JPH03121575A - 曲線近似方法および曲線の記憶方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ この発明は、曲線近似方法および曲線の記憶方法に関し
、更に詳しくは、点列を結ぶ曲線を近似的に得る方法お
よび得られた曲線を効率良く記憶する方法に関する。

［従来の技術］ 点列を結ぶ曲線を近似的に得る方法としては、点と点を
直線で結び折れ線で表現する技術が知られている。

また、点列をグループに分け、各グループの点列をそれ
ぞれ円や楕円や放物線で表現する技術が知られている。

さらに、円や楕円や放物線に代えて、３次多項式やＢス
ジ９４２曲線やベジェ曲線で表現する技術が知られてい
る（「実習グラフィックス」佐藤義雄著アスキー出版局
）。

得られた折れ線や曲線は、それらを規定するパラメータ
の形態で記憶されたり、それらの折れ線や曲線上の点を
密に求めて、多数の点データの形態で記憶されている。

［発明が解決しようとする課題］ 従来技術のうち、折れ線や、円、楕円、放物線で表現す
る方法は、曲線の滑らかさに欠けるという問題点があり
、低いレベルの用途でしか使われていない。

これに対して、３次多項式やＢスジ９４２曲線やベジェ
曲線で表現する方法は、曲線が滑らかであり、高いレベ
ルの用途に使われている。

しかし、３次多項式やＢスジ９４２曲線やベジェ曲線で
は、２次式である円錐曲線を正確に表現できないため、
例えば文字フォントのような基本的にコンパスを使って
デザインされた図形を正確に表現できないという問題点
がある。また、３次式では一般に解析的に解けないため
、計算が複雑になる問題点がある。

他方、近似曲線を制御点形式で記憶する場合は、制御点
の性格により、それが取り得る値の範囲が著しく異なる
場合があるので、記憶装置での取り扱いが煩雑となる問
題点がある。

また、近似曲線を多数の点データの形態で記憶する場合
は、データ量が膨大となるため、大容量の記憶装置が必
要となる問題点がある。

従って、この発明の目的は、上記問題点を解決する曲線
近似方法および曲線の記憶方法を提供することにある。

［課題を解決するための手段］ この発明の曲線近似方法は、与えられた点列を結ぶ曲線
を近似する曲線近似方法であって、（ａ）隣接する３点
を選び、隣接する３点のうちの両端の２点とそれら２点
における接線の交点の３点を制御点とし且つ前記隣接す
る３点のうちの中間の１点を通る２次有理ベジェ曲線を
求める初期セグメント生成ステップと、（ｂ）前記２次
有理ベジェ曲線を延長して、前記隣接する３点の外側の
点から曲線までの距離を求め、その距離が所定の許容値
内である最も外側の点までの各点から曲線までの距離が
最も小さくなるように暫定的な２次有理ベジェ曲線を求
め、再びその２次有理ベジェ曲線を延長して上記と同じ
処理を繰り返し、各点から曲線までの距離が所定の許容
値内となる最も外側の点まで近似する２次有理ベジェ曲
線を求める近似セグメント生成ステップと、（Ｃ）残り
の点について前記初期セグメント生成ステップと前記近
似セグメント生成ステップとを繰り返し、残りの点がな
くなると終了する繰り返し制御ステップとを有すること
を構成上の特徴とするものである。

上記構成において、２次有理ベジェ曲線は次式により表
現される。

ここで、Ｔ（０≦Ｔ≦１）はパラメータ、Ｐｏ。

Ｐｔ、Ｐｇは制御点の位置ベクトル、Ｗｏ、ｗ、。

Ｗ２は各制御点に付される重みである。

なお、Ｗｏ・Ｗ２〉０のとき、ω＝　（ｗｏ　／Ｗ、）
＋７２とおいて、Ｔ＝ωｔ／（（ω−１）ｔ＋１）なる
パラメータ変換を施すことにより、（１）式は、 と表現できる。

但し、Ｗは重みで、Ｗ”ＷＩ／　（Ｗ６−Ｗ２）”’と
する。

次に、この発明の曲線の記憶方法は、接線連続である第
１から第Ｘまでの２次有理ベジェ曲線を記憶する方法で
あって、第１の２次有理ベジェ曲線の一端の制御点Ｐ、
。における接線と、第Ｘの２次有理ベジェ曲線の他端の
制御点Ｐ□と、第ｉ（但し、ｉ＝１〜Ｘ）の２次有理ベ
ジェ曲線の一端の制御点Ｐ、。および矢高ベクトルｂ、
とを記憶することを構成上の特徴とするものである。但
し、矢高ベクトルｂ１は、 ｂｉ＝　（ｉ５ａｔ　　（Ｐ＋。＋ｉ５＋ｓ）／ｚ）　
Ｌ／（ｕｗ＋）　　　・・・（３）ｐＨは、ＰＩ。、Ｐ
ａｔにおける接線の交点の制御点、Ｗｉは重み で表現される。

［作用］ この発明の曲線近似方法では、まず隣接する３点を取り
だし、これらを結ぶ曲線を近似する２次有理ベジェ曲線
を生成する。次に、これを所定の許容誤差内で最大限ま
で延長する。延長できなくなったら、新たに隣接する３
点を取りだし、上記と同じ処理を繰り返す。

これにより、容易に近似曲線を得られる。

次に、この発明の曲線の記憶方法では、接線連続である
複数の２次有理ベジェ曲線のそれぞれの制御点丁。、　
Ｐ　＋　、　Ｐ　＊および重みＷを記憶するのではなく
、最初の２次有理ベジェ曲線の一端の制御点における接
線と、最後の２次有理ベジェ曲線の他端の制御点と、各
２次有理ベジェ曲線の一端の制御点および矢高ベクトル
とを記憶する。

他の制御点Ｐｏ、Ｐｇと著しく異なる値となる不都合を
生じることがある制御点Ｐ、の代りに、そのような不都
合のない矢高ベクトルを記憶するため、記憶装置での取
り扱いが容易になる。

また、データ量を減らすことが出来る。

［実施例］ 以下、この発明の実施例につき説明する。なお、これに
よりこの発明が限定されるものではない。

この発明の曲線近似方法および曲線の記憶方法は、第７
図に示すコンピュータシステム１０によって実行される
。

すなわち、入力装置１１から点列のデータを人力すると
、その点列を結ぶ曲線を近似する２次有理ベジェ曲線を
プロセッサ１２が算定し、記憶装置１３に記憶すると共
に、出力装置１４から出力する。

第１図のフローチャートは、その２次有理ベジェ曲線を
算定するプロセッサ１２の作動を示すものである。

まず、ステップ１０１では、第２図に示すように、入力
された点列をＱ、、Ｑ、、Ｑ、、・・・とするとき、点
Ｑ０を制、御点Ｐ　Ｏ，点Ｑ、を制御点Ｐ、とする。

次に、ステップ１０２では、第３図に示すように、制御
点Ｐ０での接線αおよび制御点Ｐ、での接線βを求め、
接線αと接線βの交点を求めてそれを制御点Ｐ、とする
。

接線α、接線βを求める方法は、従来公知の接線の算出
方法を用いることが出来る。

次に、ステップ１０３では、制御点ＰＯ＋制御点Ｐ、お
よび制御点Ｐ、を前記（２）式に代入すると共に、点Ｑ
、を通過する重みＷを求める。

これにより、点Ｑ、、Ｑ、、Ｑ、を結ぶ２次有理ベジェ
曲線ｒ０が得られたことになる。以上が、初期セグメン
ト生成ステップである。

次に、ステップ１０４では、第４図に示すように、前記
２次有理ベジェ曲線ｒ０を延長する。すなわち、２次有
理ベジェ曲線ｒ（ｔ、Ｗ）があるとき、重みの符号を逆
にした２次有理ベジェ曲線ｒ（ｔ、−Ｗ）は、もとの２
次有理ベジェ曲線ｒ（ｔ、Ｗ）を延長した部分を示す性
質があるから、これにより前記２次有理ベジェ曲線ｒ０
の延長部分子ｏ、を求める。

次に、ステップ１０５では、点Ｑ、と前記延長部分子ｏ
、との距離ｄを算出する。

次に、ステップ１０６では、前記距離ｄと所定の許容値
δとを比較する。

距離ｄが許容値δよりも大きくなければ、前記ステップ
１０５に戻って、次の点Ｑ４と前記延長部分子Ｏｓとの
距離ｄを算出する。これを距離ｄが許容値δよりも大き
くなるまで繰り返す。

点Ｑ３＋１において距離ｄが許容値δよりも大きくなっ
たとすると、ステップ１０７に移行する。

ステップ１０７では点ＱＫを制御点Ｖ□とし、次のステ
ップ１０８で前記ステップ１０２と同様の処理により制
御点Ｐ、を求める。

次に、ステップ１０９では、（２）式の重みＷを変化さ
せ、曲線と点０１〜点ＱＫとの各距離の加重平均値を求
め、曲線と各点との距離の平均が最も小さくなる重みＷ
を再計算する。

これにより、点Ｑ０〜ＱＫを結ぶ曲線を近似する新たな
２次有理ベジェ曲線ｒ０が得られたことになる。

次に、ステップ１０４に戻り、前記２次有理ベジェ曲線
ｒ０を延長し、さらに、前記ステップ１０５〜１０９を
繰り返す。

そして、点００〜点ＱＬを結ぶ新たな２次有理ベジェ曲
線ｒ０が得られ、それを延長しても点Ｑ　ＬＳｌにおい
て距離ｄが許容値δよりも大きくなってしまうならば、
そのときの２次有理ベジェ曲線ｒ０を点００〜点ＱＬを
結ぶ曲線の最終的な近似曲線とする。以上が、近似セグ
メント生成ステップである。

以後は、点Ｑ　ＬＩ　Ｑ　Ｌ’ｓ　＋　Ｑ　ＬＩｚを取
り出して、前記ステップ１０１以下を再び実行する。取
り出す点がなくなれば終了する。これが、繰り返し制御
ステップである。

なお、最後に１点だけが残ったときは、その直前の１点
を制御点Ｐ０とし、最後の点を制御点Ｐ。

としくステップ１１０）、前記ステップ１０２と同様の
処理により制御点Ｐ、を求め（ステップ１１１）、これ
らの制御点Ｐ、、Ｐ、、Ｐ、を用い且つ重みＷ＝１とし
て最後の曲線を得る（ステップ１１２）。

かくして、入力された点列Ｑ、、Ｑ、、Ｑ、、・・・を
結ぶ曲線を近似しうる２次有理ベジェ曲線ｒ０゜ｒｌ＋
ｒ２．ｒ８＊・・・が得られることとなる。

第５図は、上記のようにして、文字フォントの点列の近
似曲線を得た例である。

さて、点列Ｑ、、Ｑ、、Ｑ、、・・・を結ぶ曲線を近似
すとの制御点Ｐｏ、Ｐｌ、Ｐ＊および重みＷを記憶すれ
ばよい。

しかし、制御点百□は、接線αと接線βの交点であるか
ら、制御点Ｐ０あるいは制御点Ｐ！から極めて離れた位
置となる場合があり、その場合には、値が制御点丁。あ
るいは丁、と著しく異なることになる。このため、記憶
装置１３におけるデータ構造等が複雑になったり、精度
が低くなってしまう。

そこで、第６図に示す如き関係が成立することに着目し
、プロセッサ１２は、 ｂｉ＝　（Ｐｉ　−（ＰＯ＋Ｐ２）／２）　ｗ／　（１
＋Ｗ）　　　　　　・・・（４）によって、各２次有理
ベジェ曲線ｒ１の矢高ベクトルｂ、を算出する。

そして、各２次有理ベジェ曲線　ｒ　Ｏｒ　ｒ　１＊　
ｒ　ｔ。

ｒｌ＋・・・、ｒ８を、最初の２次有理ベジェ曲線ｒ０
の制御点丁。における接線αと、最後の２次有理ベジェ
曲線ｒ８の制御点Ｐ、と、各２次有理ベジェ曲に記憶す
る。

なお、記憶したデータから２次有理ベジェ曲線ｒ１を復
元するときは、２次有理ベジェ曲線ｒ１の制御点ｖ２が
必要になるが、これは２次有理ベジ制御点Ｐ、だけを記
憶すれば足るのである。

［発明の効果］ この発明の曲線近似方法および曲線の記憶方法によれば
、次のような効果が得られる。

■２次有理ベジェ曲線を用いるため、２次式である円錐
曲線を正確に表現できる。このため、例えば文字フォン
トのような基本的にコンパスを使ってデザインされた図
形を正確に表現できるようになる。

■解析的に解けるため、計算が容易になる。

■１つの曲線セグメントで近似できる点列の範囲を容易
に且つ的確に求めることが出来る。換言すれば、円錐曲
線で近似可能な最大の範囲を１つの曲線セグメントで近
似できるようになる。

■記憶するデータの値が同じ位なので、データ構造等が
簡単になり、精度の低下も回避で遺る。

■記憶するデータ量が少なくなるので、記憶装置が小容
量ですむ。また、データ転送の時間も短縮できる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明の曲線近似方法の一実施例のフローチ
ャート、第２図は入力された点列の例示図、第３図は３
点から２次有理ベジェ曲線を算出する原理を示す説明図
、第４図は２次有理ベジェ曲線の延長を示す説明図、第
５図はこの発明の曲線近似方法により近似した文字フォ
ントの例示図、第６図はこの発明の曲線の記憶方法の原
理を示す説明図、第７図はこの発明の曲線近似方法およ
び曲線の記憶方法を実行するコンピュータシステムのブ
ロック図である。 （符号の説明） １０・・・コンピュータシステム　１１・・・入力装置
１２・・・プロセッサ　　　　　　１３・・・記憶装置
。 第５図

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、与えられた点列を結ぶ曲線を近似する曲線近似方法
   であって、 隣接する３点を選び、隣接する３点のうちの両端の２点
   とそれら２点における接線の交点の３点を制御点とし且
   つ前記隣接する３点のうちの中間の１点を通る２次有理
   ベジェ曲線を求める初期セグメント生成ステップと、前
   記２次有理ベジェ曲線を延長して、前記隣接する３点の
   外側の点から曲線までの距離を求め、その距離が所定の
   許容値内である最も外側の点までの各点から曲線までの
   距離が最も小さくなるように暫定的な２次有理ベジェ曲
   線を求め、再びその２次有理ベジェ曲線を延長して上記
   と同じ処理を繰り返し、各点から曲線までの距離が所定
   の許容値内となる最も外側の点まで近似する２次有理ベ
   ジェ曲線を求める近似セグメント生成ステップと、残り
   の点について前記初期セグメント生成ステップと近似セ
   グメント生成ステップとを繰り返し、残りの点がなくな
   ると終了する繰り返し制御ステップと を有することを特徴とする曲線近似方法。 ２、接線連続である第１から第Ｘまでの２次有理ベジェ
   曲線を記憶する方法であって、 第１の２次有理ベジェ曲線の一端の制御点 ＠Ｐ＠＿ｉ＿０における接線と、第Ｘの２次有理ベジェ
   曲線の他端の制御点＠Ｐ＠＿ｘ＿２と、第ｉ（但し、ｉ
   ＝１〜Ｘ）の２次有理ベジェ曲線の一端の制御点＠Ｐ＠
   ＿ｉ＿０および矢高ベクトル＠ｂ＠＿ｉ（但し、 ＠ｂ＠＿ｉ＝（＠Ｐ＠＿ｉ＿０−（＠Ｐ＠＿ｉ＿０＋＠
   Ｐ＠＿ｉ＿２）／２）Ｗ＿ｉ／（１＋Ｗ＿ｉ）＠Ｐ＠＿
   ｉ＿１は、＠Ｐ＠＿ｉ＿０、＠Ｐ＠＿ｉ＿２における接
   線の交点の制御点、Ｗ＿ｉは重み） を記憶することを特徴とする曲線の記憶方法。