JP6757307B2

JP6757307B2 - 回折素子の設計方法

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Publication number: JP6757307B2
Application number: JP2017215966A
Authority: JP
Inventors: 今井　欽之; 欽之今井; 上野　雅浩; 雅浩上野; 宗範川村
Original assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp
Current assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp
Priority date: 2017-11-08
Filing date: 2017-11-08
Publication date: 2020-09-16
Anticipated expiration: 2037-11-08
Also published as: JP2019086703A

Description

本発明は、光の強度パターンを変換する機能を有する回折素子の設計方法に関する。

フレネルレンズに代表される光回折素子は、光の波動としての性質を利用して、光強度のパターンを変換する光学部品であり、様々な産業領域で用いられている。フレネルレンズは、一定の波長をもつ光について、波長のピッチでの周期性があることを利用し、一般的には肉厚のレンズを薄型化したもので、光を集光する機能を有する。フレネルレンズ以外にも、現在では波動光学を活用して、光ビームの形をさまざまに変換するような回折素子が多く開発され、用いられている。

光ビームを高い自由度で波面変換する技術に、ホログラフィーがある。ホログラフィーでは、物体光と呼ばれる多くの情報を含んだ光と、参照光と呼ばれる光とを干渉させ、このときの干渉縞を感光媒体に写し取る。この写し取られた干渉縞をホログラムと呼ぶ。このホログラムに先に用いた参照光のみを照射すると、強度と位相が変調され、作製時に用いた物体光を再生する光が生成される。つまり、この一種の回折素子により、参照光から物体光へと光ビームが変換される。ホログラフィーの原理を用いた回折素子は、非常に忠実度高く、元の物体光を再生することができる。

しかし、前述のように、ホログラフィーでは入射光(参照光)の位相を変調するとともに、強度も変調する。物体光を忠実に再生するために不要な光は、吸収したり散乱したりして、取り除かれる。このため、入射光のトータルのパワーに対し、出射光(再生物体光)のパワーは減衰することは避けられず、パワーの点では、変換の効率は必ずしも十分に高くはならない。

一方、上述したホログラフィーを実現する回折素子であるホログラムとは異なり、光位相の変調のみを行い、光強度は変化させない回折素子があり、この回折素子は一般的にキノフォームと呼ばれている（非特許文献１）。キノフォームは、ガラス基板の表面に凹凸パターンを加工し、この基板に概ね垂直に入射した光の光路長に変調をかけ、これによって光位相の変調を行うが、これによって強度の変調は起こらない。前述のフレネルレンズは、このキノフォームの特殊例ともいえる。高いパワーの光を入射する場合、ホログラムのように光吸収がある回折素子では、吸収したパワーによる発熱で素子が破壊されることも想定され、強度変調を行わないキノフォームの方が有利なことがある。

一岡芳樹，"キノフォームとその応用，"光学第2巻第3号， pp. 133−152， 1973.

上記のように、位相の変調のみを行うキノフォームは、強度変調を行うホログラムよりも優れる点があるが、その代わりに、位相変調のみに制約されるため、ホログラムと同様な波面の変換は困難であり、それがパワーの変換の効率を制限していた。

本発明は、係る従来の問題に鑑みなされたものである。本発明の目的は、強度変調を行わないキノフォームにおいて、目的の光強度パターンを高い充実度で実現し、且つ、高いパワー変換効率を実現する回折素子の設計方法を提供することにある。

上記目的を達成するために、一実施形態に記載された発明は、回折素子面において第１の光強度分布で入射する所定の波長λの入射光を結像面において第２の光強度分布を有する出射光となるように変換する回折素子の設計方法であって、前記第１の光強度分布と前記第２の光強度分布とに基づいて前記回折素子の面上の１点を始点とし結像面の面上の１点を終点とする光線を定義したときの始点の座標と終点の座標との間の対応関係である一対一の写像関係を決定する工程と、前記始点の座標における波面の法線が前記終点の座標に達するように前記写像関係に基づいて前記回折素子面における第１の波面の関数を決定する工程と、前記第１の波面の関数と前記入射光の位相とから回折素子によっておこなうべき位相変調を算出する工程と、前記算出した回折素子によっておこなうべき位相変調の分布から前記回折素子における厚さの分布を算出する工程と、を含み、直交ｘｙｚ座標系は、前記回折素子の面上に原点があり、且つ、当該回折素子の面上にｘ軸とｙ軸とがあり、直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系は、前記結像面の面上に原点があり、且つ、当該結像面の面上にｘ’軸とｙ’軸があり、直交ｘｙｚ座標系上の座標と直交ｘ’ｙ’ｚ’座標上の座標との変換が、回転を表す直交行列＜Ｃ＞及び＜Ｃ‘＞と平行移動を表すベクトル＜ｂ＞及び＜ｂ’＞とを用いて、（ｘ，ｙ，ｚ）＝＜Ｃ＞（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞及び（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝＜Ｃ’＞（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞で表されるとき、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記始点の座標が（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記第１の光強度分布がＩ（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記終点の座標が（ｘ’₁，ｙ’₁）であり、前記第２の光強度分布がＩ’（ｘ’₁，ｙ’₁）であるときに、Ｉ（ｘ₁，ｙ₁）ｄｘ₁ｄｙ₁＝Ｉ’（ｘ’₁，ｙ’₁）ｄｘ’₁ｄｙ’₁なる関係が常に成り立つように前記対応関係を決定し［但し、ここではｄｘ’₁を始点の座標ｘ₁がｄｘ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｘ’₁が動く距離、ｄｙ’₁を始点の座標ｙ₁がｄｙ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｙ’₁が動く距離とする］、さらに、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記第１の光強度分布Ｉ ₀ （ｘ，ｙ）がｘｙ変数分離可能であり、且つ、前記第２の光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）がｘ’ｙ’変数分離可能な場合、当該回折素子の面上のｘとｙとの変数に分離して得られるｘのみの関数Ｉ _0x （ｘ）とｙのみの関数Ｉ _0y （ｙ）、および、当該結像面の面上のｘ’とｙ’との変数に分離して得られるｘ’のみの関数Ｉ’ _x （ｘ’）とｙ’のみの関数Ｉ’ _y （ｙ’）とにおいて、当該関数Ｉ _0x （ｘ）をｘ上で０からｘ ₁ まで積分した結果のＪ _0x （ｘ ₁ ）、及び当該関数Ｉ’ _x （ｘ’）をｘ’上で０からｘ’ ₁ まで積分した結果のＪ’ _x （ｘ’ ₁ ）と、当該関数Ｉ _0y （ｙ）をｙ上で０からｙ ₁ まで積分した結果のＪ _0y （ｙ ₁ ）、及び当該関数Ｉ’ _y （ｙ’）をｙ’上で０からｙ’ ₁ まで積分した結果のＪ’ _y （ｙ’ ₁ ）と、がＪ _0x （ｘ ₁ ）＝Ｊ’ _x （ｘ’ ₁ ）、Ｊ _0y （ｙ ₁ ）＝Ｊ’ _y （ｙ’ ₁ ）となる関係に基づいて、前記始点の座標（ｘ₁，ｙ₁）と前記終点の座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との一対一の写像関係を決定することを特徴とする。

他の実施形態に記載された発明は、回折素子面において第１の光強度分布で入射する所定の波長λの入射光を結像面において第２の光強度分布を有する出射光となるように変換する回折素子の設計方法であって、前記第１の光強度分布と前記第２の光強度分布とに基づいて前記回折素子の面上の１点を始点とし結像面の面上の１点を終点とする光線を定義したときの始点の座標と終点の座標との間の対応関係である一対一の写像関係を決定する工程と、前記始点の座標における波面の法線が前記終点の座標に達するように前記写像関係に基づいて前記回折素子面における第１の波面の関数を決定する工程と、前記第１の波面の関数と前記入射光の位相とから回折素子によっておこなうべき位相変調を算出する工程と、前記算出した回折素子によっておこなうべき位相変調の分布から前記回折素子における厚さの分布を算出する工程と、を含み、直交ｘｙｚ座標系は、前記回折素子の面上に原点があり、且つ、当該回折素子の面上にｘ軸とｙ軸があり、直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系は、前記結像面の面上に原点があり、且つ、当該結像面の面上にｘ’軸とｙ’軸があり、直交ｘｙｚ座標系上の座標と直交ｘ’ｙ’ｚ’座標上の座標との変換が、回転を表す直交行列＜Ｃ＞及び＜Ｃ‘＞と平行移動を表すベクトル＜ｂ＞及び＜ｂ’＞とを用いて、（ｘ，ｙ，ｚ）＝＜Ｃ＞（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞及び（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝＜Ｃ’＞（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞で表されるとき、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記始点の座標が（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記第１の光強度分布がＩ（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記終点の座標が（ｘ’₁，ｙ’₁）であり、前記第２の光強度分布がＩ’（ｘ’₁，ｙ’₁）であるときに、Ｉ（ｘ₁，ｙ₁）ｄｘ₁ｄｙ₁＝Ｉ’（ｘ’₁，ｙ’₁）ｄｘ’₁ｄｙ’₁なる関係が常に成り立つように前記対応関係を決定し［但し、ここではｄｘ’₁を始点の座標ｘ₁がｄｘ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｘ’₁が動く距離、ｄｙ’₁を始点の座標ｙ₁がｄｙ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｙ’₁が動く距離とする］、前記回折素子の面上で強度分布を有する領域がｘについて、ｘ _l1 ＜ｘ＜ｘ _l2 であり、結像面の面上で強度分布を有する領域がｘ’について、ｘ’ _l1 ＜ｘ’＜ｘ’ _l2 である場合、さらに、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記第１の光強度分布Ｉ ₀ （ｘ，ｙ）をｙを固定した上で変数ｘについてｘ _l1 からｘ _l2 までの範囲を積分して得られるｙのみの関数Ｐ ₀ （ｙ）と、前記第２の光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）をｙ’を固定した上で変数ｘ’についてｘ’ _l1 からｘ’ _l2 の範囲を積分して得られるｙ’のみの関数Ｐ’（ｙ’）とにおいて、当該関数Ｐ ₀ （ｙ）をｙ上で０からｙ ₁ まで積分した結果のＱ ₀ （ｙ ₁ ）と、当該関数Ｐ’（ｙ’）をｙ’上で０からｙ’ ₁ まで積分した結果のＱ’（ｙ’ ₁ ）とがＱ ₀ （ｙ ₁ ）＝Ｑ’（ｙ’ ₁ ）となる関係に基づいて、ｙ ₁ とｙ’ ₁ との対応関係を求め、且つ、ｙをｙ’ ₁ に対応したｙ ₁ に固定してｘ上で０からｘ ₁ まで積分して得られるＪ ₀ （ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）に対し、ｙ’をｙ’ ₁ に固定してｘ’上で０からｘ’ ₁ まで積分して得られるＪ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）を等しくした条件下のｙ＝ｙ ₁ ，ｙ’＝ｙ’ ₁ でのｘ ₁ とｘ’ ₁ との対応関係を求めることにより、前記始点の座標（ｘ₁，ｙ₁）と前記終点の座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との一対一の写像関係を決定することを特徴とする。

回折素子が配置される回折素子面と結像面との座標の関係を説明する図である。図１の回折素子面における光の振幅分布の不整合を説明する図である。直進性の高い光線の始点と終点との関係を説明する図である。変数分離が可能な場合の一対一の写像関係を決定する処理フローを示す図である。回折素子面上の波面を決定することにより回折素子によって行うべき位相変調を求める処理フローを示す図である。結像面上での波面を決定することにより回折素子によって行うべき位相変調を求める処理フローを示す図である。変数分離を前提とせずに光線の始点と終点の２点の座標の間の写像を決める手順を説明する図である。実施例１で生成することを目的とした光強度パターンの図である。

以下、本発明の実施の形態について詳細に説明する。
（回折素子面における光の振幅分布の不整合について）
図１は回折素子と結像面との座標の関係を説明する図であり、図２は回折素子面における光の振幅分布の不整合を説明する図である。図１においては、回折素子面１に配置された回折素子に光が入射すると、この回折素子で位相変調が加えられてから右方向に進み、結像面２において所望の像を結ぶ場合を考える。

図１に示すように、回折素子面１の面内にｘｙの直交座標をおいており、さらにこれに直交するｚ座標を設定する。また、同様にして結像面２の面内にｘ’ｙ’の直交座標をおき、これに直交するｚ’座標を設定する。このような説明ではｘｙ座標の軸とｘ’ｙ’座標の軸は平行で、原点がｚ方向にずれているだけ、とするのが分かりやすく、よく用いられているが、回折素子が光を反射するタイプの場合、回折素子面１と結像面２とは平行にならない場合もあるので、本実施形態では図１に示すように、回折素子面１と結像面２とが平行でない場合のものを表している。また、本明細書では、「ベクトル」をブロック体で表したり、＜＞で囲んで表したりする。

ここで、任意の点Ｐの座標をｘｙｚ座標系で＜ｒ＞＝（ｘ，ｙ，ｚ）、ｘ’ｙ’ｚ’座標系で＜ｒ’＞＝（ｘ’，ｙ’，ｚ’）としたとき、これらの座標系同士への変換は直交行列Ｃによる回転とベクトル＜ｂ＞による平行移動で可能であるとする。つまり、

とする。ここで、回折素子面１でのスカラー電磁場を複素振幅でＵ（ｘ，ｙ）とすると、結像面２でのスカラー電磁場Ｕ’（ｘ’，ｙ’）は、

と表される。積分は、回折素子面内全域について行う。また、

は、回折素子面１上の１点＜ｒｐ＞＝（ｘ，ｙ，０）と結像面２上の１点＜ｒｐ’＞＝（ｘ’，ｙ’，０）との相関を表す関数であり、

である。ここで、ｊは虚数単位、λ₀は波長、ｋは波数であり、ｋ＝２π／λ₀である。簡単な例として、ｘ’軸とｘ軸、ｙ’軸とｙ軸が平行であり、ｚ’軸とｚ軸は重なっていてｚ₀のずれがある場合、

となるから、

であるので、

と書くことができる。もうひとつの例として、ｘ’軸とｘ軸が平行であるが、ｙ’軸とｚ’軸とはｙ軸ｚ軸に対して４５度の傾きがあり、また、ｚ₀のずれがある場合は、

となるから、

と書くことができる。

以上で、回折素子面１での電磁場から結像面２での電磁場を求める方法について述べたが、逆に結像面２の電磁場から回折素子面１での電磁場を求めることも同様にできる。

ここで、＊は複素共役を表し、また、

である。あるいは、

としてもよい。（２）式などの積分は、いわゆるホイヘンスの原理を式で表したものと考えてもよい。すなわちＧ（ｘ，ｙ：ｘ’，ｙ’）は、１点から周囲に放射状に伝搬してゆく球面波を表しており、回折素子面１の面上の全ての点から発生する球面波を重ねあわされたものが、結像面２の面内で形成される電磁場であると考える。あるいは、（８）によれば、結像面２の面上の点光源から発生する球面波を重ねあわせて回折素子面１の面内の電磁場を計算する。回折素子面１に左側から入射するスカラー電磁場Ｕ₀（ｘ，ｙ）なる光を、結像面２でＵ’（ｘ’，ｙ’）となるような光に変換するためには、まず結像面２のＵ’（ｘ’，ｙ’）から回折素子面１のＵ（ｘ，ｙ）を計算する。ここから、

となるような光変調Ｈ（ｘ，ｙ）をする機能を回折素子に持たせればよい。ところで、Ｕ₀（ｘ，ｙ）などは複素数であるから、これらを実関数二つを使って極座標表示する。

ＡとΦなどが実関数である。すると（１１）より、

となるように回折素子を設計すればよいことが分かる。この（１３）の後者のΦ_Hの方は、前述のようにガラス板などの表面を凹凸加工すれば実現できる。例えば、屈折率ｎのガラス板の表面に凹凸がついており、その厚さがｄ（ｘ，ｙ）なる分布をもっている場合、このガラス板に垂直に光を入射して透過させることにより、

のように位相が変調される。前者のＡ_Hについても、クロム膜などを用いた変調が可能である。すなわちガラス板にクロム膜を形成して、光の強度を変調する（減衰させる）ことができる。しかしこのとき、光の強度を増幅することは困難であるので、減衰させることになる（Ａ_H＜１）。その結果、光パワーの変換効率を下げることになるし、高いパワーのレーザを用いる場合には、減衰させた光パワーによる発熱で素子が破壊されてしまう。

ここで、当然のことながら、光パワーを減衰させない最適解はＡ_H＝１であるといえる。しかしながら前述のように、回折素子面１の面内の電磁場Ｕ（ｘ，ｙ）は、結像面２の面上の点光源から発生する光波を重ねあわせたものであるので、干渉縞が発生する。干渉縞が発生すると、Ｕ（ｘ，ｙ）の振幅部分であるＡ（ｘ，ｙ）は、図２の計算で得られるＡ（ｘ，ｙ）として示されるように空間的に細かいピッチで大きく揺らぐ関数になるのが一般的である。これに対し、入射光にはガウシアンビームが用いられることが多いので、図２に示すように、入射光の振幅部分であるＡ₀（ｘ，ｙ）の形はＡ（ｘ，ｙ）とは大きく異なる。その結果、目的通りのＵ’（ｘ’，ｙ’）を結像面２の上で生成することができない。そこで、本実施形態では、このような回折素子における光の振幅分布の不整合がないように以下のような工程により決定された回折素子面における位相変調を実現するように回折素子を設計する。

（電磁場の一致から振幅の一致へ）
ここまでは、結像面２でＵ’（ｘ’，ｙ’）なる電磁場を実現することを直接の目的としていたが、ほとんどの回折素子の用途では、光電磁場分布そのものよりも光強度分布が所望のものになればよい。光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）は、光電磁場分布とは、下記（１５）式に示す関係で結ばれている。

つまり、光強度分布を所望のものにするために目的の値に合わせることが必要なのはＡ’（ｘ’，ｙ’）のみであり、位相部分であるΦ’（ｘ’，ｙ’）については、高い自由度で選択可能である。これは、光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）は直接観測することができるが、Φ’（ｘ’，ｙ’）は特別の測定系でも用いなければ観測できないことからである。すなわち、Φ’（ｘ’，ｙ’）はどんな形であっても問題にならないことが多いといえる。そこで、Ａ₀（ｘ，ｙ）がＡ（ｘ，ｙ）に一致するように、Φ’（ｘ’，ｙ’）の形状を設計すればよいといえる。（１５）式と同様に、

であるから、これは、（１０）式の計算で得られるＵ（ｘ，ｙ）が、Ｕ（ｘ，ｙ）Ｕ^*（ｘ，ｙ）＝Ｉ（ｘ，ｙ）が、Ｉ₀（ｘ，ｙ）に一致するようにΦ’（ｘ’，ｙ’）を設計することを意味する。

したがって、Ｕ₀（ｘ，ｙ）なる光をＵ’（ｘ’，ｙ’）なる光に効率よく変換するような回折素子を作製するためには、入射光の電磁場Ｕ₀（ｘ，ｙ）の振幅部分であるＡ₀（ｘ，ｙ）に回折格子面１の面内の電磁場Ｕ（ｘ，ｙ）の振幅部分であるＡ（ｘ，ｙ）を一致させることを考えればよいといえる。したがって、本実施形態においては光の振幅部分を変調せずに位相部分の変調のみで光の変換を行うことができるような回折素子を作製することを考える。

また、Ｕ’（ｘ’，ｙ’）が高い空間周波数成分を持つ場合、言い換えると、Ｕ’（ｘ’，ｙ’）が空間的に細かいピッチで大きく変動するような場合、光は回折の影響が大きくなる。この場合、（１０）式で回折素子面１の面内の電磁場Ｕ（ｘ，ｙ）を計算するとき、結像面２の面上の各点光源から発生する光波は大きく回折して周囲に広がり、相互の干渉が強くなるため、回折素子面１の面内で干渉縞による強度Ｉ（ｘ，ｙ）のゆらぎを抑えるのが困難である。そこで、Ｕ’（ｘ’，ｙ’）として空間的に緩やかにしか変動しないものを選び、空間周波数を低く抑えると、光波は回折が小さく、直進性が高まり、幾何光学的に光線を使った解析も可能となり、Ｉ（ｘ，ｙ）の空間的なゆらぎを抑制することもやりやすくなる。

したがって本実施形態では、回折素子面１上の任意の点を始点とする光線が、結像面２上の１つの終点に到達するような周波数の光、すなわち直進性の高い光について、回折素子において位相変調を行なうことを考える。この場合、Ｕ’（ｘ’，ｙ’）は、２πＤ／（λ₀ｚ₀）を大きく超える空間周波数成分を含まないようなものであることが必要である。ただし、Ｄは入射光のサイズ、ｚ₀は回折素子面１と結像面２との間の距離である。したがって、本実施形態の回折素子では、かかる限定された空間周波数成分よりなるＵ’（ｘ’，ｙ’）が結像面にて生成する電磁場分布として用いられるものとして考える。
（一対一の写像関係の決定）
図３は、直進性の高い光線の始点と終点との関係を説明する図である。本実施形態における回折素子面から結像面へ進む光線の始点と終点の関係は図３を用いて説明することができる。図３では、説明の便宜のため、以降はｙとｙ’を省略し、１次元の関数として示している。図３（ａ）の曲線は回折素子面１の面内での入射光の強度分布Ｉ₀（ｘ）を示し、図３（ｂ）の曲線は結像面２の面内での光強度分布Ｉ’（ｘ’）を示している。

本実施形態では、所定の周波数の光、すなわち空間的に緩やかに変動するＵ’（ｘ’）を用いるので、その振幅の２乗であるＩ’（ｘ’）も空間的に緩やかに変動する。この場合、回折素子面１の上の特定の一点（ｘ＝ｘ₁）から発した光線は球面波のように広がらずに直線的に進み、結像面２の上の特定の一点（ｘ’＝ｘ’₁）に到達すると考えられる。逆に、結像面２上のｘ’＝ｘ’₁の近傍到達する光線は、全て回折素子面１上のｘ＝ｘ₁の近傍から発し、他の領域からｘ’＝ｘ’₁に到達する光線はないと考えられる。つまり、図３に示すように、回折素子面１上の光線始点の座標ｘ＝ｘ₁と結像面２上の光線終点の座標ｘ’＝ｘ’₁との間に、一対一の写像関係が成り立っているといえる。

したがって、ｘ’＝ｘ’₁近傍の微小領域の光エネルギーは全て、ｘ＝ｘ₁近傍の微小領域からの光エネルギーで賄うことになる。数式で表すと、

となる。これより、

とＪ₀（ｘ）とＪ’（ｘ’）とを定義して、

なる条件が必要となる。したがって、Ｊ₀とＪ’の逆関数をそれぞれＪ₀ ^-1とＪ’^-1と書くとして、

または、

なる写像関係がｘ₁とｘ’₁との間に必要となる。回折素子面１上の座標ｘ₁から発する光線は、（２１）式を用いて計算される座標ｘ’₁で表される結像面２上の点に向かうように、あるいは、結像面２上の座標ｘ’₁に到達する光線は、（２０）式を用いて計算される座標ｘ₁で表される回折素子面１上の点の方向から来るように、回折素子を設計すればよい。

以上の説明では、便宜上、ｙ等を省略してｘ等のみに依存する１次元の分布を扱ったが、これをｘ，ｙの２次元の関数に適用する方法はいくつかある。多くの場合、もっとも単純な変数分離の方法によることができる。これは、目的とするＩ’（ｘ’，ｙ’）も入射光の強度分布Ｉ₀（ｘ，ｙ）も、ｘ’，ｙ’それぞれの個別の関数の積で表せる場合である。

この場合、Ｉ_0x（ｘ）とＩ’_x（ｘ’）とから、（１８）式から（２１）式を用いてｘ₁とｘ’₁との間の写像関数を計算し、Ｉ_0y（ｙ）とＩ’_y（ｙ’）とからｙ₁とｙ’₁との間の写像関数を計算する。これにより、光線の始点の座標（ｘ₁，ｙ₁）と光線の終点の座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との間の１対１の写像関係が導かれる。ただし、３次元の座標で表すと、これらの点の座標はそれぞれ、＜ｒ１＞＝（ｘ₁，ｙ₁，０）と＜ｒ’₁＞＝（ｘ’₁，ｙ’₁，０）である。つまり、（１８）式と同様に定義したＪ_0x（ｘ）、Ｊ’_x（ｘ’）、Ｊ_0y（ｙ）、Ｊ’_y（ｙ’）を用いて、

または、

である。

図４は、変数分離が可能な場合の一対一の写像関係を決定する処理フローを示す図である。図４に示すように、入射光の回折素子面上での光強度分布Ｉ₀（ｘ，ｙ）は、回折素子面上の変数ｘ、ｙに変数分離を行って（Ｓ４０１）ｘのみの関数Ｉ_0x（ｘ）とｙのみの関数Ｉ_0y（ｙ）に分離する。ｘのみの関数について０からｘ１まで定積分して（Ｓ４０２）Ｊ_0x（ｘ１）を求め、ｙのみの関数についても０からｙ１まで定積分して（Ｓ４０３）Ｊ_0y（ｙ１）を求める。結像面で生成することを目的とする光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）についても同様にＪ’₀（ｘ’１）とＪ’_y（ｙ’１）とを求める（Ｓ４０４からＳ４０６）。

以上求めたＪ_0x（ｘ１）、Ｊ_0y（ｙ１）、Ｊ’₀（ｘ’１）、Ｊ’_y（ｙ’１）から、Ｊ_0x（ｘ１）＝Ｊ’₀（ｘ’１）、Ｊ_0y（ｙ１）＝Ｊ’_y（ｙ’１）とおいて、回折素子面１上の光線の始点座標（ｘ₁，ｙ₁）と結像面２上の終点座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との間の写像関係を決定する（Ｓ４０７）。

（回折素子によって行うべき位相変調の決定）
本実施形態ではさらに、上記のように決定された始点・終点の関係を成立させるための回折素子面１上または結像面２上での波面を決定して回折素子面１上で発生させるべき電磁場の位相を特定することにより、回折素子によって行うべき位相変調を求める。

図５は回折素子面上の波面を決定することにより回折素子によって行うべき位相変調を求める処理フローを示す図である。まず、図５に基づいて回折素子面１上の波面を決定して位相変調を求める方法について述べる。回折素子面１での波面を表す曲面をｚ＝ｓ（ｘ，ｙ）と書くと、曲面ｚ＝ｓ（ｘ，ｙ）の接線ベクトル（１，０，∂ｓ／∂ｘ）と（０，１，∂ｓ／∂ｙ）との両方が始点と終点との写像関係を示す位置ベクトル＜ｒ’₁＞−＜ｒ₁＞に直交する条件から、下記（２５）式を導く（Ｓ５０１）。

したがって、この（２５）式を満足するよう、ｓ（ｘ，ｙ）を導くことによって波面が求められる。ただし、Ｃ₁₁などは座標変換の直交行列Ｃの成分である。またｂ_xなどは前述のベクトル＜ｂ＞の成分である。このようにすると、回折素子面１上の点＜ｒ₁＞＝（ｘ₁，ｙ₁，０）における波面の法線が、結像面２上の点＜ｒ’₁＞＝（ｘ’₁，ｙ’₁，０）を通るため、＜ｒ₁＞を発する光線が＜ｒ’₁＞に達することになる。（２５）式から、積分によってｓ（ｘ，ｙ）を計算する（Ｓ５０２）。計算されたｓ（ｘ，ｙ）より、

により、回折素子面１上で発生させるべき電磁場の位相部分Φ（ｘ，ｙ）が求まる。したがって（１３）式より、

が回折素子によって行うべき位相変調となる（Ｓ５０３）。

図６は、結像面上の波面を決定することにより回折素子によって行うべき位相変調を求める処理フローを示す図である。図６に示す例では、直交行列Ｃの逆行列Ｃ’を用いて（１）を書き直して

とし、さらに、結像面２での波面を表す曲面を表す曲面もｚ’＝ｓ’（ｘ’，ｙ’）と書いて、下記（３０）式が導ける（Ｓ６０１）。

したがって、上記（３０）式を満足するよう、Ｓ’（ｘ’，ｙ’）を定める（Ｓ６０２）。ただし、Ｃ’₁₁などはＣ’の成分、ｂ’_xなどはベクトル＜ｂ’＞の成分である。この場合は、結像面２上の点＜ｒ’₁＞＝（ｘ’₁，ｙ’₁，０）における波面の法線が、回折素子面１上の点＜ｒ₁＞＝（ｘ₁，ｙ₁，０）を通るため、＜ｒ’₁＞に達する光線は＜ｒ₁＞を始点とすることになる。（２６）式と同様にして、

となるから、

とによって（１２）式を用いてＵ’（ｘ’，ｙ’）を構成し、そこから（８）式または（１０）式を用いてＵ（ｘ，ｙ）を計算し（Ｓ６０３）、この位相部分としてΦ（ｘ，ｙ）を得ることも可能である（Ｓ６０４）。あとは（１３）式を用いて、（２７）式と同様な、回折素子によって行うべき位相変調をえることができる（Ｓ６０５）。

図５の処理フローによる位相変調の１例として、回折素子面１と結像面２とが平行で（５）式がなりたつとき、（２５）式は、

となる（Ｓ５０１により導く）。この場合、ｓ（ｘ、ｙ）でも変数分離ができて、

が得られる（Ｓ５０２）。上記（３４）式に示すような回折素子面１上の波面を表す曲面の関数ｓ（ｘ、ｙ）がわかると、回折素子面１上で発生させるべき電磁場の位相部分がわかるので、（３４）式により、（２７）式を用いて回折素子（キノフォーム）で行うべき位相変調が求められる。

また、図６の処理フローによる位相変調の一例についても、上記と同じく（５）式が成り立つとき、

となる（Ｓ６０１）ので、

（Ｓ６０２）より、（１２）式、（３１）式、（３２）式を用いてＵ’（ｘ’，ｙ’）を構成し、さらに（８）式などを用いてＵ（ｘ，ｙ）を計算する（Ｓ６０３）方法で、回折素子によって行うべき位相変調Φ（Ｓ６０４、Ｓ６０５）を得ることができる
回折素子面１の面内でＵ₀（ｘ，ｙ）なる電磁場関数で表される入射光から結像面２の面内でＩ’（ｘ’，ｙ’）なる強度分布を有する光を生成しようとする場合、以上のようにしてＵ（ｘ，ｙ）を計算すると、回折素子面１上での入射光の振幅Ａ₀（ｘ，ｙ）とＡ（ｘ，ｙ）とが一致するため、位相変調のみでの光変換でも、パワー効率のよい変換が可能となる。

以上の工程により決定された回折素子によっておこなうべき位相変調Φ_H（ｘ，ｙ）を用いて回折素子を設計する。例えば、透過型の回折素子を構成する材料の屈折率がｎである場合は、（１４）式を満たすように回折素子の厚さｄ（ｘ、ｙ）の分布を決定することができる。

（代替手法：変数分離されていない場合の写像関係の決定）
図４に示した例では、（２２）式で示したような変数分離型の関数で表現できる入射光と出射光の場合について、回折素子の位相変調パターンを設計する方法にして詳細に説明したが、本発明の本質は、入射光の光強度分布を連続的に出射光の光強度分布に再配列するために、光線の始点と終点とを対応付ける写像を用いて回折素子パターンを計算することであり、変数分離型の関数に限定されるものではない。本質は、

が満たされるように始点座標ｘ₁、ｙ₁と終点座標ｘ’₁、ｙ’₁との間に写像関係を決めることである。（ここでｄｘ’₁とは、始点座標ｄｘ₁だけ動いたとき、それに対応する終点の座標ｘ’₁が動く距離を表し、ｄｙ’₁も同様である。）ただし、ここから（１８）式と同様にして一度に２次元の積分を行ってしまって（２０）式のような対応関係を求めようとしても、方程式が一つしかないので、（ｘ₁，ｙ₁）と（ｘ’₁，ｙ’₁）との２次元の対応関係を決めることはできない。

図７は変数分離されていない場合の写像関係の決定の処理フローを示す図である。（ｘ₁、ｙ₁）と（ｘ’₁、ｙ’₁）との対応関係は図７に示す方法で決めてもよい。以下、図７を用いて変数分離されていない光強度分布を有する入射光における座標変換を行う方法の一つについて説明する。

回折素子面１内で光強度を有する領域がｘ_l1＜ｘ＜ｘ_l2、ｙ_l1＜ｙ＜ｙ_l2であり、結像面２で光強度を有する領域がｘ’_l1＜ｘ’＜ｘ’_l2、ｙ’_l1＜ｙ’＜ｙ’_l2であったとする。このときまず、

を計算し（Ｓ７０１）、（Ｓ７０３）、引き続いて

を計算する（Ｓ７０２）、（Ｓ７０４）。これより、

なる変換関数を計算する（Ｓ７０５）。さらに、

を、それぞれのｙ’₁毎に計算する（Ｓ７０７）とともに、各ｙ’₁に（４０）式で対応づけられたｙ₁に対して

を計算する（Ｓ７０６）。これより、

として、

を計算する。ただし、Ｊ₀ ^-1（α；ｙ₁）は、ｙ₁を固定して

とおいたときの、Ｓ（ｘ₁）の逆関数、Ｓ^-1（α）＝ｘ₁である。このようにして、各ｙ₁、ｙ’₁の組ごとにｘ₁、ｘ’₁の組を決定し、（ｘ₁、ｙ₁）と（ｘ’₁、ｙ’₁）との対応関係を決める（Ｓ７０８）。なお、当然であるが、ｘとｙとの役割を入れ替えてもよい。すなわち、（３８）でｘ方向の定積分を初めに行ったが、ｙ方向の定積分から先に行ってもよい。

図８に示すような光強度パターンを生成するような回折素子を、本発明の手法を用いて作製した。図８（ａ）はｘ’軸方向のプロファイルであり、図８（ｂ）はｙ’軸方向のプロファイルである。図８（ａ）の光パターン部の横幅は１ｃｍ、図８（ｂ）の横幅も１ｃｍであった。このパターンを、回折素子から光軸上で２０ｃｍ離れたところに発生させる。入射光は、波長１．０６μｍ、１／ｅ²直径１．５ｃｍのコリメートガウシアンビームである。

結像面における図８のパターンも入射光も変数分離ができるので、図４の手順によって（ｘ₁，ｙ₁）と（ｘ’₁，ｙ’₁）との対応関係を決めた。

さらに、図５の手順によってΦ_H（ｘ，ｙ）を決めた。この位相変調を行う透過型の回折素子を、ガラス基板を用いて作製した。求めたΦ_H（ｘ，ｙ）から（１４）によって決定した厚さ分布となるよう、表面の微細加工を行った。ただし、光の周期性を利用し、位相変調は０から２πまでとした。すなわち、整数Ｎを用いて下記（４５）式を満たすような、０から２πまでに限定された位相変調Φ_HRを用いた。

ガラス板の微細加工によって作製された板状の回折素子に、波長１．０６μｍ、１／ｅ²直径１．５ｃｍのコリメートガウシアンビームを垂直に入射すると、目的とした図７の光パターンが、素子から２０ｃｍ離れたところに生成された。光パワーの変換効率は９５％であった。

実施例１と同じ条件だが、光軸に対して４５°傾いた板状の素子に光を反射させるタイプの回折素子を作製した。図４の手順によって（ｘ₁，ｙ₁）と（ｘ’₁，ｙ’₁）との対応関係を決め、図５の手順によってΦ_H（ｘ，ｙ）を決めるところまでは同じである。

この位相変調を行う回折素子を、ガラス基板上に反射用の金の膜を蒸着した構造にて作製した。光の周期性を用いて０から２πまでの位相変調を行うのは実施例１と同じであるが、Φ_H（ｘ，ｙ）から厚さ分布への換算は反射型であるので実施例１とは異なって、下記（４６）式とした。

上記構造で作製された板状の回折素子に、波長１．０６μｍ、１／ｅ²直径１．５ｃｍのコリメートガウシアンビームを４５°の入射角で入射すると、９０°反射し、素子から２０ｃｍ離れたところに目的とした図８の光パターンが生成された。光パワーの変換効率は９２％であった。

Claims

回折素子面において第１の光強度分布で入射する所定の波長λの入射光を結像面において第２の光強度分布を有する出射光となるように変換する回折素子の設計方法であって、
前記第１の光強度分布と前記第２の光強度分布とに基づいて前記回折素子の面上の１点を始点とし結像面の面上の１点を終点とする光線を定義したときの始点の座標と終点の座標との間の対応関係である一対一の写像関係を決定する工程と、
前記始点の座標における波面の法線が前記終点の座標に達するように前記写像関係に基づいて前記回折素子面における第１の波面の関数を決定する工程と、
前記第１の波面の関数と前記入射光の位相とから回折素子によっておこなうべき位相変調を算出する工程と、
前記算出した回折素子によっておこなうべき位相変調の分布から前記回折素子における厚さの分布を算出する工程と、を含み、
直交ｘｙｚ座標系は、前記回折素子の面上に原点があり、且つ、当該回折素子の面上にｘ軸とｙ軸とがあり、直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系は、前記結像面の面上に原点があり、且つ、当該結像面の面上にｘ’軸とｙ’軸があり、直交ｘｙｚ座標系上の座標と直交ｘ’ｙ’ｚ’座標上の座標との変換が、回転を表す直交行列＜Ｃ＞及び＜Ｃ‘＞と平行移動を表すベクトル＜ｂ＞及び＜ｂ’＞とを用いて、（ｘ，ｙ，ｚ）＝＜Ｃ＞（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞及び（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝＜Ｃ’＞（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞で表されるとき、
前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記始点の座標が（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記第１の光強度分布がＩ（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記終点の座標が（ｘ’₁，ｙ’₁）であり、前記第２の光強度分布がＩ’（ｘ’₁，ｙ’₁）であるときに、Ｉ（ｘ₁，ｙ₁）ｄｘ₁ｄｙ₁＝Ｉ’（ｘ’₁，ｙ’₁）ｄｘ’₁ｄｙ’₁なる関係が常に成り立つように前記対応関係を決定し［但し、ここではｄｘ’₁を始点の座標ｘ₁がｄｘ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｘ’₁が動く距離、ｄｙ’₁を始点の座標ｙ₁がｄｙ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｙ’₁が動く距離とする］、
さらに、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記第１の光強度分布Ｉ ₀ （ｘ，ｙ）がｘｙ変数分離可能であり、且つ、前記第２の光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）がｘ’ｙ’変数分離可能な場合、当該回折素子の面上のｘとｙとの変数に分離して得られるｘのみの関数Ｉ _0x （ｘ）とｙのみの関数Ｉ _0y （ｙ）、および、当該結像面の面上のｘ’とｙ’との変数に分離して得られるｘ’のみの関数Ｉ’ _x （ｘ’）とｙ’のみの関数Ｉ’ _y （ｙ’）とにおいて、当該関数Ｉ _0x （ｘ）をｘ上で０からｘ ₁ まで積分した結果のＪ _0x （ｘ ₁ ）、及び当該関数Ｉ’ _x （ｘ’）をｘ’上で０からｘ’ ₁ まで積分した結果のＪ’ _x （ｘ’ ₁ ）と、当該関数Ｉ _0y （ｙ）をｙ上で０からｙ ₁ まで積分した結果のＪ _0y （ｙ ₁ ）、及び当該関数Ｉ’ _y （ｙ’）をｙ’上で０からｙ’ ₁ まで積分した結果のＪ’ _y （ｙ’ ₁ ）と、がＪ _0x （ｘ ₁ ）＝Ｊ’ _x （ｘ’ ₁ ）、Ｊ _0y （ｙ ₁ ）＝Ｊ’ _y （ｙ’ ₁ ）となる関係に基づいて、前記始点の座標（ｘ₁，ｙ₁）と前記終点の座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との一対一の写像関係を決定する
ことを特徴とする回折素子の設計方法。
回折素子面において第１の光強度分布で入射する所定の波長λの入射光を結像面において第２の光強度分布を有する出射光となるように変換する回折素子の設計方法であって、
前記第１の光強度分布と前記第２の光強度分布とに基づいて前記回折素子の面上の１点を始点とし結像面の面上の１点を終点とする光線を定義したときの始点の座標と終点の座標との間の対応関係である一対一の写像関係を決定する工程と、
前記始点の座標における波面の法線が前記終点の座標に達するように前記写像関係に基づいて前記回折素子面における第１の波面の関数を決定する工程と、
前記第１の波面の関数と前記入射光の位相とから回折素子によっておこなうべき位相変調を算出する工程と、
前記算出した回折素子によっておこなうべき位相変調の分布から前記回折素子における厚さの分布を算出する工程と、を含み、
直交ｘｙｚ座標系は、前記回折素子の面上に原点があり、且つ、当該回折素子の面上にｘ軸とｙ軸があり、直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系は、前記結像面の面上に原点があり、且つ、当該結像面の面上にｘ’軸とｙ’軸があり、直交ｘｙｚ座標系上の座標と直交ｘ’ｙ’ｚ’座標上の座標との変換が、回転を表す直交行列＜Ｃ＞及び＜Ｃ‘＞と平行移動を表すベクトル＜ｂ＞及び＜ｂ’＞とを用いて、（ｘ，ｙ，ｚ）＝＜Ｃ＞（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞及び（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝＜Ｃ’＞（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞で表されるとき、
前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記始点の座標が（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記第１の光強度分布がＩ（ｘ₁，ｙ₁）であり、前記終点の座標が（ｘ’₁，ｙ’₁）であり、前記第２の光強度分布がＩ’（ｘ’₁，ｙ’₁）であるときに、Ｉ（ｘ₁，ｙ₁）ｄｘ₁ｄｙ₁＝Ｉ’（ｘ’₁，ｙ’₁）ｄｘ’₁ｄｙ’₁なる関係が常に成り立つように前記対応関係を決定し［但し、ここではｄｘ’₁を始点の座標ｘ₁がｄｘ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｘ’₁が動く距離、ｄｙ’₁を始点の座標ｙ₁がｄｙ₁だけ動いたときに対応する終点の座標ｙ’₁が動く距離とする］、
前記回折素子の面上で強度分布を有する領域がｘについて、ｘ _l1 ＜ｘ＜ｘ _l2 であり、結像面の面上で強度分布を有する領域がｘ’について、ｘ’ _l1 ＜ｘ’＜ｘ’ _l2 である場合、
さらに、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記第１の光強度分布Ｉ ₀ （ｘ，ｙ）におけるｙを固定した上で変数ｘについてｘ _l1 からｘ _l2 までの範囲を積分して得られるｙのみの関数Ｐ ₀ （ｙ）と、前記第２の光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）におけるｙ’を固定した上で変数ｘ’についてｘ’ _l1 からｘ’ _l2 の範囲を積分して得られるｙ’のみの関数Ｐ’（ｙ’）とにおいて、当該関数Ｐ ₀ （ｙ）をｙ上で０からｙ ₁ まで積分した結果のＱ ₀ （ｙ ₁ ）と、当該関数Ｐ’（ｙ’）をｙ’上で０からｙ’ ₁ まで積分した結果のＱ’（ｙ’ ₁ ）とがＱ ₀ （ｙ ₁ ）＝Ｑ’（ｙ’ ₁ ）となる関係に基づいて、ｙ ₁ とｙ’ ₁ との対応関係を求め、且つ、ｙをｙ’ ₁ に対応したｙ ₁ に固定してｘ上で０からｘ ₁ まで積分して得られるＪ ₀ （ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）に対し、ｙ’をｙ’ ₁ に固定してｘ’上で０からｘ’ ₁ まで積分して得られるＪ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）を等しくした条件下のｙ＝ｙ ₁ ，ｙ’＝ｙ’ ₁ でのｘ ₁ とｘ’ ₁ との対応関係を求めることにより、前記始点の座標（ｘ₁，ｙ₁）と前記終点の座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との一対一の写像関係を決定する
ことを特徴とする回折素子の設計方法。
回折素子面において第１の光強度分布で入射する所定の波長λの入射光を結像面において第２の光強度分布を有する出射光となるように変換する回折素子の設計方法であって、
前記第１の光強度分布と前記第２の光強度分布とに基づいて前記回折素子の面上の１点を始点とし結像面の面上の１点を終点とする光線を定義したときの始点の座標と終点の座標との間の対応関係である一対一の写像関係を決定する工程と、
前記終点の座標における波面の法線が前記始点の座標から達したように前記写像関係に基づいて前記結像面における第２の波面の関数を決定する工程と、
前記第２の波面の関数に基づいて前記結像面における電磁場関数を決定する工程と、
前記決定された結像面の電磁場関数に対応する前記回折素子面における電磁場関数を求める工程と、
前記求めた回折素子面における電磁場関数から始点の座標における位相を決定する工程と、
前記決定された始点の座標における位相と前記入射光の位相とから回折素子によっておこなうべき位相変調を算出する工程と、
前記算出した回折素子によっておこなうべき位相変調の分布から前記回折素子における厚さの分布を算出する工程と、を含み、
直交ｘｙｚ座標系は、前記回折素子の面上に原点があり、且つ、当該回折素子の面上にｘ軸とｙ軸があり、直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系は、前記結像面の面上に原点があり、且つ、当該結像面の面上にｘ’軸とｙ’軸があり、直交ｘｙｚ座標系上の座標と直交ｘ’ｙ’ｚ’座標上の座標との変換が、回転を表す直交行列＜Ｃ＞及び＜Ｃ‘＞と平行移動を表すベクトル＜ｂ＞及び＜ｂ’＞とを用いて（ｘ，ｙ，ｚ）＝＜Ｃ＞（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞及び（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝＜Ｃ’＞（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞で表されるとき、
前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記始点の座標が（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）であり、前記第１の光強度分布がＩ（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）であり、前記終点の座標が（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）であり、前記第２の光強度分布がＩ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）であるときに、Ｉ（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）ｄｘ ₁ ｄｙ ₁ ＝Ｉ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）ｄｘ’ ₁ ｄｙ’ ₁ なる関係が常に成り立つように前記対応関係を決定し［但し、ここではｄｘ’ ₁ を始点の座標ｘ ₁ がｄｘ ₁ だけ動いたときに対応する終点の座標ｘ’ ₁ が動く距離、ｄｙ’ ₁ を始点の座標ｙ ₁ がｄｙ ₁ だけ動いたときに対応する終点の座標ｙ’ ₁ が動く距離とする］、
さらに、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記第１の光強度分布Ｉ ₀ （ｘ，ｙ）がｘｙ変数分離可能であり、且つ、前記第２の光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）がｘ’ｙ’変数分離可能な場合、当該回折素子の面上のｘとｙとの変数に分離して得られるｘのみの関数Ｉ _0x （ｘ）とｙのみの関数Ｉ _0y （ｙ）、および、当該結像面の面上のｘ’とｙ’との変数に分離して得られるｘ’のみの関数Ｉ’ _x （ｘ’）とｙ’のみの関数Ｉ’ _y （ｙ’）とにおいて、当該関数Ｉ _0x （ｘ）をｘ上で０からｘ ₁ まで積分した結果のＪ _0x （ｘ ₁ ）、及び当該関数Ｉ’ _x （ｘ’）をｘ’上で０からｘ’ ₁ まで積分した結果のＪ’ _x （ｘ’ ₁ ）と、当該関数Ｉ _0y （ｙ）をｙ上で０からｙ ₁ まで積分した結果のＪ _0y （ｙ ₁ ）、及び当該関数Ｉ’ _y （ｙ’）をｙ’上で０からｙ’ ₁ まで積分した結果のＪ’ _y （ｙ’ ₁ ）と、がＪ _0x （ｘ ₁ ）＝Ｊ’ _x （ｘ’ ₁ ）、Ｊ _0y （ｙ ₁ ）＝Ｊ’ _y （ｙ’ ₁ ）となる関係に基づいて、前記始点の座標（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）と前記終点の座標（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）との一対一の写像関係を決定する
ことを特徴とする回折素子の設計方法。
回折素子面において第１の光強度分布で入射する所定の波長λの入射光を結像面において第２の光強度分布を有する出射光となるように変換する回折素子の設計方法であって、
前記第１の光強度分布と前記第２の光強度分布とに基づいて前記回折素子の面上の１点を始点とし結像面の面上の１点を終点とする光線を定義したときの始点の座標と終点の座標との間の対応関係である一対一の写像関係を決定する工程と、
前記終点の座標における波面の法線が前記始点の座標から達したように前記写像関係に基づいて前記結像面における第２の波面の関数を決定する工程と、
前記第２の波面の関数に基づいて前記結像面における電磁場関数を決定する工程と、
前記決定された結像面の電磁場関数に対応する前記回折素子面における電磁場関数を求める工程と、
前記求めた回折素子面における電磁場関数から始点の座標における位相を決定する工程と、
前記決定された始点の座標における位相と前記入射光の位相とから回折素子によっておこなうべき位相変調を算出する工程と、
前記算出した回折素子によっておこなうべき位相変調の分布から前記回折素子における厚さの分布を算出する工程と、を含み、
直交ｘｙｚ座標系は、前記回折素子の面上に原点があり、且つ、当該回折素子の面上にｘ軸とｙ軸があり、直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系は、前記結像面の面上に原点があり、且つ、当該結像面の面上にｘ’軸とｙ’軸があり、直交ｘｙｚ座標系上の座標と直交ｘ’ｙ’ｚ’座標上の座標との変換が、回転を表す直交行列＜Ｃ＞及び＜Ｃ‘＞と平行移動を表すベクトル＜ｂ＞及び＜ｂ’＞とを用いて（ｘ，ｙ，ｚ）＝＜Ｃ＞（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞及び（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝＜Ｃ’＞（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞で表されるとき、
前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記始点の座標が（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）であり、前記第１の光強度分布がＩ（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）であり、前記終点の座標が（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）であり、前記第２の光強度分布がＩ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）であるときに、Ｉ（ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）ｄｘ ₁ ｄｙ ₁ ＝Ｉ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）ｄｘ’ ₁ ｄｙ’ ₁ なる関係が常に成り立つように前記対応関係を決定し［但し、ここではｄｘ’ ₁ を始点の座標ｘ ₁ がｄｘ ₁ だけ動いたときに対応する終点の座標ｘ’ ₁ が動く距離、ｄｙ’ ₁ を始点の座標ｙ ₁ がｄｙ ₁ だけ動いたときに対応する終点の座標ｙ’ ₁ が動く距離とする］、
前記回折素子の面上で強度分布を有する領域がｘについて、ｘ _l1 ＜ｘ＜ｘ _l2 であり、前記結像面の面上で強度分布を有する領域がｘ’について、ｘ’ _l1 ＜ｘ’＜ｘ’ _l2 である場合、
さらに、前記一対一の写像関係を決定する工程では、前記第１の光強度分布Ｉ ₀ （ｘ，ｙ）におけるｙを固定した上で変数ｘについてｘ _l1 からｘ _l2 までの範囲を積分して得られるｙのみの関数Ｐ ₀ （ｙ）と前記第２の光強度分布Ｉ’（ｘ’，ｙ’）におけるｙ’を固定した上で変数ｘ’についてｘ’ _l1 からｘ’ _l2 の範囲を積分して得られるｙ’のみの関数Ｐ’（ｙ’）とにおいて、当該関数Ｐ ₀ （ｙ）をｙ上で０からｙ ₁ まで積分した結果のＱ ₀ （ｙ ₁ ）と、当該関数Ｐ’（ｙ’）をｙ’上で０からｙ’ ₁ まで積分した結果のＱ’（ｙ’ ₁ ）とがＱ ₀ （ｙ ₁ ）＝Ｑ’（ｙ’ ₁ ）となる関係に基づいて、ｙ ₁ とｙ’ ₁ との対応関係を求め、且つ、ｙをｙ’ ₁ に対応したｙ ₁ に固定してｘ上で０からｘ ₁ まで積分して得られるＪ ₀ （ｘ ₁ ，ｙ ₁ ）に対し、ｙ’をｙ’ ₁ に固定してｘ’上で０からｘ’ ₁ まで積分して得られるＪ’（ｘ’ ₁ ，ｙ’ ₁ ）を等しくした条件下のｙ＝ｙ ₁ ，ｙ’＝ｙ’ ₁ でのｘ ₁ とｘ’ ₁ との対応関係を求めることにより、前記始点の座標（ｘ₁，ｙ₁）と前記終点の座標（ｘ’₁，ｙ’₁）との一対一の写像関係を決定する
ことを特徴とする回折素子の設計方法。
前記第１の波面の関数を決定する工程では、前記回折素子の面上の前記始点の座標が前記直交ｘｙｚ座標系の表記で（ｘ，ｙ，ｚ）であり、前記結像面の面上の前記始点に一対一で対応する終点の座標が前記直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系の表記で（ｘ’，ｙ’，ｚ’）であり、さらに、前記回折素子の面上の波面を表す曲面をｚ＝ｓ（ｘ，ｙ）として、前記回折素子の面上の前記始点の座標における曲面ｓ（ｘ，ｙ）のｘ方向とｙ方向との接線ベクトルがそれぞれ（１，０，∂ｓ／∂ｘ）と（１，０，∂ｓ／∂ｙ）とであるとき、
（＜Ｃ＞・（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞−（ｘ，ｙ，ｚ））・（１，０，∂ｓ／∂ｘ）＝０に基づいて∂ｓ／∂ｘを算出し、且つ、（＜Ｃ＞・（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＋＜ｂ＞−（ｘ，ｙ，ｚ））・（１，０，∂ｓ／∂ｙ）＝０に基づいて∂ｓ／∂ｙを算出し、さらに、前記∂ｓ／∂ｘのｘ方向の積分による算出結果と前記∂ｓ／∂ｙのｙ方向の積分による算出結果との和に基づいて前記ｓ（ｘ，ｙ）を算出する
ことを特徴とする請求項１又は２に記載の回折素子の設計方法。
前記第２の波面の関数を決定する工程では、前記回折素子の面上の前記始点の座標が前記直交ｘｙｚ座標系の表記で（ｘ，ｙ，ｚ）であり、前記結像面の面上の前記始点に一対一で対応する終点の座標が前記直交ｘ’ｙ’ｚ’座標系の表記で（ｘ’，ｙ’，ｚ’）であり、前記結像面の面上の波面を表す曲面をｚ’＝ｓ’（ｘ’，ｙ’）として、前記結像面の面上の前記終点の座標における波面ｓ’ （ｘ’，ｙ’）のｘ’方向とｙ’方向との接線ベクトルがそれぞれ（１，０，∂ｓ’／∂ｘ’）と（１，０，∂ｓ’／∂ｙ’）とであるとき、
（＜Ｃ’＞・（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞−（ｘ’，ｙ’，ｚ’））・（１，０，∂ｓ’／∂ｘ’）＝０に基づいて∂ｓ’／∂ｘ’を算出し、且つ、（＜Ｃ’＞・（ｘ，ｙ，ｚ）＋＜ｂ’＞−（ｘ’，ｙ’，ｚ’））・（１，０，∂ｓ’／∂ｙ’）＝０に基づいて∂ｓ’／∂ｙ’を算出し、さらに、前記∂ｓ’／∂ｘ’のｘ’方向の積分による算出結果と前記∂ｓ’／∂ｙ’のｙ’方向の積分による算出結果との和に基づいて前記ｓ’（ｘ’，ｙ’）を算出する
ことを特徴とする請求項３又は４に記載の回折素子の設計方法。