JP6212762B2 - 流量計測方法及び装置 - Google Patents

Description

本発明は、典型例として、液体ロケットエンジンやその地上試験設備等、十分に整流することが難しい流路において、高精度で流量を計測するための方法及び装置に関する。

一般に体積流量は、流路断面を通って単位時間内に流れる流体の体積と定義することができる。一例として、図１に示す流路配管１内を流れる流体の流量Ｑは、流路断面上の各点における流速のうち、流路断面の法線方向成分の積分値として以下のとおり表される。
…（１）
ただし、
…（２）
…（３）

上記式（１）〜（３）において、Ｓは流路断面を表わし、流路断面Ｓ内の位置を（ｘ，ｙ）で表わす。ｖ_zは、流体の流速のうち、流路断面Ｓの法線方向（ｚ方向）成分を表わし、ｖ_z（ｘ，ｙ）は、流路断面Ｓ内位置（ｘ，ｙ）における流体の流速のうち、位置（ｘ，ｙ）における法線方向の成分を表わす。ｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は、それぞれ流路断面Ｓ内でｘ座標を定めたときのｙ座標の最小値、最大値を表わし、ｘ_min，ｘ_maxは、それぞれ流路断面Ｓ内でのｘ座標の最小値、最大値を表わす。また、図１において流路断面Ｓ₁は流路配管１の軸に直交する平面であるが、流路断面が軸に対して傾いていたり、曲面であったりしても、上記式（１）〜（３）により流量を表わすことができる。

上記式（２）から明らかなとおり、ｘ座標としてあるｘ_iを定めたとき、Ｖ_z（ｘ_i）は、流路断面Ｓ内においてｘ座標がｘ_iに等しい領域、即ち線分ＡＢ（図２）上の各点（ｘ，ｙ）についてのｖ_z（ｘ，ｙ）の平均値を表しており、例えば超音波方式によって計測することが可能である。

一例においては、図３に示すとおり、点Ａ，Ｂからそれぞれｚ方向に所定の大きさだけシフトした点をＡ＊，Ｂ＊として、超音波が点Ａ＊から点Ｂ＊に伝播する場合と点Ｂ＊から点Ａ＊に伝播する場合とで流速に応じた見かけ上の音速差が生じることを利用して、それぞれの方向について計測された伝播時間から、Ａ＊，Ｂ＊間におけるｖ_z（ｘ，ｙ）の平均値を求めることができる。通常、これを線分ＡＢ上の平均流速Ｖ_z（ｘ_i）とみなすことができる。

具体的には、図４に示すとおり、点Ａ＊から超音波を送信する超音波素子２ａと、点Ｂ＊から超音波を送信する超音波素子２ｂとを流路配管１上に配置し、超音波素子２ａから送信された超音波が超音波素子２ｂによって受信されるまでの伝播時間と、超音波素子２ｂから送信された超音波が超音波素子２ａによって受信されるまでの伝播時間とを計測する。単純な一例においては、特許文献１に記載されているとおり、超音波素子２ａから超音波素子２ｂに対して超音波を送信したとき、長さＬの経路を通って超音波素子２ｂに到達するまでの伝播時間をｔ₁とし、超音波素子２ｂから超音波素子２ａに対して超音波を送信したとき超音波素子２ａに到達するまでの伝播時間をｔ₂として、以下の式（４）により、ｖ_z（ｘ，ｙ）の平均値を決定することができる（超音波の送受信経路とｚ方向との間の角度をθとする。）。
…（４）

通常、この平均値をＶ_z（ｘ_i）として用いることができる。

実用上、計測できるＶ_z（ｘ_i）は離散的であることから、多くの場合には数値積分を用いてＱの近似値を求める必要がある。また、図４に示すとおり超音波素子のペアを用いて計測する場合には、計測点ｘ_iの数に応じた数だけ、超音波素子のペアを流路配管上に配置することが考えられるが、この場合、実装できる計測点には限りがあるため、少ない計測点でも精度のよい計算手法を用いることが必要である。

上記式（１）で表わされる流量Ｑの近似値を、離散的に計測した流速からガウス求積法（ガウス−ルジャンドル，チェビチェフ，ロバート）によって求める方法が、特許文献２に開示されている。特許文献２が開示する方法は、被積分関数をＶ_z（ｘ）Ｌ（ｘ）とし、重み関数を１（定数）としてガウス求積法を用いることにより、以下の近似式
…（５）
によって流量Ｑの近似値Ｑ_Nを決定するものである。ここで、ｘ_i，ｗ_iはそれぞれガウス求積法の分点、係数であり、各分点ｘ＝ｘ_iにおいて計測された離散的な流速Ｖ_z（ｘ_i）を用いて上記式（５）が計算される。

特許文献３，４においては、半径Ｒの円管流路を流れる流体の流量の近似値を離散的に計測した流速から求める方法が開示されている。半径Ｒの円管流路では、流路断面内でｘ座標を定めたとき、上記式（３）に示すＬ（ｘ）が
…（６）
と表わされる。これを利用し、特許文献３，４が開示する方法においては重み関数を
…（７）
とし、被積分関数を２ＲＶ_z（ｘ）として、ガウス求積法（ガウス−チェビチェフ）に従い分点ｘ_i，係数ｗ_iが計算される。各分点ｘ＝ｘ_iにおいて計測された離散的な流速Ｖ_z（ｘ_i）を用いて、以下の近似式
…（８）
により流量Ｑの近似値Ｑ_Nが決定される。

従来技術においては被積分関数に流速分布そのものが含まれているため、流速分布が大きく歪んでいる場合等では、精度のよい近似値を得るために、より高次の求積法（即ち、より多くの計測点）が必要となるという課題がある。

特開２００１−２０８５８４号公報 米国特許第３５６４９１２号明細書 米国特許第３９４０９８５号明細書 特開昭５１−１２９２６１号公報

以上に鑑み、本発明は、少ない計測点でも精度よく流量を計測する方法及び装置を提供することを課題とする。

上記課題を解決するため、本発明は、流路内を流れる流体の流量として、以下の式：
…（９）
ただし、
…（１０）
…（１１）
（Ｓは流路断面を表わし、流路断面Ｓ内の位置を（ｘ，ｙ）で表わす。ｖ_zは、流体の流速のうち、流路断面Ｓの法線方向（ｚ方向）成分を表わし、ｖ_z（ｘ，ｙ）は、流路断面Ｓ内位置（ｘ，ｙ）における流体の流速のうち、位置（ｘ，ｙ）における法線方向の成分を表わす。ｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は、それぞれ流路断面Ｓ内でｘ座標を定めたときのｙ座標の最小値、最大値を表わし、ｘ_min，ｘ_maxは、それぞれ流路断面Ｓ内でのｘ座標の最小値、最大値を表わす。後述の各式においても同様。）
によって表わされる流量Ｑを計測する方法であって、
流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、以下の式：
…（１２）
ただし、
…（１３）
によって表わされるＶ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する段階と、
各々の分点ｘ_iについて、Ｖ_z（ｘ_i）を決定するとともにＶ_z0（ｘ_i）を決定する段階と、
流量Ｑの近似値として、以下の式：
…（１４）
を用いて表わされる、近似値Ｑ_Nを決定する段階と、を備えた方法を提供する。

上記のとおり、本発明の方法は、流路断面内Ｓの推定流速分布（理論計算、シミュレーション、予備実験等により、予め求めておくことができる。）を用いて重み関数Ｖ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を構成し、ガウス求積法により流量の近似値を決定することを特徴とする。このとき、被積分関数は
…（１５）
となり、あるｘ座標についての、推定流速分布の平均値に対する実際の流速分布の平均値の比を表わしている。推定流速分布が確からしいほど被積分関数は定数関数に近くなるため、近似精度が向上する。

上記方法は、適当なオフセット関数Ｖ_z1（ｘ）によってＶ_z0（ｘ）を修正することで得られるＶ′_z0（ｘ）を用いても実施可能である。

すなわち本発明は、流路内を流れる流体の流量として、上記式（９）〜（１１）によって表わされる流量Ｑを計測する方法であって、
流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、オフセット関数Ｖ_z1（ｘ）を用いて以下の式：
…（１６）
ただし、
…（１７）
で表わされるＶ’_z0（ｘ）を用いて、以下の式：
…（１８）
によって表わされるＶ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する段階と、
各々の分点ｘ_iについて、Ｖ_z（ｘ_i）を決定するとともに、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），及び、以下の式：
…（１９）
…（２０）
で表わされるＱ_z0，Ｑ_z1を決定する段階と、
以下の式：
…（２１）
を用いて表わされる、近似値Ｑ_Nを決定する段階とを備えた方法を提供する。

この方法は、オフセット関数Ｖ_z1（ｘ）を用いることにより、後述のとおりＶ_z0（ｘ），Ｖ_z（ｘ）のゼロ点をずらしてＶ′_z0（ｘ），Ｖ’_z（ｘ）を導入し、これらを用いて、ゼロ点がずらされた流量Ｑ’にガウス求積法を適用するという発想に基づく。後述のとおり、上記式（９）中、Ｖ_z（ｘ）の代わりにＶ′_z（ｘ）を用いてゼロ点をずらした流量Ｑ′を導入し、この流量Ｑ’に、重み関数をＶ′_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）としたガウス求積法を適用して近似値Ｑ’_Nを多項式近似の形で表し、更にＱ’_NとＱ_Nとの間の関係式を用いてＱ_Nを多項式近似で表すという手順で、上記式（２１）を導出することが可能である。

上記のＶ_z1（ｘ）を用いる方法においては、流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以上となるよう、又は流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以下となるよう、前記Ｖ_z1（ｘ）を選定することが好ましい。

いわゆる逆流等によって重み関数の符号が一定とはならない場合、ガウス求積法の分点ｘ_iを必ずしも積分区間内（流路断面Ｓ内のｘ座標がとる範囲）に取ることができないため、Ｖ_z（ｘ_i）の計測点ｘ_iやＶ₀（ｘ_i）の計算点ｘ_iを実装できない可能性がある。この場合であっても、重み関数Ｖ′_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）の符号が積分区間内で一定となるよう（例えば、Ｖ_z0（ｘ）の最小値の絶対値をＶ_z1（ｘ）としたり、Ｖ_z0（ｘ）の最大値の絶対値×（―１）をＶ_z1（ｘ）としたりすれば、重み関数Ｖ′_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）の符号を一定にできる。）Ｖ_z1（ｘ）を選択すれば、ガウス求積法の原理から分点ｘ_iも必ず積分区間内に実装できるため、見かけ上逆流を回避して高精度で流量を決定することが可能となる。

ただし、後述のとおり、重み関数の符号が積分区間内で変化する場合であっても、積分区間内に分点ｘ_iをとることができる場合もある。したがって、上記のとおり重み関数の符号が一定となるようＶ_z1（ｘ）を選定することは本発明にとって必須ではない。

また本発明は、上述の本発明が提供する方法により近似値Ｑ_Nを決定する段階と、近似値Ｑ_Nよりも信頼性の低い、第２の近似値Ｑ_SUBを用いて、以下の式：
…（２２）
に基づき、近似値Ｑ_Nの誤差範囲を推定する段階とを備えた流量計測方法を提供する。後述のとおり、このような方法で近似値Ｑ_Nの誤差を見積もることが可能である。ここにおいて、「近似値Ｑ_Nよりも信頼性の低い」第２の近似値Ｑ_SUBとは、本発明の方法を用いる場合には計測点数Ｎを減らしたり、あるいは後述のとおり、ガウス求積法の被積分関数を各分点ｘ_iについて個別に計算するのではなく、その最大値又は最小値で一律に置き換えたりして決定された、近似値Ｑ_Nよりも誤差が大きいと推定される近似値である。

また本発明は、流路内を流れる流体の流量として、上記式（９）〜（１１）式によって表わされる流量Ｑを計測する装置であって、流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、上記式（１２），（１３）によって表わされるＶ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する、ガウス求積演算部と、ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについてＶ_z（ｘ_i）を決定する、Ｖ_z（ｘ_i）決定部と、ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについてＶ_z0（ｘ_i）を決定する、Ｖ_z0（ｘ_i）決定部と、流量Ｑの近似値として、上記式（１４）を用いて表わされる近似値Ｑ_Nを決定する、Ｑ_N決定部と、を備えた装置を提供する。

また本発明は、流路内を流れる流体の流量として、上記式（９）〜（１１）によって表わされる流量Ｑを計測する装置であって、流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、オフセット関数Ｖ_z1（ｘ）を用いて上記式（１６），（１７）によって表わされるＶ’_z0（ｘ）を用いて、上記式（１８）によって表わされるＶ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する、ガウス求積演算部と、ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについて、Ｖ_z（ｘ_i）を決定する、Ｖ_z（ｘ_i）決定部と、ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについてのＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），及び、上記式（１９），（２０）で表わされるＱ_z0，Ｑ_z1を決定する、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1決定部と、上記式（２１）を用いて表わされる近似値Ｑ_Nを決定する、Ｑ_N決定部とを備えた装置を提供する。

上記のＶ_z1（ｘ）を用いる装置においては、前記ガウス求積演算部が、流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以上となるよう、又は流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以下となるよう選定された前記Ｖ_z1（ｘ）を用いることが好ましい。ただし、既に述べたとおり重み関数の符号が積分区間内で変化する場合であっても、積分区間内に分点ｘ_iをとることができる場合もあるため、重み関数の符号が一定となるようＶ_z1（ｘ）を選定することは必須ではない。

上記本発明が提供する装置において、Ｖ_z（ｘ_i）決定部を、流路を規定する流路配管上で各々の分点ｘ_iに対応する位置に設置される超音波素子のペアと、超音波素子のペアに対して超音波の送受信を指示する超音波送受信回路と、超音波の送受信を示す信号を記録する超音波送受信信号記録回路と、超音波送受信信号記録回路に記録された、超音波の送受信を示す信号を用い、各々の分点ｘ_iについてＶ_z（ｘ_i）を計算する流速計算回路とを備えるよう構成することができる。

また、上記本発明が提供する装置に、近似値Ｑ_Nよりも信頼性の低い第２の近似値Ｑ_SUBを用いて、上記式（２２）に基づき近似値Ｑ_Nの誤差範囲を推定する、誤差範囲推定部を更に備えることができる。

本発明によれば、任意の流速分布に対して最適なガウス求積法を構成することができるため、少ない計測点でも精度よく流量を計測することができる。本発明の方法、装置は、整流されていない歪んだ流速分布に対して特に効果的である。

本発明が用いるガウス求積法において、被積分関数は、流速分布そのものではなく、推定流速分布に対する実際の流速分布の比を表している。ある程度確からしい流速分布を予め推定することができれば、流速分布が大きく歪んでいる場合等でも被積分関数は定数関数に近くなるため、精度のよい流量の近似値を得ることができる。

さらに、本発明が教示する誤差範囲推定の手法によれば、実際に計測した流量の不確かさ（積分の近似誤差範囲に相当）について、簡易的に見当を付けることができる。これにより、必ずしも基準器との比較を行わずに、積分誤差に起因する流量の不確かさを評価することが可能となる。ただし、当然ながら、可能ならば基準器との比較検定を行う方が確実である。なお、この誤差範囲推定手法は従来技術にも適用可能である。

本発明による流量計測を実施可能な流路の一例を示す図である。 図１に示される流路の流路断面Ｓ₁を示す図である。 図１に示される流路において、超音波が伝播する経路Ａ＊Ｂ＊を示す図である。 図１に示される流路において、超音波が伝播する経路Ａ＊Ｂ＊を、流路の軸に直交する方向から見たときの図である。 流路配管１に接続された、本発明に係る流量計測装置の一実施形態を示す構成図である。なお、超音波素子２ａ，２ｂのペアは、計測点ｘ_iの数に応じた数の組だけ流路配管１上に設置されるが、図５においては代表して１組だけ描かれている。 円管流路における流速分布の例を示すグラフである。 Ｎ＝３として本発明による流量計測を実施するときの、超音波の送受信地点Ａ_i＊，Ｂ_i＊を示す図である。ただし、計測点ｘ₁〜ｘ₃の位置は正確ではない。またＡ_i＊，Ｂ_i＊は、図３と同様に流路断面Ｓ₁からｚ方向へ所定の大きさだけシフトされているが、ｚ座標は図７中に示されていない。 流路配管１に接続された、本発明に係る流量計測装置の一実施形態を示す構成図である。なお、超音波素子２ａ，２ｂのペアは、計測点ｘ_iの数に応じた数の組だけ流路配管１上に設置されるが、図８においては代表して１組だけ描かれている。 図８中の流路配管１の一例として、邪魔板が設けられた円管流路を示す図である。 邪魔板をｘｙ平面内で見たときの平面図である。 従来のガウス求積法（ガウス‐チェビチェフ）によって、図９Ａ中のＡ地点の断面で流量を計測した時の誤差と、本発明の方法によって同じくＡ地点の断面で流量を計測した時の誤差とを示すグラフである。 流路断面の別の例として、流路の軸に対して角度φだけ傾いた面Ｓ₂を示した図である。 流路断面Ｓ₂を、その法線方向から見たときの図である。 流路断面Ｓ₂を用いる場合に、流速ｖの法線方向成分ｖ_zを求めるための方法を示す図である。

これより図面を用いて、本発明の流量計測方法、流量計測装置の具体例を説明する。ただし、本発明の流量計測方法、流量計測装置は、以下に説明する具体的態様に限定されるわけではなく、本発明の範囲内で適宜変更可能である。例えば、実施例１においては半径１の円管流路を流れる流体の流量を計測するが、これ以外の任意の流路を流れる流体の流量であっても、本発明に従って計測することが可能である（ガウス求積法の積分区間は慣例的に［−１，１］とされているが、流路断面のｘ区間がこれとは異なる場合であっても、適切な変数変換により積分区間を［−１，１］とすることが可能である。）。また、以下の各実施例では、流速の流路断面法線方向成分の平均値を計測する手段として、流路配管上に１計測点ごとに２つの超音波素子を設置し、超音波素子間での双方向における超音波伝播時間の差から流量を決定する方式（伝播時間差方式）を用いるが、この方式に限らず、不透明な液体に適したパルスドップラー方式など、任意の方式を用いてよい。超音波を用いる方式以外の方式として、公知のあらゆる方式、及び将来的に実施可能となるあらゆる方式を用いることも可能である。さらに、以下の実施例では流量Ｑを体積流量として計測しているが、計測された体積流量に密度を乗じるなどして質量流量を求めることも可能である。そのような質量流量の計測は必然的に体積流量の計測を伴うものであり、即ち本発明の技術的範囲内にある。また、図５，図８で示される各回路は、物理的に隔離された別個の回路であってもよいし、１つの回路中で各機能を担う概念的機能部であってもよい。各回路は複数の回路から構成されてもよく、例えば図８中のＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路は、Ｖ’_z0（ｘ_i）を計算するための回路と、Ｖ_z1（ｘ_i）を計算するための回路と、Ｑ_z0を計算するための回路と、Ｑ_z1を計算するための回路とからなる回路群であってもよい。本発明を実施するために行われるそれぞれの処理を、１以上の任意の要素に対して任意に分配することが可能である。

本明細書における、ガウス求積法
本明細書、及び特許請求の範囲中で用いられる「ガウス求積法」という用語は、重み関数を用いて有限個の分点及び係数を決定し、これらを用いた多項式近似として実行される数値積分法一般を指す総称である。分点及び係数の具体的な値は、重み関数等の条件に依存する。以下、このような一般的意味におけるガウス求積法を説明する。

（１）重み関数をｗ（ｘ），積分区間をＸとし、
…（２３）
とおく。

（２）以下のｐ_k：
…（２４）
…（２５）
を係数とする直交多項式：
…（２６）
に対して、Ｐ_N（ｘ）＝０となる根をガウス求積法の分点ｘ_i（ｉ＝１，２，…，Ｎ）とする。

（３）被積分関数がＮ次未満の多項式である場合に正しい積分値が得られるよう、以下の式（２７）によってガウス求積法の係数ｗ_iを求める。
…（２７）
（４）一般の被積分関数ｆ（ｘ）に対して、以下のとおり有限和で積分値を近似する。
…（２８）
誤差項Ｒ_Nは２Ｎ次導関数を含む形で表されるため、被積分関数ｆ（ｘ）が２Ｎ次未満の多項式である場合、近似誤差は０となる。

本発明による流量計測方法
本発明の一実施形態による流量計測方法によれば、上述のガウス求積法において重み関数ｗ（ｘ）をＶ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）とし（式（１２））、式（２３）〜（２７）を用いて分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定し、被積分関数ｆ（ｘ）をＶ_z（ｘ）／Ｖ_z0（ｘ）（式（１５））として式（２８）で演算することにより、上記式（１４）に示される近似値Ｑ_Nを得ることができる。

本発明による誤差範囲推定
また本発明の一実施形態によれば、以下のとおり誤差Ｑ−Ｑ_Nの範囲を推定することが可能である。

上記本発明の一実施形態による流量計測方法に従い、最も確からしいと考えられる流量Ｑの近似値Ｑ_Nを求める。併せて、Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値Ｑ_SUB、すなわち以下の式：
…（２９）
が成り立つと推定される近似値Ｑ_SUBを、利用する計測点数を減らした上で本発明の流量計測方法を用いたり、あるいは別の任意の方法を用いたりして求める。

ここで、まずＱ_SUB＜Ｑ_Nである場合について考えると、
（１）Ｑ_N≦Ｑのとき、
…（３０）
より、以下の式が得られる。
…（３１）
（２）Ｑ_N＞Ｑのとき、
まず、仮にＱ_SUB≧Ｑとすると、Ｑ_SUB＜Ｑ_NからＱ_SUB−Ｑ＜Ｑ_N−Ｑとなり、Ｑ_SUBがＱ_Nよりも信頼性が低いという仮定に矛盾するので、Ｑ_SUB＜Ｑとする。このとき、当該仮定から
…（３２）
なので、上記式（３２）の両辺にＱ_Nを加えて整理することにより上記式（３１）が得られる。

次に、Ｑ_SUB＞Ｑ_Nである場合について考えると、
（１）Ｑ_N≦Ｑのとき、
まず、仮にＱ_SUB≦Ｑとすると、Ｑ_SUB＞Ｑ_NからＱ−Ｑ_SUB＜Ｑ−Ｑ_Nとなり、Ｑ_SUBがＱ_Nよりも信頼性が低いという仮定に矛盾するので、Ｑ_SUB＞Ｑとする。このとき、当該仮定から
…（３３）
なので、上記式（３３）の両辺からＱ_Nを引いて整理することにより、以下の式：
…（３４）
が得られる。
（２）Ｑ_N＞Ｑのとき、
…（３５）
より、上記式（３４）が得られる。

以上をまとめると、
…（３６）
として、Ｑ_Nの誤差範囲を推定することができる。

以下、上記式（３６）を用いた誤差範囲推定の一例を示す。本実施例１の流量計測方法に従い、Ｎ個の計測点で計測したＶ_z（ｘ）を用いて得られる流量の近似値Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値としては、Ｎ個の計測点ｘ_iについてそれぞれ求められる、Ｎ個の被積分関数値Ｖ_z（ｘ_i）／Ｖ_z0（ｘ_i）の最小値、最大値をそれぞれｆ_min，ｆ_maxとして、

…（３７）
で表されるＱ_min，Ｑ_maxを考えることができる。Ｑ_min＜Ｑ_N＜Ｑ_maxであり、また、実用上十分な確からしさで、Ｑ_NはＱ_min，Ｑ_maxよりも精度が高いものと考えられる。よって、上記（３６）を用いれば、以下の式：
…（３８）
によりＱ_Nの誤差範囲を概算することができる。

本発明による流量計測装置
本発明の流量計測方法を実施することができる装置の一例を、図５に示す。図５の流量計測装置は、ガウス求積演算回路、流路配管１に設置された少なくとも１組の超音波素子２ａ，２ｂのペア、超音波送受信回路、超音波送受信信号記録回路、流速計算回路、Ｖ_z0（ｘ_i）計算回路、Ｑ_N決定回路、及び任意で誤差範囲推定回路を備える。これらの要素のうち、少なくとも１組の超音波素子２ａ，２ｂのペア、超音波送受信回路、超音波送受信信号記録回路、流速計算回路によってＶ_z（ｘ_i）決定部が構成される。

ガウス求積演算回路には、推定流速分布として、流路断面内の各位置（ｘ，ｙ）における流速の、法線方向成分の推定値ｖ_z0（ｘ，ｙ）が入力される。図１に示されるとおり、流路配管１の軸に対して直交する流路断面Ｓ₁を用いる場合には、法線方向（ｚ方向）は軸方向に一致するのであり、推定流速分布としては、流路断面Ｓ₁内の各位置（ｘ，ｙ）における軸方向の流速の推定値ｖ_z0（ｘ，ｙ）が入力される。ガウス求積演算回路は、入力されたｖ_z0（ｘ，ｙ）から重み関数ｗ（ｘ）＝Ｖ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を構成し、上述のガウス求積法により分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する。

超音波素子２ａ，２ｂは、図４を用いて既に説明したとおり、流路配管１上に傾斜しつつ対向して配置された超音波素子のペアである。具体的には、ガウス求積演算回路により決定された、１からＮまでのｉに対する各々の分点ｘ_iについて、図２に示すとおりｙ座標の最大値、最小値に対応する流路断面上の点Ａ，Ｂが決定され、図３に示すとおり、点Ａ，Ｂからそれぞれｚ方向に所定の大きさだけシフトした点をＡ＊，Ｂ＊として、Ａ＊，Ｂ＊間で超音波の送受信を行うことができる位置に超音波素子２ａ，２ｂのペアが設置される。すなわち、超音波素子２ａ，２ｂのペアはＮ組設置されることになる。あるいは、予め多数組の超音波素子２ａ，２ｂペアを流路配管１上に設置しておき、ガウス求積演算回路により決定された分点ｘ_iに対応する位置にある超音波素子２ａ，２ｂペアのみを超音波送受信回路により動作させてもよい。

超音波送受信回路は、超音波素子２ａ，２ｂに超音波の送受信を指示する信号を送信し、超音波素子２ａ，２ｂが受信した超音波信号を受信するとともに、超音波送受信信号記録回路に対しては超音波の送受信を示す信号を送信する回路である。

超音波送受信信号記録回路は、超音波送受信回路から送信された超音波の送受信を示す信号を記録する回路である。一例においては、上記式（４）中のｔ₁，ｔ₂を示す信号が超音波送受信回路から送信されて、超音波送受信信号記録回路に記録される。

流速計算回路は、超音波送受信信号記録回路から超音波の送受信を示す信号を受信し、これを演算して、各々の分点ｘ_iに対するＶ_z（ｘ_i）を計算する回路である。一例において、流速計算回路は、超音波送受信信号記録回路から上記式（４）中のｔ₁，ｔ₂を示す信号を受信して、上記式（４）に基づいてｖ_z（ｘ，ｙ）の平均値を計算により決定し、この平均値をＶ_z（ｘ_i）として出力する。なお、上記式（４）中のＬやθは、例えばガウス求積演算回路により分点ｘ_i、係数ｗ_iとともに幾何学計算されて、流速計算回路に入力されるものとする。

Ｖ_z0（ｘ_i）計算回路は、ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについて、推定流速分布を用いてＶ_z0（ｘ_i）を計算により決定する。各々のｘ座標に対応するｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は流路断面形状により決定されるため、Ｖ_z0（ｘ_i）計算回路に予め入力しておくことが可能である。分点ｘ_iはガウス求積演算部から入力される。またｖ_z0（ｘ，ｙ）は、あらかじめ入力されていても、ガウス求積演算部から入力されてもよい。

Ｑ_N決定回路は、ガウス求積演算回路により決定された係数ｗ_i、流速計算回路により決定されたＶ_z（ｘ_i）、及びＶ_z0（ｘ_i）計算回路によって決定されたＶ_z0（ｘ_i）の、各々の演算回路、計算回路からの入力を受け、これらを用いて、式（１４）により流量の近似値Ｑ_Nを計算により決定する回路である。

なお、ガウス求積法を初めとして各回路により行われる演算には解析解が存在しないことが多いため、典型的には計算機等による数値的な演算が行われる。

誤差範囲推定回路は、Ｑ_N決定回路からＱ_Nの入力を受けるとともに、Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値Ｑ_SUBの入力をＱ_N決定回路又は任意の外部回路等（不図示）から受けて、上記式（３６）により誤差範囲を推定する回路である。

実施例１の具体例
次に、半径１の円管流路において、実際の流速分布が以下の式（３９），（４０）：
（層流）
…（３９）
（指数則）
ただし、ｎ＝５，７，９
…（４０）
で表わされるそれぞれの場合（図６）に、Ｎ＝３として本発明の方法により流量の近似値Ｑ₃を得るための、流量計測装置の動作を説明する。

本実施例１においては、流路断面として図１等に示される流路断面Ｓ₁を用い、流速の法線方向成分の推定値ｖ_z0（ｘ，ｙ）が、
…（４１）
として、予め与えられているとする。この推定値ｖ_z0（ｘ，ｙ）がガウス求積演算回路に入力される。ガウス求積演算回路は、入力されたｖ_z0（ｘ，ｙ）から重み関数：
…（４２）
を構成し、上述のガウス求積法により分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する。本具体例においてはＮ＝３であるため、ｘ₁〜ｘ₃及びｗ₁〜ｗ₃が決定される。

上記決定された各々の分点ｘ₁〜ｘ₃に対応して、超音波の送受信点Ａ₁＊〜Ａ₃＊，Ｂ₁＊〜Ｂ₃＊が決定される（図７）。具体的には、各々の分点ｘ₁〜ｘ₃について図２に示す要領で点Ａ₁〜Ａ₃，Ｂ₁〜Ｂ₃を決定し（図２のｘ_iを分点ｘ₁として得られる、図２中のＡ，ＢをＡ₁，Ｂ₁とし、図２のｘ_iを分点ｘ₂として得られる、図２中のＡ，ＢをＡ₂，Ｂ₂とし、図２のｘ_iを分点ｘ₃として得られる、図２中のＡ，ＢをＡ₃，Ｂ₃とする。）、これらの点をｚ方向に所定の大きさだけシフトさせることにより（図３参照。点Ａ_iと点Ｂ_iを逆方向にシフトさせる。）、点Ａ₁＊〜Ａ₃＊，Ｂ₁＊〜Ｂ₃＊が決定される。Ａ₁＊，Ｂ₁＊間、Ａ₂＊，Ｂ₂＊間、及びＡ₃＊，Ｂ₃＊間のそれぞれで超音波の送受信を行うことができる位置に、３組の超音波素子２ａ，２ｂのペアが配置される。超音波素子の配置は、ガウス求積演算回路に接続された任意のアクチュエータ等（不図示）によって行うことができる。既に述べたとおり、予め多数組の超音波素子２ａ，２ｂペアを流路配管１上に設置しておき、ガウス求積演算回路により決定された分点ｘ_iに対応する位置にある超音波素子２ａ，２ｂペアのみを超音波送受信回路により動作させるならば、超音波素子の配置操作は不要である。

次に、超音波送受信回路が、上記３組の超音波素子２ａ，２ｂのペアに対して、超音波の送受信を指示する信号を送信する。３組の超音波素子２ａ，２ｂは、それぞれＡ₁＊，Ｂ₁＊間、Ａ₂＊，Ｂ₂＊間、及びＡ₃＊，Ｂ₃＊間で双方向に超音波の送受信を行い、各超音波素子が受信した超音波信号を超音波送受信回路へと送信する。超音波送受信回路は、受信した超音波信号から、各送受信経路における、それぞれの方向についての伝播時間ｔ₁，ｔ₂を計測し、超音波の送受信を示す信号として超音波送受信信号記録回路に送信する。

超音波送受信信号記録回路は、上記各送受信経路における、それぞれの方向についての伝播時間ｔ₁，ｔ₂を記録する。流速計算回路は、超音波送受信信号記録回路からこれら伝播時間ｔ₁，ｔ₂を受信して、上記式（４）に従い、分点ｘ₁〜ｘ₃に対するＶ_z（ｘ₁）〜Ｖ_z（ｘ₃）を計算する。

また、Ｖ_z0（ｘ_i）計算回路は、分点ｘ₁〜ｘ₃について、上記式（４１）の推定流速分布を用いてＶ_z0（ｘ₁）〜Ｖ_z0（ｘ₃）を計算により決定する（この場合、ｙ_max（ｘ）＝√（１−ｘ²）であり、ｙ_min（ｘ）＝−√（１−ｘ²）である。）。Ｑ_N決定回路は、ガウス求積演算回路により決定された係数ｗ₁〜ｗ₃、流速計算回路により決定されたＶ_z（ｘ₁）〜Ｖ_z（ｘ₃）、及びＶ_z0（ｘ_i）計算回路によって決定されたＶ_z0（ｘ₁）〜Ｖ_z0（ｘ₃）を用いて、式（１４）により流量の近似値Ｑ₃を計算により決定する。

誤差範囲推定回路は、Ｑ_N決定回路からＱ₃の入力を受けるとともに、Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値Ｑ_SUBの入力をＱ_N決定回路又は任意の外部回路等から受けて、上記式（３６）により誤差範囲を推定する。近似値Ｑ_SUBは、上記各回路を用いて３以外のＮについて決定された流量の近似値であってもよいし、本発明とは異なる任意の方法により決定された流量の近似値であってもよい。

本発明による流量計測方法を用いた実験
以上の動作のうち、誤差範囲推定以外の動作について、計算機シミュレーションによる模擬実験を行った。ただし、超音波素子２ａ，２ｂを用いた伝播時間ｔ₁，ｔ₂の計測は行わず、上記（３９），（４０）式のｖ_z（ｘ，ｙ）を用いてＶ_z（ｘ_i）を直接計算した。併せて、従来のガウス求積法により同様に流量の近似値を計算した。以下、それらの計算結果を比較する。

表１に、従来のさまざまなガウス求積法、及び本発明の方法において、Ｎ＝３について計算された分点ｘ_i及び係数ｗ_iを示す。なお、本発明の求積法では、上記式（４１）のｖ_z0（ｘ，ｙ）を用いて、上記式（１２），（１３）に従い重み関数Ｖ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を構成し、上記式（２３）〜（２７）を用いて分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定した。

表１中、Ｎ＝３のときのｘ₂，ｘ₃は正負が逆の関係にあり（例えばガウスールジャンドルの従来例ではｘ₁＝０．００００，ｘ₂，ｘ₃＝±０．７７４６０）、またｗ₂＝ｗ₃である（ガウス−ルジャンドルの従来例では、ｗ₁＝０．８８８８９，ｗ₂＝ｗ₃＝０．５５５５６。他の従来例、本発明についても同様）。なお、ロバートの求積法における両端の固定分点は、被積分関数をゼロとみなすことができるため表１中に含まれていない。

表１の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを用いて、各従来例、及び本発明それぞれの方法を用いて流量の近似値Ｑ₃を決定した。さらに、実際の流量Ｑを上記式（３９），（４０）から計算して、それぞれの方法で決定された近似値Ｑ₃の実際の誤差を計算した。これらの結果を表２に示す。

従来技術と本発明の技術に対する積分誤差の理論値を比較すると、ほとんどの場合に本発明の技術が優位である。特に、流速分布がｖ_z0（ｘ，ｙ）に近い場合、その効果が大きい。

既に述べたとおり、逆流等によって重み関数の符号が一定とはならない場合、ガウス求積法の分点ｘ_iを必ずしも積分区間内にとれない場合がある。このときに、仮想的に流速分布のゼロ点をずらして逆流を見かけ上回避するための方法を、以下に説明する。

この方法は、適当な関数Ｖ_z1（ｘ）を用いて、
…（４３）
…（４４）
と、Ｖ_z0（ｘ），Ｖ_z（ｘ）のゼロ点をずらし、特にＶ′_z0（ｘ）が流路断面Ｓ内で常にゼロ以上となるように、又は流路断面Ｓ内で常にゼロ以下となるようにＶ_z1（ｘ）を選定することで重み関数の符号を一定に保つ、という発想に基づく。ここで、

…（４５）
とする。

これらゼロ点をずらしたＶ′_z0（ｘ），Ｖ′_z（ｘ）を用いて、ゼロ点をずらした流量Q’を
…（４６）
と構成し、更に流量Ｑ’に対してガウス求積法を適用するための被積分関数を
…（４７）
と、重み関数を
…（４８）
と構成することができる。上記式（４８）の重み関数を用いてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定すれば、これらを用いて流量Ｑ’の近似値Ｑ’_Nを
…（４９）
と表わすことができる。

また、上記式（４４）〜（４６）より
…（５０）
が得られるので、Ｑ，Ｑ’をそれぞれ近似値Ｑ_N，Ｑ’_Nで置き換えることにより、
…（５１）
が得られる。さらに、上記式（４４），（４９），（５１）から
…（５２）
が得られる。

上記式（５２）によって、逆流等がある場合でも流量の近似値Ｑ_Nを決定することが可能となる。具体的には、ゼロ点がずらされた重み関数Ｖ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を用いてガウス求積法の分点ｘ_i，係数ｗ_iを決定し、決定された計測点ｘ_iについてＶ_z（ｘ_i）を、上述のとおり超音波計測等により決定するとともに、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1を、それぞれ定義式に従い計算により決定して上記式（５２）に代入することで近似値Ｑ_Nを決定できる。

ここで、既に述べたとおり、重み関数の符号が積分区間内で変化する場合であっても、積分区間内に分点ｘ_iをとることができる場合もある。一例として、推定流速分布が
…（５３）
で与えられる場合は、−１≦ｘ，ｙ≦１の半径１の円管流路において、Ｖ_z0（ｘ）の符号が［−１，１］区間で変化するが、重み関数をＶ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）として上記式（２３）〜（２７）のガウス求積法を適用すると（Ｎ＝３とする。）、分点ｘ₁，ｘ₂，ｘ₃＝０．００，０．７５，−０．７５、係数ｗ₁，ｗ₂，ｗ₃＝０．０５，−０．３６，−０．３６となり、積分区間内に分点ｘ_iをとることができる。なお、このときｘ₁〜ｘ₃に対応するＶ_z0（ｘ_i）＝０．１９，−０．８１，−０．８１であり、重み関数の符号は確かに変化している。またオフセット関数Ｖ_z1（ｘ）を導入する場合も、例えば推定流速分布を
…（５４）
とし、オフセット関数Ｖ_z1（ｘ）＝１とすれば、このＶ_z1（ｘ）及び上記式（５４）のｖ_z0（ｘ，ｙ）を用いて得られるＶ’_z0（ｘ）は上記式（５３）を用いて上記式（１３）に従い得られる（オフセットを導入しない時の）Ｖ_z0（ｘ）と等しくなるため、Ｖ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数としてガウス求積法を実行したときには積分区間内に分点ｘ_i（ｘ₁，ｘ₂，ｘ₃＝０．００，０．７５，−０．７５）が得られる。したがって、実施例１，２の両方において、重み関数の符号が積分区間内で変化する場合であっても、理論的には、ガウス求積法により流量の近似値を得ることができる場合がある。

なお、上記式（５２）を用いて得られた近似値Ｑ_Nについても、当該Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値Ｑ_SUBを用いて上記式（３６）により誤差範囲を推定することが可能である。

本発明による流量計測装置
本実施例２に示す、本発明の流量計測方法を実施することができる装置の一例を、図８に示す。図８の装置においては、図５の装置中のＶ_z0（ｘ_i）計算回路に代わってＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路が用いられる。以下、図８の装置の構成、動作を説明するが、図５の装置と同様の部分については説明を省略する。

図８の流量計測装置は、ガウス求積演算回路、流路配管１に設置された少なくとも１組の超音波素子２ａ，２ｂのペア、超音波送受信回路、超音波送受信信号記録回路、流速計算回路、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路、Ｑ_N決定回路、及び任意で誤差範囲推定回路を備える。これらの要素のうち、少なくとも１組の超音波素子２ａ，２ｂのペア、超音波送受信回路、超音波送受信信号記録回路、流速計算回路によってＶ_z（ｘ_i）決定部が構成される。

ガウス求積演算回路には、推定流速分布として、流路断面内の各位置（ｘ，ｙ）における流速の、法線方向成分の推定値ｖ_z0（ｘ，ｙ）が入力されるとともに、好ましくは（ただし必須ではない）上記式（１６）で表されるＶ’_z0（ｘ）が流路断面Ｓ内で常にゼロ以上となるよう、又は流路断面Ｓ内で常にゼロ以下となるよう選定されたオフセット関数Ｖ_z1（ｘ）が入力される。ガウス求積演算回路は、入力されたｖ_z0（ｘ，ｙ），Ｖ_z1（ｘ）から重み関数ｗ（ｘ）＝Ｖ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を構成し、上述のガウス求積法により分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する。

超音波素子２ａ，２ｂは、図５の装置に関して説明したものと同様の素子であってよい。これらを配置すべき計測点ｘ_iは、修正された重み関数ｗ（ｘ）＝Ｖ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を用いて決定される。超音波送受信回路、超音波送受信信号記録回路、流速計算回路も、それぞれ図５の装置に関して説明したものと同様の回路であってよい。

Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路は、ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについて、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i）を計算するとともに、Ｑ_z0，Ｑ_z1を計算により決定する回路である。分点ｘ_iはガウス求積演算部から入力される。またｖ_z0（ｘ，ｙ）は、あらかじめ入力されていても、ガウス求積演算部から入力されてもよい。

Ｑ_N決定回路は、ガウス求積演算回路により決定された係数ｗ_i、流速計算回路により決定されたＶ_z（ｘ_i）、及びＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路によって決定されたＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1の、各々の演算回路、計算回路からの入力を受け、これら用いて、式（２１）により流量の近似値Ｑ_Nを計算により決定する回路である。実施例１と同様に、各回路により行われる演算は典型的に計算機等を用いて行われる。

誤差範囲推定回路は、Ｑ_N決定回路からＱ_Nの入力を受けるとともに、Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値Ｑ_SUBの入力をＱ_N決定回路又は任意の外部回路等から受けて、上記式（３６）により誤差範囲を推定する回路である。

実施例２における、流量計測装置の動作
次に、流速分布がｖ_z（ｘ，ｙ）で表わされる場合に、Ｎ＝３として本発明の方法により流量の近似値Ｑ₃を得るための、流量計測装置の動作を説明する。ただし、実施例１で説明した動作と同様の部分については説明を省略する。

本実施例２においては、流路断面として図１等に示される流路断面Ｓ₁を用い、流速の法線方向成分の推定値がｖ_z0（ｘ，ｙ）であるとする。この推定値ｖ_z0（ｘ，ｙ）がガウス求積演算回路に入力される。さらに、Ｖ_z1（ｘ）として、好ましくは（ただし必須ではない）流路断面Ｓ₁内でＶ’_z0（ｘ）＝Ｖ_z0（ｘ）＋Ｖ_z1（ｘ）が常にゼロ以上となるよう、又は常にゼロ以下となるよう選定されたＶ_z1（ｘ）も、ガウス求積演算回路に入力される。

ガウス求積演算回路は、入力されたｖ_z0（ｘ，ｙ），Ｖ_z1（ｘ）から重み関数ｗ（ｘ）＝Ｖ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を構成し、上述のガウス求積法により分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する。本具体例においてはＮ＝３であるため、ｘ₁〜ｘ₃及びｗ₁〜ｗ₃が決定される。

上記決定された各々の分点ｘ₁〜ｘ₃に対応して、超音波の送受信点Ａ₁＊〜Ａ₃＊，Ｂ₁＊〜Ｂ₃＊が決定される（図７。ただしｘ₁〜ｘ₃の実際の値は実施例１の場合と異なる。）。すなわち、各々の分点ｘ₁〜ｘ₃について図２に示す要領で点Ａ₁〜Ａ₃，Ｂ₁〜Ｂ₃を決定し（図２のｘ_iを分点ｘ₁として得られる、図２中のＡ，ＢをＡ₁，Ｂ₁とし、図２のｘ_iを分点ｘ₂として得られる、図２中のＡ，ＢをＡ₂，Ｂ₂とし、図２のｘ_iを分点ｘ₃として得られる、図２中のＡ，ＢをＡ₃，Ｂ₃とする。）、これらの点をｚ方向に所定の大きさだけシフトさせることにより（図３参照。点Ａ_iと点Ｂ_iを逆方向にシフトさせる。）、点Ａ₁＊〜Ａ₃＊，Ｂ₁＊〜Ｂ₃＊が決定される。Ａ₁＊，Ｂ₁＊間、Ａ₂＊，Ｂ₂＊間、及びＡ₃＊，Ｂ₃＊間のそれぞれで超音波の送受信を行うことができる位置に、３組の超音波素子２ａ，２ｂのペアが配置される。

次に、超音波送受信回路が、上記３組の超音波素子２ａ，２ｂのペアに対して、超音波の送受信を指示する信号を送信する。３組の超音波素子２ａ，２ｂは、それぞれＡ₁＊，Ｂ₁＊間、Ａ₂＊，Ｂ₂＊間、及びＡ₃＊，Ｂ₃＊間で双方向に超音波の送受信を行い、各超音波素子が受信した超音波信号を超音波送受信回路へと送信する。超音波送受信回路は、受信した超音波信号から、各送受信経路における、それぞれの方向についての伝播時間ｔ₁，ｔ₂を計測し、超音波の送受信を示す信号として超音波送受信信号記録回路に送信する。

超音波送受信信号記録回路は、上記各送受信経路における、それぞれの方向についての伝播時間ｔ₁，ｔ₂を記録する。流速計算回路は、超音波送受信信号記録回路からこれら伝播時間ｔ₁，ｔ₂を受信して、上記式（４）に従い、分点ｘ₁〜ｘ₃に対するＶ_z（ｘ₁）〜Ｖ_z（ｘ₃）を計算する。

また、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路は、分点ｘ₁〜ｘ₃について、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i）を計算するとともに、Ｑ_z0，Ｑ_z1を計算により決定する。Ｑ_N決定回路は、ガウス求積演算回路により決定された係数ｗ₁〜ｗ₃、流速計算回路により決定されたＶ_z（ｘ₁）〜Ｖ_z（ｘ₃）、及びＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1計算回路によって決定されたＶ’_z0（ｘ₁）〜Ｖ’_z0（ｘ₃），Ｖ_z1（ｘ₁）〜Ｖ_z1（ｘ₃），Ｑ_z0，Ｑ_z1を用いて、式（２１）により流量の近似値Ｑ₃を計算により決定する。

誤差範囲推定回路は、Ｑ_N決定回路からＱ₃の入力を受けるとともに、Ｑ_Nよりも信頼性の低い近似値Ｑ_SUBの入力をＱ_N決定回路又は任意の外部回路等から受けて、上記式（３６）により誤差範囲を推定する。近似値Ｑ_SUBは、上記各回路を用いて３以外のＮについて決定された流量の近似値であってもよいし、本発明とは異なる任意の方法により決定された流量の近似値であってもよい。

本発明による流量計測方法を用いた実験
実用的な流体設備では、流路中の種々の構成機器、構造物によって流速分布が乱される場合があり、流量計測に誤差を生じる要因となる。そのような整流されていない流路における流量計測精度について、本発明の流量計測方法を用いた計測結果と従来技術による計測結果とを比較することにより、本発明の有効性を例示する。

（実施方法）
整流されていない流路の典型例として、曲管（肘部）及び邪魔板（曲管下流の流路断面を部分的に封止）を配置した円管流路を考える（図９Ａ，図９Ｂ）。邪魔板は図９Ａ中の位置Ｘに配置されており、その断面は、図９Ｂに示すとおり半円形状である。なお、流路断面は直径約８３ｍｍの円形である。

図９Ａの円管流路には、５（リットル／秒）の一定流量で試験流体（水）が流入し続けている。実施例２に従い、Ａ断面（曲管及び邪魔板の直下。位置Ｘから軸方向に約２００ｍｍの位置。）において流量を計測する。ただし、推定流速分布は事前のシミュレーションによって求める。邪魔板下流に逆流が発生するため、仮想的に流速分布のゼロ点をずらしてガウス求積法を構成する必要がある。本件においては、Ｖ_z1（ｘ）を定数関数（推定流速の流路断面平均の１倍）と取ることにより、上記式（１６）〜（１８）に基づき重み関数を構成し、実施例２の方法に従い流量を計測した。

また比較対象として、特許文献３，４の従来技術（ガウス‐チェビチェフ求積法）に従い、Ａ断面において流量を計測した。さらに、流量の基準値として、汎用の流量計測装置を用いてＢ断面（曲管及び邪魔板の十分下流。位置Ｘから軸方向に３０００ｍｍ以上の位置。）においても流量を計測した。なお、本発明の実施例２の方法により流量を計測したときの、ガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_i、Ｖ_z0（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z1の値はそれぞれ以下のとおりである。ただし流路半径を１とし、推定流速は、流路断面平均が１となるよう正規化している。なお、ガウス−チェビチェフ求積法（Ｎ＝３）により流量を計測したときの分点ｘ_iはｘ₁，ｘ₂，ｘ₃＝０．００，０．７１，−０．７１であり、係数ｗｉはｗ１，ｗ２，ｗ３＝０．７９，０．３９，０．３９であった。

上記Ｂ断面で計測した基準流量値と比較することにより、Ａ断面において実施例２の方法と従来技術とでそれぞれ計測した流量の誤差を評価した。

図１０に、Ａ断面での流量計測方法として従来のガウス‐チェビチェフ求積法を用いた場合と実施例２の方法を用いた場合とのそれぞれにおける、「Ｂ断面において計測した流量」と「Ａ断面において計測した流量」との差の絶対値を示す。本発明により、従来技術と比較して、流量計測誤差を１／１０程度に低減することができることが示されている。

なお、既に述べたとおり、流路断面が傾いた面や曲面であったとしても、本発明によって同様の原理で流量を計測することが可能である。例えば、図１１に示すとおり、流路の軸に対して角度φだけ傾いた流路断面Ｓ₂（流路断面Ｓ₁を、図１のｘ軸の廻りにφ回転させることで得られる。）を用いる場合には、図１２に示すとおり、この流路断面Ｓ₂上でｘ座標、ｙ座標を規定し、既に説明した方法と同様の方法で流量を計測することができる。このとき、図１１に示すとおり流路配管１の軸方向に流体が流れているならば、流速のうち流路断面Ｓ₂の法線方向（ｚ方向）成分は、流速の大きさをｖ（ｘ，ｙ）とすればｖ_z（ｘ，ｙ）＝ｖ（ｘ，ｙ）・ｃｏｓφとなる（図１３）。また、超音波の送受信を行う位置Ａ＊，Ｂ＊は、図１２に示すＡ，Ｂを、それぞれ流路配管１の軸方向逆向きに所定の大きさだけシフトした位置とすればよい。この場合、上述の伝播時間差方式においては、上記式（４）を用いて得られた平均流速にｃｏｓφを乗じればＶ_z（ｘ_i）を得られる。流路断面が曲面である場合にも、流路断面内の各位置（ｘ，ｙ）に応じた法線方向の成分を用いる（各位置（ｘ，ｙ）で異なるφを用いる）ことにより、同様にｖ_z（ｘ，ｙ）を決定して流量計測を行うことができる。あるいは、最小二乗法等によって当該曲面を最もよく近似する平面を決定し、当該決定された平面を仮想的な流路断面として用いる等して、（４）式を用いて（傾斜角の代表値をφとして、ｃｏｓφを乗じる。）平均流速を計測し、流量を決定することも可能である。

本発明の計測方法、計測装置を、高精度の流量計測一般に利用できる可能性がある。例えば、実際のプラント等で利用する場合、従来とは異なり整流されていない流速分布下で正確な計測が可能となるため、整流化するために延長していた配管等の圧縮、流量計取り付け位置の自由度の向上等が期待できる。

１ 流路配管
２ａ，２ｂ 超音波素子

Claims (9)

1. 流路内を流れる流体の流量として、以下の式：
   ただし、
   
   （Ｓは流路断面を表わし、該流路断面Ｓ内の位置を（ｘ，ｙ）で表わす。ｖ_zは、前記流体の流速のうち、流路断面Ｓの法線方向（ｚ方向）成分を表わし、ｖ_z（ｘ，ｙ）は、流路断面Ｓ内位置（ｘ，ｙ）における該流体の流速のうち、該位置（ｘ，ｙ）における該法線方向の成分を表わす。ｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は、それぞれ流路断面Ｓ内でｘ座標を定めたときのｙ座標の最小値、最大値を表わし、ｘ_min，ｘ_maxは、それぞれ該流路断面Ｓ内でのｘ座標の最小値、最大値を表わす。）
   によって表わされる流量Ｑを計測する方法であって、
   前記流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の前記法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、以下の式：
   ただし、
   によって表わされるＶ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する段階と、
   各々の分点ｘ_iについて、Ｖ_z（ｘ_i）を決定するとともにＶ_z0（ｘ_i）を決定する段階と、
   前記流量Ｑの近似値として、以下の式：
   を用いて表わされる、近似値Ｑ_Nを決定する段階と
   を備えた方法。
2. 流路内を流れる流体の流量として、以下の式：
   ただし、
   
   （Ｓは流路断面を表わし、該流路断面Ｓ内の位置を（ｘ，ｙ）で表わす。ｖ_zは、前記流体の流速のうち、流路断面Ｓの法線方向（ｚ方向）成分を表わし、ｖ_z（ｘ，ｙ）は、流路断面Ｓ内位置（ｘ，ｙ）における該流体の流速のうち、該位置（ｘ，ｙ）における該法線方向の成分を表わす。ｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は、それぞれ流路断面Ｓ内でｘ座標を定めたときのｙ座標の最小値、最大値を表わし、ｘ_min，ｘ_maxは、それぞれ該流路断面Ｓ内でのｘ座標の最小値、最大値を表わす。）
   によって表わされる流量Ｑを計測する方法であって、
   前記流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の前記法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、オフセット関数Ｖ_z1（ｘ）を用いて以下の式：
   ただし、
   によって表わされるＶ’_z0（ｘ）を用いて、以下の式：
   によって表わされるＶ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する段階と、
   各々の分点ｘ_iについて、Ｖ_z（ｘ_i）を決定するとともに、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），及び、以下の式：
   
   で表わされるＱ_z0，Ｑ_z1を決定する段階と、
   以下の式：
   を用いて表わされる、近似値Ｑ_Nを決定する段階と
   を備えた方法。
3. 流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以上となるよう、又は流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以下となるよう、前記Ｖ_z1（ｘ）が選定される、請求項２に記載の方法。
4. 請求項１乃至３のいずれか１項に記載の方法により前記近似値Ｑ_Nを決定する段階と、
   前記近似値Ｑ_Nよりも信頼性の低い、第２の近似値Ｑ_SUBを用いて、以下の式：
   に基づき、前記近似値Ｑ_Nの誤差範囲を推定する段階と
   を備えた流量計測方法。
5. 流路内を流れる流体の流量として、以下の式：
   ただし、
   
   （Ｓは流路断面を表わし、該流路断面Ｓ内の位置を（ｘ，ｙ）で表わす。ｖ_zは、前記流体の流速のうち、流路断面Ｓの法線方向（ｚ方向）成分を表わし、ｖ_z（ｘ，ｙ）は、流路断面Ｓ内位置（ｘ，ｙ）における該流体の流速のうち、該位置（ｘ，ｙ）における該法線方向の成分を表わす。ｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は、それぞれ流路断面Ｓ内でｘ座標を定めたときのｙ座標の最小値、最大値を表わし、ｘ_min，ｘ_maxは、それぞれ該流路断面Ｓ内でのｘ座標の最小値、最大値を表わす。）
   によって表わされる流量Ｑを計測する装置であって、
   前記流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の前記法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、以下の式：
   ただし、
   によって表わされるＶ_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する、ガウス求積演算部と、
   前記ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについてＶ_z（ｘ_i）を決定する、Ｖ_z（ｘ_i）決定部と、
   前記ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについてＶ_z0（ｘ_i）を決定する、Ｖ_z0（ｘ_i）決定部と、
   前記流量Ｑの近似値として、以下の式：
   を用いて表わされる近似値Ｑ_Nを決定する、Ｑ_N決定部と
   を備えた装置。
6. 流路内を流れる流体の流量として、以下の式：
   ただし、
   
   （Ｓは流路断面を表わし、該流路断面Ｓ内の位置を（ｘ，ｙ）で表わす。ｖ_zは、前記流体の流速のうち、流路断面Ｓの法線方向（ｚ方向）成分を表わし、ｖ_z（ｘ，ｙ）は、流路断面Ｓ内位置（ｘ，ｙ）における該流体の流速のうち、該位置（ｘ，ｙ）における該法線方向の成分を表わす。ｙ_min（ｘ），ｙ_max（ｘ）は、それぞれ流路断面Ｓ内でｘ座標を定めたときのｙ座標の最小値、最大値を表わし、ｘ_min，ｘ_maxは、それぞれ該流路断面Ｓ内でのｘ座標の最小値、最大値を表わす。）
   によって表わされる流量Ｑを計測する装置であって、
   前記流路断面Ｓ内の各位置（ｘ，ｙ）における、流速の前記法線方向成分の推定値をｖ_z0（ｘ，ｙ）としたとき、オフセット関数Ｖ_z1（ｘ）を用いて以下の式：
   ただし、
   によって表わされるＶ’_z0（ｘ）を用いて、以下の式：
   によって表わされるＶ’_z0（ｘ）Ｌ（ｘ）を重み関数として、１からＮ（Ｎは１以上の任意の自然数）までの自然数ｉについてガウス求積法の分点ｘ_i及び係数ｗ_iを決定する、ガウス求積演算部と、
   前記ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについて、Ｖ_z（ｘ_i）を決定する、Ｖ_z（ｘ_i）決定部と、
   前記ガウス求積演算部により決定された各々の分点ｘ_iについてのＶ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），及び、以下の式：
   
   で表わされるＱ_z0，Ｑ_z1を決定する、Ｖ’_z0（ｘ_i），Ｖ_z1（ｘ_i），Ｑ_z0，Ｑ_z1決定部と、
   以下の式：
   を用いて表わされる近似値Ｑ_Nを決定する、Ｑ_N決定部と
   を備えた装置。
7. 前記ガウス求積演算部は、流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以上となるよう、又は流路断面Ｓ内でＶ′_z0（ｘ）が常にゼロ以下となるよう、選定された前記Ｖ_z1（ｘ）を用いる、請求項６に記載の装置。
8. 前記Ｖ_z（ｘ_i）決定部が、
   前記流路を規定する流路配管上で、前記各々の分点ｘ_iに対応する位置に設置される超音波素子のペアと、
   前記超音波素子のペアに対して超音波の送受信を指示する、超音波送受信回路と、
   前記超音波の送受信を示す信号を記録する、超音波送受信信号記録回路と、
   前記超音波送受信信号記録回路に記録された、前記超音波の送受信を示す信号を用い、前記各々の分点ｘ_iについてＶ_z（ｘ_i）を計算する、流速計算回路と
   を備えることを特徴とする、請求項５乃至７のいずれか１項に記載の装置。
9. 前記近似値Ｑ_Nよりも信頼性の低い、第２の近似値Ｑ_SUBを用いて、以下の式：
   に基づき、前記近似値Ｑ_Nの誤差範囲を推定する誤差範囲推定部
   を更に備えた、請求項５乃至８のいずれか１項に記載の装置。