．１）、（４．２）でｉ→２、ｊ→３とおいた式を
用いて重力項のパラメータを求める。第３軸は図５との
座標系と違っているので、３軸に関するパラメータＲ₃
^x，Ｒ₃ ^yは図５のものとは違うことに注意する。ま
た、ここでの第３軸のパラメータは第４軸以降のリンク
のパラメータをも含んでいる。これらのことを考慮しな
がら第３軸の静止試験で得た２種類の角度θ₃とトルク
τ₃と式（４．２）を用いてここでの３軸に関するパラ
メータＲ₃ ^x、Ｒ₃ ^yを求めることが出来る。よって、
この３軸の重力項のパラメータと式（４．１）でｉ→
２、ｊ→３とおいた式を用いて、第２軸のパラメータＲ
₂ ^x、Ｒ₂ ^yを求めることが出来る。

【０１１５】最後に、１軸の静止試験を行なう。１つ手
先側の第２軸が第１軸と垂直であることから、３−１節
の(2) の機構Ｗ₃を適用して図１１に黒く塗って示すよ
うな３自由度のロボットを考える。α_s＝π／２として
式（４．３）〜（４．５）でｉ→１、ｊ→２、ｋ→４と
おいた式を用いて重力項のパラメータを求める。第２、
４軸とも図５との座標系と違っているので第２、４軸に
関するパラメータは図５のものとは違うことに注意す
る。また、ここでの第２軸のパラメータは第３軸のパラ
メータを、第４軸のパラメータは第５、６軸のパラメー
タをも含んでいる。これらのことを考慮しながら第２、
４軸の静止試験で得たデータを用いて第２、４軸に関す
るパラメータを求めることが出来る。第２、４軸の重力
項のパラメータと式（４．３）でｉ→１、ｊ→２、ｋ→
４とおいた式を用いて、第１軸のパラメータＲ₁ ^x、Ｒ
₁ ^y−Ｒ₂ ^z−Ｒ₃ ^zを求めることが出来る。

【０１１６】以上により、図５の６自由度ロボットに対
する全ての重力項のパラメータを求めることが出来た。

【０１１７】改良型逐次同定法では、例えば第１軸の静
止試験に示したように第４軸より先を１つの纏まったリ
ンクとして扱い、従来の逐次同定法のように各軸のパラ
メータを必ずしも個々に用いることはない。よって同定
の際の誤差、あるいは計算誤差を含み難い同定を行なう
ことが出来る。 (ii)等角速度試験等角速度試験は、２−２節(ii)で説明した方法により同
定でき、逐次同定法と改良型逐次同定法で同じである。 (iii) 角加速度試験角加速度試験は、手先側の軸より順次行なっていく。３
−２節で説明した２通りの場合を対応する軸に応じて選
択し、各パラメータを同定していく。

【０１１８】図５のロボットの場合は、まず、第６軸の
単軸運動から行なう。第６軸より先の軸はないので、３
−２節の(1) で（ｉ＋１）軸がない場合を考え、図１２
に黒く塗って示すような図５のロボットにおける第５、
６軸を取り出した２自由度ロボットについて見てみる。
式（４．１０）、（４．１１）よりｊ軸に関するパラメ
ータを０として以下の式を得る。

【０１１９】

【数７５】３−２節(1) に示したように第６軸の単軸運動、第５軸
の単軸運動、第５および６軸の同時運動の順に加速度試
験を行なえば、６軸に関するパラメータＪ₆ ^z＋Ｊ
ａ₆，Ｊ₆ ^x−Ｊ₆ ^y，Ｊ₆ ^xy，Ｊ₆ ^xz，Ｊ₆ ^yzを求め
ることが出来る。

【０１２０】次に、第５軸のパラメータを求める。第５
軸と第６軸は垂直であるから、３−２節(2) でγ_c(i)+2
がない場合を考え、図１３に黒く塗って示すような図５
のロボットにおける第４、５、６軸を取り出した３自由
度ロボットについて見てみる。式（４．２７）〜（４．
２９）でｈ→４，ｉ→５，ｊ→６と置き、ｋ軸に関する
パラメータを０とした式を用いて第５軸に関するパラメ
ータを求める。この場合も順次第６軸の単軸運動、第５
軸の単軸運動、第５および６軸の同時運動、第４軸の単
軸運動、第４および５軸の同時運動の順に加速度試験を
行なっていく。ここで、第６軸のパラメータを求める際
に既に第６軸の単軸運動、第５軸の単軸運動、第５およ
び６軸の同時運動は行なっているのでこのときのデータ
を用いれば良い。よって、新たに試験を行なうのは第４
軸の単軸運動、第４および５軸の同時運動である。３−
２節で説明したように順次計算していけば第５軸に関す
るパラメータを全て求めることが出来る。

【０１２１】次に、第４軸のパラメータを求める。第４
軸と第５軸は垂直であるから、３−２節(2) の場合を考
え、図１４に黒く塗って示すような４自由度ロボットに
ついて見てみる。式（４．２７）〜（４．３０）でｈ→
３、ｉ→４、ｊ→５、ｋ→６とした式を用いて第４軸に
関するパラメータを求める。先に行なった加速度試験の
データを用いれば、ここでは加速度試験として第３軸の
単軸運動、第３および４軸の同時運動のみを行なえばよ
い。３−２節で説明したように順次計算していけば第４
軸に関するパラメータを全て求めることが出来る。

【０１２２】第３軸から第１軸に関するパラメータにつ
いても同様にして図１５〜図１７に黒く塗って示すよう
に軸を選んで、これについて加速度試験を施すことによ
り求めることが出来る。

【０１２３】以上により、図５の６自由度ロボットに対
する全ての重力項以外の慣性パラメータを求めることが
出来た。

【０１２４】

【発明の効果】逐次同定法は多自由度のロボットへ適用
する際に運動方程式の同定が大変である、誤差が蓄積し
易いという欠点があるが、本発明ではこれらの欠点を補
う改良型逐次同定法を提案した。この改良型逐次同定法
の利点を上げると以下のようになる。１）個々のロボットの運動方程式を導出する必要がな
い。２）どのようなＰ／Ｐ型（隣り合う軸が互いに直交し
ている）ロボットに対しても同じ式で対応できるのでＣ
ＡＤ化に適している。３）同定の解析の際、対象のロボットの全ての軸を必
ずしも考えないでよいので解析のための計算量が少なく
なる。４）個々のリンクの動特性パラメータを別々に扱わ
ず、出来るだけ試験により得られるデータから直接求め
られる纏まった形で扱うため、逐次同定法の欠点であっ
た誤差蓄積を減らすことが出来る。

【図面の簡単な説明】

【図１】同定すべき軸ｉと１つの手先側の軸（ｉ＋１）
とが平行である場合を示す説明図。

【図２】同定すべき軸ｉと１つの手先側の軸（ｉ＋１）
とが直交する場合を示す説明図。

【図３】同定すべき軸ｉと１つの手先側の軸（ｉ＋１）
とが平行である場合を示す説明図。

【図４】同定すべき軸ｉと１つの手先側の軸（ｉ＋１）
とが直交する場合を示す説明図。

【図５】６自由度ロボットの例を示す斜視図。

【図６】６軸静止試験の例を示す説明図。

【図７】５軸静止試験の例を示す説明図。

【図８】４軸静止試験の例を示す説明図。

【図９】３軸静止試験の例を示す説明図。

【図１０】２軸静止試験の例を示す説明図。

【図１１】１軸静止試験の例を示す説明図。

【図１２】６軸加速度試験の例を示す説明図。

【図１３】５軸加速度試験の例を示す説明図。

【図１４】４軸加速度試験の例を示す説明図。

【図１５】３軸加速度試験の例を示す説明図。

【図１６】２軸加速度試験の例を示す説明図。

【図１７】１軸加速度試験の例を示す説明図。

【図１８】ロボットの座標系の例を示す説明図。

【図１９】クラスタの例を示す説明図。

【図２０】２自由度のスカラ型ロボットの例を示す斜視
図。

【図２１】３自由度のロボットの例を示す説明図。

【図２２】角度θ_2a＋θ_3aをπ／４に選定した例を示す
説明図。

【図２３】角度θ_2b＋θ_3bをπ／２に選定した例を示す
説明図。

【図２４】角度θ_2aをπ／４に選定した例を示す説明
図。

【図２５】角度θ_2bをπ／２に選定した例を示す説明
図。

【図２６】角度θ_1aをπ／２に選定した例を示す説明
図。

【図２７】角度θ_1a＝−π／４に選定した例を示す説明
図。

【図２８】第１及び第２軸を固定し、第３軸を運動させ
る例を示す説明図。

【図２９】第１軸を固定し、第２及び第３軸を運動させ
る例を示す説明図。

【図３０】第１及び第３軸を固定し、第２軸を運動させ
る例を示す説明図。

【図３１】第２及び第３軸を固定し、第１軸を運動させ
る例を示す説明図。

【図３２】第２軸を固定し、第１及び第３軸を運動させ
る例を示す説明図。

【図３３】第３軸を固定し、第１及び第２軸を運動させ
る例を示す説明図。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】隣合う関節軸同士が垂直または平行になる
ように回動関節で連結された一連の剛体リンク機構から
なるロボットの動的モデル【数１】の同定方法であって、 1)ロボットの１つの関節軸ｉを適当な姿勢で静止させ、
そのときの関節軸ｉの関節角度と釣合トルクτ_iを測定
して関節軸ｉのクーロン静止摩擦ｆ_siを【数２】により求める操作を各関節軸について行うステップと、 2)関節軸ｉの重力項の基底パラメータを、関節軸ｉ及び関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互
いに平行なとき、【数３】により求め、関節軸ｉ及び関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互
いに直交するとき、【数４】により求める操作を各関節軸について行うステップと、 3)関節軸ｉを少なくとも２通りの角速度で等角速度で回
動し、そのとき測定される関節角度θ_i及びトルクτ_i
と、関節軸ｉについて求められている前記重力項とから
該回動関節軸の粘性摩擦ｂ_i及びクーロン摩擦ｆ_iを【数５】により求める操作を各関節軸について行うステップと、 4)関節軸ｉの重力項以外の慣性パラメータを、関節軸ｉ
及び関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互いに平行
なとき、【数６】により求め、関節軸ｉ及び関節軸ｉよりも一つ手先側の関節軸ｊが互
いに直交するとき、【数７】により求める操作を各関節軸について行うステップと、
を含むことを特徴とするロボットアームの動的モデルの
同定方法。