JP2507875B2 - 多変数多項式型測定値較正器 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ 本発明は、多変数多項式型測定値を較正するための測
定値較正器に関するものである。

［従来の技術］ 各種測定器は、本来測定しようとする量に対し、測定
器の出力が一対一対応し、しかも直線関係で結ばれてい
るのが望ましいが、そのような関係が実現されない場合
の方が多い。

その場合、測定値を較正して初期の目的に合わせるの
であるが、この目的には、 ｙ＝ax＋ｂ ……（０） （x:測定値、y:被測定値） なる線形一次式を用いて誤差の二乗和が最小になるよう
にa,bを求める方法が良く知られ、結果は、 （n:データ数、，:x_i,y_iの平均値）のようになる
（石田正次著、データ解析の基礎、森北出版P35）。

同様に、 y_i＝C₀＋C₁x_i＋C₂▲ｘ^２ _ｉ▼＋・・＋C_m▲ｘ^ｍ _ｉ▼……
（１） （ｉ＝1,2,・・ｎ） のようにｍ次の多項式で表現される場合には、 なる式を解けば良いことが知られている（同書P92）。

しかしながら、被測定変数が多数の測定値に影響され
る場合の較正法は一般に知られておらず、また（１）式
の一般化は表現が複雑で計算も容易ではないと推測され
る。

他方、行列論では、（１）式のように表現された関係
に対し、主としてｎ＜ｍの場合の解法が一般逆行列とし
て知られており、パラメータの数がデータの数より多い
場合、最尤推定値になることがわかっている（土屋
茂：一般逆行列、数理科学５−５、68/72,1973）。

一般逆行列の理論では、ｎ＞ｍの場合は十分に調べら
れておらず、同様に多変数で表現される場合も十分調べ
られていない。

［発明が解決しようとする問題点］ 本発明の目的は、多数のパラメータに影響され、非線
形の関係を持っているが、滑らかな変化をしているデー
タを、多変数の多項式で表現し、容易に得られる係数を
使って、上記多項式に基づく測定値の較正を簡単に実施
可能にすることにある。

［問題点を解決するための手段］ 上記目的を達成するための本発明の測定値較正器は、
上述した多変数多項式の演算を行う演算装置を備え、上
記演算装置におけるデータ較正のための係数として、一
般逆行列の計算法の一般化した方法、即ち、 Ｃ＝（X^TX）^-1X^TA （但し、C:係数の行列、X:測定値の行列、A:予め知られ
ている真値の行列、T:転置行列、（＊）^-1:＊の逆行列
を示す。） によって計算される係数を設定し、これによって測定値
の較正を行うことを特徴とするものである。

［作用及び効果］ 演算装置におけるデータ較正のための係数として、一
般逆行列の計算法の一般化した方法によって計算される
係数を用いているので、多変数の多項式の係数が容易に
得られ、その係数を使って非常に簡単な回路構成によ
り、測定値を簡単に較正することが可能になる。

［実施例］ 一例として、後述する実験例のように、多数のパラメ
ータに影響された非線形の関係を持っているが、滑らか
な変化をしているデータについて、非測定値a_i,b_iが測
定値x_i,y_iのｍ次の多項式で表現されるとすると、 a_i＝C₁₀＋C₁₁x_i＋C₁₂y_i＋C₁₃▲ｘ^２ _ｉ▼＋C₁₄x_iy_i＋C₁₅
▲ｙ^２ _ｉ▼ ＋C₁₆▲ｘ^３ _ｉ▼＋C₁₇▲ｘ^２ _ｉ▼y_i＋C₁₈x_i▲ｙ^２ _ｉ▼
≠C₁₉▲ｙ^３ _ｉ▼‥ b_i＝C₂₀＋C₂₁x_i＋C₂₂y_i＋C₂₃▲ｘ^２ _ｉ▼＋C₂₄x_iy_i＋C₂₅
▲ｙ^２ _ｉ▼ ＋C₂₆▲ｘ^３ _ｉ▼＋C₂₇▲ｘ^２ _ｉ▼y_i＋C₂₈x_i▲ｙ^２ _ｉ▼
＋C₂₉y³＋‥ ……（２） となるが、これを行列表現すると以下のようになる。

上記（３）式を、行列を使って再表現すると、 Ａ＝XC（A:n×2,X:n×lC:l×2, l:パラメータの項数） ……（４） と表せる。

（４）式の両辺にX^T（T:転置行列を示す）を掛けて逆
行列を取ると、前述したところの、 Ｃ＝（X^TX）^-1X^TA ……（５） になる。

ここで、データ数ｎがパラメータの数ｌより大きい場
合は、一般にX^TX（ｌ×ｌ行列）の逆行列は存在する。
何らかの事情で十分データを取れなかったときは、その
逆行列は存在しないが、その場合は一般逆行列（X^TT）
^＋（前述参考文献）を用いれば良い。

このように、（５）式より得られる係数Ｃを用いて、
任意の次数、任意の変数に対して、（２）式のようにき
わめて簡単に較正器をうることができる。

（０）式のように一次式で表わされるとき、（５）式
の係数を用いれば、近似は最小二乗誤差を与えることは
既に知られており（武田常広：三次元位置計測装置と床
反力計による重心測定、製品科学研究所研究報告No.94,
37/48）、一般逆行列が誤差の二乗和が最小になる最尤
推定値になることから、（５）式は一般に良いデータ較
正係数を表わすものと期待できる。このことを後述の実
験例によって示す。

なお、変数の数および次数は他の先験的知識によって
決定される。

このデータ較正器は第１図に示した回路構成によって
実現できる。同図は、２変数２次多項式による測定値較
正器の回路図で、前記（２）式の演算を行うように各種
演算要素を配列している。図中に示したＸは、乗算を行
う演算要素を示し、同じく＋は加算を行う演算要素を示
している。データ較正のための係数C₁₀〜C₁₉は、一般逆
行列の計算法の一般化した方法によって計算されたもの
であり、この回路の出力として、較正を行った測定値を
得ることができる。

次に、本発明に関する実験例を示す。

先に本発明者らが特開昭62−8730号として提案した
「眼球屈折力測定装置」において、眼球の回転角は２つ
のミラーの回転角により測定されるのであるが、回転ミ
ラーを球面ミラーの中心に置くことができないために、
それぞれのミラーの回転角が、眼の左右、上下の回転角
に直接対応しない。

即ち、模型眼を左右（Ｘ軸）、上下（Ｙ軸）に回転で
きるステージに乗せて、５度きざみに回転したときの２
つのミラーの出力値は、第２図のようになった。同図
は、眼を５度きざみで左右に15度、上下に10度だけ動か
したとき（格子の交点に相当する）に測定された２つの
ミラーのふれ角（○印で示した）を表示したもので、そ
の測定値は滑らかに変化する関数ではあるが、とても一
次式で表現できるような関係にはならず、非線形の関係
を持っている。この非線形性は、例えば、レンズの収差
や、電気系統の各種特性等の多数のパラメータに影響さ
れて生じたものである。そこで、 a_i:模型眼の水平方向の回転角、 b_i:模型眼の上下方向の回転角、 x_i:ミラーＸの回転角、 y_i:ミラーＹの回転角、 と定義して、 と表現し、ｎ＝35（左右±15゜、上下±10゜、５度きざ
みにデータをとる。）とし、1,2,3,4,5次の多項式で表
現したときの二乗誤差の和を求めたが、その値は、第１
表のように、次数を増加させるに従い単調減少し、次数
を上げる毎に良い近似を与えている。一例として、
（５）式を用いて35個のデータから較正するに際し、３
次式で近似したときの第２図のデータの較正結果を、第
３図に○印で示す。この結果によれば、上記次数を選定
することにより、目的に応じた近似を与え得ることが分
かる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明に係る多変数多項式型測定値較正器の回
路構成図、第２図は模型眼を５度きざみで動かしたとき
に測定された２つのミラーのふれ角に関する説明図、第
３図は第２図のデータの（５）式による較正結果を示す
説明図である。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 飯田 健夫 茨城県筑波郡谷田部町東１丁目１番４号 工業技術院製品科学研究所内 (56)参考文献 特開 昭59−68620（ＪＰ，Ａ) 特開 昭54−142470（ＪＰ，Ａ)

Claims (1)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】多数のパラメータに影響された非線形の関
   係を持っているが、滑らかな変化をしているデータを、
   多変数の多項式で表現して、この多項式の演算を行う演
   算装置を備え、上記演算装置におけるデータ較正のため
   の係数として、一般逆行列の計算法の一般化した方法、
   即ち、 Ｃ＝（X^TX）^-1X^TA （但し、C:係数の行列、X:測定値の行列、A:予め知られ
   ている真値の行列、T:転置行列、（＊）^-1:＊の逆行列
   を示す。） によって計算される係数を設定し、これによって測定値
   の較正を行うことを特徴とする多変数多項式型測定値較
   正器。