JP2019501581A - ボソンモードを使用した量子誤り訂正のための技術ならびに関連のある系および方法 - Google Patents

Abstract

いくつかの局面は、量子力学振動子に分散的にカップリングされる物理的キュービットを含む回路量子電磁力学系を操作する方法に関し、該方法は、量子力学振動子の第1の状態のパリティーを測定する工程、第1の状態のパリティーの測定後、量子力学振動子の第2の状態のパリティーを測定する工程、ここで第2の状態は第1の状態とは異なる、量子力学振動子に第1の駆動波形を適用する工程、および第1の駆動波形の適用と同時に、物理的キュービットに第2の駆動波形を適用する工程を含み、ここで第1の駆動波形および第2の駆動波形は、少なくとも部分的に、第2の状態の測定されたパリティーと第1の状態の測定されたパリティーの比較の結果に基づいて選択される。

Description

関連出願についての相互参照
本願は、2015年12月4日に出願され、その全体において参照により本明細書に援用される、発明の名称「Quantum Error Correction Codes for Bosonic Modes」の米国仮特許出願第62/263,473号の優先権を主張する。

連邦政府により支援される研究開発に関する陳述
本発明は、米国科学財団により授与された1122492および1301798、米国空軍科学研究局により授与されたFA9550-14-1-0052およびFA9550-15-1-0015、ならびに米国陸軍研究局により授与されたW911NF-14-1-0011およびW911NF-14-1-0563の下、政府の支援によりなされた。政府は本発明に一定の権利を有する。

背景
量子情報処理技術は、1つ以上の量子対象を操作することによりコンピューター計算(computation)を行う。これらの技術はしばしば、「量子コンピューター計算」と称される。コンピューター計算を行うために、量子情報処理装置は、情報を信頼性高く記憶しかつ引き出す(retrieve)ために量子対象を利用する。いくつかの量子情報処理アプローチによって、量子ビットまたは「キュービット」と称される、古典的コンピューター計算「ビット」(1または0に等しい)に対する量子アナログが開発された。キュービットは、(1状態および0状態と考えられ得る)2つの異なる状態を有する任意の量子系で構成され得るが、該系は量子重ね合わせに配置され得、それにより一度にこれらの状態の両方に存在し得るという特別な性質も有する。

いくつかの異なる種類のキュービットは、実験室において成功裡に実証されている。しかしながら、量子状態のデコヒーレンスまたは他の量子ノイズにより情報が消失する以前のこれらの系の多くの状態の寿命は、現在約100μsである。より長い寿命にもかかわらず、信頼性のある記憶および量子系に記憶された情報の信頼性のある引き出しを可能にする量子コンピューター計算における誤り訂正技術を提供することが重要であり得る。しかしながら、誤り訂正のためにビットがコピーされ得る古典的コンピューター計算系とは異なり、量子系の未知の状態を複製することは可能でないことがあり得る。しかしながら、該系は、他の量子系ともつれ得、該系はいくつかのもつれた対象を超えて該系中の情報を効率的に広げる。

要約
いくつかの局面は、量子力学振動子に分散的にカップリングされる物理的キュービットを含む回路量子電磁力学系を操作する方法に関し、該方法は、量子力学振動子の第1の状態のパリティーを測定する工程；第1の状態のパリティーの測定後、量子力学振動子の第2の状態のパリティーを測定する工程、ここで該第2の状態は第1の状態とは異なる；量子力学振動子に第1の駆動波形を適用する工程；および第1の駆動波形の適用と同時に、物理的キュービットに第2の駆動波形を適用する工程を含み、該第1の駆動波形および第2の駆動波形は、少なくとも部分的に、測定された第2の状態のパリティーと測定された第1の状態のパリティーの比較の結果に基づいて選択され、第1の駆動波形および第2の駆動波形の適用は、少なくとも部分的に、量子力学振動子を第2の状態から第1の状態に戻す遷移をさせる。

いくつかの態様によると、該第1の状態および第2の状態は同じ複数の光子数状態の重ね合わせであり、該第1の状態および第2の状態は異なる振幅を有する。

いくつかの態様によると、該第1の駆動波形および第2の駆動波形は第1の状態のパリティーの測定と第2の状態のパリティーの測定の間の持続時間に基づいて構成される。

いくつかの態様によると、第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程は、それぞれ光子数パリティーモジュロ2を測定する工程を含む。

いくつかの態様によると、第1の状態は複数の光子数状態の重ね合わせである。

いくつかの態様によると、第1の状態は、等しい平均光子数を有する2つの状態の重ね合わせである。

いくつかの態様によると、第1の状態は、

(式中、NおよびSは正の整数であり、|n>はn個の光子を有する光子数状態を表す)
により与えられる

の重ね合わせである。

いくつかの態様によると、該第1の状態は、それぞれ第1の平均光子数を有する2つの状態の重ね合わせであり、該第2の状態は、それぞれ、第1の平均光子数とは異なる第2の平均光子数を有する2つの状態の重ね合わせである。

いくつかの態様によると、該第1の駆動波形および第2の駆動波形は、

の値に基づいて構成される。

いくつかの態様によると、該第1の駆動波形および第2の駆動波形は、複数の以前に決定された駆動波形を記憶するコンピューター読み取り可能媒体から選択される。

いくつかの態様によると、第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程は、それぞれ光子数パリティーモジュロNを測定する工程を含み、Nは2よりも大きい整数である。

いくつかの態様によると、該第2の状態から第1の状態に戻す量子力学振動子の遷移は、量子力学振動子の基底状態を通過しない。

いくつかの態様によると、量子力学振動子はマイクロ波空洞である。

いくつかの態様によると、物理的キュービットはトランスモンキュービットである。

いくつかの局面は、量子力学振動子に分散的にカップリングされる物理的キュービットを含む回路量子電磁力学系；複数の駆動波形を記憶する少なくとも1つのコンピューター読み取り可能媒体；量子力学振動子の第1の状態のパリティーを測定し、第1の状態のパリティーの測定後に、量子力学振動子の第2の状態のパリティーを測定し、少なくとも部分的に、測定された第2の状態のパリティーと測定された第1の状態のパリティーの比較の結果に基づいて、記憶された複数の駆動波形から第1の駆動波形および第2の駆動波形を選択するように構成される少なくとも1つの制御器、ここで第2の状態は第1の状態とは異なる；ならびに量子力学振動子に第1の駆動波形を適用し、かつ第1の駆動波形の適用と同時に物理的キュービットに第2の駆動波形を適用するように構成される少なくとも1つの電磁放射線源を含む、系に関する。

いくつかの態様によると、該第1の駆動波形および第2の駆動波形は第1の状態のパリティーの測定と第2の状態のパリティーの測定の間の持続時間に基づいて構成される。

いくつかの態様によると、第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程は、それぞれ光子数パリティーモジュロ2を測定する工程を含む。

いくつかの態様によると、第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程は、それぞれ光子数パリティーモジュロNを測定する工程を含み、Nは2よりも大きい整数である。

いくつかの態様によると、該第1の駆動波形および第2の駆動波形の適用は、量子力学振動子の基底状態を通過することなく量子力学振動子を該第2の状態から第1の状態に戻す遷移をさせるように構成される。

いくつかの態様によると、量子力学振動子はマイクロ波空洞である。

いくつかの態様によると、物理的キュービットはトランスモンキュービットである。

前述の装置および方法の態様は、先に記載されたかまたは以下により詳細に記載される局面、特徴および行為の任意の適切な組合せにより実施され得る。本教示のこれらのおよび他の局面、態様および特徴は、添付の図面と関連して、以下の説明からより十分に理解され得る。

以下の図面を参照して、種々の局面および態様を説明する。図は必ずしも一定の比例で描かれていないことが理解されるべきである。図面において、種々の図に図示されるそれぞれの同じであるかまたはほぼ同じである構成要素は、同様の番号で示される。明確化のために、全ての図において、全てではないがの構成要素に符号が付されることがある。
図1A〜1Bは、いくつかの態様による、ボソン系(bosonic system)における多準位量子系の状態のエンコーディングを例示する。 図2は、本願の局面を実施するために適した例示的な系を示す。 図3は、いくつかの態様による、ボソン系において生じる誤りを訂正する方法のフローチャートである。 図4は、いくつかの態様による、ボソン系において生じる誤りの3つの種類の1つを訂正する方法のフローチャートである。 図5は、いくつかの態様による、回路量子電磁力学系のブロック図である。 図6は、いくつかの態様による、二項量子誤り訂正コードの2パラメーター(N、S)空間を例示する。 図7は、いくつかの態様による、二項量子誤り訂正コードについてのもつれ非忠実度(entanglement infidelity)の割合を例示する。 図8Aは、例示的回路QED系の略図である。図8Bは、二項量子状態のエンコーディングおよび量子誤り訂正を利用する、図8Aに示される系についての量子状態遷移シナリオの概略図である。 図9は、2モードコードを実行するために適した単一キュービット、2空洞系のブロック図である。

詳細な説明
本願は、1つ以上のボソンモード(bosonic mode)を示す量子系の状態における誤りを訂正するための向上した量子誤り訂正技術に関する。この文脈における「誤り」は、例えばボソン消失、ボソン獲得、位相散逸(dephasing)、系の時間進展(time evolution)等により引き起こされ得、系の状態を変化させ、その結果系に記憶される情報が変化する量子系の状態の変化をいう。

上述のように、キュービットなどの量子多準位系は、現在の実験的実践に基づいて、約100μsでデコヒーレンスする(decohere)量子状態を示す。実験的技術は疑いなくこれを改善し、より長いデコヒーレンス時間を有するキュービットを生じるが、多準位系を、さらにより長いデコヒーレンス時間を示す別の系にカップリングすることが有益であり得る。以下に記載されるように、ボソンモードは、多準位系へのカップリングに特に望ましい。このカップリングにより、多準位系の状態は、代わりにボソンモード(1つまたは複数)により表され得、それにより、他の場合において多準位系単独で存在するよりもさらに長い寿命の状態で同じ情報が維持される。

それにもかかわらず、ボソンモードに記憶される量子情報は、依然として限られた寿命を有し得るので、ボソン系内で誤りは依然として生じる。そのため、その状態で誤りが生じる場合に、これらの誤りを効率的に訂正し、それにより系の以前の状態を回復するようにボソン系を操作することが望ましくあり得る。広い種類の誤りが訂正され得る場合には、生じ得る任意の種類の誤りを訂正することにより、無期限に(または少なくとも長い時間の期間)ボソン系の状態を維持することが可能であり得る。

空洞量子電磁力学(空洞QED)および回路QEDの分野は、量子誤り訂正を実行するための1つの例示的な実験アプローチを提示する。これらのアプローチにおいて、1つ以上のキュービット系はそれぞれ、キュービット(1つまたは複数)に含まれる量子情報の共振器(1つまたは複数)へのおよび/または共振器(1つまたは複数)からのマッピングを可能にするような方法で共振器空洞にカップリングされる。共振器(1つまたは複数)は一般的にキュービット(1つまたは複数)よりも長い安定な寿命を有する。その後、量子状態は、それぞれの共振器からキュービットへと戻すように状態をマッピングすることにより、キュービット内で引き出され得る。

キュービットなどの多準位系が、それがカップリングされるボソン系の状態にマッピングされる場合、ボソン系においてキュービット状態をエンコーディングするための特定の方法が選択されなければならない。エンコーディングのこの選択はしばしば単に「コード」と称される。

一例として、コードは、共振器のゼロボソン数状態を使用してキュービットの基底状態を示し得、共振器の1ボソン数状態を使用してキュービットの励起状態を示し得る。すなわち、

であり、式中、|g>はキュービットの基底状態であり、|e>はキュービットの励起状態であり、αおよびβは状態|g>または|e>のそれぞれにあるキュービットの確率振幅を示す複素数であり、|0>および|1>はそれぞれ、共振器のゼロボソン数状態および1ボソン数状態である。これは好ましくは有効な(valid)コードであるが、ボソン消失などの多くの誤りに対して強くない(gail tp robust)。すなわち、ボソン消失が起こる場合、ボソン消失の前の共振器の状態はこのコードでは回復可能ではないことがある。

コードの使用は、より一般的に：

と記載することができ、式中、

は論理コードワード(または単に「コードワード」)という。そのため、コードの選択、道義的にボソン系の状態において2準位系(例えばキュービット)の状態をどのようにエンコーディングするかの選択は、

についての値を選択することを含む。図1A〜1Bは、

のいくつかの選択についてのエンコーディングするこのプロセスを図解で示す。

誤りが起こる場合、系の状態は生じる状態の重ね合わせに変換し、ここで用語「誤りワード」

は以下：

のとおりであり、式中、添え字kは、生じた特定の誤りをいう。上述のように、誤りの例としては、ボソン消失、ボソン獲得、位相散逸、振幅減衰等が挙げられる。

一般的に、コードの選択は、系が誤りに対してどの程度強いかに影響する。すなわち、使用されるコードは、誤りが生じる際に以前の状態がどの程度忠実に回復され得るかを決定する。所望のコードは、いずれかの誤りが生じて論理コードワードの任意の量子重ね合わせが忠実に回復され得る場合に情報が消失しない広い種類の誤りに関連する。いくつかのコードは特定の誤りに対して強いが、物理的系において実現するには実際的ではないことがある。

本発明者らは、ボソン獲得、ボソン消失、位相散逸および振幅減衰などのボソン系において生じ得る広く多数の誤りに対して保護し、実験的に実現され得るコードの種類を認識し、理解している。以下に記載されるように、コードの種類は二項分布により説明され得るので、この種類のコードは本明細書において「二項コード」と称される。本発明者らは、この種類のコードを利用してボソン系において状態を記憶する際に誤りを訂正するための技術を開発した。特に、本発明者らは、検出された誤りに基づいて、ボソン系に適用され得るユニタリー操作を開発した。さらに、本発明者らは、空洞共振器などのボソン系にエネルギーが適用されて上述のユニタリー操作を実施し得る実験的な構成を認識し、理解している。

いくつかの態様によると、二項コードは、単一モードボソン系の状態を構成するために使用され得る。本明細書に記載される技術を適用するために単一ボソンモードが均等間隔のコヒーレント状態を示し得るようなボソン系が特に望ましい系であり得る。例えば、共振器空洞は、均等間隔の準位間隔を有する単純な調和振動子である。量子メモリのためもしくは従来のキュービットと相互作用するためにボソンモードが静止し得るか、または量子通信のためにボソンモードが伝播(「フライング(flying)」)中であり得る(例えばボソンモードが捕捉され得、共振器から放出され得る)量子通信についても、ボソンモードは有用である。特に、単一ボソンモードは、多ボソンモードにより生成される状態よりも低い平均ボソン数を有する状態を可能にし得る。ボソン消失率は平均ボソン数に比例する傾向があるので、単一ボソンモードは一般的に多ボソンモードよりも低い誤り率を有する。さらに、単一ボソンモードの誤り訂正は、そうでなければ多ボソンモードに必要であるモード-対-モードもつれ操作を必要としない。本明細書に記載される二項コードは、以下に記載されるように、コードワードを表すために単一ボソンモードのボソン数状態を利用する。

いくつかの態様によると、ボソン系は、量子メモリデバイスとして機能するために二項コードと関連して使用され得る。キュービットなどの多準位系は、上述のように、短時間の尺度でデコヒーレンスする状態において1つ以上の量子ビットを記憶し得る。選択された二項コードによりエンコーディングされるボソン系においてこの状態が代わりに記憶され得る。典型的に、多準位系により示されるものよりも長い時間の尺度であるがこの系もデコヒーレンスする。二項コードは、ボソン系の状態が維持され得るように、生じる誤りの完全なまたはほぼ完全な程度までの訂正を可能にし得る。この様式において、ボソン系は、多準位系に元々記憶されていた量子ビット(1つまたは複数)に関して量子メモリとして働く。所望の場合、ボソン系の状態は、その後多準位系に戻すように遷移され得る。

いくつかの態様によると、誤りが生じた際にボソン系をモニタリングして検出するための検出器が構成され得る。かかる検出器は、任意の誤りが生じたかどうかを検出することができ、どのような種類の誤りが生じたかも検出し得る一方でボソン系の状態を保存するということが本明細書に記載される二項コードの特徴である。この種類の測定はしばしば量子非破壊測定(quantum nondemolition measurement) (QND)と称される。全てのコードがこの特徴を示すわけではないが、いくつかのコードについて、誤りの検出は、2つのコードワードのうちのどちらがよりありそうな系の状態であるかという情報を生じ得る(所定のコードは2つの選択されたコードワードの量子重ね合わせにおいて状態を記憶することを思い出すこと)。測定の結果としてのこの情報の持ち去り(carry away)は、量子系の状態の変化を引き起こす。

対照的に、本明細書に記載される二項コードは、広い種類の誤りの検出を提供し、ここでそれぞれの場合において、検出は、系の状態のボソン数を変化させない。しかしながらボソン系の測定が誤りを検出しない場合、この操作のバックアクション(backaction)はボソンモードの振幅減衰を引き起こす。振幅減衰はボソン系のボソン数を変化させないが、異なるボソン数のそれぞれを測定する確率を変化させる。しかしながら、本明細書に記載される二項コードは、振幅減衰から回復するために、ボソン系へのエネルギーの再ポンピングのための明示の構造を提供する。したがって、誤りが検出されようがされまいが、二項コードに関連して本明細書に記載される技術は、振幅減衰効果を打ち消すためのユニタリー操作の適用により、ボソン系の状態の維持を可能にする。

二項コードの1つを使用して誤りを訂正する例示的な例は有益であり得る。二項コードの1つは、以下のコードワード：

を使用する(すなわち、ボソン系は、図1A〜1Bに示されるような2つのコードワード状態の重ね合わせにおいてエンコーディングされる)。

コードワードのこのペアについて、それぞれの状態に関して平均ボソン数

であることに注意。したがって、ボソンの消失または獲得は、(例えば)2つのコードワード状態のうちのいずれから光子が生じたかという情報を生じない。これはボソン消失または獲得の検出の際にボソン系の数状態を保存する。

このボソン系が(例えばエネルギー消失のために)ボソンを消失する場合は以下のように変換され：

この変換について考える1つの方法は、系が、|0>と|4>の重ね合わせである

状態にある場合、消失したボソンは明確に、基底状態ではなく|4>状態から生じたに違いないということである。このように、生じる状態は|3>状態である。同様に、系が、|2>状態である

状態にある場合、ボソン消失後に生じる状態は|1>状態である。

ボソン系が光子系である場合、光子消失を検出するための1つの方法は、光検出器を使用して、系から出た光子を検出することである。しかしながら多くの実験的構成において、これは実行することが困難または非現実的であり得る。したがって、ボソン消失を検出するための別の方法は、パリティー(奇または偶のボソン数状態)を調べることである。両方のコードワードのボソン数状態の全てが偶のパリティー状態であるので、誤りの前には、これらのコードワード状態は偶のパリティーを生じる。ボソン消失後、両方が奇のパリティーを有するので、誤りワード状態の特定の重ね合わせに関係なく、パリティーは奇である。これは、持ち去られる情報はボソンが消失したということであるが、この情報はコードワード状態のうちいずれに系があるかについての任意の情報を含むことなく提供されるので、上述のような系のボソン数状態を変化させることのない測定の一例である。

一旦ボソン消失が検出されると、以下の変換：

を実行するユニタリー操作を適用することにより、系は以前の状態に駆動され得る。

系の量子状態に対してユニバーサル制御を有するように構成される系は、その例が以下に記載され、この種類の状態変換を実行するように操作され得る。二項コードがこの種類の訂正を可能にする一つの理由は、二項コードについての誤りワード(例えば、上述の例における|3>および|1>)が直交しているためである。そのため、条件付きユニタリー操作は、誤りワード状態のうちいずれに系があったかに関係なく、誤りワード状態を、対応するコードワード状態に変換するように適用され得る。

図2は、本願の局面の実施に適切な例示的な系を示す。系200において、キュービット210は、カップリング215を介して共振器220にカップリングされる。共振器は、エネルギーを消失または獲得(例えばボソンを消失または獲得)し得るか、位相散逸し得るものなどであり、該プロセスにおいて、図に示されるようにエネルギーを獲得または消失し得る。エネルギー源230は、共振器にキュービットの状態をエンコードする、キュービットに共振器の状態をエンコードする、共振器にユニタリー操作を適用する(例えば、共振器中で検出される誤りを訂正するため)、キュービットにユニタリー操作を適用する、またはそれらの組合せなどの操作を系に対して実行するために、キュービット210および共振器220の一方または両方にエネルギーを供給し得る。

ボソン系にカップリングされた任意の多準位量子系が上述のような二項コードと共に利用され得るが、キュービットが共振器にカップリングされる1つの例示的な系として系200が提供されることが理解されよう。共振器のモードは、この例においてはボソンモードを提供する。

系200も、共振器220中の誤りの出現を検出するために操作され得る検出器240を含む。かかる検出器を操作するために、共振器からのエネルギーの獲得および/または消失を測定し得、キュービット210と相互作用し得(例えば、キュービットに1つ以上のユニタリー操作を適用し得、および/またはキュービットの状態を測定し得る)、および/または共振器220と相互作用し得(例えば、共振器に1つ以上のユニタリー操作を適用し得、および/または共振器の状態を測定し得る)いくつかの適切なアプローチを使用し得る。かかる操作の任意の組合せにより、共振器220において誤りが生じたかどうかを決定するために、キュービット-共振器系について充分な情報を入手し得る。いくつかの態様において、検出器240は、エネルギー源230からのエネルギーの適用により、キュービット210および/または共振器220に1つ以上のユニタリー操作を適用する。

いくつかの態様によると、検出器240は、光検出器、または共振器220への粒子の進入および/または該共振器220からの粒子の排出を検出するように構成された他の粒子検出器を含む。いくつかの態様によると、検出器240は、共振器の状態のパリティーmod 2、パリティーmod 3、パリティーmod N等の1つ以上を測定するための一連の操作を実行し得る。下記のように、かかる測定は、ボソンの消失または獲得が生じたかどうかを示し得る。キュービット-共振器系においてパリティー測定を実行するための例示的な技術を、例えば、2016年7月22日に出願され、その全体において参照により本明細書に援用される発明の名称「Techniques of Oscillator State Manipulation for Quantum Information Processing and Related Systems and Methods」、国際特許出願PCT/US2016/043514に記載する。

キュービット210は、例えば限定されないが、荷電キュービット(クーパー対ボックス)、フラックスキュービットもしくは位相キュービット、またはそれらの組合せなどの超伝導ジョセフソン接合に基づくものなどの、2つの異なる状態を有する任意の適切な量子系を含み得る。キュービット210は、キュービットの状態と共振器の状態をカップリングするカップリング215を介して共振器220にカップリングされ得る。共振器220は、任意の電磁的、力学的、磁気的(例えば、マグノンとしても知られる量子化スピン波)、および/または限定されないが任意の空洞共振器(例えばマクロ波共振器)などの他の技術を使用して実施され得る1つ以上のボソンモードを支持する任意の共振器を含み得る。いくつかの態様によると、共振器220は、伝送路共振器であり得る。

例示的な態様として、キュービット210は、中心導体および空洞内にトラップされた光子の波長に基づいて選択される長さにより分離される該導体の両方の面上の接地面を含む、超伝導伝送路空洞(共振器220の一例)にカップリングされる荷電キュービットであり得る。例えば、共振器の長さは、かかる波長の1/2の倍数であり得る。伝送路の長さも、伝送路の所望のインピーダンス(impedence)に基づいて選択され得る。いくつかの態様によると、伝送路は、1μm〜100μm、例えば5μm〜50μm、例えば10μmの長さを有し得る。いくつかの態様によると、伝送路は、5mm〜50mm、例えば10mm〜30mm、例えば25mmの長さを有し得る。キュービットは、キュービットの状態への調整が、共振器の状態における調整を生じるように伝送路内の電場と相互作用し得る。

カップリング215は、キュービットおよび共振器により発生される電場および/または磁場をカップリングすることによるなどして、キュービットと共振器をカップリングするために、任意の技術(1つまたは複数)を利用し得る。いくつかの態様によると、キュービットおよび共振器はカップリング215を介して分散的にカップリングされ得る。いくつかの態様によると、キュービット(例えば、トランスモン)は、圧電性カップリングを介して機械的(mechanical)共振器である共振器にカップリングされ得る。いくつかの態様によると、キュービットはキュービット(例えば、トランスモン)をフォノンにカップリングして、フォノンを、磁気ひずみカップリングを介してマグノンにカップリングさせることにより、磁気共振器である共振器にカップリングされ得る。

図2の系は、少なくとも以下の2つの使用事例のシナリオにおいて使用され得る。第1に、共振器220は、キュービット210の状態を記憶するためのメモリーとして使用され得る。共振器の状態は、本明細書に記載される技術を使用して誤り訂正され得る。続いて、該状態は、キュービット210および/または任意の他のキュービットにマッピングされ得る。第2に、共振器220は、キュービット210の状態を、伝送路に沿って別のキュービットに、および/または別の共振器に伝送するための伝送媒体として使用され得る。伝送の際の共振器の状態は、以下に記載される技術を使用して誤り訂正され得る。続いて、該状態は伝送の標的にマッピングされ得る。これらの使用事例のそれぞれにおいて、および系200の任意の他の適切な使用において、状態は、二項コードの1つを使用して共振器220内に表示され得る。さらに、エネルギー源230は、以下にさらに詳細に記載されるように、選択された二項コードに基づいて誤りを訂正するために、キュービットおよび/または共振器にエネルギーを適用し得る。

上述のように、量子誤り訂正は、論理コードワードを選択することを含み、論理コードワードを用いて、キュービットの状態などの状態を示す。これらのコードワードは、調和振動子の空間などの大きなヒルベルト空間に埋め込まれる状態であるので、単一の独立した誤りのいずれか1つ：

が生じ、論理コードワード

の任意の量子重ね合わせが忠実に回復され得る場合に情報は消失しない。これは、量子誤り訂正基準を満たす2つの論理コードワードの発見と同等であり、該基準は、α_lkは、エルミートマトリックスの成分(entry)であり、論理ワードから独立しているような全ての

(式中、εは、コードについての訂正可能な誤り(erro)の組である)についてのKnill-Laflamme条件：

としても公知である。対角成分α_kkは誤り

の確率である。論理コードワードからの成分α_klの独立および非対角成分の構造は、異なる誤りを区別可能かつ訂正可能にする。

二項コードの構造は、以下の付表Aにさらに詳細に展開され記載される。系200において、二項コードは、キュービット210の状態に基づいて共振器220の状態をエンコードするために使用され得る。ユニバーサル制御のための技術は、図1A〜1Bに示されるように、キュービットに存在する基底状態および励起状態の重ね合わせに基づいて共振器におけるコードワード状態の重ね合わせを作成するために適用され得る。例えば、先に参照される国際特許出願PCT/US2016/043514に記載される技術は、系200においてキュービットの状態を共振器の状態にエンコードするために適した技術を説明する。上述のように、一般に、かかる技術は、一連の工程においてエネルギーを適用するためのエネルギー源230を操作することを含み得、ここで各工程は、キュービット210への、共振器220への、またはキュービットと共振器の両方への同時のエネルギーの適用を含む。

例えば、キュービット状態の共振器状態へのエンコーディングは、図1A〜1Bに示されるように、以下のように達成され得る。図1Aに示され、該共振器が基底状態(ゼロボソン)である状態から開始して、駆動パルスはキュービット210および共振器220に同時に適用され、最終的にキュービットを基底状態に戻しながらボソンモードを励起する。キュービット210が最初に基底状態|g>にある場合、駆動パルスはボソンモード220を状態

に励起するが、最終的にキュービット210をその基底状態に戻す。キュービット210が最初に励起状態|e>にある場合、駆動パルスは、キュービット210をその基底状態|g>に戻すように駆動しながら、ボソンモードを状態

に励起する。すなわち、ボソンモード220の最終状態は、キュービット210の初期状態に対して条件づけられる。別の言い方をすれば、これらの駆動パルスは、ユニタリー状態遷移操作：

を実行し、ここで、ユニタリー操作の残りの項

は、特定のユニタリー状態遷移操作とは関係ない。

を選択する自由は、状態遷移操作の忠実度を最適化するように適用された駆動パルスを変化させるために使用され得る。

いくつかの態様によると、二項コードは、2つの連続量子訂正段階の間の時間間隔dtにおいて生じるLボソン消失事象までに対して保護し得る。別個の誤り

「1」は恒等演算子であり誤りがないことを示す)の組を考える。

ボソン消失誤りに対する保護は最初に議論されるが、これは、ボソン獲得

、位相散逸誤り

および振幅減衰に対しても保護するように設計されるコードにまで、以下に一般化される。本明細書において使用される場合、特定の誤りに対して「保護する」コードは、コードが、誤りが生じる場合に1つ以上のユニタリー操作により以前の状態が回復可能であるようなことを意味する。

上述のように、

(誤りがないかまたは単一ボソンの消失のいずれか)に対して保護するコードの一例は、

である。

ボソン消失誤りは、論理コードワード

を、論理コードワードの偶パリティー部分空間(subspace)と共通の要素を持たない(disjoint)離れた奇数ボソン数を有する部分空間に導くので、(式5)におけるQECマトリックスαの非対角部分は同様にゼロである。αの残りの対角部分は、平均ボソン数が状態の両方について同一であることを示し、ここで

は、ボソンジャンプが起こるかまたは起こらない確率が状態の両方について等しくなることを意味し、量子状態が誤りの下で変形しないことを示唆する。明確に、量子状態

がボソンジャンプを被る場合に、該状態は

に変換され、ここで誤りワードは

であり、

はそれぞれ、生成および消滅演算子である。

に対して保護するコードの例は、

である。

このコードについて、同じ平均ボソン数を有するコードワードに加えて、誤りワード

は同じ平均ボソン数を有する。対照的に、(式6)のコードは、同じ平均ボソン数を有するコードワードを有するが、ボソンの消失の際に、誤りワードは異なる平均ボソン数を有する。これを考慮すると、(式7)のコードは、別のボソン消失誤りを許容し得、保護された誤りセットは、

である。この場合について、ボソン消失誤りは、ボソン数mod 3を測定することにより検出され得る。誤り回復手順は上述のものと同様であり、誤り検出には、状態遷移

を実行するユニタリー操作が続く。付表Aに示されるように、任意の自由裁量の数のボソン消失誤りLに対して保護するコードのファミリーが開発され得る。

系200において、起こり得る別の誤りは、共振器の周波数揺らぎ(例えば、カップリングしたキュービット201の遷移により生じるボソン数

にカップリングするノイズ)による共振器202の位相散逸である。本発明者らは、(式7)のコードも位相散逸誤り

に対しても保護するものであるので、十分な(full)誤りセットは

であることを認識している。位相散逸誤りはボソン数を変化させないので、該誤りは、誤り状態

を導き、これは、位相散逸

に関連する元のワードと誤りワードの重ね合わせである。位相散逸誤りを検出するための1つの方法は、論理ワード基底

に、射影測定(projective measurement)を生じるユニタリー操作を適用することであり、その回答がネガティブである場合(およびボソン消失誤りが検出されなかった場合)に位相散逸が検出される。次いで、状態遷移

を実行するユニタリー操作を行うことにより、元の状態を回復し得る。

ボソン追加誤りおよび2つのボソン消失誤りがボソン数mod 3において同じ変化を有し、論理コードワードがボソン獲得誤りについてのQEC条件：

に既に従っているので、(式7)のコードが代わりに選択されて、誤り

(=誤りがない、単一ボソン消失、単一ボソン獲得、位相散逸)に対して保護し得る。特殊な場合として、コード(式7)と同じフォック状態係数であるが、コード(式6)の間隔を有するもの(the same Fock state coefficients as with the code (Eqn. 7) but with spacing of the code (Eqn. 6))：

によって達成される

のみに対してを保護することを選択し得る：

コードが保護する誤りの種類が広範であるほど誤り率が大きくなり、コードがより高いフォック状態を含むにつれて該種類はより広範になり、より高いフォック状態はより多くの誤りを生じることが注意され得る。

上述のコードは、Lボソン消失まで；Gボソン獲得誤りまで；およびD位相散逸事象までを含む誤りセット：

に対して保護するように一般化され得る。

本発明者らは、この誤りセットから生じる誤りを訂正し得るコードの種類は、

であり、式中、

であることを認識している。例えば、L=1、G=0およびD=0の値を有する式11は、式6のコードワードを生じる。状態振幅は二項係数を含む(間隔Sから独立することに注意すべきである)ので、これらのコードは本明細書において「二項コード」と称されている。式11の2パラメーター(N、S)コード空間を図6に示す。本明細書に記載される誤り訂正技術を適用するために、2準位系をエンコードする状態を有するボソン系は、2準位系を記述するために式10により与えられるコードワードの任意のペア(すなわち、L、GおよびDの値の任意の組合せについて)を使用し得、すなわちボソン系は、状態

を有し得、ここで

は、L、GおよびDの値のいくつかの組合せについて式11により与えられる。

二項コードは、限られたヒルベルト空間内で作動し、誤り診断および回復に必要とされるユニタリー演算子の実践的構築のために有益であり得ることが注意される。これは特に、

演算子を含む誤りに適用され得、従来のコードにおけるその操作は、

演算子単独よりも簡単(straightforward)でないことがある。

式11は、2準位系(例えばキュービット)を表すために用いられるコードの種類を表すが、本発明者らはまた、d-準位系(いわゆる「量子ディジット」または「キューディット」)を表すために使用され得、そのためにd論理コードワードを有するコードを開発した。 これらのコードは、二項係数よりも多項係数を利用し、付表Aに記載される。

図2に戻り、二項コードの上述の種類から選択されるコードは、共振器220におけるキュービット210の状態を表すために使用され得る。共振器において一旦誤りが起こると、誤りが検出され得、誤りを訂正するための操作が実行され得る。誤り訂正プロセスは、図3に関して以下に詳細に記載される。

図3は、いくつかの態様による、ボソン系内で生じる誤りを訂正する方法のフローチャートである。図3は、例えば図2に示される系200内で実行され得る。方法300は、ボソン系の誤り徴候(syndrome)を測定する工程、および測定された誤り徴候に基づいて訂正を実行する工程を含む。方法300はまた、ボソンモードの状態が、カップリングされた多準位系に基づいてエンコードされる任意の最初の工程を含む。

方法300は、任意に、多準位系の状態がボソンモードの状態にエンコードされる行為302で始まり得る。多準位系がキュービットである場合において、このエンコーディングは、ボソンモードにおいてキュービットの状態を表すための上述の二項コードから選択される任意のコードを利用し得る。代替的に、多準位系がキューディットである場合、このエンコーディングは、ボソンモードにおいてキュービットの状態を表すために、付表Aに記載される多項コードから選択される任意のコードを利用し得る。任意の適切な技術は、ボソンモードにおいて多準位系の状態をエンコードするために適用され得、その例を以下に記載する。

代替的に、方法300は、行為304で始まり得、この行為304においてボソンモードは二項コードの種類または多項コードの種類から選択されるコードワードのペアの重ね合わせである状態を用いて以前に構成されている。したがって、方法300が行為304の前に任意のエンコーディング行為302を含むかどうかに関係なく、ボソンモードは、二項コードの種類または多項コードの種類から選択されるコードワードのペアの重ね合わせである状態にある。例えば、方法300のボソンモードが2準位系を表す場合、ボソンモードは、式11により示されるコードワードのペアの1つの重ね合わせである状態を有する。

行為304において、ボソンモードの誤り徴候が測定される。本明細書で使用する場合、「誤り徴候」は、特定の誤り(または特定の誤りの群の1つ)が生じたことを示す測定値ををいう。上述の誤り徴候の一例は、ボソンモードのボソン数状態のパリティー(またはパリティーmod 3、パリティーmod 4等)に変化があることを示す測定値である。別の誤り徴候は、位相散逸が起こったことを示す測定値である(この種類の測定値の例は上述される)。別の誤り徴候は、誤りが起こらなかったことを示す測定値である。ボソンモードを測定する行為はモードの振幅減衰を引き起こし得るので、誤りが起こらなかったことを示す測定値は、それにもかかわらずこの測定に基づく行為を引き起こし得、それにより「誤りがない」ことも誤り徴候とみなされる。

いくつかの態様によると、行為304においてボソン消失または獲得誤りを検出することは、ボソンモードに直接および/またはボソンモードがカップリングされる別の系にエネルギーを適用する一連の操作を含み得る。例えば、キュービットへの強力な分散的カップリングを有し、分散的カップリングの強度がキュービットおよび共振器の減衰速度よりも強力である共振器(例えば、マイクロ波空洞)を含む系において、キュービットは、共振器の所定のボソン数状態に対し条件づけられて駆動され得る。キュービットに適用される電磁パルスは、例えば、キュービットが、共振器のボソン数状態に応じたパルスの適用後に特定の状態であるように選択され得る。次いで、キュービットの測定は、カップリングされた共振器のパリティーを示す。いくつかの態様によると、ボソン数mod(S+1)の測定は、2準位キュービットのS個の連続測定を実行することを含む。

いくつかの態様によると、行為304における位相散逸誤りの検出は、射影測定(projective measurements)

によりなされ得る。ここで、

は、直交条件：

を満たす、

の線形結合である。ボソン獲得または消失誤りの検出と同様に、位相散逸誤りの検出は、ボソンモードに直接および/またはボソンモードがカップリングされる別の系にエネルギーを適用する一連の操作を含み得る。

例えば、キュービットへの強力な分散的カップリングを有する共振器(例えば、マイクロ波空洞)を含む系において、共振器およびキュービットに適用される電磁パルスは、パルス(1つまたは複数)の適用後、キュービットが、いくつかのdについて

により張られる部分空間にある共振器に応じて特定の状態になるように選択され得る。次いで、キュービットの測定値は、振動子が、

により張られる部分空間にあるかどうかを示す。振動子がこの部分空間にあることが見出される場合、(例えば、前もってコンピュータ計算され得る)1つ以上の電磁パルスは、

へのユニタリー状態変換を実行するために、系に適用され得る。

いくつかの態様によると、

の測定は、2準位キュービットのN+1個の連側測定を実行することを含み得る。

いくつかの態様によると、行為304は、本明細書において「ジャンプ誤りがない(no-jump error)」とも称される「誤りがない」ことの検出を含む。上述のように、ボソン数状態において変化がないことを観察する結果として、ボソンモードに対して生じる測定バックアクション(backaction)が存在し得る。このバックアクションは、より高いフォック状態のより低いものに対する相対的な確率を低減し、これは、誤り演算子において、形式的に要素

により表される(下記、式14参照)。この誤り徴候の訂正は以下に記載される。

行為306において、行為304において検出された誤り徴候に基づいてその状態を変換するために、1つ以上の操作がボソンモードに実行される。この変換は、測定された誤り徴候により示唆される誤りを打ち消すために、つまり系を誤り以前の状態に戻して遷移させるように試みるために構成される。全てではないがいくつかの場合において、この変換は正確であり得る。他の場合では、該変換は、系をその以前の状態に近似的に戻し得る。

いくつかの態様によると、行為306は、経時的に進展するボソンモードの分析に基づいて1つ以上の操作を適用し得る。例えば、空洞エネルギー減衰速度κを有するゼロ温度槽にカップリングされる空洞の密度マトリックス

の標準Lindblad時間進展は、(空洞周波数で進展するフレームにおいて表され)

である。

有限の時間間隔dtにおいて、連続的な時間進展は、無限の組の誤りを生じ、十分な組の誤りの正確な量子誤り訂正は可能ではない。しかしながら、誤りの確率は、κdtの累乗(power)と比例し、本発明者らは、κdtにおいて最も重要な誤りのみを訂正することを選択し得る。形式的に、本発明者らは、近似量子誤り訂正(AQEC)の分野の概念および理論を活用する。大まかにいうと、それぞれの誤り演算子は、κdtの累乗で展開され、誤りは展開の所定の最高次数まで訂正される。ある確率で生じる誤りのみをκdtにおける特定の最高次まで訂正することを選択することと一致するために、生じる元の状態の回復がκdtにおける同じ最高次により与えられる精度を有するように、近似的にのみ式5のQEC基準を満たすことで十分であり得る。

最初に、ボソン消失誤りによる振幅減衰、すなわち式12の時間進展のみを考え、その後、ボソン獲得および位相散逸のプロセスについての議論を広げる。ボソンが消失するたびにクリック(click)する光電子倍増管の測定記録に基づき、系の条件付き量子進展を考えることにより、Lindblad方程式(式12)を「解き」得る。この量子軌道図において、検出器が

をクリックする場合に、系のボソン消失ジャンプを表す式12の第1項を見る。クリック確率は

に比例するという事実を含むためにこれは標準化されない。括弧内の最後の2つの項は、ボソンが検出されない場合の虚数非エルミート行列ハミルトニアン

下での系の時間進展を表す。上述において、理想化された誤りセット

を考慮する場合、本発明者らは、単純化のために、物理的誤りプロセスの一部を無視し、つまりボソン消失ジャンプの間にこのジャンプ進展が起こらない。ファインマンの経路積分とかなり類似して、本発明者らは、時間間隔tの間の全ての可能な時間でジャンプが起こる全ての可能な軌道に対する合計に関して時間0〜tの密度マトリックスの進展：

を表し得、式中、

は、正確に

のボソン消失およびボソン消失事象の間にジャンプ進展が生じないことにより生成される時間進展を含むクラウス演算子である。時間間隔tの間の正確に

のボソンジャンプの全ての可能なジャンプ時間を積分することにより、本発明者らは、

についての分析式：

を導き得、式中、

である(付表B参照)。減衰した単純な調和振動子の顕著な特徴は、ボソンジャンプの正確なタイミングが役割を果たさないということである。これは、式14における演算子の順番の交換可能性においても見ることができる。自己カー非線形性が存在する場合、ジャンプ事項の正確なタイミングおよびそれら事項に対する正確な追跡は、位相散逸をもたらす。まとめて考えると、ボソン消失誤りを次数

まで訂正する場合、コードが保護されるべき誤りの正しい組は、非ユニタリー時間進展のジャンプおよび非ジャンプ部分の両方の寄与を含む

である。

いくつかの態様によると、行為304において測定される誤り徴候が1つ以上のボソンの消失または獲得を示す行為306において、行為306に適用される変換は、ボソンモードを、誤りワード状態の重ね合わせである状態からモードが以前に示したコードワード状態の重ね合わせまで戻す遷移に構成される(例えば式4に示される状態遷移を生じる)。

いくつかの態様によると、この変換は、訂正ユニタリー

をボソンモードに適用して、論理コードワードと誤りワードの間で状態遷移を実行することにより実行され得る。誤り

は、誤り

を回復させるために選択される回復プロセスRにより

の精度まで回復され得、ここで、

の組：

は2つの部分に分けられ、ここで

である。

回復プロセスRのクラウス演算子は、

と記載され得、ここで誤り検出は、誤り部分空間、

に射影され、訂正ユニタリー

は、論理コードワードと誤りワードの間の状態遷移を実行する。

例えば、単一のボソン消失誤りを訂正するためのユニタリー操作は、

である。

いくつかの態様によると、ボソンモードが共振器のモードである場合(例えば図2に示される共振器220)、訂正ユニタリー

は、共振器および/または共振器がカップリングしたキュービットにエネルギー(例えば時間変化電磁パルス)を供給するエネルギー源により共振器に適用され得る(例えば、図5に関して以下に記載される)。少なくともいくつかの場合において、複数の操作を実行して、訂正ユニタリー

を共振器に適用し得る。かかる操作は、エネルギー(例えば時間変化パルス)をキュービットに、共振器に、またはキュービットおよび共振器に同時に適用する1つ以上の工程を含み得る。

いくつかの態様によると、行為304において測定される誤り徴候が1つ以上の位相散逸誤りを示す行為306において、行為306に適用される変換は、誤りの部分空間と論理コードワードの間の状態遷移を実行することにより位相散逸の前の状態を回復する(例えば、式4に示される状態遷移を生じる)ように構成される。位相散逸誤りの事象において、演算子

は、状態を、式8のような論理コードワードと誤りワードの対角セットの重ね合わせにまで持っていく。この事象は診断され得、量子状態は射影測定に続く条件付きユニタリー操作により回復される。

いくつかの態様によると、行為304において測定される誤り徴候が非ジャンプ誤り徴候を示した行為306において、行為306において適用される変換は、測定がなされる前の状態に回復するように構成される。

いくつかの態様によると、行為304において測定される誤り徴候が非ジャンプ誤り徴候を示した場合(例えば、ボソン消失が検出されなかった場合)、量子状態

は、

により示される非ジャンプ進展の下で、

に変換される。式6のコードは、確率

で生じる単一ボソン消失誤りに対して保護される。したがって、いくつかの態様によると、非ジャンプ進展は、同じ精度まで決定され得：

であり、式中、

は、非ジャンプ進展に関連する誤りワードである。

は、その励起数が平均ボソン数と等しいので、非ジャンプ進展に影響を受けないことに注意。κdtにおける一次に対して、非ジャンプ進展は、部分空間

内で決定論的進展を引き起こす。ユニタリー操作

を適用することにより、元の状態はκdtにおける一次まで回復され得る。

代替的に、回復は、論理コードワードの部分空間に射影する測定により実行され得る。ボソン消失および非消失誤りの両方の検出と訂正を組み合わせることにより、全体回復プロセスは、クラウス演算子

(式中、

は、ボソン数部分空間kmod 2、すなわちパリティー部分空間に対する射影作用素(projector)である)により記述される

である。回復プロセスは、

すなわち、所望されるようなκdtにおける一次への誤りプロセスの訂正を生じる。

要するに、行為306において、上記の単一モードコードは、上述の技術を使用して、Lまでのボソン消失誤りに対して、および非ジャンプ進展に対して、次数

まで保護し得る。すなわち、コードは、同じ精度で、

に対して保護される近似量子誤り訂正コードである。物理的に、これは、最大でL回までのボソン消失誤りの観察が論理コードワード

の間の粒子数および位相に対してなんら情報を生じない場合に、≦L回の非ジャンプ誤りの観察も、情報を生じず、状態を変形させない測定バックアクションを有することを意味する。換言すると、

についてのコードは、該コードがボソンジャンプ誤りに対して保護されるよりも、同じ次数まで非ジャンプ進展に対して保護される。

図4は、いくつかの態様による、ボソン系内に生じる3種類の誤りの1つを訂正する方法のフローチャートである。方法400は、振動子にカップリングされるキュービットを含む系内で実行される方法300の特定の例である(例えば、系500は図5に関連して以下に記載される)。

行為402において、キュービットの状態は、振動子においてキュービットの状態を表すための二項コードの1つを使用して振動子にエンコードされ、その例示的な技術は上述される。行為404、406または408において、光子獲得/消失、位相散逸または非ジャンプ誤りのそれぞれであり得る誤り徴候が検出される。かかる誤りを検出するための例示的な技術は上述される。行為405、407または409のそれぞれにおいて、これらの誤りを訂正するためにキュービット-振動子系に変換が適用される。いくつかの態様において、行為405、407および/または409は、かかる訂正を実行するユニタリー操作を実行するために、キュービットおよび/または振動子への電磁パルスの適用を含み得る。例えば、図3に関連して上述されるこれらのユニタリー操作は、パルスの前記適用により実行され得る。

図5は、いくつかの態様における、回路量子電磁力学的系のブロック図である。系500は、電磁放射線源530、制御器540および記憶媒体550に加えて系501を含む。いくつかの態様において、あらかじめコンピューター計算された駆動波形のライブラリーは、コンピューター読み取り可能記憶媒体に記憶され得、前記波形を量子系に適用するためにアクセスされ得る。図5の例において、制御器540は、(例えば、制御器に提供されるユーザー入力に応答して)記憶媒体550に記憶される駆動波形552にアクセスし、駆動波形

をキュービットおよび振動子のそれぞれに適用するように電磁放射線源530を制御する。

系501は、物理的キュービット510および量子力学振動子520を含む。図5の例において、キュービットおよび振動子は分散的にカップリングされ、すなわち、キュービット-振動子離調は、キュービットと振動子の間のカップリング強度よりもかなり大きい(例えば、一桁大きい)。電磁シグナル

は物理的キュービット510に適用され得、電磁シグナル

は量子力学振動子520に適用され得る。本明細書で使用する場合、かかる電磁シグナルまたはパルスの適用はまた、キュービットおよび/または振動子の「駆動」と称され得る。

いくつかの態様によると、駆動波形

は、系500の特定の所望の状態変化のために数値的技術を介して決定され得る。特に、

を物理的キュービットおよび振動子のそれぞれに同時に適用させる適切な駆動波形が決定され得る。駆動波形

は、同じ時間の期間に適用され得る(すなわち、一緒に開始および終了し得る)か、または単に時間が部分的に重複し得る。これらの駆動波形は、系501を最初の状態から所望の最終状態へと遷移させるために前もってコンピューター計算されたライブラリー552中で記憶媒体550に記憶され得る。いくつかの態様によると、駆動波形は、上述のように、キュービット510および振動子520に適用される場合に振動子を、誤りワードの重ね合わせである状態から論理コードワード状態の重ね合わせに遷移させる波形を含み得る。例えば、駆動波形は、キュービットおよび振動子に適用される場合に、式4に示される状態遷移を生じる波形を含み得る。

図6は、二項コード(式11)の2パラメーター(N、S)標識を示す。最も大きな丸は、ボソン消失誤りL=1に対して保護されるコード(式6)を示し、大きな正方形は、

に対して保護されるコード(式7)であり、大きなひし形は、

に対して保護されるコード(式9)を示す。パラメーターS=L+Gは、消失誤りLおよび獲得誤りGの合計数を設定する。パラメーターNは、コードが、ボソン消失、獲得および位相散逸誤りに対して保護される最大次数を設定する。

「S=2N」および「S=N」と標識された直線上または直線間に示されるコードは、S=L+Gにより設定されるボソン消失および獲得誤りに対する保護を有し、さらに、該コードは、

までの位相散逸に対して保護される。「S=2N」と標識される直線の左側についてのコードは、さらに、S-2Nの修正可能でないボソン消失または獲得誤りの予告(heralding)を可能にする。「S=N」と標識される直線の右側についてのコードは、Sボソン消失および獲得誤りの合計に対して、かつ

位相散逸誤りに対して保護される。ボソン消失または獲得誤りはNをN-1に、位相散逸誤りはNをN-2に低減するので、二項コードの誤りワードはまた、妥当な論理コードワードであるがパラメーターNについて低下した値を有する。

占有されるフォック状態の間の間隔は、コードワードにおいてS+1である(式11)ことに注意。これは、全てのボソン消失および獲得誤りは、ボソン数mod S+1を測定することにより独自に区別され得ることを意味する。次いで、式5における量子誤り訂正条件は、全ての

についての

は、論理コードワードの平均ボソン数(式6)が等しいことが必要とされるように、二つの論理コードワードについて等しいことを示す。位相散逸誤りを含むことは、QECマトリックス(式11)を非対角にするが、二項係数により、次数

までの位相散逸誤り(四角の括弧が整数部分を示す)もこれらのコードにより訂正される。間隔S=L+Gは、検出可能かつ訂正可能なボソン消失および獲得誤りの最大数を設定し、L+1は、二項量子コードの距離として見られ得る。位相散逸訂正の最も高い程度は、制限なしにNにより増加し得る。二項コードは(式10)に設定される誤りに対して保護されるので該コードは小さなαについて偏位(displacement)誤り

などのこれらの重ね合わせである全ての誤りに対しても保護されることにも注意。

図7は、いくつかの態様による、二項量子誤り訂正コードについてのもつれ非忠実度の割合を示す。回復プロセスにおける第1の非忠実度を無視して、二項コードの性能を、訂正可能でない誤りの割合により推定し得る。いくつかの誤りチャンネルを含む場合、これは割合κ、κ₊およびγを有するボソン消失、ボソン獲得および位相散逸誤りであり、支配的な訂正可能でない誤りについての正確な表現はこれらの割合の相対的な比に依存する。しかしながら、ボソン消失チャンネルが優先的なものでありκ＞κ₊、γであると仮定することは物理的に妥当である。次いで、訂正可能でない誤りの割合はまた、最大の訂正可能でないボソン消失誤り割合、すなわち、dtの間にL+1のボソンを消失する誤り割合

により支配される。これは、

としてだんだん大きくなり(scale)、このことは、時間ステップdtについて、異なる二項コードの間で訂正可能でない誤り割合を最小化する有限のL、SおよびNを有する最適な二項コードが存在することを示す。

図7は、図において標識されるようにS=L=1、2、3、4および5を有する式11の二項コードについて、1/κの単位での時間ステップdtの関数としてプロットされるκの単位でのもつれ非忠実度

の割合を示す。図7の例において、完全に忠実な回復プロセスは、例示の目的のために仮定される。それぞれの軸の対数スケールに注意。図7の点線は、ナイーブエンコーディング(naive encoding)

の性能を示し、小さなdtでのもつれ非忠実度のその割合は、κ/2に近似し、

を有するボソン消失の割合に対応する。本明細書に記載される二項コードは、時間ステップがdt0.4κ^-1ではナイーブエンコーディングアプローチより優れており、L≧2を有する二項コードは時間ステップがdt0.2κ^-1では好ましくなる。もつれ非忠実度は、

として計算され得、式中、

である。もつれ非忠実度は、一般的に入力状態に依存する。しかしながら、ここで、もつれ非忠実度は、プロセスマップの

成分に等しいので、本発明者らは、入力として十分に混合された状態

を使用する。小さなdtで、

の傾きは、最大の訂正可能でない誤り

の割合の傾きと充分に一致する。

図7の例において、本発明者らは、回復プロセスの非忠実度の非存在下および小さい時間ステップdtで、最大の訂正可能でない誤り割合により十分に近似されるもつれ非忠実度の割合により、

についての二項コードの性能を説明している。平均ボソン数

は、保護されたボソン消失誤りLの数により二次式的に増加し、これは、コードワードのより速い減衰を示し、より高次の保護の利点を達成するために、チェック時間dtは、近似的に小さくなり得るので、物理的に、観察されただんだん大きくなること(scaling)が理解され得る。より小さいチェック時間についてはより大きいコードが好ましい。しかしながら、単一回復段階に関連する実験的非忠実度εは、ε/dtで誤り割合を増加させ、より長い時間ステップを有する低次の二項コードを好む(付表C参照)。コードの最適さは、実験的回復プロセスの詳細な構造にも依存し、非忠実度のいくつかは、次回の回復プロセスにより抑制される訂正可能な誤りであり得る。公知の誤り源の存在下で、誤り検出の信頼度および結果的に回復プロセスの忠実度は、量子状態フィルタリングおよび平滑化(smoothing)により、すなわち測定記録を効果的に使用することにより、向上され得る。

量子メモリおよび量子ビットの寿命の向上の他に、ボソンモード量子誤り訂正は、量子状態転送(quantum state transfer)ならびに量子ネットワークにおける2つの離れた位置または節の間の量子ビットの高忠実度もつれペアの生成からなる量子通信にも有用である。上述のように、光子または他のボソン系は、通信媒体として使用され得、ここでキュービット(または他の量子系)は、その状態をボソン系上にマッピングさせ、該ボソン系は、該状態を物理的空間を横切って伝達またはそうでなければ転送させ、かつ該状態を第2のキュービット系にマッピングする。この様式で、ボソン系は、物理的空間を横切って情報を移動させることにより、光ファイバーまたは光を利用した他の通信媒体に類似した作用をする。

本発明者らは、ここで、例示的な課題、つまり図8A〜8Bに図式化される量子状態についての「ピッチ-および-キャッチ(pitch-and-catch)」シナリオを考察する。図8Aは回路QEDハードウェア提案の略図であり、図8Bは二項量子状態のエンコーディングおよび量子誤り訂正を利用する量子状態転送シナリオの模式図である。図8A〜8Bの例において、キュービット状態を送付空洞(send cavity)にエンコーディングした後、空洞減衰を制御することにより、受信空洞に十分に吸収されるフライング、トラベリング振動子モードについて時間的モードを調整し得る。受信される空洞状態は、物理的キュービットにデコードする前に、回復プロセスを実行することにより回復され得る光子消失誤り(式14)、位相散逸および光子獲得誤りを被り得る。

図8A〜8Bの例示的シナリオは、キュービットAを基底状態および励起状態の重ね合わせ

に初期化すること、二項コードの1つを使用した送付空洞の論理コードワード

にキュービット状態をエンコード(ユニタリースワップ操作)すること、逆のプロセス(キャッチ)が最も効率的に受信空洞

に入るように、時間反転対称(symmtricd)様式(ピッチ)における空洞状態の漏れを伝送路または他の種類のフライング振動子

に入れることを含む。転送は、受信される空洞状態を、

を生じるキュービットBにデコードする(ユニタリースワップ操作)ことにより仕上げられ、これはキュービットの間のキュービット状態の転送に対応する。遠隔物理的キュービットは、第1のスワップを、物理的キュービットAと空洞の論理キュービットの間のCNOTゲートで置き換えることによりもつれ得る。

該プロセスは種々の誤りおよび転送プロセスの異なる段階での非忠実度に対して脆弱である。最も明白な不完全性は、伝送の間の、(式12〜14)と同様の、光子消失プロセスによるフライング振動子の状態の減衰である。空洞とキュービット状態の間の局所的デコーディングおよびエンコーディング操作も不完全であり得る。「ピッチ-および-キャッチ」プロセスの重要な部分は、フライング振動子の時間的モードの巧みな計画(engineering)であるので、受信空洞によるキャッチは可能な限り無反射である。反射は、さらなる光子消失プロセスとしてモデル化され得る。また、空洞は、キュービットの制御されない遷移により位相散逸事象を被り得、空洞状態は、伝送チャンネルにだけではなく望ましくないチャンネルにも減衰され得る。ナイーブエンコーディング

を使用する場合、光子消失誤りは、伝送距離の関数としてプロセス忠実度の指数関数的な消失をもたらし、同様に他の誤りは、忠実でない伝送をもたらす。空洞における論理コードワードとして二項コードワードまたは他の量子コードを使用する場合、受信キュービットBへのデコーディングの前に、受信される空洞状態に対して回復プロセスを実行することにより、忠実度は上昇し得る。この方法は、訂正可能な誤り(式10)が十分な誤りプロセスに寄与する量により忠実度を向上し得る。

古典的通信において、本発明者らは典型的に、信号を伝送させるために、電磁場の振幅および/または位相の連続変数を使用する。一般的なコードスキームの1つは、参照信号の位相を変化/変調することによりデータを運搬するデジタル変調スキームである位相シフトキーイング(phase-shift keying)(PSK)である。例えば、直角位相シフトキーイングは、情報の2個の古典的なビットをエンコードするために、位相空間中半径αを有する円上に4個の等間隔の点(α、iα、-α、-iα)を使用する。一般的に、本発明者らは、情報の

古典的ビットをエンコードするために、

を有する円

上でd等間隔の点を使用し得る。信号減衰の存在下で、参照信号の位相が信頼性高く抽出され得る限り、PSKは信頼性高く情報をエンコードし得る。その単純さのために、PSKは、Bluetooth 2規格および無線LAN規格などの古典的通信における既存の技術において広く使用される。

古典的PSKエンコーディングに密接に関連する量子連続変数コードの種類があり得る。二項コードは、量子通信に使用され得る複数の励起消失誤りを訂正し得るコードとしてみなされ得る。特に、二項コードは、第3世代の量子リピーターにおいて光子消失誤りを訂正するために使用され得る。安全な量子通信(量子鍵配送(quantum key distribution)、QKD)の観点において、二項コードは、盗聴者を阻止する。盗聴者は、コードワードから小さな数の光子を除去することにより、またはコードがそれに対して保護される別の演算子を用いて作用することにより、通信されたコードワードを明らかにしようと試み得るが、盗聴者は、送信されているワードについて何ら情報を取得しない。これは、これらの光子消失が、どのコードワードから生じたかについて何らヒントをもたらさないためである。実際に、まさにこのために消失に関わらず意図される受信者がコードワードを回復し得る。

いくつかの態様によると、図8A〜8Bの例は、より大きな距離を横断するために複数回反復され得る。換言すると、初期送信空洞と最終受信空洞の間のそれぞれ受信してその後(空洞外への状態の漏れにより)状態を送信するいくつかの空洞を利用した量子リピーターが生成され得た。

いくつかの態様によると、光ファイバー(1つまたは複数)を介しておよび/または電磁信号を伝播するための他の適切な手段を介してマイクロ波共振器を連結する量子通信系が形成され得る。例えば、オプトメカニカル変換器は、光力学的変換器を介して、マイクロ波共振器からフライング光学的光子への量子状態転送(および逆ダウンコンバーション(reverse down-conversion))を実行し得る。かかる変換器は、量子通信において中心的な役割を担い得る。いくつかの態様によると、かかる通信は、マイクロ波から光へのアップコンバーション(up-conversion)、ファイバーを介した光状態の伝送、および遠隔位置での光からマイクロ波へのダウンコンバーションを含む。全ての3つの段階は、光子消失、獲得または位相散逸誤りを含み得る。したがって、量子情報を保持するために0および1個の光子数状態を使用するよりもむしろ、本明細書で記載される誤り等について訂正され得る二項コードワード

を使用することが有益であり得る。

図9は、2モードコードを実行するために適した1キュービット、2空洞系のブロック図である。系900は、上述の2モード(二項)コードが実行され得る系の別の例である。図9に示す1キュービット、2空洞実験構成は、原則的に、以下の理由のために2モードのユニバーサル制御を実現するのに十分である。

キュービットと空洞の間の分散的カップリングのハミルトニアンは、

の形式であり、式中、

は、j番目のモードについての消滅演算子である。さらなるハミルトニアン項は、空洞

およびキュービット

(式中、

は、外部から制御される)に対する独立した駆動から生じる。既存のハミルトニアン項は、近似同一性：

を使用して、より複雑な有効ハミルトニアンを生成し得るこれらの同一性は、より高次の変換子

の重ね合わせを生成するために、複数回適用され、組み合され得る。

多モード系のユニバーサル制御を確立するために、各モードがユニバーサル制御され得ること、異なるモード

の間でビームスプリッター相互作用

(

に同等)を生成することが可能であることを示すことが十分であり得る。同一性(式19)を使用して、分散相互作用に加えての空洞駆動は、個々の空洞上でキュービットがカップリングされた有効な駆動を生成する：

実数または虚数であるα_iを選択することは、

の有効演算子を生じる。これらをキュービットの前および後の回転と組み合わせることは、例えば

を生じる。再度(式19)を適用することは、モード演算子の積、例えば：

の構築を可能にする。

(式18)を使用して、i=jにて(式21)と(式22)を合計することは、単一モード分散相互作用を与え、これは、外部空洞駆動と組み合わせて、単一モードユニバーサル制御を生成するために十分である。(式23)と、反対の符号を有し

である同じ項を重ね合わせることは、多モード系のユニバーサル制御を与えるのに十分なビームスプリッター相互作用を生じる。

付表A - 拡張された二項コード
このセクションにおいて、本発明者らは、光子数演算子

のモーメントの期待値(expectation value)は、式11から、両方のコードワード

について同一であることを示す。換言すると、本発明者らは、

であることを示す。

の場合は、都合よく、コードワードの間の正規直交性が処理され、一方で

条件は、ワードが種々の誤りから(関連のある次数まで)訂正され得ることを保証する。次いで本発明者らは、式11の定義をキュービットまで拡張し、キュービットコードワードのモーメントについて同様の証明を実行する。

A.1

のモーメント：二項コード
式(A1)を証明するために、本発明者らは、

のモーメントの差、

がゼロであることを示す。

定義(式11)を使用して、偶および奇を占める(even and odd populated)ワードの差は、

である。

について、合計は、

の二項展開に等しい(明らかに0である)。ゼロでない

の場合は、(x=-1の置換前に)二項展開の導関数(derivative)を取り、xを乗算することに等しい。これは、導関数の各作用がpの冪を下げるが、xの乗算によりx^p-1がx^pに戻るためである。総合すると、

である。

(1+x)^N+1に作用する導関数の各作用が、冪N+1から1を引く。

であるので、最も大きな引かれた冪は

である。しかしながら、

(式中、Dは、位相散逸誤りを計上し、ここでは関連はない)であるので、導関数の作用の後に残る1+xのゼロではない冪が常に存在する。そのため、式(A4)は、1+xのゼロではない冪のみを含むxおよび1+xにおける多項である。置換x=-1を多項に入れることで

が生じる。

A.2 キュービット拡張
キューディットの二項コードを一般化するために、本発明者らは最初に、コードワード

の標準化された合計および差を取ることにより、フーリエ変換されたキュービットの基底

を定義する：

ギリシャ文字の指数μ、νは、ここで評価されたモジュロ2のためのものである。この基底は、上記と同様の

のモーメントの同様の証明を可能にし、キューディットの場合の簡単な拡張を明らかにする。本発明者らは、最初に拡張を導入し、次いで証明を生じる。

本発明者らは、上述のキュービット状態を、拡張された二項係数を使用してキューディットの場合に拡張する(本明細書における参照文献を参照；これらは多項係数とも称される)。d≧1を論理キューディット空間の次元にすることで、本発明者らは、従来の二項係数から開始して、帰納的に拡張された二項係数を定義する。負ではない整数nおよびmについて

を定義することで、拡張された二項係数は、

である。

オイラーにより最初に研究されたこれらの係数は、展開においてxの冪の次に現れる。

かかる展開における最も大きなxの冪は、周知の二項の場合についてnまで低減する(d-1)nであることに注意。キューディットにまで一般化するための最後の成分は、上記の証明において使用される

の一般化である。このために、本発明者らは、単位元(unity)のd乗根

を導入し、ゼロからd-1までのwの全ての冪を加算することでゼロをもたらすことを思い出す。これは、キューディット状態の誤り訂正性質を定義および提供することに有用である同一性の組を明らかにする：

この合計はまた、wの任意のゼロでない冪、すなわちゼロでない整数lについて

についてゼロである。ゼロ番目の冪について、合計はdⁿを与える。

本発明者らはここで、二項コードワードを

に一般化し、ここでギリシャ文字の指数

は、今後は、評価されるモジュロdおよびd≧2である。キュービットの場合と同様に、

(Lは訂正可能な消失誤りの数を定量化し、Gは訂正可能な獲得誤りの数を定量化し、Dは訂正可能な位相散逸誤りの数を定量化する)である。本発明者らは、これらのコードを、量子多項コードと区別するために、拡張された二項コードと称する。

A.3

のモーメント：拡張された二項コード
キュービットの場合と同様に、

のゼロではないフォック状態集団の間の間隔S+1は、全ての正の差

について

であることを保証することが明らかであるべきである。そのため、該誤り訂正基準を満たすために、本発明者らは、再度、誤り演算子の(フォック空間における)任意の対角の積を構築するために使用され得る

の冪の決定に至る。ここで、本発明者らは、

であることを示し、式中、

は実数かつμから独立である。定義(A9)を使用して、本発明者らは、

であり、μ依存性はすぐに相殺されることに注意する。本発明者らは、ここで、この合計を式(A7)に関連付ける。

について、合計は、

の展開と同等である。式(A8)は、この合計は、v=0でない限りゼロであり、

は直交することことを証明することを明らかにする。v=0の場合について、w^v=1であり、式(A7)は、d^N+1を生じ、

は適切に標準化されることを証明する。

ゼロでない

の場合は、(x=w^vの置換をする前に)拡張(A7)の導関数を採り、xを乗算することと同等である。まとめると、

である。

従来の二項の場合と同様に、

に対して作用する導関数の各作用は、冪N+1から1を引くが、Nは十分に大きいので、全ての導関数の作用の後に残る

のゼロではない冪が常に残る。そのため、式(A12)の各項は、少なくとも1つの

のゼロではない冪を含む。置換x=w^vを各項に入れることにより、v=0であり、そのため式(A10)が維持される限りゼロが生じる。

第1の少しの

について

は、この方法から容易に決定され得る：

係数α₁は、コードワードの平均光子数であり、本発明者らは、該係数が間隔S、キューディットの次元d、および1種類の訂正可能な誤りの最大数Nに従ってだんだん大きくなることを理解する。

A.4 二項コード回復プロセスのユニタリー制御
本発明者らは、ここで、光子消失チャンネル下の二項コードの回復のための条件付きユニタリー制御を要約する。二項コードは、短い時間ステップにおいて消失された光子の数の代用となる一般化された光子数パリティーの変化を測定することにより光子消失および獲得誤りが検出されるように調整される。超伝導回路QED技術により、光子数パリティーを測定する能力は、補助的なキュービットの空洞への強力な分散的カップリング

に由来する。分散的カップリングχの強さがキュービットおよび空洞の減衰速度よりも強い場合、振動子の所定の光子数状態に対して条件づけられたキュービットを駆動し得る。次いで、これを、一般化された光子パリティーに対して条件づけられたキュービット状態をフリップすること(flipping)などの光子数条件づけキュービット操作に使用し得る：

この操作の後、キュービット状態の測定により一般化された光子パリティーの測定および

による空洞状態の射影が実現される。誤り検出には、論理コードワード

と誤りワード

の間の状態転送を実行する訂正ユニタリー

が続き、ここで、誤り操作

は、

の場合、クラウス演算子

kDtにおけるL/2乗への近似であり、

の場合L乗への近似である。再度、強力な分散的キュービット相互作用、個々のキュービットおよび空洞駆動は、空洞に対する任意のユニタリーを実行するために十分である。一般化された光子数パリティー測定値およびその後のユニタリー変換はクラウス演算子

を実行する。kの値の全てについての反復は、十分な回復プロセス

を実現する。

付表B - クラウス演算子

の導出
ここで、本発明者らは、標準Lindbladマスター方程式

により一般化される時間進展のクラウス演算子表示

を導く。

ゼロジャンプ寄与(zero-jump contribution)は、非エルミート行列ハミルトニアン

下の非ジャンプ進展のみによる。

単一ジャンプ寄与

は、ジャンプにより中断され、および全ての可能なジャンプ時間に対して平均される非ジャンプ進展からなり、

ここで、κΔτは、Δτの間のジャンプについての確率である。同様に、二重ジャンプ寄与は、

であり、ここで本発明者らは、クラウス演算子についての分析式

を集め、ここで

は、プロセス

の確率に関連する。小さな時間間隔Δtを考え、

をκΔtにおける最低次数まで展開する場合、本発明者らは、大まかにいうと、光子消失誤りは、

に比例する確率で起こることを理解する。

これが適切なクラウス表示である場合、これは恒等関係

に従う。(式14)から、本発明者らは、

を有する。

これが恒等であるかどうかを理解するために、本発明者らは、これを任意のフォック状態mに適用し、得られる二項展開が

を生じることを認識する。

全てのmについてこれは真実であるので、恒等関係

は実際に満たされる。クラウス演算子展開は唯一ではない。この特定の形式は、どのくらい多くの光子が消失されるかに従って誤りを組織化する。ジャンプの間の非ジャンプ進展のために、

光子消失についての誤り演算子は、

であり単純に

ではない。

付表C - 二項コード性能の分析および最適化
C.1 非忠実回復プロセス
先に、本発明者らは、L光子消失誤りに対して保護される二項コード(式11)の性能が、回復可能でない誤りの最大割合、すなわち時間ステップΔtの間のL+1光子の消失割合により十分に分析されることを示し：

ここで、本発明者らは、簡単のために、S=Lと仮定した。実際は、回復プロセスは常に、非忠実なゲートおよび不正確な測定に関連する非忠実度と関連する。本発明者らは、これをモデル化して、コードの特性を、回復可能でない誤りの最大および回復プロセスの非忠実度εの合計である誤り割合により特徴付け：

ここで、NはP_L+1スケール化(scaling)の前因子(prefactor)である。最適な時間ステップは、回復可能でない誤りの割合の最小化と回復プロセス自身の非忠実度の間で釣り合わせる

である。この最適な時間ステップにより、非忠実的に回復された二項コードの最良の性能は、εの関数として、

としてだんだん大きくなる。

より高い次数のコードの性能利点は、小さなεのみにより達成される。

C.2 回復プロセスの最適化
コードの回復プロセスの忠実度の副次的に主要な(sub-leading)な向上を行う単純な方法は、状態転送

を実行するユニタリー「エコー」操作

を回復操作に追加することである。

一般的に、誤りチャンネルが与えられると、二項コードの最適な回復プロセスは、半正定値計画問題(semi-definite programming)による数値的最適化を必要とし得る平均された非忠実度を全体的に最少化することにより見出され得る。最適化された回復プロセスは、二項コード自体により設定される全体的な精度限界を克服(beat)し得ないが、非忠実度におけるより高次の訂正可能でない項の前因子は、かなり小さくし得る。

付表D - 非対角コード
分析例は、コード

であり、これは二項コードL=S=N=1と同様にκΔtにおける一次まで、誤り

に対して保護するが、顕著に低いP₂および

を有する。ここで、誤りを検出するための唯一の方法は、測定が現在の技術で実現可能な負の回答を生じる場合に、射影測定を論理ワード基底

に行い続いて、

を実行するスワップユニタリーを行うことである。

このコードは、対応する二項コードよりも低い

およびP₂を有する

を生じる光子追加誤りに対しても保護されるようにさらに拡張され得る。

D.1 非対角コードについての誤り訂正プロセス
ここで、本発明者らは、QECマトリックス

は、容易には対角形式にはないエルミートマトリックスの成分である)を用いて、非対角コードのための誤り訂正プロセスを詳細に説明する。エルミートマトリックスになる条件(hermiticity)に基づいて、本発明者らは、

のようにマトリックスβ_klを対角化し得、ここで真の誤りは、対角化された誤り

の補助により表現され得る。

これは、物理的に、真の物理的誤り

が量子状態

を生じる時はいつでも、量子状態は、対角化された誤り状態

の重ね合わせに変換されることを意味する：

誤り訂正プロセスは、共通の要素を持たない(disjoint)対角化誤り部分空間

のうちのいずれに系があるかを尋ねる測定を行うことにより開始される。明確に、測定が最初に基底状態にある補助的L+1準位系で実行される場合、最初にもつれユニタリー操作

を実現する必要があり、式中

は、m番目の対角化誤り部分空間に対する射影作用素である：

式(D3)を使用することにより、それが適切な射影作用素

であることが理解される。代替的に、式(D6)〜(D7)の測定は、

について、連続してもつれ操作

を実行し、その後キュービット集団測定を連続的に実行することにより補助的なキュービットにより実現され得る。該測定は、両方の方法により、以下の測定バックアクションを伴う回答Mを、保護される系に与える：

どの物理的誤りが生じたかはわからず、わかる必要はないことに注意。誤り訂正は、状態遷移

を実行するユニタリー操作

により元の状態を回復することにより終了する。保護される量子系を考慮すると、誤り訂正プロセスは、クラウス演算子

により説明される。

付表E - 近似量子誤り訂正
E.1 些細でないコードのためのAQECの例
ここで、本発明者らは、一般的な準位において、コード

の非ジャンプ進展下での強さを試験する。最も一般的な場合を考える前に、本発明者らは、最適化されたコード(D1)を用いた例から開始し、

このQECCマトリックスは

について対角である。

を別にすれば非対角要素は、非ジャンプ進展によるわずかな混合のために、同様には消失しない。

QECCマトリックスにおいて、非消滅項

があるので、コード(D1)を有する

についての最も高い訂正可能でない誤りは、

の次数のどちらにあるのかわからないことがある。

このことの影響は、誤りおよび回復プロセスを明確に通過することにより最もよく理解できる。非ジャンプおよび光子ジャンプ誤りの下で、量子状態

はそれぞれ、κΔtにおける一次までで

に変換し、ここで係数は、

であり、αおよびβとは独立する。非ジャンプ誤りについて標準化された誤りワードは、

であり、光子消失誤りについてそれぞれ、

であり、誤りワードは、2つの誤り

の間で重複し、このことは非消滅非対角項

により捕捉されることが認識される。

回復プロセスは、

であり、ここでP₁は、光子消失誤り

の後のワードの部分空間への射影であり、コード(式6)を用いる場合と同様にユニタリー操作

は状態遷移

を実行し、ユニタリー操作

は状態遷移

を実行する。したがって、組み合わせた誤りおよび回復プロセスは、

を与え、ここで第1の行で本発明者らは、プロセスp_iの確率の補助を伴うクラウス演算子による進展の効果、および式(E2a)の得られる状態

を記載する。この式から、本発明者らは、対応する確率と一緒に

における一次である多くの項は実際に、より高次の項を生じることを理解する。最終行の左から2番目の項は、測定における誤同定(misidentification)誤りおよびその後の状態転送プロセスにおける失敗を生じる2つの誤りの間の重複により生じ、すなわち

である。

と共にだんだん大きくなる確率と共に、非ジャンプ誤りは、光子消失誤りを訂正するユニタリーにより訂正される。しかしながら、生じる非忠実度は

の次数であるので、この誤りは、本発明者らが保護しているκΔtの次数に対しては無視され得る。

付表F - 多モードコード
光子が消失されない事象においても、クラウス演算子

は、コードワードに対して些細でない効果を有し、これが訂正されることが望ましい。ワードが多数の物理的要素を組み合わせることによる同じ励起数を有する状態の重ね合わせである場合、これは回避し得る。特に、いくつかの多モードボソンコードは、本明細書に示されるが多数の光子モードにわたりもつれている単一モードコードと同じ構造を有し、例えば

であり、ここでnmは、1つのモードにn個の光子およびもう一方のモードにm個の光子をを有する状態である。このコードは、ワードが2つのモードの間でもつれている1つのモードコード式6の2つのコピーからなる。これらのコードは、共通のトランスモンキュービットにカップリングされる2つの空洞の最近構築された系において実現され得、組み合された空洞系上でユニタリー操作を実行するために使用される。

両方のモードについて同一の光子減衰割合κを仮定することで、いずれかのモード由来の光子消失の非存在下でのクラウス進展演算子は、

であるので、

であり、コードワードは変化しない。訂正可能な誤りは依然として単一光子消失であり、これは2つのモードのいずれもから生じ得、異なる誤りワード

を生じ、ここで、

は、モードiからの光子消失後の誤りワードである。それぞれのモードにおけるパリティー測定は、いずれのモードから光子が消失したかを区別し得、そのため誤りワード

のどちらを訂正すべきかを決定するために使用され得る。誤り訂正に必要とされるユニタリー操作は、ユニタリー操作

であるスワップ

であり、ここで

は、≦4のボソン励起の総数を有するヒルベルト空間中のユニタリー操作まで

を仕上げる恒等操作を示す。これらは、2つのモードの間でもつれる状態を生じることを含む以外は1モード訂正と同様である。これは、2つの空洞間のもつれを含む実験設定を使用して実現可能であり得る。しかしながら、かかるアプローチは、同等の1モード操作よりも低い忠実度を有することがある。

単一モードコードと同様に、誤り訂正の忠実度は、訂正可能でない誤りの割合により決定され得、小さいκΔtについて、これは2つの光子消失により支配される。1モードコード、式6についての1つの経路と比較して、2モードコードの状態からの2光子消失の3つの経路がある。等しいκを仮定すると、それぞれの経路を介した2光子消失の割合は同じであるので、2モードコードについての訂正可能でない誤りの割合は、1モードコードよりも3倍高い。この操作の必要性は2モードの場合には無視され得るので、どのコードが好ましいかは、1モードコードについての非ジャンプ訂正の忠実度に依存する。

本発明の少なくとも1つの態様のいくつかの局面がこのように記載されるが、種々の変更、改変および向上は、当業者に容易であることが理解されよう。

かかる変更、改変および向上は、本開示の一部であることが意図され、本発明の精神および範囲の範囲内にあることが意図される。さらに、本発明の利点が示されるが、本明細書に記載される技術の全ての態様が記載される利点の全てを含むわけではないことが理解されるべきである。いくつかの態様は、本明細書において有利であると記載される特徴を何ら実行しないこともあり、いくつかの例においては記載される特徴の1つ以上を実行して、さらなる態様が達成されることもある。したがって、前述の記載および図面は、例示のみのためのものである。

また、本発明は、その例示が提供される方法として具体化され得る。該方法の一部として実施される行為は、任意の適切な方法で配列され得る。したがって、例示態様において連続的な行為として示されてはいるが、示されるものとは異なる順序で行為が実施される態様が構成され得、これにはいくつかの行為を同時に実施することが含まれ得る。

請求項構成要素を修飾するための特許請求の範囲における例えば「第1」、「第2」、「第3」などの順序を示す用語の使用は、それ自体では、別の請求項構成要素に対する1つの請求項構成要素の優先、先行もしくは順序または方法の行為が実施される時間的な順序のいずれも意味しないが、単に、特定の名称を有する1つの請求項構成要素を、同じ名称(順序を示す用語の使用以外)を有する別の構成要素と区別して、複数の請求項構成要素を区別するための標識として使用される。

また、本明細書で使用される語法および用語法は、説明を目的とするものであり、限定とみなされるべきではない。本明細書中の「含む(including)」、「含む(comprising)」または「有する(having)」、「含む(containing)」、「含む(involving)」およびそれらの変形の使用は、以降に列挙される項目およびそれらの同等物ならびにさらなる項目を包含することを意味する。

Claims (21)

1. 量子力学振動子に分散的にカップリングされる物理的キュービットを含む回路量子電磁力学系を操作する方法であって、該方法は、
   量子力学振動子の第1の状態のパリティーを測定する工程、
   第1の状態のパリティーの測定後、量子力学振動子の第2の状態のパリティーを測定する工程、ここで該第2の状態は第1の状態とは異なる、
   量子力学振動子に第1の駆動波形を適用する工程、および
   第1の駆動波形の適用と同時に、物理的キュービットに第2の駆動波形を適用する工程
   を含み、
   該第1の駆動波形および第2の駆動波形は、少なくとも部分的に、測定された第2の状態のパリティーと測定された第1の状態のパリティーの比較の結果に基づいて選択され、
   第1の駆動波形および第2の駆動波形の適用は、少なくとも部分的に、量子力学振動子を第2の状態から第1の状態に戻すように遷移させる、方法。
2. 該第1の状態および第2の状態が、同じ複数の光子数状態の重ね合わせであり、該第1の状態および第2の状態が異なる振幅を有する、請求項１記載の方法。
3. 該第1の駆動波形および第2の駆動波形が第1の状態のパリティーの測定と第2の状態のパリティーの測定の間の持続時間に基づいて構成される、請求項２記載の方法。
4. 第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程が、それぞれ光子数パリティーモジュロ2を測定する工程を含む、請求項１記載の方法。
5. 該第1の状態が複数の光子数状態の重ね合わせである、請求項１記載の方法。
6. 該第1の状態が等しい平均光子数を有する2つの状態の重ね合わせである、請求項５記載の方法。
7. 該第1の状態が、
   

   

   (式中、NおよびSは正の整数であり、|n>はn個の光子を有する光子数状態を表す)
   により与えられる
   

   

   の重ね合わせである、請求項６記載の方法。
8. 該第1の状態が、それぞれ第1の平均光子数を有する2つの状態の重ね合わせであり、該第2の状態が、それぞれ、第1の平均光子数とは異なる第2の平均光子数を有する2つの状態の重ね合わせである、請求項６記載の方法。
9. 該第1の駆動波形および第2の駆動波形が、
   

   

   の値に基づいて構成される、請求項６記載の方法。
10. 該第1の駆動波形および第2の駆動波形が、複数の以前に決定された駆動波形を記憶するコンピューター読み取り可能媒体から選択される、請求項１記載の方法。
11. 第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程が、それぞれ光子数パリティーモジュロNを測定する工程を含み、Nが2よりも大きい整数である、請求項１記載の方法。
12. 該第2の状態から第1の状態に戻す量子力学振動子の遷移が、量子力学振動子の基底状態を通過しない、請求項１記載の方法。
13. 量子力学振動子がマイクロ波空洞である、請求項１記載の方法。
14. 物理的キュービットがトランスモンキュービットである、請求項１記載の方法。
15. 量子力学振動子に分散的にカップリングされる物理的キュービットを含む回路量子電磁力学系、
    複数の駆動波形を記憶する少なくとも1つのコンピューター読み取り可能媒体、
    量子力学振動子の第1の状態のパリティーを測定し、
    第1の状態のパリティーの測定後に、量子力学振動子の第2の状態のパリティーを測定し、
    少なくとも部分的に、測定された第2の状態のパリティーと測定された第1の状態のパリティーの比較の結果に基づいて、記憶された複数の駆動波形から第1の駆動波形および第2の駆動波形を選択するように構成される少なくとも1つの制御器、ならびに
    量子力学振動子に第1の駆動波形を適用し、かつ
    第1の駆動波形の適用と同時に物理的キュービットに第2の駆動波形を適用するように構成される少なくとも1つの電磁放射線源
    を含む、系。
16. 該第1の駆動波形および第2の駆動波形が第1の状態のパリティーの測定と第2の状態のパリティーの測定の間の持続時間に基づいて構成される、請求項１５記載の系。
17. 第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程が、それぞれ光子数パリティーモジュロ2を測定する工程を含む、請求項１５記載の系。
18. 第1の状態および第2の状態のパリティーを測定する工程が、それぞれ光子数パリティーモジュロNを測定する工程を含み、Nが2よりも大きい整数である、請求項１５記載の系。
19. 該第1の駆動波形および第2の駆動波形の適用が、量子力学振動子の基底状態を通過することなく該第2の状態から第1の状態へと戻すように量子力学振動子を遷移させるように構成される、請求項１５記載の系。
20. 量子力学振動子がマイクロ波空洞である、請求項１５記載の系。
21. 物理的キュービットがトランスモンキュービットである、請求項１５記載の系。

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