JP5467299B2

JP5467299B2 - 走査型プローブ顕微鏡における反復的フィードバック調整

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Publication number: JP5467299B2
Application number: JP2010535921A
Authority: JP
Inventors: クリスタースヴェンソン; ポールベントソン; ジーモンヨット．アルテンブルク
Original assignee: エフイーアイカンパニー
Priority date: 2007-11-30
Filing date: 2008-12-01
Publication date: 2014-04-09
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Description

本発明は、走査型プローブ顕微鏡法（ＳＰＭ）用途または同様の用途におけるＰＩ（Ｄ）（比例、積分、微分）フィードバック用のフィードバックパラメータの自動フィードバック調整を行なう方法、システム、および装置に関する。

ナノテクノロジーは、ナノスケールの物体を検出および測定する先端技術の計測機器を必要とする。これらの物体は多くの場合極めて繊細であって、測定中に壊れやすいため、試料が損傷するリスクを減らすと同時に高速且つ信頼性の高い測定解決策を提供する計測機器解決策に対するニーズがある。

走査型トンネル効果顕微鏡法（ＳＴＭ）は、表面物理学および関連分野で最も重要な測定技術の一つであって、過去２５年にわたる当分野における主要な発展に寄与してきた。

ＳＴＭの先駆はRussell Yong、John Ward、およびFredric Scireにより開発され、１９７２年に非特許文献１で発表されたトポグラファイナーであった。これは、ラスタ内の鋭い金属先端部を表面から微小距離で走査することにより金属面のトポグラフィをマッピングできる機器であった。ＳＴＭとほぼ同様に圧電ドライバおよびフィードバック機構を用いて先端を移動させるものであった。簡単なアナログＰＩコントローラが表面と先端との間の電流、従ってそれらの間の距離を一定に保つ。トポグラファイナーの場合、この電流は、ＳＴＭにおけるトンネル効果電流とは逆に、より高い先端面距離における電界放出電流であった。Youngらはトンネル効果モードにおいて表面から微小距離で走査する可能性を理解していたが、振動が大き過ぎた上にフィードバックコントローラの精度に問題があったため、同モードでの走査はできなかった。それでも最新のＳＴＭに極めて類似していた点は特出している。

最新のＳＴＭは一般に、トンネル効果が支配する領域により適している対数フィードバックコントローラを使用するが、市販のＰＩまたはＰＩＤ制御装置を使用する方式が依然として一般的である。最新のデジタルコントローラには様々な異種コントローラがあり得るが、ＰＩＤコントローラの成功により基本的な変更が行なわれなくなった。デジタル方式がもたらした別の利点として、複雑なアルゴリズムを簡単に実装できるようにしたことが挙げられる。

ＳＴＭのコントローラを適切に調整することは、３次元パラメータ空間（比例、積分、および微分部分の調整値）における最適状態を見つける必要があるため、特にＰＩＤコントローラの場合に極めて困難である。別の問題としてユーザは多くの場合パラメータの相互依存に関する情報を有しておらず、特定のソフトウェアでの多くの経験を通じて異なるパラメータの影響に対する感触を掴まねばならない。自動調整機構ならばこの手順を簡素化できるであろう。

本発明による解決策は、ＳＰＭ信号用に最適化された反復的フィードバック調整方法／アルゴリズムおよび制御構成を用いる。

本方法／アルゴリズムはコンピュータ可読記憶媒体に保存されたソフトウェア命令セットとして実装されて処理装置で動作することができ、あるいはハードウェア（例：ＦＰＧＡ、フィールドプログラム可能ゲートアレイ、またはＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路））内の命令セットとして実装されていてもよい。処理装置は、プロセッサ、メモリ（不揮発性および／または揮発性）、および通信インターフェースを含んでいてよい。

本発明はＳＴＭ（走査型トンネル効果顕微鏡）用途を用いて例示されているが、これはまた、当業者には理解されるようにＡＦＭ（原子力顕微鏡法）、ＮＳＯＭ（近接場走査型光学顕微鏡法）、ＭＦＭ（磁力顕微鏡法）等、他の走査型顕微鏡法技術でも利用可能である。

ＳＰＭ技術に応じて異なる種類の信号をフィードバックシステムにおける入力パラメータとして用いて、測定システムを制御するために異なる種類の出力信号が生成される。更に、異なる仕方で信号を事前調整することに関心がもたれる場合があり、例えばＳＴＭのケースを考慮すれば対数表現を用いて信号を線形化して電流符号の依存性に対処する必要がある。他のＳＰＭ技術には他の依存性がある。ＳＰＭ技術の運用は公知である。

本発明によるシステムは、ＳＰＭ測定システム（例：圧電素子、先端ホルダ、先端、および関心対象試料に対する先端の位置を決める他の部材等の位置制御装置を含む）、制御電子システム（例：位置制御装置を制御する電圧または電流制御装置、プリアンプおよび／または他の事前調整装置（フィルタリング等）、デジタル化装置、制御処理装置、通信装置等）、および測定準備の解析、制御、データの記憶、および結果の表示を行なうための解析装置（例：制御装置と通信すべく構成されたコンピュータ）を含んでいる。制御装置の少なくとも一部が解析装置に組み込まれていてよい点を理解されたい。

本発明による方法／アルゴリズムは、計測機器の構成に応じて制御電子回路または解析装置内に実装できる。

更に、本発明はＰＩまたはＰＩＤ解決策に限らず他の種類のフィードバックシステムに適用できる。本発明は、デジタルフィードバック解決策のフィードバックパラメータを決定する反復的方法に関する。

本発明は、多くの態様で実装され、その第一は、
・ＳＰＭ測定装置と、
・制御装置と、
を含む走査型プローブ顕微鏡法（ＳＰＭ）システムであって、
・上記制御装置が、
・ＰＩ調整アルゴリズムにおけるセットポイント（set point）として適切な基準信号を入力として用いて第１のテストを実行するステップと、
・少なくとも１個のセンサ信号を受信することにより第１のテストから結果を受信するステップと、
・第１のテストの結果をセットポイントとして第２のテストへの入力として用いるステップと、
・少なくとも１個のセンサ信号を受信することにより第２のテストから結果を受信するステップと、
・第１および第２のテストからの結果を用いて正定値行列（positive definitive matrix）を決定するステップと、
・決定された行列を用いて新規の制御パラメータを計算するステップと
を含む自動反復フィードバック調整アルゴリズムを動作させるべく構成されている。

行列を決定するステップは、ユニタリ行列形式の近似を用いるステップを含んでいてよい。

フィードバックアルゴリズムは更に、テストポイントとして基準信号を用いる第３のテストを実行するステップを含んでいてよい。当該アルゴリズムは更にペナルティ関数を含んでいてよい。

センサ信号は事前調整されていてよい。

フィードバック処理は、適切なフィードバックパラメータの決定を受信するまで反復的に繰り返されてよい。

本発明の第２の態様、すなわち試料に対するプローブの位置を制御するための制御パラメータを決定する方法であって、
・ＰＩ調整アルゴリズムにおけるセットポイントとして適当な基準信号を入力として第１のテストを実行するステップと、
・第１のテストから結果を受信するステップと、
・第１のテストの結果をセットポイントとして第２のテストへの入力として用いるステップと、
・制御されたシステムの動作に対する重み付け関数（weighting function）を定義するステップと、
・重み付け関数を最小化するステップと、
・制御パラメータに関して重み付け関数の勾配を決定するステップと、
・勾配を用いて新規制御パラメータを決定するステップと
を含む方法を示す。

本発明による方法を実行する命令セットを含む、試料に対するプローブの位置を制御するコンピュータプログラムである、本発明の第３の態様を示す。

本発明による方法を動作させる制御装置である、本発明の第４の態様を示す。

本発明について、非限定的な実施例により、且つ添付の図面を参照しながら以下により詳細に記述する。

本発明を適用できる計測機器を模式的に示す。本発明による閉ループフィードバック制御解決策を模式的に示すブロック図である。本発明による閉ループフィードバックＰＩＤ解決策を模式的に示すブロック図である。自由度が２である本発明による閉ループフィードバック制御解決策を模式的に示すブロック図である。自由度が１である本発明による閉ループフィードバック制御解決策を模式的に示すブロック図である。本発明によるＳＴＭシステムの閉ループフィードバック制御解決策を模式的に示すブロック図である。形状定義を模式的に示す。本発明による装置を模式的に示すブロック図である。本発明によるシステムを模式的に示すブロック図である。

本発明は計測機器の自動フィードバック制御およびフィードバック制御が用いられる他の状況における解決策に関する。本発明は方法として実装され、好適にはコンピュータまたは同様の処理装置等のデジタルコンピュータで動作する。本方法／アルゴリズムは、コンピュータ可読記憶媒体に保存されていて処理装置内で動作するソフトウェア命令セットとして、あるいはハードウェア（例：ＤＳＰ（デジタル信号プロセッサ）、ＦＰＧＡ（フィールドプログラム可能ゲートアレイ）またはＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路））内の命令セットとして実装されていてよい。処理装置は、プロセッサ、メモリ（不揮発性および／または揮発性）、および通信インターフェースを含んでいてよい。図８に本発明を実装する、処理装置８０１、メモリ装置８０２（揮発性または不揮発性、例：ＲＡＭ、フラッシュ、ハードディスク）、および計測機器と通信するための通信インターフェース８０３を含む処理装置８００を示す。図９に、本計測機器９０３と通信状態にあるオプションの制御電子回路９０２と通信状態にある制御処理装置９０１を含む、本発明によるシステム９００を示す。制御処理装置および制御電子回路は１個の装置に組み込まれていてよい。

本発明はＳＴＭ（走査型トンネル効果顕微鏡）用途を用いて例示しているが、当業者に理解されるように、他の走査型顕微鏡法技術、例えばＡＦＭ（原子力顕微鏡法）、ＮＳＯＭ（近接場走査型光学顕微鏡法）、ＭＦＭ（磁力顕微鏡法）等でも利用可能である。

ＳＰＭ技術に応じて異なる種類の信号をフィードバックシステムにおける入力パラメータとして使用し、測定システムを制御するために異なる種類の出力信号が生成される。更に、信号を異なる仕方で事前調整することに関心がもたれる場合があり、ＳＴＭのケースを考慮すれば対数表現を用いて信号を線形化して電流符号の依存性に対処する必要がある。他のＳＰＭ技術には他の依存性がある。ＳＰＭ技術の運用は公知である。

本発明による方法／アルゴリズムは、計測機器の構成に応じて制御電子回路または解析装置内で実装できる。

本発明はいくつかの異なる技術分野に適用可能である。例えば、走査型プローブ顕微鏡（ＳＰＭ）測定のセットアップから、走査型トンネル効果顕微鏡（ＳＴＭ）を用いる例を挙げて本発明を例示する。

ＳＴＭの基本原理は極めて簡単であり、図１を参照されたい。圧電結晶１００の助けを借りて鋭い導電性の針（先端）１０１を導電性試料１０４に向かって約１ｎｍの距離ｄへ移動させる。電圧を印加すると圧電材料が拡張または収縮する。通常の膨張率は約１〜１０ｎｍ／Ｖであるため、印加電圧により原子レベルでの運動を容易に制御できる。

先端と試料の間電圧Ｖ_Ｔを印加し、量子力学的トンネル効果に起因して先端と試料の距離に強く依存する（理想的な場合には指数的に）極めて微小な電流ｌ_Ｔ１０３が生じる。フィードバックコントローラＣ１０２を用いることにより、ｚ圧電の制御電圧Ｖ_Ｐ、すなわち先端のｚ位置を調整することによりトンネル効果電流を一定に保つことができる。ここで、先端は試料表面の上のラスタ内を高い精度で移動してＶ_Ｐが記録されるため、表面のトポグラフィの画像が得られる。

圧電材料は１Å未満の精度で先端の位置決めが行なえるため、ＳＴＭが原子レベルの解像度に達することができる。特に、実際の空間画像を用いた表面構造の研究が可能である。

ｚ圧電の電圧は、トンネル効果電流すなわち（純然たる表面の場合）先端と表面の距離が一定であるように調整されなければならない。コントローラは、充分な走査速度が得られる程度に充分速く、先端が表面に衝突しないことを保証するのに充分な程度に信頼性が高く且つ安定している必要がある。圧電素子のダイナミクスおよびセットアップ時に生じる可能性のある振動によりこれが困難になる。コントローラを極めて高速に調整すると、特に、例えば表面吸着物により先端と面の距離（ｌ_Ｔ（ｄ））に依存するトンネル効果電流曲線の形状が変化した場合に振動が生じる恐れがある。従って、うまく選択および調整されたコントローラが必要である。ＰＩまたはＰＩＤコントローラは通常、実験者が手動で調整しながら使用する。これは特に、ＰＩＤの操作者にとって、画像で最適結果を得るためには何らの経験を要する困難なタスクである。

一般に走査する表面は未知であるため、コントローラの調整不良に起因する画像誤差は明らかではなく、誤差を見つけるためには異なる方向へ走査して画像を比較する等の技術が役に立つ。コントローラの調整を判断する別の可能な方法として、セットポイントが変わった場合の応答を見ることが挙げられる。高速調整の結果、速い応答または振動も生じる一方、低速調整は表面の画像の円滑化をもたらすことがあるが、セットポイントの変化への適応が遅くなるであろう。

本発明で強調すべき点は、調整手順を容易にすべく反復的フィードバック調整アルゴリズムを適合させることである。ＩＦＴは、セットポイントの変化に対する応答を調整して所望の応答に合わせる。別の課題は、ＳＴＭの良好なスキャン動作をもたらす応答を見出すことであり、本明細書の後半で一例を挙げる。

図２に、外乱のある測定システム２０２に作用するコントローラ２０１を含むフィードバックシステムを示す。測定された出力２０６およびフィードバックデータ２０３が入力信号２０５に作用するコンパレータ２０４を介してコントローラへ返送される。図２のような閉ループシステムの場合、関与する演算子に対していくつかの制約を仮定すれば、出力信号は次式のように書ける。

演算子Ｃ（ｔ）およびＧ_０（ｔ）は複雑で、特に積分および微分を含んでいるため、これらの計算は極めて困難な場合がある。また、実験から演算子を得るのは容易ではない。システムＧ（ｔ）のインパルス応答ｇ（ｔ）が分かれば、任意の所与の入力信号ｒ（ｔ）に対する応答ｙ（ｔ）は以下の畳み込み（convolution）から導くことができる。

幸い、ラプラス変換を適用する場合は格段に易しくなる。ラプラス変換の基礎は当業者には公知である。時刻ｔ＝０における単位インパルス関数はラプラス空間において単位元に変換されるため、伝達関数Ｇ（ｓ）の逆ラプラス変換を［数２］で直接用いて任意の時刻信号ｒ（ｔ）に対する既知のシステムの応答を決定することができる。

上はまた、次式から導くことができる。

伝達関数が処理の動作を完全に定義するため、異なる方法で解析することができる。特に複素平面における伝達関数の極および零点の位置が関心対象である。例えば、複素平面の実部にある極はシステムの不安定性を示し、非ゼロの虚部を有する極は振動の動作を示す。極または零点が原点に近いほど、その影響はより顕著になる。従って、システムの極および零点は、経験豊富な観察者に多くの情報を提供することができる。この現象をコントローラ設計、例えば極配置および根軌跡法（root locus method）の技術（例：非特許文献１１、非特許文献１２）に用いている。例えば、処理が充分に安定な場合、コントローラの零点を同一位置に配置することにより処理の複素平面の実部の極（不安定さをもたらす）を相殺することができ、すなわち、極が時間経過に伴い極端に位置を変えないことを意味する。関連する数学として、例えばコーシーの積分定理および公式、ローラン級数および留数の概念がある。ラプラス空間から時間空間へ信号を逆変換する必要がある場合に問題が生じる。その数学的定義は、以下の通りである。

ここにｃは、積分経路が虚軸に平行な線に沿って収束領域にあるように、且つｃがＦ（ｓ）の全ての特異値の実部より大きいように選ぶ必要がある。実際には、逆変換を実行する最も簡単な方法は、複雑な関数をより簡単な関数の和に分解することである。Ｆ（ｓ）が有理関数（指数関数、微分および積分は有理関数に変換されるため、全く一般的である）である場合、部分分数分解および留数の理論を共通的に用いる。これらのより簡単な関数はテーブル（例：非特許文献１３、非特許文献１２、非特許文献１４参照）を用いて変換でき、その結果はこれらの和として得られる。

実際の制御問題において、制御したい処理は一般に未知かまたは少なくとも伝達関数を書き下すのに充分な程度には知られていない。いくつかの簡単な場合において、第１原理から計算することは可能であるかもしれないが、一般に実験から得る必要があり、または伝達関数を必要としない別のアプローチを選択しなければならない。

正弦波基準信号に対する線形システムの応答は、異なる振幅および位相シフトを有する正弦波の定常状態のままである。周波数応答法のための場合、この実験がある範囲の周波数について実行される。結果的に得られる振幅および位相シフトを視覚化する一般的な方法としてボーデ線図およびナイキスト線図がある。これらから伝達関数の粗い近似を得る図式的な方法がある（例えば非特許文献１１および非特許文献１２参照）。ステップ基準信号に全ての周波数が含まれているため、ステップ応答実験から得られたデータを周波数応答データに変換する方法があるが、当然ながら得られる精度は周波数応答の方が良い。これは、はるかに多くデータが使われていて、本方法が定常状態で機能し、外乱よびノイズにあまり影響されないためである。

粗い近似よりも良いモデルが必要な場合、これを実現するための労力も大きくなる。幸い、正確なモデルがなくても多様な処理をうまく制御できるＰＩＤコントローラ等の市販のコントローラがある。これらのコントローラのパラメータを調整するのは依然として困難であって、ステップ応答のような実験が役に立つかもしれないが、全体的に必要とされた労力が大幅に減少する。

ＰＩＤコントローラは最も普及しているコントローラタイプの一つであり、産業界並びに研究その他のあらゆる可能な分野で広く利用されている。普及している理由は、その簡便さと広範な異なる処理をうまく制御する能力が組み合わされていること、並びにアナログ電子回路を用いて実装が簡素なことである。ＰＩＤという頭文字は、比例、積分、および微分動作を表す。図３に、比例、積分、および微分要素３０１、３０２、３０３、およびＰＩＤ要素が総和される３０４入出力要素３０５、３０６を有するコントローラのブロック図を示す。

時間領域において、ＰＩＤコントローラの演算子の一つの可能な表現は下記の通りである。

従ってそのラプラス変換は以下の通りである。

多くの教科書でＰＩＤコントローラの演算子は以下のように書かれている。

この表現から相互作用するパラメータが得られるため、第１の定義［数６］を以下に用いる。より複雑な計算の場合、全てのパラメータが線形であることもまた望ましいため、後で以下の形式を用いる。

閉ループシステムにおいて、このコントローラは極めて強力である。異なる要素の影響について以下に議論する。

反復的フィードバック調整（ＩＦＴ）は、任意の与えられた既知のコントローラ（微分可能伝達関数を有する）を、未知であるが実験的にアクセス可能な処理を制御するパラメータρのベクトルに関して、所望の動作へ調整する方法である。他の大多数の調整アルゴリズムとは逆に、処理のモデルを一切必要とせず、実験により最適化処理を直接操縦する。このために、制御システムの動作に対して最小化すべき重み関数を定義する。次いで、コントローラパラメータに関するこの重み関数の勾配を推定して、最適なコントローラパラメータを見つける。一般に、ＩＦＴアルゴリズムは図４に示すように自由度が２であるコントローラで用いることができる。ここで、２個の異なるコントローラ４０１、４０５を基準信号ｒ４０６（コントローラＣ_ｒ）およびフィードバックされた出力信号ｙ４０７（コントローラＣ_ｙ）に用いることができる。Ｇ_０は測定システム４０３であって、４０２および４０４は各々コンパレータおよび総和器を表す。

ＳＴＭの場合、基準信号ｒ（すなわち電流セットポイント）は、走査の間一定に保たれ、図５に示すように入力信号５０６、コンパレータ５０１、コントローラ５０２、測定システム５０３、外乱を加える総和エンティティ５０４、および最後に出力信号５０５と共に、自由度が１であるコントローラがあれば充分である。これは計算を簡素化するものであって以下で用いる。自由度が２であるコントローラの場合におけるＩＦＴアルゴリズムの概略的表現も非特許文献２に与える。

ＳＴＭの場合においても、元のアルゴリズムに対して他の若干の変更を行なう必要があり、これらについて後で述べる。最初に、自由度が１であるコントローラに減ぜられた元のアルゴリズムを示す。

ＩＦＴアルゴリズムはデジタルコンピュータ上で動作するため、全ての時刻信号は下付き添え字ｔで表す離散的な時間刻みに存在する。計算は、時間およびラプラス領域の両方で異なる信号を必要とするため、以下の表記を用いる。下付き添え字ｔは時間領域の信号を意味する場合に用いる。ラプラス領域ではこの下付き添え字は略される。従って、ｘ_ｔと書かれた信号ｘは、離散時間表現を表し、単なるｘ（＝ｘ（ｓ））はラプラス変換された信号を表す。調整すべきコントローラは、パラメータベクトルρに依存する伝達関数Ｃ（ρ）を有する。例えばＰＩＤコントローラの場合、Ｃ＝Ｐ＋I／ｓ＋Ｄｓ、ρ＝（Ｐ，Ｉ，Ｄ）^Ｔである。図５によれば、未知のシステムＧ_０の応答を以下のように書くことができる。

ここに、ｙ（ρ）は処理の出力、ｕ（ρ）は処理の入力信号であり、ｖは測定不能な外乱を表す。信号ｕ（ρ）は以下のように書くことができる。

ここでｙ（ρ）を直接次式のように書くことができる。

閉ループ応答Ｔ_０（ρ）および感度関数Ｓ_０（ρ）を以下のように定義することにより、

ｙ（ρ）を以下のように書き直すことができる。

基準信号ｒに対するシステムｙ^ｄの所望の出力は基準システムＴ_ｄにより以下のように定義される。

基準に従うことだけが目標である場合、これはＴ_ｄ＝１且つｙ^ｄ＝ｒとなる。アルゴリズムにとって、出力ｙ（ρ）と所望の出力ｙ_ｄの差異だけが関心対象であり、

で表す。

誤差が２個の部分からなることがわかる。すなわち一方の誤差は基準の不正確な追跡に起因し、もう一方の誤差は外乱に起因するものである。最適化手順の目的は従って、

のノルム（norm）を最小化することであり、この場合は重み関数Ｊに対して２次基準を用いる。

ここに、Ｎは信号が測定される離散時間間隔の数、λ_ｙおよびλ_ｕは重み係数、Ｌ_ｙおよびＬ_ｕは特定の周波数の重みに影響を及ぼす周波数フィルタである。ここでは計算を容易にすべくＬ_ｙおよびＬ_ｕを単位元に設定し、後で再び本明細書に含める。λ_ｕ＞０に設定することにより制御信号にペナルティが導入される。時間依存の重み付けも導入する。

最適なコントローラパラメータは従って次式により見つかる。

ρに関する重み関数の最小値を得るには以下の方程式を解く必要がある。

上の方程式を反復的に解くために、以下のアルゴリズムを用いることができる。

ここに、γ_ｉは刻みの大きさを定義する正の実スカラーであり、Ｒ_ｉは適当な正定値行列であり、大抵の場合Ｊのヘッシアンのガウス・ニュートン近似である。Ｒ_ｉの選択に関して後でより詳細に述べる。

従って、∂Ｊ／∂ρ（ρ）を計算する必要がある。実験から

およびｕ_ｔ（ρ）は既知である。以下に示すように反復的実験から

および∂ｕ_ｔ／∂ρ（ρ）が得られる。

［数１８］から次式が得られ、

［数１２］を用いて次式が得られる。

［数１５］からわかるように、入力ｘで実験を行なうことにより、量Ｔ_０（ρ）ｘが近似的に得られる。ここに、ｘは任意の信号である。従って

を得るための可能な手順は以下の通りである。
・入力として適当な基準信号ｒにより第１の実験を行なう。その出力は、

である。

ｒ−ｙ^１を入力として第２の実験を行なう。その出力は、

である。

従って

の推定値を以下のように計算することができる。

この推定値は、外乱ｖ^１およびｖ^２によってのみ乱される。

同様の方法で∂ｕ／∂ρ（ρ）を得ることができる。図５から次式がわかる。

また、次式も既知である。

従って、次式が得られる。

先に導入した実験の基準信号は以下の通りである。
・基準信号ｒを用いる第１の実験（実験１４）

・基準信号（ｒ−ｙ^１）を用いる第２の実験（実験１５）

［数３６］を用いて次式が得られる。

これらの実験的に得られた量を用いて、重み関数Ｊの勾配の推定値を計算することが可能である。

最も簡単なケースにおいて、反復的方程式［数２３］においてＲに単位行列（unity matrix）を用いてよい。これにより、負の勾配の方向が得られる。もっと良い方法は、次式で与えられるＪのヘッシアンのガウス・ニュートン近似を用いることである。

この近似は、第２の実験における外乱によりバイアスがかかっているが、生じる全ての量はアルゴリズムから既知である。Ｒのためのヘッシアンのより洗練された非バイアスバージョンは、F. De BruyneおよびL.C.Kammerにより非特許文献１８に紹介されていて、安定性が保証されたアルゴリズムが得られる。

アルゴリズムは、以下の通りである。
１．セットポイントベクトルｒおよびコントローラパラメータρ_ｉを用いて実験を行ない、結果ｙ^１ _ｉおよびｕ^１ _ｉを得る。
２．セットポイントベクトル（ｒ−ｙ^１ _ｉ）およびコントローラパラメータρ_ｉを用いて実験を行ない、結果ｙ^２ _ｉおよびｕ^２ _ｉを得る。
３．（［数１８］を用いて）

、（［数３９］を用いて）ｕ（ρ_ｉ）、（［数３３］を用いて）

、（［数４０］を用いて）

、および（［数４１］を用いて）

を計算する。
４．例えば［数４２］を用いてＲ_ｉを計算する。
５．［数２３］を用いて新規コントローラパラメータｐ_ｉ＋１を計算する。
６．ｉをｉ＋１で置き換えてステップ１から繰り返すかまたは結果が満足ならばアルゴリズムを中止する。

上述のように、重み関数Ｊに時間重み付けを用いることが望ましい場合がある。例えば、セットポイントの変化にできる限り早く追随しなければならず、オーバーシュートがあまり多くない限りこの変化の軌跡は重要でなく、非常に簡単な実装方法はセットポイントに変化が生じた後で指定された期間に重みゼロを適用することである。セットポイント変化がｔ＝０で生じて、マスクの長さ（従って、システムが新規のセットポイントに適応するために与えられる時間）がｔ_０である場合、以下の変更を行なわなければならない。Ｌ_ｙ＝Ｌ_ｕ＝１における重み関数Ｊ（ρ）（４．４）は次式に変わる。

また、

は次式に変わる。

制御信号にマスクを同じように適用することもまた可能である。

実際には、これを行なう最も簡単な方法は、単に

および必要ならばｕ（ρ）をマスクされた時間ウインドウ内でゼロに設定することであり、これにより、任意の時刻で基準信号ｒにおける複数のマスクされたステップを扱うことも容易である。O. Lequin等は非特許文献３で、セットポイントの変化に際して振動を伴わずに遷移時間を最短にするために、マスクされた巨大な時間ウインドウから始めて振動が生じるまで段階的に時間ウインドウを小さくすることを提案している。

ＳＴＭの場合、アルゴリズムに対して若干の変更を行なう必要がある。処理を線形にするために、アルゴリズムはトンネル効果電流およびセットポイント電流の対数に作用する。２個の対数関数６０１、６０７、コントローラ６０３、機械的６０９および電気的測定ノイズ６０５を伴う測定システム６０４、および出力信号６０６を備えたＳＴＭシステムのブロック図を図６に示す。アルゴリズムで用いる量を示す。

別の問題は、セットポイント信号と第１の実験から生じたセットポイント（１５）としての結果とに差異がある場合、これが負の値を含むため、第２の実験が実行できないことである。距離を変化させた際に、ＳＴＭ内の試料と先端の間の電流は常に同符号（バイアス電圧Ｖ_Ｔの符号に依存する）。この問題を回避するために［数２８］の代わりに［数２７］を用いて、ｒとの差異の代わりにｙ^１をセットポイントとして用いて第２の実験を行なうことは可能である。

従って手順は以下の通りである。
・適当な基準信号ｒを入力として第１の実験を行なう。その出力は、

である。
・ｙ^１を入力として第２の実験を行なう、その出力は、

である。
・同じ基準信号ｒを入力として第３の実験を行なう。その出力は、

である。

次式が得られる。

第３の実験は、

における誤差と

における誤差との間の相関が生じて、

にバイアスがかかるのを避けるために必要である。同じことが入力値ｕ^１にも成り立つ。
・基準信号ｒを用いる第１の実験（実験２２）

・基準信号ｙ^１を用いる第２の実験（実験２３）

・基準信号ｒを用いる第３の実験（実験２４）

［数３６］を用いると次式が得られる。

別の点は、ＳＴＭでは制御信号へペナルティを導入する利点が無いことであり、その理由は、これが画像生成チャネルであるためである。別の興味深い選択は、所望の制御信号ｕ^ｄとの差異にペナルティを導入することである。ｕ^ｄを得てこの可能性を利用することに関する詳細について後で述べる。次いで、重み関数は以下のようになる。

ここで

は［数１８］における

と同様に定義される。

これに次式が続いて、

［数４０］を用いることができる。重み関数の導関数は以下のようになる。

アルゴリズムを実装する際に、ラプラス変換で実際的な問題が生じる。信号ｙ^１およびｕ^１は時間領域で得られ、∂ｙ／∂ρ（ρ）および∂ｕ／∂ρ（ρ）の計算ではそれらがラプラス領域に存在することが必要であり、∂Ｊ／∂ρ（ρ）の計算では∂ｙ_ｔ／∂ρ（ρ）および∂ｕ_ｔ／∂ρ（ρ）が再び時間領域に存在することが必要である。問題は、以下の量を計算することである。

ラプラス領域で信号ｙ^ｉおよびｕ^ｉの変換を行なってもよいが、∂ｙ／∂ρ（ρ）および∂ｕ／∂ρ（ρ）の逆変換は高度な数値アルゴリズムを必要とし、その例を非特許文献１５、非特許文献１６および非特許文献１７に示す。より便利な方法は、既知のコントローラだけに依存する量Ｃ’を時間領域に変換して、［数２］に従い結果を畳み込むことである。従って次式が得られる。

実験のために使用したＳＴＭはＰＩコントローラだけを有する。ＰＩコントローラのラプラス変換は、以下の通りである。

パラメータベクトルρ＝（Ｐ，Ｉ）^Ｔを用いて次式が得られ、

従って次式が得られる。

これは導関数が次式により計算できることを意味する。

ＰＩＤおよびＩＤコントローラについて同様の計算を実行することができる。

ＳＴＭを用いて良質の画像を得るために必要なパラメータＰおよびＩの値は表面化学に強く依存する。試料ホルダの表面の位置が変化するため、表面と先端の正確な距離は通常未知である。先端のｚ位置は従って、相対的な測定にのみ用いられる。座標は、図７の先端７０１、表面７０３、および先端と表面の距離７０２より定義される。

先端が位置ｚ、表面が位置ｚ_ｓにある場合、先端と表面の距離ｄは従ってｄ＝ｚ_ｓ−ｚである。このように、ｚが大きいほど電流が増大する。トンネル効果電流について次式が得られる。

対数フィードバックループはＩ_Ｔの誤差ではなくｄの誤差に作用する。次式が得られる。

フィードバックループは従って次式となる。

ｄ_０はループの開始値であるが、短い時間後に積分部分が定常状態誤差を除去するため、重要でない。離散デジタルループの場合、これは次式になる。

ここにｄＴは１制御ステップの時間間隔である。

これをｚに変換して

を定義することにより次式が得られる。

実験で用いたものと同様の共通フィードバックループにおいて、値ＰおよびＩを使用し、ループの動作は試料のκ値に依存する。代わりにＰ’およびＩ’を用いれば、異なる試料に対して同じ値は同様の動作をもたらす筈である。κは通常、Ｉ_Ｔ（ｄ）曲線を得てその対数に直線を当てはめることにより極めて簡単に測定することができ、傾斜は従って−２κとなる。実際にはＩ_Ｔ（ｚ）曲線は往々にして真の指数関数（特に空中で測定する場合）ではなく、κの信頼できる値を得ることは極めて困難である。この場合でもＩ_Ｔ（ｄ）曲線は極めてノイズが多くて不安定であり、ソフトウェアによる平均化は依然として利用できなかった。

現在のステップの範囲内で局所的なκ値を用いて少なくともＩについて同じ立ち上がり時間を与える調整を比較することにより、予測された正規化が機能し得ることが示唆されるが、このセットアップにおける立ち上がり時間に対するＰの影響は、この方法で解析するには小さ過ぎる。また、全体の状況も重要な結果を与えるには充分には安定していない。ＰおよびＩのκへの依存性を実際に解析するためには、２個より多いクリーンな試料を使用して真空状態で実験を適切に実行するのが好適である。次いでセットポイント変化に対して同様の立ち上がり時間を用いてＩに匹敵する値を見つけることができ、Ｐに対してセットポイントが変化する間に同様の定常状態誤差を用いることができる。

測定用に実装されたＩＦＴアルゴリズムは時間的な制約により極めて簡単なものであった。時間重み付けおよび制御信号の最適化に可変長のマスクを適用する可能性が含まれている。周波数重み付けは実装されなかったが、代替例で用いてもよい。

セットポイント変化の後で多くのステップにマスクを適用することにより重み関数の時間重み付けを導入するという発想は本来、処理に特定の軌道を強制的に辿らせることなく、セットポイント変化への迅速な応答を実現しようとするものであった。セットポイント変化の後で小さいウインドウ内の応答に重み付けしないことで、処理がシステムにとって自然な軌道を辿ることができ、これは人工的な軌道よりも速い筈である。極めて速い応答は実際の走査中にＳＴＭ内で振動を生じさせ、遅延された応答、すなわちより遅い調整が必要とされる。最適化を極めて低いＰおよびＩの値、すなわち遅い反応で開始して、所望の遅延の長さを有するマスクを適用することにより、アルゴリズムは所望の速度に達するまでループの速度を上げる筈であり、更に加速しても重み関数を更に減少させることにはならないため、アルゴリズムが停止または中止される筈である。ＳＴＭが抵抗で代替された理想的なケースでは、これはうまく機能する。

抵抗またはグラファイト試料の場合のように外乱が小さい場合、パラメータが最小領域に入った場合に勾配が極めて低くなってそれ以上の進展が必要ないため、アルゴリズムは収束する。外乱がより大きい場合、勾配がランダムに変化するとアルゴリズムの最小領域内での動作をもたらし、従って所望のパラメータから離れてしまう。ＰおよびＩの値が大きい方がより外乱およびノイズをうまく遮断できるならば、大きな最小領域内の異なる領域での収束も可能である。

ＰおよびＩの低い値から開始する場合、アルゴリズムが所望の遅い領域をパスする可能性がある。重み関数の減少が止まったならば、ループの所望の速度に達している。実際には外乱があるため、この位置で容易に最適化を中止することはできず、且つ所望の値への収束が好ましい。このため、より高い外乱レベルでも収束を実現すべく先に説明した基準モデルまたは少なくともマスクではなく所望の軌道を導入してもよい。

ＩＦＴアルゴリズムはテスト信号、電流セットポイントベクトルへのシステムの応答を用いて機能する。この信号の形状は極めて重要であり、慎重に選ばなければならない。マスクを用いて時間重み付け方法を用いるための唯一の形状はステップまたは複数のステップである。複数のステップを用いる利点は、複数の実験に対して本当の平均を用いた場合のようにノイズや振動を平均化することなく、複数のセットポイント変化の平均が得られることである。これは、アルゴリズムがノイズや振動を増幅してはならない（可能ならば減少させるべき）ため必須である。外乱は、個々のケースにおけるステップに対して大きく乱れた応答を生じる場合がある。これは、コントローラパラメータを誤った方向に変化させる恐れがある。

個々の応答は異なっていて、個々のケースで大きく乱れる場合がある。個々の応答にわたり複数のステップを基準信号として用いることは、複数の実験にわたる通常の平均化では行なわれる筈のノイズや振動の除去を行なわずに、信号応答を平均化する。ノイズや振動はアルゴリズムがそれを減らす筈であるため応答内に残留しなければならず、従ってそれに関する情報を必要とする。

セットポイントとしてステップを用いる背景には、ループが表面上の急峻なステップを扱えるならば、より緩やかなステップを全て扱える筈であるとの発想がある。実際の表面ではそのように急峻なステップはあまり一般的でなく、ランプその他の任意のより現実的な形状を用いることを試すべきである。従って、マスキングウインドウの使用はもはや不可能である。時間重み付けの発想を完全に放棄する必要はない。ここではランプからなる基準信号を金の試料について用いた。

最終的にアルゴリズムが重み関数を減らすことに成功しても、応答は極めて振動的である。ランプ信号への通常の応答は遅延した追随となるであろうが、基準信号との差異が全体として減少するため、重み関数は振動により減少する場合がある。この問題はまた、応答に所望の遅れを許す基準モデルを導入することにより解決可能である。

制御信号の最適化の可能性を利用するには、所望の制御信号が分かっていなければならない。簡単な可能性としては、ステップの後でマスクにより定義された特定の遅延を有する基準電流信号のように同じ形状を用いることである。走査中における試料の、従って先端の絶対位置が未知のため、制御信号の振幅は電流信号のようには事前に分かっていない。極めて安定したシステムの場合、ステップ状の基準信号が持続する間の上下電流の制御信号の振幅を事前に測定して基準制御信号として用いることができる。使用したＳＴＭセットアップにおいて制御信号内に恐らくセットアップ時の熱膨張または収縮により生じた一定の遅いドリフトがある。この問題は、当該ドリフトが遅く、周波数４０ｋＨｚでの約１０００個の制御ステップの単一実験の時間尺度、すなわち２５ｍｓでは目立たない。制御信号におけるステップが定常状態の位相を保証するのに充分長く、且つある領域でコントローラパラメータが定常状態に到達するのに充分高い場合、所望の制御信号を得るための平均化が可能である。

実際のＳＴＭを用いた場合のより大きい問題としてランダムな外乱の存在があり、これらはコントローラにより電流信号内で除去されるが、依然として制御信号内に存在する。これらのランダムな外乱は所望の制御信号と制御信号の差異をもたらすが、これは最適化処理をもたらす差異と同程度またはより大きい。従って、この最適化可能性をここで用いることはできないが、他のＳＴＭセットアップでは有用かもしれない。

制御信号が主要な画像生成信号であるという事実から、制御信号の最適化が望ましい。走査中の電流を最小化するフィードバックループの調整が制御信号内に最適な画像をもたらす。シミュレーションから、圧電素子が高い共鳴周波数を有し、従って制御信号に極めて迅速に追随するシステムでは上記が合理的であることが分かるが、共鳴周波数がコントローラ周波数と比較して極めて低い場合（シミュレーションにおいて共鳴周波数がコントローラサンプリング周波数の１／２０より低い場合）、圧電素子の慣性により制御信号内にオーバーシュートが生じて圧電素子を加速または減速させる。この場合、電流の最適化により走査中は電流が最小化されるにもかかわらず制御信号内に乱れた画像が生じる。

フィードバックループが電流内の高周波ノイズに追随しないため、制御信号のノイズが少ない。これは、より低いノイズレベルは信号対ノイズ比を向上させるため、アルゴリズムの利点である。

走査中にフィードバックループを手動で調整した場合、特定の値で振動が始まる以外には、得られた画像上のフィードバックループの比例部分には特段の影響が無い。ＰＩＤコントローラの理論的扱いで分かるように、純然たる積分コントローラに比例部分を追加することで応答速度を上げることができる。ＳＴＭの調整が振動を回避するには極めて遅いため、これらの加速が必要でなく、より単純な積分コントローラで充分なことが合理的と思える。実際、ＳＴＭの代わりに抵抗を用いた実験では、比例部分が極めて高い調整値でループの応答を遅延させる。

ＳＴＭの構造が機械的に軽量であることにより、多くの機械的共鳴を生じる。第１の実験において、それらは電流ノイズに顕著に現れた。これらの共鳴を見つける追加実験が可変周波数の音を用いてこれらを誘起することにより実行された。２．７ｋＨｚ、７．６ｋＨｚ、および１３．２ｋＨｚ付近の顕著な共鳴が見つかり、ほぼ同じ周波数の電流信号内で強い応答が生じた。電流の高周波共鳴を減らし、且つフィードバックループによる増幅を回避すべく、５次周波数ｆ_０を有する１次ローパスフィルタがプリアンプに装着された。ｆ_０は原子分解能で３ｎｍ／ｍｓのオーダーの所望の最大走査速度ｖから推定された。その結果、ノイズは約２の１に減少し、電流の周波数スペクトルに機械的共鳴が生じず、恐らくは４．５ｋＨｚで電子回路から生じる振動が顕著である。

大幅に減衰が不足しているシステムの場合、ＰＩＤ並びにＰＩコントローラの最適化シミュレーションは無効化されたＰ部分を有する状態に収束する。これは恐らく、比例コントローラが誤差に比例する制御信号に応答して圧電素子の動作における共鳴振動を増幅するという事実に起因する。誤差がゼロの場合、従って圧電素子が正しい位置にある場合、比例コントローラは反応せず、しかし圧電素子は振動の間に最大速度を有し、反対方向での誤差を避けるために減速されなければならない。換言すれば、圧電素子と制御信号の速度の間にπ／２の位相シフトが存在して、不要な共鳴振動の増幅が生じる。振動を最大効率で減衰させる好適な位相シフトπは、ノイズレベルが理想的にゼロまたは充分に小さければ、コントローラの導関数部分により理論的に実現される。圧電素子は、共鳴周波数が７ｋＨｚおよび減衰率が０．１（減衰率１は臨界減衰を意味する）である減衰調和発振器によりモデル化される。純然たる積分コントローラは、振動の近くまで極めて高速に調整された。比例部分は振動を増やすが、ループの速度は上げない。微分部分は若干のノイズがあるものの、首尾よく振動を減少させる。完全ＰＩＤコントローラにおいて、このシミュレーションでは実際にＩコントローラからの改善が見られない。

しかし、適当な制御パラメータを決定するために同じ種類のＩＦＴ処理を用いてＰＩＤコントローラまたはＩＤコントローラを利用できる点を理解されたい。

ＰＩＤコントローラのラプラス変換は、次式の通りである。

パラメータベクトルρ＝（Ｐ，I，Ｄ）^Ｔを用いて次式が得られる。

従って、次式のより導関数信号を計算することができる。

複体代数（complex algebra）および以下の定義を用いて、

逆変換は次式で与えられる。

複体代数が使用できない場合、βの定義が次式に変わる。

且つ、ケース１で正弦が双曲正弦に変わり、ケース２では正弦のままである。

同様に、ＩＤコントローラのラプラス変換は次式となる。

パラメータベクトルρ＝（Ｉ，Ｄ）^Ｔを用いて次式が得られる。

従って導関数信号は次式により計算することができる。

周波数フィルタを用いる可能性を考慮できることを理解されたい。線形および対数フィードバックループの解析により、対数ループが有利であることが示された。

「含んでいる」という単語が、列挙したもの以外の要素またはステップの存在を除外せず、ある要素の前に置かれた冠詞「ａ」または「ａｎ」が、当該要素が複数存在することを除外しない点に注意されたい。更に、いかなる参照符号も請求項の範囲を限定せず、本発明の少なくとも一部がハードウェアおよびソフトウェアの両方により実装可能であり、いくつかの「手段」、「装置」および「素子」がハードウェアの同一部材により代表されることにも注意されたい。

上で言及および説明した実施形態は例として与えたものに過ぎず、本発明を限定するものではない。以下に記載する特許請求項で権利請求する本発明の範囲内にある他の解決策、用途、目的、および機能は当業者には明らかな筈である。

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Claims

走査型プローブ顕微鏡法、すなわちＳＰＭシステム（９００）であって、
− ＳＰＭ測定装置（９０３）と、
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）と通信状態にあり、且つ、当該測定装置を制御して試料に対するプローブの位置を制御する、制御装置（９０１、９０２）とを備えて成り、
前記制御装置が、
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）で動作するＰＩ調整アルゴリズムにおけるセットポイントとして適当な基準信号（ｒ）を入力として第１のテストを実行するステップと；
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）から、少なくとも１個のセンサ信号を受信することにより前記第１のテストから結果（ｙ１）を受信するステップと；
− 前記第１のテストの結果（ｙ１）を、セットポイントとして第２のテストへの入力として用いるステップと；
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）から、少なくとも１個のセンサ信号を受信することにより前記第２のテストから結果（ｙ２）を受信するステップと；
− 前記第１および第２のテストからの結果を用いて正定値行列を決定するステップと；
− 前記決定された行列を用いて、前記プローブの位置を制御するＰＩ調整アルゴリズム用に新規の制御パラメータを計算するステップと
を有する自動反復フィードバック調整プロセスを動作させるべく構成されている、システム。
前記行列を決定するステップが、ユニタリ行列形式の近似を用いるステップを含む、請求項１に記載のシステム。
前記フィードバックアルゴリズムが、テストポイントとして前記基準信号を用いて第３のテストを実行するステップを更に含む、請求項１に記載のシステム。
前記アルゴリズムがペナルティ関数を更に含む、請求項１に記載のシステム。
センサ信号が事前調整されている、請求項１に記載のシステム。
前記フィードバック調整プロセスが、適当なフィードバックパラメータの決定を受信するまで反復的に繰り返される、請求項１に記載のシステム。
ＳＰＭ測定装置（９０３）と、当該ＳＰＭ測定装置（９０３）を制御する制御装置（９０１、９０２）とを備えた走査型プローブ顕微鏡法、すなわちＳＰＭシステム（９００）において試料に対するプローブ位置を制御するための制御パラメータを決定する方法であって、
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）で動作してプローブの位置を制御する、ＰＩ調整アルゴリズムにおけるセットポイントとして適当な基準信号（ｒ）を入力として第１のテストを実行するステップと；
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）から少なくとも１個のセンサ信号を受信することにより前記第１のテストから結果（ｙ１）を受信するステップと；
− セットポイントとして第１のテストからの結果（ｙ１）を第２のテストへの入力として用いるステップと；
− 前記ＳＰＭ測定装置（９０３）から少なくとも１個のセンサ信号を受信することにより前記第２のテストから結果（ｙ２）を受信するステップと；
− 前記第１及び第２のテストからの結果を用いて、前記ＳＰＭシステムの動作に対する重み付け関数と正定値行列とを定義するステップと；
− 前記重み付け関数を最小化するステップと；
− 前記正定値行列を用いて、前記制御パラメータに関して前記重み付け関数の勾配を決定するステップと；
− 前記勾配を用いて、前記ＰＩ調整アルゴリズムで用いる新規の制御パラメータを決定して、前記プローブの位置を制御するステップと
を有する方法。
前記調整アルゴリズムが、比例、積分および微分調整アルゴリズムのうち少なくとも２個の組合せを用いる、請求項７に記載の方法。
請求項７に記載の方法を実行するための命令セットを含み、ＳＰＭ測定装置（９０３）と、当該ＳＰＭ測定装置（９０３）を制御する制御装置（９０１、９０２）とを備えた走査型プローブ顕微鏡法、すなわちＳＰＭシステム（９００）において試料に対するプローブの位置を制御するコンピュータプログラム。
請求項７に記載の方法を動作させるための制御装置（９０１、９０２）。