JP4553601B2 - 可視化プログラム - Google Patents

Description

構造解析より得られた複雑な立体構造物の変形挙動や地震時における動的挙動に関する数値データを映像化し、視覚に基づいてその特性を把握できるようにすることは有効である。そこで本発明は、ＣＧを利用して大変形した立体はり要素の変形形状を一般的な有限要素解析プログラムの入力情報と、出力情報である節点変位、回転角のみを用いて精度良く表現しうる汎用的な可視化プログラムを提供する。
本発明では、各種構造の描画に適用し、部材当たりの要素節点出力データが少ない場合においても精度良くはり部材の変形形状を描画することを可能にするものである。また、はり要素の変形が小さい場合において変形形状を明示するために、はり理論の変形の仮定を満足する形に変位を拡大する方法を提案する。

各種外力作用下における構造物の終局挙動特性を構造解析により評価する場合、解析結果は通常、数値として得られる。しかしながら、数値だけから複雑な立体構造物の全体挙動や地震時における動的な終局挙動特性を検討することは非常に困難である。また、昨今のアカウンタビリティの観点からも、構造物の安全性をその挙動に基づきわかりやすく説明する必要性は高くなっている。これらの場合、数値として出力される構造解析結果をコンピュータグラフィックス（ＣＧ）を利用して質の高い映像を制作し、視覚に基づいて直接的に構造物の挙動を把握できるようにすることは有効な方法であると考えられる。

ＣＧの利用は近年のコンピュータ技術の進歩に伴い、景観シミュレーションとして欠かせないものとなっているが、構造解析による土木構造物の変形挙動の可視化への利用は必ずしも十分でないのが現状である。実務設計では、はり要素を用いた構造解析を行うことが最も多いが、一般的な有限要素解析プログラムのポストプロセッサでは、はり要素は図１２に示すように、節点間を結ぶ直線状の線材として表示される。また、三次元ＣＧの有用性を示す一例としては、図１３に示すように、三次元有限要素解析プログラムのポストプロセッサと景観シミュレーション等で利用される３Ｄモデリングソフト（以後、「３ＤＣＧソフト」と表示する）（非特許文献１）を用いてアーチ橋が表示される。
Shade ユーザガイド，Expression Tools，2001

しかしながら、一般的な有限要素解析プログラムのポストプロセッサでは、はり要素が図１２に示すように節点間を結ぶ直線状の線材として表示されても、構造部材の断面形状や要素内の正確な変形は表現されない。このため、平面構造の伸び変形や曲げ変形については、構造軸線の変形形状からある程度は変形挙動を把握することが可能であるが、立体構造物の場合には二軸曲げやねじりによる変形を表すことができないという問題点があった。また、図１３に３ＤＣＧソフトを用いて表示したアーチ橋と図１２に示すはり要素を線材で表示しアーチ橋を比較すると、投影法の違いに関して、通常の有限要素解析プログラムのポストプロセッサでは平行投影法を用いるため遠近感を表現することができず、視覚的な表現力に欠けてしまっていた。
一方、３ＤＣＧソフトは透視投影法を用いるため、遠近感を表現することが可能であり、また視点や光源の位置を任意に設定することができるため、空間上の物体を現実的に表示するものとして適している。ただ、はり要素を用いた解析では構造部材が線材としてモデル化されるため、３ＤＣＧソフトを用いるには線材の節点における変形の情報から部材の立体画像を構築する必要があった。

また、可視化手法としては、変形した要素の軸線方向の輪郭線を直線で近似するのが最も容易であるが、スムーズな変形形状を表すためには多くの節点変位・回転角データが必要であり、解析で分割される有限要素では不十分な場合もあった。さらに、局部的な変形形状のズームを行う場合には、直線補間した形状が目立ってしまっていた。
変形形状を強調する場合には変位を拡大する必要がある。微小変位解析で通常用いられる方法として、はり要素節点の並進変位成分と回転成分に拡大倍率を乗ずる方法があるが、はり理論の場合、軸線の並進変位成分と回転角とは完全には独立ではないので、回転成分に並進変位成分と同一の拡大倍率を乗ずるとはりにおける変形の仮定（断面形状不変の仮定、Bernoulli-Euler の仮定）を満足しない不自然な変形状態になる。さらに、有限回転の場合、回転角成分はベクトル量ではないため、回転角成分に拡大倍率を乗ずることで拡大回転成分を求めることは正しくない。このような回転角の拡大方法も、拡大後の回転成分が微小とみなせないようなときには、はり理論における変形の仮定を満足しない変形形状を生ずる原因になる。

そこで、本発明は、拡大倍率を乗じた場合にでも不自然な変形状態にならないようにＣＧを用いて表現するための可視化プログラムを提供することを目的とする。

本発明の可視化プログラムは、演算手段を用いて、はり要素を用いた有限要素解析の入出力データを基に、変形後の構造物について、その要素の両端節点における断面上の輪郭線と軸方向の輪郭線とを求めさせ、表示手段を用いて、はり要素の前記輪郭線と表面とを表示させることにより構造物の３次元変形形状をＣＧによって表現させるためのものであって、前記断面上の輪郭線は、はり理論の基本仮定である断面不変の仮定に基づき、前記要素両端節点での変位と回転角により求めた断面の各頂点を線分を用いて結ぶことにより求めさせ、前記軸線方向の輪郭線は、軸方向両端における位置ベクトルと接線ベクトルを利用した３次ベジェ曲線を用いて求めさせるものであり、前記３次ベジェ曲線で表すのに必要な要素両端断面各頂点の位置ベクトルとこれら頂点位置での軸方向輪郭線の接線ベクトルは、前記有限要素解析の出力データである要素両端断面の節点位置での変位と回転角とから、当該位置ベクトルについては、はり理論の断面不変の仮定に基づいて求めさせ、当該接線ベクトルについては、両端節点での変位と回転角、ねじれ率より変形後の要素内任意点での位置ベクトルを補間し、軸線方向に微分して求めさせるようにしたものであることを特徴とする。
また、本発明の可視化プログラムは、変形前の節点部の軸方向接線が一致する隣接要素について、当該隣接要素間の共有節点部における軸方向輪郭線の接線ベクトルを平均化し、その平均接線を隣接する各要素の共有節点部の接線として用いることで隣接要素間における軸方向の輪郭線の接線を一致させるようにしたものであることを特徴とする。
また、本発明の可視化プログラムは、軸線上の並進変位成分に対して拡大倍率k₁を乗ずることにより並進変位の拡大を行い、拡大後の軸線のたわみ形状から２つのたわみ角成分を求め、残りの自由度のねじれに関する回転成分についてはk₁とは別の拡大倍率k₂を乗じて拡大を行うようにしたものであることを特徴とする。

よって、本発明によれば、立体はり要素で表わされる対象物についてスムーズな変形形状を表すことができ、特に拡大倍率を乗じた場合にでも不自然な変形状態にならないようにＣＧを用いて表現する可視化プログラムを提供することが可能になる。また、一般的なはり要素による有限要素解析プログラムの入力情報と出力情報である要素節点変位、回転角のみを用いて大変形する対象物の汎用的な可視化が可能になる。

次に、本発明に係る可視化プログラムの一実施形態について図面を参照しながら、以下に説明する。
本可視化プログラムを実行するシステムは、図１５に示すように、中央処理装置１１と、主記憶装置１２と、補助記憶装置１３と、入力装置１４と、表示装置１５とを少なくとも備え、それら装置がバス１６で接続されている。表示装置１５は、高精細画像を画面に表示するビットマップディスプレイである。入力装置１４は、画面の位置を入力するマウスなどのポインティングディバイスや、文字を入力するキーボードなどの装置である。そして、補助記憶装置１３は、読書き可能で不揮発性の記憶装置であって、構造解析より得られた複雑な立体構造物の変形挙動や地震時における動的挙動に関する数値データを映像化するＣＧを用いた可視化プログラムとが格納されている。

以下に、この可視化プログラムにおける可視化方法について説明するが、特に本実施形態では、補間曲線の一例として３次のベジェ曲線を用いて変形形状を表現する方法を提示し、その有効性を示す。
なお、図面上に表され、また数式中に表された記号のうち、例えば∧（ハット記号）が付されているものについては、以下に説明する文章中において便宜的にそのハット記号を除いて記載している。そこで、図面と数式に使用された記号のうち明細書本文において変更しているものについて図１４にその対比表を示す。

（１）「節点データによる要素内変形の補間」
はり要素による有限要素解析における入出力データを用いて要素の輪郭線と表面を表示し、実際の構造物と同様な３次元変形形状を再現することを考える。
図１に示すように、変形後の要素両端節点における断面上の輪郭線は、はり理論の基本仮定である断面不変の仮定に基づいて表現するため、節点の変位と回転角より求めた変形後の断面の各頂点を線分を用いて結ぶことにより容易に求まる。一方、軸線方向の輪郭線については変形形状をスムーズに表すため、変形後の輪郭線両端における位置ベクトルと接線ベクトルを利用した３次ベジェ曲線を用いることとする。これによると要素両端断面ａ，ｂの頂点を結ぶベジェ曲線上の位置ベクトルｒ^j は次のようにあらわされる。

ここに、ｔについてはｌ_j をベジェ曲線で表した断面頂点ｊの要素軸方向輪郭線の変形前の長さｓを断面ａの頂点ｊより輪郭線に沿って測った任意点の変形前の長さとしてｔ＝ｓ／ｌ_j と定義する。また、ｒ^j ₁，ｒ^j ₂は、要素両端断面ａ，ｂの頂点ｊの接線ベクトル、ｇ^j _z1，ｇ^j _z2は、要素両端断面ａ，ｂでの頂点ｊの軸方向輪郭線の接線ベクトルをあらわす。なお、要素端点ａ，ｂを示す番号ｉを１，２とし、また断面頂点を示す番号ｊは１，２…ｎで、ｎは断面の頂点数である。
以上より、要素断面の全頂点の軸方向輪郭線をベジェ曲線で表すには、要素両端断面各頂点の位置ベクトルとともに、これら頂点位置での軸方向輪郭線の接線ベクトルが既知でなければならない。

通常の立体はり要素を用いた解析ソフトでの出力データとして既知であるのは要素両端断面の節点位置での変位と回転角のみであり、これらから、両端断面頂点の位置ベクトルと接線ベクトルを求める必要がある。位置ベクトルｒ^j ₁，ｒ^j ₂については、はりの断面不変の仮定より節点変位と回転角より容易に求めることができるが、接線ベクトルｇ^j _z1 ，ｇ^j _z2 については大変形をする要素についてこれを精度よく求めるにはやや複雑な手続きが必要となる。次にこれらについて説明する。なお、ねじれ変形が無い場合には、頂点位置での軸方向輪郭線の接線ベクトルはすべて要素軸線の接線ベクトルと一致するので、その誘導は容易である。

（２）「はり要素両端の断面上の頂点における軸方向輪郭線の接線ベクトルの誘導」
ここでは、変形後のはり要素の軸方向輪郭線を決定するための要素両断面での頂点ｊの接線ベクトルｇ^j _z1，ｇ^j _z2の導出を行う。実務で用いられるはり要素としてはSt．Venantのねじれを考慮したBernoulli-Euler 直線はり要素が最も多いが、ここではより一般的なそりねじれも考慮しうる薄肉はり要素を対象とする。はり要素による通常の解析ソフトでは利用できる情報として要素節点位置での変位と回転角に加え、そりねじれを考慮できる場合はねじれ率のデータしかないので、断面全頂点での軸方向接線ベクトルを求めるためには、両端節点での変位と回転角、ねじれ率より要素変形形状を補間し接線ベクトルを求めることになる。すなわち、要素両端節点間の軸線の変形形状を補間し、断面上の任意頂点での軸方向輪郭線の変形形状は薄肉はりの変形に関する仮定を用いて求める。変位・回転角が小さい場合は、有限要素の変位関数と同様に低次のべき関数で要素両端節点間の軸線の変形形状を補間すれば十分であるが、大変形をする場合には剛体変位成分が大きいので、その精度が低下する。ここでは、Co-rotational 座標系を導入することで剛体変位を除去した上で、変位・回転成分を３次関数と１次関数で補間する。

直線はり要素ａ，ｂを記述するために図２に示すように二つの座標系、すなわち変形前のはり要素に対して定義される直交直線座標系（ｘ，ｙ，ｚ）と要素の剛体変位とともに移動するCo-rotational 座標系（ｘ´，ｙ´，ｚ´）を用いる。ここに、（ｘ，ｙ，ｚ）座標は、はり要素の物体点を定義するためのものであり、原点は変形前の要素節点ａとし、ｚ軸を節点ｂの方向に選ぶ。なお、節点のはり断面上の位置は、せん断変形が生じない薄肉開断面部分での板厚中心線上に選ぶ。開断面部分がなく閉断面のみの場合は、板厚が零ではりの力学性状に影響のない仮想開断面部分を設ける。せん断中心はこれらの条件を満足しているのでこの点に節点を選ぶこともできる。（ｘ，ｙ，ｚ）座標系の基底ベクトルを（ｉ_x，ｉ_y，ｉ_z） とする。

Co-rotational 座標系（ｘ´，ｙ´，ｚ´）の原点は変形後の要素節点ａとし、基底ベクトルは（ｘ，ｙ，ｚ）座標系の節点ａでの変形後の基底ベクトルを単位化した（ｉ_x01，ｉ_y01，ｉ_z01） と一致するように選ぶ。この場合、節点はせん断変形がない位置に選ぶので（ｉ_x01，ｉ_y01，ｉ_z01） は直交する。Co-rotational 座標系（ｘ´，ｙ´，ｚ´）では、はり要素の節点ａにおける回転が除去されているため、はり要素の（ｘ´，ｙ´，ｚ´）に関する回転は微小回転として取り扱うことができる。
（ｉ_x01，ｉ_y01，ｉ_z01） と基底ベクトル（ｉ_x，ｉ_y，ｉ_z） との関係は、２つの系の直交変換行列［Ｒ₁ ］を用いて次の関係が成立する。

ここに、直交変換行列［Ｒ₁ ］は、はり節点ａの回転角より算定することができる。
なお、ABAQUS（ＨＫＳ社製の汎用非線形有限要素解析プログラム）等のように節点回転角が回転ベクトルを用いて出力される場合には、後記の「有限回転の表現方法」で説明するようになる。

図２を参考に変形前のはり要素軸線上の位置点（０，０，ｚ）での変形後の位置ベクトルｒ₀ は変形後の節点ａの位置ベクトルｒ₀₁を用いて次のように表される。

ここに、

ここで、（ｄ_x01，ｄ_y01，ｄ_z01） は要素節点ａの並進変位成分、（ｄ´_x01，ｄ´_y01，ｄ´_z01） はCo-rotational 座標系の（０，０，ｚ）点より計ったはり要素の並進成分で要素の剛体変位を除去した微小変位量に対応する。
式（数３）より変形前（ｘ，ｙ，ｚ）にあった任意点の変形後の位置ベクトルｒは次のように求まる。

ここに、（ｉ_x0，ｉ_y0，ｉ_z0）は、はり要素の位置点（０，０，ｚ）における変形後の基底ベクトルを単位化したものである。また、右辺第３項は反り変形を考慮する場合に導入される項で、ω＝ω（ｘ，ｙ）は反り関数である。dθ´_z0/dzは要素両端節点を結んだはり軸線のねじれ率である。はり要素の回転はCo-rotational 座標系に関して微小回転となるので、次の関係がある。

ここに、（θ´_x0，θ´_y0，θ´_z0）は要素の剛体回転を除去したはり要素軸線のCo-rotational 座標系（ｘ´，ｙ´，ｚ´）まわりの微小回転成分である。
式（数６）に式（数３）、式（数７）を代入し、さらに式（数２）を考慮すると、変形後のはり要素任意点における位置ベクトルｒは（ｘ，ｙ，ｚ）座標系の基底ベクトル（ｉ_x，ｉ_y，ｉ_z） を用いて以下のように表される。

ここでは、反り変形を考慮することによって生じる微小回転に関する２次以上の項は無視している。

式（数８）よりはり要素断面の頂点ｊの変形後における軸方向輪郭線の単位接線ベクトルｉ^j _zは頂点ｊの位置を（ｘ_j，ｙ_j，ｚ）とすれば、

ここに

ここに、ω_j ＝ω（ｘ_j，ｙ_j）、また上記のｇ^j _zb，ｇ^j _zt，ｇ^j _zw は変形後の基底ベクトルｇ^j _zを曲げ変形による項、ねじれ変形による項および反り変形による項とに分解したものである。そりを無視する場合、ｇ^j _zwは零となる。
Co-rotational 座標系での変位ならびに回転成分（ｄ´_x0，ｄ´_y0，ｄ´_z0） ，（θ´_x0，θ´_y0，θ´_z0）は直交直線座標系（ｘ，ｙ，ｚ）での変位回転成分により次のように表される。

ここに［Ｒ］は

一般の骨組解析のソフトでは要素節点変位（ｄ_x0i，ｄ_yoi，ｄ_z0i） と節点回転量［Ｒ_i］ （ｉ＝１，２）のみ出力されるので、式（数１１）、式（数１２）より式（数１０）で微分するための要素内での並進変位成分（ｄ´_x0，ｄ´_y0，ｄ´_z0）と回転成分（θ´_x0，θ´_y0，θ´_z0）の関数形を知ることはできない。したがって、ここでは上記の関数形を節点ａ，ｂでの変位・回転量を用いて補間することを考える。すなわち式（数１１）、式（数１２）より節点ｂにおける（ｄ´_x02，ｄ´_y02，ｄ´_z02） 、（θ´_x02，θ´_y02，θ´_z02） を求め、さらに、（ｄ´_x01，ｄ´_y01，ｄ´_z01） ＝（θ´_x01，θ´_y01，θ´_z01） ＝（０，０，０）であることを考慮して、それぞれ、以下のように補間する。すなわち、変位・回転量が剛体変位成分を除いた微小量であるので３次と１次関数により補間する。ただし、θ´_z0に関しては、反り変形を無視するSt.Venant のねじりの場合には１次の補間関数を用いるが、反り変形を考慮した薄肉はり要素の場合にはθ´_z0のｚに関する１階微分であるねじれ率が節点ａ，ｂでの自由度として与えられるため、３次の補間関数を用いることとする。

補間関数Φ₂，Φ₃，Φ₄とΨ₂は次のように表される。

ここに、ｌは変形前の要素軸線の長さである。

式（数１４）、式（数１５）を式（数１０）に用い、これに節点ａおよび節点ｂの断面頂点ｊの位置座標（ｘ_j，ｙ_j，０）、（ｘ_j，ｙ_j，ｌ）を代入すれば、式（数１）における要素両端の断面頂点の接線ベクトルｇ_z1，ｇ_z2が求まる。
要素分割が極端に粗い場合にはCo-rotational 座標系下の変位成分が微小とならず、各節点で輪郭線の接線ベクトルの不連続性が目立つ場合がある。これらの問題は要素分割を細かくとることにより解消される。しかしながら、構造解析の要素分割をＣＧによる描画のために細分割するのは不経済であり、大きな要素でも滑らかに描画しうるように検討すべきである。たとえば、実務設計等においては部材単位の大きな要素分割で弾性解析等を行った場合や、変形した構造物の一部を局所的に表示する場合などがある。

したがって、ここでは可能な限り少ない要素数で精度よく描画する方法として、各要素の接線ベクトルを式（数１０）により計算した後に隣接する要素間の共有節点部における接線ベクトルを平均化する方法をとる。このようにすると、隣接要素間の輪郭線の接線が一致し、要素間において滑らかで自然な輪郭線を描画することが可能となる。ただし、反りねじりを無視するSt.Venant のねじり場合については、節点に集中ねじれモーメントが作用すると、はり理論の変形特性により節点で接線ベクトルは不連続になるので、平均化するのは式（数１０）の変形後の基底ベクトルのうち曲げ変形によるｇ^j _zbのみでｇ^j _ztは平均化しない。

（３）「変形の拡大方法」
一般的な外力によって土木構造物に発生する変位は構造物の規模に較べて小さく、変形形状を視認することが困難な場合が多い。従って、構造物の変形形状をより明確に表示するためには変位の拡大を行う必要がある。
Bernoulli-Euler はり要素を用いる場合、簡易的にはり要素節点の並進変位成分と回転成分に等しい拡大倍率を乗ずる方法が通常用いられることが多い。この場合、式（数１３）で定義される拡大前の節点の回転を表す行列［Ｒ_i］ （ｉ＝１，２）に対応する拡大後の節点の回転を表す行列［Ｒ´_i］は［Ｒ_i］の回転成分が微小量である場合、拡大倍率k を用いて次式のようにあらわすことができる。

反り変形を無視する場合、この方法によって求まる変位拡大後における節点上の断面頂点の位置ベクトルは、その点の変位ベクトルを拡大して変位拡大後の位置ベクトルを求めたものに等しい。
しかしながら厳密に考えると、はり理論の場合、軸線の並進変位成分と回転角とは完全には独立ではないので、回転成分に並進変位成分と同一の拡大倍率を乗ずることはできない。さらに、有限回転の場合、回転成分はベクトル量ではないため、回転成分に拡大倍率を乗ずることで拡大回転成分を求めることができない。よって拡大後の回転成分が微小とみなせない場合には、はり理論における変形の仮定（断面形状不変の仮定、Bernoulli-Euler の仮定）にそわない不自然な形になる。

以上の問題を回避するため、ここでははり理論の仮定に従う形で変位の拡大を考える。はじめに軸線上の並進変位成分に対して拡大倍率k₁を乗ずることにより、並進変位の拡大を行い、拡大後の軸線のたわみ形状から２つのたわみ角成分を求め、残りの自由度のねじれに関する回転成分についてはk₁とは別の拡大倍率k₂を乗じて拡大を行う方法をとる。このようにすることではり理論の仮定と整合した変形の拡大を行うことができる。
変位拡大後の節点の回転を図３に示すように、拡大後の並進変位により規定される軸線のたわみ形状より求まるたわみ角に関する回転（回転Ａ：回転軸ｐ”，回転角θ^* ）と軸線上の並進変位とは独立なねじれに関する回転（回転Ｂ：回転軸ｉ^* _z0i，回転角γ^* ）の２度の回転に分離して考える。ここでθ^* をたわみ角、γ^* をねじれ角と呼ぶ。以上２度の回転により変位拡大後の節点の回転をつぎのようにあらわす。

ここに、（ｉ^* _x0i，ｉ^* _y0i，ｉ^* _z0i）（ｉ＝１，２）は変位拡大後の要素両端節点における単位化した基底ベクトル、［Ｒ^* _i］は変位拡大後の節点の回転をあらわす直交変換行列、［Ｒ^A _i］，［Ｒ^B _i］はそれぞれ変位拡大後のたわみに関する回転Ａとねじれに関する回転Ｂを表す直交変換行列である。［Ｒ^* _i］を、（２）での［Ｒ_i］ に代えて［Ｒ^* _i］を用いると変形を拡大したはり要素の輪郭線の接線ベクトルが求められる。以下に直交変換行列［Ｒ^A _i］，［Ｒ^B _i］の誘導方法を示す。

要素軸線上の位置点（０，０，ｚ）における変位拡大後の位置ベクトルｒ^* ₀は、変形前の位置ベクトルｒ₀ および式（数３）で表される変形後の位置ベクトルｒ′₀と並進変位の拡大倍率k₁を用いて以下のように表される。

式（数１８）より軸線方向の単位接線ベクトルｉ^* _z0 は以下のように求まる。

ここに、

である。

式（数２０）に式（数１４）、式（数１５）を用い、これに節点ａおよび節点ｂの位置座標ｚ＝０、ｚ＝ｌを代入すれば、並進変位拡大後の要素両端節点位置における軸方向単位接線ベクトルｉ^* _z0i（ｉ＝１，２）が求まる。これより図３（ａ）における回転軸ｐ”と回転角θ^* が決定し、式（数１７）の［Ｒ^A _i］が求まる。
図３（ｂ）に示す回転軸をｉ^* _z0iとするねじれに関する回転Ｂについては、ねじれ角γに対して拡大倍率k₂を乗じた回転量（γ^*=k₂γ）を与えることとする。ねじれ角の拡大倍率k₂は任意に与えることが可能であるが、並進変位に与える拡大と同程度となるような自然な拡大を考える場合には、各要素拡大倍率k₂として拡大前後のたわみ角の比（k₂＝θ^*/θ）を与えると比較的自然な拡大をすることができる。
なお、拡大前のたわみ角θ、ねじれ角γは図３に示す節点の回転の拡大の場合と同様に、変形後の節点の回転をたわみに関する回転とねじれに関する２回の回転に分離して考えることにより求まる。

ここでは、Bernoulli-Euler はり要素を対象とした変形の拡大方法を説明したが、反りを考慮する薄肉はり要素の場合は、反り変形による変位成分の拡大も行う必要がある。すなわち、拡大後の位置ベクトルおよび接線ベクトルを求める場合、節点の回転を表す式（数１７）により算定される拡大後の［Ｒ^* _i］と拡大後の反り変位算定のために必要な拡大後のねじれ率dθ^* _z0/dz を式（数８）、式（数１０）に用いる必要がある。要素両端のdθ^* _z0/dz （ｉ＝１，２）は拡大前後のCo-rotational 座標系下のねじれ角の比が要素内で一定と仮定することにより、

のように求まる。ここでk₃としては、k₃＝θ^*´_z02/θ´_z02を用いる。このような拡大方法により自然な変形形状で変位拡大後の反り変形を表示できる。

（４）「各種骨組構造の変形形状の描画例による検証」
4-1） 「他の描画手法との比較」
ここでは本手法の有効性を検証するためにはり部材の輪郭線の描画に用いられる可能性がある次の２種類の方法と比較する。
（手法[１]）
要素の輪郭線に３次ベジェ曲線を用いず、要素両端における断面の各頂点をつなぐ直線として軸方向の輪郭線を表示する方法。
（手法[２]）
要素の輪郭線には３次ベジェ曲線を用いるがこれを決定する各頂点の要素両断面位置における接線ベクトルとして近似的に要素両端節点位置における軸線の接線ベクトルを用いる方法。
手法[２]では以下に示す要素両端節点位置における軸線の接線ベクトルｉ_zi

を対応する両端断面の全頂点の接線ベクトルとして近似的に用いるものである。この方法によると、曲げ変形のみの場合は正しく描画できるが、ねじれ変形が生じると正確な描画ができない。

本手法を含めた３種類の描画方法を用いて、立体はり要素の変形形状を表示した例を図４にまとめる。ここでは反りを無視した閉断面（箱型断面）の要素にＡ．曲げ変形、Ｂ．ねじれ変形、およびＣ．曲げ変形とねじれ変形が同時に生ずる場合について描画を行っている。正解の欄に示すＡ，Ｂ，Ｃの変形図は十分な要素分割（１００要素）を用い、ここで提案した手法を用いて描画したもので、これらの変形図を各変形状態の比較基準とする。その他の各手法の欄に示した変形形状は比較的粗い４要素分割で描画したものである。なお、輪郭線を直線近似する手法[１]でも十分な要素分割をすれば基準の変形図に収束する。
図４より曲げ変形に着目すると[２]の手法と提案した手法を用いて変形状態を表示した結果、（Ａ．２．）および（Ａ．３．）は要素数が少ないにも関わらず、かなり精度よく曲げ変形を表すことができることがわかる。曲げ変形の場合は断面任意点で軸線の接線方向はすべて一致するため[２]の手法を用いることによる問題点は生じない。一方、輪郭線を直線で表現する場合（Ａ．１．）は節点上で不連続となり、他の手法と較べ描画精度が低下することがわかる。

つぎに、ねじれ変形に着目すると、ここで提案した手法（Ｂ．３．）と[１]の輪郭線を直線であらわす手法（Ｂ．１．）が精度よくねじれ変形を表している。これらに対して、[２]の手法では（Ｂ．２．）要素両端節点位置における軸線の接線ベクトルｉ_ziを対応する両端断面の全頂点の接線ベクトルとして近似的に用いるものであり、不正確な変形状態になる。
以上のことから総合的に判断すると、本手法によれば曲げ変形とねじれ変形の両方に対応することが可能であり、最も自然な形で立体はり要素の変形形状を表現することができると考えられる。
（Ｃ．１．）、（Ｃ．２．）、（Ｃ．３．）に曲げとねじり変形が同時に生ずる状態として比較を行っているが、これらの図からも提案する手法が３種類の描画手法の中で最も精度よくはりの変形形状を表していることが確認できる。

4-2） 「リングの畳み込み」
３次元空間における複雑な大変形挙動の描画例としてリングの畳み込み解析により得られた変形形状を、その変形の進展に従って表示した例を図５に示す。前項と同様に、描画に用いた手法として、ここで提案した方法の他に、[１]要素輪郭線を直線で表現した場合、[２]断面各頂点の接線ベクトルとして断面節点位置における接線ベクトルを近似的に用いる方法を用いて変形形状を描画し、精度を比較する。正解の欄に示す変形図は十分な要素数（１００要素）を用い、提案する手法を用いて描画したものでこれらの図を比較基準とする。手法[１]，[２]および本手法に示す変形図はすべて２０要素で表示したものである。このように変形形状が最終形状に至るまでに複雑に変化する場合は多数の静止画像を連続再生し、アニメーションを作成することで変形挙動を容易に把握することができる。

静止画像の表示における各手法の精度に関して比較を行うと、手法[１]では要素輪郭線が不連続となっており、他の手法に較べて精度が劣っているのに対して手法[２]と本手法では少ない要素数で精度よく描画できることがわかる。ここではねじれ変形の影響が比較的小さいために手法[２]を用いた場合もその影響がほとんどあらわれずに精度よく描画できたものと考えられる。

4-3） 「ねじれモーメントが作用する棒の曲げ座屈」
ねじれおよび曲げ変形が大きい場合として、Green-Hill問題として知られるねじれモーメントが作用する棒の曲げ座屈挙動の解析結果の描画例を図６に示す。正解の欄に示す変形図は十分な要素数（１００要素）を用い、提案する手法により描画したものでこれらの図を比較基準とする。手法[１]，[２]および本手法に示す変形図はすべて２０要素で表示したものである。また、ここでは最終変形形状の局所的な拡大図を最下段に表示している。これらの図より手法[１]では変形が進むと棒の表面にしわが生じたようになり描画精度が低下し、また[２]では変形が大きくなる以前よりすでに描画精度が悪いことがわかる。

一方、本手法によると正解とほとんど差がないことがわかる。拡大図より、手法[１]を用いた場合は不連続な接線が強調表示されるため描画精度が低下することがわかる。また手法[２]を用いた場合にはねじれにより変形した軸方向輪郭線の接線ベクトルが考慮されていないため、局所的な拡大表示を行う際には不自然な要素輪郭線が強調される問題が生ずる。これらに対して、本手法を用いて描画した場合は拡大表示を行った場合においても少ない要素数で精度よく変形形状を表示できることがわかる。

4-4） 「反り変形を考慮したI型断面はり部材の横倒れ座屈の表示例」
Ｉ型断面片持ちはり部材の横倒れ座屈の解析結果を図７に示す。ここではねじれ率を節点の自由度として持つ反りを考慮した開断面はり要素を用いており、変形形状の描画には式（数６）における反りの項を考慮している。図中には反り変形を分かりやすく表示するために視点Ａから見た拡大図を表示している。この図より本手法によって上下のフランジ部分に生ずる反り変形が表現されていることが確認できる。

4-5） 「変形形状の拡大例」
前述した（３）の「変形の拡大方法」により変位を拡大し、変形形状を強調表示した例を図８に示す。ここでは、長方形箱型断面を有するはり部材に２軸曲げとねじれ変形が生じている状態について、変形の進展に従って４つの段階に分け、各変形段階において変位を拡大表示した例を示している。２列目には節点の並進変位成分と回転角を拡大する通常用いられる簡易的な方法による描画例を示しており、３、４列目には本手法を用いて拡大表示した例を示している。本手法では並進変位を５倍（k₁＝５．０）、ねじれ角を５倍（k₂＝５．０）とした場合と、並進変位の拡大倍率を５倍 （k₁＝５．０） とし、各節点のねじれ角の拡大倍率k₂には並進変位の拡大の結果として生ずる各節点のたわみ角の拡大比（k₂＝θ^*/θ）を用いた場合との２通りの拡大倍率の与え方による表示例を示している。

これらより、節点の並進変位成分と回転角を通常用いられる方法で拡大した場合には、拡大後の変形が微小な範囲では拡大表示したはり要素に不自然な変形形状は目立たないが、拡大後の変形形状が大きくなると、断面の大きさや形状が大きく変化し、はり理論における変形の仮定（断面形状不変の仮定、Bernoulli-Euler の仮定）にそわない形状となることがわかる。また、このような場合には回転量が微小でないため、近似的に用いている式（数１６）の行列では有限回転を表すことができず、要素輪郭線の接線の方向が不自然になる。一方、本手法を用いた場合には、いずれの図もはり理論の変形の仮定にそうような自然な変形形状で表示できることがわかる。以上の例より、本手法によると拡大後のいずれの変形形状もはり理論の仮定に従うスムーズな形に表示できていることから妥当性が確認される。

4-6） 「アーチ橋の地震時応答解析結果の表示」
本手法を実構造物の構造解析結果へ適用した例として上路式アーチ橋の地震時応答解析による変形挙動を表示したものを図９及び図１０に示す。図９では地震波を橋軸方向に入力した場合、図１０では橋軸直角方向に入力した場合のある時刻における変形図をそれぞれ表示している。アーチ橋の変形形状をより明確に表示するために、ここでは並進変位を１０倍（k₁＝１０．０）に拡大し、ねじれ角の拡大倍率としては前述したように、各要素の拡大前後のたわみ角の拡大倍率と等しい値（k₂＝θ^*/θ）を与えている。

また、それぞれの図中には視点位置をＲＣ床版の右端（視点Ａ）、アーチクラウンの下部（視点Ｂ）、右端基部（視点Ｃ）の３箇所に設け、ＲＣ床版の左端に設定した注視点に視点方向を向けて描画した図も表示している。このように構造物の全体の変形挙動のみでなく、任意の視点と注視点を設定することにより、あらよる方向から見た画像を再現できる。
さらに、4-2）、4-3）で例を挙げたようにこのような静止画像を時間間隔ごとに作成し、アニメーションとして連続再生することにより構造物の動的挙動を容易に把握することが可能となる。特に、床板上からの視点を用いると橋上にいる場合の地震時の揺れを視覚的に体験することができる。

本実施形態では、一般的な立体はり要素による有限要素解析プログラムの入力情報と出力情報である節点変位、回転角のみを用いて大変形するはり要素の断面形状や要素内の変形を立体的に表現しうる汎用的な可視化手法を提示した。
本実施形態の手法では、節点変位や回転角のみから節点上の各断面頂点の位置ベクトルと接線ベクトルを求め、要素の輪郭線に３次のベジェ曲線を用いるため、解析に用いる有限要素の分割数が少ない場合においても精度良くはり要素の変形形状を描画することが可能である。
さらに、構造物の変形形状を明確に表示するために必要な変形形状の拡大方法を示した。ここでは、拡大されたはり要素の変形形状がはり理論の仮定（断面形状不変の仮定、Bernoulli-Euler の仮定）を満足しうるように工夫した。
本実施形態の手法の精度と妥当性はいくつかの立体骨組構造の大変形状態を描画し他の手法と比較することにより確認した。実務への応用例として上路式鋼製アーチ橋の動的解析における変形挙動の描画例を示し、本手法の有効性を示した。ここでは、各時刻における静止画像を用いて動画を作成することにより、複雑な立体構造物の動的挙動を把握することが有用であることについても言及した。

また、ここに有限回転の表現方法について書き加えておく。
はり要素の大変形形状を3次元空間に描画するためには有限回転を取り扱う必要がある。剛体の３次元空間での有限変位は並進変位と回転変位に分けられる。このうち並進変位については３次元空間においてもベクトルの線形和として表現できるため問題はないが、有限回転は並進変位のようにベクトルの線形和として合成を行うことはできない。３次元空間での有限回転をあらわす方法として各種方法が提示されているが、ABAQUSなどの非線形汎用プログラムでは回転ベクトルを用い有限回転を表すことが多いので、ここでは回転ベクトルを用いた直交変換行列［Ｒ］の誘導方法について説明する。

図１１に示すように、あるベクトルｒとその回転後のベクトルｒ^* の関係をｑ＝（ｑｘ，ｑｙ，ｑｚ）^T を回転軸とする有限な回転角α＝|ｑ|の回転をあらわすベクトルとして定義する。ベクトルｑの方向に単位ベクトルｅ^* ₃＝（φ_x，φ_y，φ_z）^T＝（ｑ_x/|ｑ|，ｑ_y/|ｑ|，ｑ_z/|ｑ|）^T をとり、それと右手直交系をなすようにｅ^* ₁，ｅ^* ₂を定めると、節点に固定された任意のベクトルｒおよびその回転後のベクトルｒ^* は

となる。従って、次式定義される回転行列［Ｒ］

は以下のように与えられる。

ここに、［Ｅ］は単位行列である。また、回転行列［Ｒ´］の各成分は次のようになる。

ここに、直交変換行列［Ｒ］は式（数２５）、式（数２６）の回転行列［Ｒ´］と次の関係が成立する。
［Ｒ］＝［Ｒ´］^T

なお、本発明に係るＣＧを用いた可視化手法は、前記実施形態に限定されることなく、その趣旨を逸脱しない範囲で様々な変更が可能である。

変形後のはり要素の輪郭線に用いるベジェ曲線を示した図である。 要素固定座標系とCo-rotational 座標系を用いてはり要素を示した図である。 節点の回転の拡大方法を示した図である。 ３種類の描画方法を用いて立体はり要素の変形形状を表示した図である。 ３次元空間における複雑な大変形挙動の描画例としてリングの畳み込み解析により得られた変形形状を、その変形の進展に従って表示した図である。 ねじれモーメントが作用する棒の曲げ座屈挙動の解析結果の描画例を示した図である。 Ｉ型断面片持ちはり部材の横倒れ座屈の解析結果を示した図である。 長方形箱型断面を有するはり部材に２軸曲げとねじれ変形が生じている状態について、変形の進展に従って４つの段階に分け、各変形段階において変位を拡大表示した図である。 地震波を橋軸方向に入力した場合について、上路式アーチ橋の地震時応答解析による変形挙動を表示した図である。 地震波を橋軸直角方向に入力した場合について、上路式アーチ橋の地震時応答解析による変形挙動を表示した図である。 回転ベクトルについて示した図である。 有限要素解析プログラムのポストプロセッサにより表示されたアーチ橋を示した図である。 ＣＧモデリングソフトにより表示されたアーチ橋を示した図である。 図面や数式に記載された記号とそれに対応する明細書本文中に記載された当該記号との対比表である。 可視化手法を実行するシステムを示したブロック図である。

符号の説明

１１ 中央処理装置
１２ 主記憶装置
１３ 補助記憶装置
１４ 入力装置
１５ 表示装置
１６ バス

Claims (3)

1. 演算手段を用いて、はり要素を用いた有限要素解析の入出力データを基に、変形後の構造物について、その要素の両端節点における断面上の輪郭線と軸方向の輪郭線とを求めさせ、表示手段を用いて、はり要素の前記輪郭線と表面とを表示させることにより構造物の３次元変形形状をＣＧによって表現させるための可視化プログラムであって、
   前記断面上の輪郭線は、はり理論の基本仮定である断面不変の仮定に基づき、前記要素両端節点での変位と回転角により求めた断面の各頂点を線分を用いて結ぶことにより求めさせ、前記軸線方向の輪郭線は、軸方向両端における位置ベクトルと接線ベクトルを利用した３次ベジェ曲線を用いて求めさせるものであり、
   前記３次ベジェ曲線で表すのに必要な要素両端断面各頂点の位置ベクトルとこれら頂点位置での軸方向輪郭線の接線ベクトルは、
   前記有限要素解析の出力データである要素両端断面の節点位置での変位と回転角とから、当該位置ベクトルについては、はり理論の断面不変の仮定に基づいて求めさせ、当該接線ベクトルについては、両端節点での変位と回転角、ねじれ率より変形後の要素内任意点での位置ベクトルを補間し、軸線方向に微分して求めさせるようにしたものであることを特徴とする可視化プログラム。
2. 請求項１に記載する可視化プログラムにおいて、
   変形前の節点部の軸方向接線が一致する隣接要素について、当該隣接要素間の共有節点部における軸方向輪郭線の接線ベクトルを平均化し、その平均接線を隣接する各要素の共有節点部の接線として用いることで隣接要素間における軸方向の輪郭線の接線を一致させるようにしたものであることを特徴とする可視化プログラム。
3. 請求項１に記載する可視化プログラムにおいて、
   軸線上の並進変位成分に対して拡大倍率k₁を乗ずることにより並進変位の拡大を行い、拡大後の軸線のたわみ形状から２つのたわみ角成分を求め、残りの自由度のねじれに関する回転成分についてはk₁とは別の拡大倍率k₂を乗じて拡大を行うようにしたものであることを特徴とする可視化プログラム。

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