JP2023180298A - 情報処理装置、情報処理方法およびプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】求解性能を向上する。【解決手段】処理部１２は、順列最適化問題に対応する問題情報で示されるＭ２（Ｍは３以上の整数）個の状態変数に（Ｎ２－Ｍ２）（ＮはＭより大きい整数）個の状態変数を追加したＮ２個の状態変数を含む第１エネルギー関数の情報を生成する。処理部１２は、第１エネルギー関数の情報を探索部２０に入力する。探索部２０は、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約を満たすように４つの状態変数の値を変化させる場合のエネルギー関数の値の変化量に応じて、４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う。処理部１２は、探索部２０により第１エネルギー関数に基づいて得られた、Ｎ２個の状態変数の値で表される第１の解４０を取得する。処理部１２は、第１の解４０から（Ｎ２－Ｍ２）個の状態変数の値を除去することで順列最適化問題に対する第２の解４１を生成する。【選択図】図１

Description

本発明は情報処理装置、情報処理方法およびプログラムに関する。

組合せ最適化問題の求解に情報処理装置が用いられることがある。組合せ最適化問題は、磁性体のスピンの振る舞いを表すモデルであるイジングモデルのエネルギー関数に変換される。エネルギー関数は、評価関数や目的関数と言われることもある。

情報処理装置は、例えばエネルギー関数に含まれる状態変数の値の組合せのうち、エネルギー関数の値を最小化する組合せを探索する。この場合、エネルギー関数の値を最小化する状態変数の値の組合せは、状態変数の組により表される基底状態または最適解に相当する。実用的な時間で組合せ最適化問題の近似解を得る手法には、マルコフ連鎖モンテカルロ（ＭＣＭＣ：Markov-Chain Monte Carlo）法に基づく、シミュレーテッドアニーリング（ＳＡ：Simulated Annealing）法やレプリカ交換法などがある。

ところで、組合せ最適化問題には、エネルギー関数に含まれる複数の状態変数のうち値が１となる状態変数の数を１つのみとする制約、すなわち、１－Ｈｏｔ制約をもつものがある。１－Ｈｏｔ制約には、Ｎ^２個の状態変数をＮ行Ｎ列の行列状に並べたときに各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１となるものがある。このような１－Ｈｏｔ制約は、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約と言われる。例えば、ｘ_１～ｘ_９を３行３列の行列状に並べたときに、ｘ_１＋ｘ_２＋ｘ_３＝１、ｘ_４＋ｘ_５＋ｘ_６＝１、ｘ_７＋ｘ_８＋ｘ_９＝１、ｘ_１＋ｘ_４＋ｘ_７＝１、ｘ_２＋ｘ_５＋ｘ_８＝１、ｘ_３＋ｘ_６＋ｘ_９＝１とする制約は、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約である。例えば線形順序付け問題は、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約をもつ。

２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約をもつ組合せ最適化問題では、Ｎ行Ｎ列の各状態変数の値は、異なるＮ個の要素の順列で表記可能である。例えば、異なる３つの要素を「１，２，３」とすると、３行３列の各状態変数の値は（１，２，３）や（２，１，３）などのように表記される。例えば、順列の要素の位置は行を示し、順列の要素の値は１である状態変数の列を示す。このように、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約を充足する解は順列で表される。解が順列で表される組合せ最適化問題は順列最適化問題と言われる。

例えば、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約をもつ組合せ最適化問題の求解を行う最適化装置の提案がある。
また、指定された訪問先を全て訪れることができる巡回経路のうち、距離が最も短いもの、あるいは、移動時間が短いものを求める訪問計画の問題を解く計画立案装置の提案がある。また、量子状態を表すキュービットで動作する量子回路に対してスワップゲートを挿入することで、局所性の制約、すなわち、近くのキュービット間の相互作用のみを許可する制約を満たす機能的に等価な回路に変換する最適化を行う方法の提案がある。

特開２０２１－１５７３６１号公報 特開平９－１６０９８１号公報 米国特許出願公開第２０２０／０２４２２９５号明細書

２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約をもつ組合せ最適化問題、すなわち、順列最適化問題の求解を行う上記の最適化装置では、１回の状態遷移の試行では高々４つの状態変数の値が変化される。ところが、現状態に対して高々４つの状態変数の値を変化させた状態の中だけから遷移先の状態を決定していると、例えば局所解に陥った場合に局所解から脱出できなくなることがある。

１つの側面では、本発明は、求解性能を向上する情報処理装置、情報処理方法およびプログラムを提供することを目的とする。

１つの態様では、イジングモデルのエネルギー関数で表される順列最適化問題の解の取得に用いられる情報処理装置が提供される。情報処理装置は、記憶部と処理部とを有する。記憶部は、順列最適化問題におけるＭ（Ｍは３以上の整数）の２乗個の状態変数を示す問題情報を記憶する。処理部は、問題情報に基づいて、Ｍの２乗個の状態変数に（Ｎ^２－Ｍ^２）（ＮはＭより大きい整数）個の状態変数を追加したＮの２乗個の状態変数を含む第１エネルギー関数の情報を生成する。処理部は、Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときの各行に含まれる状態変数の値の和が１であり、かつ各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように４つの状態変数の値を変化させる場合のエネルギー関数の値の変化量に応じて、４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う探索部に、第１エネルギー関数の情報を入力する。処理部は、探索部により第１エネルギー関数に基づいて得られた、Ｎの２乗個の状態変数の値で表される第１の解を取得する。処理部は、第１の解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の値を除去することで順列最適化問題に対する第２の解を生成する。

また、１つの態様では、情報処理方法が提供される。また、１つの態様では、プログラムが提供される。

１つの側面では、求解性能を向上できる。

第１の実施の形態の情報処理装置を説明する図である。 第２の実施の形態の情報処理装置のハードウェア例を示す図である。 ２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔによるビットフリップ制御例を示す図である。 イジングモデルの状態と順列との対応関係の例を示す図である。 情報処理装置の機能例を示す図である。 ＬＯＰにおける冗長要素の追加方法の例を示す図である。 冗長変数の追加例を示す図である。 制御部による解の取得例を示す図である。 冗長要素の有無に応じた状態遷移先候補の例を示す図である。 情報処理装置の処理例を示すフローチャートである。 第３の実施の形態の情報処理装置の処理例を示すフローチャートである。 第４の実施の形態の冗長変数フラグの例を示す図である。 冗長要素が複数の場合の冗長変数フラグの例を示す図である。 状態遷移の例を示す図である。 情報処理装置の機能例を示す図である。 探索部の処理例を示すフローチャートである。

以下、本実施の形態について図面を参照して説明する。
［第１の実施の形態］
第１の実施の形態を説明する。

図１は、第１の実施の形態の情報処理装置を説明する図である。
情報処理装置１０は、組合せ最適化問題を表すエネルギー関数の情報を探索部２０に入力し、探索部２０により探索された解を取得する。探索部２０は、情報処理装置１０とは異なる装置でもよいし、情報処理装置１０が備えてもよい。探索部２０は、組合せ最適化問題に対する解を、ＭＣＭＣ法を用いて探索し、探索した解を出力する。例えば、探索部２０は、ＭＣＭＣ法を基にしたＳＡ法などを解の探索に用いる。

情報処理装置１０は記憶部１１および処理部１２を有する。記憶部１１は、例えばＲＡＭ（Random Access Memory）などの揮発性記憶装置である。処理部１２は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）、ＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）などの電子回路でもよい。処理部１２はプログラムを実行するプロセッサでもよい。「プロセッサ」は、複数のプロセッサの集合（マルチプロセッサ）を含み得る。また、探索部２０は、ＦＰＧＡやＧＰＵなどの電子回路により実現される。

組合せ最適化問題は、イジング型のエネルギー関数により定式化され、例えばエネルギー関数の値を最小化する問題に置き換えられる。エネルギー関数は、目的関数や評価関数などと言われてもよい。エネルギー関数は、複数の状態変数を含む。状態変数は、０または１の値を取るバイナリ変数である。状態変数はビットと言われてもよい。組合せ最適化問題の解は、複数の状態変数の値により表される。エネルギー関数の値を最小化する解は、イジングモデルの基底状態を表し、組合せ最適化問題の最適解に対応する。エネルギー関数の値は、エネルギーと表記される。

イジング型のエネルギー関数は、式（１）で表される。

状態ベクトルｘは、複数の状態変数を要素とし、イジングモデルの状態を表す。式（１）は、ＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式で定式化されたエネルギー関数である。なお、エネルギーを最大化する問題の場合には、エネルギー関数の符号を逆にすればよい。

式（１）の右辺第１項は、全状態変数から選択可能な２つの状態変数の全組合せについて、漏れと重複なく、２つの状態変数の値と重み係数との積を積算したものである。添え字ｉ，ｊは状態変数のインデックスである。ｘ_ｉは、ｉ番目の状態変数である。ｘ_ｊは、ｊ番目の状態変数である。Ｗ_ｉｊは、ｉ番目の状態変数とｊ番目の状態変数との間の重み、または、結合の強さを示す重み係数である。Ｗ_ｉｊ＝Ｗ_ｊｉであり、Ｗ_ｉｉ＝０である。

式（１）の右辺第２項は、全状態変数の各々のバイアスと状態変数の値との積の総和を求めたものである。ｂ_ｉは、ｉ番目の状態変数に対するバイアスを示している。エネルギー関数に含まれる重み係数やバイアスや状態ベクトルなどを含む問題データは、記憶部１１に記憶される。式（１）において、状態変数ｘ_ｉの値が変化して１－ｘ_ｉとなると、ｘ_ｉの増加分は、δｘ_ｉ＝（１－ｘ_ｉ）－ｘ_ｉ＝１－２ｘ_ｉと表せる。ｘ_ｉの変化に伴うエネルギーの変化量ΔＥ_ｉは、式（２）で表される。

ｈ_ｉは局所場と呼ばれ、式（３）で表される。局所場は、ローカルフィールド（ＬＦ：Local Field）と言われることもある。

状態変数ｘ_ｊが変化したときの局所場ｈ_ｉの変化分δｈ_ｉ ^（ｊ）は、式（４）で表される。

状態変数ｘ_ｊの値が変化したときに変化分δｈ_ｉ ^（ｊ）をｈ_ｉに加算することで、ｘ_ｊの値の変化後の状態に対応するｈ_ｉが得られる。
基底状態の探索において、エネルギー変化がΔＥ_ｉとなる状態遷移、すなわち、状態変数ｘ_ｉの値の変化を許容するか否かを決定するためにメトロポリス法やギブス法が用いられる。すなわち、ある状態から当該状態よりもエネルギーの低い他の状態への遷移を探索する近傍探索において、エネルギーが下がる状態だけでなく、エネルギーが上がる状態への遷移が確率的に許容される。例えば、エネルギー変化ΔＥの状態変数の値の変化を受け入れる確率Ａは、式（５）で表される。

βは温度値Ｔ（Ｔ＞０）の逆数（β＝１／Ｔ）であり、逆温度と呼ばれる。ｍｉｎ演算子は、引数のうちの最小値を取ることを示す。式（５）の右辺上側はメトロポリス法に相当する。式（５）の右辺下側はギブス法に相当する。探索部２０は、あるインデックスｉに関して０＜ｕ＜１である一様乱数ｕとＡとを比較し、ｕ＜Ａであれば状態変数ｘ_ｉの値の変化を受入れ、状態変数ｘ_ｉの値を変化させる。探索部２０は、ｕ＜Ａでなければ状態変数ｘ_ｉの値の変化を受入れず、状態変数ｘ_ｉの値を変化させない。式（５）によれば、ΔＥが大きい値であるほど、Ａは小さくなる。また、βが小さい、すなわち、Ｔが大きいほど、ΔＥが大きい状態遷移も許容され易くなる。例えば、メトロポリス法の判定基準が用いられる場合、式（５）を変形した式（６）により遷移判定が行われてもよい。

すなわち、一様乱数ｕ（０＜ｕ≦１）に対して、エネルギー変化ΔＥが式（６）を満たす場合に、該当の状態変数の値の変化が許容される。一様乱数ｕに対して、エネルギー変化ΔＥが式（６）を満たさない場合に、該当の状態変数の値の変化が許容されない。ｌｎ（ｕ）・Ｔは熱ノイズに相当する。例えば、ＳＡ法では、最高温度値から最低温度値へ温度値Ｔを徐々に下げながら解を探索する。

ここで、探索部２０は、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約を満たす状態以外の状態の探索を除外することで、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約をもつ組合せ最適化問題、すなわち、順列最適化問題を効率的に解く。順列最適化問題は、Ｎ^２個の状態変数の値で表される順列であって、エネルギー関数の値を最小化、または最大化する順列を求める問題であると言える。２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約を満たす状態以外の状態の探索を除外する場合、探索部２０は、一度の状態遷移において、４つの状態変数の値を変化させることになる。

以下では、エネルギー関数に含まれるＭ^２（Ｍは３以上の整数）個の状態変数が２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約を受けるものとする。これらの状態変数をＭ行Ｍ列に配列したときに各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように、一度の状態遷移において、４つの状態変数の値を変化させることで、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約を満たす状態以外の状態の探索が除外される。Ｍ^２個の状態変数をＭ行Ｍ列に配列する場合、例えば、ｘ_１～ｘ_Ｍが１行目の１列目～Ｍ列目に相当し、ｘ_Ｍ＋１～ｘ_２Ｍが２行目の１列目～Ｍ列目に相当し、以降、同様に、ｘ_{Ｍ＾２－Ｍ＋１}～ｘ_Ｍ＾２がＭ行目の１列目～Ｍ列目に相当する。

なお、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約が満たされている状態で、値が０の状態変数の１つを更新対象候補とした場合、他の３つの更新対象候補の状態変数が決まる。
例えば、インデックス＝ｉ，ｊ，ｋ，ｌ（ｉ＜ｊ＜ｋ＜ｌ）の４つの状態変数（ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌ）の値を変化させると仮定する。ｘ_ｉ，ｘ_ｊは同じ行に属する。ｘ_ｉ，ｘ_ｋは同じ列に属する。ｘ_ｋ，ｘ_ｌは同じ行に属する。ｘ_ｊ，ｘ_ｌは同じ列に属する。

値が０の状態変数であるｘ_ｊを更新対象候補とした場合、ｘ_ｊと同じ行および同じ列に含まれる状態変数のうち、値が１の状態変数であるｘ_ｉ，ｘ_ｌが更新対象候補となる。さらに、ｘ_ｉと同じ列、かつ、ｘ_ｌと同じ行である、値が０のｘ_ｋが更新対象候補となる。これら４つの状態変数（ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌ）の値の変化は、式（７）のように表せる。

４つの状態変数（ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌ）の値を変化させた場合に生じるイジングモデルのエネルギー変化をΔＥ_ｊとすると、ΔＥ_ｊは、以下の式（８）のように表せる。

また、ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌが変化することによる局所場の変化分Δｈ_ｍ（ｍ＝１，２，…，ｎ）は、以下の式（９）のように表せる。

このように、順列最適化問題では、式（５）または式（６）のΔＥに式（８）のΔＥ_ｊが用いられる。また、式（４）のδｈ_ｉ ^（ｊ）に代えて、式（９）のΔｈ_ｍが用いられる。探索部２０は、Ｍ^２個の状態変数の値を保持する。探索部２０は、Ｍ^２個の状態変数それぞれに対応する局所場ｈ_ｍを保持する。探索部２０は、各局所場に基づいて、ΔＥ_ｊを計算する。また、探索部２０は、ΔＥ_ｊと式（５）または式（６）とに基づいて、値の変化が許容される４つの状態変数を判定する。探索部２０は、探索部２０に保持されるＭ^２個の状態変数のうち、値の変化が許容される４つの状態変数の値を変化させることで、イジングモデルの状態を遷移させる。探索部２０は、４つの状態変数の値の変化に伴い、探索部２０に保持されるｈ_ｍを、ｈ_ｍ＝ｈ_ｍ＋Δｈ_ｍに更新する。

例えば、探索部２０は、変化候補となる４つの状態変数をシーケンシャルに選択して、ΔＥ_ｊの計算や式（５）または式（６）の判定を行い、値の変化が許容される４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行ってもよい。あるいは、探索部２０は、変化候補の４つの状態変数の複数の組に対して、ΔＥ_ｊの計算や式（５）または式（６）の判定を並列に行ってもよい。この場合、探索部２０は、値の変化が許容される組からランダムに１つを選択し、当該組に属する４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う。

このように、探索部２０は、順列最適化問題の求解における１回の状態遷移の試行では高々４つの状態変数の値を変化させる仕組みをもつ。ここで、Ｍ行Ｍ列の各状態変数の値は順列で表せる。例えば、順列の要素の位置は行を示し、順列の要素の値は１である状態変数の列を示す。図１では、Ｍ＝４の場合、すなわち、４行４列の計１６個の状態変数で表される１つの状態３０に対応する順列（１，２，３，４）が示されている。例えば、順列の左からｐ番目の値ｑは、状態３０で示される行列の上からｐ行目かつ左からｑ列目の要素を１とすることを示す。順列の左からｐ番目の値ｑは、状態３０で示される行列の左からｐ列目かつ上からｑ行目の要素を１とすることを示してもよい。

探索部２０による、高々４つの状態変数の値を変化させる操作は、順列内の任意の２つの要素の位置を交換する操作に相当する。しかし、探索部２０による１回の操作では、元の順列（１，２，３，４）に対して、（１，２，４，３）、（１，４，３，２）、（４，２，３，１）などのように、２つの要素を交換できるだけである。

ところが、このような操作により、次の遷移先の状態を決定していると、例えば局所解に陥った場合に局所解から脱出できなくなり、より良い解を得られなくなることがある。
そこで、処理部１２は、元のＭ行Ｍ列の状態変数に対して、順列における冗長要素に相当するＮ^２－Ｍ^２個の状態変数を追加して、Ｎ行Ｎ列の状態変数とする。冗長要素は、解の探索のために便宜的に導入される要素である。一例では、処理部１２は、状態３０に対応する順列（１，２，３，４）に対して冗長要素「５」を追加し、順列（１，２，３，４，５）とする。この場合、Ｎ＝５である。元の順列に対応する１６個の状態変数に対して、冗長要素に対応する９個の状態変数が追加されたことになる。

順列（１，２，３，４，５）は、５行５列の状態変数で表される状態３１に相当する。状態３１の例では、５行目に属する状態変数および５列目に属する状態変数が、冗長要素「５」に対応する状態変数である。処理部１２は、例えば５列目における値が１の状態変数と当該状態変数と同じ行および列に属する状態変数とが、冗長要素「５」に対応する状態変数であることを示す情報を、記憶部１１に保持しておく。後で、冗長要素「５」に対応する状態変数を識別可能にするためである。

ここで、線形順序付け問題（ＬＯＰ：Linear Ordering Problem）などの特定の順列最適化問題では、冗長要素を含む解と当該解から冗長要素を除去した解とのエネルギーが等価になるようにエネルギー関数を作成可能である。例えば、ＬＯＰは、問題情報として与えられるｎ行ｎ列の問題行列Ａの変換後の行列の対角成分よりも上の要素の和が最大になるように、変換を表す順列πを求める問題である。元の問題行列に対応するエネルギー関数をエネルギー関数Ｅ１とする。ＬＯＰは、式（１０）で定式化される。順列πは式（１１）で表される。

例えば、ｎ＝４のとき、行列Ａは式（１２）で表される。

例えば、順列πが式（１３）で表されるとき、順列πに対応する順列行列Ｘは式（１４）で表される。順列行列Ｘで問題行列Ａを変換した行列^ｔＸＡＸは、式（１５）で表される。ここで、^ｔＸはＸの転置行列である。

行列^ｔＸＡＸに対する、エネルギー関数の値に相当するコストＣｏｓｔは、式（１６）で表される。

上記のようなコストＣｏｓｔを求めるためには、重み係数行列Ｗは、問題行列Ａに基づいて、式（１７）で計算される。

^ｔＡは、行列Ａの転置行列である。Ａがｎ行ｎ列のとき、Ｗはｎ^２行ｎ^２列となる。また、Ａは対称行列とは限らないが、Ｗは対称行列となる。例えば、処理部１２は、冗長要素に対応する状態変数を追加した状態３１に対して、式（１２）のＡを、式（１８）のように変換する。

処理部１２は、式（１８）の変換後の行列Ａを式（１７）に代入して、冗長要素を導入した場合のＷを求める。なお、処理部１２は、冗長要素に対応する各状態変数のバイアスｂについては０とする。

このようにすると、冗長要素の導入後の順列は、冗長要素が順列のどの位置にあっても、エネルギーが等価の状態として扱える。例えば、冗長要素「５」に対して、順列（１，２，３，４，５）、（１，２，３，５，４）、（１，２，５，３，４）、（１，５，２，３，４）、（５，１，２，３，４）は、全て等価である。

処理部１２は、冗長要素の導入後の重み係数行列ＷおよびＮ^２個の状態変数を含むエネルギー関数Ｅ２の情報を、探索部２０に入力し、エネルギー関数Ｅ２に基づいて解の探索を実行させる。

探索部２０は、エネルギー関数Ｅ２に基づいて解の探索を行うことで、ある状態に対する次の状態の候補を、元の問題行列に対応するエネルギー関数Ｅ１を用いるよりも増やせる。例えば、元の状態を、順列（１，２，３，４，５）で表される状態３１とする。この場合、次の状態の候補は、（２，１，３，４，５）、（４，２，３，１，５）、（１，３，２，４，５）、（１，４，３，２，５）、（１，２，４，３，５）、（１，２，３，５，４）、（１，２，５，４，３）、（１，５，３，４，２）、（５，２，３，４，１）である。

このうち、順列（１，５，３，４，２）で表される状態は、（１，３，４，２）で表される状態と等価である。また、（５，２，３，４，１）で表される状態は、（２，３，４，１）で表される状態と等価である。順列（１，３，４，２）は、順列（１，２，３，４）に対して異なる要素の数が３つである。すなわち、順列（１，３，４，２）の状態は、順列（１，２，３，４）の状態から６つの状態変数の値が変化した状態となる。また、順列（２，３，４，１）は、順列（１，２，３，４）に対して異なる要素の数が４つとなる。すなわち、順列（２，３，４，１）の状態は、順列（１，２，３，４）の状態から８つの状態変数の値が変化した状態となる。こうして、冗長要素の導入により、４つより多い状態変数の値の変化、すなわち、マルチビット遷移と同等の状態遷移が実現され得る。

このように、探索部２０は、エネルギー関数Ｅ２を用いることで、元の問題行列に対応するエネルギー関数Ｅ１を用いるよりも、ある状態に対し、制約を満たす次の遷移先の状態の候補を増やせるので、局所解に陥り難くなる。探索部２０は、エネルギー関数Ｅ２に基づく解の探索を所定期間行うと、探索で得られた解のうち、最もエネルギーの低い解、すなわち、第１の解４０を処理部１２に出力する。

処理部１２は、探索部２０から得られた第１の解４０を、記憶部１１に格納する。第１の解４０は、例えば、順列（５，２，３，４，１）で表される状態であると仮定する。処理部１２は、第１の解４０から、冗長要素「５」に対応する５^２－４^２＝９個の状態変数を除去した第２の解４１を生成する。冗長要素「５」は、順列（５，２，３，４，１）の先頭に位置する。したがって、例えば処理部１２は、第１の解４０のうち、１行目および５列目に属する９個の状態変数を除去することで、第２の解４１を生成する。第２の解４１は、順列（２，３，４，１）に相当する。第２の解４１は、元の４行４列の計１６個の状態変数で表される順列最適化問題の解である。

なお、前述のように、探索部２０は、ある状態に対する全ての遷移先候補に対して、エネルギーの変化量を並列に計算し、そのうち式（５）または式（６）の判定基準を満たすものの中から１つを、次の遷移先としてランダムに選択してもよい。

また、冗長要素の位置は任意の位置とすることができる。処理部１２は、初期状態の順列（１，２，３，４，５）のうち、例えば要素「３」を冗長要素として扱ってもよい。この場合、例えば５行５列に拡張された問題行列Ａの３行目かつ３列目に全て０の行および列が設定され、エネルギー関数が定義される。あるいは、処理部１２は、初期状態の順列（２，３，１，５，４）のうち、例えば要素「５」を冗長要素として扱ってもよい。この場合、例えば５行５列に拡張された問題行列Ａの４行目かつ５列目に全て０の行および列が設定され、エネルギー関数が定義される。

以上説明したように、情報処理装置１０によれば、順列最適化問題に対応するＭの２乗個の状態変数を示す問題情報が取得される。問題情報に基づいて、Ｍの２乗個の状態変数に（Ｎ^２－Ｍ^２）（ＮはＭより大きい整数）個の状態変数が追加されたＮの２乗個の状態変数を含むエネルギー関数Ｅ２の情報が生成され、探索部２０に入力される。探索部２０により、Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときの各行に含まれる状態変数の値の和が１であり、かつ各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように４つの状態変数の値を変化させる場合のエネルギー関数Ｅ２の値の変化量に応じて、４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行うことで第１の解が探索される。第１の解は、Ｎの２乗個の状態変数の値で表される。そして、探索部２０により得られた第１の解が取得され、第１の解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の値が除去されることで、順列最適化問題に対する第２の解が生成される。

これにより、情報処理装置１０は、求解性能を向上できる。具体的には、処理部１２は、エネルギー関数Ｅ２に基づいて、探索部２０に解の探索を実行させることで、ある状態に対する次の状態の候補を増やせる。このため、探索部２０において、局所解に陥り難くなる。

特に、冗長要素に対応する状態変数を導入しない場合、局所解に陥ったときに、探索部２０において、４つの状態変数よりも多くの状態変数の値を１度に変化させる演算を行うことで、局所解からの脱出を図ることも考えられる。しかし、１度に変化させる状態変数の数が多いほど、エネルギーの変化量や局所場の計算が複雑化し、演算のコストが高まる。例えば、探索部２０を、ＦＰＧＡなどの電子回路で実現する場合、当該演算のための回路の複雑化も問題になる。

これに対し、情報処理装置１０は、探索部２０により、冗長要素を導入したエネルギー関数Ｅ２に基づく状態遷移を行わせることで、４つの状態変数の値の変化だけで、ある状態から、より多様な状態を遷移先の候補とすることができる利点がある。情報処理装置１０は、冗長要素を導入することで、等価的に、既存の仕組みでは不可能だったマルチビット遷移、すなわち、同時に４よりも大きい数の状態変数を遷移させる動作を探索部２０に行わせているとみることもできる。すなわち、情報処理装置１０は、探索部２０の既存の機能を利用して、探索部２０の求解性能を簡便に向上できる。情報処理装置１０の機能は、順列要素の前後関係だけが問題となる、例えばＬＯＰなどの順列最適化問題に適用することができる。

［第２の実施の形態］
次に、第２の実施の形態を説明する。
図２は、第２の実施の形態の情報処理装置のハードウェア例を示す図である。

情報処理装置１００は、組合せ最適化問題に対する解を、ＭＣＭＣ法を用いて探索し、探索した解を出力する。情報処理装置１００は、ＣＰＵ１０１、ＲＡＭ１０２、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）１０３、ＧＰＵ１０４、入力インタフェース１０５、媒体リーダ１０６、ＮＩＣ（Network Interface Card）１０７およびアクセラレータカード１０８を有する。ＣＰＵ１０１は、第１の実施の形態の処理部１２の一例である。ＲＡＭ１０２またはＨＤＤ１０３は、第１の実施の形態の記憶部１１の一例である。

ＣＰＵ１０１は、プログラムの命令を実行するプロセッサである。ＣＰＵ１０１は、ＨＤＤ１０３に記憶されたプログラムやデータの少なくとも一部をＲＡＭ１０２にロードし、プログラムを実行する。なお、ＣＰＵ１０１は複数のプロセッサコアを含んでもよい。また、情報処理装置１００は複数のプロセッサを有してもよい。以下で説明する処理は複数のプロセッサまたはプロセッサコアを用いて並列に実行されてもよい。また、複数のプロセッサの集合を「マルチプロセッサ」または単に「プロセッサ」と言うことがある。

ＲＡＭ１０２は、ＣＰＵ１０１が実行するプログラムやＣＰＵ１０１が演算に用いるデータを一時的に記憶する揮発性の半導体メモリである。なお、情報処理装置１００は、ＲＡＭ以外の種類のメモリを備えてもよく、複数個のメモリを備えてもよい。

ＨＤＤ１０３は、ＯＳ（Operating System）やミドルウェアやアプリケーションソフトウェアなどのソフトウェアのプログラム、および、データを記憶する不揮発性の記憶装置である。なお、情報処理装置１００は、フラッシュメモリやＳＳＤ（Solid State Drive）などの他の種類の記憶装置を備えてもよく、複数の不揮発性の記憶装置を備えてもよい。

ＧＰＵ１０４は、ＣＰＵ１０１からの命令に従って、情報処理装置１００に接続されたディスプレイ５１に画像を出力する。ディスプレイ５１としては、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ：Liquid Crystal Display）、プラズマディスプレイ、有機ＥＬ（ＯＥＬ：Organic Electro-Luminescence）ディスプレイなど、任意の種類のディスプレイを用いることができる。

入力インタフェース１０５は、情報処理装置１００に接続された入力デバイス５２から入力信号を取得し、ＣＰＵ１０１に出力する。入力デバイス５２としては、マウス、タッチパネル、タッチパッド、トラックボールなどのポインティングデバイス、キーボード、リモートコントローラ、ボタンスイッチなどを用いることができる。また、情報処理装置１００に、複数の種類の入力デバイスが接続されていてもよい。

媒体リーダ１０６は、記録媒体５３に記録されたプログラムやデータを読み取る読み取り装置である。記録媒体５３として、例えば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク（ＭＯ：Magneto-Optical disk）、半導体メモリなどを使用できる。磁気ディスクには、フレキシブルディスク（ＦＤ：Flexible Disk）やＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ（Compact Disc）やＤＶＤ（Digital Versatile Disc）が含まれる。

媒体リーダ１０６は、例えば、記録媒体５３から読み取ったプログラムやデータを、ＲＡＭ１０２やＨＤＤ１０３などの他の記録媒体にコピーする。読み取られたプログラムは、例えば、ＣＰＵ１０１によって実行される。なお、記録媒体５３は可搬型記録媒体であってもよく、プログラムやデータの配布に用いられることがある。また、記録媒体５３やＨＤＤ１０３を、コンピュータ読み取り可能な記録媒体と言うことがある。

ＮＩＣ１０７は、ネットワーク５４に接続され、ネットワーク５４を介して他のコンピュータと通信を行うインタフェースである。ＮＩＣ１０７は、例えば、スイッチやルータなどの通信装置とケーブルで接続される。ＮＩＣ１０７は、無線通信インタフェースでもよい。

アクセラレータカード１０８は、式（１）のイジング型のエネルギー関数で表される問題の解を、ＭＣＭＣ法を用いて探索するハードウェアアクセラレータである。アクセラレータカード１０８は、一定温度のＭＣＭＣ法または複数温度間でイジングモデルの状態を交換するレプリカ交換法を行うことで、該当温度におけるボルツマン分布に従う状態をサンプリングするサンプラーとして用いることができる。アクセラレータカード１０８は、組合せ最適化問題の求解のためには、レプリカ交換法や温度値を徐々に下げるＳＡ法などのアニーリングの処理を実行する。

ＳＡ法は、各温度値におけるボルツマン分布に従う状態をサンプリングし、サンプリングに用いる温度値を高温から低温に下げる、すなわち、逆温度βを増やすことで、最適解を効率的に発見する方法である。低温側、すなわち、βの大きい場合でもある程度状態が変化することで、温度値を早く下げても良い解を発見できる可能性が高くなる。例えば、ＳＡ法を用いる場合、アクセラレータカード１０８は、一定の温度値での状態遷移の試行を一定回数繰り返した後に温度値を下げる、という動作を繰り返す。

レプリカ交換法は、複数の温度値を用いて独立してＭＣＭＣ法を実行し、各温度値で得られた状態に対して、適宜、温度値を交換する手法である。低温でのＭＣＭＣによって状態空間の狭い範囲を探索し、高温でのＭＣＭＣによって状態空間の広い範囲を探索することで、効率的に良い解を発見することができる。例えば、レプリカ交換法を用いる場合、アクセラレータカード１０８は、複数の温度値の各々での状態遷移の試行を並列して行い、一定回数の試行を行うごとに、各温度値で得られた状態に対して、所定の交換確率で温度値を交換する、という動作を繰り返す。

アクセラレータカード１０８は、ＦＰＧＡ１０９を有する。ＦＰＧＡ１０９は、アクセラレータカード１０８における解探索機能を実現する。解探索機能は、ＧＰＵやＡＳＩＣなどの他の種類の電子回路により実現されてもよい。ＦＰＧＡ１０９は、メモリ１０９ａを有する。メモリ１０９ａは、ＦＰＧＡ１０９での探索に用いられる問題データやＦＰＧＡ１０９により探索された解を保持する。メモリ１０９ａは、例えばＳＲＡＭ（Static Random Access Memory）である。ＦＰＧＡ１０９は、メモリ１０９ａを含む複数のメモリを有してもよい。ＦＰＧＡ１０９は、メモリ１０９ａを含む複数のメモリを有してもよい。なお、アクセラレータカード１０８は、ＦＰＧＡ１０９の外部にＲＡＭを有してもよく、ＦＰＧＡ１０９の処理に応じて、メモリ１０９ａに格納されたデータを当該ＲＡＭに一時的に退避してもよい。

アクセラレータカード１０８のようにイジング形式の問題の解を探索するハードウェアアクセラレータは、イジングマシンやボルツマンマシンなどと呼ばれることがある。
図３は、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔによるビットフリップ制御例を示す図である。

組合せ最適化問題では、２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約と呼ばれる制約条件が課されることがある。２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔ制約をもつ組合せ最適化問題は、順列最適化問題と言われる。２－Ｗａｙ １－Ｈｏｔは、２Ｗ１Ｈと略記される。

ここで、１－Ｈｏｔ制約とは、「ある状態変数の組の中で、値が１の変数は１個だけである」という制約である。例えば、図３では、Ｎ^２個（Ｎは４以上の整数）の状態変数ｘ_１，ｘ_２，…が、Ｎ行Ｎ列で示されている。グループｇ１１，ｇ１２は、行に対応する状態変数のグループの例を示す。グループｇ２１，ｇ２２は、列に対応する状態変数のグループの例を示す。各行に対応する状態変数のグループに１－Ｈｏｔ制約を課す場合、各行の状態変数の和は１である。例えば、グループｇ１１に属する状態変数の和は１である。また、グループｇ１２に属する状態変数の和は１である。あるいは、各列に対応する状態変数のグループに１－Ｈｏｔ制約を課す場合、各列の状態変数の和は１である。例えば、グループｇ２１に属する状態変数の和は１である。グループｇ２２に属する状態変数の和は１である。

２Ｗ１Ｈでは、２つの１－Ｈｏｔ制約を満たすように、１度に４つの状態変数の値を変化させる。すなわち、式（７）のような４ビットフリップである。ｉ，ｊ，ｋ，ｌは、フリップさせる状態変数の組を示すインデックスの組である。なお、ｉ＜ｊ＜ｋ＜ｌである。図３では、インデックスｉ，ｊ，ｋ，ｌに対応する状態変数の組の例が示されている。２Ｗ１Ｈでは、状態変数の数がＮ^２であり、Ｎ行の各行およびＮ列の各列でそれぞれ状態変数が、１－Ｈｏｔ制約が課されたグループとしてグループ化される。このときのエネルギー変化ΔＥ_ｊは、式（８）で表される。状態変数ｘ_ｍに対応する局所場の変化Δｈ_ｍは、式（９）で表される。ｍ＝１，２，…，Ｎ^２である。

以下では、順列最適化問題の一例として、ＬＯＰを挙げる。ただし、情報処理装置１００による処理対象の順列最適化問題は、順列要素の前後関係だけが問題となる、ＬＯＰ以外の順列最適化問題でもよい。

例えば、ＬＯＰにおけるコストを示すＣｏｓｔ Ｅは、式（１９）のように表すことができる。

ここで、式（１９）の変数ｘ_ｉｋの値は、式（２０）で表される。

また、問題行列Ａは、式（２１）で表される。更に、ｆ_ｉｊを与える行列Ｆは、式（２２）で表される。ここで、式（２２）の行列Ｆは、対角成分よりも上の要素が全て－１であり、それ以外が全て０である。

式（１９）のＣｏｓｔ Ｅを与えるイジング形式のエネルギー関数Ｅは、式（２３）で表される。

式（２３）のｘは、イジングモデルの状態を示す状態ベクトルである。式（２３）のＷは、式（１７）で計算される重み係数行列である。
図４は、イジングモデルの状態と順列との対応関係の例を示す図である。

図４（Ａ）は、Ｎ＝５の場合のイジングモデルの状態６１の例を示す。図４（Ｂ）は、Ｎ＝５の場合のイジングモデルの状態６２を示す。状態６１，６２それぞれは、２５個の状態変数ｘ_１～ｘ_２５で表される。状態６１，６２それぞれで示される行列の１行目は、状態変数ｘ_１～ｘ_５のグループである。２行目は、状態変数ｘ_６～ｘ_１０のグループである。３行目は、状態変数ｘ_１１～ｘ_１５のグループである。４行目は、状態変数ｘ_１６～ｘ_２０のグループである。５行目は、状態変数ｘ_２１～ｘ_２５のグループである。なお、各状態変数は列方向にもグループ化される。

状態６１の例では、行方向の各グループの状態変数の値は次の通りである。｛ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５｝＝｛１，０，０，０，０｝である。｛ｘ_６，ｘ_７，ｘ_８，ｘ_９，ｘ_１０｝＝｛０，１，０，０，０｝である。｛ｘ_１１，ｘ_１２，ｘ_１３，ｘ_１４，ｘ_１５｝＝｛０，０，１，０，０｝である。｛ｘ_１６，ｘ_１７，ｘ_１８，ｘ_１９，ｘ_２０｝＝｛０，０，０，１，０｝である。｛ｘ_２１，ｘ_２２，ｘ_２３，ｘ_２４，ｘ_２５｝＝｛０，０，０，０，１｝である。この場合、状態６１は、順列（１，２，３，４，５）と表される。前述のように、例えば、順列の左からｐ番目の値ｑは、状態６１や状態６２などで示される行列の上からｐ行目かつ左からｑ列目の要素を１とすることを示す。

状態６２の例では、行方向の各グループの状態変数の値は次の通りである。｛ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５｝＝｛０，０，０，１，０｝である。｛ｘ_６，ｘ_７，ｘ_８，ｘ_９，ｘ_１０｝＝｛０，１，０，０，０｝である。｛ｘ_１１，ｘ_１２，ｘ_１３，ｘ_１４，ｘ_１５｝＝｛０，０，１，０，０｝である。｛ｘ_１６，ｘ_１７，ｘ_１８，ｘ_１９，ｘ_２０｝＝｛０，０，０，０，１｝である。｛ｘ_２１，ｘ_２２，ｘ_２３，ｘ_２４，ｘ_２５｝＝｛１，０，０，０，０｝である。この場合、状態６２は、順列（４，２，３，５，１）と表される。

図５は、情報処理装置の機能例を示す図である。
情報処理装置１００は、２Ｗ１Ｈ制約を満たすようにイジングモデルの状態を遷移させ、順列最適化問題の求解を効率的に行う。情報処理装置１００は、探索部１１０および制御部１２０を有する。探索部１１０は、ＳＡ法などを用いてＬＯＰの解を探索する。制御部１２０は、探索部１１０を制御する。探索部１１０は、ＦＰＧＡ１０９により実現される。制御部１２０は、ＣＰＵ１０１により実現される。

探索部１１０は、重み係数保持部１１１、局所場保持部１１２、ΔＥ計算部１１３、判定部１１４および状態保持部１１５を有する。重み係数保持部１１１および局所場保持部１１２におけるデータの記憶領域には、メモリ１０９ａが用いられる。

重み係数保持部１１１は、式（１）における重み係数行列Ｗを保持する。重み係数保持部１１１は、判定部１１４から供給されるインデックスｊに基づいて、局所場保持部１１２に重み係数Ｗ_ｍｉ，Ｗ_ｍｊ，Ｗ_ｍｋ，Ｗ_ｍｌを供給する。

局所場保持部１１２は、式（３）に基づく局所場ｈ_１，ｈ_２，…，ｈ_ｎを保持する。局所場保持部１１２は、２Ｗ１Ｈによる４つの状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌの値の変化に応じて、重み係数保持部１１１に保持される重み係数Ｗに基づき、式（９）により局所場ｈ_１，ｈ_２，…，ｈ_ｎを更新する。ここで、ｎは、全状態変数の数であり、ｎ＝Ｎ^２である。

ΔＥ計算部１１３は、状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌの値を変化させる場合のエネルギー変化ΔＥ_ｊを、式（８）により計算する。ΔＥ計算部１１３は、変化候補とする複数の状態変数に対して、複数のΔＥを並列に計算してもよい。

判定部１１４は、式（６）に基づいて、４つの状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌの値の変化が許容されるか否かを判定する。判定部１１４は、許容される場合、状態保持部１１５に保持される４つの状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌの値を変化させるとともに、インデックスｉ，ｊ，ｋ，ｌを重み係数保持部１１１に供給する。ΔＥ計算部１１３により複数のΔＥが並列に計算される場合、判定部１１４は、式（６）に基づいて、値の変化が許容される４つの状態変数の複数の組のうち、何れかを選択し、選択した組に属する４つの状態変数の値を変化させる。

状態保持部１１５は、状態変数（ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_ｎ）を保持する。状態保持部１１５は、初期状態のエネルギーに対して状態遷移に応じたΔＥを積算することで、現在の状態に対応するエネルギーを保持してもよい。

制御部１２０は、元の問題に対応するエネルギー関数に対して冗長要素を導入したエネルギー関数の情報を生成し、探索部１１０に設定する。例えば、制御部１２０は、ＬＯＰとして与えられたＭ行Ｍ列の問題行列Ａを式（１８）のようにＮ行Ｎ列に変換し、変換後の問題行列Ａに対して式（１７）を用いて、重み係数行列Ｗを生成する。変換後の問題行列はＮ行Ｎ列である。この場合、式（１７）により計算される重み係数行列Ｗは、Ｎ^２行Ｎ^２列の対称行列となる。また、制御部１２０は、ＬＯＰとして与えられたＭ^２個の状態変数に対して（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数を追加して、Ｎ^２個の状態変数に拡張する。制御部１２０は、こうして冗長要素を導入したエネルギー関数の情報を生成して探索部１１０に入力し、解の探索を実行させる。

制御部１２０は、探索部１１０での探索の結果として得られた解を取得し、当該解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数を除去して、Ｍ^２個の状態変数に戻す。すなわち、制御部１２０は、Ｍ^２個の状態変数で表される解を、与えられたＬＯＰの解として生成する。制御部１２０は、生成した解を出力する。

なお、探索部１１０における２Ｗ１Ｈによる解の探索には、例えば、特開２０２１－１５７３６１号公報が参考になる。
図６は、ＬＯＰにおける冗長要素の追加方法の例を示す図である。

一例として、元の問題が１６個の状態変数ｘ_１～ｘ_１６を用いて表されるものとする。問題情報Ｄ１は、元の問題に対応する問題行列Ａおよび状態変数（ｘ_１，…，ｘ_１６）を示す。問題行列Ａは４行４列の行列である。

問題情報Ｄ２は、冗長要素を加えた後の問題行列Ａおよび状態変数（ｘ_１，…，ｘ_２５）を示す。冗長要素を加えた後の問題行列Ａは、５行５列の行列である。冗長要素を加えた後の問題行列Ａの５行目の各要素および５列目の各要素は何れも０である。冗長要素を加えた後の問題行列Ａは拡張行列と言われる。制御部１２０は、拡張行列を用いて、式（１７）により重み係数行列Ｗを生成する。また、状態変数ｘ_１～ｘ_２５は、元の１６個の状態変数ｘ_１～ｘ_１６に対して９個の状態変数が追加されたものである。元の状態変数に対して追加される状態変数は、冗長変数と言われる。

図７は、冗長変数の追加例を示す図である。
図６の例において、元の問題における１６個の状態変数ｘ_１～ｘ_１６は、状態７１を示す。例えば、｛ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４｝＝｛１，０，０，０｝、｛ｘ_５，ｘ_６，ｘ_７，ｘ_８｝＝｛０，１，０，０｝、｛ｘ_９，ｘ_１０，ｘ_１１，ｘ_１２｝＝｛０，０，１，０｝、｛ｘ_１３，ｘ_１４，ｘ_１５，ｘ_１６｝＝｛０，０，０，１｝である。この場合、状態７１は、順列（１，２，３，４）と表される。

また、冗長要素「５」を加えた後の２５個の状態変数ｘ_１～ｘ_２５は、状態７２を示す。例えば、｛ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５｝＝｛１，０，０，０，０｝、｛ｘ_６，ｘ_７，ｘ_８，ｘ_９，ｘ_１０｝＝｛０，１，０，０，０｝、｛ｘ_１１，ｘ_１２，ｘ_１３，ｘ_１４，ｘ_１５｝＝｛０，０，１，０，０｝、｛ｘ_１６，ｘ_１７，ｘ_１８，ｘ_１９，ｘ_２０｝＝｛０，０，０，１，０｝、｛ｘ_２１，ｘ_２２，ｘ_２３，ｘ_２４，ｘ_２５｝＝｛０，０，０，０，１｝である。この場合、状態７２は、順列（１，２，３，４，５）と表される。

図８は、制御部による解の取得例を示す図である。
例えば、制御部１２０は、初期状態を状態７２として、探索部１１０に解の探索、すなわち、最適化処理を実行させる。なお、状態７２は、冗長要素「５」を除去した状態７２ａと等価である。制御部１２０は、探索部１１０から最適化が終了した状態７３を取得する。状態７３は、探索部１１０の探索結果として得られた解に相当する。

ここで、状態７３は、｛ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５｝＝｛０，０，０，０，１｝、｛ｘ_６，ｘ_７，ｘ_８，ｘ_９，ｘ_１０｝＝｛０，１，０，０，０｝、｛ｘ_１１，ｘ_１２，ｘ_１３，ｘ_１４，ｘ_１５｝＝｛０，０，１，０，０｝、｛ｘ_１６，ｘ_１７，ｘ_１８，ｘ_１９，ｘ_２０｝＝｛０，０，０，１，０｝、｛ｘ_２１，ｘ_２２，ｘ_２３，ｘ_２４，ｘ_２５｝＝｛１，０，０，０，０｝である。この場合、状態７３は、順列（５，２，３，４，１）に相当する。制御部１２０は、状態７３から冗長要素「５」に対応する９個の状態変数ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５，ｘ_１０，ｘ_１５，ｘ_２０，ｘ_２５を除去することで、解くべきＬＯＰの解に相当する状態７３ａを生成する。状態７３ａは、順列（２，３，４，１）に相当する。

なお、冗長要素「５」を含む順列（５，２，３，４，１）に対して、順列（２，５，３，４，１）、（２，３，５，４，１）、（２，３，４，５，１）、（２，３，４，１，５）は、エネルギーが等価な状態となる。また、これらの冗長要素「５」を含む順列は何れも、順列（２，３，４，１）と等価である。

このように、制御部１２０は、式（１８）の拡張行列Ａに対し、式（１７）により重み係数行列Ｗを生成する。すると、上記の順列において冗長要素「５」以外の要素「１，２，３，４」の一定の並びに対し冗長要素「５」が何れの位置にあっても順列に対応するＮの２乗個の状態変数の値に対するエネルギーが同じになる。例えば、冗長要素「５」以外の要素「１，２，３，４」の一定の並びが（２，３，４，１）であるとする。この場合、例えば上記のように、冗長要素「５」が要素「２」の前にある順列（５，２，３，４，１）の状態に対するエネルギーも、冗長要素「５」が要素「２，３」の間にある順列（２，５，３，４，１）の状態に対応するエネルギーも同じになる。

図９は、冗長要素の有無に応じた状態遷移先候補の例を示す図である。
図９（Ａ）は、冗長要素を導入しない場合の状態遷移先候補の比較例のテーブルＴ１を示す。図９（Ｂ）は、冗長要素を導入する場合の状態遷移先候補の例のテーブルＴ２を示す。

テーブルＴ１における元の状態は、順列（１，２，３，４）に相当する。テーブルＴ２における元の状態は、順列（１，２，３，４）に冗長要素「５」を導入した順列（１，２，３，４，５）に相当する。

テーブルＴ１によれば、元の状態の順列（１，２，３，４）に対する次の状態の候補は、（２，１，３，４）、（３，２，１，４）、（４，２，３，１）、（１，３，２，４）、（１，４，３，２）、（１，２，４，３）である。これらの候補は、何れも元の状態の順列（１，２，３，４）と異なる要素の数は２である。すなわち、冗長要素を導入しない場合、次の状態の候補は、元の状態から４つ状態変数の値を変化させる４ビット遷移で到達する状態のみである。

テーブルＴ２では、元の状態の順列（１，２，３，４，５）に対する次の状態の候補として、冗長要素「５」を移動させる場合の候補が記載されており、それ以外の候補の図示が省略されている。テーブルＴ２によれば、元の状態の順列（１，２，３，４，５）に対する次の状態の候補として（１，２，３，５，４）、（１，２，５，４，３）、（１，５，３，４，２）、（５，２，３，４，１）がある。

順列（１，２，３，５，４）は、順列（１，２，３，４）と等価である。順列（１，２，５，４，３）は、順列（１，２，４，３）と等価である。順列（１，５，３，４，２）は、順列（１，３，４，２）と等価である。順列（５，２，３，４，１）は、順列（２，３，４，１）と等価である。

順列（１，２，３，４）は、冗長要素を導入しない元の順列（１，２，３，４）と異なる要素の数は０である。順列（１，２，４，３）は、元の順列（１，２，３，４）と異なる要素の数は２である。順列（１，３，４，２）は、元の順列（１，２，３，４）と異なる要素の数は３である。順列（２，３，４，１）は、元の順列（１，２，３，４）と異なる要素の数は４である。

この場合、順列（１，３，４，２）で表される状態は、元の状態から６つの状態変数の値を変化させる６ビット遷移で到達する状態である。また、順列（２，３，４，１）で表される状態は、元の状態から８つの状態変数の値を変化させる８ビット遷移で到達する状態である。このように、制御部１２０は、順列に冗長要素を導入することで、既存の順列内の２つの要素の入れ替えを行うという試行の仕組みで探索部１１０を動作させながら、等価的に遷移先の状態として４ビット以上離れている状態を探索させることができる。

なお、例えば、初期状態の順列（２，３，１，５，４）のうち、要素「５」を冗長要素とする場合も考えられる。この場合、制御部１２０は、例えば５行５列に拡張した問題行列Ａにおいて４行目かつ５列目の要素を全て０とすればよい。

次に、情報処理装置１００の処理手順を説明する。
図１０は、情報処理装置の処理例を示すフローチャートである。
（Ｓ１０）制御部１２０は、入力された問題情報に基づいて、拡張行列Ａを生成する。また、制御部１２０は、問題情報で示される状態変数群に対して、冗長変数を追加する。制御部１２０は、拡張行列Ａを用いて重み係数行列Ｗを計算し、重み係数行列Ｗおよび冗長変数を追加した状態変数群に関するエネルギー関数の情報を生成する。制御部１２０は、エネルギー関数の情報を探索部１１０に入力し、当該エネルギー関数に基づく解の探索を開始させる。

（Ｓ１１）探索部１１０は、２Ｗ１Ｈ動作で、ＳＡ法やレプリカ交換法などを用いた解の探索を行う。探索部１１０は、探索が終了すると、探索により得られた最もエネルギーの低い解を、制御部１２０に出力する。

（Ｓ１２）制御部１２０は、探索部１１０から取得した解から冗長要素に対応する冗長変数を除去することで、入力された問題情報に係る順列最適化問題の解を生成する。制御部１２０は、生成した解を出力する。そして、情報処理装置１００の処理が終了する。

以上説明したように、制御部１２０は、冗長要素を導入することで、探索部１１０による求解性能を向上できる。すなわち、制御部１２０は、探索部１１０の探索において、ある状態に対する次の状態の候補を増やせる。このため、探索部１１０において、局所解に陥り難くなる。

特に、冗長要素に対応する状態変数を導入しない場合、局所解に陥ったときに、探索部１１０において、４つの状態変数よりも多くの状態変数の値を１度に変化させる演算を行うことで、局所解からの脱出を図ることも考えられる。しかし、１度に変化させる状態変数の数が多いほど、エネルギーの変化量や局所場の計算が複雑化し、演算のコストが高まる。例えば、探索部１１０を、ＦＰＧＡなどの電子回路で実現する場合、当該演算のための回路の複雑化も問題になる。

これに対し、制御部１２０は、探索部１１０により、冗長要素を導入したエネルギー関数に基づく状態遷移を行わせることで、４つの状態変数の値の変化だけで、ある状態から、より多様な状態を遷移先の候補とすることができる。制御部１２０は、冗長要素を導入することで、等価的に、既存の仕組みでは不可能だったマルチビット遷移、すなわち、同時に４よりも大きい数の状態変数を遷移させる動作を探索部１１０に行わせているとみることもできる。こうして、情報処理装置１００は、探索部１１０の既存の機能を利用して、探索部１１０の求解性能を簡便に向上できる。

［第３の実施の形態］
次に第３の実施の形態を説明する。前述の第２の実施の形態と相違する事項を主に説明し、共通する事項の説明を省略する。

第３の実施の形態では、情報処理装置１００は、順列に導入される冗長要素の数を可変にする。
図１１は、第３の実施の形態の情報処理装置の処理例を示すフローチャートである。

（Ｓ２０）制御部１２０は、入力された問題情報に基づいて、拡張行列Ａを生成する。また、制御部１２０は、問題情報で示される状態変数群に対して、冗長変数をｋ個追加する。拡張行列は、冗長変数の追加により導入される順列の冗長要素の数に応じて生成される。例えば、順列の末尾に冗長要素を２つ追加するように冗長変数を追加する場合、ＬＯＰでは、元の問題行列Ａの末尾に、値が全て０の２つの行と２つの列とが追加される。例えば、制御部１２０は、当初追加する冗長変数の数を０とし、以後、ステップＳ２０が実行されるたびにｋの値を増やす。

制御部１２０は、拡張行列Ａを用いて重み係数行列Ｗを計算し、重み係数行列Ｗおよび冗長変数を追加した状態変数群に関するエネルギー関数の情報を生成する。制御部１２０は、エネルギー関数の情報を探索部１１０に入力し、当該エネルギー関数に基づく解の探索を開始させる。

（Ｓ２１）探索部１１０は、２Ｗ１Ｈ動作で、ＳＡ法やレプリカ交換法などを用いた解の探索を行う。探索部１１０は、探索が終了すると、探索により得られた最もエネルギーの低い解を制御部１２０に出力する。

（Ｓ２２）制御部１２０は、規定回数、変数ｋを変更したか否かを判定する。規定回数、変数ｋを変更した場合、ステップＳ２３に処理が進む。規定回数、変数ｋを変更していない場合、ステップＳ２０に処理が進む。

（Ｓ２３）制御部１２０は、探索部１１０から取得した解のうち、最もエネルギーの低い解の冗長変数を除去することで、入力された問題情報に係る順列最適化問題の解を生成する。制御部１２０は、生成した解を出力する。そして、情報処理装置１００の処理が終了する。

このように、制御部１２０は、ｋ個の冗長変数の追加によりＮの値を段階的に増やせる。例えば、状態変数をＮ行Ｎ列とするようにｋ個の冗長変数を追加する場合、ｋ＝２Ｎ－１となる。よって、ｋ個の冗長変数が追加されるとＮ＝（ｋ＋１）／２となる。こうして、制御部１２０は、Ｎの値を段階的に増やし、各Ｎの値に対して探索部１１０による求解を実行させ、探索部１１０で得られた解の中で最も良い解から冗長変数を除去して、最終的な解を取得してもよい。

なお、制御部１２０は、ステップＳ２１を一定時間実行することで得られた最低エネルギーを取得し、ステップＳ２２では、当該最低エネルギーが、これまでに得られたものから改善されたか否かに応じて、ｋを増やすか減らすかを選択してもよい。

例えば、最初にｋ＝０でステップＳ２１が実行された際に得られた最低エネルギーをＥ（０）とする。次に１回目に冗長変数をｋ個増やしてステップＳ２１が実行された際に得られた最低エネルギーをＥ（１）とする。制御部１２０は、ステップＳ２１でＥ（１）＜Ｅ（０）、すなわち、改善の場合は、更に、２回目以降もｋを増やし、ｋ個の冗長変数を追加して試す。そして、制御部１２０は、ステップＳ２２でＥ（ｎ＋１）＞Ｅ（ｎ）になった段階で、ステップＳ２３に進んでもよい。この場合、制御部１２０は、Ｅ（ｎ）に対応する解から冗長変数を除去することで、最終的な解を生成する。

このように、情報処理装置１００は、順列に導入される冗長要素の数を可変にすることで、多様な状態が探索される可能性を高め、探索部１１０による求解性能を向上できる。
［第４の実施の形態］
次に第４の実施の形態を説明する。前述の第２，第３の実施の形態と相違する事項を主に説明し、共通する事項の説明を省略する。

図１２は、第４の実施の形態の冗長変数フラグの例を示す図である。
一例として４要素の順列（１，２，３，４）に対して、１つの冗長要素「５」を加える場合を示す。初期状態では冗長要素「５」は、順列の末尾に付加される。すなわち、順列（１，２，３，４）が順列（１，２，３，４，５）のように拡張される。この時、両者の間でエネルギーの差が発生しないように定式化される。例えば、ＬＯＰの場合、図６のように拡張すれば当該エネルギーの差が発生しない。

また、状態変数には、元の状態変数（ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_１６）に対して、冗長変数（ｘ_１７，ｘ_１８，…，ｘ_２５）が追加される。
状態８０は、２５個の状態変数による５行５列の行列で表される。状態８０では、１行目がｘ_１～ｘ_５、２行目がｘ_６～ｘ_１０、３行目がｘ_１１～ｘ_１５、４行目がｘ_１６～ｘ_２０、５行目がｘ_２１～ｘ_２５となる。

このとき、冗長変数フラグの値は、冗長要素「５」が順列のどこにあるか分かるように付与される。冗長変数フラグ情報９０（＝ｆｌａｇ１）は、初期段階における各状態変数の冗長変数フラグの値を示す。

探索部１１０による状態遷移によって、冗長要素「５」が移動し、例えば、順列（３，５，２，１，４）の状態となる。冗長変数フラグ情報９０ａ（＝ｆｌａｇ２）は、このときの各状態変数の冗長変数フラグの値を示す。

図１３は、冗長要素が複数の場合の冗長変数フラグの例を示す図である。
状態８１は、順列（１，２，３，４）に対して冗長要素「５」、「６」を追加した順列（１，２，３，４，５，６）で示される初期状態を示す。

冗長変数フラグ情報９１は、状態８１に対応する各状態変数の冗長変数フラグの値を示す。冗長変数フラグ情報９１により、順列における複数の冗長要素が管理される。
図１４は、状態遷移の例を示す図である。

図１４（Ａ）は、状態８１に対する遷移後の状態８２を示す。状態８２は、順列（１，２，３，４，６，５）に相当する。状態８１から状態８２へ遷移する状態遷移は、冗長要素「５」、「６」の置換に相当する遷移であり、意味のない遷移である。順列（１，２，３，４，６，５）のうちの冗長要素「５」、「６」を除去した（１，２，３，４）の並びに変化がないからである。

図１４（Ｂ）は、状態８１に対する遷移後の状態８３を示す。状態８３は、順列（６，２，３，４，５，１）に相当する。状態８１から状態８３への状態遷移は、冗長要素「１」、「６」の置換に相当する遷移であり、意味のある遷移である。順列（６，２，３，４，５，１）のうちの冗長要素「５」、「６」を除去した（２，３，４，１）の並びが、元の並び（１，２，３，４）に対して変化しているからである。

意味のない状態遷移が実行されると解探索が遅延し得る。そこで、情報処理装置１００は、冗長変数フラグ情報９１に基づいて、探索部１１０における意味のない遷移を抑制する制御を行う。

図１５は、情報処理装置の機能例を示す図である。
第４の実施の形態では、局所場保持部１１２が局所場ｈ_１，ｈ_２，…，ｈ_ｎとともに、状態変数ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_ｎに対して冗長変数フラグｆ_１，ｆ_２，…，ｆ_ｎを保持する点が、第２の実施の形態と異なる。また、ΔＥ計算部１１３が冗長変数判定部１１３ａを有する点が第２の実施の形態と異なる。冗長変数判定部１１３ａは、冗長変数フラグｆ_１，ｆ_２，…，ｆ_ｎに基づいて、各インデックスに対応する状態変数が冗長変数に該当するか否かを判定する。冗長変数フラグｆ_１，ｆ_２，…，ｆ_ｎの値は、状態遷移に応じて冗長要素に対応する冗長変数に対する値が１、それ以外が０になるように更新される。冗長変数フラグｆ_１，ｆ_２，…，ｆ_ｎの値の更新は、局所場保持部１１２により行われてもよいし、判定部１１４により行われてもよい。

次に、冗長変数フラグに基づく情報処理装置１００の処理手順を説明する。
図１６は、探索部の処理例を示すフローチャートである。
探索部１１０による解の探索にはＳＡ法が用いられるものとする。

（Ｓ３０）制御部１２０は、探索部１１０を初期化する。制御部１２０は、入力された問題情報を基に、複数の冗長要素を導入したエネルギー関数の情報を生成し、探索部１１０に入力する。

（Ｓ３１）判定部１１４は、式（６）に用いられる温度値Ｔを設定する。なお、ステップＳ３１が初回に実行される場合、判定部１１４は、初期温度値を温度値Ｔに設定する。また、ステップＳ３１が２回目以降に実行される場合、判定部１１４は、温度値Ｔを前回よりも低い値とする。

（Ｓ３２）ΔＥ計算部１１３は、現在の値が０である状態変数ｘ_ｊのインデックスｊを決定する。インデックスｊは、ランダムに選択されてもよいし、シーケンシャルに選択されてもよい。ΔＥ計算部１１３は、インデックスｊからその他にフリップすべき３つの状態変数のインデックスｉ，ｋ，ｌを計算する。ｘ_ｉ＝１、かつ、ｘ_ｌ＝１である。

（Ｓ３３）冗長変数判定部１１３ａは、インデックスｉ，ｌに対応する冗長変数フラグｆ_ｉ，ｆ_ｌを読み出す。
（Ｓ３４）冗長変数判定部１１３ａは、２つの冗長変数フラグｆ_ｉ，ｆ_ｌの少なくとも一方が０であるか否かを判定する。２つの冗長変数フラグｆ_ｉ，ｆ_ｌの少なくとも一方が０である場合、ステップＳ３５に処理が進む。２つの冗長変数フラグｆ_ｉ，ｆ_ｌの何れもが０でない、すなわち、両方とも１の場合、ステップＳ３２に処理が進む。このように、状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｌの両方が冗長変数フラグ＝１の場合、インデックスｊが再度選択される。

（Ｓ３５）ΔＥ計算部１１３は、式（８）に基づくΔＥの計算を行い、判定部１１４に供給する。判定部１１４は、ΔＥに基づく式（６）の判定により、４つの状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌの値の更新を許容するか否か判定し、許容する場合、状態保持部１１５における状態変数ｘ_ｉ，ｘ_ｊ，ｘ_ｋ，ｘ_ｌの値を更新する。また、判定部１１４は、インデックスｊを重み係数保持部１１１に出力し、重み係数（Ｗ_ｍｉ，Ｗ_ｍｊ，Ｗ_ｍｋ，Ｗ_ｍｌ）を局所場保持部１１２に供給させる。局所場保持部１１２は、式（９）に基づいて各局所場を更新する。

（Ｓ３６）ΔＥ計算部１１３は、規定回数だけ変化候補の変数ｘ_ｊを選択したか否かを判定する。規定回数だけ変化候補の変数ｘ_ｊを選択した場合、ステップＳ３７に処理が進む。規定回数だけ変化候補の変数ｘ_ｊを選択していない場合、ステップＳ３２に処理が進む。

（Ｓ３７）判定部１１４は、規定回数だけ温度値Ｔを下げたか否かを判定する。規定回数だけ温度値Ｔを下げていない場合、ステップＳ３１に処理が進む。規定回数だけ温度値Ｔを下げた場合、探索部１１０は、得られた最低のエネルギーの解を制御部１２０に出力し、処理を終了する。この場合、制御部１２０は、探索部１１０により出力された解から冗長要素に対応する冗長変数を除去した解を生成して出力する。

ここで、冗長要素同士の置換による状態遷移は、冗長要素以外の他の要素の移動を伴わない意味のない遷移であり、余計な処理となる。そこで、情報処理装置１００は、上記のように冗長要素同士の置換による遷移を抑制することで、意味のない遷移が行われることを防ぎ、求解を高速化できる。

なお、図１６の手順では、ＳＡ法を実行する例を示したが、探索部１１０は、レプリカ交換法を実行してもよい。その場合、ステップＳ３１の温度値の設定は、レプリカ間での温度値の交換により行われ得る。また、ステップＳ３７の判定は、例えば規定回数だけ温度値の交換を行ったか否かにより判定され得る。

以上説明したように、情報処理装置１００は、例えば次の処理を実行する。
制御部１２０は、順列最適化問題として与えられた問題情報で示されるＭの２乗個の状態変数に（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数を追加したＮの２乗個の状態変数を含む第１エネルギー関数の情報を生成する。制御部１２０は、第１エネルギー関数の情報を探索部１１０に入力する。探索部１１０は、２Ｗ１Ｈ制約を満たすように、４つの状態変数の値を変化させる場合のエネルギー関数の値の変化量に応じて、４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う。制御部１２０は、探索部１１０により第１エネルギー関数に基づいて得られた、Ｎの２乗個の状態変数の値で表される第１の解を取得する。制御部１２０は、第１の解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の値を除去することで、順列最適化問題に対する第２の解を生成する。

これにより、情報処理装置１００は、探索部１１０により、既存の４ビット遷移の仕組みを用いて、実質的には４ビット遷移よりも多いマルチビット遷移を実現させることができ、求解性能を向上できる。また、探索部１１０において同時に４ビット遷移を行う既存のハードウェアを利用でき、探索部１１０の求解性能を簡便に向上できる。情報処理装置１００の制御部１２０の機能は、ＲＡＭ１０２に記憶されたプログラムがＣＰＵ１０１により実行されることで実現されてもよい。ＣＰＵ１０１などの演算回路を含むプロセッサは、第１の実施の形態の処理部１２の一例である。また、探索部１１０は、ＦＰＧＡ１０９やＧＰＵなどの演算回路を含むコプロセッサにより実現され得る。

より具体的には、Ｎの２乗個の状態変数の値は、複数の要素の順列を示す。順列は、追加された（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数に対応する冗長要素を含む。制御部１２０は、順列において冗長要素以外の要素の一定の並びに対し冗長要素が何れの位置にあっても順列に対応するＮの２乗個の状態変数の値に対する第１エネルギー関数の値が同じになるように、問題情報に含まれる問題行列に基づいて重み係数行列を生成する。重み係数行列は、Ｎの２乗個の状態変数のうちの２つの状態変数のペアごとの重みを示す。重み係数行列に含まれる重みは、式（２）で示されるように、第１エネルギー関数の値の変化量の計算に用いられる。

こうして、情報処理装置１００は、Ｎの２乗個の状態変数で表される状態を示す順列内に冗長要素を導入することで、既存の４ビット遷移の仕組みを用いて、実質的には４ビット遷移よりも多いマルチビット遷移を実現させることができ、求解性能を向上できる。なお、制御部１２０は、第２の解の生成では、第１の解における冗長要素に対応する（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数を除去すればよい。

例えば、制御部１２０は、問題情報に含まれるＭ行Ｍ列の問題行列を取得する。制御部１２０は、問題行列をＮ行Ｎ列に変換したときのＫ（ＫはＮ以下の自然数）行目となる新たな行およびＬ（ＬはＮ以下の自然数）列目となる新たな列として、全ての要素が０である行および列を挿入して問題行列をＮ行Ｎ列に変換する。制御部１２０は、Ｎ行Ｎ列に変換した問題行列に基づいて、第１エネルギー関数の値の変化量の計算に用いられる重み係数行列を生成する。また、制御部１２０は、Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときのＫ行目かつＬ列目の状態変数の値の初期値を１に設定する。

これにより、情報処理装置１００は、Ｎの２乗個の状態変数で表される状態を示す順列における冗長要素に対応する状態変数、すなわち冗長変数を容易に第１エネルギー関数に含めることができる。

また、制御部１２０は、Ｎの値を順次大きくするとともにＮを各値とした場合において探索部１１０で得られた第１の解と、第１エネルギー関数を基に計算される、第１の解のエネルギーとを取得してもよい。制御部１２０は、Ｎの値を所定回数変更すると、探索部１１０から取得された複数の第１の解のうち、エネルギーが最良である第１の解に基づいて、第２の解を生成してもよい。あるいは、制御部１２０は、今回のＮの値に対して得られた第１の解のエネルギーが、前回のＮの値に対して得られた第１の解のエネルギーよりも改悪されると、前回のＮの値に対して得られた第１の解に基づいて、第２の解を生成してもよい。

これにより、情報処理装置１００は、より多様な解を発見する可能性を高められ、求解性能を向上できる。なお、例えばエネルギーを最小化する問題の場合、エネルギーが最良の解は、複数の第１の解の中で、エネルギーが最小の解である。この場合、エネルギーが改悪される場合とは、今回得られた第１の解のエネルギーが、前回得られた第１の解のエネルギーよりも大きい場合である。

また、情報処理装置１００は、探索部１１０を更に有する。探索部１１０は、Ｎ行Ｎ列に配列されたＮの２乗個の状態変数の値により示される複数の要素の順列のうち、複数の冗長要素それぞれの順列での位置を識別するフラグをＮの２乗個の状態変数それぞれに対して設定してもよい。冗長要素は、制御部１２０による（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の追加により順列に挿入された要素である。探索部１１０は、Ｎの２乗個の状態変数それぞれに対応するフラグに基づいて、順列のうちの２つの冗長要素の置換に対応する４つの状態変数の値の変化に対する処理を省略してもよい。

これにより、情報処理装置１００は、順列における２つの冗長要素の置換に対応する状態遷移試行を抑制でき、探索部１１０において意味のない処理が行われることを防げる。このため、情報処理装置１００は、探索部１１０における余計な処理を省け、求解性能を一層向上できる。冗長変数フラグは、上記フラグの一例である。

情報処理装置１００の機能は、順列要素の前後関係だけが問題となる、例えばＬＯＰなどの順列最適化問題に適用することができる。
なお、第１の実施の形態の情報処理は、処理部１２にプログラムを実行させることで実現できる。また、第２の実施の形態の情報処理は、ＣＰＵ１０１にプログラムを実行させることで実現できる。プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体５３に記録できる。

例えば、プログラムを記録した記録媒体５３を配布することで、プログラムを流通させることができる。また、プログラムを他のコンピュータに格納しておき、ネットワーク経由でプログラムを配布してもよい。コンピュータは、例えば、記録媒体５３に記録されたプログラムまたは他のコンピュータから受信したプログラムを、ＲＡＭ１０２やＨＤＤ１０３などの記憶装置に格納し（インストールし）、当該記憶装置からプログラムを読み込んで実行してもよい。

１０ 情報処理装置
１１ 記憶部
１２ 処理部
２０ 探索部
３０，３１ 状態
４０ 第１の解
４１ 第２の解

Claims (8)

1. イジングモデルのエネルギー関数で表される順列最適化問題の解の取得に用いられる情報処理装置において、
   前記順列最適化問題におけるＭ（Ｍは３以上の整数）の２乗個の状態変数を示す問題情報を記憶する記憶部と、
   前記問題情報に基づいて、前記Ｍの２乗個の状態変数に（Ｎ^２－Ｍ^２）（ＮはＭより大きい整数）個の状態変数を追加したＮの２乗個の状態変数を含む第１エネルギー関数の情報を生成し、
   前記Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときの各行に含まれる状態変数の値の和が１であり、かつ各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように４つの状態変数の値を変化させる場合の前記エネルギー関数の値の変化量に応じて、前記４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う探索部に、前記第１エネルギー関数の情報を入力し、
   前記探索部により前記第１エネルギー関数に基づいて得られた、前記Ｎの２乗個の状態変数の値で表される第１の解を取得し、
   前記第１の解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の値を除去することで前記順列最適化問題に対する第２の解を生成する、処理部と、
   を有する情報処理装置。
2. 前記Ｎの２乗個の状態変数の値は、複数の要素の順列を示し、
   前記順列は、追加された（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数に対応する冗長要素を含み、
   前記処理部は、前記順列において前記冗長要素以外の要素の一定の並びに対し前記冗長要素が何れの位置にあっても前記順列に対応する前記Ｎの２乗個の状態変数の値に対する前記第１エネルギー関数の値が同じになるように、前記第１エネルギー関数の値の変化量の計算に用いられる、前記Ｎの２乗個の状態変数のうちの２つの状態変数のペアごとの重みを示す重み係数行列を、前記問題情報に含まれる問題行列に基づいて生成する、
   請求項１記載の情報処理装置。
3. 前記処理部は、
   前記問題情報に含まれるＭ行Ｍ列の問題行列に対し、前記問題行列をＮ行Ｎ列に変換したときのＫ（ＫはＮ以下の自然数）行目となる新たな行およびＬ（ＬはＮ以下の自然数）列目となる新たな列として、全ての要素が０である行および列を挿入して前記問題行列をＮ行Ｎ列に変換し、Ｎ行Ｎ列に変換した前記問題行列に基づいて、前記第１エネルギー関数の値の変化量の計算に用いられる、前記Ｎの２乗個の状態変数のうちの２つの状態変数のペアごとの重みを示す重み係数行列を生成し、
   前記Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときのＫ行目かつＬ列目の状態変数の値の初期値を１に設定する、
   請求項１記載の情報処理装置。
4. 前記処理部は、
   Ｎの値を順次大きくするとともにＮを各値とした場合において前記探索部で得られた前記第１の解と、前記第１エネルギー関数を基に計算される、前記第１の解のエネルギーとを取得し、
   Ｎの値を所定回数変更すると、前記探索部から取得された複数の前記第１の解のうち、前記エネルギーが最良である前記第１の解に基づいて、前記第２の解を生成する、
   請求項１記載の情報処理装置。
5. 前記処理部は、
   Ｎの値を順次大きくするとともにＮを各値とした場合に前記探索部で得られた前記第１の解と、前記第１エネルギー関数を基に計算される、前記第１の解のエネルギーとを取得し、
   今回のＮの値に対して得られた前記第１の解の前記エネルギーが、前回のＮの値に対して得られた前記第１の解の前記エネルギーよりも改悪されると、前回のＮの値に対して得られた前記第１の解に基づいて、前記第２の解を生成する、
   請求項１記載の情報処理装置。
6. 前記探索部を更に有し、前記探索部は、
   前記Ｎ行Ｎ列に配列された前記Ｎの２乗個の状態変数の値により示される複数の要素の順列のうち、（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の追加により前記順列に挿入された複数の冗長要素それぞれの前記順列での位置を識別するフラグを前記Ｎの２乗個の状態変数それぞれに対して設定し、
   前記Ｎの２乗個の状態変数それぞれに対応する前記フラグに基づいて、前記順列のうちの２つの冗長要素の置換に対応する前記４つの状態変数の値の変化に対する処理を省略する、
   請求項１記載の情報処理装置。
7. イジングモデルのエネルギー関数で表される順列最適化問題の解の取得に用いられる情報処理方法において、情報処理装置が、
   前記順列最適化問題におけるＭ（Ｍは３以上の整数）の２乗個の状態変数を示す問題情報を取得し、
   前記問題情報に基づいて、前記Ｍの２乗個の状態変数に（Ｎ^２－Ｍ^２）（ＮはＭより大きい整数）個の状態変数を追加したＮの２乗個の状態変数を含む第１エネルギー関数の情報を生成し、
   前記Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときの各行に含まれる状態変数の値の和が１であり、かつ各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように４つの状態変数の値を変化させる場合の前記エネルギー関数の値の変化量に応じて、前記４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う探索部に、前記第１エネルギー関数の情報を入力し、
   前記探索部により前記第１エネルギー関数に基づいて得られた、前記Ｎの２乗個の状態変数の値で表される第１の解を取得し、
   前記第１の解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の値を除去することで前記順列最適化問題に対する第２の解を生成する、
   情報処理方法。
8. イジングモデルのエネルギー関数で表される順列最適化問題の解の取得に用いられるプログラムにおいて、コンピュータに、
   前記順列最適化問題におけるＭ（Ｍは３以上の整数）の２乗個の状態変数を示す問題情報を取得し、
   前記問題情報に基づいて、前記Ｍの２乗個の状態変数に（Ｎ^２－Ｍ^２）（ＮはＭより大きい整数）個の状態変数を追加したＮの２乗個の状態変数を含む第１エネルギー関数の情報を生成し、
   前記Ｎの２乗個の状態変数をＮ行Ｎ列に配列したときの各行に含まれる状態変数の値の和が１であり、かつ各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように４つの状態変数の値を変化させる場合の前記エネルギー関数の値の変化量に応じて、前記４つの状態変数の値を変化させる処理を繰り返し行う探索部に、前記第１エネルギー関数の情報を入力し、
   前記探索部により前記第１エネルギー関数に基づいて得られた、前記Ｎの２乗個の状態変数の値で表される第１の解を取得し、
   前記第１の解から（Ｎ^２－Ｍ^２）個の状態変数の値を除去することで前記順列最適化問題に対する第２の解を生成する、
   処理を実行させるプログラム。

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