JPH02156375A - ハイブリッド式関数演算法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明はデータ処理装置に関し、例えば浮動小数点演算
を行うマイクロブ四セッサに利用して有効な技術に関す
るものである。また、本発明は浮動小数点演算ライブラ
リや浮動小数点演算機能をもつ計算機に適用される技術
にかかわり、これらに適用することができる。

〔従来の技術〕

１）　浮動小数点演算の歴史 科学技術計算では組数のみでなく実数を多く使用するた
め、これを計算機上で扱うために浮動少数点をデータと
して扱う様になった。第２図に浮動小数点データの計算
機上での表現方法を示す。

浮動小数点演算プログラムを通常のプログラマが誓くこ
とは専門の知識が必要であり難しい為に、専門のプログ
ラマがライブラリを作成してこれを通常のプログラマが
使用するようになった。これらのライブラリは加減乗除
算だけでなく、平方根算や初等関数の演算機能を持つ様
になった。

さらに最近では、浮動小数点データを用いて関数演算を
行う機能を命令として持つ計算機も表れてきた。

２）　除算、平方根算の手法 現在使われている平方根算や除算の実現方法は大別して
２つ有る。一つは中間値の定理と区間縮小法を使りて一
桁ずつ解を求める二分法であり、またもう一つは二島−
トン・ランノン法などに代表される近似法である。

３）　標準化のための厳密解の要求（ＩＥＥＥ規格） メインフレームやはニコンピエータにおいては、浮動小
数点のデータ・フォーマットや演算精度が各社毎に異な
っていた為にプログラムやデータの互換性が無く、ソフ
トウェアの移愼性が悪かった。

この反省を踏まえて共通の国際規格（Ｉ　ＢＥＥ７５２
規格）に合わせて業界の標準化が進んだ。

このＩＥＥＥ７５２現格ではデータ・フォーマット、？
）ｉ（昇結果２分岐条件２例外処理の方法その他を規足
しており極めて高い移植性を保証できる。

埃在迄のところマイクロコンピュータの業界の全てがＩ
ＥＥＩＪＩ格準拠に向かりており、この規格の適用はさ
らに拡がってい（ものと思われる。

Ｉ　ＥＥＥ７５２規格では加減乗除算と平方根算からな
る基本演算処理についてｉ＆密解を要求している。ポ密
解とは無限の精度と表現範囲で表される演算結果を丸め
たものと同一の答えである。

４）　厳密解を有限の演算器で得る方法除算と平方根算
でに！を密解を得る為に実際に無限精度の解を求めるこ
とは不可能である。そこで二分法を使用して必要な桁ま
でを正しく求めて、その中間結果を使用して無限相反の
解と同一となる解を得る。

有限長のデータ・フォーマットの浮動小数点演算器で計
算するために、３つのフラッグを使用する方法がＩＥＥ
Ｅｉ員会より提唱されている。第３図に散密解を有限の
演′ｉ＃資源で得る為に使用するデータ表視形式を示す
。第３図において、１はオーバーフロービット、２はＭ
ＳＢビット、３はＬＳＢビット、４はＧ（ガード）ビッ
ト、５はＲ（ラウンド）ビット、６はＳ（ステイッキ）
ビットを示す、仮数部分はｎ＋３ビツトからなり、ＬＳ
Ｂより重みの小さい３ビツトはＧ、　Ｒ，Ｓフラッグと
呼ばれる。Ｇビット、ｎビットは各々ｎ＋１ビット、ｎ
＋２ビット目を示し、Ｓビットはｎ＋３ビツト目から無
限に小さなビットのＯＲをした結果を格納する。

上記のｎ＋３のビット列を正しく得て、これに次の丸め
オペレージ璽ンを行５事でｎビットの敵密解を得る事が
できる。ＩＥＥＥ７５４規格は丸めモードを規定してい
る。第４図に各丸めモード別にＧ、　　Ｒ，Ｓビットか
ら丸め結果を得る為のテ−プルを示す。なお、第４図に
おいて１−”は、変化なしを示す。

５）　二分法 二分法の原理を第５図により示す、二分法は中間値の定
理と区間縮小法という数学上の定理の応用であり、後で
述べる「参考文献」の欄において２で示されている文献
のｐ、５６〜ｐ、７６に触れられている。第５図に示す
様に閉区間Ｉ（１＝（ａｅｂ〕を三等分してどちらか一
方を１１＝（：ａｌｔ　ｂｔ　　）とし、次にＩ、をま
た三等分してどちらか一方をＩ、とし、以下これを繰り
返して縮小区間列工◎フエ、フ・・・・・・を作ってい
くことが二分法である。

区間（ａ、ｂ）でｆ（ｘ）が連続で、ｆ　（ａ）≦ｙ０
゜ｆ（ｂ）＞ｙｅならば、必ずｆ（０＝ｙｏであるξが
区間ａ≦ξくｂ内にある。そのξは、毎回区間工ｊ。

＝〔ａｊ、ｂｊ〕（ａ６；ａ、ｂ０＝ｂ）の中点ｃｊを
とり ｆ（ｃｊ）≦ｙ０ならば ａ　ｊ＋１＝ｃｊ　、　　ｂ　ｊ＋ｔ＝ｂｊｆ（ｃｊ）
＞ｙｏならば ”　ｊ＋””ａｊ　ｓ　　ｂ　ｊｅｔ　＝ｃ　」として
つぎに 工ｊ＝（ＪＬ　ｊ＋ｌ、　ｂｉａｓ　”］を求めるとい
う算法を反復した時、縮小区間列工。フエ、フ・・・・
・・の共通分（極限）として得られる。

５）　近似解の性質 除算や平方根の近似解を求める方法には様々のものが有
り、二ニートン・う７ソン法、シオアルデアイシ（ＣＯ
ＲＤＩＣ）法、ティラー展開等あるが、収束の速さから
ニュートン・う７ソン法が頻素に使われている。

ｆ（ロ）が微分可能な場合に、点 ｘ＝ｘｎにおける接肪 ｙ＝ｆ（ｘｎ） ＋（ｘ−Ｘｆｉ　）　ｆ’　（ｘｎ）　”・−−−””
　　（１）によりてｙ　＝　ｆ　（ｘ）を近似して（１
）００点Ｘ　ｎ＋１　＝Ｘ　ｎ −ｆ　（ｘｎ）／ｆ’　（ｘｎ）ｍｍａ＊＊　　（２）
を次に近似とする。適当な初期値から初めて式（２）で
鳩次ｘｎを作る。これを何回か繰り返して解を得る。

６）　参考文献 （１）　　アイイイイスタンダード　７５４−１９８５
フオー　パイナリーフローティングーポイントアリスマ
ティックス、アイイイイ、１９８５（Ｉ　ＥＥＥ　　５
ｔａｎｄａｒｄ　７５４−１９８５　　ｆｏｒＢｉｎａ
ｒｙ−Ｆｌｏａｔｉｎｇ−Ｐｏｉｎｔ　Ａｒｉｔｈｍｅ
ｔｉｃｓｐＩＥＥＥ、１９８５） （２）−松、「初等関数の数値計算」、教育出版。

１９８４゜ （３）コーネエン、ジェ・ティ”アン　インプリメンテ
ーシ曹ン　ガイド　ツク　ア　プロポーズド　スタンダ
ード　フォー　７０−テイングーボイ／ト　アリスマテ
ィック”、アイイイイコンビエータ、ジャニウアリイ　
１９８０゜（Ｃｏｏｎｅｎ＊　Ｊ、　Ｔ、＊”　Ａｎ　
ＩｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎＧｕｉｄｅ　ｔｏ　ａ　
Ｐｒｏｐｏｓｅｄ　５ｔａｎｄａｒｄ　ｆｏｒ　Ｆｌ。

ａｔｉｎｇ−Ｐｏｉｎｔ　Ａｒｉｔｈｍｅｔｉど−ＩＥ
ＥＥＣｏｍｐｕｔｅｒ＋　Ｊａｕｎａｒｙ　　１９８０
　、　）〔発明が解決しようとする課題〕 二分法は厳密解を得られるが、求めたい桁数の数取上の
条件判定を必要とするため演算速度が桁歓に比例し、高
速に解を求める事が出来ない。栄算吟の処理は専用の演
算ハードの発達により演算処理の時間は飛謙的に向上し
たが、条件判定は１マシン・サイクルに１回であり判定
のコストは依然として大きい。

一方、除算や平方根を演算する際、二ニートン・ラプソ
ン法などの近似法は高速に解が得られるが、求めた桁の
ビット列が正しくない場合が有り、喚密解が得られない
。

平方根や除算の厳密解を能率良く演算するためには二分
法のように反復が多くなく、しかし全てのビットが正し
く求まる演算アルゴリズムが必要である。本発明の目的
はその様な演算アルゴリズムを提供することに有る。

〔課題を解決するための手段〕

効率の良い除算、平方根アルゴリズム・を提供する為に
近似解をニエートン・ラプソン法などで算出して、この
ビット列を加減乗算を使用して補正する。近似解の精度
が良けれは、全てのビットを正しく補正できる。近似解
の′Ｎ度が悪けれは、上位のビット列のみを補正してそ
こから二分法を再開する。

以下に上に述ぺた手続きをステップを追りて詳細に説明
する。

１）　一定の精度を持つ近似解の算出 近似解の算出方法には株々有るが、算出された近似解を
真の値から一定の誤差範囲に収める事は可能である。さ
らに、仮数のあるビットの重みに対して一定の大きさに
する事が可能である。このため、近似解と最大誤差より
厳密解の存在する範囲を限定することができる。

２）　正しいビット列の同機 近似解と最大誤差より割り出せる厳贅解の存在範囲に有
る数値でどれが厳密解であるかを逆ＦＩＡ数に各々の数
値を代入しこれを引き数と比較して割り田す。

３）　二分法を途中から開始 最大誤差が比較的大きい場合には、厳密解が存在し５る
範囲に多くの数値表現が存在するため、結局これの中か
ら厳＠解を割り出す為に二分法を使用することも出来る
。

４）Ｇ、Ｒ，Ｓビットの生成 厳密解を割り出すためには、求める厳誓解の桁数より二
桁多く存在範囲を狭めてＧ、　　Ｒビットの値を割り出
す、さらにＧ、　Ｒビットも含む求められた値ｙを逆関
数に代入してｆ−”（ｙ’）−ｘを求める事によりＳビ
ットを割り出す。

５）　厳密解の生成 Ｇ、Ｒ，Ｓビットと丸めモードより厳密解を求める。

〔作　用〕

１）　演算の過程での判定処理の減少 二分法では一回の演算から１ビット分の情報しか引き出
せないため、例えばＩＥＥＥ７５２規格の倍精度フォー
マットで平方根や除算の厳＋Ｍ解を得る為には、５５回
の判定処理が心安である。

一方、本発明のハイブリッド法では同様の結果を得るの
に必要な判定処理は６回から７回である。

この判定処理数の差はそのまま演算マシン・サイクルの
低減の漕在性を意味する。

２）　乗算処理の活用 専用乗算器を設けると引き数の桁数にかかわらず、１つ
のマシン・サイクルで乗算を行う事ができる。従来は乗
算は多くのマシン・サイクル数を消費する処理であった
が、ＬＳＩ技術の発展した現在では加減算と同碌に乗算
を行うことができる。

このため本発明のハイブリッド方式が乗算を使用するこ
とは短所にはならない。

〔実施例〕

以下に平方板葺の場合についての実施例を示す。

第１因には、アルゴリズムの概略フローが示されている
。同図において、ｆ（ｘ）は、求めたい関数。

ｇ（ｘ）はｆ　（ｘ）の近似関数、但しＩｇ（ｘ）−ｆ
（ｘ）１≦’０ｔｆ−’（ｘ）は求めたい関数の逆関数
を示している。また、同図において１は近似解の算出、
２は逆関数の使用、３は逆関数値と引数との比較、４は
ビット列修正、５は逆関数の使用、６は連関数値と引数
との比較、７及び８のそれぞれはＳビットの決定、９は
丸め操作を表わしている。

１）　第６図に浮動小数点プロセッサを使用したシステ
ム例をポス。システムはマイクロプロセッサ（以下単に
ＭＰＵと記す）と浮動小数点プロセッサとメモリからな
る。浮動小数点プロセッサはマイクロプロセッサのスレ
ーブであり、コプロセッサ制′＠線を介したＭＰＵの指
示によって、ＭＰＵの命令の実行の一端を担う。

第７図に浮動小数点プロセッサの内部構成を示す、浮動
小数点プロセッサは大きく３つの部分からなる。バス制
ａｈはＭＰＵを含む外界とのインタフェースを行う部分
である。マイクロ・シーケンサ部は浮動小数点演算のマ
イクロプログラムの形態でアルゴリズムを格納しこの内
容を実行する部分である。演算部はマイクロ・シーケン
サ部の指示に従い実際に演算を行う部分である。演算部
はデータタイプ演算部、指数演算部、仮数演算部。

定数ＲＯＭ、乗算器よりなる。データ・タイプ演鉢部は
浮動小数点プロセッサのデータフォーマットで表現可能
な無限大、非数、零などの特殊なデータの符号の正負を
認識してこれらの値同志の論理演算を行う、指数演算部
はマイクロＲＯＭの指示にしたがって浮動小数点データ
の指数部の演算処理を行う、仮数演算部はマイクロＲＯ
Ｍの指示に従って浮動小数点データの仮数部の演算処理
を行う。定数ＲＯＭは演算操作に必要な定数を格納する
ＲＯＭである０乗算器は浮動少畝点数の仮数部分の乗算
を行う。

２）　第８図に平方根を求める際に使用する中間値のフ
ォーマット（仮数部分のみ）、紀９図に近似解の精度が
厳密解の解像度より充分高い場合の平方根の演算方法、
第１０図及び第１１図に近似解の精度が厳密解の解像度
より低い場合の平方根の演算方法を示す、第９図は、ニ
エートン・ラプソンの右”度より短いデータを求める場
合を示しており、同図において、ｎは求める仮数のビッ
ト数を示している。また第１０図及び第１１図は、ニュ
ートン・ラプソンの精度より長いデータを求める場合を
示しており、同図において、ｎはニュートン・２プソン
の精度を±２−βとしたときのβイ直かそれ以下の値を
示している。

３）　近似解の精度が敞舒解の解像度より充分測い場合
には平方根は次の演算方法により求められる。

平方根演算の引き数をｍビットとし、平方根の値域をｎ
ビットとする。引き数をもとにニエートン・ラプンン法
を行いｍビットの産米を得る（図８　ａ　）、　　（ｍ
）ｎ　）。

上記の結果をｎ＋２ビット長に丸めてｎ＋３ビツト以降
には０を詰め、近似解ａ′を得る。ａｏを二乗してＡを
得る。ニエートン・ラプンン法の内部処理に合わせた悄
合わせ（４）を行った後二乗値Ａと引き叡Ｘを比較する
。

ｘ　＝　Ａの場合は、ａｏの値をｎビット長に丸めＹを
求める。

ｘ　）　Ａの場合にはａｏの値をａｏと隣接して且つａ
ｏより大きい値にし、これを二乗して新しいＡを得る。

その後引き数ＸとＡを再び比較する。ｘ＝Ａの場合には
、ｌの値をｎビット長に丸めＹを求める。

ｘ（Ａの場合にはａｏの値をａｏと隣接しておりかつａ
ｏより小さい値にし、これをｎビット長に丸める。

４）　近似解の精度が厳密解の解像度より低い場合には
平方根は次の演算方法により求められる。

これは３）の場合とほぼ同じであるが比較を行った後に
二分法を回復するところに相違が有る。

詳細はフローチャー上図（第１０図、８ｇ１１図）を参
照されたい。

〔発明の効果〕 １）　判定処理の回数の減少 現在のアーキテクチャ技術では、演算中の条件判定は１
マシン・サイクルに１回であり判定のコストは依然とし
て大きい、このためアルゴリズムにおいて判定処理が少
ない事がいまや重要な要件となりている。また、演算時
間のコストが大きく、アルゴリズム中に乗算をなるべく
入れない様に努力することが高速化の為の重要な要件で
あった。

２）　演算処理時間の短縮 しかしながら、半纏体技術の発展によりＬＳＩチップ上
に専用の乗算器を搭載する事が可能となった。これによ
り演算時間のコストが低くなり、＊ｎを多く含むアルゴ
リズムも局迷に実行できる休になった。

３）　　＃珠な演算回路の節約 従来のチップでは平方根を二分法で行う為だけの回路を
演算部に持っていた、しかしこの回路は吻倉を必景とす
る割には使う頻度が平方根演算のみとなり効率が極めて
思い、この為演算リソースを有効に使う意味からも不発
明のアルゴリズムはメリットを持つ。

【図面の簡単な説明】

第１図は、アルゴリズムの恢略フ四−を示す図、第２図
は、浮動小数点数の表現方法を示す図、第３図は、有限
長の演算資源で厳密層を得る為のデータフォーマットを
示す図、 第４図は、丸めのアルゴリズムを示す図、第５図は、三
方法の原理を示す図、 第６図、浮動小数点プロセッサを使用したシステム例を
示すブロック図、 第７図は、浮動小数点プロセッサの内部構成を示す図、 第８図は、平方根を求める際の中間値を示す図、第９図
は、近似法の結果が十分な精度を持っている場合の詳細
フローチャートを示す図、第１０図及び第１１図は、近
似法の結果か十分な精度を持りていない場合の詳細フロ
ーチャートを示す囚である。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、近似解の精度が十分の場合であって、ある関数ｆ（
   ｘ）とその逆関数ｆ＾−＾１（ｙ）があり、ｆ（ｘ）の
   ｎビット長の厳密解ｙを求める方法であって、全ての変
   域において厳密解の解像度より充分小さいε＿０以下の
   誤差をｆ＾−＾１（ｙ）との間に持つ近似関数ｇ（ｘ）
   の結果よりｎ＋２ビットの長さの近似解ｙ’＝ｇ（ｘ）
   を得、ｆ＾−＾１（ｙ’）とｘの比較結果に応じてｙ’
   のビット列を補正してｙ”を得、さらにｆ＾−＾１（ｙ
   ”）とｘとの比較結果に従いｙ”のビット列を補正して
   ｙ’”を得て、ｙ’”を丸めることにより厳密解ｙを得
   ることを特徴とするハイブリッド式関数演算法。 ２、近似解の精度が不足の場合であって、ある関数ｆ（
   ｘ）とその逆関数ｆ＾−＾１（ｚ）があり、ｆ（ｘ）の
   ｎビット長の厳密解ｙを求める方法であって、ｆ（ｘ）
   との間で厳密解のフォーマットのビットｍより充分小さ
   いε＿０以下の誤差を持つ近似関数ｇ（ｘ）を使用して
   、一定の精度を持つ近似解ｙ’＝ｇ（ｘ）を得、ｆ＾−
   ＾１（ｙ’）とｘの比較結果に応じてｙ’のビット列を
   ｍビット目まで補正してｙ”を得ると共にｆ＾−＾１（
   ｙ”）とｘとの差分を得、これらの数値をもとに二分法
   を開始して残りのビット列を割り出して厳密解を得るこ
   とを特徴とするハイブリッド式関数演算法。 ３、除算の演算アルゴリズムに対して、特許請求の範囲
   第１項記載のアルゴリズムを適用することを特徴とする
   ハイブリッド式関数演算法。 ４、除算の演算アルゴリズムに対して、特許請求の範囲
   第２項記載のアルゴリズムを適用することを特徴とする
   ハイブリッド式関数演算法。 ５、平方根の演算アルゴリズムに対して、特許請求の範
   囲第１項記載のアルゴリズムを適用することを特徴とす
   るハイブリッド式関数演算法。 ６、平方根の演算アルゴリズムに対して、特許請求の範
   囲第２項記載のアルゴリズムを適用することを特徴とす
   るハイブリッド式関数演算法。 ７、専用乗算器を使用して、特許請求の範囲第１項又は
   第２項記載のアルゴリズムを利用して除算を行うことを
   特徴とするハイブリッド式関数演算法。 ８、専用乗算器を使用して、特許請求の範囲第１項又は
   第２項記載のアルゴリズムを利用して平方根算を行うこ
   とを特徴とするハイブリッド式関数演算法。