JP3350223B2 - グラフ自動レイアウト方法及び装置 - Google Patents
グラフ自動レイアウト方法及び装置Info
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- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
- G06T11/00—2D [Two Dimensional] image generation
- G06T11/20—Drawing from basic elements, e.g. lines or circles
- G06T11/206—Drawing of charts or graphs
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- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
- G06F30/10—Geometric CAD
- G06F30/18—Network design, e.g. design based on topological or interconnect aspects of utility systems, piping, heating ventilation air conditioning [HVAC] or cabling
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- Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は計算機科学をはじめとす
る多様な分野で、様々な構造を表現するために利用され
ているグラフの自動レイアウト方法、すなわちノードの
集合とノードの間の関係を示すエッジの集合から構成さ
れるグラフにおけるノードの位置を自動的に決定して、
グラフを描画するグラフ自動レイアウト方法に関する。
る多様な分野で、様々な構造を表現するために利用され
ているグラフの自動レイアウト方法、すなわちノードの
集合とノードの間の関係を示すエッジの集合から構成さ
れるグラフにおけるノードの位置を自動的に決定して、
グラフを描画するグラフ自動レイアウト方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】グラフは情報科学や工学をはじめ様々な
分野で多様な構造（ネットワーク、処理フロー、組織構
造など）を表現するために利用されている。グラフは数
学的には（グラフ理論では）ノードとエッジからなるト
ポロジカルな構造であり、その構造を分かりやすく図に
描くことは人間にとって面倒な作業であるため、計算機
に自動的に描かせたいという要求がある。また、グラフ
の描き方も実際には応用（グラフが実際に表現するも
の、ネットワークや組織構造など）に依存し、応用によ
って分かりやすさの基準も変わってくる。たとえば、あ
らゆる関係が数学的にはエッジという一種類のもので表
されても、応用においては様々な関係（つまり様々な種
類のエッジ）があり、その種類ごとに描き方を変えたい
こともしばしばある。
分野で多様な構造（ネットワーク、処理フロー、組織構
造など）を表現するために利用されている。グラフは数
学的には（グラフ理論では）ノードとエッジからなるト
ポロジカルな構造であり、その構造を分かりやすく図に
描くことは人間にとって面倒な作業であるため、計算機
に自動的に描かせたいという要求がある。また、グラフ
の描き方も実際には応用（グラフが実際に表現するも
の、ネットワークや組織構造など）に依存し、応用によ
って分かりやすさの基準も変わってくる。たとえば、あ
らゆる関係が数学的にはエッジという一種類のもので表
されても、応用においては様々な関係（つまり様々な種
類のエッジ）があり、その種類ごとに描き方を変えたい
こともしばしばある。
【０００３】グラフを自動的にレイアウトする方法はす
でに数多く考えられている。既存の自動レイアウトの方
法で代表的なものを挙げておく。有向グラフ（エッジが
向きをもつグラフ）を対象にした自動レイアウトの方法
のなかで最も多く利用されているのは「スギヤマ・アル
ゴリズム」と呼ばれているもの、あるいはその変形であ
る。有向エッジが同一向き（たとえば下）を向くように
ノードを平行線上に配置するもので、有向エッジによっ
て表された全体の「流れ」が分かりやすいことが特徴で
ある。スギヤマ・アルゴリズムの詳細は次の文献に述べ
られている。
でに数多く考えられている。既存の自動レイアウトの方
法で代表的なものを挙げておく。有向グラフ（エッジが
向きをもつグラフ）を対象にした自動レイアウトの方法
のなかで最も多く利用されているのは「スギヤマ・アル
ゴリズム」と呼ばれているもの、あるいはその変形であ
る。有向エッジが同一向き（たとえば下）を向くように
ノードを平行線上に配置するもので、有向エッジによっ
て表された全体の「流れ」が分かりやすいことが特徴で
ある。スギヤマ・アルゴリズムの詳細は次の文献に述べ
られている。
【０００４】Sugiyama,K.eta1,IEEE Trans. SMC Vol.1
1,No.2,pp.109-125(1981) 次に無向グラフ（エッジが向きを持たないグラフ）を対
象にした自動レイアウトの方法のなかで最も多く利用さ
れているものは「スプリング・アルゴリズム」あるいは
より一般的に「力指向法」と呼ばれている種類のもので
ある。グラフを仮想的な物理モデルにあてはめ、ノード
間に働く引力や斥力を定義し、安定状態を求めることで
適切なレイアウトを見つけるものである（たとえば、各
ノードを質量０、大きさ０のリングとみなし、また各エ
ッジをリングをつなぐスプリングとみなして、全スプリ
ングのもつエネルギーが最小、あるいは極小となる状態
を求める）。この方法はグラフの対称性などが分かりや
すいことが特徴である。スプリング・アルゴリズムにつ
いては次の文献が代表的なものである。
1,No.2,pp.109-125(1981) 次に無向グラフ（エッジが向きを持たないグラフ）を対
象にした自動レイアウトの方法のなかで最も多く利用さ
れているものは「スプリング・アルゴリズム」あるいは
より一般的に「力指向法」と呼ばれている種類のもので
ある。グラフを仮想的な物理モデルにあてはめ、ノード
間に働く引力や斥力を定義し、安定状態を求めることで
適切なレイアウトを見つけるものである（たとえば、各
ノードを質量０、大きさ０のリングとみなし、また各エ
ッジをリングをつなぐスプリングとみなして、全スプリ
ングのもつエネルギーが最小、あるいは極小となる状態
を求める）。この方法はグラフの対称性などが分かりや
すいことが特徴である。スプリング・アルゴリズムにつ
いては次の文献が代表的なものである。
【０００５】Eades,P.,Congressus Numerantium Vol.4
2, pp.149-160(1984) 図３２は従来の力指向法によるグラフのレイアウトの説
明図である。ノード間に働く力がスプリングの力として
表されている。またスプリングによって連絡されていな
い２つのノード間には仮想的な斥力が働くものとされ
る。この斥力は他のノード間に働くスプリング力とは無
関係の仮想的な力である。
2, pp.149-160(1984) 図３２は従来の力指向法によるグラフのレイアウトの説
明図である。ノード間に働く力がスプリングの力として
表されている。またスプリングによって連絡されていな
い２つのノード間には仮想的な斥力が働くものとされ
る。この斥力は他のノード間に働くスプリング力とは無
関係の仮想的な力である。
【０００６】グラフによっては無向エッジと有向エッジ
が混在し、かつ無向エッジに種類がある場合も考えられ
る。図３３は多数の問題の間の相互関係を表す問題マッ
プの例である。同図において問題の間には、相互に関連
する問題、相互に依存する問題、一般的な問題と特殊な
問題、および相互に対立する問題と言う４種類の関係が
あり、このうち一般的な問題から特殊な問題への関係は
向きのある矢印によって表わされる有向な関係であり、
残りの３種類は特に向きのない関係、すなわち無向な関
係である。この問題マップを、有向なエッジと無向なエ
ッジが存在する混在グラフとして描く場合に、有向なエ
ッジと無向なエッジとを区別することは当然として、無
向なエッジでもその関係毎に描き方を替えて、グラフを
レイアウトすることが望ましい。
が混在し、かつ無向エッジに種類がある場合も考えられ
る。図３３は多数の問題の間の相互関係を表す問題マッ
プの例である。同図において問題の間には、相互に関連
する問題、相互に依存する問題、一般的な問題と特殊な
問題、および相互に対立する問題と言う４種類の関係が
あり、このうち一般的な問題から特殊な問題への関係は
向きのある矢印によって表わされる有向な関係であり、
残りの３種類は特に向きのない関係、すなわち無向な関
係である。この問題マップを、有向なエッジと無向なエ
ッジが存在する混在グラフとして描く場合に、有向なエ
ッジと無向なエッジとを区別することは当然として、無
向なエッジでもその関係毎に描き方を替えて、グラフを
レイアウトすることが望ましい。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】このように従来のグラ
フレイアウト方法は、平面上でのエッジの向きを特別に
限定しないか、または平面上でのエッジの向きを同一の
向きにそろえるかのいずれかを行うものであった。前者
は無向グラフのレイアウト法に多く、また後者は有向グ
ラフのレイアウト法に多いものであった。
フレイアウト方法は、平面上でのエッジの向きを特別に
限定しないか、または平面上でのエッジの向きを同一の
向きにそろえるかのいずれかを行うものであった。前者
は無向グラフのレイアウト法に多く、また後者は有向グ
ラフのレイアウト法に多いものであった。
【０００８】例えば二分木を対象として右の子ノードを
指すエッジと左の子ノードを指すエッジを、右と下のよ
うに別々の向きに向ける方法があったが、これは対象を
限定した特殊な例であり、例えばある種類のエッジは同
一の向きにそろえ、それ以外の種類のエッジの向きは特
に限定しないと言うように、一般的にエッジの向きが複
数の種類の規則に従うようにレイアウトする方法はない
と言う問題点があった。
指すエッジと左の子ノードを指すエッジを、右と下のよ
うに別々の向きに向ける方法があったが、これは対象を
限定した特殊な例であり、例えばある種類のエッジは同
一の向きにそろえ、それ以外の種類のエッジの向きは特
に限定しないと言うように、一般的にエッジの向きが複
数の種類の規則に従うようにレイアウトする方法はない
と言う問題点があった。
【０００９】例えば図３３において、一般的な問題に対
して特殊な問題を下側に配置し、対等な関係にある問題
は横に並べるようなグラフレイアウトを自動的に行う方
法は存在しなかった。なお、図３３はM.J.Bickerton, A
Practitioner's Handbook of Requirements Engineeri
ng Methods and Tools, Oxford Univ., 1992. のFigure
5に示されている。
して特殊な問題を下側に配置し、対等な関係にある問題
は横に並べるようなグラフレイアウトを自動的に行う方
法は存在しなかった。なお、図３３はM.J.Bickerton, A
Practitioner's Handbook of Requirements Engineeri
ng Methods and Tools, Oxford Univ., 1992. のFigure
5に示されている。
【００１０】本発明は、例えば有向エッジと無向エッジ
とが混在するグラフの有向エッジと無向エッジとを別々
の規則に従ってレイアウトしたり、有向グラフ、または
無向グラフにおいて、複数種類のエッジをそれぞれ別の
規則に従ってレイアウト可能とすることを目的とする。
とが混在するグラフの有向エッジと無向エッジとを別々
の規則に従ってレイアウトしたり、有向グラフ、または
無向グラフにおいて、複数種類のエッジをそれぞれ別の
規則に従ってレイアウト可能とすることを目的とする。
【００１１】
【課題を解決するための手段及び作用】図１は本発明の
機能ブロック図である。同図は複数のノードと、その複
数のノードの間の関係を示す複数のエッジから構成され
るグラフの各ノードの位置を決定するコンピュータによ
って実行されるグラフ自動レイアウト方法の機能ブロッ
ク図である。
機能ブロック図である。同図は複数のノードと、その複
数のノードの間の関係を示す複数のエッジから構成され
るグラフの各ノードの位置を決定するコンピュータによ
って実行されるグラフ自動レイアウト方法の機能ブロッ
ク図である。
【００１２】本発明においては、図１の１でエッジの向
きを制御するために、エッジに働く力が定義され、２で
定義された力を組み入れて、グラフに対応する物理モデ
ル、例えば方位磁針とスプリングの性質を持つマグネテ
ィック・スプリングによってエッジが表わされた結果と
してのグラフが仮想的な磁場に置かれたとする物理モデ
ルが作成される。
きを制御するために、エッジに働く力が定義され、２で
定義された力を組み入れて、グラフに対応する物理モデ
ル、例えば方位磁針とスプリングの性質を持つマグネテ
ィック・スプリングによってエッジが表わされた結果と
してのグラフが仮想的な磁場に置かれたとする物理モデ
ルが作成される。
【００１３】例えばエッジがマグネティック・スプリン
グによって表される場合には、エッジに働く力は磁場に
よる回転力であり、この回転力と、例えばスプリングに
よる引力、または斥力などが働く物理モデルが作成され
る。
グによって表される場合には、エッジに働く力は磁場に
よる回転力であり、この回転力と、例えばスプリングに
よる引力、または斥力などが働く物理モデルが作成され
る。
【００１４】続いて図１の３で、その物理モデルの安定
状態が、例えば逐次的に物理モデルにおけるノードの位
置の修正を繰り返すことによって求められ、４でその安
定状態に対応してグラフの描画すなわち表示が行われ
る。
状態が、例えば逐次的に物理モデルにおけるノードの位
置の修正を繰り返すことによって求められ、４でその安
定状態に対応してグラフの描画すなわち表示が行われ
る。
【００１５】前述の力指向法では、ノード間に働く引力
や斥力の定義によって物理モデルが作成され、そのモデ
ルの安定状態を求めてグラフのレイアウトが決定され
た。これに対して本発明においては、物理モデル作成に
際してグラフのエッジに働く力が定義されることが大き
な特徴である。エッジに働く力、特に回転力の定義によ
って、従来の力指向法におけるノード間に働く力だけで
は制御が困難であったエッジの向きの制御が可能とな
る。
や斥力の定義によって物理モデルが作成され、そのモデ
ルの安定状態を求めてグラフのレイアウトが決定され
た。これに対して本発明においては、物理モデル作成に
際してグラフのエッジに働く力が定義されることが大き
な特徴である。エッジに働く力、特に回転力の定義によ
って、従来の力指向法におけるノード間に働く力だけで
は制御が困難であったエッジの向きの制御が可能とな
る。
【００１６】本発明においてはエッジが方位磁針であ
り、エッジとノードによって構成されるグラフが仮想的
な磁場に置かれたものとして、物理モデルの安定状態が
求められる。方位磁針で表わされるエッジには、例えば
磁場のＮ極を向くような回転力が働くことになる。実際
問題としてはノード間の距離も制御することによって、
グラフのレイアウトを能率的に行うことができるため
に、エッジに働く力だけでなく、ノード間に作用する力
も併用したモデルが用いられる。すなわちエッジが方位
磁針の性質を持つマグネティック・スプリングであると
して物理モデルが作成され、そのモデルが磁場に置かれ
た時の安定状態が求められる。
り、エッジとノードによって構成されるグラフが仮想的
な磁場に置かれたものとして、物理モデルの安定状態が
求められる。方位磁針で表わされるエッジには、例えば
磁場のＮ極を向くような回転力が働くことになる。実際
問題としてはノード間の距離も制御することによって、
グラフのレイアウトを能率的に行うことができるため
に、エッジに働く力だけでなく、ノード間に作用する力
も併用したモデルが用いられる。すなわちエッジが方位
磁針の性質を持つマグネティック・スプリングであると
して物理モデルが作成され、そのモデルが磁場に置かれ
た時の安定状態が求められる。
【００１７】本発明で用いられる磁場は、物理モデルに
おいてエッジに力を働かせるための仮想的なものであ
り、実際の物理的な磁場と同じ性質を持つものでは必ず
しもない。例えば２種類以上の互いに影響し合わない磁
場を同時に発生させ、物理モデルの安定状態を求めるこ
とも可能である。エッジを表す方位磁針が、複数の種類
の磁場のうちで特定の磁場からだけ力を受けるとするこ
とにより、エッジの種類毎に異なる規則でその向きを制
御することが可能となる。
おいてエッジに力を働かせるための仮想的なものであ
り、実際の物理的な磁場と同じ性質を持つものでは必ず
しもない。例えば２種類以上の互いに影響し合わない磁
場を同時に発生させ、物理モデルの安定状態を求めるこ
とも可能である。エッジを表す方位磁針が、複数の種類
の磁場のうちで特定の磁場からだけ力を受けるとするこ
とにより、エッジの種類毎に異なる規則でその向きを制
御することが可能となる。
【００１８】以上のように本発明によれば、エッジを例
えば方位磁針の性質を持つマグネティック・スプリング
によって表し、物理モデルの安定状態が求められる。
えば方位磁針の性質を持つマグネティック・スプリング
によって表し、物理モデルの安定状態が求められる。
【００１９】
【実施例】図２は本発明のグラフ自動レイアウト方法を
実現するためのコンピュータシステムの全体構成ブロッ
ク図である。同図(a) に示すようにコンピュータシステ
ム全体は一般的なものであり、中央処理装置（ＣＰＵ）
１０、入出力装置１１、およびメモリ１２などからなる
ものである。メモリ１２は、グラフ自動レイアウトのた
めのプログラムなどを格納するプログラム格納領域１２
ａ、およびグラフ自動レイアウトのためのデータを格納
するグラフデータ格納領域１２ｂを備えている。
実現するためのコンピュータシステムの全体構成ブロッ
ク図である。同図(a) に示すようにコンピュータシステ
ム全体は一般的なものであり、中央処理装置（ＣＰＵ）
１０、入出力装置１１、およびメモリ１２などからなる
ものである。メモリ１２は、グラフ自動レイアウトのた
めのプログラムなどを格納するプログラム格納領域１２
ａ、およびグラフ自動レイアウトのためのデータを格納
するグラフデータ格納領域１２ｂを備えている。
【００２０】図２(b) はプログラム格納領域１２ａと、
グラフデータ格納領域１２ｂの詳細説明図である。同図
において、グラフデータ格納領域１２ｂのデータはグラ
フデータそのもの１３と、物理モデルにおける磁場を表
す磁場データ１４から構成されている。ノードデータ１
３ａはノードの位置、そのノードと結合しているエッ
ジ、ノードの属性、すなわちノードの形、サイズ、色、
線の種類などのデータであり、エッジデータ１３ｂは、
マグネティック・スプリングとしてのスプリングによる
力の強さを計算するためのエッジの理想的長さ、結合し
ているノードの他に、エッジの属性としての向き、線の
種類、線の幅、どの磁場に影響を受けるか、エッジの色
などのデータが格納されている。これらのグラフデータ
は入出力装置１１を介して、例えばユーザから入力さ
れ、またグラフのレイアウト結果は入出力装置１１とし
てのディスプレイなどに表示されて出力される。
グラフデータ格納領域１２ｂの詳細説明図である。同図
において、グラフデータ格納領域１２ｂのデータはグラ
フデータそのもの１３と、物理モデルにおける磁場を表
す磁場データ１４から構成されている。ノードデータ１
３ａはノードの位置、そのノードと結合しているエッ
ジ、ノードの属性、すなわちノードの形、サイズ、色、
線の種類などのデータであり、エッジデータ１３ｂは、
マグネティック・スプリングとしてのスプリングによる
力の強さを計算するためのエッジの理想的長さ、結合し
ているノードの他に、エッジの属性としての向き、線の
種類、線の幅、どの磁場に影響を受けるか、エッジの色
などのデータが格納されている。これらのグラフデータ
は入出力装置１１を介して、例えばユーザから入力さ
れ、またグラフのレイアウト結果は入出力装置１１とし
てのディスプレイなどに表示されて出力される。
【００２１】プログラム格納領域１２ａには、グラフ自
動レイアウトの全体を管理する総合管理部１５、ノード
の初期配置を求める初期配置計算部１６、ノードデータ
１３ａ、エッジデータ１３ｂ、および磁場データ１４を
用いてノードの位置修正量を求める修正量計算部１７、
修正量計算部１７の出力に基づいてノードの位置の修正
を行う位置修正部１８、総合管理部１５の制御に応じて
ノード位置の修正繰返し回数を管理する繰返し管理部１
９を備えている。
動レイアウトの全体を管理する総合管理部１５、ノード
の初期配置を求める初期配置計算部１６、ノードデータ
１３ａ、エッジデータ１３ｂ、および磁場データ１４を
用いてノードの位置修正量を求める修正量計算部１７、
修正量計算部１７の出力に基づいてノードの位置の修正
を行う位置修正部１８、総合管理部１５の制御に応じて
ノード位置の修正繰返し回数を管理する繰返し管理部１
９を備えている。
【００２２】図３は本発明におけるマグネティック・ス
プリングを用いた物理モデルによるグラフのレイアウト
方法の説明図である。同図において、グラフのエッジが
マグネティック・スプリングによって表され、そのグラ
フが仮想的な磁場に置かれるものとして物理モデルの安
定状態が求められる。ここで物理モデルに働く力はスプ
リングによる引力、または斥力、隣接していない、すな
わちエッジで結合されていないノード間に働く斥力、お
よびエッジが磁場から受ける回転力である。このうち隣
接していないノード間に働く斥力は、スプリングによる
力でもなく、また磁場から受ける力でもない仮想的な力
である。
プリングを用いた物理モデルによるグラフのレイアウト
方法の説明図である。同図において、グラフのエッジが
マグネティック・スプリングによって表され、そのグラ
フが仮想的な磁場に置かれるものとして物理モデルの安
定状態が求められる。ここで物理モデルに働く力はスプ
リングによる引力、または斥力、隣接していない、すな
わちエッジで結合されていないノード間に働く斥力、お
よびエッジが磁場から受ける回転力である。このうち隣
接していないノード間に働く斥力は、スプリングによる
力でもなく、また磁場から受ける力でもない仮想的な力
である。
【００２３】これらの力の合力として各ノードに働く力
が求められ、その力によってノードの位置の修正量が計
算され、少しずつノードの位置を修正することを繰り返
してレイアウトが変更されていく。全ノードに働く力が
０となり、安定状態が達成されるまで、または一定回数
だけの繰返し処理が行われる。
が求められ、その力によってノードの位置の修正量が計
算され、少しずつノードの位置を修正することを繰り返
してレイアウトが変更されていく。全ノードに働く力が
０となり、安定状態が達成されるまで、または一定回数
だけの繰返し処理が行われる。
【００２４】図４は本発明の自動レイアウト方法の原理
的な全体処理フローチャートである。同図において、ス
テップ（Ｓ）１において方位磁針を使ってグラフのモデ
ル化が行われ、ステップＳ２で仮想的な磁場が用意さ
れ、Ｓ３でグラフを仮想的な磁場に置いたものと仮定し
て、その安定状態が求められる。なおこれらの処理のう
ち、Ｓ２までの処理は、図２（ｂ）においてグラフデー
タ１３などを入力する処理に相当し、実際にグラフの自
動レイアウトを行う処理はＳ３において行われる。
的な全体処理フローチャートである。同図において、ス
テップ（Ｓ）１において方位磁針を使ってグラフのモデ
ル化が行われ、ステップＳ２で仮想的な磁場が用意さ
れ、Ｓ３でグラフを仮想的な磁場に置いたものと仮定し
て、その安定状態が求められる。なおこれらの処理のう
ち、Ｓ２までの処理は、図２（ｂ）においてグラフデー
タ１３などを入力する処理に相当し、実際にグラフの自
動レイアウトを行う処理はＳ３において行われる。
【００２５】図５は本発明のグラフ自動レイアウト方法
の一般的な処理手順の説明図である。同図において処理
が開始されると、まずＳ１０で初期配置としてノードの
初期配置などが決定され、Ｓ１１で例えば処理終了まで
のノード位置修正の繰返し回数などの初期設定が行わ
れ、繰返し処理が開始される。
の一般的な処理手順の説明図である。同図において処理
が開始されると、まずＳ１０で初期配置としてノードの
初期配置などが決定され、Ｓ１１で例えば処理終了まで
のノード位置修正の繰返し回数などの初期設定が行わ
れ、繰返し処理が開始される。
【００２６】続いてＳ１２でノード位置修正の繰返しを
継続すべきか否かが判定され、継続すべき場合にはＳ１
３でノード位置修正量が計算される。このノード位置修
正量は前述のスプリングによる力、隣接していないノー
ド間に働く斥力、及びエッジに働く磁場による回転力の
合力に基づいて計算される。
継続すべきか否かが判定され、継続すべき場合にはＳ１
３でノード位置修正量が計算される。このノード位置修
正量は前述のスプリングによる力、隣接していないノー
ド間に働く斥力、及びエッジに働く磁場による回転力の
合力に基づいて計算される。
【００２７】ノード位置修正量が求められると、Ｓ１４
でノード位置の修正が行われ、Ｓ１５で繰返し処理を行
うための、例えば繰返し回数のインクリメントが行わ
れ、Ｓ１２以降の処理が繰り返される。そしてＳ１２で
繰返しを継続すべきでないと判定された時点で処理を終
了する。
でノード位置の修正が行われ、Ｓ１５で繰返し処理を行
うための、例えば繰返し回数のインクリメントが行わ
れ、Ｓ１２以降の処理が繰り返される。そしてＳ１２で
繰返しを継続すべきでないと判定された時点で処理を終
了する。
【００２８】図６はグラフ自動レイアウト方法の実施例
の全体処理フローチャートである。同図において処理が
開始されると、まずステップＳ２０で初期配置としてノ
ードの初期位置などが決定され、Ｓ２１で初期設定とし
て繰返し回数を示すｋの値が“０”とされ、Ｓ２２でｋ
が繰返し回数の最大値Ｍより小さいか否かが判定され
る。
の全体処理フローチャートである。同図において処理が
開始されると、まずステップＳ２０で初期配置としてノ
ードの初期位置などが決定され、Ｓ２１で初期設定とし
て繰返し回数を示すｋの値が“０”とされ、Ｓ２２でｋ
が繰返し回数の最大値Ｍより小さいか否かが判定され
る。
【００２９】Ｍより小さい時にはＳ２３で全てのノード
の位置の修正量を求めるために、各ノードに働く力が計
算され、Ｓ２４でノードの位置が修正され、Ｓ２５で繰
返し回数を示すｋの値がインクリメントされ、Ｓ２２以
降の処理が繰り返される。そしてＳ２２でｋがＭより小
さくないと判定された時点で処理を終了する。
の位置の修正量を求めるために、各ノードに働く力が計
算され、Ｓ２４でノードの位置が修正され、Ｓ２５で繰
返し回数を示すｋの値がインクリメントされ、Ｓ２２以
降の処理が繰り返される。そしてＳ２２でｋがＭより小
さくないと判定された時点で処理を終了する。
【００３０】図７は図６におけるステップＳ２０、すな
わち初期配置の詳細フローチャートである。同図におい
て処理が開始されると、まずステップＳ３０でノードの
番号を示すｉが“０”とされ、Ｓ３１でノード番号ｉが
Ｎより小さいか否かが判定される。
わち初期配置の詳細フローチャートである。同図におい
て処理が開始されると、まずステップＳ３０でノードの
番号を示すｉが“０”とされ、Ｓ３１でノード番号ｉが
Ｎより小さいか否かが判定される。
【００３１】Ｎより小さい時には、Ｓ３２でそのノード
の位置を、例えば後述する(1) 式によって計算し、Ｓ３
３でノード番号を示すｉの値がインクリメントされ、Ｓ
３１以降の処理が繰り返され、Ｓ３１でノード番号ｉが
Ｎより小さくないと判定された時点で処理を終了する。
の位置を、例えば後述する(1) 式によって計算し、Ｓ３
３でノード番号を示すｉの値がインクリメントされ、Ｓ
３１以降の処理が繰り返され、Ｓ３１でノード番号ｉが
Ｎより小さくないと判定された時点で処理を終了する。
【００３２】図８は図６のステップＳ２３、すなわち全
てのノードに働く力の計算処理の詳細フローチャートで
ある。同図において処理が開始されると、まずステップ
Ｓ３５でノードの番号を示すｉが“０”とされ、Ｓ３６
でｉがＮより小さいか否かが判定される。
てのノードに働く力の計算処理の詳細フローチャートで
ある。同図において処理が開始されると、まずステップ
Ｓ３５でノードの番号を示すｉが“０”とされ、Ｓ３６
でｉがＮより小さいか否かが判定される。
【００３３】Ｎより小さい時には、Ｓ３７でノード位置
修正量を計算するための基本となるノードｉに働く力ｆ
i が計算され、Ｓ３８でｉの値がインクリメントされ、
Ｓ３６以降の処理が繰り返され、Ｓ３６でｉがＮより小
さくないと判定された時点で処理を終了する。
修正量を計算するための基本となるノードｉに働く力ｆ
i が計算され、Ｓ３８でｉの値がインクリメントされ、
Ｓ３６以降の処理が繰り返され、Ｓ３６でｉがＮより小
さくないと判定された時点で処理を終了する。
【００３４】図９は１つのノードに働く力の計算、すな
わち図８におけるステップＳ３７の詳細処理フローチャ
ートである。同図の処理を説明する前に、本発明におけ
るノードの初期配置とノードに働く力を詳細に説明す
る。
わち図８におけるステップＳ３７の詳細処理フローチャ
ートである。同図の処理を説明する前に、本発明におけ
るノードの初期配置とノードに働く力を詳細に説明す
る。
【００３５】本実施例に示す、逐次的にノードの位置を
修正していく方法によって得られるレイアウトはノード
の初期配置に依存するため、初期配置の決め方も重要で
ある。有効な初期配置として、例えば、円周上に等間隔
で配置する方法がある。この方法ではｉ番目ノードｖi
の初期座標は下の関数ｐで与えられる。
修正していく方法によって得られるレイアウトはノード
の初期配置に依存するため、初期配置の決め方も重要で
ある。有効な初期配置として、例えば、円周上に等間隔
で配置する方法がある。この方法ではｉ番目ノードｖi
の初期座標は下の関数ｐで与えられる。
【００３６】
【数１】
【００３７】半径ｒはノード間の弧の長さがｌになるよ
うに次のように選ぶ。
うに次のように選ぶ。
【００３８】
【数２】
【００３９】次にノードに働く力については、各ノード
には３種類の力が働くとする。エッジをスプリングとみ
なしたときのスプリングによる力、隣接していないノー
ド間に働く斥力、エッジを磁針とみなしたときに磁場か
ら受ける回転力による力、である。そしてそれら全ての
合力ｆi を各ノードｖi が受けるとする。
には３種類の力が働くとする。エッジをスプリングとみ
なしたときのスプリングによる力、隣接していないノー
ド間に働く斥力、エッジを磁針とみなしたときに磁場か
ら受ける回転力による力、である。そしてそれら全ての
合力ｆi を各ノードｖi が受けるとする。
【００４０】全てのエッジはスプリングとみなされ、両
端のノードはそのスプリングによって引力あるいは斥力
を受ける。エッジ（スプリング）の一方のノードがその
スプリングから受ける力をｆs で表す。その大きさは、
例えば、下のようにして計算できる（スプリングによる
力は一般的にフックの法則に従うが、ここでは、その力
はフックの法則に従わない仮想的なものとする）。
端のノードはそのスプリングによって引力あるいは斥力
を受ける。エッジ（スプリング）の一方のノードがその
スプリングから受ける力をｆs で表す。その大きさは、
例えば、下のようにして計算できる（スプリングによる
力は一般的にフックの法則に従うが、ここでは、その力
はフックの法則に従わない仮想的なものとする）。
【００４１】
【数３】
【００４２】このとき、ｄは現在のスプリングの長さ、
ｄ0 はスプリングの自然長（エッジの理想的な長さ）、
ｃs は他の力とのバランスを制御するための定数であ
る。力の向きは、スプリングのもう一方の端のノードを
見た向きである。引力と斥力では力の向きが逆になる
が、上の式(3) により斥力の場合には力の大きさが負に
なるため形式的には引力と同じ向きと考えてよい。
ｄ0 はスプリングの自然長（エッジの理想的な長さ）、
ｃs は他の力とのバランスを制御するための定数であ
る。力の向きは、スプリングのもう一方の端のノードを
見た向きである。引力と斥力では力の向きが逆になる
が、上の式(3) により斥力の場合には力の大きさが負に
なるため形式的には引力と同じ向きと考えてよい。
【００４３】隣接していないノード間には斥力が働くと
する。１つのノードが隣接していない別の１つのノード
から受ける斥力をｆr で表す。その大きさは、例えば、
下のようにして計算できる。この式は前述の文献（Eade
s, P.)内の斥力の式における“２”を一般的にｐr とお
いたものである。
する。１つのノードが隣接していない別の１つのノード
から受ける斥力をｆr で表す。その大きさは、例えば、
下のようにして計算できる。この式は前述の文献（Eade
s, P.)内の斥力の式における“２”を一般的にｐr とお
いたものである。
【００４４】
【数４】
【００４５】このとき、ｄは現在のノード間の距離、ｐ
r はその距離の斥力の大きさへの影響を制御する。つま
りｐr を大きくするほどノードが近づいたときの斥力の
増加の仕方が急激になる。ｃr は他の力とのバランスを
制御するための定数である。向きは力を及ぼし合うノー
ドの反対を向く。
r はその距離の斥力の大きさへの影響を制御する。つま
りｐr を大きくするほどノードが近づいたときの斥力の
増加の仕方が急激になる。ｃr は他の力とのバランスを
制御するための定数である。向きは力を及ぼし合うノー
ドの反対を向く。
【００４６】いくつかの、あるいは全部のエッジは図１
０(a) に示すように、磁針とみなされ、グラフの置かれ
た磁場から回転力を受ける。つまり、有向エッジの場合
にはヘッドがＮ極を、テイルがＳ極を向くように回転力
を受ける。エッジ（磁針）の一方のノードがその磁針の
回転力として受ける力を変数ｆm で表す。その大きさ
は、例えば、仮想的に下のようにして計算できるものと
する。
０(a) に示すように、磁針とみなされ、グラフの置かれ
た磁場から回転力を受ける。つまり、有向エッジの場合
にはヘッドがＮ極を、テイルがＳ極を向くように回転力
を受ける。エッジ（磁針）の一方のノードがその磁針の
回転力として受ける力を変数ｆm で表す。その大きさ
は、例えば、仮想的に下のようにして計算できるものと
する。
【００４７】
【数５】
【００４８】ここで、ｔはエッジの基準点（磁針に対し
て磁場の向きを調べる点、磁場の向きがエッジの各点に
おいて同じであるという保証がないため基準点を設ける
必要がある；例えば、エッジの中点）における磁場のＮ
極（またはＳ極）の向きからのヘッド（またはテイル）
のずれの角である。つまり、磁場の向きをφ（単位：ラ
ジアン）とした時、力を受けるノードがヘッドの場合に
は、テイル側からヘッドを見た向きをαとすると、図１
０(b) に示すように、
て磁場の向きを調べる点、磁場の向きがエッジの各点に
おいて同じであるという保証がないため基準点を設ける
必要がある；例えば、エッジの中点）における磁場のＮ
極（またはＳ極）の向きからのヘッド（またはテイル）
のずれの角である。つまり、磁場の向きをφ（単位：ラ
ジアン）とした時、力を受けるノードがヘッドの場合に
は、テイル側からヘッドを見た向きをαとすると、図１
０(b) に示すように、
【００４９】
【数６】
【００５０】力を受けるノードがテイルの場合には、図
１０(c) に示すようにβをとると、
１０(c) に示すようにβをとると、
【００５１】
【数７】
【００５２】となる。ただしいずれの場合もｔが−π＜
ｔ＜πの正規化された値を取るようにｎ＝０，１，・・
・とする。ｐm はｔ（磁場の向きからの磁針のずれの角
の大きさ）の回転力への影響を制御する。つまり、ｐm
を大きくするほど、ずれが大きくなったときの回転力の
増加の仕方が急激になる。ｄは現在のエッジの長さで、
ｑm はエッジ（磁針）の長さの回転力への影響を制御す
る。つまりｑm を大きくすると長いエッジほど強い力で
磁場の向きを向こうとする。ｂは基準点における磁場の
強さ、ｃm は他の力とのバランスを制御するための定数
である。
ｔ＜πの正規化された値を取るようにｎ＝０，１，・・
・とする。ｐm はｔ（磁場の向きからの磁針のずれの角
の大きさ）の回転力への影響を制御する。つまり、ｐm
を大きくするほど、ずれが大きくなったときの回転力の
増加の仕方が急激になる。ｄは現在のエッジの長さで、
ｑm はエッジ（磁針）の長さの回転力への影響を制御す
る。つまりｑm を大きくすると長いエッジほど強い力で
磁場の向きを向こうとする。ｂは基準点における磁場の
強さ、ｃm は他の力とのバランスを制御するための定数
である。
【００５３】力の向きは、ｔ＞０のときは、時計回りに
回転力が働くため、もう一方の端のノードを見た向きか
らπ／２反時計回りに回転させた向き、ｔ＜０のとき
は、反時計回りに回転力が働くため、もう一方の端のノ
ードを見た向きからπ／２時計回りに回転させた向きと
する。
回転力が働くため、もう一方の端のノードを見た向きか
らπ／２反時計回りに回転させた向き、ｔ＜０のとき
は、反時計回りに回転力が働くため、もう一方の端のノ
ードを見た向きからπ／２時計回りに回転させた向きと
する。
【００５４】以上に説明したような力がノードに働くも
のとして、図９のフローチャートを説明する。図９にお
いて処理が開始されると、まずステップＳ４０において
ノードｉに働く力ｆi が“０”とされ、Ｓ４１でノード
ｉを除く他のノードの番号ｊが“０”とされ、Ｓ４２で
ｊがＮより小さいか否かが判定される。
のとして、図９のフローチャートを説明する。図９にお
いて処理が開始されると、まずステップＳ４０において
ノードｉに働く力ｆi が“０”とされ、Ｓ４１でノード
ｉを除く他のノードの番号ｊが“０”とされ、Ｓ４２で
ｊがＮより小さいか否かが判定される。
【００５５】Ｎより小さい時にはＳ４３でｉとｊが等し
くないか否かが判定され、等しくない時にはＳ４４でノ
ード番号ｉのノードとノード番号ｊのノードとが隣接し
ているか否かが判定される。隣接している時にはＳ４５
でスプリングによる力ｆs と磁場による回転力ｆm が求
められ、Ｓ４６でその和がｆとされる。
くないか否かが判定され、等しくない時にはＳ４４でノ
ード番号ｉのノードとノード番号ｊのノードとが隣接し
ているか否かが判定される。隣接している時にはＳ４５
でスプリングによる力ｆs と磁場による回転力ｆm が求
められ、Ｓ４６でその和がｆとされる。
【００５６】これに対してノード番号ｉとｊのノードが
隣接していないと判定された時には、Ｓ４７で隣接して
いないノードの間に働く斥力ｆr が求められ、Ｓ４８で
その値がｆとされる。
隣接していないと判定された時には、Ｓ４７で隣接して
いないノードの間に働く斥力ｆr が求められ、Ｓ４８で
その値がｆとされる。
【００５７】その後、Ｓ４９でノード番号ｉのノードに
働く力の現在値ｆi にＳ４６、またはＳ４８で求められ
たｆが加算され、ノード番号ｉのノードに働く力ｆi が
求められ、Ｓ５０で他のノードのノード番号ｊの値がイ
ンクリメントされ、Ｓ４２以降の処理が繰り返される。
Ｓ４３でｉとｊとが等しいと判定された時には、力の計
算を行う必要がないのでＳ４２以降の処理が繰り返され
る。そしてＳ４２でｊがＮより小さくないと判定された
時点で処理を終了する。
働く力の現在値ｆi にＳ４６、またはＳ４８で求められ
たｆが加算され、ノード番号ｉのノードに働く力ｆi が
求められ、Ｓ５０で他のノードのノード番号ｊの値がイ
ンクリメントされ、Ｓ４２以降の処理が繰り返される。
Ｓ４３でｉとｊとが等しいと判定された時には、力の計
算を行う必要がないのでＳ４２以降の処理が繰り返され
る。そしてＳ４２でｊがＮより小さくないと判定された
時点で処理を終了する。
【００５８】図１１は図６のステップＳ２４、すなわち
ノード位置修正処理の詳細フローチャートである。同図
において処理が開始されると、ステップＳ５２でノード
番号を示すｉの値が“０”とされ、Ｓ５３でｉの値がＮ
より小さいか否かが判定され、小さい時にはＳ５４でｉ
番目のノードの位置の移動が行われる。
ノード位置修正処理の詳細フローチャートである。同図
において処理が開始されると、ステップＳ５２でノード
番号を示すｉの値が“０”とされ、Ｓ５３でｉの値がＮ
より小さいか否かが判定され、小さい時にはＳ５４でｉ
番目のノードの位置の移動が行われる。
【００５９】ここで移動量は図９において求められたｉ
番目のノードに働く力ｆi のｓ倍とされる。このｓの値
としては例えば０．１と言うような小さな値が用いられ
る。繰返し回数が進むにつれて、このｓの値を小さくす
ることによって、例えばシミュレーテッドアニーリング
と同様に安定化状態を求めることができる。
番目のノードに働く力ｆi のｓ倍とされる。このｓの値
としては例えば０．１と言うような小さな値が用いられ
る。繰返し回数が進むにつれて、このｓの値を小さくす
ることによって、例えばシミュレーテッドアニーリング
と同様に安定化状態を求めることができる。
【００６０】続いてＳ５５でノードの番号を示すｉの値
がインクリメントされ、Ｓ５３以降の処理が繰り返さ
れ、Ｓ５３においてｉがＮより小さくないと判定された
時点で処理を終了する。
がインクリメントされ、Ｓ５３以降の処理が繰り返さ
れ、Ｓ５３においてｉがＮより小さくないと判定された
時点で処理を終了する。
【００６１】図１２はグラフを構成するノードのうちの
一部の位置を固定した状態で物理モデルの安定化状態を
求め、グラフ自動レイアウトを行う場合のノード位置修
正処理の詳細フローチャートである。同図を図１１のフ
ローチャートと比較すると、ステップＳ５３でノード番
号ｉがＮより小さいと判定された後に、Ｓ５７でそのノ
ードが固定、すなわちアンカーであるか否かが判定さ
れ、アンカーでない時にはＳ５４でノードの位置の移動
が行われ、アンカーである時にはノードの位置の移動が
行われることなく、Ｓ５５の処理に移行する点のみが異
なっている。
一部の位置を固定した状態で物理モデルの安定化状態を
求め、グラフ自動レイアウトを行う場合のノード位置修
正処理の詳細フローチャートである。同図を図１１のフ
ローチャートと比較すると、ステップＳ５３でノード番
号ｉがＮより小さいと判定された後に、Ｓ５７でそのノ
ードが固定、すなわちアンカーであるか否かが判定さ
れ、アンカーでない時にはＳ５４でノードの位置の移動
が行われ、アンカーである時にはノードの位置の移動が
行われることなく、Ｓ５５の処理に移行する点のみが異
なっている。
【００６２】続いて本発明で用いられる磁場の実施例に
ついて説明する。図１３は平面上のどの位置においても
向きが一定の平行磁場を示す。この磁場は、座標が
（ｘ，ｙ）の位置の磁場の大きさをｂ（ｘ，ｙ）として
次式で表される。
ついて説明する。図１３は平面上のどの位置においても
向きが一定の平行磁場を示す。この磁場は、座標が
（ｘ，ｙ）の位置の磁場の大きさをｂ（ｘ，ｙ）として
次式で表される。
【００６３】
【数８】
【００６４】ここで、ｕは磁場の向きを表す単位ベクト
ル、ｂ（ｘ，ｙ）は（ｘ，ｙ）における磁場の強さであ
る。平行磁場を用いることでレイアウトされたグラフの
例を図１４に示す。この例においては磁場の強さはｂ
（ｘ，ｙ）＝１、つまりどこでも一定としている。平行
磁場を用いてレイアウトされたグラフではエッジがほぼ
一方向を向くため、グラフ全体の表す流れなどを把握し
やすい。
ル、ｂ（ｘ，ｙ）は（ｘ，ｙ）における磁場の強さであ
る。平行磁場を用いることでレイアウトされたグラフの
例を図１４に示す。この例においては磁場の強さはｂ
（ｘ，ｙ）＝１、つまりどこでも一定としている。平行
磁場を用いてレイアウトされたグラフではエッジがほぼ
一方向を向くため、グラフ全体の表す流れなどを把握し
やすい。
【００６５】図１４(a) は本発明において初期配置から
磁場を与えることなく、ノード位置の修正を行いながら
グラフの自動レイアウトを行った結果であり、同図(b)
は同様に初期配置から平行磁場を与えることによってノ
ード位置の修正を行いながら、グラフの自動レイアウト
を行った結果である。図(b) においては、全てのエッジ
が図１３に示した平行磁場の方向、すなわち右向きとな
っている。
磁場を与えることなく、ノード位置の修正を行いながら
グラフの自動レイアウトを行った結果であり、同図(b)
は同様に初期配置から平行磁場を与えることによってノ
ード位置の修正を行いながら、グラフの自動レイアウト
を行った結果である。図(b) においては、全てのエッジ
が図１３に示した平行磁場の方向、すなわち右向きとな
っている。
【００６６】図１５〜図１７は前述の初期配置から図１
４(b) のレイアウト結果を得るまでの途中経過の説明図
である。同図において、Ｍはノード位置の修正の繰返し
回数、ＣＰＵはグラフ自動レイアウト処理の処理時間を
示す。図１５においてはＭ＝０の初期配置から５回目の
繰返し処理が行われるまでの途中経過を、また図１６は
６回目から１１回目までの繰返し処理が行われる間の途
中経過を、また図１７は１２回目から１７回目までの繰
返し処理が行われるまでの途中経過を示し、１７回目の
繰り返し処理の結果は図１４(b) の結果とほぼ同様とな
っている。
４(b) のレイアウト結果を得るまでの途中経過の説明図
である。同図において、Ｍはノード位置の修正の繰返し
回数、ＣＰＵはグラフ自動レイアウト処理の処理時間を
示す。図１５においてはＭ＝０の初期配置から５回目の
繰返し処理が行われるまでの途中経過を、また図１６は
６回目から１１回目までの繰返し処理が行われる間の途
中経過を、また図１７は１２回目から１７回目までの繰
返し処理が行われるまでの途中経過を示し、１７回目の
繰り返し処理の結果は図１４(b) の結果とほぼ同様とな
っている。
【００６７】本発明においては、図１４(a) に示す磁場
を与えないで行われた自動レイアウトの結果から、同図
(b) に示す磁場を与えてレイアウトした結果を求めるこ
とも可能である。図１８、および図１９はその場合の途
中経過の説明図である。
を与えないで行われた自動レイアウトの結果から、同図
(b) に示す磁場を与えてレイアウトした結果を求めるこ
とも可能である。図１８、および図１９はその場合の途
中経過の説明図である。
【００６８】図１８において、まず図１４(a) の結果を
示すＭ＝１００，ＣＰＵ＝０．６２の結果を基にして処
理が開始される。ここでＣＭＦは前述の磁場による回転
力と他の力とのバランスを制御するための定数ｃm を表
すものであり、図１４(a) の結果はその係数を“０”と
したノード位置修正を１００回繰り返して得られたこと
がわかる。
示すＭ＝１００，ＣＰＵ＝０．６２の結果を基にして処
理が開始される。ここでＣＭＦは前述の磁場による回転
力と他の力とのバランスを制御するための定数ｃm を表
すものであり、図１４(a) の結果はその係数を“０”と
したノード位置修正を１００回繰り返して得られたこと
がわかる。
【００６９】図１４(a) から出発してノード位置の修正
を５回目まで行った結果が図１８である。６回目から１
１回目までの結果が図１９である。図１９において１１
回目の修正の結果は図１４(b) の結果にかなり近づいて
いる。
を５回目まで行った結果が図１８である。６回目から１
１回目までの結果が図１９である。図１９において１１
回目の修正の結果は図１４(b) の結果にかなり近づいて
いる。
【００７０】図２０は、図１２で説明したように、一部
のノードの位置を固定した状態でグラフ自動レイアウト
を行った場合の途中経過を示す。同図においても、図１
４(a) の結果から、同図(b) の結果を得るまでの、ノー
ド位置修正処理の繰返し回数に対応する途中経過が示さ
れる。(a) の結果から出発してノード０と３の位置を固
定した状態で、１００回のノード位置修正処理を繰り返
すことによって、図１４(b) の結果が得られることが示
されている。
のノードの位置を固定した状態でグラフ自動レイアウト
を行った場合の途中経過を示す。同図においても、図１
４(a) の結果から、同図(b) の結果を得るまでの、ノー
ド位置修正処理の繰返し回数に対応する途中経過が示さ
れる。(a) の結果から出発してノード０と３の位置を固
定した状態で、１００回のノード位置修正処理を繰り返
すことによって、図１４(b) の結果が得られることが示
されている。
【００７１】図２１は有向エッジと、無向エッジとが存
在する混在グラフを対象とするグラフ自動レイアウトの
説明図である。同図(a) は初期配置から、磁場を与える
ことなくノード位置の修正を繰り返して、グラフ自動レ
イアウトを行った結果を示し、また同図(b) は図１３と
同様の、下向きの平行磁場を与えてレイアウトした結果
を示す。この図(b) では無向エッジの方向はバラバラで
あるが、有向エッジは下向きにそろっていることがわか
る。
在する混在グラフを対象とするグラフ自動レイアウトの
説明図である。同図(a) は初期配置から、磁場を与える
ことなくノード位置の修正を繰り返して、グラフ自動レ
イアウトを行った結果を示し、また同図(b) は図１３と
同様の、下向きの平行磁場を与えてレイアウトした結果
を示す。この図(b) では無向エッジの方向はバラバラで
あるが、有向エッジは下向きにそろっていることがわか
る。
【００７２】図２２は図２１(a) の結果から出発して同
図(b) の結果を得るまでの途中経過の説明図である。同
図において図２１(a) の結果、すなわちＣＭＦを“０”
とした８００回のノード位置修正処理によって得られた
結果から、１００回のノード位置修正処理を行うことに
より、図２１(b) に類似した結果が得られることが示さ
れている。
図(b) の結果を得るまでの途中経過の説明図である。同
図において図２１(a) の結果、すなわちＣＭＦを“０”
とした８００回のノード位置修正処理によって得られた
結果から、１００回のノード位置修正処理を行うことに
より、図２１(b) に類似した結果が得られることが示さ
れている。
【００７３】磁場の次の実施例は放射状磁場である。図
２３に示すように、ある点を中心に放射状に外側に、ま
たは内側に向く磁場を放射状磁場と呼ぶことにする。外
側に向く放射状磁場は次のように表される。
２３に示すように、ある点を中心に放射状に外側に、ま
たは内側に向く磁場を放射状磁場と呼ぶことにする。外
側に向く放射状磁場は次のように表される。
【００７４】
【数９】
【００７５】ここで、点（ｘ0 ，ｙ0 ）は放射状磁場の
中心であり、ｂ（ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）における磁場
の強さである。放射状磁場を用いることでレイアウトさ
れたグラフの例を図２４に示す。この例においては磁場
の強さはｂ（ｘ，ｙ）＝１；つまりどこでも一定として
いる。
中心であり、ｂ（ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）における磁場
の強さである。放射状磁場を用いることでレイアウトさ
れたグラフの例を図２４に示す。この例においては磁場
の強さはｂ（ｘ，ｙ）＝１；つまりどこでも一定として
いる。
【００７６】次に、図２５に示すように、ある点を中心
に同心円状に時計回りあるいは反時計回りに向く磁場を
同心円磁場と呼ぶことにする。時計回りの同心円磁場は
次のように表される。
に同心円状に時計回りあるいは反時計回りに向く磁場を
同心円磁場と呼ぶことにする。時計回りの同心円磁場は
次のように表される。
【００７７】
【数１０】
【００７８】ここで、点（ｘ0 ，ｙ0 ）は同心円状磁場
の中心であり、ｂ（ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）における磁
場の強さである。同心円状磁場を用いることでレイアウ
トされたグラフの例を図２６に示す。この例においては
磁場の強さはｂ（ｘ，ｙ）＝１、つまりどこでも一定と
している。循環構造（サイクル）をもつグラフを同心円
状磁場を用いてレイアウトするとその循環構造が把握し
やすくなる。すなわち、磁場を与えない、図２６(a) の
レイアウト結果ではどこにサイクルがあるかすぐにはわ
からないが、同図(b) のように同心円磁場を与えてレイ
アウトした結果ではサイクルの様子が明確となる。
の中心であり、ｂ（ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）における磁
場の強さである。同心円状磁場を用いることでレイアウ
トされたグラフの例を図２６に示す。この例においては
磁場の強さはｂ（ｘ，ｙ）＝１、つまりどこでも一定と
している。循環構造（サイクル）をもつグラフを同心円
状磁場を用いてレイアウトするとその循環構造が把握し
やすくなる。すなわち、磁場を与えない、図２６(a) の
レイアウト結果ではどこにサイクルがあるかすぐにはわ
からないが、同図(b) のように同心円磁場を与えてレイ
アウトした結果ではサイクルの様子が明確となる。
【００７９】前述のように本発明で用いられる磁場は自
然界に存在する磁場ではなく、仮想的なものであるため
に、人工的に自由にその性質を与えることができる。そ
の１つとして上述のような平行磁場、放射状磁場、同心
円磁場のような磁場の２つ以上を、互いに影響を及ぼし
合わないものとして組み合わせて、複合磁場として利用
することができる。その１つの例が直交平行磁場であ
る。
然界に存在する磁場ではなく、仮想的なものであるため
に、人工的に自由にその性質を与えることができる。そ
の１つとして上述のような平行磁場、放射状磁場、同心
円磁場のような磁場の２つ以上を、互いに影響を及ぼし
合わないものとして組み合わせて、複合磁場として利用
することができる。その１つの例が直交平行磁場であ
る。
【００８０】向きが互いに直交している２つの平行磁場
からなる複合磁場を直交平行磁場（図２７参照）と呼
ぶ。このような磁場は次のように表される。
からなる複合磁場を直交平行磁場（図２７参照）と呼
ぶ。このような磁場は次のように表される。
【００８１】
【数１１】
【００８２】ここで、ｕ1 とｕ2 は互いに直交する単位
ベクトルである。ｂ1 （ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）におけ
る第１の磁場の強さ、ｂ2 （ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）に
おける第２の磁場の強さである。
ベクトルである。ｂ1 （ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）におけ
る第１の磁場の強さ、ｂ2 （ｘ，ｙ）は点（ｘ，ｙ）に
おける第２の磁場の強さである。
【００８３】直交平行磁場を用いることでレイアウトさ
れたグラフの例を図２８に示す。この例においては磁場
の強さはｂ1 （ｘ，ｙ）＝ｂ2 （ｘ，ｙ）＝１、つまり
どこでも一定としている。直交平行磁場を用いてレイア
ウトされたグラフでは、その構造のもつ２種類の流れが
把握しやすくなる。すなわち、図２８(a) のように磁場
を与えないでレイアウトした結果では二分木の構造は明
確であってもエッジの方向はバラバラであるのに対し
て、同図(b) ではエッジの方向が右向き、または下向き
にそろっている。
れたグラフの例を図２８に示す。この例においては磁場
の強さはｂ1 （ｘ，ｙ）＝ｂ2 （ｘ，ｙ）＝１、つまり
どこでも一定としている。直交平行磁場を用いてレイア
ウトされたグラフでは、その構造のもつ２種類の流れが
把握しやすくなる。すなわち、図２８(a) のように磁場
を与えないでレイアウトした結果では二分木の構造は明
確であってもエッジの方向はバラバラであるのに対し
て、同図(b) ではエッジの方向が右向き、または下向き
にそろっている。
【００８４】更に磁場の実施例として動的な磁場を考え
ることができる。例えば放射状磁場や同心円磁場におい
て、磁場を規定する点、例えば円の中心などを固定せず
に動的なものとすることができる。ある特定のノードの
座標を磁場を規定する点として用いることにより、グラ
フの変形に伴って磁場も変化させることができ、放射状
磁場などで特定のノードを中心とした配置を行うことが
容易になる。
ることができる。例えば放射状磁場や同心円磁場におい
て、磁場を規定する点、例えば円の中心などを固定せず
に動的なものとすることができる。ある特定のノードの
座標を磁場を規定する点として用いることにより、グラ
フの変形に伴って磁場も変化させることができ、放射状
磁場などで特定のノードを中心とした配置を行うことが
容易になる。
【００８５】最後に無向エッジの方向の制御について説
明する。多くの場合、有向エッジは向きをそろえてレイ
アウトすることが望まれるのに対して、本来向きを持た
ない無向エッジでは向きをそろえることに意味はない
が、その方向をそろえてレイアウトすることが望まれる
ことはある（ここでは「向き」と「方向」は違う言葉と
して区別する。「向き」は北向き、南向きというように
用いるのに対して、「方向」は南北の方向のように用
い、北と南のどちらを向いているかは問題にしない）。
そのように無向エッジをある方向にそろえるためには、
マグネティック・スプリングの性質をＮ極、Ｓ極に関係
なく、どちらか（例えば近い方）に向くように回転力が
働くというように修正する。
明する。多くの場合、有向エッジは向きをそろえてレイ
アウトすることが望まれるのに対して、本来向きを持た
ない無向エッジでは向きをそろえることに意味はない
が、その方向をそろえてレイアウトすることが望まれる
ことはある（ここでは「向き」と「方向」は違う言葉と
して区別する。「向き」は北向き、南向きというように
用いるのに対して、「方向」は南北の方向のように用
い、北と南のどちらを向いているかは問題にしない）。
そのように無向エッジをある方向にそろえるためには、
マグネティック・スプリングの性質をＮ極、Ｓ極に関係
なく、どちらか（例えば近い方）に向くように回転力が
働くというように修正する。
【００８６】例えば、エッジの中点における磁場の向き
に近い方のノードが磁場の向きを向く（遠いほうのノー
ドは磁場と逆の向きを向く）とするためには、式(6) や
(7)の代わりに下の式(12)を用いてｔを求めればよい。
いま働く力を計算しようとしているノードをもう一方の
ノード側から見た向きをγとすると、
に近い方のノードが磁場の向きを向く（遠いほうのノー
ドは磁場と逆の向きを向く）とするためには、式(6) や
(7)の代わりに下の式(12)を用いてｔを求めればよい。
いま働く力を計算しようとしているノードをもう一方の
ノード側から見た向きをγとすると、
【００８７】
【数１２】
【００８８】となる。この場合、ｔが−π／２＜ｔ＜π
／２の値を取るようにｎ＝０，１，・・・とする。図２
９は図２７と同じ直交平行磁場を図２１の混在グラフに
与えてレイアウトを行った結果であり、有向エッジは下
向きにそろい、無向エッジは水平方向にそろっている。
／２の値を取るようにｎ＝０，１，・・・とする。図２
９は図２７と同じ直交平行磁場を図２１の混在グラフに
与えてレイアウトを行った結果であり、有向エッジは下
向きにそろい、無向エッジは水平方向にそろっている。
【００８９】図３０は図３３で示した問題マップと同様
の比較的簡単な問題マップのレイアウトの例の説明図で
ある。同図(a) は人間がレイアウトした問題マップであ
り、実線が有向エッジを、また点線が無向エッジを表し
ている。同図(b) は本発明の方法によって(a) と同じ問
題マップを自動的にレイアウトした結果である。有向エ
ッジは下方向にそろい、無向エッジはほぼ水平方向にそ
ろっている。
の比較的簡単な問題マップのレイアウトの例の説明図で
ある。同図(a) は人間がレイアウトした問題マップであ
り、実線が有向エッジを、また点線が無向エッジを表し
ている。同図(b) は本発明の方法によって(a) と同じ問
題マップを自動的にレイアウトした結果である。有向エ
ッジは下方向にそろい、無向エッジはほぼ水平方向にそ
ろっている。
【００９０】図３１は図３３に示した問題マップ全体を
自動レイアウトした結果である。これは1,200 回のノー
ド位置修正を繰り返した結果であり、有向エッジはほぼ
下向きに、無向エッジはほぼ水平方向になっている。
自動レイアウトした結果である。これは1,200 回のノー
ド位置修正を繰り返した結果であり、有向エッジはほぼ
下向きに、無向エッジはほぼ水平方向になっている。
【００９１】
【発明の効果】以上詳細に説明したように、本発明によ
ればグラフの自動レイアウトに際して有向エッジ、ある
いは無向エッジの方向を制御することが可能となる。そ
れによって、複数種類のエッジを持つ有向グラフのレイ
アウトにおいて各種類のエッジをそれぞれ一定の方向に
向かせたり、混在グラフのレイアウトにおいて有向エッ
ジだけを一定方向に向かせたり、無向エッジも特定の方
向にそろえると言った制御が可能となる。これによっ
て、例えば状態遷移図、データフロー図などの、様々な
構造を表現するためのグラフを人間にとってより理解し
やすくすることが可能となる。
ればグラフの自動レイアウトに際して有向エッジ、ある
いは無向エッジの方向を制御することが可能となる。そ
れによって、複数種類のエッジを持つ有向グラフのレイ
アウトにおいて各種類のエッジをそれぞれ一定の方向に
向かせたり、混在グラフのレイアウトにおいて有向エッ
ジだけを一定方向に向かせたり、無向エッジも特定の方
向にそろえると言った制御が可能となる。これによっ
て、例えば状態遷移図、データフロー図などの、様々な
構造を表現するためのグラフを人間にとってより理解し
やすくすることが可能となる。
【図１】本発明の機能ブロック図である。
【図２】本発明のグラフ自動レイアウト方法を実現する
ためのコンピュータシステムの構成を示すブロック図で
ある。
ためのコンピュータシステムの構成を示すブロック図で
ある。
【図３】マグネティック・スプリングを用いた物理モデ
ルによるグラフのレイアウトの説明図である。
ルによるグラフのレイアウトの説明図である。
【図４】本発明のグラフ自動レイアウト方法の原理的な
フローチャートである。
フローチャートである。
【図５】本発明のグラフ自動レイアウト方法の一般的な
全体的処理手順の説明図である。
全体的処理手順の説明図である。
【図６】グラフ自動レイアウト方法の実施例の全体処理
フローチャートである。
フローチャートである。
【図７】初期配置の詳細処理フローチャートである。
【図８】全てのノードに働く力の計算処理の詳細フロー
チャートである。
チャートである。
【図９】１つのノードに働く力の計算処理の詳細フロー
チャートである。
チャートである。
【図１０】式(6) および式(7) の説明図である。
【図１１】ノード位置修正処理の詳細フローチャートで
ある。
ある。
【図１２】ノード位置修正処理の他の実施例のフローチ
ャートである。
ャートである。
【図１３】平行磁場の説明図である。
【図１４】平行磁場による有向グラフのレイアウト例を
示す図である。
示す図である。
【図１５】初期配置から図１４(b) のレイアウト結果を
得るまでの途中経過の説明図（その１）である。
得るまでの途中経過の説明図（その１）である。
【図１６】初期配置から図１４(b) のレイアウト結果を
得るまでの途中経過の説明図（その２）である。
得るまでの途中経過の説明図（その２）である。
【図１７】初期配置から図１４(b) のレイアウト結果を
得るまでの途中経過の説明図（その３）である。
得るまでの途中経過の説明図（その３）である。
【図１８】図１４(a) の結果から(b) の結果を得るまで
の自動レイアウト処理における途中経過の説明図（その
１）である。
の自動レイアウト処理における途中経過の説明図（その
１）である。
【図１９】図１４(a) の結果から(b) の結果を得るまで
の自動レイアウト処理における途中経過の説明図（その
２）である。
の自動レイアウト処理における途中経過の説明図（その
２）である。
【図２０】一部のノードをアンカーとして固定した場合
の図１４(a) から(b) を得るまでの途中経過の説明図で
ある。
の図１４(a) から(b) を得るまでの途中経過の説明図で
ある。
【図２１】平行磁場による混在グラフのレイアウトの例
を示す図である。
を示す図である。
【図２２】図２１(a) から(b) までの自動レイアウト処
理の途中経過の説明図である。
理の途中経過の説明図である。
【図２３】放射状磁場の説明図である。
【図２４】放射状磁場によるグラフのレイアウトの例を
示す図である。
示す図である。
【図２５】同心円磁場の説明図である。
【図２６】同心円磁場によるグラフのレイアウトの例を
示す図である。
示す図である。
【図２７】直交平行磁場の説明図である。
【図２８】直交平行磁場によるグラフのレイアウトの例
を示す図である。
を示す図である。
【図２９】直交平行磁場による混在グラフのレイアウト
の例を示す図である。
の例を示す図である。
【図３０】比較的簡単な問題マップの例の自動レイアウ
トの例を示す図である。
トの例を示す図である。
【図３１】図３３の問題マップの全体の自動レイアウト
結果を示す図である。
結果を示す図である。
【図３２】従来の力指向法におけるスプリングを用いた
モデルによるグラフのレイアウトの説明図である。
モデルによるグラフのレイアウトの説明図である。
【図３３】混在グラフの例としての問題マップを示す図
である。
である。
１０ 中央処理装置（ＣＰＵ） １１ 入出力装置 １２ メモリ １２ａ プログラム格納領域 １２ｂ グラフデータ格納領域 １３ グラフデータ １３ａ ノードデータ １３ｂ エッジデータ １４ 磁場データ １５ 総合管理部 １６ 初期配置計算部 １７ 修正量計算部 １８ 位置修正部 １９ 繰返し管理部
フロントページの続き (56)参考文献 特開 平６−131470（ＪＰ，Ａ) 特開 平５−61984（ＪＰ，Ａ) 鎌田富久，グラフ描画アルゴリズム, コンピュータ・サイエンス誌 ｂｉｔ, 日本，共立出版，1991年３月１日，Ｖｏ ｌ．23，Ｎｏ．３，284−290 ＴＨＯＭＡＳ Ｍ．Ｊ．ＦＲＵＣＨＴ ＥＲＭＡＮ，Ｇｒａｐｈ Ｄｒａｗｉｎ ｇ ｂｙ Ｆｏｒｃｅ−ｄｉｒｅｃｔｅ ｄ Ｐｌａｃｅｍｅｎｔ，ＳＯＦＴＷＡ ＲＥ ＰＲＡＣＴＩＣＥ ＆ ＥＸＰＥ ＲＩＥＮＣＥ，米国，Ｊｈｏｎ Ｗｉｌ ｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ，Ｌｔｄ，Ｖｏｌ. 21，Ｎｏ．11，1129−1164 鈴木和彦，鎌田富久，グラフ構造理解 のための単純無向グラフの自動描画アル ゴリズム，第35回プログラミングシンポ ジウム報告集，日本，プログラミング・ シンポジウム委員会，1994年１月11日, 71−82 三末和男，杉山公造，マグネティッ ク・スプリング・モデルによるグラフ描 画法について，情報処理学会研究報告, 日本，情報処理学会，1994年７月14日, Ｖｏｌ．94，Ｎｏ．60，17−24，本願発 明対応論文：本願出願後公知 (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G06T 11/20 120 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)
Claims (18)
- 【請求項１】 複数のノードとエッジを持ち前記各エッ
ジが複数の前記各ノード間の対応関係を示しているグラ
フ内の、前記各ノードの位置を決定する自動グラフレイ
アウト装置であって自動的に前記グラフのレイアウトを
行う自動グラフレイアウトの為のプログラムデータを保
持するプログラムデータ保持手段と、 前記ノードのノード属性を示すノードデータ、前記エッ
ジのエッジ属性を示すエッジデータ及び物理モデルを生
成するためのデータを保持するグラフデータ保持手段
と、 前記グラフデータ保持手段内のデータに基いて、複数の
前記エッジに働く力を定義する働力定義手段と、 前記グラフデータ保持手段内のデータに基いて、前記定
義された力を組み入れ且つ前記グラフに対応した物理モ
デルを生成する物理モデル生成手段と、 前記物理モデル内で、前記各ノードの位置を逐次的に修
正を繰り返すことによって、該物理モデルの安定状態を
求める安定状態算出手段と、 前記物理モデルの前記安定状態に対応したグラフを出力
するグラフ出力手段と、 を備え、 前記安定状態算出手段は、 前記プログラムデータに基いて、各ノードの初期配置を
計算する初期計算手段と、 前記プログラムデータに基いて、前記ノードの位置の前
記修正を行った回数を管理する繰り返し管理手段と、 前記プログラムデータに基いて、前記グラフデータ保持
手段内のデータを用いて前記ノードの位置の修正量を計
算する修正量計算手段と、 前記プログラムデータに基いて、前記修正量計算手段に
よる計算結果に基いて、前記ノードの前記位置を修正す
る位置修正手段とを有することを特徴とする自動グラフ
レイアウト装置。 - 【請求項２】 複数のノードとエッジを持ち前記各エッ
ジが複数の前記各ノード間の対応関係を示しているグラ
フ内の、前記各ノードの位置を決定する自動グラフレイ
アウト装置であって予め定まった指向性を持つ仮想物理
領域を示す情報を格納する手段と、 前記仮想物理領域に置かれた時、前記指向性に基いた力
をうける仮想物理要素を示す情報を格納する手段と、 前記仮想物理的領域に前記グラフ全体を置いて物理モデ
ルとし、該グラフ内の前記各エッジを前記仮想物理要素
として表す手段と、 前記仮想物理領域内の前記グラフ内の前記各エッジに働
く力の関係を決定し、 前記力の関係が安定するノードの位置を得る手段と、 前記力の関係が安定した前記ノードの位置を元にした前
記グラフを出力する手段と、 を備えることを特徴とする自動グラフレイアウト装置。 - 【請求項３】 請求項１または２において、前記エッジ
に働く力が該エッジの両端に働く回転力であることを特
徴とするグラフ自動レイアウト装置。 - 【請求項４】 請求項１，２または３において、前記複
数のノードのうちの一部のノードがあらかじめ限定され
た範囲に位置するとの条件の下で、前記物理モデルの安
定状態を求めることを特徴とするグラフ自動レイアウト
装置。 - 【請求項５】 請求項１，２，３，または４において、
前記物理モデルに対して逐次的に該物理モデルにおける
ノードの位置の修正を繰り返すことによって、前記安定
状態を求めることを特徴とするグラフ自動レイアウト装
置。 - 【請求項６】 請求項１，２，３，または４において、
前記グラフに対応して、前記エッジを仮想的な方位磁針
とし、該エッジと前記ノードが仮想的な磁場に置かれた
とする物理モデルを作成することを特徴とするグラフ自
動レイアウト装置。 - 【請求項７】 請求項１，２，３，または４において、
前記グラフに対応して、前記エッジを仮想的な方位磁針
の性質を持つスプリングであるマグネティック・スプリ
ングとし、該エッジと前記ノードが仮想的な磁場に置か
れたとする物理モデルを作成することを特徴とするグラ
フ自動レイアウト装置。 - 【請求項８】 請求項６，または７において、前記エッ
ジが、前記仮想的磁場のＮ極、またはＳ極のどちらかを
向く特殊な方位磁針であることを特徴とするグラフ自動
レイアウト装置。 - 【請求項９】 請求項６，７，または８において、前記
エッジのうちの一部のみを方位磁針、または前記マグネ
ティック・スプリングとすることを特徴とするグラフ自
動レイアウト装置。 - 【請求項１０】 請求項６，７，８，または９におい
て、前記仮想的磁場が向き一様の平行磁場であることを
特徴とするグラフ自動レイアウト装置。 - 【請求項１１】 請求項６，７，８，または９におい
て、前記仮想的磁場が、その向きがある一点から放射状
に外向きの、またはある一点に向かって放射状に内向き
の放射状磁場であることを特徴とするグラフ自動レイア
ウト装置。 - 【請求項１２】 請求項６，７，８，または９におい
て、前記仮想的磁場が、その向きがある一点を中心とし
た同心円状時計回り向きの、または反時計回り向きの同
心円磁場であることを特徴とするグラフ自動レイアウト
装置。 - 【請求項１３】 請求項６，７，８，または９におい
て、前記仮想的磁場が、２種以上の磁場の組み合わせの
複合磁場であり、前記方位磁針、またはマグネティック
・スプリングが該２種以上の磁場のうちの１つ以上から
影響を受けることを特徴とするグラフ自動レイアウト装
置。 - 【請求項１４】 請求項６，７，８，９，または１３に
おいて、前記磁場あるいは複合磁場が、前記物理モデル
に対して局所的に影響を与えることを特徴とするグラフ
自動レイアウト装置。 - 【請求項１５】 請求項６，７，８，９，または１３に
おいて、前記磁場あるいは複合磁場が動的に変化するも
のであり、該動的変化に対応して前記物理モデルの安定
状態を求めることを特徴とするグラフ自動レイアウト装
置。 - 【請求項１６】 請求項６，７，８，９，または１３に
おいて、前記磁場あるいは複合磁場が時間と共に動的に
変化するものであり、該動的変化に対応して逐次的に前
記物理モデルにおけるノードの位置の修正を繰り返すこ
とによって前記安定状態を求めることを特徴とするグラ
フ自動レイアウト装置。 - 【請求項１７】 請求項１または２において、前記エッ
ジに働く力が該エッジに働く重力であることを特徴とす
るグラフ自動レイアウト装置。 - 【請求項１８】 請求項１または２において、前記エッ
ジに働く力が電場によって該エッジに働く力であること
を特徴とするグラフ自動レイアウト装置。
Priority Applications (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP16081994A JP3350223B2 (ja) | 1994-07-13 | 1994-07-13 | グラフ自動レイアウト方法及び装置 |
| US08/498,919 US5764239A (en) | 1994-07-13 | 1995-07-06 | Automatic graph layout apparatus and methods determining and using a stable state of a physical model |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP16081994A JP3350223B2 (ja) | 1994-07-13 | 1994-07-13 | グラフ自動レイアウト方法及び装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH0830799A JPH0830799A (ja) | 1996-02-02 |
| JP3350223B2 true JP3350223B2 (ja) | 2002-11-25 |
Family
ID=15723108
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP16081994A Expired - Fee Related JP3350223B2 (ja) | 1994-07-13 | 1994-07-13 | グラフ自動レイアウト方法及び装置 |
Country Status (2)
| Country | Link |
|---|---|
| US (1) | US5764239A (ja) |
| JP (1) | JP3350223B2 (ja) |
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-
1995
- 1995-07-06 US US08/498,919 patent/US5764239A/en not_active Expired - Lifetime
Non-Patent Citations (4)
| Title |
|---|
| ＴＨＯＭＡＳ Ｍ．Ｊ．ＦＲＵＣＨＴＥＲＭＡＮ，Ｇｒａｐｈ Ｄｒａｗｉｎｇ ｂｙ Ｆｏｒｃｅ−ｄｉｒｅｃｔｅｄ Ｐｌａｃｅｍｅｎｔ，ＳＯＦＴＷＡＲＥ ＰＲＡＣＴＩＣＥ ＆ ＥＸＰＥＲＩＥＮＣＥ，米国，Ｊｈｏｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ，Ｌｔｄ，Ｖｏｌ．２１，Ｎｏ．１１，１１２９−１１６４ |
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Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| US5764239A (en) | 1998-06-09 |
| JPH0830799A (ja) | 1996-02-02 |
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