JPH0238930B2 - - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は眼鏡用レンズに関するものであり、さ
らに詳しくは、レンズ表面に所望の光学的特性を
与える境界および輪郭を有する遠方域、近方域お
よび中間視覚域をレンズ表面に有する新規な、
徐々に倍率の変化する多重焦点眼鏡用レンズに関
する。さらに本発明は眼鏡の着用者に適応するパ
ラメーターの選択に柔軟性を与えつつ、前記の光
学特性を有するレンズを製作する方法と、この種
のレンズ製作に用いられるレンズ型母材とを含
む。

この徐々に倍率の変化する多重焦点レンズの直
接の原型は、１種類の光学的倍率の遠方視覚域
と、この遠方視覚域に隣接して位置するもう１種
類の光学倍率の近方視覚域とからなる２重焦点レ
ンズである。各視覚域は凸状の球形面を有し、こ
の表面は該２つの視覚域が隣接する境界で急激に
その曲率が変化する。これらの２重焦点レンズの
欠点は、２つの多かれ少なかれ固定した光学倍率
に限られるということである。視覚域の境界で倍
率が変化するために、これらのレンズの着用者に
とつて望ましくない光学的効果が生じる。これに
加えて、レンズの着用時にこの視覚域の境界が見
苦しく感じられる場合もある。

過去70年〜80年の間、レンズの遠方視覚域から
近方読書域へと光学倍率をゆるやかに変化させる
ための試みがなされてきた。この試みにより、レ
ンズには必然的に非点収差と歪みとが導入され
た。

徐々に倍率の変化するレンズにおいて望ましく
ない特性というものがある。中間域は外観上見苦
しくないように近方域と遠方域とに接合するべき
である。すなわち、レンズの着用時に他人からみ
て、レンズの３つの視覚域の不連続性がわかつて
はいけない。中間域は光学的に許容され得るもの
でなければならない。すなわち、「眼道」（eye
path）と呼ばれる線または視線の動く径路があ
り、視線が遠方域と近方域との間を動く際に、視
線がこの眼道に沿つて多かれ少なかれ均一に増加
する。眼道に沿つた視界の質は出来るかぎり良質
であるべきで、これにより中間域を通しての中間
視界も可能となり、且つ近方域と遠方域との間を
動く眼にとつて快適な倍率遷移が可能となる。こ
の効果は眼道に沿つて非点収差を最少限に抑える
かまたはゼロとするかにより助長される。両眼が
自然に収束できるように角度のついた眼道を選択
することも出来る。各視覚域に特有の形状を選択
することもまた望ましいだろう。

これらの望ましいレンズ特性を提供することに
関連する問題を理解するためには、この種のレン
ズがどのように作られ、処方されるかを理解する
ことが助けになる。徐々に倍率の変化するレンズ
の完成品は、通常、徐々に倍率の変化するレンズ
ブランク、すなわち、加工済みの凸状の徐々に倍
率の変化する前面と、未加工の凹状後面とを有す
る光学体から作られる。後面は、通常、レンズ着
用者の処方に合致するレンズが出来るように仕上
げをする。しかし、殆どの老眼患者に最適なレン
ズが作れるような遠方域および近方域の光学倍率
を提供するためには、異なつた遠方域および近方
域の倍率を有する、徐々に倍率の変化するレンズ
ブランク群が必要である。この種のレンズブラン
ク群の各ブランクは前記の基本的設計上の特性を
部分的または全部を略類似のやり方で選択出来、
さらに／あるいはこれらの特性を部分的または全
部を最適値で求めることが出来る。このような一
貫性があることで、レンズの設計、製作、試験お
よび処方に際して助けとなる。

しかし、一群のレンズブランクの徐々に倍率が
変化するという特性を表すに適した一般式の選択
は簡単ではない。この種の式は遠方域の倍率と近
方域の倍率の変化が容易に出来、これにより同じ
レンズブランク群に属するレンズ１個に、所望の
ある特定の特性を与えることが可能である必要が
ある。さらに加えて、設計技術は、視覚域の大き
さおよび位置、眼道の位置といつた他のパラメー
ターの様々に異なつた選択をして作られた様々な
レンズ群の作成を許容するものであれば有利であ
る。

本発明の目的は、様々な眼科特性を有する、
徐々に倍率の変化するレンズを製作するために容
易に設計上のパラメーターの操作が出来る、すな
わち、遠方域または近方域の光学倍率、形状、大
きさおよび／または位置をレンズごとに容易に修
正出来るようなレンズの製造方法であり、且つレ
ンズの光学特性および／または美容上の特性を改
良するために非点収差と歪みが選択的に分配され
ているようなレンズを提供することである。

さらに本発明は大きな遠方視覚域、大きな近方
視覚域、広い眼道を有し且つ眼道に沿つた非点収
差がゼロまたはゼロに近い、徐々に倍率の変化す
るレンズ、およびこの種のレンズ群を提供する。

本明細書中に用いられる「レンズ」という語
は、眼科において用いられる、屈折力のある光学
体の全形態を意味し、ある特性の患者の処方に合
わせてさらに仕上げる必要のある、半加工レンズ
ブランクを含むが、これに限られるものではな
い。さらに「レンズ」という語に含まれるのは、
ゆるやかに倍率の変化するガラスレンズの製造に
用いる母材と、CR39の商品名で販売されている
素材のようなポリマー素材で作られた、徐々に倍
率の変化するレンズの注入成形用レンズ型とがあ
る。

本発明は遠方視覚域から近方視覚域へと延びる
眼道に沿つて光学倍率が徐々に変化するような、
近方視覚域、遠方視覚域および中間視覚域を有す
るレンズ表面を有する眼鏡用レンズを提供する。
すなわち、この眼鏡用レンズは、遠方域と中間域
との間の境界、および中間域と近方域との間に画
定される境界が、代数曲線をレンズ表面上に投影
したものであることを特徴とする。さらにこの眼
鏡用レンズはレンズ表面の形状が、各視覚域の表
面が境界において同じ高さであり、且つ、レンズ
の最終（仕上げ）表面を表す関数の少なくとも３
つの（３つの視覚域に対応する）第１次導関数
が、境界を越えて連続的であるように、最終表面
関数により定義されていることも特徴とする。さ
らにこの眼鏡用レンズのもう１つの特徴は、近方
域の表面がZ_t＝Z_d＋Z_sの方程式で定義される。す
なわちこの式において、Z_tは最終表面関数、Z_dは
レンズ全域に延在させた遠方域の回転対称な表面
関数（基準表面関数）、そしてZ_sはデカルト座標
ｘとｙの４次式により与えられた因子を有する近
方域の表面関数である。

好ましくは、本発明の方法を実施する際には、
予備多項式関数が座標系（ｕ、ｖ）において導か
れるが、この予備関数は中間域の表面を次のよう
に定義する。すなわち、各視覚域の表面は各域の
境界において同じ高さであり、且つ、この中間域
の表面関数のｖについての少なくとも２つの第１
次偏導関数が各境界で同一であるように定義す
る。該多項式関数は低次式、例えばｕにおいては
８次、ｖにおいては７次であつてよい。デカルト
座標ｘとｙとはｕとｖとの２次多項式で表現可能
であり得る。

該レンズのある選択された領域におけるレンズ
の光学特性を修正するために補助関数を選択して
よい。中間域の予備関数と補助関数とを乗じて数
学的積が得られる。同様に、該補助関数に近方域
の補正表面関数を乗じて第２の積を得る。次に基
準表面関数を夫々の域における積に加えると、近
方域および中間域の表面を定義する最終表面関数
を得る。

レンズの成形は最終表面関数に一致した輪郭を
有する機械製作の多孔性母材上でガラスブランク
を垂下成形する。

関数の選択は一つまたはそれ以上のレンズパラ
メーターを変えつつ、非点収差と歪みとを減少さ
せることを含めて所望の特性を得るための、数学
的合成関数、すなわち、レンズ自体の数値を求め
て、反復法により繰り返し得る。

レンズ表面の形状は各域の表面が境界において
同じ高さであり、最終表面の少なくとも３個の第
１次導関数が境界を越えて連続的であるように選
択された最終表面関数により定義され得る。最終
表面関数および座標系の変換は前記の如く多項式
関数により定義され得る。

予備関数は徐々に倍率の変化する表面を定義し
て得ることが出来る。次に該表面の数値を求め
（例えば、倍率、非点収差、像に歪みがないこと
（Orthoscopy））、さらに、各域境界の形状を表す
パラメーターを反復法により修正する。

最終表面関数は、予備関数と少なくとも１つの
補助関数の積である関数であり得る。すなわち、
この最終関数においては、予備関数と補助関数の
いずれも各域の境界に沿つて少なくとも第３次導
関数まで連続的である。補助関数は中間域の少な
くとも１部分で像の歪みのなさを改良するために
選択されうる。本明細書中に用いられる「像に歪
みのないこと（Orthoscopy）」という語は、「レ
ンズを通して観察した直立した長方形の物体の像
が正しく長方形であること（rectangularity）」
を指す。さらに中間域の少なくとも１部分で非点
収差を減少させるためにも補助関数を選択し得
る。本明細書中で用いる「非点収差
（astigmatism）」という語は、表面の非点収差を
意味する。すなわち、これは、レンズ表面の１点
で、レンズ表面に対して直角方向に交わる平面に
沿つてレンズの曲率が変化する度合の大きさであ
る。これら２種の補助関数を両方用いてよい。予
備関数は一つまたはそれ以上の補助関数で乗じて
よく、その結果得られる表面すなわち表面関数の
数値を求め、補助関数を反復法により修正してレ
ンズの選択された領域の非点収差を減少させ、さ
らに／若しくは像の歪みのなさを改良しながら、
レンズの他の領域の予備関数の所望の特性を保持
するようにする。

本発明のいくつかの具体例を、添付図面を例と
して、参照しつつ以下詳しく説明する； 本発明の方法で作られる徐々に倍率の変化する
眼鏡用レンズを第１図に示す。このレンズは三つ
の視覚域に分けられる。上方域すなわち遠方域１
０は、その下方の二つの特別な視覚域からの影響
は殆ど受けずに従来の遠方視覚矯正をレンズ着用
者に提供することを意図する。下方、すなわち、
近方域１２は、同様に、従来の２重焦点レンズに
おける近方の物体を見るための正方向の倍率増加
により、優れた視力を提供しなければならない。
中央すなわち中間域１４は遠方域と近方域との間
に位置する。第１の境界１６は遠方域と中間域と
が出会う所に位置し、第２の境界１８は中間域と
近方域とが出会う所に位置する。境界はぼやけて
いてもよく、または鮮明であつてもよい。レンズ
の設計に対して境界のもつ意義は次に論じる。

中間域１４は遠方域と近方域とに美容的に許容
される方法で接合すべきである。すなわち、レン
ズを着用しているのを他の人から見て不連続性が
はつきりしてはいけない。各域への遷移は光学的
に許容され得るものである。すなわち、狭い視線
の動く径路または眼道２０があり、この眼道に沿
つて視線が遠方域と近方域との間を動き、且つこ
の眼道に沿つて光学倍率が好ましくは多かれ少な
かれ均一に遠方域の倍率から近方域の倍率へと増
加する。望ましくは、この眼道に沿つた視界の質
が出来る限り良質であり、レンズの着用者の視線
が遠方域と近方域との間を行つたり来たりする際
に経験する不快が最小限であらねばならない。実
際問題としてはこのために眼道に沿つて可能な限
り非点収差を矯正する必要が生じる。本発明の設
計は眼道に沿つて許容範囲の僅かな非点収差（す
なわち、0.5ジオプトリー未満）を提供するが、
このために設計が明らかに制限を受けることはな
い。

眼道は両眼が遠方域から近方域へと動くにつれ
て自然に収束出来るように、第３図に示すように
レンズの垂直中心線からずれる必要がある。これ
に加えて、境界１６と１８とはレンズの大部分に
亘たる長い距離に亘つて各域が接合出来るように
湾曲していてよい。これにより中間域の収差を制
限する助けにもなる。

同時にこれら複数の必要条件を満たし、且つ一
つまたはそれ以上の設計パラメーターにおける選
択的変化を許容するために、新規な座標系が考案
された。この座標系では問題の特別な湾曲−すな
わち、各域間の境界と眼道−はそれに沿つて座標
の一方または他方が定数値をとる曲線として、簡
単な方法で表される。この新しい座標系と通常の
デカルト座標とを関係づける比較的単純な座標変
換レンズ構造を定義するために考案された。光学
的表面と座標系とを表すための基準関数として多
項式関数が用いられる。境界条件が課され、これ
により多項式係数方程式が得られ、この式を解け
ばレンズの最終表面関数が得られる。

レンズの製造時にはさらに二つの仮定が追加さ
れる。第１に、レンズの光学的表面に斜め方向か
ら当たる光線の影響は無視し、レンズの厚みのば
らつきの高次の影響を無視することで実用的な解
が得られると仮定してよい。第２に非線形の第１
次導関数の傾斜因子を無視し、単純な第２次偏導
関数により全表面の曲率を表すことで実用的な解
が得られると仮定する。

こうして先ず単純化することが、出来上がつた
レンズの優れた光学的矯正力の妨げにはならない
ことがわかつた。前記の単純なレンズは、基準設
計および製作システムの第１歩として用いられて
よい。次に基準設計を必要であれば正確な光線追
跡法により解析し、この段階で観察された諸問
題、特に中間域における過度の非点収差または歪
みの局部的問題に対処するために、近方域関数を
調整出来るようにしてもよい。

本発明の好ましい実施態様として本明細書に記
述した内容の要約を次に記す。

座標系の選択−所望の解を得るために用いる
座標系の説明。

表面の定義−レンズ表面を表すために用いら
れる実際の代数式を示す。

境界条件の選択−各域の境界に沿つた表面関
数により満たされるべき条件を用いて、光学的
必要条件を定式化する。これらの境界条件は一
組の連立方程式となるが、この方程式は未知の
表面関数の係数により満たされるべきものであ
る。

眼道の数式化−眼道に沿つた表面特性に関し
て選択をする。これらの選択により係数の式が
さらに与えられ、有解の系が得られる。

近方域関数パラメーターの選択−レンズ設計
を微調整するための近方域関数の選択法および
修正法を論じる。

連立方程式の定式化と解法−得られた一組の
方程式を数値解析法により解く。

算出された定数の模範値の提示−最終表面関
数の係数のために得られた数値を、ある特定の
レンズを設計するために提示する。

法線ベクトルの計算−表面の任意の点におけ
る法線単位ベクトルが、レンズの製作またはレ
ンズの光学特性を計算するために必要となり得
る。法線ベクトルを得るために有用な式を提示
する。

レンズの数値計算−レンズの１例のための非
点収差と平均倍率との実際値および計算値。

レンズ製作とそれに関連する作業−第７図の
フローチヤートに基づき、前記の計算とレンズ
形成とをなす方法を論じる。

座標系の選択 ｖ＝定数の式を表す曲線によりレンズの主要
な領域間の境界を表すことが出来るように、曲
線座標系（ｕ、ｖ）を考案した。このｖ＝定数
の式において、ｖは縦のデカルト座標ｙに最も
近く対応する新しい座標である。第１図の曲線
１６と１８とはこのような曲線の例である。こ
の座標系は、さらに、ｕ＝定数の式で眼道を表
示出来る。すなわち、この式において、ｕは横
のデカルト座標ｘに最も近似の対応をする新し
い座標である。第１図の線２０はこのような眼
道を表す。

この座標系ではｘとｙとは新しい座標ｕとｖ
との多項式関数であり、これらの多項式は該座
標系の所望の質的特性という目的に一致する最
低次数よりなる。かくて、ｘとｙとは次の式で
表される； ｘ＝_p 〓ⁱ⁼⁰ _q 〓^j=0 X_ijuⁱv^j （1A） ｙ＝_r 〓ⁱ⁼⁰ _s 〓^j=0 Y_ijuⁱv^j （1B） この式でX_ijとY_ijとは係数、uⁱとv^jとは夫々ｉ
乗およびｊ乗した該曲線座標系の座標である。ｐ
とｑとは夫々ｘを定義するためのｕとｖとの次数
であり、ｒとｓとはｙを定義するためのｕとｖと
の次数である。パラメーターｐ、ｑ、ｒおよびｓ
の選択は、好ましくは可能な限り小さく保たれ、
次に述べる好ましい実施態様においては２以下に
等しい。

ｕとｖとの座標系の望ましい一般的な形状を第
１図に示す。ｕ＝定数の曲線は略垂直な、ゆるや
かな曲線である。この選択をなすことでｕ＝０と
いう鼻筋に沿つて収束する眼道の簡単な数式化が
可能になる。ｘ軸に沿つてこれらの線を均一に横
方向に間隔づけることで、最低次数の表示が可能
となる。ｖ＝定数の曲線は図では放物線に似た曲
線として描かれている。

ｖ＝−v₁の曲線はｘ軸と一致する直線である。
このように曲線を選択することで、中間域と近方
域との間の境界をｖ＝−λで表される曲線として
無理なく表示出来る。すなわち、このｖ＝−λの
式においてλは次に述べる方法で選択された定数
である。遠方域と中間域との境界はｖ＝０で表さ
れる曲線である。近方域の大きさはｖ＝−λで表
された曲線が所望の大きさの近方域を与えるよう
な方法で、ｖについてｖ＝定数で表される曲線の
曲率の増加率を調整することにより決定される。
すなわち、曲率が大きいほど近方域は小さくな
る。

この座標系にとつて有用な座標変換の式を次に
示す； ｘ＝（ｃ／v₀）（ｖ＋v₁）（ｖ−v₁−ｖ）
（au²＋１）＋ｕ（2A） ｙ＝（ｖ＋v₁）（au²＋１） （2B） この式で、ａ、ｃ、v₀およびv₁は用いられる
座標系および次に述べるレンズのある特性の設
計パラメーターによつて異なる定数である。こ
れらの定数の通常値を次に示す； ａ＝０〜１mm^-2 ｃ＝−ｙ〜１ v₀＝１mmより大 v₁＝−100〜100mm 方程式(2)の変換はレンズの上半分の表面が正
確な球形であるデザインにも非球形の表面にも
有効である。前記の変換は、さらに、上部境界
が不鮮明な場合、および遠方域と近方域との中
心線がずれている場合にも十分有効である。す
なわち、第２図に示す遠方域と近方域との中心
線２２と２４とを互いに平行でなくすることが
出来る。

前記の変換における定数は次のように説明出
来る。線ｖ＝−v₁に沿つてｘはｕに等しく、ｙ
はゼロに等しいことがわかる。故に曲線ｖ＝−
v₁はｘ軸に一致し、この線に沿つて、ｕはｘと
正確に等しい。後の節中での表面の数式化に
よると曲線ｖ＝０は遠方域と中間域との境界と
して定義される。ｕ＝０の曲線はｖ＝−v₁とｖ
＝v₀−v₁との２点でｙ軸と交わる（第１図参
照）。これら２点の第１の点は丁度（ｘ、ｙ）
の原点である。故にv₀はｕ＝０の曲線がｙ軸と
再び交わる点を決定する。この点は遠方域と近
方域との間の中心線のずれの量を決定する。こ
れらの定数の間の量的関係および各域の境界の
基準となる形状を以下に発展させる。

座標系パラメーターv₁、ａ、ｃ、v₀およびλ
の数値を求めるために、第２図に示すいくつか
の付加的な形状パラメーターを先ず定義するこ
とが有用である。境界を表す曲線の形状と方向
とは数量w_d、w_s（夫々高さy_dとy_s点での遠方域
と近方域との幅）θ_d、θ_s（遠方域と近方域での
夫々の傾斜角）およびｐ（眼道が上部境界と下
部境界の夫々と交わる点の間の直線距離）によ
り定義される。これらのパラメーターw_d、w_s、
y_d、y_s、θ_d、θ_sおよびｐは、レンズの形状を発
展させるための基本となる設計上の要求事項で
ある。座標系パラメーターの数値は、例えば、
次のような幾何学的パラメーターを用いて求め
られる。

v₁を表す式を次に示す； v₁＝〔−Ｂ＋（B²−YAC）^1/2〕／2A (3) ここで、 Ａ＝w² _d−w² _s； Ｂ＝w² _s（y_d＋λ）−w² _d（y_s＋λ）； Ｃ＝−w² _sy_dλ。

ａを表す式を次に示す； ａ＝（４／w² _d）［（y_d／v₁）−１］ (4) ここでv₁は上の通りである。ｃとv₀とを表す
式を次に示す； ｃ＝［（v₁−λ）tanθ_d−v₁tanθ］／λ (5) v₀＝［（v₁−λ）tanθ_d−v₁tanθ_s］／
（tanθ_d−tanθ_s）(6) この式でv₁は前記の通り、λは下記の通りで
ある。こうして、変換方程式（2A）と（2B）
との定数はレンズの角域の形状、位置および大
きさを関係づける有効な設計パラメーターを用
いて定義づけされる。λの方程式を解くには
Newton−Raphson法による。先ずλの最初の
推定値としてｐを選ぶ。この式を解くにはλは
眼道の長さに十分近いと仮定し得るため、これ
は合理的な方法である。次にv₁、ａ、ｃおよび
v₀の対応値を計算するために、夫々の式(3)、
(4)、(5)および(6)を用いる。次にこれらの数値を
用いて次の式からｇ（ｐ）を算出する； ｇ（λ）＝λ₂［c₂（v₀＋λ−2v₁）²＋v
² ₀］−（v₀p）²(7) 次にλの最初の推定値（ｐ）をある微少量σ
だけ増分し、続いて、ｇ（ｐ＋σ）と差商を算
出してg′（ｐ）の値を求める。次にこれらのｇ
とg′との値を用いてNewton−Raphson法によ
りλの新しい値を算出し、続いてv₁、ａ、ｃお
よびv₀の対応する値を再び算出し、ｇとg′とを
修正し、この手順をλの変化が十分に小さくな
る、例えば、１ミクロンとなるまで繰り返す。
この手順の最後に求められたλ、v₁、ａ、ｃお
よびv₀の値は方程式(3)〜(7)までの解であり、こ
の問題は解かれた。

座標系に関する一般的考察に戻り、ｘとｙと
を用いてｕとｖとを求めるために、座標変換式
（2A）と（2B）とを逆変換してよい。先ず、
第１に数量（ｖ＋v₁）を消去するが、これには
ｙの方程式（2B）において（ｖ＋v₁）を求め
て次の式を得る； （ｖ＋v₁）＝ｙ／（au²＋１） (8) 次にこの式をｘの方程式（2A）に代入して
次の式を得る； ｘ＝（ｃ／v₀）［ｙ／（au²＋１）］・｛v₀−［ｙ／
（au²＋１）］（au²＋１）｝＋ｕ(9) いくつか代数計算をすれば、この式は次の等
価式に単純化される； v₀（ｘ−ｕ）（au²＋１）−cy［v₀（au²
＋１）−ｙ］＝０(10) 後の便宜のため上記式の左辺の式をｆ（ｕ）
とする。故に、 ｆ（ｕ）＝０ (11) 全定数（すなわち、v₀、ａ、ｙ、v₀）および
ｘとｙとの値が与えられているため、上記式は
１個の未知数ｕの３次方程式である。原則とし
てこの式は３次の公式を用いてｕを求めること
が出来るが、これは難しいのでNewton法を用
いて数値方法で解くことが出来る。この場合の
ｕの最初の推定値を選ぶのは本出願に記載され
た他の反復解法におけるよりも若干難しい。

１つの可能性を次に示す； u₀ｘ−cy (12) ここでu₀はｕの最初の推定値である。ｆ（ｕ）
を注意深く調べると、この推定値は、逆変換式
が一価関数である（従つて、本事例において意
味を持つ）限りは常にこの反復の収束を保証す
ることがわかつた。これは次の事実による。す
なわち、全ての根はu₀の左側に存在するように
示され得ること、さらにu₀はｆ（ｕ）の各極値
（極値が存在する場合）の間には決して存在し
ないこと、さらに極値が存在する場合、ｆ（ｕ）
の変曲点での値は正であることである。この逆
変換式は実用可能なレンズ表面上では常に一価
関数であると考えられるが、レンズのすぐ外側
では特異点（逆変換の不可能性）が存在し得
る。

最初の推定値が良いものであれば、反復法を
進める。ｆ（ｕ）の導関数は次のように算出す
る； f′（ｕ）＝v₀［2au（ｘ−ｕ）−（au²＋
１）］−2acv₀yu（13） ここでf′（ｕ）はｆ（ｕ）のｕについての導関
数である。次にｕの改良された推定値を
Newton法を用いて反復法により求める； u_o+1＝u_o−ｆ（u_o）／f′（u_o） （14） ここでu_oは現在の推定値であり、u_o+1は次の
推定値である。最初の推定値は上のu₀によつて
与えられる。１つの段階から次の段階に移る際
のｕの変化がある所定値、例えば、１ミクロン
より小さくなれば、この反復法を中止する。次
に求めたｕの最終値をｘとｙとの与えられた値
により定められた値とし、これに対応するｖの
値を次のようにｖの変換式（2B）を解いて算
出する； ｖ＝［ｙ／au²＋１）］−v₁ （15） この答を座標変換式(2)に逆に代入して確かめ
てよい。ｕとｖとの算出した値はｘとｙとの最
初に与えられた値を出すはずである。

ｕとｖとについてのｘとｙとの導関数は後の
ために必要となる。これらを次に示す； ∂x／∂u＝x_u＝（2ca／v₀）ｕ（ｖ＋v₁）
（v₀−v₁−ｖ）＋１（16A） ∂x／∂v）x_v＝（ｃ／v₀）（au²＋１）
〔v₀−２（v₁＋ｖ）〕（16B） ∂y／∂u＝y_u＝2au（ｖ＋v₁） （16C） ∂y／∂v＝y_v＝au²＋１ （16D） ここでx_uはｕについてのｘの偏導関数であ
る、等々。

レンズ表面に対する法線ベクトルを算出し得
るためには（節参照）、ｘとｙとについての
ｕとｖとの導関数を見つける。ｘとｙとを用い
てｕとｖとを求めるために数値法を用いたの
で、これらの関係を表す陽関数は得られない。
しかし所望の導関数を求める式は前進座標変換
の陰関数微分により求められる； x_x＝１＝x_uu_x＋x_vv_x （17A） x_y＝０＝x_uu_y＋x_vv_y （17B） y_x＝０＝y_uu_x＋y_vv_x （17C） y_y＝１＝y_uu_y＋y_vv_y （17D） ここでx_xはｘについてのｘの偏導関数である
（恒等的に１に等しい）、等々。x_u、x_vはわかつ
ている（方程式（16））ので、上の一次方程式
を解いてu_x、u_y等を次のように求める； u_x＝y_v／Ｊ （18A） u_y＝−x_v／Ｊ （18B） v_x＝−y_u／Ｊ （18C） u_x＝x_u／Ｊ （18D） ここでＪは変換式のヤコビ行列式であり、次
の通り与えられる； Ｊ＝x_uy_v−x_vy_u （19） 上の方程式〔（16）、（18）および（19）〕を用
いればx_u、x_v等を用いてu_x、u_y等の解が全て出
る。

前記の変換により、ｕとｖとを用いて計算さ
れた関数をデカルト座標によつて表すことが出
来る。これはレンズ製造に用いられるNC制御
機器に指示するには好ましい形態である。

表面の定義 全表面の高さ、すなわち、最終表面関数Z_tは
２項の和として次のように定義され得る； z_t＝z_d＋ｚ （20） ここでz_dは遠方域の表面関数であり、ｚは偏
差または徐々に増加する倍率を表す補助関数で
ある。これらの関数の一般的関係は第３図に示
すが、この図では、線z_tはｙ軸を含み且つｘ軸
に垂直な平面に沿つたレンズ表面の横切断図に
相当する。遠方域の表面関数z_dは回転対称面と
して選択してよい。球面関数z_dの有用な事例を
以下に考察する。

このような関数は次の式により定義され得
る； z_d＝R_d−［R² _d−（ｘ−Δx）²−（ｙ
−Δy）²］^1/2（21） ここでR_dは遠方視覚矯正のために処方され
た遠方域の曲率半径であり、ΔxとΔyとは、所
望の遠方球形域の中心線のずれを許容するため
の球形の頂点のずれである。

徐々に増加する倍率を表す補正関数ｚは次の
ように異なつたレンズ域の異なる光学特性を反
映するために個々に定義され得る； ｚ＝０ ｖ＞０の場合（遠方域） （22A） ｚ＝Ｕ（ｕ）Ｓ（ｙ）_M 〓ⁱ⁼⁰ _N 〓^j=0 A_ijuⁱv^j ０ｖ−λの場合（中間域） （22B） ｚ＝Ｕ（ｕ）Ｓ（ｙ）z_s ｖ＜−λの場合（近方域）
（22C） ここでA_ijは中間域の光学的数値づけにより
決定される係数である。ＭとＮとは夫々中間域
のｕとｖとの次数であり、z_sは次に論じる近方
域の補正関数（４次回転面）である。次数Ｍと
Ｎとは中間域の光学的数値比と一致し、且つ可
能な限り小さい値に保つ。次に述べる本発明の
具体例において、Ｍは８に等しく、Ｎは７に等
しい。Ｕ（ｕ）とＳ（ｙ）は遷移域部分での非点
収差と像の歪みのなさを制御する助けとして選
択された補助関数である。

z_sは近方域の補正関数で、処方通りの近方視
覚の矯正から得られるように球形に近い光学的
性能を有するように意図される。解を容易に求
めるため、次の式で表される回転面を選んでよ
い； z_s＝A_s［（ｘ−x₀）²＋（ｙ−y₀）²］＋B_s
［（ｘ−x₀）²＋（ｙ−y₀）²］²＋z₀（23） ここでA_sは近方域の曲率、従つて、その光
学倍率を特定する係数である。B_sは近方域を
略球形に矯正するための係数である。x₀とy₀と
は近方域の頂点（相対的な光学的中心）を表す
デカルト座標である。z₀は表面の高さを合致さ
せるために定数を足したものである。A_sとB_s
との選択は、次の節で詳しく論じる。

方程式（22）で他に定義を要する関数は、選
択された領域の予備表面関数を修正するために
適用する補助関数Ｓ（ｙ）とＵ（ｕ）とである。

補助関数Ｓ（ｙ）は次のように定義される； Ｓ（ｙ）＝exp［−（ｙ−y_c）³／σ³ _y］
ｙ＞y_c（選択領域）（24A） Ｓ（ｙ）＝１ ｙy_c（非選択領域） （24B） ここでパラメーターσ_yは関数の「強さ」を決
定し、y_cは選択領域の境界を決定する。補助関
数Ｕ（ｕ）は次のように定義出来る； Ｕ（ｕ）＝exp［−（ｕ／σ_u）⁴］ 全てのｕに対し
て （25） ここでσ_uは補助関数Ｕの「強さ」を定義す
る。第３次導関数まで連続的な他の式を補助関
数として用いてよいことをつけ加えておく。補
助関数の使用とその効果については次にさらに
詳しく論じる。

境界条件の選択 中間域を定義する一組の定数A_ijを求めるた
めには、有用な表面および解を求めうるような
十分な数の連立方程式を与えるようなレンズの
最終表面については、ある種の制限が課され
る。ここに支持する選択は、隣接する視覚域の
境界における条件を数式化したものである。

境界における表面のなめらかさと光学連続性
とを容易に与えるような境界条件の有利な選択
をなすには、次のことが必要となる； (1) 各域の表面が二つの境界のいずれかにおい
ても同じ高さであること。

(2) ｖについての第１次偏導関数のうち少なく
とも二つ、さらに好ましくは三つが、該二つ
の境界において連続的であること。

これらの条件は境界における表面の不連続性
がないこと、表面の傾斜に不連続な変化がない
こと（プリズム効果がないこと）、境界を越え
て不連続な曲率変化がないこと、および境界を
越えて曲率の変化率が不連続に変化しないこと
を要求することに等しい。境界条件は次のよう
な数式で表され得る； 上部境界 ｚ＝０ at ｖ＝０ （26A） z_v＝０ at ｖ＝０ （26B） z_vv＝０ at ｖ＝０ （26C） z_vvv＝０ at ｖ＝０ （26D） 下部境界 ｚ＝z_s at ｖ＝−λ （27A） z_v＝z_sv at ｖ＝−λ （27B） z_vv＝z_svv at ｖ＝−λ （27C） z_vvv＝z_svvv at ｖ＝−λ （27D） ここで下つきの添字のｖは、ｖについての偏
導関数の階を示す。これらの境界条件は次のよ
うにA_ijを用いて表され得ることが証明出来
る； 上部境界 A_i0＝０ （28A） A_i1＝０ （28B） A_i2＝０ （28C） A_i3＝０ （28D） ｉは０〜８、 下部境界 _N 〓^j=0 A_ij（−λ）^j＝B_si （29A） _N-1 〓^j=0 A_ij+1（ｊ＋１）（−λ）^j＝B′_si （29B） _N-2 〓 〓^j=0 A_ij+2（ｊ＋１）（ｊ＋２）（−λ）^j＝B″_si（29C
） _N-3 〓 〓^j=0 A_ij+3（ｊ＋１）（ｊ＋２）（ｊ＋３）（−λ）^j＝
Ｂ_si（29D） ４つの方程式からなる第２の組はｉ＝０〜８
の場合にも成立する。最後の四つの方程式にお
ける数量Ｎは、変数ｖに対する遷移関数ｚの次
数であり、少なくとも７でありうるが、これよ
り大であつてもよい。

B_siは１次元の多項式で表される係数である。
すなわちこの多項式は、変数ｕの関数として近
方域の遷移境界に沿つたz_sの変動を与える。
（この境界はｖ＝−λ、定数、という条件によ
り定義されるため、変数ｖは現れないことに注
意）； z_s｜_v=〓＝_M 〓ⁱ⁼⁰ B_siuⁱ B_si、B′_si等の値の算出は公式を用いた方法では
実行不可能である。その代わりに次の考察に基づ
いた数値による方法を用いることが出来る。この
多項式はz_sのデカルト座標（23）中に変換方程式
を代入して求められる。これによりz_sはｘとｙと
の式ではなくｕとｖとの多項式関数として求めら
れる。次に境界に沿つたz_sのみを表す多項式がｖ
＝−λとおき、ｕのべき項を集めることで得られ
る。この最後の多項式の次数は次のことに注目す
ることで推論されうる。すなわち、この式はz_sの
定義式（４次のｘとｙ）に変換方程式（２次の
ｕ）を代入して８次のｕの最終式を得た結果であ
るということである。故に求めるべきB_siは９つ
存在する。B_s0は次の節に示す。残りの値は境
界に沿つた８つの点の多項式の数値を求め、各値
からB_s0を差し引き、次に所定の点で該多項式が
算出された値をとるという必要条件から得られる
８つの一次方程式の組を数値的に解くことで算出
される。同様にして、z_sの代わりに偏導関数z_sv
を用いてB′_siを得る、等々となる。

眼道の数式化 本発明のレンズに課せられたさらなる制約と
して、眼道に沿つた表面の形状の数式化があ
る。眼道の形状は唯一、A_0jの次第で変化する
ということが証明出来る。故に眼道の数式化は
A_0jの値を前以て選択することにある。この選
択には便宜的に３次または５次の眼道を用い
る。３次の眼道では倍率は１次的に変化する。
５次の眼道の場合は、倍率は徐々に変化し、眼
道の中点付近で変化率が最大となる。５次の眼
道の場合は、倍率の変化率は連続的であり得
る。境界において合致されるべき所定の数の導
関数と眼道の数式化との間に一貫性を保つため
に、第２次導関数による境界調和には３次の眼
道を用い、第３次導関数による境界調和には５
次の眼道を用いる。これまで論じてきた好まし
い具体例は第３次導関数による境界調和を必要
とするため、５次の眼道を用いる。

A_0jをx₀、y₀およびz₀と同時に数値的に解く
ことが可能である。その出発点は、ｉ＝０の球
形の場合に前節で与えた境界条件の方程式
（28）と（29）とである。

次にこれらの方程式は次のようになる； A₀₀＝０ （30A） A₀₁＝０ （30B） A₀₂＝０ （30C） A₀₃＝０ （30D） _N 〓ⁱ⁼⁰ A_0j（−λ）^j＝B_s0 （30E） _N-1 〓ⁱ⁼⁰ A_0j+1（ｊ＋１）（−λ）^j＝B′_s0 （30F） _N-2 〓 〓ⁱ⁼⁰ A_0j+2（ｊ＋１）（ｊ＋２）（−λ）^j＝B″_s0（30G
） _N-3 〓 〓ⁱ⁼⁰ A_0j+3（ｊ＋１）（ｊ＋２）（ｊ＋３）（−λ）^j＝
Ｂ_s0（30H） これらの方程式の最初の４つは、上部境界に
おける第３次導関数による境界の調和を可能に
するためには、最初の４つのA_0jはゼロでなけ
ればならないことを示す。

Ｎ＝７とおくと、残りの方程式は次のように
陽関数の形で書くことが出来る； λ⁴A₀₄−λ⁵A₀₅＋λ⁶A₀₆−λ⁷A₀₇＝B_s0（31A） −4λ³A₀₄＋5λ⁴A₀₅−6λ⁴A₀₆＋7λ⁶A
₀₇＝B′_s0（31B） 12λ²A₀₄−20λ³A₀₅＋30λ⁴A₀₆−42
λ⁵A₀₇＝B″_s0（31C） −24λA₀₄＋60λ²A₀₅−120λ³A₀₆＋21
0λ⁴A₀₇＝Ｂ_s0（31D） B_s0等が近方域表面関数z_sから決定されるこ
とがわかつているから、これらはx₀、y₀および
z₀の関数であることがわかる。これら後者は決
定されるべき数量のうちに含まれるため、この
方程式の組には７つの未知数に対して全部で４
つの方程式が含まれる。故に方程式の劣決定系
が得られた。未知数を４つに減らすことで一意
に決まる解を得るために、先ず任意にA₀₆と
A₀₇とをゼロにおく。これにより、最低次数の
眼道の形状が得られるが、これは任意の選択で
あるから、他の形状も可能である。他に、例え
ば、眼道の非点収差を改良し、または眼道の倍
率輪郭を修正できるように上と同様な選択を用
いてもよい。しかし、A₀₆とA₀₇とをゼロに等
しくおくことで確かに低い非点収差と満足すべ
き倍率輪郭とが得られるが、これらを見てもこ
の手順に大したメリツトはないことがわかる。

前記のように前未知数を４に減らすためにx₀
の値を選択してよい。この選択は任意でなくて
もよい。何故ならばx₀は近方域関数の中心点の
ｘ座標であり、レンズの性能に影響を及ぼすよ
うな近方域関数の位置づけのもたらす影響を予
期し得るからである。例えば、中心線のずれた
レンズを設計する際に、最高の性能を得るため
にはx₀は若干ずれていなければならないことを
発見するのは驚くにあたらないのである。設計
者は、通常、近方域の両側の略対称的な非点収
差パターンを得るために、x₀の値を様々に変え
てみる必要があるだろう。このような値はゼロ
と近方域における中心線のずれの量との間にあ
ると予測される。この値が一旦特定されれば、
後は４つの解くべき未知数が残るのみである；
すなわち、A₀₄、A₀₅、y₀およびz₀である。これ
ら４つの未知数を表す方程式は今や次のように
書ける； λ⁴A₀₄−λ⁵A₀₅＝B_s0 （32A） −4λ³A₀₄＋5λ⁴A₀₅＝B′_s0 （32B） 12λ²A₀₄−20λ³A₀₅＝B″_s0 （32C） −24λA₀₄＋60λ²A₀₅＝Ｂ_s0 （32D） 上に述べたように、B_s0は未知数y₀とz₀とを
含むが、他の３つの右辺（すなわちB′_s0、B″_s0
およびＢ_s0）はy₀しか含まない。最後の３つ
の方程式は３つの未知数A₀₄、A₀₅およびy₀を
表する３つの方程式とみてよい。y₀は右辺に非
線形的に含まれるので、最後の３つの方程式を
反復法で解くと便利である。こうするために
は、A₀₄とA₀₅とはこれらを表す方程式（32C）、
（32D）とを解くことによつて消去され、次の
式が得られる； A₀₄＝（3B″_s0＋λB_s0）／12λ² （33A） A₀₅＝（2B″_s0＋λB_s0）／20λ³ （33B） これらの答を方程式（32B）に代入し、B′_s0
を左辺に移項し、端数を切り捨てて整理する
と、次の式が得られる； 12B′_s0＋6λB″_s0＋λ²B_s0＝０ （34） 左辺の数量は全て未知数y₀のみによつて決ま
ることがわかつているからこの方程式は次のよ
うに書ける； ｆ（y₀）＝０ （35） これでｆ（y₀）は上記式の左辺の式として定
義される。ｆ（y₀）を表す陽関数の式は未知で
あるが、この方程式はNewton−Raphson法に
より解き得る。y₀の有用な最初の推定値を次に
示す； y₀＝−cx₀−（λ／２）＋v₁ （36） このy₀の推定値を用いて、これに対応する
B′_s0等の推定値を求め、さらにｆ（y₀）の推定
値を求める。ｆ（y₀）のy₀についての導関数を
推定するために、y₀の推定値を僅かだけ増分
し、ｆ（y₀）を再び算出し、差商を算出するこ
とが可能である。次にy₀の新しい推定値を
Newton−Raphson法により求め、この手順を
y₀の変化が十分に小さくなる（例えば、１ミク
ロン以下）までこの手順を繰り返す。

最終回の手順の答であるB′_s0等の値を用い
て、上記式（33）によりA₀₄とA₀₅とを算出す
る。次にz₀を次の方程式から算出する； B_s0A_s［（ｘ−x₀）²＋（ｙ−y₀）²］＋B_s［（ｘ−x₀）²
＋（ｙ−y₀）²］²＋z₀（37） ここでｕ＝０、ｕ＝−２である。

近方域関数パラメーターの選択 節では、関数z_s〔方程式（23）〕の定義が与
えられ、係数A_sが近方域の倍率を主として決
定するということを述べた。しかし、パラメー
ターB_sもまた現れる。これら２つの係数を共
に決定して、所望の倍率を有するだけでなく、
その領域内でこの所望の倍率を正当な限度内に
保ち、且つ許容範囲の低い非点収差を有する近
方域を得ることが出来る。これらの必要条件
は、すなわち、近方域が略球形であることを要
求しているのに等しい。近方域表面関数にこの
４次の項を導入するのは、この条件の近似値を
得るためである。近方域表面関数パラメーター
x₀、y₀およびz₀の値の選択についてはすでに
節で論じた。

近方域を設計するためには、近方域の全表面
関数z_tが次のような２項の和であるという必要
条件を考慮してA_sとB_sとの値を推定する； z_t＝ｚ＋z_d この式では前と同じく、z_dは遠方球形域関数
である。z_tは近方域では略球形でなければなら
ないという必要条件が課されているz_dを
Taylor級数で展開し、z_sに加え、さらに各項
毎に結果を近方域の所望の全曲率で表される球
形についてのTaylor級数と比較すると、A_sと
B_sとの推定値が次のように得られる； A_s（1/2［（１／R_s）−（１／R_d）］ （38A） B_s（1/8）［（１／R³ _s）−（１／R³ _d）］ （38B） ここでR_sとR_dとは夫々近方域と遠方域との
全曲率半径である。ここでR_sは常にR_dより小
であることに注意しなければならない。これら
の推定値を得るには、遠方球形域関数と近方域
関数とは同一の頂点について定義されるのでは
ない〔近方域関数は（x₀、y₀）の原点について
定義され、遠方球形域は（Δx、Δy）に中心を
有する〕という事実を無視する。その結果、前
記のB_sの推定値は通常小さすぎる。より実用
的な値を得るために、便宜的に1.5〜２の補正
関数で乗じる。

これらの推定値を改良するために、単純な反
復手順を用いるとよい。この手順の第一歩は、
先ず前記の推定値がA_sとB_sとに用いられる場
合の近方域の光学的性能（非点収差と平均倍率
変数）の数値を出すことである。倍率と非点収
差は公称の測定点（例えば幾何学的中心の14mm
下）および近方域のさらに下方の少なくともあ
と２つの点でチエツクする。例えば、下部近方
域の非点収差軸が90度またはこれに近ければ、
倍率は縦方向よりも横方向に強い。（「非点収差
軸」は曲率が最大で、ｙ軸が角度90度に対応
し、反時計方向に角度が増加する際の法平面の
角度方向を示す）。この倍率の差異を矯正する
ために、B_sは増加させなければならない。何
故ならば、縦の倍率は一般的に横の倍率よりも
B_sの値によつてずつと変化を受けやすい。必
要に応じてこの手順を繰り返すことで、許容範
囲の縦と横との倍率調和を得ることが出来る。
一旦この手順が終了すれば、近方域の中心線に
沿つた倍率変動をチエツクすべきである。例え
ば、近方域を下へ動くにつれて倍率が減少する
ことがわかれば、A_sとB_sとの値を調節しなけ
ればならない。この場合A_sを僅かに減少させ、
B_sを増加させて測定参照点（中心点の14mm下）
の倍率を公称値に戻す。次にこれより下方の点
での倍率と非点収差とを再チエツクし、非点収
差を前記のような許容レベルに戻さねばならな
い。この手順を系統的に繰り返すことにより、
満足出来る非点収差と、測定点での正確な倍率
（通常は0.05ジオプトリー以内）の倍率変動を
得ることが出来る。

連立方程式の定式化と解法 境界条件（28）と（29）とを再び参照する
と、これらの方程式の右辺は今や有効値が得ら
れていることがわかる。何故ならx₀、y₀および
z₀は節に示したように決定されており、これ
らの数量は近方域表面関数z_sを決定し、さらに
このz_sはB_si等を決定するからである。次にこ
の方程式の組を従来の連立一次方程式の解法を
用いて、コンピユーターにより数値的に解く。

本発明の別の具体例においては、A_ijのいく
つかを予め指定出来る。この方程式に一意的な
解が存在するようにA_ijを付加的に導入しなけ
ればならない（例えばA_i8またはA_i9）ことに注
意しなければならない。予め特定すべきA_ijの
選択はどのような設計上の問題を解かなければ
ならないか、およびA_ijと関連する変数ｕとｖ
との指数および正負によつてレンズの異なつた
場所で多かれ少なかれ優性であるという理解に
よつて決まる。レンズの有用な修正は過度の実
験を行うことなしになすことが出来る。

算出された定数の模範値の提示 本発明の好ましい具体例においてA_ijのいく
つかは数値法により算出されているため、これ
らの定数を表す閉じた式は導かれない。次の表
は次の設計パラメーターに基づいたA_ijの模範
値を示す。レンズの形状 座標系のパラメーター w_s＝25.00mm ａ＝．0044661mm^-2 y_s＝−25.00mm ｃ＝0.000000 θ_s＝0.00゜ v₀＝．100E＋04mm w_d＝50.00mm v₁＝5.2753mm y_d＝20.00mm λ＝20.0000mm θ_d＝0.00゜ Δ_x＝0.00mm Δ_y＝0.00mm 基準曲線パラメーター R_D＝94.812mm近方域関数パラメーター 補助関数パラメーター A_s＝．16500E−02mm^-1
σ_y＝60.00mm B_s＝．25000E−06mm^-3
y_c＝−30.00mm x〓＝0.0000mm σ_u＝40.00mm y〓＝−4.7247mm z〓＝．0325mm 表 Ａの値 Ａ（０、３）＝．000000E＋01 Ａ（０、４）＝．2000000E−05 Ａ（０、５）＝．3750000E−07 Ａ（１、４）＝．5604961E−11 Ａ（１、５）＝．7286451E−12 Ａ（１、６）＝．3176146E−13 Ａ（１、７）＝．4670802E−15 Ａ（２、４）＝．3355189E−06 Ａ（２、５）＝．3712679E−07 Ａ（２、６）＝．1502216E−08 Ａ（２、７）＝．2115878E−10 Ａ（３、４）＝−．2943542E−12 Ａ（３、５）＝−．3808609E−13 Ａ（３、６）＝−．1660251E−14 Ａ（３、７）＝−．2445884E−16 Ａ（４、４）＝．200649E−09 Ａ（４、５）＝．1365106E−10 Ａ（４、６）＝．4054635E−12 Ａ（４、７）＝．4436148E−14 Ａ（５、４）＝．2613773E−14 Ａ（５、５）＝．3370562E−15 Ａ（５、６）＝．1464950E−16 Ａ（５、７）＝．2153277−18 Ａ（６、４）＝．2392294E−13 Ａ（６、５）＝．7413615E−15 Ａ（６、６）＝．8047403E−16 Ａ（６、７）＝．1249713E−17 Ａ（７、４）＝−．5962881E−17 Ａ（７、５）＝−．7683208E−18 Ａ（７、６）＝−．3336166E−19 Ａ（７、７）＝−．4899741E−21 Ａ（８、４）＝−．3356843E−16 Ａ（８、５）＝−．4276763E−17 Ａ（８、６）＝−．6130147E−19 Ａ（８、７）＝−．2222226E−21 他のA_ijは全てゼロである。A_ij定数の次元は
ミリの（ｉ＋ｊ−１）乗の逆数である。

本設計の重要な目標はA_ijが決定された時点
で達成される。一旦これらの係数が得られれ
ば、レンズ表面の各点についての多項式を計算
し、これを補助関数で乗じ、基準表面関数に加
えることにより最終表面関数を作成することが
出来る。この最終表面関数により、次に述べる
ように形成されたレンズを作成することが出来
る。ｘ、ｙ平面からの表面高さの配列を、表１
の徐々に倍率の変化するレンズ表面について第
４図に示す。

法線ベクトルの算出 表面の高さ関数を表す係数の算出機構は既に
説明した。レンズを製作するため、すなわち、
レンズの光学的性能を数値化するためには、レ
ンズ表面の任意の点における法線単位ベクトル
を計算することが有用である。

法線ベクトルを算出するために必要な偏導関
数は、z_tの陽関数式から算出される。すでに次
の式が出されている； z_t（ｘ、ｙ）＝z_d（ｘ、ｙ）＋ｚ（ｘ、ｙ） （39） この式は次の式を導く； z_tx＝z_dx＋z_x （40） および z_ty＝z_dy＋z_y （41） ここでz_dx等は偏導関数である。最終表面関
数を遠方球形域と補正関数との単なる和として
選択択することは次の重要なメリツトを有す
る；すなわち、これにより法線ベクトルを算出
するために必要な偏導関数が簡単に算出出来
る。

遠方球形域z_d〔方程式（21）に定義〕のｘと
ｙとについての偏導関数は次の通りである； z_dx＝（ｘ−Δ_x）／［R² _d−（ｘ−Δ_x）²−（ｙ−Δ_y）
²］^1/2＝（ｘ−Δ_x）／（R_d−z_d）（42A） z_dy＝（ｙ−Δ_y）／［R² _d−（ｘ−Δ_x）²−（ｙ−Δ_y）
²］^1/2＝（ｙ−Δ_y）／（R_d−z_d）（42B） 前記のように、これらを次に算出するz_xとz_y
とに加えて、全表面高さ導関数z_txとz_tyとを得
なければならない。ｚの偏導関数はここで得ら
れた。遠方域ではこれは自明である。何故なら
ば遠方域ではｚはゼロと定義されており、従つ
て、その導関数もまた全てゼロであるからであ
る。

遷移域では次の式が成り立つことがわかつて
いる； ｚ＝Ｕ（ｕ）Ｓ（ｙ）z_p （43） ここでz_pは表面関数の多項式因子である。

これを微分し単純化して次の式を得る； z_x＝Ｕ（ｕ）_xＳ（ｙ）z_p＋Ｕ（ｕ）Ｓ（ｙ）z_px
（44A） z_y＝Ｕ（ｕ）_yＳ（ｙ）z_p＋Ｕ（ｕ）S′（ｙ
）z_p＋Ｕ（ｕ）Ｓ（ｙ）z_py（44B） ここでS′（ｙ）〔Ｓ（ｙ）_yに等しいと定義され
る〕は次の式により与えられる； S′（ｙ）＝−３［（ｙ−y_c）²／σ³ _y］Ｓ（ｙ）（45） Ｕ（ｕ）_u＝U′（ｕ）の記号表示を用いると、Ｕ
（ｕ）_xとＵ（ｕ）_yは次のように数値化され得る； Ｕ（ｕ）_x＝U′（ｕ）u_x （46A） Ｕ（ｕ）_y＝U′（ｕ）u_y （46B） z_px、z_py、U_xおよびU_yは容易に得ることが出
来、U′（ｕ）は陽関数の式で次のように表され
る； U′（ｕ）＝−（4u³／σ⁴ _u）Ｕ（ｕ） （47） これらの式からz_xとz_yとを見つけ出し、これ
から法線ベクトルを得る。

近方域でも、手順は同様であるが、但し近方
域関数z_sの導関数が必要とされる。これらの導
関数は次の通りである； z_sx＝２｛A_s＋2B_s［（ｘ−x₀）²＋（ｙ−y
₀）²］｝（ｘ−x₀）（48A） z_sy＝２｛A_s＋2B_s［（ｘ−x₀）²＋（ｙ−y
₀）²］｝（ｙ−y₀）（48B） 近方域のｚの導関数は中間域での導関数と同
一の方法で算出するが、z_p、z_pxおよびz_pyの代
わりに夫々z_s、z_sxおよびz_syを用いる。

これらの導関数を用いて法線ベクトルを従来
の方法で計算し、計算された法線を用いて、次
に述べるレンズ製造法において用いる切削ヘツ
ドの位置づけをする。

レンズの数値計算 第４図に示すような徐々に倍率の変化するレ
ンズ表面の非点収差と平均倍率とは、予測し得
る。これらの予測の結果を、第４図の各点に対
応する点の配列として第５図および第６図に示
す。第５図では、数値は非点収差の大きさを示
し、線分の方向は非点収差軸の方向を示す。

第５図のタイプの非点収差表はレンズ設計を
数値化する際に有用である。図に示す徐々に倍
率の変化するレンズ表面は遠方域に相当する略
非点収差がゼロ（0.5ジオプトリーまたはそれ
以下）の大きな窓部を有する。同様に近方域
と、眼道に中心を有する幅広い視線の動く経路
とにおいて非点収差は最小値となる。同時に中
間域の他の領域では低レベルの非点収差が得ら
れる。

第６図では、第４図の徐々に倍率の変化する
レンズ表面の平均倍率値（基準倍率を差し引い
たもの）を点の配列として示す。このような表
はレンズの設計を数値化する際に有用である。
このような表の倍率は大きな遠方域では略ゼロ
で近方域では公称の補正倍率に略等しいと都合
がよい。眼道に中心を有する幅広い視線の経路
では、倍率は滑らかに遷移すべきである。

レンズ製作とそれに関連するツール 徐々に倍率の変化するレンズの製作には、多
数の点、例えば、間隔１ミリの中心点の高さを
表す値を得るために上で導かれた最終表面関数
を用い、次にNC制御された切削機を用いて前
記の高さの値に対応して輪郭付けられた表面を
有する多孔性のセラミツク材を製作する。通常
切削機装置の外部で高さを表す値を求める必要
はない。何故ならば、この種の機械はしばしば
これと連動するコンピユーターを有し、このコ
ンピユーターが必要な数式を解き、次に、一旦
最終表面関数のパラメーターを入力すれば、各
点の数値化を行うからである。

次に、こうして作つた多孔性セラミツク母材
を従来の方法で用いて垂下成形法によりガラス
レンズまたはレンズブランクの徐々の倍率の変
化する表面を形成する。さらに、この多孔性母
材を用いて注入成形型部品を形成し、次に、こ
の型を用いて従来のレンズ注入成形法により注
入成形したレンズの徐々に倍率の変化する表面
を形成する。このような母材を用いる技術は、
例えば、ウインスロツプの米国特許第4062629
号に記載されている（コラム14と19参照）。

切削手順に固有の制限があるためと、次に、
レンズまたはレンズ母材に所望の徐々に倍率の
変化する表面を成形する前に一つまたはそれ以
上の工程を行う必要があるため、この方法で得
られた徐々に倍率の変化する表面は切削機のた
めの指示を作成するために用いられる式とは数
学的に正確な方法で合致しない。この切削法に
固有なもう一つの不正確さは、切削機が用いる
点の数は必然的に有限であるという事実に原因
する。最終表面関数と加工製作表面との間の対
応は母材からレンズ、または母材から注入成形
型からさらにレンズへと作業が進行するにつれ
て、僅かに変化する。しかし、実際上はこのよ
うに導入される変動は限られており、性能特性
から予測不可能なレンズが出来ることはないと
謂うことがわかつている。勿論、レンズ母材は
その形状が最終表面関数に最も近く対応する有
形物である。

切削作業のために作成した表面高さを表す点
を完全に表示すると、通常は、対称的に設計さ
れたレンズの半分については3000〜4000の点と
これらに関連するｘとｙとの座標が必要とな
り、普通は切削機によりこれらの点の印刷をす
ることはしない。何故ならば、このような印刷
は切削作業において、通常何の意味もないから
である。しかし、本分野で既に開示された技術
により採用された従来の方法に従つて、第４図
は徐々に倍率の変化する表面を表す限られた数
の点における表面高さの配列を示す。表面高さ
は有効数字３桁までで特定されている。本出願
時に入手出来る切削機がこのような表面高さを
どの程度まで忠実に再生出来るかの限度を表す
にはミリメートル単位までは有効数字４桁ま
で、またはインチ単位であれば有効数字５桁ま
での特定が必要となる。そのようなデータは本
明細書中、与えられた数式と定数を直接応用し
て、所望の精密度まで計算され得ることが付け
加えておく。

第７図を参照して、本発明の好ましい具体化
におけるレンズ製造に用い得る全般的手順を次
に論じる。レンズ作成作業は、先ず、基準のパ
ラメーターR_d、Δ_xおよびΔ_yを選択することが
第１歩である。これらのパラメーターは、夫々
遠方域の曲率半径（または基準曲線）およびデ
カルト座標系の原点からの遠方球形域の頂点の
ずれに対応する。通常、Δ_xとΔ_yとは遠方球形
域の頂点が仕上がりレンズの徐々に倍率の変化
する視線経路のどこかに存在するように選択さ
れる。次に、近方域を定義するパラメーター
A_s、B_sおよびX₀を選択する。この選択された
パラメーター群から、次に、近方域表面関数Z_s
を計算する。次に、倍率表と非点収差図を、例
えば、コンピユーターを用いた光線追跡法等の
従来の方法により、近方域に関して作成する。
続いてこれらの表を用いて近方域表面を数値化
する。このような数値化には近方域の補正倍率
が正確であるか否かの決定、および近方域の完
全な球形からのずれが許容範囲であるかの決定
が含まれる。

許容出来る近方域表面関数の作成に続いて、
境界幾何学的パラメーター、すなわち、W_s、
Y_s、θ_s、W_d、Y_d、θ_dおよびＰを選択する。こ
れらがわかれば予備関数A_ijは計算出来る。A_ij
がわかれば次に中間域の予備関数Z_pを計算出来
る。これで上と同様、従来の方法で倍率表と非
点収差表を作成することが出来、これにより中
間域表面の数値化が可能となる。前記のように
表面を数値化し、必要ならば最初に選択した境
界の幾何学的パラメーターを変化させる。さら
にこの手順を、許容できる中間域表面から得ら
れるまで繰り返す。この時点で遠方球形域の頂
点の位置を決定し、必要であればΔ_xとΔ_yとの
値を調整して再定置する。例外的状況において
は、このような再調整をなすために第１段階に
戻る必要が出てくるかもしれない。

一旦、中間域の予備表面関数z_pが決定されれ
ば、Ｕ（ｕ）とＳ（ｙ）との予備関数パラメータ
ーを選択できる。補助関数を用いて前記方法で
最終表面関数z_tを計算する。ここで再び倍率表
と非点収差表とを作成するが、今度は全表面関
数z_tについてである。次に、最終表面関数を数
値化し、とりわけ、補助関数が所望の局所的効
果を与えていること、および、予備表面関数に
おいて既に得られた所望の特性に悪影響を及ぼ
していないことを決定する。必要であれば、補
助関数パラメーターの選択に変更を加え、満足
のいく結果が得られるまで最終表面関数を再び
算出する。

次に、最終表面関数をNC制御された切削機
に供給して多孔性セラミツク母材を機械加工す
る。多孔性セラミツク母材は、最終レンズ製作
にどの方法を用いるかにより、その形状は凸形
であつても凹形であつても良い。

最終レンズ製作に必要な様々な工程を以下に
第８図と第９図に関連して詳しく述べる。

第８図はセラミツク多孔性母材１０２上でガ
ラスレンズブランク１００を形成する工程の横
切断面図である。この方法ではセラミツク母材
１０２の表面は矢印１０４により図式的に示さ
れる真空にさらされている。通常均一な厚さを
有する磨き上げたガラスブランクを母材１０２
の上に置き、このアセンブリーをガラスの軟化
温度以上にブランク１００の温度を上昇させ得
る炉の中へ入れる。温度と真空の結果により該
レンズブランクは母材１０２の形状に合致した
形状となる。注入成形されたブランク１００の
上表面１０５は、多孔性母材の徐々に倍率の変
化する表面の複製となるが、この注入成形過程
でレンズの上表面１０５の滑らかさが損なわれ
ることはないことがわかる。さらに、最終表面
関数からのある種の系統偏差が垂下成形の結果
としてガラスブランクに導入されることがわか
る。すなわち、この系統偏差は、徐々に納率の
変化する表面は多孔性母材表面に正確に合致す
る必要はないこと、さらにこの表面が多孔性母
材表面とは接触していないことによる。最終表
面関数は第９図を参照すれば容易に理解できる
方法でこの偏差現象に対して予め補償しておく
ことも出来る。この補償法は次の仮定による。
すなわち、レンズブランク表面の曲率半径
“ｆ”は、徐々に倍率の変化する母材表面のこ
れと対応する曲率半径“ｈ”とは略ガラスの厚
み“ｇ”だけ異なるという仮定である。故に、
例えば、レンズの所望の遠方域半径R_dから長
さ“ｇ”だけ差し引くことが出来る。

第１０図には、プラスチツクレンズの成形法
を示す。第１０図の方法ではガラス成形型ブラ
ンク１０６は、第８図に関連して述べた母材と
類似の凹形多孔性母材１０８中に垂下成形され
る。次に、徐々に倍率の変化する成形型部品１
０６を略球面のガラス成形型部品１１０から離
して位置させる。これら二つの成形型部品はガ
スケツト１１２と接触させて置き、互いに離れ
た位置に保持する。液状樹脂を成形型に注入
し、樹脂を硬化させる。硬化後、半加工レンズ
ブランクを成形型アセンブリーから取り去る。

【図面の簡単な説明】

第１図はレンズ表面を定義するために用いられ
る座標系を示す、本発明による徐々に倍率の変化
する眼鏡用レンズの正立面図、第２図はレンズの
設計に用いられるパラメーターを示す、本発明に
よる徐々に倍率が変化するもう一つの眼鏡用レン
ズの正立面図、第３図は本発明の眼鏡用レンズの
徐々に倍率が変化する表面の横切断面の輪郭図、
第４図は本発明によるレンズのある特定の徐々に
倍率が変化する表面に用いる表面の高さに関する
計算値の配列を示す図、第５図は第４図の徐々に
倍率の変化する表面の非点収差の計算値の配列を
示す図、第６図は第４図の徐々に倍率の変化する
表面の平均倍率の計算値の配列図、第７図は注入
成形した眼鏡用レンズを製作するための本発明に
よる方法の工程を示すフローチヤート、第８図は
セラミツク母材上でのガラスレンズブランク形成
過程の横切断面図、第９図はガラスレンズブラン
ク形成における偏差の補償を示す図、第１０図は
プラスチツクレンズブランクの成形方法を示す図
である。 １０……遠方域、１２……近方域、１４……中
間域、１６……遠方域と中間域との境界、１８…
…中間域と近方域との境界、２０……眼道、２２
……遠方域の中心線、２４……近方域の中心線、
１００……ガラスレンズブランク、１０２……セ
ラミツク母材、１０４……矢印、１０５……レン
ズブランクの上表面、１０６……ガラス成形型ブ
ランク、１０８……多孔性母材、１１０……ガラ
ス成形型部品、１１２……ガスケツト。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １ 近方域１２、遠方域１０および中間域１４を
   有し、遠方域１０から近方域１２へと、眼道に沿
   つて光学倍率が徐々に変化する眼鏡用レンズであ
   り、遠方域１０と中間域１４との間、および中間
   域１４と近方域１２との間に画定される境界１
   ６，１８が該レンズ表面に代数曲線を投影したも
   のであること；該レンズ表面の形状としては、各
   域１０，１２および１４の表面が境界１６，１８
   において同じ高さであり、最終表面関数の少なく
   とも３つの第１次導関数が該境界を越えて連続的
   であること；および近方域１２の表面がZ_t＝Z_d＋
   Z_sの方程式で定義され、この式において、Z_tは最
   終表面関数、Z_dは該レンズ全体に延長した遠方域
   回転対称な表面関数、およびZ_sはデカルト座標ｘ
   とｙとの４次式により与えられる因子を有する近
   方域表面関数であることを特徴とする眼鏡用レン
   ズ。 ２ 近方域表面関数が次の式により与えられるこ
   とを特徴とする特許請求の範囲第１項記載のレン
   ズ； Z_s＝A_s〔（ｘ−x₀）²＋（ｙ−y₀）²〕＋B_s〔（ｘ−
   x₀）²＋（ｙ−y₀）²〕²＋z₀ ここでA_s、B_s、x₀、y₀およびz₀は定数である。 ３ 中間域１４の表面関数が次の方程式により定
   義されることを特徴とする特許請求の範囲第１項
   または第２項記載のレンズ。 Z_t＝Z_d＋Ｚ ここでZ_tは最終表面関数、Z_dは該光学体全体に
   延長した遠方域１０の表面関数、およびＺは次の
   方程式により定義される； Ｚ＝_o 〓ⁱ⁼⁰ _n 〓^j=0 A_ijuⁱv^j ここでｎとｍは夫々10未満の整数であり、A_ij
   は一組の定数であり、uⁱとv^jとは夫々ｉ乗とｊ乗
   された、曲線座標系の座標であり、ｕとｖとはデ
   カルト座標ｘとｙとが次の変換方程式により与え
   られるように定義される； ｘ＝_p 〓ⁱ⁼⁰ _q 〓^j=0 X_ijuⁱv^j ｙ＝_r 〓ⁱ⁼⁰ _s 〓^j=0 Y_ijuⁱv^j ここで、ｐ、ｑ、ｒおよびｓは夫々２以下の整
   数であり、X_ijとY_ijとはさらなる定数の組であ
   る。 ４ 遠方域ではＺ＝０であることを特徴とする特
   許請求の範囲第３項記載のレンズ。 ５ 変換方程式が次の式により与えられることを
   特徴とする特許請求の範囲第３項若しくは第４項
   記載のレンズ； ｘ＝（ｃ／v₀）（ｖ＋v₁）（v₀−v₁−
   ｖ）（au²＋１）＋ｕ ｙ＝（ｖ＋v₁）（au²＋１） ここでａ、ｃ、v₀およびv₁は定数である。 ６ 曲線ｕ＝０は眼道２０であり；曲線ｖ＝０は
   遠方域１０と中間域１４との間の境界であり；v₀
   とｃとは近方域の境界１８の鼻筋に沿つた線から
   のずれを決定するパラメーターであり；さらに定
   数ａは該境界線１６，１８の曲率を決定すること
   を特徴とする特許請求の範囲第５項記載のレン
   ズ。 ７ 眼道に沿つた表面の高さがｖの５次関数によ
   り略決定されることを特徴とする特許請求の範囲
   第６項記載のレンズ。 ８ ａが０〜１mm^-2；ｃは−１〜１；v₀は１mmよ
   り大であり；且つv₁は−100〜100mmであることを
   特徴とする特許請求の範囲第６項記載のレンズ。 ９ 最終表面関数が関数Z_dと、予備関数と補助関
   数との積である関数Ｚとの和であることを特徴と
   する特許請求の範囲第３項乃至第８項のいずれか
   に記載のレンズ。 １０ 各域１０，１２，１４の表面が該境界１
   ６，１８において同じ高さであり、且つ、予備関
   数の少なくとも３つの第１次導関数が該境界１
   ６，１８を越えて連続的であるように予備関数が
   選択されることを特徴とする特許請求の範囲第９
   項記載のレンズ。 １１ 補助関数が第３次導関数を含めた第３次導
   関数までの全導関数において連続的であることを
   特徴とする特許請求の範囲第９項若しくは第１０
   項記載のレンズ。 １２ 補助関数が次の方程式により与えられる関
   数Ｓ（ｙ）であることを特徴とする特許請求の範
   囲第９項記載のレンズ； Ｓ（ｙ）＝e^-(y-yc/〓^y)3 ｙ＞y_c Ｓ（ｙ）＝１ ｙy_c ここでｙはデカルト座標であり、y_cとσ_yとは定
   数であり、該式を用いて、線y_c＝ｙより上に位置
   する中間域の少なくとも１部分において非点収差
   を減少させるもの。 １３ 補助関数が全てのｕに対して次の方程式に
   より与えられる関数Ｕ（ｕ）であることを特徴と
   する特許請求の範囲第９項記載のレンズ； Ｕ（ｕ）＝e^-(u/〓^u)4 ここで、ｕは曲線座標系の座標であり、この座
   標系でｕ＝０は眼道であり、σ_uは定数であり、該
   式を用いて定数σ_uは眼道の両側の中間域の１部分
   において像の歪みのなさを改良するために選択さ
   れるもの。 １４ 該レンズ表面への投影が該境界１６，１８
   を画定する該代数曲線の夫々が放射線であること
   を特徴とする前記特許請求の範囲第１項乃至第１
   ３項のいずれかに記載のレンズ。 １５ 遠方視覚域１０、近方視覚域１２および中
   間域１４を有し、遠方域１０から近方域１２へと
   光学倍率が徐々に変化する眼鏡用レンズの製造法
   であり、遠方域１０で処方された光学的特性を生
   み出す基準表面関数Z_dを選択し；中間域１４で基
   準表面からの偏差値を表す偏差関数Ｚを選択し、
   中間域の前記偏差関数は遠方域１０でその値はゼ
   ロであり、２次元の曲線座標系（ｕ、ｖ）におけ
   る多項式関数によつて与えられる値を中間域１４
   において有し、該座標系の各域の境界は、眼道２
   ０に沿つてｕは定数に等しく、且つ遠方域境界１
   ６と近方域境界１８に沿つてｖは定数に等しいよ
   うに定義され、Z_t＝Z_d＋Ｚの式で表される最終表
   面関数に従つてレンズ表面を作るためにレンズブ
   ランクまたはレンズ型を形成することを特徴とす
   る眼鏡用レンズの製造法。 １６ 中間域１４の偏差関数の値が次の方程式に
   より定義される多項式関数により与えられること
   を特徴とする特許請求の範囲第１５項記載の方
   法； Ｚ＝_n 〓^j=0 _o 〓ⁱ⁼⁰ A_ijuⁱv^j ここでｎとｍとは夫々ｕとｖとの次数であり；
   A_ijは一組の定数であり；uⁱとv^jとは夫々ｉ乗およ
   びｊ乗された曲線座標系の座標である。 １７ ｎとｍとが夫々８以下の整数であることを
   特徴とする特許請求の範囲第１６項記載の方法。 １８ デカルト座標ｘとｙとが次の変換方程式に
   より与えられるようにｕとｖとが定義されること
   を特徴とする特許請求の範囲第１６項または第１
   ７項記載の方法； ｘ＝_p 〓ⁱ⁼⁰ _q 〓^j=0 X_ijuⁱv^j ｙ＝_r 〓ⁱ⁼⁰ _s 〓^j=0 Y_ijuⁱv^j ここでｐとｑとはｘを定義するｕとｖとの次数
   であり、ｒとｓとはｙを定義するｕとｖとの次数
   であり、X_ijとY_ijは定数の組である。 １９ ｐ、ｑ、ｒおよびｓは夫々２以下の整数で
   あることを特徴とする特許請求の範囲第１８項記
   載の方法。 ２０ 最終表面関数Z_tに従つて形成されるレンズ
   表面の光学特性を数値化し；各域の境界１６，１
   ８の形状を修正し；基準表面関数Z_dと偏差関数Ｚ
   とを選択し、中間域１４と近方域１２とに所望の
   非点収差と像の歪みのなさという特性を有する最
   終表面関数Z_tを得ることを繰り返し；その最終表
   面関数Z_tに従つてレンズを形成することからなる
   ことを特徴とする特許請求の範囲第１８項記載の
   方法。 ２１ 同種のレンズをさらに形成するために、該
   レンズを用いて母材を型出しすることからなるこ
   とを特徴とする特許請求の範囲第１５項乃至第２
   ０項のいずれかに記載の方法。