JP2024039170A - エラー検知プログラム、エラー検知方法、および情報処理装置 - Google Patents

Abstract

【課題】Ｙエラーの検知確率を向上させる。【解決手段】情報処理装置１０は、エネルギー式４に示されるエネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せを決定する。エネルギー式４には、第１～第３のエネルギー項４ａ，４ｂ，４ｃが含まれる。第１のエネルギー項４ａは、Ｚエラーが発生した第１のデータ量子ビットを特定するための項である。第２のエネルギー項４ｂは、Ｘエラーが発生した第２のデータ量子ビットを特定するための項である。第３のエネルギー項４ｃは、ＺエラーとＸエラーとが同時発生した第３のデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる項である。情報処理装置１０は、第３のデータ量子ビットでＹエラーが発生したと判断する。【選択図】図１

Description

本発明は、エラー検知プログラム、エラー検知方法、および情報処理装置に関する。

量子コンピュータは、様々な計算に利用できる。例えば量子コンピュータを用いて、計算対象のモデルのエネルギーの最小値を求めることができる。量子コンピュータの計算は複数の量子ビットに対する初期化、ゲート操作、測定処理を行うことで実現される。量子コンピュータでは、このような量子ビットへの操作の過程で環境ノイズなどにより量子ビットにエラー（物理エラー）が発生する。そこで量子コンピュータでは、エラー量子ビットとエラー内容特定のため、従来型の計算機（古典コンピュータとも呼ばれる）と同様に量子ビットの冗長化が行われる。

冗長化させた量子ビットを用いてエラー量子ビットとエラー内容を特定する手法の１つに表面符号がある。表面符号では、２次元格子状にデータ量子ビットと補助量子ビットとが交互に並べられる。格子状に配置された複数の量子ビット（データ量子ビットと補助量子ビット）のうちのデータ量子ビットの状態が１つの論理量子ビットに符号化される。補助量子ビットは、１列ごとにＸエラー検知用とＺエラー検知用のどちらかとして使用される。表面符号を行う場合、量子コンピュータは、最初に論理量子状態を適切に初期化し、エラー検知の際、１つの補助量子ビットと周囲４つのデータ量子ビットとの間のゲート操作を行い、補助量子ビットの測定を行う。量子コンピュータは、補助量子ビットの値に基づいてＸエラー（ビット反転エラー）またはＺエラー（位相反転エラー）を検知する。そして量子コンピュータは、エラーの種類を示す情報と、エラー個所であると特定したデータ量子ビットの位置情報を用いて、量子ビットへのエラー訂正処理のゲート操作を行う。

量子ビットのエラー訂正に関する技術としては、例えばエラー訂正を実行している間に量子ゲート・パラメータの連続的な最適化を実施する量子計算システムが提案されている。また表面符号誤り訂正のためのキュービットグリッドにおける寄生相互作用の低減に関する技術も提案されている。さらに、構築が容易であり、エラー訂正オーバーヘッドを低減可能なシステムも提案されている。

なお量子コンピュータによるエネルギー最小化に関連する技術としては、例えば相関したフェルミオンシステムの基底状態を決定するための量子コンピュータの相関したフェルミオン状態を準備する技術がある。また３以上の情報量子ビット間の結合相互作用の形成方法に関する技術もある。

特開２０２１－１０６０２９号公報 特表２０２０－５３０６１９号公報 特表２０１９－５３１５３１号公報 特表２０２１－５０７４０１号公報 米国特許出願公開第２０１９／０１２２１３３号明細書

表面符号ではＸエラーとＺエラーを補助量子ビットのビット反転として検知することができるが、量子コンピュータでは、Ｙエラー（パウリ演算子Ｙの誤作用によるエラー)も起こり得る。パウリ演算子Ｙはパウリ演算子Ｘ，Ｚを用いて「Ｙ＝ｉＸＺ」（ｉは虚数単位)と表すことができる。

表面符号では、Ｙエラーを直接検知することができない。そのため表面符号では、ＸエラーとＺエラーが同時に同じ量子ビットで起こった場合に、その量子ビットにおいてＹエラーが発生したものと判断される。

しかし、Ｙエラーが発生した量子ビットの周囲の別の量子ビットにおいて、ＸエラーまたはＺエラーが発生すると、表面符号においてＹエラーの発生個所を正しく特定できない場合がある。例えばＺエラーとＹエラーとの２つのエラーが隣接する量子ビットで同時に発生したとき、高い確率で３個所の量子ビットがエラー個所であると誤って特定されてしまうようなエラー発生パターンがある。エラー個所が誤って特定されると、量子コンピュータにおけるエラー訂正に失敗し、正しい計算結果を得ることができなくなる。

なお、Ｙエラーの発生個所を正しく特定するのが困難であるという問題は、表面符号に限らず、スタビライザーから構成されるＣＳＳ（Calderbank-Shor-Steane code）符号全般において発生する問題である。

１つの側面では、本件は、Ｙエラー発生個所を特定できる確率を向上させることを目的とする。

１つの案では、以下の処理をコンピュータに実行させるエラー検知プログラムが提供される。
コンピュータは、量子計算における論理量子ビットに含まれる複数のデータ量子ビットに関するＺエラー検知用の複数の第１の補助量子ビットの状態を示す第１の状態データと、複数のデータ量子ビットに関するＸエラー検知用の複数の第２の補助量子ビットの状態を示す第２の状態データとを取得する。コンピュータは、複数のデータ量子ビットのうちのＺエラーが発生した第１のデータ量子ビットを第１の状態データに基づいて特定するための第１のエネルギー項と、複数のデータ量子ビットのうちのＸエラーが発生した第２のデータ量子ビットを第２の状態データに基づいて特定するための第２のエネルギー項と、第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの両方に該当する第３のデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる第３のエネルギー項とを有するエネルギー式に基づいて、エネルギー式に示されるエネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せを決定する。そしてコンピュータは、第３のデータ量子ビットでＹエラーが発生し、第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の第１のデータ量子ビットでＺエラーが発生し、第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の第２のデータ量子ビットでＸエラーが発生したと判断する。

１態様によれば、Ｙエラー発生個所を特定できる確率を向上させることができる。

第１の実施の形態に係るエラー検知方法の一例を示す図である。 システム構成の一例を示す図である。 古典コンピュータのハードウェアの一例を示す図である。 量子ビットを説明する図である。 量子回路の一例を示す図である。 量子ビットにおけるエラー発生状況の一例を示す図である。 量子ビットの冗長化の一例を示す図である。 補助量子ビットを用いた測定の一例を示す図である。 表面符号を行うための量子ビットの構成の一例を示す図である。 Ｘエラー検知のゲート操作の一例を示す図である。 Ｚエラー検知のゲート操作の一例を示す図である。 Ｘエラー検知の一例を示す図である。 エラー個所特定の一例を示す図である。 イジングモデルを用いたエラー個所特定方法の一例を示す図である。 エラー発生個所を一意に特定できない場合の一例を示す図である。 誤訂正による論理エラーの一例を示す図である。 Ｙエラーを含むエラー検知の一例を示す図である。 Ｚエラー検知とＸエラー検知とが可能なイジングモデルの一例を示す図である。 Ｙエラー検知失敗の一例を示す図である。 Ｙエラーが検知できないことにより発生する論理エラーの一例を示す図である。 Ｙエラーを正しく特定するエラー個所特定の一例を示す図である。 係数Ｊ’_iの値の決め方の一例を示す図である。 エラー検知を伴う量子計算を指示するための古典コンピュータの機能の一例を示す図である。 量子計算の手順を示すシーケンス図である。 量子エラー訂正処理の手順の一例を示すシーケンス図である。 エラー個所特定処理の手順の一例を示すフローチャートである。 データ量子ビットの周囲の補助量子ビットの配置の一例を示す図である。 Ｙエラー特定率の計算結果を示す図である。 論理エラー確率の計算結果を示す図である。 第３の実施の形態のシステム構成の一例を示す図である。 第３の実施の形態におけるエラー個所特定処理の手順を示すシーケンス図である。

以下、本実施の形態について図面を参照して説明する。なお各実施の形態は、矛盾のない範囲で複数の実施の形態を組み合わせて実施することができる。
〔第１の実施の形態〕
第１の実施の形態は、量子計算の途中で発生したＹエラーの発生個所を、表面符号によって高い確率で特定できるようにしたエラー検知方法である。

図１は、第１の実施の形態に係るエラー検知方法の一例を示す図である。図１には、第１の実施の形態に係るエラー検知方法を実施する情報処理装置１０が示されている。情報処理装置１０は、例えばエラー検知プログラムを実行することにより、エラー検知方法を実施することができる。

情報処理装置１０は、記憶部１１と処理部１２とを有する。記憶部１１は、例えば情報処理装置１０が有するメモリまたはストレージ装置である。処理部１２は、例えば情報処理装置１０が有するプロセッサまたは演算回路である。

情報処理装置１０は、例えば量子コンピュータ１に対して、所定の量子回路に基づく量子計算を指示する。量子コンピュータ１は、複数の物理量子ビットに対するゲート操作を行い、量子計算を実施する。その際、量子コンピュータ１は、量子回路で操作対象とする量子ビットの状態を、複数の物理量子ビットで構成される論理量子ビットで表現する。以下、論理量子ビットの状態の表現に用いられる物理量子ビットがデータ量子ビット５（図１の実線の矩形すべて）である。

また量子コンピュータ１は、物理量子ビットの一部を、論理量子ビットに含まれるデータ量子ビットを表面符号でエラーを検知するための補助量子ビットとして使用する。補助量子ビットは、Ｚエラー検知用の複数の第１の補助量子ビット６（図１の一点鎖線の矩形すべて）とＸエラー検知用の複数の第２の補助量子ビット７（図１の破線の矩形すべて）とに分けられる。

量子コンピュータ１は、情報処理装置１０からの指示に従った量子計算の途中で、表面符号によるエラー検知用のゲート操作を行い、第１の補助量子ビット６と第２の補助量子ビット７の状態を測定する。そして量子コンピュータ１は、複数の第１の補助量子ビット６の状態を示す第１の状態データ２と、複数の第２の補助量子ビット７の状態を示す第２の状態データ３とを情報処理装置１０に送信する。

情報処理装置１０は、第１の状態データ２と第２の状態データ３とに基づいて、エラー検知処理を行い、Ｚエラー、Ｘエラー、またはＹエラーの発生個所を検知する。そのために、記憶部１１には、エネルギー式４が格納されている。エネルギー式４は、表面符号におけるエラー発生個所の求解問題をイジングモデルに置き換えた場合におけるイジングモデルのエネルギーを表す式である。

エネルギー式４は、第１のエネルギー項４ａ、第２のエネルギー項４ｂ、第３のエネルギー項４ｃを含む。第１のエネルギー項４ａは、複数のデータ量子ビット５のうちのＺエラーが発生した第１のデータ量子ビットを第１の状態データ２に基づいて特定するための項である。第２のエネルギー項４ｂは、複数のデータ量子ビット５のうちのＸエラーが発生した第２のデータ量子ビットを第２の状態データ３に基づいて特定するための項である。第３のエネルギー項４ｃは、第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの両方に該当した第３のデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる項である。

なお、第３のエネルギー項４ｃは、例えばいずれのエラーも発生していないデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる作用も有する。さらに第３のエネルギー項４ｃは、例えばＺエラーまたはＸエラーのみが発生しているデータ量子ビットが多いほどエネルギーを増加させる作用も有する。

情報処理装置１０の処理部１２は、量子コンピュータ１から第１の状態データ２と第２の状態データ３とを取得する。次に処理部１２は、第１の状態データと第２の状態データ３とに基づいて、エネルギー式４に示されるエネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せを決定する。例えば処理部１２は、イジングモデルで示される組合せ最適化問題を解くことにより、エネルギーが最小となる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せを求める。

そして処理部１２は、エネルギーが最小となる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せに基づいて、エラーの発生個所とエラーの内容を判断する。例えば処理部１２は、第１のデータ量子ビットに該当するが第２のデータ量子ビットに該当しないデータ量子ビットでＺエラーが発生したと判断する。また処理部１２は、第２のデータ量子ビットに該当するが第１のデータ量子ビットに該当しないデータ量子ビットでＸエラーが発生したと判断する。さらに処理部１２は、第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの両方に該当するデータ量子ビットでＹエラーが発生したと判断する。

処理部１２は、検知したエラーの訂正を量子コンピュータ１に指示する。例えば処理部１２は、Ｚエラーが発生したと判断したデータ量子ビットを指定して、そのデータ量子ビットのＺエラーの訂正（Ｚゲートの操作）を指示する。また処理部１２は、Ｘエラーが発生したと判断したデータ量子ビットを指定して、そのデータ量子ビットのＸエラーの訂正（Ｘゲートの操作）を指示する。さらに処理部１２は、Ｙエラーが発生したと判断したデータ量子ビットを指定して、そのデータ量子ビットのＹエラーの訂正（Ｙゲートの操作）を指示する。

このようにして、Ｙエラーを含めたエラー検知を行うことで、Ｙエラーを高確率で特定することができる。すなわちエネルギー式４に第３のエネルギー項４ｃが含まれているため、Ｙエラーが発生した場合の方が、ＸエラーとＺエラーとが個別に発生した場合よりもエネルギーが低くなる。

例えば複数の第１の補助量子ビット６の初期状態は「０」であるものとする（ｂ_v＝＋１）。同様に、複数の第２の補助量子ビット７の初期状態も「０」であるものとする（ｂ_f＝＋１）。第１の状態データ２では、複数の第１の補助量子ビット６のうち、２つの第１の補助量子ビット６ａ，６ｂの状態が反転（ｂ_v＝－１）したことが示されている。第２の状態データ３では、複数の第２の補助量子ビット７のうち、２つの第２の補助量子ビット７ａ，７ｂの状態が反転（ｂ_f＝－１）したことが示されている。

このような補助量子ビットの状態を再現可能なデータ量子ビットのエラー発生パターンは、複数存在する。例えば、１つのデータ量子ビット５ａでＸエラーが発生し、２つのデータ量子ビット５ｃ，５ｄでＺエラーが発生した場合、補助量子ビットの状態は図１に示す状態となる（このエラー検知パターンを第１の検知パターンとする）。また１つのデータ量子ビット５ａでＹエラーが発生し、１つのデータ量子ビット５ｂでＺエラーが発生した場合にも、補助量子ビットの状態は図１に示す状態となる（このエラー検知パターンを第２の検知パターンとする）。

エラー検知処理では、Ｚエラーの発生個所とＸエラーの発生個所とが判断され、両方のエラーが同一のデータ量子ビットで発生した場合、そのデータ量子ビットでＹエラーが発生したと判断される。

エネルギー式４の第１のエネルギー項４ａは、反転した第１の補助量子ビット６ａ，６ｂの周囲のデータ量子ビットのＺエラー数が奇数であればエネルギーを増加させ、Ｚエラーの発生数が少ないほどエネルギーを低下させる。図１に示す第１のエラー検知パターンと第２のエラー検知パターンとでは、第１のエネルギー項４ａの値は同じとなる。

エネルギー式４の第２のエネルギー項４ｂは、反転した第２の補助量子ビット７ａ，７ｂの周囲のデータ量子ビットのＸエラー数が奇数であればエネルギーを増加させ、Ｘエラーの発生数が少ないほどエネルギーを低下させる。図１に示す第１のエラー検知パターンと第２のエラー検知パターンとでは、第２のエネルギー項４ｂの値も同じとなる。

第１のエラー検知パターンでは、第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの両方に該当した第３のデータ量子ビットが存在しない。他方、第２のエラー検知パターンでは、データ量子ビット５ａが第３のデータ量子ビットとなる。そのため、エネルギー式４の第３のエネルギー項４ｃは、第１のエラー検知パターンではエネルギーを低下させる作用はないが、第２のエラー検知パターンではエネルギーを低下させる。その結果、第１のエラー検知パターンよりも第２のエラー検知パターンの方が、エネルギーが低くなる。

最終的に、エネルギー式４に示されるエネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せとしては、第２のエラー検知パターンに決定される。そして、データ量子ビット５ａでＹエラーが発生し、データ量子ビット５ｂでＺエラーが発生したと判断される。

このようにしてＹエラーを高確率で特定することができる。しかもＹエラーの特定確率が向上することで、エラー発生個所を正しく特定できる可能性も向上する。例えばＺエラー、Ｘエラー、Ｙエラーそれぞれの発生確率が１０％程度で大きな差がない場合を想定する。このような場合、第１のエラー検知パターンのように３つのエラーが密集して発生する可能性よりも、第２のエラー検知パターンのように２つのエラーが発生する可能性の方が高い。各エラーの発生確率がさらに低くなれば、発生したエラーの総数が少ない第２のエラー検知パターンの方が正しい可能性が高くなる。

なお、第３のエネルギー項４ｃには、複数のデータ量子ビット５それぞれに対応づけて、エネルギー低下量を制御する係数を設定することができる。その場合、処理部１２は、複数のデータ量子ビット５それぞれに対応する係数の値を、対応するデータ量子ビットに隣接する第１の補助量子ビットと第２の補助量子ビットそれぞれの状態に基づいて算出する。

例えば第１の状態データ２は、複数の第１の補助量子ビット６それぞれの状態が初期状態から反転したか否かを示しているものとする。また、第２の状態データ３は、複数の第２の補助量子ビット７それぞれの状態が初期状態から反転したか否かを示しているものとする。このとき処理部１２は、次の２つの条件が満たされるか否かを判断する。１つ目の条件は、一のデータ量子ビットに隣接する第１の補助量子ビットのうちの少なくとも１つの状態が初期状態から反転していることである。２つ目の条件は、一のデータ量子ビットに隣接する第２の補助量子ビットのうちの少なくとも１つの状態が初期状態から反転していることである。処理部１２は、２つの条件が共に満たされる場合、その他の場合よりも一のデータ量子ビットに対応する係数の値を大きくする。

このように複数のデータ量子ビット５それぞれに対応する係数を決定することで、Ｙエラーが発生している可能性の高いデータ量子ビットの係数を大きくし、第３のエネルギー項４ｃによるエネルギーの減少量を大きくすることができる。その結果、Ｙエラーの発生個所を正しく特定できる可能性が向上する。

なお、処理部１２は、エネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せを、専用のハードウェアを用いて決定することもできる。例えば処理部１２は、複数のデータ量子ビット５それぞれの係数の値を示す係数データと第１の状態データ２と第２の状態データ３とをイジングマシンに送信する。そして処理部１２は、イジングマシンに、エネルギー式４に示されるエネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せを求解させる。イジングマシンは、組合せ最適化問題の解を高速に計算することができる。そのため、エネルギーをより低下させる第１のデータ量子ビットと第２のデータ量子ビットとの組合せをイジングマシンに計算させることで、高速なエラー検知が可能となる。

〔第２の実施の形態〕
第２の実施の形態は、量子計算の過程でＹエラーを含めたエラー訂正を行うことが可能なコンピュータシステムである。

図２は、システム構成の一例を示す図である。例えば量子コンピュータ２００と古典コンピュータ１００とがネットワーク２０を介して接続されている。量子コンピュータ２００は、演算装置２１０と制御装置２２０とを有する。演算装置２１０は、冷凍機に格納されたＱＰＵ（Quantum Processing Unit）により量子計算を行う装置である。制御装置２２０は、与えられた量子回路に従って演算装置２１０に量子計算を指示する装置である。

古典コンピュータ１００は、量子コンピュータ２００に量子回路に従った計算の実行を指示するコンピュータである。古典コンピュータ１００は、いわゆるノイマン型コンピュータである。例えば古典コンピュータ１００は、ユーザから指定された量子回路を量子コンピュータ２００に送信し、量子コンピュータ２００から計算結果を取得する。

なお古典コンピュータ１００は量子コンピュータ２００と連係動作することで、表面符号によるエラー訂正を実現することができる。例えば制御装置２２０は、ＱＰＵの一部を補助量子ビットとして使用し、表面符号におけるエラー検知用の補助量子ビットの状態を定期的に計測する。制御装置２２０は、計測した補助量子ビットの状態を示す情報を、古典コンピュータ１００に送信する。古典コンピュータ１００は、補助量子ビットの状態に基づいて、エラーが発生した量子ビットを検知する。古典コンピュータ１００は、エラーの発生を検知した場合、該当の量子ビットのエラー訂正を量子コンピュータ２００に指示する。

図３は、古典コンピュータのハードウェアの一例を示す図である。古典コンピュータ１００は、プロセッサ１０１によって装置全体が制御されている。プロセッサ１０１には、バス１０９を介してメモリ１０２と複数の周辺機器が接続されている。プロセッサ１０１は、マルチプロセッサであってもよい。プロセッサ１０１は、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＭＰＵ（Micro Processing Unit）、またはＤＳＰ（Digital Signal Processor）である。プロセッサ１０１がプログラムを実行することで実現する機能の少なくとも一部を、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）、ＰＬＤ（Programmable Logic Device）などの電子回路で実現してもよい。ＰＬＤには、ＦＰＧＡ（field-programmable gate array）も含まれる。

メモリ１０２は、古典コンピュータ１００の主記憶装置として使用される。メモリ１０２には、プロセッサ１０１に実行させるＯＳ（Operating System）のプログラムやアプリケーションプログラムの少なくとも一部が一時的に格納される。また、メモリ１０２には、プロセッサ１０１による処理に利用する各種データが格納される。メモリ１０２としては、例えばＲＡＭ（Random Access Memory）などの揮発性の半導体記憶装置が使用される。

バス１０９に接続されている周辺機器としては、ストレージ装置１０３、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）１０４、入力インタフェース１０５、光学ドライブ装置１０６、機器接続インタフェース１０７およびネットワークインタフェース１０８がある。

ストレージ装置１０３は、内蔵した記録媒体に対して、電気的または磁気的にデータの書き込みおよび読み出しを行う。ストレージ装置１０３は、古典コンピュータ１００の補助記憶装置として使用される。ストレージ装置１０３には、ＯＳのプログラム、アプリケーションプログラム、および各種データが格納される。なお、ストレージ装置１０３としては、例えばＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）を使用することができる。

ＧＰＵ１０４は画像処理を行う演算装置であり、グラフィックコントローラとも呼ばれる。ＧＰＵ１０４には、モニタ２１が接続されている。ＧＰＵ１０４は、プロセッサ１０１からの命令に従って、画像をモニタ２１の画面に表示させる。モニタ２１としては、有機ＥＬ（Electro Luminescence）を用いた表示装置や液晶表示装置などがある。

入力インタフェース１０５には、キーボード２２とマウス２３とが接続されている。入力インタフェース１０５は、キーボード２２やマウス２３から送られてくる信号をプロセッサ１０１に送信する。なお、マウス２３は、ポインティングデバイスの一例であり、他のポインティングデバイスを使用することもできる。他のポインティングデバイスとしては、タッチパネル、タブレット、タッチパッド、トラックボールなどがある。

光学ドライブ装置１０６は、レーザ光などを利用して、光ディスク２４に記録されたデータの読み取り、または光ディスク２４へのデータの書き込みを行う。光ディスク２４は、光の反射によって読み取り可能なようにデータが記録された可搬型の記録媒体である。光ディスク２４には、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ－ＲＡＭ、ＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ－Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）などがある。

機器接続インタフェース１０７は、古典コンピュータ１００に周辺機器を接続するための通信インタフェースである。例えば機器接続インタフェース１０７には、メモリ装置２５やメモリリーダライタ２６を接続することができる。メモリ装置２５は、機器接続インタフェース１０７との通信機能を搭載した記録媒体である。メモリリーダライタ２６は、メモリカード２７へのデータの書き込み、またはメモリカード２７からのデータの読み出しを行う装置である。メモリカード２７は、カード型の記録媒体である。

ネットワークインタフェース１０８は、ネットワーク２０に接続されている。ネットワークインタフェース１０８は、ネットワーク２０を介して、他のコンピュータまたは通信機器との間でデータの送受信を行う。ネットワークインタフェース１０８は、例えばスイッチやルータなどの有線通信装置にケーブルで接続される有線通信インタフェースである。またネットワークインタフェース１０８は、基地局やアクセスポイントなどの無線通信装置に電波によって通信接続される無線通信インタフェースであってもよい。

古典コンピュータ１００は、以上のようなハードウェアによって、第２の実施の形態の処理機能を実現することができる。なお、第１の実施の形態に示した情報処理装置１０も、図３に示した古典コンピュータ１００と同様のハードウェアにより実現することができる。

古典コンピュータ１００は、例えばコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録されたプログラムを実行することにより、第２の実施の形態の処理機能を実現する。古典コンピュータ１００に実行させる処理内容を記述したプログラムは、様々な記録媒体に記録しておくことができる。例えば、古典コンピュータ１００に実行させるプログラムをストレージ装置１０３に格納しておくことができる。プロセッサ１０１は、ストレージ装置１０３内のプログラムの少なくとも一部をメモリ１０２にロードし、プログラムを実行する。また古典コンピュータ１００に実行させるプログラムを、光ディスク２４、メモリ装置２５、メモリカード２７などの可搬型記録媒体に記録しておくこともできる。可搬型記録媒体に格納されたプログラムは、例えばプロセッサ１０１からの制御により、ストレージ装置１０３にインストールされた後、実行可能となる。またプロセッサ１０１が、可搬型記録媒体から直接プログラムを読み出して実行することもできる。

以下、表面符号を用いたエラー訂正を伴う量子計算の説明の前に、図４～図１６を参照し、量子コンピュータにおける表面符号によるエラー訂正と論理エラーの発生原因について説明する。

図４は、量子ビットを説明する図である。量子ビットとは、従来のコンピュータでの情報量の最小単位「ビット」（古典ビット）に対応する量子情報の最小単位である。量子ビットは、「０」と「１」の量子力学的な重ね合わせ状態（量子状態）を取る。量子ビットの量子状態は、数学的には以下の式（１）に示すような２次元ベクトルで表され、｜０＞，｜１＞がそれぞれ古典ビットの「０」と「１」の状態に対応する。

αとβとは複素数である。αとβとを実数φ，θ、虚数単位ｉを用いて式（２）のように書き直すと、量子ビットは図４に示すブロッホ球３１で表現される。

古典ビットでは「０」か「１」の状態だけなのに対し、量子ビットはブロッホ球３１面上の任意の状態を取ることができる。量子ゲート方式の量子コンピュータでは、量子ビットに対してゲート操作を行うことで、目的に沿った計算を進めることができる。

ゲート操作は量子状態を変更する操作であり、数学的には量子状態のベクトルに行列演算子を作用させることとして表現される。ゲート操作としては、例えば量子ビットのビット反転を行うＸゲートがある。Ｘゲートによる操作を数式で表すと以下の通りである。

また量子ビットの位相反転を行うＺゲートによる操作を数式で表すと以下の通りである。

Ｘゲート操作、Ｚゲート操作それぞれに対応する行列演算子は、パウリ演算子として知られている。パウリ演算子としては、以下の３つの行列演算子がある。

パウリ演算子の積に関しては（ＸＹ＝－ＹＸ，ＹＺ＝－ＺＹ，ＺＸ＝－ＸＺ）という性質がある。このような関係が満たされることは、反交換関係を満たすと呼ばれる。また、マイナス符号を伴わない関係（例えば恒等演算子Ｉとの関係ＸＩ＝ＩＸ）を満たすことは、交換関係を満たすと呼ばれる。パウリ演算子同士は互いに依存関係があり、「Ｙ＝ｉＸＺ」という関係が成り立つ。

ゲート操作に用いる演算子としては、他にHadamard演算子がある。Hadamard演算子は、｜０＞と｜１＞に重ね合わせ状態を作り出すゲート操作に用いられる。Hadamard演算子は、以下の式（６）で表される。

以上の行列演算子は、１量子ビットに作用する行列演算子である。２量子ビットに作用する演算子もある。
２量子ビットの状態は１量子ビット状態のテンソル積「｜ａ＞×｜ｂ＞」（×はテンソル積であり、正しくは丸の中に×の記号）と表され、通常｜ａｂ＞と書かれる。これは２×２の４次元ベクトルである。２量子ビットに作用する行列演算子としては、例えばＣＮＯＴ演算子がある。

ＣＮＯＴ演算子は、片方の量子ビット（コントロール量子ビット）が１のとき、もう片方の量子ビット（ターゲット量子ビット）をビット反転させる（｜１０＞→｜１１＞）。２量子ビットの状態が４次元ベクトルのため、対応する行列演算子は４×４次元となる。ＣＮＯＴ演算子は、以下の式で表される。

複数の量子ビットに対するゲート操作をまとめて表現するために量子回路が用いられる。量子回路では、量子ビットの状態遷移が線で表され、各ゲート操作が対応する記号で表される。

図５は、量子回路の一例を示す図である。量子回路３２の横線それぞれが量子ビットに対応する。横線の左側に量子ビットへの入力が示されている。各横線の上に、対応する量子ビットに対するゲート操作を示す記号が、時系列順に横方向（左から右）に並べられている。横線の右側のメータのような記号３２ａ，３２ｂは測定操作を示している。

量子回路３２に示されているゲート操作のうち、例えば矩形で囲まれたＸの記号３２ｃは、パウリ演算子「Ｘ」（Ｘゲート操作）を示している。矩形で囲まれたＺの記号３２ｄは、パウリ演算子「Ｚ」（Ｚゲート操作）を示している。矩形で囲まれたＨの記号３２ｅは、Hadamard演算子「Ｈ」（Hadamardゲート操作）を示している。

２量子ビットに対するゲート操作は、複数の横線を跨がって記載される。例えばＣＮＯＴ演算子Ｃ_Xに対応するゲート操作を示す記号３２ｆ，３２ｇは、中に＋を有する白丸と黒丸とを線で接続したものである。黒丸はコントロール量子ビットの横線の上に配置され、中に＋を有する白丸はターゲット量子ビットの横線上に配置される。

例えば図５に示す量子回路３２は、状態｜ψφ＞の２つの量子ビットにゲート操作「Ｃ_X(2,1)Ｚ₍₁₎Ｃ_X(1,2)Ｈ₍₂₎Ｘ₍₁₎」を行うことを示している。ゲート操作を示す式では右から左の順で作用させる行列演算子が記載される。行列演算子の右下の添字は作用させる量子ビットの番号である。

量子コンピュータでは、量子回路３２で示されるゲート操作が順番に実行される。その際、量子ビットにエラーが発生する可能性がある。正しい計算結果を得るには、エラーの発生を検出し、そのエラーを訂正できることが重要となる。

図６は、量子ビットにおけるエラー発生状況の一例を示す図である。量子ビット３３はさまざまなノイズの影響を受ける。ノイズの種類としては、環境ノイズ、量子ビット操作時のノイズ、他の量子ビットからの干渉などがある。量子ビット３３はノイズの影響で状態が意図せずに変化する可能性がある。このような意図しない状態の変化が量子ビットのエラーである。量子ビットに発生するエラーのうち、直接エラー検知が可能なエラーとして以下の２種類に分類される。
・ビット反転エラー（Ｘエラー）：｜０＞→｜１＞、｜１＞→｜０＞
・位相反転エラー（Ｚエラー）：｜＋＞→｜－＞、｜－＞→｜＋＞
ビット反転エラーは、数学的には量子状態にパウリ演算子Ｘを作用させることと同じである。同様に位相反転エラーは、量子状態にパウリ演算子Ｚを作用させることと同じである。

すなわち、量子ビットのエラーはエラーと同じパウリ演算子（Ｘ，Ｚ）を作用させることで訂正が可能である。このような操作を量子エラー訂正という。例えばＸエラーが発生した量子ビットに対するパウリ演算子Ｘによる訂正を行う場合を想定する。Ｘエラーは以下の式（８）で表され、訂正のゲート操作は式（９）で表される。

エラー発生と訂正とにより、量子状態は「｜０＞→｜１＞→｜０＞」のように変化する。このようなエラー訂正を行うには、エラーが発生した量子ビット（エラー量子ビット）とエラーの内容（ビット反転（Ｘエラー）なのか位相反転（Ｚエラー）なのか）を特定することが求められる。そこでエラー量子ビットの特定とエラー内容特定のため、量子ビットの冗長化が行われる。

図７は、量子ビットの冗長化の一例を示す図である。図７には、８量子ビットを用いた冗長化の例が示されている。量子ビットを冗長化した場合、１つの量子ビット３４で表されていた量子状態｜ψ＞が、論理量子ビット３５による論理量子状態｜ψ＞_Lで表される。論理量子ビット３５は、複数の量子ビット３５ａ～３５ｈで構成される。

ここで、論理量子ビット３５を構成する１つの量子ビット３５ｈにエラーが発生したものとする。この場合、エラー量子ビットとエラー内容との特定処理により、エラー量子ビットとエラー内容が特定される。

量子ビット３５ｈがエラー量子ビットであると正しく特定され、エラー内容も正しく特定された場合、量子ビット３５ｈにエラー訂正のゲート操作が行われる。エラー訂正により、論理量子ビット３５の状態が、エラーが発生していない場合の状態に訂正される。

図７の例では、エラー量子ビットを正しく特定できたものとしているが、エラー量子ビットの特定は簡単ではない。エラー量子ビットの特定には、論理量子ビット３５を構成する量子ビット３５ａ～３５ｈの状態に関する情報が用いられるが、量子ビットを直接測定すると量子状態が壊れて計算を続けられなくなってしまう。そのため補助量子ビットが導入され、補助量子ビットの状態を測定することで論理量子ビット３５を構成する量子ビット３５ａ～３５ｈの状態に関する情報が取得される。

図８は、補助量子ビットを用いた測定の一例を示す図である。量子ビット３６の状態を補助量子ビット３７にコピーすることはできない。そこで量子ビット３６と補助量子ビット３７とに対して２量子ビット操作が行われる。２量子ビット操作により、量子ビット３６の状態に応じて補助量子ビット３７の状態を変化させる。補助量子ビット３７の状態を測定することで、補助量子ビット３７の初期状態からの変化を検知できる。補助量子ビット３７が初期状態から変化したか否かにより、量子ビット３６の状態を知ることができる。

補助量子ビットを用いて得られる量子ビットの状態に基づいてエラー量子ビットを特定する手法として表面符号がある。表面符号は、量子エラー訂正における代表的な符号化（冗長化）の手法である。

図９は、表面符号を行うための量子ビットの構成の一例を示す図である。図９の例では、量子ビットが２次元の格子状に並べられている。データ量子ビット４０ａ～４０ｈと補助量子ビット４１ａ～４１ｄ，４２ａ～４２ｄは行方向と列方向のそれぞれにおいて交互に並べられている。補助量子ビット４１ａ～４１ｄ，４２ａ～４２ｄは、Ｘエラー検知用の補助量子ビット４１ａ～４１ｄとＺエラー検知用の補助量子ビット４２ａ～４２ｄとに分けられる。そして１列ごとにＸエラー検知用の補助量子ビット４１ａ～４１ｄとＺエラー検知用の補助量子ビット４２ａ～４２ｄとが交互に配置されている。

なお図９に示す量子ビットは、表面符号によるエラー訂正に用いる量子ビットの一部である。表面符号によるエラー訂正を行う場合、１つの論理量子ビットのエラー訂正に用いる全量子ビットを含む２次元格子の１辺の量子ビット数（データ量子ビットと補助量子ビットの合計）は奇数であり、４つの角に配置されるのはデータ量子ビットである（図１３参照）。なお１つの論理量子ビットは、対応する２次元格子内に配置されたすべてのデータ量子ビットによって構成される。

量子コンピュータ２００は、最初に論理量子状態を適切に初期化し、エラー検知の際、１つの補助量子ビットと周囲４つのデータ量子ビットとの間にゲート操作（２量子ビット操作）を行い、補助量子ビットの測定を行う。古典コンピュータ１００は、補助量子ビットの測定結果に基づいて、エラーの有無を検知できる。

図１０は、Ｘエラー検知のゲート操作の一例を示す図である。例えば補助量子ビット４１ｄを用いて、補助量子ビット４１ｄに隣接するデータ量子ビット４０ｄ，４０ｅ，４０ｈ，４０ｆのいずれかにおけるエラーを検知する場合を想定する。ここでデータ量子ビット４０ｄの識別子を「ａ」、データ量子ビット４０ｅの識別子を「ｂ」、データ量子ビット４０ｈの識別子を「ｃ」、データ量子ビット４０ｆの識別子を「ｄ」、補助量子ビット４１ｄの識別子を「ｅ」とする。

これらの量子ビットに対して、量子回路４３に示すようなゲート操作を行うことで、データ量子ビット４０ｄ，４０ｅ，４０ｈ，４０ｆのＸエラー検知が可能となる。量子回路４３には、データ量子ビット４０ｄ，４０ｅ，４０ｈ，４０ｆそれぞれをコントロール量子ビットとし、補助量子ビット４１ｄをターゲット量子ビットとするＣＮＯＴゲート操作を行うことが示されている。このようなゲート操作により、データ量子ビット４０ｄ，４０ｅ，４０ｈ，４０ｆのうちの１つでＸエラーが発生していた場合、補助量子ビット４１ｄが初期状態から変化する。図１０の例では、補助量子ビット４１ｄの初期状態は｜０＞である。そのため、補助量子ビット４１ｄのＺ基底（量子状態が｜０＞の｜１＞のどちらかという視点）での測定により｜１＞の状態が検知された場合には、データ量子ビット４０ｄ，４０ｅ，４０ｈ，４０ｆのいずれかでＸエラーが発生していると判定できる。

図１１は、Ｚエラー検知のゲート操作の一例を示す図である。例えば補助量子ビット４２ａを用いて、補助量子ビット４２ａに隣接するデータ量子ビット４０ａ，４０ｃ，４０ｄ，４０ｅのいずれかにおけるエラーを検知する場合を想定する。ここでデータ量子ビット４０ａの識別子を「ｇ」、データ量子ビット４０ｃの識別子を「ｆ」、補助量子ビット４２ａの識別子を「ｈ」とする。図１０と同様に、データ量子ビット４０ｄの識別子は「ａ」であり、データ量子ビット４０ｅの識別子は「ｂ」である。

これらの量子ビットに対して、量子回路４４に示すようなゲート操作を行うことで、データ量子ビット４０ａ，４０ｃ，４０ｄ，４０ｅのＺエラー検知が可能となる。量子回路４４には、まず補助量子ビット４２ａにHadamardゲート操作を行うことが示されている。その後、データ量子ビット４０ａ，４０ｃ，４０ｄ，４０ｅそれぞれをターゲット量子ビットとし、補助量子ビット４２ａをコントロール量子ビットとするＣＮＯＴゲート操作が行われる。さらに補助量子ビット４２ａにHadamardゲート操作が行われる。なお量子回路４４に示される状況では、Ｚエラーが発生したデータ量子ビットと補助量子ビット４２ａとの間のＣＮＯＴゲート操作では、ターゲット量子ビットの状態に応じてコントロール量子ビットである補助量子ビット４２ａの状態が変化する。

このようなゲート操作により、データ量子ビット４０ａ，４０ｃ，４０ｄ，４０ｅのうちの１つでＺエラーが発生していた場合、補助量子ビット４２ａが初期状態から変化する。図１１の例では、補助量子ビット４２ａの初期状態は｜０＞である。そのため、補助量子ビット４２ａのＺ基底での測定により｜１＞の状態が検知された場合には、データ量子ビット４０ａ，４０ｃ，４０ｄ，４０ｅのいずれかでＺエラーが発生していると判定できる。

次に、データ量子ビットの初期化について説明する。論理量子状態｜ψ＞_Lを任意に決めると、図１０または図１１に示したエラー検知のためのゲート操作によって、エラーがない場合にもデータ量子ビットと補助量子ビットの状態が変化してしまう。それを回避するため、論理量子状態｜ψ＞_Lは、スタビライザ演算子の固有状態（固有値は＋１もしくは－１）になるように初期化される。スタビライザ演算子は、補助量子ビットの周囲４つのデータ量子ビットに作用するＺ演算子またはＸ演算子の積である。

例えば図１０に示すＸエラー検知用のスタビライザ演算子は「Ｚ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)｜ψ＞_L＝±｜ψ＞_L」となる。ｉはＸエラー検知用の補助量子ビットのインデックスである。ｉの右の数字は、補助量子ビットの周囲のデータ量子ビットを区別する数字である。例えば補助量子ビットを基準として、上のデータ量子ビットが「１」、左のデータ量子ビットが「２」、下のデータ量子ビットが「３」、右のデータ量子ビットが「４」となる。例えばＺ_(i1)は、ｉ番目の補助量子ビットの上のデータ量子ビットに作用するＺ演算子を示している。

また図１１に示すＺエラー検知用のスタビライザ演算子は「Ｘ_(j1)Ｘ_(j2)Ｘ_(j3)Ｘ_(j4)｜ψ＞_L＝±｜ψ＞_L」となる。ｊはＺエラー検知用の補助量子ビットのインデックスである。ｊの右の数字は、補助量子ビットの周囲のデータ量子ビットを区別する数字である。

このように論理量子状態｜ψ＞_Lの初期化により、補助量子ビットを測定しても量子ビットの状態は影響を受けない。
次に表面符号によるエラー検知方法について説明する。表面符号において、１つのデータ量子ビットにＸエラーが起こった場合、状態｜ψ＞_Lはスタビライザ演算子の固有値が異なる固有状態｜ψ’＞_Lに変化する。

図１２は、Ｘエラー検知の一例を示す図である。例えば｜ψ＞_Lが固有値＋１の場合、ｉ番目の補助量子ビットの周囲のデータ量子ビットの１つでＸエラーが発生すると「｜ψ’＞_L＝Ｘ_(i1)｜ψ＞_L」となる。図１２の例では、データ量子ビット４０ｄにエラーが発生しているものとする。

このときエラーが発生したデータ量子ビット４０ｄに、補助量子ビット４１ｄ周囲のＺスタビライザ演算子を作用させると「Ｚ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)｜ψ’＞_L」と表される。この式は「｜ψ’＞_L＝Ｘ_(i1)｜ψ＞_L」の関係を用いて以下のように変形できる。

Ｚ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)｜ψ’＞_L＝Ｚ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)Ｘ_(i1)｜ψ＞_L＝Ｚ_(i1)Ｘ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)｜ψ＞_L
Ｘ演算子とＺ演算子は反交換関係（ＺＸ＝－ＸＺ）を満たすので、さらに以下のように変形できる。

Ｚ_(i1)Ｘ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)｜ψ＞_L＝－Ｘ_(i1)Ｚ_(i1)Ｚ_(i2)Ｚ_(i3)Ｚ_(i4)｜ψ＞_L＝－Ｘ_(i1)｜ψ＞_L＝－｜ψ’＞_L
「－｜ψ’＞_L」は、固有値が「－１」に変化していることを示している。この固有値の変化は、量子回路４３を用いることで、補助量子ビット４１ｄのビット反転として検知できる。

このように補助量子ビットを測定することで、その周囲のデータ量子ビットの１つにおけるエラーの発生が検知できることが説明できる。ただし、１つの補助量子ビットだけでは、その周囲のデータ量子ビットのどれでエラーが発生したのかが分からない。そこで複数の補助量子ビットのうちエラーを検出した２以上の補助量子ビットの位置関係に基づいて、エラーが発生したデータ量子ビットが特定される。

図１３は、エラー個所特定の一例を示す図である。図１３ではＺエラーのエラー個所の特定例を示しているがＸエラーに関しても同様のエラー個所を特定可能である。図１３では、補助量子ビットのうち、Ｘエラー検知用の補助量子ビットが省略されている（図１４～図１６においても同様）。

ここで、データ量子ビット５１においてＺエラーが発生したものとする。エラー検知処理では、すべての補助量子ビットについて、図１１に示した量子回路４４と同様のゲート操作によりエラー検知が行われ、状態が測定される。図１３では、測定対象の補助量子ビットと、その補助量子ビットによるエラー検知対象のデータ量子ビットとを円で囲んでいる。

エラーが発生したデータ量子ビット５１は、２つの補助量子ビット５２，５３それぞれと同じ円内にある。この場合、補助量子ビット５２，５３は、測定によって状態が反転したことが検知される。補助量子ビット５２，５３の状態が反転したことで、それらに挟まれた位置にあるデータ量子ビット５１が、エラー発生個所として特定される。そこでデータ量子ビット５１に対してエラー訂正の操作（Ｚゲート操作）が行われる。

エラー個所の特定は、補助量子ビットの状態の測定結果に基づいて、古典コンピュータ１００を用いて実行することができる。図１３に示したように、エラー個所が１個所だけであれば、古典コンピュータ１００は、エラー個所を一意に特定可能である。しかし、エラー量子ビットの数が多い場合、古典コンピュータ１００によるエラー個所の特定処理は非常に複雑になる。表面符号によるエラー個所の特定方法の１つとして、エラー個所特定問題を、イジングモデルのエネルギー最小化問題として解く方法がある。

図１４は、イジングモデルを用いたエラー個所特定方法の一例を示す図である。図１４の例では、イジングモデルによりＺエラーを検知する場合を想定している。例えばエラー発生パターン６０に示すように、２つのデータ量子ビット６０ａ，６０ｂにおいてＺエラーが発生したものとする。この場合、Ｚエラー検知のためのゲート操作を行い補助量子ビットの状態を測定すると、データ量子ビット６０ａ，６０ｂの周囲のＺエラー検知用の補助量子ビット６０ｃ～６０ｆについて、反転した状態が検知される。

補助量子ビットの測定結果を受信した古典コンピュータ１００は、データ量子ビットをイジングモデルにおけるスピンに置き換える。また補助量子ビットを格子点として、補助量子ビットの測定データを、その格子点に設定する。例えばｖ番目（ｖは自然数）の補助量子ビットの状態が反転していなければ、その補助量子ビットに対応する格子点の測定データｂ_vは「＋１」となる。またｖ番目の補助量子ビットの状態が反転していれば、その補助量子ビットに対応する格子点の測定データｂ_vは「－１」となる。

このときＺエラー検知用のイジングモデルのエネルギー（ハミルトニアン）は、以下の式（１０）で表される。

ここで、Ｊとｈは定数（正の実数）である。Ｎ_vは、格子点の数である。Ｅ_vは、ｖ番目の格子点に隣接するスピンσ_iのインデックスの集合である。Ｎ_dは、スピンの数である。スピンσ_iは、非反転（上向きの矢印）であれば、値は「＋１」である。またスピンσ_iは、反転（下向き矢印）であれば、値は「－１」である。古典コンピュータ１００は、式（１０）で与えられるエネルギーが最小となるスピンの向きを決定する。古典コンピュータ１００は、エネルギーが最小となったときに反転しているスピンに対応するデータ量子ビット６０ａ，６０ｂを、エラー個所として特定する。

式（１０）の右辺の第１項は、ｖ番目の格子点の測定データｂ_vが「＋１」の場合、その周囲のスピンのうちの反転したスピン（σ_i＝－１）の数が偶数であれば、全体のエネルギーを低下させるように作用する。また右辺の第１項は、ｖ番目の格子点の測定データｂ_vが「－１」の場合、その周囲のスピンのうちの反転したスピン（σ_i＝－１）の数が奇数であれば、全体のエネルギーを増加させるように作用する。

式（１０）の右辺の第２項は、反転したスピンの数が少ないほど全体のエネルギーを低下させるように作用する。第２項があることで、例えばエラーが発生していないにも拘わらず、すべてのスピンが反転した状態でエネルギー最小値となることが抑止される。

図１４に示したエラー発生パターン６０は、エラー個所を一意に特定できる場合の例である。しかし、エラー発生個所が近接する場合、エラーを一意に特定できない可能性がある。

図１５は、エラー発生個所を一意に特定できない場合の一例を示す図である。図１５に示すエラー発生パターン６１では、２個所のデータ量子ビット６１ａ，６１ｂでエラーが発生している。これらのデータ量子ビット６１ａ，６１ｂは行方向に１行ずれており、列方向にも１行ずれている。この場合、エラー検知により、データ量子ビット６１ａの上に隣接する補助量子ビット６１ｃの状態が反転するとともに、データ量子ビット６１ｂの右に隣接する補助量子ビット６１ｄの状態が反転する。

補助量子ビット６１ｃ，６１ｄが反転し、その他の補助量子ビットが反転しないようなエラーの発生パターンは、データ量子ビット６１ａ，６１ｂでエラーが発生した場合（正しいエラー検知例）以外にもある。例えばデータ量子ビット６１ｅ，６１ｆでエラーが発生した場合である。そのためデータ量子ビット６１ｅ，６１ｆでエラーが発生したと検知してしまう可能性がある（誤ったエラー検知例）。

このように補助量子ビットの状態を再現可能なエラー発生パターンが複数存在する場合、補助量子ビットの測定データから、いずれのエラー発生パターンなのかを特定することはできない。そのため誤ったエラー検知例に示すようなエラー個所の特定が行われる可能性がある。また、誤ったエラー個所の特定に基づいてエラー訂正が行われると、補助量子ビットの測定では検知できないエラー（論理エラー）が引き起こされる場合がある。

図１６は、誤訂正による論理エラーの一例を示す図である。図１６に示すエラー発生パターン６２は、一辺のデータ量子ビットが６個の系で、３個のエラーが１つおきに発生した場合である。例えば同じ行上のデータ量子ビット６２ａ～６２ｃでＺエラーが発生している。この場合、同じ行上でデータ量子ビット６２ａ～６２ｃのいずれかに隣接する補助量子ビット６２ｄ～６２ｈの状態が反転する。

この場合は以下の補助量子ビットの測定データを再現できるエラー検知パターンは２通りある。１つは、データ量子ビット６２ａ～６２ｃを正しくエラー量子ビットとして検知するエラー検知パターンである。この場合、データ量子ビットとして検知されたデータ量子ビット６２ａ～６２ｃに対するエラー訂正操作を行うことで、発生したエラーは正しく訂正することができる。

もう１つのエラー検知パターンは、エラーが発生したデータ量子ビット６２ａ～６２ｃとは別のデータ量子ビット６２ｉ～６２ｋがエラー量子ビットとして検知するパターンである。データ量子ビット６２ｉ～６２ｋがエラー量子ビットとして検知された場合、データ量子ビット６２ｉ～６２ｋに対してエラー訂正操作が行われる。その結果、エラー量子ビットもしくは誤訂正によって反転したデータ量子ビットの並びが、一方の境界から反対側の境界までつながった状態になる。このような状態は論理エラーと呼ばれる。論理エラーが発生した状態では、論理量子状態｜ψ＞_Lが変化している。そのため、このまま計算を進めても正しい結果が得られない。

このようにＺエラーだけでも、正しくエラー個所を検知できない場合がある。Ｘエラーについても同様である。そしてＹエラーについても訂正することを想定すると、正しいエラー検知がさらに複雑となる。

図１７は、Ｙエラーを含むエラー検知の一例を示す図である。表面符号ではＸエラーとＺエラーを補助量子ビットのビット反転に基づいて検知するが、量子コンピュータ２００では、Ｙエラー（数学的にはパウリ演算子Ｙの作用）も起こり得る。パウリ演算子Ｙはパウリ演算子Ｘ，ＺとＹ＝ｉＸＺ（ｉは虚数単位）という関係にある。表面符号では、Ｙエラー検知用のスタビライザ演算子が存在しない。そのため、Ｙエラーの検知は、Ｚエラーの検知とＸエラーの検知とを組み合わせて行われることとなる。すなわちＹエラーが発生したデータ量子ビットではＸエラーとＺエラーが同時に起こったとみなし、ＸエラーとＺエラーが同時に発生したデータ量子ビットがＹエラーの発生個所として特定される。

図１７に示すエラー発生パターン６３では、データ量子ビット６３ａにＹエラーが発生しており、データ量子ビット６３ｂにＺエラーが発生している。データ量子ビット６３ａとデータ量子ビット６３ｂとの位置は、行方向に１行だけずれており、列方向にも１列だけずれている。この場合、Ｚエラー検知用のゲート操作により、データ量子ビット６３ｂに隣接するＺエラー検知用の補助量子ビット６３ｃとデータ量子ビット６３ａに隣接するＺエラー検知用の補助量子ビット６３ｄとの状態が反転する。なお補助量子ビット６３ｇは、エラーが発生したデータ量子ビット６３ａ，６３ｂの両方に隣接するため、状態は反転しない。またＸエラー検知用のゲート操作により、データ量子ビット６３ａに隣接するＸエラー検知用の補助量子ビット６３ｅ，６３ｆの状態が反転する。

ここで、古典コンピュータ１００では、Ｚエラー検知用の補助量子ビット６３ｃ，６３ｄの状態に基づいて、データ量子ビット６３ａ，６３ｂでのＺエラーの発生を検知したものとする。また古典コンピュータ１００では、Ｘエラー検知用の補助量子ビット６３ｅ，６３ｆの状態に基づいて、データ量子ビット６３ａでのＸエラーの発生を検知することができる。この場合、データ量子ビット６３ａにおいて、ＺエラーとＸエラーとの両方が検知されているため、古典コンピュータ１００は、データ量子ビット６３ａで発生したエラーがＹエラーであると判定することができる。

このようにＺエラー検知とＸエラー検知との組合せにより、Ｙエラーを検知することが可能である。そしてＹエラーを含めたエラー検知についても、イジングモデルを用いたエネルギー最小化問題として解くことができる。

図１８は、Ｚエラー検知とＸエラー検知とが可能なイジングモデルの一例を示す図である。例えばＺエラー検知用の補助量子ビットそれぞれに対応付けて、Ｚエラー検知用のスタビライザ演算子（ｖ－ｔｈ Ｚスタビライザ演算子７１）が定義される。このスタビライザ演算子の固有値の測定データｂ_vは、＋１もしくは－１である。またＸエラー検知用の補助量子ビットそれぞれに対応付けて、Ｘエラー検知用のスタビライザ演算子（ｆ－ｔｈ Ｘスタビライザ演算子７２）が定義される。このスタビライザ演算子の固有値の測定データｂ_fは、＋１もしくは－１である。

このようなスタビライザ演算子を用いたエラー検知を行うために、データ量子ビットごとに、Ｚエラー特定用のスピン変数σ_iとＸエラー特定用のスピン変数σ’_iとが用意される。この場合のイジングモデルのエネルギーは、例えば以下の式で与えることができる。

スピン変数σ_i，σ’_iの初期状態は「＋１」である。Ｎ_vは、Ｚエラー検知用の補助量子ビットに対応する格子点の数である。Ｅ_vは、Ｚエラー検知用の補助量子ビットに対応するｖ番目の格子点に隣接するスピン変数σ_iのインデックスの集合である。Ｎ_fは、Ｘエラー検知用の補助量子ビットに対応する格子点の数である。Ｅ_fは、Ｘエラー検知用の補助量子ビットに対応するｆ番目の格子点に隣接するスピン変数σ’_iのインデックスの集合である。Ｎ_dは、スピン変数σ_iの数である（スピン変数σ’_iの数も同数）。スピン変数σ_i，σ’_iの初期状態は「＋１」である。

式（１１）の右辺の第１項と第２項がＺエラー個所特定用のエネルギー計算部分である。また式（１１）の右辺の第３項と第４項がＸエラー個所特定用のエネルギー計算部分である。このように式（１１）では、Ｚエラー個所特定用のエネルギー計算部分とＸエラー個所特定用のエネルギー計算部分とが分離されている。すなわち、Ｚエラーの個所とＸエラーの個所とに関する相関を考慮されていない。そのため式（１１）のようにＸエラーとＺエラーで別々に特定した際に、元のＹエラーが検知できない場合がある。

図１９は、Ｙエラー検知失敗の一例を示す図である。例えば図１７の場合と同様のエラー発生パターン６３を想定する。この場合、データ量子ビット６３ａにおいてＸエラーが検知され、２つのデータ量子ビット６３ｈ，６３ｉでＺエラーが検知される可能性がある。この例では、本来は２個所で発生したエラーであるにも拘わらず、３個のデータ量子ビットをエラー発生個所として特定していることとなる。

図１９に示すような誤ったエラー検知を行った場合でも、図１７に示すように発生したエラーを正しく検知した場合と式（１１）で示されるエネルギーは同じとなる。そのため、式（１１）でエネルギー計算を行うと、正しくエラー検知ができる場合と誤ったエラー検知となる場合とは等確率で起こり得る。

発生したＹエラーが正しく特定できないことは、論理エラーの発生原因となる。
図２０は、Ｙエラーが検知できないことにより発生する論理エラーの一例を示す図である。図２０のエラー発生パターン６４では、Ｙエラーが発生したデータ量子ビット６４ａとＺエラーが発生したデータ量子ビット６４ｂとが同じ行に存在する。エラーが発生したデータ量子ビット６４ａ，６４ｂは、２列だけ離れている。この場合、Ｚエラー検知用の補助量子ビット６４ｃとＸエラー検知用の補助量子ビット６４ｄ，６４ｅとの状態が反転する。

このような場合において式（１１）を用いてエラー個所を特定すると、データ量子ビット６４ａでのＸエラー、データ量子ビット６４ｆ，６４ｇでのＺエラーを検知する可能性がある。このような検知結果に基づいてエラー訂正が行われると、Ｚエラーに関して論理エラーが発生する。すなわち、Ｙエラーを正しく特定できないことにより、論理エラーの発生確率が増加する。

そこで古典コンピュータ１００は、エネルギーの式（１１）に対して、同じデータ量子ビットに対応するスピン変数σ_i，σ’_iの向きが揃いやすくなるような項を追加した式（１２）を用いてデータ個所が特定される。

Ｊ’_iは、データ量子ビットごとに第５項の重みを示す係数（正の実数）である。式（１２）の右辺の第１項～第４項は、式（１１）と同じである。第５項が、同じデータ量子ビットに対応するスピン変数σ_i，σ’_iの向きを揃えるための項である。第５項は、同じデータ量子ビットに対応するスピン変数σ_i，σ’_iの値が同じであるほど、エネルギーを低下させるように作用する。

図２１は、Ｙエラーを正しく特定するエラー個所特定の一例を示す図である。例えば図１７、図１９と同様のエラー発生パターン６３のエラーが発生したものとする。その場合において、例えばデータ量子ビット６３ａがＸエラーの発生個所として特定されたものとする。この場合、データ量子ビット６３ａに対応するＸエラー検知用のスピン変数σ’_iの値は「－１」となる。

ここで、別のデータ量子ビット６３ｉをＺエラーの発生個所として特定した場合と、同じデータ量子ビット６３ａをＺエラーの発生個所として特定した場合との式（１２）のエネルギーを比較する。

Ｚエラーの発生個所がデータ量子ビット６３ａであってもデータ量子ビット６３ｉであっても、式（１２）の右辺の第１項～第４項の値は同じである。そこで、相違する第５項の値の変化量をΔＨとする。

Ｚエラーの発生個所をデータ量子ビット６３ｉとした場合は、データ量子ビット６３ａに対応するＺエラー検知用のスピン変数σ_iの値は「＋１」のままとなる。そのためデータ量子ビット６３ａに対応する２つのスピン変数σ_iσ’_iそれぞれの値は相違する。すると右辺の第５項の値の変化量は「ΔＨ＝－Ｊ’_iσ_iσ’_i＝Ｊ’_i＞０」となる。

Ｚエラーの発生個所をデータ量子ビット６３ａとした場合は、データ量子ビット６３ａに対応するＺエラー検知用のスピン変数σ_iの値は「－１」となる。するとデータ量子ビット６３ａに対応する２つのスピン変数σ_i，σ’_iそれぞれの値は一致する。そのため右辺の第５項の値の変化量は「ΔＨ＝－Ｊ’_iσ_iσ’_i＝－Ｊ’_i＜０」となる。

このように、式（１２）であれば、ＺエラーとＸエラーとの発生個所を同じデータ量子ビットに特定した方が、別のデータ量子ビットに特定する場合よりもエネルギーが低下する。その結果、Ｙエラーの検出確率が向上する。

次に係数Ｊ’_iの値の決め方について説明する。例えば古典コンピュータ１００は、Ｙエラーが孤立して起こっている場合に、より係数Ｊ’_iの値が大きくなるようにする。
図２２は、係数Ｊ’_iの値の決め方の一例を示す図である。例えば古典コンピュータ１００は、ｉ番目のデータ量子ビットに隣接した補助量子ビットの測定の結果、Ｚエラー検知用の補助量子ビットとＸエラー検知用の補助量子ビットとの両方が反転していれば、「Ｊ’_i＝Ｊ’_a＋Ｊ’_b」とする。また古典コンピュータ１００は、ｉ番目のデータ量子ビットに隣接した補助量子ビットの測定の結果、Ｚエラー検知用の補助量子ビットとＸエラー検知用の補助量子ビットとの一方でしか反転していなければ、「Ｊ’_i＝Ｊ’_a」とする。なおＪ’_aとＪ’_bとは、定数パラメータ（正の実数）である。

図２２に示したエラー発生パターン６５では、２つのデータ量子ビット６５ａ，６５ｂでＹエラーが発生し、１つのデータ量子ビット６５ｃでＺエラーが発生している。このエラー発生パターン６５では、Ｘエラー検知用の補助量子ビット６５ｄ～６５ｇとＺエラー検知用の補助量子ビット６５ｈ～６５ｊとの状態が反転している。

Ｙエラーが発生したデータ量子ビット６５ａに隣接している補助量子ビットについては、Ｘエラー検知用の補助量子ビットとＺエラー検知用の補助量子ビットとの両方が反転している。従ってデータ量子ビット６５ａがｉ番目のデータ量子ビットとなった場合の係数は「Ｊ’_i＝Ｊ’_a＋Ｊ’_b」となる。

Ｙエラーが発生したデータ量子ビット６５ｂに隣接している補助量子ビットについては、Ｘエラー検知用の補助量子ビットは反転しているが、Ｚエラー検知用の補助量子ビットは反転していない。従ってデータ量子ビット６５ｂがｉ番目のデータ量子ビットとなった場合の係数は「Ｊ’_i＝Ｊ’_a」となる。

このようにして、Ｙエラーが発生している可能性の高いデータ量子ビットについての係数Ｊ’_iの値が、高く設定される。その結果、Ｙエラーを適切に検知することが可能となる。

図２３は、エラー検知を伴う量子計算を指示するための古典コンピュータの機能の一例を示す図である。古典コンピュータ１００は、記憶部１１０、量子計算指示部１２０、エラー個所特定部１３０、およびエラー訂正指示部１４０を有する。

記憶部１１０は、量子コンピュータ２００に計算させる量子回路１１１を記憶する。
量子計算指示部１２０は、量子回路１１１の計算要求を量子コンピュータ２００に指示する。そして量子計算指示部１２０は、量子回路の計算結果を量子コンピュータ２００から取得する。また量子計算指示部１２０は、量子コンピュータ２００から補助量子ビットの状態の測定結果を受信すると、受信した測定結果をエラー個所特定部１３０に転送する。

エラー個所特定部１３０は、補助量子ビットの状態の測定結果に基づいて、Ｘエラー、Ｚエラー、またはＹエラーが発生したデータ量子ビットを特定する。例えばエラー個所特定部１３０は、式（１２）に示したイジングモデルのエネルギー式を最小化するスピン状態を求め、スピン状態が反転したスピンに対応するデータ量子ビットに基づいて、エラー発生個所を特定する。エラー個所特定部１３０は、エラーの発生個所の特定結果をエラー訂正指示部１４０に送信する。

エラー訂正指示部１４０は、発生したエラーを訂正するゲート操作を量子コンピュータ２００に指示する。例えばエラー訂正指示部１４０は、Ｘエラーが発生したデータ量子ビットに対するＸゲートの操作を指示する。またエラー訂正指示部１４０は、Ｚエラーが発生したデータ量子ビットに対するＺゲート操作を指示する。さらにエラー訂正指示部１４０は、Ｙエラーが発生したデータ量子ビットに対するＹゲート操作を指示する。

なお、図２３に示した各要素の機能は、例えば、その要素に対応するプログラムモジュールをコンピュータに実行させることで実現することができる。
量子コンピュータ２００では、量子回路１１１に従った量子計算が実行される。量子コンピュータ２００は、量子計算の途中で、定期的に、ＺエラーおよびＸエラー検知用のゲート操作を行い、補助量子ビットの状態を測定する。量子コンピュータ２００は、補助量子ビットの測定結果を古典コンピュータ１００に送信する。

図２４は、量子計算の手順を示すシーケンス図である。古典コンピュータ１００は、量子回路１１１の計算要求を量子コンピュータ２００の制御装置２２０に送信する（ステップＳ１１）。制御装置２２０は、量子回路１１１に従って量子演算命令を演算装置２１０に送信する（ステップＳ１２）。演算装置２１０は、量子演算命令に従って量子ビットに対するゲート操作を行うことで量子演算を実行する（ステップＳ１３）。その後、所定のタイミングで、古典コンピュータ１００と量子コンピュータ２００とが連係して量子エラー訂正処理を実行する（ステップＳ１４）。

以後、制御装置２２０による量子演算命令（ステップＳ１５）、演算装置２１０による量子演算（ステップＳ１６）が行われ、前回のエラー訂正処理から所定の期間ΔＴが経過すると、量子エラー訂正処理（ステップＳ１７）が行われる。その後も同様に、制御装置２２０による量子演算命令（ステップＳ１８）、演算装置２１０による量子演算（ステップＳ１９）が行われ、前回のエラー訂正処理から所定の期間ΔＴが経過すると、量子エラー訂正処理（ステップＳ２０）が行われる。

このような量子演算と量子エラー訂正処理が繰り返され、量子回路１１１の計算が最後まで達すると、演算装置２１０がデータ量子ビットの状態を測定する（ステップＳ２１）。そして演算装置２１０は、データ量子ビットの測定結果を制御装置２２０に送信する（ステップＳ２２）。制御装置２２０は、測定結果を示す情報を、量子演算結果として古典コンピュータ１００に送信する（ステップＳ２３）。

このように、量子計算の途中で、定期的に量子エラー訂正処理が実行される。量子エラー訂正処理では、イジングモデルを用いてＸエラー、Ｚエラー、Ｙエラーの発生個所が特定され、発生したエラーが訂正される。

図２５は、量子エラー訂正処理の手順の一例を示すシーケンス図である。量子コンピュータ２００の制御装置２２０は、スタビライザ固有値の測定命令を、演算装置２１０に送信する（ステップＳ３１）。演算装置２１０は、Ｘエラー検知およびＺエラー検知用の２量子ビットゲート操作を行い、補助量子ビットの状態を測定する（ステップＳ３２）。演算装置２１０は、測定した補助量子ビットの状態を示す測定データを制御装置２２０に送信する（ステップＳ３３）。制御装置２２０は、演算装置２１０から取得した測定データを古典コンピュータ１００に送信する（ステップＳ３４）。

古典コンピュータ１００は、測定データに基づいてエラー個所を特定する（ステップＳ３５）。古典コンピュータ１００は、特定したエラー個所を示すエラー個所データを制御装置２２０に送信する（ステップＳ３６）。

制御装置２２０は、エラー個所データにおいてエラーが発生したとされているデータ量子ビットのエラー訂正命令を演算装置２１０に送信する（ステップＳ３７）。演算装置２１０は、エラー訂正命令に従ってエラー訂正を行う（ステップＳ３８）。

次に、表面符号によるエラー個所特定処理について詳細に説明する。
図２６は、エラー個所特定処理の手順の一例を示すフローチャートである。以下、図２６に示す処理をステップ番号に沿って説明する。

［ステップＳ１０１］エラー個所特定部１３０は、スピン変数データσ_i，σ’_i，（ｉ＝１，・・・，Ｎ_data）の値を「＋１」に初期化する。Ｎ_dataは、データ量子ビットの数である。

［ステップＳ１０２］エラー個所特定部１３０は、補助量子ビットの測定データｂ_v，ｂ_f（ｖ＝１，・・・，Ｎ_Z，ｆ＝１，・・・，Ｎ_X）の値、およびＪ’_aとＪ’_bとの値を設定する。Ｎ_Xは、Ｘエラー検知用の補助量子ビットの数である。Ｎ_Zは、Ｚエラー検知用の補助量子ビットの数である。

［ステップＳ１０３］エラー個所特定部１３０は、ｉを１から１ずつカウントアップし、Ｎ_dataとなるまで、ステップＳ１０４～Ｓ１０７の処理を繰り返す。ステップＳ１０４～Ｓ１０７の処理は、データ量子ビットごとの係数Ｊ’_iの決定処理である。ｉ番目のデータ量子ビットの係数Ｊ’_iは、そのデータ量子ビットの周囲の補助量子ビットの測定データに基づいて決定される。

図２７は、データ量子ビットの周囲の補助量子ビットの配置の一例を示す図である。例えば図２７に示すデータ量子ビット８１がｉ番目のデータ量子ビットであるものとする。この場合、データ量子ビット８１の左右に配置されている補助量子ビット８２，８３が、周囲のＺエラー検知用の補助量子ビットである。またデータ量子ビット８１の上下に配置されている補助量子ビット８４，８５が、周囲のＸエラー検知用の補助量子ビットである。

以下、図２６の説明に戻る。
［ステップＳ１０４］エラー個所特定部１３０は、ｉ番目のデータ量子ビットの周囲のＺエラー検知用の補助量子ビットの測定データｂ_vのうちのいずれかの値が「－１」か否かを判断する。エラー個所特定部１３０は、周囲の補助量子ビットのうちの少なくとも１つにおいて、測定データｂ_Vの値が「－１」の場合、処理をステップＳ１０５に進める。またエラー個所特定部１３０は、周囲の補助量子ビットのすべてについて、測定データｂ_vの値が「１」の場合、処理をステップＳ１０６に進める。

［ステップＳ１０５］エラー個所特定部１３０は、ｉ番目のデータ量子ビットの周囲のＸエラー検知用の補助量子ビットの測定データｂ_fのうちのいずれかの値が「－１」か否かを判断する。エラー個所特定部１３０は、周囲の補助量子ビットのうちの少なくとも１つにおいて、測定データｂ_fの値が「－１」の場合、処理をステップＳ１０７に進める。またエラー個所特定部１３０は、周囲の補助量子ビットのすべてについて、測定データｂ_fの値が「１」の場合、処理をステップＳ１０６に進める。

［ステップＳ１０６］エラー個所特定部１３０は、係数データＪ’_iの値を「Ｊ’_i＝Ｊ’_a」に決定する。その後、エラー個所特定部１３０は処理をステップＳ１０８に進める。

［ステップＳ１０７］エラー個所特定部１３０は、係数データＪ’_iの値を「Ｊ’_i＝Ｊ’_a＋Ｊ’_b」に決定する。
［ステップＳ１０８］エラー個所特定部１３０は、ｉ＝Ｎ_dataまでステップＳ１０４～Ｓ１０７の処理が完了した場合、処理をステップＳ１０９に進める。

ステップＳ１０３～Ｓ１０８の処理により、データ量子ビットごとの係数Ｊ’_iの値を示す係数データが生成される。
［ステップＳ１０９］エラー個所特定部１３０は、式（１２）で表されるイジングモデルのエネルギーを最小化するスピン変数σ_i，σ’_iの値を求める。例えばエラー個所特定部１３０は、組合せ最適化問題の解探索手法を用いて、エネルギーを最小化するスピン変数σ_i，σ’_iの値を求めることができる。

［ステップＳ１１０］エラー個所特定部１３０は、値が「－１」となったスピン変数σ_i，σ’_iに対応するデータ量子ビットを、エラー個所として特定する。またエラー個所特定部１３０は、エラー個所となったデータ量子ビットに発生したエラーの種別（Ｘエラー、Ｚエラー、またはＹエラー）についても特定する。すなわち、ステップＳ１０９～Ｓ１１０の処理は、エラー種別ごとのエラー個所特定処理である。

例えばエラー個所特定部１３０は、ｉ番目のデータ量子ビットのスピン変数σ’_iの値が「－１」であり、スピン変数σ_iの値が「＋１」の場合、そのデータ量子ビットがＺエラーの発生個所であると特定する。またエラー個所特定部１３０は、ｉ番目のデータ量子ビットのスピン変数σ_iの値が「＋１」であり、スピン変数σ’_iの値が「－１」の場合、そのデータ量子ビットがＸエラーの発生個所であると特定する。さらにエラー個所特定部１３０は、ｉ番目のデータ量子ビットのスピン変数σ_iの値が「－１」であり、スピン変数σ’_iの値も「－１」の場合、そのデータ量子ビットがＹエラーの発生個所であると特定する。

このようにしてＺエラー、Ｘエラー、およびＹエラーの発生個所を特定することができる。エラー個所は、式（１２）に示したイジングモデルのエネルギーの最小化問題を求解することで特定できる。このエネルギー式には、ｉ番目のデータ量子ビットのスピン変数σ_iとスピン変数σ’_iとの値が同じであるほどエネルギーを低下させる項（右辺の第５項）が含まれている。その結果、Ｙエラーの特定率を向上させることができる。また発生したエラーを正しく修正できることにより、論理エラーの発生確率を低下させることができる。

以下、Ｙエラー特定率の向上効果と論理エラー発生率の低減効果とについて詳細に説明する。エラー訂正において、ＺエラーとＸエラーとの位置関係を考慮に入れた場合（式（１２）を適用）と考慮に入れない場合（式（１１）を適用）とのＹエラー特定率と論理エラー確率との計算結果を、図２８と図２９とに示す。

なおＹエラー特定率は、「特定したＹエラーの個数／実際のＹエラーの個数」である。実際のＹエラーの個数を明確にするため、古典コンピュータ１００を使ったシミュレーションでエラー発生および補助量子ビットの状態データ作成を行った結果を用いて、エラー個所特定処理を行うものとする。論理エラー確率は、「論理エラーが起こった回数／試行回数」である。

以下の例は、１つの論理量子ビットのための２次元量子ビット配列の一辺のデータ量子ビット数「ｄ＝６」として、表面符号によるエラー訂正のシミュレーションを行うことで、上記評価値（Ｙエラー特定率と論理エラー確率）を算出したものである。エネルギーの最小化には、シミュレーテッドアニーリング（ＳＡ：Simulated Annealing）が用いられている。またＪ’_aとＪ’_bとの値を変えながら、Ｊ’_aとＪ’_bとの値に応じた評価値を計算している。Ｊ’_aとＪ’_bとの１つの組合せに対して、１０００パターンの物理エラーを発生させ評価値を計算している。物理エラーの発生確率ｐは「ｐ＝１０％」である。

図２８は、Ｙエラー特定率の計算結果を示す図である。Ｙエラー特定率表９１では、Ｊ’_aの値が行のラベルに設定され、Ｊ’_bの値が列のラベルに設定されている。Ｊ’_aは、上の行ほど小さい値であり、下の行ほど大きい値である。Ｊ’_bは、左の列ほど小さい値であり、右の列ほど大きい値である。Ｙエラー特定率表９１の各行と各列との交差する位置に、該当行のＪ’_aの値と該当列のＪ’_bの値とを設定してエラー訂正を行った場合のＹエラー特定率が設定されている。なおＹエラー特定率表９１では、Ｙエラー特定率を百分率（パーセント）で示している。

Ｙエラー特定率表９１の第１行のＪ’_aの値は「０．０」であり、第１列のＪ’_bの値も「０．０」である。Ｊ’_aとＪ’_bとが共に「０」の場合、エネルギーの式（１２）における第５項の値が常に「０」となる。そのためＹエラー特定率表９１の第１行、第１列に設定されている値は、ＺエラーとＸエラーとの位置関係を考慮に入れない場合（式（１１）を適用）のＹエラー特定率に相当する。図２８の例では、ＺエラーとＸエラーとの位置関係を考慮に入れない場合のＹエラー特定率は「１９．４％」である。

Ｊ’_aとＪ’_bとのそれぞれについて値を増加させるほど、Ｙエラー特定率が向上している。例えば「Ｊ’_a＝４．０」と「Ｊ’_b＝２．０」の場合のＹエラー特定率は「４９．４％」である。すなわち「Ｊ’_a＝４．０」と「Ｊ’_b＝２．０」とすることで、ＺエラーとＸエラーとの位置関係を考慮に入れない場合よりもＹエラー特定率が約２．５倍となっている。

図２９は、論理エラー確率の計算結果を示す図である。論理エラー確率表９２では、Ｊ’_aの値が行のラベルに設定され、Ｊ’_bの値が列のラベルに設定されている。Ｊ’_aは、上の行ほど小さい値であり、下の行ほど大きい値である。Ｊ’_bは、左の列ほど小さい値であり、右の列ほど大きい値である。論理エラー確率表９２の各行と各列との交差する位置に、該当行のＪ’_aの値と該当列のＪ’_bの値とを設定してエラー訂正を行った場合の論理エラーの発生確率が設定されている。なお論理エラー確率表９２では、論理エラーの発生確率を百分率（パーセント）で示している。

論理エラー確率表９２の第１行のＪ’_aの値は「０．０」であり、第１列のＪ’_bの値も「０．０」である。図２９の例では、ＺエラーとＸエラーとの位置関係を考慮に入れない場合（論理エラー確率表９２の第１行、第１列）の論理エラーの発生確率は「６５．０％」である。

Ｊ’_aとＪ’_bとのそれぞれについて値を増加させるほど、論理エラーの発生確率が低下している。例えば「Ｊ’_a＝４．０」と「Ｊ’_b＝２．０」の場合の論理エラーの発生確率は「３２．９％」である。すなわち「Ｊ’_a＝４．０」と「Ｊ’_b＝２．０」とすることで、ＺエラーとＸエラーとの位置関係を考慮に入れない場合よりも論理エラーの発生確率が約半分に減少している。

なおＪ’_bの値を大きくしすぎると、論理エラーの発生確率が増加する。図２９の例では、「Ｊ’_a＝４．０」のとき「Ｊ’_b≧４．０」となると、Ｊ’_bの増加に伴って論理エラーの発生確率も増加している。

〔第３の実施の形態〕
第３の実施の形態は、イジングモデルのエネルギー最小値の計算を、専用のハードウェアを用いて実行するものである。

図３０は、第３の実施の形態のシステム構成の一例を示す図である。第３の実施の形態では古典コンピュータ１００にイジングマシン３００が接続されている。イジングマシン３００は、イジングモデルを用いた最適化問題の求解に特化した計算機である。イジングマシン３００は、例えばＡＳＩＣ、ＰＬＤ、ＧＰＵ、その他の専用のプロセッサを用いてイジングモデルのエネルギー最小値を高速に求めることができる。

第３の実施の形態における量子計算処理は、エラー個所特定処理のみが、第２の実施の形態と異なる。そこで第３の実施の形態におけるエラー個所特定処理について、詳細に説明する。

図３１は、第３の実施の形態におけるエラー個所特定処理の手順を示すシーケンス図である。ステップＳ２０１のスピン変数データの初期化処理は、図２６のステップＳ１０１の処理と同様である。スピン変数データの初期化後、古典コンピュータ１００のエラー個所特定部１３０は、Ｊ’_aとＪ’_bとの値を設定する（ステップＳ２０２）。次のステップＳ２０３の処理は、図２６のステップＳ１０３～Ｓ１０８の係数データ生成処理を纏めたものである。

係数データ決定処理が終了すると、古典コンピュータ１００は、補助量子ビットの状態を示す測定データと、データ量子ビットごとの係数Ｊ’_iの値が示された係数データとをイジングマシン３００に送信する（ステップＳ２０４）。イジングマシン３００では、測定データと係数データとに基づいて、イジングモデルのエネルギーの最小値を探索し、最小値を得るスピン変数σ_i、σ’_iの値が示されるスピン変数データを生成する（ステップＳ２０５）。イジングマシン３００は、生成したスピン変数データを古典コンピュータ１００に送信する（ステップＳ２０６）。

古典コンピュータ１００は、取得したスピン変数データに基づいて、値が「－１」となったスピン変数σ_i，σ’_iに対応するデータ量子ビットを、エラー個所として特定する（ステップＳ２０７）。この処理は、図２６のステップＳ１１０の処理と同様である。

このようにイジングマシン３００にスピン変数σ_i，σ’_iの値を計算させることで、エラー個所特定処理に要する時間を短縮することができる。その結果、量子計算全体の処理時間も短縮される。

〔その他の実施の形態〕
上記の実施の形態について表面符号の例を用いて説明したが、表面符号に限らず、ＸとＺのスタビライザから構成されるＣＳＳ符号全般にそのまま適用可能である。

以上、実施の形態を例示したが、実施の形態で示した各部の構成は同様の機能を有する他のものに置換することができる。また、他の任意の構成物や工程が付加されてもよい。さらに、前述した実施の形態のうちの任意の２以上の構成（特徴）を組み合わせたものであってもよい。

１ 量子コンピュータ
２ 第１の状態データ
３ 第２の状態データ
４ エネルギー式
４ａ 第１のエネルギー項
４ｂ 第２のエネルギー項
４ｃ 第３のエネルギー項
５，５ａ，５ｂ，５ｃ，５ｄ データ量子ビット
６，６ａ，６ｂ 第１の補助量子ビット
７，７ａ，７ｂ 第２の補助量子ビット
１０ 情報処理装置
１１ 記憶部
１２ 処理部

Claims (7)

1. 量子計算における論理量子ビットに含まれる複数のデータ量子ビットに関するＺエラー検知用の複数の第１の補助量子ビットの状態を示す第１の状態データと、前記複数のデータ量子ビットに関するＸエラー検知用の複数の第２の補助量子ビットの状態を示す第２の状態データとを取得し、
   前記複数のデータ量子ビットのうちのＺエラーが発生した第１のデータ量子ビットを前記第１の状態データに基づいて特定するための第１のエネルギー項と、前記複数のデータ量子ビットのうちのＸエラーが発生した第２のデータ量子ビットを前記第２の状態データに基づいて特定するための第２のエネルギー項と、前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの両方に該当する第３のデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる第３のエネルギー項とを有するエネルギー式に基づいて、前記エネルギー式に示されるエネルギーをより低下させる前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを決定し、
   前記第３のデータ量子ビットでＹエラーが発生し、前記第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の前記第１のデータ量子ビットでＺエラーが発生し、前記第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の前記第２のデータ量子ビットでＸエラーが発生したと判断する、
   処理をコンピュータに実行させるエラー検知プログラム。
2. 前記第３のエネルギー項には、前記複数のデータ量子ビットそれぞれに対応づけて、エネルギー低下量を制御する係数が含まれており、
   前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを決定する処理では、前記複数のデータ量子ビットそれぞれに対応する前記係数の値を、対応するデータ量子ビットに隣接する第１の補助量子ビットと第２の補助量子ビットそれぞれの状態に基づいて算出する、
   請求項１記載のエラー検知プログラム。
3. 前記第１の状態データは、前記複数の第１の補助量子ビットそれぞれの状態が初期状態から反転したか否かを示しており、
   前記第２の状態データは、前記複数の第２の補助量子ビットそれぞれの状態が初期状態から反転したか否かを示しており、
   前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを決定する処理では、一のデータ量子ビットに隣接する第１の補助量子ビットのうちの少なくとも１つの状態が初期状態から反転しており、かつ前記一のデータ量子ビットに隣接する第２の補助量子ビットのうちの少なくとも１つの状態が初期状態から反転している場合、その他の場合よりも前記一のデータ量子ビットに対応する前記係数の値を大きくする、
   請求項１記載のエラー検知プログラム。
4. 前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを決定する処理では、前記複数のデータ量子ビットそれぞれの前記係数の値を示す係数データと前記第１の状態データと前記第２の状態データとをイジングマシンに送信して、前記イジングマシンに、前記エネルギー式に示されるエネルギーをより低下させる前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを求解させる、
   請求項２記載のエラー検知プログラム。
5. 前記第１の状態データと前記第２の状態データとを取得する処理では、前記量子計算を実行している量子コンピュータから、前記第１の状態データと前記第２の状態データとを取得し、
   Ｙエラー、Ｚエラー、およびＸエラーそれぞれが発生したデータ量子ビットの判断結果に基づいて、前記量子コンピュータに対してエラー訂正を指示する、
   処理をコンピュータにさらに実行させる請求項１記載のエラー検知プログラム。
6. 量子計算における論理量子ビットに含まれる複数のデータ量子ビットに関するＺエラー検知用の複数の第１の補助量子ビットの状態を示す第１の状態データと、前記複数のデータ量子ビットに関するＸエラー検知用の複数の第２の補助量子ビットの状態を示す第２の状態データとを取得し、
   前記複数のデータ量子ビットのうちのＺエラーが発生した第１のデータ量子ビットを前記第１の状態データに基づいて特定するための第１のエネルギー項と、前記複数のデータ量子ビットのうちのＸエラーが発生した第２のデータ量子ビットを前記第２の状態データに基づいて特定するための第２のエネルギー項と、前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの両方に該当する第３のデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる第３のエネルギー項とを有するエネルギー式に基づいて、前記エネルギー式に示されるエネルギーをより低下させる前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを決定し、
   前記第３のデータ量子ビットでＹエラーが発生し、前記第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の前記第１のデータ量子ビットでＺエラーが発生し、前記第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の前記第２のデータ量子ビットでＸエラーが発生したと判断する、
   処理をコンピュータが実行するエラー検知方法。
7. 量子計算における論理量子ビットに含まれる複数のデータ量子ビットに関するＺエラー検知用の複数の第１の補助量子ビットの状態を示す第１の状態データと、前記複数のデータ量子ビットに関するＸエラー検知用の複数の第２の補助量子ビットの状態を示す第２の状態データとを取得し、
   前記複数のデータ量子ビットのうちのＺエラーが発生した第１のデータ量子ビットを前記第１の状態データに基づいて特定するための第１のエネルギー項と、前記複数のデータ量子ビットのうちのＸエラーが発生した第２のデータ量子ビットを前記第２の状態データに基づいて特定するための第２のエネルギー項と、前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの両方に該当する第３のデータ量子ビットが多いほどエネルギーを低下させる第３のエネルギー項とを有するエネルギー式に基づいて、前記エネルギー式に示されるエネルギーをより低下させる前記第１のデータ量子ビットと前記第２のデータ量子ビットとの組合せを決定し、
   前記第３のデータ量子ビットでＹエラーが発生し、前記第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の前記第１のデータ量子ビットでＺエラーが発生し、前記第３のデータ量子ビットに該当したもの以外の前記第２のデータ量子ビットでＸエラーが発生したと判断する、
   処理部、
   を有する情報処理装置。

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