JP3332626B2 - ２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置 - Google Patents
２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置Info
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明はＣＡＤ等における２楕円
の共通接線作成方法及び図形処理装置に関するものであ
る。
の共通接線作成方法及び図形処理装置に関するものであ
る。
【０００２】
【従来の技術】従来から、ＣＡＤ等で計算機を使って２
楕円の共通接線を算出するる方法として、４次の評価関
数を作成してその評価関数を代数的に解く方法が知られ
ている。
楕円の共通接線を算出するる方法として、４次の評価関
数を作成してその評価関数を代数的に解く方法が知られ
ている。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来の
方法だと２つの楕円の位相関係を考慮せずに処理を行っ
ているので、解の共通接線の個数に位相関係との矛盾が
生じたり、かならずしも安定的には解が求まらないとい
う問題点があった。本発明は、前記従来の欠点を除去
し、安定して矛盾なく２つの楕円の共通接線を作成する
２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置を提供す
る。
方法だと２つの楕円の位相関係を考慮せずに処理を行っ
ているので、解の共通接線の個数に位相関係との矛盾が
生じたり、かならずしも安定的には解が求まらないとい
う問題点があった。本発明は、前記従来の欠点を除去
し、安定して矛盾なく２つの楕円の共通接線を作成する
２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置を提供す
る。
【０００４】
【課題を解決するための手段】この課題を解決するため
に、本発明の２楕円の共通接線作成方法は、計算機を使
用して２楕円の共通接線を作成する２楕円の共通接線作
成方法であって、実空間の座標系の座標値で入力された
２つの楕円の座標を記憶手段に記憶するステップと、前
記入力された２つの楕円の内、一方の楕円の中心点が原
点と一致し、且つ長軸ベクトルがＸ軸と一致するような
座標系に、前記２つの楕円の座標変換を行って、座標変
換後の前記２つの楕円の座標を前記記憶手段に記憶する
ステップと、前記座標変換後の２つの楕円の座標に基づ
いて交点を算出し、算出した交点の数をカウントして該
交点の数を前記記憶手段に記憶するステップと、前記記
憶手段に記憶された交点の数と、前記座標変換後の２つ
の楕円の座標から得られる２つの楕円の位置関係とか
ら、予め記憶されている交点の数及び２つの楕円の位置
関係と２つの楕円の位相関係との対応関係に基づいて、
前記２つの楕円の位相関係を求めるステップと、前記求
めた位相関係から、予め記憶されている位相関係と共通
接線の本数との対応関係に基づいて、共通接線の本数を
定めるステップと、前記座標変換された２つの楕円の座
標から、予め記憶されているパラメトリック表現の評価
関数に基づいて、前記共通接線の本数分のパラメトリッ
ク表現の解を求めて、前記２つの楕円の共通接線の座標
として前記記憶手段に記憶するステップと、前記求まっ
たパラメトリック表現の解を前記実空間の座標系の座標
値に変換して、前記実空間の座標系の前記２つの楕円の
共通接線の座標として前記記憶手段に記憶するステップ
と、前記入力された２つの楕円と共通接線を前記実空間
の座標系の座標値で表示手段に表示するステップとを備
えることを特徴とする。
に、本発明の２楕円の共通接線作成方法は、計算機を使
用して２楕円の共通接線を作成する２楕円の共通接線作
成方法であって、実空間の座標系の座標値で入力された
２つの楕円の座標を記憶手段に記憶するステップと、前
記入力された２つの楕円の内、一方の楕円の中心点が原
点と一致し、且つ長軸ベクトルがＸ軸と一致するような
座標系に、前記２つの楕円の座標変換を行って、座標変
換後の前記２つの楕円の座標を前記記憶手段に記憶する
ステップと、前記座標変換後の２つの楕円の座標に基づ
いて交点を算出し、算出した交点の数をカウントして該
交点の数を前記記憶手段に記憶するステップと、前記記
憶手段に記憶された交点の数と、前記座標変換後の２つ
の楕円の座標から得られる２つの楕円の位置関係とか
ら、予め記憶されている交点の数及び２つの楕円の位置
関係と２つの楕円の位相関係との対応関係に基づいて、
前記２つの楕円の位相関係を求めるステップと、前記求
めた位相関係から、予め記憶されている位相関係と共通
接線の本数との対応関係に基づいて、共通接線の本数を
定めるステップと、前記座標変換された２つの楕円の座
標から、予め記憶されているパラメトリック表現の評価
関数に基づいて、前記共通接線の本数分のパラメトリッ
ク表現の解を求めて、前記２つの楕円の共通接線の座標
として前記記憶手段に記憶するステップと、前記求まっ
たパラメトリック表現の解を前記実空間の座標系の座標
値に変換して、前記実空間の座標系の前記２つの楕円の
共通接線の座標として前記記憶手段に記憶するステップ
と、前記入力された２つの楕円と共通接線を前記実空間
の座標系の座標値で表示手段に表示するステップとを備
えることを特徴とする。
【０００５】ここで、前記２つの楕円の座標変換を行う
ステップは、一方の楕円の中心点が原点と一致し、且つ
長軸ベクトルがＸ軸と一致するような変換を行う変換マ
トリックスを生成して記憶するステップと、前記変換マ
トリックスにより２つの楕円の座標変換を行うステップ
とを有する。また、前記解を求めるステップでは、中心
点が原点となった一方の楕円上の一点Ｐ１から他方の楕
円に引かれた２本の接線Ｌ１，Ｌ２が、前記一方の楕円
の接線となる条件を満たした場合の前記評価関数の変数
を解とする。また、前記評価関数は、前記点Ｐ１の原点
回りの角度をθとした場合に、 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数である。
ステップは、一方の楕円の中心点が原点と一致し、且つ
長軸ベクトルがＸ軸と一致するような変換を行う変換マ
トリックスを生成して記憶するステップと、前記変換マ
トリックスにより２つの楕円の座標変換を行うステップ
とを有する。また、前記解を求めるステップでは、中心
点が原点となった一方の楕円上の一点Ｐ１から他方の楕
円に引かれた２本の接線Ｌ１，Ｌ２が、前記一方の楕円
の接線となる条件を満たした場合の前記評価関数の変数
を解とする。また、前記評価関数は、前記点Ｐ１の原点
回りの角度をθとした場合に、 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数である。
【０００６】なおここで、ａ＝標準位置にある楕円Ｅ１
の長軸ベクトルの長さ、ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の
短軸ベクトルの長さ、PX2 ＝パラメータθに対する標準
位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接
線上の一点のｘ成分（直線Ｌ１）、PY2 ＝パラメータθ
に対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕
円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分（直線Ｌ１）、PX3 ＝
パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１
から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分（直線Ｌ
２）、PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１
上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ
成分（直線Ｌ２）である。
の長軸ベクトルの長さ、ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の
短軸ベクトルの長さ、PX2 ＝パラメータθに対する標準
位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接
線上の一点のｘ成分（直線Ｌ１）、PY2 ＝パラメータθ
に対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕
円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分（直線Ｌ１）、PX3 ＝
パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１
から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分（直線Ｌ
２）、PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１
上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ
成分（直線Ｌ２）である。
【０００７】また、前記２つの楕円の共通接線の本数を
定めるステップの後に、解の存在範囲を確定するステッ
プを更に有する。また、前記２つの楕円の共通接線の本
数を定めるステップの後に、接点での接線が２つの楕円
の共通接線となる場合において、そこでの接線を直接算
出するステップを更に有する。又、本発明の図形処理装
置は、予め作成された図形に関連して新たな図形を作成
する図形処理装置において、２つの楕円が与えられた場
合に、一方の楕円の中心点が原点と一致し、且つ長軸ベ
クトルがＸ軸と一致するような座標系に、２つの楕円の
座標変換を行う座標変換手段と、前記変換後の２つの楕
円の交点を算出して、求まった交点の数と２つの楕円の
位置とから２つの楕円の位相関係を求め、前記求めた位
相関係により共通接線の本数を定める接線本数決定手段
と、前記座標変換された２つの楕円から、所定のパラメ
トリック表現の評価関数に基づいて、前記共通接線の本
数分のパラメトリック表現の解を求める直線評価手段
と、前記求まったパラメトリック表現の解を実空間の座
標値に変換して２つの楕円の共通接線として出力する共
通接線作成手段とを備えることを特徴とする。
定めるステップの後に、解の存在範囲を確定するステッ
プを更に有する。また、前記２つの楕円の共通接線の本
数を定めるステップの後に、接点での接線が２つの楕円
の共通接線となる場合において、そこでの接線を直接算
出するステップを更に有する。又、本発明の図形処理装
置は、予め作成された図形に関連して新たな図形を作成
する図形処理装置において、２つの楕円が与えられた場
合に、一方の楕円の中心点が原点と一致し、且つ長軸ベ
クトルがＸ軸と一致するような座標系に、２つの楕円の
座標変換を行う座標変換手段と、前記変換後の２つの楕
円の交点を算出して、求まった交点の数と２つの楕円の
位置とから２つの楕円の位相関係を求め、前記求めた位
相関係により共通接線の本数を定める接線本数決定手段
と、前記座標変換された２つの楕円から、所定のパラメ
トリック表現の評価関数に基づいて、前記共通接線の本
数分のパラメトリック表現の解を求める直線評価手段
と、前記求まったパラメトリック表現の解を実空間の座
標値に変換して２つの楕円の共通接線として出力する共
通接線作成手段とを備えることを特徴とする。
【０００８】ここで、前記直線評価手段は、中心点が原
点となった一方の楕円上の一点Ｐ１から他方の楕円に引
かれた２本の接線Ｌ１，Ｌ２が、前記一方の楕円の接線
となる条件を満たした場合の前記評価関数の変数を解と
し、前記評価関数は、前記点Ｐ１の原点回りの角度をθ
とした場合に、 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数である。
点となった一方の楕円上の一点Ｐ１から他方の楕円に引
かれた２本の接線Ｌ１，Ｌ２が、前記一方の楕円の接線
となる条件を満たした場合の前記評価関数の変数を解と
し、前記評価関数は、前記点Ｐ１の原点回りの角度をθ
とした場合に、 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数である。
【０００９】なおここで、ａ＝標準位置にある楕円Ｅ１
の長軸ベクトルの長さ、ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の
短軸ベクトルの長さ、PX2 ＝パラメータθに対する標準
位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接
線上の一点のｘ成分（直線Ｌ１）、PY2 ＝パラメータθ
に対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕
円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分（直線Ｌ１）、PX3 ＝
パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１
から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分（直線Ｌ
２）、PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１
上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ
成分（直線Ｌ２）である。
の長軸ベクトルの長さ、ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の
短軸ベクトルの長さ、PX2 ＝パラメータθに対する標準
位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接
線上の一点のｘ成分（直線Ｌ１）、PY2 ＝パラメータθ
に対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１から他方の楕
円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分（直線Ｌ１）、PX3 ＝
パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一点Ｐ１
から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分（直線Ｌ
２）、PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１
上の一点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ
成分（直線Ｌ２）である。
【００１０】
【実施例】図１は、本発明の共通接線作成方法を実現す
る図形処理装置のブロック図である。バス１（制御線、
データ線及びアドレス線を含む）には、中央処理装置
（ＣＰＵ）２、リード・オンリ・メモリ（ＲＯＭ）３、
ランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）４、入力インタ
ーフェイス５を介して入力装置６、ＣＲＴインターフェ
イス７を介してＣＲＴ８、外部記憶装置インターフェイ
ス９を介して、磁気ディスク、磁気テープ等の外部記憶
装置１０が接続されている。ＣＰＵ２は、ＲＯＭ３に記
憶されたプログラムに従って、ＲＡＭ４を一時記憶装置
として種々の処理及び制御、例えば図形入力制御，図形
表示処理，ピック処理，交点算出などを行う。
る図形処理装置のブロック図である。バス１（制御線、
データ線及びアドレス線を含む）には、中央処理装置
（ＣＰＵ）２、リード・オンリ・メモリ（ＲＯＭ）３、
ランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）４、入力インタ
ーフェイス５を介して入力装置６、ＣＲＴインターフェ
イス７を介してＣＲＴ８、外部記憶装置インターフェイ
ス９を介して、磁気ディスク、磁気テープ等の外部記憶
装置１０が接続されている。ＣＰＵ２は、ＲＯＭ３に記
憶されたプログラムに従って、ＲＡＭ４を一時記憶装置
として種々の処理及び制御、例えば図形入力制御，図形
表示処理，ピック処理，交点算出などを行う。
【００１１】本例では、ＲＯＭ３に、２楕円の共通接線
を作成する接線作成プログラム３ａと作成された線が接
線か否かを評価する評価関数３ｂが、ＲＡＭ４に、一方
の楕円の中心を原点とし長軸をＸ軸とするする座標への
変換マトリックス４ａ，２楕円の交点数４ｂ，楕円及び
接線の実空間座標値４ｃ，上記変換マトリックス４ａに
より変換された楕円及び接線の変換座標値４ｄが格納さ
れる。
を作成する接線作成プログラム３ａと作成された線が接
線か否かを評価する評価関数３ｂが、ＲＡＭ４に、一方
の楕円の中心を原点とし長軸をＸ軸とするする座標への
変換マトリックス４ａ，２楕円の交点数４ｂ，楕円及び
接線の実空間座標値４ｃ，上記変換マトリックス４ａに
より変換された楕円及び接線の変換座標値４ｄが格納さ
れる。
【００１２】入力装置６はキーボード，タブレット，マ
ウス等であり、図形データの入力を行なうが、この図形
データはホストコンピュータから受けてもよい。ＣＲＴ
８は必要に応じて複数のビットマップ・プレーン等を含
んでおり図形を表示する。以下、図１〜図４を参照して
本発明の好適な実施例を説明するが、以下に述べる処理
及び判断はＣＰＵ２がＲＯＭ３のプログラムに従って行
なう。
ウス等であり、図形データの入力を行なうが、この図形
データはホストコンピュータから受けてもよい。ＣＲＴ
８は必要に応じて複数のビットマップ・プレーン等を含
んでおり図形を表示する。以下、図１〜図４を参照して
本発明の好適な実施例を説明するが、以下に述べる処理
及び判断はＣＰＵ２がＲＯＭ３のプログラムに従って行
なう。
【００１３】図２の本実施例の流れを示すフローチャー
トに従って、２楕円の共通接線作成処理の説明を行な
う。 （ステップＳ１：変換マトリックスの算出）本実施例で
は、まず対象２楕円のうち、一方の楕円の中心点が原点
に一致し、その楕円の長軸ベクトルがＸ軸に一致するよ
うな変換マトリックスを求め、ＲＡＭ４または外部記憶
インターフェイス９を介して外部記憶装置１０に登録す
る。
トに従って、２楕円の共通接線作成処理の説明を行な
う。 （ステップＳ１：変換マトリックスの算出）本実施例で
は、まず対象２楕円のうち、一方の楕円の中心点が原点
に一致し、その楕円の長軸ベクトルがＸ軸に一致するよ
うな変換マトリックスを求め、ＲＡＭ４または外部記憶
インターフェイス９を介して外部記憶装置１０に登録す
る。
【００１４】（ステップＳ２：２楕円に変換を行なう）
ステップＳ１で求めた変換マトリックスによる変換を対
象２楕円に対し行なう。このステップによって一方の楕
円は中心点が原点にあり、長軸ベクトルがＸ軸と一致す
るような標準位置に移動し、他方の楕円は標準位置より
元の２楕円の相対的な位置関係分離れたところに移動す
る（図４参照）。
ステップＳ１で求めた変換マトリックスによる変換を対
象２楕円に対し行なう。このステップによって一方の楕
円は中心点が原点にあり、長軸ベクトルがＸ軸と一致す
るような標準位置に移動し、他方の楕円は標準位置より
元の２楕円の相対的な位置関係分離れたところに移動す
る（図４参照）。
【００１５】（ステップＳ３：２楕円の交点を算出す
る）２楕円の交点を算出する。なおこの時接点は交点と
みなしてよい。そしてその交点数をＲＡＭ４又は外部記
憶インターフェイス９を介して外部記憶装置１０に登録
する。 （ステップＳ４：２楕円の位相関係を算出する）２楕円
の位相関係を、ＲＡＭ４又は外部記憶装置１０に登録し
てある交点数を基に算出する。例えば、ステップＳ３で
算出された交点数が“０”の場合、可能な位相関係は図
３に示すa-1 ないしa-2 になる。この２つを分別するに
は、一方の楕円が他方の楕円に含まれるか含まれないか
の判定を行えばよい。
る）２楕円の交点を算出する。なおこの時接点は交点と
みなしてよい。そしてその交点数をＲＡＭ４又は外部記
憶インターフェイス９を介して外部記憶装置１０に登録
する。 （ステップＳ４：２楕円の位相関係を算出する）２楕円
の位相関係を、ＲＡＭ４又は外部記憶装置１０に登録し
てある交点数を基に算出する。例えば、ステップＳ３で
算出された交点数が“０”の場合、可能な位相関係は図
３に示すa-1 ないしa-2 になる。この２つを分別するに
は、一方の楕円が他方の楕円に含まれるか含まれないか
の判定を行えばよい。
【００１６】この判定は以下のように行なう。２楕円の
中心点を結ぶ線分を作成し、その線分の長さがもし幾何
学的許容誤差ε以内であれば２楕円の中心点は一致して
いるとみなす。この場合、すでに２楕円は交点をもたな
いということがわかっているので、２楕円の位相関係は
図３に示すa-2 になる。また、２楕円の中心点を結ぶ線
分の長さが幾何学的許容誤差ε以上であれば、その線分
と２楕円のうち大きい長軸を持つ楕円との交点算出を行
なう。もし交点が存在するならば２楕円の位相関係は図
３に示すa-1 になり、もし交点が存在しなければa-2 と
する。
中心点を結ぶ線分を作成し、その線分の長さがもし幾何
学的許容誤差ε以内であれば２楕円の中心点は一致して
いるとみなす。この場合、すでに２楕円は交点をもたな
いということがわかっているので、２楕円の位相関係は
図３に示すa-2 になる。また、２楕円の中心点を結ぶ線
分の長さが幾何学的許容誤差ε以上であれば、その線分
と２楕円のうち大きい長軸を持つ楕円との交点算出を行
なう。もし交点が存在するならば２楕円の位相関係は図
３に示すa-1 になり、もし交点が存在しなければa-2 と
する。
【００１７】ステップＳ３で算出された交点数が“１”
の場合、可能な位相関係は図３に示すb-1 ないしb-2 に
なる。この２つを分別するには、一方の楕円が他方の楕
円に含まれるか含まれないかの判定を行えば良い。この
判定方法は、上記した交点数が“０”の時と同じように
行える。ステップＳ３で算出された交点数が“２”の場
合、可能な位相関係は図３に示すc-1 になる。
の場合、可能な位相関係は図３に示すb-1 ないしb-2 に
なる。この２つを分別するには、一方の楕円が他方の楕
円に含まれるか含まれないかの判定を行えば良い。この
判定方法は、上記した交点数が“０”の時と同じように
行える。ステップＳ３で算出された交点数が“２”の場
合、可能な位相関係は図３に示すc-1 になる。
【００１８】ステップＳ３で算出された交点数が“３”
の場合、可能な位相関係は図３に示すd-1 になる。ステ
ップＳ３で算出された交点数が“４”の場合、可能な位
相関係は図３に示すe-1 になる。ステップＳ３で２楕円
が同じだと判定された場合、可能な位相関係は図３に示
すｆ-1になる。
の場合、可能な位相関係は図３に示すd-1 になる。ステ
ップＳ３で算出された交点数が“４”の場合、可能な位
相関係は図３に示すe-1 になる。ステップＳ３で２楕円
が同じだと判定された場合、可能な位相関係は図３に示
すｆ-1になる。
【００１９】（ステップＳ５：共通接線の本数を定め
る）ステップＳ４で算出された２楕円の位相関係を基
に、求めるべき共通接点の本数を定める。 ケース a-1 a-2 b-1 b-2 c-1 d-1 e-1 f-1 本数 ４ ０ ３ １ ２ ３ ４ ０ （ステップＳ６：パラメータ解を算出する）ステップＳ
５で定まった接線の本数分、下記の評価関数(1) 及び評
価関数(2)が“０”となるθの解を割線法を用いて算出
する。以下、割線法による解の算出を、図４の例を参照
にして説明する。
る）ステップＳ４で算出された２楕円の位相関係を基
に、求めるべき共通接点の本数を定める。 ケース a-1 a-2 b-1 b-2 c-1 d-1 e-1 f-1 本数 ４ ０ ３ １ ２ ３ ４ ０ （ステップＳ６：パラメータ解を算出する）ステップＳ
５で定まった接線の本数分、下記の評価関数(1) 及び評
価関数(2)が“０”となるθの解を割線法を用いて算出
する。以下、割線法による解の算出を、図４の例を参照
にして説明する。
【００２０】 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数である。なおここで、 ａ＝標準位置にある楕円Ｅ１の長軸ベクトルの長さ ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の短軸ベクトルの長さ PX2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ１） PY2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ１） PX3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ２） PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ２） 従って、評価関数(1) 及び評価関数(2) は、楕円Ｅ１上
の点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２に引かれた接線ベクトルと
点Ｐ１での法線ベクトルとの内積であり、共通接線の場
合は、ｆ( θ) ，ｇ( θ) は“０”となる。
は直線Ｌ２に対する評価関数である。なおここで、 ａ＝標準位置にある楕円Ｅ１の長軸ベクトルの長さ ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の短軸ベクトルの長さ PX2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ１） PY2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ１） PX3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ２） PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ２） 従って、評価関数(1) 及び評価関数(2) は、楕円Ｅ１上
の点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２に引かれた接線ベクトルと
点Ｐ１での法線ベクトルとの内積であり、共通接線の場
合は、ｆ( θ) ，ｇ( θ) は“０”となる。
【００２１】（ステップＳ７：パラメータ解を実空間の
座標値に変換する）ステップＳ６で算出した、標準位置
にある楕円Ｅ１上のパラメータθにより移動する点Ｐ１
が、その楕円Ｅ１の接線である場合が解、すなわち両楕
円の共通接線である。上記パラメータは標準位置に移動
する前の楕円に関しても有効であるため、そのパラメー
タθで表わされた接線を実空間の座標値に変換する。
座標値に変換する）ステップＳ６で算出した、標準位置
にある楕円Ｅ１上のパラメータθにより移動する点Ｐ１
が、その楕円Ｅ１の接線である場合が解、すなわち両楕
円の共通接線である。上記パラメータは標準位置に移動
する前の楕円に関しても有効であるため、そのパラメー
タθで表わされた接線を実空間の座標値に変換する。
【００２２】算出された実空間の接線座標値を、ＲＡＭ
４または外部記憶インターフェイス９を介して外部記憶
装置１０に登録する。尚、図２には図示しなかったが、
算出された実空間の接線座標値に基づいて、ＣＲＴ８の
画面上に２楕円の共通接線が描画される。 ＜本実施例の変形例＞上記実施例の図２のステップＳ５
とＳ６との間に、以下のステップＳ５−１及び／又はＳ
５−２を追加することで、算出すべき解の数を減らすこ
とが可能である。
４または外部記憶インターフェイス９を介して外部記憶
装置１０に登録する。尚、図２には図示しなかったが、
算出された実空間の接線座標値に基づいて、ＣＲＴ８の
画面上に２楕円の共通接線が描画される。 ＜本実施例の変形例＞上記実施例の図２のステップＳ５
とＳ６との間に、以下のステップＳ５−１及び／又はＳ
５−２を追加することで、算出すべき解の数を減らすこ
とが可能である。
【００２３】（ステップＳ５−２：解の存在範囲を確定
する）ステップＳ５で定まった接線の本数分、評価関数
(1) 及び評価関数(2) を計算し、ステップＳ６の前処理
として２分法により解の存在範囲の確定を予め行なう。 （ステップＳ５−１：接点での接線の算出）ステップＳ
５において接線の数を確定したが、さらにb-1,b-2 及び
d-1 の場合において接点での接線が２楕円の共通接線と
なるためそこでの接線を直接(3) 式によって求める。そ
して収束演算で算出すべき解の数を減らす。
する）ステップＳ５で定まった接線の本数分、評価関数
(1) 及び評価関数(2) を計算し、ステップＳ６の前処理
として２分法により解の存在範囲の確定を予め行なう。 （ステップＳ５−１：接点での接線の算出）ステップＳ
５において接線の数を確定したが、さらにb-1,b-2 及び
d-1 の場合において接点での接線が２楕円の共通接線と
なるためそこでの接線を直接(3) 式によって求める。そ
して収束演算で算出すべき解の数を減らす。
【００２４】楕円上の点Ｐ１(a・cosθ,b・sinθ) におけ
る接線 x・cosθ/a + y・sinθ/b = 1 …(3) 尚、ステップＳ４における位相関係の判定で、２楕円の
交点が１点あるいは０点の場合において、一方の楕円の
中心点より半無限直線を引き、その半無限直線が他方の
楕円と干渉するかしないかによって、一方の楕円が他方
の楕円の中に含まれるかの判定を行なうことができる。
もしその半無限直線と他方の楕円との交点が一点存在す
れば（接点は交点とみなさない）、a-1/b-1 ではなくa-
2/b-2 と判定する。
る接線 x・cosθ/a + y・sinθ/b = 1 …(3) 尚、ステップＳ４における位相関係の判定で、２楕円の
交点が１点あるいは０点の場合において、一方の楕円の
中心点より半無限直線を引き、その半無限直線が他方の
楕円と干渉するかしないかによって、一方の楕円が他方
の楕円の中に含まれるかの判定を行なうことができる。
もしその半無限直線と他方の楕円との交点が一点存在す
れば（接点は交点とみなさない）、a-1/b-1 ではなくa-
2/b-2 と判定する。
【００２５】又、ステップＳ６において割線法を用いて
解を算出したが、他の収束演算を用いても同様の処理を
行なうことができる。尚、本発明は、複数の機器から構
成されるシステムに適用しても、１つの機器から成る装
置に適用しても良い。また、本発明はシステム或は装置
にプログラムを供給することによって達成される場合に
も適用できることはいうまでもない。
解を算出したが、他の収束演算を用いても同様の処理を
行なうことができる。尚、本発明は、複数の機器から構
成されるシステムに適用しても、１つの機器から成る装
置に適用しても良い。また、本発明はシステム或は装置
にプログラムを供給することによって達成される場合に
も適用できることはいうまでもない。
【００２６】
【発明の効果】以上説明したような２つの楕円の共通接
線作成を行なうことにより、共通接線の解の個数の位相
関係との矛盾を防ぐことができ、安定的に共通接線が求
まるという効果がある。
線作成を行なうことにより、共通接線の解の個数の位相
関係との矛盾を防ぐことができ、安定的に共通接線が求
まるという効果がある。
【図１】本発明を実現する図形処理装置のブロック図で
ある。
ある。
【図２】本発明の好適な実施例を示す流れ図である。
【図３】位相関係によって種別した２楕円の位置関係図
である。
である。
【図４】一方の楕円を標準位置に移動し、あるパラメー
タθより他方の楕円Ｅ２への接線を引いた例を示す図で
ある。
タθより他方の楕円Ｅ２への接線を引いた例を示す図で
ある。
【図５】本発明の好適な他の実施例を示す流れ図であ
る。
る。
Claims (8)
- 【請求項１】 計算機を使用して２楕円の共通接線を作
成する２楕円の共通接線作成方法であって、実空間の座標系の座標値で入力された２つの楕円の座標
を記憶手段に記憶するステップと、 前記入力された２つの楕円の内、 一方の楕円の中心点が
原点と一致し、且つ長軸ベクトルがＸ軸と一致するよう
な座標系に、前記２つの楕円の座標変換を行って、座標
変換後の前記２つの楕円の座標を前記記憶手段に記憶す
るステップと、 前記座標変換後の２つの楕円の座標に基づいて交点を算
出し、算出した交点の数をカウントして該交点の数を前
記記憶手段に記憶するステップと、 前記記憶手段に記憶された 交点の数と、前記座標変換後
の２つの楕円の座標から得られる２つの楕円の位置関係
とから、予め記憶されている交点の数及び２つの楕円の
位置関係と２つの楕円の位相関係との対応関係に基づい
て、前記２つの楕円の位相関係を求めるステップと、 前記求めた位相関係から、予め記憶されている位相関係
と共通接線の本数との対応関係に基づいて、共通接線の
本数を定めるステップと、 前記座標変換された２つの楕円の座標から、予め記憶さ
れているパラメトリック表現の評価関数に基づいて、前
記共通接線の本数分のパラメトリック表現の解を求め
て、前記２つの楕円の共通接線の座標として前記記憶手
段に記憶するステップと、 前記求まったパラメトリック表現の解を前記実空間の座
標系の座標値に変換して、前記実空間の座標系の前記２
つの楕円の共通接線の座標として前記記憶手段に記憶す
るステップと、 前記入力された２つの楕円と共通接線を前記実空間の座
標系の座標値で表示手段に表示するステップと を備える
ことを特徴とする２楕円の共通接線作成方法。 - 【請求項２】 前記２つの楕円の座標変換を行うステッ
プは、一方の楕円の中心点が原点と一致し、且つ長軸ベ
クトルがＸ軸と一致するような変換を行う変換マトリッ
クスを生成して記憶するステップと、前記変換マトリッ
クスにより２つの楕円の座標変換を行うステップとを有
することを特徴とする請求項１記載の２楕円の共通接線
作成方法。 - 【請求項３】 前記解を求めるステップでは、中心点が
原点となった一方の楕円上の一点Ｐ１から他方の楕円に
引かれた２本の接線Ｌ１，Ｌ２が、前記一方の楕円の接
線となる条件を満たした場合の前記評価関数の変数を解
とすることを特徴とする請求項１記載の２楕円の共通接
線作成方法。 - 【請求項４】 前記評価関数は、前記点Ｐ１の原点回り
の角度をθとした場合に、 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数であることを特徴とする請
求項３記載の２楕円の共通接線作成方法。なおここで、 ａ＝標準位置にある楕円Ｅ１の長軸ベクトルの長さ、 ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の短軸ベクトルの長さ、 PX2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ１）、 PY2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ１）、 PX3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ２）、 PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ２）である。 - 【請求項５】 前記２つの楕円の共通接線の本数を定め
るステップの後に、解の存在範囲を確定するステップを
更に有することを特徴とする請求項１記載の２楕円の共
通接線作成方法。 - 【請求項６】 前記２つの楕円の共通接線の本数を定め
るステップの後に、接点での接線が２つの楕円の共通接
線となる場合において、そこでの接線を直接算出するス
テップを更に有することを特徴とする請求項１または５
記載の２楕円の共通接線作成方法。 - 【請求項７】 予め作成された図形に関連して新たな図
形を作成する図形処理装置において、 ２つの楕円が与えられた場合に、一方の楕円の中心点が
原点と一致し、且つ長軸ベクトルがＸ軸と一致するよう
な座標系に、２つの楕円の座標変換を行う座標変換手段
と、 前記変換後の２つの楕円の交点を算出して、求まった交
点の数と２つの楕円の位置とから２つの楕円の位相関係
を求め、前記求めた位相関係により共通接線の本数を定
める接線本数決定手段と、 前記座標変換された２つの楕円から、所定のパラメトリ
ック表現の評価関数に基づいて、前記共通接線の本数分
のパラメトリック表現の解を求める直線評価手段と、 前記求まったパラメトリック表現の解を実空間の座標値
に変換して２つの楕円の共通接線として出力する共通接
線作成手段とを備えることを特徴とする図形処理装置。 - 【請求項８】 前記直線評価手段は、中心点が原点とな
った一方の楕円上の一点Ｐ１から他方の楕円に引かれた
２本の接線Ｌ１，Ｌ２が、前記一方の楕円の接線となる
条件を満たした場合の前記評価関数の変数を解とし、 前記評価関数は、前記点Ｐ１の原点回りの角度をθとし
た場合に、 ｆ( θ)=(PY2-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX2-a・cosθ) …(1) ｇ( θ)=(PY3-b・sinθ)a・sinθ+b・cosθ(PX3-a・cosθ) …(2) ｆ( θ) は直線Ｌ１に対する評価関数であり、ｇ( θ)
は直線Ｌ２に対する評価関数であることを特徴とする請
求項７記載の図形処理装置。なおここで、 ａ＝標準位置にある楕円Ｅ１の長軸ベクトルの長さ、 ｂ＝標準位置にある楕円Ｅ１の短軸ベクトルの長さ、 PX2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ１）、 PY2 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ１）、 PX3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｘ成分
（直線Ｌ２）、 PY3 ＝パラメータθに対する標準位置の楕円Ｅ１上の一
点Ｐ１から他方の楕円Ｅ２への接線上の一点のｙ成分
（直線Ｌ２）である。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP30756794A JP3332626B2 (ja) | 1994-12-12 | 1994-12-12 | ２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP30756794A JP3332626B2 (ja) | 1994-12-12 | 1994-12-12 | ２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH08167034A JPH08167034A (ja) | 1996-06-25 |
| JP3332626B2 true JP3332626B2 (ja) | 2002-10-07 |
Family
ID=17970638
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP30756794A Expired - Fee Related JP3332626B2 (ja) | 1994-12-12 | 1994-12-12 | ２楕円の共通接線作成方法及び図形処理装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3332626B2 (ja) |
-
1994
- 1994-12-12 JP JP30756794A patent/JP3332626B2/ja not_active Expired - Fee Related
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH08167034A (ja) | 1996-06-25 |
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