JP7330313B2 - 演算装置および演算方法 - Google Patents

Description

本開示は、演算装置および演算方法に関する。

従来、凸２次計画問題においては、現在の状態から近い未来である時刻までの間の制御対象の状態量を、予測モデルを用いて予測することで、最適な制御量を決定するモデル予測制御が公知である（たとえば、特許文献１）。モデル予測制御においては、制御対象の状態量とその目標値との差、および制御量とその目標値との差に基づき生成される評価関数が用いられ、制御量に対する有効制約を考慮しながらその評価関数を最小化する制御量を決定するための演算が行われる。

特開２０１６―１００００９号公報

従来の凸２次計画問題の最適解を求める演算装置においては、有効制約として設定された複数の不等式制約が１次独立の関係にない場合、最適解が満たすべき条件を含む連立１次方程式の次元が低下する。連立１次方程式の次元が低下すると、演算装置は、最適解を求めることができない。さらに、演算装置は、有効制約として設定された複数の不等式制約が１次独立の関係にないことを確認するために、各不等式制約における行列のランクを演算する必要があり、演算負荷が大きくなり得る。

本開示は上記の課題に鑑みてなされたものであり、その目的は、演算負荷が大きくなることを極力抑えながら凸２次計画問題の最適解を求めることを可能とする演算装置および演算方法を提供することである。

本開示の演算装置は、凸２次計画問題の最適解を求める装置である。演算装置は、凸２次計画問題の評価関数、不等式制約の集合、および初期解を取得するインターフェースと、インターフェースによって取得された評価関数、不等式制約の集合、および初期解に基づき最適解を求めるプロセッサとを備える。プロセッサは、生成部と、探索部と、更新部とを備える。生成部は、不等式制約の集合と初期解とに基づき有効制約の集合を生成する。探索部は、有効制約の集合と評価関数とに基づき生成される連立１次方程式の解を求める。更新部は、探索部によって得られた解に基づき有効制約の集合を更新する。生成部は、追加判定部と、１次従属判定部と、有効制約追加部とを備える。追加判定部は、不等式制約の集合が有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約を含むか否かを判定する。１次従属判定部は、条件を満たす第１不等式制約が有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であるか否かを判定する。有効制約追加部は、１次従属判定部によって少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された第１不等式制約を、有効制約の集合に追加する。

本開示の演算方法は、コンピュータによる、凸２次計画問題の最適解を求める方法である。演算方法は、（ａ）凸２次計画問題における不等式制約の集合と初期解とに基づき有効制約の集合を生成するステップと、（ｂ）有効制約の集合と凸２次計画問題における評価関数とに基づき生成される連立１次方程式の解を求めるステップと、（ｃ）解を求めるステップによって得られた解に基づき有効制約の集合を更新するステップとを含む。（ａ）生成するステップは、（ａ１）不等式制約の集合が有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約を含むか否かを判定するステップと、（ａ２）条件を満たす第１不等式制約が有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であるか否かを判定するステップと、（ａ３）１次従属であるか否かを判定するステップによって少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された第１不等式制約を、有効制約の集合に追加するステップとを含む。

本開示の演算装置および演算方法は、演算負荷が大きくなることを極力抑えながら凸２次計画問題の最適解を求めることができる。

実施の形態に係る演算装置のハードウェア構成を示す図である。 線形制約の係数行列を示す図である。 実施の形態に係る演算装置の機能構成を示す図である。 実施の形態に係る生成部の機能構成を示す図である。 １次従属判定の一例を示す図である。 １次従属判定の一例を示す図である。 １次従属判定の一例を示す図である。 実施の形態に係る演算装置の演算処理を示すフローチャートである。 実施の形態に係る演算装置の生成処理を示すフローチャートである。 実施の形態に係る演算装置の探索処理を示すフローチャートである。 実施の形態に係る演算装置の更新処理を示すフローチャートである。

以下、図面を参照して、実施の形態について説明する。なお、図中において、同一または相当する部分には同一の符号を付してその説明は繰り返さない。

図１は、実施の形態に係る演算装置１のハードウェア構成を示す図である。実施の形態に係る演算装置１は、最適化問題を解く必要がある装置に搭載されたコントロールユニットによって実現される。たとえば、演算装置１が車両に搭載されたコントロールユニットに実装された場合、演算装置１は、車両を目標経路に追従させるための最適化問題を解いたり、燃費を最適化させるための最適化問題を解いたりすることができる。演算装置１が工場の管制装置に実装された場合、演算装置１は、工場の運用を最適化させるための最適化問題を解くことができる。

図１に示されるように、演算装置１は、インターフェース（Ｉ／Ｆ）１１と、プロセッサ１２と、メモリ１３とを備える。

インターフェース１１は、凸２次計画問題などの種々の最適化問題を取得する。さらに、インターフェース１１は、プロセッサ１２による最適化問題の演算結果を制御対象などに出力する。

プロセッサ１２は、「コンピュータ」の一例である。プロセッサ１２は、たとえば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）およびＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）などで構成される。プロセッサ１２は、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）などの演算回路（Processing Circuitry）で構成されてもよい。プロセッサ１２は、最適化問題を演算することで最適解を求める。

メモリ１３は、ＤＲＡＭ（Dynamic Random Access Memory）およびＳＲＡＭ（Static Random Access Memory）などの揮発性メモリ、ＲＯＭ（Read Only Memory）などの不揮発性メモリで構成される。メモリ１３は、ＳＳＤ（Solid State Drive）およびＨＤＤ（Hard Disk Drive）などを含む記憶装置であってもよい。メモリ１３は、プロセッサ１２が最適化問題を解くためのプログラムおよび演算データなどを記憶する。

演算装置１は、凸２次計画問題の最適解を求める装置であればよく、演算装置１の演算対象となる最適化問題は、特に限定されない。実施の形態では、演算装置１の演算対象となる最適化問題として、モデル予測制御の凸２次計画問題が例示される。

モデル予測制御は、現在の状態から近い未来である時刻Ｔまでの間の制御対象の状態量を、予測モデルｆを用いて予測することで、最適な制御量を決定する手法である。モデル予測制御は、下記の式（１）および式（２）で表される。

式（１）および式（２）において、ｘは状態変数、およびｕは制御変数である。モデル予測制御では、状態変数ｘとその目標値との差、および制御変数ｕとその目標値との差などに基づき生成される評価関数ｌを最小化する制御変数の値が求められる。

なお、評価関数ｌを最大化する制御変数の値を求める最適化問題を扱う場合は、評価関数ｌに「－１」を乗算して評価関数ｌの符号を反転させることで、その最適化問題を、評価関数ｌを最小化する制御変数の値を求める最適化問題として扱うことができる。

さらに、実施の形態に係る最適化問題は、式（２）で表されるように上限制約を含むが、下限制約を含んでいてもよい。たとえば、下限制約を扱う場合は、下限制約の両辺に「－１」を乗算して下限制約の符号を反転させることで、その下限制約を、式（２）のように上限制約として扱うことができる。

以下では、制約を緩和する少なくとも１つのスラック変数を制御変数ｕに含めたモデル予測制御について、演算装置１が最適解を求めることを想定する。

各予測時刻ｔ＝ｎΔｔ（ｎ＝０、１、２、…、Ｎ）において、式（１）および式（２）に対して離散化が行われ、さらに、各予測時刻において、初期状態量および初期制御量を用いて式（１）および式（２）に対して線形化が行われると、式（３）～式（５）で表されるような凸２次計画問題が得られる。

式（３）～式（５）において、Ｔ＝ＮΔｔである。Δｘは、状態変数と初期状態量との差分である。Δｕは、制御変数と初期制御量との差分である。Ｑ_ｎおよびｑ_ｎは、評価関数に対して離散化および線形化を行った際の係数である。ａ_ｎは、予測制御モデルに対して離散化および線形化を行った際の定数項である。Ｆ_ｎは、予測制御モデルに対して離散化および線形化を行った際の状態変数の係数である。Ｇ_ｎは、予測制御モデルに対して離散化および線形化を行った際の制御変数の係数である。

離散化および線形化が行われる順番について、先に離散化が行われ、その後に線形化が行われてもよいし、先に線形化が行われ、その後に離散化が行われてもよい。あるいは、離散化と線形化とが並行して行われてもよい。

現在の状態量ｘ_０を定数項とみなし、ｎ＝０、１、２、…、Ｎにおける状態変数ｘ_ｎが式（４）の漸化式を用いて消去されることで、式（６）および式（７）で表されるような制御変数ｕのみを用いる凸２次計画問題が得られる。

さらに、式（６）で表される凸２次計画問題の評価関数が下記の式（８）のように表され、式（７）で表される凸２次計画問題の不等式制約が下記の式（９）のように表されることで、実施の形態に係る演算装置１が最適化すべき凸２次計画問題が得られる。

式（８）および式（９）において、Ｊは凸２次計画問題の評価関数、ｗは解ベクトル、ｗ^Ｔは転置された解ベクトル、Ｈはヘッセ行列、ｈ^Ｔは調整行ベクトル、Ｃは線形制約の係数行列、およびｖは制約ベクトルである。

図２は、線形制約の係数行列Ｃを示す図である。図２に示されるように、係数行列Ｃは、ｍ×ｎの行列である。ｍ＝不等式制約ｐの数×予測時刻ステップ数Ｎである。係数行列Ｃは、上の行から不等式制約ｐの数ずつ、予測時刻ステップｎ＝１、２、…、Ｎに対応した制約が表されるように設定される。各不等式制約は、対応する予測時刻ステップまでの制御変数による線形結合で表されるため、係数行列Ｃの０でない要素は、（制御変数の数×予測時刻ステップｎ）番目までの要素に限定される。以下では、説明のために、各不等式制約に対して上の行から順に制約番号１、２、…を付番する。

制御変数がスラック変数を含む場合、予測時刻ステップｎの不等式制約は、予測時刻ステップｎまでのスラック変数を除く制御変数と、予測時刻ステップｎのスラック変数とによる線形結合で表されるため、予測時刻ステップ（ｎ－１）までのスラック変数係数は、０である。

図３は、実施の形態に係る演算装置１の機能構成を示す図である。以下では、凸２次計画問題の最適解を求める手法として、演算装置１が主有効制約法を用いる例を説明するが、演算装置１は、他の手法を用いて最適解を求めてもよい。

図３に示されるように、演算装置１は、主な機能として、生成部２１と、探索部２２と、更新部２３とを備える。演算装置１が備える各機能部は、プロセッサ１２がメモリ１３に記憶されたプログラムを実行することで実現される。なお、演算装置１が備える各機能部は、複数のプロセッサ１２と複数のメモリ１３とが連携することで実現されてもよい。

まず、演算装置１は、インターフェース１１を介して式（８）で表される凸２次計画問題の評価関数Ｊ、式（９）で表される線形制約である不等式制約の集合、および初期解ｗ_０ｉｎを取得する。

生成部２１は、インターフェース１１によって取得された不等式制約の集合と初期解ｗ_０ｉｎとに基づき、有効制約の集合および実行可能初期解ｗ_０を生成する。

探索部２２は、最適化問題の評価関数Ｊ、生成部２１によって生成された有効制約の集合、および解ｗ_ｋを取得する。探索部２２は、取得した有効制約の集合と評価関数Ｊとに基づき、凸２次計画問題の最適解を求めるための連立１次方程式を生成する。具体的には、探索部２２は、有効制約のみを制約とする評価関数Ｊの最小化問題を解くための連立１次方程式を生成する。探索部２２は、連立１次方程式の解ｙを求める。

更新部２３は、生成部２１によって生成された有効制約の集合および探索部２２によって得られた解ｙを取得する。更新部２３は、探索部２２によって得られた解ｙに基づき有効制約の集合および解を更新し、有効制約の集合および最適解ｗ_ｋを出力する。

図４を参照しながら、生成部２１について具体的に説明する。図４は、実施の形態に係る生成部２１の機能構成を示す図である。図４に示されるように、生成部２１は、初期解生成部１１１と、最大制約追加部１１２と、追加判定部１１３と、１次従属判定部１１４と、有効制約追加部１１５とを備える。

初期解生成部１１１は、初期解ｗ_０ｉｎが式（９）で表される不等式制約の集合を満たす場合は、初期解ｗ_０ｉｎを実行可能初期解ｗ_０とする。初期解生成部１１１は、初期解ｗ_０ｉｎが不等式制約の集合を満たさず、初期解ｗ_０ｉｎが実行不可能な解である場合は、下記の式（１０）を用いて、不等式制約の集合を満たすような実行可能初期解ｗ_０を生成する。

式（１０）において、添え字ｓ_［ｉ］は、不等式制約に対応するスラック変数ｓ_ｎ（≧０）の解ｗにおける要素番号を表す。初期解生成部１１１は、式（１０）において、スラック変数ｓ_ｎをより大きな値に更新することで、式（９）の不等式制約の集合を満たすような実行可能初期解ｗ_０を生成する。

最大制約追加部１１２は、各予測時刻において、不等式制約の集合のうち、最も大きなスラック変数値に更新した不等式制約を、最も制約値から外れる不等式制約（以下、「第３不等式制約」とも称する。）とする。最大制約追加部１１２は、第３不等式制約を、他の不等式制約よりも優先的に有効制約の集合に追加する。これにより、演算装置１は、以下で説明する追加判定部１１３、１次従属判定部１１４、および有効制約追加部１１５による処理を経て有効制約に追加される不等式制約よりも優先的に、最も制約値から外れる第３不等式制約を有効制約の集合に追加することができる。

不等式制約の集合のうち、第３不等式制約以外の他の不等式制約は、制約番号の小さい不等式制約から順に、追加判定部１１３、１次従属判定部１１４、および有効制約追加部１１５による処理が施される。

追加判定部１１３は、不等式制約の集合において有効制約の集合に追加する条件を満たす不等式制約（以下、「第１不等式制約」とも称する。）があるか否かを判定する。具体的には、追加判定部１１３は、下記の式(１１)を用いて、実行可能初期解ｗ_０において、各不等式制約が有効制約であるための条件を満たすか否かを判定する。式（１１）において、ｔｏｌは、判定閾値であって小さな正の数である。

不等式制約の集合のうち、式（１１）の条件を満たす第１不等式制約は、有効制約の集合に追加される候補となる。

１次従属判定部１１４は、追加判定部１１３によって式（１１）の条件を満たすと判定された第１不等式制約と、有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの不等式制約（以下、「第２不等式制約」とも称する。）とが１次従属であるか否かを判定する。すなわち、１次従属判定部１１４は、有効制約の集合に追加される候補となる第１不等式制約と、現在の有効制約として設定されている各第２不等式制約とが１次従属であるか否かを判定する。

具体的には、１次従属判定部１１４は、線形制約の係数行列Ｃにおいて、有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素（制御変数）の集合（以下、「第１集合」とも称する。）を特定する。さらに、１次従属判定部１１４は、現在の有効制約として設定されている少なくとも１つの第２不等式制約に含まれる係数が０でない要素（制御変数）の集合（以下、「第２集合」とも称する。）を特定する。１次従属判定部１１４は、第２集合が第１集合の部分集合であり、かつ、少なくとも１つの第２不等式制約に含まれる係数が０でない要素の数が、第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の数以上である場合に、第１不等式制約と少なくとも１つの第２不等式制約とが１次従属であると判定する。

有効制約追加部１１５は、１次従属判定部１１４によって少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された第１不等式制約を、有効制約の集合に追加する。これにより、演算装置１は、有効制約として設定された複数の不等式制約を１次独立の関係に保つことができる。

図２に示されるように、モデル予測制御において生成される不等式制約の係数行列Ｃは、各制約に対応する予測時刻まで、係数が０でない制御変数が存在する。すなわち、予測時刻順に不等式制約を並べた場合、係数が０でない制御変数の数が後半の制約ほど多くなる。１次従属判定部１１４は、第１不等式制約と少なくとも１つの第２不等式制約とが１次従属であるか否かを判定する際に、第１集合および第２集合の各々を必ずしも具体的に求める必要はない。１次従属判定部１１４は、係数行列Ｃの０でない要素が各不等式制約に対応する予測時刻以前の制御変数に相当する要素のみに存在するという特徴を利用することで、以下のように１次従属フラグを用いて１次従属の有無を判定することができる。

具体的には、１次従属判定部１１４は、現在の有効制約として設定されている各第２不等式制約について、制約番号の小さい順に、係数が０でなく、かつ、未だ１次従属フラグが成立していない要素に対して、１次従属フラグを成立させる。１次従属判定部１１４は、少なくとも１つの第２不等式制約に含まれる係数が０でない要素のうち、第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の全てに対して１次従属フラグが成立しているか否かを判定する。ここで、１次従属フラグが成立している場合、第２集合が第１集合の部分集合であるという条件を満たす第２不等式制約の数が、第１不等式制約の次元と同数存在する。このような場合、１次従属判定部１１４は、第１不等式制約と第２不等式制約とが１次従属であると判定することができる。

図５～図７を参照しながら、１次従属判定の一例を説明する。図５～図７は、１次従属判定の一例を示す図である。図５～図７では、線形制約の係数行列Ｃが不等式制約Ａ、不等式制約Ｂ、および不等式制約Ｃを含む例を想定する。

図５に示されるように、演算装置１は、不等式制約Ａを「第１不等式制約」として有効制約に追加するか否かを判定する場合、現在の有効制約として設定されている各第２不等式制約について、制約番号の小さい順に、係数が０でなく、かつ、未だ１次従属フラグが成立していない要素に対して、１次従属フラグを成立させる。ところが、不等式制約Ａの制約番号よりも小さい制約番号に対応する不等式制約は存在しない。すなわち、不等式制約Ａよりも前に有効制約として設定されている第２不等式制約は存在しないため、演算装置１は、不等式制約Ａを有効制約として設定する。

図６に示されるように、演算装置１は、不等式制約Ｂを「第１不等式制約」として有効制約に追加するか否かを判定する場合、現在の有効制約として設定されている少なくとも１つの第２不等式制約について、制約番号の小さい順に、係数が０でなく、かつ、未だ１次従属フラグが成立していない要素に対して、１次従属フラグを成立させる。現在の有効制約として設定されている第２不等式制約は、不等式制約Ａのみであるため、演算装置１は、不等式制約Ａについて、係数が０でない要素に対して１次従属フラグを成立させる。

不等式制約Ａは、ｘに対応する係数の要素が「１」であり、ｙに対応する係数の要素が「０」であり、ｚに対応する係数の要素が「０」である。すなわち、不等式制約Ａは、「第２集合」として、ｘに対応する要素「１」を含む。図５に示されるように、演算装置１は、不等式制約Ａについて、ｘに対応する要素「１」に対して１次従属フラグを成立させる。

不等式制約Ｂは、ｘに対応する係数の要素が「１」であり、ｙに対応する係数の要素が「０」であり、ｚに対応する係数の要素が「１」である。すなわち、不等式制約Ｂは、「第１集合」として、ｘに対応する要素「１」とｚに対応する要素が「１」とを含む。

演算装置１は、第２集合が第１集合の部分集合であり、かつ、第２不等式制約（不等式制約Ａ）に含まれる係数が０でない要素の数（この例では１）が、第１不等式制約（不等式制約Ｂ）に含まれる係数が０でない要素の数（この例では２）以上でないため、第１不等式制約（不等式制約Ｂ）と第２不等式制約（不等式制約Ａ）とが１次従属でない、すなわち１次独立であると判定する。よって、演算装置１は、不等式制約Ｂを有効制約の集合に追加する。

図７に示されるように、演算装置１は、不等式制約Ｃを「第１不等式制約」として有効制約に追加するか否かを判定する場合、現在の有効制約として設定されている各第２不等式制約について、制約番号の小さい順に、係数が０でなく、かつ、未だ１次従属フラグが成立していない要素に対して、１次従属フラグを成立させる。現在の有効制約として設定されている第２不等式制約は、不等式制約Ａおよび不等式制約Ｂであるため、演算装置１は、図５に示されるように、最初に不等式制約Ａについて、係数が０でない要素に対して１次従属フラグを成立させる。次に、演算装置１は、図６に示されるように、不等式制約Ｂについて、係数が０でなく、かつ、未だ１次従属フラグが成立していない要素に対して１次従属フラグを成立させる。

不等式制約Ａは、ｘに対応する要素「１」を含む。図５に示されるように、演算装置１は、不等式制約Ａについて、ｘに対応する要素「１」に対して１次従属フラグを成立させる。

不等式制約Ｂは、ｘに対応する要素「１」とｚに対応する要素が「１」とを含む。ｘに対応する要素「１」については、既に不等式制約Ａにおいて１次従属フラグが成立しているため、図６に示されるように、演算装置１は、不等式制約Ｂについて、Ｚに対応する要素「１」に対してのみ１次従属フラグを成立させる。よって、有効制約として設定されている第２不等式制約（不等式制約Ａ、不等式制約Ｂ）に含まれる係数が０でない要素の集合（第２集合）は、ｘに対応する要素とｚに対応する要素とを含む。

不等式制約Ｃは、ｘに対応する係数の要素が「３」であり、ｙに対応する係数の要素が「０」であり、ｚに対応する係数の要素が「１」である。すなわち、不等式制約Ｃは、「第１集合」として、ｘに対応する要素「３」とｚに対応する要素が「１」とを含む。

演算装置１は、第２集合が第１集合の部分集合であり、かつ、第２不等式制約（不等式制約Ａ、不等式制約Ｂ）に含まれる係数が０でない要素の数（この例では２）が、第１不等式制約（不等式制約Ｃ）に含まれる係数が０でない要素の数（この例では２）以上であるため、第１不等式制約（不等式制約Ｃ）と第２不等式制約（不等式制約Ａ、不等式制約Ｂ）とが１次従属であると判定する。よって、演算装置１は、不等式制約Ｃを有効制約の集合に追加しない。

このように、演算装置１は、１次従属フラグを用いることで、式（１１）で表される有効制約であるための条件を満たす第１不等式制約と、有効制約として設定されている第２不等式制約とが１次従属であるか否かを判定することができる。

図２に示されるように、制約番号の小さい不等式制約ほど、対応する予測時刻が現在に近く、不等式制約の０でない要素の数が少ない。よって、演算装置１は、制約番号の小さい順、すなわち不等式制約の０でない要素の数が少ない順に、１次従属の有無を判定することで、未だ１次従属フラグが成立していない要素を容易に見つけることができる。

第１不等式制約と有効制約として設定されている第２不等式制約とが１次従属であるか否かを判定する場合、一般的には特異値分解などの数値演算手法を用いる必要がある。しかしながら、このような数値演算手法は、演算負荷が大きくなり得るため、リアルタイムで制御変数を決定しなければならない演算周期の短いモデル予測制御に適用することが困難である。

この点、実施の形態に係る演算装置１は、係数行列Ｃの０でない要素が各不等式制約に対応する予測時刻以前の制御変数に相当する要素のみに存在するという特徴を利用することで、第１不等式制約および第２不等式制約の各々について係数が０であるか否かで１次従属フラグを成立させる。演算装置１は、このような１次従属フラグを用いて１次従属判定を行うことで、演算負荷が大きくなることを極力抑えながら凸２次計画問題の最適解を求めることができる。

図８は、実施の形態に係る演算装置の演算処理を示すフローチャートである。演算装置１の演算処理は、プロセッサ１２がメモリ１３に記憶されたプログラムを実行することで実現される。なお、演算装置１の演算処理は、複数のプロセッサ１２と複数のメモリ１３とが連携することで実現されてもよい。

図８に示されるように、演算装置１は、生成処理を実行する（Ｓ１）。生成処理は、図２の生成部２１が実行する処理に対応する。演算装置１は、生成処理を実行することで、インターフェース１１によって取得された不等式制約の集合と初期解ｗ_０ｉｎとに基づき、有効制約の集合および実行可能初期解ｗ_０を生成する。

演算装置１は、探索処理を実行する（Ｓ２）。探索処理は、図２の探索部２２が実行する処理に対応する。演算装置１は、探索処理を実行することで、有効制約の集合と評価関数Ｊとに基づき、凸２次計画問題の最適解を求めるための連立１次方程式を生成するとともに、連立１次方程式の解ｙを求める。

演算装置１は、更新処理を実行する（Ｓ３）。更新処理は、図２の更新部２３が実行する処理に対応する。演算装置１は、更新処理を実行することで、Ｓ２の処理によって得られた解ｙに基づき有効制約の集合および解を更新し、有効制約の集合および最適解を出力する。

図９は、実施の形態に係る演算装置１の生成処理を示すフローチャートである。図９に示される各処理は、図８の生成処理（Ｓ１）に含まれる。なお、図９において、Ｓ１１の処理は、図４の初期解生成部１１１が実行する処理に対応する。Ｓ１２およびＳ１３の処理は、図４の最大制約追加部１１２が実行する処理に対応する。Ｓ１４の処理は、図４の追加判定部１１３が実行する処理に対応する。Ｓ１５およびＳ１６の処理は、図４の１次従属判定部１１４が実行する処理に対応する。Ｓ１７の処理は、図４の有効制約追加部１１５が実行する処理に対応する。

図９に示されるように、演算装置１は、初期解ｗ_０ｉｎが式（９）で表される不等式制約の集合を満たすか否かに応じて、実行可能初期解ｗ_０を生成する（Ｓ１１）。このとき、演算装置１は、初期解ｗ_０ｉｎが不等式制約の集合を満たさない場合、式（１０）において、スラック変数ｓ_ｎをより大きな値に更新することで、式（９）の不等式制約の集合を満たすような実行可能初期解ｗ_０を生成する。

演算装置１は、不等式制約の集合のうち、最も大きなスラック変数値に更新した不等式制約を、最も制約値から外れる第３不等式制約として決定する（Ｓ１２）。

演算装置１は、決定した第３不等式制約を、他の不等式制約よりも優先的に有効制約の集合に追加する（Ｓ１３）。これにより、演算装置１は、以下で説明するＳ１４～Ｓ１７の処理を経て有効制約に追加される不等式制約よりも優先的に、最も制約値から外れる第３不等式制約を有効制約の集合に追加することができる。

演算装置１は、第３不等式制約以外の他の不等式制約について、制約番号の小さい不等式制約から順に、Ｓ１４～Ｓ１７の処理を実行する。

演算装置１は、不等式制約の集合において有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約があるか否かを判定する（Ｓ１４）。演算装置１は、有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約がない場合（Ｓ１４でＮＯ）、Ｓ１８の処理に移行する。

演算装置１は、有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約がある場合（Ｓ１４でＹＥＳ）、有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約について、制約番号の小さい順に、係数が０でなく、かつ、未だ１次従属フラグが成立していない要素に対して、１次従属フラグを成立させる（Ｓ１５）。

演算装置１は、図５～図７を参照しながら説明したように、１次従属フラグに基づき、有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約と、現在の有効制約として設定されている少なくとも１つの第２不等式制約とが１次従属であるか否かを判定する（Ｓ１６）。演算装置１は、第１不等式制約と第２不等式制約とが１次従属である場合（Ｓ１６でＹＥＳ）、Ｓ１７の処理をスキップしてＳ１８の処理に移行する。

演算装置１は、第１不等式制約と第２不等式制約とが１次従属でない場合、すなわち第１不等式制約と第２不等式制約とが１次独立である場合（Ｓ１６でＮＯ）、第２不等式制約と１次従属でないと判定された第１不等式制約を有効制約の集合に追加する（Ｓ１７）。

演算装置１は、不等式制約の集合に含まれる全ての不等式制約について有効制約への追加判定を行ったか否かを判定する（Ｓ１８）。演算装置１は、全ての不等式制約について有効制約への追加判定を行っていない場合（Ｓ１８でＮＯ）、Ｓ１４の処理に戻る。

演算装置１は、全ての不等式制約について有効制約への追加判定を行った場合（Ｓ１８でＹＥＳ）、生成処理を終了する。

図１０は、実施の形態に係る演算装置１の探索処理を示すフローチャートである。図１０に示される各処理は、図８の探索処理（Ｓ２）に含まれる。

演算装置１は、生成処理によって生成された有効制約の集合と評価関数Ｊとに基づき、凸２次計画問題の最適解を求めるための連立１次方程式を生成する（Ｓ２１）。演算装置１は、有効制約のみを制約とする評価関数Ｊの最小化問題を解くための連立１次方程式を生成する。有効制約のみを制約とする評価関数Ｊの最小化問題は、下記の式（１２）および式（１３）で表される。

演算装置１は、ＫＫＴ（Karush-Kuhn-Tucker Condition）条件を含む連立１次方程式を下記の式（１４）のように生成する。

式（１４）において、添え字のｋは、演算装置１の演算反復回数に対応する。インターフェース１１が最適化問題を取得し、その後、生成部２１が演算した条件を用いて初めて探索部２２が演算を行う場合、ｋ＝０になる。実行可能初期解Ｗ_０の添え字はｋ＝０を表す。すなわち解Ｗ_ｋの添え字のｋは、演算装置１の演算反復回数に対応する。ｙは、式（１２）および式（１３）で表される演算反復回数がｋにおける最小化問題の解である。λは、各制約に対応するラグランジュ乗数である。

演算装置１は、数値解法を用いて、(式１４)の解ｙを求める（Ｓ２２）。連立１次方程式の解を求める方法としては、ガウスの消去法のような直接解法と、ＣＧ法（conjugate gradient method）およびＧＭＲＥＳ法（Gen-eralized Minimal RESidual method）などの反復法を用いる手法とが知られている。なお、演算装置１は、これらの数値解法を実行する前に、数値的な収束性および安定性を高めるために、連立１次方程式に対して前処理を施してもよい。その後、演算装置１は、探索処理を終了する。

図１１は、実施の形態に係る演算装置１の更新処理を示すフローチャートである。図１１に示される各処理は、図８の更新処理（Ｓ３）に含まれる。

演算装置１は、探索処理によって得られた解ｙに基づき有効制約の集合および解を更新する（Ｓ３１）。演算装置１は、有効制約の集合に追加または除去すべき制約を以下により決定し、解Ｗ_ｋの更新を行う。

有効制約の集合に追加すべき制約がある場合、演算装置１は、次のようにして、有効制約の集合および解ｗ_ｋ＋１を決定する。具体的には、演算装置１は、探索処理によって得られた解ｙが式（９）で表される不等式制約の集合を１つ以上満たさない場合、下記の式（１５）を用いて、解ｗ_ｋ＋１を決定する。

式（１５）において、αは、０＜α＜１、かつ、解ｗ_ｋ＋１が不等式制約の集合を満たす条件のもと、最も大きい値に設定される。さらに、演算装置１は、解ｗ_ｋ＋１に関して新たに等式制約を満たす制約を有効制約の集合に追加することで、更新された有効制約の集合を生成する。

一方、有効制約の集合に除去すべき制約がある場合、演算装置１は、次のようにして、有効制約の集合および解ｗ_ｋ＋１を決定する。具体的には、演算装置１は、探索処理によって得られた解ｙが式（９）で表される不等式制約の集合を全て満たす場合、下記の式（１６）を用いて、解ｗ_ｋ＋１を決定する。

演算装置１は、探索部２２によって得られた解ｙについて、ラグランジュ乗数λ＜０を満たすものが存在する場合、その中で最も絶対値の大きなものに対応する制約を有効制約の集合から取り除くことで、更新された有効制約の集合を生成する。

演算装置１は、有効制約の集合が更新されたか否かを判定する（Ｓ３２）。具体的には、演算装置１は、有効制約の集合に不等式制約が追加されず、かつ、有効制約の集合から不等式制約が除去されていない場合（Ｓ３２でＮＯ）、最適解として解ｗ_ｋ＋１を出力して演算を終了する。

演算装置１は、有効制約の集合が更新された場合（Ｓ３２でＹＥＳ）、有効制約の更新回数が予め設定された上限値に達しているかを判定する（Ｓ３３）。

演算装置１は、有効制約の更新回数が上限値に達している場合（Ｓ３３でＹＥＳ）、演算を終了する。演算装置１は、有効制約の更新回数が上限値に達していない場合（Ｓ３３でＮＯ）、更新した有効制約の集合、および、解ｗ_ｋ＋１を用いて、再びＳ２の探索処理を実行する。

このように、実施の形態に係る演算装置１は、生成部２１によって生成された有効制約についての制約条件のもと、探索部２２によって評価関数Ｊを最小化する解を探索する。演算装置１は、得られた解から更新部２３によって有効制約の集合を更新し、更新された有効制約についての制約条件のもと、探索部２２によって評価関数を最小化する解を探索する処理を繰り返す。演算装置１は、式（９）で表される全ての不等式制約を満たした上で、評価関数Ｊを最小化する最適解を求める。

従来の凸２次計画問題の最適解を求める演算装置においては、有効制約として設定された複数の不等式制約が１次独立の関係にない場合、最適解が満たすべき条件を含む連立１次方程式の次元が低下するため、最適解を求めることができないという課題があった。

これに対して、実施の形態に係る演算装置１は、追加判定部１１３によって、有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約があると判定した場合でも、１次従属判定部１１４によって、第１不等式制約と有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約とが１次従属であると判定された場合は、有効制約追加部１１５によって、第１不等式制約を有効制約の集合に追加しない。これにより、演算装置１は、有効制約として設定された複数の不等式制約を１次独立の関係に保つことができ、探索部２２によって、最適解を得られないという課題を解決することができる。それ以後、演算装置１は、更新部２３によって有効制約の集合を更新するが、有効制約の集合に追加される不等式制約の決定方法から、有効制約として設定された不等式制約と１次従属となる不等式制約が追加されることは理論上ない。その結果として、演算装置１は、凸２次計画問題の最適解を求めることができる。

さらに、演算装置１に入力された不等式制約の集合のうち、有効制約として設定された不等式制約と１次従属となる不等式制約が存在し、その不等式制約を有効制約の集合に追加する場合、演算装置１は、追加する不等式制約のうちで物理的に最も厳しい制約のみを有効制約に追加しなければ最適解が得られない。

この点、演算装置１は、最大制約追加部１１２によって、各予測時刻において、最も制約値から外れる第３不等式制約を、他の不等式制約よりも優先的に有効制約の集合に追加する。さらに、演算装置１は、追加判定部１１３によって有効制約である条件を満たすと判定された第１不等式制約について、１次従属判定部１１４によって、最も制約値から外れる第３不等式制約を含む有効制約と１次従属であるか否かを判定し、有効制約と１次従属となる第１不等式制約を有効制約に追加しない。すなわち、演算装置１は、最も制約値から外れる第３不等式制約を有効制約の集合に追加した後に、有効制約である条件を満たすと判定された第１不等式制約のうち、第３不等式制約と１次従属となる第１不等式制約を有効制約の集合に追加しない。これにより、演算装置１は、物理的に最も厳しい不等式制約のみを有効制約の集合に追加することができる。

以上のように、本開示は、凸２次計画問題の最適解を求める演算装置１に関する。演算装置１は、凸２次計画問題の評価関数Ｊ、不等式制約の集合、および初期解ｗ_０ｉｎを取得するインターフェース１１と、インターフェース１１によって取得された評価関数Ｊ、不等式制約の集合、および初期解ｗ_０ｉｎに基づき最適解を求めるプロセッサ１２とを備える。プロセッサ１２は、生成部２１と、探索部２２と、更新部２３とを備える。生成部２１は、不等式制約の集合と初期解ｗ_０ｉｎとに基づき有効制約の集合を生成する。探索部２２は、有効制約の集合と評価関数Ｊとに基づき生成される連立１次方程式の解を求める。更新部２３は、探索部２２によって得られた解に基づき有効制約の集合を更新する。生成部２１は、追加判定部１１３と、１次従属判定部１１４と、有効制約追加部１１５とを備える。追加判定部１１３は、不等式制約の集合が有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約を含むか否かを判定する。１次従属判定部１１４は、条件を満たす第１不等式制約が有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であるか否かを判定する。有効制約追加部１１５は、１次従属判定部１１４によって少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された第１不等式制約を、有効制約の集合に追加する。

このような構成によれば、演算装置１は、有効制約として設定された少なくとも１つの第２不等式制約を１次独立の関係に保つことができ、演算負荷が大きくなることを極力抑えながら凸２次計画問題の最適解を求めることができる。

好ましくは、１次従属判定部１１４は、少なくとも１つの第２不等式制約の各々に含まれる係数が０でない要素が、第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の部分集合である場合、かつ、少なくとも１つの第２不等式制約に含まれる係数が０でない要素の数が、第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の数以上である場合に、第１不等式制約が少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であると判定する。

このような構成によれば、演算装置１は、モデル予測制御で得られる不等式制約において、０でない要素が各不等式制約に対応する予測時刻以前の制御変数に相当する要素のみに存在するという特徴を利用することで、第１不等式制約と少なくとも１つの第２不等式制約とが１次従属であるか否かの判定を、関係する不等式制約の係数が０であるか否かのみで行うことができる。これにより、演算装置１は、一般的な数値演算による判定手法と比べて演算負荷を抑えることができる。

好ましくは、１次従属判定部１１４は、少なくとも１つの第２不等式制約の制約番号の順に、係数が０でなく、かつ、１次従属フラグが成立していない要素に対して、１次従属フラグを成立させ、第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の全てに対して１次従属フラグが成立している場合に、第１不等式制約が少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であると判定する。

このような構成によれば、演算装置１は、１次従属フラグを用いることで、第１不等式制約と少なくとも１つの第２不等式制約とが１次従属であるか否かを判定することができる。さらに、演算装置１は、１次従属フラグの生成を、関係する不等式制約の係数が０であるか否かのみで行うことができる。これにより、演算装置１は、一般的な数値演算による判定手法と比べて演算負荷を抑えることができる。

好ましくは、生成部２１は、初期解ｗ_０ｉｎにおいて、不等式制約の集合のうち、各予測時刻において最も制約値から外れる第３不等式制約を、他の不等式制約よりも優先的に有効制約の集合に追加する。

このような構成によれば、演算装置１は、不等式制約の集合のうち、物理的に最も厳しい不等式制約のみを有効制約の集合に追加することができる。さらに、演算装置１は、最も制約値から外れる第３不等式制約を有効制約の集合に追加した後に、有効制約である条件を満たすと判定された第１不等式制約のうち、第３不等式制約と１次従属となる第１不等式制約を有効制約の集合に追加しないため、物理的に最も厳しい不等式制約のみを有効制約の集合に追加することができる。これにより、演算装置１は、適切に、凸２次計画問題の最適解を求めることができる。

本開示は、コンピュータ（プロセッサ１２）による、凸２次計画問題の最適解を求める方法である。演算方法は、凸２次計画問題における不等式制約の集合と初期解ｗ_０ｉｎとに基づき有効制約の集合を生成するステップ（Ｓ１）と、有効制約の集合と凸２次計画問題における評価関数Ｊとに基づき生成される連立１次方程式の解を求めるステップ（Ｓ２）と、解を求めるステップ（Ｓ２）によって得られた解に基づき有効制約の集合を更新するステップ（Ｓ３）とを含む。生成するステップ（Ｓ１）は、不等式制約の集合が有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約を含むか否かを判定するステップ（Ｓ１４）と、条件を満たす第１不等式制約が有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であるか否かを判定するステップ（Ｓ１６）と、判定するステップ（Ｓ１６）によって少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された第１不等式制約を、有効制約の集合に追加するステップ（Ｓ１７）とを含む。

このような方法によれば、演算装置１のプロセッサ１２（コンピュータ）は、有効制約として設定された少なくとも１つの第２不等式制約を１次独立の関係に保つことができ、演算負荷が大きくなることを極力抑えながら凸２次計画問題の最適解を求めることができる。

今回開示された実施の形態はすべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本開示の範囲は上記した説明ではなくて請求の範囲によって示され、請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

１ 演算装置、１１ インターフェース、１２ プロセッサ、１３ メモリ、２１ 生成部、２２ 探索部、２３ 更新部、１１１ 初期解生成部、１１２ 最大制約追加部、１１３ 追加判定部、１１４ １次従属判定部、１１５ 有効制約追加部。

Claims (5)

1. 凸２次計画問題の最適解を求める演算装置であって、
   前記凸２次計画問題の評価関数、不等式制約の集合、および初期解を取得するインターフェースと、
   前記インターフェースによって取得された前記評価関数、前記不等式制約の集合、および前記初期解に基づき前記最適解を求めるプロセッサとを備え、
   前記プロセッサは、
   前記不等式制約の集合と前記初期解とに基づき有効制約の集合を生成する生成部と、
   前記有効制約の集合と前記評価関数とに基づき生成される連立１次方程式の解を求める探索部と、
   前記探索部によって得られた前記解に基づき前記有効制約の集合を更新する更新部とを備え、
   前記生成部は、
   前記不等式制約の集合が前記有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約を含むか否かを判定する追加判定部と、
   前記条件を満たす前記第１不等式制約が前記有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であるか否かを判定する１次従属判定部と、
   前記１次従属判定部によって前記少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された前記第１不等式制約を、前記有効制約の集合に追加する有効制約追加部とを備える、演算装置。
2. 前記１次従属判定部は、前記少なくとも１つの第２不等式制約の各々に含まれる係数が０でない要素が、前記第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の部分集合である場合、かつ、前記少なくとも１つの第２不等式制約に含まれる係数が０でない要素の数が、前記第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の数以上である場合に、前記第１不等式制約が前記少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であると判定する、請求項１に記載の演算装置。
3. 前記１次従属判定部は、
   前記少なくとも１つの第２不等式制約の制約番号の順に、係数が０でなく、かつ、１次従属フラグが成立していない要素に対して、前記１次従属フラグを成立させ、
   前記第１不等式制約に含まれる係数が０でない要素の全てに対して前記１次従属フラグが成立している場合に、前記第１不等式制約が前記少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であると判定する、請求項１に記載の演算装置。
4. 前記生成部は、
   前記不等式制約における制約を緩和するスラック変数をより大きな値に更新することで、前記不等式制約の集合を満たす前記初期解を生成し、
   前記不等式制約の集合のうち、最も大きな値の前記スラック変数に更新した前記不等式制約を、他の不等式制約よりも優先的に前記有効制約の集合に追加する、請求項１に記載の演算装置。
5. コンピュータによる、凸２次計画問題の最適解を求める演算方法であって、
   前記凸２次計画問題における不等式制約の集合と初期解とに基づき有効制約の集合を生成するステップと、
   前記有効制約の集合と前記凸２次計画問題における評価関数とに基づき生成される連立１次方程式の解を求めるステップと、
   前記解を求めるステップによって得られた前記解に基づき前記有効制約の集合を更新するステップとを含み、
   前記生成するステップは、
   前記不等式制約の集合が前記有効制約の集合に追加する条件を満たす第１不等式制約を含むか否かを判定するステップと、
   前記条件を満たす前記第１不等式制約が前記有効制約の集合に含まれる少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属であるか否かを判定するステップと、
   前記１次従属であるか否かを判定するステップによって前記少なくとも１つの第２不等式制約と１次従属でないと判定された前記第１不等式制約を、前記有効制約の集合に追加するステップとを含む、演算方法。

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