JP3272307B2 - リード・ソロモン符号の復号回路 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、リード・ソロモン
（Reed-Solomon：ＲＳ）符号の復号回路に関する。

【０００２】

【従来の技術】最初に一般的に用いられているＲＳ符号
の符号化及び復号化の手法を説明する。ＲＳ符号の符号
化及び復号化はガロア・フィールドＧＦ（２^m）上の元
を用いた多項式演算として定式化できる。符号ブロック
がｎ、情報ブロックがｋの（ｎ、ｋ）ＲＳ符号（検査ブ
ロックはｎ−ｋ＝２ｔ，tは訂正可能な最大シンボル
数）の符号化は以下の符号多項式Ｗ（ｘ）の計算により
行われる。

【０００３】Ｗ（ｘ）＝Ｍ（ｘ）ｘ^n-k − Ｒ（ｘ） ここで、 Ｍ（ｘ）：情報シンボルを係数とする多項式 Ｒ（ｘ）：検査シンボルを係数とする多項式 Ｒ（ｘ）＝Ｍ（ｘ）ｘ^n-k mod Ｇ（ｘ） Ｇ（ｘ）：生成多項式 Ｇ（ｘ）＝（ｘ−ａ^d）（ｘ−ａ^d+1）．．．（ｘ−ａ^d+2t-1）

【０００４】上の式においてａはＧＦ（２^m）で定義さ
れ、ｍ次の既約多項式、例えば、ｍ＝８ではａ⁸＋ａ⁴＋
ａ³＋ａ²＋１＝０を満たす解である。符号多項式Ｗ
（ｘ）はＧ（ｘ）で割り切れる。この符号多項式Ｗ
（ｘ）は、Ｍ（ｘ）にＧ（ｘ）を直接乗ずる手法と比較
して、符号を組織符号の形にできる利点がある。

【０００５】通常は、Ｍ（ｘ）ｘ^n-kのＧ（ｘ）による
剰余計算をＬＦＳＲ（Linear Feedback Shift Registe
r）を使って計算する。１ブロックの符号化に一つのＬ
ＦＳＲを用い、その１つのＬＦＳＲは固定乗算器を２ｔ
個持ち、これを（ｎ−２ｔ）回使用する。よって、符号
化は２（ｎ−２ｔ）ｔ回の固定乗算を行う必要がある。

【０００６】一方、ＲＳ符号の復号化は、受信多項式 Ｙ（ｘ）＝Ｗ（ｘ）＋Ｅ（ｘ） より、もとのＷ（ｘ）を推定する操作である。但し、Ｅ
（ｘ）は誤りシンボルを係数とする多項式である。な
お、Ｙ（ｘ）は、以下のようにも表現できる。Ｙ_iは受
信符号語である。 Ｙ（ｘ）＝Ｙ_n-1ｘ^n-1＋Ｙ_n-2ｘ^n-2＋．．．．Ｙ₁ｘ＋Ｙ₀ 復号化の方法には大きく分けて、（ｉ）Ｙ（ｘ）をその
まま使って、時間ドメイン（Time-domain）で復号を行
う手法、（ii）Ｙ（ｘ）をＧ（ｘ）で割ることにより得
られた剰余多項式を使う方法（Remainder-based decodi
ng）（iii）Ｙ（ｘ）をＤＦＴ（Discrete Fourier Tran
sformation）により、周波数ドメイン（Frequency-doma
in）での２ｔ個の連続したスペクトル（シンドローム）
を計算することにより求める手法（Syndrome-based dec
oding）がある。後の二つの方法は、受信した情報から
一度、誤りのみに依存する情報を計算してから、誤り位
置の推定を行う。よって、必要な多項式の項の数は、最
初の段階でＯ（ｎ）ではなく、Ｏ（ｔ）に絞られる。従
って、一般にｔ＜＜ｎなので、回路規模は小さくて済
む。一般的には最後に述べた（iii）が広く用いられて
おり、これは、さらにAlgebraic decoding とTransform
decodingに大別される。以下、本発明に最も関係の深
いこの二つに絞った形で、従来技術の説明を行う。

【０００７】（ａ）アルジェブライック・デコーディン
グ（Algebraic decoding） 本方法では、具体的には、以下の５ステップで復号化を
実行する。 （ｉ）受信符号をＤＦＴすることによりシンドロームを
計算する。 （ii）計算されたシンドロームより誤り位置多項式と誤
り評価多項式の係数を求める。 （iii）誤り位置多項式の解を計算し、誤りの生じた位
置を推定する。 （iv）誤り位置と誤り評価多項式とから、フォーニー・
アルゴリズム（Forney algorithm）を使って誤り値を推
定する。 （ｖ）受信符号と誤り値から誤りの訂正を行う。

【０００８】ステップ（ｉ）のシンドローム計算では、
ＧＦ（２^m）上でのＤＦＴ計算をすれば良い。これは、
Ｙ（ｘ）にＧＦ（２^m）の元１，ａ，ａ²，ａ³．．．ａ
^2t-1を代入することにより計算される。すなわち、 Ｓ⁰＝Ｙ（１） Ｓ₁＝Ｙ（ａ） Ｓ₂＝Ｙ（ａ²） Ｓ₃＝Ｙ（ａ³） ． ． ． Ｓ_2t-1＝Ｙ（ａ^2t-1） により計算される。Ｗ（ａⁱ）＝０なので、 Ｓ_i＝Ｙ（ａⁱ）＝Ｗ（ａⁱ）＋Ｅ（ａⁱ）＝Ｅ（ａⁱ） （ｉ＝０，．．，２ｔ−１） となるので、シンドロームがすべて０であるかをチェッ
クすることにより、Ｙ（ｘ）に誤りが発生したかどうか
を検査することができる。通常、シンドロームの計算
は、２ｔ個の積和回路をｎ回使って行うので、２ｎｔ回
の固定乗算が必要である。

【０００９】シンドロームからの誤り訂正は、Ｓ_iから
誤りを推定することにより行う。これは、計算されたシ
ンドロームを与えるＥ（ｘ）のうち、ハミング重みがｔ
以下のもの（ｔ以下の非零の項を含むもの）を求めるこ
とであり、一般的な符号に対してはＮＰ完全問題とな
る。しかし、ＲＳ符号については多項式オーダーでの計
算手法が知られている。ステップ（ii）では、シンドロ
ームが誤りの値の線形結合で書けること、また、複数の
誤りの位置の入れ替えに対して完全対称性があることを
使って、以下の誤り位置多項式の係数の計算を行う。

【数１】 Λ（ｘ）の係数Λ_t．．．Λ₁は以下の式より求まる。Λ
₀は定義より１である。

【数２】

【００１０】この計算を多項式オーダーで行う手法とし
て、ピーターソン（Peterson）法、バーレカンプ−マッ
シー（Berlekamp-Massey：ＢＭ）法、ユークリッド（Eu
clid）法が提案されており、それぞれ、Ｏ（ｔ³）、Ｏ
（ｔ²）、Ｏ（ｔ²）の乗算回数で誤り位置多項式の係数
の計算を行う。これ以上の詳しい計算は本発明とは直接
関係ないので参考文献（参考文献１：R.E.Blahut, "The
ory and Practive ofError Control Codes," Addison-
Wesley 1984, 又は 参考文献２：今井秀樹、"符号理
論" 電子情報通信学会 1990）を参照のこと。

【００１１】誤り位置多項式の係数Λ_t．．Λ₁が計算さ
れたならば、ステップ（iii）でこれを解いて誤りの位
置ｉを求める。これは、ａ^-i（ｉ＝０，１，．．．，ｎ
−１）の値を誤り位置多項式に順次代入することによ
り、Λ（ａ^-i）＝０であるかを順序回路を用いて探索す
る手法（チェーンサーチ：Chien Search）が一般的であ
る。Λ（ｘ）は、ｔ次の多項式なのでｔ個の固定乗算を
ｎ回繰り返し行うことが（合計ｎｔ回）必要となる。

【００１２】ステップ（iv）では、誤り評価多項式 Ω（ｘ）＝Ｓ（ｘ）Λ（ｘ） mod ｘ^2t-1 によりForneyアルゴリズムを使って誤りの値を計算す
る。ここで、Ｓ（ｘ）はシンドロームを係数とする多項
式

【数３】 である。誤りの値Ｅ_iは、 Ｅ_i＝Ω（ａ^-i）／（Λ'（ａ^-i）ａ^-i） となる。なお、Λ'（ｘ）はΛ（ｘ）の一次微分を示し
ている。

【００１３】最後にステップ（ｖ）で誤り訂正を行う。
すなわち、 Ｗ（ｘ）＝Ｙ（ｘ）＋Ｅ（ｘ） である。

【００１４】これらの計算の多くは、通常、既に述べた
ように順序回路を用いた逐次演算として実現される。す
なわち、ステップ（ｉ）から（ｖ）はシーケンシャルに
実行され、各ステップ内では繰り返し演算も含めて多く
の処理がシーケンシャルに実行される。このようなＲＳ
符号の復号回路のインプリメンテーションは、比較的デ
ータ転送レートの遅い通信／ストレージの分野では問題
ないが、高スループットで且つ低レイテンシ（latenc
y）の要求されるメモリＥＣＣの用途では処理速度が問
題となる。また、ＲＳ符号の復号器では、シンドローム
計算（ステップ（ｉ））までは線形演算のみだが、その
後の誤り位置及び誤り値を推定する際に非線形演算回路
を多数必要とする。ガロア拡大体の非線形演算（２入力
乗算や特に逆数演算といった演算回路）を、論理関数の
基本プリミティブ（ＡＮＤやＸＯＲ等）を用いて高速か
つ小規模な回路として実現するのは難しい。速度の問題
に対処するため、演算を組み合わせ回路に展開すること
が考えられる。事実、ＢＣＨ符号については、多項式の
係数計算回路の部分を組み合わせ回路に展開することが
行われており、ｔ＝５までの計算式が示され、ｔ＝３の
場合は米国特許第５３４３４８１号に開示されている。
しかし、組み合わせ回路設計では、順序回路設計で多用
する最適化テクニックの一つである演算器共有が使いに
くいので、演算フローを工夫して乗算等の個数を本質的
に減らさない限り、必要な非線形演算器の個数は、ｔに
比例して増大するループの繰り返し回数及びループ中で
の条件分岐の数に従って増大する。また、ＢＣＨ符号で
は、誤り位置のみが求まればよいが、ＲＳ符号では、誤
り位置のみならず誤りの値を求めなくてはならない。こ
のため、ｔ＞１の場合、ＲＳ符号はＢＣＨ符号と比較し
ても非線形演算を多用する。

【００１５】以上のような背景から、これまでＲＳ符号
の復号は、順序回路としての実現がほとんどであり、組
み合わせ回路としては訂正可能シンボル数がごく少ない
（ｔ＝１）場合しか実現されていない。

【００１６】ここで、Algebraic decodingをそのまま組
み合わせ回路に展開することの問題点を具体的にまとめ
ておく。 （１）誤り位置多項式及び誤り評価多項式を求める際に
良く用いられるPeterson法、ＢＭ法又はEuclid法につい
ては、各々そのまま組合せ回路にするのに問題がある。
Peterson法は、誤りシンボルの数ｔが小さい時（２程
度）は係数の簡単な直接計算法を与えるので、組み合わ
せ回路でそのまま実現できる。しかし、ｔが大きくなる
と前述したように回路規模は一つの誤り数に対してＯ
（ｔ³）で増大する。 従って、Peterson法を組み合わせ
回路で実現した時には、ｔ以下のすべての誤り数に対応
したΛ（ｘ）の係数計算回路を用意しておかなければな
らないので回路規模はＯ（ｔ³）ではなく、

【数４】 で増大する。ＢＭ法は、Ｏ（ｔ²）の計算量で済む計算
アルゴリズムを与えるが、１つのループに条件判断が複
数入るので、このアルゴリズムの組み合わせ回路への展
開による高速化は容易ではない。特にＲＳ符号では、必
要なループの数が、ＢＣＨ符号に比べて２倍となるため
難しい（参考文献１、２参照）。Euclid法もＯ（ｔ²）
の計算量で済むが、多項式の割り算を含むので、組み合
わせ回路で実現すると非現実的なサイズになる。

【００１７】（２）誤り値の推定では、単純にChien Se
arch以降のパスを並列化して組み合わせ回路に展開した
のでは、誤りの値を求めるForney Algorithmのところ
で、ｎ個の除算器を用意する必要がある。 なお、この
場合は除算器の全てが有効に使われるのではなく、誤り
訂正数ｔ個分の除算器しか実質的に働いていない。ま
た、除算器の共有化を行っても、回路規模はあまり改善
されないにもかかわらず、復号化の速度は大幅に遅くな
る。これは、誤りの位置に応じて除算器を割り振る回路
は２ｔ個のｎビットマルチプレクサ（前後にｔ個づつ）
と、t個のプライオリティエンコーダが必要になるから
である。

【００１８】（ｂ）トランスフォーム・デコーディング
（Transform decoding） 本方法では、具体的に以下の５ステップで復号化を実行
する。 （ｉ）受信符号をＤＦＴすることによりシンドロームを
計算する。 （ii）計算されたシンドロームにより誤り位置多項式の
係数を求める。 （iii）誤り位置多項式を解かずに、再帰的にｎ個の誤
りのＤＦＴ成分を計算する。 （iv）ＩＤＦＴ（Inverse ＤＦＴ）により、誤りの値を
求める。 （ｖ）受信符号と誤りの値により誤りの訂正を行う。

【００１９】（ｉ）及び（ii）のステップについては、
（ａ）の方法と同じである。（iii）では、誤りのＤＦ
Ｔ成分Ｅ^* _iを求める。このうち、最初の２ｔ個について
は、 Ｅ^* _i＝Ｅ（ａⁱ）＝Ｓ_i （ｉ＝０，．．．２ｔ−１） の関係があるので、これを使って、高次の成分を

【数５】 （ｉ＝２ｔ，．．．ｎ−１）により求める。

【００２０】（iv）では、Ｅ^* _iを係数として定義される
多項式にａ^-i（ｉ＝０，．．．，ｎ−１）を代入するこ
とによりＩＤＦＴを行う。すなわち、 Ｅ_i＝Ｅ^*（ａ^-i） により誤り値Ｅ_iを求める。（ｖ）は、（ａ）の方法と
同じである。

【００２１】Transform decodingは割り算回路を用いな
いので、本方法においては、（ａ）の方法を組み合わせ
回路に展開した時の割り算回路に起因する問題は存在し
ない。しかし、本方法にも、（ａ）の方法における、Λ
（ｘ）の係数計算の問題に加えて、以下の点で問題があ
る。 （１）Ｅ_iのすべての値を計算するにあたって、順序回
路では同じ回路が繰り返し使えるが、組み合わせ回路で
は、この回路をｎ−２ｔ個用意しなくてはならない。一
つの回路にｔ個の固定乗算器が必要なので、全部でｔ
（ｎ−２ｔ）個の固定乗算器が必要である。さらに、計
算は再帰的、すなわち低い次数の計算が終了しないと次
の次数の計算ができないので、組み合わせ回路に展開す
ることによる計算速度の向上が期待出来ない。 （２）誤りのＤＦＴの全成分（ｎ個分）をシンドローム
より求めた後誤りの値を計算しているので、組み合わせ
回路で実現しやすいアルゴリズムではあるが、実際には
ＩＤＦＴに膨大な量の回路が必要である。すなわち、Ｉ
ＤＦＴとしてｎ²個の固定乗算回路が必要となる。

【００２２】

【発明が解決しようとする課題】よって、本発明の目的
は、高速且つ低消費電力のリード・ソロモン符号の復号
回路を提供することである。

【００２３】順序回路を用いずに、組み合わせ回路のみ
でリード・ソロモン符号の復号回路を構成することも目
的である。

【００２４】回路規模を実際に実現可能なサイズにした
リード・ソロモン符号の復号回路を構成することも目的
である。

【００２５】

【課題を解決するための手段】上記目的を解決するため
の、ｔ個以下の誤りを訂正可能な、リード・ソロモン符
号の復号回路は、誤りを含み得る第１符号語Ｙ_ｉ（ｉ＝
０，１，．，ｎ−１）（いわゆる受信符号）からシンド
ロームＳ_j（ｊ＝０，１，．．，２ｔ−１）を計算する
シンドローム計算回路と、シンドロームＳ_jを用いて、
推定される誤りの数ｅ（ｅ≦ｔ＜ｎ）に対応する誤り位
置多項式の係数Λ_k（ｋ＝１，．，ｅ）を計算し、且つ
シンドロームＳ_jを用いて、推定される誤りの数ｅに対
応する誤り多項式の係数Ｅｒ_l（ｌ＝０，．，ｅ）を計
算する係数計算回路と、誤り多項式の係数Ｅｒ_lを用い
て誤り値Ｅ_iを計算し、且つ誤り位置多項式の係数Λ_kを
用いて誤り値Ｅ_iのどの値を使用するかに関する信号を
生成する誤り値計算回路と、第１符号語Ｙ_iと上記信号
に対応する誤り値Ｅ_iとを用いて、推定される誤りを訂
正した第２符号語Ｗ_i（いわゆる送信信号）を計算する
出力回路とを含む。ｅ≦ｔ＜ｎであって、Λ_k及びＥｒ_l
はｅ個であるから、係数計算回路及び誤り値計算回路の
計算量及び回路サイズは削減されている。特に、係数計
算回路におけるΛ_k及びＥｒ_lの計算には非線形演算が必
要であるので、その効果はより大きくなっている。

【００２６】シンドローム計算回路と係数計算回路と誤
り値計算回路と出力回路の少なくとも１つは、以下でも
説明するように組み合わせ回路にて構成される。よっ
て、計算速度が向上する。

【００２７】係数計算回路を、誤りの数ｕ（ｕ≦ｔ）に
対応する誤り位置多項式の係数Λ_w ^{( u)}（ｗ＝１，．，
ｕ）を、ｕの小さい順に、前記シンドロームＳ_j及びΛ_v
^(u-1)（ｖ＝１，．，ｕ−１）を用いて計算する回路を
含むように構成すれば、回路の共通化で回路サイズの増
大を抑えることができる。

【００２８】また、誤り値計算回路を、誤り位置ｉに対
応するガロア・フィールドＧＦ（２ ^ｍ）の元ａ^ｉ及びそ
の逆元ａ^-iを使用して計算を実行するように構成すれ
ば、線形演算で高速に処理を実施することができる。

【００２９】なお、係数計算回路は、ｅによっては、推
定される誤りの数ｅに対応する誤り多項式の係数Ｅｒ_l
を計算するのに、推定される誤りの数ｅに対応する誤り
位置多項式の係数Λ_kをさらに使用する場合がある。

【００３０】さらに、誤り値計算回路が、誤り位置ｉに
対応するＧＦ（２^m）の逆元ａ^-iを誤り位置多項式に代
入した時の値が０ならばＥ_iを使用することを示す信号
を出力し、それ以外ならばＥ_iを使用しないことを示す
信号を出力する回路を含むようにすることも考えられ
る。

【００３１】誤り値計算回路は、誤り多項式の係数Ｅｒ
_lを入力とする固定乗算器と誤り位置多項式の係数Λ_kを
入力とする固定乗算器とを含むように構成することもで
きる。なお、誤り位置ｉに対応するガロア・フィールド
ＧＦ（２^ｍ）の元ａ^ｉ及びその逆元ａ^-iを用いる場合に
は、これらの値は固定なのでハードワイアされる。

【００３２】以上のような構成の本発明は、高速化と共
に低消費電力が要求されるメモリ回路への応用が考えら
れる。例えば、（ｉ）ＤＲＡＭのリフレッシュ時間を延
ばすための高速、低消費電力の誤り訂正回路、（ii）高
度な信頼性と相応のスピードを要求されるサーバーのメ
インメモリ用冗長回路、（iii）高速性を要求されるキ
ャッシュメモリ用のＥＣＣ回路等である。

【００３３】

【発明の実施の形態】図１に本発明に係る、リード・ソ
ロモン符号の復号回路の機能ブロック図を示す。ここで
受信符号語Ｙ₀乃至Ｙ_n-1はシンドローム計算回路１と出
力回路９に入力される。シンドローム計算回路１は係数
計算回路３に接続されており、シンドローム計算回路１
にて計算されたシンドロームＳ₀乃至Ｓ_2t-1は係数計算
回路３に入力される。係数計算回路３は誤り値計算回路
５と誤り位置指定回路７に接続されており、係数計算回
路３にて計算された誤り位置多項式の係数Λ₀乃至Λ_eは
誤り位置指定回路７に、そして誤り多項式の係数Ｅｒ₀
乃至Ｅｒ_eは誤り値計算回路５に入力される。なお、ｅ
（ｅ≦ｔ＜ｎ）は推定される誤りの数である。誤り値計
算回路５は出力回路９に接続されており、誤り値計算回
路５にて計算された誤り値Ｅｒ（ａⁱ）（ｉ＝
０，．．，ｎ−１）は出力回路９に入力される。また、
誤り位置指定回路７も出力回路９に接続されており、誤
り位置指定回路７にて計算された、どの誤り値Ｅｒ（ａ
ⁱ）を使用するか表す信号（Λ（ａ^-i）？０，Λ
（ａ^-i）が０であれば１を出力し、それ以外の場合は０
を出力する）が出力出力回路９に入力される。出力回路
９は入力された誤り値Ｅｒ（ａⁱ）とどの誤り値Ｅｒ
（ａⁱ）を使用するか表す信号とを用いて、同じく入力
された受信符号語Ｙ₀乃至Ｙ_n-1の誤りを訂正した符号語
Ｗ₀乃至Ｗ_n-1を出力する。

【００３４】図１の復号回路は、シンドローム計算回路
１（ＤＦＴ計算を実行）と誤り位置指定回路７（ＩＤＦ
Ｔ計算を実行）と誤り値計算回路５（ＤＦＴ計算を実
行）と出力回路９とに線形演算を集めて、中央の係数計
算回路３に非線形演算を集中させている点に特徴を有す
る。これにより非線形演算部の入出力数がＯ(ｔ)に抑え
ることができ、回路サイズのうえでボトルネックとなる
非線形演算器の個数がｎに依存しなくなる。

【００３５】これには、組み合わせ回路で回路を構成し
た時の以下の性質によるところが大きい。 （１）線形演算回路（定数乗算や加算）は少ゲート数で
高速であるのに対し、非線形演算回路（乗算や除算）は
多ゲート数で低速、という一般的傾向がある（目安とし
ては、ＧＦ（２⁸）では、線形演算器は数ゲート乃至数
十ゲート、非線形演算器は数百乃至数千ゲートであ
る）。 （２）ＧＦ（２^m）上の連続する定数乗算は、線形なの
で一つの定数乗算器と同等のコストで実現できるのに対
し、非線形演算がその間に含まれる場合では、そのよう
なにはできない。事実、線形演算回路と非線形演算回路
を分離し、非線形演算回路への入出力を減らす本発明の
構成は、回路規模や速度の点でかなり良い一つの局所最
適解（真の最適解に近いと思われる）を与えることがで
きる。さらに、このような、線形演算回路と非線形演算
回路の分離により、プログラムによる、自動合成・検証
が行いやすい構成が実現されるという効果もある。

【００３６】では、各要素ごとに実行すべき計算内容に
ついて説明する。

【００３７】（１）シンドローム計算回路１ シンドローム計算回路１で実施する計算は上で述べた従
来技術と同じである。もう一度説明すると、ＧＦ
（２^m）上でのＤＦＴ計算を実施する。これは、受信符
号語Ｙ_i（ｉ＝０，．．，ｎ−１）を係数とする受信符
号多項式Ｙ（ｘ）＝Ｙ_{n -1}ｘ^n-1＋Ｙ_n-2ｘ^n-2＋．．．．
Ｙ₁ｘ＋Ｙ₀ にＧＦ（２^m）の元１，ａ，ａ²，
ａ³，．，ａ^2t-1を代入することにより計算される。す
なわち、 Ｓ⁰＝Ｙ（１） Ｓ₁＝Ｙ（ａ） Ｓ₂＝Ｙ（ａ²） Ｓ₃＝Ｙ（ａ³） ． ． ． Ｓ_2t-1＝Ｙ（ａ^2t-1） である。

【００３８】（２）係数計算回路３ 係数計算回路３では上でも述べたが誤り位置多項式の係
数Λ_k ^(e)（ｋ＝０，．．ｅ）と誤り多項式の係数Ｅｒ_l
^(e)（ｌ＝０，．，ｅ−１）を計算する。まず、誤り位
置多項式の係数Λ_k ^(e)について説明する。なお、上付き
の（ｅ）は誤りの数がｅ個の場合であることを表してい
る。 （2-1）誤り位置多項式の係数Λ_k ^(e)の計算 基本的には数２の式を計算することになる。但し、ｔは
本復号回路が訂正可能な誤りの最大数であって、ｅ（０
≦ｅ≦ｔ）個の誤りが発生しているとする。そうする
と、数２のＳ₀乃至Ｓ_2t-2を用いた行列は、以下のよう
なｅ×ｅの行列Ｔ_eとして表すことができる。

【数６】 なお、Ｉ_e-1は（ｅ−１）×（ｅ−１）の単位行列であ
り、Ｔ_e-1はＴ_eを１次元小さくした行列であり、Ｔ_e-1
^-1はその逆行列である。また、Δ_eは以下のように表さ
れる値である。

【数７】 これらを用いると、Ｔ_e ^-1は以下のように表される。

【数８】 よって数６を以下のように変形することができる。

【数９】

【００３９】この数９は、誤りの数がｅ−１個以下の時
の誤り位置多項式の係数Λ_p ^(e-1)，Λ_q ^(e-2)，．．．を
用いて、誤りの数がｅ個の時の誤り位置多項式の係数Λ
_k ^(e)を計算することができることを表している。すなわ
ち、ｅの小さい順に、シンドロームとそれまでに計算さ
れた係数Λ_p ^(e-1)とを用いて、計算すべきｅに対応する
係数Λ_k ^(e)を計算できるのである。さらに言うと、各ｅ
ごとに回路を用意する必要はなく、より小さい値のｅに
対応する係数を求める回路をより大きな値のｅに対応す
る係数を求める回路の一部として使用できることにな
り、全体として回路規模を小さくすることができる。

【００４０】なお、ここで扱うべき問題は、よく知られ
たTeplitz行列が有する対称性とは微妙に異なり、この
ことが問題を非常に複雑にしていることに留意された
い。

【００４１】以上のようにｅ＝１から順に誤り位置多項
式の係数Λ_k ^(e)を計算していくわけであるが、実際に必
要となる係数は実際の誤りの数ｅに対応する係数のみで
ある。誤りの数は、例えばdet(Ｔ_e）≠０となる最大の
ｅであると推定できる。係数計算回路３は、推定された
誤りの数ｅに対応する誤り位置多項式の係数Λ_k ^(e)をΛ
_kとして誤り位置指定回路７に出力する。

【００４２】実際にどのような計算を実施するのかをｅ
＝３まで示す。但し、簡単のため、Λ₀ ^(r)＝det(Ｔ_r）
として正規化している。 Λ₁ ⁽¹⁾＝Ｓ₁ Λ₀ ⁽¹⁾＝Ｓ₀ Λ₂ ⁽²⁾＝Λ₁ ⁽¹⁾Ｓ₃＋Ｓ₂ ² Λ₁ ⁽²⁾＝Λ₀ ⁽¹⁾Ｓ₃＋Λ₁ ⁽¹⁾Ｓ₂ Λ₀ ⁽²⁾＝Λ₀ ⁽¹⁾Ｓ₂＋Λ₁ ⁽¹⁾Ｓ₁ Λ₃ ⁽³⁾＝Λ₂ ⁽²⁾Ｓ₅＋Ｓ₁Ｓ₄ ²＋Ｓ₃ ³ Λ₂ ⁽³⁾＝Λ₁ ⁽²⁾Ｓ₅＋Λ₂ ⁽²⁾Ｓ₄＋Ｓ₀Ｓ₄ ²＋Ｓ₂Ｓ₃ ² Λ₁ ⁽³⁾＝Λ₀ ⁽²⁾Ｓ₅＋Λ₁ ⁽²⁾Ｓ₄＋Λ₂ ⁽²⁾Ｓ₃ Λ₀ ⁽³⁾＝Λ₀ ⁽²⁾Ｓ₄＋Λ₁ ⁽²⁾Ｓ₃＋Λ₂ ⁽²⁾Ｓ₂ なお、正規化しなければΛ₀ ^(e)は１であるから、誤り位
置指定回路７に出力せずともよい。

【００４３】（2-2）誤り多項式の係数Ｅｒ_l ^(e)の計算 本発明においては、Forneyアルゴリズムのように誤り値
の計算のために多項式への代入の後に割り算を必要とせ
ずに多項式に直接代入して誤り値が求まり、且つTransf
orm decodingのようにＯ（ｎ）の項が必要ではなくＯ
（ｔ）で実現される新たな誤り多項式を定義する。 具体的には、ｅ＝３の場合には以下のようになる。 Er⁽³⁾(x)=(Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾+Λ₃ ⁽³⁾)^-1(S₀x³+S₁x²+(Λ₁
^{(3) 2}S₀+Λ₂ ⁽³⁾S₀+S₂)x+(Λ ₂ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾S₀+Λ₁ ^{(3) 2}S₁+
Λ₁ ⁽³⁾S₂)) よって、 Ｅｒ₃ ⁽³⁾＝(Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾+Λ₃ ⁽³⁾)^-1S₀ Ｅｒ₂ ⁽³⁾＝(Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾+Λ₃ ⁽³⁾)^-1S₁ Ｅｒ₁ ⁽³⁾＝(Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾+Λ₃ ⁽³⁾)^-1(Λ₁ ^{(3) 2}S₀+Λ₂
⁽³⁾S₀+S₂) Ｅｒ₀ ⁽³⁾＝(Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾+Λ₃ ⁽³⁾)^-1(Λ₂ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾S₀+
Λ₁ ^{(3) 2}S₁+Λ₁ ⁽³⁾S₂)) となる。

【００４４】また、ｅ＝２の場合は以下のようになる。 Er⁽²⁾(x)=(Λ₀ ⁽²⁾S₀/Λ₁ ⁽²⁾)x+(S₁ ³+S₀ ²S₃)/Λ₁ ⁽²⁾ よって、 Ｅｒ₂ ⁽²⁾＝０ Ｅｒ₁ ⁽²⁾＝(Λ₀ ⁽²⁾S₀/Λ₁ ⁽²⁾) Ｅｒ₀ ⁽²⁾＝(S₁ ³+S₀ ²S₃)/Λ₁ ⁽²⁾ となる。

【００４５】さらに、ｅ＝１の場合にはＥｒ⁽¹⁾(x)＝Ｓ
₀ となる。よって、 Ｅｒ₁ ⁽¹⁾＝０ Ｅｒ₀ ⁽¹⁾＝Ｓ₀ となる。

【００４６】ここでも誤りの数ｅに対応する係数Ｅｒ_l
^(e)のみをＥｒ_lとして誤り値計算回路５に出力する。

【００４７】では、このような結果がいかにして得られ
るか以下説明する。最初に以下の式が成り立つ。

【数１０】 ここでＥ₀乃至Ｅ_e-1からなる行列の前に示された行列を
Ａ^(e)と表す。なお、誤りの数がｅである場合の行列で
あることを示すために（ｅ）を上付きにしてある。ま
た、ａのｉ_k乗についても説明しておく。ａⁱは誤り位置
ｉに対応するガロア・フィールドＧＦ（２^m）の元であ
るが、この時のｉは全体の中での順番を示す。一方、誤
りのある符号語の中における順番を示す時にはｉ_kを用
いる。ここでは誤りの総数はｅであるから、ｋは０乃至
ｅ−１となる。

【００４８】ｉ₀乃至ｉ_e-1はすべて同じではないので、
行列Ａ^(e)の逆行列は存在し、よって数１０の方程式は
解を有する。すなわち、

【数１１】 である。なお、ｋ＝０，．．ｅ−１である。数１1の分
母の行列式はファンデルモンデ（Vandermonde）の行列
式と呼ばれ、

【数１２】 である。さらに、数１１におけるＡ_ij ^(e)に上付きの〜
の付いた行列式は、Ａ^(e)のｉｊについての余因子行列
式である。

【００４９】すべての誤り位置が分かっている場合には
方程式を解くことも可能であるが、これでは逆行列計算
にＯ（ｅ³）の計算がかかるだけでなく、誤りの位置が
予め分かっている必要があるので、誤り値の計算と誤り
位置の計算を同時に行うことができない。上で述べた最
終結果のように、誤り位置多項式の係数とシンドローム
のみによって数１１を表現し直すことができればよい。
以下、数１１の分母と分子に分けて議論する。

【００５０】（ａ）数１１の分母部分 Λ_e ^(e)，Λ_e-1 ^(e)，．．，Λ₁ ^(e)は、

【数１３】 のエレメンタリ・シンメトリック・ファンクション（El
ementary Symmetric Function）であるということに着
目すると、標数２のガロア体では和と差は同じのなの
で、det（Ａ^(e)）は数１３のシンメトリック・ファンク
ション（SymmetricFunction）となる。従って、det（Ａ
^(e)）はΛ_e ^(e)，Λ_e-1 ^(e)，．．，Λ₁ ^(e)の関数である
と言うことができる。すなわち、 det（Ａ^(e)）＝ｆ（Λ_e ^(e)，Λ_e-1 ^(e)，．．．Λ₁ ^(e)） と書くことができる。なお、証明については B.L.van d
er Vaerden,"Algebra,"Frederick Ungar Publishing C
o. 1970 等を参照のこと。例えば、 det（Ａ⁽²⁾）＝Λ₁ ⁽²⁾ det（Ａ⁽³⁾）＝Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾＋Λ₃ ⁽³⁾ となる。

【００５１】（ｂ）数１１の分子部分 分子部分では余因子行列式の計算が問題になる。この計
算はｅが小さい時には直接計算も可能であるが、ｅが大
きくなると、例えば M.Stone, "Schur function, chira
l boson, and thequantum-Hall-effect edge states,"
Phys. Rev. B 42, 8399 (1990)を参照して、シュア・フ
ァンクション（Schur function）及びヤング・テーブル
（Young tableaux） を用いて計算する。

【数１４】 ｛｝で囲まれる数字の位置は、余因子行列式における行
で｛｝内の右から余因子行列式の第１行目第２行
目、、、を表している。また、数字の大きさは次数をど
れだけ上げるかを表す。Ａ^(e)は一行下に降りるにつれ
て次数が１上がるようになっている。ｊｉの余因子行列
式ではこのＡ^(e)のｊ行ｉ列を除いた行列式であるか
ら、この行列式ではｊ行目以降の行ではＡ^(e)より次数
が１上がっている。以上のように、数１４の余因子行列
式では右からｊ−１個０が続き、次数がＡ^{(e )}より１上
がるｊ行目以降のｅ−ｊ個１が並ぶことになる。

【００５２】なお、

【数１５】 数１５の｛λ₀ ^*，λ₁ ^*，．．，λ_e-1 ^*｝は、｛λ₀，
λ₁，．．，λ_e-1｝のコンジュゲート・パーティション
（Conjugate Partition）である。図２の例で説明す
る。この図２では、上から見た場合は、４，２，２，１
個のブロックがあると見ることができるが、同じ状態を
左から見ると、４，３，１，１個のブロックがあると見
ることができる。上から見たときには｛λ₀，
λ₁，．．，λ_e-1｝の状態を示しており、左から見たと
きには、｛λ₀ ^*，λ₁ ^*，．．，λ_e-1 ^*｝の状態を示して
いる。また、

【数１６】 はＡ^(e)のａのｉ_k乗を含む列とａの(e-1)ｉ_k乗を含む行
を削除した行列式となる。

【００５３】よって、余因子行列式は、

【数１７】 の関数として表すことができる。すなわち、

【数１８】 と書くことができる。また、

【数１９】 であるから、分子部分もΛ_e ^(e)，Λ_e-1 ^(e)，．．，Λ₁
^(e)とａのｉ_k乗で表現することができる。

【００５４】以上をまとめると、

【数２０】 は、Λ_e ^(e)，Λ_e-1 ^(e)，．．．Λ₁ ^(e)から係数が構成さ
れる、ａのｉ_k乗の多項式で表現できる。

【００５５】では、ｅ＝３の場合を例として説明する。
なお、誤りの位置ｉ_kをここではα，β，γとする。こ
こではＡ^(e)は以下のようになる。

【数２１】 これより、余因子行列式は以下のように表すことができ
る。

【数２２】

【数２３】

【数２４】 ここで、｛１，１｝｛１，０｝｛０，０｝のConjugate
partitionは｛２，０｝｛１，０｝｛０，０｝であるの
で、Shur Function は以下のように表される。

【数２５】

【数２６】

【数２７】 なお、数２５のΦ_{1,1}α＝ａ^βａ^γと数２６のΦ
_{1,0}α＝ａ^β＋ａ^γは数２２及び数２３から導き出し
たものである。

【００５６】以上のようにすると、

【数２８】

【数２９】

【数３０】 となる。よって、 Ｅ_α＝（Λ₁ ⁽³⁾Λ₂ ⁽³⁾＋Λ₃ ⁽³⁾）^-1｛（ａ^α（ａ^α＋Λ
₁ ⁽³⁾）＋Λ₂ ⁽³⁾）（ａ^α＋Λ₁ ⁽³⁾）Ｓ₀＋（ａ^α＋Λ₁
⁽³⁾）²Ｓ₁＋（ａ^α＋Λ₁ ⁽³⁾）Ｓ₂｝

【００５７】よって、上記式のａ^αをｘとした式が誤り
多項式の係数（ｅ＝３）の場合の式である。なお、ガロ
ア・フィールドにおける演算であることに注意する。

【００５８】（３）誤り値計算回路５ 誤り値計算回路５は、誤り多項式Ｅｒ（ｘ）の係数Ｅｒ
₀乃至Ｅｒ_e-1を受信する。ここから誤り値の計算は、受
信した係数数Ｅｒ₀乃至Ｅｒ_e-1から構成される誤り多項
式Ｅｒ（ｘ）のｘにＧＦ（２^m）の元ａⁱ（ｉ＝
０，．．，ｎ−１）を代入することにより得られる。す
なわち、 Ｅ_i＝Ｅｒ（ａⁱ） であり、ＤＦＴを行っている。但し、全てのｉ（０乃至
ｎ−１）についてＥ_iを計算するので、誤りのない位置
についてもＥ_iが計算される。そこで、以下に説明する
誤り位置指定回路７の計算が必要となる。なお、代入す
るといってもａⁱは固定値であるからこれらはハードワ
イアされており、Ｅｒ₀乃至Ｅｒ_e-1を入力とする固定乗
算器が用いられる。

【００５９】（４）誤り位置指定回路７ 誤り位置指定回路７は、誤り位置多項式Λ（ｘ）の係数
Λ₀乃至Λ_eを受信する。ここから誤り位置は、ＩＤＦＴ
を含む以下のような計算で指定することができる。すな
わち、Λ（ａ^-i）？０ である。なお、ａ^-iは誤り位置
ｉにおけるＧＦ（２^m）の逆元である。またΛ（ａ^-i）
？０は、Λ（ａ^-i）と０を比較し、Λ（ａ^-i）＝０であ
れば１を出力し、それ以外の場合には０を出力するもの
である。この１は誤り値計算回路５の出力Ｅ_iを使用す
ることを意味し、０はＥ_iを使用しないことを示すもの
である。ここでも、ａ^-iはハードワイアされており、Λ
₀乃至Λ_eを入力とする固定乗算器が用いられる。

【００６０】（５）出力回路９ 出力回路９は最終的に誤りを訂正した符号語Ｗ₀乃至Ｗ
_n-1を出力するものである。この際、Ｅｒ(ａⁱ）・（Λ
（ａ^-i）？０）を実行する。従来技術の説明の欄で述べ
たが、Ｗ（ｘ）＝Ｙ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）であるから、Ｅｒ
(ａⁱ）・（Λ（ａ ^-i）？０）をＹ_iと加算（ＸＯＲ）す
ることにより最終的に訂正された符号語Ｗ_iが得られ
る。

【００６１】以上は実施例であって、様々な変形が可能
である。例えば誤り位置指定回路７及び誤り値計算回路
５を別の機能ブロックとして表したが、これらを一体と
した形で実施することも可能である。また、これらに加
えて出力回路９を一体化することも考えられる。さら
に、ｎ又はｔが非常に大きい場合には回路の一部を順序
回路にすることもできる。本発明の方法は回路構成の対
称性が高いので、組み合わせ回路から順序回路への変更
は簡単にできる。さらに、係数計算回路３で誤りの数の
推定を実施しているが、別に誤りの数を確認するような
回路を設けることも可能である。

【００６２】

【効果】以上のように、高速且つ低消費電力のリード・
ソロモン符号の復号回路を提供することができた。処理
の並列化も進んで高速化されている。また、順序回路で
実施するより、クロック、ラッチ等の要素や実行コント
ロール回路等が不要になった分省電力化できた。

【００６３】順序回路を用いずに、組み合わせ回路のみ
でリード・ソロモン符号の復号回路を構成することもで
きた。

【００６４】組み合わせ回路で構成した場合であっても
回路規模を実際に実現可能なサイズにしたリード・ソロ
モン符号の復号回路を構成することもできた。

【００６５】回路の自動合成も従来技術よりしやすくな
った。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明に係る、リード・ソロモン符号の復号回
路の機能ブロック図である。

【図２】Conjugate Partition を説明するための図であ
る。

【符号の説明】

１ シンドローム計算回路 ３ 係数計算回路 ５ 誤り値計算回路 ７ 誤り位置指定回路 ９ 出力回路

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 森岡 澄夫 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本 アイ・ビー・エム株式会社 東京基礎研 究所内 (56)参考文献 特開 平６−260943（ＪＰ，Ａ) 特開 平９−16423（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−37648（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) H03M 13/00 G06F 11/10 330 H04L 1/00

Claims (7)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】ｔ個以下の誤りを訂正可能な、リード・ソ
   ロモン符号の復号回路であって、 誤りを含み得る第１符号語Ｙ_ｉ（ｉ＝０，１，．，ｎ−
   １）からシンドロームＳ_j（ｊ＝０，１，．．，２ｔ−
   １）を計算するシンドローム計算回路と、 前記シンドロームＳ_jを用いて、推定される誤りの数ｅ
   （ｅ≦ｔ＜ｎ）に対応する誤り位置多項式の係数Λ
   _k（ｋ＝１，．，ｅ）を計算し、且つ前記シンドローム
   Ｓ_jを用いて、推定される誤りの数ｅに対応する誤り多
   項式の係数Ｅｒ_l（ｌ＝０，．，ｅ）を計算する係数計
   算回路と、 前記誤り多項式の係数Ｅｒ_lを用いて誤り値Ｅ_iを計算
   し、且つ前記誤り位置多項式の係数Λ_kを用いて前記誤
   り値Ｅ_iのどの値を使用するかに関する信号を生成する
   誤り値計算回路と、 前記第１符号語Ｙ_iと前記信号に対応する前記誤り値Ｅ_i
   とを用いて、推定される誤りを訂正した第２符号語Ｗ_i
   を計算する出力回路と、 を含むリード・ソロモン符号の復号回路。
2. 【請求項２】前記シンドローム計算回路と前記係数計算
   回路と前記誤り値計算回路と前記出力回路の少なくとも
   一つが、組み合わせ回路にて構成される、請求項１記載
   のリード・ソロモン符号の復号回路。
3. 【請求項３】前記係数計算回路が、 誤りの数ｕ（ｕ≦ｔ）に対応する誤り位置多項式の係数
   Λ_w ^(u)（ｗ＝１，．，ｕ）を、ｕの小さい順に、前記シ
   ンドロームＳ_j及びΛ_v ^(u-1)（ｖ＝１，．，ｕ−１）を
   用いて計算する回路を含む請求項１記載のリード・ソロ
   モン符号の復号回路。
4. 【請求項４】前記係数計算回路が、 前記推定される誤りの数ｅに対応する誤り多項式の係数
   Ｅｒ_lを計算するのに、前記推定される誤りの数ｅに対
   応する誤り位置多項式の係数Λ_kをさらに使用する請求
   項１記載のリード・ソロモン符号の復号回路。
5. 【請求項５】前記誤り値計算回路が、誤り位置ｉに対応
   するガロア・フィールドＧＦ（２^ｍ）の元ａ^ｉ及び前記
   誤り位置ｉに対応するＧＦ（２^m）の逆元ａ^-iを使用し
   て計算を実行する、請求項１記載のリード・ソロモン符
   号の復号回路。
6. 【請求項６】前記誤り値計算回路が、 前記誤り位置ｉに対応するＧＦ（２^m）の逆元ａ^-iを前
   記誤り位置多項式に代入した時の値が０ならばＥ_iを使
   用することを示す信号を出力し、それ以外ならばＥ_iを
   使用しないことを示す信号を出力する回路を含む、請求
   項４記載のリード・ソロモン符号の復号回路。
7. 【請求項７】前記誤り値計算回路が、 前記誤り多項式の係数Ｅｒ_lを入力とする固定乗算器と
   前記誤り位置多項式の係数Λ_kを入力とする固定乗算器
   とを含む請求項５記載のリード・ソロモン符号の復号回
   路。