JP2022165250A - プログラム、データ処理方法及びデータ処理装置 - Google Patents

Abstract

【課題】比較的小容量の記憶部を用いた場合でも大規模な問題を計算可能とする。【解決手段】処理部１２は、ｎ個の要素のうち２つの要素を指定する処理と、記憶部１１から、２つの要素のそれぞれについてのｎ個のコストと、２つの要素の２つの割当先のそれぞれについてのｎ個の距離とを読み出す処理と、４つの局所場（ｈａ、ｈｂ、ｈｃ、ｈｄ）を、ｎ個のコストのそれぞれとｎ個の距離の何れかとの積の総和により計算する処理と、４つの局所場と、２つの要素の間のコストと、２つの割当先の間の距離と、に基づいて、２つの要素の割当先の入れ替えが生じた場合の評価関数の値の変化量（ΔＥ）を計算する処理と、ΔＥと所定値との比較結果に基づいて、入れ替えを実行するか否かを決定する処理とを含む繰り返し処理を、要素対を変えて繰り返すことで、評価関数の値が極小または極大になる割当状態を探索する。【選択図】図１

Description

本発明は、プログラム、データ処理方法及びデータ処理装置に関する。

組合せ最適化問題の１つとして、２次割り当て問題（ＱＡＰ（Quadratic Assignment Problem））がある。２次割り当て問題は、ｎ個の要素（施設など）をｎ個の割当先に割り当てる際に、要素間のコスト（たとえば、施設間での物資の輸送量などのフロー量）と、各要素が割り当てられる割当先間の距離との積の総和を最小化するような割り当てを求める問題である。すなわち、２次割り当て問題は、以下の式（１）を満たす割り当てを探索する問題である。

式（１）において、ｆ_ｉ，ｊは、識別番号＝ｉ，ｊの要素間のコスト、ｄ_{φ（ｉ），φ（ｊ）}は、識別番号＝ｉ，ｊの要素が割り当てられている割当先間の距離、Ｓ_ｎはｎ個の割当先の集合を示す。

ところで、ノイマン型コンピュータが不得意とする大規模な離散最適化問題を計算する装置として、イジング型の評価関数（エネルギー関数などとも呼ばれる）を用いたイジング装置（ボルツマンマシンとも呼ばれる）がある（たとえば、特許文献１，２参照）。

イジング装置は、組合せ最適化問題を磁性体のスピンの振る舞いを表すイジングモデルに変換する。そして、イジング装置は、疑似焼き鈍し法やレプリカ交換法（パラレルテンパリング法などとも呼ばれる）などのマルコフ連鎖モンテカルロ法により、イジング型の評価関数の値（エネルギーに相当する）が極小になるイジングモデルの状態を探索する。評価関数の極小値のうちの最小値になる状態が最適解となる。なお、イジング装置は、評価関数の符号を変えれば、評価関数の値が極大になる状態を探索することもできる。イジングモデルの状態は、複数の状態変数の値の組合せにより表現できる。各状態変数の値として、０または１を用いることができる。

イジング型の評価関数は、たとえば、以下の式（２）で定義される。

右辺の１項目は、イジングモデルの全状態変数の全組合せについて、漏れと重複なく、２つの状態変数の値（０または１）と重み値（２つの状態変数の間の相互作用の強さを表す）との積を積算したものである。ｘ_ｉは、識別番号がｉの状態変数、ｘ_ｊは、識別番号がｊの状態変数であり、Ｗ_ｉｊは、識別番号がｉとｊの状態変数間の相互作用の大きさを示す重み値である。右辺の２項目は、各識別番号についてのバイアス係数と状態変数との積の総和を求めたものである。ｂ_ｉは、識別番号＝ｉについてのバイアス係数を示している。ｃは定数である。

また、ｘ_ｉの値の変化に伴うエネルギーの変化量（ΔＥ_ｉ）は、以下の式（３）で表される。

式（３）において、ｘ_ｉが１から０に変化するとき、Δｘ_ｉは－１となり、状態変数ｘ_ｉが０から１に変化するとき、Δｘ_ｉは１となる。なお、ｈ_ｉは局所場と呼ばれ、Δｘ_ｉに応じてｈ_ｉに符号（＋１または－１）を乗じたものがΔＥ_ｉとなる。

そして、たとえば、ΔＥ_ｉが、乱数と温度パラメータの値に基づいて得られるノイズ値（熱ノイズとも呼ばれる）より小さい場合には、ｘ_ｉの値を更新することで状態遷移を発生させ、局所場も更新する、という処理を繰り返す。

前述の２次割り当て問題もイジング型の評価関数を用いて計算できる。
２次割り当て問題のイジング型の評価関数は、以下の式で表せる。

式（４）において、ｘは状態変数をベクトル化したものであり、ｎ個の要素のｎ個の割当先への割当状態を表す。ｘ^Ｔは、（ｘ_１，１，…，ｘ_１，ｎ，ｘ_２，１，…，ｘ_２，ｎ，……，ｘ_ｎ，１，…，ｘ_ｎ，ｎ）と表せる。ｘ_ｉ，ｊ＝１は、識別番号＝ｉの要素が、識別番号＝ｊの割当先に割り当てられていることを示し、ｘ_ｉ，ｊ＝０は、識別番号＝ｉの要素が、識別番号＝ｊの割当先に割り当てられていないことを示す。

Ｗは、重み値の行列であり、前述のコスト（ｆ_ｉ，ｊ）と、ｎ個の割当先間の距離の行列Ｄを用いて、以下の式（５）で表せる。

特開２０１９－１８５６０２号公報 特開２０２０－１９４４４２号公報

イジング型の評価関数を用いて２次割り当て問題を計算する手法では、エネルギーの変化量の計算や、局所場の更新などの処理が多数回繰り返される。そのため、これらの処理に用いられる重み値や局所場などの情報を記憶する記憶部は高速にアクセスできることが望ましい。しかし、そのような記憶部は容量が比較的小さいものである場合が多く、問題の規模が大きくなると、計算に用いる情報を記憶することができず、大規模な問題を計算できない可能性がある。

１つの側面では、本発明は、比較的小容量の記憶部を用いた場合でも大規模な問題を計算できるプログラム、データ処理方法及びデータ処理装置を提供することを目的とする。

１つの実施態様では、ｎ（ｎは２以上の整数）個の要素と、前記ｎ個の要素が割り当てられるｎ個の割当先との組合せの探索をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記ｎ個の要素のうち、第１要素と第２要素を指定する処理と、前記ｎ個の要素の間のコストと、前記ｎ個の割当先の間の距離と、前記ｎ個の要素の前記ｎ個の割当先への割当状態と、を記憶する記憶部から、前記第１要素と前記第２要素のそれぞれについてのｎ個のコストと、前記第１要素の第１割当先と前記第２要素の第２割当先のそれぞれについてのｎ個の距離とを読み出す処理と、前記割当状態に応じたエネルギーを表すイジング型の評価関数に含まれ、前記割当状態を表すｎの２乗個の状態変数のうち、前記第１要素と前記第２要素の割当先の入れ替えにより値が変化する４つの状態変数のそれぞれの値が変化することによる前記評価関数の値の第１変化量を示す４つの局所場を、前記ｎ個のコストのそれぞれと前記ｎ個の距離の何れかとの積の総和により計算する処理と、前記４つの局所場と、前記ｎ個のコストのうち前記第１要素と前記第２要素の間の第１コストと、前記ｎ個の距離のうち前記第１割当先と前記第２割当先の間の第１距離と、に基づいて、前記入れ替えが生じた場合の前記評価関数の値の第２変化量を計算する処理と、前記第２変化量と、所定値との比較結果に基づいて、前記入れ替えを実行するか否かを決定する処理と、を含む繰り返し処理を、前記第１要素または前記第２要素とする要素対を変えて繰り返すことで、前記評価関数の値が極小または極大になる前記割当状態を探索する、処理をコンピュータに実行させるプログラムが提供される。

また、１つの実施態様では、データ処理方法が提供される。
また、１つの実施態様では、データ処理装置が提供される。

１つの側面では、本発明は、比較的小容量の記憶部を用いた場合でも大規模な問題を計算できる。

第１の実施の形態のデータ処理装置及びデータ処理方法の一例を示す図である。 局所場の計算例を示す図である。 重み値とコストと距離の行列の例を示す図である。 ３つの施設を３箇所の位置に配置する問題の例を示す図である。 第２の実施の形態のデータ処理装置のハードウェア例を示すブロック図である。 データ処理装置の機能例を示すブロック図である。 第２の実施の形態のデータ処理方法の一例の流れを示すフローチャートである。 第３の実施の形態のデータ処理装置の一例を示す図である。

以下、発明を実施するための形態を、図面を参照しつつ説明する。
２次割り当て問題は、全ての要素をそれぞれ異なる割当先に割り当てる、という制約をもつ。この制約は、ｎ個の要素のｎ個の割当先への割当状態に応じたエネルギーを表すイジング型の評価関数に含まれ、割当状態を表すｎ^２個の状態変数を、ｎ行ｎ列の行列状に並べたときに、各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１となる制約と考えることができる。

このような制約をもつ２次割り当て問題を計算する際に、式（３）のΔＥ_ｉに基づいて１つずつ状態変数を更新させる方法では、上記の制約を満たさない状態への遷移も発生してしまい、計算時間が長くなってしまう。

計算時間を短縮するため、上記の制約を満たす割当状態以外の割当状態への遷移が除外されるようにすればよい。その場合、一度の状態遷移において、４つの状態変数の値を変化させることになる。ｎ^２個の状態変数をｎ行ｎ列に配列したときに各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように、一度の状態遷移において、４つの状態変数の値を変化させることで、上記制約を満たす割当状態以外への遷移を除外できる。

値が０の状態変数であるｘ_ｂを更新対象候補とした場合、ｘ_ｂと同じ行及び同じ列に含まれる状態変数のうち、値が１の状態変数であるｘ_ａ，ｘ_ｄが更新対象候補となる。さらに、ｘ_ａと同じ列、かつ、ｘ_ｄと同じ行である、値が０のｘ_ｃが更新対象候補となる。

これら４つの状態変数の値を変化させた場合に生じるイジングモデルのエネルギー変化量をΔＥ_ｂとすると、ΔＥ_ｂは、以下の式（６）のように表せる。ｈ_ａは、ｘ_ａが変化することによるエネルギーの変化量を表し、ｈ_ｂは、ｘ_ｂが変化することによるエネルギーの変化量を表し、ｈ_ｃは、ｘ_ｃが変化することによるエネルギーの変化量を表し、ｈ_ｄは、ｘ_ｄが変化することによるエネルギーの変化量を表す。

また、ｘ_ａ，ｘ_ｂ，ｘ_ｃ，ｘ_ｄが変化することによる局所場の変化量（Δｈ_ｍ（ｍ＝１，２，…，ｎ^２））は、以下の式（７）のように表せる。

式（６）、式（７）に示すように、エネルギーの変化量の計算や、局所場の更新には、重み値が用いられる。重み値は、式（５）のように表せることから、ｎ^２×ｎ^２個の重み値そのものを記憶部に記憶する代わりに、ｎ個の要素の間のコストと、ｎ個の割当先の間の距離を記憶すればよい。識別番号＝ｉの要素と識別番号＝ｊの要素の割当先の入れ替えが生じた場合のエネルギーの変化量は、式（６）を変形した以下の式（８）で表される。

式（８）において、φ（ｉ）は、識別番号＝ｉの要素の割当先の識別番号、φ（ｊ）は、識別番号＝ｊの要素の割当先の識別番号である。
また、ｎ行ｎ列の局所場（行列Ｈ）の変化量（ΔＨ）は、以下の式（９）で表せる。

式（９）において、ｆ_，ｊは、ｎ行ｎ列のコスト（行列Ｆ）のｊ列目のすべてのコストを表し、ｆ_，ｉは、行列Ｆのｉ列目のすべてのコストを表す。ｄ_{φ（ｉ），}は、ｎ行ｎ列の距離（行列Ｄ）のφ（ｉ）行目のすべての距離を表し、ｄ_{φ（ｊ），}は、行列Ｄのφ（ｊ）行目のすべての距離を表す。

式（８）、式（９）を用いてエネルギーの変化量の計算及び局所場の更新を行えば、ｎ^２×ｎ^２個の重み値そのものを記憶部に記憶しなくて済むが、問題の規模が大きくなると、行列Ｈ、行列Ｆ及び行列Ｄのデータ量も大きくなる。そのため、ＳＲＡＭ（Static Random Access Memory）やフリップフロップなどによる記憶部など、高速にアクセス可能ではあるが比較的小容量の記憶部に、行列Ｈ、行列Ｆ及び行列Ｄをすべて記憶できない可能性がある。

以下に示す第１の実施の形態のデータ処理装置及びデータ処理方法は、比較的小容量の記憶部を用いた場合でも大規模な問題を計算できるようにするものである。
（第１の実施の形態）
図１は、第１の実施の形態のデータ処理装置及びデータ処理方法の一例を示す図である。

データ処理装置１０は、たとえば、コンピュータであり、記憶部１１、処理部１２を有する。
記憶部１１は、たとえば、ＤＲＡＭ（Dynamic Random Access Memory）などの電子回路である揮発性の記憶装置、または、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やフラッシュメモリなどの電子回路である不揮発性の記憶装置である。

記憶部１１は、たとえば、後述の処理を行うためのプログラムを記憶するとともに、コスト情報、距離情報、配置情報を記憶する。
コスト情報は、ｎ（ｎは２以上の整数）個の要素の間のコストを含み、ｎ行ｎ列の行列Ｆで示される。図１にはコスト情報の一例が示されている。行列Ｆの行番号と列番号は、それぞれ、各要素を識別するための要素識別番号に対応する。たとえば、要素識別番号＝１の要素と、要素識別番号＝ｎの要素との間のコスト（１行ｎ列のコスト）は、ｆ_１，ｎと表記されている。

距離情報は、ｎ個の要素が割り当てられるｎ個の割当先の間の距離を含み、ｎ行ｎ列の行列Ｄで示される。なお、以下では、割当先を位置と呼ぶことにする。図１には距離情報の一例が示されている。行列Ｄの行番号と列番号は、それぞれ、各位置を識別するための位置識別番号に対応する。たとえば、位置識別番号＝１の位置と、位置識別番号＝ｎの位置との間の距離（１行ｎ列の距離）は、ｄ_１，ｎと表記されている。

コスト情報と距離情報は、たとえば、データ処理装置１０の外部から入力され、記憶部１１に記憶される。
配置情報は、ｎ個の要素が割り当てられている（配置されている）位置を示し、ｎ個の要素のｎ箇所の位置への割当状態を表す。配置情報は、ｎ^２個の状態変数によるｎ行ｎ列の行列Ｘで示される。配置情報の初期値は、たとえば、データ処理装置１０の外部から入力され、記憶部１１に記憶される。なお、配置情報の初期値は、各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように設定される。すなわち、ｎ個の要素のそれぞれを、ｎ箇所の位置の何れか１つに配置させるためである。

図１には配置情報の一例が示されている。行列Ｘの行番号は要素識別番号に対応し、列番号は位置識別番号に対応する。なお、行番号を位置識別番号、列番号を要素識別番号として入れ替えることも可能である。その場合、以下の説明において、行列Ｘについての行と列は入れ替えて読むものとする。

図１の例では、ｉ行、φ（ｉ）列の状態変数であるｘ_ａの値が１である。これは、要素識別番号＝ｉの要素が、位置識別番号＝φ（ｉ）の位置に配置されていることを示す。また、図１の例では、ｊ行、φ（ｊ）列の状態変数であるｘ_ｄの値が１である。これは、要素識別番号＝ｊの要素が、位置識別番号＝φ（ｊ）の位置に配置されていることを示す。

なお、配置情報は、ｎ個の要素が配置されている位置識別番号（図１の例では列番号）を並べた行ベクトル（１次元配列）で表されていてもよい。
処理部１２は、たとえば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）などのハードウェアであるプロセッサにより実現できる。また、処理部１２は、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）やＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）などの電子回路により実現されるようにしてもよい。処理部１２は、記憶部１１に記憶されたプログラムを実行して、以下に示すような処理をデータ処理装置１０に行わせる。なお、処理部１２は、複数のプロセッサの集合であってもよい。

処理部１２は、２つの要素が配置される位置を入れ替える処理を繰り返し、たとえば、式（２）に示した評価関数の値（エネルギー）が極小になる割当状態を探索する。評価関数の極小値のうちの最小値になる割当状態が最適解となる。なお、式（２）に示した評価関数の符号を変えれば、処理部１２は、評価関数の値が極大になる割当状態を探索することもできる（この場合、最大値が最適解となる）。

図１には、処理部１２がプログラムを実行したときの一部の処理（データ処理方法）の流れの例が示されている。
ステップＳ１：処理部１２は、ｎ個の要素のうち、配置される位置の入れ替えを行うか否かを判定する対象である２つの要素（図１の例では、要素識別番号＝ｉ,ｊの要素）を指定する。

ステップＳ２：処理部１２は、指定した２つの要素のそれぞれについてのｎ個のコストと、２つの要素が配置される２つの位置のそれぞれについてのｎ個の距離とを記憶部１１から読み出す。処理部１２は、配置情報を参照して、２つの要素が配置されている位置を検出する。

たとえば、図１の例では、要素識別番号＝ｉの要素は、位置識別番号＝φ（ｉ）の位置に配置されており、要素識別番号＝ｊの要素は、位置識別番号φ（ｊ）の位置に配置されている。この場合、要素番号＝ｉの要素については、コスト情報の行列Ｆのうち、図１に示すように、要素識別番号＝ｉに対応する行（列でもよい）に属するｎ個のコストが読み出される。位置識別番号＝φ（ｉ）の位置については、距離情報の行列Ｄのうち、図１に示すように、位置識別番号＝φ（ｉ）に対応する行（列でもよい）に属するｎ個の距離が読み出される。

図示が省略されているが、要素番号＝ｊの要素については、行列Ｆのうち、要素識別番号＝ｊに対応する行（列でもよい）に属するｎ個のコストが読み出される。また、位置識別番号＝φ（ｊ）の位置については、行列Ｄのうち、位置識別番号＝φ（ｉ）に対応する行（列でもよい）に属するｎ個の距離が読み出される。

上記のように読み出されるコストや距離が属する行（または列）は、２つの要素の入れ替えにより値が変化する状態変数の識別番号を用いて表すこともできる。
たとえば、図１に示すように、要素識別番号＝ｉ，ｊの要素が配置される位置の入れ替えが行われる場合、ｘ_ａ、ｘ_ｂ、ｘ_ｃ、ｘ_ｄの４つの状態変数の値が変化する。ｘ_ａはｉ行、φ（ｉ）列の状態変数であり、ｘ_ｂはｉ行、φ（ｊ）列の状態変数であり、ｘ_ｃはｊ行、φ（ｉ）列の状態変数であり、ｘ_ｄはｊ行、φ（ｊ）列の状態変数である。

ｘ_ａ、ｘ_ｂ、ｘ_ｃ、ｘ_ｄのうちの１つであるｘ_ｋ（ｋ＝１，２，…，ｎ^２）について読み出されるｎ個のコスト（ｆ_Ａ，）が属する行列Ｆの行番号Ａは、Ａ＝（ｋ－１）／ｎ＋１（小数点以下は切り捨て）と表すことができる。行番号Ａは、行列Ｘにおいてｘ_ｋが属する行を表す要素識別番号に対応する。

また、ｘ_ｋについて読み出されるｎ個の距離（ｄ_Ｂ，）が属する行列Ｄの行番号Ｂは、Ｂ＝（ｋ－１）％ｎ＋１と表すことができる。なお、（ｋ－１）％ｎは、ｋ－１をｎで割ったときの余りである。行番号Ｂは、行列Ｘにおいてｘ_ｋが属する列を表す位置識別番号に対応する。

ステップＳ３：処理部１２は、式（８）の４つの局所場であるｈ_ａ、ｈ_ｂ、ｈ_ｃ、ｈ_ｄを計算する。ｈ_ａは、図１のｘ_ａの値が変化することによるエネルギーの変化量を示し、ｈ_ｂは、図１のｘ_ｂの値が変化することによるエネルギーの変化量を示す。また、ｈ_ｃは、図１のｘ_ｃの値が変化することによるエネルギーの変化量を示し、ｈ_ｄは、図１のｘ_ｄの値が変化することによるエネルギーの変化量を示す。各局所場は、式（３）の代わりに、読み出したｎ個のコストと、ｎ個の距離を用いて以下の式（１０）により計算できる。

式（１０）において、φ（ｊ）は、行列Ｘの各行で値が１である状態変数が位置する列番号の配列である。このような式（１０）で局所場を計算できる理由を以下に説明する。
図２は、局所場の計算例を示す図である。

２次割り当て問題では、式（３）のｂ_ｉは０である。したがって、ｘ_ｋについての局所場であるｈ_ｋは、以下の式（１１）で表せる。

つまり、ｘ_ｋについての局所場ｈ_ｋは、重み値の行列Ｗのｋ行目と、ｎの２乗個の状態変数による状態ベクトルの積で表せる。状態ベクトルは、図１に示した配置情報を表す行列Ｘの各行を１次元に配列したものである。前述のように２次割り当て問題の制約により、行列Ｘの各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１であるため、状態ベクトルにおいても、ｎ個の状態変数ごとに、値が１である状態変数は１つである。

図３は、重み値とコストと距離の行列の例を示す図である。図３には、ｎ＝３の場合の重み値の行列Ｗとコストの行列Ｆと距離の行列Ｄが示されている。
ｈ_ｋを計算するために用いられる重み値は、行列Ｗのｋ行目である。そのため、ｋ＝４の場合、図３に示すような４行目の重み値、すなわちＷ_４＝（ｆ_２，１ｄ_１，１ ｆ_２，１ｄ_１，２ ｆ_２，１ｄ_１，３ ｆ_２，２ｄ_１，１ ｆ_２，２ｄ_１，２ ｆ_２，２ｄ_１，３ ｆ_２，３ｄ_１，１ ｆ_２，３ｄ_１，２ ｆ_２，３ｄ_１，３）が用いられる。つまり、Ｗ_４は、行列Ｆの２行目のコストと、行列Ｄの１行目の距離とから計算できる。したがって、行列Ｆの行列Ｄのそれぞれにおいて、１行分のコストまたは距離が、計算に用いられることになる。

ｈ_４は、状態ベクトルに応じて、たとえば、以下のように表せる。
１つ目の例として、状態ベクトルがｘ^Ｔ＝（１ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ １）であるとする。この場合、ｈ_４は、ｈ_４＝１・ｆ_２，１ｄ_１，１＋０・ｆ_２，１ｄ_１，２＋０・ｆ_２，１ｄ_１，３＋０・ｆ_２，２ｄ_１，１＋１・ｆ_２，２ｄ_１，２＋０・ｆ_２，２ｄ_１，３＋０・ｆ_２，３ｄ_１，１＋０・ｆ_２，３ｄ_１，２＋１・ｆ_２，３ｄ_１，３＝ｆ_２，１ｄ_１，１＋ｆ_２，２ｄ_１，２＋ｆ_２，３ｄ_１，３と計算できる。

２つ目の例として、状態ベクトルがｘ^Ｔ＝（０ １ ０ ０ ０ １ １ ０ ０）であるとする。この場合、ｈ_４は、ｈ_４＝０・ｆ_２，１ｄ_１，１＋１・ｆ_２，１ｄ_１，２＋０・ｆ_２，１ｄ_１，３＋０・ｆ_２，２ｄ_１，１＋０・ｆ_２，２ｄ_１，２＋１・ｆ_２，２ｄ_１，３＋１・ｆ_２，３ｄ_１，１＋０・ｆ_２，３ｄ_１，２＋０・ｆ_２，３ｄ_１，３＝ｆ_２，１ｄ_１，２＋ｆ_２，２ｄ_１，３＋ｆ_２，３ｄ_１，１と計算できる。

ここで、前述のφ（ｊ）は、１つ目の例ではφ（ｊ）＝［１，２，３］、２つ目の例のではφ（ｊ）＝［２，３，１］であり、ｊ列目のコストに対する乗数である距離の列番号の配列に一致する。すなわち、１つ目の例では、１列目のコストであるｆ_２，１に対する乗数は、１列目のｄ_１，１であり、２列目のコストであるｆ_２，２に対する乗数は、２列目のｄ_１，２であり、３列目のコストであるｆ_２，３に対する乗数は、３列目のｄ_１，３である。２つ目の例では、１列目のコストであるｆ_２，１に対する乗数は、２列目のｄ_１，２であり、２列目のコストであるｆ_２，２に対する乗数は、３列目のｄ_１，３であり、３列目のコストであるｆ_２，３に対する乗数は、１列目のｄ_１，１である。

上記のように、φ（ｊ）を用いることで、ｊ列目のコストに対する乗数である距離を選択できる。以上のことから、ｈ_ｋは式（１０）により計算できる。
なお、ステップＳ２，Ｓ３の処理では、処理部１２は式（１０）の、あるｊについてｆ_Ａ，ｊとｄ_{Ｂ，φ（ｊ）}を記憶部１１から読み出し、ｆ_Ａ，ｊｄ_{Ｂ，φ（ｊ）}を計算した後、次のｊについてｆ_Ａ，ｊとｄ_{Ｂ，φ（ｊ）}を記憶部１１から読み出す、という処理を繰り返してもよい。その場合、処理部１２は、ｎ回の繰り返し処理により得られたｎ個のｆ_Ａ，ｊｄ_{Ｂ，φ（ｊ）}の総和によりｈ_ｋを計算する。

ステップＳ４：処理部１２は、式（８）により、要素識別番号＝ｉ，ｊの２つの要素ｄが配置される位置の入れ替えが生じた場合のΔＥを計算する。式（８）のｈ_ａ、ｈ_ｂ、ｈ_ｃ、ｈ_ｄについては、ステップＳ３の処理で計算された値が用いられる。式（８）のｆ_ｉ,ｊとｄ_{φ（ｉ），φ（ｊ）}については、ステップＳ２の処理で読み出されたｎ個のコストまたはｎ個の距離に含まれている。

ステップＳ５：処理部１２は、ΔＥと、所定値との比較結果に基づいて、要素識別番号＝ｉ，ｊの２つの要素が配置される位置の入れ替えを行うか否かを判定する。所定値は、たとえば、乱数と温度パラメータの値とに基づいて得られるノイズ値である。

処理部１２は、たとえば、ΔＥが、０以上１以下の一様乱数（ｒａｎｄ）と温度パラメータ（Ｔ）とに基づいて得られるノイズ値の例である、ｌｏｇ（ｒａｎｄ）×Ｔよりも小さい場合、入れ替えを行うと判定する。

ステップＳ６：処理部１２は、ステップＳ５の処理で、入れ替えを行うと判定した場合、配置情報を更新することで入れ替えを実行する。
ステップＳ６の処理後、またはステップＳ５の処理において入れ替えを行わないと判定した場合、処理部１２は、ステップＳ１の処理に戻り、要素識別番号＝ｉ，ｊを更新し（入れ替え判定を行う要素対を変更し）、ステップＳ２からの処理を繰り返す。

要素識別番号＝ｉ，ｊはランダムに指定されてもよいし、所定のルールにしたがって指定されてもよい。
処理部１２は、疑似焼き鈍し法を行う場合、所定の温度パラメータ変更スケジュールにしたがって、前述の温度パラメータ（Ｔ）の値を小さくしていく。そして、処理部１２は、ステップＳ１～Ｓ６の処理が所定の回数繰り返された場合に得られた配置情報を、２次割り当て問題の計算結果として出力する（たとえば、図示しない表示装置に表示する）。なお、処理部１２は、要素が配置される位置が更新されるたびに、式（４）で表される評価関数の値（エネルギー）を更新し、これまでの最小エネルギーとなった場合のエネルギーと配置情報とを保持しておいてもよい。その場合、処理部１２は、ステップＳ１～Ｓ６の処理が所定の回数繰り返された後に記憶されている最小エネルギーに対応する配置情報を、計算結果として出力してもよい。

処理部１２がレプリカ交換法を行う場合、処理部１２は、それぞれ異なる温度パラメータの値が設定された複数のレプリカのそれぞれにおいて、図１に示したステップＳ１～Ｓ６の処理を行う。そして、処理部１２は、ステップＳ１～Ｓ６の処理が所定回数繰り返されるごとに、レプリカ交換を行う。たとえば、処理部１２は、複数のレプリカのうち２つをランダムに選択して、選択された２つのレプリカの間で、レプリカ間のエネルギー差や温度パラメータの値の差に基づいた所定の交換確率で、温度パラメータの値または配置情報を交換する。処理部１２は、たとえば、各レプリカにおいて要素が配置される位置が更新されるたびに、式（４）で表される評価関数の値（エネルギー）を更新し、これまでの最小エネルギーとなった場合のエネルギーと配置情報とを保持する。処理部１２は、そして、各レプリカにおいてステップＳ１～Ｓ６の処理が所定の回数繰り返された後に記憶されている最小エネルギーのうち、全レプリカにおいて最小のエネルギーに対応する配置情報を、計算結果として出力する。

以上のようなデータ処理装置１０及びデータ処理方法によれば、ΔＥの計算に用いる局所場は記憶部１１に保持されず、配置される位置の入れ替え判定が行われる２つの要素とそれらが配置されている位置に関するコストと距離とから計算される。このため、記憶部１１に局所場（重み値も）を保持しなくて済み、記憶部１１が小容量メモリでも大規模問題を計算できる。つまり、記憶部１１の記憶容量を削減できる。レプリカ交換法が行われる場合には、レプリカごとに異なる局所場が用いられるが、上記のデータ処理装置１０及びデータ処理方法によれば、記憶部１１に局所場自体を保持しなくてよい。そのため、レプリカ交換法を用いた場合、疑似焼き鈍し法を用いた場合よりも、記憶部１１に記憶するデータ量の削減効果がより高い。

また、局所場を保持する場合、配置情報が更新されるたびに、式（９）にしたがって、ｎの２乗個の局所場の更新が行われるが、上記のデータ処理装置１０及びデータ処理方法によれば、局所場の更新が不要になる。このため、局所場を保持する場合に比べて、演算量を削減できる。

（第２の実施の形態）
以下に示す第２の実施の形態では、ｎ個の要素をｎ個の割当先に割り当てる２次割り当て問題として、ｎ個の施設をｎ箇所の位置に配置する問題を例にして説明する。以下では、前述のコストをフロー量という。フロー量は、たとえば、施設間での物資の輸送量などを表す。

図４は、３つの施設を３箇所の位置に配置する問題の例を示す図である。
この例の場合、行列Ｆは３行３列のフロー量からなり、行列Ｄは３行３列の距離からなる。なお、図４の例では、ｆ_ｉ，ｊ＝ｆ_ｊ，ｉ（ｉ，ｊは施設識別番号）であり、ｆ_ｊ，ｉについてもｆ_ｉ，ｊと表記されている。また、図４の例では、ｄ_ｉ，ｊ＝ｄ_ｊ，ｉ（ｉ，ｊは位置識別番号）であり、ｄ_ｊ，ｉについてもｄ_ｉ，ｊと表記されている。

図４の例では、位置識別番号＝１の位置に施設識別番号＝３の施設が配置され、位置識別番号＝２の位置に施設識別番号＝１の施設が配置され、位置識別番号＝３の位置に施設識別番号＝２の施設が配置されている。この場合、行番号が施設識別番号、列番号が位置識別番号を表す配置情報（行列Ｘ）では、１行２列と、２行３列と、３行１列の状態変数の値が１となり、その他の状態変数の値は０となる。この場合、前述のφ（ｊ）は、φ（ｊ）＝［２，３，１］と表せる。

このような問題では、２つの施設が配置される位置を入れ替えた場合のエネルギーの変化量（前述の式（８）で表せる）に基づいて、最もエネルギーが小さくなる配置が探索されるが、施設の数や位置の数が多くなるほど、保持すべきデータ量が増大する。

図５は、第２の実施の形態のデータ処理装置のハードウェア例を示すブロック図である。
データ処理装置２０は、たとえば、コンピュータであり、ＣＰＵ２１、ＲＡＭ（Random Access Memory）２２、ＨＤＤ２３、ＧＰＵ２４、入力インタフェース２５、媒体リーダ２６及び通信インタフェース２７を有する。上記ユニットは、バスに接続されている。

ＣＰＵ２１は、プログラムの命令を実行する演算回路を含むプロセッサである。ＣＰＵ２１は、ＨＤＤ２３に記憶されたプログラムやデータの少なくとも一部をＲＡＭ２２にロードし、プログラムを実行する。なお、ＣＰＵ２１は複数のプロセッサコアを備えてもよく、データ処理装置２０は複数のプロセッサを備えてもよく、以下で説明する処理を複数のプロセッサまたはプロセッサコアを用いて並列に実行してもよい。また、複数のプロセッサの集合（マルチプロセッサ）を「プロセッサ」と呼んでもよい。

ＲＡＭ２２は、ＣＰＵ２１が実行するプログラムやＣＰＵ２１が演算に用いるデータを一時的に記憶する揮発性の半導体メモリである。なお、データ処理装置２０は、ＲＡＭ２２以外の種類のメモリを備えてもよく、複数個のメモリを備えてもよい。

ＨＤＤ２３は、ＯＳ（Operating System）やミドルウェアやアプリケーションソフトウェアなどのソフトウェアのプログラム、及び、データを記憶する不揮発性の記憶装置である。プログラムには、たとえば、２次割り当て問題の解を探索する処理をデータ処理装置２０に実行させるプログラムが含まれる。なお、データ処理装置２０は、フラッシュメモリやＳＳＤ（Solid State Drive）などの他の種類の記憶装置を備えてもよく、複数の不揮発性の記憶装置を備えてもよい。

ＧＰＵ２４は、ＣＰＵ２１からの命令にしたがって、データ処理装置２０に接続されたディスプレイ２４ａに画像を出力する。ディスプレイ２４ａとしては、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ：Liquid Crystal Display）、プラズマディスプレイ（ＰＤＰ：Plasma Display Panel）、有機ＥＬ（ＯＥＬ：Organic Electro-Luminescence）ディスプレイなどを用いることができる。

入力インタフェース２５は、データ処理装置２０に接続された入力デバイス２５ａから入力信号を取得し、ＣＰＵ２１に出力する。入力デバイス２５ａとしては、マウスやタッチパネルやタッチパッドやトラックボールなどのポインティングデバイス、キーボード、リモートコントローラ、ボタンスイッチなどを用いることができる。また、データ処理装置２０に、複数の種類の入力デバイスが接続されていてもよい。

媒体リーダ２６は、記録媒体２６ａに記録されたプログラムやデータを読み取る読み取り装置である。記録媒体２６ａとして、たとえば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク（ＭＯ：Magneto-Optical disk）、半導体メモリなどを使用できる。磁気ディスクには、フレキシブルディスク（ＦＤ：Flexible Disk）やＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ（Compact Disc）やＤＶＤ（Digital Versatile Disc）が含まれる。

媒体リーダ２６は、たとえば、記録媒体２６ａから読み取ったプログラムやデータを、ＤＲＡＭ２２やＨＤＤ２３などの他の記録媒体にコピーする。読み取られたプログラムは、たとえば、ＣＰＵ２１によって実行される。なお、記録媒体２６ａは、可搬型記録媒体であってもよく、プログラムやデータの配布に用いられることがある。また、記録媒体２６ａやＨＤＤ２３を、コンピュータ読み取り可能な記録媒体ということがある。

通信インタフェース２７は、ネットワーク２７ａに接続され、ネットワーク２７ａを介して他の情報処理装置と通信を行うインタフェースである。通信インタフェース２７は、スイッチなどの通信装置とケーブルで接続される有線通信インタフェースでもよいし、基地局と無線リンクで接続される無線通信インタフェースでもよい。

図６は、データ処理装置の機能例を示すブロック図である。
データ処理装置２０は、入力部３０、制御部３１、記憶部３２、探索部３３、出力部３４を有する。

入力部３０、制御部３１、探索部３３、出力部３４は、たとえば、ＣＰＵ２１が実行するプログラムモジュールを用いて実装できる。記憶部３２は、たとえば、ＲＡＭ２２またはＨＤＤ２３に確保した記憶領域を用いて実装できる。

入力部３０は、たとえば、２次割り当て問題の問題情報（各施設間のフロー量や各位置間の距離など）や、計算条件（たとえば、レプリカ交換法が行われる場合のレプリカ数や各レプリカに設定する温度パラメータの値など）の入力を受け付ける。これらの情報は、ユーザによる入力デバイス２５ａの操作により入力されてもよいし、記録媒体２６ａまたはネットワーク２７ａを介して入力されてもよい。

制御部３１は、データ処理装置２０の各部を制御して、後述の処理を実行させる。
記憶部３２は、問題情報や計算条件、各状態変数の値、エネルギーの計算結果など各種の情報を記憶する。

探索部３３は、２つの要素が配置される位置を入れ替える処理を繰り返し、たとえば、式（２）に示した評価関数の値（エネルギー）が極小になる配置情報を探索する。
出力部３４は、たとえば、探索部３３による探索によって得られた配置情報を計算結果として出力する。出力部３４は、たとえば、計算結果を、ディスプレイ２４ａに出力して表示させてもよいし、ネットワーク２７ａを介して、他の情報処理装置に送信してもよいし、外部の記憶装置に記憶してもよい。

次に、データ処理装置２０の処理の手順を説明する。なお、以下の例では、レプリカ交換法を適用した場合のデータ処理方法について説明する。
図７は、第２の実施の形態のデータ処理方法の一例の流れを示すフローチャートである。

ステップＳ１０：まず、入力部３０は、２次割り当て問題の問題情報などの入力を受け付ける。問題情報は、たとえば、ユーザによる入力デバイス２５ａの操作により入力されてもよいし、記録媒体２６ａまたはネットワーク２７ａを介して入力されてもよい。入力された問題情報は記憶部３２に記憶される。

ステップＳ１１：制御部３１は、初期化を行う。たとえば、制御部３１は、ｎ行ｎ列の各行と各列に含まれる状態変数の値の和が１である制約を満たすように、状態変数の初期値を設定する。また、制御部３１は、状態変数の初期値と、問題情報に基づいて、式（４）、式（５）からエネルギーの初期値を計算する。また、制御部３１は、各レプリカに温度パラメータの初期値を設定する。温度パラメータの値は、レプリカごとに異なる値が設定される。

また、制御部３１は、配置位置を入れ替えるか否かの判定（以下フリップ判定という）を行う２つの施設を指定するための探索位置（ｒＡ，ｒＢ）を初期化する。たとえば、制御部３１は、ｒＡ＝０、ｒＢ＝１とする。ｒＡ，ｒＢは、施設識別番号（図４の例では行列Ｘの行番号）を指定するものであり、たとえば、ｒＡ＝０は、施設識別番号＝１（行番号＝１）を示し、ｒＢ＝１は、施設識別番号＝２（行番号＝２）を示す。

ステップＳ１２：制御部３１は、複数のレプリカのうちの１つを選択する。
ステップＳ１３：探索部３３は、ｒＡ、ｒＢで指定される施設識別番号の施設の配置位置の入れ替えが生じた場合の４つの局所場であるｈ_ａ、ｈ_ｂ、ｈ_ｃ、ｈ_ｄを、式（１０）に基づいて計算する。

探索部３３は、たとえば、以下のような処理によりｈ_ａ、ｈ_ｂ、ｈ_ｃ、ｈ_ｄを計算する。以下では、行列Ｘのｉ＋１行目（ｉ＝０，１，…，ｎ－１）において状態変数の値が１になっている列の列番号をｓｔａｔｅ［ｉ］とする。また、Ｆ［ｙ］［ｘ］を、行列Ｆのｙ＋１行目、ｘ＋１列目のフロー量、Ｄ［ｙ］［ｘ］を、行列Ｄのｙ＋１行目、ｘ＋１列目の距離であるとする。なお、ｘ，ｙ＝０，１，…，ｎ－１である。ｈ_ａ、ｈ_ｂ、ｈ_ｃ、ｈ_ｄのそれぞれについて、計算に用いられるｎ個のフロー量やｎ個の距離は、記憶部３２から読み出される。

まず、探索部３３は、ｈ_ａ＝ｈ_ｂ＝ｈ_ｃ＝ｈ_ｄ＝０、ｉ＝０とする。
そして、探索部３３は、一時変数ｆＡ、ｆＢ、ｄＡ、ｄＢを用いて、ｆＡ＝Ｆ［ｒＡ］［ｉ］、ｆＢ＝ｆ［ｒＢ］［ｉ］、ｄＡ＝Ｄ［ｓｔａｔｅ［ｉ］］［ｓｔａｔｅ［ｒＡ］］、ｄＢ＝Ｄ［ｓｔａｔｅ［ｉ］］［ｓｔａｔｅ［ｒＢ］］とする。

その後、探索部３３は、ｈ_ａにｆＡ×ｄＢを加え、ｈ_ｂにｆＡ×ｄＡを加え、ｈ_ｃにｆＢ×ｄＢを加え、ｈ_ｄにｆＢ×ｄＡを加える。そして、探索部３３は、ｉに１を加えて、ｉがｎ－１に達するまで、上記の処理を繰り返す。

ステップＳ１４：探索部３３は、ｒＡ、ｒＢで指定される施設識別番号の施設の配置位置の入れ替えが生じた場合の評価関数の値の変化量（エネルギーの変化量（ΔＥ））を、式（８）に基づいて、計算する。式（８）のｈ_ａ、ｈ_ｂ、ｈ_ｃ、ｈ_ｄについては、ステップＳ１３の処理で計算された値が用いられる。式（８）のｆ_ｉ,ｊについては、Ｆ［ｒＡ］［ｒＢ］が用いられ、式（８）のｄ_{φ（ｉ），φ（ｊ）}については、Ｄ［ｓｔａｔｅ［ｒＡ］］［ｓｔａｔｅ［ｒＢ］］が用いられる。

ステップＳ１５：探索部３３は、ΔＥと、乱数と選択されたレプリカに設定された温度パラメータの値とに基づいて得られるノイズ値との比較結果に基づいて、ｒＡ、ｒＢで指定される施設識別番号の施設の配置位置の入れ替えを行うか否かのフリップ判定を行う。

探索部３３は、たとえば、ΔＥが、０以上１以下の一様乱数（ｒａｎｄ）と温度パラメータ（Ｔ）とに基づいて得られるノイズ値の例である、ｌｏｇ（ｒａｎｄ）×Ｔよりも小さい場合、入れ替えを行うと判定する。探索部３３は、入れ替えを行うと判定した場合、ステップＳ１６の処理を行い、入れ替えを行わないと判定した場合、ステップＳ１７の処理が行われる。

ステップＳ１６：探索部３３は、ｓｔａｔｅ［ｒＡ］とｓｔａｔｅ［ｒＢ］の値を入れ替えることで配置情報を更新する。また、探索部３３は、エネルギー（Ｅ）を、ΔＥを加えることで更新する。

ステップＳ１７：制御部３１は、全レプリカを選択したか否かを判定する。制御部３１は、全レプリカを選択していないと判定した場合、ステップＳ１２の処理に戻り、未選択のレプリカについて、ステップＳ１３～Ｓ１６の処理を探索部３３に行わせる。制御部３１は、全レプリカを選択したと判定した場合、ステップＳ１８の処理を行う。

ステップＳ１８：制御部３１は、探索位置の更新を行う。たとえば、制御部３１は、ｒＢ＝ｎ－１、ｒＡ＝ｎ－２の場合、ｒＡ＝０、ｒＢ＝１に初期化する。制御部３１は、ｒＢ＝ｎ－１であるが、ｒＡ＝ｎ－２ではない場合、ｒＡを＋１し、ｒＢ＝ｒＡ＋１とする。また、制御部３１は、ｒＢ＝ｎ－１ではない場合、ｒＢを＋１する。

ステップＳ１９：制御部３１は、フリップ判定回数がレプリカ交換周期であるか否かを判定する。たとえば制御部３１は、フリップ判定回数を、レプリカ交換周期を示す値で割ったときの余りが０である場合、フリップ判定回数がレプリカ交換周期であると判定する。

制御部３１は、フリップ判定回数がレプリカ交換周期であると判定した場合、ステップＳ２０の処理を行い、フリップ判定回数がレプリカ交換周期ではないと判定した場合、ステップＳ２１の処理を行う。

ステップＳ２０：制御部３１は、レプリカ交換処理を行う。たとえば、制御部３１は、複数のレプリカのうち２つをランダムに選択して、選択された２つのレプリカの間で、レプリカ間のエネルギー差や温度パラメータの値の差に基づいた所定の交換確率で、設定される温度パラメータの値を交換する。

なお、レプリカ交換処理は、２つのレプリカの間で、温度パラメータの値を交換する代わりに、配置情報を交換してもよい。
ステップＳ２１：制御部３１は、フリップ判定回数が所定の終了回数に達したか否かを判定する。制御部３１は、フリップ判定回数が所定の終了回数に達したと判定した場合、ステップＳ２２の処理を行い、フリップ判定回数が所定の終了回数に達してないと判定した場合、ステップＳ１２からの処理を繰り返す。

ステップＳ２２：出力部３４は、計算結果を出力する。出力部３４は、たとえば、各レプリカについて記憶されている最小エネルギーのうち、全レプリカにおいて最小のエネルギーに対応する配置情報を計算結果として出力する。出力部３４は、たとえば、計算結果を、ディスプレイ２４ａに出力して表示させてもよいし、ネットワーク２７ａを介して、他の情報処理装置に送信してもよいし、外部の記憶装置に記憶してもよい。

以上のようなデータ処理装置２０及びデータ処理方法によれば、ΔＥの計算に用いる局所場は記憶部３２に保持されず、フリップ判定が行われる２つの施設とそれらの配置位置に関するフロー量と距離とから計算される。このため、記憶部３２に局所場（重み値も）を保持しなくて済み、記憶部３２が小容量メモリでも大規模問題を計算できる。

たとえば、ｎ＝１０２４で、局所場、フロー量、距離のそれぞれが４バイトのデータ量であるとすると、重み値の行列Ｗのデータ量は、１０２４×１０２４×１０２４×１０２４×４＝４ＴＢである。一方、フロー量の行列Ｆと、距離の行列Ｄのデータ量は、合わせて８ＭＢである。このため、重み値の行列Ｗをそのまま記憶する場合よりも、記憶するデータ量を９９．９％削減できる。

また、行列Ｗを記憶せずに、ｎ行ｎ列の局所場の行列Ｈと行列Ｆと行列Ｄを記憶する場合、そのデータ量はレプリカ数が多くなるほど増大する。
たとえば、ｎ＝１０２４、レプリカ数＝３２で、局所場、フロー量、距離のそれぞれが４バイトのデータ量であるとすると、記憶するデータ量は、行列Ｈのデータ量＋行列Ｆのデータ量＋行列Ｄのデータ量＝３４×４ＭＢ＝１３６ＭＢである。一方、上記のように、フロー量の行列Ｆと、距離の行列Ｄのデータ量は、合わせて８ＭＢである。このため、行列Ｈを記憶する場合よりも、データ量を９４．１％削減できる。

また、第２の実施の形態のデータ処理装置２０及びデータ処理方法によれば、局所場の行列Ｈを用いる場合よりも、演算量を削減できる。たとえば、局所場の行列Ｈを用いる場合、１回のフリップ判定及び配置情報の更新に伴う行列Ｈの更新のための乗算の回数は、式（８）と式（９）から、ｎ＝１０２４の場合、１０２４×１０２４＋１＝１０４８５７７回となる。これに対して、第２の実施の形態のデータ処理装置２０及びデータ処理方法では、行列Ｈの更新は行われないため、１回のフリップ判定のための乗算の回数は、式（８）と式（１０）から、ｎ＝１０２４の場合、１０２４×４＋１＝４０９７回となる。つまり、局所場の行列Ｈを用いる場合よりも、乗算の回数を９９．６％削減できる。

なお、前述のように、上記の処理内容は、データ処理装置２０にプログラムを実行させることで実現できる。
プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体（たとえば、記録媒体２６ａ）に記録しておくことができる。記録媒体として、たとえば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、半導体メモリなどを使用できる。磁気ディスクには、ＦＤ及びＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ、ＣＤ－Ｒ（Recordable）／ＲＷ（Rewritable）、ＤＶＤ及びＤＶＤ－Ｒ／ＲＷが含まれる。プログラムは、可搬型の記録媒体に記録されて配布されることがある。その場合、可搬型の記録媒体から他の記録媒体（たとえば、ＨＤＤ２３）にプログラムをコピーして実行してもよい。

（第３の実施の形態）
図８は、第３の実施の形態のデータ処理装置の一例を示す図である。図８において、図５に示した要素と同じ要素については同一符号が付されている。

第３の実施の形態のデータ処理装置４０は、バスに接続されたアクセラレータカード４１を有する。
アクセラレータカード４１は、２次割り当て問題の解を探索するハードウェアアクセラレータである。アクセラレータカード４１は、ＦＰＧＡ４１ａ及びＤＲＡＭ４１ｂを有する。

第３の実施の形態のデータ処理装置４０では、ＦＰＧＡ４１ａが、たとえば、図６に示した制御部３１や探索部３３の処理を行う。
また、ＤＲＡＭ４１ｂが図６に示した記憶部３２として機能する。

なお、アクセラレータカード４１は、複数あってもよい。その場合、たとえば、各レプリカについての処理（たとえば、図７のステップＳ１３～Ｓ１６の処理）を並列に行うことができる。

上記のような第３の実施の形態のデータ処理装置４０においても、第２の実施の形態のデータ処理装置２０と同様の効果が得られる。
以上、実施の形態に基づき、本発明のプログラム、データ処理方法及びデータ処理装置の一観点について説明してきたが、これらは一例にすぎず、上記の記載に限定されるものではない。

１０ データ処理装置
１１ 記憶部
１２ 処理部

Claims (8)

1. ｎ（ｎは２以上の整数）個の要素と、前記ｎ個の要素が割り当てられるｎ個の割当先との組合せの探索をコンピュータに実行させるプログラムであって、
   前記ｎ個の要素のうち、第１要素と第２要素を指定する処理と、
   前記ｎ個の要素の間のコストと、前記ｎ個の割当先の間の距離と、前記ｎ個の要素の前記ｎ個の割当先への割当状態と、を記憶する記憶部から、前記第１要素と前記第２要素のそれぞれについてのｎ個のコストと、前記第１要素の第１割当先と前記第２要素の第２割当先のそれぞれについてのｎ個の距離とを読み出す処理と、
   前記割当状態に応じたエネルギーを表すイジング型の評価関数に含まれ、前記割当状態を表すｎの２乗個の状態変数のうち、前記第１要素と前記第２要素の割当先の入れ替えにより値が変化する４つの状態変数のそれぞれの値が変化することによる前記評価関数の値の第１変化量を示す４つの局所場を、前記ｎ個のコストのそれぞれと前記ｎ個の距離の何れかとの積の総和により計算する処理と、
   前記４つの局所場と、前記ｎ個のコストのうち前記第１要素と前記第２要素の間の第１コストと、前記ｎ個の距離のうち前記第１割当先と前記第２割当先の間の第１距離と、に基づいて、前記入れ替えが生じた場合の前記評価関数の値の第２変化量を計算する処理と、
   前記第２変化量と、所定値との比較結果に基づいて、前記入れ替えを実行するか否かを決定する処理と、
   を含む繰り返し処理を、前記第１要素または前記第２要素とする要素対を変えて繰り返すことで、前記評価関数の値が極小または極大になる前記割当状態を探索する、
   処理をコンピュータに実行させるプログラム。
2. 前記所定値は、乱数と温度パラメータの値とに基づいて得られるノイズ値である、請求項１に記載のプログラム。
3. 前記コストはｎ行ｎ列の第１行列で示され、前記距離はｎ行ｎ列の第２行列で示され、
   前記ｎ個のコストは、前記第１行列のうち、前記第１要素または前記第２要素の識別番号に対応する行または列に属し、
   前記ｎ個の距離は、前記第２行列のうち、前記第１割当先または前記第２割当先の識別番号に対応する行または列に属する、
   請求項１または２に記載のプログラム。
4. 前記ｎ個の距離のうち、前記ｎ個のコストのそれぞれに対する乗数を、前記ｎ個の要素が割り当てられている前記ｎ個の割当先の識別情報に基づいて選択する、処理を前記コンピュータに実行させる請求項１乃至３の何れか一項に記載のプログラム。
5. 前記割当状態は、互いに異なる前記温度パラメータの値が設定される複数のレプリカのそれぞれについて前記記憶部に記憶され、
   前記複数のレプリカのそれぞれについて、前記繰り返し処理を、前記要素対を変えて繰り返し、
   所定の周期で、前記複数のレプリカの何れか２つの間で前記温度パラメータの値または前記割当状態の交換を行う、
   処理を前記コンピュータに実行させる請求項１乃至４の何れか一項に記載のプログラム。
6. 前記評価関数は、前記ｎ個の要素を前記ｎ個の割当先に割り当てる際に、前記ｎ個の要素の間の物資の輸送量を前記コストとし、前記距離と前記コストとの積の総和を含む関数である、請求項１乃至５の何れか一項に記載のプログラム。
7. ｎ（ｎは２以上の整数）個の要素と、前記ｎ個の要素が割り当てられるｎ個の割当先との組合せの探索を実行するコンピュータが、
   前記ｎ個の要素のうち、第１要素と第２要素を指定する処理と、
   前記ｎ個の要素の間のコストと、前記ｎ個の割当先の間の距離と、前記ｎ個の要素の前記ｎ個の割当先への割当状態と、を記憶する記憶部から、前記第１要素と前記第２要素のそれぞれについてのｎ個のコストと、前記第１要素の第１割当先と前記第２要素の第２割当先のそれぞれについてのｎ個の距離とを読み出す処理と、
   前記割当状態に応じたエネルギーを表すイジング型の評価関数に含まれ、前記割当状態を表すｎの２乗個の状態変数のうち、前記第１要素と前記第２要素の割当先の入れ替えにより値が変化する４つの状態変数のそれぞれの値が変化することによる前記評価関数の値の第１変化量を示す４つの局所場を、前記ｎ個のコストのそれぞれと前記ｎ個の距離の何れかとの積の総和により計算する処理と、
   前記４つの局所場と、前記ｎ個のコストのうち前記第１要素と前記第２要素の間の第１コストと、前記ｎ個の距離のうち前記第１割当先と前記第２割当先の間の第１距離と、に基づいて、前記入れ替えが生じた場合の前記評価関数の値の第２変化量を計算する処理と、
   前記第２変化量と、所定値との比較結果に基づいて、前記入れ替えを実行するか否かを決定する処理と、
   を含む繰り返し処理を、前記第１要素または前記第２要素とする要素対を変えて繰り返すことで、前記評価関数の値が極小または極大になる前記割当状態を探索する、
   データ処理方法。
8. ｎ（ｎは２以上の整数）個の要素と、前記ｎ個の要素が割り当てられるｎ個の割当先との組合せの探索を実行するデータ処理装置であって、
   前記ｎ個の要素の間のコストと、前記ｎ個の割当先の間の距離と、前記ｎ個の要素の前記ｎ個の割当先への割当状態と、を記憶する記憶部と、
   前記ｎ個の要素のうち、第１要素と第２要素を指定する処理と、前記記憶部から、前記第１要素と前記第２要素のそれぞれについてのｎ個のコストと、前記第１要素の第１割当先と前記第２要素の第２割当先のそれぞれについてのｎ個の距離とを読み出す処理と、前記割当状態に応じたエネルギーを表すイジング型の評価関数に含まれ、前記割当状態を表すｎの２乗個の状態変数のうち、前記第１要素と前記第２要素の割当先の入れ替えにより値が変化する４つの状態変数のそれぞれの値が変化することによる前記評価関数の値の第１変化量を示す４つの局所場を、前記ｎ個のコストのそれぞれと前記ｎ個の距離の何れかとの積の総和により計算する処理と、前記４つの局所場と、前記ｎ個のコストのうち前記第１要素と前記第２要素の間の第１コストと、前記ｎ個の距離のうち前記第１割当先と前記第２割当先の間の第１距離と、に基づいて、前記入れ替えが生じた場合の前記評価関数の値の第２変化量を計算する処理と、前記第２変化量と、所定値との比較結果に基づいて、前記入れ替えを実行するか否かを決定する処理と、を含む繰り返し処理を、前記第１要素または前記第２要素とする要素対を変えて繰り返すことで、前記評価関数の値が極小または極大になる前記割当状態を探索する、処理部と、
   を有するデータ処理装置。

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