JP3030341B1 - ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 - Google Patents
ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体Info
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- JP3030341B1 JP3030341B1 JP11085744A JP8574499A JP3030341B1 JP 3030341 B1 JP3030341 B1 JP 3030341B1 JP 11085744 A JP11085744 A JP 11085744A JP 8574499 A JP8574499 A JP 8574499A JP 3030341 B1 JP3030341 B1 JP 3030341B1
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Abstract
【要約】
【課題】 ランダムなベクトル列の出力装置、出力方
法、および、情報記録媒体を提供する。 【解決手段】 ベクトル列の出力装置１００の第１の
記憶手段１０１は、１次元以上のベクトルx を記憶し、
第１の計算手段１０２は、記憶されたベクトルxに第１
の有理ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f
(x) を計算し、第２の記憶手段１０３は、１次元以上の
ベクトルy を記憶し、第２の計算手段１０４は、結果の
ベクトルx'と、記憶されたベクトルy とに第２の有理ベ
クトル写像gを適用した結果のベクトルy'=g(x',y)を計
算し、出力手段１０５は、結果のベクトルx'と結果のベ
クトルy'とを結合したベクトルz'を出力し、第１の更新
手段１０６と第２の更新手段１０７とは、結果のベクト
ルx'を第１の記憶手段１０１に記憶させ、結果のベクト
ルy'を第２の記憶手段１０３に記憶させて更新する。
法、および、情報記録媒体を提供する。 【解決手段】 ベクトル列の出力装置１００の第１の
記憶手段１０１は、１次元以上のベクトルx を記憶し、
第１の計算手段１０２は、記憶されたベクトルxに第１
の有理ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f
(x) を計算し、第２の記憶手段１０３は、１次元以上の
ベクトルy を記憶し、第２の計算手段１０４は、結果の
ベクトルx'と、記憶されたベクトルy とに第２の有理ベ
クトル写像gを適用した結果のベクトルy'=g(x',y)を計
算し、出力手段１０５は、結果のベクトルx'と結果のベ
クトルy'とを結合したベクトルz'を出力し、第１の更新
手段１０６と第２の更新手段１０７とは、結果のベクト
ルx'を第１の記憶手段１０１に記憶させ、結果のベクト
ルy'を第２の記憶手段１０３に記憶させて更新する。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、ランダムなベクト
ル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体に関
する。
ル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体に関
する。
【０００２】特に、出力されるランダムなベクトル列の
分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベク
トル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付け
て、より高次元のランダムなベクトル列であって、その
分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを出
力するランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、お
よび、これらを実現するプログラムを記録した情報記録
媒体に関する。
分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベク
トル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付け
て、より高次元のランダムなベクトル列であって、その
分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを出
力するランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、お
よび、これらを実現するプログラムを記録した情報記録
媒体に関する。
【０００３】
【従来の技術】従来から、漸化式を用いた乱数の生成手
法が多数知られている。物理学や工学などの模擬実験を
行うモンテカルロ法では、このようにして生成された乱
数を用いる。
法が多数知られている。物理学や工学などの模擬実験を
行うモンテカルロ法では、このようにして生成された乱
数を用いる。
【０００４】また、移動体電話で用いられるＣＤＭＡ
（Code Division Multiple Access ）法では、限られた
電波帯域を多数のユーザが有効に利用できるようにする
ため、乱数から得られるＰＮ（Pseudo Noise）コードを
各ユーザに割り当てている。
（Code Division Multiple Access ）法では、限られた
電波帯域を多数のユーザが有効に利用できるようにする
ため、乱数から得られるＰＮ（Pseudo Noise）コードを
各ユーザに割り当てている。
【０００５】このほか、インターネットなどの通信技術
の発達により、通信の秘密保持の必要性がますます大き
くなってきており、公開鍵暗号という手法を用いて秘密
保持を行うことが一般的になりつつある。この手法にお
いても、公開鍵を生成するために乱数が用いられてい
る。
の発達により、通信の秘密保持の必要性がますます大き
くなってきており、公開鍵暗号という手法を用いて秘密
保持を行うことが一般的になりつつある。この手法にお
いても、公開鍵を生成するために乱数が用いられてい
る。
【０００６】このような乱数を得るために、従来から、
漸化式を用いた手法が広く利用されている。古くから知
られる乗算による漸化式では乱数の周期が問題となって
いた。しかし、近年、カオス理論の発展により、楕円関
数（三角関数を含む）の加法定理から導かれる有理写像
を漸化式に用いて得られる乱数には、以下のような有利
な性質があることが判明しており、その重要性はますま
す高まってきている。
漸化式を用いた手法が広く利用されている。古くから知
られる乗算による漸化式では乱数の周期が問題となって
いた。しかし、近年、カオス理論の発展により、楕円関
数（三角関数を含む）の加法定理から導かれる有理写像
を漸化式に用いて得られる乱数には、以下のような有利
な性質があることが判明しており、その重要性はますま
す高まってきている。
【０００７】（１）出力される乱数列には周期がないた
め、繰り返し同じ列が出力されることがない。 （２）乱数の種（漸化式に与える初期値）として有理数
を与えると、得られる乱数列に含まれる数がいずれも有
理数になる。 （３）乱数の分布を表す密度関数が既知の解析的関数で
ある。
め、繰り返し同じ列が出力されることがない。 （２）乱数の種（漸化式に与える初期値）として有理数
を与えると、得られる乱数列に含まれる数がいずれも有
理数になる。 （３）乱数の分布を表す密度関数が既知の解析的関数で
ある。
【０００８】このような有理写像には、ウラム＝フォン
・ノイマン写像［数１］、キュービック写像［数２］、
クインティック写像［数３］などが知られている。
・ノイマン写像［数１］、キュービック写像［数２］、
クインティック写像［数３］などが知られている。
【０００９】
【数１】
【００１０】
【数２】
【００１１】
【数３】
【００１２】これらの有理写像のいずれを選んだ場合で
あっても、適当な初期値ξ (0<ξ<1)を与え、以下の漸
化式により乱数列x[i]を得た場合、この乱数列x[i]の分
布を表す密度関数は、［数４］で表現される。 x[0] = ξ x[i+1] = f(x[i]) (i≧0)
あっても、適当な初期値ξ (0<ξ<1)を与え、以下の漸
化式により乱数列x[i]を得た場合、この乱数列x[i]の分
布を表す密度関数は、［数４］で表現される。 x[0] = ξ x[i+1] = f(x[i]) (i≧0)
【００１３】
【数４】
【００１４】また、パラメータを有する有理写像も漸化
式として用いることができ、このような有理写像として
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像［数５］、一般化キュービック写像、一般化チェビ
シェフ写像などがある。
式として用いることができ、このような有理写像として
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像［数５］、一般化キュービック写像、一般化チェビ
シェフ写像などがある。
【００１５】
【数５】
【００１６】たとえば、一般化ウラム＝フォン・ノイマ
ン写像［数５］を用いて上記の漸化式により乱数列を得
た場合、その分布も同じパラメータを有する密度関数
［数６］で表現される。
ン写像［数５］を用いて上記の漸化式により乱数列を得
た場合、その分布も同じパラメータを有する密度関数
［数６］で表現される。
【００１７】
【数６】
【００１８】なお、カツラ＝フクダ写像は、一般化ウラ
ム＝フォン・ノイマン写像［数５］において、m=0 とお
いたものである。
ム＝フォン・ノイマン写像［数５］において、m=0 とお
いたものである。
【００１９】これらの有理写像を用いた乱数を生成する
手法については、本願の発明者らによる出願に係る特開
平１０−２８３３４４号公報に開示されている。また、
その理論的背景については以下の文献に開示されてい
る。 S. M. Ulam and J. von Neumann, Bull. Math. Soc. 53
(1947) 1120. R. L. Adler and T. J. Rivlin, Proc. Am. Math. Soc.
15 (1964) 794. K. Umeno, Method of constructing exactly solvable
chaos, Phys. Rev. E(1997) Vol.55： 5280-5284.
手法については、本願の発明者らによる出願に係る特開
平１０−２８３３４４号公報に開示されている。また、
その理論的背景については以下の文献に開示されてい
る。 S. M. Ulam and J. von Neumann, Bull. Math. Soc. 53
(1947) 1120. R. L. Adler and T. J. Rivlin, Proc. Am. Math. Soc.
15 (1964) 794. K. Umeno, Method of constructing exactly solvable
chaos, Phys. Rev. E(1997) Vol.55： 5280-5284.
【００２０】従来、このような乱数生成手法では、乱数
の種としてスカラー値（１次元のベクトル）を与えるこ
とにより、乱数列（ランダムな１次元のベクトル列）を
得ることができた。
の種としてスカラー値（１次元のベクトル）を与えるこ
とにより、乱数列（ランダムな１次元のベクトル列）を
得ることができた。
【００２１】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来の
乱数発生の手法においては、以下のような問題があっ
た。
乱数発生の手法においては、以下のような問題があっ
た。
【００２２】すなわち、２次元以上の空間におけるモン
テカルロ法では、２次元以上のベクトルのランダムな列
が必要である。しかし、従来の乱数発生の手法において
は、得られる乱数列はスカラー値の列（１次元のベクト
ル列）であり、たとえば、３次元空間の模擬実験を行う
際に、この列の先頭から順に３個ずつ値を必要な数だけ
選択するのでは、乱数分布に偏りが発生し、収束性が悪
化してしまうという問題が生じていた。
テカルロ法では、２次元以上のベクトルのランダムな列
が必要である。しかし、従来の乱数発生の手法において
は、得られる乱数列はスカラー値の列（１次元のベクト
ル列）であり、たとえば、３次元空間の模擬実験を行う
際に、この列の先頭から順に３個ずつ値を必要な数だけ
選択するのでは、乱数分布に偏りが発生し、収束性が悪
化してしまうという問題が生じていた。
【００２３】また、公開鍵暗号を生成する場合には、２
つの整数の対からなる乱数を得る必要があるが、従来の
乱数発生の手法においては、この対を同時に生成するこ
とができないため、悪意のある暗号解読者に対する防御
が十分でなくなってしまうという問題が生じていた。
つの整数の対からなる乱数を得る必要があるが、従来の
乱数発生の手法においては、この対を同時に生成するこ
とができないため、悪意のある暗号解読者に対する防御
が十分でなくなってしまうという問題が生じていた。
【００２４】このように、複数個の乱数の組が同時に１
つのベクトルとして生成され、これを列として、ランダ
ムなベクトル列を出力でき、なおかつ、これらのベクト
ル列の分布の密度関数が解析的に得られるような出力装
置や出力方法に対する要望は、極めて大きい。
つのベクトルとして生成され、これを列として、ランダ
ムなベクトル列を出力でき、なおかつ、これらのベクト
ル列の分布の密度関数が解析的に得られるような出力装
置や出力方法に対する要望は、極めて大きい。
【００２５】本発明は、以上のような問題を解決するた
めになされたもので、出力されるランダムなベクトル列
の分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベ
クトル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付
けて、より高次元のランダムなベクトル列であって、そ
の分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを
出力するランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、
および、これらを実現するプログラムを記録した情報記
録媒体を提供することを目的とする。
めになされたもので、出力されるランダムなベクトル列
の分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベ
クトル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付
けて、より高次元のランダムなベクトル列であって、そ
の分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを
出力するランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、
および、これらを実現するプログラムを記録した情報記
録媒体を提供することを目的とする。
【００２６】
【課題を解決するための手段】以上の目的を達成するた
め、本発明の原理にしたがって、下記の発明を開示す
る。
め、本発明の原理にしたがって、下記の発明を開示す
る。
【００２７】図１に示すように、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置１００は、第１の記憶手段１０１
と、第１の計算手段１０２と、第２の記憶手段１０３
と、第２の計算手段１０４と、出力手段１０５と、第１
の更新手段１０６と、第２の更新手段１０７とを備え、
（ａ）第１の記憶手段１０１は、１次元以上のベクトル
x を記憶し、（ｂ）第１の計算手段１０２は、第１の記
憶手段１０１に記憶されたベクトルx に第１の有理ベク
トル写像f を適用した結果のベクトルx'=f(x) を計算
し、
クトル列の出力装置１００は、第１の記憶手段１０１
と、第１の計算手段１０２と、第２の記憶手段１０３
と、第２の計算手段１０４と、出力手段１０５と、第１
の更新手段１０６と、第２の更新手段１０７とを備え、
（ａ）第１の記憶手段１０１は、１次元以上のベクトル
x を記憶し、（ｂ）第１の計算手段１０２は、第１の記
憶手段１０１に記憶されたベクトルx に第１の有理ベク
トル写像f を適用した結果のベクトルx'=f(x) を計算
し、
【００２８】（ｃ）第２の記憶手段１０３は、１次元以
上のベクトルy を記憶し、（ｄ）第２の計算手段１０４
は、第１の計算手段１０１により計算された結果のベク
トルx'と、第２の記憶手段１０３に記憶された１次元以
上のベクトルy とに、第２の有理ベクトル写像g を適用
した結果のベクトルy'=g(x',y)を計算し、
上のベクトルy を記憶し、（ｄ）第２の計算手段１０４
は、第１の計算手段１０１により計算された結果のベク
トルx'と、第２の記憶手段１０３に記憶された１次元以
上のベクトルy とに、第２の有理ベクトル写像g を適用
した結果のベクトルy'=g(x',y)を計算し、
【００２９】（ｅ）出力手段１０５は、第１の計算手段
１０２により計算された結果のベクトルx'と第２の計算
手段１０４により計算された結果のベクトルy'とを結合
したベクトルz'を出力し、（ｆ）第１の更新手段１０６
は、第１の計算手段１０２により計算された結果のベク
トルx'を第１の記憶手段１０１に記憶させて更新し、
（ｇ）第２の更新手段１０７は、第２の計算手段１０４
により計算された結果のベクトルy'を第２の記憶手段１
０３に記憶させて更新する。
１０２により計算された結果のベクトルx'と第２の計算
手段１０４により計算された結果のベクトルy'とを結合
したベクトルz'を出力し、（ｆ）第１の更新手段１０６
は、第１の計算手段１０２により計算された結果のベク
トルx'を第１の記憶手段１０１に記憶させて更新し、
（ｇ）第２の更新手段１０７は、第２の計算手段１０４
により計算された結果のベクトルy'を第２の記憶手段１
０３に記憶させて更新する。
【００３０】ここで、有理ベクトル写像f およびg とし
ては、後述するカオス理論に基づく写像のほか、乱数を
生成する漸化式に用いられる任意の写像を用いることが
できる。たとえば、巨大な素数を乗算して剰余を求める
写像などを利用することが可能である。
ては、後述するカオス理論に基づく写像のほか、乱数を
生成する漸化式に用いられる任意の写像を用いることが
できる。たとえば、巨大な素数を乗算して剰余を求める
写像などを利用することが可能である。
【００３１】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
力装置において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
【００３２】第２の有理ベクトル写像g にパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
【００３３】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノ
イマン写像、キュービック写像、クインティック写像、
または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・
ノイマン写像、一般化キュービック写像、もしくは一般
化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたものの
いずれかとすることができる。
力装置の第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノ
イマン写像、キュービック写像、クインティック写像、
または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・
ノイマン写像、一般化キュービック写像、もしくは一般
化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたものの
いずれかとすることができる。
【００３４】また、本発明の第２の有理ベクトル写像g
は、楕円関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写
像のいずれかとすることができる。
は、楕円関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写
像のいずれかとすることができる。
【００３５】第１の有理ベクトル写像f と、第２の有理
ベクトル写像g として上記のような楕円関数の加法定理
より導かれる有理写像を選択すると、出力手段１０５が
順次出力するベクトルの列の分布の密度関数をこれらの
写像から得られる乱数列の密度関数から得ることができ
る。
ベクトル写像g として上記のような楕円関数の加法定理
より導かれる有理写像を選択すると、出力手段１０５が
順次出力するベクトルの列の分布の密度関数をこれらの
写像から得られる乱数列の密度関数から得ることができ
る。
【００３６】図２に示すように、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置２００は、生成手段２０１と、第１
の出力手段２０２と、第２の出力手段２０３と、第３の
出力手段２０４とを備え、（ａ）生成手段２０１は、２
次元以上のベクトルζを受け付けて、これから１次元以
上のベクトルξと１次元以上のベクトルηとを生成し、
クトル列の出力装置２００は、生成手段２０１と、第１
の出力手段２０２と、第２の出力手段２０３と、第３の
出力手段２０４とを備え、（ａ）生成手段２０１は、２
次元以上のベクトルζを受け付けて、これから１次元以
上のベクトルξと１次元以上のベクトルηとを生成し、
【００３７】（ｂ）第１の出力手段２０２は、生成手段
２０１により生成されたベクトルξを受け付けて、第１
の有理ベクトル写像f を用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力し、
２０１により生成されたベクトルξを受け付けて、第１
の有理ベクトル写像f を用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力し、
【００３８】（ｃ）第２の出力手段２０３は、生成手段
２０１により生成されたベクトルηと、第１の出力手段
２０２により出力されるベクトル列x[i]とを受け付け
て、第２の有理ベクトル写像g を用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力し、
２０１により生成されたベクトルηと、第１の出力手段
２０２により出力されるベクトル列x[i]とを受け付け
て、第２の有理ベクトル写像g を用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力し、
【００３９】（ｄ）第３の出力手段２０４は、第１の出
力手段２０２により出力されるベクトル列x[i]と、第２
の出力手段２０３により出力されるベクトル列y[i]とを
結合して得られるベクトル列z[i]を結果として出力す
る。
力手段２０２により出力されるベクトル列x[i]と、第２
の出力手段２０３により出力されるベクトル列y[i]とを
結合して得られるベクトル列z[i]を結果として出力す
る。
【００４０】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
力装置において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
【００４１】第２の有理ベクトル写像g にパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
【００４２】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノ
イマン写像、キュービック写像、クインティック写像、
または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・
ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは一般化
チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたもののい
ずれかとすることができる。
力装置の第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノ
イマン写像、キュービック写像、クインティック写像、
または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・
ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは一般化
チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたもののい
ずれかとすることができる。
【００４３】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第２の有理ベクトル写像gは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フクダ写
像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュ
ービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとす
ることができる。
力装置の第２の有理ベクトル写像gは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フクダ写
像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュ
ービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとす
ることができる。
【００４４】この場合も、有理ベクトル写像f とg とか
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
【００４５】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第１の出力手段もまた、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置とすることができる。すなわち、 （１）まず、ある有理ベクトル写像f とパラメータを有
する有理ベクトル写像g とからランダムなベクトル列の
出力装置Ｘを構成する。
力装置の第１の出力手段もまた、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置とすることができる。すなわち、 （１）まず、ある有理ベクトル写像f とパラメータを有
する有理ベクトル写像g とからランダムなベクトル列の
出力装置Ｘを構成する。
【００４６】（２）次に、当該出力装置をある有理ベク
トル写像f'に対応させ、これとパラメータを有する有理
ベクトル写像g'とから、同じように新たなランダムなベ
クトル列の出力装置Ｙを構成する。Ｙが出力するベクト
ル列のベクトルの次元は、Ｘが出力するベクトル列のベ
クトルの次元よりも大きい。
トル写像f'に対応させ、これとパラメータを有する有理
ベクトル写像g'とから、同じように新たなランダムなベ
クトル列の出力装置Ｙを構成する。Ｙが出力するベクト
ル列のベクトルの次元は、Ｘが出力するベクトル列のベ
クトルの次元よりも大きい。
【００４７】（３）これを繰り返すことにより、ランダ
ムな任意の次元のベクトル列の出力装置を構成すること
ができる。
ムな任意の次元のベクトル列の出力装置を構成すること
ができる。
【００４８】本発明のランダムなベクトル列の出力方法
は、以下のステップを備える。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、（ｂ）第１の取
得ステップにおいて取得されたベクトルx に第１の有理
ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f(x) を計
算する第１の計算ステップと、
は、以下のステップを備える。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、（ｂ）第１の取
得ステップにおいて取得されたベクトルx に第１の有理
ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f(x) を計
算する第１の計算ステップと、
【００４９】（ｃ）第２の記憶手段に記憶された１次元
以上のベクトルy を取得する第２の取得ステップと、
（ｄ）第１の計算ステップにおいて計算されたベクトル
x'と、第２の取得ステップにおいて取得されたベクトル
y とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結果のベク
トルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップと、
以上のベクトルy を取得する第２の取得ステップと、
（ｄ）第１の計算ステップにおいて計算されたベクトル
x'と、第２の取得ステップにおいて取得されたベクトル
y とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結果のベク
トルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップと、
【００５０】（ｅ）第１の計算ステップにおいて計算さ
れた結果のベクトルx'と、第２の計算ステップにおいて
計算された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を
出力する出力ステップと、
れた結果のベクトルx'と、第２の計算ステップにおいて
計算された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を
出力する出力ステップと、
【００５１】（ｆ）第１の計算ステップにおいて計算さ
れた結果のベクトルx'を第１の記憶手段に記憶させて更
新する第１の更新ステップと、（ｇ）第２の計算ステッ
プにおいて計算された結果のベクトルy'を第２の記憶手
段に記憶させて更新する第２の更新ステップ。
れた結果のベクトルx'を第１の記憶手段に記憶させて更
新する第１の更新ステップと、（ｇ）第２の計算ステッ
プにおいて計算された結果のベクトルy'を第２の記憶手
段に記憶させて更新する第２の更新ステップ。
【００５２】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力方法において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
力方法において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
【００５３】第２の有理ベクトル写像g にパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
【００５４】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力方法において、第１の有理ベクトル写像f は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、またはカツラ＝フクダ写像一般化ウラム＝フォ
ン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは一
般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたもの
のいずれかとすることができる。
力方法において、第１の有理ベクトル写像f は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、またはカツラ＝フクダ写像一般化ウラム＝フォ
ン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは一
般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたもの
のいずれかとすることができる。
【００５５】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力方法において、第２の有理ベクトル写像g は、カツラ
＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、
一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のい
ずれかとすることができる。
力方法において、第２の有理ベクトル写像g は、カツラ
＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、
一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のい
ずれかとすることができる。
【００５６】この場合も、有理ベクトル写像f とg とか
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
【００５７】本発明のランダムなベクトル列を出力する
出力装置と、出力方法とを実現するプログラムをコンパ
クトディスク、フロッピーディスク、ハードディスク、
光磁気ディスク、ディジタルビデオディスク、磁気テー
プ、半導体メモリなどの情報記録媒体に記録することが
できる。
出力装置と、出力方法とを実現するプログラムをコンパ
クトディスク、フロッピーディスク、ハードディスク、
光磁気ディスク、ディジタルビデオディスク、磁気テー
プ、半導体メモリなどの情報記録媒体に記録することが
できる。
【００５８】本発明の情報記録媒体に記録されたプログ
ラムを、記憶装置、計算装置、出力装置などを情報処理
装置、たとえば汎用コンピュータ、ゲーム装置、携帯情
報端末、移動体電話で実行することにより、上記のラン
ダムなベクトル列を出力する出力装置と、出力方法とを
実現することができる。
ラムを、記憶装置、計算装置、出力装置などを情報処理
装置、たとえば汎用コンピュータ、ゲーム装置、携帯情
報端末、移動体電話で実行することにより、上記のラン
ダムなベクトル列を出力する出力装置と、出力方法とを
実現することができる。
【００５９】また、情報処理装置とは独立して、本発明
のプログラムを記録した情報記録媒体を配布、販売する
ことができる。
のプログラムを記録した情報記録媒体を配布、販売する
ことができる。
【００６０】
【発明の実施の形態】以下に本発明の一実施形態を説明
する。なお、以下に説明する実施形態は説明のためのも
のであり、本願発明の範囲を制限するものではない。し
たがって、当業者であればこれらの各要素もしくは全要
素をこれと均等なものに置換した実施形態を採用するこ
とが可能であるが、これらの実施形態も本願発明の範囲
に含まれる。
する。なお、以下に説明する実施形態は説明のためのも
のであり、本願発明の範囲を制限するものではない。し
たがって、当業者であればこれらの各要素もしくは全要
素をこれと均等なものに置換した実施形態を採用するこ
とが可能であるが、これらの実施形態も本願発明の範囲
に含まれる。
【００６１】（第１実施例）図３は、本発明のランダム
なベクトル列の出力装置を汎用コンピュータなどの情報
処理装置において実現する実施例の、当該情報処理装置
のブロック構成図である。
なベクトル列の出力装置を汎用コンピュータなどの情報
処理装置において実現する実施例の、当該情報処理装置
のブロック構成図である。
【００６２】情報処理装置３０１は、ＣＰＵ（Central
Processing Unit ）３０２により制御され、ＲＡＭ（Ra
ndom Access Memory）などの主記憶装置３０３には一時
的なデータなどを記憶し、ハードディスク、フロッピー
ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Mem
ory ）、磁気テープ、光磁気ディスクなどの外部記憶装
置３０４にはＣＰＵ ３０２が実行するプログラムが記
憶される。
Processing Unit ）３０２により制御され、ＲＡＭ（Ra
ndom Access Memory）などの主記憶装置３０３には一時
的なデータなどを記憶し、ハードディスク、フロッピー
ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Mem
ory ）、磁気テープ、光磁気ディスクなどの外部記憶装
置３０４にはＣＰＵ ３０２が実行するプログラムが記
憶される。
【００６３】情報処理装置３０１に電源が投入される
と、ＣＰＵ ３０２は、まず、ＲＯＭ（Read Only Memo
ry）３０８に記憶されている初期プログラムローダと呼
ばれるプログラムを実行し、しかる後に外部記憶装置３
０４などからオペレーティングシステムのプログラムや
アプリケーションのプログラムなどを主記憶装置３０３
にロードして実行する。
と、ＣＰＵ ３０２は、まず、ＲＯＭ（Read Only Memo
ry）３０８に記憶されている初期プログラムローダと呼
ばれるプログラムを実行し、しかる後に外部記憶装置３
０４などからオペレーティングシステムのプログラムや
アプリケーションのプログラムなどを主記憶装置３０３
にロードして実行する。
【００６４】実行した結果は、外部記憶装置３０４にフ
ァイルとして記憶したり、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）
や液晶ディスプレイなどの表示装置３０５に表示するこ
とができる。情報処理装置のユーザは、マウスやキーボ
ードなどの入力装置３０６を用いて情報処理装置に対す
る指示を与える。
ァイルとして記憶したり、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）
や液晶ディスプレイなどの表示装置３０５に表示するこ
とができる。情報処理装置のユーザは、マウスやキーボ
ードなどの入力装置３０６を用いて情報処理装置に対す
る指示を与える。
【００６５】ここで、情報処理装置３０１が図１に示す
ランダムなベクトル列の出力装置１００として機能する
場合、主記憶装置３０３は、第１の記憶手段１０１、第
２の記憶手段１０３として機能し、ＣＰＵ ３０２は、
第１の計算手段１０２、第２の計算手段１０４、第１の
更新手段１０６、第２の更新手段１０７として機能し、
外部記憶装置３０４は、結果をファイルとして出力する
場合は出力手段１０５として機能し、表示装置３０５
は、結果を表示して出力する場合は出力手段１０５とし
て機能し、主記憶装置３０３は、結果をほかのプログラ
ムで利用する場合は出力手段１０５として機能する。
ランダムなベクトル列の出力装置１００として機能する
場合、主記憶装置３０３は、第１の記憶手段１０１、第
２の記憶手段１０３として機能し、ＣＰＵ ３０２は、
第１の計算手段１０２、第２の計算手段１０４、第１の
更新手段１０６、第２の更新手段１０７として機能し、
外部記憶装置３０４は、結果をファイルとして出力する
場合は出力手段１０５として機能し、表示装置３０５
は、結果を表示して出力する場合は出力手段１０５とし
て機能し、主記憶装置３０３は、結果をほかのプログラ
ムで利用する場合は出力手段１０５として機能する。
【００６６】また、情報処理装置３０１が、図２に示す
ランダムなベクトル列の出力装置２００として機能する
場合は、ＣＰＵ ３０２は、主記憶装置３０３や、必要
に応じて外部記憶装置３０４、表示装置３０５と共働し
て、生成手段２０１、第１の出力手段２０２、第２の出
力手段２０３、第３の出力手段２０４として機能する。
ランダムなベクトル列の出力装置２００として機能する
場合は、ＣＰＵ ３０２は、主記憶装置３０３や、必要
に応じて外部記憶装置３０４、表示装置３０５と共働し
て、生成手段２０１、第１の出力手段２０２、第２の出
力手段２０３、第３の出力手段２０４として機能する。
【００６７】また、主記憶装置３０３、外部記憶装置３
０４は、本発明の情報記録媒体として機能する。また、
ＲＯＭ ３０８を本発明の情報記録媒体として機能させ
ることもできる。
０４は、本発明の情報記録媒体として機能する。また、
ＲＯＭ ３０８を本発明の情報記録媒体として機能させ
ることもできる。
【００６８】以下、図４を参照して、本発明のランダム
なベクトル列の出力装置の処理を説明する。図４は、本
発明の処理の流れを示すフローチャートである。
なベクトル列の出力装置の処理を説明する。図４は、本
発明の処理の流れを示すフローチャートである。
【００６９】なお、以下では説明の都合上、有理写像f
としてウラム＝フォン・ノイマン写像［数１］を、有理
写像g としてカツラ＝フクダ写像を、それぞれ採用する
が、これ以外の写像を利用することも当業者には容易で
あり、これらの実施形態も本発明の範囲に含まれる。
としてウラム＝フォン・ノイマン写像［数１］を、有理
写像g としてカツラ＝フクダ写像を、それぞれ採用する
が、これ以外の写像を利用することも当業者には容易で
あり、これらの実施形態も本発明の範囲に含まれる。
【００７０】まず、ＣＰＵ ３０２は、現在の時刻など
から乱数の種を取得する（ステップＳ４０１）。この場
合、有理写像f はスカラー値（１次元のベクトル）に対
して適用され、有理写像g は、スカラー値（１次元のベ
クトル）のパラメータとともにスカラー値（１次元のベ
クトル）に対して適用されるので、スカラー値の種が２
つ必要である。見方を変えれば、２次元のベクトルを乱
数の種として取得することになる。
から乱数の種を取得する（ステップＳ４０１）。この場
合、有理写像f はスカラー値（１次元のベクトル）に対
して適用され、有理写像g は、スカラー値（１次元のベ
クトル）のパラメータとともにスカラー値（１次元のベ
クトル）に対して適用されるので、スカラー値の種が２
つ必要である。見方を変えれば、２次元のベクトルを乱
数の種として取得することになる。
【００７１】なお、乱数の種は、ユーザが入力装置３０
６から入力することも可能であり、これと時刻などの数
値を組み合わせてもよい。これらは、公開鍵を生成する
場合に有用である。
６から入力することも可能であり、これと時刻などの数
値を組み合わせてもよい。これらは、公開鍵を生成する
場合に有用である。
【００７２】次に、ＣＰＵ ３０２は、取得した種をそ
れぞれ主記憶装置３０３内の第１の記憶手段１０１と、
第２の記憶手段１０３とに記憶する（ステップＳ４０
２）。これにより、乱数を生成するための初期値が設定
される。
れぞれ主記憶装置３０３内の第１の記憶手段１０１と、
第２の記憶手段１０３とに記憶する（ステップＳ４０
２）。これにより、乱数を生成するための初期値が設定
される。
【００７３】なお、ステップＳ４０１からステップＳ４
０２の処理は、図２に示すランダムなベクトル列を出力
する装置２００の生成手段２０１が実行する処理に相当
する。
０２の処理は、図２に示すランダムなベクトル列を出力
する装置２００の生成手段２０１が実行する処理に相当
する。
【００７４】さらに、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶手
段１０１に記憶された値x を取得し（ステップＳ４０
３）、これを用いて値x'=f(x) を計算し（ステップＳ４
０４）、計算された値x'を第１の記憶手段１０１に記憶
させて更新する（ステップＳ４０５）。
段１０１に記憶された値x を取得し（ステップＳ４０
３）、これを用いて値x'=f(x) を計算し（ステップＳ４
０４）、計算された値x'を第１の記憶手段１０１に記憶
させて更新する（ステップＳ４０５）。
【００７５】すなわち、ステップＳ４０４において、Ｃ
ＰＵ ３０２は、第１の計算手段として機能することに
なる。
ＰＵ ３０２は、第１の計算手段として機能することに
なる。
【００７６】ついで、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶手
段１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶手段
１０３に記憶された値y とを取得し（ステップＳ４０
６）、これらを用いて値y'=g(x',y)を計算し（ステップ
Ｓ４０７）、計算された値y'を第２の記憶手段１０３に
記憶させて更新する（ステップＳ４０８）。
段１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶手段
１０３に記憶された値y とを取得し（ステップＳ４０
６）、これらを用いて値y'=g(x',y)を計算し（ステップ
Ｓ４０７）、計算された値y'を第２の記憶手段１０３に
記憶させて更新する（ステップＳ４０８）。
【００７７】すなわち、ステップＳ４０７において、Ｃ
ＰＵ ３０２は、第２の計算手段として機能することに
なる。
ＰＵ ３０２は、第２の計算手段として機能することに
なる。
【００７８】最後に、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶手
段１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶手段
１０３に記憶された更新後の値y'とを結合して、外部記
憶装置３０４などに出力し（ステップＳ４０９）、ステ
ップＳ４０３に戻る。
段１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶手段
１０３に記憶された更新後の値y'とを結合して、外部記
憶装置３０４などに出力し（ステップＳ４０９）、ステ
ップＳ４０３に戻る。
【００７９】なお、あるｎ次元のベクトルと別のｍ次元
のベクトルとを結合した結果は（ｎ＋ｍ）次元のベクト
ルであり、その要素は、まずｎ次元のベクトルの要素を
並べ、ついでｍ次元のベクトルの要素を並べたものであ
る。図２に示すランダムなベクトル列の出力装置２００
の生成手段２０１の処理は、ベクトルの結合の逆演算を
行うことにより実現することができる。
のベクトルとを結合した結果は（ｎ＋ｍ）次元のベクト
ルであり、その要素は、まずｎ次元のベクトルの要素を
並べ、ついでｍ次元のベクトルの要素を並べたものであ
る。図２に示すランダムなベクトル列の出力装置２００
の生成手段２０１の処理は、ベクトルの結合の逆演算を
行うことにより実現することができる。
【００８０】この繰り返しを行うことにより、ランダム
な２次元ベクトルの列が外部記憶装置３０４に出力され
ることになる。
な２次元ベクトルの列が外部記憶装置３０４に出力され
ることになる。
【００８１】なお、図２に示すランダムなベクトル列の
出力装置２００の第１の出力手段２０２が実行する処理
はステップＳ４０３〜ステップＳ４０５に、第２の出力
手段２０３が実行する処理はステップＳ４０６〜ステッ
プＳ４０８に、第３の出力手段２０４が実行する処理は
ステップＳ４０６により、それぞれ実現されている。
出力装置２００の第１の出力手段２０２が実行する処理
はステップＳ４０３〜ステップＳ４０５に、第２の出力
手段２０３が実行する処理はステップＳ４０６〜ステッ
プＳ４０８に、第３の出力手段２０４が実行する処理は
ステップＳ４０６により、それぞれ実現されている。
【００８２】なお、本実施例では、上述の通り、有理写
像f として一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像［数
１］を採用するが、これを漸化式に使用した場合に得ら
れる乱数の分布の密度関数を図５に示す。図５に示す通
り、これは0≦x≦1 の範囲で定義される非一様な密度関
数であり、x=0 およびx=1 で無限大となり、0<x<1 の範
囲で下に凸な関数である。
像f として一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像［数
１］を採用するが、これを漸化式に使用した場合に得ら
れる乱数の分布の密度関数を図５に示す。図５に示す通
り、これは0≦x≦1 の範囲で定義される非一様な密度関
数であり、x=0 およびx=1 で無限大となり、0<x<1 の範
囲で下に凸な関数である。
【００８３】また、本実施例では、上述の通り、有理写
像g としてカツラ＝フクダ関数［数７］を採用するが、
パラメータx'を固定して漸化式に使用した場合に得られ
る乱数の分布もまた、［数８］のように解析的に得るこ
とができる。
像g としてカツラ＝フクダ関数［数７］を採用するが、
パラメータx'を固定して漸化式に使用した場合に得られ
る乱数の分布もまた、［数８］のように解析的に得るこ
とができる。
【００８４】
【数７】
【００８５】
【数８】
【００８６】図６には、ステップＳ４０９において出力
される２次元ベクトルを座標値として、順次プロットし
たものを示し、図７には、ステップＳ４０９において出
力される２次元ベクトルを座標値として、これをヒスト
グラムとしたものを示す。また、図８には、図７に示す
ヒストグラムをある断面で切った場合の様子を示す。
される２次元ベクトルを座標値として、順次プロットし
たものを示し、図７には、ステップＳ４０９において出
力される２次元ベクトルを座標値として、これをヒスト
グラムとしたものを示す。また、図８には、図７に示す
ヒストグラムをある断面で切った場合の様子を示す。
【００８７】発明者は、「一般に密度関数ρ(x) を有す
る有理写像f と、x というパラメータを持ち密度関数ν
(x,y) を有する有理写像g(x,・) とを本発明の漸化式を
用いる手法により結合した場合、出力されるベクトル列
の分布の密度関数はν(x,y)ρ(x)となる」ことを数学的
に証明している。したがって、分布の密度関数が既知の
解析的な関数である場合には、これらを組み合わせた場
合、分布の密度関数は、もとの分布の密度関数の積とし
て、解析的に得ることができる。
る有理写像f と、x というパラメータを持ち密度関数ν
(x,y) を有する有理写像g(x,・) とを本発明の漸化式を
用いる手法により結合した場合、出力されるベクトル列
の分布の密度関数はν(x,y)ρ(x)となる」ことを数学的
に証明している。したがって、分布の密度関数が既知の
解析的な関数である場合には、これらを組み合わせた場
合、分布の密度関数は、もとの分布の密度関数の積とし
て、解析的に得ることができる。
【００８８】図８に示すグラフの形状が図５に示すグラ
フの形状とほぼ同じ形状をしていることからも、この結
論が正しいことがわかる。また、従来の手法で問題とな
っていた乱数の偏りも少ないことがわかっている。
フの形状とほぼ同じ形状をしていることからも、この結
論が正しいことがわかる。また、従来の手法で問題とな
っていた乱数の偏りも少ないことがわかっている。
【００８９】なお、適宜各ステップの順序を変更した
り、同じ処理を行うステップを別途実行することによ
り、上記実施例における制御の流れと同等の処理を実現
することができるが、そのような実施形態も本発明の範
囲に含まれる。
り、同じ処理を行うステップを別途実行することによ
り、上記実施例における制御の流れと同等の処理を実現
することができるが、そのような実施形態も本発明の範
囲に含まれる。
【００９０】（第２実施例）本発明の第２実施例は、汎
用コンピュータなどの情報処理装置によりランダムなベ
クトル列の出力装置を構成するものではなく、電子回路
により構成するものである。
用コンピュータなどの情報処理装置によりランダムなベ
クトル列の出力装置を構成するものではなく、電子回路
により構成するものである。
【００９１】すなわち、図１に示すランダムなベクトル
列の出力装置１００の第１の記憶手段１０１と第２の記
憶手段１０３とは、いずれも、フリップフロップなどを
基本とする記憶回路で構成することができる。
列の出力装置１００の第１の記憶手段１０１と第２の記
憶手段１０３とは、いずれも、フリップフロップなどを
基本とする記憶回路で構成することができる。
【００９２】第１の計算手段１０２と第２の計算手段１
０４とは、いずれも、加算回路と乗算回路の組み合わせ
で構成することができる。
０４とは、いずれも、加算回路と乗算回路の組み合わせ
で構成することができる。
【００９３】出力手段１０５は、第２の計算手段１０４
を構成する回路の出力線により構成することができる。
を構成する回路の出力線により構成することができる。
【００９４】第１の更新手段１０６と第２の更新手段１
０７とは、第１の計算手段１０２と第２の計算手段１０
４とを構成する回路の出力線を、一定のクロック遅延を
もってそれぞれ第１の記憶手段１０１と第２の記憶手段
１０３とに帰還させて記憶させることにより構成するこ
とができる。
０７とは、第１の計算手段１０２と第２の計算手段１０
４とを構成する回路の出力線を、一定のクロック遅延を
もってそれぞれ第１の記憶手段１０１と第２の記憶手段
１０３とに帰還させて記憶させることにより構成するこ
とができる。
【００９５】このように、専用の電子回路により本発明
のランダムなベクトル列の出力装置を構成することによ
り、たとえば携帯情報端末や移動体電話など、少ない電
力消費と簡単で省スペースな構成が必要とされる機器に
本発明を適用することができる。
のランダムなベクトル列の出力装置を構成することによ
り、たとえば携帯情報端末や移動体電話など、少ない電
力消費と簡単で省スペースな構成が必要とされる機器に
本発明を適用することができる。
【００９６】（第３実施例）上記実施例では、有理写像
として楕円関数の加法定理より導かれる有理写像を用い
ているが、楕円積分、超楕円積分、あるいは、これらを
変形したものから導かれる写像にも、類似した性質を有
するものがあり、そのような写像を利用してもよい。ま
た、従来から用いられている乱数の発生手法の漸化式を
表す写像を利用することもできる。
として楕円関数の加法定理より導かれる有理写像を用い
ているが、楕円積分、超楕円積分、あるいは、これらを
変形したものから導かれる写像にも、類似した性質を有
するものがあり、そのような写像を利用してもよい。ま
た、従来から用いられている乱数の発生手法の漸化式を
表す写像を利用することもできる。
【００９７】（第４実施例）本発明で得られるランダム
なベクトル列の密度関数は解析的に得られるので、フォ
ン・ノイマンの逆関数法により、本発明で得られた任意
次元のランダムなベクトル列から、一様分布を持つラン
ダムなベクトル列を発生させることができる。
なベクトル列の密度関数は解析的に得られるので、フォ
ン・ノイマンの逆関数法により、本発明で得られた任意
次元のランダムなベクトル列から、一様分布を持つラン
ダムなベクトル列を発生させることができる。
【００９８】（第５実施例）本発明は、ＵＮＩＸなどの
オペレーティング・システムやｐｒｏｌｏｇ、ＧＨＣな
どの論理型言語やＬｉｓｐ、Ｈａｓｋｅｌｌなどの関数
型言語などで多用されるストリーム処理により実現する
ことができる。すなわち、上述のような有理ベクトル写
像f とg について、以下のベクトル列x[i]のデータスト
リームを生成するプロセス（プログラミング言語上は、
述語、関数、手続などで表現される）Ａと、 x[0], x[1], x[2], x[3], … x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) このプロセスＡが出力するデータストリームx[i]を順に
受け付けて、以下のベクトル列y[i]のデータストリーム
を生成するプロセスＢとを用意することにより、 y[0], y[1], y[2], y[3], … y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) 本発明を実現することができる。
オペレーティング・システムやｐｒｏｌｏｇ、ＧＨＣな
どの論理型言語やＬｉｓｐ、Ｈａｓｋｅｌｌなどの関数
型言語などで多用されるストリーム処理により実現する
ことができる。すなわち、上述のような有理ベクトル写
像f とg について、以下のベクトル列x[i]のデータスト
リームを生成するプロセス（プログラミング言語上は、
述語、関数、手続などで表現される）Ａと、 x[0], x[1], x[2], x[3], … x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) このプロセスＡが出力するデータストリームx[i]を順に
受け付けて、以下のベクトル列y[i]のデータストリーム
を生成するプロセスＢとを用意することにより、 y[0], y[1], y[2], y[3], … y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) 本発明を実現することができる。
【００９９】プロセスＡとプロセスＢとの通信は、いわ
ゆる製造者＝消費者モデルにより記述でき、要求駆動に
よる生成、データストリームのバッファリングなどの公
知の技法を利用することができる。
ゆる製造者＝消費者モデルにより記述でき、要求駆動に
よる生成、データストリームのバッファリングなどの公
知の技法を利用することができる。
【０１００】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
以下の効果を奏する。
以下の効果を奏する。
【０１０１】出力されるランダムなベクトル列の分布の
密度関数が既知の解析的な関数であるようなベクトル列
の生成手法が２つあるときに、これらを結び付けて、よ
り高次元のランダムなベクトル列であって、その分布の
密度関数が解析的な関数として得られるものを出力する
ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法を提供する
ことができる。
密度関数が既知の解析的な関数であるようなベクトル列
の生成手法が２つあるときに、これらを結び付けて、よ
り高次元のランダムなベクトル列であって、その分布の
密度関数が解析的な関数として得られるものを出力する
ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法を提供する
ことができる。
【０１０２】本発明では、既知のベクトル列の生成手法
の分布の密度関数の積がより高次元のランダムなベクト
ル列の分布の密度関数となるため、容易に分布の特徴を
得ることができ、さまざまな応用に資することができ
る。特に、生成手法として有理写像を採用した場合に
は、得られるベクトル列の各要素もすべて有理数となる
という特徴を有し、計算機上の計算精度を厳密に保存し
うるという利点を有する。
の分布の密度関数の積がより高次元のランダムなベクト
ル列の分布の密度関数となるため、容易に分布の特徴を
得ることができ、さまざまな応用に資することができ
る。特に、生成手法として有理写像を採用した場合に
は、得られるベクトル列の各要素もすべて有理数となる
という特徴を有し、計算機上の計算精度を厳密に保存し
うるという利点を有する。
【０１０３】このようなランダムなベクトル列は、モン
テカルロ法、移動体通信や光通信におけるＣＤＭＡ、イ
ンターネットなどの通信における公開鍵暗号などで利用
することができる。
テカルロ法、移動体通信や光通信におけるＣＤＭＡ、イ
ンターネットなどの通信における公開鍵暗号などで利用
することができる。
【０１０４】さらに、プログラムを記録した情報記録媒
体をソフトウェア商品として、情報処理装置のハードウ
ェアと独立して容易に配布したり販売したりすることが
できるようになる。本発明の情報記録媒体に記録された
プログラムを汎用コンピュータなどの情報処理装置で実
行すれば、上記の発明に係るランダムなベクトル列の出
力装置、出力方法が実現できる。
体をソフトウェア商品として、情報処理装置のハードウ
ェアと独立して容易に配布したり販売したりすることが
できるようになる。本発明の情報記録媒体に記録された
プログラムを汎用コンピュータなどの情報処理装置で実
行すれば、上記の発明に係るランダムなベクトル列の出
力装置、出力方法が実現できる。
【図１】本発明のランダムなベクトル列の出力装置の構
成を示すブロック構成図である。
成を示すブロック構成図である。
【図２】本発明のランダムなベクトル列の出力装置の構
成を示すブロック構成図である。
成を示すブロック構成図である。
【図３】本発明のランダムなベクトル列の出力装置を汎
用コンピュータなどの情報処理装置において実現する実
施例の、当該情報処理装置のブロック構成図である。
用コンピュータなどの情報処理装置において実現する実
施例の、当該情報処理装置のブロック構成図である。
【図４】本発明の処理の流れを示すフローチャートであ
る。
る。
【図５】一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像を漸化式
に使用した場合に得られる乱数の分布の密度関数を示す
グラフである。
に使用した場合に得られる乱数の分布の密度関数を示す
グラフである。
【図６】図４に示すフローチャートのステップＳ４０９
において出力される２次元ベクトルを座標値として、順
次プロットした説明図である。
において出力される２次元ベクトルを座標値として、順
次プロットした説明図である。
【図７】図４に示すフローチャートのステップＳ４０９
において出力される２次元ベクトルを座標値としたヒス
トグラムである。
において出力される２次元ベクトルを座標値としたヒス
トグラムである。
【図８】図７に示すヒストグラムをある断面で切断した
場合のグラフである。
場合のグラフである。
１００ ランダムなベクトル列の出力装置 １０１ 第１の記憶手段 １０２ 第１の計算手段 １０３ 第２の記憶手段 １０４ 第２の計算手段 １０５ 出力手段 １０６ 第１の更新手段 １０７ 第２の更新手段 ２００ ランダムなベクトル列の出力装置 ２０１ 生成手段 ２０２ 第１の出力手段 ２０３ 第２の出力手段 ２０４ 第３の出力手段 ３０１ 情報処理装置 ３０２ ＣＰＵ ３０３ 主記憶装置 ３０４ 外部記憶装置 ３０５ 表示装置 ３０６ 入力装置 ３０８ ＲＯＭ
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献 特開 平10−333569（ＪＰ，Ａ) 特開 平10−283344（ＪＰ，Ａ) 特開 平７−311675（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G06F 7/58 G09C 1/00 650 H04L 9/22
Claims (18)
- 【請求項１】以下の手段を備えることを特徴とするラン
ダムなベクトル列の出力装置。 （ａ）１次元以上のベクトルx を記憶する第１の記憶手
段と、 （ｂ）前記第１の記憶手段に記憶されたベクトルx に第
１の有理ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f
(x) を計算する第１の計算手段と、 （ｄ）１次元以上のベクトルy を記憶する第２の記憶手
段と、 （ｅ）前記第１の計算手段により計算された結果のベク
トルx'と、前記第２の記憶手段に記憶された１次元以上
のベクトルy とに、第２の有理ベクトル写像gを適用し
た結果のベクトルy'=g(x',y)を計算する第２の計算手段
と、 （ｆ）前記第１の計算手段により計算された結果のベク
トルx'と前記第２の計算手段により計算された結果のベ
クトルy'とを結合したベクトルz'を出力する出力手段
と、 （ｇ）前記第１の計算手段により計算された結果のベク
トルx'を前記第１の記憶手段に記憶させて更新する第１
の更新手段と、 （ｈ）前記第２の計算手段により計算された結果のベク
トルy'を前記第２の記憶手段に記憶させて更新する第２
の更新手段。ただし、有理ベクトル写像とは、有理数の
成分からなる１次元以上のベクトルを有理数の成分から
なる１次元以上のベクトルへと変換する写像をいう。 - 【請求項２】前記第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１記載の出力装
置。 - 【請求項３】前記第１の有理ベクトル写像f は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像、もし
くは一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与え
たもののいずれかであることを特徴とする請求項２記載
の出力装置。 - 【請求項４】前記第２の有理ベクトル写像g は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フ
クダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般
化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれ
かであることを特徴とする請求項２記載の出力装置。 - 【請求項５】以下の手段を備えることを特徴とするラン
ダムなベクトル列の出力装置。 （ａ）２次元以上のベクトルζを受け付けて、これから
１次元以上のベクトルξと１次元以上のベクトルηとを
生成する生成手段と、 （ｂ）前記生成手段により生成されたベクトルξを受け
付けて、第１の有理ベクトル写像f を用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力する第１の出力手
段と、 （ｃ）前記生成手段により生成されたベクトルηと、前
記第１の出力手段により出力されるベクトル列x[i]とを
受け付けて、第２の有理ベクトル写像g を用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力する第２の出力手
段と、 （ｄ）前記第１の出力手段により出力されるベクトル列
x[i]と、前記第２の出力手段により出力されるベクトル
列y[i]とを結合して得られるベクトル列z[i]を結果とし
て出力する第３の出力手段。 - 【請求項６】前記第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項５記載の出力装
置。 - 【請求項７】前記第１の有理ベクトル写像f は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項６記載の
出力装置。 - 【請求項８】前記第２の有理ベクトル写像g は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フ
クダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般
化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれ
かであることを特徴とする請求項６記載の出力装置。 - 【請求項９】前記第１の出力手段もまた請求項５記載の
出力装置であることを特徴とする請求項５記載の出力装
置。 - 【請求項１０】以下のステップを備えることを特徴とす
るランダムなベクトル列の出力方法。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、 （ｂ）前記第１の取得ステップにおいて取得されたベク
トルx に第１の有理ベクトル写像f を適用した結果のベ
クトルx'=f(x) を計算する第１の計算ステップと、 （ｃ）第２の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルy を取得する第２の取得ステップと、 （ｄ）前記第１の計算ステップにおいて計算されたベク
トルx'と、前記第２の取得ステップにおいて取得された
ベクトルy とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結
果のベクトルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップ
と、 （ｅ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'と、前記第２の計算ステップにおいて計算
された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を出力
する出力ステップと、 （ｆ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'を前記第１の記憶手段に記憶させて更新す
る第１の更新ステップと、 （ｇ）前記第２の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルy'を前記第２の記憶手段に記憶させて更新す
る第２の更新ステップ。 - 【請求項１１】前記第１の有理ベクトル写像f を１次元
以上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル
列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１０記載の出力
方法。 - 【請求項１２】前記第１の有理ベクトル写像f は、楕円
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝
フォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティ
ック写像、またはカツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項１１記載
の出力方法。 - 【請求項１３】前記第２の有理ベクトル写像g は、カツ
ラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写
像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像
のいずれかであることを特徴とする請求項１１記載の出
力方法。 - 【請求項１４】以下のステップを備えることを特徴とす
るプログラムを記録した情報記録媒体。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、 （ｂ）前記第１の取得ステップにおいて取得されたベク
トルx に第１の有理ベクトル写像f を適用した結果のベ
クトルx'=f(x) を計算する第１の計算ステップと、 （ｃ）第２の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルy を取得する第２の取得ステップと、 （ｄ）前記第１の計算ステップにおいて計算されたベク
トルx'と、前記第２の取得ステップにおいて取得された
ベクトルy とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結
果のベクトルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップ
と、 （ｅ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'と、前記第２の計算ステップにおいて計算
された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を出力
する出力ステップと、 （ｆ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'を前記第１の記憶手段に記憶させて更新す
る第１の更新ステップと、 （ｇ）前記第２の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルy'を前記第２の記憶手段に記憶させて更新す
る第２の更新ステップ。 - 【請求項１５】前記第１の有理ベクトル写像f を１次元
以上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル
列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１４記載の情報
記録媒体。 - 【請求項１６】前記第１の有理ベクトル写像f は、楕円
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝
フォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティ
ック写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム
＝フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もし
くは一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与え
たもののいずれかであることを特徴とする請求項１５記
載の情報記録媒体。 - 【請求項１７】前記第２の有理ベクトル写像g は、楕円
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝
フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一
般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいず
れかであることを特徴とする請求項１５記載の情報記録
媒体。 - 【請求項１８】前記情報記録媒体は、コンパクトディス
ク、フロッピーディスク、ハードディスク、光磁気ディ
スク、ディジタルビデオディスク、磁気テープ、また
は、半導体メモリであることを特徴とする請求項１４か
ら１７記載の情報記録媒体。
Priority Applications (3)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP11085744A JP3030341B1 (ja) | 1999-03-29 | 1999-03-29 | ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 |
| US09/531,699 US6668265B1 (en) | 1999-03-29 | 2000-03-20 | Apparatus and method for outputting sequence of vectors, data recording medium, and carrier wave signal |
| US10/638,079 US7257608B2 (en) | 1999-03-29 | 2003-08-07 | Apparatus and method for outputting sequence of vectors, data recording medium, and carrier wave signal |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP11085744A JP3030341B1 (ja) | 1999-03-29 | 1999-03-29 | ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP3030341B1 true JP3030341B1 (ja) | 2000-04-10 |
| JP2000276331A JP2000276331A (ja) | 2000-10-06 |
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| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP11085744A Expired - Fee Related JP3030341B1 (ja) | 1999-03-29 | 1999-03-29 | ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 |
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|---|---|
| JP (1) | JP3030341B1 (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US8265268B2 (en) | 2001-08-30 | 2012-09-11 | National Institute Of Information And Communications Technology Incorporated Administrative Agency | Converter, encryption/decryption system, multi-stage converter, converting method, multi-stage converting method, program, and information recording medium |
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|---|---|---|---|---|
| JP3525146B2 (ja) * | 2001-11-05 | 2004-05-10 | 独立行政法人 科学技術振興機構 | 乱数列出力装置、乱数列出力方法、プログラムならびに、情報記録媒体 |
| JP4219629B2 (ja) * | 2002-07-09 | 2009-02-04 | 独立行政法人情報通信研究機構 | 電子価格表サーバ、システムおよびプログラム |
| JP2015120024A (ja) * | 2015-03-02 | 2015-07-02 | 株式会社ユニバーサルエンターテインメント | 遊技機 |
| JP2017005412A (ja) * | 2015-06-08 | 2017-01-05 | 国立大学法人京都大学 | データ処理装置、データ送信方法、コンピュータプログラム、及びデータサーバ |
| JP2017005682A (ja) * | 2016-02-16 | 2017-01-05 | 国立大学法人京都大学 | データ処理装置、データ送信方法、コンピュータプログラム、及びデータサーバ |
-
1999
- 1999-03-29 JP JP11085744A patent/JP3030341B1/ja not_active Expired - Fee Related
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US8265268B2 (en) | 2001-08-30 | 2012-09-11 | National Institute Of Information And Communications Technology Incorporated Administrative Agency | Converter, encryption/decryption system, multi-stage converter, converting method, multi-stage converting method, program, and information recording medium |
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