JPH04503725A

JPH04503725A - フラクタル次元を使用した中間調画像のしきい値判断方法および装置

Info

Publication number: JPH04503725A
Application number: JP2505017A
Authority: JP
Inventors: プラカッシュ，エイラン
Original assignee: イー・アイ・デュポン・ドゥ・ヌムール・アンド・カンパニー
Priority date: 1989-02-28
Filing date: 1990-02-20
Publication date: 1992-07-02
Also published as: DE69028699T2; CA2011096A1; EP0462208B1; WO1990010278A1; IL93561A0; EP0462208A1; US5054101A; EP0462208A4; ATE143518T1; DE69028699D1

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるため要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】フラクタル次元を使用した中間調画像のしきい値判断方法および装置本明細書の開示事項には、著作権保護の対象となっている記載部分がある。著作権者は、米国特許商標局の特許ファイルまたは記録簿に記載されている通りに、特許明細書または特許開示事項を第三者がファクシミリにより複写することを妨げるものではないが、他の方法による場合は、−切の著作権を有することを留保する。

及豆Ω丘ヱ本発明は２次元グレー・レベル（中間調）画像の分析方法および装置に関し、特に、フラクタル次元を用いてかかる分析を行う方法および装置に関する。

１土１五二ｆｌグレー・スケール（中間階調）画像で表示するとき、グレー・スケール画像を対応する２進値画像に変換することが、種々の理由から、望ましいとされている。

この変換を行うために、画像は所定数の画素（「ビクセル」）に細分化されて、各ビクセルのグレー・レベル（中間調）がしきい値と比較されている。１つの代表例として、選択したビクセルのグレー・レベルがしきい値をこえていると、そのビクセルに所定の２進値が割り当てられている。逆に、そのグレー・レベ゛　ルがしきい値以下であるときは、別の２進値がそのビクセルに割り当てられる。

しきい値は、問題とするビクセルの周囲の画像の局所的部分、つまり、局所にあるビクセルのグレー・スケール・レベルの所定の関数関係として、代表例としては、平均値として判断される。しきい値を生成するために使用される局所の大きさをどのように判断するかが、重要な考慮要因となっている。

代表的なしきい値設定方式の例としては、米国特許第４，４６８，７０４号（Ｓｔｏｆｆｅｌ　ｅｔ　ａｌ）　、米国特許第４．４４２．５４４号（Ｍｏｒｅｌａｎｄ　ｅｔ　ａｌ）、米国特許第４、５４７．８１１号（Ｏｃｈｉ　ｅｔ　ａｌ）、米国特許第４．７１０．８２２号（Ｍａｔｓｕｎａｗａ）　、米国特許第４，５０１，０１６号（Ｐｅｒｓｏｏｎ　ｅｔａｌ）、米国特許第４．６５６．６６５号（Ｐｅｎｎｅｂａｋｅｒ）、米国特許第４．７３６．４３９号（Ｍａｙ）　、米国特許第４，６８５．１４５号（Ｓｃｈｉｌｌｅｒ）、米国特許第４．７４２．５５７号（Ｍａ）、米国特許第４．７３１．８６３号（Ｓｅｚａｎ　ｅｔ　ａｌ）の各明細書に開示されているものがある。

光旦」ど１ね本発明によれば、しきい値がめられる画像の局所は、画像のフラクタル次元を用いて判断される。２次元画像から、２次元画像の平面に重なる対応する仮定上の３次元画像の表面積属ｒ）が、さまざまな解像度スケールで計算される。仮定上の３次元表面のある部分が２次元画像の所与のビクセルの上に位置する高さは、そのビクセルのグレー・レベルと関数的に関係づけられている。表面のフラクタル次元は、解像度スケールｒの対数の変化率に対する面積Ａ（ｒ）の対数の変化率を、次の関係式に従って計算することによってめられる。

Ｄ（ｒ）　＝　２−ｄ［ｌｏｇ　Ａ（ｒ）］／ｄ［ｌｏｇ（ｒ）］局所の次元は、フラクタル次元が最大のときの特定の解像度スケールｒ＋ａｍｘと相関関係にある。本発明の好適実施例では、局所はビクセルの平方配列からなり、その寸法は値ｒ、１８より所定の係数（２０％以下が代表例）だけ大きくなっている。

画像のフラクタル次元を用いて所定の局所の次元がめられると、次に、グレー・レベル値が計算される。このグレー・レベルは、所定の局所内に置かれているビクセルのグレー・レベルと所定の関数関数（代表例としては、平均値）をもっている、このグレー・レベル値は、所与のビクセルのグレー・レベルが対比されるしきい値を規定している。この比較結果に従ってそのビクセルに２進値が割り当てられる。

好適実施例では、本発明はプログラムに従って動作するディジタル・コンピュータを使用して実現されている。計算効率を向上するために、フーリエ領域で面積を計算する方法が採用されている。

１１立１皇皇旦ｊ以下、添付図面を参照して本発明について詳しく説明する。

第１図は任意の２次元グレー・レベル画像を示した図である。

第２図は第１図のグレー・レベル画像に対応する仮定上の表面を３次元で表わした態様図である。

第３図は２次元画像を解像度の関数として表わした゛３次元表面のフラクタル次元のグラフ図である。

第４図は第１図のグレー・レベル画像を第２図に示す仮定上の３次元で表わした画像の表面積を本発明に従って計算したときの近似値を示す概略図である。

第５図は本発明を実施するための装置を示した概要ブロック図である。

第６図は本発明の好適実施例を実施するための装置を示した詳細ブロック図である。

第７ａ図、第７ｂ図および第７Ｃ図は、背景を変化させたときに画像に及ぼす影響を示した写真である。

第８ａ図、第８ｂ図１第８ｃ図および第８ｄ図は、所定の倍率スケールのときの場面を示した写真である。

第９図はさまざまな解像度スケールのときの第８ａ図、第８ｂ図、第８ｃ図および第８ｄ図の画像のフラクタル次元を示したグラフ図である。

第１０ａ図、第１０ｂ図、第１０ｃ図および第１０ｄ図は、本発明の方法と装置を用いて作製され、それぞれが第８ａ図、第８ｂ図、第８ｃ図および第８ｄ図に対応する２進値画像を示した写真である。

本明細書の付録として、第６図に示した本発明の実施例を実施するためのコンピュータ・プログラムをＦＯＲＴＲＡＮ　７７ソ一ス言語でコーディングしたコンピュータ・プログラムのリストが掲載されている。

１更立ユ亙皇且１以上の詳細な説明において、添付図面の各図に示されている同種部品または要素は、同じ図面符号を付けて示している。

第１図は、任意の２次元グレー・レベル（中間調）画像１０を示したものである。画像１０は、符号１２−Ａ〜１２−Ｐを付けて示した所定数のビクセルに細分化されている。ビクセルのうち最も暗いビクセル（つまり、ビクセル１２−Ａ〜１２−Ｅ、　１２−）１．１２−Ｉおよび１２−Ｌ〜１２−Ｐ）は本出願の目的上斑点を付けた陰影で示されている。ビクセル１２−Ｆと１２−Ｊは明るくなっており、とクセル１２−にはさらに明るくなっている。ビクセル１２−Ｇは最も明るくなっている。グレー・レベルで表わすと、ビクセル１２−Ｇはグレー・レベルがＬｏ、ビクセル１２−にはグレー・レベルがＬ８、ビクセル１２−Ｆと１２−Ｊはグレー・レベルがＬＦおよびり、であるという。グレー・レベルＬ０はグレー・レベルＬ、より大きく、グレー・レベルＬＫハクレー・レベルＬｒおよびＬＪより大き（なっている。

第２図は第１図に示すグレー・レベル画像１０を仮定上の３次元で表現した高度の態様図である。第２図の画像は、隣り合うバイロン１４から構成された３次元面と見ることができる。各バイロン１４は上面１６と側面１８をもっている。所与のバイロン１４の上面１６がベース平面２０と重なり合う距離はそのビクセルのグレー・レベルと関数的に関係づけられている。ここに示されている系では、グレー・レベルの小さいビクセルは、基準面の上方の距離がグレー・レベルの大きいビクセルよりも小さくなっている。従って、とクセル１２−Ａ〜３２−Ｅ、　１２−Ｈ，１２−１、および１２−Ｌ−１２−Ｐに関連するバイロン１４は、第１図に示す対応するビクセルのグレー・レベルがゼロであるので、高さがゼロである。

第２図に示すように、ビクセル１２−Ｇはそれに関連づけられたグレー・レベルがＬ６であるので、バイロン１４−Ｇの上面１６−Ｇは距離Ｌａが基準面２０上方に延長している。同様に、ビクセル１２−にはそれに関連づけられたグレー・レベルがり、であるので、バイロン１４−にの上面１６−には距離り、が基準面２０の上方に延長している。距離り、が距離Ｌ０より小さいのは、それぞれの対応するビクセルのグレー・レベルに差があるためである。上記と同様に、ビクセル１２−Ｆと１２−Ｊはそれぞれグレー・レベルＬｒとＬＪが相対的に小さいので、それぞれのバイロン１４−Ｆと１４−Ｊの上面１６−Ｆと１６−Ｊは距離り、とり、が基準面２０の上方に延長している。第２図に示すように、基準面２０は、座標軸２２で示すようにデカルト（平行）座標面ｘ＋３’に位置するように示されている。Ｚ軸はグレー・レベルの明るさＬを示している。これについては後述する。

注目すべき点は、２次元画像ｌＯを２次元空間内に写偉し、２次元画像１０の中のビクセルを使用して３次元空間内の仮定上の表面２４の輪郭を定義できることである。どの２次元グレー・レベル画像１０も、第１図と第２図に簡略化して示した原理を用いて、対応する３次元表面２４に変換することが可能である。

２次元画像１０が仮定上の３次元面（基準面２０内のｘ、ｙ座標で定義された所与の位置における基準面２０の上方の高さがその位置の対応する画像のグレー・レベルに関数的に関係づけられている）として定義されれば、次に、面の面積は次のように近似値をめることができる。

３次元面のフラクタル次元は、３次元空間内の面の「粗さ」の尺度として直観的に見ることができる。フラクタル次元は、より厳密には、さまざまな解像度スケールｒの面の面積Ａの対数と解像度スケールｒの対数との変化率であると数学的に定義することができる。これを記号で表わすと、次のようになる。

Ｄ（ｒ）　＝　２−ｄ［ｌｏｇ　Ａ（ｒ）］／ｄ［ｌｏｇ（ｒ）］　（１）ただし、Ｄはフラクタル次元ｒは解像度スケールＡ（ｒ）は解像度スケールｒの面の面積現実の場面を異なる解像度スケールで画像化することは、画像装置の倍率を変えることで得られる。しかし、コンビ二一夕のメモリにストアされている画像の倍率を変えることは不可能である０倍率によって得られる、これと同じ効果は、面２４を螺旋状に巻き込み、解像度スケールｒに等しい辺をもつ平滑化した窓をシミエレートすることにより、コンピュータにストアされた画像に対して実行することができる。この方法によると、２次元グレー・レベル画像１０に対応する３次元面２４の面積Ａを、所定数の解像度スケールｒの各々で計算することができる。

式（１）でめた仮定上の３次元面のフラクタル次元Ｄ（ｒ）を第３図に示すように解像度スケールｒの関数として作図すると、その曲線はｒがある値のときピークを示している。以下、これをｒｌ、つということにする。

本発明によれば、作図のピークは値ｒ１．８のとき現われ、この値は２次元画像の中の関心のある特徴間の平均距離と密接な関係があることが判明した。

本発明によれば、フラクタル次元の作図のピークが現われる解像度スケールｒの値ｒ□工は、基準グレー・レベル値がめられる局所（ｌｏｃａｌｉｔｙ）を定義する上で有用な指標となることが判明した。この関係は第３図の下方に示されている。勿論、前述したように、この基準値を使用すれば、２次元グレー・レベル画像１０を対応する２道値画像に変換することが可能である。

局所は、関心のあるビクセルの所定距離内に位置するビクセルの配列として定義することができ、その場合、その所定距離はフラクタル・ピークが現われる解像度スケールｒの値ｒ１．８と関係がある。局所は、配列を構成するビクセルの平方配列９円形配列、あるいはその他の所定形状の配列として形成することが可能である０局所は関心のあるビクセルを中心に置いた平方配列の形状にして、配列の各辺の寸法を値ｒｍａｘに関係づけることが好ましい、第３図の下方には、２つの局所が示されている０局所１と２は、それぞれが周囲に画像の２つの所与のビクセル、つまり、ビクセル１と２をもつ平方のビクセル配列として示されている。各平方配列の寸法は、ｒ、ａｘ値と関係づけられている。関心のあるビクセルは居所の中心にできる限り近接した位置にあるべきである。

このような平方ビクセル配列の寸法が解像度スケールｒ□８より小さくなるように選択すると、関心のある特徴をもたない局所が画像内に生じるという可能性がある。このようなことが起こると、変換された画像に雑音が入り込むことになる。逆に、寸法が値ｒ１．８より太き（なるように選択すれば、背景の変化を扱う能力が減少することになる。目標は、特徴と背景の両方を含む最小の局所を選択することである。平方局所が値ｒゆ、Ｘより若干大きくなるように定義する所定の寸法を選択すれば、この目標が達成される。ここで「若干大きい」とは、所定の距離が値ｒｗａａ工よりも２０％を越えていないことを意味する。つまり、平方の寸法は２０％を越えない範囲で値ｒｍａｘより大きいことを意味する。

局所が平方以外の形状であるときは、寸法パラメータのうちの少なくとも１つが値１”ｍａｘと関係づけられる。

局所が定義されると、次に、その局所が取り巻くビクセルについて基準しきい値が計算される。好適実施例では、このしきい値は、その局所内の各ビクセルのグレー・レベルの平均をとることによって計算される。しかし、しきい値は、局所内のビクセルのグレー・レベルとどのような所定の関数関係があっても、それを満足できることは勿論である。

次に、所与のビクセルのグレー・レベルがそのビクセルが取り巻く局所からめたしきい値と比較され、その比較結果に従ってビクセルに２進値が割り当てられる。好適実施例では、選択したビクセルのグレー・レベルがその局所からめたしきい値より大きければ、所定の２進値がそのビクセルに割り当てられる。

グレー・レベルがその局所からめたしきい値以下であれば、別の２進値がそのビクセルに割り当てられる。

基準しきい値は、同じ寸法と同じ平方形状をもつ各ビクセルの局所を使用して、画像内の各ビクセルごとに同じ方法で計算される。

全体の過程は、仮定上の３次元面の面積の解像度スケールが異なるとき、どのように計算されるかによって決まる。最初に、表面積の計算プロセスについて検討する。まず、第２図の各バイロンをＺ方向に延長した対応する線２８（第４図）で置き換え、各バイロンの起点となるビクセルの中心に位置するものとして考えると、面積が想像できる。線２８の高さはその線で置き換えられたパイロンの高さと等しい、従って、画像全体は２方向に高さが変化する一連の線に集約される。

次に、かかる一連の線上に置かれた弾力性をもつシートを考え、シートを静置し、すべての線の上部に接触させ、線間の連続する面として引き伸せば、面を想像することができる。このように引き伸したシートの面積が画像の仮定上の表面積である。

第４図は、上述した仮定上の表面積の近似値２４°を示した概略図である。基準面２０は座標軸ｘ、ｙの平面に位置するものと定義されているので、ビクセル１２−〇は座標（ｕ、ｖ）を参照することによって位置が決められるものとすれば、ビクセル１２−には座標（ｕ、ｖ＋１）を参照することによって位置が決められ、ビクセル１２−Ｆは座標（ｕ＋１．ｖ）を参照することによって位置が決められ、ビクセル１２−Ｊは座標（ｕ＋１．ｖ＋ｌ）を参照することによって位置が決められる。

任意のビクセルがｘ＋　ｙ平面内の位置（ｕ、ｖ）に置かれているとして１　（ｕ、ｖ）をそのグレー・レベルとすれば、ビクセル１２−Ｇ、　１２−におよび１２−Ｊについては、次のようになる。

第４図のＸ＋　ｙ平面に直交して点ＬＯ，ＬＰ’、　ＬＦおよびＬＪまで延びた線２ｇ−Ｇ、　２８−に、　２８−Ｆおよび２８−Ｊは、上述したように、パイロン１４を置き換えた＆Ｉ２８に対応している。

点（ｕ、　Ｖ、　ｔ、ａ）は第４図ではＲの文字で示され、点（ｕ＋１．Ｌｒ）はＳの文字で示され、点（ｕ　＋ｙ　＋　１　＋　ＬＩＫ）はＴの文字で示され、点（ｕ＋１゜Ｖ＋ｌ、ＬＪ）はＵの文字で示されている１点Ｒ，ＳおよびＵを結ぶと、面積Ａ　（ｕ、ｖ）をもつ三角形が形成される。同様に、点Ｒ，ＴおよびＵを結ぶと、面積Ａ’（ｕ、ｖ）をもつ三角形が形成される。

同じように、画像全体にわたって隣接するビクセル間に三角形を描くことができる。ＮＸＮの画像の場合、面積はＡ　（０，Ｏ）、Ａ’（０，Ｏ）。

Ａ　（Ｎ−１，Ｎ−１）、Ａ’（Ｎ−１，Ｎ−１）となる。画像の表面積Ａ　（ｒ）は、本発明によれば、三角形の面積Ａ　（ｐ、ｑ）とＡ’（ｐ、ｑ）のすべてのｐとすべてのｑの総和である。これを記号で表わすと、次のようになる。

ただし、ｐとｑはゼロから（Ｎ−１）までの範囲である。

次に、解像度スケールｒの変化をシミュレートするように画像を平滑化するプロセスについて検討する。

Ａ（１）は平滑化する前の元の画像（つまり、解像度スケールが１の）の表面積である。解像度スケールｒの表面積をめるために、元の画像は先ず、ｒＸｒの窓を用いて平滑化される。これは、元の画像のすべてのビクセル間るさをその周囲のｒＸｒ窓内に位置するすべてのビクセルの平均明るさで置き換えることによって行われる。これを元の画像のすべてのビクセルについて行うと、平滑化された画像が得られる。平滑化された画像が得られたら、次に、その面積Ａ（ｒ）を上述した方法で計算することができる。このようにして、Ａ（ｒ）はある範囲の解像度スケールｒについて計算される。最終的に、Ｄ（ｒ）が式（１）に従って計算される。

上述したように、フラクタル次元Ｄ（ｒ）を計算するためには、画像を平滑化し、ｒの値範囲にわたって繰り返しその表面積を計算する必要がある。実際には、本発明を空間（現実の）領域で実施することは、計算が高価になる。従って、好適実施例では、本発明は関連アレイ・プロセッサを備えたディジタル・コンピュータを使用して、フーリエ領域で実施される。この手法については、以下で説明する。

すでに説明したように、また第４図に示すように、三角形ＲＳＵとＲＴＵは、３次元空間の中の任意の３点を結ぶことで形成できる。このような三角形の面積は、三角形の辺を形成する任意の２つのベクトルの２乗積から得たベクトルの大きさの１７２である。ビクセル（ｐ、ｑ）のときは、これは次式から得られる。

Ａ（ｐ、ｑ）　＝：　１／２（（１（ｐａｌ、ｑ）−１（ｐ、ｑ））”＋　［１（ｐａｌ、　ｑ＋１）−１（ｐａｌ、　ｑ）］”＋１）　””Ａ’（ｐ、ｑ）　＝　１／２（［１（ｐ、ｑ÷１）−１（ｐ、ｑ））”＋　Ｅｌ　（ｐ、　Ｑ＋１）−１（ｐａｌ、　ｑ＋１）］　”÷１）　１／−すべてのｐ、ｑにわたるＡ　（ｐ、ｑ）とＡ’（ｐ。

ｑ）の総和は画像の近似表面積である。しかし、面積の各々の２乗を総和する方法をとると、計算が単純化される。また、理解されるように、主な関心事は、１つの画像の解像度スケールが変化したとき、表面積がどのように変わるかということである。フラクタル次元の絶対値は、局所のサイズをめる上では重要でない、実際には、三角形の面積の２乗を総和すると、表面積が解像度スケールと共に変化することが強調されるので、そうすることが望ましい。

次に、面積［Ａ　（ｐ、ｑ）］　”は、［Ａ（ｐ、ｑ）］”　＝１／４（［１（ｐ＋１．ｑ）−１（ｐ、ｑ）］”＋　［１（ｐ＋１．］＋１）−１（ｐ十ｌ、ｑ）］”］＋）であり、面積Ａ’（ｐ、ｑ）は、［Ａ’（ｐ、ｑ）］”＝　１／４（［１（ｐ、］＋１）−１（ｐ、ｑ）］”＋　［１（ｐ、］＋１）−１（ｐ＋１．］＋１）］”］＋）であるので、画像の総面積は次のようになる。

総面積総面積式（４）からは、解像度スケールｒの表面積要素の２乗の和が得られる。解像度スケールが異なる表面積をめるには、元の画像を先ず、長さが解像度係数と等しい辺をもつ平坦な平方平滑窓によって平滑化し、次に画像の表面積を計算する。

次に、平滑化と面積の計算を近似化する別の方法について説明する。この方法によると、計算が高速化する。

Ｙ　（ｋ、ｈ）を元の画像をＦ　（ｍ、ｎ）を平滑化した画像であるｌ　（ｐ、ｑ）のフーリエ変換であるとする。ただし、ｋ＋　ｈ＋　ｐ＋　］＋　ｍおよびｎは変数であり、ゼロから（Ｎ−１）までの正数値をとることができる。

ただし、Ｗ”””’　＝　ｅｘｐ［−１（２π／Ｎ（ｋｐ＋ｈｑ）］、および］＋５丁　である。

１　（ｐ＋ｌ、ｑ）は１　（ｐ、ｑ）をシフトした画像である。従って、フーリエ変換は次のようになる。

ｔ’　Ｙ（ｋ、ｈ）　（６）バルセバル（Ｐａｒｓｅｖａｌｓ）論理（画像のエネルギは、空間領域とフーリエ領域のどちらでも同じであるとする理論）を式（４）に適用すると、次のようになる。

Ａ　（ｒ）上述したように、１　（ｐ、ｑ）は元の画像Ｆ　（ｍ。

ｎ）を平滑化した画像である。表面積Ａ（ｒ）をめるために使用した平滑化窓は、高さ１／ｒ２のｒＸｒ平坦窓である。

１　（ｓ、　ｔ）＝　１／ｒ”［Ｆ（ｍ、ｎ）＋Ｆ（ｍ＋１．ｎ）＋　＋＋　＋Ｆ（ｍ＋ｒ−１，ｎ）＋Ｆ（ｍ、ｎ＋１）＋Ｆ（ｍ＋１．ｎ＋１）十　−−−＋Ｆ（ｍ＋ｒ−１，ｎ＋１）＋　・−＋Ｆ（ｍ、ｎ＋ｒ−１）＋　−＋Ｆ（ｍ＋ｒ−１）、ｎ＋ｒ− １）］ただし、ｓ　＝ｍ−１＋（ｒ／２）　、　ｔ　＝ｍ−１＋（ｒ／２）（ｒが偶数のとき）、ｓ＝ｍ−１÷［（ｒ−１）／２］　、　ｔ　＝　ｍ−１＋　［（ｒ−１）／２］（ｒが奇数のとき）である。

式（８）のかっこ内の各項は元の画像Ｆ　（ｍ、ｎ）をシフトした像である。フーリエ領域では、Ｚ　（ｋ。

ｈ）がＦ　（ｍ、ｎ）のフーリエ変換であるとすると、Ｙ　＝　（ｋ、ｈ）＝Ｚ（ｋ、ｈ）ｒ−”［ｌ＋Ｗ−’＋−＋ｗ−（ｒ−１ｌｋ＋Ｗ−”＋Ｗ−’Ｗ −”＋　、、、　４Ｗ−１ｒ−１１ｋｌｌ−ｉ＋　ｗ−＋ｒ−１１ｎ４　、、、４．ｆ　＋ｒ−１１’Ｗ−ｆｒ−Ｎ　ｈ３式（９）の中かっこ内の項は次のように書（ことができる。

（１＋ｔ’＋−＋Ｗ−１”ｌＩ″ｌ＋Ｗ−”＋　、−，４１ｍ−１１１１）＋［（１−Ｗ″″′）／（１−Ｗ−”）］　［（１−Ｗ″”）／（１−Ｗ−’）］（９Ａ）従って、式（９）は次のように書くことができる。

Ｙ（ｋ、ｈ）＝　ＩＺ（ｋ、ｈ）／ｒ”ｌ　［（１−Ｗ−”）　（１４−″）］／［（１−４ ″”）　（１−Ｗ−’）］式（１０）を式（７）に代入すると、次のようになる。

Ａ（ｒ）ｘ　［（Ｗ−に−１）　（Ｗ’−１）　（１−Ｗ−”）　（１−Ｗ−Ｔ′）　（１−Ｗ”）　（１−４”）］／［（１−ｔ”）　（１−Ｗ””ｌ　（１−Ｗ？′ ）　（１−Ｗ１′）］ｘ　［（Ｗ−ｈ−１）　（Ｗ”−１）　（１−ｔ”）　（１−Ｗ−”）　（１−Ｗ”）　（１−Ｗ”ｌ］／［（１−Ｗ−”）　（１−Ｗ− ’）　（１−Ｗ″）　（１−Ｗ’）］次式のようになることは分かっているので、−ｈ＝　ｅｘｐ　［ｉ　（２ｚ　／Ｎ）ｈｌ＝ｃｏｓ　（２ｉ／Ｎ）ｈ＋ｉ　５Ｌｎ（２π／Ｎ）ｈ　（ＩＩＡＩ上記等式を用いると、式（１１）を次のように１（ことができる。

Ａ（ｒ）ｘ　（２−２ｃｏｓ（２ｉ／Ｎ）ｒｋＪ　［２−２ｃｏｓ（２ｉ／Ｎ）ｒｈｌ／［２−２０Ｏ８（２７Ｃ／Ｎ）ｈｌｘ　［２−２ｃｏｓ（２ｘ／Ｎ）ｒｋＪ　［２−２ｃｏｓ（２ｚ／Ｎ）ｒｈｌ／［２−２ｃｏｓ（２ｘ　／Ｎ）ｋｌあるいは、Ａ　（ｒ）ｘ　［１−ｃｏｓ（２ｚ　／Ｎ）ｒｋＪ　［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｒｈｌ／［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｈｌｘ　［１−ｃｏｓ（２πハ）ｒｋＪ　（１−ｃｏｓ（２ｉ　／Ｎ）ｒｈ］／Ｅｌ −ｃｏｓ（２ｒｔ　／Ｎ）ｋｌ式（１３）は次のように並べ替えることができる。

Ａ（ｒ）Ｘ　［１−ｃｏｓ（２π　／Ｎ）ｒｋ）［１−ｃｏｓ（２π　／Ｎ）ｒｈＪＸ　（１／［１−ｃｏｓ（２ｘ　／Ｎ）ｈｌ＋１／［１−ｃｏｓ（２ｘ　／Ｎ）ｋｊ）式（１４）が意味している計算は、左右対称であることに注目して２の係数で約分することができる。現実の画像では、フーリエ変換は起点を中心とする共役対称であることは知られている。従って、和の項は次のように２つの和の項に分割することができる。

Ｘ　（（１／［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｈｌ）＋（１／（１−ｃｏｓ（２ｚ　／Ｎ）ｋｊ））ＸＺ（ｋ、ｈ）Ｚ責に、　ｈ）Ｘ　（（１／　［１−ｃｏｓ　（２π／Ｎ）ｈｌ　）＋　（１／　［１−ｃｏｓ　（２ｘ　／Ｎａｋ］　）　）ＸＺ　（ｋ、　ｈ）　Ｚ’　（ｋ、　ｈ）式（１５）の２番目の和は次のように書き替えることができる。

Σ　Σ　Ｅｌ−ｃｏｓ（２ｔ　／Ｎ）ｒｋｌＸ　［１−ｃｏｓ（２ｚ　／Ｎ）ｒ（Ｎ−ｈ）］Ｘ　（（１／　（Ｉ−ｃｏｓ　（２７Ｃ／Ｎ）　（Ｎ−ｈ）Ｊ）＋　（１／　［１−ｃｏｓ　（２Ｋ　／Ｎ）ｋｊ　）　＞Ｘ　Ｚ（ｋ、Ｎ−ｈ）Ｚ ”（ｋ、Ｎ−ｈ）ｃｏｓ　（２π／Ｎ）　（Ｎ−ｈ）］　＝　ｃｏｓ　（２π／Ｎ）ｈであり、Ｚ（ｋ、Ｎ−ｈ）＝Ｚ”（ｋ、ｈ）　テあるから、式（１４）は次のようになる。

Ａ　（ｒ）Ｘ　［１−ｃｏｓ（２ｚ　／Ｎ）ｒｈＪＸ　（（１／［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｈ］＋　（１／［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｋｌ）ＪＸＺ（ｋ、ｈ）Ｚ責に、ｈ）面積Ａ　（ｒ）の計算は式（１６）に示すように実行される。

この形式にすると、平滑化と面積の計算ステップは共に１つの非線形演算に併合される。この式を適当な方法で取り入れると、高速化するという利点が得られる。その理由は、画像のフーリエ変換を乗算する係数が画像から独立しており、事前に計算して、必要時に使用できるようにメモリにストアしてお（ことができるからである。さらに、フーリエ変換は全空間の周期性を前提としているので、画像のエツジとコーナ付近のビクセルに、折り返された画像からのビクセルが自動的に含められる。

第５図は、概略図で３２に示した現実世界の風景の２次元グレー・ｌ／ベル画偉を対応する２進値画像３４に変換するための装置（全体を符号３０で示している）のブロック図を示すものである。

カメラまたは他の画像収集装置３６は、風景３２の２次元グレー・レベル画像を作り出す。全体を３８で示した手段は、カメラ３６で作られた画像をディジタル化し、それを各々が間違づけられたグレー・レベルをもっている所定数の画素（ビクセル）に細分化する。画像は、ＮＸＮ個のビクセルの平方配列に配列される。

全体を符号４２で示した手段は、２次元画像をディジタル化したグレー・レベルで表現したものから、様々な解像度スケールの２次元画像の平面に重なる対応する仮定上の３次元画偉の表面積Ａ（ｒ）を計算するように動作する。第１図〜第３図を参照して説明したように、表面の一部が２次元画像の中の所与のビクセルの情報に位置している高さは、そのビクセルのグレー・レベルと関数関係にある。一般的に、手段４２は、式（２）に従って表面積を計算するように作られている。

全体を符号４６で示す手段は、式（１）に従って表面のフラクタル次元を計算するように動作する。この計算結果をグラフにして示したのが第３図である。

手段５０は、手段４６で行ったフラクタル次元の計算の結果を受けて、基準グレー・レベルがめられる局所の大きさを判断する働きをする０局所の大きさは、上述したように、それから所与のビクセルの基準が判断されるそのビクセルの周囲の所定距離を定義する値ｒｍａｘ　（第３図）と関係がある。

手段５４は、手段５０で得られた局所のサイズの判断と局所内のビクセルの実際のグレー・レベル値（ライン５８を経由して入力される）を受けて動作し、画像の中のすべてのビクセルの基準しきい値を生成する。所与のビクセルの基準しきい値は、従って、局所内のビクセルのグレー・レベルと関数関係がある。この基準はグレー・レベルのそのままの平均を用いて生成するのが好ましい０局所内のビクセルのすべてまたはそれ以下を利用して、他の関数関係式を用いることも、勿論可能である。

手段６０は、２次元画像内の各ビクセルのグレー・レベルを対応する２進値表現の画像に変換する働きをする。これは、各ビクセルのグレー・レベル（ライン６４を経由して入力される）をそのビクセルの基準しきい値グレー・レベル（手段５４から得られた）と比較することによって行われる。比較結果に従って、各ビクセルに２進値が割り当てられる。対応する２進値画像３４が結果として得られる。

装置３０は、プログラムに従って動作するディジタル・コンピュータを使用して構築することが好ましい、しかし、前述したように、第５図の４８に１つにまとめた機能ブロック、つまり、面積計算（手段４２）とフラクタル次元計算（手段４６）を空間領域で実行することは、計算が高価になる可能性がある。従って、第６図に示すのが、第５図に示す装置３０と類似しているが、本発明をフーリエ領域で実施する装置３０゛の概略ブロック図である。全体的には、装置３０°は第５図に示した装置３０に似ているが、主な違いは、式（５）〜（１６）の説明箇所で得た手法に従って面積とフラクタル次元を計算する機能ブロック４８゛内に機能要素が集約されていることである。

第６図に示す本発明の実施例は、プログラムに従って動作するディジタル・コンピュータを使用して実現することができる０本明細書の付録として、これから説明する機能を実行するように動作するプログラムをＦｏｒｔｒａｎ　７７言語で書いたコーディング・リストが掲載されている。このプログラムの主要部分はこのリストのＡ−１ページとＡ−２ページに記載されている。好適実施例では、装置はＤｉｇｉｔａｌ　Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ　Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎから製造、販売されているＭｉｃｒｏＶＡＸディジタル・コンピュータを搭載し、そのプロセッサとして、５ｋｙＣｏａ＋ｐｕｔｅｒｓ　Ｉｎｃ、からＳｋｙ　Ｗａｒｒｉｏｒ　Ａｒｒａｙ　Ｐｒｏｃｅｓｓｏｒの名称で製造、販売されているアレイ・プロセッサが搭載されている０手段３８はＤａｔａ　ＴｒａｎｓｌａｔｉｏｎＩｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｄからＤＴ２６５１１１の名称で製造、販売されているフレーム・グラバ−（ｆｒａｍｅ　ｇｒａｂｂｅｒ）が実装されている。

第６図の実施例における手段４８°は、ディジタル化手段３８から得た画像のフーリエ変換を計算するように動作する手段６２を備えている。すなわち、すべてのｋとｈに対する式（１６）中の項ｚ　（ｋ、ｈ）が計算される。この種の計算は市販されているサブルーチンを使用して実行することができる０例えば、上記アレイ・プロセッサ用にＳｋｙ　Ｃｏａ＋ｐｕｔｅｒｓ　Ｉｎｃ、から提供されているプログラムＶＳＦＦＴが使用できる。上述の説明から理解されるように、変換の計算の基礎となるデータは、サブルーチンが扱える形でサブルーチンに与えなければならないことは勿論である０例えば、上に挙げた１次元変換サブルーチンが２次元変換を形成するために必要な操作の２倍を実行できるようにするには、それに見合うデータ操作が必要になる。かかる操作は公知である。コーディング・リストに示すように、２次元フーリエ変換の計算は、サブルーチンＶＳＦＦＴのコールを含めて、リストのＡ−４ページに記載されているサブルーチンＦＲＦＴによって実行される。変換の実際の計算はブロック６２で示したコード部分で実行される。

ブロック６２で得たフーリエ変換は全体を符号６４で示す手段に入力されて、変換の平方の大きさが計算される、すなわち、手段６４はブロック６２で得た変換を受けて、式（１６）に示す［Ｚ　（ｋ、　ｈ）　Ｚ’　（ｋ、　ｈ）　］を生成する。

項［Ｚ（ｋ、ｈ）Ｚ”（ｋ、ｈ）］　（７）値ハ（ＮＸ　ｎ／２）（７）寸法ヲモつ大きさマトリックス（ＩＦＦＴ）にストアされる。これらの計算はリストのＡ−４ページにブロック６４で示したコード部分で実行される。

手段６６は式（１６）に次の項として記載されている係数を計算する。

［１／［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｋｌ］＋εｌ／［１−ｃｏｓ（２π／Ｎ）ｈｌ］係数項の値は同じ＜　（ＮＸ　Ｎ／２）の寸法をもつ係数マトリックスＣ０５ＳＥＳにストアされる。この係数計算を実行するコードは、付録のＡ−３ページのサブルーチンＣ０５ＳＥＳに記載されている。にとｈが任意の正数値のときの係数の値は、マトリックスの中の該当の項を参照するだけで見つけることができる。ｋ＝ｏまたはｈ＝ｏのときは、特殊なケースである。ｋとｈが共にゼロであるときは、式（１６）から明らかなように、［Ｚ　（０，Ｏ）　Ｚ”　（０，０）］を乗算する係数はゼロになる。従って、ストアされた係数マトリックスの中の（０，Ｏ）の項はゼロにセットされる。（１１に＝ｏで、ｈが０に等しくないときに、または（２）ｋがＯに等しくなくて、ｈ＝ｏのときの特殊な場合には、係数マトリックスの値は１にセットされる。

手段６８は大きさマトリックス（手段６４から得たもの）と係数マトリックス（手段６６から得たもの）の積である積マトリックスを生成するためのものである。

さらに、その結果の積は式（１６）中のスケーリング環に対応する（１／Ｎ”）係数だけスケーリングされる。積マトリックスの作成を実行するコードは付録のＡ−４ページに記載されている。コード中にマトリックス”ＩＦＦＴ“という名前で作成された積マトリックスは、各整数ｒごとに用意されている。

面積とフラクタル次元は手段７０で計算される。これらの機能を実行するコード部分は付録のＡ−６ページとＡ−７ページに記載されているサブルーチンＦＲＡＣＴＬに示されている。各種解像度スケールｒのフラクタル次元の実際の計算はリストのＡ−７ページのコードに示されている。前述したように、この計算の結果は第３図に示すようなグラフの形で得ることが可能である。

手段７０の出力は手段５０に入力されて、前述したように局所が判断される。付録のＡ−７ページに示したサブルーチンがこの機能を実行する。このブロックからは、ピークのフラクタル次元が現われたときの解像度スケール値ｒを所定係数だけスケーリングすることによって、局所の大きさが得られる。

局所の大きさが判断されると、次に、局所の基準グレー・レベルが手段６２で得られ、ライン７２を経由して入力されたフーリエ変換Ｚ　（ｈ、ｋ）を使用して、手段６２で計算される。この計算を行うコード部分は付録のＡ−８ページとＡ −９ページに記載されている。

自然に発生するオブジェクトは、あるスケールまたは倍率範囲でほぼ安定したフラクタル次元をもつ傾向がある。本発明で観察されたことは、フラクタル次元曲線（ｒを関数とした）はｒがある値のときピークになることである。均質の（ランダムであるが）ＩＩＩ造をもつ画像の場合に分かったことは、ピークが現われる場所、つまり、Ｄ（ｒ）のピーク値が現われるときの値ｒｍａｘは、その構造の中の特徴の平均サイズおよび間隔と非常に密接な相関関係があることである。

以下に写真を示して説明することから明らかなように、第６図の実施例に応じて実施されている本発明によれば、単一のグレー・レベル基準が画像全体で選択されたとき、画像変換に伴なう画像背景変化の影響を解消することができる。さらに、写真に示すように、本発明は画像の倍率スケールに関係なく動作する。

先ず、画像背景変化が画像に及ぼす影響について検討する。第７ａ図は、ひび割れがあるペイント・パネルの画像写真である。この画像から明らかなように、背景は明るさが一様でない。鏡面反射により、第７ａ図の画像の左上隅は背景が明るく、背景の左上隅はひび割れとほぼ同じように暗く現われている。

このように背景が変化するために、画像全体に１つだけのしきい値を選択すると、好ましい結果が得られない。第７ｂ図に示すように、低いひきい値を選択すると、両像の右側部分のひび割れははっきりと現われるが、左側部分のひび割れはそうでない。逆に、第７ｃ図に示すように、しきい値を太き（すると、左側のひび割れが現われるが、以前は見えていた右側のひび割れは見えなくなる。このことから明らかなように、本発明によれば、この問題は解消される。

次に、倍率を高くしたときの影響について検討する。第８ａ図、第８ｂ図、第８ｃ図および第８ｄ図は倍率を連続的に大きくしたときの一連の画像を示している。第９図は、第８ａ図〜第８ｄ図に示した画像の各々のフラクタル次元曲線である。広い意味で前述したように、第３図は、第８ａ図の画像のフラクタル次元曲線を示している。この曲線は値ｒｌｌａＸが１２ビクセルのときピークになっている。

図に示すように、フラクタル次元ピークは、画像倍率が大きくなると右に、つまり、ｒの値が太き（なる方向にシフトしている。第８ａ図〜第８ｄ図に示す画像のそれぞれのフラクタル次元ピークは、値がそれぞれｒｍａｘ＝　１２．　ｒａａａｘ＝　１４．　ｒ＋ａａｘ＝　ＩＪ　ｒ＋ｍｍｘ＝　２５のとき現われている。一般的には、図から明らかなように、フラクタル次元ピークは、画像倍率が大きくなると、右側に、つまり、ｒの値が大きくなる方向にシフトする。

逆に、倍率が小さくなると、フラクタル次元ピークはｒが小さくなる方向にシフトする。

本発明を第８ａ図〜第８ｄ図の画像を変換するために使用すれば、画像の倍率値に関係な（、画像背景変化の問題を回避することができる。前述したように、フラクタル次元ピークが現われるときの値ｒ、、８から構造のスケールまたは粗さに関する情報を得ることができ、また画像中の類似特徴間の平均距離を知ることができる。上述したように、この情報は、それから基準しきい値がめられて、２進値画像を計算するために使用される局所（または窓）を定義するために使用される。最良の大きさの局所はｒｌｌ、の値よりも約２０％だけ大きいという経験的な認識に基づき、第１０ａ図〜第１０ｄ図は、第８ａ図〜第８ｄ図の画像に本発明の方法を用いてしきい値をめた結果を示している。

第１０ａ図〜第１０ｄ図から明らかなように、本発明によれば、背景変化または倍率レベルに関係なく、対応する２進値画像でばらつきのない良好なしきい値を得ることができる。

本発明の利点は以上説明した通りであるが、本発明は種々態様に改変することが可能である。例えば、前述した表面積計算の好適実施例において、ビクセル間の距離は１の単位であるとすれば、グレー・レベルが１のビクセルは、第２図に示すように立方体のバイロン１４が得られる。このビクセル間の距離は変更可能（増減可能）であるので、異なる面積計算が得られる。極端なケースとして、ビクセル間の間隔を１よりもはるかに小さくしたときは、表面積は、隣り合うビクセルの高さの差の総和だけ密接に近似する。なお、上記改変および他のいかなる改変も、請求の範囲に明確化されている本発明の範囲に属するものである。

日ＹＴＥ　Ｆ０１５＋２．５１２１．Ｆ１１５１２．５１２１ＣＣｈ？＋［）Ｎ　／ＳにＹＰＲ／　＾α：、ＭＥＭＳＴＡＲＴ、Ｉ）ＡＡＤα）へＯＮ　／ＴＨＲ９Ｌ／　ｌ５ＴＤ、Ｒα）Ｔ？ＩＣＩＮ　／ＳにＹＯ２／　ＦＯα）６ＯＮ　／５ＫＹＯ３／　Ｆ＋ＣＡＬＬ　ｌ５−ＬＯＡＤ−ＯＬＬｒＴ　ｔ％ＶＡＬｌｏ１．　ＩＴＴ、　ＩＴＴ、　ＩＴＴＩＣＡＬＬ　ＩＳ　ＬＯＡＤ−ＩＬＵＴ　１％ＶＡＬｌｏ１．　ＩＴＴＩＣＡＬＬ　ＶＡＢＳＥＴ＋　１１４４０．１１ＣＡＬＬ　ＶＡＣ５！１ＴＩＡｃｃｌＣＡＬＬＦＲＦＴＩＣｃｎｐｕｔｅ２ＤｆｆｔａｐｐｒｏｐｌａｔｅｌｙｓｃａｌｅｄＣＡＬＬ　ＦＲＡＣＴＬ　Ｉ　Ｃ０ＩＰＵＴＥＳ　ＴＨＥ　ＦＲＡＣＴＡＬ　ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＣＡＬＬＶＭＣＯＩ　Ｓｈｙ＞ｏｉｈ　ｌｒｒｍｇｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｗｉｎｄｏｗＣＡＬＬ　Ｉｓ−汽汀−ＦＲＡＭ２１％■＾Ｌｌｌｌ、　Ｆｌｌム−３Ａ−４Ａ、−５Ａ−８ＣＡＬＬ　ＶＳＦＦＴＩＢＬＲｌ　１．＾ＣＣ，２，９，’Ｃ’、’５ＰＨ１ＣＡＬＬ　ＶＫ）ＶＩ　Ｉ鵬０．２５７．＾工、　３．６１２．　’Ｃ’、　’ＳＰ’ＩＣＡＬＬ　ＶＭす’ＬＩＡＣＣ，２，ａｃｃ、３．　１ｍａｄ、２５７．　５１２　Ｃ゛、’ＳＰ’１０　１０２０３０４０５０６０７０　Ｂｏ　９０１００１１０１２０解凍崖ス汀−ル　Ａ−一をＦｉｇ、ｌＯｂＦｉｇ、　ｌｏｄ国ａ調査報告

Claims

【特許請求の範囲】

１．２次元画像を各々が関連づけられたグレー・レベルをもつ所定数の画素（ピクセル）に細分化するステップと、２次元画像の平面の上方に位置する対応する仮定上の３次元面の表面積を２次元画像から計算し、その場合に、仮定上の表面の一部が２次元画像中の所与のピクセルの上方に位置する高さが当該ピクセルのグレー・レベルと関数的に関係づけられているステップと、表面積Ａ（ｒ）の対数の変化率と解像度スケールｒの対数の変化率との比率を下記関係式に従って計算することにより、仮定上の表面のフラクタル次元を判断し、Ｄ＝２−ｄ［ｌｏｇＡ（ｒ）］／ｄ［ｌｏｇ（ｒ）］フラクタル次元が最大になるときの解像度スケールｒｍａｘを判断するステップと、２次元画像の中の各ピクセルの基準しきい値グレー・レベルを判断し、その場合に、各基準しきい値グレー・レベルは、所与のピクセルの周囲の所定の局所内に位置する各ピクセルとグレー・レベルと関数的に関係づけられ、該所定の局所の寸法は値ｒｍａｘと関数的に関係づけられているステップと、各ピクセルのグレー・レベルを各ピクセルと取り巻く局所の基準しきい値グレー・レベルと比較し、比較結果に従って各ピクセルに２進値を割り当てることによって、２次元画像の中の各ピクセルのクレー・レベルを２進値で表現した対応する画像に変換するステップとを具え、２次元グレー・レベル画像を対応する２進値画像に変換することを特徴とするフラクタル次元を使用した中間調画像のしきい値判断方法。
２．前記所定の局所は平方形状をしており、当該局所の寸法は所定量だけ値ｒｍａｘより大きくなっていることを特徴とする請求の範囲第１項に記載の方法。
３．前記局所の所定距離寸法は２０％より少ない量だけ値ｒｍａｘより大きくなっていることを特徴とする請求の範囲第２項に記載の方法。
４．前記表面積Ａ（ｒ）の計算はフーリエ領域で行われることを特徴とする請求の範囲第１項に記載の方法。
５．前記表面積Ａ（ｒ）の計算はフーリエ領域で行われることを特徴とする請求の範囲第２項に記載の方法。
６．前記表面積Ａ（ｒ）の計算はフーリエ領域で行われることを特徴とする請求の範囲第３項に記載の方法。
７．２次元画像を各々が関連づけられたグレー・レベルをもつ所定数の画素（ピクセル）に細分化手段と、２次元画像の表面の上方に位置する対応する仮定上の３次元面の表面積を２次元画像から計算し、仮定上の表面の一部が２次元画像中の所与のピクセルの上方に位置する高さを、当該ピクセルのクレー・レベルと関数的に関係づける手段と、表面積Ａ（ｒ）の対数の変化率と解像度スケールｒの対数の変化率との比率を下記関係式に従って計算することにより、仮定上の表面フラクタル次元を判断する手段と、Ｄ＝２−ｄ［ｌｏｇＡ（ｒ）］／ｄ［ｌｏｇ（ｒ）］フラクタル次元が最大となるときの解像度スケールｒｍａｘを判断する手段と、２次元画像の中の各ピクセルの基準しきい値グレー・レベルを判断し、各基準しきい値グレー・レベルを、所与のピクセルの周囲の所定の局所内に位置する各ピクセルとグレー・レベルと関数的に関係づけ、該所定の局所の寸法を値ｒｍａｘと関数的に関係づける手段と、各ピクセルのグレー・レベルを各ピクセルを取り巻く局所の基準しきい値クレー・レベルと比較し、比較結果に従って各ピクセルに２進値を割り当てることによって、２次元画像の中の各ピクセルのグレー・レベルを２進値で表現した対応する画像に変換する手段とを具えて、２次元グレー・レベル画像を対応する２進値画像に変換することを特徴とするフラクタル次元を使用した中間調画像のしきい値判断装置。
８．前記表面積Ａ（ｒ）の計算はフーリエ領域で行われることを特徴とする請求の範囲第７項に記載の装置。