JP2018510494A

JP2018510494A - 実効的魔法周波数の光格子時計およびその動作方法

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Publication number: JP2018510494A
Application number: JP2017538753A
Authority: JP
Inventors: 秀俊香取
Original assignee: RIKEN Institute of Physical and Chemical Research
Current assignee: RIKEN Institute of Physical and Chemical Research
Priority date: 2015-01-30
Filing date: 2016-01-28
Publication date: 2018-04-12
Anticipated expiration: 2036-01-28
Also published as: US20180011449A1; US10452029B2; WO2016122001A1; JP6635608B2; EP3251183B1; EP3251183A1; EP3251183A4

Abstract

ある実施形態では原子（２）と実効的魔法周波数のレーザー光源（４）とを備える光格子時計が提供される。原子は、電子状態の２つの準位間で時計遷移を起こしうるものであり、レーザー光源はそれぞれが光格子レーザー強度Ｉをもつ少なくとも一対の対向伝播するレーザー光を生成する。一対の対向伝播するレーザー光は、それ自体の電磁波が作る定在波の腹の周りに原子をトラップする光格子ポテンシャルを形成する。実効的魔法周波数は、光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対する時計遷移の光格子誘起時計シフトを鈍感にするような周波数の一つであり、その光格子誘起時計シフトは、電子準位の２つの準位に対するＡＣシュタルク効果のために光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩによって生じる、原子の時計遷移についての周波数が示すシフトである。

Description

本発明は光格子時計に関する。さらに詳細には、本発明は、実効的魔法周波数を採用し、不確かさを減らした計時が可能な光格子時計とその動作方法に関する。

近時、時間基準のために原子時計（atomic clocks）が採用されている。原子時計は計時に高い精度が要求される応用分野にも使用されている。原子時計は、例えばＣｓ（セシウム）やＲｂ（ルビジウム）などの原子における電子準位間の遷移により生じるマイクロ波領域の電磁波を周波数基準として利用するものである。より高精度な時間測定のために光学時計（optical clocks）と呼ばれる装置も開発されている。

ここ数年の光学時計の大幅な進歩によって、イオンベースクロックおよび光格子時計において１０^-18レベルの不確定性に到達してきたところである。これまで手つかずであった光学時計の精度により科学と技術における新たな可能性が生まれており、そこには例えば基本定数（fundamental constants）の恒常性の検証や、重力ポテンシャル差分値を測定する相対論的測地学（relativistic geodesy）が含まれている。これらの努力の核心をなすのは、時計遷移における摂動量の評価である。

光格子時計において、無摂動の（unperturbed）遷移周波数は、これまでは摂動量をゼロに外挿することによって取り扱われてきており、その手法は、仮にその修正が摂動因子（perturber）に比例しているのであれば直接的といえる。例えば黒体輻射が温度に対しＴ⁴の変動を示すごとく、いったんその依存性に非線形性が見出されるのならば、それ専用の実験および理論的調査が極めて肝要となる。これとは逆に、ハイパーラムゼー分光においては、時計遷移を摂動に対し鈍感なものにすべく非線形応答が活用されている。

H. Katori, M. Takamoto, V. G. Pal'chikov, and V. D.Ovsiannikov, "Ultrastable Optical Clock with Neutral Atoms in an Engineered Light Shift Trap," Phys. Rev. Lett. 91, 173005 (2003). M. Takamoto , F-L Hong , R. Higashi, and H. Katori, "An optical lattice clock," Nature 435, 321-324 (2005). V. D. Ovsiannikov, V. G. Pal'chikov, A. V. Taichenachev, V. I. Yudin, and H. Katori, "Multipole, nonlinear, and anharmonic uncertainties of clocks of Sr atoms in an optical lattice," Phys. Rev. A 88, 013405 (2013). Hidetoshi Katori, "Spectroscopy of strontium atoms in the Lamb-Dicke confinement," Proceedings of the 6th Symposium on Frequency Standards and Metrology, 323-330 (2002). A. V. Taichenachev, V. I. Yudin, V. D. Ovsiannikov, and V. G. Pal'chikov, "Optical Lattice Polarization Effects on Hyperpolarizability of Atomic Clock Transitions," Phys. Rev. Lett. 97, 173601 (2006). Hidetoshi Katori, Koji Hashiguchi, E.Yu. Il’inova, and V. D. Ovsiannikov, "MagicWavelength to Make Optical Lattice Clocks Insensitive to Atomic Motion," Phys. Rev. Lett. 103, 153004 (2009) Kazuhiro Yamanaka, Noriaki Ohmae, Ichiro Ushijima, Masao Takamoto, and Hidetoshi Katori, "Frequency Ratio of 199Hg and 87Sr Optical Lattice Clocks beyond the SI Limit," Phys. Rev. Lett. 114, 230801 (2015) I. Ushijima, M. Takamoto, M. Das, T. Ohkubo, and H.Katori, "Cryogenic optical lattice clocks," Nat. Photonics 9, 185 (2015). J. J. McFerran, L. Yi, S. Mejri, S. Di Manno, W. Zhang, J.Guena, Y. Le Coq, and S. Bize, "Neutral Atom Frequency Reference in the Deep Ultraviolet with Fractional Uncertainty = 5.7 × 10-15, " Phys. Rev. Lett. 108, 183004 (2012). P. G. Westergaard, J. Lodewyck, L. Lorini, A. Lecallier, E. A. Burt, M. Zawada, J. Millo, and P. Lemonde, "Lattice-Induced Frequency Shifts in Sr Optical Lattice Clocks at the 10-17 Level," Phys. Rev. Lett. 106, 210801(2011)

光格子時計において目指しているのは、魔法周波数での光格子の動作を通じ時計遷移についての光シフトの摂動を除去することである（非特許文献１、非特許文献２）。このため一見すると、光格子時計では時計遷移する原子を閉じ込める光格子レーザー（lattice-laser）の強度を評価すること自体が免れているようにも思える。しかしながら、光格子時計の不確かさ（uncertainty）について１×１０^-15より減らし、また１×１０^-16レベルにまで達しようとすべき状況において、原子を閉じ込めるのに最適となる光格子周波数（lattice frequency）を決定することは、単にカット・トライ式に最適化するだけでは困難である。後述するように本発明者は、光シフト摂動に起因する時計遷移のシフトが複雑な非線形の依存性を通じ光格子レーザーの強度に依存して、ゼロへの線形外挿アプローチが不可能となっていること、そしてその補正が極めてデリケートな問題であることを見出した（非特許文献２、非特許文献３）。それのみならず、原子の運動は空間的な光強度の変化をもつ光格子と結合する。このため、光格子時計における強度Ｉは、実際の動作条件において比較的広い範囲で変化する可能性があり、最適な値を注意深く決めてもその値へ制御することはできない。

具体的にみると、光格子レーザー強度は、原子を閉じ込めるためにある程度の強度が要求されるものの、実際には空間的に分布をもつ。光格子が１対のガウシアンビームにより形成されている場合であっても、光格子レーザーのための定在波の強さは、光軸から半径方向に離れるのに応じ弱まる。光格子レーザー場と相互作用する原子は、光軸方向に正弦波的な変化を示し横方向に深さ自体が漸減するポテンシャルの作用を受ける。その結果原子は、定在波の腹の位置に向かって引き寄せられ腹の位置の並びを格子点とする格子状に空間分布し、光軸付近の光格子レーザーのみならず、半径方向に光軸から離れた位置にある弱まった光格子レーザーにも閉じ込められる。光格子が、２次元または３次元の光格子を形成する２対以上のレーザー光（laser beams）により形成されたものである場合、光格子レーザー強度の変化は、１次元の光格子を形成する１対のレーザー光を採用する場合に比べ大きくなることもある。このため、光格子レーザー強度に生じうる分布や偏差まで念頭においた実用性の高い光格子時計の開発が肝要である。

本発明は上述した問題を解決することを課題とする。本発明は、時計遷移の周波数の光シフト（以降、時計シフトとも称する）について小さな系統不確かさ（systematic uncertainty）を示しつつ動作可能な光格子時計を実現する手法を提供することを課題とする。

本発明者は、従来のゼロ外挿アプローチに頼らずに、光格子からの摂動に起因する光シフトを除去したりその影響を緩和したりするための指針を提案する。光格子レーザー周波数および偏光依存超分極効果（light-polarization-dependent hyperpolarizability effect）が光シフトの強度依存性を調製（tailor）する目的で使用可能であることが示される。

すなわち、本発明のある態様においては、電子状態の２つの準位間で時計遷移を起こしうる原子と、それぞれが光格子レーザー強度Ｉをもつ少なくとも一対の対向伝播するレーザー光を生成するための実効的魔法周波数のレーザー光源であって、該一対の対向伝播するレーザー光は、それ自体の電磁波が作る定在波の腹の周りに前記原子をトラップする光格子ポテンシャルを形成するものである、レーザー光源とを備えており、前記実効的魔法周波数は、前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対する前記時計遷移の光格子誘起時計シフトを鈍感にするような周波数であり、該光格子誘起時計シフトは、前記電子準位の前記２つの準位に対するＡＣシュタルク効果のために前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩによって生じる、前記原子の前記時計遷移についての周波数が示すシフトである、光格子時計が提供される。

本発明の上記態様においては「実効的魔法周波数（operational magic frequency）」が光格子時計の動作に利用され、その周波数においては、光格子レーザー強度Ｉの広い範囲で光格子誘起時計シフトが小さくなる。時計シフトとは、光光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに起因して生じる時計遷移周波数におけるシフトのことである。実効的魔法周波数は、実際の動作条件にて生じうる偏差ΔＩを許容するよう新たに構築された指針に基づき導入されるものであり、それにより１×１０^-18を下回るよう時計シフトを低減することができる。なお、計時に関連した遷移が「時計遷移（clock transition）」と、関連する電子準位または状態が「時計用電子状態（clock states）」と、それぞれ呼称されることがある。本方式の時計に関連する原子は、原子のみならずそのイオンも含みうる。加えて、本出願においては、不明瞭にならない限り本発明の属する技術分野の慣用に従う用語法を採用することがある。例えば赤外や紫外の電磁波放射といった可視光以外の電磁波に対しても、「光」、「レーザー」、「光源」等と光学分野で使用される表現を用いることがある。

本発明のある態様では実用性の高い光格子時計およびその動作方法が提供される。一例として、時計周波数の値に必要な補正を行うことを前提としたうえで光格子レーザー強度の拡大した範囲にわたり明確な態様での動作を可能とするような、実用性の高い光格子時計の設計指針が提供される。別例として、光シフト量を補正する必要がなくとも最小化された不確かさを与え、光格子レーザー強度の拡大した範囲にわたり明確な態様での動作を可能とするような、同様に、光格子時計の実用性の高い別の設計指針も提供される。結果、いくつかの原子種を用いる光格子時計を、例えば１０^-17を下回る系統不確かさで動作させることができる。

図１は、本発明の実施形態における光格子時計の例示の構造を示す模式説明図である。図２は、光格子レーザー光によって形成された光格子にトラップされた原子と関連する時計遷移様式とを示す図である。図３は、Ｈｇの光格子誘起時計シフトが光格子レーザー強度Ｉへ依存する様子を示すグラフである。図４Ａ、４Ｂは、それぞれ、ξ^Yb＝０．７７１および０．７５における光格子レーザー強度Ｉと光格子レーザー離調δνとを関数とするＹｂの時計シフト値の等値線図である。図５は、ξ^Sr＝０における光格子レーザー強度Ｉと光格子レーザー離調δνとを関数とするＳｒの時計シフト値の等値線グラフである。図６は、本発明の実施形態にて動作魔法周波数についての着想を実証するのに用いられた¹⁹⁹Ｈｇを用いる実効的魔法周波数の光格子時計の実験セットアップの説明図である。図７は、実効的魔法周波数のＨｇ光格子時計の実験結果を理論解析に基づくフィッティングカーブとともに示す複合グラフである。図８は、⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計への指針の適用可能性を示すグラフである。

以下図面を参照し、本発明に係る光格子時計の実施形態を説明する。全図を通じ当該説明に際し特に言及がない限り、共通する部分または要素には共通する参照符号が付される。また、図中、各実施形態の要素のそれぞれは、必ずしも互いの縮尺比を保って示されてはいない。

１．光格子時計の構造
図１は、本実施形態の光格子時計の例示の構成を示す概略図である。光格子時計１００は、原子２の電子状態間における遷移周波数を計測する。原子２は、長寿命状態間にて時計遷移を起こす原子およびイオンからなる群から選択され、さらに具体的には、イッテルビウム（Ｙｂ）、水銀（Ｈｇ）、ストロンチウム（Ｓｒ）、カドミウム（Ｃｄ）、亜鉛（Ｚｎ）、マグネシウム（Ｍｇ）、およびカルシウム（Ｃａ）からなる群から選択される。原子２による電子状態の遷移のうちレーザー分光を用いて遷移周波数が測定される遷移を時計遷移と呼ぶ。

原子２は、レーザー冷却、ドップラー冷却などの手段によって十分に熱振動を抑制した状態にされて真空槽８２内部の真空空間中に供給される。供給された原子２は、周波数コントローラー５によって周波数が正確に制御されている光格子レーザー４が供給する一対の対向伝播するレーザー光の作る定在波の電界と相互作用した後にトラップされる。この定在波を形成するためにミラー４２および４４を真空空間に配置している。原子２と上記定在波との相互作用によるポテンシャルの形状は、定在波中の電界の腹の位置が極小となっており、各腹の位置に中心をもつ復元力によって原子２に引力を及ぼしている。このレーザー光の定在波中の電界は、光軸方向にみると強い位置と弱い位置が光軸方向に交番して現われる。これに対し光軸から半径方向にみると、典型的実施態様としてガウシアンモードが励起されている場合、その電界は周辺に向かって漸減してゆく。原子２の時計遷移の遷移周波数ν₀は、ＡＣシュタルク効果と呼ばれてきたレーザー光による摂動のために、シフトΔν_C、つまり“光格子誘起時計シフト（lattice-induced clock shift）Δν_C”を受けることとなる。なお、光格子レーザーによる摂動を通じて光格子レーザー強度に依存する時計遷移の任意の周波数シフトを光格子誘起時計シフトと呼ぶ。

１−１．魔法波長およびゼロ外挿アプローチ
トラップのための光格子レーザー４の周波数を注意深く定めて制御すれば、この光格子誘起時計シフトを極小化しうることが本発明者により見出され、そうして定めた波長が魔法周波数と呼ばれてきた。本願の発明者らは非特許文献４において、光格子誘起時計シフトΔν_cが光格子レーザー４のレーザー強度（つまり光格子レーザー強度）に依存すること、および注意をあまり払わずに決定した周波数では、光格子レーザー強度が増大するにつれ光格子誘起時計シフトΔν_cが顕著となることを報告した。さらに、同文献に報告した実験では、光格子誘起時計シフトΔν_cがある強度範囲で光格子レーザー強度にまったく依存しなくなるような周波数が光格子レーザー４に存在することが明らかとなり、そのような周波数を、上述したように魔法周波数と呼んできた。本指針を説明するにあたり、その実現可能性を理論解析に基づいて示し、その後、当該解析の有効性が実験的に確認される。さらに、提案する指針による１０^-19レベルへの方策が示される。

１−２．実効的魔法周波数
本発明者は、光格子誘起時計シフトを実際にどこまで減らせるかについて、非特許文献３における従前のアプローチに基づき魔法周波数の着想を理論的観点から綿密に再検討した。というのも、光格子レーザーが強いほど光シフトが大きくなるという実験事実からは、逆に光格子レーザーを十分に弱くすれば光シフトは低減するであろう（ゼロ外挿アプローチ）と論理的にいえるためである。しかし、ゼロ外挿アプローチに従って実際に光格子レーザーを弱めても、時計シフトがゼロに向かって直線比例的に減少しないという新たな問題が生じた。そこで、時計シフトについてさらに掘り下げた理論的解析がなされ、結果、超分極率（hyperpolarizability）および多重極効果（multipolar effect）のために生じる残留時計シフトが１０^-17前半における主たる系統不確かさとなって表面化していることが見出された。さらに、有限つまり非ゼロの光格子レーザー強度の動作に一層適する魔法周波数（「実効的魔法周波数」（operational magic frequency）と呼ぶ）を特定する手法を見出した。以降、非特許文献３の研究を手掛かりにして実効的魔法周波数に至る着想を説明する。電気双極子（Ｅ１）、磁気双極子（Ｍ１）、および電気四重極（Ｅ２）での分極率および超分極率の数値計算結果を、Ｓｒ、Ｙｂ、Ｈｇの¹Ｓ₀−³Ｐ₀時計遷移に関し提示する。

１−３．光格子誘起時計シフト：定式化
光格子誘起時計シフトは、時計用電子状態（clock states）のうちの基底状態（ｇ）と励起状態（ｅ）とにおけるＡＣシュタルクエネルギー間の差分によって与えられる。これらの状態は、トラップされた原子と定在波の電場（field）との間の相互作用である次式により決定される。
Ｅ（ｘ，ｔ）＝２Ｅ₀ｃｏｓｋｘｃｏｓωｔ，（１）
これは電気ベクトルＥ₀（対応する強度つまり光格子レーザー強度Ｉ）をもち、図２に示すように、周波数ω、およびｋ＝ω／ｃ（ｃは光速）として波数ベクトルｋ＝±kexである。

図２は、光格子レーザー光によって形成された光格子にトラップされた原子と関連する時計遷移様式とを示す模式図である。図２に示すように、｜ｘ｜≪λｍ／４の範囲でＵ_g（ｘ）中にトラップされた原子が、¹Ｓ₀（ｇ）→³Ｐ₀（ｅ）の時計遷移にて、無摂動の周波数ν₀、光格子誘起時計シフトΔν_cとして励起される。ガウシアンビームを実装する場合、現実のレーザー光は、ビーム半径ｒ₀をｒ₀≫λとしてＩｅｘｐ（−２（ｙ²＋ｘ²）／ｒ₀ ²）という横方向強度分布を示し、横向きに原子を弱く閉じ込める。原子−格子相互作用は、次の空間因子をもつ演算子Ｖ（ｘ，ｔ）＝Ｒｅ［Ｖ（ｘ）ｅｘｐ（−ｉωｔ）］により決定される：
Ｖ（ｘ）＝Ｖ_E1ｃｏｓｋｘ＋（Ｖ_E2＋Ｖ_M1）ｓｉｎｋｘ，（２）
ここで、Ｖ_E1、Ｖ_E2、およびＶ_M1は、それぞれＥ１、Ｅ２、およびＭ１の相互作用に対応する。以下、光格子誘起時計シフトを単に時計シフトとも記す。

原子格子相互作用エネルギーＶ（ｘ）の２次および４次の項は、光格子レーザー強度Ｉにおける線形および２次の項に対応している。位置｜ｘ｜≪λ＝２／ｋ（図２）にある原子にとっての光格子ポテンシャルは
Ｕ_g(e)（ｘ，Ｉ）≒−Ｄ_g(e)（Ｉ）＋ｕ⁽²⁾ _g(e)（Ｉ）ｘ²
−ｕ⁽⁴⁾ _g(e)（Ｉ）ｘ⁴＋ … （３）
により与えられ、ポテンシャル深さは次式により与えられる。
Ｄ_g(e)（Ｉ）≒−Ｕ_g(e)（ｘ，Ｉ）＝α_g(e) ^E1（ω）Ｉ＋β_g(e)（ω，ξ）Ｉ²
（４）
これは電気双極子分極率α_g(e) ^E1（ω）Ｉおよび超分極率β_g(e)（ω，ξ）により決定され、その際ξは、本節にて後述する光の円偏光度（degree of circular polarization of light）である。簡便のため本出願の発明の詳細な説明では、複合した添え字、例えばｇ（ｅ）が用いられる。

式（３）中の調和項の係数である
（５）
によって、光格子中の原子の振動周波数Ω_g(e)（Ｉ）が定まる。Μを原子質量、ｈ−ｂａｒ＝ｈ／２πをプランク定数（ただし「ｈ−ｂａｒ」はｈに横棒を重ねたもの）としたとき、フォトンの反跳エネルギーΕ_R＝（ｈ−ｂａｒｋ）²／２Μを用いて、振動の周波数は、
（６）
として与えられる。ここで、原子の定在波との間でのＥ１と多重極（Ｅ２−Ｍ１）との相互作用における１／４周期オフセット（the quarter period offset of E1）に起因して、結合(combined)Ｅ１−Ｅ２−Ｍ１分極率
α_g(e) ^dqm（ω）＝α_g(e) ^E1（ω）−α_g(e) ^qm（ω）（７）
が定義される。この際、α_g(e) ^qm（ω）＝α_g(e) ^E2（ω）＋α_g(e) ^M1（ω）は、Ｅ２とＭ２の分極率の和である。光格子における最小次数の非調和補正は、
（８）
により与えられる。

ｎ番目の振動状態｜ｎ＞にある原子のエネルギーは、次のように計算される：
（９）
ここで、第２項は調和振動子エネルギーに対応し、最終項は、
（１０）
により与えられる非調和分の修正に対応する。光格子誘起時計シフトは、振動状態｜ｎ＞を不変としつつ基底状態および励起状態にある原子のエネルギーの差分（式（９））により与えられる（ラム・ディッケ領域）。その時計シフトは、
ｈΔν_c（Ｉ，ｎ）＝Ｅ_e ^vib（Ｉ，ｎ）−Ｅ_g ^vib（Ｉ，ｎ）＝−ΔＤ（Ｉ）
＋ｈ−ｂａｒΔΩ（Ｉ）（ｎ＋１／２）−ΔＥ⁽⁴⁾（Ｉ）（ｎ²＋ｎ＋１／２），
（１１）
により与えられる。ここで、ΔＤ（Ｉ）＝Ｄ_e（Ｉ）−Ｄ_g（Ｉ）、ΔΩ（Ｉ）＝Ω_e（Ｉ）−Ω_g（Ｉ）、およびΔＥ⁽⁴⁾（Ｉ）＝Ｅ_e ⁽⁴⁾（Ｉ）−Ｅ_g ⁽⁴⁾（Ｉ）と定義している。

これら超分極率は、光格子レーザーの周波数に加えその楕円率にも依存し、次式にて与えられる。
β_g(e)（ω，ξ）＝β_g(e) ^l（ω，ξ）＋ξ²［β_g(e) ^c（ω）−β_g(e) ^l（ω）］，
（１２）
ここで、β_g(e) ^l(c)（ω）は直線（円）偏光に対する超分極率である。ここで、ｔａｎχを偏光楕円の短軸の長軸に対する比を決定するものとしたとき円偏光度はξ＝ｓｉｎ２χによって定義され、楕円角（ellipticity angle）は０≦χ≦π／４において定義される。Δβ^l（＝β_e ^l−β_g ^l）とΔβ^c（＝β_e ^c−β_g ^c）とが逆符号の場合には、ξ_m＝１／（１−Δβ^c／Δβ_e ^l）^1/2で決まる「魔法楕円率（magic ellipticity）」が存在しており（非特許文献５参照）、それによって微分超分極率Δβ（ξ）＝Δβ^l＋ξ²（Δβ^c−Δβ^l）［式（１２）］が消去される。

実際の光格子時計において時計シフトを支配している原理を調査するために、上述した非特許文献３の理論的枠組みを採用することとした。電気双極子効果に加え多重極相互作用および超分極効果も考慮されることから、式（１）〜（１２）の方程式は、ほとんど近似を含んでおらずあらゆる可能な条件を織り込んでいる。しかしながら、時計シフトの強度依存性が調製されている実際の光格子時計に対し当該枠組みを適用するにあたり、時計シフトと光格子レーザー強度Ｉとの間のためのより直接的な関係式を導出する必要がある。この点に関するより重要な結論は、Δβ_lとΔβ_cの間でのΔβ(ξ)のチューニング可能性であり、次にこの点を明らかにする。

１−４．時計シフトの光格子レーザー強度依存性
時計シフトの光格子レーザー強度Ｉ依存性を明確化するために、レーザー冷却された原子をトラップするための実験面からみて現実的な光格子レーザー強度を仮定し、時計シフト（式（１１））について近似が行われる。その際次の量は、電気双極子分極率α_g(e) ^E1≒α^E1よりもおよそ１０⁶倍小さいとした：（ｉ）Ｅ２−Ｍ１分極率α_g(e) ^qm＝α_g(e) ^E2＋α_g(e) ^M1，（ｉｉ）超分極効果β_g(e)Ｉ、および（ｉｉｉ）微分双極子分極率
そして時計シフトをω≒ω_m ^E1の近傍でテイラー級数に展開し、高次項を無視することにより、式（１３）：
（１３）
が得られる。ここで、δν（＝δω／２π）は、Δα^E1（ω_m ^E1）＝０により定義される「Ｅ１魔法周波数」からの離調であり、Δα^qm＝α_e ^qm−α_g ^qmは微分多重分極率である。この際、Ｉ^1/2についての最初の項は原子へのポテンシャルに対するα_g(e) ^qmＩｓｉｎ２（ｋｘ）変調に起因した多重極効果を表現しており、Ｉ^3/2とＩ²の第３および第４項はＩの第２項の後半と併せ、例えばＩ²についてβＩ²ｃｏｓ４（ｋｘ）のようにポテンシャル変調に起因する超分極効果を表現している。残りの項つまりＩに比例する第２項の前半は、光格子レーザー周波数δνの離調であり、その比例係数は微分双極子の光格子レーザー周波数νについての微分係数である。例えば不確かさが１０^-15レベルのときなどの多重極効果や超分極効果を考慮する必要がない場合、時計シフトΔν_cは、光格子レーザー強度Ｉへの比例依存性により支配され微分係数によって決定される。このため、多重極効果および超分極効果を考慮することにより最適な周波数の探索を開始する値となるＥ１魔法周波数を導入することが役に立つ。式（１３）の微分係数から、Ｅ１魔法周波数は、時計遷移の基底および励起状態のための２つの電気双極子分極率をちょうど一致させる光格子レーザーの周波数を表している。

これまで魔法周波数ω_m／２π（＝ｃ／λ_m）はω_m→ω_m ^E1となるようチューニングすることにより、式（１３）において支配的なｃ₁の最小化を狙いとしていた（非特許文献１参照）。しかしながら強調されるべきは、分数不確かさ（fractional uncertainty）Δν_c／ν₀が１０^-17程度にもなると、他のｃ_jＩ^jの項も同様に影響をもつためにこの処方がもはや有効といえないことである。言い換えれば、摂動原因を厳密に評価したことに基礎を置いて理論的に見出した式（１３）が、光格子誘起時計シフトΔν_cの光格子レーザー強度Ｉ依存性に対し、ゼロ外挿アプローチよりも一層包括的な全体像を与えているのである。

多重分極効果を無視したときの「Ｅ１魔法周波数」の適用可能性を評価する手段として、メリットファクターκ＝α^E1／｜Δα^qm｜を定義することができる。上述した計算を通じて得たＳｒ、Ｙｂ、Ｈｇに対するκ値は、順に３．３×１０⁷、２．４×１０⁷、６．９×１０⁵である。メリットファクターの逆数κ^-1は、原子運動が誘起するＩ^1/2非線形性をもたらすＥ２−Ｍ１効果の分数寄与度（fractional contribution）を示している。典型的な時計の実験は比較的弱い強度の領域（βＩ≦α^qm）で行われることから、ＳｒおよびＹｂについての大きなκによって１０^-17レベルにまで時計シフトを線形外挿できることが保証されうる。しかし、例えばＨｇのようにメリットファクターが小さくなる場合や、ＳｒおよびＹｂにおいて不確かさを極限まで除去しようとする場合には、このシンプルなアプローチは瓦解し新たな指針が必要となる。

１−５．原子への実効的魔法周波数の適用
本実施形態の光格子時計の実現可能性を評価するためには、実際的な時計の動作を仮定したうえで、現実の原子のパラメーターを用いて式（１３）における実効的光格子レーザー強度Ｉへの時計シフトΔν_cの依存性を適用することが役立つ。利用可能なのは３つの自由パラメーター（free parameters）ｎ、δν、ξのみであるため、明らかに、式（１３）の４つの係数でｃ_j→０とするような「魔法条件」が存在しえない。実効的（operational）光格子強度Ｉ_opを、Ｓｒ、Ｙｂ、およびＨｇのそれぞれ温度Ｔ〜１μＫ、４μＫ、３０μＫにドップラー冷却された原子をトラップする、Ｄｇ（ｅ）≒α^E1Ｉ_op〜５ｋ_BＴという自然なものに決めた状況を考えよう。その場合、レーザー強度が空間的に不均一なため、可能な限りΔＩを拡大しつつＩ_op±ΔＩについて光シフトΔν_cを最小化するようδνおよびξをチューニングすることができる。実際の１次元光格子は、原子の熱運動を横向きに閉じ込めるために（図２参照）強度プロファイルＩｅｘｐ（−２（ｙ²＋ｘ²）／ｒ₀ ²）とビーム半径ｒ₀≫λとなるガウシアンビームを採用しており、これにより不可避的にΔＩ／Ｉ≒ｋ_BＴ／Ｄｅ（ｇ）の強度の不均一性がもたらされる。説明を簡略化する目的で以降の解析では、サイドバンド冷却を適用して原子がｘ軸について振動の基底状態（ｎ＝０）にあることを仮定する。そのうえで
とΔν_c（Ｉ_OP，δν，ξ）＝０との双方を満足する条件を探索する。

１−５−１．水銀
図３は、式（１３）によって算出された、Ｈｇについての光格子誘起時計シフトΔν_c ^Hg（Ｉ）の光格子レーザー強度Ｉ依存性を示すグラフである。弱い光格子レーザー強度ではＩ^1/2の振る舞いが支配的となり、その係数ｃ_1/2は電気双極子分極率
および多重分極率（Δα^qm）によって決定される。時計が動作する中間的強度では、Ｉに比例する最高次の項が、電気双極子分極率と非調和補正（式（１０））を通じたわずかな超分極効果Δβ（ξ）とによって決定され、加えてＩ^3/2およびＩ²の項がΔβ（ξ）により決まる。

図３の線ＲＳはδν＝−４．６６ＭＨｚおよびξ^Hg＝０．７５のときの時計シフトΔν_c ^Hg（Ｉ）を示しており、１１５ｋＷ／ｃｍ²＜Ｉ＜１７７ｋＷ／ｃｍ²における分数不確かさ１×１０^-18に相当する１ｍＨｚの時計シフトを実証するものである。線ＢＳおよびＢＤは光格子レーザーの離調δν＝０についての直線偏光および魔法楕円偏光に相当する。δν＝−４．６６ＭＨｚおよびξ^Hg＝０．７５としたとき、時計シフト（線ＲＳ）は光格子レーザー強度Ｉの範囲Ｗで±１ｍＨｚ（線Ｇ）を下回る。線ＲＤはξ^Hgについての許容範囲（０．５％）を示す。δν＝−２ＭＨｚの直線偏光（ξ＝０）に対しては、Ｉ〜３６ｋＷ／ｃｍ²の近くで光シフトがΔＩに対し鈍感になる。わずかに変更した条件であるδν＝−４．６５ＭＨｚおよびξ^Hg＝０．８９２についてほとんど同じ依存性が得られ、１１５ｋＷ／ｃｍ²＜Ｉ＜１８０ｋＷ／ｃｍ²について１ｍＨｚを下回る時計シフトとなる（図示しない）。

図３に示すように、光格子レーザーの離調δνと円偏光度ξ^Hgの異なる組合せの図中の各光格子誘起時計シフトΔν_c ^Hg（Ｉ）は各々の光格子レーザー強度Ｉに対する依存性を示す。そればかりか、実質的に
およびΔν_c（Ｉ_op，δν，ξ）＝０をともに満足する時計シフトΔν_c ^Hg（Ｉ）と光格子レーザーの離調δνとの組合せを見付けることも可能である。この組合せでの線ＲＳからは、光格子強度Ｉ_op周りで拡げた範囲Ｗ＝Ｉ_op−ΔＩ〜Ｉ_op＋ΔＩにわたり所定の不確かさレベルよりも小さな不確かさで時計を動作させることが可能となる。このことから、円偏光度ξ^Hg＝０．７５を活用しつつＥ１魔法周波数からの光格子レーザー離調δν＝−４．６６ＭＨｚを伴う当該魔法周波数は、本実施形態にてＨｇについて採用しうる実効的魔法周波数の一例といえる。

１−５−２．イッテルビウム
図４Ａ、４Ｂは、式（１３）で算出された、光格子レーザー強度Ｉと光格子レーザー離調δνを関数とするＹｂの時計シフト値の等値線図であり、順にξ^Yb＝０．７７１および０．７５のものである。線ＲＤは時計シフトが０の場合を示しており、線ＲＬを外縁にもつ領域が、時計シフトの不確かさ｜Δν_c（Ｉ，δν）｜／ν₀＜１×１０^-18を満たす範囲である。図４Ａは、Ｙｂの時計シフトΔν_c ^Yb（Ｉ，δν）をξ^Yb＝０．７７１について計算したものであり、光格子レーザー離調をδν＝０．４５ＭＨｚとするとき、６ｋＷ／ｃｍ²＜Ｉ＜３０ｋＷ／ｃｍ²について｜Δν_c ^Yb（Ｉ，δν）｜／ν₀ ^Yb＜１×１０^-18が達成できることを示している。線ＷＤは光格子レーザー離調δνのところにあり、鎖線長方形ＤＲが対応する光格子レーザー強度の範囲を図示している。ξ^Ybの０．５％の変動（図示しない）に対し２×１０^-18となる分数不確かさを許容すると、適用可能な強度幅がΔＩ＜１５ｋＷ／ｃｍ²に狭まる。同様に、図４Ｂは、Ｙｂの時計シフトΔν_c ^Yb（Ｉ，δν）をξ^Yb＝０．７５について計算したものであり、ξ^Yb＝０．７５１６からのわずかな差分によって多重極効果を補償するものである。光格子レーザー離調をδν＝０．１１ＭＨｚ（線ＷＤ）とするとき、図に示した光格子レーザー強度Ｉの全範囲で時計シフトの不確かさ｜Δν_c ^Yb（Ｉ，δν）｜／ν₀ ^Ybを１×１０^-18よりずっと小さくすることができる。ξ^Ybの０．５％の偏差に対し１×１０^-18となる分数不確かさを許容すると、対応する光格子レーザー強度の範囲はＩ＜１２ｋＷ／ｃｍ²にまで狭まる。楕円偏光であることにより生じるベクトル時計シフトは、ゼーマン副準位ｍ＝±１／２での時計遷移の平均化によってキャンセルする。テンソル時計シフトがないことから、核スピン１／２の¹⁷¹Ｙｂと¹⁹⁹Ｈｇがこの手法のための最適な候補となる。魔法楕円率からのわずかな、しかしはっきりした円偏光度の上記ずれによって、多重極効果の補償が可能となる。これは、光格子レーザー強度のために受け入れられる強度の範囲、つまり受け入れうる許容差が、円偏光度を調整することによって増やすことができるということを示す一例である。

１−５−３．ストロンチウム
図５は、ξ^Sr＝０としたＳｒの｜Δν_c ^Sr（Ｉ，δν）｜／ν₀ ^Srの等値線グラフであり、図４Ａ、４Ｂと同様の軸および線の表示が適用される。Ｓｒについて超分極率の符号はチューニングできない。しかし、図５に示されるように、δν＝１．５ＭＨｚを伴う直線偏光の光格子（ξ＝０）では、０＜Ｉ＜３．３ｋＷ／ｃｍ²について｜Δν_c ^Sr（Ｉ，δν）｜／ν₀ ^Sr＜１×１０^-18が成り立ち、このためにＳｒは魅力的な候補となっている。Ｓｒ光格子は、それがもつ非常に小さいドップラー温度のために弱い光格子レーザー強度Ｉ≒２．３ｋＷ／ｃｍ²にて動作可能であり、その条件での高いメリットファクターκ_Srによって多重極効果が小さく保たれ、超分極効果が作用しない。類似の弱い強度での最適化は、光格子にトラップされた原子の犠牲を伴って、または、¹Ｓ₀−³Ｐ₀時計遷移についての深いレーザー冷却を適用することにより、ＹｂおよびＨｇに対しても適用可能である。

１−６．現実の実効的魔法周波数
何種類かの原子についてこれまで説明した概念が及ぶ本実施形態の範囲を明確にするため、実効的魔法周波数のために用いられた要件を再度説明する。超分極率がチューニングできないか実験上の問題を緩和するために光格子が直線偏光格子（ξ＝０）であるかのどちらかまたは両方である場合、次のようにして決められる最適光格子レーザー離調δν_opで光格子時計を動作させることもできる：
時計遷移に非ゼロで有限となる補正Δν_c（Ｉ_op，δν_op）がなくせなくても、図３の線ＢＳおよびＤに顕れているように少なくともある範囲で時計シフトが光格子レーザー強度に鈍感になることから、本手法は適用可能であろう。例えば、離調がゼロ（δν＝０）の直線偏光（ξ^Hg＝０）を光格子レーザーに使用しているＨｇ光格子時計の場合、図３に顕れるように時計周波数を決定するために−３０ｍＨｚの補正が受け入れられるのであれば、７５ｋＷ／ｃｍ²の光格子レーザー強度Ｉにて光格子レーザー強度の強度範囲または受け入れうる許容差を拡大できることとなる。同様に、別のＨｇ光格子時計であって、直線偏光ξ^Hg＝０および離調δν＝−２．０ＭＨｚを採用するものも、光格子レーザー強度をおおむね４０ｋＷ／ｃｍ²に設定することにより光格子レーザー強度Ｉの許容差を拡大することができ、その場合には、時計シフトΔν_cに−１８ｍＨｚの補正が必要となる。このため、光格子時計の実効的魔法周波数での動作時には、光格子レーザー４（図１）のレーザー周波数をＭＨｚレベルで制御することが重要となる。光格子時計１００のコントローラー５は、任意の種類の周波数基準（図示しない）を参照し、光コムの手法を頼りにその動作中の光格子レーザー４の周波数を管理する。光格子レーザー４の周波数は、典型的には１５０ｋＨｚほどの正確さで容易に制御することができる。

光格子誘起時計シフトΔν_cが光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対し鈍感になることから、
によって導出される光格子誘起時計シフトΔν_cを最適に設定するための要件はもう一つ別の方法で説明することができる。光格子誘起時計シフトΔν_cがこの要件を満たす場合、光格子誘起時計シフトΔν_cに対する上述した修正は、判明している値の分だけ時計周波数シフトするだけで済ませることができ、時計の性能を実質的に劣化させない明解な態様での動作といえる。この種の補正は、時計遷移を検知した後にいつでも実行されうるだろう。なお、そのようなシフトのために時計遷移周波数に補正が必要となりうるものの、時計周波数の不確かさが増えることは一切ない。このため、範囲Ｗの中の一点でゼロの時計シフトつまりΔν_c＝０に接触するような図３の線ＲＳをもたらす条件の集合だけではなく、強度軸Ｉに平行に線が延びている直線偏光（ξ＝０）に対し線ＤおよびＢＳの２つの曲線に対応する条件によっても、本実施形態をＨｇにて実施化することができる。時計周波数の類似したシフトは、別の条件での他の原子においても許容される。図４Ａ、４Ｂ（Ｙｂ）および図５（Ｓｒ）の等値線図に示されるように、光格子誘起時計シフトにゼロとなることを要求することなく、光格子誘起時計シフトの等値線またはその局所的接線が光格子レーザー強度Ｉのための横軸に対して平行に延びる条件を選択することが有用である。そういった選択をした場合、光格子誘起時計シフトの補正を必要としつつ光格子レーザー強度の受け入れうる許容差が拡大することとなる。このため、光格子レーザー強度Ｉの偏差に対し光格子誘起時計シフトΔν_cを鈍感にする光格子レーザー周波数は本実施形態の範囲内の実効的魔法周波数といえるもう一つの例である。

１−７．光格子レーザーの偏光制御
図１を再び参照し、ξ＞０である光格子の準備について説明する。光格子レーザー４からミラー４２、４４によるキャビティーまでの光路における任意の位置に偏光素子６を配置することによってξ＞０での光格子を構築することが可能である。典型的な偏光素子６は、偏光子６２と波長板６４の組合せである。波長板６４は、例えば水晶板とすることができる。なお、光格子レーザー４からの光の偏光は、窓部材８４を通過した後には有限の円偏光度となって歪んでいる可能性がある。これは窓部材８４には両面の圧力差による応力が加わっているのためである。偏光素子６は、そのような環境においても、光格子がミラー４２、４４のキャビティー内に置いて所望の円偏光度をもつことを可能にする。なお、時計遷移の検出は、窓部材８４または８６を通じキャビティーの内部に検出のための別のレーザー光（図示しない）を供給することにより本分野の当業者には容易に実行できる。

１−８．変形
実施形態として典型的な実施化態様を説明したものの、本実施形態の実効的魔法周波数による光格子時計の構造は変更することが可能である。図１の光格子レーザー４によって形成される光格子は、その光格子を生成する一対の対向伝播するレーザーにて説明されてきた。光格子は、実質的に単一の閉じ込め方向をもつ１次元の光格子ｘ軸に沿った交番ポテンシャルをもつ。しかしながら、実効的魔法周波数の光格子時計についての本実施形態は、合計して２つまたは３つの閉じ込め方向をもつ２次元または３次元格子を生成する、追加の一対または複数対のレーザーとともに実施化できる。そのような実施化においても、上記追加の一対または複数対のレーザーが実効的魔法周波数にて光格子を励起するのであれば、１次元の光格子についての上記説明が成り立つといえる。なお、原子の２次元または３次元の振動モードは式（２）〜（１０）とは異なる可能性があり、その点は式（１３）にも反映されるため、光格子が２つまたは３つの閉じ込め方向をもつときには実効的魔法周波数が相応に変更されうる。２次元または３次元の光格子に閉じ込められた原子の量子化された振動がこれまで精力的に研究されてきている（非特許文献６）ことから、本技術の分野に属する当業者は、量子化した振動力学の定式化を頼りに上述した説明をフォローすることによって容易に関連する方程式を変更することができる。このため、２次元および３次元格子を用いる実効的魔法周波数の光格子時計もまた本実施形態の範囲に含まれている。

２．Ｈｇを用いる光格子時計での実効的魔法周波数の実験的確認
時計遷移における光シフト（時計シフト）の不確かさ低減に関する上述した着想の実現可能性を、実効的魔法周波数の¹⁹⁹Ｈｇを用いる(¹⁹⁹Hg-based）光格子時計の一連の実験により確認した。その実験の設定や器具は、本発明者のグループによって非特許文献７にて報告済みである。非特許文献７については、その内容をここに引用することにより本願明細書の一部をなすものとする。実験において、実効的魔法周波数の¹⁹⁹Ｈｇを用いる光格子時計の不確かさが実効的でない（non-operational）魔法周波数の⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計による１０^-18レベルのリファレンス光格子時計と比較された。これは、¹⁹⁹Ｈｇ時計の主要な起源となるのが励起状態（³Ｐ₀）と基底状態（¹Ｓ₀）の光シフトの間の差だけの時計シフトだからである。加えて、実効的でない魔法周波数を採用する⁸⁷Ｓｒを用いるリファレンス光格子時計は、極低温（cryogenic temperature）で動作していれば十分に小さな不確かさを示す（非特許文献８）。

図６は、実験のために¹⁹⁹Ｈｇ原子を用いる実効的魔法周波数の光格子時計１００の実験セットアップを示す。レーザー冷却した¹⁹⁹Ｈｇ原子２が、光格子レーザー４により供給され約３６３ｎｍの波長に当たる実効的魔法周波数の光格子内へロードされる。¹⁹⁹Ｈｇ原子２の¹Ｓ₀−³Ｐ₀時計遷移が、６９８ｎｍのＳｒ時計を参照するようになっている２６６ｎｍの時計レーザーにより問合せされる（interrogated）。６９８ｎｍのＳｒ時計は、光周波数コム３００を通じて、⁸⁷Ｓｒ光格子時計２００の時計遷移を検出するために使用されるものである。以下のようにして、サイクル時間１．５秒の実験シーケンスが実行される。¹⁹⁹Ｈｇ原子が、蒸気セルタイプのマグネトオプティカルトラッピング（ＭＯＴ）により、自然線幅Γ＝１．３ＭＨｚにて２５４ｎｍの¹Ｓ₀−³Ｐ₁遷移を対象にレーザー冷却される。最初に、原子を捕集するためＭＯＴレーザー離調δν_MOT≒−７Γ、ビーム当たりの強度≒１０ｍＷ／ｃｍ²が適用される。８６０ｍｓ長の原子ロード時間の後、原子雲を圧縮するために四重極磁場勾配が１ｍＴ／ｃｍから３ｍＴ／ｃｍへと増大される。最後に、レーザー周波数がδν_MOT≒−Γとなるようにチューニングされて、その後に光格子トラップに転送する効率の最大化を目的に原子をさらに冷却するようレーザー強度が低減される。

約３％の¹⁹⁹Ｈｇ原子が、λ_L≒３６２．６ｎｍで動作し最大トラップ深さＵ_L≒６５Ｅ_Rの垂直向きの１次元の光格子にロードされる。ここで、Ｅ_R／ｈ＝ｈ／（２ｍλ_L ²）＝７．６ｋＨｚは格子−フォトン反跳周波数、ｈはプランク定数、ｍは¹⁹⁹Ｈｇ原子の質量である。次に、軸方向振動状態のｎ≧３の高位にトラップされている原子を解放するために、トラップ深さが一時的にＵ_L≒３５Ｅ_Rにまで減少される。この１次元格子は、２つの曲面ミラー４２、４４と平面折り返しミラー（図６）からなりパワー増強比が１０程度の蓄積キャビティーの内部にて形成される。これらのキャビティーミラーは、ミラーのコーティングの劣化を避けるため真空チェンバーの外部に配置されており、窓部材８４または８６つまりブリュースター窓によって真空部への光学的なアクセスとｐ偏光の光の選択的な増強とが可能になっている。光格子の中の原子２は２５４ｎｍの円偏光で¹Ｓ₀−³Ｐ₁遷移を励起することによってスピン偏極する。スピン偏極およびクロックの励起時にはバイアス磁場Ｂ_biasを印加する。ライン幅転写法によってＥｒドープファイバー光周波数コム３００に対し安定化し、１０６３ｎｍのファイバーレーザーを２段階周波数倍化して生成した２６６ｎｍの時計レーザーにより¹Ｓ₀−³Ｐ₀遷移を励起する。コムのキャリア包絡線オフセット周波数ｆ_CEOは、自己参照するｆ−２ｆ干渉計を利用することにより安定化している。そして、コムのくり返しレートｆ_repは６９８ｎｍのＳｒ時計レーザーの分周波（１３７９ｎｍ）を参照することにより安定化する。Ｓｒ時計レーザーは、不安定性≒５×１０^-16の安定な基準キャビティーに対しτ＝１ｓにて事前安定化（pre-stabilized）しておき、Ｓｒ時計遷移に対してτ＞１０ｓに安定化する（非特許文献８）。この動作のために電荷結合デバイス（ＣＣＤ）カメラ、周波数シフター（ＦＳ）、フォトダイオード（ＰＤ）そしてダイレクトデジタルシンセサイザー（ＤＤＳ）を使用する。

２６６ｎｍの時計レーザーは３６３ｎｍの光格子レーザーに同一の偏光で重畳する。下に示すデータのためには、原子遷移への周波数安定化が数時間の間の実験条件の変化に対しロバストとなるように、Ｈｇ時計が問い合わせ時間（interrogation time）τ_i＝４０−８０ｍｓｅｃで動作する。原子の¹Ｓ₀状態の占有数（population）Ｎ_Sは、ＭＯＴを２０ｍｓｅｃ間だけ動作することにより蛍光から決定する。そして³Ｐ₀状態にある原子２を、４０５ｎｍで³Ｐ₀−³Ｓ₁遷移を励起することにより光ポンプして¹Ｓ₀状態に戻し、原子の³Ｐ₀状態の占有数Ｎ_Pを決定する。励起原子割合［Ｎ_P／（Ｎ_S＋Ｎ_P）］が時計レーザー周波数を安定化するために用いられる。１次のゼーマンシフトおよびベクトル光シフトを平均するために２つのπ遷移ｍ_F＝±１／２→ｍ_F＝±１／２を交番で問い合わせる。

光格子レーザー強度Ｉと光格子レーザー周波数νとの関数として光格子誘起時計シフトΔν_c（Ｉ，ν）を評価するために、光格子レーザー強度Ｉ_Lを変えた逐次計測サイクルにおける強度依存時計シフトδν_c（Ｉ_L，Ｉ₀，ν）＝Δν_c（Ｉ_L，ν）−Δν_c（Ｉ₀，ν）を、Ｉ₀＝８９ｋＷ／ｃｍ²と一定に維持しながら測定する。なお、各光格子レーザー周波数νはＥ１魔法周波数ν_L ^E1（８２６８５５５３４ＭＨｚ）と各離調δν値との合計である。ここで、強度Ｉ_Lおよび強度Ｉ₀は、Ｕ_L＝Ｕ_g(e)の光格子ポテンシャル深さを生じさせる単一の進行波のレーザーのピーク強度の表現を用いて示している。図７は、複合グラフ（ａ）（ｂ）にて、光格子レーザー強度Ｉ_L（下軸）の関数として時計周波数シフトΔν_c（Ｉ_L，δν_c）を示す。対応する光格子トラップ深さＵ_Lを上軸に与えている。図７にプロットしたデータは、光周波数コム（図６に図示しない）に対し０．５ＭＨｚ以内に安定化された７つの異なる光格子レーザー周波数νにて取得し、その際、光周波数コムのキャリア包絡線オフセット周波数ｆ_CEOを、自己参照するｆ−２ｆ干渉計を利用することにより安定化している。図７（ａ）は、次に示す方法に応じて各離調値に対して曲線をフィッティングするために用いる測定データポイントを十字によって示す。曲線に関連付けられている数値は、ν^E1＝８２６８５５５３４ＭＨｚからの光格子レーザー周波数離調δν（ＭＨｚ単位）を示している。そしてコムの繰り返しレートｆ_repは、６９８ｎｍの⁸⁷Ｓｒを用いるリファレンス光格子時計の分周波（１３７９ｎｍ）を参照することにより安定化する。６９８ｎｍの⁸⁷Ｓｒを用いるリファレンス光格子時計は、不安定性≒５×１０^-16をもつ安定な参照キャビティーに対しτ＝１ｓにて事前安定化（pre-stabilized）される。各データ点は、０．２Ｈｚの不確かさで測定する。

最高次の超分極率シフトつまり式（１３）のΔβ（ξ）に依存するＩ²の項がＩ_L＝８９ｋＷ／ｃｍ²の最大の光格子レーザー強度において２×１０^-17であると見積もられ、その値は約１０^-16である測定不確かさよりも小さい。このため、最高次数項以外の上記式（１３）の超分極効果は、時計シフトを
（１４）
のように近似することにより無視する。留意すべきは、光格子レーザーのガウシアンの強度プロファイルＩ_L（ｒ）＝Ｉ_Lｅｘｐ（−２ｒ²／ｗ₀ ²）によって原子が半径方向に閉じ込められることである。ここでｗ₀はビーム半径、ｒは半径方向変位である。典型的な光格子ポテンシャル深さＵ_L≒４３Ｅ_Rに対し、半径方向および軸方向の振動周波数は、ν_r＝（４Ｕ_L／（π²ｍｗ₀ ²））^1/2〜１００Ｈｚ、およびν_a＝（２Ｕ_L／（ｍλ_L ²））^1/2〜１００ｋＨｚである。光格子にトラップされている原子の典型的な運動エネルギー約ｈ×１００ｋＨｚが半径方向振動エネルギー離間ｈν_rよりも約１０³倍大きいため、半径方向の運動は古典的手法にて扱えるだろう。加えて、ｎ番目の軸方向振動状態についてエネルギー固有値Ｅ_g(e) ^vib（Ｉ_L（ｒ），ｎ）を計算する際には、断熱条件ν_a≫ν_rが満たされているので，軸方向および半径方向運動を切り離す（decouple）ことができる。

式（１４）の光シフトの評価には光格子内での原子運動が決定的な役割を果たす。というのは、軸方向運動が平均化した運動状態＜ｎ＞を決定し、ガウシアンの強度プロファイルにおける平均した原子分布＜ｒ²＞を通じて半径方向運動が実効的な光格子レーザー強度＜Ｉ_L（ｒ）＞を決定するからである。軸方向のｎ＝０状態の振動占有数は、赤方および青方の運動サイドバンドスペクトルの全面積の差分によって０．７（１）と測定する。この際の括弧は、中に典型的な数値を記載し不確定な数値の桁を示している。ｎ≧３にある原子は状態準備の際に除き、平均の占有率は、ｎ＝０、１、２振動状態において原子がボルツマン分布すると仮定することにより、＜ｎ＞＝０．４（２）と見積もられる。半径方向の原子分布は不均質に広がったサイドバンドラインの形状により推論できる。というのも、サイドバンドの周波数は、光格子レーザーのガウシアンの強度分布Ｉ_Lｅｘｐ（−２ｒ²／ｗ₀ ²）のために＜ｒ²＞が増大するにつれて小さくなるからである。青方サイドバンドの周波数ν_b（ｎ，ｒ）＝［Ｅ_e ^vib（Ｉ_L（ｒ），ｎ＋１）−Ｅ_g ^vib（Ｉ_L（ｒ），ｎ）］／ｈは、
ν_b（ｎ，ｒ）≒ν_bｅｘｐ（−ｒ²／ｗ₀ ²）−Ｅ_R（ｎ＋１）／ｈ，
により与えられる。ここでの第２項は、光格子ポテンシャルの非調和性から生じており光格子強度とは独立している。ガウシアンの強度分布のファクターは、サイドバンドのスペクトルを利用して＜ｅｘｐ（−２ｒ²／ｗ₀ ²）＞＝０．８（１）と決定される。

Ｅ１魔法周波数での双極子モーメントα₀ ^E1／ｈ＝５．５（８）ｋＨｚ／（ｋＷ／ｃｍ²）が軸方向運動サイドバンド周波数に基づいて実験的に決定された。ここで、不確かさは光格子レーザー強度の測定不確かさによって与えられる。算出値はΔα^qm／ｈ＝８．２５ｍＨｚ／（ｋＷ／ｃｍ²）およびΔβ／ｈ＝−２．２μＨｚ／（ｋＷ／ｃｍ²）²である。全体のデータは、その後式（１３）にフィッティングされ（図７参照）、その際、Ｉ_Lとνを説明変数、Δν_cを応答変数とする重回帰分析とした。こうしてν^E1＝８２６８５５５３４（９）ＭＨｚのＥ１魔法周波数と（１／ｈ）（∂Δα^E1／∂ν）＝１．５（４）×１０^-10／（ｋＷ／ｃｍ²）とが決定される。

Ｈｇ時計周波数の測定のために、−３ＭＨｚの離調を採用した。つまり、光格子誘起時計シフトΔν_c（Ｉ_L，ν）がＩ_op＝５９（１０）ｋＷ／ｃｍ²の周りにおいて光格子強度の偏差に対して鈍感に、すなわち［∂Δν_c（Ｉ_L，ν）／∂Ｉ_L］｜_IL=Iop＝０が得られるように、光格子レーザー周波数νをν^E1−３ＭＨｚ＝８２６８５５５３１ＭＨｚと設定する。図７（ｂ）は図７（ａ）の垂直軸についての拡大図を示す。ラジオ測定に用いるδν＝−３ＭＨｚについて見積もった時計周波数シフトと不確かさを曲線ＢＣとハッチング領域によってそれぞれ示す。動作させた光格子強度（Ｉ_L≒５９ｋＷ／ｃｍ²つまりＵ_L≒４３Ｅ_R）は鎖線により示す。光格子誘起時計シフトはΔν_c＝−０．０４（７）Ｈｚと、また分数周波数シフト（fractional frequency shift）は−４（６）×１０^-17と見積もられ、その不確かさは、主として現測定における統計的不確かさに起源をもつものである。式（１４）にて非線形項を省略して解析すれば、不確かさの範囲において矛盾のない結果が得られる。光格子誘起時計シフトをさらに調査するには実験的にΔβとΔα^qmを決定することが極めて肝要となろう。

実効的魔法周波数の、つまりＥ１魔法周波数から−３ＭＨｚ離調した¹⁹⁹Ｈｇを用いる光格子時計では、不確かさ７．２×１０^-17を伴う２６．９×１０^-17の補正が必要となる。実効的魔法周波数の¹⁹⁹Ｈｇを用いる光格子時計では、リファレンス光格子時計、つまり時計遷移周波数の全体として、不確かさ０．７×１０^-17を伴う補正量−１７．０×１０^-17の⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計に比べ、時計遷移周波数のより大きなシフトと不確かさが影響する。しかしながら、留意すべきは、光格子誘起時計シフトが¹⁹⁹Ｈｇ時計の不確かさの主要な起源であると知られていることである（非特許文献９）。このことからいえるのは、¹⁹⁹Ｈｇを用いる光格子時計を動作させるときの補正および不確かさが実効的魔法周波数の¹⁹⁹Ｈｇを用いる光格子時計によって軽減されることが上述した実験的事実により証明されていることであり、あわせて、実効的魔法周波数を活用することにより光格子誘起時計シフトを低減するという指針が実際に機能したことも確認された。

３．時計シフトの一層の低減
ここまでに説明し実験的にも確かめられた指針は、時計シフトをさらに低減するためにＹｂまたはＳｒ原子の場合に実施することができる。図８は、⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計への上記指針の適用可能性を示すグラフである。このグラフは、⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計の実験結果に基づく半理論的な解析結果を示している。光格子レーザー強度Ｉ（横軸）に依存している分数時計シフト（縦軸）を、Ｅ１魔法周波数からの偏差と関連する効果によって各条件についてプロットしている。曲線ＤＬは、⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計について典型的であるものの予備的な値であるＥ１魔法周波数ν^E1＝ω_m ^E1／２π＝３６８５５４４８３．５（２．５）ＭＨｚで光格子が動作する⁸⁷Ｓｒを用いる光格子時計について、本発明者が実験結果に基づいて見積もった結果を示している。この見積りは、超分極効果Δβを導入せず、微分多重分極率Δα^qm＝α_e ^qm−α_g ^qmに基づいて実行している。なお、分数時計シフト（fractional clock shift）は、プロットした範囲で１０^-18レベルに広がり、光格子レーザー強度が増大するにつれて単調に増大するだろう。もしその見積りが、光格子レーザー周波数をＥ１魔法周波数に維持しつつ多重極分極率と超分極率とを単に同時に採用する分析に基づいてなされれば（非特許文献１０）、分数時計シフトは、線Ｈによって示されるように、光格子レーザー強度Ｉが増大するにつれて急増する。したがって、光格子レーザー周波数がＥ１魔法周波数に固定されていれば、光格子レーザー強度Ｉを可能な限り弱めることが、１０^-19レベルの正確さを得るための唯一のアプローチとなってしまう。

これに対し本指針に応じて実効的魔法周波数が採用され、光格子レーザー周波数がν^E1＋３．１５ＭＨｚへとシフトされると（曲線Ｃ１、図８）、分数時計シフトは光格子レーザー強度Ｉの実用的強度範囲の中ほどで１０^-18レベル未満にまで達する。留意すべきは、図８にプロットされた光格子レーザーの強度値Ｉが単一のレーザー強度値を示すことである。それだけでなく、実効的魔法周波数により周波数それ自体についての実用的な許容差が受け入れられることである。起こりうる逸脱として±０．１５ＭＨｚの光格子レーザー周波数を仮定するとき、図８にてそれぞれν^E1＋３．００ＭＨｚおよびν^E1＋３．３０ＭＨｚに対するカーブＣ２、Ｃ３が描くように、分数時計シフトは１０^-18レベル未満を保っている。図８にて強度の範囲Ｗ２が示すように、曲線Ｃ１は、倍化した強度範囲にわたって分数時計シフトを〜１０^-19レベルに保ちつつ、光格子レーザー強度Ｉの偏差に対し継続的に鈍感である。光格子レーザー周波数が揺らぐときでも、分数時計シフトは曲線Ｃ２、Ｃ３により示されるように継続的に５×１０^-19未満となり、これら曲線もまた強度範囲Ｗ２内の光格子レーザー強度Ｉに対し相対的に鈍感である。図８にて見積もられた結果はＥ１魔法周波数ν^E1について理論的に見積もった値に部分的に基づいて得たものであるものの、微分多重分極率Δα^qmと超分極率Δβはその性質上実験により決定できる。加えて、超分極率Δβは光格子レーザーの偏光状態を制御することにより必要に応じてチューニングでき、時計シフトを、現実に向く光格子レーザー強度Ｉの動作範囲へとさらに調整する余裕が生まれる。このため、実効的魔法周波数を用いる指針は、１０^-18レベル未満や１０^-19にも至る時計シフトの低減に適用できる。そればかりか、実効的魔法周波数で動作される⁸⁷Ｓｒを用いるし光格子時計では１０^-18レベル未満または１０^-19レベルの正確な時間リファレンス標準のための有望な候補になるであろう。

４．まとめ
実効的魔法周波数にて動作する光格子時計を細部にわたり説明した。提案したアプローチに従えば、光格子誘起時計シフトは、これまでになく桁違いに低減され、例えば、動作パラメーターの設定次第で１×１０^-18未満にまで到達する。実効的魔法周波数にて動作される光格子時計は、光格子強度の拡大された範囲にわたり明解な態様で動作させることが可能である。これは、分極率の値が実験的に決定されるときに達成されうるものであり、最近実証した時計の２×１０^-18での再現性は、強力なツールとなる。それらパラメーターを定めかつある値の円偏光度が必要となるときには、例えば波長板など特別に設計された偏光素子を、計時の不確かさを最小化するために使用することができる。

以上、本発明の実施形態を具体的に説明した。上述の実施形態、変形例および実施例は、本出願において開示される発明を説明するために記載されたものであり、本出願の発明の範囲は、特許請求の範囲の記載に基づき定められるべきものである。実施形態の他の組合せを含む本発明の範囲内に存在する変形例もまた、特許請求の範囲に含まれるものである。

本発明は、高精度の時計装置として、または高精度の周波数信号を利用する任意の機器として使用可能である。

Claims

電子状態の２つの準位間で時計遷移を起こしうる原子と、
それぞれが光格子レーザー強度Ｉをもつ少なくとも一対の対向伝播するレーザー光を生成するための実効的魔法周波数のレーザー光源であって、該一対の対向伝播するレーザー光は、それ自体の電磁波が作る定在波の腹の周りに前記原子をトラップする光格子ポテンシャルを形成するものである、レーザー光源と
を備えており、
前記実効的魔法周波数は、前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対する前記時計遷移の光格子誘起時計シフトを鈍感にするような周波数であり、
該光格子誘起時計シフトは、前記電子準位の前記２つの準位に対するＡＣシュタルク効果のために前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩによって生じる、前記原子の前記時計遷移についての周波数が示すシフトである、
光格子時計。
前記光格子誘起時計シフトが前記光格子レーザー強度Ｉの関数として与えられ、
前記光格子時計が前記光格子レーザー強度Ｉとして所定の実効的光格子レーザー強度Ｉ_OPで動作され、
前記実効的魔法周波数は、前記光格子誘起時計シフトの微分値を、前記実効的光格子レーザー強度Ｉ_OPの付近で実質的にゼロにするような周波数である、
請求項１に記載の光格子時計。
前記実効的魔法周波数がＥ１魔法周波数から離調された周波数であり、
該Ｅ１魔法周波数は、前記電子の前記２準位の２つの電気双極子分極率をちょうど一致させる前記レーザー光源の周波数である
請求項２に記載の光格子時計。
前記実効的魔法周波数は、前記光格子誘起時計シフトを所定の不確かさより小さくする周波数となるよう選択される、
請求項１に記載の光格子時計。
前記光格子誘起時計シフトが前記光格子レーザー強度Ｉの関数として与えられ、
前記光格子時計が前記光格子レーザー強度Ｉとして所定の実効的光格子レーザー強度Ｉ_OPで動作され、
前記実効的魔法周波数は、前記光格子誘起時計シフトと前記光格子誘起時計シフトの微分値との双方を、前記所定の前記実効的光格子レーザー強度Ｉ_OPの付近で実質的にゼロにするような周波数である、
請求項４に記載の光格子時計。
前記一対の対向伝播するレーザー光の偏光状態は、前記光格子誘起時計シフトが前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対し鈍感になるよう設定されている、
請求項１に記載の光格子時計。
前記一対の対向伝播するレーザー光の偏光状態を調整するための偏光素子
さらに備え、
該偏光素子により調整される前記偏光状態は、所定の円偏光度となるように調整される
請求項６に記載の光格子時計。
前記実効的魔法周波数および前記所定の偏光度は、前記光格子レーザー強度Ｉの受け入れうる許容差を広げるように決定されるものである、
請求項７に記載の光格子時計。
前記原子が、長寿命状態間にて時計遷移を起こす原子およびイオンからなる群から選択されるものである、
請求項１に記載の光格子時計。
前記原子が、イッテルビウム（Ｙｂ）、水銀（Ｈｇ）、ストロンチウム（Ｓｒ）、カドミウム（Ｃｄ）、亜鉛（Ｚｎ）、マグネシウム（Ｍｇ）、およびカルシウム（Ｃａ）からなる群から選択されるものである、
請求項９に記載の光格子時計。
前記一対のレーザー光の偏光状態を調整するための偏光素子
をさらに備えており、
前記原子が水銀（Ｈｇ）であり、
前記一対のレーザー光の前記偏光状態は、水銀のための所定の円偏光度をもつように調整されている、
請求項４に記載の光格子時計。
前記一対のレーザー光の偏光状態を調整するための偏光素子
をさらに備えており、
前記原子がイッテルビウム（Ｙｂ）であり、
前記一対のレーザー光の前記偏光状態は、イッテルビウムのための所定の円偏光度をもつように調整されている、
請求項４に記載の光格子時計。
前記一対の対向伝播するレーザー光の偏光状態を調整するための偏光素子
をさらに備えており、
前記原子がストロンチウム（Ｓｒ）であり、
前記一対の対向伝播するレーザー光の前記偏光状態は、円偏光度０の直線偏光である、
請求項４に記載の光格子時計。
電子状態の２つの準位間で時計遷移を起こしうる原子と、
それぞれが光格子レーザー強度Ｉをもつ少なくとも一対の対向伝播するレーザー光を生成するための実効的魔法周波数のレーザー光源であって、該一対の対向伝播するレーザー光は、それ自体の電磁波が作る定在波の腹の周りに前記原子をトラップする光格子ポテンシャルを形成するものである、レーザー光源と
を備えており、
前記実効的魔法周波数は、前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対する前記時計遷移の光格子誘起時計シフトを鈍感にするような周波数であり、
該光格子誘起時計シフトは、前記電子準位の前記２つの準位に対するＡＣシュタルク効果のために前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩによって生じる、前記原子の前記時計遷移についての周波数が示すシフトである、
時間基準装置。
電子状態の２つの準位間で時計遷移を起こしうる原子を提供する段階と、
それぞれが光格子レーザー強度Ｉをもつ少なくとも一対の対向伝播するレーザー光を実効的魔法周波数のレーザー光源により生成する段階と、ここで、該一対の対向伝播するレーザー光は、それ自体の電磁波が作る定在波の腹の周りに前記原子をトラップする光格子ポテンシャルを形成するものであり、
を含み、前記実効的魔法周波数は、前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩに対する前記時計遷移の光格子誘起時計シフトを鈍感にするような周波数であり、
該光格子誘起時計シフトは、前記電子準位の前記２つの準位に対するＡＣシュタルク効果のために前記光格子レーザー強度Ｉの偏差ΔＩによって生じる、前記原子の前記時計遷移についての周波数が示すシフトである、
光格子時計の動作方法。