JP7417074B2 - 最適化装置、最適化方法及び最適化装置の制御プログラム - Google Patents

Description

本発明は、最適化装置、最適化方法及び最適化装置の制御プログラムに関する。

ノイマン型コンピュータが不得意とする大規模な離散最適化問題を計算する装置として、イジング型のエネルギー関数（コスト関数や目的関数とも呼ばれる）を用いたイジング装置（ボルツマンマシンとも呼ばれる）がある。

イジング装置による計算では、計算対象の問題は磁性体のスピンの振る舞いを表すモデルであるイジングモデルに置き換えられる。そして、疑似焼き鈍し法やレプリカ交換法（交換モンテカルロ法とも呼ばれる）などのマルコフ連鎖モンテカルロ法により、イジングモデル型のエネルギー関数の値（イジングモデルのエネルギーに相当する）が最小となる状態の探索が行われる。

ところで、イジング装置による計算では、各状態変数間の相互作用の大きさを表す重み係数が用いられる。問題規模の増大に応じて状態変数の数が増えると、重み係数の数も増加する。問題をイジングモデルに置き換える際の柔軟性に優れた、全状態変数間の相互作用を考慮可能な全結合型のイジング装置では、記憶すべき重み係数は、状態変数の数の２乗に比例する。このため、単体の装置（たとえば、１チップ）でイジング装置を実現する場合、内部メモリでは全ての重み係数を記憶しきれない可能性がある。なお、大容量の記憶装置に重み係数を記憶し、問題を分割した部分問題をイジング計算部に転送し、転送する部分問題を適宜入れ替えて計算を行う手法があるが、各部分問題の計算に用いる重み係数の入れ替えには時間がかかる。

従来、マルコフ連鎖モンテカルロ法の処理を高速化するために、同じイジングモデルを複数のイジングチップのそれぞれに割り当てて、並列処理を行う手法があった（たとえば、特許文献１参照）。また、問題を複数の部分問題に分割して、複数のイジングチップに割り当て、各部分問題についての計算を並列に実行する手法があった（たとえば、特許文献２参照）。

特開２０１８－２０６１２７号公報 特開２０１６－５１３５０号公報

ところで、マルコフ連鎖モンテカルロ法によるイジングモデルのエネルギーの最小化の原理は、状態変数の値の更新（１ビットの値の反転）を逐次的に行うことが原則である。
問題を部分問題に分割して複数のイジング装置で求解を行う手法を適用する場合、この原則を満たすためには、複数のイジング装置の何れかが状態変数の値の更新を行っている際に、他のイジング装置は更新を行えず休止状態となる。このため、各イジング装置における演算器を有効に活用できず、計算効率が悪化してしまう。

１つの側面では、本発明は、計算効率を向上可能な最適化装置、最適化方法及び最適化装置の制御プログラムを提供することを目的とする。

１つの実施態様では、イジングモデルにより表される問題を分割した複数の部分問題のうち、何れかの部分問題についての解を、それぞれが探索する複数のイジング装置を有し、前記複数のイジング装置のそれぞれは、計算対象の部分問題に対応する状態変数群の値を複数グループ分記憶する記憶部と、自身以外のイジング装置が計算する部分問題の第１の解候補に基づいて、前記複数グループ分の前記状態変数群のそれぞれに対して第２の解候補を計算する処理を、単位期間ごとに処理するグループを変えて行うとともに、同一の単位期間では、前記自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループの前記状態変数群について前記第２の解候補を計算する探索部と、前記単位期間が終了するたびに、前記第２の解候補を前記自身以外のイジング装置に送信する通信部と、を有する最適化装置が提供される。

また、１つの実施態様では最適化方法が提供される。
また、１つの実施態様では最適化装置の制御プログラムが提供される。

１つの側面では、本発明は、最適化装置における計算効率を向上できる。

第１の実施の形態の最適化装置の一例を示す図である。 制御装置による最適化装置の制御の一例の流れを示すフローチャートである。 最適化装置の動作の一例の流れを示すフローチャートである。 第２の実施の形態の最適化装置の一例を示す図である。 各イジング装置における計算対象の部分問題及び局所場と計算に用いる重み係数の一例を示す図である。 イジング装置の一例を示す図である。 ステートの固定の一例を示す図である。 コントローラのハードウェア例を示すブロック図である。 各レプリカグループにおけるステートの処理順序を一定とした場合の各イジング装置の動作の一例を示す図である。 単位期間Ｔ４の探索処理後のステートの転送例を示す図である。 各レプリカグループにおけるステートの処理順序を、ＭＣＭＣ処理単位で変更する場合の各イジング装置の動作の一例を示す図である。 単位期間Ｔ１０の探索処理後のステートの転送例を示す図である。

以下、発明を実施するための形態を、図面を参照しつつ説明する。
（第１の実施の形態）
図１は、第１の実施の形態の最適化装置の一例を示す図である。

第１の実施の形態の最適化装置１０は、複数のイジング装置１１ａ１，１１ａ２，…，１１ａｎを有する。
イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれは、イジングモデルにより表される問題を分割した複数の部分問題のうち、何れかの部分問題の解（イジングモデルのエネルギーを最小化する状態変数の値の組合せ）を探索する。イジングモデルにより表される問題としては、各種の離散最適化問題がある。

問題全体のイジングモデルのエネルギーは、たとえば、以下の式（１）に示すようなエネルギー関数Ｅ（ｘ）で定義される。

右辺第１項は、イジングモデルに含まれるＮ個の状態変数から選択可能な２つの状態変数の全組合せについて、漏れと重複なく、２つの状態変数の値と重み係数との積を積算したものである。ｘ_ｉは、ｉ番目の状態変数である。ｘ_ｊは、ｊ番目の状態変数である。Ｗ_ｉｊは、ｉ番目の状態変数とｊ番目の状態変数との間の重み（たとえば、結合の強さ）を示す重み係数である。なお、Ｗ_ｉｉ＝０である。また、Ｗ_ｉｊ＝Ｗ_ｊｉである。

右辺第２項は、全状態変数のそれぞれのバイアス係数と状態変数の値との積の総和を求めたものである。ｂ_ｉは、ｉ番目の状態変数に対するバイアス係数を示している。ｃは定数である。

たとえば、イジングモデルにおけるスピンの「－１」は、状態変数の値「０」に対応する。イジングモデルにおけるスピンの「＋１」は、状態変数の値「１」に対応する。このため、状態変数を、０または１の値をとるビットと呼ぶこともできる。

式（１）の値が最小となる状態変数の値の組合せが問題の解となる。
一方、Ｎ個（Ｎビット）の状態変数のうちの一部である、ｉ＝１～Ｋ（Ｋ＜Ｎ）の状態変数を扱う部分問題についてのイジングモデルのエネルギーは、たとえば、以下の式（２）に示すようなエネルギー関数Ｅ’（ｘ）で定義される。

式（２）において、ｂ’_ｉとｃ’は、式（３）、式（４）のように表せる。

ｉ＝１～Ｋ（Ｋ＜Ｎ）の状態変数を扱う部分問題の解を探索する際、ｉ＝Ｋ＋１～Ｎの状態変数の値は固定される。式（３）の右辺の第２項は、固定値とされた状態変数によるバイアス係数への寄与分を表し、式（４）の右辺の第３項及び第４項は、固定値とされた状態変数による定数への寄与分を表す。

以下では、Ｎ個の状態変数をＫ個ずつｎ分割してｎ個の部分問題が得られている場合について説明する。この場合、イジング装置１１ａ１の計算対象の部分問題に対応する状態変数群（状態変数の組）はｘ_１～ｘ_Ｋであり、イジング装置１１ａ２の計算対象の部分問題に対応する状態変数群はｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋである。また、イジング装置１１ａｎの計算対象の部分問題に対応する状態変数群はｘ_{（ｎ－１）Ｋ＋１}～ｘ_Ｎである。

イジング装置１１ａ１～１１ａｎは、記憶部１１ｂ１，１１ｂ２，…，１１ｂｎ、探索部１１ｃ１，１１ｃ２，…，１１ｃｎ、通信部１１ｄ１，１１ｄ２，…，１１ｄｎを有する。

記憶部１１ｂ１～１１ｂｎは、計算対象の部分問題に対応する状態変数群の値を複数グループ分（以下の例ではｎグループ分とする）記憶する。たとえば、記憶部１１ｂ１は、イジング装置１１ａ１が担当する部分問題に対応する状態変数群（ｘ_１～ｘ_Ｋ）を、ｎグループ分記憶する。

記憶部１１ｂ１～１１ｂｎはさらに、探索部１１ｃ１～１１ｃｎにおける処理で用いられる重み係数などを記憶する。たとえば、イジング装置１１ａ１の記憶部１１ｂ１は、式（２）、式（３）を計算するために用いる重み係数を記憶する。式（２）の右辺の第１項に含まれるＷ_ｉｊは、ｘ_１～ｘ_Ｋの間の重み係数である。一方、式（３）の右辺の第２項に含まれるＷ_ｉｊは、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれとｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎのそれぞれとの間の重み係数である。

なお、式（４）の右辺の第３項に含まれるＷ_ｉｊは、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎの間の重み係数であり、記憶部１１ｂ１が記憶しなくてもよい。固定値とされるｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎの値と、それらのバイアス値、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎの間の重み係数、及びｃに基づいて、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの外部の制御装置１５が、式（４）のｃ’を計算すればよい。その場合、制御装置１５によって計算されたｃ’は、イジング装置１１ａ１に送信され、記憶部１１ｂ１に記憶され、Ｅ’（ｘ）の計算に用いられる。このため、Ｗ_ｉｊ＝Ｗ_ｊｉである場合、記憶部１１ｂ１に記憶する重み係数は、Ｎ×Ｎ個のうちＫ×Ｎ個でよい。

その他の記憶部１１ｂ２～１１ｂｎについても同様であり、それぞれＫ×Ｎ個の重み係数を記憶すればよい。
記憶部１１ｂ１～１１ｂｎは、たとえば、ＳＲＡＭ（Static Random Access Memory）、ＨＢＭ（High Bandwidth Memory）などの電子回路により実現される。イジング装置１１ａ１において、ｘ_１～ｘ_Ｋの間の重み係数については、ｘ_１～ｘ_Ｋの何れかの値を更新した場合のエネルギー変化の計算に用いられ頻繁に使用されるため、たとえば、ＳＲＡＭに記憶される。

探索部１１ｃ１～１１ｃｎのそれぞれは、自身以外のイジング装置が計算する部分問題の解候補に基づいて、グループ番号（ｇ_０，ｇ_１，…，ｇ_ｎ－１）が割り当てられたｎグループ分の状態変数群のそれぞれに対して部分問題の解候補を計算する。たとえば、イジング装置１１ａ１の探索部１１ｃ１は、ｎグループ分（以下グループｇ_０，ｇ_１，…，ｇ_ｎ－１とする）の状態変数群（ｘ_１～ｘ_Ｋ）のそれぞれに対して解候補を計算する。

解候補の計算は、疑似焼き鈍し法やレプリカ交換法などのマルコフ連鎖モンテカルロ法を用いて行われる。たとえば、探索部１１ｃ１は、ｘ_１～ｘ_Ｋのうちの１つが変化（更新）することによるＥ’（ｘ）の変化（エネルギー変化）を、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれについて計算し、Ｅ’（ｘ）が小さくなる変化が優先される形で確率的に受け入れる。ｘ_１～ｘ_Ｋのうち、ｘ_ｉが変化することによるエネルギー変化（ΔＥ’_ｉ）は以下の式（５）のように表せる。

式（５）において、ｘ_ｉが１から０に変化するとき、Δｘ_ｉは－１となり、状態変数ｘ_ｉが０から１に変化するとき、Δｘ_ｉは１となる。なお、ｈ_ｉはローカルフィールド（局所場）と呼ばれ、Δｘ_ｉに応じてｈ_ｉに符号（＋１または－１）を乗じたものがΔＥ’_ｉとなる。

なお、ｘ_ｊの値が変化することに伴うｈ_ｉの変化は、Δｘ_ｊが１の場合、＋Ｗ_ｉｊ、Δｘ_ｊが－１の場合、－Ｗ_ｉｊと表せる。つまり、Δｘ_ｊに応じて、元のｈ_ｉにＷ_ｉｊを加算するか、減算するかによってｈ_ｉを更新できる。

ただし、探索部１１ｃ１は、自身以外のイジング装置が計算する部分問題の解候補の値（ｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎの値）は固定する。また、探索部１１ｃ１は、Ｅ’（ｘ）が大きくなる変化についても確率的に許容する。探索部１１ｃ１は、このような処理を、探索終了条件（たとえば、所定の繰り返し回数が終了したかなど）が満たされるまで繰り返し、探索終了条件が満たされたときのｘ_１～ｘ_ｋの値を、単位時間における解候補とする。

また、探索部１１ｃ１は、各グループについての部分問題の解候補が得られたときのＥ’（ｘ）を、式（２）にしたがって計算する。
なお、複数のイジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれが、各グループについて、複数のレプリカを有している場合、探索部１１ｃ１では、複数のレプリカのそれぞれが、ｎグループのそれぞれについて解候補を計算するとともに、Ｅ’（ｘ）を計算する。

探索部１１ｃ２～１１ｃｎのそれぞれも上記と同様の動作を行う。
ただし、探索部１１ｃ１～１１ｃｎのそれぞれは、解候補を計算する処理を、単位期間ごとに処理するグループを変えて行う。また、探索部１１ｃ１～１１ｃｎのそれぞれは、同一の単位期間では、自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループの状態変数群について解候補を計算する。すなわち、探索部１１ｃ１～１１ｃｎのそれぞれは、同一の単位期間では、自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループのグループ番号が割り当てられた状態変数群について解候補を計算する。たとえば、探索部１１ｃ１がグループｇ_０のｘ_１～ｘ_Ｋについて解候補を計算している単位期間では、探索部１１ｃ２～１１ｃｎはグループｇ_０とは異なるグループの状態変数群について解候補を計算する。

探索部１１ｃ１～１１ｃｎは、たとえば、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）やＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）などの電子回路にて実現できる。また、これに限らず、探索部１１ｃ１～１１ｃｎは、一部またはすべてがＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）などのプロセッサがプログラムを実行することによるソフトウェア処理にて実現されるようにしてもよい。

通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、単位期間が終了するたびに、計算した解候補を自身以外のイジング装置に送信する。たとえば、通信部１１ｄ１は、グループｇ_０のｘ_１～ｘ_Ｋについて計算した解候補を、イジング装置１１ａ２～１１ａｎに送信する。

通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、各種の電子回路によって実現される。たとえば、通信部１１ｄ１～１１ｄｎとして、ＰＣＩ（Peripheral Component Interconnect） Ｅｘｐｒｅｓｓなどのインタフェース規格により通信を行う電子回路が用いられる。

制御装置１５は、最適化装置１０の制御を行う。制御装置１５は、たとえば、問題の部分問題への分割を行い、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれへの部分問題の設定、動作設定、各単位期間における処理対象のグループの設定、計算した解候補の転送指示などを行う。また、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎが送信する状態変数群の値を受信して、式（４）によりｃ’を計算してもよい。また、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎが送信する各部分問題の解候補に対応するイジングモデルのエネルギーを受信し、受信したエネルギーの総和により、式（１）のエネルギーＥ（ｘ）を計算してもよい。

制御装置１５は、ＣＰＵやＧＰＵなどのプロセッサであってもよいし、ＰＣ（Personal Computer）などのコンピュータであってもよい。制御装置１５は、図示しないメモリに記憶された最適化装置１０の制御プログラムを実行することで、上記のような処理を行う。

以下、第１の実施の形態の最適化装置１０の動作と、制御装置１５による最適化装置１０の制御の一例を説明する。
図２は、制御装置による最適化装置の制御の一例の流れを示すフローチャートである。

制御装置１５は、計算対象の問題の規模や、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの数などに応じて、部分問題のサイズなどの動作パラメータを決定する（ステップＳ１）。Ｎビットの問題をｎ分割する場合、制御装置１５は、部分問題のサイズをＮ／ｎビットとする。

なお、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれにおいて、解候補の計算の際にレプリカ交換法が用いられる場合、レプリカ数がＲ個であるとすると、制御装置１５は、グループ当たりのレプリカ数＝Ｒ／ｎを動作パラメータの１つとして決定する。動作パラメータの他の例としては、疑似焼き鈍し法やレプリカ交換法で用いられる温度パラメータの最高値や最低値、温度パラメータの変更スケジュールなどがある。

制御装置１５は、決定した動作パラメータに基づいて問題分割を行い（ステップＳ２）、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれに部分問題を設定する（ステップＳ３）。部分問題の設定は、たとえば、各部分問題に対応する状態変数群の各状態変数のインデックス、各部分問題の計算に用いる重み係数及びバイアス係数をイジング装置１１ａ１～１１ａｎに送信することで行われる。制御装置１５は、ｘ_１～ｘ_Ｎの初期値をイジング装置１１ａ１～１１ａｎに送信してもよい。たとえば、イジング装置１１ａ１には、インデックス（ｉ）＝１～Ｋと、ｘ_１～ｘ_Ｎの初期値と、ｘ_１～ｘ_Ｋの間の重み係数と、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれとｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎのそれぞれとの間の重み係数と、ｂ_１～ｂ_ｋが送信される。

また、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎに対して動作設定を行う（ステップＳ４）。ステップＳ４の処理では、イジング装置１１ａ１～１１ａｎに対して、探索部１１ｃ１～１１ｃｎが実行する解候補の計算処理（以下、探索処理という場合もある）の単位期間における繰り返し回数や、各種動作パラメータの指定が行われる。

さらに制御装置１５は、処理対象のグループの設定を行う（ステップＳ５）。たとえば、制御装置１５は、同一グループ内での各状態変数群についての処理順序を、ｘ_１～ｘ_Ｋ，ｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋ，…，ｘ_{（ｎ－１）Ｋ＋１}～ｘ_Ｎの順にするように、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれに処理対象のグループを設定する。また、制御装置１５は、同一グループ内での各部分問題に対応する各状態変数群についての処理順序を、所定の処理タイミングで変更してもよい。たとえば、制御装置１５は、乱数値を用いて上記の処理順序をランダムに決定してもよい。

ただし、制御装置１５は、探索処理の単位期間ごとに、同じイジング装置で処理されるグループを変えさせるとともに、同一の単位期間では、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの間で、異なるグループが処理されるように処理順序を設定する。

その後、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれの探索処理の実行を指示する（ステップＳ６）。そして、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの全てについて単位期間の探索処理が完了していない場合（ステップＳ７：ＮＯ）、完了するまで待機し、探索処理が完了した場合（ステップＳ７：ＹＥＳ）、ステップＳ８の処理に進む。

ステップＳ８の処理では、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎに対して、解候補となるステートの転送指示と後処理指示を行う。後処理には、たとえば、次の単位期間の探索処理のための式（３）の計算や、式（２）のＥ’（ｘ）の計算を含む。

その後、制御装置１５は、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれが計算した各グループのＥ’（ｘ）と解候補を受信し、グループごとのＥ’（ｘ）の総和により、全体エネルギー（式（１）のＥ（ｘ））をグループごとに計算する（ステップＳ９）。

制御装置１５は、所定の探索終了条件（たとえば、所定の繰り返し回数が終了したか、目標エネルギーに到達したかなど）が満たされた場合、全探索が完了したと判定し（ステップＳ１０：ＹＥＳ）、最適化装置１０に探索終了を指示する（ステップＳ１１）。そして、制御装置１５は、最適化装置１０の制御を終了する。制御装置１５は、所定の探索終了条件が満たされていない場合、全探索が完了していないと判定し（ステップＳ１０：ＮＯ）、ステップＳ５からの処理を繰り返す。

制御装置１５は、たとえば、全探索が完了したと判定するまでに、全グループにおいて最小のエネルギーが得られたときのｘ_１～ｘ_Ｎの値を、問題に対する解として出力する。制御装置１５は、得られた解を、たとえば、図示しない表示装置に出力して表示させる。または、制御装置１５は、得られた解を、図示しないメモリに出力して記憶させてもよいし、ネットワークを介して他の情報処理装置に送信するようにしてもよい。

以下、最適化装置１０の動作（最適化装置１０による最適化方法）の一例の流れを説明する。
図３は、最適化装置の動作の一例の流れを示すフローチャートである。

最適化装置１０のイジング装置１１ａ１～１１ａｎは、制御装置１５による部分問題の設定を受け付ける（ステップＳ２０）。ステップＳ２０の処理では、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、たとえば、各部分問題に対応する状態変数群の各状態変数のインデックス、各部分問題の計算に用いる重み係数及びバイアス係数を制御装置１５から受信する。記憶部１１ｂ１～１１ｂｎは、通信部１１ｄ１～１１ｄｎが受信したインデックスと、ｘ_１～ｘ_Ｎの初期値と、重み係数及びバイアス係数を記憶する。たとえば、イジング装置１１ａ１の記憶部１１ｂ１は、インデックス（ｉ）＝１～Ｋと、ｘ_１～ｘ_Ｎの初期値と、ｘ_１～ｘ_Ｋの間の重み係数と、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれとｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎのそれぞれとの間の重み係数と、バイアス係数ｂ_１～ｂ_Ｋを記憶する。

また、イジング装置１１ａ１～１１ａｎは、制御装置１５による動作設定を受け付ける（ステップＳ２１）。ステップＳ２１の処理では、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、探索部１１ｃ１～１１ｃｎの探索処理の単位期間における繰り返し回数や各種動作パラメータを受信する。記憶部１１ｂ１～１１ｂｎは、通信部１１ｄ１～１１ｄｎが受信した繰り返し回数や各種動作パラメータを記憶する。

さらに、制御装置１５による処理対象のグループの設定を受け付ける（ステップＳ２２）。ステップＳ２２の処理では、通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、処理対象のグループを示す情報を受信し、記憶部１１ｂ１～１１ｂｎは、その情報を記憶する。

その後、イジング装置１１ａ１～１１ａｎは、制御装置１５から探索処理の実行指示を受け付けると（ステップＳ２３）、記憶部１１ｂ１～１１ｂｎに記憶された動作パラメータや処理対象グループを示す情報などに基づいて、探索処理を行う（ステップＳ２４）。

最初の単位期間の探索処理では、探索部１１ｃ１～１１ｃ２は、自身以外のイジング装置が計算する状態変数群の初期値を固定値として、探索処理に用いるエネルギー変化を計算する。たとえば、探索部１１ｃ１は、式（５）のΔＥ’_ｉを計算するために、局所場（ｈ_ｉ）を計算する。ｈ_ｉを計算するためのｂ’_ｉは、式（３）により計算できる。式（３）におけるｘ_ｊが上記の固定値である。

制御装置１５による処理順序の設定により、探索処理は、単位期間ごとに処理する状態変数群のグループを変えて行われる。また、同一の単位期間では、自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループの状態変数群について探索処理が行われる。

図１の例では、イジング装置１１ａ１の探索部１１ｃ１がグループｇ_０のｘ_１～ｘ_Ｋについて探索処理を行っている単位期間では、イジング装置１１ａ２の探索部１１ｃ２はグループｇ_１のｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋについて探索処理を行っている。また、その単位期間では、探索部１１ｃｎはグループｇ_ｎ－１のｘ_{（ｎ－１）Ｋ＋１}～ｘ_Ｎについて探索処理を行っている。

探索部１１ｃ１～１１ｃｎは、たとえば、記憶部１１ｂ１～１１ｂｎに記憶された繰り返し回数の探索処理が行われたか否かに基づいて、単位期間における探索処理が完了したか否かを判定する（ステップＳ２５）。単位期間における探索処理が完了していないと判定された場合、ステップＳ２４の処理が繰り返される。単位期間における探索処理が完了したと判定された場合、ステップＳ２６の処理が行われる。

ステップＳ２６の処理では、通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、制御装置１５に対して、単位期間の探索処理が完了した旨を通知する（ステップＳ２６）。
その後、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれは、制御装置１５からステート転送及び後処理の指示を受け付けると（ステップＳ２７）、解候補となるステートを自身以外のイジング装置に転送するとともに後処理を行う（ステップＳ２８）。なお、解候補となるステートは、制御装置１５にも転送されてもよい。

たとえば、図１のように、イジング装置１１ａ１の通信部１１ｄ１は、今回の単位期間における探索処理で得られた解候補となるステートであるグループｇ_０のｘ_１～ｘ_Ｋを、イジング装置１１ａ２～１１ａｎに転送する。また、イジング装置１１ａ２の通信部１１ｄ２は、今回の単位期間における探索処理で得られた解候補となるステートであるグループｇ_１のｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋを、イジング装置１１ａ２以外のイジング装置に転送する。また、イジング装置１１ａｎの通信部１１ｄｎは、今回の単位期間における探索処理で得られた解候補となるステートであるグループｇ_ｎ－１のｘ_{（ｎ－１）Ｋ＋１}～ｘ_Ｎを、イジング装置１１ａｎ以外のイジング装置に転送する。転送されたステートを受信したイジング装置１１ａ１～１１ａｎの記憶部１１ｂ１～１１ｂｎは、受信したステートを記憶する。

そして、探索部１１ｃ１～１１ｃｎは、後処理として、記憶部１１ｂ１～１１ｂｎに記憶されたステート、自身が計算を担当する部分問題に対応する状態変数群の値、重み係数などに基づいて、各グループについて、次の探索処理のための局所場の計算を行う。局所場の計算は各グループについて行われる。

たとえば、探索部１１ｃ１は、式（５）のΔＥ’_ｉを計算するために用いるｈ_ｉを計算する。ｈ_ｉを計算するためのｂ’_ｉは、式（３）により計算できる。式（３）におけるｘ_ｊとして、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_Ｎ（イジング装置１１ａ２～１１ａｎから転送されたステート）が固定値として用いられる。

探索部１１ｃ２～１１ｃｎにおいても、同様の式を用いて局所場が計算される。たとえば、探索部１１ｃ２が局所場を計算する際には、式（３）、式（５）において、ｉをＫ＋１～２Ｋとし、式（３）の右辺の第２項を、ｊ＝１～ＫのＷ_ｉｊｘ_ｊの総和と、ｊ＝２Ｋ＋１～ＮのＷ_ｉｊｘ_ｊの総和とを加算したものとすればよい。また、式（５）ではＫの代わりに２Ｋを用い、ｊをＫ＋１～２Ｋとすればよい。

また、後処理において、探索部１１ｃ１～１１ｃｎは、各グループについてＥ’（ｘ）の計算を行う。探索部１１ｃ１は、式（２）によりＥ’（ｘ）を計算する。なお、ｃ’は、制御装置１５が式（４）に基づいて計算したものを用いる。探索部１１ｃ２～１１ｃｎについても、同様の式を用いてＥ’（ｘ）を計算する。たとえば、探索部１１ｃ２がＥ’（ｘ）を計算する際には、式（２）において、右辺の第２項は、ｉ，ｊ＝Ｋ＋１～２Ｋの範囲におけるＷ_ｉｊｘ_ｉｘ_ｊの総和とすればよい。

その後、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、各部分問題についてのＥ’（ｘ）を制御装置１５に送信する（ステップＳ２９）。また、イジング装置１１ａ１～１１ａｎの通信部１１ｄ１～１１ｄｎは、制御装置１５から探索終了の指示があった場合（探索終了の指示を受信した場合）（ステップＳ３０：ＹＥＳ）、探索部１１ｃ１～１１ｃｎは、探索処理を終了する。制御装置１５から探索終了の指示がない場合（ステップＳ３０：ＮＯ）、ステップＳ２２からの処理が繰り返される。

なお、上記図２、図３の処理順序は一例であり、適宜処理順序を入れ替えてもよい。
以上のような第１の実施の形態の最適化装置１０によれば、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれは、自身が計算を担当する部分問題に対応する状態変数群をｎグループ分用いている。そして、イジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれは、探索処理を、単位期間ごとに処理するグループを変えて行うとともに、同一の単位期間では、自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループの状態変数群について探索処理を行う。これによって、各グループにおいて、状態変数の値の更新は逐次的に行われるため、マルコフ連鎖モンテカルロ法によるイジングモデルのエネルギーの最小化の原理に沿っている。また、あるイジング装置において、あるグループの状態変数群について探索処理が行われている間に、他のイジング装置では別のグループの状態変数群について探索処理が行えるので、各イジング装置が効率よく動作するようになり、計算効率を向上できる。これにより、大規模な問題に対する最適化装置１０の求解性能が向上する。

（第２の実施の形態）
図４は、第２の実施の形態の最適化装置の一例を示す図である。
第２の実施の形態の最適化装置２０は、４つのイジング装置２１，２２，２３，２４を有する。すなわち、第２の実施の形態の最適化装置２０は、第１の実施の形態の最適化装置１０において、ｎ＝４の例である。なお、最適化装置２０は、コントローラ３０によって制御される。コントローラ３０は、前述の制御装置１５の一例であり、制御装置１５と同様の機能を有する。

イジング装置２１～２４のそれぞれは、第１の実施の形態の最適化装置１０のイジング装置１１ａ１～１１ａｎのそれぞれと同様の機能を有する。
以下の例では、ｘ_１～ｘ_ＮによるＮビットのイジングモデルで表される問題を４分割して、Ｋ（＝Ｎ／４）ビットずつイジング装置２１～２４に割り当てるものとする。

図５は、各イジング装置における計算対象の部分問題及び局所場と計算に用いる重み係数の一例を示す図である。
ｘ_１～ｘ_Ｎのうち、ｘ_１～ｘ_Ｋを示すＸ０が、イジング装置２１が計算する部分問題に対応するステートである。ｘ_１～ｘ_Ｎのうち、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋを示すＸ１が、イジング装置２２が計算する部分問題に対応するステートである。ｘ_１～ｘ_Ｎのうち、ｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋを示すＸ２が、イジング装置２３が計算する部分問題に対応するステートである。ｘ_１～ｘ_Ｎのうち、ｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎを示すＸ３が、イジング装置２４が計算する部分問題に対応するステートである。

イジング装置２１～２４において、上記各ステートは、それぞれ４グループ分用いられる。以下、４つのグループをレプリカグループ０，１，２，３と呼ぶ。また以下では、レプリカグループ０～３のそれぞれにおけるＸ０を、Ｘ０－ｇ０、Ｘ０－ｇ１、Ｘ０－ｇ２、Ｘ０－ｇ３と表記する。また、レプリカグループ０～３のそれぞれにおけるＸ１、Ｘ２、Ｘ３についても同様に表記する。

イジング装置２１～２４において計算される局所場についても、４グループのそれぞれについて計算される。以下では、イジング装置２１がレプリカグループ０～３のそれぞれについて計算する局所場を、ＬＦ０－ｇ０、ＬＦ０－ｇ１、ＬＦ０－ｇ２、ＬＦ０－ｇ３と表記する。また、イジング装置２２～２４がレプリカグループ０～３のそれぞれについて計算される局所場についても同様に表記する。

図５には、Ｎ×Ｎ個の重み係数による重み係数行列を４×４の重み係数群（Ｗ００～Ｗ３３）に分割した例が示されている。
イジング装置２１が用いる重み係数群はＷ００、Ｗ１０、Ｗ２０、Ｗ３０である。Ｗ００は、ｘ_１～ｘ_Ｋの間の重み係数からなる。Ｗ１０は、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれとｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ２０は、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれとｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ３０は、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれとｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎとの間の重み係数からなる。

イジング装置２２が用いる重み係数群はＷ０１、Ｗ１１、Ｗ２１、Ｗ３１である。Ｗ１１は、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋの間の重み係数からなる。Ｗ０１は、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋのそれぞれとｘ_１～ｘ_Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ２１は、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋのそれぞれとｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ３１は、ｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋのそれぞれとｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎとの間の重み係数からなる。

イジング装置２３が用いる重み係数群はＷ０２、Ｗ１２、Ｗ２２、Ｗ３２である。Ｗ２２は、ｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋの間の重み係数からなる。Ｗ０２は、ｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋのそれぞれとｘ_１～ｘ_Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ１２は、ｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋのそれぞれとｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ３２は、ｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋのそれぞれとｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎとの間の重み係数からなる。

イジング装置２４が用いる重み係数群はＷ０３、Ｗ１３、Ｗ２３、Ｗ３３である。Ｗ３３は、ｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎの間の重み係数からなる。Ｗ０３は、ｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎのそれぞれとｘ_１～ｘ_Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ１３は、ｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎのそれぞれとｘ_Ｋ＋１～ｘ_２Ｋとの間の重み係数からなり、Ｗ２３は、ｘ_３Ｋ＋１～ｘ_Ｎのそれぞれとｘ_２Ｋ＋１～ｘ_３Ｋとの間の重み係数からなる。

図６は、イジング装置の一例を示す図である。図６は、イジング装置２１の一例が示されている。イジング装置２２～２４についてもイジング装置２１と同様の構成により実現される。

イジング装置２１は、探索部２１ａ、通信部２１ｂ、ローカルメモリ２１ｃ１、ＨＢＭ２１ｃ２を有する。たとえば、探索部２１ａ、通信部２１ｂ、ローカルメモリ２１ｃ１は、１チップの半導体集積回路にて実現される。

探索部２１ａは、第１の実施の形態の最適化装置１０の探索部１１ｃ１の一例であり、解探索部２１ａ１とＬＦ計算部２１ａ２を有する。
解探索部２１ａ１は、自身以外のイジング装置であるイジング装置２２～２４が計算するステートに基づいて、式（２）に示したようなＥ’（ｘ）を最小化するＸ０－ｇ０～Ｘ０－ｇ３を探索する。

探索処理は、疑似焼き鈍し法やレプリカ交換法などのマルコフ連鎖モンテカルロ法を用いて行われる。たとえば、解探索部２１ａ１は、式（５）により、ｘ_１～ｘ_Ｋのうちの１つが変化することによるΔＥ’_ｉを、ｘ_１～ｘ_Ｋのそれぞれについて計算し、Ｅ’（ｘ）が小さくなる変化を優先的に受け入れ、ステートの更新を行う。なお、解探索部２１ａ１は、Ｅ’（ｘ）が大きくなる変化についても確率的に許容する。ΔＥ’_ｉを計算するために用いる式（５）のｈ_ｉは、ステートの更新に伴い更新される。

ところで、ｘ_ｊが更新される場合、ｈ_ｉの変化分は、Δｘ_ｊが１の場合、＋Ｗ_ｉｊ、Δｘ_ｊが－１の場合、－Ｗ_ｉｊと表せる。このため、解探索部２１ａ１は、ｈ_ｉを図示しないレジスタに保持しておき、Δｘ_ｊに応じて、そのｈ_ｉにＷ_ｉｊを加算するか、減算するかによってｈ_ｉを更新できる。

解探索部２１ａ１は、このような処理を、レプリカグループ０～３のそれぞれについて単位期間の探索終了条件（たとえば、所定の繰り返し回数が終了したかなど）が満たされるまで繰り返す。なお、解探索部２１ａ１は、コントローラ３０の制御に基づいて、探索処理を、単位期間ごとに処理するレプリカグループを変えて行う。また、解探索部２１ａ１は、同一の単位期間では、自身以外のイジング装置で処理されるレプリカグループとは異なるレプリカグループのステートについて探索処理を実行する。

ＬＦ計算部２１ａ２は、イジング装置２２～２４が計算するステートを固定して、局所場を計算する。
図７は、ステートの固定の一例を示す図である。

図７では、イジング装置２２が計算するステートに含まれるｘ_Ｋ＋１や、イジング装置２４が計算するステートに含まれるｘ_Ｎが固定ビット（図７の例ではｘ_Ｋ＋１＝１、ｘ_Ｎ＝０）とされている例が示されている。

ＬＦ計算部２１ａ２は、固定ビットの値と、解探索部２１ａ１が計算するステートに含まれる状態変数と固定ビットとの間の重み係数を用いて、ｈ_ｉ（ｉ＝１～Ｋ）を計算するために用いるｂ’_ｉを式（３）により確定させることができる。たとえば、図７のｘ_Ｋとｘ_Ｋ＋１との間の重み係数（Ｗ_{Ｋ，Ｋ＋１}）は、ｂ’_Ｋを計算するために用いられ、ｘ_３とｘ_Ｋ＋１との間の重み係数（Ｗ_{３，Ｋ＋１}）は、ｂ’_３を計算するために用いられる。

探索部２１ａは、たとえば、ＡＳＩＣやＦＰＧＡなどの特定用途の電子回路にて実現できる。また、これに限らず、探索部２１ａは、一部またはすべてがＣＰＵやＧＰＵなどのプロセッサがプログラムを実行することによるソフトウェア処理にて実現されるようにしてもよい。

通信部２１ｂは、第１の実施の形態の最適化装置１０の通信部１１ｄ１と同様の機能を有し、単位期間の探索処理が終了するたびに、探索処理により得られたステートをイジング装置２２～２４に送信する。通信部２１ｂは、たとえば、ＰＣＩ Ｅｘｐｒｅｓｓなどのインタフェース規格により通信を行う送受信回路である。

ローカルメモリ２１ｃ１は、探索部２１ａが現在処理中のレプリカグループの探索処理に用いるデータを記憶する。ローカルメモリ２１ｃ１は、たとえば、図５のＷ００や、解探索部２１ａ１が現在処理中のレプリカグループの探索処理に用いる局所場（図５のＬＦ０－ｇ０～ＬＦ０－ｇ３の何れか）及びステート（図５のＸ０－ｇ０～Ｘ０－ｇ３の何れか）などを記憶する。また、ローカルメモリ２１ｃ１は、ＬＦ計算部２１ａ２が式（３）のｂ’_ｉを計算する際には、図５のＷ１０、Ｗ２０、Ｗ３０についても記憶する。ローカルメモリ２１ｃ１として、たとえば、ＳＲＡＭが用いられる。

ＨＢＭ２１ｃ２は、イジング装置２１の計算対象の部分問題の計算に用いる全てのデータを記憶する。ＨＢＭ２１ｃ２は、たとえば、図５のＸ０－ｇ０～Ｘ０－ｇ３、ＬＦ０－ｇ０～ＬＦ０－ｇ３、Ｗ００、Ｗ１０、Ｗ２０、Ｗ３０を記憶する。解探索部２１ａ１やＬＦ計算部２１ａ２における処理に応じて、それらの処理に用いられるデータがＨＢＭ２１ｃ２からローカルメモリ２１ｃ１に読み出される。

図８は、コントローラのハードウェア例を示すブロック図である。
コントローラ３０は、たとえばコンピュータであり、ＣＰＵ３１、ＲＡＭ（Random Access Memory）３２、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）３３、画像信号処理部３４、入力信号処理部３５、媒体リーダ３６、通信インタフェース３７、インタフェース３８を有する。上記ユニットは、バスに接続されている。

ＣＰＵ３１は、プログラムの命令を実行する演算回路を含むプロセッサである。ＣＰＵ３１は、ＨＤＤ３３に記憶されたプログラムやデータの少なくとも一部をＲＡＭ３２にロードし、プログラムを実行する。なお、ＣＰＵ３１は複数のプロセッサコアを備えてもよく、コントローラ３０は複数のプロセッサを備えてもよく、以下で説明する処理を複数のプロセッサまたはプロセッサコアを用いて並列に実行してもよい。また、複数のプロセッサの集合（マルチプロセッサ）を「プロセッサ」と呼んでもよい。

ＲＡＭ３２は、ＣＰＵ３１が実行するプログラムやＣＰＵ３１が演算に用いるデータを一時的に記憶する揮発性の半導体メモリである。なお、コントローラ３０は、ＲＡＭ以外の種類のメモリを備えてもよく、複数個のメモリを備えてもよい。

ＨＤＤ３３は、ＯＳ（Operating System）やミドルウェアやアプリケーションソフトウェアなどのソフトウェアのプログラム、及び、データを記憶する不揮発性の記憶装置である。プログラムには、たとえば、最適化装置２０の制御をコントローラ３０に実行させる制御プログラムが含まれる。なお、コントローラ３０は、フラッシュメモリやＳＳＤ（Solid State Drive）などの他の種類の記憶装置を備えてもよく、複数の不揮発性の記憶装置を備えてもよい。

画像信号処理部３４は、ＣＰＵ３１からの命令にしたがって、コントローラ３０に接続されたディスプレイ３４ａに画像を出力する。ディスプレイ３４ａとしては、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ：Liquid Crystal Display）、プラズマディスプレイ（ＰＤＰ：Plasma Display Panel）、有機ＥＬ（ＯＥＬ：Organic Electro-Luminescence）ディスプレイなどを用いることができる。

入力信号処理部３５は、コントローラ３０に接続された入力デバイス３５ａから入力信号を取得し、ＣＰＵ３１に出力する。入力デバイス３５ａとしては、マウスやタッチパネルやタッチパッドやトラックボールなどのポインティングデバイス、キーボード、リモートコントローラ、ボタンスイッチなどを用いることができる。また、コントローラ３０に、複数の種類の入力デバイスが接続されていてもよい。

媒体リーダ３６は、記録媒体３６ａに記録されたプログラムやデータを読み取る読み取り装置である。記録媒体３６ａとして、たとえば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク（ＭＯ：Magneto-Optical disk）、半導体メモリなどを使用できる。磁気ディスクには、フレキシブルディスク（ＦＤ：Flexible Disk）やＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ（Compact Disc）やＤＶＤ（Digital Versatile Disc）が含まれる。

媒体リーダ３６は、たとえば、記録媒体３６ａから読み取ったプログラムやデータを、ＲＡＭ３２やＨＤＤ３３などの他の記録媒体にコピーする。読み取られたプログラムは、たとえば、ＣＰＵ３１によって実行される。なお、記録媒体３６ａは、可搬型記録媒体であってもよく、プログラムやデータの配布に用いられることがある。また、記録媒体３６ａやＨＤＤ３３を、コンピュータ読み取り可能な記録媒体ということがある。

通信インタフェース３７は、ネットワーク３７ａに接続され、ネットワーク３７ａを介して他の情報処理装置と通信を行うインタフェースである。通信インタフェース３７は、スイッチなどの通信装置とケーブルで接続される有線通信インタフェースでもよいし、基地局と無線リンクで接続される無線通信インタフェースでもよい。

インタフェース３８は、最適化装置２０に接続され、ＣＰＵ３１と最適化装置２０との間でデータの送受信を行う。インタフェース３８は、たとえば、ＰＣＩ Ｅｘｐｒｅｓｓなどの有線通信インタフェースでもよいし、無線通信インタフェースでもよい。

なお、図１に示した制御装置１５についても、たとえば、上記のようなハードウェアを用いて実現できる。
以下、第２の実施の形態の最適化装置２０の動作及び、コントローラ３０による最適化装置２０の制御例を説明する。

図２に示した制御装置１５による最適化装置１０の制御の一例の流れは、コントローラ３０による最適化装置２０の制御にも適用できる。以下、図２を用いて、コントローラ３０による最適化装置２０の制御の一例の流れを簡単に説明する。

ステップＳ１の動作パラメータ決定処理では、コントローラ３０は、Ｎビットの問題に対する部分問題のサイズをＮ／４ビットとする。また、イジング装置２１～２４のそれぞれにおいて、探索処理の際にレプリカ交換法が用いられる場合、レプリカ数がＲ個であるとすると、コントローラ３０は、グループ当たりのレプリカ数＝Ｒ／４を動作パラメータの１つとして決定する。たとえば、Ｒ＝８とした場合、グループあたりのレプリカ数は２つとなる。

ステップＳ２，Ｓ３の処理では、コントローラ３０は、決定した動作パラメータに基づいて問題分割を行い、イジング装置２１～２４のそれぞれに部分問題を設定する。
ステップＳ４，Ｓ５の処理では、コントローラ３０は、イジング装置２１～２４に対して動作設定を行い、処理対象のレプリカグループの設定を行う。

ステップＳ６の処理では、コントローラ３０は、イジング装置２１～２４のそれぞれの探索処理の実行を指示する。コントローラ３０は、イジング装置２１～２４の全てについて単位期間の探索処理が完了していない場合（ステップＳ７：ＮＯ）には、完了するまで待機し、探索処理が完了した場合（ステップＳ７：ＹＥＳ）には、ステップＳ８の処理に進む。

ステップＳ８の処理では、コントローラ３０は、イジング装置２１～２４に対して、解候補となるステートの転送指示と後処理指示を行う。
ステップＳ９の処理では、コントローラ３０は、イジング装置２１～２４のそれぞれが計算したレプリカグループ０～３のＥ’（ｘ）と解候補であるステートを受信し、全体エネルギーをレプリカグループ０～３のそれぞれについて計算する。

コントローラ３０は、所定の探索終了条件が満たされた場合、全探索が完了したと判定し（ステップＳ１０：ＹＥＳ）、最適化装置２０に探索終了を指示し（ステップＳ１１）、最適化装置２０の制御を終了する。コントローラ３０は、所定の探索終了条件が満たされていない場合、全探索が完了していないと判定し（ステップＳ１０：ＮＯ）、ステップＳ５からの処理を繰り返す。

なお、コントローラ３０は、たとえば、全探索が完了したと判定するまでに、全グループにおいて最小のエネルギーが得られたときのｘ_１～ｘ_Ｎの値を、問題に対する解として出力する。コントローラ３０は、得られた解を、たとえば、ディスプレイ３４ａに出力して表示させる。または、コントローラ３０は、得られた解を、ＨＤＤ３３に記憶させてもよいし、ネットワーク３７ａを介して他の情報処理装置に送信するようにしてもよい。

図３に示した最適化装置１０の動作の一例の流れは、最適化装置２０の動作にも適用できる。以下、図３を用いて、最適化装置２０の動作の一例の流れを簡単に説明する。
ステップＳ２０の処理では、イジング装置２１～２４は、たとえば、各部分問題に対応する状態変数群の各状態変数のインデックス、ｘ_１～ｘ_Ｎの初期値、各部分問題の計算に用いる重み係数及びバイアス係数をコントローラ３０から受信する。受信したデータは、イジング装置２１～２４が有するＨＢＭ（たとえば、図６のＨＢＭ２１ｃ２）に記憶される。

ステップＳ２１，Ｓ２２の処理において、イジング装置２１～２４は、探索処理の単位期間における繰り返し回数や各種動作パラメータ、処理対象のレプリカグループを示す情報をコントローラ３０から受信する。そして、イジング装置２１～２４は、それらをローカルメモリ（たとえば、図６のローカルメモリ２１ｃ１）に記憶する。

ステップＳ２３の処理では、イジング装置２１～２４は、コントローラ３０から探索処理の実行指示を受け付け、ステップＳ２４の探索処理を行う。
イジング装置２１～２４は、繰り返し回数の探索処理が行われたか否かに基づいて、単位期間における探索処理が完了したか否かを判定する（ステップＳ２５）。単位期間における探索処理が完了していないと判定された場合、ステップＳ２４の処理が繰り返される。単位期間における探索処理が完了したと判定された場合、ステップＳ２６の処理が行われる。

ステップＳ２６の処理では、イジング装置２１～２４は、コントローラ３０に対して探索処理が完了した旨を通知する。そして、ステップＳ２７，Ｓ２８の処理では、イジング装置２１～２４は、コントローラ３０からステート転送及び後処理の指示を受け付けると、解候補となるステートを自身以外のイジング装置やコントローラ３０に転送するとともに後処理を行う。

その後、ステップＳ２９の処理において、イジング装置２１～２４は、各部分問題について後処理で計算したＥ’（ｘ）をコントローラ３０に送信する。また、イジング装置２１～２４は、コントローラ３０から探索終了の指示があった場合（ステップＳ３０：ＹＥＳ）、探索処理を終了する。コントローラ３０から探索終了の指示がない場合（ステップＳ３０：ＮＯ）、ステップＳ２２からの処理が繰り返される。

次に、上記のステップＳ５の処理において、レプリカグループ０～３のそれぞれにおけるステートの処理順序を一定とした場合のイジング装置２１～２４の動作例を説明する。
図９は、各レプリカグループにおけるステートの処理順序を一定とした場合の各イジング装置の動作の一例を示す図である。図９の例では、レプリカグループ０～３のそれぞれにおいて、Ｘ０、Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３（“－ｇ０”、“－ｇ１”、“－ｇ２”、“－ｇ３”の表記は省略している）の順序でマルコフ連鎖モンテカルロ法による探索処理が行われる例が示されている。

最初の単位期間Ｔ１では、イジング装置２１は、レプリカグループ０のステートであるＸ０－ｇ０について探索処理を行う。単位期間Ｔ１の探索処理が終わると、イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ０をイジング装置２２～２４に転送する。イジング装置２２～２４は、受信したＸ０－ｇ０に基づいて、レプリカグループ０についての局所場（ＬＦ１－ｇ０、ＬＦ２－ｇ０、ＬＦ３－ｇ０）の更新（図９ではＬＦ更新と表記されている）を行う。

次の単位期間Ｔ２では、イジング装置２１は、レプリカグループ１のステートであるＸ０－ｇ１について探索処理を行う。さらに、単位期間Ｔ２では、イジング装置２２が、レプリカグループ０のステートであるＸ１－ｇ０について探索処理を行う。単位期間Ｔ２の探索処理が終わると、イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ１をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ０をイジング装置２１，２３，２４に転送する。イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ１またはＸ１－ｇ０に基づいて、レプリカグループ０，１についての局所場を更新する。

単位期間Ｔ３では、イジング装置２１は、レプリカグループ２のステートであるＸ０－ｇ２について、イジング装置２２は、レプリカグループ１のステートであるＸ１－ｇ１について、それぞれ探索処理を行う。また、単位期間Ｔ３では、イジング装置２３がレプリカグループ０のステートであるＸ２－ｇ０について探索処理を行う。単位期間Ｔ３の探索処理が終わると、イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ２をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ１をイジング装置２１，２３，２４に転送する。また、イジング装置２３は、Ｘ２－ｇ０をイジング装置２１，２２，２４に転送する。イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ２、Ｘ１－ｇ１、またはＸ２－ｇ０に基づいて、レプリカグループ０～２についての局所場を更新する。

単位期間Ｔ４では、イジング装置２１は、レプリカグループ３のステートであるＸ０－ｇ３について、イジング装置２２は、レプリカグループ２のステートであるＸ１－ｇ２について、それぞれ探索処理を行う。また、単位期間Ｔ４では、イジング装置２３は、レプリカグループ１のステートであるＸ２－ｇ１について、イジング装置２４は、レプリカグループ０のステートであるＸ３－ｇ０について、それぞれ探索処理を行う。

図１０は、単位期間Ｔ４の探索処理後のステートの転送例を示す図である。
イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ３をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ２をイジング装置２１，２３，２４に転送する。また、イジング装置２３は、Ｘ２－ｇ１をイジング装置２１，２２，２４に転送し、イジング装置２４は、Ｘ３－ｇ０をイジング装置２１～２３に転送する。

イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ３、Ｘ１－ｇ２、Ｘ２－ｇ１、またはＸ３－ｇ０に基づいて、レプリカグループ０～３についての局所場を更新する。
以上の処理により、レプリカグループ０に対する１回目のマルコフ連鎖モンテカルロ法による探索処理単位（図９ではＭＣＭＣ処理単位と表記されている）が終了する。その後も同様にイジング装置２１～２４のそれぞれは、レプリカグループ０～３のそれぞれにおいて、Ｘ０、Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３の順序で、単位期間Ｔ５，Ｔ６，Ｔ７，Ｔ８，Ｔ９，Ｔ１０，Ｔ１１において、各ステートについて探索処理を行う。レプリカグループ１に対する１回目のＭＣＭＣ処理単位は、単位期間Ｔ５の探索処理後のステート転送及び局所場の更新によって終わる。図示を省略しているが、レプリカグループ２に対する１回目のＭＣＭＣ処理単位は、単位期間Ｔ６の探索処理後のステート転送及び局所場の更新によって終わる。また、レプリカグループ３に対する１回目のＭＣＭＣ処理単位は、単位期間Ｔ７の探索処理後のステート転送及び局所場の更新によって終わる。図９の例では、レプリカグループ０～３のそれぞれは、２回ずつ処理され、単位期間Ｔ１１の探索処理を終えることで、全探索が終了している。

図９に示すように、イジング装置２１～２４によって、レプリカグループ単位でパイプライン的に各部分問題に対応したステートについての探索処理が行われる。単位期間Ｔ４～Ｔ８では、レプリカグループ０～３のステートについての探索処理が、全てのイジング装置２１～２４を用いて並列に実行されている。

これにより、イジング装置２１～２４のそれぞれが効率よく動作するようになり、計算効率を向上できる。これにより、大規模な問題に対する最適化装置２０の求解性能が向上する。なお、レプリカグループ０～３のそれぞれにおいて、状態変数の値の更新は逐次的に行われるため、マルコフ連鎖モンテカルロ法によるイジングモデルのエネルギーの最小化の原理に沿っている。

次に、上記のステップＳ５の処理において、レプリカグループ０～３のそれぞれにおけるステートの処理順序を、ＭＣＭＣ処理単位で変更する場合のイジング装置２１～２４の動作例を説明する。

図１１は、各レプリカグループにおけるステートの処理順序を、ＭＣＭＣ処理単位で変更する場合の各イジング装置の動作の一例を示す図である。
最初の単位期間Ｔ１０では、イジング装置２１は、レプリカグループ０のステートであるＸ０－ｇ０について、イジング装置２２は、レプリカグループ１のステートであるＸ１－ｇ１について、それぞれ探索処理を行う。また、単位期間Ｔ１０では、イジング装置２３は、レプリカグループ２のステートであるＸ２－ｇ２について、イジング装置２４は、レプリカグループ３のステートであるＸ３－ｇ３について、それぞれ探索処理を行う。

図１２は、単位期間Ｔ１０の探索処理後のステートの転送例を示す図である。
イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ０をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ１をイジング装置２１，２３，２４に転送する。また、イジング装置２３は、Ｘ２－ｇ２をイジング装置２１，２２，２４に転送し、イジング装置２４は、Ｘ３－ｇ３をイジング装置２１～２３に転送する。

イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ０、Ｘ１－ｇ１、Ｘ２－ｇ２、またはＸ３－ｇ３に基づいて、レプリカグループ０～３についての局所場を更新する。
単位期間Ｔ１１では、イジング装置２１は、レプリカグループ１のステートであるＸ０－ｇ１について、イジング装置２２は、レプリカグループ０のステートであるＸ１－ｇ０について、それぞれ探索処理を行う。また、単位期間Ｔ１１では、イジング装置２３は、レプリカグループ３のステートであるＸ２－ｇ３について、イジング装置２４は、レプリカグループ２のステートであるＸ３－ｇ２について、それぞれ探索処理を行う。

単位期間Ｔ１１の処理が終わると、イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ１をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ０をイジング装置２１，２３，２４に転送する。また、イジング装置２３は、Ｘ２－ｇ３をイジング装置２１，２２，２４に転送し、イジング装置２４は、Ｘ３－ｇ２をイジング装置２１～２３に転送する。

イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ１、Ｘ１－ｇ０、Ｘ２－ｇ３、またはＸ３－ｇ２に基づいて、レプリカグループ０～３についての局所場を更新する。
単位期間Ｔ１２では、イジング装置２１は、レプリカグループ２のステートであるＸ０－ｇ２について、イジング装置２２は、レプリカグループ３のステートであるＸ１－ｇ３について、それぞれ探索処理を行う。また、単位期間Ｔ１２では、イジング装置２３は、レプリカグループ０のステートであるＸ２－ｇ０について、イジング装置２４は、レプリカグループ１のステートであるＸ３－ｇ１について、それぞれ探索処理を行う。

単位期間Ｔ１２の処理が終わると、イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ２をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ３をイジング装置２１，２３，２４に転送する。また、イジング装置２３は、Ｘ２－ｇ０をイジング装置２１，２２，２４に転送し、イジング装置２４は、Ｘ３－ｇ１をイジング装置２１～２３に転送する。

イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ２、Ｘ１－ｇ３、Ｘ２－ｇ０、またはＸ３－ｇ１に基づいて、レプリカグループ０～３についての局所場を更新する。
単位期間Ｔ１３では、イジング装置２１は、レプリカグループ３のステートであるＸ０－ｇ３について、イジング装置２２は、レプリカグループ２のステートであるＸ１－ｇ２について、それぞれ探索処理を行う。また、単位期間Ｔ１３では、イジング装置２３は、レプリカグループ１のステートであるＸ２－ｇ１について、イジング装置２４は、レプリカグループ０のステートであるＸ３－ｇ０について、それぞれ探索処理を行う。

単位期間Ｔ１３の処理が終わると、イジング装置２１は、Ｘ０－ｇ３をイジング装置２２～２４に転送し、イジング装置２２は、Ｘ１－ｇ２をイジング装置２１，２３，２４に転送する。また、イジング装置２３は、Ｘ２－ｇ１をイジング装置２１，２２，２４に転送し、イジング装置２４は、Ｘ３－ｇ０をイジング装置２１～２３に転送する。

イジング装置２１～２４は、受信したＸ０－ｇ３、Ｘ１－ｇ２、Ｘ２－ｇ１、またはＸ３－ｇ０に基づいて、レプリカグループ０～３についての局所場を更新する。
以上の処理により、レプリカグループ０～３のそれぞれに対する１回目のＭＣＭＣ処理単位が終了する。１回目のＭＣＭＣ処理単位において、ステートの処理順序は、レプリカグループ０では、Ｘ０、Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３の順であり、レプリカグループ１では、Ｘ１、Ｘ０、Ｘ３、Ｘ２の順である。また、ステートの処理順序は、レプリカグループ２では、Ｘ２、Ｘ３、Ｘ０、Ｘ１の順であり、レプリカグループ３では、Ｘ３、Ｘ２、Ｘ１、Ｘ０の順である。

コントローラ３０は、１回目のＭＣＭＣ処理単位が終了すると、レプリカグループ０～３のそれぞれにおけるステートの処理順序を、たとえば、ランダムに変更する。図１１の単位期間Ｔ１４，Ｔ１５，Ｔ１６，Ｔ１７の処理では、以下のようにステートの処理順序が変更されたことが示されている。すなわち、変更後のステートの処理順序は、レプリカグループ０では、Ｘ３、Ｘ１、Ｘ０、Ｘ２の順であり、レプリカグループ１では、Ｘ１、Ｘ０、Ｘ２、Ｘ３の順である。また、変更後のステートの処理順序は、レプリカグループ２では、Ｘ０、Ｘ２、Ｘ３、Ｘ１の順であり、レプリカグループ３では、Ｘ２、Ｘ３、Ｘ１、Ｘ０の順である。

なお、変更後においても同一の単位期間では、イジング装置２１～２４はそれぞれ異なるレプリカグループのステートについて探索処理を行っている。したがって、レプリカグループ０～３のそれぞれにおいて、状態変数の値の更新は逐次的に行われるため、マルコフ連鎖モンテカルロ法によるイジングモデルのエネルギーの最小化の原理を満たす。

また、Ｘ０～Ｘ３の処理順序（４つの部分問題の処理順序に相当する）を一定ではなく変更して、たとえば、ランダム性を持たせることによって、探索の偏りを軽減できる。このため、最適化装置２０の求解性能のさらなる向上が期待できる。

なお、前述のように、上記の処理内容は、コントローラ３０にプログラムを実行させることで実現できる。
プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体（たとえば、記録媒体３６ａ）に記録しておくことができる。記録媒体として、たとえば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、半導体メモリなどを使用できる。磁気ディスクには、ＦＤ及びＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ、ＣＤ－Ｒ（Recordable）／ＲＷ（Rewritable）、ＤＶＤ及びＤＶＤ－Ｒ／ＲＷが含まれる。プログラムは、可搬型の記録媒体に記録されて配布されることがある。その場合、可搬型の記録媒体から他の記録媒体（たとえば、ＨＤＤ３３）にプログラムをコピーして実行してもよい。

以上、実施の形態に基づき、本発明の最適化装置、最適化方法及び最適化装置の制御プログラムの一観点について説明してきたが、これらは一例にすぎず、上記の記載に限定されるものではない。

１０ 最適化装置
１１ａ１～１１ａｎ イジング装置
１１ｂ１～１１ｂｎ 記憶部
１１ｃ１～１１ｃｎ 探索部
１１ｄ１～１１ｄｎ 通信部
１５ 制御装置

Claims (7)

1. イジングモデルにより表される問題を分割した複数の部分問題のうち、何れかの部分問題についての解を、それぞれが探索する複数のイジング装置を有し、
   前記複数のイジング装置のそれぞれは、
   計算対象の部分問題に対応する状態変数群の値を複数グループ分記憶する記憶部と、
   自身以外のイジング装置が計算する部分問題の第１の解候補に基づいて、前記複数グループ分の前記状態変数群のそれぞれに対して第２の解候補を計算する処理を、単位期間ごとに処理するグループを変えて行うとともに、同一の単位期間では、前記自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループの前記状態変数群について前記第２の解候補を計算する探索部と、
   前記単位期間が終了するたびに、前記第２の解候補を前記自身以外のイジング装置に送信する通信部と、
   を有する最適化装置。
2. 前記探索部は、前記自身以外のイジング装置が計算する前記第１の解候補の値を固定して、前記状態変数群に含まれる何れか１つの状態変数の値が変化することによる前記イジングモデルのエネルギーの変化を計算する、請求項１に記載の最適化装置。
3. 前記複数のイジング装置で処理される同一グループ内での各部分問題に対応する前記状態変数群の処理順序は、所定の処理タイミングで変更される、請求項１または２に記載の最適化装置。
4. 前記複数のイジング装置のそれぞれは複数のレプリカを有し、前記複数のレプリカのそれぞれが、前記状態変数群の前記複数グループのそれぞれについて前記第２の解候補を計算する、請求項１乃至３の何れか一項に記載の最適化装置。
5. 前記探索部は、前記同一の単位期間では、前記自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループのグループ番号が割り当てられた前記状態変数群について前記第２の解候補を計算する、請求項１乃至４の何れか一項に記載の最適化装置。
6. イジングモデルにより表される問題を分割した複数の部分問題のうち、何れかの部分問題についての解を、それぞれが探索する複数のイジング装置のそれぞれが、
   計算対象の部分問題に対応する状態変数群の値を複数グループ分記憶し、
   自身以外のイジング装置が計算する部分問題の第１の解候補に基づいて、前記複数グループ分の前記状態変数群のそれぞれに対して第２の解候補を計算する処理を、単位期間ごとに処理するグループを変えて行うとともに、同一の単位期間では、前記自身以外のイジング装置で処理されるグループとは異なるグループの前記状態変数群について前記第２の解候補を計算し、
   前記単位期間が終了するたびに、前記第２の解候補を前記自身以外のイジング装置に送信する、
   最適化方法。
7. イジングモデルにより表される問題を分割した複数の部分問題のうち、何れかの部分問題についての解を、それぞれが探索する複数のイジング装置を有し、前記複数のイジング装置のそれぞれが、計算対象の部分問題に対応する状態変数群の値を複数グループ分記憶し、自身以外のイジング装置が計算する部分問題の第１の解候補に基づいて、前記複数グループ分の前記状態変数群のそれぞれに対して第２の解候補を計算する処理を行う、最適化装置に対して、
   前記第２の解候補を計算する処理を、単位期間ごとに処理するグループを変えて行わせるとともに、同一の単位期間では、前記複数のイジング装置の間で、異なるグループの前記状態変数群について前記第２の解候補を計算させ、
   前記単位期間が終了するたびに、前記第２の解候補を前記自身以外のイジング装置に送信させる、
   処理をコンピュータに実行させる最適化装置の制御プログラム。

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