JP4134029B2

JP4134029B2 - リードソロモン符号の軟判定復号方法

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Publication number: JP4134029B2
Application number: JP2004504393A
Authority: JP
Inventors: シュテファンミュラー; アレクサンデルクラフトヒェンコ; マーテンカブツ
Original assignee: Thomson Licensing SAS
Current assignee: Thomson Licensing SAS
Priority date: 2002-05-08
Filing date: 2003-05-06
Publication date: 2008-08-13
Anticipated expiration: 2023-05-06
Also published as: EP1502356A2; DE60309857T2; KR100970223B1; US7353449B2; JP2005525040A; CN1653699A; CN1653699B; AU2003239834A1; KR20040104702A; EP1502356B1; WO2003096546A2; DE60309857D1; AU2003239834A8; US20050166126A1; WO2003096546A3

Description

本発明は、誤り検出／訂正符号に関する。より詳細には、リードソロモン復号器で使用されるシステム及び方法に関する。

一般的に用いられる誤り訂正手法としては、リードソロモン誤り訂正符号がある。リードソロモン符号の概要及びその応用については、例えば非特許文献１や、非特許文献２に記載されている。

特許文献１は、非除多項式と除多項式との除算の剰余の次数が所定の条件を満足するまで、前記剰余で除多項式を繰り返し除算するユークリッド互助回路の形式によるリードソロモン復号器を開示している。

ユークリッド互助回路は、非除多項式と除多項式を、それぞれ保存するレジスタグループと、非除多項式を除多項式で除算することにより生ずる剰余を保存するためのフィードバックループと、レジスタの内容をシフトするシフト器と、非除多項式の係数と、除多項式の係数を交換する交換器とを有する。

復号器は、受信符号語からシンドロームを計算するシンドローム計算器と、受信符号語に同期した消失位置フラグから消失位置データを生成する消失位置生成器と、修正シンドロームを生成する修正シンドローム生成器と、前記消失位置データから消失位置多項式を生成する消失位置多項式生成器と、誤り位置多項式及び誤り評価多項式を求めるユークリッド互助回路と、誤り位置及び誤りの値を得るチェン探索器と、受信符号語の誤りを訂正する訂正処理器とを有する。修正シンドローム生成器と消失位置多項式生成器は、ユークリッド互助回路と共用となっている。

リードソロモン復号器を実現する他のアプローチは、それぞれ、特許文献２から特許文献７に開示されている。

米国特許第５５１７５０９号明細書米国特許第５９９１９１１号明細書米国特許第６０３２２８３号明細書米国特許第６３０４９９４Ｂ１号明細書米国特許第５５３７４２６号明細書欧州特許出願公開第０８２１４９３Ａ１号明細書欧州特許出願公開第０９４２４２１Ａ１号明細書 Stephen B.Wicker, Vijay K. Bhargava, "Reed-Solomon Codes and Their Applications", IEEE Press, 1994年 Bernard Sklar, "Digital Communications, Fundamentals and Applications", Second Edition, Prentice Hall PTR, 2001年

一般的に、修正シンドローム多項式の計算は、シンドロームと消失多項式の積の計算により行われる。修正シンドローム多項式を得るためのこの計算には、追加のサイクルと計算時間が必要となる。

従って、本発明は、修正シンドローム多項式の計算に付加的なサイクルを必要としないリードソロモン符号の軟判定復号方法を提供することを目的とする。

本発明の目的は、独立請求項の特徴により解決される。本発明の好ましい形態は、従属請求項に記載される。

本発明は、シンドローム及び消失多項式と同様に、修正シンドローム多項式の、その場での計算を並行して行うことにより、リードソロモン符号の軟判定復号の計算時間を最小とすることを可能としている。つまり、本発明は、シンドロームと消失多項式の計算が完了する前に、修正シンドローム多項式の計算を実行することを可能としている。

本発明は、特に、入力シンボルを得たその場で、修正シンドローム多項式を計算することを可能とする点で有利である。よって、多項式の拡張として一般的に参照される、別の計算ステップを省略することができる。

シンボル受信後、シンドロームと消失多項式の積の計算を行うことなく、直接、修正シンドロームを更新することができる更なる利点がある。これは、全体の計算時間とハードウェアへの要求を削減する結果となる。

本発明の一般的概念は、修正シンドロームを計算するために必要なサイクル数を削減することである。修正シンドローム多項式を得るために、消失多項式とシンドローム多項式の乗算を行う必要がある。修正シンドローム多項式を得るための、従来からある直列アルゴリズムの複雑さは、
c=r(l+1)-l(l+1)/2
である。ここでrはＲＳ符号語のパリティシンボル数であり、lは符号語内の消失数である。従来からある直列―並列アルゴリズムの複雑さは、
c=1+1
である。本発明の一般概念は、修正シンドロームを、その場で計算することである。よって、本方法は、修正シンドロームの計算に付加的なサイクルを必要とせず、計算パワーと時間を削減する。

軟判定復号において、受信器は、
２e+f<d_min （１）
である限り訂正が可能である。ここで、eは誤り数であり、fは消失数であり、d_minはハミング距離である。

エラー計算のために以下のステップが行われる。
１．シンドローム多項式を計算する。

２．消失多項式を計算する。

３．修正シンドローム多項式を
T(x)=Γ(x)S(x) mod x^M （４）
により作成する。
４．鍵となる方程式
Λ(x)T(x)=Ω(x) mod x^M （５）
を、バーレカンプ・マッシイ法又はユークリッド法により解く。
５．フォーニー多項式
ψ(x)=Λ(x)Γ(x) （６）
を計算する。
６．誤り及び消失値を、フォーニー方程式に基づき計算する。

式（２）及び（３）から明らかなように、それらは、データシンボルv_N-1,…,v₁,v₀の入力と共に、その場で計算ができる。

以下に上記ステップ１、つまり式（２）についてのより詳しい説明を行う。

エラーベクトル

を多項式
e(x)=e₀+e₁x+…+e_N-1x^N-1, e_i∈GF(2⁸) （７）
で表現する。復号器の入力での受信多項式は、
v(x)=c(x)+e(x)=v₀＋v₁x+…+v_N-1x^N-1, v_i∈GF(2⁸) （８）
である。ここで、多項式の係数は、受信ベクトル

の要素である。符号語多項式c(x)は生成多項式g(x)で割り切ることができ、また、i=0,1,…,M-1に対してg(αⁱ)=0であるため、生成多項式の根、つまり、α⁰,α¹,…,α^M-1により、

を求めて多項式v(x)を評価する。
上記は、最後の式の集合が、誤りパターン成分を伴うことのみを意味し、符号語の誤りを示してはいない。上記は、シンドロームと呼ばれ、S_j、j=0,1,…,M-1は、

である。上記シンドロームは、以下の形式のシンドローム多項式を形成するために使用される。

式（１１）の、その場での計算は、係数S_i,i=0,1,…,M-1を、繰り返し更新することにより達成できる。各シンボルクロックjで、新しいシンボルv_nが到着し、位置nのべき乗αⁿが計算され、係数は以下の通り更新される。
Ｓ_i,j=Ｓ_i,j-1+v_nαⁱⁿ、i=0,1,…M-1、ここでS_i,-1=0 （１２）

図１に、その場でシンドローム計算を実行するハードウェアを示す。新しい符号列の開始時に、レジスタ１は、第１シンボルの位置のべき乗で初期化される。レジスタ２は０で初期化される。新しいシンボルが到着するたびに、レジスタ１及び２は動作し、シンドロームが式（１２）のとおりに更新され、レジスタ１のべき乗は１減らされる。

以下にステップ２、つまり式（３）についてのより詳細な説明を行う。

p個の消失が、位置j₀,j₁,…j_p-1で生じたものとすると、消失多項式は、以下の方法で計算される。

上記式の、その場での計算は、多項式を繰り返し更新することで達成できる。各ｊにおいて、新しい消失v_nが生じたとき、消失位置nのべき乗αⁿが計算され、多項式が以下のように更新される。
Γ_j(x)=Γ_j-1(x)*(1-αⁿx)=(Γ_0,j-1+Γ_1,j-1x+…+Γ_p,j-1x^p)*(1-αⁿx) （１４）
式（１４）の最後の多項式を検査すると、係数は、

と記述できる。

式（１５）による、消失多項式の、その場での計算を実行するハードウェアを図２に示す。入力シンボルが消失である場合、図のスイッチが切り替えられ、回路は式（１５）に従った計算を実行する。

シンボルが消失ではない場合は、スイッチは、図の位置のままである。スイッチは、組合せ論理で実現される。よって、余分なクロックディレイの原因とはならない。回路は、シンボル情報と共に消失信号に直接接続される。新しい符号列の開始時において、レジスタ１は、第１シンボルの位置のべき乗、例えば、ＤＶＤのインナー符号に対してはα¹⁸¹で初期化される。

レジスタ２は、０で初期化される。新しいシンボルが到着するたびに、レジスタ１及びレジスタ２が動作し、シンドロームが式（１５）に従い更新され、レジスタ１のべき乗項は１減らされる。

修正シンドローム多項式は、式（２）のシンドローム多項式を、式（３）の消失多項式で乗算することにより
T(x)=S(x)Γ(x) mod x^M
=(S₀+S₁x+S₂ｘ²+…+S_M-1x^M-1)(Γ₀+Γ₁x+Γ₂x²+…+Γ_px^p) mod x^M （１６）
と得られる。結果は、２つの多項式の巡回畳み込み

となる。

本発明によると、式（２）の代わりに式（１７）を使用し、

又はよりよい表現として

が求められる。

この式は、前の消失を考慮して、多項式の係数をどのように更新すべきかを指示しているものと解釈できる。現時点がステップj-1で、レジスタT_i、i=0,1,…,M-1が正しい修正シンドロームを保持しているものとすると、ステップjで新たなデータシンボルを受信して、単に修正シンドローム多項式を式（１９）に従って更新すればよい。

以上の情報に基づき、修正シンドロームの、その場での計算を行う、アルゴリズムＡについて説明する。入力シンボルが消失と示されているか否かにより、アルゴリズムＡは、それぞれ、２又は１の連続する計算を必要とする。しかし、修正シンドロームの、その場での計算のための、代替のアルゴリズムＢも使用可能である。アルゴリズムＢは、２つの代替ブランチから成り、入力シンボルが消失と示されているか否かにより、そのうちの１つが選択され実行され、各ブランチは、問題となっている場合に必要な総ての計算を１のシステムクロックで実行する。

アルゴリズムＡ
式（１９）を用いることで、シンドロームの計算を行うことなしに、修正シンドロームを直接計算することが可能となる。図３は、その場での計算の第一実施形態を示すフローチャートである。フローチャートは、２つの補助的な項T_*(x)及びΓ_*(x)を計算する式（２０）と、入力シンボルv_nが消失である場合に、補助的な項より反復結果T_j(x)及びΓ_j(x)を計算する式（２１）とからなる。各シンボルクロックで、新しいシンボルを得たときに、修正シンドロームは、式（２０）に基づき更新される。各計算ステップで得られた修正シンドロームは、最新の受信シンボルまでにおいては正確である。

このアルゴリズムにおいて、システムクロックレートは、少なくともシンボルクロックレートの２倍である必要がある。最後のシンボルの計算後にアルゴリズムは終了し、正しい修正シンドロームが得られる。

消失が起こった場合は、式（２０）による更新と、式（２１）で示されているように多項式を根で乗ずるために、２システムクロックが必要となる。消失の場合に、式（２０）及び(２１)の順序は交換可能である。その場合、ストリームの第1シンボルが消失した場合は、レジスタＴ０は１に予めロードしておく必要があり、他の場合は、式（２１）の前半部分は、０にしておく必要があることに注意する。

式（２０）の計算は、式（１９）で示した巡回畳み込みから直接導ける。よって、以下に、消失シンボルを得た際のアルゴリズムについて記載する。現時点をステップn-1とすると、式（１９）の線形畳み込みである、以下に示す修正シンドロームがメモリに得られる。

そして、消失多項式は、
Γ_n-1(x)=1+Γ_1,n-1x+Γ_2,n-1x²+…+Γ_p,n-1x^p （２３）
である。

次に、ステップnで、消失シンボルv_nが到着したとすると、式（２０）の計算は、

となり、式（２１）が

で計算される。

巡回畳み込みにより、以下の式が導かれ、

上式は、

と書き換えることができる。
実際に、これは、式（１９）による、シンドロームと消失多項式の線形畳み込みである。

修正シンドロームの、その場での計算を行うアルゴリズムＡの実施形態を、図４に示す。スイッチが図示された位置あれば、式（２０）による計算を実行する。スイッチが切り替えられると、式（２１）による計算を実行する。

スイッチは、組合せ論理で実現され、よって、余分なクロック遅延をもたらさない。図１及び図２の実施形態と比較して、セル又はレジスタ毎に加算器を１つ付加することのみが必要であることがわかる。これは、付加的な多項式の乗算は必要でないため、ハードウェアの削減ができることを意味する。

新しい符号例の始まりにおいて、図４のレジスタ１は、例えばＤＶＤのインナー符号の場合はα¹⁸¹といった、第１シンボルの位置のべき乗で初期化される。レジスタ２及び３は、0で初期化される。シンボルクロックの立ち上がり毎に、新しいシンボルが到着し、べき乗を１減らすように、レジスタ１が更新される。その後、シンボルクロックの立ち下りでレジスタ２が動作し、式（２０）によりシンドロームを更新する。

到着シンボルが消失と示されている場合、スイッチが切り替えられ、レジスタ２及びレジスタ３が再度動作し、式（２１）を計算する。符号列の最終シンボルの終わりで、最後の計算が行われた後、レジスタ２は完全な符号列の修正シンドロームを保持し、レジスタ３は、消失多項式を保持する。

図５に示す、図３の方法のタイミング動作例について以下に説明を行う。

ＤＶＤのインナー符号のように、Ｍ＝１０で、次数が下がる順番であるものとする。シンボルの次数は、１８１で始まり０で終わる。レジスタにはT(x)=0で、Γ_-1(x)=１が予め設定されている。以下のデータ列を受信したものとする。
v₁₈₁=α⁶, v^* ₁₈₀=α⁹, v₁₇₉=α¹⁰, v^* ₁₇₈=α¹², v₁₇₇=α¹⁵, v₁₇₆=…,…, v₀＝α^…
ここで、v^* _iは、消失と示されているシンボルを表す。図５に示すように、シンボルクロックの立ち上がりで、新しいシンボルv_nを、消失情報と共に得て、図４に示す回路のレジスタ１はシンボルの正確なべき乗項αⁿに更新される。シンボルクロックの立ち上がり後で、図５において１と示されている第１のシステムクロックで、図４に示す回路のレジスタ２は、図示された位置で動作し、式（２０）が計算される。

消失信号が真であれば、図４のスイッチは切り替えられ、回路のレジスタ２及びレジスタ３は、図５において２と示されている、システムクロックの次の立ち上がりで再度動作し、式（２１）の計算を行う。第１８２番目のシンボルでの最後の計算後、完全な符号語の正しい修正シンドロームを得る。現在の例で、第５番目の入力シンボルまでの中間結果の詳細を以下に説明する。

従来の方法
まず第１に、以下に説明する本発明のアルゴリズムの結果の検証のため、従来の方法で中間の修正シンドロームを計算する。式（２）により、データストリームのシンドローム
S(x)=(α⁶+α⁹+α¹⁰+α¹²+α¹⁵)+(α⁶α¹⁸¹+α⁹α¹⁸⁰+α¹⁰α¹⁷⁹+α¹²α¹⁷⁸+α¹⁵α¹⁷⁷)x+…+(α⁶α^9*181+α⁹α^9*180+α¹⁰α^9*179+α¹²α^9*178+α¹⁵α^9*177)x⁹
=α¹⁶⁹+α⁷⁹x+α¹¹³x²+α³⁷x³+α¹⁹⁴x⁴+α¹¹²x⁵+α²³⁹x⁶+α¹⁶⁸x⁷+α¹⁷⁴x⁸+α²⁴⁰x⁹ （２８）
Γ(x)=(1-α¹⁸⁰x) (1-α¹⁷⁸x)=1+α²²⁸x+α¹⁰³x² （２９）
が得られる。

２つの多項式を乗算することで、現在のシンボルまでの修正シンドローム多項式が、
T(x)=S(x)Γ(x) mod x^M =α¹⁶⁹+(α⁷⁹+α¹⁶⁹α²²⁸)x+(α¹¹³+α⁷⁹α²²⁸+α¹⁶⁹α¹⁰³)x²+…+(α²⁴⁰+α¹⁷⁴α²²⁸+α¹⁶⁸α¹⁰³)x⁹
=α¹⁶⁹+α¹³⁴x+α¹¹⁹x²+α⁶⁸x³+α¹²⁸x⁴+α¹⁷²x⁵+α²¹x⁶+α⁴⁰x⁷+α²¹⁷x⁸+α¹⁵²x⁹ （３０）
として得られる。

その場で計算するアルゴリズム
計算は、入力シンボル順で行われる。各ステップの後において、修正シンドロームの結果は、最新の受信シンボルまでにおいて正確である。

１．データシンボルv₁₈₁=α⁶を得て、１番目のシステムクロック１で、式（２０）を計算する。
T₀(x)=α⁶(1+α¹⁸¹x+α^2*181x²+…+α^9*181x⁹)
=α⁶+α¹⁸⁷x+α¹¹³x²+α³⁹x³+α²²⁰x⁴+α¹⁴⁶x⁵+α⁷²x⁶+²⁵³x⁷+α¹⁷⁹x⁸+α¹⁰⁵x⁹ （３１）
Γ₀=1 （３２）

２．消失シンボルv^* ₁₈₀=α⁹を得て、１番目のシステムクロック１で式（２０）を計算する。
T_*(x)=(α⁶+α⁹)+(α¹⁸⁷+α⁹α¹⁸⁰)x+(α¹¹³+α⁹α^2*180)x²+…+(α¹⁰⁵+α⁹α^9*180)x⁹
=α²²⁹+α²³⁷x+α¹³⁸x²+0*x³+α²⁴⁴x⁴+α¹⁹⁴x⁵+α³⁷x⁶+α⁹⁴x⁷+α⁵⁷x⁸+α³⁵x⁹ （３３）
２番目のシステムクロック２で、式（２１）を計算する。
T₁(x)=α²²⁹+(α²³⁷+α¹⁸⁰α²²⁹)x+(α¹³⁸+α¹⁸⁰α²³⁷)x²+…+(α³⁵+α¹⁸⁰α⁵⁷)x⁹
=α²²⁹+α²¹¹x+α¹³⁷x²+α⁶³x³+α²⁴⁴x⁴+α¹⁷⁰x⁵+α⁹⁶x⁶+α²²x⁷+α²⁰³x⁸+α¹²⁹x⁹ （３４）
及び
Γ₁(x)=1+α¹⁸⁰x （３５）

３．データシンボルv₁₇₉=α¹⁰を得て、１番目のシステムクロック１で、方程式（２０）を計算する。
T₂(x)=(α²²⁹+α¹⁰)+(α²¹¹+α¹⁰(α¹⁷⁹+α¹⁸⁰))x+(α¹³⁷+α¹⁰(α^2*179+α¹⁷⁹α¹⁸⁰))x²+…+(α¹²⁹+α¹⁰(α^9*179+α^8*179α¹⁸⁰))x⁹
=α¹⁹⁹+α¹⁷⁹x+α¹⁶²x²+α⁸⁷x³+α²⁰⁹x⁴+α⁴⁸x⁵+α²⁰¹x⁶+¹³³x⁷+α¹⁸²x⁸+α²¹⁵x⁹ （３６）
Γ₂(x)=1+α¹⁸⁰x （３７）

４．消失シンボルv^* ₁₇₈=α¹²を得て、１番目のシステムクロック１で式（２０）を計算する。
T_*(x)=(α¹⁹⁹+α¹²)+(α¹⁷⁹+α¹²(α¹⁷⁸+α¹⁸⁰))x+(α¹⁶²+α¹²(α^2*178+α¹⁷⁸α¹⁸⁰))x²+…+(α²¹⁵+α¹²(α^9*178+α^8*178α¹⁸⁰))x⁹
=α²¹⁶+α¹¹⁰x+α¹⁸⁷x²+α¹¹¹x³+α¹⁷x⁴+α¹⁴⁶x⁵+α⁶⁴x⁶+³⁷x⁷+α¹⁰⁸x⁸+α³⁹x⁹ （３８）
２番目のシステムクロック２で、方程式（２１）を計算する。
T₃(x)=α²¹⁶+(α¹¹⁰+α¹⁷⁸α²¹⁶)x+(α¹⁸⁷+α¹⁷⁸α¹¹⁰)x²+…+(α³⁹+α¹⁷⁸α¹⁰⁸)x⁹
=α²¹⁶+α³⁶x+α²³⁴x²+α¹³⁵x³+α⁸⁵x⁴+α⁸⁸x⁵+α²⁰²x⁶+α²⁴⁴x⁷+α¹⁶⁶x⁸+α²³¹x⁹ （３９）
及び
Γ₃(x)=1+(α¹⁸⁰+α¹⁷⁸)x+α¹⁸⁰α¹⁷⁸x²=1+α²²⁸x+α¹⁰³x² （４０）

５．データシンボルv₁₇₇=α¹⁵を得て、１番目のシステムクロック１で、式（２０）を計算する。
T₄(x)=(α²¹⁶+α¹⁵)+(α³⁶+α¹⁵(α¹⁷⁷+α²²⁸))x+(α²³⁴+α¹⁵(α^2*177+α¹⁷⁷α²²⁸+α¹⁰³))x²+…+(α²³¹+α¹⁵(α^9*177+α^8*177α²²⁸+α^7*177α¹⁰³))x⁹
=α¹⁶⁹+α¹³⁴x+α¹¹⁹x²+α⁶⁸x³+α¹²⁸x⁴+α¹⁷²x⁵+α²¹x⁶+α⁴⁰x⁷+α²¹⁷x⁸+α¹⁵²x⁹ （４１）
Γ₄(x)=1+(α¹⁸⁰+α¹⁷⁸)x+α¹⁸⁰α¹⁷⁸x²=1+α²²⁸x+α¹⁰³x² （４２）

式（４２）と（２９）を、及び式（４１）と（３０）の比較で、アルゴリズムを検証する。この結果は、最終的な修正シンドロームの結果ではなく、単に５つの受信シンボルまでの修正シンドロームの中間結果である。完全な符号列の修正シンドロームは、第１８２番目の計算後に得られる。

アルゴリズムＢ
以下に、修正シンドローム多項式の計算のための代替アルゴリズムＢの詳細について説明する。
式（２１）に式（２０）を代入することで、

より良くは

が求められ、消失シンボルを得たときの、２番目のシステムクロックでの計算を回避できる。

よって式は、
T_n(x)=T_n-1(x)(1-αⁿx)+v_nΓ_n-1(x), ここでΓ_-1(x)=1 （４５）
と書くことができる。

これで、入力シンボル毎に１システムクロックのみを必要とする、第２のアルゴリズムＢが表現できる。

図６に示すフローチャートは、その場での計算の第２実施形態を示す。１つの繰り返し結果T_j(x)及びΓ_j(x)を計算するために、フローチャートは、入力シンボルv_nが消失である場合に使用される式（４６）と、他の場合に使用される式（４７）とからなる。

各シンボルクロックで、入力シンボルを得たとき、修正シンドロームが更新される。各計算ステップで、結果として得られる修正シンドロームは、最新の受信シンボルまでにおいて正確である。アルゴリズムＢでは、システムクロックレートは、シンボルクロックレートと同じであり、速い計算が行われる。最後のシンボル後にアルゴリズムは終了し、正しい修正シンドロームが得られる。

図７は、修正シンドロームの、その場での計算の第２実施形態である。スイッチが図示する位置にある場合、回路は、式（４７）に従った計算を行う。スイッチが切り替えられた場合、回路は、式（４６）に従った計算を実現する。

スイッチは、組合せ論理で実現され、よって、余分なクロック遅延をもたらさない。図４の構成と比較すると、セル又はレジスタ毎に、乗算器及び加算器を１つ付加することが必要である。ハードウェアの構成が増加することによる遅延の増加が、計算時間を削減する。

新しい符号例の始まりにおいて、図７のレジスタ１は、例えばＤＶＤのインナー符号の場合はα¹⁸¹といった、第１シンボルの位置のべき乗で初期化される。レジスタ２及び３は、０で初期化される。スイッチは、消失信号に直接接続されている。総てのレジスタ１、２及び３は、シンボルクロックの立ち上がりで動作し、消失信号に応じて、式（４６）又は（４７）によりシンドロームを更新する。

次のシンボルのため、クロックにより、べき乗を１減らすようにレジスタ１が更新される。符号列の最終シンボルの終わりで、最後の計算が行われた後、レジスタ２は完全な符号列の修正シンドロームを保持し、レジスタ３は、消失多項式を保持する。

タイミング動作及びアルゴリズム例について以下に説明を行う。ＤＶＤのインナー符号のように、Ｍ＝１０で、次数が下がる順番であるものとする。シンボルの次数は、１８１で始まり０で終わる。レジスタにはT(x)=0で、Γ_-1(x)=１が予め設定されている。以下のデータ列を受信したものとする。
v₁₈₁=α⁶, v^* ₁₈₀=α⁹, v₁₇₉=α¹⁰, v^* ₁₇₈=α¹², v₁₇₇=α¹⁵, v₁₇₆=…,…, v₀＝α^…
ここで、v^* _iは、消失と示されているシンボルを表す。図８に示すように、システムクロックの立ち上がり毎に、新しいシンボルv_n及び消失情報が得られる。

消失信号は、図７の回路のスイッチに供給される。消失信号が偽であれば、スイッチは、図示する位置のままであり、消失信号が真であれば、スイッチは切り替えられる。図８において１と示されているシステムクロックの立ち上がりで、図７に示す回路が動作し、式（４６）又は（４７）が計算される。最後に、つまり第１８２番目のシンボルクロック後に、完全な符号語の正しい修正シンドロームを得る。現在の例で、第５番目の入力シンボルまでの中間結果の詳細を以下に説明する。

計算は、入力シンボル順の行われ、各ステップ後において、結果として得られる修正シンドロームは、最新の受信シンボルまでにおいては正確である。

１．データシンボルv₁₈₁=α⁶を得て、式（４７）を計算する。
T₀(x)=α⁶(1+α¹⁸¹x+α^2*181x²+…+α^9*181x⁹)
=α⁶+α¹⁸⁷x+α¹¹³x²+α³⁹x³+α²²⁰x⁴+α¹⁴⁶x⁵+α⁷²x⁶+²⁵³x⁷+α¹⁷⁹x⁸+α¹⁰⁵x⁹ （４８）
Γ₀=1 （４９）

２．消失シンボルv^* ₁₈₀=α⁹を得て、式（４６）を計算する。
T₁(x)=α⁶+(α¹⁸⁷+α¹⁸⁰α⁶)x+(α¹¹³+α^180*187)x²+…+(α¹⁰⁵+α^180*179)x⁹+α⁹
=α²²⁹+α²¹¹x+α¹³⁷x²+α⁶³x³+α²⁴⁴x⁴+α¹⁷⁰x⁵+α⁹⁶x⁶+α²²x⁷+α²⁰³x⁸+α¹²⁹x⁹ （５０）
及び
Γ₁(x)=1+α¹⁸⁰x （５１）

３．データシンボルv₁₇₉=α¹⁰を得て、式（４７）を計算する。
T₂(x)=(α²²⁹+α¹⁰)+(α²¹¹+α¹⁰(α¹⁷⁹+α¹⁸⁰))x+(α¹³⁷+α¹⁰(α^2*179+α¹⁷⁹α¹⁸⁰))x²+…+(α¹²⁹+α¹⁰(α^9*179+α^8*179α¹⁸⁰))x⁹
=α¹⁹⁹+α¹⁷⁹x+α¹⁶²x²+α⁸⁷x³+α²⁰⁹x⁴+α⁴⁸x⁵+α²⁰¹x⁶+¹³³x⁷+α¹⁸²x⁸+α²¹⁵x⁹ （５２）
Γ₂(x)=1+α¹⁸⁰x （５３）

４．消失シンボルv^* ₁₇₈=α¹²を得て、式（４６）を計算する。
T₃(x)=α¹⁹⁹+(α¹⁷⁹+α¹⁷⁸α¹⁹⁹)x+(α¹⁶²+α¹⁷⁸α¹⁷⁹)x²+…+(α²¹⁵+α¹⁷⁸α¹⁸²)x⁹+α¹²+α¹²α¹⁸⁰x
=α²¹⁶+α³⁶x+α²³⁴x²+α¹³⁵x³+α⁸⁵x⁴+α⁸⁸x⁵+α²⁰²x⁶+α²⁴⁴x⁷+α¹⁶⁶x⁸+α²³¹x⁹ （５４）
及び
Γ₃(x)=1+(α¹⁸⁰+α¹⁷⁸)x+α¹⁸⁰α¹⁷⁸x²=1+α²²⁸x+α¹⁰³x² （５５）

５．データシンボルv₁₇₇=α¹⁵を得て、式（４７）を計算する。
T₄(x)=(α²¹⁶+α¹⁵)+(α³⁶+α¹⁵(α¹⁷⁷+α²²⁸))x+(α²³⁴+α¹⁵(α^2*177+α¹⁷⁷α²²⁸+α¹⁰³))x²+…+(α²³¹+α¹⁵(α^9*177+α^8*177α²²⁸+α^7*177α¹⁰³))x⁹
=α¹⁶⁹+α¹³⁴x+α¹¹⁹x²+α⁶⁸x³+α¹²⁸x⁴+α¹⁷²x⁵+α²¹x⁶+α⁴⁰x⁷+α²¹⁷x⁸+α¹⁵²x⁹ （５６）
Γ₄(x)=1+(α¹⁸⁰+α¹⁷⁸)x+α¹⁸⁰α¹⁷⁸x²=1+α²²⁸x+α¹⁰³x² （５７）

式（５６）と（２９）を、及び式（５７）と（３０）の比較で、アルゴリズムを検証する。この結果は、最終的な修正シンドロームの結果ではなく、単に５つの受信シンボルまでの修正シンドロームの中間結果である。完全な符号列の修正シンドロームは、第１８２番目の計算後に得られる。

公知の、その場でのシンドローム計算を実行するハードウェアのブロックダイアグラムである。公知の、その場での消失多項式の計算を実行するハードウェアのブロックダイアグラムである。本発明による修正シンドローム多項式の、その場での計算の実施形態のフローチャートである。本発明による修正シンドローム多項式の、その場での計算を実行するハードウェアのブロックダイアグラムである。図３のフローチャートに関するタイミングダイアグラムである。修正シンドローム多項式の、その場での計算の、他の方法を説明する図である。図６の方法を実行するハードウェアのブロックダイアグラムである。図６の方法についてのタイミングダイアグラムである。

符号の説明

１、２、３レジスタ

Claims

Ｎシンボルからなり、ＮシンボルのうちＭシンボルが検査シンボルであるリードソロモン符号の軟判定復号方法において、
シンドローム多項式、消失多項式及び修正シンドローム多項式を、新しいデータシンボルが到着したときに、各シンボルクロックで、前記多項式のそれぞれの係数を、繰り返し更新することにより並行して計算し、符号語の最後のシンボルでの係数の更新が実行された後、符号語のための多項式を直接得ることを特徴とする方法。
シンドローム多項式S(x) を

ここで、 v _i は、入力データシンボル
として計算するステップと、
消失多項式Γ (x) を

として計算するステップと、
修正シンドローム多項式を
T(x)=Γ(x)S(x) mod x^M
により作成するステップと、
間接的な鍵方程式
Λ(x)T(x)=Ω(x) mod x^M
を、バーレカンプ・マッシイ法又はユークリッド法により解き、多項式Λ (x) とΩ (x) を決定するステップと、
フォーニー多項式
ψ(x)=Λ(x)Γ(x)
を計算するステップと、
誤り及び消失値を、フォーニー方程式に基づき計算するステップとを有することを特徴とする請求項１に記載の方法。
消失多項式及び修正シンドローム多項式の計算は、データシンボルv_N-1,…v₁,v₀の入力と共に、その場で実行されることを特徴とする請求項２に記載の方法。
シンドローム多項式は、

の形式で、係数Si, i=0,1,…,M-1を繰り返し更新することにより計算され、
係数は、各シンボルクロックjで新しいシンボルv_nが到着したときに、位置ｎのべき乗αⁿを計算し、
S_i,j=S_i,j-1+v_nαⁱⁿ, i=0,1,…,M-1、ここでSi,-1=0
で更新されることを特徴とする請求項１から３のいずれか１項に記載の方法。
消失多項式は、多項式

を繰り返し更新することにより、その場で計算され、
更新は、各シンボルクロック j _iで、新しく到着したシンボルが消失と示されたとき、消失位置 j _i のべき乗

を計算し、多項式を

と更新することで実行されることを特徴とする請求項１から４のいずれか１項に記載の方法。
修正シンドローム多項式の、その場での計算は、
多項式Γ_-1(x)=1; T_-1(x)=0と予め設定するステップと、
各シンボルクロックで１のシンボルv_nを得るステップと、
シンボルクロック内の、第１のシステムクロックで、

を計算するステップと、
v_nが消失であるか否かを判定するステップと、
消失であれば、シンボルクロック内の、第２のシステムクロックで
T_j(x)=T_*(x)(1-αⁿx)
Γ_j(x)=Γ_j-1(x)(1-αⁿx)
を計算し、消失でなければ、
T_j(x)=T_*(x)
Γ_j(x)=Γ_*(x)
とするステップとにより実行されることを特徴とする請求項１から５のいずれか１項に記載の方法。
修正シンドローム多項式は、入力シンボルが消失と示されている場合に、
T_n(x)=T_n-1(x)(1-αⁿx)+v_nΓ_n-1(x)、ここでΓ_-1(x)=1
の形式で、その場で更新するステップを含むことを特徴とする請求項１から５のいずれか１項に記載の方法。
修正シンドローム多項式は、
多項式Γ_-1(x)=1; T_-1(x)=0と予め設定するステップと、
各シンボルクロックで１のシンボルv_nを得るステップと、
v_nが消失であるか否かを判定するステップと、
消失であれば、
T_j(x)=T_j-1(x)(1-αⁿx)+v_nΓ_j-1(x)
Γ_j(x)=Γ_j-1(x)(1-αⁿx)
を計算し、消失でなければ、

を計算するステップとにより、その場で計算されることを特徴とする請求項１から５のいずれか１項に記載の方法。
リードソロモン符号の軟判定復号のためのプログラム手段を含み、前記プログラム手段は、シンドローム多項式、消失多項式及び修正シンドローム多項式を、新しいデータシンボルが到着したときに、各シンボルクロックで、前記多項式のそれぞれの係数を、繰り返し更新することにより、並行して計算することに適用され、
符号語の最後のシンボルでの係数の更新が実行された後、符号語のための多項式を直接得る、デジタル記憶媒体のような、コンピュータプログラム製品。
シンドローム多項式、消失多項式及び修正シンドローム多項式を、新しいデータシンボルが到着したときに、各シンボルクロックで、前記多項式のそれぞれの係数を、繰り返し更新することにより、並行して計算する手段を含み、符号語の最後のシンボルでの係数の更新が実行された後、符号語のための多項式を直接得るリードソロモン符号語の復号器。