JP2006172134A - 情報処理装置、情報処理方法 - Google Patents

Abstract

【課題】 レベルセット法の基本となる境界からの符号付距離の値を、従来例よりも高速に計算する為の技術を提供すること。
【解決手段】 節点Ｘの位置と、最近節点Ａの位置とを結ぶ線分ＸＡ上、もしくはその近傍にある節点群に対する符号付距離を、ｄ（Ｘ）を節点Ｘにおける符号付距離、｜ＸＡ｜を前記線分ＸＡの長さとすると、ｄ（Ｙ）＝ｄ（Ｘ）｜ＹＡ｜／｜ＸＡ｜に従って求める（Ｓ１０４）。
【選択図】 図１

Description

本発明は、物体形状表現のための数値計算技術に関するものである。

自由境界の運動は波動、混相流、気泡や液滴の運動・境界不安定問題、およびMarangoni対流や結晶成長等の工学的問題に関連して、現在幅広い分野で注目されている。こらの問題を数値的に解く手法は大きく３つに分類される：
１。 固定格子法（ＶＯＦ、ＬＳＭ、ＣＩＰ）
２。 移動格子法（ＡＬＥ、ＢＥＭ）
３。 粒子法
最初の２つは格子を用いるものであり、最後の粒子法は格子を用いない方法である。固定格子法は自由境界の運動をEuler的に観察し、その境界を捕獲する方法で、VOF(volume of fraction)法とLSM(level set method)、CIP(cubic interpolation pseudo-particle)法、格子ボルツマン法等がある。移動格子法は自由境界をLagrange的に観察し、その境界を追跡してゆく方法である。ALE(arbitrary Lagrangian-Eulerian)法および境界要素法がある。更に格子を用いない方法としてLagrange的に粒子を追跡する粒子法がある。これらの手法の中で現在最も期待されているのがLSMである。

LSMは領域Ωの境界Γ≡∂Ωをレベルセット関数φで表現する：
φ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＜０ （ｘ，ｙ，ｚ）∈Ω−Γ （１）
φ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝０ （ｘ，ｙ，ｚ）∈Γ （２）
φ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＞０ （ｘ，ｙ，ｚ）∈Ω （３）
レベルセット関数φは一般に、任意の点における境界からの距離を与える符号付距離関数ψに単調非減少関数ξを作用させたものとして与えられる：
φ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ξ（ψ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）） （４）
ここで符号付距離関数とは、境界の内部で負、外部で正の符号を持ち、絶対値が境界からの最短距離を与える関数である。

符号付距離関数の実現方法は以下の２種類に大別できる：
１． 符号付距離関数を解とする非線形拡散方程式を離散的に解く。計算時間は極端に少なくてすむが、境界Γから隔たるに従って計算誤差が蓄積されてしまう。

２． 境界までの距離を計算する。境界Γが三角分割データとして与えられている場合に用いられる方法で、１の方法よりも計算時間が多くなるが、計算機イプシロンのオーダーの精度で符号付距離が計算できる。

以下、これら２つの方法について説明する。

１つ目の方法では、符号付距離関数ψは、境界Γ上での距離を０として、以下のEikonal方程式の解として与えられる：
|∇ψ|＝１ （５）
ここでψ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は境界Γからの距離であり、境界Γ上でψ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝０である。

境界Γは関数として与えられる場合もあるが、複雑な形状の場合は、非構造メッシュ(三角分割によって得られる)や、カットセル法(適合格子を用いた区分線形近似表現)によって与えられる場合もある。関数でない形式で与えられる場合は、符号付距離の初期化としての境界の設定（ψ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝０）に余分な処理を要する。

レベルセット関数の最も簡単でよく用いられるものは、ξが恒等写像の場合即ち、
φ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ψ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） （６）
である。

このとき、式（１）は式（５）を外側に向かって、また式（３）は式（５）を内側に向かって時間発展させることによって得られる。

式（１）及び式（３）の最も直接的な解法は、非特許文献１等に開示されているように、境界の時間発展を計算する方法である。この計算方法では、時間発展の回数が概ね一方向の節点の数（Ｎ個）だけ必要であると見積もることが出来るので、Ｎ^３の節点の計算をＮ回繰り返すことから、Ｏ（Ｎ^４）の計算量が必要である。

非特許文献２等で開示されている “narrow band level set method”では、境界の近傍に対してのみ時間発展を計算してゆく。この近傍幅をｋとすると、Ｏ（ｋＮ^３）の計算量でレベルセット関数を計算することができる。しかし、境界の近傍における値には誤差が含まれ、この誤差が時間発展によって累積されることから、精度の点で問題が残る。

非特許文献３，特許文献１，２等で開示されている “fast marching method”は、Ｏ（Ｎ^３ｌｏｇＮ）の計算法を提供している。

上記全ての方法が式（５）のEikonal方程式に基づいており、“fast marching method”の計算では、以下の離散近似式を用いて計算する：
｜∂ｕ｜≒（ｍａｘ［Ｄ^−ｘ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍｉｎ［Ｄ^＋ｘ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍａｘ［Ｄ^−ｙ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍｉｎ［Ｄ^＋ｙ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍａｘ［Ｄ^−ｚ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍｉｎ［Ｄ^＋ｚ _ｉｊｋｕ，０］^２
）^１／２＝１ （７）
ここで、Ｄ^−ｘ _ｉｊｋおよびＤ^＋ｘ _ｉｊｋは風下、および風上差分演算子であり、ｈ_ｘをｘ方向のグリッド幅とすると次式で定義される：
Ｄ^−ｘ _ｉｊｋｕ＝
（ｕ_ｉｊｋ−ｕ_{ｉ−１ｊｋ}）／ｈｘ，Ｄ^＋ｘ _ｉｊｋｕ＝（ｕ_{ｉ＋１ｊｋ}−ｕ_ｉｊｋ）／ｈｘ （８）
Ｄ^−ｙ _ｉｊｋ、Ｄ^＋ｙ _ｉｊｋおよびＤ^−ｚ _ｉｊｋ、Ｄ^＋ｚ _ｉｊｋも同様に定義される。

また以下の離散近似式を用いても良い：
｜∂ｕ｜≒（ｍａｘ［Ｄ^−ｘ _ｉｊｋｕ，−Ｄ^＋ｘ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍａｘ［Ｄ^−ｙ _ｉｊｋｕ，−Ｄ^＋ｙ _ｉｊｋｕ，０］^２
＋ｍａｘ［Ｄ^−ｚ _ｉｊｋｕ，−Ｄ^＋ｚ _ｉｊｋｕ，０］^２）^１／２＝１ （９）
図４を用いて非特許文献３，特許文献１，２等で開示されている“fast marching method”の処理について説明する。図４は、“fast marching method”の処理のフローチャートである。

ステップＳ４０１では、境界上に位置する節点の距離を０に設定し、これらの節点にALIVEとタグを付ける（以下ALIVE節点と呼ぶ）。また、これらの点から１グリッド幅だけ離れた節点にCLOSEというタグを付ける（以下CLOSE節点と呼ぶ。他も同様）。それ以外のすべての節点にFARというタグを付ける。

ステップＳ４０２では、CLOSE節点の距離を式（７）、或いは式（９）を用いて計算する。

ステップＳ４０３では、距離の最小値を持つCLOSE節点を探索し、TRIALとタグ付けする。

ステップＳ４０４では、TRIAL節点の近傍のうち、ALIVE節点以外の節点をCLOSEとタグ付けする。

ステップＳ４０５では、TRIAL節点の近傍節点のうち全てのCLOSE節点に対して、距離を再計算する。

ステップＳ４０６では、TRIAL節点をALIVE節点とする。

ステップＳ４０７では、CLOSE節点およびFAR節点がなくなったかどうかを検査し、そうであれば処理を終了。そうでなければステップＳ４０３へ進む。

以上の反復処理はＯ（Ｎ^３）回繰り返される。またステップＳ４０３で実行される距離の最小値をもつCLOSE節点を探索する処理は、高速アルゴリズムを利用することによって、前処理にＯ（ＮｌｏｇＮ）、実際の探索処理にＯ（ｌｏｇＮ）の計算量で出来るので、全体としての計算量はＯ（Ｎ^３ｌｏｇＮ）となる。

符号付距離計算の２つめの方法は、特に境界Γが三角分割データで表現されている場合に用いられるもので、与えられた点から該境界への符号付距離を直接計算する。処理を非特許文献４に従い以下に説明する。

まず、境界Γを表現する三角分割データの形式を以下に示す：
｛｛［Ｖ_ｊ１Ｖ_ｊ２Ｖ_ｊ３］，ｎ_ｊ｝，ｊ＝１，２，…｝ （１０）
ここで、Ｖは頂点（０−単体）、［Ｖ_ｊ１Ｖ_ｊ２Ｖ_ｊ３］はｊ番目の三角形（２−単体）で、Ｖ_ｊ１、Ｖ_ｊ２、Ｖ_ｊ３は三角形を外側から眺めて反時計周りに並べた頂点、ｎ_ｊはｊ番目の三角形の（外向き）単位法線ベクトルである。以下、j番目の三角形をＴ_ｊと書く。Ｔ_ｊは｛［Ｖ_ｊ１Ｖ_ｊ２Ｖ_ｊ３］，ｎ_ｊ｝というデータの代わりに使われることもあるし、単にj番目の三角形を指定するために用いることもある。

まず、未処理の節点集合から計算対象の節点Ｘを選択する。選択の基準は、例えば計算領域を一定の方向に沿ってスキャンする順でもよい。

次に該節点Ｘの符号付距離Ｄ（Ｘ）を計算する。この処理は、例えば以下のように実行できる：
ｄ（Ｘ）＝ｍｉｎ（｜ＸＡ｜） （１１）
Ａ∈Γ
式（１１）は節点Ｘから境界を構成する各三角形への符号付距離を計算し、その中で絶対値が最小のものを採用すればよい。また計算量の観点から符号は計算コストが高いので、一般的には、まず距離（正値）のみを計算し、その最小値を与える境界上の点Ａを求め、その後符号を算出する方法が取られる。

このように符号付距離の計算過程において、Ｘに対するΓ上の最近接点Ａが見つけられることに注意。

点Ａにおける節点Ｘの符号を求める方法として疑似法線ベクトルを用いる方法が非特許文献４で開示されている。
S. Osher, JA. Sethian: "Fronts propagating with curvature dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulation," Journal of Computational Physics, 79, pp.12-49 (1988). D. Adalsteinsson and JA. Sethian: "A fast level set method for propagating interfaces," Journal of Computational Physics, 188, pp.269-277 (1995). JA. Sethian: "Fast Marching Methods," SIAM review, vol.41, no.2, pp.199-235 (1999). JA. Baerantzen, H. Aanaes : "Generating Signed Distance Fields From Triangle Meshes," IMM-TECHNICAL REPORT-2002-21 (2002). USP 6,018,499 USP 6,324,478

しかしながら従来技術には以下に述べるような課題があった。

１つめの方法では、格子の節点における境界からの距離を、その近傍節点の距離の値を用いて、式（７）或いは式（９）で与えられる離散近似式を用いて計算するので、境界からの距離が大きくなるにつれて、離散誤差が累積するという欠点があった。更に従来技術は格子の節点全ての符号付距離を計算する方法であり、任意の１点から境界までの距離を計算する場合でも、任意の１点より境界より近い全ての頂点の符号付距離を計算しなければならないため、計算量が大きい。また、例えば境界Gの形状が時間的に変化し、更に、ある時刻、ある１点からの符号付距離が必要なときでも、式（７）或いは式（９）を計算しなければならない。

２つめの方法では、境界Γが時間的に変化し、更に、ある時刻、ある１点からの符号付距離が必要な場合には、１つ目の方法よりも少ない時間で計算できる。しかし計算領域全域に渡る符号付距離場を計算する場合は、最近接点が三角形上にある場合でも疑似法線ベクトルを計算するため、計算時間は節点数に比例する。従って節点数が増加すると共に計算時間も増加するという欠点があった。

本発明は以上の問題に鑑みて成されたものであり、レベルセット法の基本となる境界からの符号付距離の値を、従来例よりも高速に計算する為の技術を提供することを目的とする。

本発明の目的を達成するために、例えば本発明の情報処理装置は以下の構成を備える。

即ち、Ｎ次元ベクトルとして記述される頂点の集合と頂点の順序付Ｎ個組によって向き付けられた（Ｎ−１）−単体の集合より構成される（Ｎ−１）−単体的複体Ｇに対して、Ｎ次元空間の離散化表現として与えられるＮ次元格子の各節点における符号付距離を計算する処理を行う情報処理装置であって、
各節点の位置を示すデータを保持する保持手段と、
各節点のうち、未処理の節点Ｘに対する前記単体的複体Ｇ上の最近接点Ａと、それに対応する符号付距離を計算する第１の計算手段と、
前記節点Ｘの位置と、前記最近節点Ａの位置とを結ぶ線分ＸＡ上、もしくはその近傍にある節点Ｙに対する符号付距離ｄ（Ｙ）を、ｄ（Ａ）を前記最近節点Ａにおける符号付距離、｜ＸＡ｜を前記線分ＸＡの長さとすると、以下の式
ｄ（Ｙ）＝ｄ（Ｘ）｜ＹＡ｜／｜ＸＡ｜
に従って求める第２の計算手段と
を備えることを特徴とする。

本発明の目的を達成するために、例えば本発明の情報処理方法は以下の構成を備える。

即ち、Ｎ次元ベクトルとして記述される頂点の集合と頂点の順序付Ｎ個組によって向き付けられた（Ｎ−１）−単体の集合より構成される（Ｎ−１）−単体的複体Ｇに対して、Ｎ次元空間の離散化表現として与えられるＮ次元格子の各節点の位置を示すデータを保持する保持手段を有する情報処理装置において、各節点における符号付距離を計算する処理を行う情報処理方法であって、
各節点のうち、未処理の節点Ｘに対する前記単体的複体Ｇ上の最近接点Ａと、それに対応する符号付距離を計算する第１の計算工程と、
前記節点Ｘの位置と、前記最近節点Ａの位置とを結ぶ線分ＸＡ上、もしくはその近傍にある節点Ｙに対する符号付距離ｄ（Ｙ）を、ｄ（Ｘ）を前記節点Ｘにおける符号付距離、｜ＸＡ｜を前記線分ＸＡの長さとするとき、以下の式
ｄ（Ｙ）＝ｄ（Ｘ）｜ＹＡ｜／｜ＸＡ｜
に従って求める第２の計算工程と
を備えることを特徴とする。

本発明の構成により、レベルセット法の基本となる境界からの符号付距離の値を、従来例よりも高速に計算することができる。

以下添付図面を参照して、本発明を好適な実施形態に従って詳細に説明する。

図２は、本発明の実施形態に係る情報処理装置として機能するコンピュータの基本構成を示すブロック図である。なお、このようなコンピュータとしては、一般のＰＣやＷＳなどが適用可能である。

同図において２０１はＣＰＵで、ＲＡＭ２０４に記憶されているプログラムやデータを用いて本コンピュータ全体の制御を行うと共に、後述する各処理を実行する。

２０２は表示装置で、ＣＲＴや液晶画面等により構成されており、ＣＰＵ２０１による処理結果を画像や文字などでもって表示することができる。

２０３は入力装置で、キーボードやマウスなどのデバイスにより構成されており、各種の指示をＣＰＵ２０１に対して入力することができる。

２０４はＲＡＭで、外部記憶装置２０５からロードされたプログラムやデータを一時的に記憶する為のエリアを備えると共に、ＣＰＵ２０１が各種の処理を実行する際に使用するワークエリアを備える。

２０５は外部記憶装置で、ハードディスクドライブ装置などの大容量情報記憶装置により構成されており、ここにＯＳ（オペレーティングシステム）やＣＰＵ２０１に後述する各処理を実行させるためのプログラムやデータが保存されており、これらの一部もしくは全部はＣＰＵ２０１の制御に従ってＲＡＭ２０４にロードされ、ＣＰＵ２０１による処理対象となる。

２０６は通信装置で、外部装置からデータを受信したり、逆に送信したりする為のインターフェース装置として機能するものである。

図１は、上記構成を備えるコンピュータが行う、Ｎ次元ベクトルとして記述される頂点の集合と頂点の順序付Ｎ個組によって向き付けられた（Ｎ−１）−単体の集合より構成される（Ｎ−１）−単体的複体Ｇに対して、Ｎ次元空間の離散化表現として与えられるＮ次元格子の各節点における符号付距離の計算処理のフローチャートである。なお、同図のフローチャートに従った処理をＣＰＵ２０１に実行させるためのプログラムやデータはＲＡＭ２０４に記憶されており、これをＣＰＵ２０１が用いて処理を行うことで、本コンピュータは以下説明する各処理を実行することになる。

なお、本フローチャートに従った処理を行う前段で、先ず、計算対象の各格子点（各節点）の位置データが予め外部記憶装置２０５に保存されているので、これをＲＡＭ２０４にロードしておく。

そして、各格子点（何れもまだ未処理）の位置データを適当な基準で並べることで、未処理節点リストＬを作成する。即ちＬは未処理節点数Ｎ_Ｒ個と同じ個数の要素を持ち、その要素は節点座標を表す整数の３つ組である：
Ｌｎ＝（ｉ_ｎ，ｊ_ｎ，ｋ_ｎ）， ｎ＝１，２，…，Ｎ_Ｒ （１３）
以上の初期設定の元にＣＰＵ２０１は先ず、リストの先頭から先頭の格子点の位置データを１つ読み出す（ステップＳ１０１）。読み出した位置データはリストＬから削除する。この読み出した位置データが示す位置にある格子点を以下、節点Ｘと呼称する場合がある
次に、節点Ｘの境界Γへの距離を計算する。距離は、全ての２−単体への距離を計算して、そのうちの最小値を距離として採用することによって得られる。このとき、節点Ｘに対する境界Γ上の最近接点Ａも得られる。よって、最近接点Ａに対する節点Ｘの符号付距離［ＸＡ］を算出する。符号は、例えば非特許文献４で開示されている疑似法線ベクトルを用いる方法によって決定できる。

次に、節点Ｘの位置と最近節点Ａの位置とを通る線分ＸＡ上、もしくはその近傍に位置する節点群を上記位置データ群を用いて検索し、検索したそれぞれの節点の位置データをＲＡＭ２０４上の所定のエリアに記憶させる（ステップＳ１０３）。以下では、線分ＸＡ上、もしくはその近傍に位置する節点群を集合Ωとする。またステップＳ１０３では、、集合Ωに属する各節点の位置データを上記リストＬから削除する。

図３は、集合Ωに属する節点を説明する図である。同図において３０１は境界Γ、３０２は節点Ｘ、３０３は最近節点Ａ、３０４は線分ＸＡ、３０５は節点Ｘ３０２の位置を中心とし、線分ＸＡ３０４を半径とする開球、３０６は格子点が配置される格子、３０７ａ〜３０７ｉは集合Ωに属する節点群である。

図２に戻って、次に、集合Ωに属する全ての節点Ｙ（Ｙ∈Ω）について、以下の式に従って符号付き距離を計算する（ステップＳ１０４）。即ち、節点Ｘの位置と、最近節点Ａの位置とを結ぶ線分ＸＡ上、もしくはその近傍にある節点群に属する各節点Ｙに対する符号付距離ｄ（Ｙ）を、ｄ（Ａ）を最近節点Ａにおける符号付距離、｜ＸＡ｜を線分ＸＡの長さとすると、以下の式
ｄ（Ｙ）＝ｄ（Ｘ）｜ＹＡ｜／｜ＸＡ｜
に従って求める。

そして処理をステップＳ１０５に進め、リストＬにまだ節点の位置データが登録されているのか否かを判断し（ステップＳ１０５）、まだ登録されているの場合には処理をステップＳ１０２に戻し、先頭の節点の位置データを読み出し、以降の処理を繰り返す。

なお、以上の処理によって符号付き距離が計算されるということは、以下の定理１から保証される。

定理１
Ｘを中心、［ＸＡ］を半径とする開球をＳ（Ｘ，［ＸＡ］）と書くと、次式が成り立つ：
∀Ｙ∈［ＸＡ］ → Ｓ（Ｙ、［ＹＡ］）∩Γ＝Φ （１２）
上記定理は、［ＸＡ］上の全ての点に対するＧの最近接点の一つがＡであることを保証している。

また、本発明の目的は、前述した実施形態の機能を実現するソフトウェアのプログラムコードを記録した記録媒体（または記憶媒体）を、システムあるいは装置に供給し、そのシステムあるいは装置のコンピュータ（またはＣＰＵやＭＰＵ）が記録媒体に格納されたプログラムコードを読み出し実行することによっても、達成されることは言うまでもない。この場合、記録媒体から読み出されたプログラムコード自体が前述した実施形態の機能を実現することになり、そのプログラムコードを記録した記録媒体は本発明を構成することになる。

また、コンピュータが読み出したプログラムコードを実行することにより、前述した実施形態の機能が実現されるだけでなく、そのプログラムコードの指示に基づき、コンピュータ上で稼働しているオペレーティングシステム（ＯＳ）などが実際の処理の一部または全部を行い、その処理によって前述した実施形態の機能が実現される場合も含まれることは言うまでもない。

さらに、記録媒体から読み出されたプログラムコードが、コンピュータに挿入された機能拡張カードやコンピュータに接続された機能拡張ユニットに備わるメモリに書込まれた後、そのプログラムコードの指示に基づき、その機能拡張カードや機能拡張ユニットに備わるＣＰＵなどが実際の処理の一部または全部を行い、その処理によって前述した実施形態の機能が実現される場合も含まれることは言うまでもない。

本発明を上記記録媒体に適用する場合、その記録媒体には、先に説明したフローチャートに対応するプログラムコードが格納されることになる。

Ｎ次元ベクトルとして記述される頂点の集合と頂点の順序付Ｎ個組によって向き付けられた（Ｎ−１）−単体の集合より構成される（Ｎ−１）−単体的複体Ｇに対して、Ｎ次元空間の離散化表現として与えられるＮ次元格子の各節点における符号付距離の計算処理のフローチャートである。 本発明の実施形態に係る情報処理装置として機能するコンピュータの基本構成を示すブロック図である。 集合Ωに属する節点を説明する図である。 “fast marching method”の処理のフローチャートである。

Claims (4)

1. Ｎ次元ベクトルとして記述される頂点の集合と頂点の順序付Ｎ個組によって向き付けられた（Ｎ−１）−単体の集合より構成される（Ｎ−１）−単体的複体Ｇに対して、Ｎ次元空間の離散化表現として与えられるＮ次元格子の各節点における符号付距離を計算する処理を行う情報処理装置であって、
   各節点の位置を示すデータを保持する保持手段と、
   各節点のうち、未処理の節点Ｘに対する前記単体的複体Ｇ上の最近接点Ａと、それに対応する符号付距離を計算する第１の計算手段と、
   前記節点Ｘの位置と、前記最近節点Ａの位置とを結ぶ線分ＸＡ上、もしくはその近傍にある節点Ｙに対する符号付距離ｄ（Ｙ）を、ｄ（Ｘ）を前記節点Ｘにおける符号付距離、｜ＸＡ｜を前記線分ＸＡの長さとするとき、以下の式
   ｄ（Ｙ）＝ｄ（Ｘ）｜ＹＡ｜／｜ＸＡ｜
   に従って求める第２の計算手段と
   を備えることを特徴とする情報処理装置。
2. Ｎ次元ベクトルとして記述される頂点の集合と頂点の順序付Ｎ個組によって向き付けられた（Ｎ−１）−単体の集合より構成される（Ｎ−１）−単体的複体Ｇに対して、Ｎ次元空間の離散化表現として与えられるＮ次元格子の各節点の位置を示すデータを保持する保持手段を有する情報処理装置において、各節点における符号付距離を計算する処理を行う情報処理方法であって、
   各節点のうち、未処理の節点Ｘに対する前記単体的複体Ｇ上の最近接点Ａと、それに対応する符号付距離を計算する第１の計算工程と、
   前記節点Ｘの位置と、前記最近節点Ａの位置とを結ぶ線分ＸＡ上、もしくはその近傍にある節点Ｙに対する符号付距離ｄ（Ｙ）を、ｄ（Ｘ）を前記節点Ｘにおける符号付距離、｜ＸＡ｜を前記線分ＸＡの長さとするとき、以下の式
   ｄ（Ｙ）＝ｄ（Ｘ）｜ＹＡ｜／｜ＸＡ｜
   に従って求める第２の計算工程と
   を備えることを特徴とする情報処理方法。
3. コンピュータに請求項２に記載の情報処理方法を実行させることを特徴とするプログラム。
4. 請求項３に記載のプログラムを格納したことを特徴とする、コンピュータ読み取り可能な記憶媒体。

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