JP3151710B2 - ３次元図形の形状演算装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、複数の３次元図
形の形状演算を、３次元図形の表面を三角形およびゼロ
三角形で表現したときの三角形面データおよびゼロ三角
形データを用いて行う３次元図形の形状演算装置に関す
るものである。

【０００２】

【従来の技術】従来、複数の３次元図形の形状演算を行
う３次元図形の形状演算装置が、例えば特開平９−２８
２４９３号公報で知られている。この特開平９−２８２
４９３号公報では、３次元図形の表面を三角形およびゼ
ロ三角形（３点線分）で表現したときの三角形面データ
およびゼロ三角形データ（３点線分データ）を用いて、
形状演算を行っている。なお、ここで、形状演算とは、
形状和（足し算）、形状差（引き算）および形状積（重
なる部分）を求めるための演算をいう。また、ゼロ三角
形とは、三角形の３つの頂点が同一直線上となる仮想的
な三角形をいう。

【０００３】そして、上記公報の場合を含め、これまで
に実用化され広く用いられている形状演算の処理方法
は、以下の３種類の特徴を具備する方法が、一般的に用
いられている。 （１）多角形面データを処理単位としている。 （２）３次元のユークリッド座標系を用いて幾何計算を
行っている。 （３）浮動小数点演算方式を用いた、誤差がある演算を
行っている。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】しかし、上記のような
従来の形状演算処理では、浮動小数点演算を行うたび
に、「数値の丸め（切り捨て）」が行われ、その結果、
演算誤差が発生するので、その後にその演算誤差が蓄積
し、幾何演算処理（図形処理）が破綻するという問題が
あった。短的に言うと、処理系において、暴走が生じて
しまうという課題があった。

【０００５】従来では、上記課題を解決するために、そ
れぞれの破綻に対応した例外処理部を設けることによっ
て、対応していた。しかし、上記のような処理系の暴走
への対応方法は場当たり的、その場しのぎ的であり、根
本的に処理系の破綻を回避することが出来なかった。

【０００６】この発明は上記に鑑み提案されたもので、
３次元図形の形状演算において、形状演算を何回実行し
ても、演算に破綻が生じない、かつ図形処理を効率的、
高速に実行することが可能な３次元図形の形状演算装置
を提供することを目的とする。

【０００７】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、請求項１に記載の発明は、複数の３次元図形の形状
演算を、３次元図形の表面を三角形およびゼロ三角形で
表現したときの三角形面データおよびゼロ三角形データ
を用いて行う３次元図形の形状演算装置において、４次
元同次座標系での演算処理を行う４次元同次座標系幾何
処理部と、上記三角形面データおよびゼロ三角形データ
を構成する頂点データを、４次元同次座標系幾何処理部
を用いて４次元頂点データに変換するデータ変換手段
と、上記４次元同次座標系幾何処理部を用い、４次元頂
点データ、三角形面データおよびゼロ三角形データに基
づく４次元同次座標系での幾何処理を行うことによって
各種の４次元幾何処理データを求め、その４次元幾何処
理データに基づいて複数の３次元図形に対する形状演算
処理を行う形状演算手段と、を備え、 上記形状演算手
段は、上記幾何処理および形状演算処理を可変長ビット
の整数演算として行うとともに、形状演算処理におけ
る、三角形を分割し共通交線を生成する分割処理におい
て、共通交線の端点（交点）については１次頂点から生
成される２次頂点のみを保存し、また３次頂点を２次頂
点以下にする低次点化処理を行い、数値の桁数の増大を
抑制して無誤差整数演算を行う、ことを特徴としてい
る。

【０００８】また、請求項２に記載の発明は、上記した
請求項１に記載の発明の構成に加えて、上記形状演算手
段は、形状演算前に存在していた、両端点とも１次頂点
で構成される１次辺をゼロ三角形の辺として保存し、そ
のゼロ三角形の１次辺を用いて交点および交線を求め、
３次頂点を２次頂点以下にする低次点化処理を行う、こ
とを特徴としている。

【０００９】上記の本発明構成の特徴をまとめると、以
下のようになる。本発明では、 （１）可変長ビットの整数演算（無誤差演算） （２）４次元同次座標系幾何処理 （３）ゼロ三角形データを用いた図形処理 の３つの手段を用いて形状演算を行う。可変長ビットの
整数演算を行うことにより、すべての演算を無誤差で行
う。ここで、１÷３のように割り算があると循環小数と
なり、有限の桁数（ビット数）で表現することは出来な
い。そこで、４次元同次座標系幾何処理を用いることに
より割り算を排除する方式を提案している。

【００１０】また、無誤差整数演算を繰り返すと次第に
桁数が増大していくが、ゼロ三角形データ形式の手法を
用いることにより、桁数の増大を抑制することができ
る。

【００１１】

【発明の実施の形態】以下にこの発明の実施の形態を図
面に基づいて詳細に説明する。

【００１２】図２は本発明が用いるゼロ三角形による図
形表現の説明図である。図２（ａ）に示す３次元形状２
０を表現する場合、従来の３次元形状表現（境界面表
現）では、図２（ｂ）に示すように多角形面表現が用い
られてきた。この多角形面の一つの面２１に三角形面
（実三角形面）を使用した例を図２（ｃ）に示す。

【００１３】これに対して、本発明では、図２（ｄ）で
示す超三角形表現を用いている。すなわち、図２（ｄ）
において、頂点Ｃ、Ｄ、ＧおよびＨは同一直線上にあ
る。そして、三角形ＣＤＨ、三角形ＤＧＨは頂点が同一
直線上となり面積がゼロとなる。これらの三角形をゼロ
三角形と呼称している。ゼロ三角形は三角形が完全につ
ぶれた「線形の三角形（３点線分）」とみなすことがで
きる。また、３つの頂点が同一直線上にない通常の三角
形を実三角形（あるいは単に三角形）と呼称している。
さらに、これらの実三角形とゼロ三角形とを組み合わせ
たものを超三角形と呼び、その表現形式を超三角形表現
と呼称する。

【００１４】図２（ｄ）に示すように、ゼロ三角形を用
いることにより、より少ない実三角形（通常三角形）で
面分を表現することが可能となる。上記のような特徴に
より、超三角形を用いた形状演算処理では、三角形の表
現性とその処理性が飛躍的に増大する。

【００１５】図３は本発明で使用する各種データのデー
タ構造を示す図である。図３（ａ）は三角形面データの
データ構造を示している。また図３（ｂ）はゼロ三角形
データのデータ構造を、図３（ｃ）は交線データのデー
タ構造を、さらに図３（ｄ）は頂点データのデータ構造
をそれぞれ示している。三角形面データおよびゼロ三角
形データはデータ構造上は全く同じ形式となり、３つの
頂点データへのポインタ（ｖ０，ｖ１，ｖ２）と、３つ
の隣接する三角形面データ或いはゼロ三角形データへの
ポインタ（ｔ０，ｔ１，ｔ２）とから構成される。ここ
で、ポインタとは、記憶装置（メモリー）上において、
該当データが格納されている番地（アドレス）を示すデ
ータである。また、これらのポインタは三角形面または
ゼロ三角形の接続関係を表す位相情報として用いられ
る。

【００１６】交線データは、交線の始点および終点とな
る頂点データへのポインタ（ｖ０，ｖ１）と、交線を挟
んで隣接する２つの三角形面データへのポインタ（ｔ
０，ｔ１）とから構成される。

【００１７】また、頂点データは、図４（ｄ）に示すよ
うに、４次元同次座標系での座標値（Ｘ，Ｙ，Ｚ，ｗ）
から構成される。本発明では、座標値Ｘ，Ｙ，Ｚ，ｗ
は、全て可変長ビットの整数表現となる。すなわち、数
値は、ビット長と、符号（＋、−）と、整数表現された
数値とから構成される。

【００１８】図１はこの発明の３次元図形の形状演算装
置の構成を示すブロック図である。図において、この発
明の３次元図形の形状演算装置１００は、複数の３次元
図形の形状演算、すなわち形状和（足し算）、形状差
（引き算）および形状積（重なる部分）を求めるための
演算を行う装置であり、例えばＭＰＵ（マイクロプロセ
ッサユニット）と半導体メモリ等を用いて構築される。
この形状演算装置１００は、データ変換部（データ変換
手段）１９と、三角形面データ処理部（形状演算手段）
１と、データ記憶部２と、４次元同次座標系幾何処理部
３と、可変長ビット整数演算器４と、外部機器インター
フェイス５とから構成される。なお、外部機器１８に
は、予め処理対象である複数の３次元図形の表面を三角
形面およびゼロ三角形の組み合わせで表したときの三角
形面データおよびゼロ三角形データを、ユークリッド座
標系で備えているものとする。

【００１９】上記の４次元同次座標系幾何処理部３は、
４次元同次座標系での演算処理を行うプリュッカー座標
演算器である。

【００２０】上記のデータ変換部１９は、外部機器１８
から入力された三角形面データおよびゼロ三角形データ
を構成する頂点データを、４次元同次座標系幾何処理部
３を用いて４次元頂点データに変換する。すなわち、頂
点データの次元を１次元上げて、Ｘ，Ｙ，Ｚ，ｗからな
る４次元データとする。

【００２１】上記の三角形面データ処理部１では、４次
元同次座標系幾何処理部３を用い、４次元頂点データ、
三角形面データおよびゼロ三角形データに基づく４次元
同次座標系での幾何処理を行うことによって各種の４次
元幾何処理データを求め、その４次元幾何処理データに
基づいて複数の３次元図形に対する形状演算処理を行
う。すなわち、形状和（足し算）、形状差（引き算）お
よび形状積（重なる部分）を求める演算を行う。その結
果、新たに生成された三角形面データ、ゼロ三角形デー
タ、交線データ、および頂点の座標を表す頂点データ
は、それぞれ三角形面データ記憶部１１、ゼロ三角形デ
ータ記憶部１２、交線データ記憶部１３、および頂点デ
ータ記憶部１４に保存される。

【００２２】次に、上記した三角形面データ処理部１が
４次元同次座標系幾何処理部３を用いて行う幾何演算処
理について説明する。

【００２３】本発明では、ユークリッド座標系に対して
次元を１次元上げた４次元の同次座標系（Ｘ，Ｙ，Ｚ，
ｗ）を用いて幾何処理を行う。以下、特に断らない限
り、座標系は４次元同次座標系での実施である。この４
次元処理を用いることにより、全ての演算は加減算とか
け算のみとで済み、割り算は必要でなくなる。４次元同
次座標系処理では、分母に対応する値は、ｗにおいて保
持する。例えば、３次元ユークリッド座標系における
（１／３，２／３，１）は、４次元同次座標系では、
（１，２，３，３）となる。このように処理することに
より割り算、すなわち分母は必要でなくなる。したがっ
て、上記の幾何処理において、扱う数値が全て有限桁数
の有理数となり、その演算結果も有限桁数の有理数とな
る。無限桁数の循環小数等になることはない。

【００２４】本発明での幾何演算処理では、以下の４次
元同次座標系幾何処理を用いている。なお、数式中、太
文字はベクトルを表している。

【００２５】（１）２点から線の生成 ２点Ｖ０＝（Ｘ
０，Ｙ０，Ｚ０，ｗ０），Ｖ１＝（Ｘ１，Ｙ１，Ｚ１，
ｗ１）を通る直線Ｌ０１のプリュッカー座標は次式で与
えられる。

【数１】 ここで、

【数２】

【００２６】（２）３点から面の生成（平面係数の算
出） ３点Ｖ０＝（Ｘ０，Ｙ０，Ｚ０，ｗ０），Ｖ１＝
（Ｘ１，Ｙ１，Ｚ１，ｗ１），Ｖ２＝（Ｘ２，Ｙ２，Ｚ
２，ｗ２）を通る面Ｆ０１２のプリュッカー座標は次式
で与えられる。

【数３】 ここで、

【数４】

【００２７】（３）線と面の交点計算 ２点Ｖａ＝（Ｘ
ａ，Ｙａ，Ｚａ，ｗａ），Ｖｂ＝（Ｘｂ，Ｙｂ，Ｚｂ，
ｗｂ）とを通る直線と、面Ｆ０１２との交点Ｖは次式で
与えられる。ここで、面Ｆ０１２は上記の式（３）によ
り与えられる。

【数５】 ここで、

【数６】

【数７】

【００２８】本発明では、形状演算を行う前に存在して
いた頂点を１次頂点（以下、単に１次点という）と呼ぶ
ことにする。また、式（５）のＶａ，Ｖｂが双方とも１
次点のとき、求められた交点Ｖを２次頂点（以下、単に
２次点という）と呼ぶことにする。さらに、式５のＶ
ａ，Ｖｂの双方が２次点以下で、且つ少なくとも一方が
２次点であるときには、求められた交点Ｖを３次頂点
（以下、単に３次点という）と呼ぶことにする。

【００２９】２次点、３次点と頂点の次数が上がるにつ
れて、その桁数は通常大きくなる。それゆえ、本発明で
は、桁数の増大を最小限に抑えるために、３次点までの
交点計算ですむ方法を提案している。

【００３０】１次点の座標値の最大桁数をＬとすると、
１次点から計算される平面Ｆ０１２のプリュッカー座標
の最大桁数は、上記の式（３）より（３Ｌ＋５）とな
る。したがって、２次点の最大桁数は、式（５）より
（５Ｌ＋９）となる。さらに、３次点の最大桁数は（１
３Ｌ＋２７）となる。

【００３１】（４）２点の一致判定 ２点Ｖ０＝（Ｘ
０，Ｙ０，Ｚ０，ｗ０），Ｖ１＝（Ｘ１，Ｙ１，Ｚ１，
ｗ１）の一致判定は、この２点Ｖ０，Ｖ１を通る直線Ｌ
０１のプリュッカー座標が、次式（８）となることであ
る。

【数８】

【００３２】（５）２面の一致判定 ２つの平面ｆ０＝
［ａ０，ｂ０，ｃ０，ｄ０］^T ，ｆ１＝［ａ１，ｂ１，
ｃ１，ｄ１］^T の一致判定は、点と面の双対性により式
（８）と同じ形式となる。

【００３３】（６）点の面に対する位置判定 点Ｖ＝
（Ｘ，Ｙ，Ｚ，ｗ）が，平面Ｆ０１２に対してどの位置
にあるかの判定は次式で与えられる。

【数９】 式（９）において、演算の結果得られるｓの符号＋、
０、−に対応して、点Ｖは、面の正側、面上、面の負側
となる。

【００３４】（７）２線分の向き判定 ２線分Ｌ０１，
Ｌ２３が同一直線上にあるときには、両者の向きの判定
は次式で与えられる。

【数１０】 ２線分Ｌ０１，Ｌ０２の向きは、式（１０）より得られ
る値が正のときは同じ方向、負のときは逆向きとなる。

【００３５】（８）２面の向き判定 ２面Ｆ０１２，Ｆ
３４５が同一平面であるときには、両者の向きの判定は
次式で与えられる。

【数１１】 ２面Ｆ０１２，Ｆ３４５の向きは、式（１１）より得ら
れる値が正のときは同じ方向、負のときは逆向きとな
る。

【００３６】次に、三角形面データ処理部１について説
明する。三角形面データ処理部１では、形状演算処理が
行われる。

【００３７】まず、本発明の形状演算処理方式の概要を
図１および図４を用いて説明する。ここでは、３次元図
形である形状αと形状βとの２つの形状における形状演
算を想定する。形状αおよび形状β等の３次元図形は、
全て三角形面データおよびゼロ三角形データを用いて構
成される。本発明の三角形面データ処理部１は、以下の
５つの処理部から構成される。なお、この三角形面デー
タ処理部１は、４次元同次座標系幾何処理部３と協働し
て形状演算処理を実行している。

【００３８】（１）共通空間処理部６ 前処理として、
形状αと形状βが共に存在する直方体の共通空間を求め
る（図４（ａ））。そして、この空間に含まれる両形状
の三角形を三角形面データ記憶部１１から取り出す。

【００３９】（２）分割処理部７ 上記の共通空間処理
により取り出された形状αおよび形状βの三角形面デー
タ間において、交差判定を順次行なう（図４（ｂ−
１））。両者が交差する場合には、その交線を求め、こ
の交線においてそれぞれの実三角形を分割する（図４
（ｂ−２））。この分割処理部７で求められた交線デー
タは、交線データ記憶部１３に保存される。分割により
新たに生成されたゼロ三角形データおよび頂点データ
は、それぞれゼロ三角形データ記憶部１２および頂点デ
ータ記憶部１４に保存される。

【００４０】そして、分割により新たに生成された三角
形面データは、三角形面データ記憶部１１に直ぐには保
存されずに、処理される三角形面データ列に入れられ、
さらに引き続き上記の交差判定および分割処理が行われ
る。全ての交差判定および分割処理が終わった時点で、
三角形面データは、三角形面データ記憶部１１に保存さ
れる。

【００４１】（３）消去処理部８ 境界面（三角形面）
に関して他の形状に対する内外判定を行い、不要となっ
た境界面（三角形面）を消去する（図４（ｃ））。すな
わち、不要となった三角形面データおよびゼロ三角形デ
ータを、それぞれの記憶部１１、１２から消去する。

【００４２】（４）接続処理部９ 交線において接する
両形状の三角形面を、ゼロ三角形を用いて境界面接続す
る（図４（ｄ））。すなわち、交線データ記憶部１３か
ら交線データを順次取り出し、交線データが保持してい
る隣接三角形情報（ｔ０，ｔ１）を用いて、両形状の三
角形面を順次接続する。

【００４３】（５）統合処理部１０ 各三角形において
隣接する周辺の三角形との形状チェックを順次行い、こ
れらの三角形がより大きな１つの三角形を形成する場合
には、これらの三角形を１つの三角形として統合する
（図４（ｅ））。この処理の主目的は、三角形面データ
およびゼロ三角形データの数を減らすことである。した
がって、この処理は省略することができる。

【００４４】次に、上記した分割処理部７の処理内容に
関して詳しく説明する。分割処理部７のフローチャート
は、図５に示すようになる。

【００４５】先ず、この分割処理部７で行う処理内容の
概略を説明する。本発明では、ゼロ三角形を用いて、数
値の桁数が無制限に大きくならない、必ずある桁数以下
とする方式を提案している。すなわち、２つの形状を１
回だけ形状演算を行う場合において、従来手法をそのま
ま無誤差（整数演算）化すると、形状演算の過程におい
て、際限なく桁数が増えてしまう。これは、新たに求め
られた（より大きな桁数を持つ）交点から、さらに新た
な交点が求められ、これが繰り返されるためである。桁
数が大きくなると長ビット演算を行う必要があり、演算
効率が著しく低下し、且つデータ量も大きくなる。した
がって、この桁数の増大をいかに抑えるかが重要となっ
てくる。

【００４６】そこで、本発明では、交点の計算（新たな
頂点の生成）は、全て式（５）を用いて行うが、その交
点は１次点から生成される２次点のみを保存するように
している。３次点も求めるが、これは一時的に使用する
だけであり、最終的には消去する。このような処理を行
うことにより，４次点以上の高次点の演算は発生しな
い。このような処理を行うことにより、桁数の増大を最
小限に抑えることができ、また演算に必要な最大桁数を
予め見積もることができる。

【００４７】さらに、本発明では、桁数の増大を抑え演
算を効率化するために、３次点を２次点以下にする低次
点化処理を行っている。ただし、すべての３次点が低次
点化できるわけではない。例えば、図６（ｅ）では三角
形ＡＢＣ上に交線ＨＪがある。このときに、従来手法で
は、交点Ｈは三角形ＡＢＣの１次点Ａと２次点Ｂから計
算されるので、３次点となる。しかし、本発明による形
状演算の方式では、形状演算前に存在していた、両端点
共に１次点で構成される「１次辺」をゼロ三角形の辺と
して保存している。

【００４８】このことを図６（ｅ）の例で説明すると、
実三角形がどのように分割されても、ゼロ三角形ＡＰＯ
或いはＡＱＰが生成され、保存される。すなわち、１次
辺ＡＰは切断されることなく必ず保存される。そこで、
交点Ｈ（３次点）は、１次点ＡおよびＰから求めること
ができるので、２次点とすることができ、低次点化され
る。すなわち、桁数が削減される。

【００４９】ゼロ三角形の１つの効果は、三角形分割の
周辺への伝播を阻止することである（データ量の低
減）。ここではこれに加えて、ゼロ三角形は、１次辺を
保存するという重要な役割も果たしている。すなわち、
１次辺ＡＰはゼロ三角形ＡＰＯ或いはＡＱＰの辺とし
て、分割されることなく、保存される。線分（１次辺）
がゼロ三角形の形式で保存される。このように、ゼロ三
角形を用いることにより、１次辺を保存する特別な枠組
みは必要ではなくなり、三角形面データの枠組みのみ
で、全て保存・処理することができる。

【００５０】一方、図６（ｆ）の例では、図６（ｅ）と
同じように、三角形ＡＢＣ上に交線ＨＪがあるが、１次
点はＡのみであり、他の頂点Ｂ，Ｏ，Ｐ，Ｑは、全て２
次点である。その結果、交点Ｈは３次点として求めら
れ、低次点化することはできない。したがって、上記の
頂点Ｈは新たな頂点として、保存することはしない。

【００５１】このように、３次の交点を頂点として保存
せず、またこの場合に三角形の分割を行わないので、図
８（ａ）に示す交線ｓのように、交線と一致する辺が存
在しない交線が発生する。このような交線に対しては、
後述する「交線と辺の一致処理」を行うことにより、交
線と一致する辺を生成する。

【００５２】従来手法では、すべての求められた交点
（３次点以上の高次点も）は、頂点として保存され、必
ずその交点において三角形の分割が行われる。そこで、
交線と一致する辺が必ず生成されるので、このような三
角形の変形操作は不必要である。しかし、この結果、頂
点（交点）のデータの桁数は際限なく増大する。

【００５３】このように、本発明では、従来手法と比べ
て、三角形を分割し交線を生成する「分割処理」だけが
根本的に異なるものとなる。そこで、図５に戻って以下
この処理に関して詳しく説明する。ここでは、形状αと
形状βとの形状演算を行う場合を想定する。

【００５４】図５に示す分割処理部７のフローチャート
中の交差判定処理（ステップＳ７１）について説明す
る。共通空間内に存在する形状αの実三角形と形状βの
実三角形を、三角形面データ記憶部１１から順次取り出
し、両者の「共通交線」を求めることにより、交差判定
処理を行う。

【００５５】すなわち、共通交線が存在する場合には、
両者は交差すると判定される。図６（ｂ）の例では、形
状αの三角形ＡＢＣと、形状βの三角形ＤＥＦとが交差
しており、交線はＧＪに、共通交線はＨＩになる。

【００５６】続いて、図５の低次点化処理（ステップＳ
７４）について説明する。三角形の交差判定処理（ステ
ップＳ７１）により生成される共通交線の端点（すなわ
ち、交点）は、１次点および２次点の演算から生成され
るので、最大３次点となり、４次点以上の高次点となる
ことはない。そこで、共通交線の端点が３次点の場合に
は、桁数を減少させるために、以下のような３次点を２
次点以下に「下げる」低次点化処理を行う。

【００５７】なお、端点が２次点以下の場合には、上記
の低次点化処理は不要である。上記の処理は、共通交線
の端点の位置に応じて、以下の２通りの処理が行われ
る。また、これらの処理は互いに排他処理である。

【００５８】（１）端点が三角形の頂点と一致する場合
図６（ａ）に示すように、共通交線ＧＨの端点Ｇが、
三角形ＤＥＦの頂点Ｅと一致する場合である。この場合
は、共通交線の端点として、三角形の頂点Ｅ（１次点ま
たは２次点）を採用する。また、端点が２つの三角形の
頂点と一致する場合は、形状αの三角形の頂点を優先し
て採用する。

【００５９】（２）端点が三角形の辺上となる場合 図
６（ｂ）に示すように、共通交線ＨＩの端点Ｈが、三角
形ＡＢＣの辺ＡＢ上となる場合である。この場合は、こ
の辺ＡＢに隣接する三角形がゼロ三角形の場合のみ低次
化できる可能性があるので、以下の処理を行う。三角形
の場合は低次化できないので、端点は３次点のままで、
何の処理も行われない。

【００６０】ここでは、図６（ｂ）に示す三角形ＡＢＣ
の辺ＡＢの周辺が、図６（ｄ）のようであったとする。
まず、この端点Ｈと一致する頂点の探索を行う。図６
（ｄ）の例では、辺ＡＢと重なる（辺ＡＢ上となる）ゼ
ロ三角形ＡＮＢ、ＡＫＮ、ＫＭＮ、およびＫＬＭの頂点
を順次調べる。

【００６１】図６（ｄ）の例では、頂点Ｍ（２次点）が
Ｈ（３次点）と同一点となるので、端点としてＨの代わ
りにＭを採用することにより、低次点化を行うことがで
きる。

【００６２】次に、同一頂点が存在しない場合は、「１
次辺」探索を行う。ここで、図６（ｂ）に示す三角形Ａ
ＢＣの辺ＡＢの周辺が、図６（ｅ）のようであったとす
ると、辺ＡＢと重なるゼロ三角形ＡＯＢ、ＡＰＯ、ＡＱ
Ｐの辺を順次調べる。図６（ｅ）の例では、辺ＡＰが１
次辺となるので、このＡＰと三角形面ＤＥＦ（図６
（ｂ））との交点計算から端点Ｈ（２次点）を再計算す
る。

【００６３】一方、辺ＡＢの周辺が図６（ｆ）のように
なる場合は１次辺が存在しないので、Ｈを低次点化する
ことはできず、そのままとなる。

【００６４】図６（ｃ）に示すように、共通交線の端点
ＨまたはＩが両方の三角形の辺上となる場合は、形状α
を優先する。まず、形状αの三角形ＡＢＣにおいて、上
記の低次点化処理を試み、その結果、低次点化できれ
ば、処理を終了する。

【００６５】上記の低次点化ができない場合は、形状β
の三角形ＤＥＦにおいて、同様に低次点化処理を試み
る。その結果、上記の低次点化処理でも低次点化できな
ければ、３次点のままとなる。

【００６６】次に、三角形の分割処理（ステップＳ７
６）について説明する。交線の端点が２次点以下となる
場合には、この端点を三角形の頂点データとして、図１
の頂点データ記憶部１４に保存し、三角形の分割を行
う。

【００６７】このときの分割パターンは、図７（ａ）、
（ｂ）、および（ｃ）に示す３通りとなる。図７（ａ）
の場合は、交線の端点Ｄが三角形ＡＢＣの内部となる場
合である。この場合は、３つの三角形に分割する。

【００６８】図７（ｂ）の場合は、交線の端点が辺上
（頂点は除く）となる場合である。この場合は、２つの
三角形と１つのゼロ三角形に分割する。このように、ゼ
ロ三角形を用いて分割することにより、１次辺が切断さ
れることなく保存される。例えば、図７（ｂ）において
辺ＡＢが１次辺であったとすると、この周辺において、
三角形の分割がどのように繰り返されても、ＡＢが切断
されることは一切なく保存される。

【００６９】図７（ｃ）の場合は、端点が頂点と一致す
る場合である。この場合は、当然分割は行わない。

【００７０】他方の交線の端点についても、２次点以下
であった場合には、上記と同様の処理が行われる。両端
点とも２次点以下であった場合には、例えば図７（ｄ）
のように分割が行われる。

【００７１】三角形の分割処理（ステップＳ７６）が完
了すると、次の３種類の交線が生成される。 （１）両端点共に２次点以下である交線（図７（ｄ）） （２）片端点が２次点以下、もう一方の端点が３次点で
ある交線（図７（ｅ）） （３）両端点が３次点である交線（図７（ｆ））

【００７２】平面多面体表現における形状演算では、新
たな面が生成されることはなく、面は分割或いは接続さ
れるだけである。その結果、交線の端点は、必ず形状演
算を実施する前から存在していた３つの面の交点として
求めることができる。

【００７３】ところで、この３つの面から求められる交
点は、ここでいう２次点のことである。すなわち、交線
の端点は、全て２次点以下で構成することができる。こ
のことは、頂点データの桁数はある上限、本発明の実施
形態では２次点以下に、必ず抑えることができることを
意味している。

【００７４】図７（ｉ）を用いて、このことを具体的に
説明する。図７（ｉ）では、形状αの１つの平面と、形
状βの面ＡＢＣＤＥＦＧＨとが交差している。また、２
次点Ｉがすでに生成しているとする。また、面ＡＢＣ
Ｈ、面ＨＣＤＧ、および面ＧＤＥＦは平面であるとす
る。

【００７５】ここで、交線を求めると、ＪＫ、ＫＬ、Ｌ
Ｍ、ＭＮ、ＮＯ、ＯＰ、ＰＱが生成される。しかし、同
一直線上にあるものを統合すると，交線はＪＬ、ＬＯ、
およびＯＱとなる。そして、その結果、これらの端点
は、全て２次点またはそれ以下となる。上記のように、
交線の端点が３次点以上となる交線（図７（ｉ）では、
ＭＮ）は、必ず２次点以下を端点に持つ交線と同一直線
上となり、かつ含まれるので、必ず消去することができ
る。

【００７６】図７（ｄ）に示すように、上記の（１）の
交線は、必ず両端点において、三角形の分割が行われる
ので、必ずその両端と一致する頂点、および交線と一致
する辺が存在する。したがって、上記の場合は、交線と
辺の一致処理（ステップＳ７８）は行われず、交線デー
タもそのままの状態で、図１の交線データ記憶部１３に
保存される。

【００７７】一方、上記の（３）の交線は、図７（ｆ）
に示すように、三角形の分割が全く行われないので、両
者の端点共に一致する頂点が存在せず、かつ交線と一致
する辺も存在しない。したがって、上記の（３）の交線
は消去される。

【００７８】（２）の交線に対しては、以下のような、
交線と辺の一致処理（ステップＳ７８）が行われる。

【００７９】（２）の交線は、図７（ｅ）のように、片
方の端点のみが頂点と一致している。そして、他方の端
点と一致する頂点は存在しないので、この交線と一致す
る辺が存在しているかどうかは不定である。したがっ
て、まず交線が辺と重なっているかどうかのチェックを
行う。すなわち、交線の端点を頂点に持つ三角形を順番
に検索する。

【００８０】図７（ｅ）の例では、交線の端点である頂
点Ｄを持つ三角形ＤＡＢ、ＤＢＣ、ＤＣＡが順次検索さ
れ、交線とそれぞれの三角形の辺との重なり判定が行わ
れる。このときの重なり状態は、以下の３通りとなる。

【００８１】（１）三角形の面上となる。 図７（ｅ）
に示すような場合である。交線と一致する辺が存在しな
いので、後述するように、交線と一致する辺を生成する
「三角形の変形操作」を行う。

【００８２】（２）２つの三角形の辺上となる。 この
場合は、図７（ｇ）に例示するように、交線が２つの三
角形に挟まれる場合である。図７（ｇ）では、交線ｓは
辺ＡＢと一致する。また、三角形に挟まれているので、
辺ＡＢ上に他の頂点が存在することはない。したがっ
て、辺ＡＢが交線ｓと一致する辺となる。

【００８３】（３）ゼロ三角形の辺上となる。 この場
合は、図７（ｈ）に示すように、交線がゼロ三角形と重
なる場合である。図７（ｈ）では、頂点Ａ，Ｃ，Ｄ，
Ｅ，およびＦは全て同一直線上にあり、交線ｓと重なっ
ている。

【００８４】この場合は、交線ｓと重なっている全ての
ゼロ三角形ＡＣＤ，ＡＤＥ，ＡＥＦを順次検索する。そ
して、頂点Ａを端点に持ち、長さが最小の辺を求める。
ここでは、最小の辺はＡＦとなり、この辺が交線ｓと一
致する辺となる。

【００８５】次に、三角形の変形操作について説明す
る。図７（ｅ）において、交線が三角形面上となる場合
は、交線と一致する辺が存在しない。そこで、交線と一
致する辺を生成する必要があるので、三角形の変形操作
を行う。

【００８６】この処理は、ステップＡ：交線の終点を探
す、ステップＢ：交線と交わる三角形を全て求める、ス
テップＣ：求めた三角形が形成する多角形の頂点を順次
減らし、最終的に交線を挟んで隣接する２つの三角形に
より形成される４角形とする、という３つのステップ
Ａ，Ｂ，Ｃから構成される。

【００８７】上記の三角形の変形操作を、図８の例を用
いて説明する。図８（ａ）の交線ｓは始点として頂点Ｄ
を持ち、かつ三角形面ＤＣＡ上にある。まず、交線ｓと
重なり、かつ頂点Ｄに最も近い頂点（終点）を求める。
図８（ａ）では頂点Ｅとなる。

【００８８】次に、この交線ｓ＝ＤＥと交差する三角形
を、全て取り出す（図８（ｂ））。さらに、上記の取り
出された三角形が形成する多角形において、頂点を減ら
すために、頂点に集まる辺を減らす処理を行う。この処
理は凸頂点に対してのみについて行い、交線の始点・終
点の頂点、および凹頂点には行わない。また、この処理
を行う頂点の順番は任意で良い。

【００８９】図８（ｂ），（ｃ），および（ｄ）では、
凸頂点であるＦに対して辺の消去処理を行っている。頂
点Ａは凹頂点であるので処理をすることが出来ないの
で、処理を保留する。すなわち、図８（ｂ）において、
頂点Ｆを持ち、かつ隣接する２つの三角形ＦＡＪとＦＪ
Ｉとに対して変形操作を行い、三角形ＦＡＩとＡＪＩと
を生成することにより、辺ＦＪを消去する（図８
（ｃ））。

【００９０】次に、ＦＡＩとＦＩＧを変形してＦＡＧと
ＡＩＧとする（図８（ｄ））。これらの処理のときに、
変形操作を行う２つの三角形が形成する４角形が凹とな
る場合は、変形操作ができないので、処理を保留して次
の三角形のペアに処理を進める。例えば、図８（ｂ）に
おいて、三角形ＦＪＩとＦＩＧが形成する４角形は凹と
なるので処理を保留し、まず、三角形ＦＡＪとＦＪＩに
対して変形操作が行われる。

【００９１】これらの処理により、頂点Ｆに集まる三角
形の辺はすべて消去された、すなわち、頂点Ｆを持つ三
角形が１個になったので、処理対象からこの三角形を除
外し、次の頂点に処理を進める。

【００９２】以上の三角形の変形操作を、交線と一致す
る辺が生成するまで行う。図８（ｂ），（ｃ），（ｄ）
では、頂点Ｆに集まる辺の消去処理が行われ、その結果
は図８（ｅ）となる。図８（ｆ），（ｇ），（ｈ）では
頂点Ａに集まる辺の消去操作が行われる。

【００９３】図８（ｉ）では、頂点Ｇに集まる辺の消去
処理が行われる。ここで、交線ＤＥと一致する辺が生成
されたので、処理を終了する。

【００９４】それぞれの４次元同次座標系処理が、どの
処理ステップで使われるか、また、そのときの数値の最
大桁数をまとめて、次表に示す。

【表１】

【００９５】本発明では、可変長ビットの整数演算を用
いている。ここでは、１次点の座標値における最大桁数
をＬビットとし、全ての幾何演算は、１次点の座標値か
ら演算し導出している。本発明の３次元図形データの形
状演算方法では、表１に示すように、最大必要桁数は５
２Ｌ＋１１５ビットである。

【００９６】

【発明の効果】本発明の３次元図形の形状演算装置を用
いると、以下に説明するような効果を奏することができ
る。

【００９７】（１）可変長ビットの整数演算に、４次元
同次座標系処理を導入することにより、演算誤差による
幾何演算の破綻がない、且つ割り算不要の方法が可能に
なる。

【００９８】（２）演算に必要とされる桁数がある上限
以上に増大することはない。また、予め必要とされる最
大桁数を見積もることができる。すなわち、頂点データ
の演算が「３次点」までで済むので、かなり少ない桁数
で、かつ桁数がある上限以上に増大することなく無誤差
演算が可能である。さらに、演算桁数の低減に必要不可
欠な線分である「１次辺」は、ゼロ三角形データの枠組
みで保持されので、非常に単純なデータ構造を構成する
ことが可能となる。

【００９９】（３）その結果、データ処理量および演算
量を大幅に減らすことができるので、高い処理効率を有
し、かつ高速で処理を行うことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の３次元図形の形状演算装置の構成を示
すブロック図である。

【図２】本発明が用いるゼロ三角形による図形表現の説
明図である。

【図３】本発明で使用する各種データのデータ構造を示
す図である。

【図４】本発明での形状演算処理のステップを概略的に
説明する図である。

【図５】本発明での形状演算処理における分割処理のフ
ローチャートを示す図である。

【図６】三角形の交差状態とその交点の低次点化処理に
関する説明図である。

【図７】三角形の分割処理に関する説明図である。

【図８】交線と辺の一致処理に関する説明図である。

【符号の説明】

１ 三角形面データ処理部 ２ データ記憶部 ３ ４次元同次座標系幾何処理部（プリュッカー座標演
算器） ４ 可変長ビット整数演算器 ５ 外部機器インターフェイス ６ 共通空間処理部 ７ 分割処理部 ８ 消去処理部 ９ 接続処理部 １０ 統合処理部 １１ 三角形面データ記憶部 １２ ゼロ三角形データ記憶部 １３ 交線データ記憶部 １４ 頂点データ記憶部 １５ 加算器 １６ 減算器 １７ 乗算器 １８ 外部機器（計算機他） １９ データ変換部 １００ ３次元図形の形状演算装置

フロントページの続き (56)参考文献 特開 平９−282493（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−223201（ＪＰ，Ａ) 特開 平３−232076（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−243265（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−348858（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−131471（ＪＰ，Ａ) 特開 平５−250445（ＪＰ，Ａ) 特開 平７−65205（ＪＰ，Ａ) 特開 平１−159770（ＪＰ，Ａ) 荒川佳樹ほか”超３角形ＢＲｅｐにお けるＥｄｇｅ−ｂａｓｅｄデータ構造と 形状演算アルゴリズム”，情報処理学会 論文誌，情報処理学会，1998年１月10 日，第39巻，第１号，ｐ．39−49 荒川佳樹”仮想空間における立体形状 モデリング”，グラフィックスとＣＡＤ シンポジウム論文集，情報処理学会，Ｖ ｏｌ．91，Ｎｏ．７，ｐ．33−42 荒川佳樹”超３角形を用いた３次元図 形処理 統一処理と超高速処理を実現し た３次元形状モデリング”，画像ラボ, 1998年４月１日，第７巻、第４号，ｐ. 63−66 荒川佳樹”体積ゼロ４面体を用いた３ 次元形状モデリング”，グラフィックス とＣＡＤシンポジウム論文集，情報処理 学会，Ｖｏｌ．93，Ｎｏ．６，ｐ．51− 58 荒川佳樹”面積ゼロ３角形を用いた３ 角形ＢＲｅｐ”，情報処理学会論文誌, 1995年２月10日，第36巻，第２号，ｐ. 362−373 志沢雅彦”４次元同次座標系における 可逆的座標変換”，情報処理学会第38回 全国大会講演論文集，情報処理学会，平 成元年３月15日，Ｖｏｌ．38ｔｈ，Ｎ ｏ．２，ｐ．691−692 Ｄａｖｉｄ Ｆ．Ｒｏｇｅｒｓほか 「コンピュータグラフィックス−第２版 −」，第２版，日刊工業新聞社，1993年 ３月30日，ｐ．６−８ (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 17/10 G06T 11/20 100 G06T 17/40 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)

Claims (2)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 複数の３次元図形の形状演算を、３次元
   図形の表面を三角形およびゼロ三角形で表現したときの
   三角形面データおよびゼロ三角形データを用いて行う３
   次元図形の形状演算装置において、 ４次元同次座標系での演算処理を行う４次元同次座標系
   幾何処理部と、 上記三角形面データおよびゼロ三角形データを構成する
   頂点データを、４次元同次座標系幾何処理部を用いて４
   次元頂点データに変換するデータ変換手段と、 上記４次元同次座標系幾何処理部を用い、４次元頂点デ
   ータ、三角形面データおよびゼロ三角形データに基づく
   ４次元同次座標系での幾何処理を行うことによって各種
   の４次元幾何処理データを求め、その４次元幾何処理デ
   ータに基づいて複数の３次元図形に対する形状演算処理
   を行う形状演算手段と、を備え、上記形状演算手段は、上記幾何処理および形状演算処理
   を可変長ビットの整数演算として行うとともに、形状演
   算処理における、三角形を分割し共通交線を生成する分
   割処理において、共通交線の端点（交点）については１
   次頂点から生成される２次頂点のみを保存し、また３次
   頂点を２次頂点以下にする低次点化処理を行い、数値の
   桁数の増大を抑制して無誤差整数演算を行う、 ことを特徴とする３次元図形の形状演算装置。
2. 【請求項２】 上記形状演算手段は、形状演算前に存在
   していた、両端点とも１次頂点で構成される１次辺をゼ
   ロ三角形の辺として保存し、そのゼロ三角形の１次辺を
   用いて交点および交線を求め、３次頂点を２次頂点以下
   にする低次点化処理を行う、 ことを特徴とする請求項１に記載の３次元図形の形状演
   算装置。