JP2023525953A

JP2023525953A - Ｎｉｓｑ（ノイズ有り中規模量子）コンピュータにおける振幅推定の方法

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Publication number: JP2023525953A
Application number: JP2022554844A
Authority: JP
Inventors: パラカシュアヌパム; ケレニディスヨルダニス
Original assignee: QC Ware Corp
Current assignee: QC Ware Corp
Priority date: 2020-03-10
Filing date: 2021-01-22
Publication date: 2023-06-20
Also published as: EP4115357A1; US20210287126A1; EP4115357A4; WO2021183220A1; KR20220151665A; US11593697B2; CN115298675A

Abstract

実施形態は、ユニタリ演算子Ｕを量子回路上で実装するように構成可能な量子プロセッサを用いることによって前記ユニタリ演算子Ｕの振幅を誤差ε内で推定する方法に関する。量子回路は最大深度がＳであり、単一の実行に際してユニタリ演算子をＤ回以内実施できる。誤差ε及び回数Ｄに基づいたｎ＝１からＮ迄の反復のスケジュールが決定される。各反復ｎはスケジュールパラメータｋｎによって特徴付けられている。全てのｎについてkn≦Ｄであり、また、ｋｎは指数関数未満のレートで増す。反復ｎは逐次的に実行され得る。各反復において、量子プロセッサは、ユニタリ演算子Ｕをｋｎ回量子回路に逐次的に適用して実行するように構成されている。そして、非量子プロセッサは測定された結果としてもたらされた状態に基づいてユニタリ演算子の振幅を推定する。

Description

開示は量子アルゴリズムの分野についてなされ、開示は特に、振幅推定についての基本的プリミティブを、必要とされる量子回路の深度を減じつつ古典アルゴリズムより高速なままの態様で、実装する方法を提供する。

振幅推定（ＡＥ、amplitude estimation）とは、例えば数理ファイナンスでの計数及びモンテカルロ法における近似をなす等の多様な用途を有する量子アルゴリズムである。振幅増幅（amplitude amplification）アルゴリズムの一般的な設定としては次のように定める：Ｕ｜0＞＝ｓｉｎ（θ）｜0＞＋ｃｏｓ（θ）｜1＞との変換をなすユニタリＵが与えられたものとする（これをオラクルと称し、Ｕに関する回路のアルゴリズム実行回数をオラクルコール回数Ｔとする）。振幅推定（ＡＥ、amplitude estimation）アルゴリズムの目的は、加算誤差ε内でｃｏｓ（θ）を推定することである。

ＡＥ関連の文献は、上述のタスクに関してオラクルコール回数を最小化することに注力している。ＡＥタスクに要するオラクルコール回数に関しては、古典アルゴリズムではＯ（1／ε²）であるのに対して、量子構成ではＯ（1／ε）となることが知られており、このことから論理的には相当な加速がもたらされる。

もっとも、このアルゴリズムはユニタリＵ^ｋをｋ＝Ｏ（1／ε）について適用するのであり、換言すればユニタリＵを逐次的にＯ（1／ε）回適用するのであり、故に高度に大深度な量子回路を伴うことになる（一部の場合では、特に例えばモンテカルロ推定等の実世界での用途に関しては、ユニタリＵはそれ自体が相当な深度を有し得るのであり、誤差εが１０^－３のオーダに収まることを望むのならば、この深度が上述のアルゴリズムで１０００倍とされることになることに留意されたいのであり、こうなるとアルゴリズムはＮＩＳＱ系量子コンピュータにとっては到底扱えない代物となってしまう）。

ＡＥをＮＩＳＱ装置に適用することに関して幾らかの進歩を示す先行研究の結果としては非特許文献１を挙げられよう。当該文献は、テンプレートを提供するのであり、アルゴリズムは一連のパラメータ（ｋ_１，ｋ_２，．．． ,ｋ_ｔ）及び定数たるＮ_ｓｈｏｔで定義されるオペレーションのスケジュールを実行するのであり、次の態様でなされる：

パラメータk_iのそれぞれについて、また、Ｎ_ｓｈｏｔ回に亘って（オペレーションのノイズに応じて）、ユニタリＵを逐次的にｋ_ｉ回適用して、結果として得られる状態を測定する。

当該オペレーション後は、要求されている振幅推定を提供するために、測定結果に対しての古典的な後処理がなされる。非特許文献１では、ｋ_ｉ＝２^ｉ（ｉ＝０から開始、ｉ＝ｌｏｇ（１／ε）迄）とのパラメータで定義されたスケジュールをもってすれば、量子アルゴリズムは振幅に関して程度の良い推定をもたらし得ると主張されている。もっとも、非特許文献１のアルゴリズムでは、Ｕ^ｋをｋ＝Ｏ（1／ε）について適用することを依然として要するのであり、故に量子回路の深度はやたら大きいままである。当該文献のアルゴリズムの主たる利点は、Brassardらの当初のＡＥアルゴリズムではオラクルコールに加えて必要とされていた演算的に浪費的な量子位相推定（phase estimation）ステップを、古典的な後処理で代替させたことにある。したがって、非特許文献１は、量子位相推定ステップを回避することによってBrassardらの当初のＡＥアルゴリズムの深度を減じるも、実行すべき逐次的なオラクルコール回数はＯ（１／ε）のままであり、故にこのアルゴリズムはＮＩＳＱマシンの性能を遙かに超えている。

Suzuki et al., "Amplitude Estimation Without Phase Estimation"(Quantum Inf Process 19, 75 (2020). https://doi.org/10.1007/s11128-019-2565-2)

実施形態は、ユニタリ演算子Ｕを量子回路上で実装するように構成可能な量子プロセッサを用いることによって前記ユニタリ演算子Ｕの振幅を誤差ε内で推定する方法に関する。量子回路は、最大回路深度がＳであり、また、単一の実行に際してユニタリ演算子をＤ回以内実施できる。誤差ε及び回数Ｄに基づいたｎ＝１からＮ迄の反復のスケジュールが決定される。各反復ｎはスケジュールパラメータｋ_ｎによって特徴付けられている。全てのｎについてｋ_ｎ≦Ｄであり、また、ｋ_ｎは指数関数未満のレートで増す。反復ｎは逐次的に実行され得る。各反復において、量子プロセッサは、ユニタリ演算子Ｕをｋｎ回量子回路に逐次的に適用するように構成されており、また、量子プロセッサは量子回路を実行する。量子回路の結果としてもたらされた状態は、測定される。そして、非量子プロセッサは測定された結果としてもたらされた状態に基づいてユニタリ演算子の振幅を推定する。

他の態様としては、上述のいずれかに関連するコンポーネント、装置、システム、改良、方法、処理、アプリケーション、コンピュータ可読媒体、及び他のテクノロジが含まれる。

実施形態による、ユニタリ演算子の振幅を推定するための方法についての流れ図である。実施形態による、マシン可読媒体から命令を読み取り、それらをプロセッサ（又はコントローラ）にて実行できる、例示的マシンのコンポーネントを示すブロック図である。

図面は例示目的のみにおいて本開示の様々な実施形態について表している。本明細書において記述されている開示の原理から逸脱することなく、本明細書において示されている構造及び方法の代替実施形態が採用されることが可能であるということを当業者であれば以降の論考から容易に認識するであろう。

以下の説明は、例示のみを目的とした好適実施形態に関する。以下の論考から、本明細書に開示された構造及び方法の代替的実施形態は、開示の原理から逸脱することなく採用され得る、実行可能な代替として容易に認識されることに留意すべきである。

実施形態は、（例えば、低深度のノイズ有り中規模量子（ＮＩＳＱ）コンピュータ等のために）ＡＥ回路の深度を減じつつ、古典アルゴリズムに対しての量子的利点を維持することに関する。ＮＩＳＱコンピュータは、１０００、５００、又は３００未満のキュービットを有し得る。１つの態様では、量子回路の深度と、古典アルゴリズムと比較して達成される量子アルゴリズムの加速との間でのトレードオフが得られるような異なるスケジュールを介しての新たなＡＥアルゴリズムがもたらされる。一部の実施形態では、例えば指数α∈（０，２］についてのスケジュールパラメータ

を我々は提案するのであり、指数の選択は具体的な問題及び／又は量子回路に依存するのであり、また、ｎ＝１から始まって、そして、アルゴリズムを実装するのに我々によって用いられるＮＩＳＱコンピュータによって取り扱い可能なオラクルコール回数

についての最大の整数Ｎ迄へと至る。例えば、α＝２ならば、第１の反復においては（ｎ＝１）、ＮＩＳＱコンピュータ内の量子回路は、オラクルコールを１回行う。第２の反復においては（ｎ＝２）、回路は、オラクルコールを４回行う。第３の反復においては（ｎ＝３）、回路は、オラクルコールを９回行う。スケジュールは、オラクルコールの最大回数に達する迄継続され得る（所与の量子回路の限定された深度にこれは由来する）。例えば、ｋ_Ｎ≦Ｄであり、ここで、Ｄは単一の実行に際して量子回路が行い得るオラクルコールの最大回数である。Ｄは、ユニタリ演算子Ｕの深度及び回路の最大深度Ｓ（例えば、depth(U)*D≦ S）に基づいている。

各反復後、結果としてもたらされた量子状態が測定及び記憶される。スケジュールの実行後、ユニタリ演算子Ｕの振幅は、測定された状態に基づいて、非量子プロセッサによって決定され得る。一部の実施形態では、反復は、ｎ＝１からＮ迄逐次的に行われることを要さない。例えば、反復は、並行して（例えば、別個の量子回路上にて）行われ得る。

ＤがＯ（１／ε）である場合、SuzukiらのＡＥアルゴリズムを実装できることに留意されたいのであるが、我々のアルゴリズムは、Ｄが小さな定数である場合にはより良く機能する（例えば、小ささに関してはＤを５とすることさえ可能である）。

このスケジュールのトレードオフは、ＤＴ＝１／ε^２とされ得るのであり、ここで、Ｔはオラクルコールの合計回数である

。したがって、この区間にて指数αを変化させることによって、回路深度とオラクルコールの合計回数Ｔ（実行時間）との間での滑らかなトレードオフがもたらされる。これによって、所与の用例に関して（例えば、近似計数又はモンテカルロ法）、回路深度と実行時間との間でのトレードオフを発見して、回路深度が制限されているＡＥ文脈についても量子的な長所をもたらし得る。これは重大なイノベーションである。なぜならば、回路深度が制限されている場面（深度が５０を超える回路を実行できない場面）にてＡＥに関して量子的な長所を示すことが可能となるからである。既知のアルゴリズムのいずれもこの場合には実装できない。

図１は、実施形態による、ユニタリ演算子Ｕの振幅を誤差ε内で推定するための方法１００についての流れ図である。方法は、ユニタリ演算子Ｕを量子回路上で実装するように構成可能な量子プロセッサを用いる。量子回路は、最大深度がＳであり、また、単一の実行に際してユニタリ演算子をＤ回以内実施できる。方法のステップは異なる順序にて実行でき、また、方法は異なる、追加の、若しくはより少数のステップを含み得る。

誤差ε及び回数Ｄに基づいたｎ＝１からＮ迄の反復のスケジュールが決定される（Ｓ１１０）。各反復ｎはスケジュールパラメータｋ_ｎによって特徴付けられている。全てのｎについてｋ_ｎ≦Ｄであり、また、ｋ_ｎは指数関数未満のレートで増す。反復ｎは逐次的に実行され得る。各反復ｎにおいて、量子プロセッサは、ユニタリ演算子Ｕをｋｎ回量子回路に逐次的に適用するように構成されており（Ｓ１２０）、また、量子プロセッサは量子回路を実行する（Ｓ１３０）。量子回路の結果としてもたらされた状態は測定される（Ｓ１４０）（例えば、量子回路ないの各キュービットの状態が記録される）。結果としてもたらされた状態は記憶される。そして、非量子プロセッサは記憶された結果としてもたらされた状態に基づいてユニタリ演算子の振幅を推定する（Ｓ１５０）。一部の実施形態では、スケジュールの終了前に（例えば、各反復が行われた後又は２回以上の反復が行われた後毎に）、非量子プロセッサは１つ以上の振幅推定を行う。一部の実施形態では、Ｓ１１０、Ｓ１２０、及びＳ１５０は非量子プロセッサによってなされ、また、Ｓ１３０及びＳ１４０は量子プロセッサによってなされる。一部の実施形態では、Ｄ＜Ｏ（１／ε）及びＴ＜Ｏ（１／ε^２）であり、ここで

である。Ｔ＜｛Ｏ（１／ε^２）の５０％｝である場合、方法は、古典アルゴリズムに対して２倍の高速化をもたらし得る。Ｔ＜｛Ｏ（１／ε^２）の２０％｝である場合、方法は、古典アルゴリズムに対して５倍の高速化をもたらし得る。

図２は、一部の実施形態による、マシン可読媒体から命令を読み取り、それらを１つ以上のプロセッサ（又はコントローラ）にて実行できる、例示的マシンのコンポーネントを示すブロック図である。具体的には、図２は、コンピュータシステム２００の例示的形式のマシンについての図式的な表現を示す。コンピュータシステム２００は、本明細書にて説明されている方法論（又は処理）のうちの任意の１つ以上をマシンに行わせる命令２２４（例えば、プログラムラベル又はソフトウェア）を実行するために用いられ得る。一部の実施形態では、マシンは、スタンドアロン装置として又は他のマシンと接続（例えば、ネットワーク化）された装置として動作できる。ネットワークで結ばれた展開において、マシンは、サーバクライアントネットワーク環境でサーバマシン又はクライアントマシンの役割にて動作でき、又はＰ２Ｐ型（若しくは分散型）ネットワーク環境でピアマシンとして動作できる。図２及びその説明は、例示的装置について説明することに留意されたい。量子プロセッサを有する他のマシンは、異なる挙動を示し得るのであり、また、より多くの、より少ない、若しくは異なるコンポーネントを有し得る。

マシンは、サーバコンピュータ、クライアントコンピュータ、パーソナルコンピュータ（ＰＣ）、タブレットＰＣ、セットトップボックス（ＳＴＢ）、スマートフォン、ＩｏＴアプライアンス、ネットワークのルータ、スイッチ若しくはブリッジ、又は、そのマシンによって執行されるべきアクションを指定する（逐次的、又はそれ以外の）命令２２４を実行することができる任意のマシンとされ得る。さらに、単一のマシンのみが図示されているも、「マシン」という用語は、個別に又は共同で命令２２４を実行して、本明細書で論じられている方法論のうちの任意の１つ以上を実行するマシンの任意の集合体も含むとみなされる。

例示的コンピュータシステム２００は、１つ以上の処理ユニット（例えば、プロセッサ２０１，２０２）を含む。例えば、プロセッサ２０２は、中央処理装置（ＣＰＵ）、グラフィックス処理装置（ＧＰＵ）、デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）、コントローラ、状態マシン、１つ以上の特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣ）、１つ以上の無線周波数集積回路（ＲＦＩＣ）、又はこれらの任意の組み合わせとされ得る。

量子プロセッサ２０１は、特に量子効果に基づいて処理をなす１つ以上の物理的装置、そのような挙動を伴う１つ以上の装置、又は量子処理挙動を示すものと合理的に解釈され得る任意の他の装置とされ得る。量子プロセッサ２０１は、演算をなすために量子力学の法則を活用する。量子プロセッサ２０１は、古典コンピュータにて用いられるビットの代わりにキュービット（qubit、quantum bit、量子ビット）を一般的に用いる。古典ビットは、値が常に０又は１のいずれかとされる。雑に言えば、キュービットは、０と１とについての重ね合わせ状態或いは線形結合となっている非ゼロの確率を有している。量子プロセッサ２０１がキュービットに付いての演算をなせるが故に、キュービットが０と１とについての重ね合わせ状態にて存在できることは、特定の計算タスクに関して大幅に強化された性能をもたらし得る。例えば、Shor氏のアルゴリズムは、効率的に大きな整数を因数分解するためにどのようにして量子プロセッサを用いるかについて説明するのであり、これは暗号学において相当な用途及び影響を伴う。Grover氏の探索アルゴリズムは、例えばリスト又はデータベース等の大きな情報セットを効率的に探索するためにどのようにして量子プロセッサを用いるかについて説明する。

量子プロセッサ２０１は、１つ以上の量子回路を構成及び実行することができ得る。量子回路とは量子計算のモデルであり、この計算は一連の量子ゲートであり、これは１つ以上のキュービットに対しての可逆的変換である。

コンピュータシステム２００はまた、主メモリ２０５をも含む。コンピュータシステムは、記憶ユニット２１６を含み得る。プロセッサ２０１，２０２、メモリ２０４、及び記憶ユニット２１６は、バス２０８を介して通信する。

追加で、コンピュータシステム２００は、静的メモリ、２０６及びディスプレイドライバ２１０（ＵＩ１０５をユーザに表示し得るプラズマディスプレイパネル（ＰＤＰ）、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、又はプロジェクタを駆動する）を含み得る。コンピュータシステム２００はまた、英数入力装置２１２（例えば、キーボード）、カーソル制御装置２１４（例えば、マウス、トラックボール、ジョイスティック、動きセンサ、又は他のポインティング機器）、信号生成装置２１８（例えば、スピーカ）、及びネットワークインタフェース装置２２０も含み得るのであり、これらもまたバス２０８を介して通信するように構成されている。

記憶ユニット２１６は、本明細書に記載された方法論又は機能のいずれか１つ以上を具現化する命令２２４（例えば、図２に説明されているソフトウェア）が格納されているマシン可読媒体２２２を含む。また、命令２２４は、コンピュータシステム２００による実行中に、完全に又は少なくとも部分的に、主メモリ２０５内又はプロセッサ２０１及び／又は２０２内（例えば、プロセッサのキャッシュメモリ内）に存在してもよく、主メモリ２０５及びプロセッサ２０１及び／又は２０２はマシン可読媒体を伴い得る。命令２２４は、ネットワークインタフェース装置２２０を介して、ネットワーク２２６上で送信又は受信され得る。

マシン可読媒体２２２は、例示的な実施形態では単一の媒体であることが示されているが、「マシン読取可能媒体」という用語は、命令２２４を格納することができる単一の媒体又は複数の媒体（例えば、集中型若しくは分散型データベース、又は関連するキャッシュ及びサーバ）を含むとみなされるべきである。また、「マシン可読媒体」という用語は、マシンによる実行のための命令２２４を格納することができ、本明細書に開示された方法論の任意の１つ以上をマシンに実行させる任意の媒体を含むものともみなされるべきである。「マシン可読媒体」という用語は、ソリッドステートメモリ、光学媒体、及び磁気媒体の形態のデータリポジトリを含むが、これらに限定されない。

特定の実施形態及び応用例は例示及び説明されているも、本発明は本明細書にて開示された厳密な構築態様及びコンポーネントに限定されないものと解されるべきなのであり、当業者に明らかであろう他の様々な改変、変更、およびバリエーションが、本開示において定義される精神及び範囲から逸脱することなく、本明細書に開示する方法及び装置の配列、動作、及び詳細において行われうる。

詳細な説明は多くの具体的事項を含むも、これらは本発明の範囲を限定するものと解されるべきではなく、単に異なる実施例を例示するものとして解されるべきである。本開示の範囲には、上記にて詳述していない他の実施形態も含まれることに留意されたい。当業者に明らかであろう他のさまざまな改変、変更、及びバリエーションが、添付の特許請求の範囲において定義される精神および範囲から逸脱することなく、本明細書に開示された方法及び装置の配列、操作、及び詳細においてもたらされ得る。よって、本発明の範囲は、添付の特許請求の範囲及びその法的等価物によって決定されるべきである。

Claims

ユニタリ演算子Ｕを量子回路上で実装するように構成可能な量子プロセッサを用いることによって、前記ユニタリ演算子Ｕの振幅を誤差ε内で推定する方法であって、前記量子回路は単一の実行に際して前記ユニタリ演算子を回数Ｄ回以内実施可能であり、また、Ｄ＜Ｏ（１／ε）であり、該方法は：
前記誤差ε及び前記回数Ｄに基づいてｎ＝１からＮ迄の反復のスケジュールを決定するステップであって、各反復ｎはスケジュールパラメータｋ_ｎによって特徴付けられ、全てのｎについてｋ_ｎ≦Ｄであり、ｋ_ｎは指数関数未満のレートで増し、また、Ｔ＜Ｏ（１／ε^２）であり、

である、ステップと；
前記反復ｎを逐次的に実行するステップであって：
前記ユニタリ演算子Ｕをｋ_ｎ回前記量子回路に逐次的に適用するように前記量子プロセッサを構成することと、
前記量子プロセッサが前記量子回路を実行することと、
前記量子回路の結果としてもたらされた状態を測定することと、
により実行されるステップと；
非量子プロセッサが前記測定された結果としてもたらされた状態に基づいて前記ユニタリ演算子Ｕの振幅を推定するステップとを含む、方法。
請求項１に記載の方法において、Ｔ＜Ｏ（１／ε^２）の５０％とされる、方法。
請求項２に記載の方法において、Ｔ＜Ｏ（１／ε^２）の２０％とされる、方法。
請求項１に記載の方法において、ｋ_Ｎ＝Ｄとされる、方法。
請求項１に記載の方法において、

である、方法。
請求項１に記載の方法において、ｋ_ｎは多項式で押さえられている、方法。
請求項６に記載の方法において、ｋ_ｎはｎ^αに基づいており、αは定数であり且つゼロより大きい、方法。
請求項７に記載の方法において、α∈（０，２］である、方法。
請求項７に記載の方法において、

である、方法。
請求項７に記載の方法において、

である、方法。
請求項７に記載の方法において、αは、Ｔ＜Ｏ（１／ε^２）で

となるように予め定められている、方法。
請求項７に記載の方法において、αを増大させるとεが増大し且つ前記スケジュールの実行時間が減少し、また、αを減少させるとεが減少し且つ前記スケジュールの実行時間が増大する、方法。
請求項１に記載の方法において、前記反復ｎの１つ以上は複数回実行される、方法。
請求項１に記載の方法において、各反復ｎについて、前記量子プロセッサは、前記ユニタリ演算子Ｕをｋ_ｎ回前記量子回路に対してＡｋ_ｎの深度を用いて逐次的に適用するように構成されており、Ａは前記ユニタリ演算子Ｕの深度である、方法。
請求項１に記載の方法において、前記量子回路の最大回路深度は５０未満である、方法。
請求項１に記載の方法において、前記量子回路の最大深度は２０未満である、方法。
請求項１に記載の方法において、εは０．０１以下である、方法。
請求項１に記載の方法において、前記量子回路の最大深度は２００未満であり、εは０．１以下である、方法。
請求項１に記載の方法において、前記量子プロセッサは、５００キュービット未満を伴うＮＩＳＱコンピュータ内に含まれる、方法。
請求項１に記載の方法において、Ｄ＝５である、方法。