JP3455748B2 - ベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 - Google Patents
ベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体Info
- Publication number
- JP3455748B2 JP3455748B2 JP36220399A JP36220399A JP3455748B2 JP 3455748 B2 JP3455748 B2 JP 3455748B2 JP 36220399 A JP36220399 A JP 36220399A JP 36220399 A JP36220399 A JP 36220399A JP 3455748 B2 JP3455748 B2 JP 3455748B2
- Authority
- JP
- Japan
- Prior art keywords
- vector
- map
- rational
- output
- generalized
- Prior art date
- Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
- Expired - Fee Related
Links
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、ベクトル列の出力
装置、出力方法、および、情報記録媒体に関する。
装置、出力方法、および、情報記録媒体に関する。
【０００２】特に、出力されるランダムなベクトル列の
分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベク
トル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付け
て、より高次元のランダムなベクトル列であって、その
分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを出
力するベクトル列の出力装置、出力方法、および、これ
らを実現するプログラムを記録した情報記録媒体に関す
る。
分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベク
トル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付け
て、より高次元のランダムなベクトル列であって、その
分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを出
力するベクトル列の出力装置、出力方法、および、これ
らを実現するプログラムを記録した情報記録媒体に関す
る。
【０００３】
【従来の技術】従来から、漸化式を用いた乱数の生成手
法が多数知られている。物理学や工学などの模擬実験を
行うモンテカルロ法では、このようにして生成された乱
数を用いる。
法が多数知られている。物理学や工学などの模擬実験を
行うモンテカルロ法では、このようにして生成された乱
数を用いる。
【０００４】また、移動体電話で用いられるＣＤＭＡ
（Code Division Multiple Access）法では、限られた
電波帯域を多数のユーザが有効に利用できるようにする
ため、乱数から得られるＰＮ（Pseudo Noise）コードを
各ユーザに割り当てている。
（Code Division Multiple Access）法では、限られた
電波帯域を多数のユーザが有効に利用できるようにする
ため、乱数から得られるＰＮ（Pseudo Noise）コードを
各ユーザに割り当てている。
【０００５】このほか、インターネットなどの通信技術
の発達により、通信の秘密保持の必要性がますます大き
くなってきており、公開鍵暗号という手法を用いて秘密
保持を行うことが一般的になりつつある。この手法にお
いても、公開鍵を生成するために乱数が用いられてい
る。
の発達により、通信の秘密保持の必要性がますます大き
くなってきており、公開鍵暗号という手法を用いて秘密
保持を行うことが一般的になりつつある。この手法にお
いても、公開鍵を生成するために乱数が用いられてい
る。
【０００６】このような乱数を得るために、従来から、
漸化式を用いた手法が広く利用されている。古くから知
られる乗算による漸化式では乱数の周期が問題となって
いた。しかし、近年、カオス理論の発展により、楕円関
数（三角関数を含む）の加法定理から導かれる有理写像
を漸化式に用いて得られる乱数には、以下のような有利
な性質があることが判明しており、その重要性はますま
す高まってきている。
漸化式を用いた手法が広く利用されている。古くから知
られる乗算による漸化式では乱数の周期が問題となって
いた。しかし、近年、カオス理論の発展により、楕円関
数（三角関数を含む）の加法定理から導かれる有理写像
を漸化式に用いて得られる乱数には、以下のような有利
な性質があることが判明しており、その重要性はますま
す高まってきている。
【０００７】（１）出力される乱数列には周期がないた
め、繰り返し同じ列が出力されることがない。 （２）乱数の種（漸化式に与える初期値）として有理数
を与えると、得られる乱数列に含まれる数がいずれも有
理数になる。 （３）乱数の分布を表す密度関数が既知の解析的関数で
ある。
め、繰り返し同じ列が出力されることがない。 （２）乱数の種（漸化式に与える初期値）として有理数
を与えると、得られる乱数列に含まれる数がいずれも有
理数になる。 （３）乱数の分布を表す密度関数が既知の解析的関数で
ある。
【０００８】このような有理写像としては、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像［数１］、キュービック写像［数
２］、クインティック写像［数３］などが知られてい
る。
ォン・ノイマン写像［数１］、キュービック写像［数
２］、クインティック写像［数３］などが知られてい
る。
【０００９】
【数１】
【００１０】
【数２】
【００１１】
【数３】
【００１２】これらの有理写像のいずれを選んだ場合で
あっても、適当な初期値ξ (0＜ξ＜1)を与え、以下の
漸化式により乱数列x[i]を得た場合、この乱数列x[i]の
分布を表す密度関数は、［数４］で表現される。 x[0] = ξ x[i+1] = f(x[i]) (i≧0)
あっても、適当な初期値ξ (0＜ξ＜1)を与え、以下の
漸化式により乱数列x[i]を得た場合、この乱数列x[i]の
分布を表す密度関数は、［数４］で表現される。 x[0] = ξ x[i+1] = f(x[i]) (i≧0)
【００１３】
【数４】
【００１４】また、パラメータを有する有理写像も漸化
式として用いることができ、このような有理写像として
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像［数５］、一般化キュービック写像、一般化チェビ
シェフ写像などがある。
式として用いることができ、このような有理写像として
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像［数５］、一般化キュービック写像、一般化チェビ
シェフ写像などがある。
【００１５】
【数５】
【００１６】たとえば、一般化ウラム＝フォン・ノイマ
ン写像［数５］を用いて上記の漸化式により乱数列を得
た場合、その分布も同じパラメータを有する密度関数
［数６］で表現される。
ン写像［数５］を用いて上記の漸化式により乱数列を得
た場合、その分布も同じパラメータを有する密度関数
［数６］で表現される。
【００１７】
【数６】
【００１８】なお、カツラ＝フクダ写像は、一般化ウラ
ム＝フォン・ノイマン写像［数５］において、m=0とお
いたものである。
ム＝フォン・ノイマン写像［数５］において、m=0とお
いたものである。
【００１９】これらの有理写像を用いた乱数を生成する
手法については、本願の発明者らによる出願に係る特開
平１０−２８３３４４号公報に開示されている。また、
その理論的背景については以下の文献に開示されてい
る。 S. M. Ulam and J. von Neumann, Bull. Math. Soc. 53
(1947) pp.1120. R. L. Adler and T. J. Rivlin, Proc. Am. Math. Soc.
15 (1964) pp.794. K. Umeno, Method of constructing exactly solvable
chaos, Phys. Rev. E(1997) Vol.55 pp.5280-5284.
手法については、本願の発明者らによる出願に係る特開
平１０−２８３３４４号公報に開示されている。また、
その理論的背景については以下の文献に開示されてい
る。 S. M. Ulam and J. von Neumann, Bull. Math. Soc. 53
(1947) pp.1120. R. L. Adler and T. J. Rivlin, Proc. Am. Math. Soc.
15 (1964) pp.794. K. Umeno, Method of constructing exactly solvable
chaos, Phys. Rev. E(1997) Vol.55 pp.5280-5284.
【００２０】従来、このような乱数生成手法では、乱数
の種としてスカラー値（１次元のベクトル）を与えるこ
とにより、乱数列（ランダムな１次元のベクトル列）を
得ることができた。
の種としてスカラー値（１次元のベクトル）を与えるこ
とにより、乱数列（ランダムな１次元のベクトル列）を
得ることができた。
【００２１】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来の
乱数発生の手法においては、以下のような問題があっ
た。
乱数発生の手法においては、以下のような問題があっ
た。
【００２２】すなわち、２次元以上の空間におけるモン
テカルロ法では、２次元以上のベクトルのランダムな列
が必要である。しかし、従来の乱数発生の手法において
は、得られる乱数列はスカラー値の列（１次元のベクト
ル列）であり、たとえば、３次元空間の模擬実験を行う
際に、この列の先頭から順に３個ずつ値を必要な数だけ
選択するのでは、乱数分布に偏りが発生し、収束性が悪
化してしまうという問題が生じていた。
テカルロ法では、２次元以上のベクトルのランダムな列
が必要である。しかし、従来の乱数発生の手法において
は、得られる乱数列はスカラー値の列（１次元のベクト
ル列）であり、たとえば、３次元空間の模擬実験を行う
際に、この列の先頭から順に３個ずつ値を必要な数だけ
選択するのでは、乱数分布に偏りが発生し、収束性が悪
化してしまうという問題が生じていた。
【００２３】また、公開鍵暗号を生成する場合には、２
つの整数の対からなる乱数を得る必要があるが、従来の
乱数発生の手法においては、この対を同時に生成するこ
とができないため、悪意のある暗号解読者に対する防御
が十分でなくなってしまうという問題が生じていた。
つの整数の対からなる乱数を得る必要があるが、従来の
乱数発生の手法においては、この対を同時に生成するこ
とができないため、悪意のある暗号解読者に対する防御
が十分でなくなってしまうという問題が生じていた。
【００２４】このように、複数個の乱数の組が同時に１
つのベクトルとして生成され、これを列として、ランダ
ムなベクトル列を出力でき、なおかつ、これらのベクト
ル列の分布の密度関数が解析的に得られるような出力装
置や出力方法に対する要望は、極めて大きい。
つのベクトルとして生成され、これを列として、ランダ
ムなベクトル列を出力でき、なおかつ、これらのベクト
ル列の分布の密度関数が解析的に得られるような出力装
置や出力方法に対する要望は、極めて大きい。
【００２５】本発明は、以上のような問題を解決するた
めになされたもので、出力されるランダムなベクトル列
の分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベ
クトル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付
けて、より高次元のランダムなベクトル列であって、そ
の分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを
出力するベクトル列の出力装置、出力方法、および、こ
れらを実現するプログラムを記録した情報記録媒体を提
供することを目的とする。
めになされたもので、出力されるランダムなベクトル列
の分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベ
クトル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付
けて、より高次元のランダムなベクトル列であって、そ
の分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを
出力するベクトル列の出力装置、出力方法、および、こ
れらを実現するプログラムを記録した情報記録媒体を提
供することを目的とする。
【００２６】
【課題を解決するための手段】以上の目的を達成するた
め、本発明の原理にしたがって、下記の発明を開示す
る。
め、本発明の原理にしたがって、下記の発明を開示す
る。
【００２７】図１に示すように、本発明のベクトル列の
出力装置１００は、第１の記憶部１０１と、第１の計算
部１０２と、第２の記憶部１０３と、第２の計算部１０
４と、出力部１０５と、第１の更新部１０６と、第２の
更新部１０７とを備え、（ａ）第１の記憶部１０１は、
１次元以上のベクトルxを記憶し、（ｂ）第１の計算部
１０２は、第１の記憶部１０１に記憶されたベクトルx
に第１の有理ベクトル写像fを適用した結果のベクトル
x'=f(x)を計算し、
出力装置１００は、第１の記憶部１０１と、第１の計算
部１０２と、第２の記憶部１０３と、第２の計算部１０
４と、出力部１０５と、第１の更新部１０６と、第２の
更新部１０７とを備え、（ａ）第１の記憶部１０１は、
１次元以上のベクトルxを記憶し、（ｂ）第１の計算部
１０２は、第１の記憶部１０１に記憶されたベクトルx
に第１の有理ベクトル写像fを適用した結果のベクトル
x'=f(x)を計算し、
【００２８】（ｃ）第２の記憶部１０３は、１次元以上
のベクトルyを記憶し、（ｄ）第２の計算部１０４は、
第１の記憶部１０１に記憶されたベクトルxと、第２の
記憶部１０３に記憶された１次元以上のベクトルyと
に、第２の有理ベクトル写像gを適用した結果のベクト
ルy'=g(x,y)を計算し、
のベクトルyを記憶し、（ｄ）第２の計算部１０４は、
第１の記憶部１０１に記憶されたベクトルxと、第２の
記憶部１０３に記憶された１次元以上のベクトルyと
に、第２の有理ベクトル写像gを適用した結果のベクト
ルy'=g(x,y)を計算し、
【００２９】（ｅ）出力部１０５は、第１の計算部１０
２により計算された結果のベクトルx'と第２の計算部１
０４により計算された結果のベクトルy'とを結合したベ
クトルz'を出力し、（ｆ）第１の更新部１０６は、第１
の計算部１０２により計算された結果のベクトルx'を第
１の記憶部１０１に記憶させて更新し、（ｇ）第２の更
新部１０７は、第２の計算部１０４により計算された結
果のベクトルy'を第２の記憶部１０３に記憶させて更新
する。
２により計算された結果のベクトルx'と第２の計算部１
０４により計算された結果のベクトルy'とを結合したベ
クトルz'を出力し、（ｆ）第１の更新部１０６は、第１
の計算部１０２により計算された結果のベクトルx'を第
１の記憶部１０１に記憶させて更新し、（ｇ）第２の更
新部１０７は、第２の計算部１０４により計算された結
果のベクトルy'を第２の記憶部１０３に記憶させて更新
する。
【００３０】ここで、有理ベクトル写像fおよびgとして
は、後述するカオス理論に基づく写像のほか、乱数を生
成する漸化式に用いられる任意の写像を用いることがで
きる。たとえば、巨大な素数を乗算して剰余を求める写
像などを利用することが可能である。
は、後述するカオス理論に基づく写像のほか、乱数を生
成する漸化式に用いられる任意の写像を用いることがで
きる。たとえば、巨大な素数を乗算して剰余を求める写
像などを利用することが可能である。
【００３１】また、本発明のベクトル列の出力装置にお
いて、第１の有理ベクトル写像fを１次元以上のベクト
ルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
いて、第１の有理ベクトル写像fを１次元以上のベクト
ルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
【００３２】第２の有理ベクトル写像gにパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルyに０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルyに０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
【００３３】また、本発明のベクトル列の出力装置の第
１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法定理より導
かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノイマン写
像、キュービック写像、クインティック写像、又は、カ
ツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写
像、一般化キュービック写像、もしくは一般化チェビシ
ェフ写像に所定のパラメータを与えたもののいずれかと
することができる。
１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法定理より導
かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノイマン写
像、キュービック写像、クインティック写像、又は、カ
ツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写
像、一般化キュービック写像、もしくは一般化チェビシ
ェフ写像に所定のパラメータを与えたもののいずれかと
することができる。
【００３４】また、本発明の第２の有理ベクトル写像g
は、楕円関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写
像のいずれかとすることができる。
は、楕円関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写
像のいずれかとすることができる。
【００３５】第１の有理ベクトル写像fと、第２の有理
ベクトル写像gとして上記のような楕円関数の加法定理
より導かれる有理写像を選択すると、出力部１０５が順
次出力するベクトルの列の分布の密度関数をこれらの写
像から得られる乱数列の密度関数から得ることができ
る。
ベクトル写像gとして上記のような楕円関数の加法定理
より導かれる有理写像を選択すると、出力部１０５が順
次出力するベクトルの列の分布の密度関数をこれらの写
像から得られる乱数列の密度関数から得ることができ
る。
【００３６】図２に示すように、本発明のベクトル列の
出力装置２００は、生成部２０１と、第１の出力部２０
２と、第２の出力部２０３と、第３の出力部２０４とを
備え、（ａ）生成部２０１は、２次元以上のベクトルζ
を受け付けて、これから１次元以上のベクトルξと１次
元以上のベクトルηとを生成し、
出力装置２００は、生成部２０１と、第１の出力部２０
２と、第２の出力部２０３と、第３の出力部２０４とを
備え、（ａ）生成部２０１は、２次元以上のベクトルζ
を受け付けて、これから１次元以上のベクトルξと１次
元以上のベクトルηとを生成し、
【００３７】（ｂ）第１の出力部２０２は、生成部２０
１により生成されたベクトルξを受け付けて、第１の有
理ベクトル写像fを用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力し、
１により生成されたベクトルξを受け付けて、第１の有
理ベクトル写像fを用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力し、
【００３８】（ｃ）第２の出力部２０３は、生成部２０
１により生成されたベクトルηと、第１の出力部２０２
により出力されるベクトル列x[i]とを受け付けて、第２
の有理ベクトル写像gを用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力し、
１により生成されたベクトルηと、第１の出力部２０２
により出力されるベクトル列x[i]とを受け付けて、第２
の有理ベクトル写像gを用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力し、
【００３９】（ｄ）第３の出力部２０４は、第１の出力
部２０２により出力されるベクトル列x[i]と、第２の出
力部２０３により出力されるベクトル列y[i]とを結合し
て得られるベクトル列z[i]を結果として出力する。
部２０２により出力されるベクトル列x[i]と、第２の出
力部２０３により出力されるベクトル列y[i]とを結合し
て得られるベクトル列z[i]を結果として出力する。
【００４０】また、本発明のベクトル列の出力装置にお
いて、第１の有理ベクトル写像fを１次元以上のベクト
ルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
いて、第１の有理ベクトル写像fを１次元以上のベクト
ルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
【００４１】第２の有理ベクトル写像gにパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルyに０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルyに０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
【００４２】また、本発明のベクトル列の出力装置の第
１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法定理より導
かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノイマン写
像、キュービック写像、クインティック写像、または、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像もしくは一般化チェビシ
ェフ写像に所定のパラメータを与えたもののいずれかと
することができる。
１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法定理より導
かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノイマン写
像、キュービック写像、クインティック写像、または、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像もしくは一般化チェビシ
ェフ写像に所定のパラメータを与えたもののいずれかと
することができる。
【００４３】また、本発明のベクトル列の出力装置の第
２の有理ベクトル写像gは、楕円関数の加法定理より導
かれる有理写像、特に、カツラ＝フクダ写像、一般化ウ
ラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写
像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとすることがで
きる。
２の有理ベクトル写像gは、楕円関数の加法定理より導
かれる有理写像、特に、カツラ＝フクダ写像、一般化ウ
ラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写
像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとすることがで
きる。
【００４４】この場合も、有理ベクトル写像fとgとか
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
【００４５】また、本発明のベクトル列の出力装置の第
１の出力部２０２もまた、本発明のベクトル列の出力装
置とすることができる。すなわち、 （１）まず、ある有理ベクトル写像fとパラメータを有
する有理ベクトル写像gとからベクトル列の出力装置Ｘ
を構成する。
１の出力部２０２もまた、本発明のベクトル列の出力装
置とすることができる。すなわち、 （１）まず、ある有理ベクトル写像fとパラメータを有
する有理ベクトル写像gとからベクトル列の出力装置Ｘ
を構成する。
【００４６】（２）次に、当該出力装置Ｘをある有理ベ
クトル写像f'に対応させ、これとパラメータを有する有
理ベクトル写像g'とから、同じように新たなベクトル列
の出力装置Ｙを構成する。出力装置Ｙが出力するベクト
ル列のベクトルの次元は、出力装置Ｘが出力するベクト
ル列のベクトルの次元よりも大きい。
クトル写像f'に対応させ、これとパラメータを有する有
理ベクトル写像g'とから、同じように新たなベクトル列
の出力装置Ｙを構成する。出力装置Ｙが出力するベクト
ル列のベクトルの次元は、出力装置Ｘが出力するベクト
ル列のベクトルの次元よりも大きい。
【００４７】（３）これを繰り返すことにより、ランダ
ムな任意の次元のベクトル列の出力装置を構成すること
ができる。
ムな任意の次元のベクトル列の出力装置を構成すること
ができる。
【００４８】本発明のベクトル列の出力方法は、以下の
ステップを備える。 （ａ）第１の記憶部に記憶された１次元以上のベクトル
xを取得する第１の取得ステップと、（ｂ）第１の取得
ステップにおいて取得されたベクトルxに第１の有理ベ
クトル写像fを適用した結果のベクトルx'=f(x)を計算す
る第１の計算ステップと、
ステップを備える。 （ａ）第１の記憶部に記憶された１次元以上のベクトル
xを取得する第１の取得ステップと、（ｂ）第１の取得
ステップにおいて取得されたベクトルxに第１の有理ベ
クトル写像fを適用した結果のベクトルx'=f(x)を計算す
る第１の計算ステップと、
【００４９】（ｃ）第２の記憶部に記憶された１次元以
上のベクトルyを取得する第２の取得ステップと、
（ｄ）第１の記憶部に記憶されたベクトルxと、第２の
取得ステップにおいて取得されたベクトルyとに第２の
有理ベクトル写像gを適用した結果のベクトルy'=g(x,y)
を計算する第２の計算ステップと、
上のベクトルyを取得する第２の取得ステップと、
（ｄ）第１の記憶部に記憶されたベクトルxと、第２の
取得ステップにおいて取得されたベクトルyとに第２の
有理ベクトル写像gを適用した結果のベクトルy'=g(x,y)
を計算する第２の計算ステップと、
【００５０】（ｅ）第１の計算ステップにおいて計算さ
れた結果のベクトルx'と、第２の計算ステップにおいて
計算された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を
出力する出力ステップと、
れた結果のベクトルx'と、第２の計算ステップにおいて
計算された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を
出力する出力ステップと、
【００５１】（ｆ）第１の計算ステップにおいて計算さ
れた結果のベクトルx'を第１の記憶部に記憶させて更新
する第１の更新ステップと、（ｇ）第２の計算ステップ
において計算された結果のベクトルy'を第２の記憶部に
記憶させて更新する第２の更新ステップ。
れた結果のベクトルx'を第１の記憶部に記憶させて更新
する第１の更新ステップと、（ｇ）第２の計算ステップ
において計算された結果のベクトルy'を第２の記憶部に
記憶させて更新する第２の更新ステップ。
【００５２】また、本発明のベクトル列の出力方法にお
いて、第１の有理ベクトル写像fを１次元以上のベクト
ルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
いて、第１の有理ベクトル写像fを１次元以上のベクト
ルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、
【００５３】第２の有理ベクトル写像gにパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルyに０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルyに０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。
【００５４】また、本発明のベクトル列の出力方法にお
いて、第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法定
理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノイ
マン写像、キュービック写像、クインティック写像、又
はカツラ＝フクダ写像一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像もしくは一般化チェビシ
ェフ写像に所定のパラメータを与えたもののいずれかと
することができる。
いて、第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法定
理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノイ
マン写像、キュービック写像、クインティック写像、又
はカツラ＝フクダ写像一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像もしくは一般化チェビシ
ェフ写像に所定のパラメータを与えたもののいずれかと
することができる。
【００５５】また、本発明のベクトル列の出力方法にお
いて、第２の有理ベクトル写像gは、カツラ＝フクダ写
像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュ
ービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとす
ることができる。
いて、第２の有理ベクトル写像gは、カツラ＝フクダ写
像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュ
ービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとす
ることができる。
【００５６】この場合も、有理ベクトル写像fとgとか
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。
【００５７】本発明のベクトル列を出力する出力装置
と、出力方法とを実現するプログラムをコンパクトディ
スク、フロッピーディスク、ハードディスク、光磁気デ
ィスク、ディジタルビデオディスク、磁気テープ、半導
体メモリなどの情報記録媒体に記録することができる。
と、出力方法とを実現するプログラムをコンパクトディ
スク、フロッピーディスク、ハードディスク、光磁気デ
ィスク、ディジタルビデオディスク、磁気テープ、半導
体メモリなどの情報記録媒体に記録することができる。
【００５８】本発明の情報記録媒体に記録されたプログ
ラムを、記憶装置、計算装置、出力装置などを備える情
報処理装置、たとえば汎用コンピュータ、ゲーム装置、
携帯情報端末、移動体電話で実行することにより、上記
のベクトル列を出力する出力装置と、出力方法とを実現
することができる。
ラムを、記憶装置、計算装置、出力装置などを備える情
報処理装置、たとえば汎用コンピュータ、ゲーム装置、
携帯情報端末、移動体電話で実行することにより、上記
のベクトル列を出力する出力装置と、出力方法とを実現
することができる。
【００５９】また、情報処理装置とは独立して、本発明
のプログラムを記録した情報記録媒体を配布、販売する
ことができる。
のプログラムを記録した情報記録媒体を配布、販売する
ことができる。
【００６０】
【発明の実施の形態】以下に本発明の一実施形態を説明
する。なお、以下に説明する実施形態は説明のためのも
のであり、本願発明の範囲を制限するものではない。し
たがって、当業者であればこれらの各要素もしくは全要
素をこれと均等なものに置換した実施形態を採用するこ
とが可能であるが、これらの実施形態も本願発明の範囲
に含まれる。
する。なお、以下に説明する実施形態は説明のためのも
のであり、本願発明の範囲を制限するものではない。し
たがって、当業者であればこれらの各要素もしくは全要
素をこれと均等なものに置換した実施形態を採用するこ
とが可能であるが、これらの実施形態も本願発明の範囲
に含まれる。
【００６１】（第１実施例）図３は、本発明のベクトル
列の出力装置を汎用コンピュータなどの情報処理装置に
おいて実現する実施例の、当該情報処理装置のブロック
構成図である。
列の出力装置を汎用コンピュータなどの情報処理装置に
おいて実現する実施例の、当該情報処理装置のブロック
構成図である。
【００６２】情報処理装置３０１は、ＣＰＵ（Central
Processing Unit；中央処理ユニット）３０２により制
御され、ＲＡＭ（Random Access Memory；ランダム・ア
クセス・メモリ）などの主記憶装置３０３には一時的な
データなどを記憶し、ハードディスク、フロッピーディ
スク、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Memor
y）、磁気テープ、光磁気ディスクなどの外部記憶装置
３０４にはＣＰＵ ３０２が実行するプログラムが記憶
される。
Processing Unit；中央処理ユニット）３０２により制
御され、ＲＡＭ（Random Access Memory；ランダム・ア
クセス・メモリ）などの主記憶装置３０３には一時的な
データなどを記憶し、ハードディスク、フロッピーディ
スク、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Memor
y）、磁気テープ、光磁気ディスクなどの外部記憶装置
３０４にはＣＰＵ ３０２が実行するプログラムが記憶
される。
【００６３】情報処理装置３０１に電源が投入される
と、ＣＰＵ ３０２は、まず、ＲＯＭ（Read Only Memo
ry；読出専用メモリ）３０８に記憶されている初期プロ
グラムローダと呼ばれるプログラムを実行し、しかる後
に外部記憶装置３０４などからオペレーティングシステ
ムのプログラムやアプリケーションのプログラムなどを
主記憶装置３０３にロードして実行する。
と、ＣＰＵ ３０２は、まず、ＲＯＭ（Read Only Memo
ry；読出専用メモリ）３０８に記憶されている初期プロ
グラムローダと呼ばれるプログラムを実行し、しかる後
に外部記憶装置３０４などからオペレーティングシステ
ムのプログラムやアプリケーションのプログラムなどを
主記憶装置３０３にロードして実行する。
【００６４】実行した結果は、外部記憶装置３０４にフ
ァイルとして記憶したり、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）
や液晶ディスプレイなどの表示装置３０５に表示するこ
とができる。情報処理装置のユーザは、マウスやキーボ
ードなどの入力装置３０６を用いて情報処理装置に対す
る指示を与える。
ァイルとして記憶したり、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）
や液晶ディスプレイなどの表示装置３０５に表示するこ
とができる。情報処理装置のユーザは、マウスやキーボ
ードなどの入力装置３０６を用いて情報処理装置に対す
る指示を与える。
【００６５】ここで、情報処理装置３０１が図１に示す
ベクトル列の出力装置１００として機能する場合、主記
憶装置３０３は、第１の記憶部１０１、第２の記憶部１
０３として機能し、ＣＰＵ ３０２は、第１の計算部１
０２、第２の計算部１０４、第１の更新部１０６、第２
の更新部１０７として機能し、外部記憶装置３０４は、
結果をファイルとして出力する場合は出力部１０５とし
て機能し、表示装置３０５は、結果を表示して出力する
場合は出力部１０５として機能し、主記憶装置３０３
は、結果をほかのプログラムで利用する場合は出力部１
０５として機能する。
ベクトル列の出力装置１００として機能する場合、主記
憶装置３０３は、第１の記憶部１０１、第２の記憶部１
０３として機能し、ＣＰＵ ３０２は、第１の計算部１
０２、第２の計算部１０４、第１の更新部１０６、第２
の更新部１０７として機能し、外部記憶装置３０４は、
結果をファイルとして出力する場合は出力部１０５とし
て機能し、表示装置３０５は、結果を表示して出力する
場合は出力部１０５として機能し、主記憶装置３０３
は、結果をほかのプログラムで利用する場合は出力部１
０５として機能する。
【００６６】また、情報処理装置３０１が、図２に示す
ベクトル列の出力装置２００として機能する場合は、Ｃ
ＰＵ ３０２は、主記憶装置３０３や、必要に応じて外
部記憶装置３０４、表示装置３０５と共働して、生成部
２０１、第１の出力部２０２、第２の出力部２０３、第
３の出力部２０４として機能する。
ベクトル列の出力装置２００として機能する場合は、Ｃ
ＰＵ ３０２は、主記憶装置３０３や、必要に応じて外
部記憶装置３０４、表示装置３０５と共働して、生成部
２０１、第１の出力部２０２、第２の出力部２０３、第
３の出力部２０４として機能する。
【００６７】また、主記憶装置３０３、外部記憶装置３
０４は、本発明の情報記録媒体として機能する。また、
ＲＯＭ ３０８を本発明の情報記録媒体として機能させ
ることもできる。
０４は、本発明の情報記録媒体として機能する。また、
ＲＯＭ ３０８を本発明の情報記録媒体として機能させ
ることもできる。
【００６８】以下、図４を参照して、本発明のベクトル
列の出力装置の処理を説明する。図４は、本発明の処理
の流れを示すフローチャートである。
列の出力装置の処理を説明する。図４は、本発明の処理
の流れを示すフローチャートである。
【００６９】なお、以下では説明の都合上、有理写像f
としてウラム＝フォン・ノイマン写像［数１］を、有理
写像gとしてカツラ＝フクダ写像を、それぞれ採用する
が、これ以外の写像を利用することも当業者には容易で
あり、これらの実施形態も本発明の範囲に含まれる。
としてウラム＝フォン・ノイマン写像［数１］を、有理
写像gとしてカツラ＝フクダ写像を、それぞれ採用する
が、これ以外の写像を利用することも当業者には容易で
あり、これらの実施形態も本発明の範囲に含まれる。
【００７０】まず、ＣＰＵ ３０２は、現在の時刻など
から乱数の種を取得する（ステップＳ４０１）。この場
合、有理写像fはスカラー値（１次元のベクトル）に対
して適用され、有理写像gは、スカラー値（１次元のベ
クトル）のパラメータとともにスカラー値（１次元のベ
クトル）に対して適用されるので、スカラー値の種が２
つ必要である。見方を変えれば、２次元のベクトルを乱
数の種として取得することになる。
から乱数の種を取得する（ステップＳ４０１）。この場
合、有理写像fはスカラー値（１次元のベクトル）に対
して適用され、有理写像gは、スカラー値（１次元のベ
クトル）のパラメータとともにスカラー値（１次元のベ
クトル）に対して適用されるので、スカラー値の種が２
つ必要である。見方を変えれば、２次元のベクトルを乱
数の種として取得することになる。
【００７１】なお、乱数の種は、ユーザが入力装置３０
６から入力することも可能であり、これと時刻などの数
値を組み合わせてもよい。これらは、公開鍵を生成する
場合に有用である。
６から入力することも可能であり、これと時刻などの数
値を組み合わせてもよい。これらは、公開鍵を生成する
場合に有用である。
【００７２】次に、ＣＰＵ ３０２は、取得した種をそ
れぞれ主記憶装置３０３内の第１の記憶部１０１と、第
２の記憶部１０３とに記憶する（ステップＳ４０２）。
これにより、乱数を生成するための初期値が設定され
る。
れぞれ主記憶装置３０３内の第１の記憶部１０１と、第
２の記憶部１０３とに記憶する（ステップＳ４０２）。
これにより、乱数を生成するための初期値が設定され
る。
【００７３】なお、ステップＳ４０１からステップＳ４
０２の処理は、図２に示すランダムなベクトル列を出力
する装置２００の生成部２０１が実行する処理に相当す
る。
０２の処理は、図２に示すランダムなベクトル列を出力
する装置２００の生成部２０１が実行する処理に相当す
る。
【００７４】ついで、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶部
１０１に記憶された値xと、第２の記憶部１０３に記憶
された値yとを取得し（ステップＳ４０３）、これらを
用いて値y'=g(x,y)を計算し（ステップＳ４０４）、計
算された値y'を第２の記憶部１０３に記憶させて更新す
る（ステップＳ４０５）。
１０１に記憶された値xと、第２の記憶部１０３に記憶
された値yとを取得し（ステップＳ４０３）、これらを
用いて値y'=g(x,y)を計算し（ステップＳ４０４）、計
算された値y'を第２の記憶部１０３に記憶させて更新す
る（ステップＳ４０５）。
【００７５】すなわち、ステップＳ４０４において、Ｃ
ＰＵ ３０２は、第２の計算部１０４として機能するこ
とになる。
ＰＵ ３０２は、第２の計算部１０４として機能するこ
とになる。
【００７６】さらに、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶部
１０１に記憶された値xを取得し（ステップＳ４０
６）、これを用いて値x'=f(x)を計算し（ステップＳ４
０７）、計算された値x'を第１の記憶部１０１に記憶さ
せて更新する（ステップＳ４０８）。
１０１に記憶された値xを取得し（ステップＳ４０
６）、これを用いて値x'=f(x)を計算し（ステップＳ４
０７）、計算された値x'を第１の記憶部１０１に記憶さ
せて更新する（ステップＳ４０８）。
【００７７】すなわち、ステップＳ４０７において、Ｃ
ＰＵ ３０２は、第１の計算部１０２として機能するこ
とになる。
ＰＵ ３０２は、第１の計算部１０２として機能するこ
とになる。
【００７８】最後に、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶部
１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶部１０
３に記憶された更新後の値y'とを結合して、外部記憶装
置３０４などに出力し（ステップＳ４０９）、ステップ
Ｓ４０３に戻る。
１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶部１０
３に記憶された更新後の値y'とを結合して、外部記憶装
置３０４などに出力し（ステップＳ４０９）、ステップ
Ｓ４０３に戻る。
【００７９】なお、あるｎ次元のベクトルと別のｍ次元
のベクトルとを結合した結果は（ｎ＋ｍ）次元のベクト
ルであり、その要素は、まずｎ次元のベクトルの要素を
並べ、ついでｍ次元のベクトルの要素を並べたものであ
る。図２に示すベクトル列の出力装置２００の生成部２
０１の処理は、ベクトルの結合の逆演算を行うことによ
り実現することができる。
のベクトルとを結合した結果は（ｎ＋ｍ）次元のベクト
ルであり、その要素は、まずｎ次元のベクトルの要素を
並べ、ついでｍ次元のベクトルの要素を並べたものであ
る。図２に示すベクトル列の出力装置２００の生成部２
０１の処理は、ベクトルの結合の逆演算を行うことによ
り実現することができる。
【００８０】この繰り返しを行うことにより、ランダム
な２次元ベクトルの列が外部記憶装置３０４に出力され
ることになる。
な２次元ベクトルの列が外部記憶装置３０４に出力され
ることになる。
【００８１】なお、図２に示すベクトル列の出力装置２
００の第１の出力部２０２が実行する処理はステップＳ
４０６〜ステップＳ４０８に、第２の出力部２０３が実
行する処理はステップＳ４０３〜ステップＳ４０５に、
第３の出力部２０４が実行する処理はステップＳ４０６
により、それぞれ実現されている。
００の第１の出力部２０２が実行する処理はステップＳ
４０６〜ステップＳ４０８に、第２の出力部２０３が実
行する処理はステップＳ４０３〜ステップＳ４０５に、
第３の出力部２０４が実行する処理はステップＳ４０６
により、それぞれ実現されている。
【００８２】なお、本実施例では、上述の通り、有理写
像fとして一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像［数
１］を採用するが、これを漸化式に使用した場合に得ら
れる乱数の分布の密度関数を図５に示す。図５に示す通
り、これは0≦x≦1の範囲で定義される非一様な密度関
数であり、x=0およびx=1で無限大となり、0＜x＜1の範
囲で下に凸な関数である。
像fとして一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像［数
１］を採用するが、これを漸化式に使用した場合に得ら
れる乱数の分布の密度関数を図５に示す。図５に示す通
り、これは0≦x≦1の範囲で定義される非一様な密度関
数であり、x=0およびx=1で無限大となり、0＜x＜1の範
囲で下に凸な関数である。
【００８３】また、本実施例では、上述の通り、有理写
像gとしてカツラ＝フクダ関数［数７］を採用するが、
パラメータx'を固定して漸化式に使用した場合に得られ
る乱数の分布もまた、［数８］のように解析的に得るこ
とができる。
像gとしてカツラ＝フクダ関数［数７］を採用するが、
パラメータx'を固定して漸化式に使用した場合に得られ
る乱数の分布もまた、［数８］のように解析的に得るこ
とができる。
【００８４】
【数７】
【００８５】
【数８】
【００８６】図６には、ステップＳ４０９において出力
される２次元ベクトルを座標値として、順次プロットし
たものを示し、図７には、ステップＳ４０９において出
力される２次元ベクトルを座標値として、これをヒスト
グラムとしたものを示す。また、図８には、図７に示す
ヒストグラムをある断面で切った場合の様子を示す。
される２次元ベクトルを座標値として、順次プロットし
たものを示し、図７には、ステップＳ４０９において出
力される２次元ベクトルを座標値として、これをヒスト
グラムとしたものを示す。また、図８には、図７に示す
ヒストグラムをある断面で切った場合の様子を示す。
【００８７】発明者は、「一般に密度関数ρ(x)を有す
る有理写像fと、xというパラメータを持ち密度関数ν
(x,y)を有する有理写像g(x,・)とを本発明の漸化式を用
いる手法により結合した場合、出力されるベクトル列の
分布の密度関数はν(x,y)ρ(x)となる」ことを数学的に
証明している。したがって、分布の密度関数が既知の解
析的な関数である場合には、これらを組み合わせた場
合、分布の密度関数は、もとの分布の密度関数の積とし
て、解析的に得ることができる。
る有理写像fと、xというパラメータを持ち密度関数ν
(x,y)を有する有理写像g(x,・)とを本発明の漸化式を用
いる手法により結合した場合、出力されるベクトル列の
分布の密度関数はν(x,y)ρ(x)となる」ことを数学的に
証明している。したがって、分布の密度関数が既知の解
析的な関数である場合には、これらを組み合わせた場
合、分布の密度関数は、もとの分布の密度関数の積とし
て、解析的に得ることができる。
【００８８】図８に示すグラフの形状が図５に示すグラ
フの形状とほぼ同じ形状をしていることからも、この結
論が正しいことがわかる。また、従来の手法で問題とな
っていた乱数の偏りも少ないことがわかっている。
フの形状とほぼ同じ形状をしていることからも、この結
論が正しいことがわかる。また、従来の手法で問題とな
っていた乱数の偏りも少ないことがわかっている。
【００８９】なお、適宜各ステップの順序を変更した
り、同じ処理を行うステップを別途実行することによ
り、上記実施例における制御の流れと同等の処理を実現
することができるが、そのような実施形態も本発明の範
囲に含まれる。
り、同じ処理を行うステップを別途実行することによ
り、上記実施例における制御の流れと同等の処理を実現
することができるが、そのような実施形態も本発明の範
囲に含まれる。
【００９０】（第２実施例）本発明の第２実施例は、汎
用コンピュータなどの情報処理装置によりベクトル列の
出力装置を構成するものではなく、電子回路により構成
するものである。
用コンピュータなどの情報処理装置によりベクトル列の
出力装置を構成するものではなく、電子回路により構成
するものである。
【００９１】すなわち、図１に示すベクトル列の出力装
置１００の第１の記憶部１０１と第２の記憶部１０３と
は、いずれも、フリップフロップなどを基本とする記憶
回路で構成することができる。
置１００の第１の記憶部１０１と第２の記憶部１０３と
は、いずれも、フリップフロップなどを基本とする記憶
回路で構成することができる。
【００９２】第１の計算部１０２と第２の計算部１０４
とは、いずれも、加算回路と乗算回路の組み合わせで構
成することができる。
とは、いずれも、加算回路と乗算回路の組み合わせで構
成することができる。
【００９３】出力部１０５は、第２の計算部１０４を構
成する回路の出力線により構成することができる。
成する回路の出力線により構成することができる。
【００９４】第１の更新部１０６と第２の更新部１０７
とは、第１の計算部１０２と第２の計算部１０４とを構
成する回路の出力線を、一定のクロック遅延をもってそ
れぞれ第１の記憶部１０１と第２の記憶部１０３とに帰
還させて記憶させることにより構成することができる。
とは、第１の計算部１０２と第２の計算部１０４とを構
成する回路の出力線を、一定のクロック遅延をもってそ
れぞれ第１の記憶部１０１と第２の記憶部１０３とに帰
還させて記憶させることにより構成することができる。
【００９５】このように、専用の電子回路により本発明
のベクトル列の出力装置を構成することにより、たとえ
ば携帯情報端末や移動体電話など、少ない電力消費と簡
単で省スペースな構成が必要とされる機器に本発明を適
用することができる。
のベクトル列の出力装置を構成することにより、たとえ
ば携帯情報端末や移動体電話など、少ない電力消費と簡
単で省スペースな構成が必要とされる機器に本発明を適
用することができる。
【００９６】（第３実施例）上記実施例では、有理写像
として楕円関数の加法定理より導かれる有理写像を用い
ているが、楕円積分、超楕円積分、あるいは、これらを
変形したものから導かれる写像にも、類似した性質を有
するものがあり、そのような写像を利用してもよい。ま
た、従来から用いられている乱数の発生手法の漸化式を
表す写像を利用することもできる。
として楕円関数の加法定理より導かれる有理写像を用い
ているが、楕円積分、超楕円積分、あるいは、これらを
変形したものから導かれる写像にも、類似した性質を有
するものがあり、そのような写像を利用してもよい。ま
た、従来から用いられている乱数の発生手法の漸化式を
表す写像を利用することもできる。
【００９７】（第４実施例）本発明で得られるランダム
なベクトル列の密度関数は解析的に得られるので、フォ
ン・ノイマンの逆関数法により、本発明で得られた任意
次元のランダムなベクトル列から、一様分布を持つラン
ダムなベクトル列を発生させることができる。
なベクトル列の密度関数は解析的に得られるので、フォ
ン・ノイマンの逆関数法により、本発明で得られた任意
次元のランダムなベクトル列から、一様分布を持つラン
ダムなベクトル列を発生させることができる。
【００９８】（第５実施例）本発明は、ＵＮＩＸなどの
オペレーティング・システムやｐｒｏｌｏｇ、ＧＨＣな
どの論理型言語やＬｉｓｐ、Ｈａｓｋｅｌｌなどの関数
型言語などで多用されるストリーム処理により実現する
ことができる。すなわち、上述のような有理ベクトル写
像fとgについて、以下のベクトル列x[i]のデータストリ
ームを生成するプロセス（プログラミング言語上は、述
語、関数、手続などで表現される）Ａと、 x[0], x[1], x[2], x[3], … x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) このプロセスＡが出力するデータストリームx[i]を順に
受け付けて、以下のベクトル列y[i]のデータストリーム
を生成するプロセスＢとを用意することにより、 y[0], y[1], y[2], y[3], … y[0] = η y[i+1] = g(x[i],y[i]) (ただしi≧0) 本発明を実現することができる。
オペレーティング・システムやｐｒｏｌｏｇ、ＧＨＣな
どの論理型言語やＬｉｓｐ、Ｈａｓｋｅｌｌなどの関数
型言語などで多用されるストリーム処理により実現する
ことができる。すなわち、上述のような有理ベクトル写
像fとgについて、以下のベクトル列x[i]のデータストリ
ームを生成するプロセス（プログラミング言語上は、述
語、関数、手続などで表現される）Ａと、 x[0], x[1], x[2], x[3], … x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) このプロセスＡが出力するデータストリームx[i]を順に
受け付けて、以下のベクトル列y[i]のデータストリーム
を生成するプロセスＢとを用意することにより、 y[0], y[1], y[2], y[3], … y[0] = η y[i+1] = g(x[i],y[i]) (ただしi≧0) 本発明を実現することができる。
【００９９】プロセスＡとプロセスＢとの通信は、いわ
ゆる製造者＝消費者モデルにより記述でき、要求駆動に
よる生成、データストリームのバッファリングなどの公
知の技法を利用することができる。
ゆる製造者＝消費者モデルにより記述でき、要求駆動に
よる生成、データストリームのバッファリングなどの公
知の技法を利用することができる。
【０１００】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
以下の効果を奏する。
以下の効果を奏する。
【０１０１】出力されるランダムなベクトル列の分布の
密度関数が既知の解析的な関数であるようなベクトル列
の生成手法が２つあるときに、これらを結び付けて、よ
り高次元のランダムなベクトル列であって、その分布の
密度関数が解析的な関数として得られるものを出力する
ベクトル列の出力装置、出力方法を提供することができ
る。
密度関数が既知の解析的な関数であるようなベクトル列
の生成手法が２つあるときに、これらを結び付けて、よ
り高次元のランダムなベクトル列であって、その分布の
密度関数が解析的な関数として得られるものを出力する
ベクトル列の出力装置、出力方法を提供することができ
る。
【０１０２】本発明では、既知のベクトル列の生成手法
の分布の密度関数の積がより高次元のランダムなベクト
ル列の分布の密度関数となるため、容易に分布の特徴を
得ることができ、さまざまな応用に資することができ
る。特に、生成手法として有理写像を採用した場合に
は、得られるベクトル列の各要素もすべて有理数となる
という特徴を有し、計算機上の計算精度を厳密に保存し
うるという利点を有する。
の分布の密度関数の積がより高次元のランダムなベクト
ル列の分布の密度関数となるため、容易に分布の特徴を
得ることができ、さまざまな応用に資することができ
る。特に、生成手法として有理写像を採用した場合に
は、得られるベクトル列の各要素もすべて有理数となる
という特徴を有し、計算機上の計算精度を厳密に保存し
うるという利点を有する。
【０１０３】このようなランダムなベクトル列は、モン
テカルロ法、移動体通信や光通信におけるＣＤＭＡ、イ
ンターネットなどの通信における公開鍵暗号などで利用
することができる。
テカルロ法、移動体通信や光通信におけるＣＤＭＡ、イ
ンターネットなどの通信における公開鍵暗号などで利用
することができる。
【０１０４】さらに、プログラムを記録した情報記録媒
体をソフトウェア商品として、情報処理装置のハードウ
ェアと独立して容易に配布したり販売したりすることが
できるようになる。本発明の情報記録媒体に記録された
プログラムを汎用コンピュータなどの情報処理装置で実
行すれば、上記の発明に係るベクトル列の出力装置、出
力方法が実現できる。
体をソフトウェア商品として、情報処理装置のハードウ
ェアと独立して容易に配布したり販売したりすることが
できるようになる。本発明の情報記録媒体に記録された
プログラムを汎用コンピュータなどの情報処理装置で実
行すれば、上記の発明に係るベクトル列の出力装置、出
力方法が実現できる。
【図１】本発明のベクトル列の出力装置の構成を示すブ
ロック構成図である。
ロック構成図である。
【図２】本発明のベクトル列の出力装置の構成を示すブ
ロック構成図である。
ロック構成図である。
【図３】本発明のランダムなベクトル列の出力装置を汎
用コンピュータなどの情報処理装置において実現する実
施例の、当該情報処理装置のブロック構成図である。
用コンピュータなどの情報処理装置において実現する実
施例の、当該情報処理装置のブロック構成図である。
【図４】本発明の処理の流れを示すフローチャートであ
る。
る。
【図５】一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像を漸化式
に使用した場合に得られる乱数の分布の密度関数を示す
グラフである。
に使用した場合に得られる乱数の分布の密度関数を示す
グラフである。
【図６】図４に示すフローチャートのステップＳ４０９
において出力される２次元ベクトルを座標値として、順
次プロットした説明図である。
において出力される２次元ベクトルを座標値として、順
次プロットした説明図である。
【図７】図４に示すフローチャートのステップＳ４０９
において出力される２次元ベクトルを座標値としたヒス
トグラムである。
において出力される２次元ベクトルを座標値としたヒス
トグラムである。
【図８】図７に示すヒストグラムをある断面で切断した
場合のグラフである。
場合のグラフである。
１００ ベクトル列の出力装置
１０１ 第１の記憶部
１０２ 第１の計算部
１０３ 第２の記憶部
１０４ 第２の計算部
１０５ 出力部
１０６ 第１の更新部
１０７ 第２の更新部
２００ ベクトル列の出力装置
２０１ 生成部
２０２ 第１の出力部
２０３ 第２の出力部
２０４ 第３の出力部
３０１ 情報処理装置
３０２ ＣＰＵ
３０３ 主記憶装置
３０４ 外部記憶装置
３０５ 表示装置
３０６ 入力装置
３０８ ＲＯＭ
─────────────────────────────────────────────────────
フロントページの続き
(58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名)
G09C 1/00 650
G06F 7/58
Claims (18)
- 【請求項１】以下を備えることを特徴とするベクトル列
の出力装置。 （ａ）１次元以上のベクトルxを記憶する第１の記憶部
と、 （ｂ）前記第１の記憶部に記憶されたベクトルxに第１
の有理ベクトル写像fを適用した結果のベクトルx'=f(x)
を計算する第１の計算部と、 （ｃ）１次元以上のベクトルyを記憶する第２の記憶部
と、 （ｄ）前記第１の記憶部に記憶されたベクトルxと、前
記第２の記憶部に記憶された１次元以上のベクトルyと
に、第２の有理ベクトル写像gを適用した結果のベクト
ルy'=g(x,y)を計算する第２の計算部と、 （ｅ）前記第１の計算部により計算された結果のベクト
ルx'と前記第２の計算部により計算された結果のベクト
ルy'とを結合したベクトルz'を出力する出力部と、 （ｆ）前記第１の計算部により計算された結果のベクト
ルx'を前記第１の記憶部に記憶させて更新する第１の更
新部と、 （ｇ）前記第２の計算部により計算された結果のベクト
ルy'を前記第２の記憶部に記憶させて更新する第２の更
新部。ただし、有理ベクトル写像とは、有理数の成分か
らなる１次元以上のベクトルを有理数の成分からなる１
次元以上のベクトルへと変換する写像をいう。 - 【請求項２】前記第１の有理ベクトル写像fを１次元以
上のベクトルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像gにパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルyに０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１に記載の出力
装置。 - 【請求項３】前記第１の有理ベクトル写像fは、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、又は、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像、もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項２に記載
の出力装置。 - 【請求項４】前記第２の有理ベクトル写像gは、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フ
クダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般
化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれ
かであることを特徴とする請求項２に記載の出力装置。 - 【請求項５】以下を備えることを特徴とするベクトル列
の出力装置。 （ａ）２次元以上のベクトルζを受け付けて、これから
１次元以上のベクトルξと１次元以上のベクトルηとを
生成する生成部と、 （ｂ）前記生成部により生成されたベクトルξを受け付
けて、第１の有理ベクトル写像fを用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力する第１の出力部
と、 （ｃ）前記生成部により生成されたベクトルηと、前記
第１の出力部により出力されるベクトル列x[i]とを受け
付けて、第２の有理ベクトル写像gを用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力する第２の出力部
と、 （ｄ）前記第１の出力部により出力されるベクトル列x
[i]と、前記第２の出力部により出力されるベクトル列y
[i]とを結合して得られるベクトル列z[i]を結果として
出力する第３の出力部。 - 【請求項６】前記第１の有理ベクトル写像fを１次元以
上のベクトルxに０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像gにパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルyに０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項５に記載の出力
装置。 - 【請求項７】前記第１の有理ベクトル写像fは、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項６に記載
の出力装置。 - 【請求項８】前記第２の有理ベクトル写像gは、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フ
クダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般
化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれ
かであることを特徴とする請求項６に記載の出力装置。 - 【請求項９】前記第１の出力部もまた請求項５に記載の
出力装置であることを特徴とする請求項５に記載の出力
装置。 - 【請求項１０】以下のステップを備えることを特徴とす
るベクトル列の出力方法。 （ａ）第１の記憶部に記憶された１次元以上のベクトル
xに第１の有理ベクトル写像fを適用した結果のベクトル
x'=f(x)を計算する第１の計算ステップと、 （ｂ）前記第１の記憶部に記憶されたベクトルxと、第
２の記憶部に記憶された１次元以上のベクトルyとに第
２の有理ベクトル写像gを適用した結果のベクトルy'=g
(x,y)を計算する第２の計算ステップと、 （ｃ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'と、前記第２の計算ステップにおいて計算
された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を出力
する出力ステップと、 （ｄ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'を前記第１の記憶部に記憶させて更新する
第１の更新ステップと、 （ｅ）前記第２の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルy'を前記第２の記憶部に記憶させて更新する
第２の更新ステップ。 - 【請求項１１】前記第１の有理ベクトル写像fを１次元
以上のベクトルxに０回以上適用して得られるベクトル
列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像gにパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルyに０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１０に記載の出
力方法。 - 【請求項１２】前記第１の有理ベクトル写像fは、楕円
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝
フォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティ
ック写像、又はカツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは
一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたも
ののいずれかであることを特徴とする請求項１１に記載
の出力方法。 - 【請求項１３】前記第２の有理ベクトル写像gは、カツ
ラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写
像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像
のいずれかであることを特徴とする請求項１１に記載の
出力方法。 - 【請求項１４】以下のステップを備えることを特徴とす
るプログラムを記録した情報記録媒体。 （ａ）第１の記憶部に記憶された１次元以上のベクトル
xに第１の有理ベクトル写像fを適用した結果のベクトル
x'=f(x)を計算する第１の計算ステップと、 （ｂ）前記第１の記憶部に記憶されたベクトルxと、第
２の記憶部に記憶された１次元以上のベクトルyとに第
２の有理ベクトル写像gを適用した結果のベクトルy'=g
(x,y)を計算する第２の計算ステップと、 （ｃ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'と、前記第２の計算ステップにおいて計算
された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を出力
する出力ステップと、 （ｄ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'を前記第１の記憶部に記憶させて更新する
第１の更新ステップと、 （ｅ）前記第２の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルy'を前記第２の記憶部に記憶させて更新する
第２の更新ステップ。 - 【請求項１５】前記第１の有理ベクトル写像fを１次元
以上のベクトルxに０回以上適用して得られるベクトル
列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、 前記第２の有理ベクトル写像gにパラメータとして１次
元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上
のベクトルyに０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１４に記載の情
報記録媒体。 - 【請求項１６】前記第１の有理ベクトル写像fは、楕円
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝
フォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティ
ック写像、又は、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項１５に記
載の情報記録媒体。 - 【請求項１７】前記第２の有理ベクトル写像gは、楕円
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝
フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一
般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいず
れかであることを特徴とする請求項１５に記載の情報記
録媒体。 - 【請求項１８】前記情報記録媒体は、コンパクトディス
ク、フロッピーディスク、ハードディスク、光磁気ディ
スク、ディジタルビデオディスク、磁気テープ、また
は、半導体メモリであることを特徴とする請求項１４か
ら１７に記載の情報記録媒体。
Priority Applications (3)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP36220399A JP3455748B2 (ja) | 1999-12-21 | 1999-12-21 | ベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 |
| US09/531,699 US6668265B1 (en) | 1999-03-29 | 2000-03-20 | Apparatus and method for outputting sequence of vectors, data recording medium, and carrier wave signal |
| US10/638,079 US7257608B2 (en) | 1999-03-29 | 2003-08-07 | Apparatus and method for outputting sequence of vectors, data recording medium, and carrier wave signal |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP36220399A JP3455748B2 (ja) | 1999-12-21 | 1999-12-21 | ベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2001175168A JP2001175168A (ja) | 2001-06-29 |
| JP3455748B2 true JP3455748B2 (ja) | 2003-10-14 |
Family
ID=18476259
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP36220399A Expired - Fee Related JP3455748B2 (ja) | 1999-03-29 | 1999-12-21 | ベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3455748B2 (ja) |
Families Citing this family (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP3525146B2 (ja) * | 2001-11-05 | 2004-05-10 | 独立行政法人 科学技術振興機構 | 乱数列出力装置、乱数列出力方法、プログラムならびに、情報記録媒体 |
| JP2014222394A (ja) | 2013-05-13 | 2014-11-27 | 株式会社東芝 | 半導体記憶装置および乱数発生器 |
| JP2017005412A (ja) * | 2015-06-08 | 2017-01-05 | 国立大学法人京都大学 | データ処理装置、データ送信方法、コンピュータプログラム、及びデータサーバ |
-
1999
- 1999-12-21 JP JP36220399A patent/JP3455748B2/ja not_active Expired - Fee Related
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JP2001175168A (ja) | 2001-06-29 |
Similar Documents
| Publication | Publication Date | Title |
|---|---|---|
| Yuan et al. | Deconvolutional artificial neural network models for large eddy simulation of turbulence | |
| Sutton | The virtual element method in 50 lines of MATLAB | |
| Baldeaux et al. | Efficient calculation of the worst-case error and (fast) component-by-component construction of higher order polynomial lattice rules | |
| Alexandrov et al. | Black holes and higher depth mock modular forms | |
| Nuyens et al. | Fast component-by-component construction, a reprise for different kernels | |
| Hinrichs et al. | Optimal quasi-Monte Carlo rules on order 2 digital nets for the numerical integration of multivariate periodic functions | |
| US6289296B1 (en) | Statistical simulation method and corresponding simulation system responsive to a storing medium in which statistical simulation program is recorded | |
| Natanzon et al. | BKP and projective Hurwitz numbers | |
| Weinzierl et al. | A geometric space-time multigrid algorithm for the heat equation | |
| Speicher | Free probability theory: and its avatars in representation theory, random matrices, and operator algebras; also featuring: non-commutative distributions | |
| Clemente-López et al. | A review of the digital implementation of continuous-time fractional-order chaotic systems using FPGAs and embedded hardware | |
| Nurminski | Single-projection procedure for linear optimization | |
| Scott et al. | A “moment-conserving” reformulation of GW theory | |
| Gibson et al. | Compatible Finite Element Methods for Geophysical Flows: Automation and Implementation Using Firedrake | |
| Hoefkens et al. | Computing validated solutions of implicit differential equations | |
| JP3030341B1 (ja) | ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 | |
| Nichols et al. | Fast CBC construction of randomly shifted lattice rules achieving convergence for unbounded integrands over R^s in weighted spaces with POD weights | |
| JP3455748B2 (ja) | ベクトル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体 | |
| Bertola et al. | Rationally weighted Hurwitz numbers, Meijer G-functions and matrix integrals | |
| Yan et al. | Revisiting the adjoint matrix for FPGA calculating the triangular matrix inversion | |
| Dick et al. | Optimal L p-discrepancy bounds for second order digital sequences | |
| US6668265B1 (en) | Apparatus and method for outputting sequence of vectors, data recording medium, and carrier wave signal | |
| Al Aswad et al. | Individual discrete logarithm with sublattice reduction | |
| Elman et al. | Polynomial iteration for nonsymmetric indefinite linear systems | |
| Rouigueb et al. | Integration of polynomials over n-dimensional simplices |
Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| S533 | Written request for registration of change of name |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R313533 |
|
| R350 | Written notification of registration of transfer |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R350 |
|
| R250 | Receipt of annual fees |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R250 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20080801 Year of fee payment: 5 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20090801 Year of fee payment: 6 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20100801 Year of fee payment: 7 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20110801 Year of fee payment: 8 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20110801 Year of fee payment: 8 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20120801 Year of fee payment: 9 |
|
| FPAY | Renewal fee payment (prs date is renewal date of database) |
Free format text: PAYMENT UNTIL: 20130801 Year of fee payment: 10 |
|
| S531 | Written request for registration of change of domicile |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R313531 |
|
| R350 | Written notification of registration of transfer |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R350 |
|
| R250 | Receipt of annual fees |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R250 |
|
| R250 | Receipt of annual fees |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R250 |
|
| S533 | Written request for registration of change of name |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R313533 |
|
| R350 | Written notification of registration of transfer |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R350 |
|
| LAPS | Cancellation because of no payment of annual fees |