JP5807876B2 - 巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラム、及び巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラム - Google Patents
巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラム、及び巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラム Download PDFInfo
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Description
本発明は、巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラム、及び巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラムに関する。
紙やプラスチックフィルム、金属薄膜に代表されるウェブの加工は、複数の工程で行われることが一般的である。そして、加工後のウェブは、保管や搬送の容易性からロール状に巻き取られることが多い。
ところで、保管・輸送中の環境温度は季節や地域、熱処理などによって巻き取り時とは異なることが多い。例えばトラックや船による輸送において、夏場であればその環境温度は巻き取り時に比べて数十度も高くなることがある。
このような変化は、ロール温度に作用して巻き取りロールの内部応力を経時で変動させ、巻き取り直後には見られなかったブロッキングやシワなどに代表される巻き取り不良を発生させる場合がある。また、製膜プロセスにおいてエージングなどの熱処理を施すときにも同様の問題が生じ得る。
このような変化は、ロール温度に作用して巻き取りロールの内部応力を経時で変動させ、巻き取り直後には見られなかったブロッキングやシワなどに代表される巻き取り不良を発生させる場合がある。また、製膜プロセスにおいてエージングなどの熱処理を施すときにも同様の問題が生じ得る。
このような問題に対して、巻き取りロールの内部応力状態を理論的に予測することが重要となる。内部応力解析についてはこれまでにいくつかの理論予測モデルが報告されている。
その中でもHakielのモデルが今日の巻き取り理論の基本を成しており、これを修正することで様々な影響を考慮したモデルが提案されている（例えば、非特許文献１参照）。
ロール温度の変化にともなう熱応力について、Willetらは、熱弾性理論を適用してロール温度が均一に変化すると仮定したモデルを報告しており（例えば、非特許文献２参照）、その妥当性をQuallsらが実験的に検証している（例えば、非特許文献３参照）。
ただし、この温度変化に関する仮定は、ロール温度が環境温度に一致した定常状態あるいはロール半径に対して一様に変化する場合には適用できるが、ロール内に温度分布が生じる場合には成立しない。
これに対し、Leiらはロール温度の不均一な変化を仮定したモデルを提示している（例えば、非特許文献４参照）。
その中でもHakielのモデルが今日の巻き取り理論の基本を成しており、これを修正することで様々な影響を考慮したモデルが提案されている（例えば、非特許文献１参照）。
ロール温度の変化にともなう熱応力について、Willetらは、熱弾性理論を適用してロール温度が均一に変化すると仮定したモデルを報告しており（例えば、非特許文献２参照）、その妥当性をQuallsらが実験的に検証している（例えば、非特許文献３参照）。
ただし、この温度変化に関する仮定は、ロール温度が環境温度に一致した定常状態あるいはロール半径に対して一様に変化する場合には適用できるが、ロール内に温度分布が生じる場合には成立しない。
これに対し、Leiらはロール温度の不均一な変化を仮定したモデルを提示している（例えば、非特許文献４参照）。
Hakiel,Z.,"Nonlinear Model for Wound Roll Stress",TAPPI Journal, Vol. 70, No. 5 (1987),p. 113-117
Willett, M.S. and Poesch, W.L., "Determining the Stress Distributions in Wound Reels of Magnetic Tape Using a Nonlinear Finite-Difference Approach", ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 55, (1988), p. 365-371
Qualls, W.R. and Good, J.K., "Thermal Analysis of a Round Roll", ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 64, (1997), p. 871-876
Lei, H., Cole, K.A. and Weinstein, S.J., "Modeling Air Entrainment and Temperature Effects in Winding", ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 70, (2003), pp. 902-914
しかしながら、非特許文献４に開示された論文においては、非定常状態における内部応力の数値解析結果は示されておらず、単にモデルの提案にとどまっている。
一方、巻き取りロール内のウェブ間には巻き取り中の巻き込み空気によって空気層が形成され、その結果熱伝導状態が変化して内部応力に影響を及ぼすと考えられるが、これを考慮した理論モデルは見受けられない。
一方、巻き取りロール内のウェブ間には巻き取り中の巻き込み空気によって空気層が形成され、その結果熱伝導状態が変化して内部応力に影響を及ぼすと考えられるが、これを考慮した理論モデルは見受けられない。
本発明の目的は、空気を巻き込んだ巻き取りロールの熱伝導解析、内部応力解析を行うにあたり、実際の巻き取りロールの挙動に近いシミュレーションを行うことのできる巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラム、及び巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラムを提供することにある。
本発明は、巻き取りロール内に巻き込まれた空気の影響を考慮した巻き取りロールの非定常熱伝導解析をコンピュータに実行させる巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムであって、
前記コンピュータに、
前記巻き取りロール内のウェブの見掛けの接触面積Ａａに対する真実接触面積Ａの比Ａ／Ａａ （Ａ／Ａ ａ ≠０）を、下記式（１）を用いて算出する手順と、
求められたＡ／Ａａに基づいて、下記式（２）を用いて各ウェブ間の空気層の熱伝導率ｋａｌ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））を算出する手順と、
求められた各ウェブ間の空気層の熱伝導率ｋａｌ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））に基づいて、下記式（３）を用いて半径方向に対するウェブと空気層を合成した等価層の熱伝導率ｋｅｑ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））を算出する手順と、
下記式（４）を用いて前記等価層の密度ρｅｑ（ｋｇ／ｍ３）を算出する手順と、
下記式（５）を用いて前記等価層の比熱ｃｅｑ（Ｊ／（ｋｇ・Ｋ））を算出する手順と、
算出された前記等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、比熱ｃｅｑを、（６）で与えられる非定常熱伝導の基礎方程式におけるウェブの物性値に置き換え、前記巻き取りロール内の各層のウェブの温度を算出する手順と、
を実行させることを特徴とする。
前記コンピュータに、
前記巻き取りロール内のウェブの見掛けの接触面積Ａａに対する真実接触面積Ａの比Ａ／Ａａ （Ａ／Ａ ａ ≠０）を、下記式（１）を用いて算出する手順と、
求められたＡ／Ａａに基づいて、下記式（２）を用いて各ウェブ間の空気層の熱伝導率ｋａｌ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））を算出する手順と、
求められた各ウェブ間の空気層の熱伝導率ｋａｌ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））に基づいて、下記式（３）を用いて半径方向に対するウェブと空気層を合成した等価層の熱伝導率ｋｅｑ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））を算出する手順と、
下記式（４）を用いて前記等価層の密度ρｅｑ（ｋｇ／ｍ３）を算出する手順と、
下記式（５）を用いて前記等価層の比熱ｃｅｑ（Ｊ／（ｋｇ・Ｋ））を算出する手順と、
算出された前記等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、比熱ｃｅｑを、（６）で与えられる非定常熱伝導の基礎方程式におけるウェブの物性値に置き換え、前記巻き取りロール内の各層のウェブの温度を算出する手順と、
を実行させることを特徴とする。
本発明は、前述した巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの解析結果に基づいて、前記巻き取りロール内に巻き込まれた空気の影響を考慮した巻き取りロールの非定常内部応力解析をコンピュータに実行させる巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラムであって、
前記コンピュータに、
前述した巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの実行結果として得られる前記等価層の半径方向位置に応じた温度変化量ΔＴｆと、
前記巻き取りロールのウェブの最内層における境界条件式（７）と、
前記巻き取りロールの巻き取り中のウェブの最外層における境界条件式（８）と、
前記巻き取りロールの巻き取り完了後のウェブの最外層における境界条件式（９）とを、半径方向の応力増分に関する基礎方程式（１０）に用いることにより、
前記巻き取りロールの最内層のウェブから第ｊ番目の層に生じる式（１１）で与えられる半径方向応力σｒ，ｊを求めることを特徴とする。
前記コンピュータに、
前述した巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの実行結果として得られる前記等価層の半径方向位置に応じた温度変化量ΔＴｆと、
前記巻き取りロールのウェブの最内層における境界条件式（７）と、
前記巻き取りロールの巻き取り中のウェブの最外層における境界条件式（８）と、
前記巻き取りロールの巻き取り完了後のウェブの最外層における境界条件式（９）とを、半径方向の応力増分に関する基礎方程式（１０）に用いることにより、
前記巻き取りロールの最内層のウェブから第ｊ番目の層に生じる式（１１）で与えられる半径方向応力σｒ，ｊを求めることを特徴とする。
本発明は、前述した巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの解析結果に基づいて、前記巻き取りロール内に巻き込まれた空気によるロール剛性の変化を考慮した巻き取りロールの非定常内部応力解析をコンピュータに実行させる巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラムであって、
前記コンピュータに、
前述した巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの実行結果として得られる前記等価層の半径方向位置に応じた温度変化量ΔＴｆと、
ウェブと空気層を合成した等価層の半径方向のヤング率Ｅｒｅｑを、下記式（１２）に基づいて算出する手順（空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌは、下記式（１３）で算出される）と、
前記等価層の円周方向のヤング率Ｅθｅｑを、下記式（１４）に基づいて算出する手順と、
前記等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑと、
前記等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑと、
前記等価層の最内層における境界条件式（１５）と、
前記巻き取りロールの巻き取り中の最外層における境界条件式（１６）と、
前記巻き取りロールの巻き取り完了後の最外層における境界条件式（１７）とを、半径方向の応力増分に関する基礎方程式（１８）に用いることにより、
前記巻き取りロールの最内層から第ｊ番目の層に生じる式（１９）で与えられる半径方向応力σｒ，ｊを求めることを特徴とする。
前記コンピュータに、
前述した巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの実行結果として得られる前記等価層の半径方向位置に応じた温度変化量ΔＴｆと、
ウェブと空気層を合成した等価層の半径方向のヤング率Ｅｒｅｑを、下記式（１２）に基づいて算出する手順（空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌは、下記式（１３）で算出される）と、
前記等価層の円周方向のヤング率Ｅθｅｑを、下記式（１４）に基づいて算出する手順と、
前記等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑと、
前記等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑと、
前記等価層の最内層における境界条件式（１５）と、
前記巻き取りロールの巻き取り中の最外層における境界条件式（１６）と、
前記巻き取りロールの巻き取り完了後の最外層における境界条件式（１７）とを、半径方向の応力増分に関する基礎方程式（１８）に用いることにより、
前記巻き取りロールの最内層から第ｊ番目の層に生じる式（１９）で与えられる半径方向応力σｒ，ｊを求めることを特徴とする。
本発明によれば、巻き取りロール内に巻き込まれた空気をウェブと合わせた等価層という概念で考慮しているため、巻き取りロール内の非定常熱伝導解析、非定常内部応力解析を高精度に行うことができる。従って、ウェブの巻き取り条件を設定する際、これらの解析プログラムを用いてシミュレーションを行うことにより、巻き取りロール内の実際の内部応力の発生状態に近い状態でシミュレーションを行うことができるため、ウェブの物性、巻き取りロールの保管・輸送等の環境条件に応じた巻き取り条件を設定することができ、保管・輸送中に巻き取りロールにブロッキングやシワが発生することを防止することができる。
以下、本発明の実施の形態を図面に基づいて説明する。
[１]巻き込み空気の影響を考慮した非定常熱伝導解析
基本的な巻き取り方式であるウェブの中心駆動巻き取りにおいて、図１にはニップローラがない場合の巻き取り概念図が示され、図２にはニップローラ３がある場合の概念図が示されている。
ウェブ１は、図１の場合では巻き取り張力Ｔｗが与えられた状態で巻芯２に巻き取られる。一方、ニップローラ３がある図２の場合では、ウェブ１は、巻き取り張力Ｔｗに加え、ニップローラ３の押し付け荷重Ｌが与えられた状態で巻芯２に巻き取られる。
[１]巻き込み空気の影響を考慮した非定常熱伝導解析
基本的な巻き取り方式であるウェブの中心駆動巻き取りにおいて、図１にはニップローラがない場合の巻き取り概念図が示され、図２にはニップローラ３がある場合の概念図が示されている。
ウェブ１は、図１の場合では巻き取り張力Ｔｗが与えられた状態で巻芯２に巻き取られる。一方、ニップローラ３がある図２の場合では、ウェブ１は、巻き取り張力Ｔｗに加え、ニップローラ３の押し付け荷重Ｌが与えられた状態で巻芯２に巻き取られる。
ウェブ１の最外層と、既に巻き取られた部分の間に周辺の空気Airが巻き込まれ、その結果としてウェブ１間に空気層が形成される。
このような空気層を有する巻き取りロール４内の熱伝導は、ウェブ１が巻き取られた部分を均質な材料からなるロール構造体とみなした場合とは異なったものとなる。
ここで、ニップローラ３は巻き込み空気量を制限し、後述する見かけの巻き取りロール４の剛性を調整する目的で一般的に使用されている。
巻き取りロール４内において、発熱及び円周方向と軸方向に対する温度変化がないとした熱伝導状態を仮定する。
このような場合、非定常熱伝導の基礎方程式は、巻き取りロール４の半径方向に関する式（２０）で表される。
このような空気層を有する巻き取りロール４内の熱伝導は、ウェブ１が巻き取られた部分を均質な材料からなるロール構造体とみなした場合とは異なったものとなる。
ここで、ニップローラ３は巻き込み空気量を制限し、後述する見かけの巻き取りロール４の剛性を調整する目的で一般的に使用されている。
巻き取りロール４内において、発熱及び円周方向と軸方向に対する温度変化がないとした熱伝導状態を仮定する。
このような場合、非定常熱伝導の基礎方程式は、巻き取りロール４の半径方向に関する式（２０）で表される。
巻き取りロール４と周辺空気の接触面において、対流伝熱による熱移動が支配的であると仮定すると、巻き取りロール４の最外層面における境界条件は式（２１）で与えられる。
一方、巻き取りロール４の巻芯２の内側面における境界条件は式（２２）で与えられる。
また、巻芯２とウェブ１の接触面において巻芯２側とウェブ１側の熱流束及び温度がそれぞれ等しいとすると、この接触面における境界条件は、式（２３）及び式(２４)のように与えられる。
一方、巻き取りロール４内の空気層厚さは次のように見積もることができる。ニップローラ３がない場合、最外層に形成される初期空気層厚さｈａｌ０（ｍ）は、巻き取られるウェブ１と既に巻き取った部分の関係にフォイル軸受モデルを適用して導出した式（２５）から求めることができる（Hashimoto, H., “Air Film Thickness Estimation in Web Handling Process”, Trans. ASME. Journal of Tribology, Vol. 124 (1999), p. 50-55）。
ここで、λはウェブ１の幅に関する無次元パラメータであり、式（２６）のように定義される。
また、図２のように、ニップローラ３がある場合では、巻き取りロール４とニップローラ３間に対して弾性流体潤滑理論を適用することで評価することができる。本実施形態では式（２７）に示すChangの結果を利用する（Chang, Y.B., Chambers, F.W. and Shelton, J.J., “Elastohydrodynamic Lubrication of Air Lubricated Rollers”, ASME Journal of Tribology, Vol. 118, (1996), p. 623-628）。
ここで、巻き取りロール４とニップローラ３の等価半径ｒｎｅｑは式（２８）で、巻き取りロール４とニップローラ３の等価ヤング率Ｅｎｅｑは式（２９）で与えられる。
巻き取りロール４内における空気層は巻き取りの進行に伴い、増大する半径方向応力σｒによって圧縮される。これにより、空気層厚さはｈａｌ０からｈalに減少する。巻き込まれた空気が巻き取りロール４外に流出しないと仮定し、最外層に巻かれたときの状態を基準としてボイルの法則を適用すると式（３０）の関係が得られる。
式（３０）から、巻き取り中及び巻き取り完了後の巻き取りロール４内における空気層厚さｈａｌは、式（３１）のように表される。
尚、巻き取り完了後に熱応力が生じて半径方向応力が変化した場合の空気層厚さは、その時の半径方向応力を式（３１）に代入して得られる。
ここで、ウェブ１の表面には粗さが存在するため、巻き取りロール４内におけるウェブ１同士の接触面は理想的な面接触にはならず、図３（Ａ）、図４（Ａ）に示すように実際には空気層厚さによって分散接触又は非接触となる。ウェブ１間に介在する空気の熱伝導率は、一般にウェブ１に比べて低いことから、空気層内及び粗さ部分の温度勾配は隣接するウェブ１内とは異なってくる。本願発明は、図３（Ａ）に示される分散接触をモデルとしている。
ここで、ウェブ１の表面には粗さが存在するため、巻き取りロール４内におけるウェブ１同士の接触面は理想的な面接触にはならず、図３（Ａ）、図４（Ａ）に示すように実際には空気層厚さによって分散接触又は非接触となる。ウェブ１間に介在する空気の熱伝導率は、一般にウェブ１に比べて低いことから、空気層内及び粗さ部分の温度勾配は隣接するウェブ１内とは異なってくる。本願発明は、図３（Ａ）に示される分散接触をモデルとしている。
このような熱伝導状態のモデル化に際して、図３（Ｂ）、図４（Ｂ）に示すようにウェブ１と空気層をいずれも平行平面とみなし、それぞれの層における半径方向の温度勾配が一定であると仮定する。また、空気層厚さｈａｌとウェブ１の表裏面の合成自乗平均平方根粗さＲｆｆの関係からウェブ１間の接触状態を次のように定義する。
粗さの突起高さは多くの場合で正規分布をする。したがって、ウェブ１間の空気層厚さｈａｌが合成自乗平均平方根粗さＲｆｆの３倍を超える場合、粗さ同士は確率的に接触しない（橋本巨，“基礎から学ぶトライボロジー”，(2006), p. 94, 森北出版）。
そこで，ｈａｌ≦３Ｒｆｆの場合には分散接触とし、空気層内の粗さ部分を矩形状の単一要素とみなすこととする。一方、ｈａｌ＞３Ｒｆｆの場合には非接触とし、粗さ部分が存在しないと考える。
ウェブ１と空気層を通過する熱流束が等しい場合、半径方向に対するウェブ１と空気層を合成した等価層の熱伝導率ｋｅｑは、式（３２）のように表される。
粗さの突起高さは多くの場合で正規分布をする。したがって、ウェブ１間の空気層厚さｈａｌが合成自乗平均平方根粗さＲｆｆの３倍を超える場合、粗さ同士は確率的に接触しない（橋本巨，“基礎から学ぶトライボロジー”，(2006), p. 94, 森北出版）。
そこで，ｈａｌ≦３Ｒｆｆの場合には分散接触とし、空気層内の粗さ部分を矩形状の単一要素とみなすこととする。一方、ｈａｌ＞３Ｒｆｆの場合には非接触とし、粗さ部分が存在しないと考える。
ウェブ１と空気層を通過する熱流束が等しい場合、半径方向に対するウェブ１と空気層を合成した等価層の熱伝導率ｋｅｑは、式（３２）のように表される。
図３（Ｂ）に示す分散接触の場合には、真実接触部と空気の間の熱移動が無視でき、熱流がそれぞれを並列に通過すると仮定すれば、空気層の熱伝導率ｋａｌは式（３３）で表すことができる。
ここで、Ａ／Ａａは、見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比を示しており、真実接触部のヤング率を円周方向に等しいと仮定すると、半径方向応力σｒによる変形を考慮した式（３４）から求められる（黒崎晏夫，佐藤勲，“伝熱工学”，(2009), p. 29, コロナ社）。
また、等価層の密度ρｅｑ及び比熱ｃｅｑは、空気層に占める真実接触部の体積比が上述の面積比Ａ／Ａａに等しいとみなすと、式（３５）、式（３６）のように表すことができる。
基礎方程式（２０）及び境界条件式（２１）、式（２３）に含まれるウェブ１の熱物性を等価層の熱物性に置き換えて上述の諸式を解くことにより、巻き込み空気の影響を考慮した非定常状態における巻き取りロール内の温度を予測することができる。
[２]巻き取りロール４の非定常内部応力解析
巻き取りロール４において、既に巻き取られた部分の応力は、巻き取り中における新たなウェブ１の追加及び巻き取り後のロール温度の変化に起因するウェブ１と巻芯２の熱歪みによって逐次変化する。
また、空気層が存在すると見かけのロール剛性は著しく低下し，内部応力が大きく変化する。
このような内部応力状態に対して、本実施形態では、前述したHakielの理論を基礎とし、巻き取りロール４内の熱歪み及び空気層によるロール剛性の変化を考慮できるように修正した解析モデルを採用する。
巻き取りロール４内における巻芯２側から数えて第ｊ番目の層（第ｊ層）の半径方向応力σｒ,ｊは，新たなウェブ１の追加及び熱歪みに起因する半径方向の応力増分Δσｒ,ｊを第ｊ層の巻き取りが完了した時間ｔｊ＋１から現在の時間ｔｉまで足し合わせることで求められ、式（３７）のように表される。
巻き取りロール４において、既に巻き取られた部分の応力は、巻き取り中における新たなウェブ１の追加及び巻き取り後のロール温度の変化に起因するウェブ１と巻芯２の熱歪みによって逐次変化する。
また、空気層が存在すると見かけのロール剛性は著しく低下し，内部応力が大きく変化する。
このような内部応力状態に対して、本実施形態では、前述したHakielの理論を基礎とし、巻き取りロール４内の熱歪み及び空気層によるロール剛性の変化を考慮できるように修正した解析モデルを採用する。
巻き取りロール４内における巻芯２側から数えて第ｊ番目の層（第ｊ層）の半径方向応力σｒ,ｊは，新たなウェブ１の追加及び熱歪みに起因する半径方向の応力増分Δσｒ,ｊを第ｊ層の巻き取りが完了した時間ｔｊ＋１から現在の時間ｔｉまで足し合わせることで求められ、式（３７）のように表される。
また、ウェブ１の熱歪みを考慮した線形弾性体の構成方程式は、半径方向であれば、式（３８）、円周方向であれば式（３９）で与えられる。
式（３８）、式（３９）を、円筒座標系における応力の釣り合い方程式及び歪みに対する適合条件式に代入して半径方向応力について整理し、これに歪みエネルギーの制約に基づいて導かれたMaxwellの式及び式（３７）を適用すると、半径方向の応力増分Δσｒに関する基礎方程式が式（４０）のように得られる。
式（４０）を解くために課せられる巻き取り部分の最内層及び最外層における境界条件はそれぞれ次のように設定される。
まず、最内層において巻芯に生じる歪みがウェブ１の第1層目の歪みに等しいと仮定し、ウェブ１と巻芯２の熱歪みを考慮すると最内層境界条件式は式（４１）のように与えられる。
まず、最内層において巻芯に生じる歪みがウェブ１の第1層目の歪みに等しいと仮定し、ウェブ１と巻芯２の熱歪みを考慮すると最内層境界条件式は式（４１）のように与えられる。
ここで、巻芯温度の変化量ΔＴｃは平均値として式（４２）で与えられる。
最外層における応力増分Δσrが、新たに追加されるウェブ１の内側に巻き込まれた空気層のゲージ圧に等しいとすると、巻き取り中の最外層境界条件は式（４３）のように与えられる。
なお，ニップローラ３がある場合の巻き取り張力Ｔｗは初期張力Ｔｗ０にニップ部での摩擦によって誘起される張力を加算した式（４４）により求められる（Good, J.K., Wu, Z., and Fikes, M.W.R., “The Internal Stresses in Wound Rolls with the Presence of a Nip Roller,” ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 61, No. 1, (1994), p. 182-185）。
また、最外層には新たなウェブ１が追加されないので，巻き取り完了後の最外層境界条件は式（４５）のように設定される。
[３]巻き込み空気による巻き取りロール４の剛性の低下
巻き込み空気による巻き取りロール４の剛性の低下は、前述したウェブ１のヤング率を等価層のヤング率に置き換えることで考慮することができる（Good, J.K. and Holmberg, M.W, “The Effect of Air Entrainment in Center Wound Rolls”, Proceedings of the Second International Conference on Web Handling, (1993), p. 246-264／谷本光史, 河野和清, 高橋定, 佐々木将志, 吉田総仁, “空気巻き込みを考慮した巻き取りロールの内部応力解析”, 日本機械学会論文集A編，Vol. 68, No. 665, (2002), p. 161-168）。尚、等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑは式（４６）、等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑはそれぞれ式（４７）で与えられる。
巻き込み空気による巻き取りロール４の剛性の低下は、前述したウェブ１のヤング率を等価層のヤング率に置き換えることで考慮することができる（Good, J.K. and Holmberg, M.W, “The Effect of Air Entrainment in Center Wound Rolls”, Proceedings of the Second International Conference on Web Handling, (1993), p. 246-264／谷本光史, 河野和清, 高橋定, 佐々木将志, 吉田総仁, “空気巻き込みを考慮した巻き取りロールの内部応力解析”, 日本機械学会論文集A編，Vol. 68, No. 665, (2002), p. 161-168）。尚、等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑは式（４６）、等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑはそれぞれ式（４７）で与えられる。
ただし，空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌは前述の式（３１）に示した空気層厚さの関係式を歪みの定義に適用して導出される式（４８）により求められる。
以上に示した各式をもちいることにより、巻き取りロール４の内部の温度変化により生じる熱歪み及び巻き込み空気による剛性の変化を考慮した巻き取りロール４の半径方向応力σｒを予測することができる。
従って、巻き込み空気により巻き取りロール４の剛性が低下した場合、式（４０）で与えられたΔσｒに関する基礎方程式は、式（４９）のようになる。
従って、巻き込み空気により巻き取りロール４の剛性が低下した場合、式（４０）で与えられたΔσｒに関する基礎方程式は、式（４９）のようになる。
また、式（４１）の巻き取りロール４の最内層の境界条件も下記式（５０）のようになる。
一方、巻き取りロール４の円周方向応力σθは、次の式（５１）に示す円筒座標系における応力の釣り合い方程式に、半径方向応力の予測値を用いることにより求めることができる。
[４]実験による検証
次に、前述した理論予測モデルに基づく巻き取りロールにおける非定常熱伝導解析プログラム、及び非定常内部応力解析プログラムの有効性について実験的に検証した。具体的には、巻き取りロール周辺の環境温度を意図的に変化させ、その際に測定したロール温度及び半径方向応力の実験値を予測値と比較・検討した。
本実験では、ウェブ１としてポリエチレンテレフタレートフィルムを用い、図５に示すような巻き出し部１１とニップローラ１２を有する巻き取り部１８から構成される試験装置１０で巻き取りを実施した。
本試験装置１０は、巻き取りロールを巻き出し部１１に設置し、張力や速度を制御するためのローラ１５、１６を介してウェブ１を搬送する。ローラ１６には張力センサ１７が設けられている。
最終的には最下流に位置する巻き取り軸に固定した巻芯１４に、ニップローラ１２による押付け荷重を負荷した状態で巻き取る機構になっている。
次に、前述した理論予測モデルに基づく巻き取りロールにおける非定常熱伝導解析プログラム、及び非定常内部応力解析プログラムの有効性について実験的に検証した。具体的には、巻き取りロール周辺の環境温度を意図的に変化させ、その際に測定したロール温度及び半径方向応力の実験値を予測値と比較・検討した。
本実験では、ウェブ１としてポリエチレンテレフタレートフィルムを用い、図５に示すような巻き出し部１１とニップローラ１２を有する巻き取り部１８から構成される試験装置１０で巻き取りを実施した。
本試験装置１０は、巻き取りロールを巻き出し部１１に設置し、張力や速度を制御するためのローラ１５、１６を介してウェブ１を搬送する。ローラ１６には張力センサ１７が設けられている。
最終的には最下流に位置する巻き取り軸に固定した巻芯１４に、ニップローラ１２による押付け荷重を負荷した状態で巻き取る機構になっている。
巻き取りロール１３周辺の環境温度は、巻き取り後のロールを保管庫に投入することで変化させた。この保管庫は、熱源、ファンと温度センサを設けた断熱材で囲った箱を用い、その中の温度が一定になるように温度センサの信号によって熱源を制御する機構になっている。尚、環境温度として、実際の輸送環境を想定し変化させた。巻き取り完了後、巻き取り中の温度より２０Ｋ高い温度に制御された保管庫に巻き取りロール１３を投入し、その２時間後に巻き取り中の温度に保たれた室内に取り出すことで温度変化を与えた。
巻き取りロール１３内の温度と半径方向応力の測定には、それぞれ薄膜の温度センサと圧力センサ（Hashimoto, H., Puttha, J. and Mongkol M, ”Optimum Winding Tension and Nip-load into Wound Webs for Protecting Wrinkles and Slippage”, JSME Journal of Advanced Mechanical Design, Systems, and Manufacturing, Vol. 4, No.1, (2010), pp.214-225）を用いた。
これらを所定のロール半径位置に設置されるように適宜巻き取り中の最外層部分から挿入し、巻き取りロール１３を保管庫に投入した直後から測定を開始した。尚、測定に際しては半径方向応力の測定精度を考慮し、温度測定と応力測定をそれぞれ独立に各３回以上行った。
また、ロール端部からの熱移動の影響を小さくするため，センサの感部がウェブ１の幅に対して中央部に位置するように設置した。
表１にウェブ１であるポリエチレンテレフタレートフィルムの物性値、表２に加工条件をそれぞれ示す。ここで、ウェブ１は図６に示すように半径方向応力σｒに対して非線形圧縮特性を有する。そこで本実験では、この図６を基に半径方向ヤング率Ｅｒを式（５２）によって累乗近似して評価する。
これらを所定のロール半径位置に設置されるように適宜巻き取り中の最外層部分から挿入し、巻き取りロール１３を保管庫に投入した直後から測定を開始した。尚、測定に際しては半径方向応力の測定精度を考慮し、温度測定と応力測定をそれぞれ独立に各３回以上行った。
また、ロール端部からの熱移動の影響を小さくするため，センサの感部がウェブ１の幅に対して中央部に位置するように設置した。
表１にウェブ１であるポリエチレンテレフタレートフィルムの物性値、表２に加工条件をそれぞれ示す。ここで、ウェブ１は図６に示すように半径方向応力σｒに対して非線形圧縮特性を有する。そこで本実験では、この図６を基に半径方向ヤング率Ｅｒを式（５２）によって累乗近似して評価する。
また、表２に示した熱伝達率κは、実際の保管環境における実測値である。この測定では巻芯１４内側面及びロール最外層面の近傍に熱流速センサを設置し、保管庫内外における熱流束ｑと熱流束センサ測定部の表面温度Ｔｓを計測する。これらの測定値を式（５３）に代入すればその保管環境における熱伝達率κが算出できる。
[５]実験検証結果及び考察
図７〜図１０に巻き取りロール１３の温度の変化量（Ｔｆ−Ｔ０）及び半径方向応力σｒについて、本発明の解析プログラムを用いた予測値と実測値をそれぞれ示す。図７及び図９は、巻き取りロール１３の半径位置を、巻芯１４の半径で除した無次元ロール半径位置ｒ／ｒｃ、図８及び図１０は時間ｔに対する結果である。
ここで、巻き込み空気が熱伝導に及ぼす影響を検討するため、この影響を無視した場合の予測値を得たが、本理論予測モデルによる予測値とほとんど一致したことから、両者を同一の実線で表している。なお、図中のプロットは実測値の平均値であり、ばらつきの範囲をエラーバーで表示している。
また，図８及び図１０中に示している斜線部は巻き取りロール１３を保管庫に投入している時間範囲を表している。
図７〜図１０に巻き取りロール１３の温度の変化量（Ｔｆ−Ｔ０）及び半径方向応力σｒについて、本発明の解析プログラムを用いた予測値と実測値をそれぞれ示す。図７及び図９は、巻き取りロール１３の半径位置を、巻芯１４の半径で除した無次元ロール半径位置ｒ／ｒｃ、図８及び図１０は時間ｔに対する結果である。
ここで、巻き込み空気が熱伝導に及ぼす影響を検討するため、この影響を無視した場合の予測値を得たが、本理論予測モデルによる予測値とほとんど一致したことから、両者を同一の実線で表している。なお、図中のプロットは実測値の平均値であり、ばらつきの範囲をエラーバーで表示している。
また，図８及び図１０中に示している斜線部は巻き取りロール１３を保管庫に投入している時間範囲を表している。
図７及び図８に示すロール温度の変化量の予測値から、巻き取り完了後に巻き取りロール１３の周辺の環境温度が変化すると、巻き取りロール１３の内部に温度分布が生じて時々刻々と変化することがわかる。巻き取りロール１３を保管庫に投入している時間ｔ＝０〜２（ｈ）では、環境温度が巻き取り中の温度より高くなるため、周辺空気と巻き取りロール１３の接触面である巻芯１４の内側面及び巻き取りロール１３の最外層面から熱が流入して巻芯１４側及び外層側からロール温度が上昇する。
このとき、温度変化は巻芯１４側に比べて外層側で大きいことがわかる。
これは、保管庫内における巻き取りロール１３の最外層面の熱伝達率が巻芯１４の内側面より高いためであり、その結果として対流伝熱により流入する熱量が多くなることに起因する。
このとき、温度変化は巻芯１４側に比べて外層側で大きいことがわかる。
これは、保管庫内における巻き取りロール１３の最外層面の熱伝達率が巻芯１４の内側面より高いためであり、その結果として対流伝熱により流入する熱量が多くなることに起因する。
巻き取りロール１３を室内に取り出した後の時間ｔ＝２〜１２（ｈ）では、環境温度が保管庫内の温度から巻き取り中の温度に低下する。そのため、保管庫内の場合とは反対に巻き取りロール１３外に熱が流出してロール温度が低くなり、時間の経過にともなって室温に近づいていく。
このときの温度変化は外層側で大きくなることが確認できるが、これは保管庫内の場合と同様に熱伝達率が、巻き取りロール１３の最外層面で高いことに加え、時間ｔ＝２（ｈ）において、室温との温度差が外層側で大きいことが作用していると考えられる。
また、図８からわかるように、室内におけるロール温度の変化は保管庫内に比べて緩やかであること、また、ロール温度が最大値を示す時刻は内層側ほど環境温度が室温に変化する時間ｔ＝２（ｈ）から遅れる傾向にあることが確認できる。
前者は巻き取りロール１３の最外層面の熱伝達率が低下すること、後者は外層ほどロール温度が高い状態にあるため、環境温度が室温に転じても内層に向けて熱移動が生じることが原因と考えられる。
このときの温度変化は外層側で大きくなることが確認できるが、これは保管庫内の場合と同様に熱伝達率が、巻き取りロール１３の最外層面で高いことに加え、時間ｔ＝２（ｈ）において、室温との温度差が外層側で大きいことが作用していると考えられる。
また、図８からわかるように、室内におけるロール温度の変化は保管庫内に比べて緩やかであること、また、ロール温度が最大値を示す時刻は内層側ほど環境温度が室温に変化する時間ｔ＝２（ｈ）から遅れる傾向にあることが確認できる。
前者は巻き取りロール１３の最外層面の熱伝達率が低下すること、後者は外層ほどロール温度が高い状態にあるため、環境温度が室温に転じても内層に向けて熱移動が生じることが原因と考えられる。
一方、半径方向応力σｒは、図９、図１０に示すようにロール温度の変化に対応して変化する。すなわち、ロール温度が上昇すると半径方向応力σｒは増加し、ロール温度が上昇から低下に転じて室温に近づくと巻き取りロール１３を保管庫に投入した時間ｔ＝０（ｈ）と同程度の状態に戻る。
このような巻き取りロール１３の内部に生じる熱応力は、ウェブ１の線膨張係数の異方性、及びウェブ１と巻芯１４の線膨張係数の差に起因している。
表１及び表２に示したようにウェブ１の円周方向の線膨張係数αθは、半径方向の線膨張係数αｒに比べて一桁小さく、巻芯１４の線膨張係数αｃと同程度である。
したがって、前述した式（４０）及び式（４９）、式（４１）及び式（５０）を考慮すれば，ウェブ１と巻芯１４の組み合わせでは、このウェブ１の異方性が主として熱応力に影響を及ぼし、その結果として半径方向応力σｒが温度上昇により増大、温度低下により減少したものと考えられる。
このような巻き取りロール１３の内部に生じる熱応力は、ウェブ１の線膨張係数の異方性、及びウェブ１と巻芯１４の線膨張係数の差に起因している。
表１及び表２に示したようにウェブ１の円周方向の線膨張係数αθは、半径方向の線膨張係数αｒに比べて一桁小さく、巻芯１４の線膨張係数αｃと同程度である。
したがって、前述した式（４０）及び式（４９）、式（４１）及び式（５０）を考慮すれば，ウェブ１と巻芯１４の組み合わせでは、このウェブ１の異方性が主として熱応力に影響を及ぼし、その結果として半径方向応力σｒが温度上昇により増大、温度低下により減少したものと考えられる。
前述したように巻き込み空気が熱伝導に及ぼす影響を考慮した場合と、これを無視した場合のロール温度及び半径方向応力はほとんど一致している。これは、等価層の熱物性がウェブ１の熱物性と同程度とみなすことができるためである。
図１１〜図１３は、それぞれ空気層厚さに対する等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、比熱ｃｅｑの計算値を示している。
ここで、図１１〜図１３に示す斜線部は巻き取りロール１３内に存在する空気層厚さの予測値の範囲を示している。これより、等価層の熱物性は空気層厚さが大きくなるに従ってウェブの熱物性から空気の熱物性の値へと遷移する傾向にあるが、本発明の検討範囲内ではウェブ１の熱物性値にほぼ一致していることがわかる。
図１１〜図１３は、それぞれ空気層厚さに対する等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、比熱ｃｅｑの計算値を示している。
ここで、図１１〜図１３に示す斜線部は巻き取りロール１３内に存在する空気層厚さの予測値の範囲を示している。これより、等価層の熱物性は空気層厚さが大きくなるに従ってウェブの熱物性から空気の熱物性の値へと遷移する傾向にあるが、本発明の検討範囲内ではウェブ１の熱物性値にほぼ一致していることがわかる。
図７〜図１０に示したロール温度及び半径方向応力の予測値と実測値は、ほぼ一致しており、本発明の解析プログラムは有効であることが実証された。さらに、本発明の検討範囲内では巻き込み空気が熱伝導及び熱応力に及ぼす影響を無視し得ることがわかった。
本実験における内部応力の予測値をもとに前述した巻き取り不良との関係について検討を加える。
ここで、図１４は、図９に示した半径方向応力の予測値より求められる円周方向応力の予測値を示している。環境温度が上昇する場合、半径方向応力は経時で増大する。
これはウェブ１同士を圧着させるように作用するため、ブロッキングを発生させる要因となる。
本実験における内部応力の予測値をもとに前述した巻き取り不良との関係について検討を加える。
ここで、図１４は、図９に示した半径方向応力の予測値より求められる円周方向応力の予測値を示している。環境温度が上昇する場合、半径方向応力は経時で増大する。
これはウェブ１同士を圧着させるように作用するため、ブロッキングを発生させる要因となる。
一方、円周方向応力は無次元ロール半径位置が概ねｒ／ｒｃ＝１．６より内層側で減少し、外層側で増大する傾向にある。このような場合、内層側の負となる範囲でウェブ１が座屈することによるシワ、外層側で塑性変形によるフィルムの機能低下が生じるおそれがある。
このように環境温度の変化に起因した巻き取り後に発生する巻き取り不良に対し、その発生メカニズムを明らかにすること、さらに対策手段を検討することにおいて、本発明の解析プログラムは有用であるといえる。
このように環境温度の変化に起因した巻き取り後に発生する巻き取り不良に対し、その発生メカニズムを明らかにすること、さらに対策手段を検討することにおいて、本発明の解析プログラムは有用であるといえる。
[６]巻き込み空気が熱伝導及び熱応力に影響を及ぼす場合の検討
電子デバイスに用いられる熱伝導フィルムや導電性材料が表面に設けられた薄膜フィルムなど、半径方向に対するウェブ１の熱伝導率が高くなるような場合には、巻き込み空気が巻き取りロール１３の熱伝導及び熱応力に及ぼす影響は無視できないと考えられる。
そこで、本理論予測モデルを用いたパラメータ研究により、巻き込み空気の影響が無視できない場合についても検討しておく。
電子デバイスに用いられる熱伝導フィルムや導電性材料が表面に設けられた薄膜フィルムなど、半径方向に対するウェブ１の熱伝導率が高くなるような場合には、巻き込み空気が巻き取りロール１３の熱伝導及び熱応力に及ぼす影響は無視できないと考えられる。
そこで、本理論予測モデルを用いたパラメータ研究により、巻き込み空気の影響が無視できない場合についても検討しておく。
図１５〜図２０は、それぞれ熱伝導率ｋｆ＝１（Ｗ／（ｍ・Ｋ））、円周方向及び半径方向の線膨張係数αθ＝αｒ＝８．０×１０−５（１／Ｋ）のウェブ１を巻き取り張力Ｔｗ＝１００（Ｎ／ｍ）、ニップロール線荷重Ｌ＝１００（Ｎ／ｍ）で巻き取った場合（以下、条件Ａ）、巻き取り張力Ｔｗ＝２００（Ｎ／ｍ）、ニップロール線荷重Ｌ＝０（Ｎ／ｍ）で巻き取った場合（以下、条件Ｂ）の巻き取りロール１３を巻き取り中の温度から２０Ｋ高い温度に１時間保管したときの巻き取りロール１３の温度の変化量（Ｔｆ−Ｔ０）、半径応力σｒ、円周方向応力σθについて、本発明の解析プログラムを用いた予測値を示している。尚、本発明の解析プログラムの有効性を検証するために、巻き込み空気の影響を無視した場合の予測値も併記している。
図２１は、半径方向応力σｒ＝０．１、１、１０（ＭＰａ）としたときの空気層厚さに対する等価層の熱伝導率の計算値を示している。ここで、ウェブ１間を分散接触とみなせるｈａｌ≦３Ｒｆｆにおいて、半径方向応力σｒが０．１（ＭＰａ）の場合と１（ＭＰａ）の場合の計算値がほぼ一致したことから、両者を同一の実線で表している。図２１中の斜線部はそれぞれ条件Ａ及び条件Ｂで巻き取った巻き取りロール１３に存在する空気層厚さの予測値の範囲を表している。
図１５〜図２０から、ロール温度の変化量、半径方向応力、円周方向応力のいずれにおいても巻き込み空気を考慮した場合と、これを無視した場合の予測値に有意差が認められ、その差は、条件Ａに比べて空気層が厚くなる条件Ｂで顕著に現れることがわかる。
これは、図２１に示すように、本計算条件において等価層の熱伝導率が、ウェブ１の熱伝導率より小さく、また、空気層が厚い条件Ｂの方が、熱伝導率が小さいことに起因する。
図１５〜図２０から、ロール温度の変化量、半径方向応力、円周方向応力のいずれにおいても巻き込み空気を考慮した場合と、これを無視した場合の予測値に有意差が認められ、その差は、条件Ａに比べて空気層が厚くなる条件Ｂで顕著に現れることがわかる。
これは、図２１に示すように、本計算条件において等価層の熱伝導率が、ウェブ１の熱伝導率より小さく、また、空気層が厚い条件Ｂの方が、熱伝導率が小さいことに起因する。
ウェブ１の熱伝導率が高い場合、巻き取りロール１３に流入した熱は内部に移動し易いため、ロール温度がロール半径位置に対して均一に上昇する。これに対して、ウェブ１の熱伝導率が低い場合、熱が内部に移動しにくいため、熱が流入する近傍の温度が上昇する。
これより、図１５、図１６に示すように本計算条件における巻き込み空気を考慮した場合、特に条件Ｂで巻き取りロール１３内の温度勾配が大きくなったと考えられる。なお、図２１に示すように、本計算条件における半径方向応力の範囲内ではウェブ１間の接触状態が等価層の熱伝導率に及ぼす影響はわずかであり、その効果は無視できると考えてよい。
これより、図１５、図１６に示すように本計算条件における巻き込み空気を考慮した場合、特に条件Ｂで巻き取りロール１３内の温度勾配が大きくなったと考えられる。なお、図２１に示すように、本計算条件における半径方向応力の範囲内ではウェブ１間の接触状態が等価層の熱伝導率に及ぼす影響はわずかであり、その効果は無視できると考えてよい。
図１７〜図２０からわかるように半径方向応力及び円周方向応力はロール温度に応じて変化する。この変化の傾向は、ウェブ１の円周方向の線膨張係数αθが巻芯１４の線膨張係数αｃより大きいことに起因している。
特に巻芯１４の近傍において、それぞれの応力は経時で大きく低下する傾向にあり、これはウェブ１間が滑ることによる巻ズレ、前述したようなシワを発生させる要因となり得る。
また、いずれの応力においても巻き込み空気を無視した場合の方が巻き込み空気を考慮した場合よりも高くなっている。これより、予測値をもとに巻き取り不良の発生について検討する際、巻き込み空気を無視した場合においては過大評価となり、実際の現象を適切に評価できないおそれがあると考えられ、このような場合において本発明の解析プログラムは有用であるといえる。
以上の結果から、半径方向に対するウェブ１の熱伝導率が高くかつ空気層が厚くなる条件下においては、巻き込み空気が巻き取りロール１３の熱伝導及び熱応力に及ぼす影響は無視できないことがわかる。
特に巻芯１４の近傍において、それぞれの応力は経時で大きく低下する傾向にあり、これはウェブ１間が滑ることによる巻ズレ、前述したようなシワを発生させる要因となり得る。
また、いずれの応力においても巻き込み空気を無視した場合の方が巻き込み空気を考慮した場合よりも高くなっている。これより、予測値をもとに巻き取り不良の発生について検討する際、巻き込み空気を無視した場合においては過大評価となり、実際の現象を適切に評価できないおそれがあると考えられ、このような場合において本発明の解析プログラムは有用であるといえる。
以上の結果から、半径方向に対するウェブ１の熱伝導率が高くかつ空気層が厚くなる条件下においては、巻き込み空気が巻き取りロール１３の熱伝導及び熱応力に及ぼす影響は無視できないことがわかる。
[７]検証結果のまとめ
本実施形態では、熱伝導に及ぼす巻き込み空気の影響を考慮した非定常状態の巻き取りロール１３の熱伝導及び内部応力に関する解析プログラムを提示し、その有効性を実験検証及びパラメータ研究から確認することができた。得られた結論としては、次のことがいえる。
（１）巻き込み空気によってウェブ１間に形成される空気層の厚さ及び隣接するウェブ１同士の接触状態を考慮した巻き取りロール１３における非定常熱伝導解析プログラムを提供することができた。
（２）内部応力解析に本実施形態に係る非定常熱伝導解析を適用することにより、巻き込み空気が熱伝導に及ぼす影響を考慮した、非定常状態における巻き取りロール１３の内部応力解析プログラムを提供することができた。
本実施形態では、熱伝導に及ぼす巻き込み空気の影響を考慮した非定常状態の巻き取りロール１３の熱伝導及び内部応力に関する解析プログラムを提示し、その有効性を実験検証及びパラメータ研究から確認することができた。得られた結論としては、次のことがいえる。
（１）巻き込み空気によってウェブ１間に形成される空気層の厚さ及び隣接するウェブ１同士の接触状態を考慮した巻き取りロール１３における非定常熱伝導解析プログラムを提供することができた。
（２）内部応力解析に本実施形態に係る非定常熱伝導解析を適用することにより、巻き込み空気が熱伝導に及ぼす影響を考慮した、非定常状態における巻き取りロール１３の内部応力解析プログラムを提供することができた。
（３）ロール温度の変化量と半径方向応力について、巻き取り完了後に巻き取りロール１３の周辺の環境温度を変化させて測定した実測値と、本発明の解析プログラムによる予測値は概ね一致し、本発明の解析プログラムの有効性が確認された。
（４）本発明の解析プログラムを用いたパラメータ研究から、半径方向に対するウェブ１の熱伝導率が高くかつ空気層が厚くなる条件下において、巻き込み空気が巻き取りロール１３の熱伝導及び熱応力に及ぼす影響は無視できないことがわかった。
（４）本発明の解析プログラムを用いたパラメータ研究から、半径方向に対するウェブ１の熱伝導率が高くかつ空気層が厚くなる条件下において、巻き込み空気が巻き取りロール１３の熱伝導及び熱応力に及ぼす影響は無視できないことがわかった。
[８]非定常熱伝導解析プログラム及び非定常内部応力解析プログラムの作用
前述した非定常熱伝導解析プログラム及び非定常内部応力解析プログラムは、汎用のコンピュータで実行処理されるプログラムとして構成することができ、コンピュータ上では、図２２〜図２４のフローチャートに基づいて、実行処理が行われる。
まず、図２２に示されるように、初期設定値として表１に示されるようなウェブ１の物性値、表２に示されるような巻き取り条件を入力する（手順Ｓ１）。
次に、予測値を算出する経過時間ｔを設定する時間増分を設定する（手順Ｓ２）。
前述した式（３４）を用いて巻き取りロールの見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａを算出する（手順Ｓ３）。
前述した非定常熱伝導解析プログラム及び非定常内部応力解析プログラムは、汎用のコンピュータで実行処理されるプログラムとして構成することができ、コンピュータ上では、図２２〜図２４のフローチャートに基づいて、実行処理が行われる。
まず、図２２に示されるように、初期設定値として表１に示されるようなウェブ１の物性値、表２に示されるような巻き取り条件を入力する（手順Ｓ１）。
次に、予測値を算出する経過時間ｔを設定する時間増分を設定する（手順Ｓ２）。
前述した式（３４）を用いて巻き取りロールの見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａを算出する（手順Ｓ３）。
見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａが算出されたら、式（３３）に代入して空気層の熱伝導率ｋａｌを算出する（手順Ｓ４）。
算出された空気層の熱伝導率ｋａｌを式（３２）に代入し、等価層の熱伝導率ｋｅｑを算出する（手順Ｓ５）。
同様に算出された見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａを式（３５）に代入し、等価層の密度ρｅｑを算出し（手順Ｓ６）、さらに、見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａを式（３６）に代入して等価層の比熱ｃｅｑを算出する（手順Ｓ７）。
式（２１）乃至式（２４）に基づいて、境界条件の設定を行う（手順Ｓ８）。
算出された等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、及び比熱ｃｅｑとを式（２０）に代入するとともに、式（２１）乃至式（２４）に設定された境界条件を用いて、巻き取りロール４の半径位置ｒにおける温度変化量ΔＴを算出する（手順Ｓ９）。
算出された温度変化量ΔＴをコンピュータのメモリ等に記録保存する（手順Ｓ１０）。
コンピュータは、空気層の影響を考慮しない内部応力解析Ａのプログラムと、空気層の影響を考慮した内部応力解析Ｂのプログラムの選択を促す（手順Ｓ１１）。
算出された空気層の熱伝導率ｋａｌを式（３２）に代入し、等価層の熱伝導率ｋｅｑを算出する（手順Ｓ５）。
同様に算出された見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａを式（３５）に代入し、等価層の密度ρｅｑを算出し（手順Ｓ６）、さらに、見掛けの接触面積に対する真実接触面積の比Ａ／Ａａを式（３６）に代入して等価層の比熱ｃｅｑを算出する（手順Ｓ７）。
式（２１）乃至式（２４）に基づいて、境界条件の設定を行う（手順Ｓ８）。
算出された等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、及び比熱ｃｅｑとを式（２０）に代入するとともに、式（２１）乃至式（２４）に設定された境界条件を用いて、巻き取りロール４の半径位置ｒにおける温度変化量ΔＴを算出する（手順Ｓ９）。
算出された温度変化量ΔＴをコンピュータのメモリ等に記録保存する（手順Ｓ１０）。
コンピュータは、空気層の影響を考慮しない内部応力解析Ａのプログラムと、空気層の影響を考慮した内部応力解析Ｂのプログラムの選択を促す（手順Ｓ１１）。
内部応力解析プログラムＡが選択された場合（手順Ｓ１２）、図２３に示されるように、手順Ｓ１０で記録保存された温度変化量ΔＴの読み出しを行い（手順ＳＡ１）、式（４３）、式（４５）に基づいて最外層の境界条件を設定し、式（４１）に基づいて、最内層の境界条件を設定する（手順ＳＡ２）。
設定された境界条件に基づいて、基礎方程式（４０）から応力増分Δσｒを算出する（手順ＳＡ３）。
算出された応力増分Δσｒを、式（３７）に代入して各層のロール内半径方向応力Δσｒを更新する（手順ＳＡ４）。
尚、内部応力解析プログラムＡは、内部応力の解析にあたり、事前の測定に基づいて求めた半径方向ヤング率Ｅｒ、円周方向ヤング率Ｅθを用いたものである。
設定された境界条件に基づいて、基礎方程式（４０）から応力増分Δσｒを算出する（手順ＳＡ３）。
算出された応力増分Δσｒを、式（３７）に代入して各層のロール内半径方向応力Δσｒを更新する（手順ＳＡ４）。
尚、内部応力解析プログラムＡは、内部応力の解析にあたり、事前の測定に基づいて求めた半径方向ヤング率Ｅｒ、円周方向ヤング率Ｅθを用いたものである。
一方、内部応力解析プログラムＢが選択された場合（手順Ｓ１３）、巻き込み空気によるロール剛性の変化を考慮して巻き取りロール４の応力増分Δσｒを算出する。
具体的には、図２４に示されるように、内部応力解析プログラムＡと同様に温度変化量ΔＴの読み出しを行い（手順ＳＢ１）、式（３８）により空気層の厚さを算出し、式（４８）により空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌを算出する（手順ＳＢ２）。
算出された空気層の厚さｈａｌ、空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌに基づいて、式（４６）により、等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑを算出し、式（４７）により等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑを算出する（手順ＳＢ３）。
具体的には、図２４に示されるように、内部応力解析プログラムＡと同様に温度変化量ΔＴの読み出しを行い（手順ＳＢ１）、式（３８）により空気層の厚さを算出し、式（４８）により空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌを算出する（手順ＳＢ２）。
算出された空気層の厚さｈａｌ、空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌに基づいて、式（４６）により、等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑを算出し、式（４７）により等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑを算出する（手順ＳＢ３）。
等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑ及び等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑが算出されたら、式（４３）、式（４５）に基づいて最外層の境界条件を設定し、式（５０）に基づいて等価層の最内層の境界条件を設定する（手順ＳＢ４）。
設定された境界条件に基づいて、基礎方程式（４９）から応力増分Δσｒを算出する（手順ＳＢ５）。
算出された応力増分Δσｒを、式（３７）に代入して各層のロール内半径方向応力σｒを更新する（手順ＳＢ６）。
設定された境界条件に基づいて、基礎方程式（４９）から応力増分Δσｒを算出する（手順ＳＢ５）。
算出された応力増分Δσｒを、式（３７）に代入して各層のロール内半径方向応力σｒを更新する（手順ＳＢ６）。
内部応力解析プログラムＡ又は内部応力解析プログラムＢのいずれかによる解析が終了したら、手順Ｓ２に戻って、繰り返し（手順Ｓ１４）、終了時間までの解析が終了したら、解析プログラムの実行処理を終了する。
このような非定常熱伝導解析プログラム及び非定常内部応力解析プログラムをコンピュータ上で実行処理させることにより、巻き取りロール４の温度変化に伴う内部応力の発生状況をシミュレーションできるため、シミュレーション結果に基づいて、最適な巻き取り条件を設定することができ、巻き取りロール４の保管・輸送時にブロッキングやシワが発生することを防止することができる。
１…ウェブ、２…巻芯、３…ニップローラ、４…巻き取りロール、１０…試験装置、１１…巻き出し部、１２…ニップローラ、１３…巻き取りロール、１４…巻芯、１５、１６…ローラ、１７…張力センサ、１８…巻き取り部
Claims (3)
- 巻き取りロール内に巻き込まれた空気の影響を考慮した巻き取りロールの非定常熱伝導解析をコンピュータに実行させる巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムであって、
前記コンピュータに、
前記巻き取りロール内のウェブの見掛けの接触面積Ａａに対する真実接触面積Ａの比Ａ／Ａａ （Ａ／Ａ ａ ≠０）を、下記式（１）を用いて算出する手順と、
求められたＡ／Ａａに基づいて、下記式（２）を用いて各ウェブ間の空気層の熱伝導率ｋａｌ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））を算出する手順と、
求められた各ウェブ間の空気層の熱伝導率ｋａｌ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））に基づいて、下記式（３）を用いて半径方向に対するウェブと空気層を合成した等価層の熱伝導率ｋｅｑ（Ｗ／（ｍ・Ｋ））を算出する手順と、
下記式（４）を用いて前記等価層の密度ρｅｑ（ｋｇ／ｍ３）を算出する手順と、
下記式（５）を用いて前記等価層の比熱ｃｅｑ（Ｊ／（ｋｇ・Ｋ））を算出する手順と、
算出された前記等価層の熱伝導率ｋｅｑ、密度ρｅｑ、比熱ｃｅｑを、（６）で与えられる非定常熱伝導の基礎方程式におけるウェブの物性値に置き換え、前記巻き取りロール内の各層のウェブの温度を算出する手順と、
を実行させることを特徴とする巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラム。
- 請求項１に記載の巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの解析結果に基づいて、前記巻き取りロール内に巻き込まれた空気の影響を考慮した巻き取りロールの非定常内部応力解析をコンピュータに実行させる巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラムであって、
前記コンピュータに、
請求項１に記載の巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの実行結果として得られる前記等価層の半径方向位置に応じた温度変化量ΔＴｆと、
前記巻き取りロールのウェブの最内層における境界条件式（７）と、
前記巻き取りロールの巻き取り中のウェブの最外層における境界条件式（８）と、
前記巻き取りロールの巻き取り完了後のウェブの最外層における境界条件式（９）とを、半径方向の応力増分に関する基礎方程式（１０）に用いることにより、
前記巻き取りロールの最内層のウェブから第ｊ番目の層に生じる式（１１）で与えられる半径方向応力σｒ，ｊを求めることを特徴とする巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラム。
- 請求項１に記載の巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの解析結果に基づいて、前記巻き取りロール内に巻き込まれた空気によるロール剛性の変化を考慮した巻き取りロールの非定常内部応力解析をコンピュータに実行させる巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラムであって、
前記コンピュータに、
請求項１に記載の巻き取りロールの非定常熱伝導解析プログラムの実行結果として得られる前記等価層の半径方向位置に応じた温度変化量ΔＴｆと、
ウェブと空気層を合成した等価層の半径方向のヤング率Ｅｒｅｑを、下記式（１２）に基づいて算出する手順（空気層の半径方向ヤング率Ｅｒａｌは、下記式（１３）で算出される）と、
前記等価層の円周方向のヤング率Ｅθｅｑを、下記式（１４）に基づいて算出する手順と、
前記等価層の半径方向ヤング率Ｅｒｅｑと、
前記等価層の円周方向ヤング率Ｅθｅｑと、
前記等価層の最内層における境界条件式（１５）と、
前記巻き取りロールの巻き取り中の最外層における境界条件式（１６）と、
前記巻き取りロールの巻き取り完了後の最外層における境界条件式（１７）とを、半径方向の応力増分に関する基礎方程式（１８）に用いることにより、
前記巻き取りロールの最内層から第ｊ番目の層に生じる式（１９）で与えられる半径方向応力σｒ，ｊを求めることを特徴とする巻き取りロールの非定常内部応力解析プログラム。
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