JPH05114028A - 濃淡パターンのマツチング方法、濃淡パターンのマツ チング回路 - Google Patents
濃淡パターンのマツチング方法、濃淡パターンのマツ チング回路Info
- Publication number
- JPH05114028A JPH05114028A JP3303954A JP30395491A JPH05114028A JP H05114028 A JPH05114028 A JP H05114028A JP 3303954 A JP3303954 A JP 3303954A JP 30395491 A JP30395491 A JP 30395491A JP H05114028 A JPH05114028 A JP H05114028A
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 濃淡パターンマッチング処理の高速化
【構成】 テンプレートと部分画像の縦、横方向の一次
元投影データを投影分布演算部13で算出し、さらに縦
方向同志、横方向同志でテンプレートと部分画像の正規
化相関値を正規化相関値演算部14で算出し、縦、横方
向の正規化相関値が最大となる部分画像をマッチングし
たものとする。 【効果】 明るさの変化、ピントぼけがあっても正確に
かつ高速にマッチング処理が行える。
元投影データを投影分布演算部13で算出し、さらに縦
方向同志、横方向同志でテンプレートと部分画像の正規
化相関値を正規化相関値演算部14で算出し、縦、横方
向の正規化相関値が最大となる部分画像をマッチングし
たものとする。 【効果】 明るさの変化、ピントぼけがあっても正確に
かつ高速にマッチング処理が行える。
Description
【0001】
【産業上の利用分野】本発明は濃淡パターンのマッチン
グ方法及びその回路に関わり、特に与えられた画像から
テンプレートに最も類似する部分領域の位置を検出する
のに適した濃淡パターンのマッチング方法及びその回路
に関する。
グ方法及びその回路に関わり、特に与えられた画像から
テンプレートに最も類似する部分領域の位置を検出する
のに適した濃淡パターンのマッチング方法及びその回路
に関する。
【0002】
【従来の技術】半導体平面上の所要のマーク図形を画像
処理によって検出しようとする場合、当該マーク図形を
テンプレートとしてこれと図形上の相当する大きさの領
域とのマッチング処理(テンプレートマッチング処理)
が行われる。こうした処理は、マークの所在位置を検出
したり、2つの画像内で同じ特徴点の位置を適当なテン
プレートによって検出し、これを対応点として2画像間
の位置ずれを計算する等のためにしばしば必要となる。
処理によって検出しようとする場合、当該マーク図形を
テンプレートとしてこれと図形上の相当する大きさの領
域とのマッチング処理(テンプレートマッチング処理)
が行われる。こうした処理は、マークの所在位置を検出
したり、2つの画像内で同じ特徴点の位置を適当なテン
プレートによって検出し、これを対応点として2画像間
の位置ずれを計算する等のためにしばしば必要となる。
【0003】このような濃淡画像の従来のテンプレート
マッチング処理は、次のようにして行われていた。今、
テンプレートの二次元データは大きさが M×M 画素であ
り、その各画素を Gi,j(0≦i,j≦M-1)で表す。また与
えられた画像の全領域の二次元デー タは大きさが N×N
画素であり、その各画素を Fi,j(0≦i,j≦M-1)で表
す。ここで N>M、即ちテンプレートは処理対象画像よ
り小さいものとする。このときのテンプレートマッチン
グ処理の1つの方法は、テンプレートをその画像上でず
らしながら、画像上のテンプレートと重なる位置にある
部分画像とテンプレートとの画素間の距離を求め、例え
ば距離が最も小さい部分領域をテンプレートに最も類似
する部分領域とするものである。その際の距離の尺度と
して通常は、テンプレートと部分画像の対応位置にある
2画素間の濃度差の絶対値の総和Ex,yが使用され、これ
は次式で与えられる;
マッチング処理は、次のようにして行われていた。今、
テンプレートの二次元データは大きさが M×M 画素であ
り、その各画素を Gi,j(0≦i,j≦M-1)で表す。また与
えられた画像の全領域の二次元デー タは大きさが N×N
画素であり、その各画素を Fi,j(0≦i,j≦M-1)で表
す。ここで N>M、即ちテンプレートは処理対象画像よ
り小さいものとする。このときのテンプレートマッチン
グ処理の1つの方法は、テンプレートをその画像上でず
らしながら、画像上のテンプレートと重なる位置にある
部分画像とテンプレートとの画素間の距離を求め、例え
ば距離が最も小さい部分領域をテンプレートに最も類似
する部分領域とするものである。その際の距離の尺度と
して通常は、テンプレートと部分画像の対応位置にある
2画素間の濃度差の絶対値の総和Ex,yが使用され、これ
は次式で与えられる;
【数1】 もし Ex,y =0なら完全に一致した場合である。
【0004】また別の方法では、部分画像の各画素の明
るさをテンプレートの明るさに正規化した後、[数2]
のテンプレートの相関値 Rx,y を求め、これが最も大き
いものをテンプレートに最も類似するものとする。Rx,y
=1のときは完全に一致する場合である。
るさをテンプレートの明るさに正規化した後、[数2]
のテンプレートの相関値 Rx,y を求め、これが最も大き
いものをテンプレートに最も類似するものとする。Rx,y
=1のときは完全に一致する場合である。
【数2】 ただし
【数3】 である。ここでFM は x,y の関数、sqrt()は()内の平方
根を与える関数である。
根を与える関数である。
【0005】
【発明が解決しようとする課題】上記した従来技術で
は、距離の尺度として濃度差の絶対値の総和を用いる場
合は、明るさの変動やピントぼけが発生した場合に対処
できず、部分領域の位置検出精度に問題があった。ま
た、距離の尺度として正規化相関値を用いる場合は、1
回の Rx,y の算出に際して、
は、距離の尺度として濃度差の絶対値の総和を用いる場
合は、明るさの変動やピントぼけが発生した場合に対処
できず、部分領域の位置検出精度に問題があった。ま
た、距離の尺度として正規化相関値を用いる場合は、1
回の Rx,y の算出に際して、
【数4】 の形の演算を何回も実行するが、このためには()内の
演算をM2回繰り返す必要があり、処理時間に問題があ
った。
演算をM2回繰り返す必要があり、処理時間に問題があ
った。
【0006】本発明の目的は、明るさの変動やピントぼ
けがあっても、精度よく位置決めが行え、かつ処理時間
も少なくてよい濃淡パターンのマッチング方法及びその
回路を提供するにある。
けがあっても、精度よく位置決めが行え、かつ処理時間
も少なくてよい濃淡パターンのマッチング方法及びその
回路を提供するにある。
【0007】
【課題を解決するための手段】上記の目的は、与えられ
た矩形画像データの横方向の各行毎にその行の画素の明
るさを示す画素値を加算して生成した縦方向一次元投影
データと縦方向の各列毎にその列の画素の上記画素値を
加算して生成した横方向一次元投影データとを算出する
ための投影分布演算手段と、2つの一次元投影データの
正規化相関値を算出するための正規化相関値演算手段と
を設け、上記与えられた濃淡画像から上記テンプレート
と同じ大きさの部分画像を順次切り出し、該切り出した
部分画像の各々について、当該部分画像及び上記テンプ
レートの各々の縦方向及び横方向一次元投影データを上
記投影分布演算手段により算出し、さらに上記算出した
部分画像とテンプレートとの縦方向一次元投影データ間
の相関を示す縦方向正規化相関値と横方向一次元投影デ
ータ間の相関を示す横方向正規化相関値とを上記正規化
相関値演算手段により算出し、こうして算出した上記縦
方向および横方向正規化相関値が共に最大となる位置の
部分画像画がテンプレートに一致すると判定することに
より達成される。
た矩形画像データの横方向の各行毎にその行の画素の明
るさを示す画素値を加算して生成した縦方向一次元投影
データと縦方向の各列毎にその列の画素の上記画素値を
加算して生成した横方向一次元投影データとを算出する
ための投影分布演算手段と、2つの一次元投影データの
正規化相関値を算出するための正規化相関値演算手段と
を設け、上記与えられた濃淡画像から上記テンプレート
と同じ大きさの部分画像を順次切り出し、該切り出した
部分画像の各々について、当該部分画像及び上記テンプ
レートの各々の縦方向及び横方向一次元投影データを上
記投影分布演算手段により算出し、さらに上記算出した
部分画像とテンプレートとの縦方向一次元投影データ間
の相関を示す縦方向正規化相関値と横方向一次元投影デ
ータ間の相関を示す横方向正規化相関値とを上記正規化
相関値演算手段により算出し、こうして算出した上記縦
方向および横方向正規化相関値が共に最大となる位置の
部分画像画がテンプレートに一致すると判定することに
より達成される。
【0008】
【作用】部分画像およびテンプレートをともに一次元デ
ータとして相関計算を行うから、計算時間は二次元の場
合より大幅に減らすことができる。また、正規化相関の
計算を行うから、明るさの変動やピントぼけに強い濃淡
パターンマッチングが行える。
ータとして相関計算を行うから、計算時間は二次元の場
合より大幅に減らすことができる。また、正規化相関の
計算を行うから、明るさの変動やピントぼけに強い濃淡
パターンマッチングが行える。
【0009】
【実施例】以下、本発明を実施例により説明する。図3
は本発明の装置の一実施例を示すブロック図で、画像処
理装置1にカメラ2、画像表示装置3、操作部4、上位
コンピュータ5が接続されている。画像処理装置1は対
話制御部11、主制御部12、投影分布演算部13、正
規化相関値演算部14、相関値比較部15、画像制御部
21、画像専用処理部22、および画像メモリ23から
構成されている。
は本発明の装置の一実施例を示すブロック図で、画像処
理装置1にカメラ2、画像表示装置3、操作部4、上位
コンピュータ5が接続されている。画像処理装置1は対
話制御部11、主制御部12、投影分布演算部13、正
規化相関値演算部14、相関値比較部15、画像制御部
21、画像専用処理部22、および画像メモリ23から
構成されている。
【0010】次に、本実施例の動作を説明する。まずオ
ペレータがテンプレートをカメラ2にセットして、操作
部4または上位コンピュータ5からテンプレート読込み
指示を入力すると、この指示は対話制御部11を介して
主制御部12に伝えられる。テンプレート読込み指示を
受けた主制御部12は画像制御部21にカメラ入力を指
示する。画像制御部21はテンプレートをカメラ2より
入力し画像表示装置3に表示すると共に、画像専用処理
部22を介して画像メモリ23に読込む。次にオペレー
タが処理対象の画像をカメラ2にセットして、操作部4
または上位コンピュータ5からパターンマッチング指示
を入力すると、この指示は対話制御部11を介して主制
御部12に伝えられる。パターンマッチング指示を受け
た主制御部12は画像制御部21にカメラ入力を指示す
る。画像制御部21は、画像をカメラ2より入力し画像
表示装置3に表示すると共に、画像専用処理部22を介
して画像メモリ23に読込む。その後、主制御部12は
投影分布演算部13、正規化相関値演算部14、相関値
比較部15を制御して画像メモリ23上の所要の画像の
中から既に読込まれているテンプレートに最も類似した
部分領域の位置を検出する。そして、求めた位置検出情
報を画像表示装置3に表示すると共に上位コンピュータ
5へ送信する。
ペレータがテンプレートをカメラ2にセットして、操作
部4または上位コンピュータ5からテンプレート読込み
指示を入力すると、この指示は対話制御部11を介して
主制御部12に伝えられる。テンプレート読込み指示を
受けた主制御部12は画像制御部21にカメラ入力を指
示する。画像制御部21はテンプレートをカメラ2より
入力し画像表示装置3に表示すると共に、画像専用処理
部22を介して画像メモリ23に読込む。次にオペレー
タが処理対象の画像をカメラ2にセットして、操作部4
または上位コンピュータ5からパターンマッチング指示
を入力すると、この指示は対話制御部11を介して主制
御部12に伝えられる。パターンマッチング指示を受け
た主制御部12は画像制御部21にカメラ入力を指示す
る。画像制御部21は、画像をカメラ2より入力し画像
表示装置3に表示すると共に、画像専用処理部22を介
して画像メモリ23に読込む。その後、主制御部12は
投影分布演算部13、正規化相関値演算部14、相関値
比較部15を制御して画像メモリ23上の所要の画像の
中から既に読込まれているテンプレートに最も類似した
部分領域の位置を検出する。そして、求めた位置検出情
報を画像表示装置3に表示すると共に上位コンピュータ
5へ送信する。
【0011】次に、主制御部12におけるテンプレート
マッチング処理の詳細を説明する。図1は本処理のフロ
ーチャートを示すもので、ステップ100では、投影分
布演算部13を使ってテンプレートの二次元データ G
i,j からこれをX,Y軸に投影した一次元データ GXi,G
Yj に簡略化する;
マッチング処理の詳細を説明する。図1は本処理のフロ
ーチャートを示すもので、ステップ100では、投影分
布演算部13を使ってテンプレートの二次元データ G
i,j からこれをX,Y軸に投影した一次元データ GXi,G
Yj に簡略化する;
【数5】 ステップ200では、正規化相関値の演算に必要な GX
W,GYW を正規化相関演算部14を用いて算出する;
W,GYW を正規化相関演算部14を用いて算出する;
【数6】
【数7】 ステップ300では、画像の全領域に対してテンプレー
トに最も類似した部分領域を探査するための初期設定と
して、X座標カウンタの値 x 、Y座標カウンタの値 y
、X方向最大相関値 Rxmax、y方向最大相関値 Rymax
に0を設定する。ステップ400〜600は1つの部分
画像に対する処理であり、これは x,y の値がステップ
700、800で指定されることにより異なる部分画像
が指定され、合計(N-M+1)2回繰り返し実行される。そ
してまずステップ400では、投影分布演算部13を使
って当該部分画像の二次元データ Fi,j を一次元データ
FXi ,FYj に簡略化する;
トに最も類似した部分領域を探査するための初期設定と
して、X座標カウンタの値 x 、Y座標カウンタの値 y
、X方向最大相関値 Rxmax、y方向最大相関値 Rymax
に0を設定する。ステップ400〜600は1つの部分
画像に対する処理であり、これは x,y の値がステップ
700、800で指定されることにより異なる部分画像
が指定され、合計(N-M+1)2回繰り返し実行される。そ
してまずステップ400では、投影分布演算部13を使
って当該部分画像の二次元データ Fi,j を一次元データ
FXi ,FYj に簡略化する;
【数8】
【0012】ステップ500では、正規化相関値演算部
14を使って部分画像とテンプレートとの一次元データ
よりX方向とY方向の正規化相関値 Rx,Ry を求める。
このときの正規化相関値演算部14の詳細なフローチャ
ートは図2に示されており、まずステップ510では、
当該部分画像のX方向の一次元データ FXi の平均値FXM
を式[数9]により求める;
14を使って部分画像とテンプレートとの一次元データ
よりX方向とY方向の正規化相関値 Rx,Ry を求める。
このときの正規化相関値演算部14の詳細なフローチャ
ートは図2に示されており、まずステップ510では、
当該部分画像のX方向の一次元データ FXi の平均値FXM
を式[数9]により求める;
【数9】 次にステップ520、530では、当該部分画像のX方
向の一次元データ FXiの正規化相関値演算のための部分
項 FXW1,FXW2 を[数10][数11]によりそれぞれ
求める;
向の一次元データ FXiの正規化相関値演算のための部分
項 FXW1,FXW2 を[数10][数11]によりそれぞれ
求める;
【数10】
【数11】 ステップ540では、当該部分画像のX方向一次元デー
タ FXi の正規化相関値Rx を式[数12]にしたがって
算出する;
タ FXi の正規化相関値Rx を式[数12]にしたがって
算出する;
【数12】 ステップ550〜580は、Y方向の一次元データ FYj
に対してステップ510〜540と同様の計算を行う
もので、各ステップにおける計算式は式[数9]〜[数
12]に対応して次のようになる;
に対してステップ510〜540と同様の計算を行う
もので、各ステップにおける計算式は式[数9]〜[数
12]に対応して次のようになる;
【数13】
【数14】
【数15】
【数16】
【0013】以上のようにして当該画像の一次元データ
FXi,FYj の正規化相関値 Rx,Ry が求められると、次に
ステップ600で、求めたX方向とY方向の正規化相関
値 Rx,Ry と、いまでの中で最大の正規化相関値 Rxmax,
Rymax との大小比較を相関値比較部15にて行い、その
結果に応じて Rxmax,Rymax と対応する位置情報Xmax,Y
max とを更新する。すなわち Rxmax ≧ Rx なら Rxmax,Xmax は変更無し Rxmax < Rx なら Rxmax = Rx, Xmax = x Rymax ≧ Ry なら Rymax,Ymax は変更無し Rymax < Ry なら Rymax = Ry, Ymax = y とする。ただし Rx,Ry はステップ500で算出した
値、x,y はX座標カウンタ、Y座標カウンタのそのとき
の値である。
FXi,FYj の正規化相関値 Rx,Ry が求められると、次に
ステップ600で、求めたX方向とY方向の正規化相関
値 Rx,Ry と、いまでの中で最大の正規化相関値 Rxmax,
Rymax との大小比較を相関値比較部15にて行い、その
結果に応じて Rxmax,Rymax と対応する位置情報Xmax,Y
max とを更新する。すなわち Rxmax ≧ Rx なら Rxmax,Xmax は変更無し Rxmax < Rx なら Rxmax = Rx, Xmax = x Rymax ≧ Ry なら Rymax,Ymax は変更無し Rymax < Ry なら Rymax = Ry, Ymax = y とする。ただし Rx,Ry はステップ500で算出した
値、x,y はX座標カウンタ、Y座標カウンタのそのとき
の値である。
【0014】次のステップ700では、X座標カウンタ
値 x を+1更新する。更新後の xが N-M+1 未満のと
き、ステップ400へ行き次の部分画像についての処理
へ移る。 N-M+1 以上のときはステップ800へ行き、
X座標カウンタ値 x を0に再設定すると共にY座標カ
ウンタ値 y を+1更新する。更新後のY座標カウンタy
が N-M+1 未満のとき、ステップ400へ行き次の部分
画像の処理へ移る。N-M+1 以上のときはステップ900
へ行き、求めたX方向の正規化相関値 Rxmax、Y方向の
正規化相関値 Rymax 、対応する位置情報 Xmax,Ymax を
画像表示装置3に表示すると共に上位コンピュータ5へ
送信し、テンプレートマッチング処理を終了する。
値 x を+1更新する。更新後の xが N-M+1 未満のと
き、ステップ400へ行き次の部分画像についての処理
へ移る。 N-M+1 以上のときはステップ800へ行き、
X座標カウンタ値 x を0に再設定すると共にY座標カ
ウンタ値 y を+1更新する。更新後のY座標カウンタy
が N-M+1 未満のとき、ステップ400へ行き次の部分
画像の処理へ移る。N-M+1 以上のときはステップ900
へ行き、求めたX方向の正規化相関値 Rxmax、Y方向の
正規化相関値 Rymax 、対応する位置情報 Xmax,Ymax を
画像表示装置3に表示すると共に上位コンピュータ5へ
送信し、テンプレートマッチング処理を終了する。
【0015】本実施例によれば、テンプレートマッチン
グを正規化相関値を用いて行っているから、画像の明る
さの変動やピントぼけに強い濃淡パターンマッチングが
可能であり、また二次元データを一次元データに簡略化
してから相関計算を行うので、式[数9]〜[数11]
及び[数13]〜[数15]に見られるように、それぞ
れ M 回の加算演算が主要な演算量となり、従来の M2
回の演算量に比べて大幅に演算時間を短縮できる。
グを正規化相関値を用いて行っているから、画像の明る
さの変動やピントぼけに強い濃淡パターンマッチングが
可能であり、また二次元データを一次元データに簡略化
してから相関計算を行うので、式[数9]〜[数11]
及び[数13]〜[数15]に見られるように、それぞ
れ M 回の加算演算が主要な演算量となり、従来の M2
回の演算量に比べて大幅に演算時間を短縮できる。
【0016】
【発明の効果】本発明によれば、所要の画像とテンプレ
ートによるテンプレートマッチング処理を、二次元デー
タを一次元データに簡略化して正規化相関値を求めるこ
とにより行うから、演算回数を大幅に減らすことがで
き、かつ明るさの変動やピントぼけに強い濃淡パターン
マッチングができるという効果がある。
ートによるテンプレートマッチング処理を、二次元デー
タを一次元データに簡略化して正規化相関値を求めるこ
とにより行うから、演算回数を大幅に減らすことがで
き、かつ明るさの変動やピントぼけに強い濃淡パターン
マッチングができるという効果がある。
【図1】テンプレートマッチング処理のフローチャート
である。
である。
【図2】正規化相関値演算部のフローチャートである。
【図3】本発明の一実施例を示すブロック図である。
1 画像処理装置 2 カメラ 12 主制御部 13 投影分布演算部 14 正規化相関値演算部 15 相関値比較部
Claims (2)
- 【請求項1】 検出対象とする濃淡パターンを矩形のテ
ンプレートとして与え、該テンプレートより大きい濃淡
画像が与えられたときに該濃淡画像内の上記テンプレー
トの示す濃淡パターンに一致するパターンを検出するた
めの濃淡パターンのマッチング方法において、上記与え
られた濃淡画像から上記テンプレートと同じ大きさの部
分画像を順次切り出し、該切り出した部分画像の各々に
ついて、当該部分画像及び上記テンプレートの各々の縦
方向及び横方向一次元投影データを算出し、さらに上記
算出した部分画像とテンプレートとの縦方向一次元投影
データ間の相関を示す縦方向正規化相関値と横方向一次
元投影データ間の相関を示す横方向正規化相関値とを算
出し、こうして算出した上記縦方向および横方向正規化
相関値が共に最大となる位置の部分画像画がテンプレー
トに一致すると判定することを特徴とする濃淡パターン
のマッチング方法。 - 【請求項2】 検出対象とする濃淡パターンを矩形のテ
ンプレートとして与え、該テンプレートより大きい濃淡
画像が与えられたときに該濃淡画像内の上記テンプレー
トの示す濃淡パターンに一致するパターンを検出するた
めの濃淡パターンのマッチング回路において、与えられ
た矩形画像データの横方向の各行毎にその行の画素の明
るさを示す画素値を加算して生成した縦方向一次元投影
データと縦方向の各列毎にその列の画素の上記画素値を
加算して生成した横方向一次元投影データとを算出する
ための投影分布演算手段と、2つの一次元投影データの
正規化相関値を算出するための正規化相関値演算手段
と、上記与えられた濃淡画像から上記テンプレートと同
じ大きさの部分画像を順次切り出し、該切り出した部分
画像の各々について、当該部分画像及び上記テンプレー
トの各々の縦方向及び横方向一次元投影データを上記投
影分布演算手段により算出させ、さらに上記算出した部
分画像とテンプレートとの縦方向一次元投影データ間の
相関を示す縦方向正規化相関値と横方向一次元投影デー
タ間の相関を示す横方向正規化相関値とを上記正規化相
関値演算手段により算出させるように制御する制御手段
と、こうして算出した上記縦方向および横方向正規化相
関値が共に最大となる位置の部分画像画がテンプレート
に一致すると判定する比較判定手段とを備えたことを特
徴とする濃淡パターンのマッチング回路。
Priority Applications (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
JP3303954A JPH05114028A (ja) | 1991-10-23 | 1991-10-23 | 濃淡パターンのマツチング方法、濃淡パターンのマツ チング回路 |
Applications Claiming Priority (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
JP3303954A JPH05114028A (ja) | 1991-10-23 | 1991-10-23 | 濃淡パターンのマツチング方法、濃淡パターンのマツ チング回路 |
Publications (1)
Publication Number | Publication Date |
---|---|
JPH05114028A true JPH05114028A (ja) | 1993-05-07 |
Family
ID=17927286
Family Applications (1)
Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
---|---|---|---|
JP3303954A Pending JPH05114028A (ja) | 1991-10-23 | 1991-10-23 | 濃淡パターンのマツチング方法、濃淡パターンのマツ チング回路 |
Country Status (1)
Country | Link |
---|---|
JP (1) | JPH05114028A (ja) |
Cited By (3)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
US6721462B2 (en) | 2000-02-18 | 2004-04-13 | Fujitsu Limited | Image processing unit |
WO2005045762A1 (en) * | 2003-11-05 | 2005-05-19 | Koninklijke Philips Electronics N.V. | Tracking of a subimage in a sequence of images |
JP2015179412A (ja) * | 2014-03-19 | 2015-10-08 | 日本電気株式会社 | 画像位置探索装置及び画像位置探索方法 |
-
1991
- 1991-10-23 JP JP3303954A patent/JPH05114028A/ja active Pending
Cited By (3)
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---|---|---|---|---|
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