JPH03260723A - ハイブリッド式関数演算法及び演算処理システム - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明はハイブリッド式関数演算法、ことに浮動小数点
フォーマットで平方根の厳密解を得るための手法、そし
て当該手法を適用して成る演算処理システムに関し、例
えば浮動小数点演算を行うマイクロプロセッサや、浮動
小数点演算ライブラリや浮動小数点演算機能をもつ計算
機に適用して有効な技術に関する。

〔従来の技術〕

１）浮動小数点演算の歴史 科学技術計算では整数のみではなく実数を多く使用する
ため、これを計算機上で扱うために浮動小数点をデータ
として扱うようになった。第２図に浮動小数点データの
計算機上での表現方法を示す。浮動小数点演算プログラ
ムを通常のプログラマが書くことは専門の知識が必要で
あり難しい為に、専門のプログラマがライブラリを作成
してこれを通常のプログラマが使用するようになった。

これらのライブラリは加減乗除算だけでなく、平方根算
や初等関数の演算機能を持つようになった。

さらに最近では、浮動小数点データを用いて関数演算を
行う機能を命令として持つ計算機も提供されている。

２）平方根演算の手法 現在使われている平方根算や除算の実現方法は大別して
２つある。一つは中間値の定理と区間縮小法を使って一
桁ずつ解を求める二分法であり、またもう一つはニュー
トン・ラプソン法などに代表される近似法である。

３）標準化のための厳密解の要求（ＩＥＥＥ規格）メイ
ンフレームやミニコンピユータにおいては、浮動小数点
のデータ・フォーマットや演算精度が各社毎に異なって
いた為にプログラムやデータの互換性が無く、ソフトウ
ェアの移植性が悪かった。

この反省を踏まえて共通の国際規格（ＩＥＥＥ。

１９８５−７５４規格）に合せて業界の標準化が進んだ
。このＩＥＥＥ、１９８５−７５４規格ではデータ・フ
ォーマット、演算結果２分岐条件。

例外処理の方法その他を規定しており極めて高い移植性
を保証できる。現在迄のところマイクロコンピュータの
業界の全てがＩ　ＥＥＥ規格基準に向かっており、この
規格の適用はさらに拡がっていくものと思われる。

ＩＥＥＥ１９８５−７５４規格では加減乗除算と平方根
算からなる基本演算処理について厳密解を要求している
。厳密解とは、無限の精度で得た演算結果と表現可能な
範囲で表わされる演算結果を丸めたものとが同一である
ということである。

４）厳密解を有限の演算器で得る方法 平方根演算で厳密解を得るために実際に無限精度の解を
求めることは不可能である。そこで二分法を使用して必
要な桁まで正しく求めて、その中間結果を使用して無限
精度の解と同一となる解を得る。

有限長のデータ・フォーマットの浮動小数点演算器で計
算するために、３つのフラッグビットを使用する方法が
ＩＥＥＥ委員会より提唱されている。第３図に厳密解を
上記演算資源で得る為に使用するデータ表現形式を示す
。第３図において、１はオーバーフローピッｌ〜、２は
モーストシグニフィカントビット（ＭＳＢ）、３はラス
トシグニフィカントピット（ＬＳＢ）、４はＧ（ガード
）ビット、５はＲ（ラウンド）ビット、６はＳ（ステイ
ッキ）ビットを示す、仮数部分はｎ＋３ビツトからなり
、ＬＳＢより重みの小さい３ビツトはＧ、Ｒ，Ｓフラッ
グと呼ばれる。Ｓビット、ｎビットは各々ｎ＋１ビット
、ｎ＋２ビット目を示し、Ｓビットはｎ＋３ビツト目か
ら無限に小さなビットのＯＲをした結果を格納する。

上記のｎ＋３のビット列を正しく得て、これに次の丸め
オペレーションを行う事でｎビットの厳密解を得ること
ができる。ＩＥＥＥ、１９８５−７５４規格は丸めモー
ドを規定している。第４図に各丸めモード別にＧ、Ｒ，
Ｓビットから丸め結果を得る為のテーブルを示す。なお
、第４図において−”は、変化なしを示す。

５）二分法 二分法の原理を第５図により示す。二分法は中間値の定
理と区間縮小法という数学上の定理の応用であり、後で
述べる「参考文献」の欄において２で示されている文献
の第５６頁乃至第７６頁に触れられている。第５図に示
すように閉区間工。＝　（ａ、ｂ）を二等分してどちら
か一方をＩ　１＝　（ａ　ｘ　＋　ｂ　１）とし、次に
■、をマタ二等分シてどちらか一方をＩ２とし、以下こ
れを繰り返して縮小区間列１．：）Ｉ、フ・・・・・・
を作っていくことが二分法である。

区間（ａ、ｂ）でｆ　（ｘ）が連続で、ｆ（ａ）≦３’
＋１１ｆ（ｂ）＞ｙ、ならば、必ずｆ（ξ）＝ｙ０であ
るξが区間ａ≦ξ〈ｂ内にある。そのξは、毎回区間工
ｊ＝（ａｊｎ　ｂｊ〕（ａｏ＝ａ＋　ｂ、＝ｂ）の中点
Ｃｊをとり、 ｆ（ｃｊ）≦ｙ０ならば ａｊ＋１＝ｃｊ、ｂｊ＋１＝ｂｊ、 ｆ　（ｃ　ｊ）＞ｙａならば ａ　ｊ”ｘ＝　ａ　ｊ＋　　ｂ　ｊ”ｉ＝　Ｑ　Ｊ、と
してづぎに Ｉｊ＝（ａｊｎ０．ｂｊ÷、〕 を求めるという算法を反復したとき、縮小区間列工。フ
エ□Ｄ・・・・・・の共通分（極限）として得られる９
５）近似解の性質 平方根の近似解を求める方法には様々のものが有り、ニ
ュートン・ラプソン法、シー・オー・アール・デイ−・
アイ・シー（ＣＯＲＤＩＣ）法、ティラー展開等あるが
、収束の速さからニュートン・ラプソン法が頻繁に使わ
れている。

ｆ（ｘ）が微分可能な場合に１点 ｘ＝ｘｎにおける接線 ｙ＝ｆ（ｘｎ） ＋（ｘ−ｘｎ）ｆ’（ｘｎ）・・・・・・・・・・・・
・・・・・・（１）によってｙ　＝　ｆ　（ｘ）を近似
して（１）のＯ点ｘｎ＋１＝ｘｎ −ｆ　（ｘ　ｎ　）／　ｆ　’　（ｘ　ｎ　）−−−−
（２）を次に近似とする。適当な初期値から初めて式（
２）で順次ｘｎを作る。これを何回か繰り返して解を得
る。

６）参考文献 （１）アイ・イー・イー・イー・スタンダード　７５４
−１９８５　　フォー　バイナリ−フローティングポイ
ント　アリスマティックス、アイ・イー・イー・イー、
　　１９８５　　（ＩＥＥＥ　５ｔａｎｄａｒｄ　７５
４−１９８５　ｆｏｒ　Ｂｉｎａｒｙ−Ｆｌｏａｔｉｎ
ｇ−Ｐｏｉｎｔ　Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｓ。

ＩＥＥＥ、　１９８５） （２）−松、「初等関数の数値計算」、教育出版。

１９８４゜ （３）コーネエン、ジェ・ティ″アン　インプリメンテ
ーション　ガイド　シリ　ア　プロポーズド　スタンダ
ード　フォー　フローティングポイント　アリスマティ
ック″、アイイイイコンピュータ、ジャニウアリイ　１
９８０゜（Ｃｏｏｎｅｎ、Ｊ、Ｔ、”Ａｎ　Ｉｍｐｌｅ
ｍｅｎｔａｔｉｏｎ　Ｇｕｉｄｅ　ｔｏ　ａＰｒｏｐｏ
ｓｅｄ　５ｔａｎｄａｒｄ　ｆｏｒ　Ｆｌｏａｔｉｎｇ
−Ｐｏｉｎｔ　Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ”、ＩＥＥＥ　Ｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ、　Ｊａｕｎａｒｙ　１９８０．）〔発
明が解決しようとする課題〕 上記二分法だけによっても厳密解は得られるが。

求めたい桁数以上の条件判定を必要とするために演算速
度が桁数に比例し、高速に解を求めることができないと
いう問題点があった。乗算等の処理は専用の演算ハード
の発達により演算処理の時間は飛躍的に向上したが１条
件判定は１マシン・サイクルに１回であり判定コストは
依然として大きい。例えば、無限長の精度を持つ中間値
を予め定められたｎビットの仮数を持つ浮動小数点フォ
ーマットに丸めて得られる厳密解を平方根演算で得る場
合には、第３図に示されるＧ、Ｒ，Ｓビットの決定を要
するために、少なくともｎ＋３サイクルの演算ステップ
が必要とされる。

一方、平方根を演算する際、ニュートン・ラプソン法な
どの近似法は高速に解が求められるが、求めた桁のビッ
ト列が正しくない場合が有り、それだけでは厳密解が得
られない。

平方根の厳密解を能率良く演算するためには、二分法の
ように反復が多くなく、シかし全てのビットが正しく求
まる演算アルゴリズムが必要である。本発明の目的は、
そのような演算アルゴリズム、そして斯る演算アルゴリ
ズムを採用した演算処理システムを提供することにある
。

本発明の前記並びにその他の目的と新規な特徴は本明細
書の記述並びに添付図面から明らかになるであろう。

〔課題を解決するための手段〕

本願において開示される発明のうち代表的ものの概要を
簡単に説明すれば下記の通りである。

すなわち、第１図の原理的な処理手順で示されるように
、効率の良い平方根アルゴリズムを提供する為に、近似
解をニュートン・ラプソン法などで算出して（ステップ
Ｐ１）、このビット列を加算乗算器を使用して補正する
（ステップＰ２）。

近似解の精度が充分であれば、補正処理で全てのビット
を正しく補正する。近似解の精度が不充分な場合には、
上位のビット列のみを補正してそこから二分法を再開す
る（ステップＰ３）。そして何れの場合にも最後に丸め
処理を行う（ステップＰ４）。

上記処理の詳細な原理を順に説明する。

１）一定の精度を持つ近似解の算出 近似解の算出方法には様々あるが、算出された近似解を
真の値から一定の誤差範囲に収めることは可能である。

さらに、仮数のあるビットの重みに対して一定の大きさ
にすることが可能である。

このため、近似解と最大誤差より厳密解の存在する範囲
を限定する。

２）正しいビット列の回復 近似解と最大誤差より割り出せる厳密解の存在範囲にあ
る数値でどれが厳密解であるかを逆関数に各々の数値を
代入してこれを引き数と比較して割り出す。

３）二分法を途中から開始 最大誤差が比較的大きい場合には、厳密解が存在しろる
範囲に多くの数値表現が存在するため、結局これの中か
ら厳密解を割り出す為に二分法を使用する。

４）Ｇ、Ｒ，Ｓビットの生成 厳密解を割り出すためには、求める厳密解の桁数より二
指多く存在範囲を狭めてＧ、ｎビットの値を割り出す。

さらにＧ、ｎビットも含む求められた値ｙを逆関数に代
入してｆ−’（ｙ’）−ｘを求める事によりＳビットを
割り出す。

５）厳密解の生成 Ｇ、Ｒ，Ｓビットと丸めモードより厳密解を求める。

〔作　用〕

■）演算の過程で判定処理の減少 二分法では一回の演算から１ビット分の情報しか引き出
せないため、例えばＩＥＥＥ、１８５−７５４規格の倍
精度フォーマットで平方根の厳密解を得る為には、５５
回の判定処理が必要である。

一方、本発明のハイブリッド法では同様の結果を得るの
に必要な判定処理は６回から７回である。

この判定処理数の差はそのまま演算マシン・サイクル数
低減を達成する。

２）乗算処理の活用 専用乗算器を設けると引き数の桁数にかかわらず、１つ
のマシン・サイクルで乗算を行なう事ができる。従来は
乗算は多くのマシン・サイクル数を消費する処理であっ
たが、ＬＳＩ技術の発展した現在では加減算と同様に乗
算を行なうことができる。このため本発明のハイブリッ
ド演算方式が乗算を使用することは何等不利にならない
。

〔実　施　例〕

先ず、第１図の原理的な処理手順に示されるところの、
近似解の精度が充分である場合における演算アルゴリズ
ムの一実施例を第１０図乃至第１２図を参照しながら説
明する。第１０図にはその演算アルゴリズムの処理手順
が示され、第１１図にはその処理内容が数直線上に模式
的に示され、第１２図には平方根演算に利用する中間値
のフォーマット（仮数部のみ）が示される。

ここで、近似解の精度が充分とは、その解の誤差が２の
−（ｎ＋１）乗未満であること、即ち、Ｒビットの重み
よりも小さいということである。

このような演算精度的な条件を満足する近似計算を採用
する場合には、先ず、第１２図に示される入力値（変域
）Ｘ、に対してニュートンラプソン法により近似解（仮
数値）ａを求める（ステップＳＬ）。数直線上における
この近似解ａの位置は第１１図に示され、そのフォーマ
ットは第１２図に示される。この近似解ａの高い演算精
度故に、第１１図に示されるようにラウンドビットＲの
重みよりもＥｎは小さくなっていて、ａを中心に前後夫
々Ｅｎの範囲で真の解が存在することになる。

次にその仮数値ａのｎ＋３ビツト目以降を０にした値ａ
′を求める（ステップＳ２）。この値ａ″は近似解ａの
上位ｎ＋２ビットのみ有効にした値であり、第１１図の
数直線上においてはラウンドビットＲの重みを最小とす
る近似解ａの直近目盛１０の位置に対応される。次いで
値ａ′を２乗した値Ａを求める（ステップＳ３）。次に
引き数の桁をニュートンラプソン法の与える桁に合せる
ため、引き数Ｘ０の指数Ｘｅが偶数か奇数かを判断する
（ステップＳ４）。奇数のときは引き数Ｘ。

を２で割る（ステップＳ５）。即ち、右に１ビツトシフ
トさせる。これを新たな引き数Ｘとする。

偶数の場合には引き数ＸはＸｏと等しくされる（ステッ
プＳ６）。

そして引き数Ｘを値Ａと比較しくステップ８７）、Ｘ＞
Ａ、Ｘ＜Ａ、Ｘ＝Ａの場合に応じた補正処理を行う。こ
の比較により、真の解が値ａ′よりも大きいか、小さい
か、または値ａ′と等しいかがわかる。

Ｘ＝Ａの場合には、値ａ′　（図においてａ”＝　ａｌ
　とみなして、同ａ′″″を処理する）の上位ｎビット
以降をそのまま丸め処理して厳密解Ｙを求める（ステッ
プＳ８）。この丸め処理は第４図に従って行われる。

Ｘ＜Ａのとき、即ち真の解が値ａ′よりも小さい場合に
は、真の値は第１１図において目盛１０と１１の間にあ
る。このときは、値ａ′からラウンドビットＲの重みの
２の−（ｎ＋１）乗を引くと共に、ステイッキビットＳ
の重みの２の−（ｎ＋１）乗を足す（ステップＳ９）。

即ちステイッキビットＳをセットすることになる。そし
てステップＳ８で示される丸め処理を行う。

Ｘ＞Ａのとき、即ち真の解が値ａ′よりも大きい場合に
は、真の値は第１１図において目盛１２の値よりも小さ
くなる。このとき真の値は■；第１１図の目盛１０と１
３の間にある場合、■；目盛１３の値に等しい場合。

■；目盛１３と１２の間にある場合 の３通りが考えられる。先ず、どの場合に属するかを判
定可能にするために、値ａ′にラウンドビットＲの重み
の２の−（ｎ＋１）乗を加えた値ａ′と、その値ａＩＩ
　を２乗した値Ａ′を求める（ステップ５１０）。そし
てその値Ａ′と引き数Ｘとの大小を判定する。その比較
結果が等しければ■のケースに該当し、Ｘが値Ａ′より
大きければ真の値は目盛１３の値よりも大きくケース■
に該当する。Ｘが値Ａ′より小さければ真の値は目盛１
３の値よりも小さくケース■に該当する。夫々に必要な
処理は第１０図においてステップ８１１〜Ｓ１３に示さ
れ、所要の処理を経た後に丸め処理（ステップＳ８）が
施されることによって値Ｙが取得される。

次に、第１図の原理的な処理手順に示されるところの、
近似解の精度が不充分である場合における演算アルゴリ
ズムの一実施例を第１３Ａ図及び第１３Ｂ図から第１５
図を参照しながら説明する。

第１３Ａ図及び第１３Ｂ図にはその演算アルゴリズムの
処理手順が示され、第１４図にはその処理内容が数直線
上に模式的に示され、第１５図には平方根演算に利用す
る中間値のフォーマット（仮数部のみ）が示される。

ここで、近似解の精度が不充分とは、近似計算で得られ
る解と真値との誤差が２の−（ｐ＋１）乗未満であるこ
と（ｐはｎよりも小さな正の整数）を意味し、近似解の
精度がｐ＋１番目のビットの重みよりも小さくなるよう
な演算手法によって近似解を得る場合である。

この場合には、先ず、第１５図に示される入力値（変域
）Ｘｏに対してニュートンラプソン法により近似解（仮
数値）ａを求める（ステップＴｌ）。数直線上における
この近似解ａの位置は第１４図に示され、そのフォーマ
ットは第１５図に示される。この近似解ａにおいて、ａ
のｐ＋２ビット目未満（ａのｐ＋３ビット目以降）をＯ
にしだ値ａ′を求める（ステップＴ２）。真の値は前記
値ａ′からＥｎ即ち２の−（ｐ＋１）乗以内にあり、目
盛２０から２１の区間に存在する。そしてこの区間を必
ず包含する二分法で探索可能な区間、即ち、第１４図に
おいて目盛２２と２３の間の区間を意味する［ａ’　−
（２の−ｐ乗）、ａ″＋（２の＝ｐ乗）］の区間に、二
分法を適用可能にすればよい。

以下そのためにはどのようにして二分法に必要な全桁圧
しい中間値と余剰値とを算出するかについて説明する。

（１）ａ’を２乗してＡを求める（ステップＴ３）。

（２）引き数の桁をニュートンラプソン法の与える桁に
合せるため、引き数の指数Ｘｅが偶数か奇数かを判定し
くステップＴ４）、奇数のときはりき続いて引き数を２
で割り（ステップＴ５）、偶数のときにはそのままにし
くステップＴ６）、これを新たな引き数Ｘとして採用す
る。

（３）ＸからＡを引いてこれをＢＯとする（ステップＴ
７）。

（４）近似値ａ′の２乗値Ａを引き数と比較して（ステ
ップＴ８）、その値ａ′を調整することにより、ｐ＋１
桁までの全ての桁が正しい中間値ａ’”を求める。即ち
この処理を詳述すれば、ＸとＡの大小を、前記ＢＯの値
の正負を判定することによって判断する（ステップＴ８
）。その判断結果に応する処理内容は概ね３通りとされ
る。

■Ｘ＞Ａ　（ＢＯは正） このとき真の値は第１４図の目盛２４と２３との間に存
在することになる。この場合には第１３Ａ図のステップ
Ｔ９．ＴＩＯの処理を行って、真の値が目盛２５の値よ
りも大きいか小さいかを判定する。大きければステップ
Ｔｌｌの処理を行い、ａ”をその目盛２５の値として採
用する。小さければ目盛２４の値が最適値になり、これ
をａ”　とする（ステップＴ１２）。また１等しい場合
には真の値が求まったことになるので、これをステップ
Ｔ１３の処理でラウンドビットＲとして、第１３Ｂ図の
丸め処理（ステップＴ２６）に進む。

■Ｘ＜Ａ（ＢＯは負） このとき真の値は第１４図の目盛２２と２４との間に存
在することになる。この場合には、ステップＴ１４で示
される処理を行い、この結果得られた値Ａ′とＸを比較
しくステップＴ１５）、ｘ≠Ａ’のときには、その値ａ
”　をステップＴ１６の処理で値ａ”にする。ステップ
Ｔ１５判定でＸ＝Ａ’　が成立する場合は最初の近似解
が所定の誤差範囲内に入っていれば無いはずであるが、
これが生した場合にはステップＴ１７の処理が行われる
。

■Ｘ＝Ａ　（ＢＯは零） このとき真の値は第１４図の目盛２４の値である。即ち
、ａ′をラウンドビットＲとして（ステップＴ１８）、
これを丸め処理した値を結果として返す。

（５）前記（４）の処理でｐ＋１桁まで正しい値が算出
されているので、これを基に二分法を開始し、ｐ＋２桁
目からｎ＋１桁目の計ｎ−ｐ回インテレ−ジョンを行う
。即ち、第１３Ｂ図に示されるスチップＴ１９では演算
数のループカウンタを初期化して、ｉ＝ｐ＋２にする。

ステップＴ２０でｉ桁目に１を立てる。逆関数を使用し
てＡを計算し、これをＸと比較する（ステップＴ２１）
。Ｘ＞Ａであればｉ桁目の１は正解なので、ステップＴ
２２に示されるようにループカウンタをインクリメント
して次へ進む。Ｘ≦Ａであれば、ｉ桁目は零が正解なの
で、ステップＴ２３に示されるようにＲを元に戻して、
ループカウンタを１インクリメントする。そして、ステ
ップＴ２４の判定を行って、そのような一連の処理をｎ
−ｐ回繰り返す。

二分法のループ中における乗算（ステップＴ２０）は実
際にはシフト演算と加算で代用され、また、ステップＴ
２３における減算はｉ桁目の１をリセットするだけで実
現される。ループ中の演算は専用ハードウェアを持たせ
たり、パイプライン処理を採用することにより、極めて
少ない時間（１マシンサイクル）で処理することが可能
である。斯る開平演算的な簡易演算法を数学的な記法で
表現することは困難なため（但しその内容は公知）第１
３Ｂ図にはその原理的な記述しか含まれていない。

（６）二分法でｎ＋１桁までの値が算出されると、ガー
ドビットＧ、及びラウンドビットＲまでの値が決定され
る。その後は次のようにしてステイッキビットＳを決定
する。即ち、ステップＴ２５に示されるように、Ｘ−Ａ
が零であればステイッキビットＳをＯにし、それが零で
なけ九ばステイッキビットＳを１にする。

（７）上記のようにして得られた答えを第４図に示され
る丸めアルゴリズムに従って丸め処理を行い（ステップ
Ｔ２６）、第１５図の値域Ｙのフォーマットを得る。

第６図には浮動小数点プロセッサを使用したシステム例
が示される。このシステムはマイクロプロセッサ３０、
浮動小数点プロセッサ３１、メモリ３２、割込み処理回
路３３、及びクロック発生器３４を含み、特に制限され
ないが、それらは個別的な半導体集積回路によって構成
されている。

前記浮動小数点プロセッサ３１はマイクロプロセッサ３
０のスレーブモジュールとされ、コプロセッサとしてマ
イクロプロセッサ３１の命令の実行の一端を担う。

第７図には前記浮動小数点プロセッサ３１の内部構成例
が示される。浮動小数点プロセッサ３１はマイクロシー
ケンサ部４０、演算部４１、そしてバス制御部４２に大
別される。

バス制御部４２は、マイクロプロセッサ３０を含む外界
とのインタフェースを行なう部分でああり、フォーマッ
ト変換部４５、パイプライン管理部４６、プロトコル制
御部４７を含む。

マイクロ・シーケンサ部４０は、浮動小数点演算のため
の各種演算アルゴリズムをマイクロプログラムの形態で
格納するマイクロＲＯＭ５０と、このマイクロＲＯＭ５
０から所定の手順に従ってマイクロ命令系列を読出して
いくためのマイクロアドレス制御部５１、そしてマイク
ロＲＯＭ５０から読出されるマイクロ命令をデコードし
て演算や入出力動作を制御するための各種制御信号を出
力するマイクロ命令デコーダ５２を備える。前記平方根
の厳密解を求めるための演算アルゴリズはそのマイクロ
ＲＯＭ５０に格納されている所定のマイクロ命令系列に
反映されている。

マイクロＲＯＭ５０に格納されるマイクロ命令フォーマ
ットは１例えば第８図に示されるように。

マイクロシーケンサ制御フィールドＭＳＣ、データバス
制御フィールドＤＢＣ１演算制御フィールドＡＵＧ、乗
算バス／演算制御フィールドＭＵＬＣから成る。マイク
ロシーケンサ制御フィールドＭＳＣは、分岐などの基本
的なシーケンス制御や、オーバーフロー／アンデフロー
など演算で発生する例外フラグのセッートなどの制御情
報が含まれる。

データバス制御フィールドＤＢＣは、符号制御、データ
タイプ制御、指数制御、仮数制御などを行うときに利用
される各種レジスタの制御フィールドである。演算制御
フィールドＡｔＪＣは、指数・仮数算術論理演算、指数
・仮数のフラグ制御、バレルシフト演算、並びに丸め演
算たのめの制御情報が含まれる。前記乗算バス／演算制
御フィールドＭＵＬＣには、乗数ＲＯＭ、乗算機、指数
演算部、仮数演算部のデータ入出力制御情報などを保有
する。

演算部４１はマイクロシーケンサ部４０の指示に従い実
際に演算を行なう部分である。演算部４１はデータタイ
プ演算部５５．指数演算部５６゜仮数演算部５７．定数
ＲＯＭ５８．乗算器５９を含む。データタイプ演算部５
５は浮動小数点プロセッサ３１のデータフォーマットで
表現可能な無限大、非数、零などの特殊なデータの符号
の正負を認識してこれらの値同志の論理演算を行なう９
指数演算部５６はマイクロＲＯＭ５０から読出されるマ
イクロ命令の指示にしたがって浮動小数点データの指数
部の演算処理を行なう。仮数演算部５７はマイクロＲＯ
Ｍから読出されるマイクロ命令の指示に従って浮動小数
点データの仮数部の演算処理を行なう。定数ＲＯＭ５８
は演算操作に必要な定数を格納するＲＯＭである。乗算
器５９は浮動小数点の仮数部分の乗算などを行なう並列
乗算器として構成されている。

第９図には演算部４１の更に詳細な一例が示される。前
記定数ＲＯＭ５８と乗算器５９は、上位。

下位夫々３３ビツトのバス６１．６２に共通接続され、
同バス６１．６２に、入力ポートロ３及び出力ポートロ
４を介して指数演算部５６が結合されると共に、入力ポ
ートロ５及び出力ポートロ６を介して仮数演算部５７が
結合される。指数演算部５６はライトバス６７と２本の
リードバス６８゜６９によって前記フォーマット変換部
４５に接続され、また前記仮数演算部５７はライトバス
７０と２本のリードバス７１．７２によってフォーマッ
ト変換部４５に接続される９そして、指数演算部５６は
指数レジスタ７５、加算器７６、及びシフト量デコーダ
７７などを備え、また、仮数演算部５７は仮数レジスタ
８０、正規化エンコーダ８１、加算器８２、バレルシフ
タ８３、及び丸め回路８４などを備える。

上記実施例によれば以下の作用効果がある。

（１）一定の精度を持つ近似解を算出し、近似解と最大
誤差より厳密解の存在する範囲を限定し、近似解と最大
誤差より割り出せる厳密解の存在範囲にある数値でどれ
が厳密解であるかを逆関数に各々の数値を代入してこれ
を引き数と比較して、正しいビット列を回復する。近似
解の精度が不充分である場合には、換言すれば、最大誤
差が比較的大きい場合には、厳密解が存在しうる範囲に
多くの数値表現が存在するため、結局これの中から厳密
解を割り出す為に二分法を使用する。近似解の演算精度
が充分であるならそのような二分法を再開しなくてもよ
い、そして、その結果から、厳密解を割り出すためには
、求める厳密解の桁数より二相多く存在範囲を狭めてＧ
、Ｒビットの値を割り出す。さらにＳビットを割り出す
。最後に、Ｇ、Ｒ，Ｓビットと丸めモードより厳密解を
求める。このように近似解を流用して平方根の厳密解を
求めるから、無限長の精度を持つ中間値を予め定められ
たｎビットの仮数を持つ浮動小数点フォーマットに丸め
て得られる厳密解を平方根演算で取得する場合に、その
演算ステップ数をｎ＋２以下に低減することができる。

（２）これにより、平方根の厳密解を能率的に求めるこ
とができるようになる。

以上本発明者によってなされた発明を実施例に基づいて
具体的に説明したが、本発明はそれに限定されるもので
はなく、その要旨を逸脱ルない範囲において種々変更可
能であることは言うまでもない。例えば近似解の演算手
法はニュートンラプソン法に限定されずその他の手法を
採用してもよい。また、近似解の演算精度に応じた２通
りの処理はその演算精度に応じて決定されるものである
から、本発明に係る演算アルゴリズムを実行可能な浮動
小数点プロセッサなどはその何れか一方の手法だけを固
定的にサボー１〜する構成であってもよい。なお、その
動作プログラムによって何れも選択可能にすることは妨
げられない。

以上の説明では主として本発明者によってなされた発明
をその背景となったコプロセッサとしての浮動小数点プ
ロセッサを含むシステムに並びにそれによって実行され
る演算アルゴリズムに適用した場合について説明したが
１本発明はそれに限定されるものではなく、平方根の厳
密解を所定の浮動小数点フォーマットに従って演算し得
る各種データ処理システムに広く適用可能である。

〔発明の効果〕

本願において開示された発明のうち代表的な者によって
得られる効果を簡単に説明すれば下記の通りである。

すなわち、平方根の近似解、をニュートン・ラプソン法
などで算出して、このビット列を加算乗算器を使用して
補正し、一方において前記近似解の精度が充分であれば
その補正処理で全てのビットを正しく補正し、他方にお
いて前記厳密解の精度が不充分な場合には、上位のビッ
ト列のみを補正してそこから二分法を再開し、その何れ
の結果に対しても最後に丸め処理を行うという演算手順
を採るから、平方根の厳密解を所定の浮動小数点フォー
マットで得る演算能率を従来に比べて高くすることがで
きるという効果がある。

このような演算アルゴリズムを採用したデータ処理シス
テムさらには半導体集積回路を利用することにより、平
方根の厳密解演算に関してシステムの動作効率を向上さ
せることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明に係る演算アルゴリズムの原理的な一例
を示すフローチャート、 第２図は浮動小数点数の一例フオーマット図、第３図は
、有限長の演算資源で厳密解を得る為の一例データフォ
ーマット図、 第４図は丸めのアルゴリズムを示す説明図、第５図は二
分法の原理説明図、 第６図は浮動小数点プロセッサを使用した一例システム
ブロック図、 第７図は浮動小数点プロセッサの一例ブロック図、 第８図は浮動小数点プロセッサで利用されるマイクロ命
令の一例アオーマット図、 第９図は浮動小数点プロセッサに含まれる演算部の詳細
な一例ブロック図、 第１０図は平方根の近似解の精度が充分な場合にこれを
利用して厳密解を求めるための処理手順の一例を示すフ
ローチャート、 第１１図は第１０図の処理で利用される引き数や中間値
などを数直線上に示す説明図、第１２図は第１０の処理
で平方根を求める際の中間値のデータフォーマット図、 第１３Ａ図及び第１３Ｂ図は平方根の近似解の精度が不
完十分なに場合にこれを利用して厳密解を求めるための
処理手順の一例を示すフローチャート。 第１４図は第１３Ａ図及び第１３Ｂ図の処理で利用され
る引き数や中間値などを数直線上に丞す説明図、 第１５図は第１３Ａ図及び第１３Ｂの処理で平方根を求
める際の中間値のデータフォーマット図である。 ３１・・・浮動小数点プロセッサ、４１・・・演算部、
５６・・・指数演算部、５７・・・仮数演算部、５８・
・・定数ＲＯＭ、５９・・・乗算器。 第　　１　　図 第 ２ 図 第 図 第 図 ０ 第 図 第 図 竺 １３４図

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、ある関数ｆ（ｘ）とその逆関数ｆ＾−＾１（ｙ）が
   あり、ｙはｘの平方根であるという関係を持つとき、充
   分な精度の近似解を利用して、関数ｆ（ｘ）のｎビット
   長の厳密解ｙを求める方法であって、全ての変域におい
   て厳密解の解像度より充分小さいＥｎ以下の誤差をｆ＾
   −（ｙ）との間に持つ近似関数ｇ（ｘ）の結果よりｎ＋
   ２ビットの長さの近似解ｙ’＝ｇ（ｘ）を得、ｆ＾−＾
   １（ｙ’）とｘの比較結果に応じてｙ’のビット列を補
   正してｙ”を得、さらにｆ＾−＾１（ｙ”）とｘとの比
   較結果に従いｙ”のビット列を補正してｙ’”を得て、
   ｙ’”を丸めることにより厳密解ｙを得ることを特徴と
   するハイブリッド式関数演算法。 ２、ある関数ｆ（ｘ）とその逆関数ｆ＾−＾１（ｚ）が
   あり、ｙはｘの平方根であるという関係を持つとき、不
   充分な精度の近似解を利用して、ｆ（ｘ）のｎビット長
   の厳密解ｙを求める方法であって、ｆ（ｘ）との間で厳
   密解のフォーマットのビットｍより充分小さいＥｎ以下
   の誤差を持つ近似関数ｇ（ｘ）を使用して、一定の精度
   を持つ近似解ｙ’＝ｇ（ｘ）を得、ｆ＾−＾１（ｙ’）
   とｘの比較結果に応じてｙ’のビット列をｍビット目ま
   で補正してｙ”を得ると共にｆ＾−＾１（ｙ”）とｘと
   の差分を得、これらの数値をもとに二分法を開始して残
   りのビット列を割り出して厳密解を得ることを特徴とす
   るハイブリッド式関数演算法。 ３、無限長の精度を持つ中間値を予め定められたｎビッ
   トの仮数を持つ浮動小数点フォーマットに丸めて得られ
   る厳密解を平方根演算について求める方法であって、１
   演算ステップに被乗数の複数桁以上を並列処理する乗算
   器を用いて、ｎ＋２以下の逐次的に行われる演算ステッ
   プでその厳密解を演算することを特徴とするハイブリッ
   ド式関数演算法。 ４、前記演算ステップは、所定の精度で近似解を取得す
   るステップと、真の解に対して所定の誤差範囲にある近
   似解と最大誤差より割りだされる厳密解の存在範囲にあ
   る数値の内どれが厳密解であるかを逆関数に所定の数値
   を代入してこれを引き数と比較しながら決定する近似解
   補正ステップと、補正された値に丸め処理を施すステッ
   プとを含むことを特徴とする請求項３記載のハイブリッ
   ド式関数演算法。 ５、前記演算ステップは、所定の精度で近似解を取得す
   るステップと、真の解に対して所定の誤差範囲にある近
   似解と最大誤差より割りだされる厳密解の存在範囲が相
   対的に広い場合に、近似解の結果を流用して途中から実
   行される二分法演算ステップと、二分法演算ステップで
   得られた値に丸め処理を施すステップとを含むことを特
   徴とする請求項３記載のハイブリッド式関数演算法。 ６、請求項１乃至５の何れか１項に記載の演算アアルゴ
   リズムを実行可能な演算処理システム。 ７、単一の半導体基板にマイクロコンピュータとして形
   成されて成る請求項６記載の演算処理システム。