JP2013050899A - 設計支援プログラム及び設計支援装置 - Google Patents

Abstract

【課題】信頼性評価を含む最適化設計手法に基づいて設計対象物の最適な設計値を計算するに当たって、最終的な結果を得るまでの計算時間の短縮を実現する。
【解決手段】ＭＯＰＳＯアルゴリズムを用いて多目的最適化問題を解くことにより、設計対象物の最適な設計値を計算する機能をコンピュータに実現させる設計支援プログラムであって、前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について前記制約関数を満足するか否かを判定する機能をコンピュータに実現させる。
【選択図】図９

Description

本発明は、設計支援プログラム及び設計支援装置に関する。

従来から、機械設備等の設計対象物の設計段階において、メタヒューリスティック法などの最適化手法を用いて最適な設計値を決定する最適化設計手法が広く採用されている（下記特許文献１参照）。また、信頼性評価と最適化手法を組み合わせることにより、信頼度に対する制約（破損確率制約）の下で重量最小化を図る設計や、重量制約の下で信頼度を最大化する設計（破損確率最小化設計）などを行うこともできる。

従来の信頼性評価を含む最適化設計手法には、最適化手法であるメタヒューリスティック法と、確率変数を標準正規分布空間（Ｕ空間）に変換し、限界状態関数を線形近似して破損確率を評価する一次信頼性解析法（ＦＯＲＭ：First Order Reliability Method）との組み合わせがよく用いられていた。

特開２００６−４８４７５号公報

上述したメタヒューリスティック法とＦＯＲＭとの組み合わせによる最適化設計手法によると、信頼性は最適化問題を解くためのループ内でＦＯＲＭによって評価されるが、ＦＯＲＭも収束計算であるため、最適化問題を解くためのループが二重ループ構造となってしまい、最終的な結果を得るまでに膨大な計算時間が必要になるという問題があった。

本発明は上述した事情に鑑みてなされたものであり、信頼性評価を含む最適化設計手法に基づいて設計対象物の最適な設計値を計算するに当たって、最終的な結果を得るまでの計算時間の短縮を実現することを目的とする。

上記目的を達成するために、本発明では、設計支援プログラムに係る第１の解決手段として、ＭＯＰＳＯアルゴリズムを用いて多目的最適化問題を解くことにより、設計対象物の最適な設計値を計算する機能をコンピュータに実現させる設計支援プログラムであって、前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について前記制約関数を満足するか否かを判定する機能をコンピュータに実現させることを特徴とする。

また、本発明では、設計支援プログラムに係る第２の解決手段として、上記第１の解決手段において、前記制約関数を満足しないパーティクルが存在する場合には、当該パーティクルを違反度が小さくなる方向へ移動させる機能をコンピュータに実現させることを特徴とする。

また、本発明では、設計支援プログラムに係る第３の解決手段として、上記第１または第２の解決手段において、シグマ法を用いて前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムによるパーティクルの位置更新を行う機能をコンピュータに実現させることを特徴とする。

一方、本発明では、設計支援装置に係る第１の解決手段として、ＭＯＰＳＯアルゴリズムを用いて多目的最適化問題を解くことにより、設計対象物の最適な設計値を計算する設計支援装置であって、前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について前記制約関数を満足するか否かを判定する手段を備えることを特徴とする。

また、本発明では、設計支援装置に係る第２の解決手段として、上記第１の解決手段において、前記制約関数を満足しないパーティクルが存在する場合には、当該パーティクルを違反度が小さくなる方向へ移動させる手段を備えることを特徴とする。

また、本発明では、設計支援装置に係る第３の解決手段として、上記第１または第２の解決手段において、シグマ法を用いて前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムによるパーティクルの位置更新を行う手段を備えることを特徴とする。

本発明によれば、ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について前記制約関数を満足するか否かを判定することにより、信頼性評価を含む多目的最適化問題を解くためのループが単一ループ構造となるため、設計対象物の最適な設計値を計算するに当たって、最終的な結果を得るまでの計算時間を短縮することが可能となる。

本実施形態に係る設計支援装置１の構成概略図である。 多目的最適化手法に関する説明図である。 ＰＳＯ及びＭＯＰＳＯに関する説明図である。 ＭＯＰＳＯのアーカイブによるパレート解保存に関する説明図である。 ＭＯＰＳＯのシグマ法によるパーティクルの位置更新に関する説明図である。 制約違反したパーティクルの移動方法に関する説明図である。 一次信頼性解析法（ＦＯＲＭ）に関する説明図である。 ＳＬＳＶ法に関する説明図である。 本実施形態における最適化設計アルゴリズムを示すフローチャートである。 本実施形態における最適化設計アルゴリズムの検証結果を示す図である。

以下、本発明の一実施形態について、図面を参照しながら説明する。
図１は、本実施形態に係る設計支援装置１の構成概略図である。この図１に示すように、本実施形態に係る設計支援装置１は、信頼性評価を含む最適化設計手法に基づいて設計対象物の最適な設計値を計算する例えばパーソナルコンピュータであり、入力装置２、表示装置３、記憶装置４及び処理装置５から構成されている。

入力装置２は、例えばキーボードやマウス等であり、ユーザによる入力操作に応じた信号（操作信号）を処理装置５に出力する。表示装置３は、例えば液晶ディスプレイであり、処理装置５から入力される画像信号に応じた画像を表示する。これら入力装置２及び表示装置３は、設計支援装置１のユーザインターフェイスとして機能するものである。

記憶装置４は、ＯＳ(Operating System)プログラムやアプリケーションプログラム、各種設定データ等を記憶するＨＤＤ(Hard Disk Drive)と、処理装置５が各種処理を実行する際にデータの一時保存先として使用されるＲＡＭ(Random Access Memory)等の揮発性メモリから構成されている。この記憶装置４（特にＨＤＤ）には、設計支援装置１、つまりパーソナルコンピュータに信頼性評価を含む最適化設計手法に基づいて設計対象物の最適な設計値を計算させるための設計支援プログラム４ａが記憶されている。

処理装置５は、例えばＣＰＵ(Central Processing Unit)等のプロセッサであり、記憶装置４（特にＨＤＤ）に記憶されている各種プログラムと入力装置２から入力される操作信号とに基づいて各種処理を実行する。この処理装置５が、記憶装置４に記憶されている設計支援プログラム４ａに従い、信頼性評価を含む最適化設計手法に基づいて設計対象物の最適な設計値を計算する。

次に、上記のように構成された本設計支援装置１の動作、つまり処理装置５が、記憶装置４に記憶されている設計支援プログラム４ａに従って、信頼性評価を含む最適化設計手法に基づいて設計対象物の最適な設計値を計算する手順について説明する。
なお、以下では、本実施形態において採用する信頼性評価を含む最適化設計手法の理解を容易とするために、始めに本実施形態での最適化設計手法の実現に必要な各種手法について説明する。

１．多目的最適化手法
１−１．多目的最適化問題の定式化
まず、多目的最適化手法について説明する。ｎ個の目的関数を最小化する多目的最適化問題は下記（１）式で定式化される。なお、下記（１）式において、ｆ_ｉ(ｘ)はｉ番目の目的関数、ｘは設計変数ベクトル、ｚは設計変数の数を表す。また、ｘ^Ｌ _ｉとｘ^Ｕ _ｉはｉ番目の設計変数に直接的に課される側面制約条件であり、ｇ_ｊ(ｘ)は制約関数、ｍはその数である。

多目的最適化問題では、目的関数間にトレードオフの関係が存在する時、複数の目的関数を同時に最小化する解は一般的に存在しないため、パレート最適解の概念が導入される。また、多点同時探索型の多目的最適化問題では、探索点間に優越関係が存在する。パレート最適解及び探索点間の優越関係については以下で説明する。

１−２．パレート最適解
多目的最適化問題では、上記のように複数の目的関数が存在し、それぞれの目的関数が最小値をとる点は異なるので、全ての目的関数を同時に最小化することは困難である。よって、以下のようなパレート最適解の概念を導入する。
例えば、図２（ａ）に示すように、２つの目的関数ｆ_１、ｆ_２を最小化する問題を解いた時、ｆ_１を横軸、ｆ_２を縦軸とする解空間上に４つの解ａ、ｂ、ｃ、ｄが得られた場合を考える。解ａと解ｂを比べた場合、ｆ_１を基準に考えると、解ａは解ｂより優れているが、ｆ_２を基準に考えると、解ｂが解ａより優れている。よって、総合的にどちらの解が優れているか決定できない。解ｃと解ｄを比べた場合も同様である。

一方、解ｂと解ｄを比べた場合、ｆ_１、ｆ_２のどちらを基準にしても解ｂは解ｄより優れている。よって、総合的にも解ｂは解ｄより優れているといえる。以上のように、多目的最適化問題においては、複数の解から最適解を一つに絞ることが困難であり、図２（ａ）では解ａ、ｂ、ｃの３つの最適解が得られることになる。これらの解はパレート最適解と呼ばれ、以下のように考えられる。
・実行可能集合の中に、他の目的関数の値を増加させることなく、ある目的関数の値を減少させる点ｘを持たないとき、ｘ^＊はパレート最適解である。
・実行可能集合の中に、全ての目的関数を同時に改善する点ｘを持たないとき、ｘ^＊は弱パレート最適解である。
なお、図２（ｂ）に示すように、目的関数空間内でパレート最適解を結んで形成される曲線をパレート曲線という。

１−３．探索点間の優越関係
多点同時探索型の多目的最適化問題における探索点間の優越関係は下記（２）式によって定式化される。

ｉ番目の探索点の設計変数ベクトルをｘ_ｉとし、ｊ（≠ｉ）番目の探索点の設計変数ベクトルをｘ_ｊとして上記（２）式が成立する場合、ｘ_ｉはｘ_ｊに対して優越するといい、ｘ_ｉを非劣解、ｘ_ｊを劣解と呼ぶ。探索点間を優越関係を用いて探索を進める手法は、ＭＯＧＡやＮＰＧＡ、ＮＳＧＡ等の多くのＥＭＯで採用されている。

２．ＰＳＯ(Particle Swarm Optimization)
２−１．ＰＳＯの概念
本実施形態では、多目的最適化手法の内、ＭＯＰＳＯ(Multiobjective-PSO)と呼ばれる手法を採用する。ＭＯＰＳＯは多目的であるが、先に基本となる単一目的の通常のＰＳＯについて説明する。ＰＳＯとは、パーティクルと呼ばれるランダムに配置された探索点で群れ（swarm）を構成し、過去の行動履歴に従って動的に調整される速度に基づいて、解空間を目的関数値が改善される方向にパーティクルが飛び回ろうとする探索アルゴリズムである。

基本原理は、群れを構成する個体であるパーティクルが自由に行動するわけではなく、パーティクルの独自情報と群れ全体の共通情報を組み合わせ、一定の規則に従って行動するというものである。一般的なＰＳＯは、目的関数に関する微分情報を必要としないため、様々な問題に適用が可能であり、且つ基本的な計算を使用する簡単なアルゴリズムであるにも関わらず、非線形最適化問題を高速に解くことができるという特徴を有している。

２−２．ＰＳＯの基本アルゴリズム
ＰＳＯでは、パーティクルが解空間内を移動し続ける。下記（３）式によりパーティクルごとに速度ｖが更新され、下記（４）式によりパーティクルごとに位置ｘが更新されることにより、次世代のパーティクルの速度ｖと位置ｘが決定される。

ここで、ｉ（＝１、２、…、Ｎ）はパーティクル番号であり、ｊ（＝１、２、…、ｚ）は次元の成分番号、ｋは探索更新回数、ｒ_１ｉｊ、ｒ_２ｉｊは区間（０、１）上の一様乱数、ω、Ｃ_１、Ｃ_２はそれぞれの項に対する重み係数である。一般的には、Ｃ_１＋Ｃ_２≦４となるようにＣ_１、Ｃ_２を決定する必要があるが、Ｃ_１＝Ｃ_２＝２がよく用いられる。

制約関数を持たない一般的なＰＳＯの探索アルゴリズムは以下の通りである。
第１ステップ：パーティクルの数Ｎ、重み係数ω、Ｃ_１、Ｃ_２及び最大繰り返し回数ｋ_ｍａｘを決定する。
第２ステップ：各パーティクルの初期位置ｘ^０ _ｉと初期速度ｖ^０ _ｉを実行可能領域内にランダムに設定する。
第３ステップ：上記（３）式及び（４）式を用いて、各パーティクルの速度ｖ及び位置ｘを更新する。
第４ステップ：過去の探索における探索点（パーティクル）ｉの最良値である自己ベストｐｂｅｓｔと、探索点全体における過去の最良値である集団ベストｇｂｅｓｔを更新する。具体的には、更新された位置ｘ^ｋ＋１ _ｉが、ｆ（ｘ^ｋ＋１ _ｉ）≦ｆ（ｐｂｅｓｔ^ｋ _ｉ）を満たす場合にｐｂｅｓｔ^ｋ＋１ _ｉ＝ｘ^ｋ＋１ _ｉとし、満たさない場合にｐｂｅｓｔ^ｋ＋１ _ｉ＝ｐｂｅｓｔ^ｋ _ｉとする。また、グループ内での最小のｐｂｅｓｔ^ｋ＋１をｐｂｅｓｔ_ｍｉｎとするとき、ｇｂｅｓｔ^ｋ＋１＝ｐｂｅｓｔ_ｍｉｎとする。
第５ステップ：ｋ＝ｋ_ｍａｘならば、最終解をｇｂｅｓｔ^ｋ＋１とし、最終値をｆ（ｇｂｅｓｔ^ｋ＋１）として探索アルゴリズムを終了する。ｋ≠ｋ_ｍａｘならば、ｋ＝ｋ＋１として第３ステップへ戻る。

３．ＭＯＰＳＯ(Multiobjective-PSO)
３−１．ＭＯＰＳＯの基本アルゴリズム
上記のように、ＰＳＯ等の単一目的最適化問題では、最終的に全てのパーティクルが設計変数空間内で特定の箇所に収束することを目的としたが（図３（ａ）参照）、多目的最適化問題では、各パーティクルが目的関数空間内に良好なパレート曲線を描くことを目的とする（図３（ｂ）参照）。パレート曲線上の１つのパーティクルが１つのパレート最適解を表しているため、パレート曲線上の広い部分に均一で多数のパーティクルが集まれば、様々な状況における最適解が得られることになる。つまり、多目的最適化問題では、パーティクルがパレート曲線上に集まる収束性と、パーティクルがパレート曲線の広い範囲に広がる広域性が求められる。

本実施形態で採用するＭＯＰＳＯの基本的なアルゴリズムは以下の通りである。
第１ステップ：パーティクルの数Ｎ、重み係数ω、Ｃ_１、Ｃ_２及び最大繰り返し回数ｋ_ｍａｘを決定する。
第２ステップ：第１世代のパーティクルを実行可能領域にランダムに配置し、その中でのパレート最適解をアーカイブに保存する。
第３ステップ：シグマ法を用いたＭＯＰＳＯによって各パーティクルを移動させる。この時、ＰＳＯと同様に、自己ベストｐｂｅｓｔ及び集団ベストｇｂｅｓｔを更新する。
第４ステップ：各パーティクルについて制約関数を満足するか否かを判別し、制約関数を満足するパーティクルの中でのパレート最適解を集めてアーカイブに保存し、制約関数を満足しないパーティクルについては違反度が小さくなる方向へ移動させる。
第５ステップ：ｋ＝ｋ_ｍａｘならば、その時のアーカイブ内のパレート最適解を最終結果としてアルゴリズムを終了し、ｋ≠ｋ_ｍａｘならば、ｋ＝ｋ＋１として第３ステップへ戻る。
以下、上記ＭＯＰＳＯの基本アルゴリズムについての補足説明を行う。

３−２．アーカイブによるパレート最適解の保存
滑らかなパレート曲線を得るには多数のパレート最適解が必要となるので、計算過程で得られた優良な解をエリート個体として保存するためのエリート保存戦略が重要となる。アーカイブとは、そのようなエリート保存戦略を実現する機能である。アーカイブの中には、まず、第１世代のパレート最適解を保存し、第２世代以降については移動後のパーティクルのパレート最適解を一旦全て保存する。その後、増えたアーカイブの中でのパレート最適解だけをアーカイブ内に残し、残りは消去する。

図４を参照しながら説明すると、ｋ＋１代目のパレート解Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄにおいて、Ａ、Ｂ、Ｃはｋ代目のアーカイブを含めてもパレート解なので、ｋ＋１代目のアーカイブに含まれる。一方、Ｄはｋ代目のアーカイブを含めた時はパレート解ではないので、ｋ＋１代目のアーカイブには含まれない。また、ｋ代目のアーカイブであるａは、ｋ＋１代目のパレート解を含めたときにはパレート解でないので、ｋ＋１代目のアーカイブには含まれない。以上のように、第１世代から最終世代までの全ての解の中から、パレート解を抽出できるようになる。

３−３．シグマ法によるパーティクルの移動
パレート曲線の広域性を確保するためにシグマ法を採用する。シグマ法とは、グループベスト（集団ベストｇｂｅｓｔ）の代わりに局所的なローカルベストを用いる方法である。このシグマ法では、例えば目的関数空間が２次元の場合（２つの目的関数ｆ_１、ｆ_２が存在する場合）、下記（５）式を用いてシグマ値σを算出する。

図５（ａ）に示すように、シグマ値σは、目的関数空間内で原点から放射線状に伸びる直線上で同じ値をとる。ｆ_１＝ｆ_２でσ＝０、ｆ_１＝０でσ＝−１、ｆ_２＝０でσ＝１であり、連続的に変化する。また、目的関数空間が３次元の場合（３つの目的関数ｆ_１、ｆ_２、ｆ３が存在する場合）には、下記（６）式を用いてシグマ値σをベクトルとして算出することができる。

シグマ法では、このシグマ値を基準にしてローカルベストを決定する。具体的には、各パーティクルのシグマ値と、現在の全てのパレート解のシグマ値を比較し、各パーティクルと一番近い大きさのシグマ値を持ったパレート解をローカルベストにする。これにより、図５（ｂ）に示すように、パーティクル群が広域性を保ったままパレート集合を形成でき、結果として広い範囲でのパレート曲線が得られる。

３−４．制約関数を満足しないパーティクルの処置
ＰＳＯの性質として、制約関数を持つ最適化問題では収束結果が悪化するという問題がある。従来は、制約関数を満足しないパーティクルは移動前の位置に戻すという方法が用いられていたが、この方法では計算効率が悪化する問題に加えて、制約関数の境界周辺を十分に探索できないという問題がある。

この問題を解決するために、制約関数を満足しないパーティクルは、その位置から実行可能領域まで移動させる、つまり違反度を小さくする方向へ移動させるという手法を採用する。さらに、一般的に最適解（パレート解）は制約条件が活性化するところに存在するので、パーティクルを実行可能領域に移動させた後、そのパーティクルを実行可能領域の境界近傍まで移動させる。この手法は計算効率が悪化する可能性はあるが、パレート解の収束性と広域性の改善を期待できる。

また、一度制約違反をしたパーティクル、つまり制約関数を満足しなかったパーティクルは、次の世代でも制約を違反する方向に移動しやすいので、これを防ぐために、制約を違反したパーティクルの速度をゼロにして、次の世代での移動を自己ベストｐｂｅｓｔと集団ベストｇｂｅｓｔだけに依存させることが有効である。

制約違反をしたパーティクルを実行可能領域に移動させる手順は以下の通りである。
第１ステップ：制約を違反したパーティクルを動かすステップ幅ｓを決定する。
第２ステップ：パーティクルが違反している制約関数の勾配を基に、違反したパーティクルを移動させる方向（単位方向ベクトルｈ）を決定し、違反したパーティクルの速度をゼロに設定する。
第３ステップ：違反したパーティクルを現在位置からｈ方向にステップ幅ｓ分だけ移動させ、その位置での違反度を計算する。
第４ステップ：移動後の位置でパーティクルが制約関数を満足していなければ、第３ステップに戻り、同一方向にさらに移動させ、満足していれば、次のステップへ進む。なお、移動後の位置で制約関数が悪化していれば第２ステップに戻り、移動方向を変更する。
第５ステップ：制約関数を満足した位置と以前の位置とを利用して、制約関数が活性となる位置（実行可能領域の境界）、すなわちｇ_ｊ(ｘ)＝０となる位置を求め、その位置へパーティクルを移動させる。
なお、図６は、制約違反したパーティクルが上記アルゴリズムにより実行可能領域内に戻るまでの過程を示す概念図である。

４．信頼性解析
４−１．一次信頼性解析法
信頼性は、構造が破損しない確率で定義される。確率変数をＺとし、強度をＲ（Ｚ）、負荷荷重をＳ（Ｚ）とすると、信頼性は下記（７）式に示すような限界状態関数ｇ（Ｚ）で表される。

構造設計においては、材料特性や負荷荷重を確率変数Ｚとしてモデル化し、負荷荷重Ｓ（Ｚ）が強度Ｒ（Ｚ）を越える場合を破損基準として信頼性を評価する。その他に、変位がその上限値を越える場合や固有振動数がその下限値を下回る場合などの構造応答に関する設計基準を破損基準とみなして信頼性を評価する場合もある。構造破損確率は、Ｚの結合確率密度関数ｆ_Ｚ（Ｚ）を用いた下記（８）式によって評価する。

一般的に、結合確率密度関数ｆ_Ｚ（Ｚ）の複雑さや限界状態曲面の形状などのために、上記（８）式を解析的に解くことは困難である。そこで、限界状態関数を線形近似して破壊確率を評価する一次信頼性解析法（ＦＯＲＭ：First Order Reliability Method）が広く用いられている。

このＦＯＲＭのアルゴリズムは以下の通りである。
第１ステップ：図７（ａ）に示すように、Ｚ空間の確率変数ＺをＵ空間の標準正規確率変数Ｕに変換する。破損確率は、図７（ｂ）に示すような破損領域Ｄｆの確率として与えられる。ここで、図７（ｂ）に示す標準正規確率密度関数Φを下記（９）式で表すと、Ｕ空間内において、標準正規確率変数Ｕは下記（１０）式で求められる。つまり、下記（１０）式によりＺ空間の確率変数ＺをＵ空間の標準正規確率変数Ｕに変換できる。

第２ステップ：図７（ｂ）に示すように、Ｕ空間における原点Ｏから、限界状態曲線までの最短距離βを与える点ｕ^＊を探索し、その点で限界状態曲線を線形近似する。ここで、βを信頼性指標と呼び、ｕ^＊を設計点と呼ぶ。
第３ステップ：標準正規確率密度関数Φと信頼性指標βからなる下記（１１）式を用いて破壊確率Ｐ_ｆを評価する。

４−２．ラクビッツ・フィースラー法
上述した信頼性指標βを求める手法として、ラクビッツ・フィースラー法が広く使用されている。このラクビッツ・フィースラー法は、設計点ｕ^＊において限界状態関数の勾配の逆方向が、Ｕ空間の原点Ｏから設計点ｕ^＊への方向と一致するという、下記（１２）式で表される性質を利用したものである。なお、ｈ（ｕ）は、Ｕ空間に変換された限界状態関数である。

以下、ラクビッツ・フィースラー法によって信頼性指標βを求めるアルゴリズムについて、図８（ａ）を参照しながら説明する。
第１ステップ：ｍ＝１とし、初期点ｕ^（ｍ）を仮定する。
第２ステップ：下記（１３）式及び（１４）式を用いて、初期点ｕ^（ｍ）における限界状態関数の勾配∇ｈ(ｕ^（ｍ）)と、その単位勾配ベクトルα^（ｍ）を算出する。

第３ステップ：原点を通る−α^（ｍ）方向で、ｕ^（ｍ）で線形化した限界状態関数の値がゼロとなる点を求める。ｈ(ｕ)をｕ^（ｍ）でテーラー展開して、ｈ(ｕ)＝０を代入すると、下記（１５）式が得られる。

ここで、ｕ＝ｕ^{（ｍ＋１）}とすると、下記（１６）式が得られる。また、原点からの距離、つまり信頼性指標βは下記（１７）式を用いて求めることができる。

第４ステップ：近似する前の限界状態関数に対して、ｈ(ｕ^{（ｍ＋１）})＝０であれば終了し、そうでなければ、ｍ＝ｍ＋１として第２ステップに戻る。

４−３．ＳＬＳＶ法
ＳＬＳＶ(Single Loop Single Variable)法は、信頼性最適化問題において必要になる二重ループのアルゴリズムを単一ループにする手法である。図８（ｂ）は、ＳＬＳＶ法の概念図である。正規化されたＵ空間上で、半径β_ｔと制約関数ｈ(ｕ)≧０が存在し、ｈ(ｕ)＜０の場合に破損する。原点から限界状態曲面（ｈ(ｕ)＝０）までの距離が信頼性指標βとなる。

具体的には、信頼性指標βを、目標にする信頼性指標β_Ｔで置き換え、β_Ｔを使用した場合の限界状態曲面を求める。ここで、βとβ_Ｔとの比較結果を以下のようにまとめる。
Ａ：β＜β_Ｔ、 Ｂ：β＝β_Ｔ、 Ｃ：β＞β_Ｔ
Ａの時、求められた信頼性指標が近似した信頼性指標より小さいので、β_Ｔを大きくする必要がある。逆に、Ｃの時には、求められた信頼性指標が近似した信頼性指標より大きいので、β_Ｔを小さくすることができる。このような繰り返し計算を行うことで、Ｂの状態へと近づけていく。実際の近似手法は下記（１８）式で表される。

ただし、∇ｈは正規化された変数Ｕでｈを微分した勾配ベクトルである。また、正規化の式から設計点ｕ^＊は下記（１９）式で表される。

よって、上記（１８）式及び（１９）式から下記（２０）式が導かれる。しかしながら、設計点ｕ^＊を求めなければ、単位勾配ベクトルα^＊の値を求めることができない。そこで、上記（２０）式を下記（２１）式のように近似する。このように近似し、繰り返し計算を行うことにより、設計変数を最適点へと近づける。

５．本実施形態における最適化設計手法
本実施形態では、上述した制約関数の感度解析を利用した多目的最適化アルゴリズムであるＭＯＰＳＯと、信頼性評価アルゴリズムであるＳＬＳＶ法を組み合わせてなる、信頼性評価を含む最適化設計手法を採用する。図９に、本実施形態における最適化設計アルゴリズムを示す。つまり、本設計支援装置１の処理装置５は、図９に示す最適化設計アルゴリズム（設計支援プログラム４ａに記述されたアルゴリズム）に従って、設計対象物の最適な設計値を計算する。

以下、本実施形態における最適化設計アルゴリズムの各ステップについて説明する。
まず、第１世代のパーティクルを目的関数空間（解空間）上における実行可能領域にランダムに配置する（ステップＳ１）。なお、上記（３）式及び（４）式の計算に必要なパーティクルの数Ｎ、重み係数ω、Ｃ_１、Ｃ_２及び最大繰り返し回数ｋ_ｍａｘは、ユーザによる入力装置２の操作によって事前に入力されている。

続いて、上述したシグマ法を用いたＭＯＰＳＯによって各パーティクルの位置を更新する（ステップＳ２）。なお、シグマ法を用いたＭＯＰＳＯによって各パーティクルの位置を更新する手順（パーティクルを移動させる手順）については、前述の２−２項、３−１項、３−３項を参照されたい。
続いて、各パーティクルについて、制約関数ｇ_ｉ(ｘ^(ｋ))を算出すると共に、単位勾配ベクトルαを下記（２２）式を用いて算出する（ステップＳ３）。

続いて、各パーティクルについて、ＭＯＰＳＯの制約関数ｇ_ｉ(ｘ^(ｋ))に代入する変数の値を、設計変数ｄ、信頼性指標β、標準偏差σ及び単位勾配ベクトルαからなるＳＬＳＶの値（上記（２１）式参照）に置き換え、その制約関数を満足するか否かを判定する（ステップＳ４）。なお、判定式は下記（２３）式で表わされる。

上記ステップＳ４にて「Ｎo」の場合、つまり制約関数を満足しないパーティクル（制約違反したパーティクル）が存在する場合、制約違反したパーティクルを違反度が小さくなる方向へ移動させた後、上記ステップＳ４に戻る（ステップＳ５）。なお、制約違反をしたパーティクルを実行可能領域に移動させる手順は前述の３−４項の通りである。
一方、上記ステップＳ４にて「Ｙes」の場合、つまり全てのパーティクルが制約関数を満足する場合、現在のパーティクルの中からパレート解を集め（ステップＳ６）、集めたパレート解をアーカイブに保存する（ステップＳ７）。なお、アーカイブによるパレート最適解の保存の手順については、前述の３−２項を参照されたい。

続いて、繰り返し回数ｋがｋ_ｍａｘに等しいか否かを判定し（ステップＳ８）、「Ｎo」の場合（ｋ≠ｋ_ｍａｘの場合）には、ｋ＝ｋ＋１として上記ステップＳ２へ戻る一方、「Ｙes」の場合（ｋ＝ｋ_ｍａｘの場合）には、その時のアーカイブ内のパレート最適解を最終結果、つまり最適な設計値として本アルゴリズムを終了する（ステップＳ９）。

以上のように、本実施形態によれば、ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、ＳＬＳＶ法で用いる設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について制約関数を満足するか否かを判定することにより、信頼性評価を含む多目的最適化問題を解くためのループが単一ループ構造となるため、設計対象物の最適な設計値を計算するに当たって、最終的な結果を得るまでの計算時間を短縮することが可能となる。

図１０に、本実施形態における最適化設計アルゴリズムの妥当性を検証した結果を示す。ここでは、信頼性指標βの違いが、最終的に得られるパレート解に与える影響を調べるために、信頼性制約が線形関数で表わされる次の二目的問題（下記（２４）式参照）に対するパレート解の探索性能を検証した。確率変数は独立した正規分布に従う関数とし、その平均を設計変数（ｄ_１、ｄ_２）、標準偏差σを０．３とし、信頼性指標βを０、１．２８、２．０、３．０と変えた場合のパレート解を求めた。

図１０（ａ）から、パレート曲線はｇ_１に接して形成されることがわかる。しかしながら、パレート曲線はｆ_１が最も小さくなるところではｇ_２にも接している。また、信頼性指標βが増加するにつれて、パレート曲線は実行可能領域の内側に形成されることがわかる。同様に傾向は、図１０（ｂ）に示した設計変数空間におけるパレート解分布からもわかる。それぞれの信頼性指標βの値における破損確率Ｐ_ｆは、β＝０のときＰ_ｆ＝５０％、β＝１．２８のときＰ_ｆ＝１０％、β＝２．０のときＰ_ｆ＝２．２７５％、β＝３．０のときＰ_ｆ＝０．１２５％である。

よって、破損確率を小さく設計する場合、パレート集合は目的関数空間で原点から遠い位置に形成されることがわかる。つまり、安全性を確保する場合は、得られるｆ_１、ｆ_２の値は悪化することが確認できる。目的関数別に注目すると、信頼性指標βが増加したときにｆ_１の値が増加しているが、ｆ_２の値はほとんど変化していない。従って、ｆ_１の最適解は信頼性指標βの影響を受けやすく、ｆ_２の最適解は信頼性指標βの影響を受けにくいことがわかる。

以上、本発明の一実施形態について説明したが、本発明は上記実施形態に限定されず、本発明の趣旨を逸脱しない範囲において種々変更可能であることは勿論である。
（１）例えば、３−４項で説明した制約関数を満足しないパーティクルの処置について以下のようにしても良い。

制約関数を満足しないパーティクルを実行可能領域境界に移動するための手法の特徴は二つある。一つは制約条件を逸脱した個体に対して、制約条件の感度解析を利用して実行可能領域に移動させることである。もう一つは、実行可能領域に入った点と入る前の点で二分法を利用して、実行可能領域の境界上の点に移動させることである。感度解析は、パーティクルが初期設定において実行可能領域を逸脱している場合に、実行可能領域に移動させるために感度解析が不可欠である。

その一方で、世代が進んでから制約を逸脱した場合を考えてみる。この場合、その直前の世代の個体は実行可能領域内に存在し、現在と直前の世代の２点間に実行可能領域の境界があるはずである。従って、その２点で二分法を利用するだけで、実行可能領域境界に移動させるようなアルゴリズムにより同様な成果が期待できる。この場合、最初の世代には感度解析が必要だが、その後は感度解析を必要としない。例えば、感度解析の代わりに差分近似を利用しなければならない場合、この拡張手法が有効に機能すると考えられる。

（２）上記実施形態では、目的関数空間上にランダムに配置した各パーティクルの位置を更新する手法として、パレート曲線の広域性を確保するためにシグマ法を利用する場合を例示したが、本発明はこれに限定されず、シグマ法以外にもcrowding distance法など、その他の手法を用いても良い。

１…設計支援装置、２…入力装置、３…表示装置、４…記憶装置、５…処理装置、４ａ…設計支援プログラム

Claims (6)

1. ＭＯＰＳＯアルゴリズムを用いて多目的最適化問題を解くことにより、設計対象物の最適な設計値を計算する機能をコンピュータに実現させる設計支援プログラムであって、
   前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について前記制約関数を満足するか否かを判定する機能をコンピュータに実現させることを特徴とする設計支援プログラム。
2. 前記制約関数を満足しないパーティクルが存在する場合には、当該パーティクルを違反度が小さくなる方向へ移動させる機能をコンピュータに実現させることを特徴とする請求項１に記載の設計支援プログラム。
3. シグマ法を用いて前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムによるパーティクルの位置更新を行う機能をコンピュータに実現させることを特徴とする請求項１または２に記載の設計支援プログラム。
4. ＭＯＰＳＯアルゴリズムを用いて多目的最適化問題を解くことにより、設計対象物の最適な設計値を計算する設計支援装置であって、
   前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムで用いる制約関数に、設計変数、信頼性指標、標準偏差及び単位勾配ベクトルからなる変数を代入し、目的関数空間上に配置されたパーティクルの各々について前記制約関数を満足するか否かを判定する手段を備えることを特徴とする設計支援装置。
5. 前記制約関数を満足しないパーティクルが存在する場合には、当該パーティクルを違反度が小さくなる方向へ移動させる手段を備えることを特徴とする請求項４に記載の設計支援装置。
6. シグマ法を用いて前記ＭＯＰＳＯアルゴリズムによるパーティクルの位置更新を行う手段を備えることを特徴とする請求項４または５に記載の設計支援装置。

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