JP6785752B2 - グレージング入射ｘ線反射率独立モデル - Google Patents

Description

本出願は、グレージング入射するＸ線の反射率データ（grazing incidence X-ray reflectivity data）の分析方法に関する。

例えば、膜厚、密度、及び粗さなどの、超薄膜の特性をＸ線を使用して測定するために、Ｘ線が、膜の表面に対してほぼ平行なグレージング入射角度で試料を通り抜けることができる。異なる角度で複数の測定が行われる。次いで、測定結果から試料の特性を特定するために計算が行われる。このような測定は、グレージング入射Ｘ線反射率（grazing incident X-ray reflectivity）と呼ばれ、ＧＩＸＲＲまたはＧＩＸＲまたはＸＲＲと略される。本出願では、ＧＩＸＲが、用いられる。

ＧＩＸＲデータから薄膜特性を直接特定することは不可能であるため、調査された膜のパラメーターは、測定データのシミュレートされた（計算された）ＧＩＸＲ曲線のフィッティングにより特定されなければならない。シミュレートされたＧＩＸＲ曲線のパラメーターは、測定データとシミュレートされたデータとの間の不整合が最小になるように調整される。計算の１つのアプローチは、複数の層を有するモデルを使用することであり、複数の層のそれぞれが膜厚、密度、及び界面粗さを有する｛Windt、1998#109｝。

このアプローチは、特定の状況、特に薄膜が薄い界面を有し、層が一定の密度を有する場合に、うまく働く可能性がある。しかしながら、多くの場合、物理的スパッタリング技術により成長された薄膜は、界面に化学的化合物を形成することがあり、界面の厚さは膜の厚さに匹敵する。

この方法が失敗し得る別の例は、一定の密度プロファイルを有さない比較的厚い膜の場合である。

低い吸収を有する膜を分析するために、「グルーブトラッキング法（groove tracking method）」が使用されうる。これは試料が一連の薄いサブレイヤーを有し、各サブレイヤーは、各サブレイヤーの実際の厚さよりはるかに薄い厚さを有すると仮定する。ｊ個のサブレイヤーのそれぞれは、相応の屈折率ｎｊを有する。観測結果に対する最適な候補が得られるまで、計算は各サブレイヤーの屈折率の実部を変化させる。

より詳しくは、次の論文を参照されたい。
”Model-independent method for reconstruction of scattering-length-density profiles using neutron or x-ray reflectivity data ”, Xiao-Lin Zhou and Sow-Hsin Chen, Physical Review E, Volume 47, Number 5, pages 3174 to 3190, June 1993 for a description of the method

しかし、このアプローチにはいくつかの問題点がある。グルーブ法（groove method）による計算は完全に信頼できるものではなく、特にこの方法は多くの非物理的解を生成し得る。すなわち、計算は物理的実体に合致しない結果に収束し得る。

したがって、超薄膜の特性を測定する改良された方法が必要とされている。

"Model-independent method for reconstruction of scattering-length-density profiles using neutron or x-ray reflectivity data ", Xiao-Lin Zhou and Sow-Hsin Chen, Physical Review E, Volume 47, Number 5, pages 3174 to 3190, June 1993 for a description of the method

本発明の第１形態によれば、次の方法が提供される。
複数の既知の物理材料及びこれらの物理材料間の界面で構成される薄膜積層体の特性を測定する方法であって、
当該方法は、
積層体内の複数の物理材料の順序付きリストを画定するステップと、
各物理材料についてそれぞれ画定されたインデックス値を画定するステップであって、
画定されたインデックス値は、順序付きリストに沿って、単調に増加し又は単調に減少するステップと、
角度範囲について、強度に対する角度の測定されたグレージングインデックスＸ線反射曲線を補足するステップと、薄膜積層体を表すＮ個のサブレイヤー（ｉ）の配列をセッティングするステップであって、
サブレイヤーの配列の各要素が、サブレイヤーの組成を表す画定されたパラメーターＰｊを有する、ステップと、
パラメーターＰｊをフィッティングするステップであって、フィッティングされたパラメーター
［外１］

を得るために、パラメーターＰｊの関数としての角度に対する計算されたグレージングインデックスＸ線反射曲線が、角度に対する測定されたグレージングインデックスＸ線反射曲線に、角度範囲にわたって最も正確に適合するように、パラメーターＰｊをフィッティングするステップと、
フィッティングされたパラメーター
［外２］

に基づいて薄膜積層体の構成の測定（measure）を出力するステップと、
を含み、
パラメーターＰｊは、
（ａ）パラメーターＰｊが画定されたインデックス値の１つを有する場合に、それぞれの物理材料を表すために、及び、
（ｂ）値Ｐｊが一組の画定インデックス値の間にある場合に、一組の画定インデックス値の両物理材料の混合物の組成を表すために、Ｐｊの値は、組成が純粋な第１物理材料から第２物理材料へと変化するにつれて、一組のうちの第１物理材料のインデックス値から一組のうちの他の物理材料のインデックス値へ、単調に変化する、
画定された値を有する。

本発明者らは、既存のグルーブトラッキング法の問題は、屈折率ｎｊが実数であると仮定されていることであり、したがって、屈折率に虚数成分を生じる、有意なＸ線吸収が行われる場合には適切ではない、と理解した。

方法がＰｊ値自体を出力できることに注意されたい。Ｐｊ値は、各サブレイヤーの組成、Ｐｊ値から直接に得られた組成、及び／又は、深さの関数としての光学定数（屈折係数の実部及び虚部）のような、Ｐｊ値から計算されることができるいくつかの他の特性に、直接関連する。

好ましい構成では、画定されたインデックス値は、物理材料のリスト内での位置（position）を表す整数であり、かつ、非整数値ｘは、インデックス値｜ｘ｜により表される材料の部分（fraction）（１−ｆｒａｃ（Ｐｊ））と、インデックス値｜ｘ｜＋１により表される材料の部分ｆｒａｃ（Ｐｊ）と、を有する組成を表す。

このようにして、パラメーターの整数値は純粋な材料を表し、分数値は材料の組成を表す。

パラメーターＰｊをフィッティングするステップは、各測定角度について、計算されたグレージングインデックス反射曲線から測定されたグレージングインデックス反射曲線を減算することによって、得られる残差の２乗の合計の値を最小化することにより行われる。

特に、ベクトルＰとして表されるパラメーターＰｊをフィッティングするステップは、

の値を最小化するステップを含み、ただし、

であり、
ここで、
Ｎは、測定されたデータ点の数であり、
θは、ＧＩＸＲＲ測定の入射角であり、
Ｉ_ｃａｌｃ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの算出された強度であり、
Ｉ_ｅｘｐ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの測定された強度であり、
σ（θ）はＧＩＸＲＲ測定の不確定度であり、
ｌはフィッティングパラメーターの数である。

パラメーターＰｊをフィッティングするステップは、
ベクトルＰの成分としてのパラメーターをフィッティングするステップを含み、
方法は、

の値を最小化するステップを含み、

であり、
Ｎは、測定されたデータ点の数であり、
θは、ＧＩＸＲＲ測定の入射角であり、
Ｉ_ｃａｌｃ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの算出された強度であり、
Ｉ_ｅｘｐ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの測定された強度であり、
σ（θ）はＧＩＸＲＲ測定の不確定度であり、
ｌはフィッティングパラメーターの数であり、さらに、

であり、
Ｎ_Λは、ベクトルｘの長さであり、
ｒは、プロファイル平滑度（profile smoothness）の度合いを特定する調整パラメーターである。

最小化するステップを実行するために、レーベンベルク・マルクワルト・アルゴリズム（Levenberg Marquardt algorithm）が使用される。

方法は、Ｐｊ値の関数としてＰｊにより表される材料に対する屈折率の実部の表示（representation）、及びＰｊの値の関数としてＰｊにより表される材料に対する屈折率の虚部の表示を供給し、計算されたグレージングインデックス反射率値は、実部の表示及び虚部の表示を使用してＰｊの値から得られる屈折率値を使用して算出される。

サブレイヤーの数は

によって、与えられるＮ_ｏｐｔの３０％以内であり、ここで

であり、
θ_ｍａｘは、最高測定角度であり、
λは、使用されるＸ線の波長である。

試料のグレージングインデックスＸ線反射率測定を示す図である。 グレージングインデックスＸ線反射率を実施する装置の概略を示す図である。 連続する複数のサブレイヤーに関するＰ値を示す図である。 図１の実施例に関するＰ値の関数として、実数光学定数（上グラフ）と虚数光学定数（下グラフ）を示す。 比較方法を使用する実験データへのフィッティングを示す。 本発明の方法を使用する同じ実験データへのフィッティングを示す。 本発明の方法の一実施形態にかかるフローチャートを示す。

図は、模式的であり、縮尺どおりではない。

図１は、Ｓｉ基板上のランタン層上にルテニウム層を有する試料のグレージングインデックスＸ線反射率測定を概念的に示す。グレージング入射Ｘ線は、表面に入射する。複数の層により反射されるＸ線の強度は、角度θの関数として測定される。角度θは例えば０°〜３°又は０°〜７°で変化し得る。図面は縮尺どおりではなく、典型的に、薄層はナノメートルスケールの厚さしか有さないことに留意されたい。図に示されたｉの値は、後述するように計算に使用される。

図２を参照すると、超薄膜上でかかる反射率測定を行うための装置の概略図は、Ｘ線源２、コリメート光学系４、試料ステージ６及びＸ線検出器８を含む。装置は、装置を制御して、データを処理するためのコンピュータ１０も含む。

代替的実施形態では、複数のコンピュータが使用されてもよく、例えば、１台のコンピュータは装置を制御することができ、別のコンピュータは捕捉したデータの処理を実行できる。

使用時には、Ｘ線源からのＸ線ビーム１４が、Ｘ線光学系４によって、グレージング入射角θで、試料ステージに取り付けられた試料１２上に導かれる。Ｘ線は反射され反射Ｘ線ビームを形成し、反射Ｘ線ビームの強度はＸ線検出器８で測定される。コンピュータは、一連の強度値をある角度範囲にわたるグレージング入射角の関数として提供するために、グレージング入射角を調整する。

典型的にはｓｉｎ（θ）^−４で角度が増加するにつれて、反射Ｘ線ビームの強度は減少し、０°に近い角度から、反射ビームの強度変調が測定ノーズレベルよりも低くそのために測定できなかった上部角度まで、良好な測定が行われるべきである。したがって、測定された角度の範囲は、入射Ｘ線ビームの強度により特定され、典型的には密閉ＣｕＸ線管について０〜５度に制限されるが、より明るいＸ線源についてはより大きくすることができる。

測定された反射率を角度の関数として変換するために、コンピュータはコンピュータに計算を実行させるためのコードを含み、以下にこれについて詳細に説明する。角度の関数としての入力実験強度値は、Ｉ_ｅｘｐ（θ）と呼ばれ、ここで、θは入射角である。

計算方法は、薄膜積層体、すなわち連続する複数の薄膜、の表現に基づく。薄膜積層体は、複数の一連の材料層で表されることができ、ｉ＝１からａであり、ここで、ａは異なる材料の層の数である。値ｉ＝０は、薄膜積層体上の層、即ち空気又は真空、を表すために用いられ、値ｉ＝１からａは、複数の異なる材料の順序付きリストを表す。

実施例は、これをより明確にすることができる。例えば、（図１に示すように、）ルテニウムの層と、ランタンの層と、シリコン基板とから成ることが既知である試料を考察する。試料は、空気中にある。この場合、３枚の材料層及び空気があるので、ａ＝４である。値ｉ＝１は空気を表し、値ｉ＝２はルテニウムを表し、値ｉ＝３はランタンを表し、値ｉ＝４はシリコンを表す。複数の層は、空気からｉ＝１でナンバリングが開始され、一番上の露出層は値ｉ＝２、そして各後続の層は下に行くほど次の整数が与えられる。これは、図１に図示される。

計算を実行するために、薄膜積層体は、ｊ＝１からＮの、より大きい数のサブレイヤーに分割され、Ｎはサブレイヤーの数であり、Ｎはａより大きく、その各々は屈折率ｎｊを有するものとして表され、パラメーターＰｊにより画定される。パラメーターＰｊが整数値を有する場合、サブレイヤーが全体的にｉ番目のレイヤーの材料から成ることを意味する。

一連の複数のサブレイヤーが図３に示される。ｙ軸は各層のＰの値に関連し、値は、上記のように図１の配置に対応して１から４まで変化することに留意されたい。最も低いレイヤーは値１を有し、純粋な空気であり、１つの中間レイヤーと、最上層Ｒｕである値２を有する複数のレイヤーとが続く。さらに、３つの中間レイヤーが続き、Ｌａを表す値３を有する複数のレイヤーが続く。その後、さらなる中間レイヤーと、ｉ＝４の層である基板を表す値４の複数のレイヤーとが続く。

例えば、４番目の薄いサブレイヤーが２の値Ｐ_４を有する場合、これは、４番目のサブレイヤーが順序付きリスト内の材料のうちの第１のものだけから成ることを意味する。上記の例が保たれること、これは、４番目のサブレイヤーが純粋なルテニウムから成ることを意味する

Ｐｊの非整数値は、値の間の、連続性（continuum）を表すｐの値を有する混合物を表す。数学的に表現すると、ｊ番目のサブレイヤーの｜Ｐｊ｜で与えられるインデックスｉを有する材料の濃度は、

で与えられ、
ここで、｜｜は引数の整数部分を返す整数関数であり、ｆｒａｃ（）は整数部分を超える余剰を返す小数部分関数であり、
ｆｒａｃ（ｘ）＝ｘ−｜ｘ｜ （２）
である。

ｊ番目のサブレイヤーの剰余は、｜Ｐｊ｜＋１により示される材料から成り、この材料の濃度は、
ω_ｊ ^Ｂ＝ｆｒａｃ（Ｐｊ） （３）
によって、与えられる。

例えば、８番目のサブレイヤーが、１．１の値Ｐ_８を有する場合、８番目のサブレイヤーはルテニウム９０％（ｉ＝１により示される）と、ランタン１０％（ｉ＝２により示される）とから成る。あるいは、８番目のサブレイヤーが、１．５の値Ｐ_８を有する場合、８番目のサブレイヤーはルテニウム５０％（ｉ＝１により示される）と、ランタン５０％（ｉ＝２により示される）とから成る。あるいは、８番目のサブレイヤーが、１．９５の値Ｐ_８を有する場合、８番目のサブレイヤーはルテニウム５％（ｉ＝１により示される）と、ランタン９５％（ｉ＝２により示される）とから成る。図３の実施例において、８番目のサブレイヤーは、Ｌａ７０％及びＲｕ３０％を表す２．７の値Ｐ_８を有する。

従って、Ｐｊの値は連続性を表し、Ｐｊが１から最高の可能値ａまで増加するにつれて、組成は単調な方法で滑らかに変化する。

ｊ番目のサブレイヤーの光学定数ｎｊは、反射率を有し、次のように計算される。

ここで、

は、光学定数の減衰の実部と虚部である。ここでρ^Ａ及びρ^Ｂは、ｇ／ｃｍ３での純粋要素Ａ及びＢの密度であり、ｆ_ｋ ^Ａ及びｆ_ｋ ^Ｂは、原子散乱因子である。ｋは、層コンパウンド（the layer compound）内のサブレイヤーＡ及びＢ内の要素の指標（the index of chemical element）である。

Ｒｕについて、及び、Ｌａについて、ｋの例では、１に等しい。層が例えばＬａＢ６のような化合物である場合、ｋは１から２に変化し、ここで１は例えばＬａであり、２はＢである。μ_ｋは、層材料とＡ及びＢのモル質量である。

ここで、サブレイヤーの材料密度は、複数の純粋材料の密度同士の線形な組み合わせであるが、層Ａ及びＢ内の材料化合物が既知であり、それらの密度が、密度同士の線形な組み合わせと一致しない場合、正しい密度のルックアップテーブルを、収集した化合物について生成できる。

これは、図４に示されており、上記の例と同じ材料について、上のグラフは、値Ｐの関数としての材料の屈折率の実部を示し、下のグラフは、値Ｐの関数としての材料の屈折率の虚部を示す。ここで、Ｐ＝１は空気を示し、Ｐ＝２はルテニウムを示し、Ｐ＝３はランタンを示し、Ｐ＝４はシリコンを示す。

実際には、屈折率の実部及び虚部は、フィッティングを行う前に適切な材料（relevant materials）について計算されることができ、これらの値は、Ｐ値の関数として実数値及び虚数値の表現で、コンピュータ１０の屈折率テーブル２２にテーブル形式で格納される。

ＰｊのＮ個の値の集合はベクトルＰを構成する。

計算は、条件を満たす特定のベクトル
［外３］

を見出す。

すなわち、ＧＩＸＲＲ測定値ｕの測定値とシミュレート値の平方和として表されるフィッティングの良好さを最適化する。

ここで、
Ｎは、測定されたデータ点の数であり、
θは、ＧＩＸＲＲ測定の入射角であり、
Ｉ_ｃａｌｃ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの算出された強度であり、
Ｉ_ｅｘｐ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの測定された強度であり、
σ（θ）はＧＩＸＲＲ測定の不確定度であり、
ｌはフィッティングパラメーターの数である。

いくつかの実施例において、他のパラメーターがフィッティングされ得る。特に、場合によっては、フィッティングパラメーターとして純粋な材料層の密度を含める必要があるかもしれない。全体の厚さはフィッティングパラメーターであってもよい。

すべてのフィッティングパラメーターを表すためにベクトルｐ（小文字使用）が使用され、このベクトルから個々のフィッティングパラメーターを表すためにｐｉが使用される。

これらの場合、Ｐをｐに置き換えて、全く同じ手法を用いることができることが理解されよう。

現実的な多層構造では、光学定数プロファイルは滑らかな関数であり、この理由から、１つのサブレイヤーから次のサブレイヤーへのｎｉの大きなジャンプは許されるべきではない。この平滑さを最適化手順に組み入れるために、上記の方法のさらなる発展形態において、調整係数Ｒｒｅｇがχ^２メリット関数

に加えられる。ここで、

であり、
Ｎ_Λは、前記ベクトルｘの長さであり、
ｒは、少数の、プロファイル平滑度の度合いを特定する調整パラメーターである、第１項は、期間内の連続性を支配し、第２及び第３番項はその境界上での連続性を設定する。同じ平滑化が構造の上部及び下部に適用された。

上記の式は、θの関数としての強度の計算値の計算を必要とし、もちろんベクトルＰ（または実施形態ｐ）の関数としても必要であることに留意されたい。

Ｘ線反射率シミュレーションでは、周期的な多層構造のモデル化のために最適化されたＡｂｅｌｅｓ行列アプローチを使用した。

式（２）の最適化問題を解くために、レーベンバーグ・マーカート・アルゴリズム（Levenberg-Marquardt algorithm）が用いられた。再構成されたパラメーターの標準偏差は、｛Yakunin、2014#210｝のように最小二乗法により計算された（Yakunin et al.,2014）。
この方法の強みは、単一の実数パラメーターが、基板上の複数の層から複数の組成を表すことができる単一の変数を使用して、屈折率の実部及び虚部の両方を表すことができるという事実にある。各サブレイヤーの屈折率の実部及び虚部は、実際の潜在的な構成と一致し、フィッティングアルゴリズムを真の可能な実体（a true potential reality）を表すように強制する。Ｐの定義は、光学定数の実部と虚部のクラマース・クローニッヒの関係（Karmers-Kroning relationship）が自動的に満たされることを保証する。この制約はフィッティングを可能にし、他のアプローチが単純に機能しない場合でも収束する。

特に、この方法は、いくつかの従来の手法では単に無視されていた、屈折率の有意な虚部を有する吸収性の試料に容易に対処できる。物理実体のこの改善された表現は、結果を改善する。

サブレイヤーの数が多すぎると、フィッティングパラメーターが多すぎるため、フィッティングや結果に誤差が生じる可能性がある。一方、サブレイヤーの数が少なすぎると、モデルは測定データを正確にモデル化するのに十分な解像度を有さず、また結局貧弱なフィッティング結果となる。

サブレイヤーの最適数Ｎｏｐｔの推定は

から与えられ得る。ここで

であり、θ_ｍａｘは、最高測定角度であり、
λは、使用されるＸ線の波長である。

界面が複雑すぎる特定のケースでは、Δｚを減らすことができる。

この方法は、少数の層に適用できるだけでなく、数周期を繰り返す周期構造への特定の用途も有する。

この方法は吸収に対処できるパラメーター化を使用し、従って、従来の方法が失敗する可能性がある場合でも良好な結果が得られることに留意されたい。
必要であれば、一定の密度を有する層を模倣し、フィッティングパラメーターの不必要な増加を避けるために、いくつかの薄層は同じ光学定数を有すると予測されることができる。

これは、ベクトルＰを呼び出すこと、及び式（４）を使用して光学定数プロファイルｎを計算すること、又はルックアップテーブルからプロファイルを読み出すこと、により行うことができる。層厚、密度及び粗さのような標準的な薄膜パラメーターが特定されるべき場合、これは、プロファイルパラメーターの集合でパラメーター化された標準パラメーター化プロファイルを、得られた光学定数プロファイルにフィッティングすることにより実行され得る。このアプローチでは、ユーザは、最も一般的な正弦、線形、または誤差関数などの様々なプロファイル形状をテストすることができる。必要に応じて界面化合物形成をモデル化するための中間層を導入する。

実験
図５及び６は、上述の、シリコンの上にランタン、その上にルテニウム、その上に空気の実施例についての実験データとフィッティングラインを示す。
発明者は、最初に、シリコン層上にランタン層、その上にルテニウム層を有する比較例に従ったモデルを用いて測定データにフィッティングしようとした。小さい角度については合理的なフィッティングを与えることができたが、１°又は２°を超える角度についてはできなかった。結果として生じるχ２値は不十分な１２．５であった。フィッティングは図５Ａに示され、結果として生じるδ値プロファイルは図５Ｂに示される。

次に、本発明者らは、各々が厚さ５．５ＡÅの複数の薄層を有する本発明によるモデルを用いてグラフにフィッティングした。より良いフィッティングが得られ、χ２値は１．４であり、測定データに対する妥当なフィッティングを示した。図６Ａはフィッティングを示す、そして、図６Ｂは測定データを示す。

方法が、ユーザが事前に選択する必要なく隣接材料が混合する界面層に対処できるモデルを自動的に生成することに留意されたい。結果は、単に自動モデルから現れる。

変形例
場合によっては、ベクトルＰの初期のモデルが最適値からあまりに遠い場合、上記の通りの方法は１つのステップで曲線全体にフィッティングさせることが困難な場合がある。この場合、方法は、以下で詳細に説明するように、曲線中の複数のセグメントにフィッティングすることにより適用され得る。この方法は図７のフローチャートに記載されている。
フローチャートから分かるように、方法は、式（８）及び（９）で表されるように少数のサブレイヤーを使用して、制限された角度範囲にフィッティングされることにより開始され、フィッティングがその角度範囲にわたって得られると、角度範囲が拡張され、サブレイヤーの数が増やされる。
さらに、上述の方法は、値Ｐｊの特定の表現を使用し、この表現に対する変形が可能であることに留意されたい。

特に、いくつかの特定の値が順序付きリストのための純粋材料を表すことが必要であり、これらはインデックス値と呼ばれることがある。中間値及びこれらのインデックス値間の中間値は、中間組成を表す。従って、より一般的に言えば、フィッティングステップの前に、積層体内の複数の物理的材料の順序付きリストが提供され、各物理的材料について、それぞれ画定インデックス値が画定され、画定インデックス値は、順序付きリストに沿って単調に増加するか、単調に減少する。その後、パラメーターＰｉは、
（ａ）パラメーターＰｉが画定されたインデックス値の１つを有する場合に、それぞれの物理材料を表すために、及び、
（ｂ）値Ｐｉが一組の画定されたインデックスの間にある場合に、一組のインデックス値の物理材料の混合物の組成を表すために、
画定され、
Ｐｊの値は、前記組成が純粋な第１物理材料から第２物理材料へと変化するにつれて、一組のうちの第１物理材料のインデックス値から前記一組のうちの他の物理材料のインデックス値へ、単調に変化する。
（ｃ）光学定数をＰｉと結びつける定義式を使用して計算することにより、又は、ルックアップテーブルから最も近い値の間を補間することにより、薄板の光学定数Ｉを見出すことができる。
上記で定義した実施形態では、インデックス値は単純にそれぞれの整数であり、空気にはインデックス値１が与えられ、それに最上層から始まる複数の後続の層は順に２、３等が与えられる。空気にインデックス値０を与え、最上層から１で始まることも可能であることはいうまでもない、又は、例えば最上層にインデックス値１を与え、次の層はインデックス値１００１を、その次の層はインデックス値２００１を与える等ということも可能である。通常は、表現が滑らかであることが好ましいので、実数により表される中間値では実数演算が使用されるが、しかしながら十分に大きい値を取ることによって、インデックス値の整数演算も使用され得る。
さらに、パラメーターＰの値は、正でも負でもよいことに留意されたい。

Claims (11)

1. 複数の既知の物理材料及び複数の前記物理材料間の界面で構成される薄膜積層体の特性を測定する方法であって、
   当該方法は、
   前記積層体内の異なる物理材料の複数の層の順序付きリストを画定し、各物理材料についてそれぞれ画定インデックス値を画定するステップであって、前記画定インデックス値は、前記順序付きリストに沿って、単調に増加し又は単調に減少する、ステップと、
   角度範囲について、角度に対する強度の測定されたグレージング入射Ｘ線反射（ＧＩＸＸＲ）曲線を補足するステップと、
   前記薄膜積層体を表すＮ個のサブレイヤー（ｊ）の配列を設定するステップであって、前記サブレイヤーの配列の各要素が、前記サブレイヤーの組成を表す画定したパラメーターＰｊを有する、ステップと、
   前記パラメーターＰｊをフィッティングするステップであって、フィッティングされたパラメーター
   ［外１］
   

   

   を得るために、前記パラメーターＰｊの関数としての角度に対する計算されたグレージング入射Ｘ線反射曲線が、角度に対する前記測定されたグレージング入射Ｘ線反射曲線に、前記角度範囲にわたって最も正確に適合するように、前記パラメーターＰｊをフィッティングするステップと、
   前記フィッティングされたパラメーター
   ［外２］
   

   

   に基づいて前記薄膜積層体の前記組成の測定を出力するステップと、
   を含み、
   前記パラメーターＰｊは、
   （ａ）前記パラメーターＰｊが前記画定インデックス値の１つを有する場合に、それぞれの前記物理材料を表すために、及び
   （ｂ）値Ｐｊが一組の画定インデックス値の間にある場合に、前記一組の画定インデックス値の両物理材料の混合物の組成を表すために、Ｐｊの値は、前記組成が純粋な第１物理材料から第２物理材料へと変化するにつれて、前記一組のうちの第１物理材料の画定インデックス値から前記一組のうちの他の物理材料の画定インデックス値へ、単調に変化する、
   画定された値を有する、方法。
2. 前記画定インデックス値は、前記リスト内での前記物理材料の位置を表す整数であり、かつ、
   非整数値Ｐｊは、インデックス値｜Ｐｊ｜により表される前記材料の部分（１−ｆｒａｃ（Ｐｊ））と、インデックス値｜Ｐｊ｜＋１により表される前記材料の部分ｆｒａｃ（Ｐｊ）と、を有する組成を表し、
   ここで、｜｜は、Ｐｊの整数部分を返す整数関数であり、ｆｒａｃ（）は整数部分を超える超過を返す小数部分関数である、
   請求項１記載の方法。
3. 前記パラメーターＰｊをフィッティングする前記ステップは、
   各測定角度について、前記計算されたグレージング入射Ｘ線反射曲線から前記測定されたグレージング入射Ｘ線反射曲線を減算することによって、得られる残差の２乗の合計の値を最小化するステップを含む、
   請求項１又は２記載の方法。
4. ベクトルＰとして表される前記パラメーターＰｊをフィッティングする前記ステップは、
   

   

   の値を最小するステップであって、
   

   

   である、ステップを含み、
   ここで、
   Ｎは、測定されたデータ点の数であり、
   θは、ＧＩＸＲＲ測定の入射角であり、
   Ｉ_ｃａｌｃ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの算出された強度であり、
   Ｉ_ｅｘｐ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの測定された強度であり、
   σ（θ）はＧＩＸＲＲ測定の不確定度であり、
   ｌはフィッティングパラメーターの数である、
   請求項１乃至３のいずれか１項記載の方法。
5. 前記パラメーターＰｊをフィッティングする前記ステップは、
   ベクトルＰの成分としての前記パラメーターをフィッティングするステップを含み、
   当該方法は、
   

   

   の値を最小化するステップを含み、ここで、
   

   

   であり、
   Ｎは、測定されたデータ点の数であり、
   θは、ＧＩＸＲＲ測定の入射角であり、
   Ｉ_ｃａｌｃ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの算出された強度であり、
   Ｉ_ｅｘｐ（θ，Ｐ）は、ＧＩＸＲＲの測定された強度であり、
   σ（θ）は、ＧＩＸＲＲ測定の不確定度であり、
   ｌは、前記フィッティングのパラメーターの数であり、
   

   

   であり、
   Ｒｒｅｇは、プロファイル平滑度の度合いを特定する調整パラメーターである、
   請求項１又は２記載の方法。
6. 前記最小化するステップを実行するために、レーベンベルク・マルクワルト・アルゴリズムが使用される、
   請求項３乃至５のいずれか１項記載の方法。
7. Ｐｊの値の関数としてＰｊにより表される材料に対する屈折率の実部の表示、及びＰｊの値の関数としてＰｊにより表される材料に対する屈折率の虚部の表示を供給するステップ、をさらに含み、
   前記計算されたグレージング入射反射率値は、前記実部の表示及び前記虚部の表示を使用してＰｊの値から得られる屈折率値を使用して算出される、
   請求項１乃至６のいずれか１項記載の方法。
8. 前記サブレイヤーの数は
   

   

   によって、与えられるＮｏｐｔの３０％以内であり、
   ここで
   

   

   であり、
   θ_ｍａｘは、最高測定角度であり、
   λは、使用されるＸ線の波長である、
   請求項１乃至７のいずれか１項記載の方法。
9. 第１上部角度までの第１角度範囲について、前記角度に対する強度の測定されたグレージング入射Ｘ線反射曲線をフィッティングするステップと、
   前記角度に対する測定されたグレージング入射Ｘ線反射曲線をフィッティングする前記ステップを、少なくとも１つのそれぞれの上部角度までの少なくとも１つの後続の角度範囲について繰り返すステップであって、
   各後続の角度範囲は、先行する前記ステップよりもより高い上部角度を有する、ステップと、
   を含む、請求項１乃至８のいずれか１項記載の方法。
10. 前記フィッティングされたパラメーター
    ［外３］
    

    

    からの少なくとも１つの深さにおいて、屈折率の実部及び虚部のうち少なくとも１つを計算するステップと、
    前記計算された屈折率を出力するステップと、
    をさらに含む、請求項１乃至９のいずれか１項記載の方法。
11. 少なくとも１つの可変のプロファイルパラメーターを有する前記薄膜積層体の層のプロファイルを画定すること、及び、前記フィッティングされたパラメーター
    ［外４］
    

    

    を満たすために前記可変のプロファイルパラメーターを変化させることによって、前記フィッティングされたパラメーター
    ［外５］
    

    

    から層厚さ、密度、及び粗さのような薄膜パラメーターを計算するステップと、
    をさらに含む、
    請求項１乃至１０のいずれか１項記載の方法。

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