JP7331880B2 - 複素関数のグラフ化方法、プログラム、情報処理装置 - Google Patents

複素関数のグラフ化方法、プログラム、情報処理装置 Download PDF

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Description

本明細書の開示は、複素関数のグラフ化方法、プログラム、情報処理装置に関する。
近年、学校教育へのＩＣＴ（Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）機器の導入が進んでいる。これに伴い、コンピュータ上で動作する様々な学習用のアプリケーションも盛んに開発されている。
例えば、非特許文献１で示される数学向けのアプリケーションを用いることで、様々な関数のグラフを表示することができる。
ＧｅｏＧｅｂｒａホームページ［Ｏｎｌｉｎｅ］，［令和３年３月１３日検索］，インターネット＜ＵＲＬ：https://www.geogebra.org/＞
ところで、複素関数をグラフで表現する場合、複素関数へ入力する複素数の実部及び虚部と複素関数から出力される複素数の実部及び虚部に対応する計４変数の関係を可視化する必要がある。一般に、関数は２次元又は３次元グラフで可視化されるが、２次元又は３次元グラフが示す２次元又は３次元の座標情報だけでは複素関数を表現し切れない。
このため、２次元又は３次元グラフを着色し、座標情報に加えて色情報（例えば、色相、明度）を用いることで、複素関数をグラフで表現する方法が従来から提案されている。この方法によれば、少なくとも１変数に色情報を割り当てることで、４変数の関係を可視化することが可能となる。
しかしながら、人間にとって、色情報から変数の値を読み取ることは、座標情報から変数の値を読み取る場合のように容易なことではない。このため、色情報を用いて４変数の関係が可視化されたグラフから複素関数の正確な情報を読み取ることは難しく、複素関数のグラフ表現の更なる改善が期待されている。
以上のような実情を踏まえ、本発明の一側面に係る目的は、正確な情報の読み取りが容易な複素関数のグラフ表現を提供することである。
本発明の一態様に係る方法は、コンピュータが行う複素関数のグラフ化方法であって、複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の複素関数の３次元グラフである第１の表示情報を生成し、前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の複素関数の３次元グラフである第２の表示情報を生成する、処理と、前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を、前記処理を行うコンピュータに接続される表示部に表示させる処理と、を含む。
本発明の一態様に係るプログラムは、複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の複素関数の３次元グラフである第１の表示情報を生成し、前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の複素関数の３次元グラフである第２の表示情報を生成する、処理、前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を、前記処理を行うコンピュータに接続される表示部に表示させる処理、前記コンピュータに実行させる。
本発明の一態様に係る情報処理装置は、複素関数を示す数式情報に基づいて、複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の複素関数の３次元グラフである第１の表示情報を生成し、前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の複素関数の３次元グラフである第２の表示情報を生成する生成部と、前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を、表示部に表示させる表示制御部と、を備える。
上記の態様によれば、正確な情報の読み取りが容易な複素関数のグラフ表現を提供することができる。
システム１の構成を例示した図である。 クライアント端末１０の物理構成を例示したブロック図である。 サーバ装置２０の物理構成を例示したブロック図である。 サーバ装置２０の機能構成を例示したブロック図である。 クライアント端末１０に表示されるアプリケーション画面の一例を示した図である。 サーバ装置２０で行われる複素関数のグラフ化処理のフローチャートの一例である。 グラフ付箋の作成手順を説明するための図である。 数式付箋の作成手順を説明するための図である。 数式処理を説明するための図である。 表示情報の生成手順を説明するための図である。
図１は、システム１の構成を例示した図である。図２は、クライアント端末１０の物理構成を例示したブロック図である。図３は、サーバ装置２０の物理構成を例示したブロック図である。図１から図３を参照しながら、システム１の構成について説明する。
システム１は、例えば、利用者からの入力に応じてさまざまな数学的演算を行い、グラフや数表などを用いて演算結果を表示するシステムであり、特に、複素関数をグラフ表示する機能を有している。システム１は、図１に示すように、ネットワーク３０を介して接続された、クライアント端末１０と、サーバ装置２０と、を含んでいる。ネットワーク３０は、例えば、インターネットである。
クライアント端末１０は、表示装置を備えた情報処理装置であり、システム１の利用者によって操作される。クライアント端末１０は、例えば、利用者の入力に応じてサーバ装置２０へ要求を送信し、要求に対するサーバ装置２０からの応答に基づいてアプリケーション画面上に種々の情報を表示する。
クライアント端末１０は、図１に示すように、ノート型のコンピュータ１０ａであってもよく、タブレット型のコンピュータ１０ｂであってもよく、スマートフォン型のコンピュータ１０ｃであってもよい。また、クライアント端末１０はモバイル端末に限らず、例えば、据え置き型のコンピュータであってもよい。
クライアント端末１０は、特に限定しないが、例えば、図２に示すように、プロセッサ１１と、記憶装置１２と、入力装置１３と、表示装置１４と、通信装置１５を備えている。
プロセッサ１１は、例えば、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）などを含む電気回路であり、記憶装置１２に記憶されているプログラム１２ａを実行する。なお、プロセッサ１１には、ＧＰＵ（Ｇｒａｐｈｉｃｓ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｕｎｉｔ）、ＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ）、ＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ－Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｒａｙ）、ＤＳＰ（Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ）などが含まれてもよい。
記憶装置１２は、例えば、任意の半導体メモリであり、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）などの揮発性メモリ、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、フラッシュメモリなどの不揮発性メモリを含んでいる。また、記憶装置１２は、磁気記憶装置、光学記憶装置、その他の種類の記憶装置を含んでもよい。記憶装置１２には、プロセッサ１１によって実行されるプログラム１２ａが記憶されている。なお、記憶装置１２に記憶されているプログラム１２ａは、例えば、ネットワーク３０及び通信装置１５を介してサーバ装置２０からダウンロードされたアプリケーションプログラムである。
入力装置１３は、例えば、キーボード、マウス、タッチパネルなどを含んでいるが、マイクなどの音声入力装置を含んでもよく、他の種類の入力装置を含んでもよい。表示装置１４は、クライアント端末１０の表示部の一例であり、例えば、液晶ディスプレイ、有機ＥＬディスプレイ、プラズマディスプレイ、ＣＲＴディスプレイなどである。通信装置１５は、例えば、Ｗｉ－Ｆｉ（登録商標）モジュールなどの無線通信装置であるが、有線通信装置であってもよい。
サーバ装置２０は、クライアント端末１０からの要求を処理して処理結果をクライアント端末１０へ送信する情報処理装置である。サーバ装置２０は、単一の装置として構成されてもよく、例えば、Ｗｅｂサーバ装置、アプリケーションサーバ装置、データベースサーバ装置などを含む複数の装置の集合であってもよい。また、サーバ装置２０は、分散コンピューティングシステムとして構成されてもよい。
サーバ装置２０は、特に限定しないが、例えば、図３に示すように、プロセッサ２１と、記憶装置２２と、入力装置２３と、表示装置２４と、通信装置２５を備えている。
プロセッサ２１は、例えば、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）などを含む電気回路であり、記憶装置２２に記憶されているプログラム２２ａを実行する。なお、プロセッサ２１には、ＧＰＵ（Ｇｒａｐｈｉｃｓ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｕｎｉｔ）、ＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ）、ＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ－Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｒａｙ）、ＤＳＰ（Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ）などが含まれてもよい。
記憶装置２２は、例えば、任意の半導体メモリであり、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）などの揮発性メモリ、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、フラッシュメモリなどの不揮発性メモリを含んでいる。また、記憶装置２２は、磁気記憶装置、光学記憶装置、その他の種類の記憶装置を含んでもよい。記憶装置２２には、プロセッサ２１によって実行されるプログラム２２ａが記憶されている。また、記憶装置２２には、クライアント端末１０に配布され、クライアント端末１０で実行されるプログラム１２ａが記憶されていてもよい。
入力装置２３は、例えば、キーボード、マウス、タッチパネルなどを含んでいるが、マイクなどの音声入力装置を含んでもよく、他の種類の入力装置を含んでもよい。表示装置２４は、サーバ装置２０の表示部の一例であり、例えば、液晶ディスプレイ、有機ＥＬディスプレイ、プラズマディスプレイ、ＣＲＴディスプレイなどである。通信装置２５は、無線通信装置であっても有線通信装置であってもよい。
以上のように構成されたシステム１では、まず、利用者がクライアント端末１０にインストールされたＷｅｂブラウザを起動して所定のＵＲＬを入力する。これにより、クライアント端末１０は、サーバ装置２０が配布したプログラム１２ａを記憶装置１２へダウンロードして実行する。プログラム１２ａは、例えば、Ｗｅｂブラウザ上で動作するアプリケーションプログラムである。その後、プログラム１２ａを実行することによりＷｅｂブラウザに表示されるアプリケーション画面上で、利用者が種々の操作を行うことで、クライアント端末１０は、サーバ装置２０へ要求を送信し、さらに、サーバ装置２０から応答に基づいてアプリケーション画面を更新する。
具体的には、例えば、利用者がアプリケーション画面上で数式を入力することで、クライアント端末１０は、サーバ装置２０へ数式情報を送信して数式によって表される関数のグラフ化を要求する。サーバ装置２０は、要求に基づいて数学的演算を行い、関数のグラフを表示するための情報を含む応答を、クライアント端末１０へ送信する。これを受けて、クライアント端末１０は、アプリケーション画面上に関数のグラフを表示する。
図４は、サーバ装置２０の機能構成を例示したブロック図である。図５は、クライアント端末１０に表示されるアプリケーション画面の一例を示した図である。以下、図４及び図５を参照しながら、複素関数をグラフ化する機能について説明する。
サーバ装置２０は、図４に示すように、入力部１１０と、生成部１２０と、出力部１３０と、を備えている。また、生成部１２０は、取得部１２１と、数式処理部１２２と、表示情報生成部１２３を備えている。なお、サーバ装置２０は、図４に示す機能部とは異なる機能部を備えてもよい。
入力部１１０は、クライアント端末１０からの数式情報を含む要求を受信する。入力部１１０は、例えば、通信装置２５によって実現される。サーバ装置２０が複素関数をグラフ化する場合、数式情報には、複素関数の数式の情報が含まれている。
生成部１２０は、複素関数を示す数式情報に基づいて、複素関数のグラフを表示装置１４に表示させる表示情報を生成する。より具体的には、生成部１２０は、複素関数を示す数式情報に基づいて、２つの３次元グラフ（第１の３次元グラフと第２の３次元グラフ）を表示装置１４に表示させる表示情報を生成する。生成部１２０は、例えば、記憶装置２２に記憶されているプログラム２２ａをプロセッサ２１が実行することによって実現される。
生成部１２０では、取得部１２１が要求に含まれている数式情報を取得し、数式処理部１２２が数式情報に対して数学的な演算処理を行い、表示情報生成部１２３が演算結果に基づいて表示情報を生成する。
取得部１２１は、クライアント端末１０の表示装置１４に表示された第１のグラフィカルユーザーインターフェイス（ＧＵＩ）コンポーネントの入力領域へ入力された情報を、数式情報として取得する。第１のＧＵＩコンポーネントは、表示装置１４における描画位置を調整可能な付箋を模したＧＵＩコンポーネントであってもよく、例えば、図５に示す数式付箋Ｆ１である。
数式処理部１２２は、取得部１２１で取得した数式情報が示す複素関数を、その複素関数からの出力である複素数の実部を示す関数（以降、実部関数と記す。）と、その複素関数からの出力である複素数の虚部を示す関数（以降、虚部関数と記す。）に分解する。
実部関数は、複素数の入力に対して複素関数の実部を返す関数である。つまり、複素関数へ入力する複素数の実部及び虚部と複素関数から出力される実部とに対応する計３変数で表現可能である。従って、実部関数は３次元グラフで表現することができる。また、虚部関数は、複素数の入力に対して複素関数の虚部を返す関数である。つまり、複素関数へ入力する複素数の実部及び虚部と複素関数から出力される虚部とに対応する計３変数で表現可能である。従って、虚部関数も実部関数と同様に、３次元グラフで表現することができる。
表示情報生成部１２３は、数式処理部１２２で得られた実部関数と虚部関数に基づいて、２つの３次元グラフを表示装置１４に表示させる表示情報を生成する。なお、２つの３次元グラフの一方は、実部関数をグラフ化した第１の３次元グラフであり、複素関数へ入力する複素数（第１の複素数）の実部を示す第１の変数と、第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、複素関数から出力される複素数（第２の複素数）の実部を示す第３の変数と、の関係を示している。２つの３次元グラフの他方は、虚部関数をグラフ化した第２の３次元グラフであり、複素関数へ入力する複素数（第１の複素数）の実部を示す第１の変数と、第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、複素関数から出力される複素数（第２の複素数）の虚部を示す第４の変数と、の関係を示している。
即ち、生成部１２０では、数式情報に基づいて、第１の３次元グラフの第１の表示情報と第２の３次元グラフの第２の表示情報を生成し、第１の表示情報と第２の表示情報を含む表示情報を生成する。
出力部１３０は、生成部１２０が生成した表示情報を出力する。より具体的には、出力部１３０は、表示情報を含む応答をクライアント端末１０へ送信する。出力部１３０は、例えば、通信装置２５によって実現される。
以上のようにサーバ装置２０が構成されることで、サーバ装置２０から表示情報を受信したクライアント端末１０は、表示情報に基づいて、図５に示すように、表示装置１４に複素関数のグラフ（３次元グラフ２と３次元グラフ３を重ねた３次元グラフ４）を表示することができる。
図５には、アプリケーションのウィンドウＷ内に数式付箋Ｆ１とグラフ付箋Ｇ１が表示されている様子が示されている。第１のＧＵＩコンポーネントである数式付箋Ｆ１の入力領域内には、複素関数を示す数式（ｗ＝１／ｚ、ここで、ｗ、ｚはともに複素数）が表示されている。また、数式付箋Ｆ１と関連付けられた第２のＧＵＩコンポーネントであるグラフ付箋Ｇ１のグラフ描画領域内には、実部関数を示す３次元グラフ２と虚部関数を示す３次元グラフ４が表示され、それによって１つの複素関数が３次元グラフ４としてグラフ化されている。即ち、サーバ装置２０から出力された表示情報は、３次元グラフ２と３次元グラフ３を、数式付箋Ｆ１と関連付けられたグラフ付箋Ｇ１のグラフ描画領域内に表示させる情報である。
このように、システム１によれば、複素関数を示す数式を入力するだけで、４変数のそれぞれに座標情報を割り当てることで４変数の関係を可視化した複素関数のグラフ（２つの３次元グラフ）を表示することができる。従って、変数の値は座標情報としてグラフから読み取ることができるため、ユーザは、表示されたグラフから複素関数の正確な情報を読み取ることができる。
図６は、サーバ装置２０で行われる複素関数のグラフ化処理のフローチャートの一例である。図７は、グラフ付箋の作成手順を説明するための図である。図８は、数式付箋の作成手順を説明するための図である。図９は、数式処理を説明するための図である。図１０は、表示情報の生成手順を説明するための図である。以下、図６から図１０を参照しながら、複素関数のグラフ化方法について具体的な説明する。
サーバ装置２０では、例えば、プロセッサ２１がプログラム２２ａを実行することで、図６に示すグラフ化処理を開始する。図６に示すグラフ化処理が開始されると、サーバ装置２０は数式情報を取得する（ステップＳ１）。
ステップＳ１の処理がサーバ装置２０で行われる前には、クライアント端末１０では、サーバ装置２０とやりとりすることで、以下の処理が行われる。まず、クライアント端末１０はサーバ装置２０上で動作するＷｅｂアプリケーションにアクセスすることで、Ｗｅｂブラウザ上にアプリケーション画面を表示する。この状態では、画面上には上述した数式付箋Ｆ１及びグラフ付箋Ｇ１のような付箋オブジェクトを一切表示されていない。
その後、クライアント端末１０のユーザが、アプリケーション画面上の任意の領域を押下すると、図７に示すメニューリストＭが表示される。メニューリストＭ上には、例えば、メニューＭ１～Ｍ５の５つがリストされている。ユーザがメニューＭ１を押下すると、図７に示すように、グラフ付箋Ｇ１が作成され、アプリケーション画面上に表示される。このとき、グラフ付箋Ｇ１には、グラフは表示されておらず、２次元グラフ用に２軸のみが表示される。
次に、ユーザがグラフ付箋Ｇ１を押下すると、グラフ付箋Ｇ１上に複数のメニュー（メニューＧＭ１、ＧＭ２、ＧＭ３、ＧＭ４）が表示される。これらのそれぞれは、異なる種類の付箋オブジェクトを作成するためのメニューである。ユーザが左から２番目に配置されているメニューＧＭ２を押下すると、図８に示すように、複素関数用の数式付箋Ｆ１が作成され、アプリケーション画面上にグラフ付箋Ｇ１と関連付けて表示される。このときにも、グラフ付箋Ｇ１には、グラフは表示されていないが、２次元グラフ用の２軸に代えて３次元グラフ用に３軸が表示される。なお、付箋オブジェクト間の関連付けは、関連する付箋オブジェクト間をつなぐ線を表示することによって表現されている。
数式付箋Ｆ１が表示され、ユーザが数式付箋Ｆ１に複素関数を示す数式を入力すると、ステップＳ１において、通信装置２５がクライアント端末１０から数式付箋Ｆ１に入力された情報を受信し、プロセッサ２１が受信した情報を数式情報として取得する。以降では、数式ｗ＝１／ｚが入力された場合を例に説明する。ｗ、ｚはそれぞれ複素変数である。
数式情報が取得されると、プロセッサ２１は、数式情報に対して数式処理を行う（ステップＳ２）。ここでは、図９に示すように、プロセッサ２１を構成する数式処理エンジンＥが、数式情報（ｗ＝１／ｚ）が示す複素関数から、実部関数（ｕ＝ｘ／（ｘ＾２＋ｙ＾２））と虚部関数（ｖ＝－ｙ／（ｘ＾２＋ｙ＾２））を算出する。なお、ｕ、ｖは、複素変数ｗの実部、虚部であり、ｘ、ｙは、複素変数ｚの実部、虚部である。
数式処理が完了すると、プロセッサ２１は、表示情報を生成する（ステップＳ３）。ここでは、図１０に示すように、プロセッサ２１は、実部関数の３次元グラフ２と、虚部関数の３次元グラフ３を作成する。さらに、プロセッサ２１は、３次元グラフ２と３次元グラフ３を、３次元グラフ２のｕ軸（出力軸）と３次元グラフ３のｖ軸（出力軸）が重なるように合成した合成３次元グラフ４を作成する。このように、３次元グラフ上の１軸をｕ軸とｖ軸で共有することで、ｘ軸、ｙ軸がそれぞれ割り当てられる２軸と合計した直交座標系の３軸で、４変数を表現することができる。このため、一つの直交座標系内に２つの３次元グラフを重ねて表示することが可能であり、実部と虚部の関係を容易に把握することが可能となる。また、ｕ軸とｖ軸で同じ軸を共有することで実部と虚部の大小関係も容易に把握することが可能となる。
プロセッサ２１は、このようにして作成された合成３次元グラフ４を表示装置１４で表示させるために必要な情報を、表示情報として作成する。表示情報は、例えば、画像形式の情報であってもよい。ただし、表示情報は、クライアント端末１０のプログラム１２ａによって合成３次元グラフ４を復元できればよいため、画像形式に限らない。合成３次元グラフ４を復元可能な画像形式以外の情報であってもよい。換言すると、表示情報は、第１の３次元グラフを表示装置１４に表示させる第１の表示情報と、第２の３次元グラフを表示装置１４に表示させる第２の表示情報を含んでいればよい。なお、第１の表示情報と第２の表示情報は、表示情報に分離可能に含まれてもよく、表示情報に混然一体となって分離不能に含まれていてもよい。
表示情報は、３次元グラフ２と３次元グラフ３を、表示装置１４に異なる色で表示させる情報であることが望ましく、プロセッサ２１は、表示情報を、表示装置１４に異なる色で２つのグラフを表示させる情報として作成することが望ましい。これにより、表示情報に基づいて３次元グラフ２と３次元グラフ３が表示された場合に、実部と虚部の違いを一目で把握することが可能となる。
表示情報の生成が完了すると、サーバ装置２０は、表示情報を出力する（ステップＳ４）。ここでは、例えば、通信装置２５がクライアント端末１０へ表示情報を送信する。これにより、図５に示すように、複素関数を示す２つの３次元グラフがアプリケーション画面上に表示され、図６に示す処理が終了する。
上述した実施形態は、発明の理解を容易にするために具体例を示したものであり、本発明はこれらの実施形態に限定されるものではなく、上述の実施形態の各種変形形態および代替形態を包含するものとして理解されるべきである。例えば、各実施形態は、その趣旨および範囲を逸脱しない範囲で構成要素を変形して具体化できることが理解されよう。また、上述した実施形態に開示されている複数の構成要素を適宜組み合わせることにより、種々の実施形態が実施され得ることが理解されよう。更には、実施形態に示される全構成要素からいくつかの構成要素を削除して、または実施形態に示される構成要素にいくつかの構成要素を追加して種々の実施形態が実施され得ることが当業者には理解されよう。即ち、複素関数のグラフ化方法、プログラム、情報処理装置は、特許請求の範囲の記載を逸脱しない範囲において、さまざまな変形、変更が可能である。
上述した実施形態では、Ｗｅｂアプリケーションとして複素関数のグラフ化機能を提供する例を示したが、当該機能を実現する態様は、Ｗｅｂアプリケーションに限定されない。また、複素関数のグラフは、サーバ装置２０の表示装置２４に表示されてもよく、ユーザは、入力装置２３を操作することで数式情報をサーバ装置２０へ入力してもよい。また、表示情報の出力は、表示装置に向けて行われるものに限られず、例えば、印刷装置などの他の出力装置に向けて行われてもよい。さらに、表示情報の出力は、出力装置に向けて行われるものに限られず、記憶装置に向けて行われてもよい。記憶装置に記憶された表示情報を任意のタイミングで読み出して表示装置に表示することで、ユーザが複素関数の正確な情報を読み取ることを可能としてもよい。
また、上述した実施形態では、２つの３次元グラフを重ねて表示する例を示したが、２つの３次元グラフは必ずしも重ねて表示される必要はない。例えば、グラフ付箋Ｇ１内のグラフ表示領域内に並んで表示されてもよい。また、互いに関連付けられた２つのグラフ付箋のグラフ表示領域内に１つずつ表示されてもよい。この場合も座標情報から変数の値を把握可能であり、複素関数のグラフから正確な情報の読み取りが可能である。
また、上述した実施形態では、ある付箋オブジェクトから取得した数式情報を用いて２つの３次元グラフを作成し、そのある付箋オブジェクトと関連付けられた別の付箋オブジェクト内に２つの３次元グラフを表示する例を示した。このような構成は、付箋オブジェクト同士が線などで関連付けられているため、３次元グラフがどの数式（複素関数）を可視化したものであるかを容易に把握可能である。また、付箋オブジェクトは表示領域内での配置の調整が容易であるので、例えば、学校教育などの現場で、教師が生徒に注目してほしいオブジェクトを動かして見やすい位置に移動させるなどの使い方が可能である。ただし、数式情報の入力を受け付けるＧＵＩコンポーネントは付箋オブジェクトに限らず、また、２つの３次元グラフを表示するＧＵＩコンポーネントも付箋オブジェクトに限らない。それぞれ画面上の所定の領域に固定されたＧＵＩコンポーネントであってもよい。
本明細書において、“Ａに基づいて”という表現は、“Ａのみに基づいて”を意味するものではなく、“少なくともＡに基づいて”を意味している。即ち、“Ａに基づいて”はＡに加えてＢに基づいてもよい。
本明細書において、名詞を修飾する“第１の”、“第２の”などの用語は、名詞で表現される要素の量又は順序を限定するものではない。これらの用語は、２つ以上の要素間を区別するために用いられ、それ以下でもそれ以上でもない。従って、“第１の”と“第２の”要素が特定されていることは、“第１の”要素が“第２の”要素に先行することを意味するものではなく、また、“第３の”要素の存在を否定するものでもない。
以下、本願の出願当初の特許請求の範囲に記載された発明を付記する。
［付記１］
複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の３次元グラフの第１の表示情報を生成し、
前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の３次元グラフの第２の表示情報を生成する、処理と、
前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を出力する処理と、
をコンピュータが行うことを特徴とする複素関数のグラフ化方法。
［付記２］
付記１に記載のグラフ化方法において、
前記表示情報は、前記第１の３次元グラフと前記第２の３次元グラフを、前記第１の３次元グラフの前記第３の変数に対応する軸と前記第２の３次元グラフの前記第４の変数に対応する軸が重なるように、前記表示部に表示させる情報である
ことを特徴とするグラフ化方法。
［付記３］
付記２に記載のグラフ化方法において、
前記表示情報は、前記第１の３次元グラフと前記第２の３次元グラフを、前記表示部に異なる色で表示させる情報である
ことを特徴とするグラフ化方法。
［付記４］
付記１乃至付記３のいずれか１つに記載のグラフ化方法において、さらに、
前記表示部に表示された第１のグラフィカルユーザーインターフェイス（ＧＵＩ）コンポーネントの入力領域へ入力された情報を、前記数式情報として取得する処理を備え、
前記表示情報は、前記第１の３次元グラフと前記第２の３次元グラフを、前記第１のＧＵＩコンポーネントと関連付けられた第２のＧＵＩコンポーネントのグラフ描画領域内に表示させる情報である
ことを特徴とするグラフ化方法。
［付記５］
付記４に記載のグラフ化方法において、
前記第１のＧＵＩコンポーネントと前記第２のＧＵＩコンポーネントの各々は、前記表示部における描画位置を調整可能な付箋を模したＧＵＩコンポーネントである
ことを特徴とするグラフ化方法。
［付記６］
複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の３次元グラフの第１の表示情報を生成し、
前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の３次元グラフの第２の表示情報を生成する、処理と、
前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を出力する処理と、
をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
［付記７］
複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の３次元グラフの第１の表示情報を生成し、前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の３次元グラフの第２の表示情報を生成する生成部と、
前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を出力する出力部と、を備える
ことを特徴とする情報処理装置。
１ システム
２－４ ３次元グラフ
１０ クライアント端末
１０ａ コンピュータ
１０ｂ コンピュータ
１０ｃ コンピュータ
１１、２１ プロセッサ
１２、２２ 記憶装置
１２ａ、２２ａ プログラム
１３、２３ 入力装置
１４、２４ 表示装置
１５、２５ 通信装置
２０ サーバ装置
３０ ネットワーク
１１０ 入力部
１２０ 生成部
１２１ 取得部
１２２ 数式処理部
１２３ 表示情報生成部
１３０ 出力部
Ｇ１ グラフ付箋
Ｆ１ 数式付箋

Claims (7)

  1. 複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の複素関数の３次元グラフである第１の表示情報を生成し、
    前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の複素関数の３次元グラフである第２の表示情報を生成する、処理と、
    前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を、前記処理を行うコンピュータに接続される表示部に表示させる処理と、
    を前記コンピュータが行うことを特徴とする複素関数のグラフ化方法。
  2. 請求項１に記載のグラフ化方法において、
    前記表示情報は、前記第１の複素関数の３次元グラフと前記第２の複素関数の３次元グラフを、前記第１の複素関数の３次元グラフの前記第３の変数に対応する軸と前記第２の複素関数の３次元グラフの前記第４の変数に対応する軸が重なるように、前記表示部に表示させる情報である
    ことを特徴とするグラフ化方法。
  3. 請求項２に記載のグラフ化方法において、
    前記表示情報は、前記第１の複素関数の３次元グラフと前記第２の複素関数の３次元グラフを、前記表示部に異なる色で表示させる情報である
    ことを特徴とするグラフ化方法。
  4. 請求項１乃至請求項３のいずれか１項に記載のグラフ化方法において、前記コンピュータにさらに、
    前記表示部に第１のグラフィカルユーザーインターフェイス（ＧＵＩ）コンポーネントを表示させる処理と、
    表示された第１のグラフィカルユーザーインターフェイス（ＧＵＩ）コンポーネントに含まれる入力領域への前記数式情報の入力を受け付ける処理と、
    を行わせ、
    前記第１の複素関数の３次元グラフと前記第２の複素関数の３次元グラフは、前記第１のＧＵＩコンポーネントと関連付けられグラフ描画領域を有する第２のＧＵＩコンポーネントの前記グラフ描画領域内に表示される
    ことを特徴とするグラフ化方法。
  5. 請求項４に記載のグラフ化方法において、
    前記第１のＧＵＩコンポーネントと前記第２のＧＵＩコンポーネントの各々は、前記表示部における表示位置を調整可能にした付箋オブジェクトである
    ことを特徴とするグラフ化方法。
  6. 複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の複素関数の３次元グラフである第１の表示情報を生成し、
    前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の複素関数の３次元グラフである第２の表示情報を生成する、処理、
    前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を、前記処理を行うコンピュータに接続される表示部に表示させる処理、
    を前記コンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
  7. 複素関数を示す数式情報に基づいて、前記数式情報が示す前記複素関数へ入力する第１の複素数の実部を示す第１の変数と、前記第１の複素数の虚部を示す第２の変数と、前記複素関数から出力される第２の複素数の実部を示す第３の変数と、の関係を示す第１の複素関数の３次元グラフである第１の表示情報を生成し、前記数式情報に基づいて、前記第１の変数と、前記第２の変数と、前記第２の複素数の虚部を示す第４の変数と、の関係を示す第２の複素関数の３次元グラフである第２の表示情報を生成する生成部と、
    前記第１の表示情報と前記第２の表示情報を含む表示情報を、表示部に表示させる表示制御部と、を備える
    ことを特徴とする情報処理装置。
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