JP2023517140A

JP2023517140A - A Low-Complexity Control Method for Asymmetric Servohydraulic Position Tracking Systems

Info

Publication number: JP2023517140A
Application number: JP2022579147A
Authority: JP
Inventors: 爽 ▲劉▼; 文波王
Original assignee: Yanshan University
Current assignee: Yanshan University
Priority date: 2020-12-07
Filing date: 2021-10-19
Publication date: 2023-04-21
Anticipated expiration: 2041-10-19
Also published as: CN112486021B; CN112486021A; JP7448692B2; WO2022121507A1

Abstract

本発明は、非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法を開示し、サーボ油圧位置の制御分野に属し、該方法は、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルを確立するステップと、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、低複雑度制御ポリシーを用いて単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラを設計するステップと、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラ及び単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、単一出力ロッドのサーボ油圧システムの安定性を証明するステップと、を含み、油圧システムに存在する様々な不確実性問題及び未知の非線形問題を解決し、コントローラの設計は、正確な数学的モデルに依存せず、測定可能な状態信号のみが必要であり、制御率の計算は、既存のバックステッピング適応に基づいて開発されたアルゴリズムと比較して、計算プロセスが簡単であり、計算量が少なく、リアルタイム制御が容易であり、工学的実現が容易である。The present invention discloses a low-complexity control method for an asymmetric servo-hydraulic position tracking system and belongs to the field of servo-hydraulic position control, the method comprising the steps of establishing a model of a single output rod servo-hydraulic system; , designing a controller of the single output rod servohydraulic system with a low-complexity control policy based on a model of the single output rod servohydraulic system; proving the stability of the single-output rod servo-hydraulic system based on a model of the single-output rod servo-hydraulic system, including various uncertainties and unknown non-linear problems existing in the hydraulic system. , the controller design does not rely on an exact mathematical model, only measurable state signals are required, and the calculation of the control ratio is comparable to algorithms developed based on existing backstepping adaptations. Therefore, the calculation process is simple, the amount of calculation is small, the real-time control is easy, and the engineering implementation is easy.

Description

本発明は、サーボ油圧位置制御の分野に関し、特に非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法に関する。 The present invention relates to the field of servohydraulic position control, and more particularly to a low complexity control method for asymmetric servohydraulic position tracking systems.

サーボ油圧システムは、負荷効率に優れ、電力比が小さく、応答速度が速いなどの利点を有するため、現代工業で広く応用されている（例えば、アクティブサスペンションシステム、油圧ショベル、マニピュレータ）。サーボ油圧システムは、二重出力ロッドの対称油圧アクチュエータ機構と単一出力ロッドの非対称油圧アクチュエータ機構との２種の油圧アクチュエータ機構を含む。アクティブサスペンション制御の研究では、２つのオイルキャビティの面積が等しいと見なされることが多く、対称油圧アクチュエータ機構が使用されている。非対称サーボ油圧システムについて、ピストンロッドが存在するため、油圧シリンダのロッドキャビティとロッドレスキャビティとの有効面積が等しくなくなり、同じ性能を実現できる対称油圧アクチュエータ機構は、常に非対称油圧アクチュエータ機構よりも体積が大きく、一般的に少数の特別な場合に応用されており、工業で広く応用されているのは非対称油圧アクチュエータ機構である。従って、空間が大きく制限されている車両サスペンションシステムに対称油圧アクチュエータ機構を配置することは不合理である。 Servo-hydraulic systems have advantages such as high load efficiency, small power ratio, and fast response speed, so they are widely applied in modern industry (eg, active suspension systems, hydraulic excavators, manipulators). Servohydraulic systems include two types of hydraulic actuator mechanisms: dual output rod symmetric hydraulic actuator mechanisms and single output rod asymmetric hydraulic actuator mechanisms. Active suspension control studies often assume that the areas of the two oil cavities are equal and use symmetrical hydraulic actuator mechanisms. For the asymmetric servo hydraulic system, due to the presence of the piston rod, the effective area of the rod cavity and the rodless cavity of the hydraulic cylinder is no longer equal, and the symmetric hydraulic actuator mechanism that can achieve the same performance always has more volume than the asymmetric hydraulic actuator mechanism. Large, generally applied in a few special cases, and widely applied in industry are asymmetric hydraulic actuator mechanisms. Therefore, it is unreasonable to place a symmetrical hydraulic actuator mechanism in a vehicle suspension system where space is highly restricted.

しかしながら、非対称サーボ油圧システムは、１つの複雑な非線形システムであり、同時に、負荷変化、パラメータの不確実性及び未知の非線形などの様々な不確実性に関し、モデルの確立及びコントローラの設計が困難になり、複雑になり、従って、非対称サーボ油圧システムについて、高精度の位置制御は大きな課題に直面している。パラメータの不確実性は、主に漏れ係数、油膜粘度及び粘性摩擦係数を含み、未知の非線形は、主にスプールの不感帯及び外乱を含み、これらの要因は、高性能コントローラの開発を妨げている。位置追跡システムの操作性能を満たすために、ニューラルネットワーク適応、ファジー論理制御、ロバスト適応制御、バックステッピング適応制御などの多くの制御技術が過去１０年間に開発されている。これらの制御方式では、適応制御は、そのオンライン学習能力により、パラメータの不確実性の問題を処理でき、ロバスト適応制御は、未知の外乱の問題を処理できる。上記適応制御に基づくアルゴリズムは、良好なシミュレーション結果を取得できるが、１つの重要な問題としては、これらのアルゴリズムは計算負荷が高く、収束に達するまでに長い時間がかかるため、油圧システムでは、適応に基づく上記制御アルゴリズムを応用することは困難である。また、サーボ油圧システムの既存の制御方法のほとんどは、バックステッピング制御に基づいて開発されている。周知のように、高次システムのバックステッピング設計プロセスで、仮想制御関数の導出が繰り返されるため、計算爆発の問題が発生する。従って、設計のシステムへの依存性が低く、計算負荷が低く、関数近似機能がない新規の制御ポリシーを見つける必要がある。 However, an asymmetric servohydraulic system is a complex nonlinear system, and at the same time various uncertainties such as load changes, parameter uncertainties and unknown nonlinearities make model establishment and controller design difficult. , and complexity, and thus high-precision position control faces a major challenge for asymmetric servo-hydraulic systems. Parameter uncertainties mainly include leakage coefficient, oil film viscosity and viscous friction coefficient, and unknown non-linearities mainly include spool dead zone and disturbance, these factors hinder the development of high performance controllers. . Many control techniques, such as neural network adaptation, fuzzy logic control, robust adaptive control, and backstepping adaptive control, have been developed in the last decade to meet the operational performance of position tracking systems. In these control schemes, adaptive control can handle the problem of parameter uncertainty due to its online learning capability, and robust adaptive control can handle the problem of unknown disturbances. Algorithms based on the above adaptive control can obtain good simulation results, but one important problem is that these algorithms are computationally intensive and take a long time to reach convergence. It is difficult to apply the above control algorithm based on Also, most of the existing control methods for servo hydraulic systems are developed based on backstepping control. As is well known, in the backstepping design process of higher-order systems, the derivation of virtual control functions is repeated, causing the problem of computational explosion. Therefore, there is a need to find new control policies whose design is less system dependent, less computationally intensive, and free of function approximation capabilities.

また、サーボ油圧位置追跡システムでは、実際の応用観点から見ると、上記方法で潜在的に悪い過渡応答が存在する（オーバーシュートが大きすぎ、収束が遅い）場合、追跡性能が低下し、危険が発生し、ひいてはハードウェアを損傷する可能性がある。ＢｅｃｈｌｉｏｕｌｉｓＣＰ、ＲｏｖｉｔｈａｋｉｓＧＡらは、最初に、追跡誤差の過渡性能を確保できる新規のコントローラ設計方法を提案している。該方法は、指定された性能関数を導入することにより、追跡誤差の過渡と定常状態との性能を指定し、誤差変換を導入することにより、元の制限のあるシステムを無制限のシステムと同等する。この思想は、さらに高次の非線形フォールトトレラント制御システム、油圧サーボシステム、サスペンションシステムに応用されている。しかしながら、指定された性能関数を使用する上記文献では、制御方案は、いずれも適応制御方式と組み合わせてシステムにおける未知の動力学問題を処理する。 In addition, in the servo hydraulic position tracking system, from a practical application point of view, if there is a potentially bad transient response (too large overshoot and slow convergence) in the above method, the tracking performance will be degraded and dangerous. can occur and eventually damage the hardware. Bechliolis CP, Rovithakis GA et al. first proposed a novel controller design method that can ensure the transient performance of the tracking error. The method specifies the transient and steady-state performance of the tracking error by introducing a specified performance function, and equates the original bounded system to the unbounded system by introducing an error transform. . This idea has been applied to higher-order nonlinear fault-tolerant control systems, hydraulic servo systems, and suspension systems. However, in the above references using a specified performance function, all of the control strategies are combined with adaptive control schemes to handle unknown dynamics problems in the system.

以上より、サーボ油圧システム及びその位置制御方法には以下の欠陥が存在し、一つ目は、単一出力ロッドの非線形サーボ油圧システムは、典型的な複雑な非線形システムであり、負荷変化、パラメータの不確実性及び未知の非線形などの問題に関するため、理論モデルの確立と実際のシステムとの間に大きなギャップがあり、コントローラの設計が困難になり、複雑になり、二つ目は、現在存在するサーボ油圧位置制御方式のほとんどは、バックステッピング制御適応に基づいて開発されているが、これらの制御方式のモデルへの依存性が高く、そして、高次システムのバックステッピング設計プロセスで、計算量が大きく、不確実性パラメータのオンライン学習が、実際の試験中のリアルタイム制御に不利であり、三つ目は、実際の応用観点から見ると、サーボ油圧位置追跡システムでは、潜在的に悪い過渡応答が存在する（オーバーシュートが大きすぎ、収束が遅い）場合、追跡性能が低下し、危険が発生し、ひいてはハードウェアを損傷する可能性がある。 From the above, the servo hydraulic system and its position control method have the following defects. There is a big gap between the establishment of the theoretical model and the actual system due to the uncertainties of and unknown nonlinear issues, which makes the design of the controller difficult and complicated. Most of the existing servo hydraulic position control schemes are developed based on backstepping control adaptation, but these control schemes are highly model dependent, and the backstepping design process of higher-order systems requires a large amount of computation. is large, the uncertainty of online learning of parameters is disadvantageous for real-time control during actual testing; If is present (too much overshoot and slow convergence), tracking performance is degraded and can be dangerous and can even damage the hardware.

従来技術に存在する課題に基づき、本発明は、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルを確立するステップＳ１と、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、低複雑度制御ポリシーを用いて単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラを設計するステップＳ２と、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラ及び単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、単一出力ロッドのサーボ油圧システムの安定性を証明するステップＳ３と、を含む非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法を開示している。 Based on the problems existing in the prior art, the present invention provides a step S1 of establishing a model of a single output rod servo-hydraulic system, and based on the model of the single output rod servo-hydraulic system, a low-complexity control policy. step S2 of designing the controller of the single output rod servo-hydraulic system using the controller of the single output rod servo-hydraulic system and the model of the single output rod servo-hydraulic system based on the model of the single output rod servo A low-complexity control method for an asymmetric servo-hydraulic position tracking system is disclosed, including step S3 of verifying the stability of the hydraulic system.

さらに、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルを確立する前記プロセスは以下の通り、
ニュートンの第２法則に基づいて油圧シリンダの動力学モデルを確立し、

（ただし、ｆ（ｔ）は様々な干渉を表し、ｘとｍとはそれぞれ負荷の位置と質量とを表し、Ｂは粘性減衰係数であり、Ｋは負荷の等価ばね剛性であり、負荷が慣性負荷の場合、Ｋ＝０であり、Ｆ＝Ａ_１＊Ｐ_１－Ａ_２＊Ｐ_２は油圧アクチュエータにより出力される主動力であり、ただし、Ｐ_１、Ｐ_２は油圧シリンダの大きなキャビティと小さなキャビティとの圧力であり、Ａ_１、Ａ_２は大きなキャビティと小さなキャビティとのピストンの有効面積である。）
３ポジション５ポートサーボバルブを用い、負荷圧力の動力学は下記式で表され、

（式中、Ｖ_１、Ｖ_２はそれぞれロッドキャビティとロッドレスキャビティとの容積であり、Ｖ_１＝Ｖ_０１＋Ａ_１ｘであり、Ｖ_２＝Ｖ_０２－Ａ_２ｘであり、Ｖ_０１とＶ_０２とはそれぞれピストンが初期位置にあるときのロッドレスキャビティとロッドキャビティとの容積であり、Ｃ_ｔは油圧シリンダの内部漏れ係数であり、Ｃ_ｅは油圧シリンダの外部漏れ係数であり、β_ｅはオイルの弾性率であり、Ｑ_１はロッドキャビティの作動油の流量であり、Ｑ_２はロッドレスキャビティの作動油の流量である。）
ただし、

（ただし、

は流量ゲインであり、ｓ（Γ（ｘ_ｖ））の式は

であり、
Ｐ_ｓは油圧システムの給油圧力であり、Ｐ_ｒは油圧システムの油戻し圧力であり、Ｃ_ｄはオリフィスの流量係数であり、ｗはスライドバルブの面積勾配であり、ρはオイルの密度であり、ｘ_ｖはサーボバルブのスプールである。）
電圧又は電流入力ｕによりサーボバルブのスプールの変位ｘ_ｖを制御して、さらに必要な対応する力を取得し、サーボバルブの動的特性は以下のように示され、

（τはサーボバルブの動力学モデルの時定数であり、ｕ（ｔ）は電流入力である。）
未知の不感帯があるスプールの変位Γ（ｘ_ｖ）を考慮すると、その式は

であり、
（パラメータｍ_ｒとｍ_ｌとは不感帯特性曲線の左右の傾きを表し、パラメータｂ_ｒとｂ_ｌとは入力非線形のブレークポイントを表す。）
スプールの不感帯はΓ（ｘ_ｖ）＝ｍ（ｔ）ｘ_ｖ＋ｄ（ｔ）で表され、ｍ（ｔ）、ｄ（ｔ）の式は以下のように示され、

（ｍ_ｒ、ｍ_ｌ、ｂ_ｒ、ｂ_ｌが有界であるため、ｄ（ｔ）が有界であり、ｄ（ｔ）の上限を

とする。）
状態変数を

のように定義し、未知のスプールの不感帯を有する以下の位置追跡システムの状態方程式を取得する、ことを特徴とする。

（ただし、

。） Further, the process of establishing a model of a single output rod servo-hydraulic system is as follows:
Establishing a hydraulic cylinder dynamics model based on Newton's second law,

(where f(t) represents the various interferences, x and m represent the position and mass of the load, respectively, B is the viscous damping coefficient, K is the equivalent spring stiffness of the load, and the load is inertial For the load, K=0 and F=A ₁ *P ₁ -A ₂ *P ₂ is the main force output by the hydraulic actuator, where P ₁ , P ₂ are the large cavity and small is the pressure with the cavity, and A ₁ , A ₂ are the effective areas of the piston with the large and small cavities.)
Using a 3-position 5-port servo valve, the dynamics of the load pressure is expressed by the following equation,

(where V ₁ and V ₂ are the volumes of the rod cavity and rodless cavity respectively, V ₁ =V ₀₁ +A ₁ x, V ₂ =V ₀₂ -A ₂ x, V ₀₁ and V ₀₂ is the volume of the rodless cavity and the rod cavity respectively when the piston is in the initial position, C _t is the internal leakage coefficient of the hydraulic cylinder, C _e is the external leakage coefficient of the hydraulic cylinder, β _e is the elastic modulus of the oil, _Q1 is the hydraulic fluid flow rate in the rod cavity, and _Q2 is the hydraulic fluid flow rate in the rodless cavity.)
however,

(however,

is the flow gain and the expression for s(Γ(x _v )) is

and
P _s is the oil supply pressure of the hydraulic system, P _r is the oil return pressure of the hydraulic system, C _d is the flow coefficient of the orifice, w is the area gradient of the slide valve, and ρ is the density of the oil. , _xv are the spools of the servovalves. )
Controlling the displacement _xv of the spool of the servo valve by the voltage or current input u to obtain the corresponding force required, the dynamic characteristics of the servo valve are shown as:

(τ is the time constant of the dynamic model of the servovalve and u(t) is the current input.)
Considering the spool displacement Γ(x _v ) with an unknown dead band, the expression is

and
(The parameters _mr and _ml represent the left and right slopes of the deadband characteristic curve, and the parameters _br and _bl represent the breakpoints of the input nonlinearity.)
The dead band of the spool is expressed by Γ( _xv )=m(t) _xv +d(t), and the formulas for m(t) and d(t) are shown below,

Since (m _r , m _l , b _r , b _l are bounded, d(t) is bounded and the upper bound of d(t) is given by

and )
the state variable

and obtain the following state equation of the position tracking system with unknown spool deadband:

(however,

. )

さらに、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、低複雑度制御ポリシーを用いて単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラを設計する前記プロセスは以下の通り、
誤差変数を定義し、
ｚ_１＝ｘ_１－ｘ_ｒ，ｚ_２＝ｘ_２－α_１，ｚ_３＝Ｆ－α_２，ｚ_４＝ｘ_５－α_３（１７）
（ただし、α_１、α_２、α_３は仮想制御量であり、ｘ_１ｒは油圧位置追跡システムの指令信号であり、Ｆ（Ｆ＝Ａ_１ｘ_３－Ａ_２ｘ_４）はアクチュエータにより出力される主動力であり、ｚ_１は位置追跡誤差であり、ｚ_ｉ，ｉ＝２…４は制御誤差である。）
４つの正の滑らかな減少関数

を指定された性能関数として選択し、正規化誤差ζ_ｉを定義し、ｚ_ｉ，ｉ＝１…４に対して誤差変換を行い、変換された誤差

は

であり、
以下の仮想コントローラを選択し、

サーボ油圧システムのコントローラは、

である。 Further, the process of designing a controller for a single output rod servo-hydraulic system using a low-complexity control policy based on a model of a single output rod servo-hydraulic system is as follows:
Define an error variable,
z ₁ =x ₁ −x _r ,z ₂ =x ₂ −α ₁ ,z ₃ =F −α ₂ ,z ₄ =x ₅ −α ₃ (17)
(where α ₁ , α ₂ , α ₃ are virtual control variables, x _1r is the command signal of the hydraulic position tracking system, and F (F = A ₁ x ₃ - _{A 2} x ₄ ) is output by the actuator. is the prime mover, z ₁ is the position tracking error, and z _i , i=2 . . . 4 are the control errors.)
4 positive smooth decreasing functions

as the specified performance function, define the normalized errors ζ _i , perform an error transformation on z _i , i=1 . . .

teeth

and
Select the virtual controller below,

The controller of the servo hydraulic system is

is.

さらに、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラ及び単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、単一出力ロッドのサーボ油圧システムの安定性を証明する前記プロセスは以下の通り、Ｓ３－１：初期値定理を用い、正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）にある場合、空でない開集合Ω_ζに最大解があることを証明し、Ｓ３－２：正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）にあり、空でない開集合Ω_ζに最大解がある場合、仮想コントローラ及びサーボ油圧システムのコントローラは、ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して閉ループ信号が有界であることを確保でき、Ｓ３－３：初期値の提案を用いて、Ｓ３－２におけるτ_ｍａｘ＝＋∞の場合、すべての閉ループ信号が有界であることが依然として正確であることを証明する。 Further, based on the controller of the single output rod servo-hydraulic system and the model of the single output rod servo-hydraulic system, the process of proving the stability of the single output rod servo-hydraulic system is as follows: S3- 1: Using the initial value theorem, prove that a non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution if the normalized error vector is in the period tε[0, τ _max ), S3-2: Normalized error vector is in the period t ∈ [0, τ _max ) and there is a maximum solution in the non-empty open set Ω _ζ , the virtual controller and the controller of the servo-hydraulic system determine that for t ∈ [0, τ _max ) the closed-loop signal is S3-3: Using the initial value proposal, it is still true that all closed-loop signals are bounded if τ _max =+∞ in S3-2. Prove.

さらに、初期値定理を用い、正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）にある場合、空でない開集合Ω_ζに最大解があることを証明する前記ステップにおいては、空でない開集合Ω_ζは、性能関数ρ_ｉを選択する場合、

を満たすことにより、

を得ることができるため、正規化誤差ベクトルはζ（０）∈Ω_ζであり、所望の追跡奇跡ｘ_ｒ、性能関数ρ_ｉ（ｔ），ｉ＝１…４、中間制御信号α_ｉ，ｉ＝１…３及び制御率ｕが連続的で滑らかに導出可能であり、スプールの不感帯の位置追跡システムの状態方程式における動力学変数が連続的に導出可能な関数であるため、式の正規化誤差ベクトルの関数Ｌ（ｔ，ζ）は、時間ｔに関して区分的に連続し、開集合Ω_ζでは、ζはリプシッツ条件を満たし、初期値定理における条件がいずれも満たされるため、期間［０，τ_ｍａｘ）で、正規化誤差ベクトルには唯一の最大解ζ（ｔ）∈Ω_ζがあり、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、いずれもζ_ｉ（ｔ）∈Ω_ζ，ｉ＝１…４を確保できる。 Further, in the step of using the initial value theorem to prove that the non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution if the normalized error vector is in the period tε[0, τ _max ), the non-empty open set Ω _ζ , if we choose the performance function ρ _i ,

By satisfying

, the normalized error vector is ζ(0)∈Ω _ζ , the desired tracking miracle x _r , the performance function ρ _i (t), i=1 . . . 4, the intermediate control signals α _i , i = 1 ... 3 and the control rate u are continuously and smoothly derivable, and the dynamics variables in the state equation of the position tracking system of the dead zone of the spool are continuously derivable functions, so the normalization error of the equation The vector function L(t, ζ) is piecewise continuous with respect to time t, and for an open set Ω _ζ , ζ satisfies the Lipschitz condition and both conditions in the initial value theorem are satisfied, so the period [0, τ _max ), the normalized error vector has a unique maximum solution ζ(t)∈Ω _ζ , and for ∀t∈[0, τ _max ), any ζ _i (t)∈Ω _ζ , i= 1...4 can be secured.

さらに、正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）にあり、空でない開集合Ω_ζに最大解がある場合、仮想コントローラ及びサーボ油圧システムのコントローラは、ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して閉ループ信号が有界であることを確保できる前記プロセスは以下の通り、
Ｓ３－２－１：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ１があり、０＞ｒ_１＞ｒ_Ｍ１となる。）
さらに、

を得ることができ、

とし、

であり、

が有界であることを考慮すると、極値定理から、ａ_１が有界であることが分かり、
（３１）と（３２）とから、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（３３）と（３４）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_１が有界であり、すなわち∃Ａ_１＞０であり、｜ａ_１｜＜Ａ_１、０＜Δ_１（ｔ）＜ｒ_Ｍ１ｋ_１となるため、

であり、

が有界であり、

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、追跡誤差ｚ_１が指定された境界内で減衰され、期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）での追跡誤差ｚ_１が指定された性能境界内で収束することを確保し、指令が有界正弦信号であるため、状態変数ｘ_１が有界であり、
Ｓ３－２－２：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ２があり、０＞ｒ_２＞ｒ_Ｍ２となる。）
さらに、

を得ることができ、

とし、

であり、

が有界であり、ｆ（ｔ）が未知の有界な外乱項であり、Ｂが有界な不確実性パラメータであることを考慮すると、極値定理から、ａ_２が有界であることが分かり、
（３６）と（３７）とから、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（３８）と（３９）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_２が有界であり、すなわち∃Ａ_１＞０であり、｜ａ_２｜＜Ａ_２、

となるため、

であり、

が有界であり、

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、制御誤差ｚ_２が有界であり及び状態変数ｘ_２が有界であることを確保し、
Ｓ３－２－３：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ３があり、０＞ｒ_３＞ｒ_Ｍ３となる。）
式（１０）、（２４）、（１１）及び（２１）を（４０）に代入して、

を得て、

とし、

、ただし、Ｖ_１＝Ｖ_０１＋Ａ_１ｘ、Ｖ_２＝Ｖ_０２－Ａ_２ｘ。）
サーボ油圧システムアクチュエータの安全な動作に鑑みて、安全マージンが残され、すなわち、物理的構造に基づいて、油圧シリンダが中央位置の付近に最大１２センチだけ上下に変動でき、指令信号の振幅が１０センチ以下であり、ｈ_１、ｈ_２、ｈ_３が有界であることを確保し、すなわち、それぞれ３つの正数

があり、

となり、

であり、

が有界であり、ｍ（ｔ）がスプールの不感帯の未知の傾きであり、ｍ（ｔ）が有界である（すなわち∃Ｍ_ｒ＞０，０＜ｍ（ｔ）＜Ｍ_ｒ）ことを考慮すると、極値定理から、ａ_３が有界であることが分かり、
（４１）と（４２）とから、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（４３）と（４４）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_３が有界であり、すなわち∃Ａ３＞０であり、｜ａ３｜＜Ａ３、

となるため、

であり、

が有界であり、

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、制御誤差ｚ_３が有界であり及び主動力ｕ_ｓが有界であることを確保し、状態方程式の数式から見ると、状態変数ｘ_３とｘ_４とが有界であり、いずれも油圧源Ｐ_ｓの圧力値よりも小さく、
Ｓ３－２－４：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ４があり、０＞ｒ_４＞ｒ_Ｍ４となる。）
さらに、

を得て、

とし、

であり、

が有界であり、ｋ_４がコントローラを設計するときのオプションパラメータであることを考慮すると、ａ_４が有界であり、
（４６）と（４７）とから、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（４８）と（４９）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_４が有界であり、すなわち∃Ａ_４＞０であり、｜ａ_４｜＜Ａ_４、

となるため、

であり、

が有界であり、

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、制御誤差ｚ_４が有界であり及び状態変数ｘ_５が有界であることを確保する。 Furthermore, if the normalized error vector is in the period t ∈ [0, τ _max ) and there is a maximum solution in the non-empty open set Ω _ζ , then the virtual controller and the controller of the servo-hydraulic system will determine t ∈ [0, τ _max ) The process that can ensure that the closed-loop signal is bounded for is as follows:
S3-2-1: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

, with one positive constant r _M1 , such that 0>r ₁ >r _M1 . )
moreover,

can get

year,

and

is bounded, we know from the extremum theorem that a ₁ is bounded,
From (31) and (32),

to get
Lyapunov function

and select
(33) and (34) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₁ is bounded, i.e. ∃A ₁ >0 and |a ₁ |<A ₁ , 0<Δ ₁ (t)<r _M1 k ₁ , so

and

is bounded, and

so that for ∀tε[0, τ _max ), the tracking error z ₁ decays within the specified bounds, and the tracking error z ₁ over time period tε[0, τ _max ) is ensuring convergence within the specified performance bounds, the state variable _x1 is bounded because the command is a bounded sine signal,
S3-2-2: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

and there is one positive constant r _M2 , such that 0>r ₂ >r _M2 . )
moreover,

can get

year,

and

is bounded, f(t) is an unknown bounded disturbance term, and B is a bounded uncertainty parameter, then from the extremum theorem it follows that a ₂ is bounded is understood,
From (36) and (37),

to get
Lyapunov function

and select
(38) and (39) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₂ is bounded, i.e. ∃A ₁ >0 and |a ₂ |<A ₂ ,

Because

and

is bounded, and

ensuring that the control error z ₂ is bounded and the state variable x ₂ is bounded for ∀tε[0, τ _max ),
S3-2-3: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

and there is one positive constant r _M3 such that 0>r ₃ >r _M3 . )
Substituting equations (10), (24), (11) and (21) into (40),

to get

year,

, where V ₁ =V ₀₁ +A ₁ x, V ₂ =V ₀₂ −A ₂ x. )
In view of the safe operation of the servo-hydraulic system actuators, a safety margin is left, i.e., based on the physical construction, the hydraulic cylinder can move up and down about the center position by a maximum of 12 cm, and the command signal amplitude is 10 cm. centimeters or less and ensure that h ₁ , h ₂ , h ₃ are bounded, i.e. each three positive numbers

there is

becomes,

and

is bounded, m(t) is the unknown slope of the dead zone of the spool, and m(t) is bounded (i.e. ∃M _r >0,0<m(t)<M _r ). Considering, from the extremum theorem, we know that a ₃ is bounded,
From (41) and (42),

to get
Lyapunov function

and select
(43) and (44) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, _a3 is bounded, i.e. ∃A3>0, |a3|<A3,

Because

and

is bounded, and

so that for ∀t∈[0, τ _max ), we ensure that the control error z ₃ is bounded and the main power u _s is bounded, and from the equation of state formula we see , the state variables _x3 and _x4 are bounded, and both are smaller than the pressure value of the hydraulic source _Ps ,
S3-2-4: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

and there is one positive constant r _M4 such that 0>r ₄ >r _M4 . )
moreover,

to get

year,

and

is bounded and k ₄ is an optional parameter when designing the controller, a ₄ is bounded and
From (46) and (47),

to get
Lyapunov function

and select
(48) and (49) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₄ is bounded, i.e. ∃A ₄ >0 and |a ₄ |<A ₄ ,

Because

and

is bounded, and

to ensure that the control error z ₄ is bounded and the state variable x ₅ is bounded for ∀tε[0, τ _max ).

さらに、前記不等式補助定理の式は、

であり、
ａが有界であり（すなわち∃Ａ＞０，｜ａ｜＜Ａ）、

である場合、ｘが必ず有界であり、

である。 Furthermore, the expression of the above inequality lemma is

and
a is bounded (i.e. ∃A>0, |a|<A),

, then x must be bounded, and

is.

さらに、初期値の提案を用いて、Ｓ３－２におけるτ_ｍａｘ＝＋∞の場合、すべての閉ループ信号が有界であることが依然として正確であることを証明する前記プロセスは以下の通り、

であるため、

は、空でない集合であり、

であり、τ_ｍａｘ＜＋∞を仮定すると、初期値の提案では１つの時定数ｔ_１∈［０，τ_ｍａｘ）があることが強調され、

となり、矛盾を引き起こし、得られた仮定がτ_ｍａｘ＝＋∞であり、いずれかのｔ∈［０，＋∞）に対して、すべての閉ループシステム信号が有界であり、追跡誤差が指定された境界内で収束することを確保できる。 Furthermore, the above process to prove that it is still correct that all closed-loop signals are bounded for τ _max =+∞ in S3-2 using the initial value proposal is as follows:

Because

is a non-empty set and

, and assuming τ _max <+∞, the initial value proposal emphasizes that there is one time constant t ₁ ε[0, τ _max ),

, which causes a contradiction, and the assumption obtained is that τ _max =+∞, that for any tε[0,+∞) all closed-loop system signals are bounded, and the tracking error is specified can be guaranteed to converge within the bounds

上記技術的解決手段が用いられるため、本発明に係る非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法は、油圧システムに存在する様々な不確実性問題（例えば、未知の摩擦効果、パラメータの不確実性及び負荷変化）及び未知の非線形問題（例えば、スプールの不感帯、外乱）を解決でき、コントローラの設計は、正確な数学的モデルに依存せず、測定可能な状態信号のみが必要であり、制御率の計算は、バックステッピング適応に基づいて開発された既存のアルゴリズムと比較して、計算プロセスが簡単であり、計算量が少なく、リアルタイム制御が容易であり、工学的実現が容易であり、本発明は、追跡誤差の収束速度と定常状態の精度とを確保でき、最後に、実験結果によると、従来のｐｉｄ制御方法と比較して、本発明の位置追跡効果は、定常状態の精度が高くなり、追跡変位の位相遅れ程度が小さくなることが証明されている。所望の軌跡信号の周波数が向上する場合、ｐｉｄアルゴリズムの制御により得られた実際の追跡変位の位相遅れ程度が大きいほど、振幅が大幅に減衰され、変位追跡誤差が大きくなるが、本発明の制御アルゴリズムは、所望の軌跡信号の周波数が向上する場合、得られた実際の制御変位の遅れ程度が基本的に変化せず、追跡誤差が常に指定された境界内で収束し、振幅が基本的に減衰されない。所望の信号の周波数が変化せず、振幅が大きくなる場合、ｐｉｄアルゴリズムの変位追跡誤差が大きくなるが、本発明の制御アルゴリズムは、依然として追跡誤差が指定された境界内で収束することを確保でき、位相遅れ程度が小さく、振幅が基本的に減衰されない。 Because the above technical solution is used, the low-complexity control method for the asymmetric servo-hydraulic position tracking system according to the present invention can be applied to various uncertainties existing in the hydraulic system (e.g. unknown friction effect, parameter uncertainty and load changes) and unknown non-linear problems (e.g. spool deadband, disturbances), the controller design does not rely on exact mathematical models and only requires measurable state signals. , and the control rate calculation has a simple calculation process, a small amount of calculation, an easy real-time control, and an easy engineering realization, compared with existing algorithms developed based on backstepping adaptation. There is, the present invention can ensure the tracking error convergence speed and steady state accuracy. Finally, according to the experimental results, compared with the conventional pid control method, the position tracking effect of the present invention is It has been proven that the accuracy is higher and the phase lag of the tracking displacement is smaller. When the frequency of the desired trajectory signal is improved, the greater the degree of phase lag of the actual tracking displacement obtained by the control of the pid algorithm, the greater the attenuation of the amplitude and the greater the displacement tracking error. The algorithm ensures that when the frequency of the desired trajectory signal increases, the lag degree of the obtained actual control displacement remains essentially unchanged, the tracking error always converges within the specified bounds, and the amplitude is essentially not attenuated. If the desired signal's frequency does not change and its amplitude increases, the displacement tracking error of the pid algorithm will increase, but the control algorithm of the present invention can still ensure that the tracking error converges within the specified bounds. , the phase lag is small and the amplitude is basically not attenuated.

本願の実施例又は従来技術における技術的解決手段をより明確に説明するために、以下、実施例又は従来技術の説明で使用される必要がある図面を簡単に説明し、明らかに、以下に説明される図面は、本願に記載のいくつかの実施例に過ぎず、当業者であれば、創造的な労働を必要とせずに、これらの図面に基づいて他の図面を取得することができる。 In order to describe the embodiments of the present application or the technical solutions in the prior art more clearly, the following briefly describes the drawings that need to be used in the description of the embodiments or the prior art. The drawings shown are only some examples described in this application, and those skilled in the art can obtain other drawings based on these drawings without creative efforts.

本発明に係る非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法のフローチャートである。1 is a flowchart of a low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system according to the present invention; 単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルのブロック図である。1 is a block diagram of a model of a single output rod servo-hydraulic system; FIG. 実験プラットフォームの構造構成図Ｉである。1 is a structural diagram I of an experimental platform; FIG. 実験プラットフォームの構造構成図ＩＩである。Fig. 2 is a structural diagram II of the experimental platform; 実験プラットフォームの構造構成図ＩＩＩである。Fig. III is the structural configuration diagram of the experimental platform; 実験プラットフォームの構造構成図ＩＶである。FIG. IV is a structural configuration diagram of the experimental platform; 本発明のコントローラの作用下での誤差収束のシミュレーション曲線図である。FIG. 4 is a simulation curve diagram of error convergence under the action of the controller of the present invention; 外乱作用下での追跡誤差収束のシミュレーション曲線図である。FIG. 4 is a simulation curve diagram of tracking error convergence under disturbance action; 未知のスプールの不感帯の作用下での誤差収束のシミュレーション曲線図である。FIG. 10 is a simulation curve diagram of error convergence under the action of unknown spool deadband; 未知のスプールの不感帯の作用下でのスプール変位のシミュレーション曲線図である。FIG. 11 is a simulation curve diagram of spool displacement under the action of an unknown spool dead band; 本発明の制御方法と、指定された性能を満たす、スプールの未知の不感帯を有する適応バックステッピング制御方式（ＳＰＰＦＢＳＡ）と、の誤差収束の比較シミュレーション曲線図である。FIG. 10 is a comparative simulation curve diagram of the error convergence of the control method of the present invention and an adaptive backstepping control scheme with unknown spool deadband (SPPFBSA) meeting specified performance; 本発明の制御方法とＳＰＰＦＢＳＡとのシミュレーション計算時間及び誤差調整時間の統計図である。FIG. 4 is a statistical diagram of simulation calculation time and error adjustment time between the control method of the present invention and SPPFBSA; 指令信号がＴＳ＝３ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（（２＊ｐｉ＊ｔ）／３）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図である。FIG. 10 is a comparative experiment diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=3s: _xr =100sin((2*pi*t)/3)mm; 指令信号がＴＳ＝３ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（（２＊ｐｉ＊ｔ）／３）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図である。FIG. 10 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=3s: _xr =100sin((2*pi*t)/3)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図である。FIG. 10 is a comparison experimental diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=2s: _xr =100sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図である。FIG. 10 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=2s: _xr =100sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝１ｓ：ｘ_ｒ＝５０ｓｉｎ（２＊ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図である。FIG. 10 is a comparison experimental diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=1 s:x _r =50 sin(2*pi*t) mm; 指令信号がＴＳ＝１ｓ：ｘ_ｒ＝５０ｓｉｎ（２＊ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図である。FIG. 5 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=1 s:x _r =50 sin(2*pi*t) mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図である。FIG. 10 is a comparison experimental diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=2s: _xr =100sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図である。FIG. 10 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=2s: _xr =100sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝８０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図である。FIG. 10 is a comparison experimental diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=2s: _xr =80sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝８０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図である。FIG. 10 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=2s: _xr =80sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝６０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図である。FIG. 10 is a comparison experiment diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=2s: _xr =60sin(pi*t)mm; 指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝６０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図である。FIG. 10 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=2s: _xr =60sin(pi*t)mm;

本発明の技術的解決手段及び利点をより明確にするために、以下、本発明の実施例における図面を参照しながら、本発明の実施例における技術的解決手段を明確、完全に説明する。 In order to make the technical solutions and advantages of the present invention clearer, the following clearly and completely describes the technical solutions in the embodiments of the present invention with reference to the drawings in the embodiments of the present invention.

以下、図面を参照しながら、本発明の具体的な実施形態をさらに説明する。 Specific embodiments of the present invention will be further described below with reference to the drawings.

図１は本発明に係る非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法のフローチャートであり、非対称サーボ油圧位置追跡システムのための低複雑度制御方法は、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルを確立するステップＳ１と、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、低複雑度制御ポリシーを用いて単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラを設計するステップＳ２と、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラ及び単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、単一出力ロッドのサーボ油圧システムの安定性を証明するステップＳ３と、を含み、図２は単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルのブロック図である。 FIG. 1 is a flowchart of a low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system according to the present invention. designing a controller for the single output rod servo-hydraulic system using a low-complexity control policy based on the model for the single output rod servo-hydraulic system; and step S3 of proving the stability of the single output rod servo-hydraulic system based on the controller of the output rod servo-hydraulic system and the model of the single output rod servo-hydraulic system, wherein FIG. 1 is a block diagram of a model of a rod's servo-hydraulic system; FIG.

単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルを確立する前記プロセスは以下の通り、
先ず、ニュートンの第２法則に基づいて油圧シリンダの動力学モデルを確立し、

（力学方程式（１）の追加項ｆ（ｔ）は様々な干渉（例えば、モデル化されていない摩擦効果、モデル化されていない動力学、外乱など）を表し、ｘとｍとはそれぞれ負荷の位置と質量とを表し、Ｂは粘性減衰係数であり、Ｋは負荷の等価ばね剛性であり、負荷が主に慣性負荷であるため、Ｋ＝０であり、Ｆ＝Ａ_１＊Ｐ_１－Ａ_２＊Ｐ_２は油圧アクチュエータにより出力される主動力であり、ただし、Ｐ_１、Ｐ_２は油圧シリンダの大きなキャビティと小さなキャビティとの圧力であり、圧力センサにより測定でき、Ａ_１、Ａ_２は大きなキャビティと小さなキャビティとのピストンの有効面積である。）
仮定１：干渉項ｆ（ｔ）が有界であり、すなわち∃ｆ_ｍ＞０であり、｜ｆ（ｔ）＜ｆ_ｍ｜となり、粘性減衰係数Ｂが不確実な有界な正のパラメータであり、すなわち

であり、

となり、本発明では、３ポジション５ポートバルブのピストンアクチュエータを用い、負荷圧力の動力学は以下のように示され、

（式中、Ｖ_１、Ｖ_２はそれぞれロッドキャビティとロッドレスキャビティとの容積（Ｖ_１＝Ｖ_０１＋Ａ_１ｘ、Ｖ_２＝Ｖ_０２－Ａ_２ｘ）であり、Ｖ_０１とＶ_０２とはそれぞれピストンが初期位置にあるときのロッドレスキャビティとロッドキャビティとの容積であり、Ｃ_ｔは油圧シリンダの内部漏れ係数でありであり、Ｃ_ｅは油圧シリンダの外部漏れ係数であり、β_ｅはオイルの弾性率であり、Ｑ_１はロッドキャビティの給油（油戻し）流量であり、Ｑ_２はロッドレスキャビティの油戻し（給油）流量である。）、Ｑ_１とＱ_２との計算式は、

であり、
（ただし、

は流量ゲインであり、ｓ（Γ（ｘ_ｖ））の式は

であり、
Ｐ_ｓは油圧システムの給油圧力であり、Ｐ_ｒは油圧システムの油戻し圧力であり、Ｃ_ｄはオリフィスの流量係数であり、ｗはスライドバルブの面積勾配であり、ρはオイルの密度であり、ｘ_ｖはサーボバルブのスプールの変位である。）
仮定２：不確実性パラメータの内部漏れ係数Ｃ_ｔが有界であり、すなわち

であり、

となり、不確実性パラメータの内部漏れ係数Ｃ_ｅが有界であり、すなわち

であり、

となり、不確実性パラメータのオイルの弾性率β_ｅが有界であり、すなわち

であり、

となり、
油圧アクチュエータの操作では、実際には、電圧又は電流入力ｕによりサーボバルブのスプールの変位ｘ_ｖを制御して、必要な対応する力をさらに取得し、サーボバルブの動的特性は以下のように示され、

（τはサーボバルブの動力学モデルの時定数であり、ｕ（ｔ）は電流入力である。）
本明細書では、未知の不感帯があるスプールの変位Γ（ｘ_ｖ）を考慮すると、その式は

であり、
（パラメータｍ_ｒとｍ_ｌとは不感帯特性曲線の左右の傾きを表し、パラメータｂ_ｒとｂ_ｌとは入力非線形のブレークポイントを表す。）
仮定３：パラメータｍ_ｒ、ｍ_ｌ、ｂ_ｒ、ｂ_ｌが未知の正数であり、ｍ_ｒ＝ｍ_ｌであり、本明細書では、傾きの上限はｍ_ｍａｘであり、ｂ_ｒの上限は

であり、ｂ_ｌの上限は

であり、スプールの不感帯はΓ（ｘ_ｖ）＝ｍ（ｔ）ｘ_ｖ＋ｄ（ｔ）で表されてもよく、ｍ（ｔ）、ｄ（ｔ）の式は以下のように示され、

とする。）
周知のように、サーボバルブは、電気油圧アクチュエータにおける重要な機械部材であり、サーボバルブのスプールの変位を電流又は電圧制御し、さらにオイルキャビティへの作動油の抽入又は抽出を制御し、最後に、アクチュエータは対応する移動を実行し、明らかに、サーボ油圧位置追跡システムでは、スプールの不感帯の非線形問題が必然的に存在し、従って、この問題の悪影響を考慮してより良好なシステム性能を取得する必要があり、また、実際の応用では、不感帯モデルの正確な傾き及び間隔ポイントを取得することは困難であることを考慮するため、この問題を解決するためのロバスト性の高い新規の制御ポリシーが提案されており、
油圧非対称シリンダの位置追跡システムを状態空間式の形態に導出するために、状態変数を

のように定義し、（１）～（６）の動力学方程式によりスプールの不感帯を有する以下の状態方程式を取得できる。

（ただし、

。） The process of establishing a model of a single output rod servo-hydraulic system is as follows:
First, establish a dynamics model of the hydraulic cylinder based on Newton's second law,

(The additional term f(t) in the dynamics equation (1) represents various interferences (e.g., unmodeled frictional effects, unmodeled dynamics, disturbances, etc.), and x and m are the loads, respectively. Denoting position and mass, B is the viscous damping coefficient, K is the equivalent spring stiffness of the load, and since the load is primarily an inertial load, K=0 and F=A ₁ *P ₁ −A ₂ * _P2 is the main power output by the hydraulic actuator, where _P1 , _P2 are the pressures of the large and small cavities of the hydraulic cylinder, which can be measured by pressure sensors, and _A1 , _A2 are is the effective area of the piston between the large and small cavities.)
Assumption 1: The interference term f(t) is bounded, i.e. ∃f _m >0, such that |f(t)<f _m |, and the viscous damping coefficient B is an uncertain bounded positive parameter Yes, i.e.

and

Therefore, in the present invention, a 3-position 5-port valve piston actuator is used, and the dynamics of the load pressure is shown as follows,

(In the formula, V ₁ and V ₂ are the volumes of the rod cavity and the rodless cavity (V ₁ =V ₀₁ +A ₁ x, V ₂ =V ₀₂ −A ₂ x), respectively, and V ₀₁ and V ₀₂ are are the volumes of the rodless cavity and rod cavity respectively when the piston is in the initial position, _Ct is the internal leakage coefficient of the hydraulic cylinder, _Ce is the external leakage coefficient of the hydraulic cylinder, and _βe is is the elastic modulus of oil, _Q1 is the rod cavity oil supply (oil return) flow rate, and _Q2 is the rodless cavity oil return (oil return) flow rate.), the formula for _Q1 and _Q2 is ,

and
(however,

is the flow gain and the expression for s(Γ(x _v )) is

and
P _s is the oil supply pressure of the hydraulic system, P _r is the oil return pressure of the hydraulic system, C _d is the flow coefficient of the orifice, w is the area gradient of the slide valve, and ρ is the density of the oil. , _xv is the displacement of the spool of the servovalve. )
Assumption 2: The internal leakage coefficient _Ct of the uncertainty parameter is bounded, i.e.

and

and the internal leakage coefficient C _e of the uncertainty parameter is bounded, i.e.

and

and the uncertainty parameter β _e of the elastic modulus of oil is bounded, i.e.

and

becomes,
In the operation of the hydraulic actuator, in practice, the displacement x _v of the spool of the servo valve is controlled by the voltage or current input u to further obtain the required corresponding force, and the dynamic characteristics of the servo valve are as follows: shown,

(τ is the time constant of the dynamic model of the servovalve and u(t) is the current input.)
Here, considering the spool displacement Γ(x _v ) with an unknown dead band, the expression is

and
(The parameters _mr and _ml represent the left and right slopes of the deadband characteristic curve, and the parameters _br and _bl represent the breakpoints of the input nonlinearity.)
Assumption 3: The parameters m _r , m _l , b _r , b _l are unknown positive numbers, m _r = m _l , and here the upper bound of the slope is m _max and the upper bound of b _r is

and the upper limit of b _l is

, and the dead band of the spool may be expressed as Γ(x _v )=m(t)x _v +d(t), and the formulas for m(t), d(t) are shown as follows,

and )
As is well known, a servovalve is an important mechanical member in an electrohydraulic actuator, which controls current or voltage control of the displacement of the spool of the servovalve, further controls the inflow or extraction of hydraulic oil into the oil cavity, and finally On the other hand, the actuator performs a corresponding movement, and obviously, in a servo hydraulic position tracking system, the non-linear problem of the spool dead band inevitably exists, so considering the adverse effects of this problem leads to better system performance. Considering that it is necessary to obtain and that in practical applications it is difficult to obtain the exact slope and interval points of the dead zone model, a novel robust control is proposed to solve this problem. A policy is proposed
In order to derive the position tracking system for a hydraulic asymmetric cylinder in the form of a state-space formula, the state variables are

, and the following equation of state with the dead zone of the spool can be obtained from the dynamic equations (1) to (6).

(however,

. )

単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、低複雑度制御ポリシーを用いて単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラを設計する前記プロセスは以下の通り、
誤差変数を定義し、
ｚ_１＝ｘ_１－ｘ_ｒ，ｚ_２＝ｘ_２－α_１，ｚ_３＝Ｆ－α_２，ｚ_４＝ｘ_５－α_３（１７）
（ただし、α_１、α_２、α_３は後続の証明プロセスで取得された仮想制御量であり、Ｘ_１ｒは油圧位置追跡システムの指令信号であり、Ｆ（Ｆ＝Ａ_１ｘ_３－Ａ_２ｘ_４）はアクチュエータにより出力される主動力であり、ｚ_１は位置追跡誤差であり、ｚ_ｉ，ｉ＝２…４は制御誤差である。）
追跡誤差の過渡と定常状態との問題を解決し、仮想制御量をスムーズに選択するために、４つの正の滑らかな減少関数

を指定された性能関数として選択し、正規化誤差ζ_ｉを定義し、ｚ_ｉ，ｉ＝２…４に対して誤差変換を行い、変換された誤差

は

であり、
以下の仮想制御関数を選択し、

サーボ油圧システムのコントローラは、

である。 The process of designing a controller for a single output rod servo-hydraulic system using a low-complexity control policy based on a model of a single output rod servo-hydraulic system is as follows:
Define an error variable,
z ₁ =x ₁ −x _r ,z ₂ =x ₂ −α ₁ ,z ₃ =F −α ₂ ,z ₄ =x ₅ −α ₃ (17)
(where α ₁ , α ₂ , α ₃ are virtual control variables obtained in the subsequent proof process, X _1r is the command signal of the hydraulic position tracking system, F(F=A ₁ x ₃ −A ₂ x ₄ ) is the prime force output by the actuator, z ₁ is the position tracking error, and z _i , i=2...4 is the control error.)
To solve the tracking error transient and steady-state problem and select the virtual controlled variable smoothly, four positive smooth decreasing functions

as the specified performance function, define the normalized errors ζ _i , perform an error transformation on z _i , i=2 .

teeth

and
Select the virtual control function below,

The controller of the servo hydraulic system is

is.

さらに、単一出力ロッドのサーボ油圧システムのコントローラ及び単一出力ロッドのサーボ油圧システムのモデルに基づいて、単一出力ロッドのサーボ油圧システムの安定性を証明する前記プロセスは以下の通り、Ｓ３－１：初期値定理を用い、正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）にある場合、空でない開集合Ω_ζに最大解があることを証明し、Ｓ３－２：正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）にあり、空でない開集合Ω_ζに最大解がある場合、仮想コントローラ及びサーボ油圧システムのコントローラは、ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して閉ループ信号が有界であることを確保でき、Ｓ３－３：初期値の提案を用いて、Ｓ３－２におけるτ_ｍａｘ＝＋∞の場合、すべての閉ループ信号が有界であることが依然として正確であることを証明する。コントローラの安定性の証明をスムーズに完了するために、補助定理が提案されており、該補助定理の正確さが証明される。 Further, based on the controller of the single output rod servo-hydraulic system and the model of the single output rod servo-hydraulic system, the process of proving the stability of the single output rod servo-hydraulic system is as follows: S3- 1: Using the initial value theorem, prove that a non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution if the normalized error vector is in the period tε[0, τ _max ), S3-2: Normalized error vector is in the period t ∈ [0, τ _max ) and there is a maximum solution in the non-empty open set Ω _ζ , the virtual controller and the controller of the servo-hydraulic system determine that for t ∈ [0, τ _max ) the closed-loop signal is S3-3: Using the initial value proposal, it is still true that all closed-loop signals are bounded if τ _max =+∞ in S3-2. Prove. In order to smoothly complete the proof of controller stability, a lemma is proposed and the correctness of the lemma is proved.

前記不等式補助定理の式は、

である場合、ｘが必ず有界であり、

であり、

であるため、

であり、
｜ｘ｜＞Ａの場合、

であるため、

であることが証明され、
位置誤差、及び誤差変数（１７）と正規化誤差ζ_ｉ（１８）との関係に基づいて、ｘ_１、ｘ_２、Ｆ、ｘ_５を、ｘ_１＝ζ_１ρ_１＋ｘ_ｒ，ｘ_２＝ζ_２ρ_２＋α_１，Ｆ＝ζ_３ρ_３＋α_２，ｘ_５＝ζ_４ρ_４＋α_３（２４）のように書き直すことができ、
（１８）におけるζ_ｉ（ｉ＝１…４）を直接導出して、

（ただし、

）

を得ることができ、
正規化誤差ベクトルζ＝［ζ_１，ζ_２，ζ_３，ζ_４］^Ｔを定義することにより、（２５）～（２８）を以下の形態に書くことができ、

開集合

を定義する。 The formula for the inequality lemma is

and
a is bounded (i.e. ∃A>0, |a|<A),

, then x must be bounded, and

and

Because

and
If |x|>A, then

Because

is proved to be
Based on the position error and the relationship between the error variables (17) and the normalized error ζ _i (18), let x ₁ , x ₂ , F, x ₅ be x ₁ = ζ ₁ ρ ₁ + x _r , x ₂ = ζ ₂ ρ ₂ + α ₁ , F = ζ ₃ ρ ₃ + α ₂ , x ₅ = ζ ₄ ρ ₄ + α ₃ (24) can be rewritten as
Directly deriving ζ _i (i=1 . . . 4) in (18),

(however,

)

can get
By defining the normalized error vector ζ=[ζ ₁ , ζ ₂ , ζ ₃ , ζ ₄ ] ^T , (25)-(28) can be written in the form

open set

Define

さらに、初期値定理を用い、正規化誤差ベクトルが期間ｔ∈にある場合、空でない開集合Ω_ζに最大解があることを証明するプロセスは以下の通り、Ω_ζは空でない開集合であり、性能関数ρ_ｉを選択する場合、

を満たすことにより、

を導出することができるため、式（２９）に対してζ（０）∈Ω_ζであり、また、所望の追跡奇跡ｘ_ｒ、性能関数ρ_ｉ（ｔ），ｉ＝１…４、中間制御信号α_ｉ，ｉ＝１…３及び制御率ｕが連続的で滑らかに導出可能であり、スプールの不感帯の位置追跡システムの状態方程式における動力学変数が連続的に導出可能な関数であるため、式の正規化誤差ベクトルの関数Ｌ（ｔ，ζ）は、時間ｔに関して区分的に連続し、開集合Ω_ζでは、ζはリプシッツ条件を満たし、初期値定理における条件がいずれも満たされるため、期間［０，τ_ｍａｘ）で、正規化誤差ベクトルには唯一の最大解ζ（ｔ）∈Ω_ζがあり、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、いずれもζ_ｉ（ｔ）∈Ω_ζ，ｉ＝１…４を確保できる。 Furthermore, using the initial value theorem, the process of proving that a non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution if the normalized error vector is in the period tε is as follows, Ω _ζ is a non-empty open set and , if we choose the performance function ρ _i ,

By satisfying

(29) so that ζ(0)∈Ω _ζ for Eq. (29), and the desired tracking miracle x _r , the performance function ρ _i (t), i=1 . . . 4, the intermediate control Since the signals α _i , i=1 . Since the function L(t, ζ) of the normalized error vector in Eq. is piecewise continuous with respect to time t, and for an open set Ω _ζ , ζ satisfies the Lipschitz condition and both conditions in the initial value theorem are satisfied, In the period [0, τ _max ), the normalized error vector has a unique maximum solution ζ(t)∈Ω _ζ , and for ∀t∈[0, τ _max ), any ζ _i (t)∈ Ω _ζ , i=1 . . . 4 can be secured.

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ１があり、０＞ｒ_１＞ｒ_Ｍ１となる。）
式（１０）、（２４）及び（１９）を（３０）に代入して、

を得て、

とし、

であり、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（３３）と（３４）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_１が有界∃Ａ_１＞０であり、｜ａ_１｜＜Ａ_１、０＜Δ_１（ｔ）＜ｒ_Ｍ１ｋ_１となるため、

であり、

が有界であり、（１３）と（１４）とから

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、追跡誤差ｚ_１が指定された境界内で減衰され、従って、期間ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）での追跡誤差ｚ_１が指定された性能境界内で収束することを確保でき、指令が有界正弦信号であるため、状態変数ｘ_１が有界であり、
Ｓ３－２－２：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ２があり、０＞ｒ_２＞ｒ_Ｍ２となる。）
式（１０）、（２４）及び（２０）を（３５）に代入して、

を得て、

とし、

であり、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（３８）と（３９）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_２が有界∃Ａ_２＞０であり、｜ａ_２｜＜Ａ_２、

となるため、

であり、

が有界であり、（１３）と（１４）とから

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、制御誤差ｚ_２が有界であり及び状態変数ｘ_２が有界であることを確保でき、
Ｓ３－２－３：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

を得て、

とし、
（ただし、

、ただし、Ｖ_１＝Ｖ_０１＋Ａ_１ｘ、Ｖ_２＝Ｖ_０２－Ａ_２ｘ。）、実際の問題では、アクチュエータの安全な動作を考慮し、安全マージンが残され（すなわち、物理的構造に基づいて、油圧シリンダが中央位置の付近に最大１２センチだけ上下に変動でき、与えられた指令信号が、一般的に１０センチを超えない。）、このように、ｈ_１，ｈ_２，ｈ_３が有界であることを確保でき、すなわち、それぞれ３つの正数

があり、

となり、

であり、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（４３）と（４４）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_３が有界∃Ａ_３＞０であり、｜ａ_３｜＜Ａ_３、

となるため、

であり、

が有界であり、（１３）と（１４）とから

を得ることができるため、に対して、制御誤差ｚ_３が有界であり及び主動力ｕ_ｓが有界であることを確保でき、数学的モデルのＨ_１とＨ_２との数式から見ると、状態変数ｘ_３とｘ_４とが有界であり、いずれも油圧源Ｐ_ｓの圧力値よりも小さく、
Ｓ３－２－４：式（１８）に基づいて

の時間に対する導関数

を求めて、

（ただし、

であり、１つの正の定数ｒ_Ｍ４があり、０＞ｒ_４＞ｒ_Ｍ４となる。）
式（１０）、（２４）及び（２２）を（４５）に代入して、

を得て、

とし、

であり、

を得て、
リアプノフ関数

を選択し、
（４８）と（４９）とは、不等式補助定理の形態を満たし、不等式補助定理から分かるように、ａ_４が有界∃Ａ_４＞０であり、｜ａ_４｜＜Ａ_４、

となるため、

であり、

が有界であり、（１３）と（１４）とから

を得ることができるため、∀ｔ∈［０，τ_ｍａｘ）に対して、制御誤差ｚ_４が有界であり及び状態変数ｘ_５が有界であることを確保できる。 Furthermore, if the normalized error vector is in the period t ∈ [0, τ _max ) and there is a maximum solution in the non-empty open set Ω _ζ , then the virtual controller and the controller of the servo-hydraulic system will determine t ∈ [0, τ _max ) The process that can ensure that the closed-loop signal is bounded for is as follows:
S3-2-1: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

, with one positive constant r _M1 , such that 0>r ₁ >r _M1 . )
Substituting equations (10), (24) and (19) into (30),

to get

year,

and

to get
Lyapunov function

and select
(33) and (34) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₁ is bounded ∃ _{A 1} _> 0 and |a ₁ | Since ₁ (t)<r _M1 k ₁ ,

and

is bounded, and from (13) and (14),

so that for _∀tε [0, τ _max ), the tracking error z ₁ is damped within the specified bounds, thus the tracking error z ₁ can be guaranteed to converge within the specified performance bounds, and the command is a bounded sine signal, so the state variable x ₁ is bounded,
S3-2-2: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

and there is one positive constant r _M2 , such that 0>r ₂ >r _M2 . )
Substituting equations (10), (24) and (20) into (35),

to get

year,

and

to get
Lyapunov function

and select
(38) and ₍ 39) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₂ is bounded ∃A ₂ > ₀ ,

Because

and

is bounded, and from (13) and (14),

, we can ensure that the control error z ₂ is bounded and the state variable x ₂ is bounded for ∀tε[0, τ _max ),
S3-2-3: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

to get

year,
(however,

, where V ₁ =V ₀₁ +A ₁ x, V ₂ =V ₀₂ −A ₂ x. ), in a practical matter, considering the safe operation of the actuator, a safety margin is left (i.e., based on the physical construction, the hydraulic cylinder can fluctuate up and down by a maximum of 12 cm around the center position, given command signals generally do not exceed 10 cm.), thus ensuring that h ₁ , h ₂ , and h ₃ are bounded, i.e. each three positive numbers

there is

becomes,

and

to get
Lyapunov function

and select
(43) and ₍ 44) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₃ is bounded ∃A ₃ > ₀ ,

Because

and

is bounded, and from (13) and (14),

, it can be ensured that the control error z ₃ is bounded and the main power u _s is bounded, and from the expressions of H ₁ and H ₂ in the mathematical model, , the state variables _x3 and _x4 are bounded, both smaller than the pressure value of the hydraulic source _Ps ,
S3-2-4: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

and there is one positive constant r _M4 such that 0>r ₄ >r _M4 . )
Substituting equations (10), (24) and (22) into (45), we get

to get

year,

and

to get
Lyapunov function

and select
(48) and ₍ 49) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₄ is bounded ∃A ₄ > ₀ ,

Because

and

is bounded, and from (13) and (14),

, we can ensure that the control error z ₄ is bounded and the state variable x ₅ is bounded for ∀tε[0, τ _max ).

さらに、初期値の提案を用いて、Ｓ３－２におけるｒ_ｍａｘ＝＋∞の場合、すべての閉ループ信号が有界であることが依然として正確であることを証明する前記プロセスは以下の通り、上証明から、

が有界であり、すなわち

であることが分かり、式（２３）から、

が空でない集合であり、

が明らかになることが分かり、従って、τ_ｍａｘ＜＋∞を仮定すると、初期値の提案では１つの時定数ｔ_１∈［０，τ_ｍａｘ）があることが強調され、

となり、矛盾を顕著に引き起こす。従って、得られた正確な仮定がτ_ｍａｘ＝＋∞であるため、いずれかのｔ∈［０，＋∞）に対して、すべての閉ループシステム信号が有界であり、追跡誤差が指定された境界内で収束することを確保できる。 Further, using the initial value proposal, the above process of proving that it is still correct that all closed-loop signals are bounded for r _max =+∞ in S3-2 follows the above proof from,

is bounded, i.e.

and from equation (23),

is a non-empty set and

is found to become apparent, thus emphasizing that the initial value proposal has one time constant t ₁ ε[0, τ _max ), assuming τ _max <+∞,

, which leads to significant contradiction. Therefore, for any tε[0,+∞), all closed-loop system signals are bounded, and the tracking error was specified because the exact assumption obtained is τ _max =+∞ It can ensure convergence within bounds.

初期値問題を考慮すると、
ζ（ｔ）＝ν（ｔ、ζ）、ζ（０）＝ζ_０∈Ω_ζ（５０）
（ただし、ν：Ｒ＋×Ω_ζ→Ｒ_ｎは連続関数ベクトルであり、Ω_ζ∈Ｒ_ｎは空でない開集合である。）
定義１：初期値問題（５０）の１つの解ζ（ｔ）が、適切に大きくならない場合、該解は最大であり、
初期値定理としては、初期値問題（１２）に対して、（１）ｔ＞０の場合、ζ、ν（ｔ、ζ）に関して、ν（ｔ、ζ）が部分Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件を満たし、（２）ζ（ｔ）∈Ω_ζに関して、ν（ｔ、ζ）が区分的連続を満たし、（３）ζ（ｔ）∈Ω_ζに関して、ν（ｔ、ζ）がｔに関して局所的に積分可能である場合、期間ｔ∈［０、τ_ｍａｘ）で、初期値問題（５０）には１つの解ζ（ｔ）∈Ω_ζがあり、ただしτ_ｍａｘ＞０である。初期値の提案としては、初期値定理が成立すると仮定し、期間［０、τ_ｍａｘ）における最大解ζ（ｔ）かつ集合

に対して、τ_ｍａｘ＜∞の場合、時定数ｔ_１∈［０、τ_ｍａｘ）があり、

となる。 Considering the initial value problem,
ζ(t)=ν(t, ζ), ζ(0)=ζ ₀ ∈Ω _ζ (50)
(where ν:R++Ω _ζ →R _n is a continuous function vector and Ω _ζ εR _n is a non-empty open set.)
Definition 1: A solution ζ(t) of the initial value problem (50) is maximal if it does not grow adequately, and
As the initial value theorem, for the initial value problem (12), (1) if t>0, ν(t, ζ) satisfies the partial Lipschitz condition for ζ, ν(t, ζ), and (2 ) for ζ(t)∈Ω _ζ , ν(t, ζ) satisfies piecewise continuity, and (3) for ζ(t) ∈ Ω _ζ , ν(t, ζ) is locally integrable with respect to t. If there is a period tε[0, τ _max ), the initial value problem (50) has one solution ζ(t)εΩ _ζ with τ _max >0. As an initial value proposal, assuming that the initial value theorem holds, the maximum solution ζ(t) in the period [0, τ _max ) and the set

, there is a time constant t ₁ ε[0, τ _max ) for τ _max <∞, and

becomes.

さらに、前記不等式補助定理の式は、

であり、
ａが有界であり（すなわち∃Ａ４＞０，｜ａ｜＜Ａ）、

である場合、ｘが必ず有界であり、

である。 Furthermore, the expression of the above inequality lemma is

and
a is bounded (i.e. ∃A>0, |a|<A),

, then x must be bounded, and

is.

本発明のコントローラの設計の正確さを検証するために、実験プラットフォームが構築され、実験ソフトウェアプログラムをデバッグし、実験プラットフォームの構築は、主にソフトウェア設計とハードウェア回路接続との２つの部分に分けられ、図３（ａ）は実験プラットフォームの構造構成図Ｉであり、図３（ｂ）は実験プラットフォームの構造構成図ＩＩであり、図３（ｃ）は実験プラットフォームの構造構成図ＩＩＩであり、図３（ｄ）は実験プラットフォームの構造構成図ＩＶであり、実験プラットフォームのハードウェアは、主に３つの部分に分けられ、第１部分はアクチュエータ機構であり、主にアキュムレータ、油圧ポンプなどの油圧源システム、サーボバルブ及び単一出力ロッドの油圧シリンダアクチュエータを含み、本発明の実験プラットフォームでは、型番ＦＤ２３４－０１Ｋ００４ＶＳＸ２Ａの３ポジション５ポートサーボバルブが用いられる。第２部分は信号収集機構であり、信号収集機構のハードウェアは、主に信号変換ボード及びＡ／Ｄボードカードであり、信号変換ボードの機能は、電圧電流信号を互いに変換することであり、具体的には、センサ信号である４－２０ｍａの電流信号を１－５ｖの電圧信号に変換し、±５ｖの電圧信号を±１０ｍａの電流信号に変換し、本発明の実験プラットフォームで用いられるＡ／ＤボードカードはＡＤＴ８８２であり、機能は、アナログ量の連続信号とデジタル量の散布度信号とを互いに変換することを実現することである。第３部分は制御機構であり、制御機構の中核は産業用制御コンピュータであり、本発明の実験プラットフォームでは産業用コンピュータｐｃ１０４が用いられ、機能は、ソフトウェアプラットフォームの構築を実現し及び制御アルゴリズムを実現することである。ハードウェア回路接続とは、主に、各センサ信号線及びサーボバルブの制御電流信号線と信号変換ボードとの接続、信号変換ボードとＡＤＴ８８２ボードカードとの接続を指す。ソフトウェア設計環境は、ＶＣ＋＋６．０、ｗｉｎｄｏｗオペレーティングシステムであり、ソフトウェアプログラムは、主に、インタフェース関数の編集、Ａ／Ｄボードカードの配置、信号収集を完了するための割り込みプログラムの設定、制御量の計算及び出力を含む。 In order to verify the correctness of the design of the controller of the present invention, an experimental platform is built and the experimental software program is debugged. The construction of the experimental platform is mainly divided into two parts: software design and hardware circuit connection. 3(a) is a structural diagram I of the experimental platform, FIG. 3(b) is a structural diagram II of the experimental platform, FIG. 3(c) is a structural diagram III of the experimental platform, Figure 3(d) is the structural configuration diagram IV of the experimental platform, the hardware of the experimental platform is mainly divided into three parts, the first part is the actuator mechanism, mainly the hydraulic A 3-position, 5-port servovalve model number FD234-01K004VSX2A is used in the experimental platform of the present invention, including a source system, a servovalve and a single output rod hydraulic cylinder actuator. The second part is the signal acquisition mechanism, the hardware of the signal acquisition mechanism is mainly the signal conversion board and the A/D board card, the function of the signal conversion board is to convert voltage current signals to each other, Specifically, the current signal of 4-20 ma, which is a sensor signal, is converted into a voltage signal of 1-5 v, the voltage signal of ±5 v is converted into a current signal of ±10 ma, and the A The /D board card is ADT882, the function is to realize the conversion between analog quantity continuous signal and digital quantity dispersion signal. The third part is the control mechanism, the core of the control mechanism is the industrial control computer, the experimental platform of the present invention uses the industrial computer pc104, the function is to realize the construction of the software platform and the control algorithm It is to be. The hardware circuit connection mainly refers to the connection between each sensor signal line and the control current signal line of the servo valve and the signal conversion board, and the connection between the signal conversion board and the ADT882 board card. The software design environment is VC++ 6.0, window operating system. Includes calculations and outputs.

さらに、実験結果が予期される制御効果に達するまで、実験をデバッグし、パラメータを最適化し、ステップ１、本発明のアルゴリズムの指定された境界の境界初期値ρ_ｉ０、誤差収束レートの上限ｈ_ｉ及び収束誤差の定常状態残差セットの上限値ρ_ｉ∞を調整し、ただしｉ＝１…４であり、境界初期値ρ_ｉ０を可能な限り大きくし、誤差収束レートの上限ｈ_ｉを可能な限り小さくし、収束誤差の定常状態残差セットの上限値ρ_ｉ∞を可能な限り大きくし、ステップ２、制御率ゲインｋ_ｉが適切な値に調整されるまで、仮想制御率ゲインｋ_１、ｋ_２、ｋ_３、ｋ_４を調整し、ステップ３、予期される制御効果に達するまで、境界初期値ρ_ｉ０を緩慢かつ適切に小さくし、誤差収束レートの上限ｈ_ｉを大きくし、収束誤差の定常状態残差セットの上限値ρ_ｉ∞を小さくする。 Further, until the experimental results reach the expected control effect, debug the experiment, optimize the parameters, step 1, bound initial values ρ _i0 for the specified bounds of our algorithm, upper bound h _i for the error convergence rate and the upper bound ρ _i _∞ of the _steady -state residual set of convergence errors, where i=1 . as small as possible, the upper limit ρ _i∞ of the steady-state residual set of convergence errors is made as large as possible, step 2, until the control ratio gains k _i are adjusted to appropriate values, the virtual control ratio gains k ₁ , Adjust k ₂ , k ₃ , k ₄ , step 3, slowly and appropriately decrease the boundary initial value ρ _i0 , increase the upper bound h _i of the error convergence rate, and increase the convergence error Decrease the upper bound ρ _i∞ of the steady-state residual set of .

図４は本発明のコントローラの作用下での誤差収束のシミュレーション曲線図であり、図４から、本発明のコントローラは、変位追跡誤差の収束速度と制御精度とを確保できることが分かり、図５は外乱作用下での追跡誤差収束のシミュレーション曲線図であり、図５では、システムモデルの強い外乱ｆ（ｔ）＝９０００ｓｉｎ（１０ｔ）の作用下での本発明のコントローラとバックステッピングコントローラとの変位追跡誤差の比較曲線が示されており、図４と図５の比較から、強い外乱の存在は、バックステッピングコントローラの制御効果に大きく影響され、変位追跡誤差を大きくし、変動周波数を高くすることが分かる。しかしながら、図４及び図５から、本発明のコントローラは、強い外乱に対する抑制作用が強く、依然として収束誤差の過渡と定常状態との性能を確保できることも分かる。 Figure 4 is a simulation curve diagram of error convergence under the action of the controller of the present invention. Fig. 5 is a simulation curve diagram of the tracking error convergence under the action of disturbance, Fig. 5 shows the displacement tracking of the controller of the present invention and the backstepping controller under the action of a strong disturbance f(t) = 9000 sin(10t) of the system model; A comparison curve of errors is shown, and from a comparison of FIG. 4 and FIG. 5, the presence of a strong disturbance is greatly affected by the control effect of the backstepping controller, and can increase the displacement tracking error and increase the fluctuation frequency. I understand. However, from FIGS. 4 and 5, it can also be seen that the controller of the present invention has a strong suppression effect against strong disturbances, and can still ensure the transient and steady state performance of the convergence error.

図６は未知のスプールの不感帯の作用下での誤差収束のシミュレーション曲線図であり、図７は未知のスプールの不感帯の作用下でのスプール変位のシミュレーション曲線図であり、図６及び図７では、本明細書で提案されている低複雑度制御方案が未知のスプールの不感帯を処理するときにロバスト性が高いことが検証されている。システムモデルにスプールの未知の不感帯の非線形が追加され、スプールの不感帯の未知の非線形特性をより良好に具現化するために、本明細書では、時変不感帯モデルの傾きｍ（ｔ）＝１＋０．３ｓｉｎ（２ｔ）、時変不感帯モデルの不連続ポイントｂｌ＝ｂｒ＝０．３｜ｓｉｎ（２ｔ）｜が用いられ、図７から、本発明のコントローラは、スプールの未知の不感帯の悪影響を効果的に補償できることが分かり、図６から、システムには未知のスプールの不感帯問題が存在するが、本発明のコントローラは、依然として追跡誤差の収束速度と定常状態の精度とを良好に確保できることが分かる。 FIG. 6 is a simulation curve diagram of error convergence under the action of unknown spool dead band, and FIG. 7 is a simulation curve diagram of spool displacement under the action of unknown spool dead band. , it has been verified that the low-complexity control scheme proposed herein is highly robust when dealing with unknown spool deadbands. The nonlinearity of the unknown spool deadband is added to the system model, and in order to better embody the unknown nonlinearity of the spool deadband, the slope of the time-varying deadband model m(t)=1+0 . 3sin(2t), the discontinuity point bl=br=0.3|sin(2t)| of the time-varying deadband model is used and from FIG. From FIG. 6, it can be seen that although the system has an unknown spool dead-band problem, the controller of the present invention still provides good tracking error convergence speed and steady-state accuracy.

図８は本発明の制御方法と、指定された性能を満たす、スプールの未知の不感帯を有する適応バックステッピング制御方式（ＳＰＰＦＢＳＡ）と、の誤差収束の比較シミュレーション曲線図であり、図９は本発明の制御方法とＳＰＰＦＢＳＡとのシミュレーション計算時間及び誤差調整時間の統計図であり、図８から、２種のコントローラはいずれも変位追跡誤差の収束速度と定常状態の精度とを確保できることが分かるが、図９から、本発明のコントローラは、ＳＰＰＦＢＳＡコントローラと比較して、シミュレーション実行時間を９１．７％短縮し、誤差収束の調整時間を９５．５％短縮することが分かる。本発明のコントローラの設計は、モデルへの依存性が低いため、バックステッピング適応に基づいて開発されたアルゴリズムと比較して、計算量が少なく、オンライン学習が不要であるため、リアルタイム制御が容易であり、工学的実現が容易である。 FIG. 8 is a comparison simulation curve diagram of error convergence between the control method of the present invention and an adaptive backstepping control scheme with unknown spool deadband (SPPFBSA) that satisfies the specified performance, and FIG. It is a statistical chart of the simulation calculation time and error adjustment time of the control method and SPPFBSA, and from FIG. From FIG. 9, it can be seen that the controller of the present invention reduces the simulation run time by 91.7% and the error convergence adjustment time by 95.5% compared to the SPPFBSA controller. The design of the controller of the present invention is less model-dependent, thus less computationally intensive compared to algorithms developed based on backstepping adaptation, and does not require online learning, thus facilitating real-time control. and is easy to implement engineeringally.

図１０は指令信号がＴＳ＝３ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（（２＊ｐｉ＊ｔ）／３）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図であり、図１１は指令信号がＴＳ＝３ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（（２＊ｐｉ＊ｔ）／３）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図であり、図１２は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図であり、図１３は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図であり、図１４は指令信号がＴＳ＝１ｓ：ｘ_ｒ＝５０ｓｉｎ（２＊ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図であり、図１５は指令信号がＴＳ＝１ｓ：ｘ_ｒ＝５０ｓｉｎ（２＊ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図であり、図１６は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図であり、図１７は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝１００ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図であり、図１８は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝８０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図であり、図１９は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝８０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図であり、図２０は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝６０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法とｐｉｄとの変位追跡の比較実験図であり、図２１は指令信号がＴＳ＝２ｓ：ｘ_ｒ＝６０ｓｉｎ（ｐｉ＊ｔ）ｍｍであるときの、本発明の制御方法の追跡誤差の実験図であり、図１１、図１３、図１５、図１７、図１９及び図２１から分かるように、指令信号の周波数及び振幅がどのように変化するかにかかわらず、本発明のコントローラは、追跡誤差が指定された性能境界内で収束することを確保でき、従って、本発明のコントローラは、追跡誤差の収束速度と定常状態の精度とを確保できる。図１０、図１２、図１４、図１６、図１８及び図２０のいずれかから分かるように、本発明のコントローラにより得られた変位追跡曲線は、シリンダの上昇プロセスでほとんど小さい位相遅れしかなく、シリンダの上昇プロセスと比較して、シリンダが下降する場合、変位追跡曲線の位相遅れ程度が大きいが、本発明のコントローラの制御効果について、変位追跡のプロセス全体で、変位追跡曲線は、いずれもｐｉｄの変位追跡曲線よりも位相遅れ程度が小さくなる。 FIG. 10 is a comparison experimental diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=3s: _xr =100sin ((2*pi*t)/3)mm. 11 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=3s: _xr =100sin ((2*pi*t)/3) mm, and FIG. FIG. 13 is a comparative experiment diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when TS=2s: _xr =100sin(pi*t) mm, and _FIG . FIG. 14 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when 100 sin(pi*t) mm, FIG. 14 is the command signal TS=1 s:x _r =50 sin(2*pi*t) mm FIG _. 15 is a comparison experiment diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the FIG. 16 is a comparison of the displacement tracking between the control method of the present invention and pid when the command signal is TS=2s: _xr =100sin(pi*t)mm FIG. 17 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=2s: _xr =100sin(pi*t) mm, and FIG. FIG. 19 is a comparative experiment diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and pid when TS=2s: _xr =80sin(pi*t) mm, and _FIG . FIG. 20 is an experimental diagram of the tracking error of the control method of the present invention when the command signal is TS=2s:x _r =60 sin(pi*t) mm; 21 is a comparative experiment diagram of displacement tracking between the control method of the present invention and _pid , and FIG. 11, 13, 15, 17, 19 and 21 are experimental plots of tracking error, regardless of how the frequency and amplitude of the command signal varies. The controller can ensure that the tracking error converges within the specified performance bounds, and thus the controller of the present invention can ensure tracking error convergence speed and steady-state accuracy. As can be seen from any of Figures 10, 12, 14, 16, 18 and 20, the displacement tracking curves obtained by the controller of the present invention have very little phase lag in the cylinder lift process, Compared with the cylinder rising process, the phase lag of the displacement tracking curve is large when the cylinder is descending, but for the control effect of the controller of the present invention, the displacement tracking curve is pid The phase lag is smaller than the displacement tracking curve of .

図１０～図１３を組み合わせると、指令信号の周波数が高いほど、ｐｉｄ追跡曲線の位相遅れ程度が高くなり、振幅が大幅に減衰される。定常状態の場合、本発明のコントローラの制御効果について、シリンダの上昇プロセスで、位相遅れ程度が基本的に変化せず、シリンダの下降プロセスで、位相遅れ程度が小さくなり、振幅が基本的に減衰されない。指令信号の周波数が高いほど、ｐｉｄ追跡誤差が大きくなるが、本発明のコントローラの追跡誤差が基本的に変化せず、指定された性能境界内で収束する。 Combining FIGS. 10-13, the higher the frequency of the command signal, the higher the degree of phase lag in the pid tracking curve and the greater the amplitude attenuation. In the steady state, regarding the control effect of the controller of the present invention, the degree of phase lag basically does not change during the upward process of the cylinder, and the degree of phase lag becomes smaller and the amplitude is basically attenuated during the downward process of the cylinder. not. The higher the frequency of the command signal, the larger the pid tracking error, but the tracking error of the controller of the present invention remains essentially unchanged and converges within the specified performance bounds.

図１７、図１９及び図２１を組み合わせると、指令信号の周波数が高いほど、ｐｉｄ追跡誤差が大きくなるが、本発明のコントローラの追跡誤差が基本的に変化せず、指定された性能境界内で収束する。 Combining Figures 17, 19 and 21, the higher the frequency of the command signal, the greater the pid tracking error, but the tracking error of the controller of the present invention remains essentially unchanged and within the specified performance bounds. converge.

以上は、本発明の好ましい具体的な実施形態に過ぎないが、本発明の保護範囲はこれに限定されず、当業者が、本発明に開示されている技術範囲内で、本発明の技術的解決手段及びその発明構想に基づいて行った等価置換や変更は、いずれも本発明の保護範囲内に含まれるべきである。 The above are only preferred and specific embodiments of the present invention, but the protection scope of the present invention is not limited thereto. Any equivalent replacement or modification made on the basis of the solution and its inventive concept shall fall within the protection scope of the present invention.

Claims

A low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system, comprising:
Step S1 of establishing a model of a single output rod servo-hydraulic system;
designing a controller of the single output rod servo-hydraulic system using a low-complexity control policy based on the model of the single output rod servo-hydraulic system;
and verifying the stability of the single output rod servo-hydraulic system based on the controller of the single output rod servo-hydraulic system and the model of the single output rod servo-hydraulic system. low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system.

The process of establishing a model of a single output rod servo-hydraulic system is as follows:
Establishing a hydraulic cylinder dynamics model based on Newton's second law,

(however,

is the flow gain and the expression for s(Γ(x _v )) is

and
P _s is the oil supply pressure of the hydraulic system, P _r is the oil return pressure of the hydraulic system, C _d is the flow coefficient of the orifice, w is the area gradient of the slide valve, and ρ is the density of the oil. , _xv are the spools of the servovalves. )
Controlling the displacement x _v of the spool of the servo valve by voltage or current input u to further obtain the required corresponding force, the dynamic characteristics of the servo valve are shown as:

and )
the state variable

and obtain the state equation of the following position tracking system with unknown spool deadband

(however,

. ).

The process of designing a controller for a single output rod servo-hydraulic system using a low-complexity control policy based on a model of a single output rod servo-hydraulic system is as follows:
Define an error variable,
z ₁ =x ₁ −x _r ,z ₂ =x ₂ −α ₁ ,z ₃ =F −α ₂ ,z ₄ =x ₅ −α ₃ (17)
(where α ₁ , α ₂ , α ₃ are virtual control variables, X _1r is the command signal of the hydraulic position tracking system, and F (F = A ₁ x ₃ - _{A 2} x ₄ ) is output by the actuator. is the prime mover, z ₁ is the position tracking error, and z _i , i=2 . . . 4 are the control errors.)
4 positive smooth decreasing functions

teeth

and
Select the virtual controller below,

The controller of the servo hydraulic system is

A low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system according to claim 1, characterized in that:

Based on the controller of the single output rod servo-hydraulic system and the model of the single output rod servo-hydraulic system, the above process of proving the stability of the single output rod servo-hydraulic system is as follows:
S3-1: Using the initial value theorem, prove that a non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution if the normalized error vector is in the period tε[0, τ _max ),
S3-2: If the normalized error vector is in the period t ∈ [0, τ _max ) and there is a maximum solution in the non-empty open set Ω _ζ , the virtual controller and the controller of the servo-hydraulic system, t ∈ [0, τ _max ) to ensure that the closed-loop signal is bounded,
S3-3: Using the initial value proposition, prove that it is still correct that all closed-loop signals are bounded if τ _max =+∞ in S3-2. A low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system of claim 1.

In the step of using the initial value theorem to prove that a non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution if the normalized error vector is in the period tε[0, τ _max ):
A non-empty open set Ω _ζ , if we choose a performance function ρ _i ,

By satisfying

, the normalized error vector is ζ(0)∈Ω _ζ , the desired tracking miracle x _r , the performance function ρ _i (t), i=1 . . . 4, the intermediate control signals α _i , i = 1 ... 3 and the control rate u are continuously and smoothly derivable, and the dynamics variables in the state equation of the position tracking system of the dead zone of the spool are continuously derivable functions, so the normalization error of the equation The vector function L(t, ζ) is piecewise continuous with respect to time t, and for an open set Ω _ζ , ζ satisfies the Lipschitz condition and both conditions in the initial value theorem are satisfied, so the period [0, τ _max ), the normalized error vector has a unique maximum solution ζ(t)∈Ω _ζ , and for ∀t∈[0, τ _max ), any ζ _i (t)∈Ω _ζ , i= A low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system according to claim 4, characterized in that 1...4 can be ensured.

If the normalized error vector is in the period t ∈ [0, τ _max ) and the non-empty open set Ω _ζ has a maximum solution, then the virtual controller and the controller of the servo-hydraulic system, for t ∈ [0, τ _max ) The process that can ensure that the closed-loop signal is bounded is as follows:
S3-2-1: based on formula (18)

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

, with one positive constant r _M1 , such that 0>r ₁ >r _M1 . )
moreover,

can get

year,

and

to get
Lyapunov function

and

is bounded, and

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

can get

year,

and

to get
Lyapunov function

and select
(38) and (39) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₂ is bounded, i.e. ∃A ₂ >0 and |a ₂ |<A ₂ ,

Because

and

is bounded, and

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

to get

year,
(

, where V ₁ =V ₀₁ +A ₁ x, V ₂ =V ₀₂ −A ₂ x. )
In view of the safe operation of the servo-hydraulic system actuators, a safety margin is left, i.e., based on the physical construction, the hydraulic cylinder can move up and down about the center position by a maximum of 12 cm, and the command signal amplitude is 10 cm. Centimeters or less and ensure that h ₁ , h ₂ , and h ₃ are bounded, i.e. each three positive numbers

there is

becomes,

and

to get
Lyapunov function

and select
(43) and (44) satisfy the form of the inequality lemma, and as can be seen from the inequality lemma, a ₃ is bounded, i.e. ∃A ₃ >0 and |a ₃ |<A ₃ ,

Because

and

is bounded, and

the derivative with respect to time of

looking for

(however,

and there is one positive constant r _M4 such that 0>r ₄ >r _M4 . )
moreover,

to get

year,

and

to get
Lyapunov function

Because

and

is bounded, and

5. The asymmetric servohydraulic position of claim 4, ensuring that the control error _z4 is bounded and the state variable _x5 is bounded, for A low-complexity control method for tracking systems.

The formula for the inequality lemma is

and
a is bounded (i.e. ∃A>0, |a|<A),

, then x must be bounded, and

A low-complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system according to claim 6, characterized in that:

Using the initial value proposal, the above process to prove that it is still correct that all closed-loop signals are bounded for τ _max =+∞ in S3-2 is as follows:

Because

is a non-empty set and

and
Assuming τ _max <+∞, the initial value proposal emphasizes that there is one time constant t ₁ ε[0, τ _max ),

, which causes a contradiction, and the assumption obtained is that τ _max =+∞, that for any tε[0,+∞) all closed-loop system signals are bounded, and the tracking error is specified 5. A low complexity control method for an asymmetric servohydraulic position tracking system according to claim 4, characterized in that it can ensure convergence within a bounded boundary.